暑假新高一数学衔接课程
高一数学暑期预科-初高衔接课讲义
新高一数学必备知识一、乘法公式1、完全平方公式和平方差公式()2222b ab a b a +±=± ()()22b a b a b a -=-+2、和立方与差立方公式()3223333b ab b a a b a +++=+ ()3223333b ab b a a b a -+-=-3、立方和与立方差公式()()3322b a b ab a b a +=+-+ ()()3322b a b ab a b a -=++-二、一元二次方程1、韦达定理一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：若ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）两根分别是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．也被称为韦达定理．以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x 轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的两根，则a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=，||4|242||2424|||222221a acb a ac b a ac b b a ac b b x x -=-=-----+-=-∴||a ∆=．【例题精讲】例1. 已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例2. 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根． (1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值．例3. 已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．【巩固练习】1. 1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ．2. 关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．3. 已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．2、利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等【例题精讲】例1. 设a ,b 是相异的两实数，满足ab b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值例2. 0519998081999522=++=+-b b a a 及已知，求ba的值．【巩固练习】1. 如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，求baa b +的值2. 设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值．3. △ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．3、根的分布定理 （1）0分布一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.0∆>⎧0∆>⎧【例题精讲】例1. 已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．例2. 若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围． （1）方程两实根均为正数；（2）方程有一正根一负根．【巩固练习】已知一元二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．（2）k分布【知识梳理】kk k【例题精讲】例1. 若关于x 的方程02=++a x x 的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．例2. 若关于x 的方程02=++a x x 的两根均小于1，求实数a 的取值范围．例3.已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．【巩固练习】1. 关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ）12121||11>-<<<-><<-a a D a Ca B a A 或2. 实数k 为何值时，方程022=-+-k kx x 的两根都大于21 ．3. （1）已知：,αβ是方程()221420x m x m +-+-=的两个根，且2αβ<<，求m 的取值范围；（2）若220x ax ++=的两根都小于1-，求a 的取值范围．（3）m、n分布()0⎧>f m()0⎧<f m【例题精讲】例1. 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0，（1）若方程有两根，其中一根满足011<<-x ，另一根满足212<<x ，求m 的范围； （2）若方程两根满足1021<≤<x x ，求m 的范围．例 2. 关于x 的二次方程()2271320x p x p p -++--=的两根βα,满足012αβ<<<<，求实数p 的取值范围．例3. 二次函数6)1(2522-++-=m x m x y 的图像与x 轴的两个交点满足1121≤<≤-x x ，且分居y 轴的两侧，求实数m 的取值范围．例4. 若二次函数y =的图象与两端点为A （0，3），B （3，0）的线段AB 有两个不同的交点，求m 的取值范围．21x mx -+-【巩固练习】1. 关于x 的方程0532=+-a x x 的两根分别满足021<<-x ，312<<x ，求a 的取值范围．2. 二次方程2210x kx k ++-=的两个根1x 与2x ，当121x -<<-且212x <<时，实数k 的取值范围是 ．总结：一元二方程根的分布只需考虑三个方面：（1）a 和△的符号（2）对称轴相对于区间的位置（3）所给区间端点函数值符号【例题精讲】例1.当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程x 2-ax+a -7=0的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程ax 2+3x+4=0的根都小于1；（3）方程x 2-2(a+4)x+2a 2+5a +3=0的两个根都在31-≤≤x 内；（4）方程7x 2-（a+13）x+2a -1=0的一个根在10<<x 内，另一个根在21<<x 内．例2.已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围．【巩固练习】已知方程03)3(24=+--m x m mx 有一个根小于1-，其余三个根都大于1-，求m 的取值范围．三、不等式1、一元二次不等式例1. 解下列不等式（1）()()x x x 2531-<--； （2）()()21311+>+x x x ；（3）()()()233122+>-+x x x ； （4）2223133x x x ->+-； （5）()13112->+-x x x x（6）x 2＋2x －3≤0； （7）x －x 2＋6＜0； （8）4x 2＋4x ＋1≥0； （9）x 2－6x ＋9≤0； （10）－4＋x －x 2＜0．例2.设R m ∈，解关于x 的不等式0322<-+m mx mx ．2、分式不等式及高次不等式（1）简单分式不等式的解法：已知f (x )与g (x )是关于x 的多项式，不等式()0()f x g x >，()0()f x g x <，()0()f x g x ≥，()0()f xg x ≤称为分式不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究分式不等式．将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）即可求解．具体如下：()0()f x g x >①，即()0()0f x g x >⎧⎨>⎩或()0()0f xg x <⎧⎨<⎩，即()()0f x g x ⋅>；()0()f x g x <②，即()0()0f x g x >⎧⎨<⎩或()0()0f x g x <⎧⎨>⎩，即()()0f x g x ⋅<； ()0()f x g x ≥③，即()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅>或()0f x =； ()0()f x g x ≤④，即()()0()0f x g x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅<或()0f x =．（2）简单高次不等式的解法：不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究高次不等式．解高次不等式的方法有两种：方法1：将高次不等式f (x )＞0(＜0)中的多项式f (x )分解成若干个不可约因式的乘积，根据符号法则等价转化为两个或多个不等式（组）即可求解．但应注意：原不等式的解集是各不等式（组）解集的并集，且次数较大时，此种方法比较烦琐．方法2：穿针引线法：①将不等式化为标准形式，右端为0，左端为一次因式（因式中x 的系数为正）或二次不可约因式的乘积；②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过（奇过偶不过）；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号即可写出解集．例题解析（1）求不等式032≥-+x x 的解集 （2）求不等式3223x x -≥+的解集（3）求不等式221x x 的解集（4）求不等式()()0236522≤++--x x x x 的解集3、恒成立与有解问题一元二次不等式的恒成立问题，即可以看成一个函数()x f y =的图象与x 轴的位置关系问题，若是不等式()0>x f 恒成立，即函数图象恒在x 轴上方，且与x 轴无交点，同理可以得到其他类似情形。
暑假衔接班新高一数学教案25次课(5次复习-20次预习共87页)
暑假衔接班新高一数学教案25次课(5次复习-20次预习共87页)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1840年，争取成为选举人了，失败了；1843年，参加国会大选落选了；1846年，再次参加国会大选 这次当选了！前往华盛顿特区，表现可圈可点；1848年，寻求国会议员连任失败了！1849年，想在自己的州内担任土地局长的工作，被拒绝了！1854年，竞选美国参议员，落选了；1856年，在共和党的全国代表大会上争取副总统的提名，得票不到一百张；1858年，再度竞选美国参议员一一再度落败；1860年，当选美国总统。
评语：此路艰辛而泥泞。
我一只脚滑了一下，另一只脚也因而站不稳；但我缓口气，告诉自己，“这不过是滑一跤，并不是死去而爬不起来。
” ——林肯在竞选参议员落败后如是说。
二、【基础知识梳理】 1.一次函数的定义一次函数：若两个变量x 、y 间的关系式可以表示成b kx y +=（k 、b 为常数，0≠k ）的形式，称y 是x 的一次函数.正比例函数：形如kx y =（0≠k ）的函数，称y 是x 的正比例函数，此时也可说y 与x 成正比例，正比例函数是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数.2.求一次函数的解析式关键：确定一次函数b kx y +=中的字母k 与b 的值. 步骤：1、设一次函数表达式2、将x ，y 的对应值或点的坐标代入表达式3、解关于系数的方程或方程组4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中 3.一次函数的图象与性质y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）当k ＞0时，y 的值随x 的值增大而增大； 当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小．直线y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k 的关系． ①0,0>>b k 直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②0,0<>b k 直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③0,0><b k 直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④0,0><b k 直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）； 4.平移直线11b x k y +=与直线22b x k y +=的位置关系：两直线平行⇔21k k =. 平移规律：左加右减，上加又减.5.一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组 ①一次函数与一元一次方程：一般地将0=x 或0=y 代入y= kx+ b 中解一元一次方程可求求直线与坐标轴的交点坐标。
第05讲 命题、定理、定义(原卷版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)
第05讲 命题、定理、定义知识点一 命题1．命题的定义：可判断真假的陈述句叫作命题．2．命题的条件和结论：数学中，许多命题可表示为“如果p ，那么q ”或“若p ，则q ”的形式，其中__p __叫作命题的条件，__q __叫作命题的结论．3．命题的分类：判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题．知识点二 定理定义1．定理：在数学中，有些已经被证明为真 的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 2．定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．考点一：命题的概念例1 判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)π3 是有理数； (2)3x 2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)一个数的算术平方根一定是负数． 【总结】判断语句是否是命题的策略(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题；(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．变式 下列语句中是命题的有________；是真命题的有________(填序号).①这里真热闹啊！②求证2 是无理数；③一个数不是正数就是负数；④并非所有的人都喜欢苹果；⑤若x ＝2，则x 2－1＞0.考点二：判断命题的真假例2 判断下列命题的真假，并说明理由． (1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当x ＝4时，2x ＋1＜0；(3)若x ＝3或x ＝7，则(x －3)(x －7)＝0.命题真假的判定方法(1)真命题的判定方法：要判定一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证；(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判定一个命题为假命题的常用方法．变式下列命题是真命题的是()A．若xy＝1，则x，y互为倒数B．平面内，四条边相等的四边形是正方形C．平行四边形是梯形D．若ac3＞bc3，则a＞b考点三：命题的结构形式例3 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)6是12和18的公约数；(2)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.【总结】将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则[注意]若命题不是以“若p，则q”这种形式给出时，首先要确定这个命题的条件p和结论q，进而改写成“若p，则q”的形式．变式把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；(3)两个相似三角形是全等三角形．考点四：由命题的真假求参数的范围例4 已知集合A＝[－3，6)，B＝(－∞，a)，若A∩B＝∅是假命题，则实数a的取值范围是________．【总结】由命题的真假求参数的取值范围的基本步骤第一步，明确命题的条件和结论；第二步，根据所学知识写出命题为真时参数所满足的条件； 第三步，化简相应的条件，求出参数的取值范围．[注意] 若求命题为假时参数的取值范围，可求命题为真时参数取值范围对应的补集．变式 若A ＝{1，2}，B ＝{x |ax －2＝0}，则B ⊆A 成立是真命题，求实数a 的值．考点五：新定义题例4 对于a ，b ∈N ，规定a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ，a 与b 的奇偶性相同，a ×b ，a 与b 的奇偶性不同， 集合M ＝{(a ，b )|a *b ＝12，a ，b ∈N *}，则M 中元素的个数为( )A ．6B ．8C ．15D ．16【总结】数学中的新定义题时常会出现，它是数学理论的基础，是进行判断、推理、论证的重要依据．在解题中充分利用新定义，挖掘内涵，才能抓住问题的实质，从而找到解决问题的途径．