新高一数学暑假衔接课程
会放羊的教书匠高一暑假衔接课
会放羊的教书匠高一暑假衔接课会放羊的教书匠高一暑假衔接课，是会放羊的教书匠团队推出的一套针对高一新生进行衔接教育的课程。
课程旨在帮助高一新生快速适应高中的学习生活，打下扎实的学习基础，取得良好的开端。
课程分为三个阶段：第一阶段：基础知识夯实该阶段主要针对高一新生在基础知识上存在的不足进行补充，包括数学、物理、化学、生物、语文、英语等学科。
课程采用系统化的讲解和练习，帮助学生掌握基础知识和基本技能。
第二阶段：学习方法指导该阶段主要针对高一新生在学习方法上存在的问题进行指导，包括如何学习高中的课程、如何提高学习效率、如何有效应对考试等。
课程采用案例分析和讲座的形式，帮助学生掌握正确的学习方法。
第三阶段：考试技巧训练该阶段主要针对高一新生在考试技巧上存在的问题进行训练，包括如何答题、如何审题、如何分配时间等。
课程采用模拟考试和讲解的形式，帮助学生提高考试成绩。
课程由会放羊的教书匠团队的优秀教师担任主讲，课程内容紧扣高中的教学大纲，结合多年教学经验，针对高一新生的需求进行设计。
课程采取线上直播的形式，方便学生随时随地学习。
课程的具体安排如下：基础知识夯实（8周）数学：代数、几何、解析几何、概率与统计物理：力学、电磁学、热学、光学化学：无机化学、有机化学、分析化学生物：细胞生物学、分子生物学、遗传学、生态学语文：阅读、写作、文言文、古诗词英语：语法、词汇、阅读、写作学习方法指导（4周）如何学习高中的课程如何提高学习效率如何有效应对考试考试技巧训练（4周）如何答题如何审题如何分配时间会放羊的教书匠高一暑假衔接课，是高一新生不可多得的学习资源。
通过参加该课程，学生能够快速适应高中的学习生活，打下扎实的学习基础，取得良好的开端。
初升高新高一数学暑假衔接
初升高新高一数学暑假衔接新高一数学衔接课程说明课程目标初高中数学存在着广度、难度和研究方法等方面的差异。
对于刚升入新高一的学生来说，研究中存在着很多不适应的地方，如研究惯、研究方法等。
因此，我们编写了这套《初高中数学衔接课程》旨在解决以上问题。
该课程的目标有以下三点：1.补充初高中脱节的数学知识，需要加深的初中数学知识等，为高中研究铺路搭桥。
2.研究集合与函数等知识，使新高一的学生了解高中数学的基本特点、要求、学法及教学方法。
3.培养学生研究高中数学的自信心。
适用对象新高一学生课时安排授课时间为7-8月，共计10-15次课，20小时（一对一）或30小时（班组课）。
课程特色该课程以初中所学知识为起点，逐步过渡到高一知识，注重在初高中知识之间搭台阶，平稳起步。
对于高中新知识，注重对概念、定理、公式的理解，避免死记硬背。
在知识衔接的同时，注重研究方法、研究惯的衔接。
课程结构1.数与式2.一元二次方程与XXX定理3.一元二次函数与二次不等式4.集合的基本概念5.集合的基本运算6.集合的综合复7.函数的概念与定义域8.求函数的值域9.函数的解析式10.函数的表示方法及值域综合复11.函数的单调性（1）12.函数的单调性（2）13.函数的奇偶性14.指数运算15.对数运算知识点一：乘法公式我们在初中已经研究过一些乘法公式，如平方差公式和完全平方公式。
我们还可以通过证明得到一些其他乘法公式，如立方和公式、立方差公式、三数和平方公式、两数和立方公式和两数差立方公式。
典型例题】：计算：(x2-2x+3)2 = ____________计算题：2a+b)(4a^2-2ab+b^2) = 8a^3 + 2ab^2 + 4a^2b - 2a^2b - b^3 = 8a^3 + 2ab^2 + 2a^2b - b^33x+2y)(9x^2-6xy+4y^2) = 27x^3 + 18x^2y + 12xy^2 +18x^2y - 12xy^2 + 8y^3 = 27x^3 + 36x^2y + 8y^32x-3)(4x^2+6xy+9) = 8x^3 - 12x^2 + 12x^2y - 12xy + 36x - 27 = 8x^3 - 12x^2 + 12x^2y - 12xy + 36x - 27变式1：1) (m-1)/(3/4) * (m^2+m+1)/4 = (4m-4)(m^2+m+1)/32) (a+b)(a^2-ab+b^2)(a-b)(a^2+ab+b^2) = (a^3-b^3)(a^3+b^3) = a^6 - b^6变式2：1) 27m^3-n^3 = (3m-n)(9m^2+3mn+n^2)2) 27m^3+n^3 = (3m+n)(9m^2-3mn+n^2)3) x^3-125 = (x-5)(x^2+5x+25)4) m^6-n^6 = (m^3-n^3)(m^3+n^3) = (m-n)(m^2+mn+n^2)(m+n)(m^2-mn+n^2)典型例题】1) (m-n)(m^2-mn+n^2)2) x^3+1/x^3 = (x+1/x)^3 - 3(x+1/x)3) a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ac)变式1:x+1)(x-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)变式2:a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ac) = 16 - 8 = 8 根式：1) a>=02) a^2 = a (a>=0) or a^2 = -a (a<0)3) ab = a*b (a>=0.b>=0)典型例题】：1) 102) 53) 74) b-a5) x = 1.y = 2/3.x^3+y^3 = 1+8/27 = 35/276) x = 1/2.y = -1/2变式2: 若x<3，则9-6x+x^2-|x-6|的值是()A。
暑假衔接班新高一数学教案25次课(5次复习-20次预习共87页)
暑假衔接班新高一数学教案25次课(5次复习-20次预习共87页)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1840年，争取成为选举人了，失败了；1843年，参加国会大选落选了；1846年，再次参加国会大选 这次当选了！前往华盛顿特区，表现可圈可点；1848年，寻求国会议员连任失败了！1849年，想在自己的州内担任土地局长的工作，被拒绝了！1854年，竞选美国参议员，落选了；1856年，在共和党的全国代表大会上争取副总统的提名，得票不到一百张；1858年，再度竞选美国参议员一一再度落败；1860年，当选美国总统。
评语：此路艰辛而泥泞。
我一只脚滑了一下，另一只脚也因而站不稳；但我缓口气，告诉自己，“这不过是滑一跤，并不是死去而爬不起来。
” ——林肯在竞选参议员落败后如是说。
二、【基础知识梳理】 1.一次函数的定义一次函数：若两个变量x 、y 间的关系式可以表示成b kx y +=（k 、b 为常数，0≠k ）的形式，称y 是x 的一次函数.正比例函数：形如kx y =（0≠k ）的函数，称y 是x 的正比例函数，此时也可说y 与x 成正比例，正比例函数是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数.2.求一次函数的解析式关键：确定一次函数b kx y +=中的字母k 与b 的值. 步骤：1、设一次函数表达式2、将x ，y 的对应值或点的坐标代入表达式3、解关于系数的方程或方程组4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中 3.一次函数的图象与性质y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）当k ＞0时，y 的值随x 的值增大而增大； 当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小．直线y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k 的关系． ①0,0>>b k 直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②0,0<>b k 直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③0,0><b k 直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④0,0><b k 直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）； 4.平移直线11b x k y +=与直线22b x k y +=的位置关系：两直线平行⇔21k k =. 平移规律：左加右减，上加又减.5.一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组 ①一次函数与一元一次方程：一般地将0=x 或0=y 代入y= kx+ b 中解一元一次方程可求求直线与坐标轴的交点坐标。
高一数学同步课暑假第七讲
高一数学同步课暑假第七讲摘要：一、课程简介1.高一数学同步课暑假第七讲的主题2.课程的主要内容二、课程目标1.帮助学生巩固高一数学基础知识2.提升学生的数学解题能力3.培养学生的数学思维三、课程内容详解1.集合与基本初等函数2.函数的性质与应用3.三角函数的基本概念与计算方法4.三角函数的图像与性质5.三角函数的应用四、课程总结与作业布置1.课程重点与难点回顾2.课程作业与练习题正文：【课程简介】高一数学同步课暑假第七讲以“三角函数”为主题，涵盖了函数的基本概念、性质、计算方法、图像和性质以及应用等方面的内容。
通过本讲的学习，学生将巩固高一数学基础知识，提升数学解题能力，并培养数学思维。
【课程目标】1.帮助学生巩固高一数学基础知识：通过讲解三角函数的基本概念、性质、计算方法等，使学生更好地掌握函数相关知识，为后续学习打下坚实基础。
2.提升学生的数学解题能力：通过分析不同类型的三角函数题目，教授解题技巧和方法，提高学生在实际问题中运用数学知识的能力。
3.培养学生的数学思维：通过对三角函数图像和性质的研究，培养学生观察、分析、推理的能力，提高学生的数学素养。
【课程内容详解】1.集合与基本初等函数：回顾集合的基本概念，介绍基本初等函数，为后续三角函数的学习做铺垫。
2.函数的性质与应用：讲解函数的基本性质，如单调性、奇偶性等，并介绍函数在实际问题中的应用。
3.三角函数的基本概念与计算方法：学习正弦、余弦、正切等三角函数的定义，掌握三角函数的计算方法，如和差化积、倍角公式等。
4.三角函数的图像与性质：分析三角函数的图像及其变化规律，研究三角函数的性质，如周期性、对称性等。
5.三角函数的应用：通过实际问题，讲解三角函数在解决实际问题中的应用，如测量、定位等。
【课程总结与作业布置】1.课程重点与难点回顾：本讲的重点是三角函数的基本概念、性质、计算方法、图像和性质以及应用，难点主要在于对三角函数图像和性质的理解和运用。
暑假衔接班新高一数学教案25次课(5次复习-20次预习共87页)
步骤：1、设一次函数表达式2、将x ，y 的对应值或点的坐标代入表达式3、解关于系数的方程或方程组4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中 3.一次函数的图象与性质y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）当k ＞0时，y 的值随x 的值增大而增大； 当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小．直线y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k 的关系． ①0,0>>b k 直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②0,0<>b k 直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③0,0><b k 直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④0,0><b k 直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）； 4.平移直线11b x k y +=与直线22b x k y +=的位置关系：两直线平行⇔21k k =. 平移规律：左加右减，上加又减.5.一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组①一次函数与一元一次方程：一般地将0=x 或0=y 代入y= kx+ b 中解一元一次方程可求求直线与坐标轴的交点坐标。
②一次函数与一元一次不等式：kx+ b>0或kx+ b<0即一次函数图象位于x 轴上方或下方时相应的x 的取值范围，反之也成立③一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数所列二元一次方程组的解，反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标 6.一次函数的应用一般步骤：①设定问题中的变量 ②建立一次函数关系式③确定自变量的取值范围 ④利用函数性质解决问题 ⑤作答三、【典型例题剖析】[例 1]如图，一次函数y=（m-2）x-1的图象经过二、三、四象限，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞0B ．m ＜0C ．m ＞2D ．m ＜2[举一反三]若实数a ，b ，c 满足a+b+c=0，且a ＜b ＜c ，则函数y=cx+a 的图象可能是（ ）．[例 2]函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于点A （m ，3），则不等式2x ＜ax+4的解集为（ ） A ．x ＜32B ．x ＜3C ．x ＞32D ．x ＞3[举一反三]体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x 人，进3个球的有y 人，若（x ，y ）恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解析式是（ ）进球数 0 1 2 3 4 5 人数 15xy32A ．y=x+9与y=23x+223 B ．y=-x+9与y=23x+223C ．y=-x+9与y=- 23x+ 223D ．y=x+9与y=-23x+ 223[例 3]如图，直线MN 与x 轴，y 轴分别相交于A ，C 两点，分别过A ，C 两点作x 轴，y 轴的垂线相交于B 点，且OA ，OC （OA ＞OC ）的长分别是一元二次方程x 2-14x+48=0的两个实数根．A ．B B ．C D（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．课后作业1.一条直线y=kx+b，其中k+b=-5、kb=6，那么该直线经过（）A．第二、四象限B．第一、二、三象限C．第一、三象限D．第二、三、四象限2.设点A（x1，y1）和B（x2，y2）是反比例函数y=kx图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则一次函数y=-2x+k的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.把直线y=-x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（）A．1＜m＜7 B．3＜m＜4 C．m＞1 D．m＜44.一次函数=y)3(-+kkx的函数图象不可能是（）5.如图，已知一条直线经过点A（0，2）、点B（1，0），将这条直线向左平移与x轴、y轴分别交与点C、点D．若DB=DC，则直线CD的函数解析式为．6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（-2，0），（-1，0），BC⊥x轴，将△ABC以y轴为对称轴作轴对称变换，得到△A′B′C′（A和A′，B和B′，C和C′分别是对应顶点），直线y=x+b经过点A，C′，则点例3第5题C′的坐标是．7.某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x（单位：台）10 20 30y（单位：万元∕台）60 55 50（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求该机器的生产数量；（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间满足如图所示的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：利润=售价-成本）新高一数学第三次教学教案授课主题：反比例函数第6题第7题的矩形PMON的面积S=PM•PN=xyxy=•kSkxyxky==∴=,,三、【典型例题剖析】[例 1]设点),(11yxA和),(22yxB是反比例函数xky=图象上的两个点，当21<<xx时，21yy<，则一次函数kxy+-=2的图象不经过的象限是（）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[举一反三]如图，正比例函数y1与反比例函数y2相交于点E（﹣1，2），若y1＞y2＞0，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A . B．C．D．[例 2]如图，反比例函数（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）A．1B．2C．3D．4[举一反三]下列图形中，阴影部分面积最大的是（）举一反三例2[例 3]已知反比例函数y=（k≠0）和一次函数y=x ﹣6．（1）若一次函数与反比例函数的图象交于点P （2，m ），求m 和k 的值． （2）当k 满足什么条件时，两函数的图象没有交点？[举一反三]已知一次函数y=kx+b （k ＞0，b ＞0）与反比例函数xky -=的图象有唯一的公共点．（1）求出b 关于k 的表达式及b 为最小正整数时的两个函数的解析式； （2）证明：k 取任何正实数时，直线y=kx+b 总经过一个定点，并求出定点的坐标．课后作业1.如图，一次函数11+=xy的图象与反比例函数22yx=的图象交于A、B两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的是（）A．点A和点B关于原点对称B．当x＜1时，1y＞2yC．S△AOC=S△BOD D．当x＞0时，1y、2y都随x的增大而增大2.如图，是反比例函数2kyx-=的图象的一个分支，对于给出的下列说法：①常数k的取值范围是k＞2；②另一个分支在第三象限；③在函数图象上取点),(11baA和点),(22baB，当1a＞2a时，则1b＜2b；④在函数图象的某一个分支上取点),(11baA和点),(22baB，当1a＞2a时，则1b＜2b；其中正确的是（在横线上填出正确的序号）3.已知直线kxy=（k＞0）与双曲线3yx=交于点A),(11yx，B),(22yx两点，则1221yxyx+的值为（）A．-6 B．-9 C．0 D．94.如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过点P（3，2），与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点Q（m，n）．当一次函数y的值随x值的增大而增大时，m的取值范围是．5.如图，已知直线l分别与x轴、y轴交于A，B两点，与双曲线y=（a≠0，x第1题第2题第4题＞0）分别交于D 、E 两点．（1）若点D 的坐标为（4，1），点E 的坐标为（1，4）： ①分别求出直线l 与双曲线的解析式；②若将直线l 向下平移m （m ＞0）个单位，当m 为何值时，直线l 与双曲线有且只有一个交点？（2）假设点A 的坐标为（a ，0），点B 的坐标为（0，b ），点D 为线段AB 的n 等分点，请直接写出b 的值．6.如图，直线l ：y =x +1与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 与原点O 关于直线l 对称．反比例函数y =xk的图象经过点C ，点P 在反比例函数图象上且位于C 点左侧，过点P 作x 轴、y 轴的垂线分别交直线l 于M 、N 两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求AN •BM 的值．第5题第6题标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．三、【典型例题剖析】[例 1]抛物线c bx ax y ++=2，OA=OC ，下列关系中正确的是 ( )A ．b ac =+1B ．c ab =+1C ．a bc =+1D ．c ba=+1[举一反三]已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a＋b ＋c ，4a －2b ＋c ，2a ＋b ，2a —b 中，其值大于0的个数为（ ）． A ．2 B 3 C 、4 D 、5[例 2] 一开口向上的抛物线与x 轴交于A （2m -，0），B （m ＋2，0）两点，记抛物线顶点为C ，且AC ⊥BC ．（1）若m 为常数，求抛物线的解析式；（2）若m 为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？（3）设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BOD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．[举一反三]如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三例1举一反三O BACDxy 例2角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（-1，0），点B在抛物线22-+=axaxy上．①求点A、点B的坐标；②求抛物线的解析式；③设②中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积．课后作业1.二次函数2y ax bx c=++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac=+-与反比例函数a b cyx++=在同一坐标系内的图象大致为（）2.定义[,,a b c]为函数2y ax bx c=++的特征数, 下面给出特征数为[2m，1 –m , –1–m] 的函数的一些结论：①当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)；②当m > 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于23；③当m < 0时，函数在x >41时，y随x的增大而减小；④当m≠ 0时，函数图象经过同一个点.其中正确的结论有（）A. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ②④3.将函数2y x x=+的图象向右平移a(0)a>个单位，得到函数232y x x=-+的图象，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．41- 1O xy举一反三yxOyxOB．C．yxOA．yxOD．4.在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A ．22y x x =--+B ．22y x x =-+-C ．22y x x =-++D ．22y x x =++5.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤6.如图所示，已知直线x y 21-=与抛物线6412+-=x y 交于A 、B 两点，点C 是抛物线的顶点．（1）求出点A 、B 的坐标； （2）求出△ABC 的面积；（3）在AB 段的抛物线上是否存在一点P ，使得△ABP 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．新高一数学第五次教学教案1 11- O x y 第5题第6题C口朝向谁谁就“大”.在数学中，除了用列举法、描述法来表示集合之外，我们还有一种更简洁、直观的方法——用平面上的封闭曲线的内部来表示集合venn （韦恩）图.那么，集合A 是集合B 的子集用图形表示如下：B A ⊆2.若集合A 是集合B 的子集，并且存在元素B x ∈,且A x ∉，那么集合A 叫做集合B 的真子集. 记作：AB （或B A ）A = BB A ⊆A B3.集合相等：对于实数b a ,,如果b a ≥且a b ≥，则 a 与b 的大小关系如何？b a = 用子集的观点，仿照上面的结论在什么条件下A=B ？⎩⎨⎧⊆⊆⇔=A B BA B A4.空集：如（1）2{|10}x R x ∈+= （2）{|||20}x R x ∈+<集合中没有元素，我们就把上述集合称为空集.不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，规定：空集是任何集合的子集 ,空集是任何非空集合的真子集.四、【典型例题剖析】[例 1]写出集合{a,b,c}的所有子集并指出，真子集、非空真子集.[举一反三]写出下列各集合的子集及其个数.{}{}{},,,,,,a a b a b c ∅[例 2]集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？ABA B B A ⊆⊆且课后作业1.下列各式中错误的个数为( )①{}10,1,2∈②{}{}10,1,2∈③{}{}0,1,20,1,2⊆④{}{}0,1,22,0,1=A. 1B. 2C. 3D. 42.已知{}|22,M x R x aπ=∈≥=,给定下列关系：①a M∈,②{}a M ③a M④{}a M∈，其中正确的是( )Ａ.①②Ｂ.④Ｃ.③Ｄ.①②④3.满足{}a M⊆{},,,a b c d的集合Ｍ共有()Ａ.６个Ｂ.７个Ｃ.８个Ｄ.９个4.若,x y R∈,集合{}(,)|,(,)|1yA x y y xB x yx⎧⎫====⎨⎬⎩⎭,则Ａ,Ｂ的关系为() Ａ. Ａ＝ＢＢ. Ａ⊆ＢＣ.ＡＢＤ.ＢＡ5.已知{}{}{}A B C===菱形正方形平行四边形,则集合Ａ,Ｂ,Ｃ之间的关系为___________6.已知集合{}{}2|320,|10A x x xB x ax=-+==-=若B A,则实数a的值为__________7.已知Ａ＝{},a b,{}|B x x A=∈,集合Ａ与集合Ｂ的关系为_______8.集合{}{}|12,|0A x xB x x a=<<=-<若A B,则a的取值范围是_____ 9.已知集合{}{}2|560,|1A x x xB x mx=-+===,若B A，则实数m所构成的集合Ｍ＝________10.若集合{}2|30A x x x a=++=为空集,则实数a的取值范围是______ 11.写出满足{},a b A⊆{},,,a b c d的所有集合Ａ.12.已知集合{}{}22,,,2,2,A x yB x y A B===且,求,x y的值.新高一数学第八次教学教案授课主题：集合的基本运算（1）教学目标1.理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.教学重点集合的交集与并集、补集的概念.教学难点集合的基本运算.教学过程一、【哲理小故事】高傲的马一个富人有一匹高大的马。
第05讲 命题、定理、定义(原卷版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)
第05讲 命题、定理、定义知识点一 命题1．命题的定义：可判断真假的陈述句叫作命题．2．命题的条件和结论：数学中，许多命题可表示为“如果p ，那么q ”或“若p ，则q ”的形式，其中__p __叫作命题的条件，__q __叫作命题的结论．3．命题的分类：判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题．知识点二 定理定义1．定理：在数学中，有些已经被证明为真 的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 2．定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．考点一：命题的概念例1 判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)π3 是有理数； (2)3x 2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)一个数的算术平方根一定是负数． 【总结】判断语句是否是命题的策略(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题；(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．变式 下列语句中是命题的有________；是真命题的有________(填序号).①这里真热闹啊！②求证2 是无理数；③一个数不是正数就是负数；④并非所有的人都喜欢苹果；⑤若x ＝2，则x 2－1＞0.考点二：判断命题的真假例2 判断下列命题的真假，并说明理由． (1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当x ＝4时，2x ＋1＜0；(3)若x ＝3或x ＝7，则(x －3)(x －7)＝0.命题真假的判定方法(1)真命题的判定方法：要判定一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证；(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判定一个命题为假命题的常用方法．变式下列命题是真命题的是()A．若xy＝1，则x，y互为倒数B．平面内，四条边相等的四边形是正方形C．平行四边形是梯形D．若ac3＞bc3，则a＞b考点三：命题的结构形式例3 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)6是12和18的公约数；(2)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.【总结】将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则[注意]若命题不是以“若p，则q”这种形式给出时，首先要确定这个命题的条件p和结论q，进而改写成“若p，则q”的形式．变式把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；(3)两个相似三角形是全等三角形．考点四：由命题的真假求参数的范围例4 已知集合A＝[－3，6)，B＝(－∞，a)，若A∩B＝∅是假命题，则实数a的取值范围是________．【总结】由命题的真假求参数的取值范围的基本步骤第一步，明确命题的条件和结论；第二步，根据所学知识写出命题为真时参数所满足的条件； 第三步，化简相应的条件，求出参数的取值范围．[注意] 若求命题为假时参数的取值范围，可求命题为真时参数取值范围对应的补集．变式 若A ＝{1，2}，B ＝{x |ax －2＝0}，则B ⊆A 成立是真命题，求实数a 的值．考点五：新定义题例4 对于a ，b ∈N ，规定a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ，a 与b 的奇偶性相同，a ×b ，a 与b 的奇偶性不同， 集合M ＝{(a ，b )|a *b ＝12，a ，b ∈N *}，则M 中元素的个数为( )A ．6B ．8C ．15D ．16【总结】数学中的新定义题时常会出现，它是数学理论的基础，是进行判断、推理、论证的重要依据．在解题中充分利用新定义，挖掘内涵，才能抓住问题的实质，从而找到解决问题的途径．变式 若X 是一个集合， 是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于 ，∅属于 ；② 中任意多个元素的并集属于 ；③ 中任意多个元素的交集属于 ，则称 是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合 ：① ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}； ② ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}； ③ ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；④ ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}．其中是集合X 上的一个拓扑的集合 的所有序号是________.1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a ＞4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D ．“x ＝2时，x 2－3x ＋2＝0”是真命题2．下列四个命题中，其中真命题的个数为( )①与0非常接近的全体实数能构成集合； ②{－1，(－1)2}表示一个集合； ③空集是任何一个集合的真子集； ④任何一个非空集合至少有两个子集． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个3．命题p ：存在实数x ，使得x ，3，4能成为三角形的三边长．若命题p 为假命题，则x 的取值范围是________．4．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，给出以下四个命题：①[－x ]＝－[x ]；②⎣⎡⎦⎤x ＋12 ＝[x ]；③[2x ]＝2[x ]；④[x ]＋⎣⎡⎦⎤x ＋12 ＝[2x ]. 则假命题是________(填上所有假命题的序号).5．将下列命题改写为“若p ，则q ”的形式，并判断真假．(1)当a ＞b 时，有ac 2＞bc 2； (2)实数的平方是非负实数；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除．6．下列语句为真命题的是( )A ．a >bB ．四条边都相等的四边形为矩形C ．1＋2＝3D ．今天是星期天7．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )A ．这个四边形的对角线互相平分B ．这个四边形的对角线互相垂直C ．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D ．这个四边形是平行四边形8．下列命题是真命题的为( )A ．若a >b ，则1a <1bB．若b2＝ac，则b2>a或b2>cC．若|x|<y，则x2<y2D．若a＝b，则a＝b9．命题“对顶角相等”中的条件为________，结论为________．10．菱形的对角线互相垂直的真假性为________(用“真”“假”填空)．1．以下语句：①{0}∈N；②x2＋y2＝0；③x2＞x；④{x|x2＋1＝0}，其中命题的个数是() A．0 B．1C．2 D．32．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．43．下列命题中真命题有()①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②函数y＝2x－1的图象与x轴有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列命题为真命题的是()A．有两边及一角对应相等的两个三角形全等B．方程x2－x＋2＝0有两个不相等的实数根C．面积之比为1∶4的两个相似三角形的周长之比是1∶4D．在平面内，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形5．关于区间I＝(a，＋∞)，有下列四个命题：甲：小于1的数都不在区间I内；乙：区间I内不存在两个数互为倒数；丙：区间I内存在小于1的数；丁：区间I内每个数的平方都大于它本身．如果只有一个假命题，则该命题是()A.甲B．乙C．丙D．丁6．(多选)给出命题“方程x2＋ax＋1＝0有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是() A．4 B．2C．0 D．－37．(多选)(2021·山师大附中高一月考)给定下列命题，其中真命题为()A．若xy＝0，则|x|＋|y|＝0B．若a＞b，则a＋c＞b＋cC．矩形的对角线互相垂直D．∀x∈R，不等式x2＋2x＞4x－3恒成立8．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).9．若x∈[2，5]和x∈{x|x＜1或x＞4}都是假命题，则x的取值范围是________．10．若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是________________．11．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)当m ＞14时，mx 2－x ＋1＝0无实根；(2)一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除．12．关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0，有下列四个命题：甲：x ＝1是该方程的根；乙：x ＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁13．(多选)下列四个命题中，假命题的是( )A ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D ．从直线外一点作直线的垂线段叫做点到直线的距离14．能够说明“若a ，b ，c 是实数，a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．15．定义：若对非空数集P 中任意两个元素a ，b ，实施“加减乘除”运算(如a ＋b ，a －b ，a ×b ，a ÷b (b ≠0))，其结果仍然是P 中的元素，则称数集P 是一个“数域”．下列四个命题：①有理数集Q 是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 是数域；③数域必是无限集；④存在无穷多个数域．上述命题错误的序号是________.16．A ，B ，C ，D ，E 五名学生参加某次数学单元检测，在未公布成绩前他们对自己的数学成绩进行了猜测．A 说：“如果我得优，那么B 也得优”； B 说：“如果我得优，那么C 也得优”； C 说：“如果我得优，那么D 也得优”； D 说：“如果我得优，那么E 也得优”．成绩揭晓后，发现他们都没说错，但只有三个人得优．请问：得优的是哪三位同学？17．判断下列各命题的真假，并简要说明理由．(1)方程ax ＋1＝x ＋2有唯一的解；(2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根同号，则ca＞0；(3)如果A⊆B，那么A B或A＝B；(4)合数一定是偶数．18．已知m∈Z，关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0有整数解是真命题，x2－4mx＋4m2－4m－5＝0有整数解也是真命题，求m的值．。
2024年暑假初升高数学衔接讲义
2024年暑假初升高衔接数学讲义拓展初中-衔接高中-精准定位-强化练习快人一小步，领先一大步。
充实一个暑假，领跑高中三年。
让我们以梦为马，不负青春韶华！1.高中数学与初中数学的联系同学们，首先祝贺你们进入高中数学殿堂继续学习。
在经历了三年的初中数学学习后，大家对数学有了一定的了解，对数学思维有了一定的雏形，在对问题的分析方法和解决能力上得到了一定的训练。
这也是我们继续高中数学学习的基础。
良好的开端是成功的一半，高中数学课即将开始与初中知识有联系，但比初中数学知识系统。
高一数学中我们将学习函数，函数是高中数学的重点，它在高中数学中是起着提纲的作用，它融汇在整个高中数学知识中，其中有数学中重要的数学思想方法；如：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想等，它也是高考的重点，近年来，高考压轴题都以函数题为考察方法的。
高考题中与函数思想方法有关的习题占整个试题的60%以上。
1、有良好的学习兴趣两千多年前孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。
”意思说，干一件事，知道它，了解它不如爱好它，爱好它不如乐在其中。
“好”和“乐”就是愿意学，喜欢学，这就是兴趣。
兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它就要去实践它，达到乐在其中，有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。
在数学学习中，我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识”过程，这自然会变为立志学好数学，成为数学学习的成功者。
那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢？（1）课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。
（2）听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。
听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。
（3）思考问题注意归纳，挖掘你学习的潜力。
（4）听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的？（5）把概念回归自然。
新高一数学暑期衔接教材(精品)Word版含解析
第一讲 乘法公式我们可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．课堂实训1、计算：【1】 2222(2)4a b c a b c +-=+++_______________________【2】 331278x y -=（____________）•（__________________________） 【3】 42(2)(2)(416)a a a a +-++=_____________________ 【4】 22222(2)()x xy y x xy y ++-+=______________________2、已知2310x x -+=，求331x x +的值。