变式 若X 是一个集合， 是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于 ，∅属于 ；② 中任意多个元素的并集属于 ；③ 中任意多个元素的交集属于 ，则称 是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合 ：① ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}； ② ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}； ③ ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；④ ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}．其中是集合X 上的一个拓扑的集合 的所有序号是________.1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a ＞4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D ．“x ＝2时，x 2－3x ＋2＝0”是真命题2．下列四个命题中，其中真命题的个数为( )①与0非常接近的全体实数能构成集合； ②{－1，(－1)2}表示一个集合； ③空集是任何一个集合的真子集； ④任何一个非空集合至少有两个子集． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个3．命题p ：存在实数x ，使得x ，3，4能成为三角形的三边长．若命题p 为假命题，则x 的取值范围是________．4．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，给出以下四个命题：①[－x ]＝－[x ]；②⎣⎡⎦⎤x ＋12 ＝[x ]；③[2x ]＝2[x ]；④[x ]＋⎣⎡⎦⎤x ＋12 ＝[2x ]. 则假命题是________(填上所有假命题的序号).5．将下列命题改写为“若p ，则q ”的形式，并判断真假．(1)当a ＞b 时，有ac 2＞bc 2； (2)实数的平方是非负实数；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除．6．下列语句为真命题的是( )A ．a >bB ．四条边都相等的四边形为矩形C ．1＋2＝3D ．今天是星期天7．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )A ．这个四边形的对角线互相平分B ．这个四边形的对角线互相垂直C ．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D ．这个四边形是平行四边形8．下列命题是真命题的为( )A ．若a >b ，则1a <1bB．若b2＝ac，则b2>a或b2>cC．若|x|<y，则x2<y2D．若a＝b，则a＝b9．命题“对顶角相等”中的条件为________，结论为________．10．菱形的对角线互相垂直的真假性为________(用“真”“假”填空)．1．以下语句：①{0}∈N；②x2＋y2＝0；③x2＞x；④{x|x2＋1＝0}，其中命题的个数是() A．0 B．1C．2 D．32．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．43．下列命题中真命题有()①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②函数y＝2x－1的图象与x轴有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列命题为真命题的是()A．有两边及一角对应相等的两个三角形全等B．方程x2－x＋2＝0有两个不相等的实数根C．面积之比为1∶4的两个相似三角形的周长之比是1∶4D．在平面内，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形5．关于区间I＝(a，＋∞)，有下列四个命题：甲：小于1的数都不在区间I内；乙：区间I内不存在两个数互为倒数；丙：区间I内存在小于1的数；丁：区间I内每个数的平方都大于它本身．如果只有一个假命题，则该命题是()A.甲B．乙C．丙D．丁6．(多选)给出命题“方程x2＋ax＋1＝0有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是() A．4 B．2C．0 D．－37．(多选)(2021·山师大附中高一月考)给定下列命题，其中真命题为()A．若xy＝0，则|x|＋|y|＝0B．若a＞b，则a＋c＞b＋cC．矩形的对角线互相垂直D．∀x∈R，不等式x2＋2x＞4x－3恒成立8．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).9．若x∈[2，5]和x∈{x|x＜1或x＞4}都是假命题，则x的取值范围是________．10．若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是________________．11．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)当m ＞14时，mx 2－x ＋1＝0无实根；(2)一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除．12．关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0，有下列四个命题：甲：x ＝1是该方程的根；乙：x ＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁13．(多选)下列四个命题中，假命题的是( )A ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D ．从直线外一点作直线的垂线段叫做点到直线的距离14．能够说明“若a ，b ，c 是实数，a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．15．定义：若对非空数集P 中任意两个元素a ，b ，实施“加减乘除”运算(如a ＋b ，a －b ，a ×b ，a ÷b (b ≠0))，其结果仍然是P 中的元素，则称数集P 是一个“数域”．下列四个命题：①有理数集Q 是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 是数域；③数域必是无限集；④存在无穷多个数域．上述命题错误的序号是________.16．A ，B ，C ，D ，E 五名学生参加某次数学单元检测，在未公布成绩前他们对自己的数学成绩进行了猜测．A 说：“如果我得优，那么B 也得优”； B 说：“如果我得优，那么C 也得优”； C 说：“如果我得优，那么D 也得优”； D 说：“如果我得优，那么E 也得优”．成绩揭晓后，发现他们都没说错，但只有三个人得优．请问：得优的是哪三位同学？17．判断下列各命题的真假，并简要说明理由．(1)方程ax ＋1＝x ＋2有唯一的解；(2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根同号，则ca＞0；(3)如果A⊆B，那么A B或A＝B；(4)合数一定是偶数．18．已知m∈Z，关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0有整数解是真命题，x2－4mx＋4m2－4m－5＝0有整数解也是真命题，求m的值．。
第7讲 二次函数与一元二次方程、不等式(教师版)-2023年新高一(初升高)暑期数学衔接(新人教版)
第07讲二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】1.会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根个数，了解函数的零点与方程根的关系．2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系【基础知识】一、一元二次不等式一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.二、二次函数的零点1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．四、解一元二次不等式的一般步骤1.通过对不等式变形，使二次项系数大于零；2.计算对应方程的判别式；3.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；4.根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【解读】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．五、解含参数的一元二次不等式1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．六、简单分数不等式的解法1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．七、不等式恒成立问题1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R>0，＝b2－4ac<0；2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R>0，＝b2－4ac≤0；3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0<0，≤0.【考点剖析】考点一：一元二次不等式的解法例1．(2022学年新疆喀什市普通高中高一上学期期末)解下列不等式：(1)2430x x++>；(2)294604<-+-x x.【解析】(1)因为1641340∆⨯⨯>＝－＝，所以方程2430x x ＋＋＝有两个不等实根x 1＝－1，x 2＝－3.所以原不等式的解集为{|3x x <-或1}x >-.(2)因为()036449()4∆⨯-⨯-=＝－，所以方程246x x --＋9=04有两个相等实根x 1＝x 2＝34所以原不等式的解集为{34x x ⎫≠⎬⎭.考点二：三个二次关系的应用例2．(2020-2021学年安徽省滁州市定远中学高一上学期考试)已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式20cx bx a -+<的解集是()A ．12xx ⎧<-⎨⎩∣或14x ⎫>⎬⎭B ．1142xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣C ．14xx ⎧<-⎨⎩∣或12x ⎫>⎬⎭D ．1124xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣【答案】B【解析】由题意得24,24,0b ca a a-+=--⨯=<，即2,8b a c a =-=-，所以2820ax ax a -++<即28210x x --<，解得1142x -<<．故选B 考点三：含参数的一元二次不等式的解法例3．解关于x 的不等式2220ax x a +-+>【解析】关于x 的不等式2220ax x a +-+>可化为()()120x ax a +-+>．(1)当0a =时，()210x +>，解得{}|1x x >-．(2)当0a >，所以()210a x x a -⎛⎫+-> ⎪⎝⎭．所以方程()210a x x a -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的两根为-1和2a a -，当21a a --<，即1a >时，不等式的解集为{|1x x <-或2a x a ->}，当21a a--=，即1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠-．当21a a -->，即01a <<时，不等式的解集为2|a x x a -⎧<⎨⎩或1x >-}，．(3)当0a <时，()210a x x a -⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．因为方程()210a x x a -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的两根为—1和2a a -，又因为2211a a a -=->，所以21a a--<，．即不等式()210a x x a -⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集是2|1a x x a -⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，综上所述：当0a <时，不等式的解集为2|1a x x a -⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭当0a =时，不等式的解集为{}1x x -，当01a <<时，不等式的解集为2|a x x a -⎧<⎨⎩或1}x >-当1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠-，当1a >时，不等式的解集为{|1x x <-或2a x a->}，考点四：简单分数不等式的解法例4．(多选)(2022学年湖南省怀化市高一上学期期末)集合201x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭也可以写成()A ．()(){}210x x x -+<B ．102x xx ⎧⎫+<⎨⎬-⎩⎭C ．{1x x <-或}2x >D ．()1,2-【答案】ABD【解析】对于集合A ，解不等式201x x -<+，即()()21010x x x ⎧-+<⎨+≠⎩，解得12x -<<，所以{}12A x x =-<<.对于A 选项，()(){}{}21012x x x x x -+<=-<<，故A 正确；对于B 选项，解不等式102x x +<-，即()()12020x x x ⎧+-<⎨-≠⎩，得12x -<<，即{}10122x xx x x ⎧⎫+<=-<<⎨⎬-⎩⎭，故B 正确；对于C 选项，与集合{}12A x x =-<<比较显然错误，故C 错误；对于D 选项，()1,2-等价于{}12x x -<<，故D 正确.故选ABD考点五：一元二次不等式恒成立问题例5．(2020-2021学年广东省江门市新会陈经纶中学高一上学期期中)已知关于x 的不等式2680kx kx k -++>对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是()A ．01k ≤≤B ．01k ≤<C ．0k <或1k >D ．0k ≤或1k >【答案】B【解析】当0k =时，80>恒成立，符合题意；当0k ≠时，由题意有()()2Δ6480k k k k >⎧⎪⎨=--+<⎪⎩，解得01k <<，综上，01k ≤<.故选B.【真题演练】1．(2022学年浙江省强基联盟高一下学期5月联考)不等式()()220x x +->的解集是()A ．{2}xx >∣B ．{2}xx <-∣C ．{2∣<-xx 或2}x >D ．{22}xx -<<∣【答案】D【解析】原式化为()()220x x -+<，即22x -<<，故不等式的解集为{22}xx -<<∣.故选D 2.(2022学年浙江省“新高考名校联盟”高一下学期5月检测)一元二次不等式22(21)90kx k x +++>对一切实数x 恒成立，则k 的取值范围是()A ．(0,1)B ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)+∞【答案】B【解析】由题，一元二次不等式22(21)90kx k x +++>对一切实数x 恒成立则()2221490k k k >⎧⎪⎨⎡⎤+-⨯<⎪⎣⎦⎩，即204510k k k >⎧⎨-+<⎩，解得1,14k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选B 3.(2022学年重庆市石柱中学校高一上学期第一次月考)已知函数()()2245413y k k x k x =+-+-+的图象都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围()A ．{}119k k ≤<B ．{}218k k ≤<C ．{}020k k <<D ．{}119k k -<<【答案】A【解析】()()2245413y k k x k x =+-+-+的图象都在x 轴上方，①2450k k +-=时，k ＝－5或k ＝1，k ＝－5时，函数为一次函数，不满足条件；k ＝1时，y ＝3满足条件；故k ＝1；②k ≠－5且k ≠1时，函数为二次函数，则2450Δ0k k ⎧+->⎨<⎩，解得119k <<；综上，119k <.故选A.4.(多选)(2022学年江苏省盐城市大丰区新丰中学高一上学期期中)下列不等式的解集为R 的有()A ．x 2＋x ＋1≥0B ．x 2－C ．x 2＋6x ＋10>0D ．2x 2－3x ＋4<1【答案】AC【解析】A 中21410∆=-⨯<.满足条件；B 中(240∆=-->，解集不为R ；C 中264100∆=-⨯<，满足条件；D 中不等式可化为2x 2－3x ＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选AC5.(多选)(2022学年江苏省南京市第一中学高一上学期10月月考)对于给定实数a ，关于x 的一元二次不等式()()110ax x -+<的解集可能是()A ．1|1x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}|1x x ≠-C ．1|1x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭D ．R【答案】AB【解析】由()()110ax x -+<，分类讨论a 如下：当0a >时，11x a-<<；当0a =时，1x >-；当10a -<<时，1x a<或1x >-；当1a =-时，1x ≠-；当1a <-时，1x <-或1x a>.故选AB.6.(2022学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一上学期月考)已知二次函数2y x bx c =++图象如图所示.则不等式230bx cx -+≤的解集为_________.【答案】(][),13,-∞-⋃+∞【解析】根据二次函数2y x bx c =++的图象可知，1,2-为方程20x bx c ++=的两根，故12,12b c -+=--⨯=，即1,2b c =-=-，则230bx cx -+≤即2230x x -++≤，也即2230x x --≥，()()310x x -+≥，解得3x ≥或1x ≤-.故不等式解集为(][),13,-∞-⋃+∞.7.(2020-2021学年浙江省衢州五校高一上学期11月期中联考)(1)若不等式250x bx c -+<的解集为{}13x x -<<，求b c +的值.(2)不等式2504x x -≥+的解集为A ，求集合A .【解析】(1)由题意得：－1，3就是方程250x bx c -+=的两根，∴504530b c b c ++=⎧⎨-+=⎩，则1015b c =⎧⎨=-⎩，∴5b c +=-；(2)将不等式转化为()()254040x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，∴4x <-或52x ≥，∴52A x x ⎧=≥⎨⎩或}4x <-.8.(2022学年广东省江门市广雅中学高一上学期月考)求下列不等式的解集．(1)214450x x -+-≥；(2)()()231x x x x >+-+【解析】(1)214450x x -+-≥即214450x x -+≤，故()()590x x --≤，解得59x ≤≤，故214450x x -+-≥的解集为[]5,9(2)()()231x x x x >+-+即22231x x x x +>-+，即2210x x -->，即()()1210x x -+>，解得1x >或12x <-，故解集为()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【过关检测】1.(2022学年安徽省亳州市利辛县第一中学高一下学期4月联考)不等式22150x x -++≤的解集为()A ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥C ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{3x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭【答案】B【解析】依题意可得22150x x --≥，故()()2530x x +-≥，解得52x ≤-或3x ≥，所以不等式的解集为52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥，故选B ．2.(2022学年陕西省西安市长安区高一下学期月考)若不等式22221463x mx mx x ++<++对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是()A ．()1,3B ．(),1-∞C ．()(),13,-∞⋃+∞D ．()3,+∞【答案】A【解析】因为22334634044x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭恒成立所以22221463x mx mx x ++<++恒成立2222463x mx m x x ⇔++<++恒成立()()226230x m x m ⇔+-+->恒成立故()()2624230m m ∆=--⨯⨯-<解之得：13m <<故选A3.(2022学年广东省化州市第三中学高一下学期3月考试)已知不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则a b +的值为()．A ．1B ．1-C ．0D ．2-【答案】C【解析】因为不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，所以212,12b a a-=-+=-⨯，解得1,1a b =-=，所以0a b +=，故选C ．4.(2022学年甘肃省定西市高一下学期统一检测)若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为()A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-【答案】C【解析】不等式()2330x m x m -++<，即()()30x x m --<，当3m >时，不等式解集为()3,m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故67m <≤；当3m =时，不等式解集为∅，此时不符合题意；当3m <时，不等式解集为(),3m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故10m -≤<；故实数m 的取值范围为[)(]1,06,7-⋃．故选C5.(多选)(2022学年福建省晋江市第一中学高一上学期月考)已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤或}4x ≥，则下列结论中，正确结论的序号是()A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭D ．0a b c ++>【答案】AD【解析】对于A ，由不等式的解集可知：0a >且3473412bac a⎧-=+=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，7b a ∴=-，12c a =，A 正确；对于B ，7120bx c ax a +=-+>，又0a >，127x ∴<，B 错误；对于C ，221270cx bx a ax ax a -+=++<，即212710x x ++<，解得：1134x -<<-，C 错误；对于D ，71260a b c a a a a ++=-+=>，D 正确.故选AD.6.(多选)(2022学年安徽省皖西地区高一下学期期中大联考)若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，则下列说法正确的是()A ．0a <B ．0a b c ++>C ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()3,1-D ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()(),31,-∞-⋃+∞【答案】ABD【解析】因为不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，所以0,1,2b ca a a<-==-，故,2b a c a =-=-，此时20a b c a ++=->，所以A 正确,B 正确；22230230230bx cx a ax ax a x x ++>⇔--+>⇔+->，解得：3x <-或1x >.所以D 正确；C 错误.故选ABD7.(2022学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期月考)若不等式230ax ax ++≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】{}012a a ≤≤【解析】当0a =时，不等式为30>满足题意；当0a ≠时，需满足2120a a a >⎧⎨∆=-≤⎩，解得012a <≤综上可得，a 的取值范围为{}012a a ≤≤8.(2022学年湖北省黄石市有色第一中学高一上学期期中)若不等式20ax bx c ++<的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则不等式20cx bx a ++>的解集是________．【答案】11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】20ax bx c ++< 的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，2∴-和3是方程20ax bx c ++=的两根且0a <，0231236a b a c a⎧⎪<⎪⎪∴-=-+=⎨⎪⎪=-⨯=-⎪⎩，即06a b a c a <⎧⎪=-⎨⎪=-⎩；则20cx bx a ++>可化为260ax ax a --+>，2610x x ∴--+<，解得：12x <-或13x >，即不等式的解集为11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.9.(2019-2020学年天津市红桥区高一上学期期中)求下列不等式的解集．．：(1)2280x x -->；(2)240x -≥.【解析】(1)其中2280x x --=，即()()420x x -+=，所以14x =或22x =-，故()()420x x -+>的解集为{|4x x >或}2x <-；(2)因为240x -=，解得：12x =或22x =-，故240x -≥的解集为{}|22x x -≤≤10.(2022学年北京市第五中学高一3月第一次阶段检测)请回答下列问题：(1)若关于x 的不等式()22320x x a a R -+>∈的解集为{|1x x <或}x b >，求a ，b 的值.(2)求关于x 的不等式()2325ax x ax a R -+>-Î的解集.【解析】(1)解：因为关于x 的不等式()22320x x a a R -+>∈的解集为{|1x x <或}x b >，所以1和b 为方程22320x x a -+=的两根，所以21312b b a +=⎧⎨⨯=⎩，解得21b a =⎧⎨=±⎩；(2)解：不等式()2325ax x ax a R -+>-Î，即2(3)30ax a x +-->，即(3)(1)0ax x -+>，当0a =时，原不等式解集为{|1}x x <-；当0a ≠时，方程(3)(1)0ax x -+=的根为13x a=，21x =-，∴①当0a >时，31a>-，∴原不等式的解集为3{|x x a >或1}x <-；②当30a -<<时，31a <-，∴原不等式的解集为3{|1}x x a <<-；③当3a =-时，31a =-，∴原不等式的解集为∅；④当3a <-时，31a>-，∴原不等式的解集为3{|1}x x a -<<．。
数学暑假新高一衔接课第1节
一 高中数学与初中数学特点的变化
1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等 概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。
2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学在思维形式上产生了很 大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。这种能 力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。 高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最 后还需初步形成辩证型思维。
8 函数 (1)一次函数： (2)一次函数的图象及性质 (3)二次函数： (4)二次函数的性质
9 图形的对称
10 平面直角坐标系
放飞梦想 ……
再登高峰 ……
又在玩游戏，就是因为天天玩游戏，上次考试成绩才这么差， 快点学习去 老爸，我偶尔玩一下游戏的存在性是成立的，但您所说的 “天天玩游戏”任意性绝对不成立。并且玩游戏与考试成绩差 之间也不具有合理的充分性，您用不完全归纳法得出结论也不 一定是对的，您的结论是不是真的成立，还需要看我今后的成 绩。我上次的成绩已经达到了极值，我相信，经过我的努力， 成绩函数的导数值一定会保持为正的，我将会用您结论的逆否 命题来推翻您的结论主观合理性。
二 不良的学习状态
1 学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是 很明显的。许多同学进入高中后，还象初中那样，有很强的依赖 心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定 计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解， 上课忙于记笔记，没听到“门道”。 2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他 们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才 发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的还是重点中学 里的重点班，因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用 不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样 会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。 有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自 己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。
新高一数学暑期衔接教材(精品)Word版含解析
第一讲 乘法公式我们可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．课堂实训1、计算：【1】 2222(2)4a b c a b c +-=+++_______________________【2】 331278x y -=（____________）•（__________________________） 【3】 42(2)(2)(416)a a a a +-++=_____________________ 【4】 22222(2)()x xy y x xy y ++-+=______________________2、已知2310x x -+=，求331x x +的值。
3、计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．4、已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．5、化简：233396127962x x x x x x x x++-+---+第二讲 根式0)a ≥叫做二次根式，二次根式有下列性质：○12(0)a a =≥ 2a = 30,0)a b =≥≥ 40,0)a b=>≥ 课堂实训1、化简下列各式（1 （21)x ≥2、计算（没有特殊说明，本节中出现的字母均为整数）（1（2（3）（4（5课后练习1、设x y ==，求代数式22x xy y x y +++的值。
2、当22320(0,0),a ab b a b +-=≠≠球22a b a b b a ab+--的值。
初高中数学衔接课(高一)PPT课件图文(2024)
02
展示正弦函数、余弦函数、正切函数的图像，分析三角函数的
周期性、奇偶性、单调性等性质。
三角恒等变换
03
介绍三角恒等式，如和差化积、积化和差等公式，以及它们在
三角函数计算中的应用。
13
数列与数学归纳法
2024/1/29
数列的概念及表示方法
阐述数列的定义、数列的通项公式及递推公式等基础知识 。
等差数列与等比数列
详细讲解等差数列和等比数列的定义、性质及求和公式。
数学归纳法及其应用
介绍数学归纳法的原理及步骤，通过实例演示数学归纳法 在证明数列问题中的应用。
14
04
初高中数学衔接关键点分析
2024/1/29
15
思维方式转变
从具象到抽象
初中数学以具象思维为主，而高 中数学则更强调抽象思维，需要 学生逐渐适应并培养抽象思维能
力。
从静态到动态
初中数学问题多为静态的，而高 中数学则涉及更多动态变化的问 题，需要学生理解并掌握变量之
间的关系。
从单一到多元
初中数学知识点相对单一，而高 中数学知识点更加多元化，需要 学生建立多元化的知识体系和思
维方式。
2024/1/29
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学习方法调整
2024/1/29
课前预习与课后复习
高中数学内容相对复杂，需要学生做好课前预习和课后复习，加 深对知识点的理解和记忆。
教材内容
涵盖初中数学与高中数学衔接部 分的核心知识点，包括函数、方 程、不等式、数列、概率统计等
。
2024/1/29
教材结构
按照知识模块进行划分，每个模块 包含知识点讲解、例题分析、练习 题等内容，便于学生理解和掌握。
辅助资源
准高一数学 暑假初升高衔接班 4份教案