3、计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．4、已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．5、化简：233396127962x x x x x x x x++-+---+第二讲 根式0)a ≥叫做二次根式，二次根式有下列性质：○12(0)a a =≥ 2a = 30,0)a b =≥≥ 40,0)a b=>≥ 课堂实训1、化简下列各式（1 （21)x ≥2、计算（没有特殊说明，本节中出现的字母均为整数）（1（2（3）（4（5课后练习1、设x y ==，求代数式22x xy y x y +++的值。
2、当22320(0,0),a ab b a b +-=≠≠球22a b a b b a ab+--的值。
第09讲 基本不等式(解析版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)
第09讲基本不等式知识点一基本不等式与重要不等式1．算术平均数与几何平均数对于正数a ，b ，我们把a ＋b2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数．2．基本不等式如果a ，b 是正数，那么ab ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时，等号成立).3．两个重要不等式当a ，b ∈R 时，则（1）ab ≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时，等号成立)；（2）ab 2(当且仅当a ＝b 时，等号成立).知识点二基本不等式与最值对于正数a ，b ，在运用基本不等式时，应注意：(1)和a ＋b 为定值时，积ab 有最大值；积ab 为定值时，和a ＋b 有最小值；(2)a ＝b 时，ab .1．基本不等式的变形利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．2．应用基本不等式解简单的实际应用题(函数类)(1)合理选择自变量，建立函数关系；(2)寻找利用基本不等式的条件(和或积为定值)；(3)解题注意点：①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；②根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；③在求函数的最值时，一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解．考点一：利用基本不等式证明不等式例1已知a ＞b ，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥8.【证明】因为a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a≥2bc a ，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．【总结】变式(1)已知a ＞b ，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.【证明】因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．(2)已知a ＞b ，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥10.【证明】因为a ，b ，c 都为正实数，＝4＋b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．所以111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥10.考点二：利用基本不等式求最值例2(1)已知x >2，则x ＋4x －2的最小值为________；(2)若0<x <12，则12x (1－2x )的最大值是________；(3)若x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________．【答案】(1)6(2)116(3)9【解析】(1)因为x >2，所以x －2>0，所以x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以x ＋4x －2的最小值为6.(2)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以12x (1－2x )＝14×2x ×(1－2x )≤142＝14×14＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即当x ＝14时，等号成立，所以12x (1－2x )的最大值为116.(3)因为x ＞0，y ＞0，x ＋4y ＝1，所以1x ＋1y ＝x ＋4y x ＋x ＋4y y＝5＋4y x ＋xy ≥5＋24y x ·xy＝9，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝13，y ＝16时取等号．变式求下列函数的最值．(1)已知x ＞1，求y ＝4x ＋1＋1x －1的最小值；(2)已知0＜x ＜1，求x (4－3x )的最大值；(3)已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋2b ＝1,求2a ＋1b 的最小值．【解析】(1)∵x ＞1，∴x －1＞0，∴y ＝4x ＋1＋1x －1＝4(x －1)＋1x －1＋5≥24（x －1）·1x －1＋5＝9，当且仅当4(x －1)＝1x －1即x ＝32时取等号，∴y ＝4x ＋1＋1x －1的最小值为9.(2)∵0＜x ＜1，∴x (4－3x )＝13·(3x )·(4－3x )≤132＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时取等号，故x (4－3x )的最大值为43.(3)∵a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋2b ＝1，∴2a ＋1b (a ＋2b )＝4＋4b a ＋ab ≥4＋24b a ·ab＝8，当且仅当4b a ＝a b 且a ＋2b ＝1，即b ＝14，a ＝12时取等号，故2a ＋1b的最小值为8.考点三：利用基本不等式求参数的取值范围例3(1)已知函数y ＝x ＋ax＋2的值构成的集合为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是()A ．12B ．32C ．1D ．2(2)已知函数y ＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，y ≥3恒成立，则a 的取值范围是________．【答案】(1)C(2)－83，＋∞【解析】(1)由题意可得a ＞0，①当x ＞0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x ＜0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号，－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1．故选C ．(2)对任意x ∈N *，y ≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥3．设z ＝x ＋8x ，x ∈N *，则z ＝x ＋8x ≥42，当x ＝22时等号成立，又x ＝2时z ＝6，又x ＝3时z ＝173．∴a ≥－83，故a 的取值范围是－83，＋]【总结】变式已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________．【答案】2【解析】依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xyx ＋y≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2．又λ≥x ＋22xyx ＋y ，因此有λ≥2，即λ的最小值为2．考点四：利用基本不等式解应用题例4某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池(平面图如图所示).如果池四周围墙建造单价为400元/m ，中间两道隔墙建造单价为248元/m ，池底建造单价为80元/m 2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．【解析】设隔墙的长度为x m ，总造价为y 元，则隔墙造价为2x ×248＝496x 元，池底造价为200×80＝16000元，x ＋2×400＝800元．因此，总造价为y ＝496x ＋800200x x ⎛⎫+⎪⎝⎭＋16000(0＜x ＜50)＝1296x ＋160000x＋16000≥21296x ·160000x ＋16000＝28800＋16000＝44800.当且仅当1296x ＝160000x，即x ＝1009时，等号成立．这时，污水池的长为18m ．故当污水池的长为18m ，宽为1009m 时，总造价最低，最低为44800元．【总结】变式某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y 1万元，隔热层的厚度为x 厘米，两者满足关系式：y 1＝k 2x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数).若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记y 2为15年的总费用(总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用).(1)求y 2的表达式；(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y 2最小，并求出最小值．【解析】(1)依题意，当x ＝0时，y 1＝6，∴6＝k5，∴k ＝30.故y 1＝302x ＋5，y 2＝4x ＋302x ＋5×15＋10＝4x ＋4502x ＋5＋10(0≤x ≤10).(2)y 2＝4x ＋4502x ＋5＋10＝(4x ＋10)＋4502x ＋5＝2(2x ＋5)＋4502x ＋5≥22（2x ＋5）·4502x ＋5＝60，当且仅当2(2x ＋5)＝4502x ＋5，即x ＝5时，y 2取得最小值，最小值为60，∴隔热层的厚度为5厘米时，15年的总费用达到最小值，最小值为60万元．1．下列不等式中，正确的是()A.a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥23【答案】D 【解析】a <0，则a ＋4a ≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b 2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝2，则1x ＋x y ＋1的最小值为()A.12＋536B ．13＋36C.13＋233D ．32【答案】C【解析】因为x ＋y ＝2，所以y ＝2－x ，又x ＞0，y ＞0，所以0＜x ＜2，1x ＋x y ＋1＝1x ＋x 2－x ＋1＝1x ＋x 3－x ＝13×3－x x ＋x 3－x ＋13，因为0＜x ＜2，所以3－x ＞0，所以13×3－x x ＋x 3－x＋13≥213×3－x x ×x 3－x＋13＝233＋13，当且仅当13×3－x x＝x 3－x ，即x ＝33－32时取等号，所以1x ＋x y ＋1的最小值为233＋13.故选C.3．(多选)下列各选项中y 的最大值为12的是()A.y ＝x 2＋116x 2B.y ＝x 1－x 2，x ∈[0,1]C.y ＝x 2x 4＋1D.y ＝x ＋4x ＋2，x >－2【答案】BC【解析】对于A,y ＝x 2＋116x2≥2x 2·116x 2＝12；对于B,y ＝x 1－x 2＝x 2（1－x 2）≤x 2＋1－x 22＝12；对于C,y ＝x 2x 4＋1＝1x 2＋1x2≤12；对于D,y ＝x ＋4x ＋2＝x ＋2＋4x ＋2－2≥4－2＝2.故选B 、C.4．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为a 万元/次，一年的总存储费用为6ax 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是________．【答案】10【解析】设一年的总费用为y ，则y ＝600x ·a ＋6ax ≥2600ax·6ax ＝2×60a ＝120a ，当且仅当600ax＝6ax ，即x ＝10时等号成立，所以要使一年的总运费与总存储费之和最小，x 的值是10.5．甲、乙两同学分别解“设x ≥1，求函数y ＝2x 2＋1的最小值”的过程如下：甲同学：y ＝2x 2＋1≥22x 2·1＝22x ，又x ≥1，所以22x ≥22.从而y ≥22x ≥22，即y 的最小值是22.乙同学：因为y ＝2x 2＋1在x ≥1时的图象随着x 增大而逐渐上升，即y 随x 增大而增大，所以y 的最小值是2×12＋1＝3.试判断谁错，错在何处？【解析】甲错．甲直接利用基本不等式求最值，忽略了不等式成立的条件．当2x 2＋1≥22x 2时，有2x 2＝1，此时x 不在范围内，故此题不能用基本不等式求解．乙正确．利用函数图象，由图象判断y 的最小值．6．已知x >0，则9x＋x 的最小值为()A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】∵x >0，∴9x ＋x ≥2x ·9x ＝6．当且仅当x ＝9x即x ＝3时取得最小值6．7．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4则()A ．1a ＋1b ≤1B ．1a ＋1b ≥2C ．ab ≤4D ．ab ≥8【答案】C【解析】设a ，b 为正数，且a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．8．若a ＞0，且a ＋b ＝0，则a －1b＋1的最小值为________．【答案】3【解析】由a ＋b ＝0，a ＞0，得b ＝－a ，－1b ＝1a＞0，所以a －1b ＋1＝a ＋1a ＋1≥3，当且仅当a ＝1，b ＝－1时取等号．9．已知ab ＝1，a >0，b >0．则a ＋b 的最小值为________．【答案】2【解析】因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ＝2．当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，故a ＋b 的最小值为2．]10．把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________cm 2．【答案】23【解析】设两段长分别为x cm ，(12－x )cm ，则S ＝34×＋34×＝336[x 2＋(12－x )2]≥336×(x ＋12－x )22＝23．当且仅当x ＝12－x ，即x ＝6时取等号，故两个正三角形面积之和最小值为23cm 2．1．已知P ＝a 2＋4a2(a ≠0)，Q ＝b 2－4b ＋7(1＜b ≤3).则P ，Q 的大小关系为()A.P ＞Q B ．P ＜Q C.P ≥Q D ．P ≤Q【答案】C【解析】P ＝a 2＋4a 2≥2a 2·4a2＝4，当且仅当a ＝±2时等号成立，Q ＝b 2－4b ＋7＝(b －2)2＋3≤4，当b ＝3时等号成立，所以P ≥Q .故选C.2．已知a ＞0，b ＞0，则“ab ≤1”是“2aba ＋b≤1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】a ＞0，b ＞0，若ab ≤1，则由a ＋b ≥2ab 得2aba ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ≤1，充分性成立，若2ab a ＋b ≤1，例如a ＝23，b ＝2，则2ab a ＋b＝1，但ab ＝43＞1，因此必要性不成立．故选A.3．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab ，则a 2＋b 2的最小值为()A.2B ．22C.4D ．42【答案】C【解析】∵a >0，b >0，∴1a ＋1b＝ab ≥21ab，ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，∴a 2＋b 2≥2ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．综上，a 2＋b 2的最小值是4.故选C.4．若对x >0，y >0，有(x ＋2y )·21x y ⎛⎫+⎪⎝⎭≥m 恒成立，则m 的取值范围是()A.m ≤4B ．m >4C.m <0D ．m ≤8【答案】D【解析】由x >0，y >0，得(x ＋2y )21x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2＋4y x ＋xy ＋2≥4＋24y x ·xy＝8，当且仅当2y ＝x 时取等号，则m ≤8.故选D.5．对于使－x 2＋2x ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做－x 2＋2x 的上确界，若a ，b ∈R＋，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为()A.92B ．－92C.14D ．－4【答案】B【解析】由题意可知，只需求－12a －2b 的最大值即可，因此可先求12a ＋2b 的最小值，12a ＋2b＝12y a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(a ＋b )＝52＋b 2a ＋2a b ≥92，当且仅当b 2a ＝2a b ，即a ＝13，b ＝23时取等号，所以－12a －2b 的最大值是－92.故选B.6．(多选)设a ，b 是正实数，则下列各式中成立的是()A.a ＋b ≥2ab B ．b a ＋ab ≥2C.a 2＋b 2ab≥2abD ．a ＋b 2≤2aba ＋b 【答案】ABC 【解析】由a ＋b2≥ab 得a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴A 成立；∵b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴B 成立；∵a 2＋b 2ab≥2abab＝2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴C 成立；∵a ＋b 2－2ab a ＋b ＝（a －b ）22（a ＋b ）≥0，∴a ＋b 2≥2aba ＋b ，∴D 不成立．故选A 、B 、C.7．(多选)已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，那么下列不等式中，恒成立的有()A.ab ＜14B ．a 2＋b 2≥12C.a ＋b ≤2D ．1a ＋12b≥22【答案】BC【解析】A ，因为a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，所以ab 2＝14＋b ＝1，＝b ，即a ＝b ＝12时，等号成立，故A 错误；B ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝2＋12≥12，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故B 正确；C ，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ＝1＋2a (1－a )＝1＋2－a 2＋a＝1＋≤2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，因此a ＋b ≤2，故C 正确；D ，1a＋12b ＝a ＋b a ＋a ＋b 2b＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2b a ·a 2b ＝32＋2＝a2b ，b ＝1，＝2－1，＝2－2时，等号成立，故D 错误．故选B 、C.8．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则1，ab ，a 2＋b 22的大小关系是________．【答案】ab ＜1＜a 2＋b 22【解析】因为a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝2，所以a ＋b ≥2ab ，即ab 2＝1，又a ≠b ，所以ab ＜1，因为(a －b )2＞0，所以a 2＋b 22＞ab ，则2(a 2＋b 2)＞(a ＋b )2＝4，a 2＋b 22＞1，所以ab ＜1＜a 2＋b 22.9．下列条件中能使b a ＋ab≥2成立的是________．①ab ＞0；②ab ＜0；③a ＞0，b ＞0；④a ＜0，b ＜0.【答案】①③④【解析】要使b a ＋a b ≥2成立，只需b a ＞0，a b ＞0即可，此时b a ＋ab≥2b a ·a b ＝2，当且仅当b a ＝ab等号成立，若ba＜0，则不等式不成立，即只需a ，b 同号即可，故①③④满足．10．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园．设菜园的长为x 米，宽为y 米．若菜园面积为50平方米，则所用篱笆总长的最小值为________；若使用的篱笆总长度为30米，则1x＋2y的最小值为________．【答案】20310【解析】若菜园面积为50平方米，则xy ＝50，所以篱笆总长x ＋2y ≥22xy ＝20，当且仅当x ＝2y ，即x ＝10，y ＝5时等号成立，故所用篱笆总长的最小值为20；若使用的篱笆总长度为30米，则x ＋2y ＝30，所以1x ＋2y ＝130×(x ＋2y)＝130＋2y x ＋≥130＋＝310，当且仅当x ＝y ，即x ＝10，y ＝10时等号成立，所以1x ＋2y 的最小值为310.11．(1)已知a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝4，求ab 的最大值；(2)若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，求9a ＋1＋1b 的最小值．【解析】(1)ab ＝12a ×2b ≤122＝2，当且仅当a ＝2b ＝2即a ＝2，b ＝1时取等号．故ab 的最大值为2.(2)a ＋b ＝1，即(a ＋1)＋b ＝2，∵a ＞0，b ＞0，故9a ＋1＋1b ＝12[(a ＋1)＋b ]＝12＋9b a ＋1＋≥8，当且仅当9b a ＋1＝a ＋1b 时等号成立，又a＋b ＝1，∴a ＝b ＝12min＝8.12．已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b ＋a ＋bc的最小值为()A.2B ．2＋2C.4D ．2＋22【答案】D【解析】因为△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，所以12(a ＋b ＋c )×1＝1，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b ＋a ＋bc ≥2＋22，当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立，所以4a ＋b ＋a ＋bc的最小值为2＋22.13．(多选)下列说法正确的为()A.若x ＞0，则x (2－x )最大值为1B.函数y ＝2（x 2＋4）x 2＋3的最小值为4C.|x ＋1x |≥2D.已知a ＞3时，a ＋4a －3≥2a ·4a －3，当且仅当a ＝4a －3即a ＝4时，a ＋4a －3取得最小值8【答案】AC【解析】选项A ，若x ＞0，则x (2－x )≤x ＋（2－x ）22＝1，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时等号成立，故选项A 正确；选项B ，y ＝2（x 2＋4）x 2＋3＝2（x 2＋3＋1）x 2＋3＝2(x 2＋3＋1x 2＋3)≥2×2x 2＋3·1x 2＋3＝4，当且仅当x 2＋3＝1x 2＋3，即x 2＝－2时等号成立，显然取不到最小值，故选项B 错误；选项C ，当x ＞0时，|x ＋1x |＝x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立；当x ＜0时，－x ＞0，所以|x ＋1x |＝(－x )＋1－x≥2（－x ）·1－x ＝2，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时等号成立，所以|x ＋1x |≥2，故选项C 正确；选项D ，当a ＞3时，a ＋4a －3＝a －3＋4a －3＋3≥2（a －3）·4a －3＋3＝7，当且仅当a －3＝4a －3，即a ＝5时等号成立，故选项D 错误．故选A 、C.14．若正实数a ，b ，c 满足a 2－3ab ＋4b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，2a ＋1b －2c的最大值为________．【答案】1【解析】由条件可得c ＝a 2－3ab ＋4b 2，则abc ＝ab a 2－3ab ＋4b 2＝1a b －3＋4×ba，由a b －3＋4×b a ＝4×b a ＋ab －3≥24×b a ×ab－3＝1，当且仅当4×b a ＝a b ，即a ＝2b 时，ab c 有最大值，此时c ＝2b 2，所以2a ＋1b －2c ＝2b －1b 22＋1，当b ＝1时，2a ＋1b －2c 有最大值1.所以2a ＋1b －2c的最大值为1.15．“勾股容方”问题出自我国汉代数学名著《九章算术》，该问题可以被描述为：“设一直角三角形(如图①)的两直角边长分别为a 和b ，求与该直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长．”公元263年，数学家刘徽为《九章算术》作注，在注中他利用出入相补原理给出了上述问题如图②和图③所示的解答，则图①中与直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长为________，当内接正方形的面积为1时，则图③中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为________．【答案】aba ＋b2【解析】设内接正方形的边长为x ，则图②的面积为ab ，图③的面积为(a ＋b )x ，因为图②和图③的面积相等，则有ab ＝(a ＋b )x ，解得x ＝ab a ＋b ，故内接正方形的边长为aba ＋b.因为内接正方形的面积为1，所以内接正方形的边长x ＝1，则有a ＋b ＝ab ，利用基本不等式可得a ＋b ＝ab ≥2ab ，故ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和为ab －2≥2，故图③中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为2.16．某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价，现在有三种提价方案：方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：第一次提价q %，第二次提价p %；方案丙：第一次提价p ＋q 2%，第二次提价p ＋q2%.其中p ＞q ＞0，比较上述三种方案，哪一种提价少？哪一种提价多？【解析】不妨设提价前的价格为1，则方案甲：两次提价后的价格为(1＋p %)(1＋q %)＝1＋p %＋q %＋0.01pq %，方案乙：两次提价后的价格为(1＋q %)(1＋p %)＝1＋p %＋q %＋0.01pq %，＋p ＋q2%＋p ＋q 2%＝1＋p %＋q %＋0.012%，由于p ＞q ＞0，由基本不等式p ＋q ≥2pq ，当且仅当p ＝q 时等号成立，2≥pq ，又p ≠q 2＞pq .因此方案丙提价最多，方案甲、乙少，且提价一样．17．已知a ，b 为正实数，且1a ＋1b＝22.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2＝4(ab )3，求ab 的值．【解析】(1)因为a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝22，所以1a ＋1b ＝22≥21ab ，即ab ≥12(当且仅当a ＝b 时等号成立).因为a 2＋b 2≥2ab ≥2×12＝1(当且仅当a ＝b 时等号成立)，所以a 2＋b 2的最小值为1.(2)因为1a ＋1b＝22，所以a ＋b ＝22ab .因为(a －b )2＝4(ab )3，所以(a ＋b )2－4ab ＝4(ab )3，即(22ab )2－4ab ＝4(ab )3，即(ab )2－2ab ＋1＝0，(ab －1)2＝0.因为a ，b 为正实数，所以ab ＝1.18．某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用).(1)将2021年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m 的函数；(2)该厂家2021年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？【解析】(1)由题意，可知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx元，∴y ＝－(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m＝4＋－m＝－16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0).(2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时等号成立，∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2021年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。
第12讲 对数(解析版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)
第12讲对数知识点一对数的概念与性质1．对数的概念一般地，如果a b ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a b N =，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．常用对数与自然对数3．对数的基本性质(1)负数和0没有对数；(2)log a 1＝0(a ＞0，且a ≠1)；(3)log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1)；(4)log a a N ＝N (a ＞0，a ≠1，N ＞0).4．指数式与对数式的互化(其中a ＞0，且a≠1).知识点二对数的运算性质1．若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，n ∈R ，那么：(1)log a (MN )＝log log a a M N +；(2)log aMN＝log log a a M N -；(3)log a M n ＝log a n M ．2．对数运算中的常见公式及推广知识点二换底公式1．换底公式：log log log c a c NN a=（0,1,0,0,1a a N c c >≠>>≠）.2．换底公式的推论3．对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？4．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论log n mN M =log N M n吗？考点一：指数式与对数式的互化例1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．(1)3－2＝19；－2＝16；(3)13log 27＝－3；(4)64＝－6.【解析】(1)∵3－2＝19，∴log 319＝－2.(2)－2＝16，∴log 1416＝－2.(3)∵13log 27＝－3－3＝27.(4)∵64＝－6，∴(x )－6＝64.【总结】变式将下列指数式与对数式互化．(1)log 216＝4；(2)x ＝6；(3)43＝64；(4)3－3＝127.【解析】(1)因为log 216＝4，所以24＝16.(2)因为x ＝6，所以(3)6＝x .(3)因为43＝64，所以log 464＝3.(4)因为3－3＝127，所以log 3127＝－3.考点二：对数的计算例2求下列各式中的x 的值．(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x ；(4)－ln e 2＝x .【解析】(1)x ＝()2364-＝()2334-＝4－2＝116.(2)x 6＝8，所以x ＝()166x＝168＝()1362＝122＝2.(3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.(4)由－ln e 2＝x ，得－x ＝ln e 2，即e －x ＝e 2.所以x ＝－2.【总结】变式求下列各式中x 的值．(1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)x ＝log 2719.【解析】(1)由log x 27＝32，可得x 32＝27，∴x ＝2723＝(33)23＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，可得x ＝232-.∴x 23＝314＝322.(3)由x ＝log 2719，可得27x ＝19，∴33x ＝3－2，∴x ＝－23.考点三：对数的性质例3求下列各式中x 的值．(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1；(3)log 3(log 4(log 5x ))＝0.【解析】(1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000.(3)由log 3(log 4(log 5x ))＝0可得log 4(log 5x )＝1，故log 5x ＝4，∴x ＝54＝625.【总结】变式求下列各式中x 的值．(1)log 3(log 4(log 5x ))＝1【解析】由log 3(log 4(log 5x ))＝1可得，log 4(log 5x )＝3，则log 5x ＝43＝64，所以x ＝564.(2)3log 3(log 4(log 5x ))＝1【解析】由3log 3(log 4(log 5x ))＝1可得log 4(log 5x )＝1，故log 5x ＝4，所以x ＝54＝625.考点四：对数的运算性质例4求下列各式的值．(1)log 2(47×25)；(2)lg5100；(3)lg 14－2lg73＋lg 7－lg 18；(4)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.【解析】(1)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝7log 24＋5log 22＝7×2＋5×1＝19.(2)lg5100＝lg 10015＝15lg 100＝15×2＝25.(3)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.(4)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.【总结】变式已知ab ＞0，有下列四个等式：①lg (ab )＝lg a ＋lg b ；②lg ＝lg a －lg b ；③12lg 2＝lg ；④lg (ab )＝1log ab 10，其中正确的是________．【答案】③【解析】①②式成立的前提条件是a ＞0，b ＞0；④式成立的前提条件是ab ≠1.只有③式成立．考点五：对数换底公式的应用例5计算：(1)log 29·log 34；(2)log 52×log 79log 513×log 734.【解析】(1)由换底公式可得，log 29·log 34＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg2lg 3＝4.(2)原式＝log 52log 513×log 79log 734＝13log 9＝lg 2lg 13×13lg 9lg 4＝12lg 2－lg 3×2lg 323lg 2＝－32.【总结】变式若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于()A ．9B ．19C ．25D ．125【答案】D【解析】log 513·log 36·log 6x ＝－log 53·log 36·log 6x ＝－log 5x ，则log 5x ＝－2，则x ＝5－2＝125.故选D.考点六：对数的综合应用例6已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)【解析】因为18b ＝5，所以b ＝log 185.所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（5×9）log 18（2×18）＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a .【总结】求解与对数有关的各种求值问题的三个注意点(1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式；(2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．变式（1）已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 1845？(用a ，b 表示)【解析】因为18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 1845＝log 189＋log 185＝a ＋b .（2）已知log 94＝a ，9b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)【解析】因为9b ＝5，所以log 95＝b .所以log 3645＝log 945log 936＝log 9（5×9）log 9（4×9）＝log 95＋log 99log 94＋log 99＝b ＋1a ＋1.考点七：利用对数运算解决实际问题例6某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e －λt ，其中μ0、λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.9μ0，则当稳定性系数降为0.5μ0时，该种汽车已使用的年数为________(结果精确到1，参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771).【答案】13【解析】由0.9μ0＝μ0e －2λ＝μ0(e －λ)2，得e －λ＝0.9，令0.5μ0＝μ0(e －λ)t ，得0.5＝(0.9)t ，两边取常用对数，得lg 0.5＝t 2lg 0.9，故t ＝2lg 0.5lg 0.9＝2lg 2－1lg 910＝－2lg 22lg 3－1＝2lg 21－2lg 3≈13.【总结】变式有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2020年为3000万吨，2021年增长率约为50%.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从________年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771).【答案】2026【解析】第n 年(2021为第一年)包装垃圾为3000×1.5n ，令3000×1.5n ＞30000，解得n ＞log 1.510＝1lg 3－lg 2≈10.1761≈5.68.又n 为整数，所以从2026年开始快递业产生的包装垃圾超过30000万吨．1．(多选)下列指数式与对数式互化正确的有() A．e0＝1与ln1＝0B．log39＝2与912＝3C．138 ＝12与log812＝－13D．log77＝1与71＝7【答案】ACD【解析】log39＝2化为指数式为32＝9，故B错误．A、C、D正确．2．在b＝log a－2(5－a)中，实数a的取值范围是()A．(－∞，2)∪(5，＋∞)B．(2，5)C．(2，3)∪(3，5)D．(3，4)【答案】C【解析】－a＞0，－2＞0，－2≠1，解得2<a<3或3<a<5.3．已知a23＝49(a＞0)，则log23a＝()A．2B．3C．12D．13【答案】B【解析】由a 23＝49，得a323，所以log23a＝log233＝3.4．若log5x＝2，log y8＝3，则x＋y＝________．【答案】27【解析】∵log5x＝2，∴x＝52＝25.∵log y8＝3，∴y3＝8，∴y＝2，∴x＋y＝27. 5．已知x＝log23，求23x－2－3x2x－2－x的值．【解析】（方法1）∵23x＝(2log23)3＝33＝27，2－3x＝(2x)－3＝(2log23)－3＝3－3＝127，2x＝2log23＝3，2－x＝12x＝13，∴原式＝27－1273－13＝919.（方法2）∵x ＝log 23，∴2x ＝3，∴23x －2－3x2x －2－x ＝（2x ）3－（2x ）－32x －（2x ）－1＝33－3－33－3－1＝27－1273－13＝919.6．求值：lg 4＋lg 25＝()A ．100B ．10C ．2D ．1【答案】C【解析】lg 4＋lg 25＝lg (4·25)＝lg 102＝2lg 10＝2.故选C.7．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 等于()A ．92B ．9C ．18D ．27【答案】B【解析】∵log 34·log 48·log 8m ＝lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝lg mlg 3＝2，∴lg m ＝2lg 3，∴m ＝9.8．(多选)设a ＞0且a ≠1，m ，n 是正整数，则()A ．log a (mn )＝log a m ＋log a n B ．log＝log amlog a n C ．log a n m ＝n log a m D ．