初升高衔接班补充初高中衔接材料（一）恒等式变形：1、因式分解 2、配方 3、分式和根式（二）方程与不等式1、一元二次方程的韦达定理 2、一元二次不等式3、分式不等式，绝对值不等式 （三）二次函数补充一：立方和（差）公式1．公式：（1）()()22b a b a b a -=-+（2）()2222b ab a b a +±=±（3）()()2233b ab a b a b a +-+=+（4）()()2233bab a b a b a ++-=-（5）2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++（6）()3223333b ab b a a b a +++=+（7）()3223333b ab b a a b a -+-=-例1：计算：（1）()()964322+-+x x x （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-2242412121b b a a b a例2：（1）()()()()42422222+++--+a a a a a a （2）()()()11122++---x x x x x（3）()()211x x x ++- （4）()()3211x xx x +++-例3．因式分解（1）66y x - （2）33662n m n m ++（3）()()()116119222+-+-+x x x （4）4323-+x x例4：已知2,2==+xy y x ，求33y x +的值例5：（1）已知2=+b a ，求336b ab a ++的值。
（2）已知31=-x x ，求331xx -的值。
例6： 化简（1）()()2222y xy x y x +-+ （2）()()[]2222z y z y z y ++-（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-4121412141222x x x x x例7：已知0152=++a a ，试求下列各式的值：（1）a a 1+（2）221a a + （3）331a a + （4）441aa +例8：已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．补充二：十字相乘法与分组分解法一、十字相乘法：两个一次二项多项式n mx +与l kx +相乘时，可以把系数分离出来，按如下方式进行演算：即 ()()()nl x nk ml mkx l kx n mx +++=++2把以上演算过程反过来，就可以把二次三项式()nl x nk ml mkx +++2分解因式即()()()l kx n mx nl x nk ml mkx ++=+++2这说明，对于二次三项式()02≠++ac c bx ax ，如果把a 写成c mk ,写成nl 时，b 恰好是nk ml +，那么c bx ax ++2可以分解为()()l kx n mx ++例1：分解因式（十字相乘法）（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（2）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．（5）81032++x x （6）122++-x x（6）6222++-xy y x （8）22592y xy x --例2：分解因式（分组分解法）（1）322333y xy y x x -+- （2）63223-+-x x x（3）32933x x x +++例3：分解因式（1）4324--m m （2）42249374b b a a +-（2）2221b ab a -+- （4）2215x x --（5）21252x x -- （6）2524x x +-（6）233+-x x （8）=-+2675x x（9）()=++-a x a x 12（10）=+-91242m m例4：用因式分解法解下列方程:(1) 04432=--x x (2)()()x x x =-+-22112补充三：根式与分式10)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2= ；= ；= ；= ． 2．分式[1]分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称AB为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： （1） ； （2） ．[2]繁分式当分式AB的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，如2m n pmn p+++，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．3、分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程例5 计算(没有特殊说明，本题中出现的字母均为正数)：（1）（2）1)x≥（3（4）（5）例6设x y==33x y+的值．例7 化简：（1）11xx x x x-+-补充四：一元二次方程的韦达定理对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax 用配方法可变形为：222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 因右边大于0.所以（1） 当042>-=∆ac b 时，方程有根ab x a b x 2,221∆--=∆+-=（2） 当042=-=∆ac b ，方程有根abx x 221-== （3） 当042<-=∆ac b ，方程没有实数根。
第12讲 对数(解析版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)
第12讲对数知识点一对数的概念与性质1．对数的概念一般地，如果a b ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a b N =，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．常用对数与自然对数3．对数的基本性质(1)负数和0没有对数；(2)log a 1＝0(a ＞0，且a ≠1)；(3)log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1)；(4)log a a N ＝N (a ＞0，a ≠1，N ＞0).4．指数式与对数式的互化(其中a ＞0，且a≠1).知识点二对数的运算性质1．若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，n ∈R ，那么：(1)log a (MN )＝log log a a M N +；(2)log aMN＝log log a a M N -；(3)log a M n ＝log a n M ．2．对数运算中的常见公式及推广知识点二换底公式1．换底公式：log log log c a c NN a=（0,1,0,0,1a a N c c >≠>>≠）.2．换底公式的推论3．对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？4．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论log n mN M =log N M n吗？考点一：指数式与对数式的互化例1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．(1)3－2＝19；－2＝16；(3)13log 27＝－3；(4)64＝－6.【解析】(1)∵3－2＝19，∴log 319＝－2.(2)－2＝16，∴log 1416＝－2.(3)∵13log 27＝－3－3＝27.(4)∵64＝－6，∴(x )－6＝64.【总结】变式将下列指数式与对数式互化．(1)log 216＝4；(2)x ＝6；(3)43＝64；(4)3－3＝127.【解析】(1)因为log 216＝4，所以24＝16.(2)因为x ＝6，所以(3)6＝x .(3)因为43＝64，所以log 464＝3.(4)因为3－3＝127，所以log 3127＝－3.考点二：对数的计算例2求下列各式中的x 的值．(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x ；(4)－ln e 2＝x .【解析】(1)x ＝()2364-＝()2334-＝4－2＝116.(2)x 6＝8，所以x ＝()166x＝168＝()1362＝122＝2.(3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.(4)由－ln e 2＝x ，得－x ＝ln e 2，即e －x ＝e 2.所以x ＝－2.【总结】变式求下列各式中x 的值．(1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)x ＝log 2719.【解析】(1)由log x 27＝32，可得x 32＝27，∴x ＝2723＝(33)23＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，可得x ＝232-.∴x 23＝314＝322.(3)由x ＝log 2719，可得27x ＝19，∴33x ＝3－2，∴x ＝－23.考点三：对数的性质例3求下列各式中x 的值．(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1；(3)log 3(log 4(log 5x ))＝0.【解析】(1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000.(3)由log 3(log 4(log 5x ))＝0可得log 4(log 5x )＝1，故log 5x ＝4，∴x ＝54＝625.【总结】变式求下列各式中x 的值．(1)log 3(log 4(log 5x ))＝1【解析】由log 3(log 4(log 5x ))＝1可得，log 4(log 5x )＝3，则log 5x ＝43＝64，所以x ＝564.(2)3log 3(log 4(log 5x ))＝1【解析】由3log 3(log 4(log 5x ))＝1可得log 4(log 5x )＝1，故log 5x ＝4，所以x ＝54＝625.考点四：对数的运算性质例4求下列各式的值．(1)log 2(47×25)；(2)lg5100；(3)lg 14－2lg73＋lg 7－lg 18；(4)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.【解析】(1)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝7log 24＋5log 22＝7×2＋5×1＝19.(2)lg5100＝lg 10015＝15lg 100＝15×2＝25.(3)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.(4)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.【总结】变式已知ab ＞0，有下列四个等式：①lg (ab )＝lg a ＋lg b ；②lg ＝lg a －lg b ；③12lg 2＝lg ；④lg (ab )＝1log ab 10，其中正确的是________．【答案】③【解析】①②式成立的前提条件是a ＞0，b ＞0；④式成立的前提条件是ab ≠1.只有③式成立．考点五：对数换底公式的应用例5计算：(1)log 29·log 34；(2)log 52×log 79log 513×log 734.【解析】(1)由换底公式可得，log 29·log 34＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg2lg 3＝4.(2)原式＝log 52log 513×log 79log 734＝13log 9＝lg 2lg 13×13lg 9lg 4＝12lg 2－lg 3×2lg 323lg 2＝－32.【总结】变式若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于()A ．9B ．19C ．25D ．125【答案】D【解析】log 513·log 36·log 6x ＝－log 53·log 36·log 6x ＝－log 5x ，则log 5x ＝－2，则x ＝5－2＝125.故选D.考点六：对数的综合应用例6已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)【解析】因为18b ＝5，所以b ＝log 185.所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（5×9）log 18（2×18）＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a .【总结】求解与对数有关的各种求值问题的三个注意点(1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式；(2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．变式（1）已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 1845？(用a ，b 表示)【解析】因为18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 1845＝log 189＋log 185＝a ＋b .（2）已知log 94＝a ，9b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)【解析】因为9b ＝5，所以log 95＝b .所以log 3645＝log 945log 936＝log 9（5×9）log 9（4×9）＝log 95＋log 99log 94＋log 99＝b ＋1a ＋1.考点七：利用对数运算解决实际问题例6某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e －λt ，其中μ0、λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.9μ0，则当稳定性系数降为0.5μ0时，该种汽车已使用的年数为________(结果精确到1，参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771).【答案】13【解析】由0.9μ0＝μ0e －2λ＝μ0(e －λ)2，得e －λ＝0.9，令0.5μ0＝μ0(e －λ)t ，得0.5＝(0.9)t ，两边取常用对数，得lg 0.5＝t 2lg 0.9，故t ＝2lg 0.5lg 0.9＝2lg 2－1lg 910＝－2lg 22lg 3－1＝2lg 21－2lg 3≈13.【总结】变式有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2020年为3000万吨，2021年增长率约为50%.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从________年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771).【答案】2026【解析】第n 年(2021为第一年)包装垃圾为3000×1.5n ，令3000×1.5n ＞30000，解得n ＞log 1.510＝1lg 3－lg 2≈10.1761≈5.68.又n 为整数，所以从2026年开始快递业产生的包装垃圾超过30000万吨．1．(多选)下列指数式与对数式互化正确的有() A．e0＝1与ln1＝0B．log39＝2与912＝3C．138 ＝12与log812＝－13D．log77＝1与71＝7【答案】ACD【解析】log39＝2化为指数式为32＝9，故B错误．A、C、D正确．2．在b＝log a－2(5－a)中，实数a的取值范围是()A．(－∞，2)∪(5，＋∞)B．(2，5)C．(2，3)∪(3，5)D．(3，4)【答案】C【解析】－a＞0，－2＞0，－2≠1，解得2<a<3或3<a<5.3．已知a23＝49(a＞0)，则log23a＝()A．2B．3C．12D．13【答案】B【解析】由a 23＝49，得a323，所以log23a＝log233＝3.4．若log5x＝2，log y8＝3，则x＋y＝________．【答案】27【解析】∵log5x＝2，∴x＝52＝25.∵log y8＝3，∴y3＝8，∴y＝2，∴x＋y＝27. 5．已知x＝log23，求23x－2－3x2x－2－x的值．【解析】（方法1）∵23x＝(2log23)3＝33＝27，2－3x＝(2x)－3＝(2log23)－3＝3－3＝127，2x＝2log23＝3，2－x＝12x＝13，∴原式＝27－1273－13＝919.（方法2）∵x ＝log 23，∴2x ＝3，∴23x －2－3x2x －2－x ＝（2x ）3－（2x ）－32x －（2x ）－1＝33－3－33－3－1＝27－1273－13＝919.6．求值：lg 4＋lg 25＝()A ．100B ．10C ．2D ．1【答案】C【解析】lg 4＋lg 25＝lg (4·25)＝lg 102＝2lg 10＝2.故选C.7．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 等于()A ．92B ．9C ．18D ．27【答案】B【解析】∵log 34·log 48·log 8m ＝lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝lg mlg 3＝2，∴lg m ＝2lg 3，∴m ＝9.8．(多选)设a ＞0且a ≠1，m ，n 是正整数，则()A ．log a (mn )＝log a m ＋log a n B ．log＝log amlog a n C ．log a n m ＝n log a m D ．log a m n ＝n log a m 【答案】AD【解析】由对数的运算性质可得log a (mn )＝log a m ＋log a n ，故A 正确；log＝log a m －log a n ，故B 错误；log a n m ＝1nlog a m ，故C 错误；log a m n ＝n log a m ，故D 正确．故选A 、D9．已知a 2＝1681(a ＞0)，则log 23a ＝________．【答案】2【解析】由a 2＝1681(a ＞0)得a ＝49，所以234log 9＝2232log 3⎛⎫⎪⎝⎭＝2.10．已知a,b 是方程log 3x 3＋log 273x ＝－43的两个根，试给出关于a,b 的一个结论________．【答案】a ＋b ＝1081(答案不唯一)【解析】根据换底公式有log 33log 33x ＋log 33x log 327＝－43，即11＋log 3x ＋1＋log 3x 3＝－43.令1＋log 3x ＝t ，则1t ＋t 3＝－43，解得t ＝－1或t ＝－3.所以1＋log 3x ＝－1或1＋log 3x ＝－3，解得x ＝19或x ＝181.故a ＋b ＝1081.1．若lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x ＝()A ．a ＋2b －3cB ．a ＋b 2－c 3C ．ab 2c 3D ．2ab 3c【答案】C【解析】∵lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ＝lg ab 2c 3，∴x ＝ab 2c 3.故选C.2．方程9x －6·3x －7＝0，则x ＝()A ．log 37B ．log 73C ．7D ．－1【答案】A【解析】设3x ＝t (t ＞0)，则原方程可化为t 2－6t －7＝0，解得t ＝7或t ＝－1(舍去)，即3x ＝7.∴x ＝log 37.3．若log x 7y ＝z ，则()A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x【答案】B【解析】由log x 7y ＝z ，得x z ＝7y ，∴(7y )7＝(x z )7，则y ＝x 7z .4．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是()A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1【答案】A【解析】∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.5．方程lg (x 2－1)＝lg (2x ＋2)的根为()A ．－3B ．3C ．－1或3D ．1或－3【答案】B【解析】由lg (x 2－1)＝lg (2x ＋2)，得x 2－1＝2x ＋2，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.经检验x ＝－1不合题意，所以原方程的根为x ＝3.6．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中某类物质的原子总数N 约为1050.则下列各数中与MN最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)()A ．1093B ．10113C ．10123D ．10133【答案】C【解析】因为M ≈3361，N ≈1050，所以lg M ≈361×lg 3，lg N ≈50，lgM N ＝lg M －lg N ≈361×0.48－50≈123，所以MN≈10123.故选C.7．(多选)下列指数式与对数式互化正确的是()A ．54＝625与log 4625＝5B ．10－2＝0.01与lg 0.01＝－2C －4＝16与log －416＝12D ．912＝3与log 93＝12【答案】BD【解析】对于A ，54＝625可化为log 5625＝4，故不正确；对于B ，10－2＝0.01可化为lg 0.01＝－2，故正确；对于C －4＝16可化为log 1216＝－4，故不正确；对于D ，912＝3可化为log 93＝12，故正确．故选B 、D.8．(多选)下列运算正确的是()A ．2log 1510＋log 150.25＝2B ．log 427·log 258·log 95＝98C ．lg 2＋lg 50＝2D ．((2log2-－(log 22)2＝－54【答案】BCD【解析】对于A ，2log 1510＋log 150.25＝log 15102＋log 150.25＝log 1525＝－2，故A 错误；对于B ，log 427·log 258·log 95＝32log 23·32log 52·12log 35＝98·lg 3lg 2·lg 2lg 5·lg 5lg 3＝98，故B 正确；对于C ，lg 2＋lg 50＝lg (2×50)＝2，故C 正确；对于D ，((2log 2－(log 22)2＝(2log 2＝－1－14＝－54，故D 正确．故选B 、C 、D.9．若a ＝lg 2，b ＝lg 3，则2100b a -的值为________．【答案】43【解析】∵a ＝lg2，∴10a ＝2.∵b ＝lg3，∴10b ＝3，∴2100ba -＝（10a ）210b＝43.10．若log m 2＝a ，log m 3＝b ，则2a b m+的值为________．【答案】18【解析】因为log m 2＝a ，log m 3＝b ，所以m a ＝2，m b ＝3，即2a bm +＝m a ×(m b )2＝2×32＝18.11．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y的值．【解析】∵log 12x ＝mm＝x ，x 22m.∵log 14y ＝m ＋2m ＋2＝y ，y2m ＋4.∴x 2ym ＋42m －（2m ＋4）－4＝16.12．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝4＋lg V ．已知某同学视力的五分记录法的数据为3.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.6【答案】C【解析】因为L ＝4＋lg V ，即V ＝10L －4，所以当L ＝3.9时，V ＝10－0.1＝1100.1≈0.8.故选C.13．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为()A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】A【解析】∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1，∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9.故选A.14．利用对数恒等式a log a N ＝N(a ＞0，且a ≠1，N ＞0).计算：－1＋log 0.54＝________；(2)23＋log 23＋32－log 39＝________．【答案】(1)8(2)25【解析】(1)0.51log 412-+⎛⎫⎪⎝⎭＝112-⎛⎫ ⎪⎝⎭·12log 412⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2×4＝8.(2)23log 32+＋32log 93-＝23×2log 32＋32log 933＝8×3＋99＝25.15．已知log 23＝a ，则4a ＋4－a 的值为________．【答案】829【解析】因为log 23＝a ，所以4a ＋4－a ＝2log 34＋2log 34-＝()2log 322＋()2log 322-＝()22log 32＋()log 3222-＝32＋3－2＝829.16．求x 的值．(1)()()2221log 321x x x -+-＝1；(2))1log＝x .【解析】(1)由()()2221log321xx x -+-＝1x 2＋2x －1＝2x 2－1，x 2＋2x －1＞0，x 2－1＞0且2x 2－1≠1，解得x ＝－2.(2)x ＝)1log)1log))1log1-＝1.17．设实数a ，b ，c 为正数，且满足a 2＋b 2＝c 2，log ＝1，log 8(a ＋b －c )＝23，求实数a ，b ，c 的值．【解析】由log ＝1得1＋b ＋ca＝4，即b ＋c ＝3a ，由log 8(a ＋b －c )＝23得a ＋b －c ＝823＝4，又a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝6，b ＝8，c ＝10.18．已知log a b ＝log b a (a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1)，试探究a 与b 的关系，并给出证明．【解析】a ＝b 或a ＝1b .证明如下：设log a b ＝log b a ＝k ，则b ＝a k ，a ＝b k ，所以b ＝(b k )k ＝bk 2，因为b ＞0，且b ≠1，所以k 2＝1，即k ＝±1.当k ＝－1时，a ＝1b；当k ＝1时，a ＝b .所以a ＝b 或a ＝1b.。
新高一数学暑假衔接学习资料系列讲义12讲(含答案)
【第1讲】 乘法公式【基础知识回顾】知识点1 平方公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； 知识点2 立方公式（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （4）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．【合作探究】探究一 平方公式的应用 【例1】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++ （5）22)312(+-x x【解析】（1）原式=333644m m +=+（2）原式=3333811251)21()51(nm n m -=- （3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=（5）原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x归纳总结：在进行代数式乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．【练习1】计算：2(21)x y ++【解析】原式=22(21)[(2)1]x y x y ++=++2(2)2(2)1x y x y =++++ 2244421x xy y x y =+++++探究二 立方公式的应用【例2】计算：（1）3(1)x + （2）3(23)x -【解析】（1）332(1)331x x x x +=+++（2）332(23)8365427x x x x -=-+-归纳总结：常用配方法：()2222a b a b ab+=+-，()2222a b a b ab+=-+．【练习2】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) 38x +(2) 30.12527b -分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==． 【解析】(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++探究三 整体代换【例3】已知13x x +=，求：（1）221x x +；（2）331x x +． 【解析】13x x +=，所以（1）222211()2327x x x x +=+-=-=．（2）32223211111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x x x +=+-+=++-=-=．归纳总结：（1）本题若先从方程13x x +=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．（2）本题是根据条件式与求值式的联系，用“整体代换”的方法计算，简化了计算．【练习3-1】已知2310x x +-=，求：（1）221x x +；（2）331x x -． 【解析】2310x x +-=，0≠∴x ，213x x ∴-=-，13x x ∴-=-．（1）222211()2(3)211x x x x +=-+=-+=；（2）331x x -2211()(1)3(111)36x x x x =-++=-⨯+=-．【练习3-2】已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．【解析】2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．【课后作业】1．不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）A ．总是正数B ．总是负数C ．可以是零D ．可以是正数也可以是负数2．已知22169x y +=， 7x y -=，那么xy 的值为（ ） A ．120 B ．60 C ．30 D ．153．如果多项式29x mx -+是一个完全平方式，则m 的值是4．如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，则k 的值是5．()()22_________a b a b +--=()222__________a b a b +=+-6．已知17x y +=，60xy =，则22x y += 7．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式： （1）3(3)()27x x -=- （2）3(23)()827x x +=+ （3）26(2)()8x x +=+ （4）3(32)()278a a -=-（5）3(2)()x +=； （6）3(23)()x y -=（7）221111()()9432a b a b -=+ （8）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )8．若2210x x +-=，则221x x +=____________；331x x -=____________． 9．已知2310x x -+=，求3313x x ++的值．10．观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-…..根据上述规律可得：1(1)(...1)nn x x xx --++++=_________________【参考答案】1．乘法公式答案1．A 2．B 3．6± 4．16 5．4ab ； 2ab 6．1697．（1）239x x ++ （2）2469x x -+ （3）4224x x -+ （4）2964a a ++ （5）326128x x x +++ （6）32238365427x x y xy y -+- （7）1132a b - （8）424ab ac bc --7．【解析】(1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+(2) 22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4) 331164a b -8．【解析】2210x x +-=，0≠∴x ，212x x ∴-=-，12x x ∴-=-．（1）222211()2(2)26x x x x +=-+=-+=；（2）331x x -2211()(1)2(61)14x x x x =-++=-⨯+=-．9．【解析】2310x x -+= 0≠∴x31=+∴x x原式=22221111()(1)3()[()3]33(33)321x x x x x x x x +-++=++-+=-+=10．11n x +-【第2讲】 因式分解【基础知识回顾】知识点1 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用． 知识点2 因式分解方法因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．知识点3 常用的乘法公式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方和公式：222()2a b a ab b +=++； （3）完全平方差公式：222()2a b a ab b -=-+．（4）2()a b c ++=2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++.（5）33a b +=22()()a b a ab b +-+(立方和公式) （6）33a b -= 22()()a b a ab b -++(立方差公式)【合作探究】探究一 公式法【例1】分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab -【分析】(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -． 【解析】(1)3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a a b a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+归纳总结：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n nab a b =； (2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【练习1】把下列各式分解因式： (1) 34xy x +(2) 33n n x x y +-(3) 2232(2)y x x y -+【解析】（1）34xy x +=22()()x x y y xy x +-+（2）33n n x x y +-=22()(),n x x y x xy y -++（3）2232(2)y x x y -+=22432(1)(4321)y x x x x x --+++探究二 提取公因式法与分组分解法【例2-1】把22x y ax ay -++分解因式． 【分析】：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +.【解析】：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+【例2-2】分解因式：（1）()()255a b a b -+-； （2）32933x x x +++．【解析】（1）()()255a b a b -+-=(5)(1)a b a --；（2）32933x x x +++32(3)(39)x x x =+++． 2(3)3(3)x x x =+++=2(3)(3)x x ++【例2-3】分解因式： （1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．【解析】（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++ ＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+- =222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +---- =(22)(3)x y x y -++-．或 222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +---- =(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．【例2-4】把2222428x xy y z ++-分解因式．【分析】：先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．【解析】：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-【练习2】分解因式（1）27()5()2a b a b +-+-(2)22(67)25x x -- 【解析】（1）27()5()2a b a b +-+-=(772)(1)a b a b +++- (2) 22(67)25x x --=22[(67)5][(67)5]x x x x --⋅-+=2(21)(35)(675)x x x x +--+ 探究三 十字相乘法【例3-1】把下列各式因式分解：(1) 276x x -+(2) 21336x x ++ (3) 226x xy y +-【解析】(1)6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--． (2)3649,4913=⨯+=21336(4)(9)x x x x ∴++=++(3) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-归纳总结：这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例3-2】把下列各式因式分解：(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +-3241-⨯1 254y y -⨯【解析】(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-归纳总结：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．【练习3-1】把下列各式因式分解：(1) 2524x x +-(2) 2215x x -- (3) 222()8()12x x x x +-++【解析】(1)24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+ (2)15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-2215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+ (3) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-探究四 拆、添项法【例4】分解因式3234x x -+【分析】：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．【解析】 323234(1)(33)x x x x -+=+--22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-归纳总结：将23x -拆成224x x -，将多项式分成两组32()x x +和244x -+．【课后作业】1．把下列各式分解因式： (1)327a +(2) 38m -(3)3278x -+(4) 3311864p q --(5)3318125x y -(6) 3331121627x y c+2．把下列各式分解因式： (1) 34xy x +(2)33n n x x y +-(3)2323()a m n a b +-(4) 2232(2)y x x y -+3．把下列各式分解因式： (1) 232x x -+ (2) 23736x x ++(3)21126x x +-(4) 2627x x --(5) 2245m mn n --(6)2()11()28a b a b -+-+ 4．把下列各式分解因式： (1) 5431016ax ax ax -+ (2) 2126n n n aa b a b +++- (3) 22(2)9x x --(4) 42718x x --(5) 2673x x --(6) 2282615x xy y +-5．把下列各式分解因式： (1) 233ax ay xy y -+- (2) 328421x x x +-- (3)251526x x xy y -+-(4) 224202536a ab b -+- (5) 22414xy x y +-- (6) 432224a b a b a b ab +--(7)66321x y x --+ (8)2(1)()x x y xy x +-+【参考答案】1．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++ 222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c -+-+-+++-+2．2222()(),()(),nx x y y xy x x x y x xy y +-+-++22222432()[()()],(1)(4321)a m n b m n b m n b y x x x x x +-++++--+++3．(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)x x x x x x x x --+++--+(9)(3),(5)(),(4)(7)x x m n m n a b a b -+-+-+-+4．322(2)(8),(3)(2),(3)(1)(23),(3)(3)(2)n ax x x a a b a b x x x x x x x --+--+-+-++ 2(23)(31),(2)(415),(772)(1),(21)(35)(675)x x x y x y a b a b x x x x -+-++++-+--+5．2()(3),(21)(21),(3)(52),(256)(256)x y a y x x x x y a b a b -++--+---+23333(12)(12),()(),(1)(1),()(1)x y x y ab a b a b x y x y x x y x y -++-+----+-++．【第3讲】 根式与根式的运算【基础知识回顾】知识点1 二次根式的概念0)a ≥的代数式叫做二次根式. 知识点2 二次根式性质(1)2(0)a a =≥(2) ||a =(3)0,0)a b =≥≥(4)0,0)a b =>≥a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩ 【合作探究】探究一 根式的简化【例1-1】将下列式子化为最简二次根式：（1（20)x <．(3) +【解析】（1=（2220)x x x =-<．(3) 原式=2|1|211+-=--=归纳总结：||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【练习1-1】 化简下列各式：（10)a ≥；(2)1)x +≥ 【解析】（10)a ==≥；(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩【例1-2】（1(x=-x的取值范围是；（2=成立的条件是（）A.2x≠ B.0x> C.2x> D.02x<<【解析】（1|3|(x x=-=-|3|(3)x x-=-(3)0x∴-≥35x∴≤≤（2）由于20xx≥⎧⎨->⎩2x∴>。
新高一暑期衔接班第一讲
第1课时 数与式(一)一、绝对值 |a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ＞0，0，a ＝0，－a ，a ＜0．绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．绝对值的性质：两个互为相反数的绝对值相等．即|a |＝|－a |．两个数的差的绝对值的几何意义：|a －b |表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．两个绝对值不等式:||(0)x a a <>⇔；||(0)x a a >>⇔． 例1 解方程：（1）|x －1|＝2． （2）|x －1|＋|x －3|＝4．练 习1．填空：(1)若|x |＝5，则x ＝_________；若|x |＝|－4|，则x ＝_________．(2)如果|a |＋|b |＝5，且a ＝－1，则b ＝________；若|1－c |＝2，则c ＝________．3．化简：|x －5|－|2x －13|(x ＞5)．4．解方程：(1)|x －2|＝1； (2)|x ＋2|＋|x －1|＝4； (3)|x －2|＋|2x ＋3|＝6．二、乘法公式[1]平方差公式： ；[2]完全平方和公式： ；[3]完全平方差公式： ． x0 O aA 图1－1(1) |a | x 0 O a A 图1－1(2) |a |B x a A |a －b | 图1－2(1) b A x b B |a －b | 图1－2(2) a补充：(1)立方和公式： (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 3＋b 3；(2)立方差公式： (a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3；(3)三数和平方公式 (a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ；(4)两数和立方公式 (a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3；(5)两数差立方公式 (a －b )3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3．例1 化简：(x －1)(x +1)(x 2－x ＋1)(x 2＋x ＋1)．例2 若x ＋1x ＝3，求x 2＋1x 2和x －1x的值．例3 已知a ＋b ＋c ＝4，ab ＋bc ＋ca ＝4，求a 2＋b 2＋c 2的值．练 习1． (1)19a 2－14b 2＝(12b ＋13a )( )； (2)(4m ＋ )2＝16m 2＋4m ＋( )； (3)(a ＋2b －c )2＝a 2＋4b 2＋c 2＋( )．2．(1)若x 2＋12mx ＋k 是一个完全平方式，则k 等于 ( ) (A)m 2 (B)14m 2 (C)13m 2 (D)116m 2 (2)不论a ，b 为何实数，a 2＋b 2－2a －4b ＋8的值( )(A)总是正数 (B)总是负数(C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数三、二次根式1．把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a 与a ，36+与36-，2332-与2332+，等等． 一般地，a x 与x ，a x b y +与a x b y -，a x b +与a x b -互为有理化因式．2..分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程3.二次根式a 2的意义 a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ＞0，0，a ＝0，－a ，a ＜0．也可以写成a 2＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0． 例1 将下列式子化为最简二次根式：(1)12b ；(2)a 2b (a ≥0)；(3)4x 6y (x ＜0)．例2 计算：3÷(3－3)．例3 试比较下列各组数的大小：（1）1211-和1110-； （2）264+和226－.例 4 化简：(1)9－45；(2)x 2＋1x 2－2(0＜x ＜1)．例5、已知0132=+-x x ，求331x x +的值．例6、已知0a b c ++=，求111111()()()a b c b c c a a b +++++的值．例7、计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：（1）323+ （2） 22(1)(2) (1)x x x -+-≥（3）11a b + （4） 3282x x x -+例8、设2323,2323x y +-==-+，求33x y +的值．例9、化简：（1）11x x x x x-+- （2）x x x x x x x x 261962793332+---+-++例10 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）； （2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+． （1）证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++， ∴111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）成立． （2）解：由（1）可知1111223910+++⨯⨯⨯ 11111(1)()()223910=-+-++- 1110=- ＝910． （3）证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＝111111()()()23341n n -+-++-+ ＝1121n -+， 又n ≥2，且n 是正整数，∴1n ＋1一定为正数， ∴1112334(1)n n +++⨯⨯+＜12． 例11 设c e a =，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得2e 2－5e ＋2＝0，∴(2e －1)(e －2)＝0， ∴e ＝12＜1，舍去；或e ＝2． ∴e ＝2．练习1．(1)1－31＋3＝________________；(2)若(5－x )(x －3)2＝(x －3)5－x ，则x 的取值范围是_______；(3)424－654＋396－2150＝______________；(4)若x ＝52，则x ＋1－x －1x ＋1＋x －1＋x ＋1＋x －1x ＋1－x －1＝_________．2．等式2-x x ＝2-x x 成立的条件是 ( ) (A)x ≠2 (B)x ＞0 (C)x ＞2 (D)0＜x ＜23．若b ＝a 2－1＋1－a 2a ＋1，求a ＋b 的值．4．比较大小：2－ 3 5－4(填“＞”，或“＜”)．5．(1)(2＋3)18(2－3)19＝________；(2)若(1－a )2＋(1＋a )2＝2，则a 满足的条件是____；(3)11＋2＋12＋3＋13＋4＋14＋5＝_______．6计算： （1）221(2)3x x -+（2）2211111()()5225104m n m mn n -++（3）42(2)(2)(416)a a a a +-++ （4）22222(2)()x xy y x xy y ++-+【课后作业】1． 解不等式：327x x ++-<2． 设11,3232x y ==-+，求代数式22x xy y x y +++的值．3． 当22320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22a b a b b a ab +--的值．4． 设512x -=，求4221x x x ++-的值．5计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++-6．已知11120,19,21202020a xb xc x =+=+=+，求代数式222a b c ab bc ac ++---的值．7．化简或计算： (1) 113(184)2323-+÷- (2) 22122(25)352⋅--++(3)2x x x y x xy y xy y x x y y +++--- (4) ()()b ab a b a b a a b ab b ab a ab -++÷+-++-。
数学暑假新高一衔接课第2节
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式 因式分解是一种基本运算技能，避免繁琐的运算， 也是培养学生逆向思考问题的习惯。 1.应用于多项式除法. 2.应用于高次方程的求根. 3.应用于分式的通分与约分
因式分解的基本方法一:提取公因式法 1) 如何找公因式？ （1）取各项系数的最大公约数； （2）取各项都含有的相同字母； （3）取相同字母的最低次幂．
课堂练习
x y a b 2ax 2by
2 2 2 2
( x 2ax a ) ( y 2by b ) 2 2 ( x a) ( y b)
2 2 2 2
( x a y b)( x a y b)
因式分解的基本方法四:十字相乘法
4:十字相乘法
要点: 一拆(拆常数项),
二乘(十字相乘),
x px q
2
三验(验证十字相乘后的和是否等于一次项).