log a m n ＝n log a m 【答案】AD【解析】由对数的运算性质可得log a (mn )＝log a m ＋log a n ，故A 正确；log＝log a m －log a n ，故B 错误；log a n m ＝1nlog a m ，故C 错误；log a m n ＝n log a m ，故D 正确．故选A 、D9．已知a 2＝1681(a ＞0)，则log 23a ＝________．【答案】2【解析】由a 2＝1681(a ＞0)得a ＝49，所以234log 9＝2232log 3⎛⎫⎪⎝⎭＝2.10．已知a,b 是方程log 3x 3＋log 273x ＝－43的两个根，试给出关于a,b 的一个结论________．【答案】a ＋b ＝1081(答案不唯一)【解析】根据换底公式有log 33log 33x ＋log 33x log 327＝－43，即11＋log 3x ＋1＋log 3x 3＝－43.令1＋log 3x ＝t ，则1t ＋t 3＝－43，解得t ＝－1或t ＝－3.所以1＋log 3x ＝－1或1＋log 3x ＝－3，解得x ＝19或x ＝181.故a ＋b ＝1081.1．若lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x ＝()A ．a ＋2b －3cB ．a ＋b 2－c 3C ．ab 2c 3D ．2ab 3c【答案】C【解析】∵lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ＝lg ab 2c 3，∴x ＝ab 2c 3.故选C.2．方程9x －6·3x －7＝0，则x ＝()A ．log 37B ．log 73C ．7D ．－1【答案】A【解析】设3x ＝t (t ＞0)，则原方程可化为t 2－6t －7＝0，解得t ＝7或t ＝－1(舍去)，即3x ＝7.∴x ＝log 37.3．若log x 7y ＝z ，则()A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x【答案】B【解析】由log x 7y ＝z ，得x z ＝7y ，∴(7y )7＝(x z )7，则y ＝x 7z .4．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是()A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1【答案】A【解析】∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.5．方程lg (x 2－1)＝lg (2x ＋2)的根为()A ．－3B ．3C ．－1或3D ．1或－3【答案】B【解析】由lg (x 2－1)＝lg (2x ＋2)，得x 2－1＝2x ＋2，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.经检验x ＝－1不合题意，所以原方程的根为x ＝3.6．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中某类物质的原子总数N 约为1050.则下列各数中与MN最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)()A ．1093B ．10113C ．10123D ．10133【答案】C【解析】因为M ≈3361，N ≈1050，所以lg M ≈361×lg 3，lg N ≈50，lgM N ＝lg M －lg N ≈361×0.48－50≈123，所以MN≈10123.故选C.7．(多选)下列指数式与对数式互化正确的是()A ．54＝625与log 4625＝5B ．10－2＝0.01与lg 0.01＝－2C －4＝16与log －416＝12D ．912＝3与log 93＝12【答案】BD【解析】对于A ，54＝625可化为log 5625＝4，故不正确；对于B ，10－2＝0.01可化为lg 0.01＝－2，故正确；对于C －4＝16可化为log 1216＝－4，故不正确；对于D ，912＝3可化为log 93＝12，故正确．故选B 、D.8．(多选)下列运算正确的是()A ．2log 1510＋log 150.25＝2B ．log 427·log 258·log 95＝98C ．lg 2＋lg 50＝2D ．((2log2-－(log 22)2＝－54【答案】BCD【解析】对于A ，2log 1510＋log 150.25＝log 15102＋log 150.25＝log 1525＝－2，故A 错误；对于B ，log 427·log 258·log 95＝32log 23·32log 52·12log 35＝98·lg 3lg 2·lg 2lg 5·lg 5lg 3＝98，故B 正确；对于C ，lg 2＋lg 50＝lg (2×50)＝2，故C 正确；对于D ，((2log 2－(log 22)2＝(2log 2＝－1－14＝－54，故D 正确．故选B 、C 、D.9．若a ＝lg 2，b ＝lg 3，则2100b a -的值为________．【答案】43【解析】∵a ＝lg2，∴10a ＝2.∵b ＝lg3，∴10b ＝3，∴2100ba -＝（10a ）210b＝43.10．若log m 2＝a ，log m 3＝b ，则2a b m+的值为________．【答案】18【解析】因为log m 2＝a ，log m 3＝b ，所以m a ＝2，m b ＝3，即2a bm +＝m a ×(m b )2＝2×32＝18.11．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y的值．【解析】∵log 12x ＝mm＝x ，x 22m.∵log 14y ＝m ＋2m ＋2＝y ，y2m ＋4.∴x 2ym ＋42m －（2m ＋4）－4＝16.12．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝4＋lg V ．已知某同学视力的五分记录法的数据为3.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.6【答案】C【解析】因为L ＝4＋lg V ，即V ＝10L －4，所以当L ＝3.9时，V ＝10－0.1＝1100.1≈0.8.故选C.13．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为()A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】A【解析】∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1，∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9.故选A.14．利用对数恒等式a log a N ＝N(a ＞0，且a ≠1，N ＞0).计算：－1＋log 0.54＝________；(2)23＋log 23＋32－log 39＝________．【答案】(1)8(2)25【解析】(1)0.51log 412-+⎛⎫⎪⎝⎭＝112-⎛⎫ ⎪⎝⎭·12log 412⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2×4＝8.(2)23log 32+＋32log 93-＝23×2log 32＋32log 933＝8×3＋99＝25.15．已知log 23＝a ，则4a ＋4－a 的值为________．【答案】829【解析】因为log 23＝a ，所以4a ＋4－a ＝2log 34＋2log 34-＝()2log 322＋()2log 322-＝()22log 32＋()log 3222-＝32＋3－2＝829.16．求x 的值．(1)()()2221log 321x x x -+-＝1；(2))1log＝x .【解析】(1)由()()2221log321xx x -+-＝1x 2＋2x －1＝2x 2－1，x 2＋2x －1＞0，x 2－1＞0且2x 2－1≠1，解得x ＝－2.(2)x ＝)1log)1log))1log1-＝1.17．设实数a ，b ，c 为正数，且满足a 2＋b 2＝c 2，log ＝1，log 8(a ＋b －c )＝23，求实数a ，b ，c 的值．【解析】由log ＝1得1＋b ＋ca＝4，即b ＋c ＝3a ，由log 8(a ＋b －c )＝23得a ＋b －c ＝823＝4，又a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝6，b ＝8，c ＝10.18．已知log a b ＝log b a (a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1)，试探究a 与b 的关系，并给出证明．【解析】a ＝b 或a ＝1b .证明如下：设log a b ＝log b a ＝k ，则b ＝a k ，a ＝b k ，所以b ＝(b k )k ＝bk 2，因为b ＞0，且b ≠1，所以k 2＝1，即k ＝±1.当k ＝－1时，a ＝1b；当k ＝1时，a ＝b .所以a ＝b 或a ＝1b.。
第06讲 充分条件、必要条件、充要条件(解析版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)
第06讲充分条件、必要条件、充要条件知识点一充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p⇒/q条件关系p是q的充分条件；q是p的必要条件p不是q的充分条件；q不是p的必要条件知识点二充要条件1．定义：如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q 的充要条件是p.2．记法：如果p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”，或“p等价于q”．3．传递性：“⇒”和“⇔”都具有传递性，即(1)如果p⇒q，q⇒s，那么p⇒s；(2)如果p⇔q，q⇔s，那么p⇔s．考点一：充分条件、必要条件的判断例1下列命题中，p是q的什么条件？(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；(2)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0.【解析】(1)∵等腰梯形的对角线相等，∴四边形的对角线相等⇒/四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线相等．∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件．(2)当x＝1时，x2－4x＋3＝0，∴x＝1⇒x2－4x＋3＝0.当x2－4x＋3＝0时，x＝1或x＝3.∴p是q的充分条件，p不是q的必要条件．【总结】A AB 变式(多选)下列命题是真命题的是()A ．“x ＞2”是“x ＞3”的必要条件B ．“x ＝2”是“x 2＝4”的必要条件C ．“A ∪B ＝A ”是“A ∩B ＝B ”的必要条件D ．p ：a ＞b ，q ：ac ＞bc ，p 是q 的必要条件【答案】AC【解析】∵x ＞3⇒x ＞2，∴A 是真命题；∵x ＝2⇒x 2＝4，x 2＝4⇒/x ＝2，∴B 是假命题；∵A ∩B ＝B ⇒A ∪B ＝A ，∴C 是真命题；∵q ⇒/p ，∴p 不是q 的必要条件，D 是假命题．考点二：充分条件与必要条件的应用例2已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解析】p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0).因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，－m ≥－2，＋m ＜10－m ＞－2，＋m ≤10，解得m ≤3.又m ＞0，所以实数m 的取值范围为{m |0＜m ≤3}．变式已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【解析】p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0).因为p 是q 的充分不必要条件，－m ≤－2，＋m ＞10－m ＜－2，＋m ≥10.解得m≥9，故实数m的取值范围是{m|m≥9}．考点三：充要条件的判断例3(1)(多选)下列选项中，p是q的充要条件的为()A．p：x＞0，y＜0，q：xy＜0B．p：a＞b，q：a＋c＞b＋cC．p：x＞5，q：x＞10D．p：a＞b≥0，q：a＞b(2)设A，B，U是三个集合，且A⊆U，B⊆U，则“x∈(∁U A)∩(∁U B)”是“x∈∁U(A∪B)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】(1)BD(2)C【解析】(1)对于A选项，p⇒q，但q⇒/p，故p不是q的充要条件；对于B选项，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；对于C选项，p⇒/q，但q⇒p，故p不是q的充要条件；对于D选项，p ⇒q，且q⇒p，故p是q的充要条件．故选B、D.(2)∵(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)，∴“x∈(∁U A)∩(∁U B)”是“x∈∁U(A∪B)”的充要条件．故选C.【总结】变式以下选项中，p是q的充要条件的是()A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解【答案】D【解析】对于A，p：x＞1，q：x＜1，所以p是q的既不充分又不必要条件；对于B，p⇒q，但q⇒/p，所以p是q的充分不必要条件；对于C，p⇒/q，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，显然q⇔p，所以p是q的充要条件．故选D.考点四：充要条件的证明例4求证：方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等实根的充要条件是－13＜m ＜0.【解析】证明：(1)充分性：∵－13＜m ＜0，∴方程x 2－2x －3m ＝0的判别式Δ＝4＋12m ＞0，且－3m ＞0，∴方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根，Δ＝4＋12m ＞0，x 1x 2＝－3m ＞0，解得－13＜m ＜0.综合(1)(2)知，方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－13＜m ＜0.【总结】充要条件的证明思路在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p 的充要条件是q ”，那么“充分性”是q ⇒p ，“必要性”是p ⇒q ；若证明“p 是q 的充要条件”，则与之相反．[注意]证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．变式已知a ，b ，c 均为实数，证明“ac ＜0”是“关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根”的充要条件．【解析】证明：充分性：∵ac ＜0，∴a ≠0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0为一元二次方程，且Δ＝b 2－4ac ≥－4ac ＞0，∴ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，分别设为x 1，x 2.∵ac ＜0，∴x 1·x 2＝ca＜0，∴x 1，x 2为一正一负，即ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．必要性：∵ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，∴a ≠0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0为一元二次方程．设两个根分别为x 1，x 2，则x 1·x 2＝ca＜0，∴ac ＜0.综上知，“ac ＜0”是“关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根”的充要条件．考点五：充分条件、必要条件、充要条件的探求例5(1)关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解的一个必要条件是()A ．m ＜12B ．m ＜14C ．m ＜－12D ．m ＜－14(2)若a ，b 都是实数，试从①ab ＝0；②a ＋b ＝0；③ab ＞0中分别选出适合下列条件者，用序号填空．(ⅰ)a ，b 都为0的必要条件是________；(ⅱ)使a ，b 都不为0的充分条件是________．【答案】(1)A(2)(ⅰ)①②(ⅱ)③【解析】(1)由题意可得Δ＝b 2－4ac ＝1－4×1×m ≥0，解得m ≤14.四个选项中，只有m ＜12是m ≤14的必要条件．故选A.(2)①ab ＝0即为a ＝0或b ＝0，即a ，b 中至少有一个为0；②a ＋b ＝0，即a ，b 互为相反数，则a ，b 可能均为0，也可能为一正一负；③由ab ＞0知a 与b 同号，即a ，b 都不为0.综上可知，“a ，b 都为0”能推出①②，③能推出“a ，b 都不为0”，所以a ，b 都为0的必要条件是①②，使a ，b 都不为0的充分条件是③.【总结】变式求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．【解析】(1)当a ＝0时，方程为一元一次方程，其根为x ＝－12，符合要求．(2)当a ≠0时，方程为一元二次方程，此时ax 2＋2x ＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a ≥0，从而a ≤1.设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，由根与系数的关系，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a.①方程ax 2＋2x ＋1＝01，0⇒a ＜0；②方程ax 2＋2x ＋1＝01，－2a ＜0，0⇒0＜a ≤1.综上所述，方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1.1．设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“1＜x ＜3”的()A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】“1＜x ＜2”⇒“1＜x ＜3”，反之不成立．∴“1＜x ＜2”是“1＜x ＜3”的充分不必要条件．故选B.2．设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】D【解析】若a ＋b ＞0，取a ＝3，b ＝－2，则ab ＞0不成立；反之，若ab ＞0，取a ＝－2，b ＝－3，则a ＋b ＞0也不成立，因此“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分又不必要条件．3．(多选)设计如图所示的四个电路图，若p ：开关S 闭合，q ：灯泡L 亮，则p 是q 的充要条件的电路图是()【答案】BD【解析】由题知，电路图A 中，开关S 闭合，灯泡L 亮，而灯泡L 亮开关S 不一定闭合，故A 中p 是q 的充分不必要条件；电路图B 中，开关S 闭合，灯泡L 亮，且灯泡L 亮，则开关S 一定闭合，故B 中p 是q 的充要条件；电路图C 中，开关S 闭合，灯泡L 不一定亮，灯泡L 亮则开关S 一定闭合，故C 中p 是q 的必要不充分条件；电路图D 中，开关S 闭合则灯泡L 亮，灯泡L 亮则一定有开关S 闭合，故D 中p 是q 的充要条件．故选B 、D.4．设集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜1}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的______________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”).【答案】必要不充分【解析】由题可知0＜x ＜2⇒/0＜x ＜1，但0＜x ＜1⇒0＜x ＜2，故“m ∈A ”是“m ∈B ”的必要不充分条件．5．已知集合P ＝{x |－1≤x ≤4}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，若x ∈P 是x ∈S 的充分不必要条件，则m 的取值范围为________．【答案】m ≥3【解析】由题意可知，P S －m ≤－1，＋m ≥4(等号不同时成立)，解得m ≥3.6．“x >0”是“x ≠0”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．7．(多选题)使x>3成立的充分条件是()A．x>4B．x>5C．x>2D．x>1【答案】AB【解析】x>4⇒x>3，x>5⇒x>3，其他选项不可推出x>3．8．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4,x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．