x px q
2
x x
a b
x2+Px+q=(x+a)(x+b),其中p=a+b,q=ab
( x 1)( x 2) ( x 1)( x 6) ( x 3)( x 7)
a(b 5)(a 1)
( x 3)( x 3)
2
因式分解的基本方法二:运用公式法
(6)其它公式
(4 a )(2 a)(2 a)
2
(4 x y)(2 x 3 y)
因式分解的基本方法三:分组分解法 要点:先观察特征,后正确分组,注意加括号.
( x y)( x 3)
a 4ab 4b 6a 12b 9
九年级升新高一数学暑期衔接课程
九年级升新高一数学暑期衔接课程课程概述本课程旨在帮助九年级学生顺利过渡到高一数学研究，弥补九年级与高一数学之间的知识差距。
通过系统的衔接课程，学生将能够更好地适应高一数学的研究内容和研究方法，为高一数学研究打下坚实的基础。
课程内容1. 复九年级数学知识：本课程将回顾九年级数学的核心知识点，包括代数、几何、概率与统计等内容。
学生将通过练和讲解巩固已研究的知识。
2. 引入高一数学概念：本课程将介绍高一数学的重要概念和基础知识，如函数、集合、三角函数等。
学生将通过简单的例题和实际应用，了解高一数学的研究重点和应用场景。
3. 解决难点问题：本课程将重点解决九年级学生在数学研究中遇到的难点问题，并提供相应的解决方法和技巧。
通过针对性的辅导，帮助学生克服困惑，提高数学研究效果。
4. 创设数学思维环境：本课程将通过数学思维训练、数学游戏和小组合作研究等活动，培养学生的数学思维能力和合作精神。
学生将在积极互动的环境中锻炼解决问题的能力。
课程时间与地点- 时间：每周三、五，上午9:00-11:00- 地点：学校数学教室（具体教室将提前通知）报名方式请有意参加本课程的同学，在指定时间内前往学校办公室填写相关报名表格，并缴纳相应的费用。
名额有限，先报先得。
注意事项- 学生需自备笔记本、数学工具等研究用品。
- 学生需按时参加课程，如因特殊情况无法参加，请提前请假并向班主任说明。
- 本课程不包含考试，主要以提升学生数学知识和能力为目标。
通过参加九年级升新高一数学暑期衔接课程，学生将能够更加顺利地适应高中数学学习，为未来的学习打下坚实的基础。
欢迎有意参加的同学报名参加，一同提高数学学习水平！。
苏科版新高一暑期衔接数学教材(4课时)
第 1 课时因式分解(1)课标导航：1.熟习常有的乘法公式,会用乘法公式分解因式;2.认识方程的根与对应的代数式的因式分解之间的关系,领会因式分解的求根法和待定系数法.讲堂实录：1.分解因式的方法主要有 : 提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、解求根法及待定系数法.2.常有的乘法公式有 :(1)平方差公式 :a2b2；(2)立方差公式 : a3b3;(3)立方和公式 :a3b3;(4)完整平方公式: (a b)2;(5)完整立方公式 : (a b)3.思想点击：【例 1】分解因式:8x3y3【例 2】把以下对于x 的二次多项式分解因式：(1) x22x 1(2) x2 4 xy 4 y2【例 3】解方程 : (1) x61(2) 2x33x28x 3 0随堂训练：1.分解以下因式(1) x22x 3(2)x y (x y)22(3)m23m 6(4)27a327a2 b 9ab 2b312.解列三次方程:(1) x39 3x23x 0(2)( x 1) x ( x 1)( x 2) 240反应练习 :1.分解以下因式:(1) x25x 3(2)x2 2 2x 3(3) 3x24xy y2(4) ( x22x)27( x22x)12 (5) 4x2z24xy y2(6) a31(7) 4x413x29(8) 3x25xy 2 y2x 9 y 4 ．2.解以下方程 :(1) x3x 2 0 ;(2) x4x3x 1 03. 已知 x y 1, 且a b x3y33xy ,求a3b33ab 的值.4.化简 : (a31)( a31) [( a411)(a1)] a3a3a4ax31x31x3x5. 化简x2x 1x1x1 ,并求当x28 时,此式的值.第 2 课时因式分解(2)课标导航：1.掌握十字相乘法、分组分解法;2.能依据问题 ,灵巧运用各样方法分解因式.讲堂实录：1.十字相乘法 :设 ax2＋ bx＋c＝ (cx＋ d)(ex＋ f) ，此中 a≠ 0．∵(cx ＋ d)(ex＋ f) ＝ cex2＋dex＋ cfx ＋ df＝ cex2＋ (de＋cf)x ＋df ，∴ a＝ ce,b＝ de＋ cf,c ＝ df; 能够将以上三式表示为cde f思想点击：【例 1】用十字相乘法分解以下各因式:(1) x23x 28(2)12a217a 6(3) x y ( x y)22【例 2】分解因式(1) x2 2 y y22x(2) x 2＋x－ (a2－a)(3) a2b22ac 2bc 2ab 【例 3】分解因式 : 2x2xy y 24x 5y6【例 4】已知a2b 3 ,求 a22a 4b24b 4ab 3 的值.随堂训练：分解因式 :(1)b23b10; (2)y2 6 y8；(3)x25x6;(4)a27a 12；(5)bc3bd 3;(6)x216;x2反应练习 : 1.分解因式：(1)x 2＋ 6x＋ 8＝(3)4x2 20x 25(5)3x2 xy 2 y2(7)6( x 6) 2x2(9)x2 a2 2a 2x2.分解因式 :(1) a(a＋ 3)2－ a(a－ b)2 (3) 4( x y 1) y( y 2x); (2)x 2－ 2x－ 1＝; ;(4)x25x 6; ; (6) a2b27ab 10; ;(8)a3b 45ab a2b；;(10)4x 2－ 8x －12y－ 9y2＝;(2)3x2 5xy 2 y2 x 9 y 4(4)4b 2－ 10b＋c2－5c＋ 4bc＋6(5) 2x2xy 3x y 1(6) a2c22ab b2 d 22cd 3.已知x 2 y 1 0 ，求x2xy 2 y23x 3y 2 的值.第 3 课时一元二次方程课标导航：1.娴熟掌握一元二次方程的求解方法;2.掌握一元二次方程根与系数的关系—韦达定理,能娴熟应用韦达定理解决有关问题.讲堂实录：1、一元二次方程ax2bx c 0(a0) 的求解方法：（ 1）公式法：鉴别式△＝若，则方程无实数根。
暑假新高一数学衔接课程
暑假新高一数学衔接课程第一讲：代数式及恒等变形第二讲：方程与方程组第三讲：不等式与不等式组第四讲：函数及其表示第五讲：二次函数的图像与性质第六讲：二次函数在给定区间上的最值第七讲：二次方程根的分布问题第八讲：常见函数图像与性质第九讲：函数图像变换第十讲：方法篇第十一讲：思想篇第十二讲：集合附件：两套衔接教材测试卷第一讲 代数式及恒等变形1、乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。
（3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。
2、二次根式：0)a ≥的代数式叫做二次根式，化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
3、指数运算法则及推广①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *）n 个 2）)0(10≠=a a ；3）11(ppp ap a a -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭R ） ②性质：1）(0,rsr sa a a a r +⋅=>、∈s R ）；2）r a aa sr sr ,0()(>=⋅、∈s R ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr ,0,0()( R ）。
4、n 次根式：若存在实数x ，使得a x n =，则称n a x =为a 的n 次方根。
在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,零的奇次方根是零，负数没有偶次方根。
5、分数指数幂：nma =6、因式分解（1）提取公因式法； （2）运用公式法； （3）分组分解法；典型例题讲解1、乘法公式的应用例1：已知2=x ，计算22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++的值。
新高一数学暑假衔接课程(无答案)
新高一数学暑假衔接课程（无答案）第4讲集合的基本概念第5讲集合的基本运算第6讲集合的综合复习第7讲函数的概念与定义域第8讲求函数的值域第9讲函数的解析式第10讲函数的表示方法及值域综合复习第11讲函数的单调性（1）第12讲函数的单调性（2）第13讲函数的奇偶性第14讲指数运算第15讲对数运算第1讲数与式知识点一：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22+-=-；a b a b a b()()（2）完全平方公式222±=±+．()2a b a ab b我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 【典型例题】：（1）计算： 22)312(+-x x =___________________________________（2）计算：()222(42)a b a ab b +-+=______________________________ （3）计算()2232(964)x y x xy y +-+ =____________________________ (4)()223(469)x x xy -++=___________________________________ 变式1：利用公式计算（1）)916141(31212++⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m =_______________________(2) ()()2222()()a b a ab b a b a ab b +-+-++=________________________ 变式2:利用立方和、立方差公式进行因式分解（1） 3327m n - （2）331278m n - （3）3125x - （4） 66m n -【典型例题】（1）)41101251)(2151(22n mn m n m +--（2）已知2310x x -+=，求331xx +的值． （3）已知0=++c b a ，求111111()()()a b c bccaab+++++的值．变式1:计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++变式2:已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 知识点二、根式(0)a a ≥叫做二次根式，其性质如下： (1) 2()(0)a a a =≥2a a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩(0,0)ab a b a b =≥≥ 0,0)b b a b a a=>≥ 【典型例题】：基本的化简、求值化简下列各式：22(32)(31)-- 22(1)(2)1)x x x -+-≥=_____________ （3） 423+=_______________________（4）2(1)(1)()a b a b a b +-+=_______________________a aa aba ab+-+=_______________________（6）设23232323x y +-==-+，求33x y +=_______________________2a a =-成立的条件是( )A．0a >B．0a <C．0a ≤ D．a 是任意实数变式2:若3x <296|6|x x x -+--的值是( )A．－３ B．３ C．－９ D．９743+（1）2(1)(1)()a b a b a b +-+a a a aba ab+-+知识点三、分式 【典型例题—1】： 1、分式的化简（1）化简233396162279x x x x x x x x++-+-+-- （2）化简11xx x x x-+-2、（1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯； （3）证明：对任意大于1的正整数n ，有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+．3、分式的运用 设ce a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值 变式1：对任意的正整数n ，1(2)n n =+______________变式2:选择题：若223x y x y -=+，则xy =（ ）（A）１ （B）54 （C）45 （D）65变式3:计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯ 知识点四、因式分解 【内容概述】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。