9．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．【答案】a≤1【解析】因为x>1⇒x>a，所以a≤1．10．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)．【答案】必要充分【解析】由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．1．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“至千里”是“积跬步”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分又不必要条件D．充要条件【答案】A【解析】荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“至千里”是“积跬步”的充分不必要条件．故选A.2．x2＝1是x＝1的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】若x2＝1，则x＝±1；而若x＝1，则必有x2＝1，因此x2＝1是x＝1必要不充分条件．故选B.3．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．故选B.4．设p：1＜x＜2，q：2x＋1＞0，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】1＜x＜2时，2x＋1＞3＞0，充分性满足；x＝0时满足2x＋1＞0，不满足1＜x＜2，必要性不满足，故p是q的充分不必要条件．故选A.5．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是()A．a≥b＋1B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b3【答案】A【解析】由a≥b＋1＞b，从而a≥b＋1⇒a＞b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4＞3.5/⇒4≥3.5＋1，故a ＞b/⇒a≥b＋1.故A正确．6．(多选)命题“∀x∈R，则x＜2”的一个必要不充分条件是()A．x＜1B．x＜3C．x＞3D．x≤5【答案】BD【解析】x＜2的必要不充分条件对应的集合真包含了(－∞，2)，故只有B、D中对应的集合满足这一个要求．故选B、D.7．(多选)对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是()A．a＝b是ac＝bc的充要条件B．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件C．a＞b是a2＞b2的充要条件D．a＜5是a＜3的必要条件【答案】BD【解析】∵“a＝b”⇒“ac＝bc”为真命题，但当c＝0时，“ac＝bc”⇒“a＝b”为假命题，故“a ＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A为假命题；∵“a＋5是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，“a是无理数”⇒“a＋5是无理数”也为真命题，故“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，故B 为真命题；∵“a ＞b ”⇒“a 2＞b 2”为假命题，“a 2＞b 2”⇒“a ＞b ”也为假命题，故“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的既不充分又不必要条件，故C 为假命题；∵{a |a ＜3}{a |a ＜5}，故“a ＜5”是“a ＜3”的必要不充分条件，故D 为真命题．故选B 、D.8．“x ＜0”是“x ＜3”的________________条件．【答案】充分不必要【解析】设A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |x ＜3}，因为AB ，所以“x ＜0”是“x ＜3”的充分不必要条件．9．命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”中，“a 是偶数”是“a ＝4n ”的__________条件；“a ＝4n ”是“a 是偶数”的________条件(用“充分”“必要”填空).【答案】必要充分【解析】当a 是偶数时，取a ＝2，不能得到a ＝4n ，当a ＝4n 时，a 是偶数，故“a 是偶数”是“a ＝4n ”的必要条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的充分条件．10．设集合A ＝{1，2}．(1)请写出一个集合B ，________，使“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，但“x ∈A ”不是“x ∈B ”的必要条件；(2)请写出一个集合B ，________，使“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，但“x ∈A ”不是“x ∈B ”的充分条件．【答案】B ＝{1，2，3}(答案不唯一)B ＝{1}(答案不唯一)【解析】(1)由于“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，但“x ∈A ”不是“x ∈B ”的必要条件，所以集合A 是集合B 的真子集，由此可得B ＝{1，2，3}符合题意．(2)由于“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，但“x ∈A ”不是“x ∈B ”的充分条件，所以集合B 是集合A 的非空真子集，由此可知B ＝{1}符合题意．11．指出下列各命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件．(1)p ：x 2＞0，q ：x ＞0；(2)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2；(3)p ：a 能被6整除，q ：a 能被3整除；(4)p ：两个角不都是直角，q ：两个角不相等．【解析】(1)p ：x 2＞0，则x ＞0或x <0，q ：x ＞0，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．(2)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2，则x ＋2≠y ，且x ＋2≠－y ，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．(3)p ：a 能被6整除，故也能被3和2整除，q ：a 能被3整除，故p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．(4)p ：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q ：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．12．(多选)给出下列四个条件：①xt 2＞yt 2；②xt ＞yt ；③x 2＞y 2；④0＜1x ＜1y.其中能成为x ＞y 的充分条件的有()A ．①B ．②C ．③D ．④【解析】AD①由xt 2＞yt 2可知t 2＞0，所以x ＞y ，故xt 2＞yt 2⇒x ＞y ；②当t ＞0时，x ＞y ，当t ＜0时，x ＜y ，故xt ＞yt ⇒/x ＞y ；③由x 2＞y 2，得|x |＞|y |，故x 2＞y 2⇒/x ＞y ；④由0＜1x ＜1y ⇒x ＞y .故选A 、D.13．一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是()A ．m ＞0，n ＞0B ．mn <0C ．m <0，n <0D ．mn ＞0【解析】D因为一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、二、四象限，所以－m n <0，且1n ＞0，解得m ＞0，n ＞0.故由一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限可以推出mn ＞0.而由mn ＞0不一定能得到一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象经过第一、二、四象限，所以mn ＞0是一次函数y ＝－m nx ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件．14．请选择“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”填入下面空格处．(1)xy ＝0是x 2＋y 2＝0的________条件；(2)已知a ，b ，c ∈R ，a ＝b ＝c 的________条件是a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac .【答案】必要不充分条件(2)充要【解析】(1)由x 2＋y 2＝0，解得x ＝0且y ＝0，由xy ＝0，解得x ＝0或y ＝0，故“xy ＝0”是“x 2＋y 2＝0”成立的必要不充分条件；(2)若a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac ，则2(a 2＋b 2＋c 2)＝2(ab ＋bc ＋ac )，∴2(a 2＋b 2＋c 2)－2(ab ＋bc ＋ac )＝0，(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2＝0，则a ＝b ＝c ，则a ＝b ＝c 的充要条件是a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac .15．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z}，k ＝0，1，2，3，4.给出下列四个结论：①2015∈[0]；②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”，其中正确的结论是________．【答案】①③④【解析】对于①，因2015＝5×403＋0，则2015∈[0]，正确；对于②，因－3＝5×(－1)＋2，则－3∈[2]，不正确；对于③，因任意整数除以5，余数可以且只可以是0，1，2，3，4五类，则Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，正确；对于④，若整数a，b属于同一“类”，则整数a，b被5除的余数相同，从而得a－b被5除的余数为0，即有a－b∈[0]，若a－b∈[0]，不妨令a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2(n1，n2∈Z，k1，k2∈{0，1，2，3，4})，则a－b＝5(n1－n2)＋(k1－k2)，显然(n1－n2)∈Z，|k1－k2|∈{0，1，2，3，4}，于是得|k1－k2|＝0，k1＝k2，即有整数a，b属于同一“类”，所以“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”，正确．所以正确的结论是①③④. 16．给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要．请从中选择一个补充到下面的横线上并解答．已知集合P＝{x|1≤x≤4}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}且S≠∅，是否存在实数m使得“x∈P”是“x∈S”的______条件？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】若选择①，即“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则P S且S≠∅，－m≤1，＋m≥4，解得m≥3，当m＝3时，S＝{x|－2≤x≤4}，P S成立，因此，实数m的取值范围是m≥3；若选择②，即“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件，则S P且S≠∅，则11,14,11,mmm m-≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥+⎩解得m＝0；若选择③，即“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则P＝S－m＝1，＋m＝4，无解，故不存在实数m，使得“x∈P”是“x∈S”的充要条件．17．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.【解析】证明：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x20＋2ax0＋b2＝0，x20＋2cx0－b2＝0.两式相减，得x0＝b2c－a，将此式代入x20＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.充分性：∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.①将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.故两方程有公共根x＝－(a＋c).∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.18．已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．【解析】“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下：当a，b，c∈R，a≠0时，若“a－b＋c＝0”，则x＝－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”，故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，综上所述，“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件。
新高一数学暑假衔接学习资料系列讲义12讲(含答案)
【第1讲】 乘法公式【基础知识回顾】知识点1 平方公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； 知识点2 立方公式（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （4）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．【合作探究】探究一 平方公式的应用 【例1】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++ （5）22)312(+-x x【解析】（1）原式=333644m m +=+（2）原式=3333811251)21()51(nm n m -=- （3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=（5）原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x归纳总结：在进行代数式乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．【练习1】计算：2(21)x y ++【解析】原式=22(21)[(2)1]x y x y ++=++2(2)2(2)1x y x y =++++ 2244421x xy y x y =+++++探究二 立方公式的应用【例2】计算：（1）3(1)x + （2）3(23)x -【解析】（1）332(1)331x x x x +=+++（2）332(23)8365427x x x x -=-+-归纳总结：常用配方法：()2222a b a b ab+=+-，()2222a b a b ab+=-+．【练习2】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) 38x +(2) 30.12527b -分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==． 【解析】(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++探究三 整体代换【例3】已知13x x +=，求：（1）221x x +；（2）331x x +． 【解析】13x x +=，所以（1）222211()2327x x x x +=+-=-=．（2）32223211111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x x x +=+-+=++-=-=．归纳总结：（1）本题若先从方程13x x +=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．（2）本题是根据条件式与求值式的联系，用“整体代换”的方法计算，简化了计算．【练习3-1】已知2310x x +-=，求：（1）221x x +；（2）331x x -． 【解析】2310x x +-=，0≠∴x ，213x x ∴-=-，13x x ∴-=-．（1）222211()2(3)211x x x x +=-+=-+=；（2）331x x -2211()(1)3(111)36x x x x =-++=-⨯+=-．【练习3-2】已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．【解析】2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．【课后作业】1．不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）A ．总是正数B ．总是负数C ．可以是零D ．可以是正数也可以是负数2．已知22169x y +=， 7x y -=，那么xy 的值为（ ） A ．120 B ．60 C ．30 D ．153．如果多项式29x mx -+是一个完全平方式，则m 的值是4．如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，则k 的值是5．()()22_________a b a b +--=()222__________a b a b +=+-6．已知17x y +=，60xy =，则22x y += 7．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式： （1）3(3)()27x x -=- （2）3(23)()827x x +=+ （3）26(2)()8x x +=+ （4）3(32)()278a a -=-（5）3(2)()x +=； （6）3(23)()x y -=（7）221111()()9432a b a b -=+ （8）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )8．若2210x x +-=，则221x x +=____________；331x x -=____________． 9．已知2310x x -+=，求3313x x ++的值．10．观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-…..根据上述规律可得：1(1)(...1)nn x x xx --++++=_________________【参考答案】1．乘法公式答案1．A 2．B 3．6± 4．16 5．4ab ； 2ab 6．1697．（1）239x x ++ （2）2469x x -+ （3）4224x x -+ （4）2964a a ++ （5）326128x x x +++ （6）32238365427x x y xy y -+- （7）1132a b - （8）424ab ac bc --7．【解析】(1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+(2) 22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4) 331164a b -8．【解析】2210x x +-=，0≠∴x ，212x x ∴-=-，12x x ∴-=-．（1）222211()2(2)26x x x x +=-+=-+=；（2）331x x -2211()(1)2(61)14x x x x =-++=-⨯+=-．9．【解析】2310x x -+= 0≠∴x31=+∴x x原式=22221111()(1)3()[()3]33(33)321x x x x x x x x +-++=++-+=-+=10．11n x +-【第2讲】 因式分解【基础知识回顾】知识点1 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用． 知识点2 因式分解方法因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．知识点3 常用的乘法公式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方和公式：222()2a b a ab b +=++； （3）完全平方差公式：222()2a b a ab b -=-+．（4）2()a b c ++=2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++.（5）33a b +=22()()a b a ab b +-+(立方和公式) （6）33a b -= 22()()a b a ab b -++(立方差公式)【合作探究】探究一 公式法【例1】分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab -【分析】(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -． 【解析】(1)3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a a b a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+归纳总结：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n nab a b =； (2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【练习1】把下列各式分解因式： (1) 34xy x +(2) 33n n x x y +-(3) 2232(2)y x x y -+【解析】（1）34xy x +=22()()x x y y xy x +-+（2）33n n x x y +-=22()(),n x x y x xy y -++（3）2232(2)y x x y -+=22432(1)(4321)y x x x x x --+++探究二 提取公因式法与分组分解法【例2-1】把22x y ax ay -++分解因式． 【分析】：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +.【解析】：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+【例2-2】分解因式：（1）()()255a b a b -+-； （2）32933x x x +++．【解析】（1）()()255a b a b -+-=(5)(1)a b a --；（2）32933x x x +++32(3)(39)x x x =+++． 2(3)3(3)x x x =+++=2(3)(3)x x ++【例2-3】分解因式： （1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．【解析】（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++ ＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+- =222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +---- =(22)(3)x y x y -++-．或 222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +---- =(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．【例2-4】把2222428x xy y z ++-分解因式．【分析】：先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．【解析】：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-【练习2】分解因式（1）27()5()2a b a b +-+-(2)22(67)25x x -- 【解析】（1）27()5()2a b a b +-+-=(772)(1)a b a b +++- (2) 22(67)25x x --=22[(67)5][(67)5]x x x x --⋅-+=2(21)(35)(675)x x x x +--+ 探究三 十字相乘法【例3-1】把下列各式因式分解：(1) 276x x -+(2) 21336x x ++ (3) 226x xy y +-【解析】(1)6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--． (2)3649,4913=⨯+=21336(4)(9)x x x x ∴++=++(3) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-归纳总结：这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例3-2】把下列各式因式分解：(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +-3241-⨯1 254y y -⨯【解析】(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-归纳总结：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．【练习3-1】把下列各式因式分解：(1) 2524x x +-(2) 2215x x -- (3) 222()8()12x x x x +-++【解析】(1)24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+ (2)15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-2215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+ (3) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-探究四 拆、添项法【例4】分解因式3234x x -+【分析】：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．【解析】 323234(1)(33)x x x x -+=+--22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-归纳总结：将23x -拆成224x x -，将多项式分成两组32()x x +和244x -+．【课后作业】1．把下列各式分解因式： (1)327a +(2) 38m -(3)3278x -+(4) 3311864p q --(5)3318125x y -(6) 3331121627x y c+2．把下列各式分解因式： (1) 34xy x +(2)33n n x x y +-(3)2323()a m n a b +-(4) 2232(2)y x x y -+3．把下列各式分解因式： (1) 232x x -+ (2) 23736x x ++(3)21126x x +-(4) 2627x x --(5) 2245m mn n --(6)2()11()28a b a b -+-+ 4．把下列各式分解因式： (1) 5431016ax ax ax -+ (2) 2126n n n aa b a b +++- (3) 22(2)9x x --(4) 42718x x --(5) 2673x x --(6) 2282615x xy y +-5．把下列各式分解因式： (1) 233ax ay xy y -+- (2) 328421x x x +-- (3)251526x x xy y -+-(4) 224202536a ab b -+- (5) 22414xy x y +-- (6) 432224a b a b a b ab +--(7)66321x y x --+ (8)2(1)()x x y xy x +-+【参考答案】1．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++ 222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c -+-+-+++-+2．2222()(),()(),nx x y y xy x x x y x xy y +-+-++22222432()[()()],(1)(4321)a m n b m n b m n b y x x x x x +-++++--+++3．(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)x x x x x x x x --+++--+(9)(3),(5)(),(4)(7)x x m n m n a b a b -+-+-+-+4．322(2)(8),(3)(2),(3)(1)(23),(3)(3)(2)n ax x x a a b a b x x x x x x x --+--+-+-++ 2(23)(31),(2)(415),(772)(1),(21)(35)(675)x x x y x y a b a b x x x x -+-++++-+--+5．2()(3),(21)(21),(3)(52),(256)(256)x y a y x x x x y a b a b -++--+---+23333(12)(12),()(),(1)(1),()(1)x y x y ab a b a b x y x y x x y x y -++-+----+-++．【第3讲】 根式与根式的运算【基础知识回顾】知识点1 二次根式的概念0)a ≥的代数式叫做二次根式. 知识点2 二次根式性质(1)2(0)a a =≥(2) ||a =(3)0,0)a b =≥≥(4)0,0)a b =>≥a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩ 【合作探究】探究一 根式的简化【例1-1】将下列式子化为最简二次根式：（1（20)x <．(3) +【解析】（1=（2220)x x x =-<．(3) 原式=2|1|211+-=--=归纳总结：||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【练习1-1】 化简下列各式：（10)a ≥；(2)1)x +≥ 【解析】（10)a ==≥；(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩【例1-2】（1(x=-x的取值范围是；（2=成立的条件是（）A.2x≠ B.0x> C.2x> D.02x<<【解析】（1|3|(x x=-=-|3|(3)x x-=-(3)0x∴-≥35x∴≤≤（2）由于20xx≥⎧⎨->⎩2x∴>。
九年级升新高一数学暑期衔接课程
九年级升新高一数学暑期衔接课程课程概述本课程旨在帮助九年级学生顺利过渡到高一数学研究，弥补九年级与高一数学之间的知识差距。
通过系统的衔接课程，学生将能够更好地适应高一数学的研究内容和研究方法，为高一数学研究打下坚实的基础。
课程内容1. 复九年级数学知识：本课程将回顾九年级数学的核心知识点，包括代数、几何、概率与统计等内容。
学生将通过练和讲解巩固已研究的知识。
2. 引入高一数学概念：本课程将介绍高一数学的重要概念和基础知识，如函数、集合、三角函数等。
学生将通过简单的例题和实际应用，了解高一数学的研究重点和应用场景。
3. 解决难点问题：本课程将重点解决九年级学生在数学研究中遇到的难点问题，并提供相应的解决方法和技巧。
通过针对性的辅导，帮助学生克服困惑，提高数学研究效果。
4. 创设数学思维环境：本课程将通过数学思维训练、数学游戏和小组合作研究等活动，培养学生的数学思维能力和合作精神。
学生将在积极互动的环境中锻炼解决问题的能力。
课程时间与地点- 时间：每周三、五，上午9:00-11:00- 地点：学校数学教室（具体教室将提前通知）报名方式请有意参加本课程的同学，在指定时间内前往学校办公室填写相关报名表格，并缴纳相应的费用。
名额有限，先报先得。
注意事项- 学生需自备笔记本、数学工具等研究用品。
- 学生需按时参加课程，如因特殊情况无法参加，请提前请假并向班主任说明。
- 本课程不包含考试，主要以提升学生数学知识和能力为目标。
通过参加九年级升新高一数学暑期衔接课程，学生将能够更加顺利地适应高中数学学习，为未来的学习打下坚实的基础。
欢迎有意参加的同学报名参加，一同提高数学学习水平！。
暑假数学初高中衔接教案6
暑假数学初高中衔接教案6目标：通过本课程的学习，学生能顺利过渡并适应高中数学的学习内容和学习方法。
时间安排：本课程共分为6节课，每节课2小时，总计12小时。
第一节课：初中数学回顾1. 复习初中数学的基础知识，包括代数、几何和初步函数等内容。
2. 练习一些初中数学的典型题目，巩固基础知识。
3. 引导学生思考初中数学和高中数学的联系与区别。
第二节课：初高中数学衔接1. 讲解高中数学的学习内容和学习重点。
2. 比较初中数学和高中数学的不同之处，引导学生从初中数学到高中数学的过渡。
3. 练习一些高中数学的基础题目，让学生熟悉高中数学的学习方法。
第三节课：代数篇1. 讲解代数中的基本概念和运算规律。
2. 教授代数中常见的运算技巧和方法。
3. 练习一些代数题目，包括方程、不等式、函数等。
第四节课：几何篇1. 讲解高中几何中的基本概念和性质。
2. 引导学生掌握几何证明的方法和技巧。
3. 练习一些几何题目，巩固基本知识。
第五节课：函数篇1. 讲解函数的定义、性质和图像。
2. 解析不同类型的函数，包括线性函数、二次函数、指数函数等。
3. 练习一些函数题目，培养学生分析问题和解题的能力。
第六节课：综合练习1. 综合复习前几节课的内容，做一些综合性的题目。
2. 针对学生的问题和困惑进行解答和指导。
3. 总结学习经验，展望未来的学习计划。
教学方式：课堂讲授结合练习和讨论，引导学生主动学习。
教学资料：教科书、练习册、作业题目、习题册等。
评估方式：每节课结束后进行小测验，最后一节课进行综合测试。
扩展活动：为有特长的学生提供更深入的数学学习机会，鼓励他们参加数学竞赛和奥赛等活动。
备注：本教案可根据实际情况进行适当调整和补充，以达到最佳教学效果。
暑假衔接课程教案模板范文
课程名称：高中学科衔接课程年级：高一学科：数学课时：2课时教学目标：1. 帮助学生回顾初中数学基础知识，巩固重要概念。
2. 引导学生了解高中数学的学习特点，适应高中数学的学习节奏。
3. 培养学生良好的学习习惯，提高学习效率。
教学重点：1. 初高中数学知识衔接点。
2. 高中数学学习方法。
教学难点：1. 学生对高中数学学习节奏的适应。
2. 学生对高中数学学习方法的掌握。
教学过程：第一课时一、导入新课1. 回顾初中数学知识，引导学生发现初高中数学的差异。
2. 引导学生思考如何更好地适应高中数学学习。
二、讲授新课1. 介绍高中数学的特点，如概念抽象、逻辑性强等。
2. 分析初高中数学知识衔接点，如函数、几何、代数等。
3. 讲解高中数学学习方法，如自主学习、合作学习、探究学习等。
三、课堂练习1. 让学生完成一些初中与高中知识衔接的练习题，巩固所学知识。
2. 通过练习，引导学生掌握高中数学的学习方法。
四、总结与反馈1. 总结本节课的重点内容，强调学习方法的重要性。
2. 学生反馈学习心得，教师针对学生反馈进行点评。
第二课时一、复习巩固1. 复习上节课学习的知识，巩固重要概念。
2. 针对学生上节课练习中出现的问题进行讲解。
二、新课导入1. 介绍高中数学中的重要概念，如函数性质、几何证明等。
2. 引导学生思考如何运用所学知识解决实际问题。
三、讲授新课1. 讲解函数性质，如单调性、奇偶性等。
2. 讲解几何证明的基本方法，如分析法、综合法等。
四、课堂练习1. 让学生完成一些关于函数性质和几何证明的练习题。
2. 通过练习，提高学生的解题能力。
五、总结与反馈1. 总结本节课的重点内容，强调函数性质和几何证明的重要性。
2. 学生反馈学习心得，教师针对学生反馈进行点评。
教学评价：1. 通过课堂练习和课后作业，评估学生对知识的掌握程度。
2. 通过学生的反馈，了解学生的学习需求和困惑，及时调整教学策略。
教学反思：1. 分析教学过程中存在的问题，如教学方法单一、学生参与度不足等。
暑假新高一数学衔接课程
暑假新高一数学衔接课程第一讲：代数式及恒等变形第二讲：方程与方程组第三讲：不等式与不等式组第四讲：函数及其表示第五讲：二次函数的图像与性质第六讲：二次函数在给定区间上的最值第七讲：二次方程根的分布问题第八讲：常见函数图像与性质第九讲：函数图像变换第十讲：方法篇第十一讲：思想篇第十二讲：集合附件：两套衔接教材测试卷第一讲 代数式及恒等变形1、乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。
（3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。
2、二次根式：0)a ≥的代数式叫做二次根式，化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
3、指数运算法则及推广①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *）n 个 2）)0(10≠=a a ；3）11(ppp ap a a -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭R ） ②性质：1）(0,rsr sa a a a r +⋅=>、∈s R ）；2）r a aa sr sr ,0()(>=⋅、∈s R ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr ,0,0()( R ）。
4、n 次根式：若存在实数x ，使得a x n =，则称n a x =为a 的n 次方根。
在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,零的奇次方根是零，负数没有偶次方根。
5、分数指数幂：nma =6、因式分解（1）提取公因式法； （2）运用公式法； （3）分组分解法；典型例题讲解1、乘法公式的应用例1：已知2=x ，计算22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++的值。
新高一数学衔接课教案
新高一数学衔接课教案高一新生要作好充分思想打算, 以自信、宽容的心态, 尽快融入集体, 适应新同学、适应新校内环境、适应与初中迥异的纪律制度。
下面是我为你打算的__, 快来借鉴一下并自己写一篇与我们共享吧！新高一数学连接课教案篇1一、教学目标1.驾驭商的算术平方根的性质, 能利用性质进展二次根式的化简与运算;2.会进展简洁的二次根式的除法运算;3.使学生驾驭分母有理化概念, 并能利用分母有理化解决二次根式的化简及近似计算问题;4.造就学生利用二次根式的除法公式进展化简与计算的实力;5.通过二次根式公式的引入过程, 渗透从特别到一般的归纳方法, 提高学生的归纳总结实力;6.通过分母有理化的教学, 渗透数学的简洁性.二、教学重点和难点1.重点：会利用商的算术平方根的性质进展二次根式的化简, 会进展简洁的二次根式的除法运算, 还要使学生驾驭二次根式的除法采纳分母有理化的方法进展.2.难点：二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.三、教学方法从特别到一般总结归纳的方法以及类比的方法, 在学习了二次根式乘法的根底上本小节内容可引导学生自学, 进展总结比照.新高一数学连接课教案篇2教学目标1.使学生驾驭的概念,图象和性质.(1)能依据定义判定形如什么样的函数是,了解对底数的限制条件的合理性,明确的定义域.(2)能在根本性质的指导下,用列表描点法画出的图象,能从数形两方面相识的性质.(3)能利用的性质比拟某些幂形数的大小,会利用的图象画出形如的图象.2.通过对的概念图象性质的学习,造就学生视察,分析归纳的实力,进一步体会数形结合的思想方法.3.通过对的探究,让学生相识到数学的应用价值,激发学生学习数学的爱好.使学生擅长从现实生活中数学的发觉问题,解决问题.教学建议教材分析(1)是在学生系统学习了函数概念,根本驾驭了函数的性质的根底上进展探究的,它是重要的根本初等函数之一,作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的根底,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以应重点探究.(2)本节的教学重点是在理解定义的根底上驾驭的图象和性质.难点是对底数在和时,函数值改变状况的区分.(3)是学生完全生疏的一类函数,对于这样的函数应怎样进展较为系统的理论探究是学生面临的重要问题,所以从的探究过程中得到相应的结论虽然重要,但更为重要的是要了解系统探究一类函数的方法,所以在教学中要特殊让学生去体会探究的方法,以便能将其迁移到其他函数的探究.教法建议(1)关于的定义遵照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必需是的样子,不能有一点差异,诸如,等都不是.(2)对底数的限制条件的理解与相识也是相识的重要内容.假如有可能尽量让学生自己去探究对底数,指数都有什么限制要求,老师再赐予补充或用详细例子加以说明,因为对这个条件的相识不仅关系到对的相识及性质的分类探讨,还关系到后面学习对数函数中底数的相识,所以必须要真正了解它的由来.关于图象的绘制,虽然是用列表描点法,但在详细教学中应幸免描点前的盲目列表计算,也应幸免盲目的连点成线,要把表列在关键之处,要把点连在恰当之处,所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简洁的探讨,取得对要画图象的存在范围,大致特征,改变趋势的也许相识后,以此为指导再列表计算,描点得图象.新高一数学连接课教案篇31、教材〔教学内容〕本课时主要探究随意角三角函数的定义。
高一升高二暑期数学衔接目录
第7次课：双曲线（图像及性质的运用、及综合问题）
第8次课：双曲线（定义、方程、图像、性质及其运用）
第9次课：抛物线（定义、方程、图像、性质及其运用）
第10数列
第13次课：复习不等式
第14次课：复习立体几何
高一升高二暑期衔接课时安排（先预习后复习）
第1次课：直线与方程（包括倾斜角、斜率、方程式、）
第2次课：两直线间的位置关系（平行、垂直、距离公式、对称问题）
第3次课：圆与方程（圆的方程式、点线圆位置关系、切线）
第4次课：圆与方程（与圆有关的最值、及综合问题）
第5次课：椭圆（椭圆的定义、方程、图像及性质）
第15次课：入学考试综合复习
新高一数学衔接课教案
新高一数学衔接课教案教案标题：新高一数学衔接课教案教案目标：1. 了解新高一数学课程的基本要求和衔接内容；2. 掌握高中数学与初中数学的差异和变化；3. 帮助学生顺利过渡到新高一数学学习。
教学重点：1. 高中数学与初中数学的差异；2. 数学概念的延伸与拓展；3. 高中数学的学习方法和技巧。
教学难点：1. 高中数学的抽象性和理论性；2. 高中数学的解题思维和逻辑性。
教学准备：1. 教材：新高一数学教材；2. 教具：黑板、白板、彩色粉笔、投影仪等；3. 备课资料：高中数学与初中数学的差异对比表、典型题目分析等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 向学生介绍新高一数学衔接课的目的和意义；2. 引导学生回顾初中数学的学习内容和方法。
二、概念延伸与拓展（15分钟）1. 通过对比初中数学和高中数学的差异，引导学生认识高中数学的抽象性和理论性；2. 以具体的例子和问题，引导学生思考高中数学概念的延伸与拓展。
三、解题思维与逻辑性训练（25分钟）1. 分析高中数学解题思维和逻辑性的特点；2. 通过典型题目的讲解和解析，引导学生掌握高中数学解题的方法和技巧。
四、课堂练习与讨论（20分钟）1. 给学生分发练习题，让学生在课堂上独立完成；2. 引导学生进行讨论和交流，解答疑惑。
五、总结与反思（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结；2. 鼓励学生提出问题和反思自己的学习情况。
教学延伸：1. 布置课后作业，巩固本节课所学内容；2. 鼓励学生主动参与数学学习，多做习题和实践。
教学评估：1. 课堂练习的成绩；2. 学生对课堂内容的理解和掌握程度；3. 学生的参与度和表现。
教学反思：1. 针对学生的学习情况，及时调整教学策略；2. 关注学生的问题和困惑，提供个性化的辅导和指导。
教案撰写者：AI教育助手。
初升高数学暑假衔接(人教版)第01讲 集合的概念(学生版)
第01讲集合的概念1．通过实例了解集合的定义，体会元素与集合间的属于关系；2．能通过自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合的意义和作用；一、集合的含义与表示1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a ，b ，c ，…表示．2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A ，B ，C ，…表示．二、元素的三个特性1、确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合。
例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等2、互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．三、元素与集合关系的判断及应用1、属于与不属于概念：（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ．（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A ．2、常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N*N 或+N ZQ R四、集合的两种表示方法1、列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．【注意】(1)元素与元素之间必须用“，”隔开；(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复；(4)集合中的元素可以是任何事物．2、描述法：一般地，设A 表示一个集合，把集合A 中所有具有共同特征P (x )的元素x 所组成的集合表示为{x ∈A |P (x )}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．考点一：判断元素是否构成集合例1．下列各组对象不能构成集合的是（）A ．上课迟到的学生B ．2022年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于x 的正整数【变式训练】下列各选项中能构成集合的是（）A ．学生中的跑步能手B ．中国科技创新人才C ．地球周围的行星D ．唐宋散文八大家考点二：判断元素与集合的关系例2．给出下列关系：①12ÎR ÏR ；③3-∈N ；④3Q -∈．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式训练】（多选）给出下列关系中正确的有（）A ．1R3∈B Q C ．3Z-∉D ．N考点三：集合中元素互异性的应用例3．设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，则实数m=（）A ．0B ．1-C ．0或1-D ．0或1【变式训练】若{}31,3,a a ∈-，则实数a 的取值集合为______．考点四：用列举法表示集合例4．方程组13x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是（）A ．{}2,1-B ．{}2,1x y ==-C ．(){},2,1x y -D ．(){}2,1-【变式训练】集合+6=Z,N C x x x ∈∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭用列举法表示为________．考点五：用描述法表示集合例5．（多选）集合{1,2}用描述法可以表示为（）A ．{Q 03}x x ∈<<∣B ．{}*13x x ∈-<<N ∣C ．{N12}x x ∈≤≤∣D ．{}2320xx x -+=∣【变式训练】所有正奇数组成的集合用描述当表示为_________．1．下列四组对象能构成集合的是（）A ．高一年级跑步很快的同学B ．晓天中学足球队的同学C ．晓天镇的大河D ．著名的数学家2．已知集合(){}|10M x x x =-=,那么（）A ．0M∈B ．1M∉C ．1M-∈D ．0M∉3．（多选）已知集合12=N,Z 8A x x x ⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭，则下列属于集合A 的元素有（）A ．4-B ．3C ．4D ．64．（多选）下列说法中，正确的是（）A 2B ．自然数集N 中最小的元素是0C ．在数集Z 中，若a ∈Z ，则a -∈ZD ．一个集合中可以有两个相同的元素5．（多选）以下命题中正确的是（）A ．所有正数组成的集合可表示为{}0x x >B ．大于2020小于2023的整数组成的集合为{}20202023x x <<C ．全部三角形组成的集合可以写成{全部三角形}D ．N 中的元素比N +中的元素只多一个元素0，它们都是无限集6．下列各种对象的全体可以构成集合的是______．（填写序号）①高一（1）班优秀的学生；②高一年级身高超过1.60m 的男生；③高一（2）班个子较高的女生；④数学课本中的难题．7．已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，(){},,,B x y x A y A xy A =∈∈∈，则集合B 中的元素个数为________．8．已知{}2312,4,a a a -∈+，则实数=a _______.9．表示下列集合：（1210y ++=的解集；（2）请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；（3）请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；（4）请用描述法表示二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合．10．已知集合{}2210,R A xax x a =++=∈∣.（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围.12220x x ++=的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③④2．下列元素与集合的关系中，正确的是（）A ．1-∈NB ．*0N ∉C QD ．2R5∉3．已知集合{}212,4,2A a a a =+-，3A -∈，则=a （）A ．-1B ．-3或-1C ．3D ．-34．下列说法：①集合{}3N |x x x ∈=用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x |x 为所有实数}或{}R ；③一次函数y ＝x ＋2和y ＝－2x ＋8的图像象交点组的集合为{x ＝2，y ＝4}，正确的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．05．（多选）下列说法中，正确的是（）A ．若a ∈Z ，则a -∈ZB ．R 中最小的元素是0CD ．一个集合中不可以有两个相同的元素6．由下列对象组成的集体属于集合的是_____(填序号).①不超过10的所有正整数;②高一(6)班中成绩优秀的同学;③中央一套播出的好看的电视剧;④平方后不等于自身的数.7．已知集合A 中含有两个元素3a -和21a -．（1）若2-是集合A 中的元素，试求实数a 的值；（2）5-能否为集合A 中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．8．用另一种方法表示下列集合:（1）{}31135--，，，，;（2）{}2221234 ，，，;（3）已知{}23M =，，(){}|P x y x M y M =∈∈，，，写出集合P ;（4）集合{}Z 22|A x x =∈-≤≤，{}21|B x x A =-∈，写出集合B .。
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新高一数学衔接课程说明课程目标初高中数学无论是在知识的广度和难度上，还是在学习方法上，都存在较大的差异，对于刚升入新高一的学生来说，在学习中存在很多不适应的地方：比如学习习惯、学习方法等.因此我们编写了这套《初高中数学衔接课程》，旨在解决以上问题.1．补充初高中脱节的数学知识、需要加深的初中数学知识等，为高中学习铺路搭桥.2．学习集合与函数等知识，使新高一的学生了解高中数学的基本特点、要求、学法及教学方法；-3．培养学生学习高中数学的自信心.适用对象新高一学生课时安排授课时间：7-8 月，共计 10-15 次课，20 小时（一对一）或 30 小时（班组课）.课程特色以初中所学知识为起点，逐步过渡到高一知识，注重在初高中知识之间搭台阶，平稳起步；对于高中新知识，注重对概念、定理、公式的理解，避免死记硬背；在知识衔接的同时，注重学习方法、学习习惯[的衔接.课程结构第1讲数与式第2讲一元二次方程与韦达定理第3讲一元二次函数与二次不等式第4讲集合的基本概念第5讲集合的基本运算第6讲 集合的综合复习 第7讲 函数的概念与定义域）第8讲 求函数的值域 第9讲 函数的解析式第10讲 函数的表示方法及值域综合复习 第11讲 函数的单调性（1） 第12讲 函数的单调性（2） 第13讲 函数的奇偶性 第14讲 指数运算 第15讲 对数运算:第1讲 数与式知识点一：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；：（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．【典型例题】：（1）计算： 22)312(+-x x =___________________________________（2）计算：()222(42)a b a ab b +-+=______________________________ （3）计算()2232(964)x y x xy y +-+ =____________________________ (4)()223(469)x x xy -++=___________________________________，变式1：利用公式计算（1）)916141(31212++⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m =_______________________(2) ()()2222()()a b a ab b a b a ab b +-+-++=________________________ 变式2:利用立方和、立方差公式进行因式分解（1） 3327m n - （2）331278m n -（3）3125x - （4） 66m n -【典型例题】（1）)41101251)(2151(22n mn m n m +--（2）已知2310x x -+=，求331x x +的值． ]（3）已知0=++c b a ，求111111()()()a b c bccaab+++++的值． 变式1:计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++变式2:已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．知识点二、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2(0)a a =≥a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩：0,0)a b =≥≥ 0,0)a b =>≥ 【典型例题】：基本的化简、求值化简下列各式：+1)x +≥=_____________（3）（4）21)(1++--=_______________________+"（6）设x y =，求33x y +=_______________________变式1:a =-成立的条件是( )A．0a >B．0a <C．0a ≤ D．a 是任意实数变式2:若3x <|6|x -的值是( )A．－３ B．３ C．－９ D．９变式3：(（1）21)(1++--+（知识点三、分式 【典型例题—1】： 1、分式的化简（1）化简233396162279x x x x xx x x ++-+-+--（2）化简11xx x x x-+-2、（1）试证：111(1)1n n n n=-++（其中n是正整数）；（2）计算：111 1223910+++⨯⨯⨯；}（3）证明：对任意大于1的正整数n，有1111 2334(1)2n n+++<⨯⨯+．3、分式的运用设cea=，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值变式1：对任意的正整数n，1(2)n n=+______________变式2:选择题：若223x yx y-=+，则xy=（）)（A）１ （B）54（C）45（D）65变式3:计算1111... 12233499100 ++++⨯⨯⨯⨯#知识点四、因式分解【内容概述】;因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。
在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。
是一种重要的基本技能。
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等。
1、【典型例题】：公式法(立方和、立方差公式)我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233+-+=+(立方和公式)a b a ab b a b()()2233-++=-(立方差公式)a b a ab b a b()()由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：'3322a b a b a ab b-=-++()() +=+-+3322()()a b a b a ab b这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)。
运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。
例：(1) 38x + (2) 30.12527b -变式： 分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab -2、【典型例题】：分组分解法(从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb+++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型： （1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式例：分解因式（1）2105ax ay by bx -+- =_______________________（2） 2222()()ab c d a b cd ---=_______________________（3）22x y ax ay -++ =_______________________$（4）2222428x xy y z ++-=_______________________3、【典型例题】：十字相乘法2()x p q x pq +++型的因式分解把下列各式因式分解：（1）276x x -+=_______________________（2） 21336x x ++=_______________________—（3）2524x x +-=_______________________（4） 2215x x --=_______________________（5）226x xy y +-=_______________________(6) 222()8()12x x x x +-++=_______________________一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 (1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +-\变式练习:（1）x 2-6x+5=_______________________（2）x 2+15x+56=_______________________（3）x 2+2xy-3y 2=_______________________~（4）(x 2+x)2-4(x 2+x)-12 =_______________________4、 拆项法(选讲）分解因式3234x x -+ =_______________________~、课后练习： 1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3)2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． （4）若()()22322481x y x xy y y -+++=，则,x y 的值为________》（5）若210x x ++=，则4221x x x ---= ______________（6）12a =，13b =，则2223352a ab a ab b -=+-________________ （7）若2220x xy y +-=，则22223x xy y x y ++=+_______________= ）（A）a b < （B）a b > （C）0a b << （D）0b a <<（9 ）计算 ）（C） （D）（10）若112x y -=，则33x xy yx xy y+---的值为( ) @A．35B．35-C．53-D．53102m +-0)x y ÷>>3．把下列各式分解因式：(1) 233ax ay xy y -+- (2) 328421x x x +--(3) 251526x x xy y -+-（4）22414xy x y +-- (5) 432234ab b a b a b a --+ (6) 66321x y x --+@第2讲 一元二次方程与韦达定理知识点一、一元二次方程根的判别式 【典型例题】 例1.求下列方程的根（1）0322=-+x x (2) 0122=++x x (3) 0322=++x x@例2.判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0 （4）x 2－2x ＋a ＝0．变式练习:已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：/(1) 方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根。