2020新版新高一暑期衔接数学讲义
新高一衔接教材数学新版高一暑期衔接数学课程第1讲数与式1910+⨯的正整数n ，有1(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲基本不等式【内容概述】基本不等式2a bab +≤1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3、如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4、常用不等式有：1）2222211a b a b ab a b++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； 2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； 3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。
变式1: 变式：（配凑项与系数） 1. 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
3.（耐克函数型）求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。
4.（用耐克函数单调性）求函数2254x y x +=+的值域。
5.（条件不等式）1）若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .2）已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
新高一数学衔接课教案
新高一数学衔接课教案高一新生要作好充分思想打算, 以自信、宽容的心态, 尽快融入集体, 适应新同学、适应新校内环境、适应与初中迥异的纪律制度。
下面是我为你打算的__, 快来借鉴一下并自己写一篇与我们共享吧！新高一数学连接课教案篇1一、教学目标1.驾驭商的算术平方根的性质, 能利用性质进展二次根式的化简与运算;2.会进展简洁的二次根式的除法运算;3.使学生驾驭分母有理化概念, 并能利用分母有理化解决二次根式的化简及近似计算问题;4.造就学生利用二次根式的除法公式进展化简与计算的实力;5.通过二次根式公式的引入过程, 渗透从特别到一般的归纳方法, 提高学生的归纳总结实力;6.通过分母有理化的教学, 渗透数学的简洁性.二、教学重点和难点1.重点：会利用商的算术平方根的性质进展二次根式的化简, 会进展简洁的二次根式的除法运算, 还要使学生驾驭二次根式的除法采纳分母有理化的方法进展.2.难点：二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.三、教学方法从特别到一般总结归纳的方法以及类比的方法, 在学习了二次根式乘法的根底上本小节内容可引导学生自学, 进展总结比照.新高一数学连接课教案篇2教学目标1.使学生驾驭的概念,图象和性质.(1)能依据定义判定形如什么样的函数是,了解对底数的限制条件的合理性,明确的定义域.(2)能在根本性质的指导下,用列表描点法画出的图象,能从数形两方面相识的性质.(3)能利用的性质比拟某些幂形数的大小,会利用的图象画出形如的图象.2.通过对的概念图象性质的学习,造就学生视察,分析归纳的实力,进一步体会数形结合的思想方法.3.通过对的探究,让学生相识到数学的应用价值,激发学生学习数学的爱好.使学生擅长从现实生活中数学的发觉问题,解决问题.教学建议教材分析(1)是在学生系统学习了函数概念,根本驾驭了函数的性质的根底上进展探究的,它是重要的根本初等函数之一,作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的根底,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以应重点探究.(2)本节的教学重点是在理解定义的根底上驾驭的图象和性质.难点是对底数在和时,函数值改变状况的区分.(3)是学生完全生疏的一类函数,对于这样的函数应怎样进展较为系统的理论探究是学生面临的重要问题,所以从的探究过程中得到相应的结论虽然重要,但更为重要的是要了解系统探究一类函数的方法,所以在教学中要特殊让学生去体会探究的方法,以便能将其迁移到其他函数的探究.教法建议(1)关于的定义遵照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必需是的样子,不能有一点差异,诸如,等都不是.(2)对底数的限制条件的理解与相识也是相识的重要内容.假如有可能尽量让学生自己去探究对底数,指数都有什么限制要求,老师再赐予补充或用详细例子加以说明,因为对这个条件的相识不仅关系到对的相识及性质的分类探讨,还关系到后面学习对数函数中底数的相识,所以必须要真正了解它的由来.关于图象的绘制,虽然是用列表描点法,但在详细教学中应幸免描点前的盲目列表计算,也应幸免盲目的连点成线,要把表列在关键之处,要把点连在恰当之处,所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简洁的探讨,取得对要画图象的存在范围,大致特征,改变趋势的也许相识后,以此为指导再列表计算,描点得图象.新高一数学连接课教案篇31、教材〔教学内容〕本课时主要探究随意角三角函数的定义。
新高一数学暑假衔接课：第六讲 交集,并集
第六讲 交集，并集（一）知识整合1.交集的定义：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，叫做A 与B 的交集.数学语言表述为B A ，},|{B x A x x B A ∈∈=且 .2.交集的运算必须掌握的几条性质： （1）A B B A =； （2）B B A A B A ⊆⊆ ,； （3）∅=∅=∅=A A A A A ,； （4）A B A B A =⇔⊆ ； （5）)()(C B A C B A =.3.并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做集合A 与集合B 的并集.符号表示为B A ，},|{B x A x x B A ∈∈=或 .4.并集运算必须掌握的几条性质（1）并集满足交换律，符号语言表达式为：A B B A =；（2）任何集合同自身的并集等于集合自身，符号语言表达式为：A A A = ； （3）任何集合同空集的并集等于集合本身，符号语言表达式为：A A =∅ ； （4）B B A B A =⇔⊆ ；（5）任何集合都是该集合与另一集合并集的子集，符号语言表达式为：)(),(B A B B A A ⊆⊆.（二）典型例题例1.（1）设}6,5,3,1{},4,3,1{},3,2,1{===C B A ,求)(,)(C B A C B A .解：}3,1{)(=C B A}3,1{)(=C B A（2） 若集合}4,2,1{},3,2,1,0{==B A ，则集合B A =_____________. 解：}4,3,2,1,0{例2.（1）已知集合}9,1,5{},,12,0{2a a B a a A --=-=分别符合下列条件的a 的值.（1）B A ∈9； （2）{}B A =9.解：（1）9∈（A ∩B ）；∴9∈A ；∴2a ﹣1＝9，或a 2＝9； ∴a ＝5，或a ＝±3；①a ＝5时，A ＝{0，9，25}，B ＝{0，﹣4，9}，满足条件； ②a ＝3时，B ＝{﹣2，﹣2，9}，不满足集合元素的互异性； ③a ＝﹣3时，A ＝{0，﹣7，9}，B ＝{﹣8，4，9}，满足条件； ∴a ＝5，或﹣3；（2）{9}＝A ∩B ；同样得到9∈A ；由（1）知，a ＝5时，A ∩B ＝{0，9}，不满足条件； a ＝3时集合B 不存在，a ＝﹣3时有A ∩B ＝{9}； ∴a ＝﹣3．（2）已知集合},3,1{},,1{},,3,1{2x B A x B x A === ，则x =____________.解：3,32±==x x ，此时符合。
数学暑假新高一衔接课第6节
一、图像变换
y | x a | 的图像可以看作把 y | x | 的图像向左或右平移| a |个单位。 y | x | a 的图像可以看作把 y | x | 的图像向上或下平移| a |个单位。
B
先向右平移3个单位，再向上平移1个单位
A
1 y 先向左平移1个单位，再向上平移1个单位 x
有 点 意 思 哈
我 是 个 简 单 的 人 …
二、组合函数
难 度 不 是 太 大
总结：
b 1、转折处横坐标为 ，纵坐标为 2 ab a 2、形状为对勾
3、当x>0时的最小值为 2 ab 当x>0时的最大值为 2 ab
怎会是这个样子呢？？？
2
x 2x 3
2
1 x 2x 3
2
3 2 当x 1时，最小值为 2
别看我，我也不懂……
5 17 最小值为 ，最大值为 2 4
最小值为6
1 y x 1( x 0) x
最小值为3
5 最小值为 2
y
x 4 1
2
x 4
2
x 4
2
1 x 4
2
课后总结
1、图像平移变换： 左加右减 2、对勾函数
b ① 转折处横坐标为 ，纵坐标为 2 ab a
②当x>0时的最小值为 2 ab 当x>0时的最大值为 2 ab
( x 1) 4( x 1) 9 y ( x 1) x 1 9 ( x 1) 4( x 1) x 1
2
当x=4时，y的最小值为10
y
( x 2 x 3) 1
2
x 2x 3
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暑假新高一数学衔接课程第一讲：代数式及恒等变形第二讲：方程与方程组第三讲：不等式与不等式组第四讲：函数及其表示第五讲：二次函数的图像与性质第六讲：二次函数在给定区间上的最值第七讲：二次方程根的分布问题第八讲：常见函数图像与性质第九讲：函数图像变换第十讲：方法篇第十一讲：思想篇第十二讲：集合附件：两套衔接教材测试卷第一讲 代数式及恒等变形1、乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。
（3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。
2、二次根式：0)a ≥的代数式叫做二次根式，化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
3、指数运算法则及推广①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *）n 个 2）)0(10≠=a a ；3）11(ppp ap a a -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭R ） ②性质：1）(0,rsr sa a a a r +⋅=>、∈s R ）；2）r a aa sr sr ,0()(>=⋅、∈s R ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr ,0,0()( R ）。
4、n 次根式：若存在实数x ，使得a x n =，则称n a x =为a 的n 次方根。
在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,零的奇次方根是零，负数没有偶次方根。
5、分数指数幂：nma =6、因式分解（1）提取公因式法； （2）运用公式法； （3）分组分解法；典型例题讲解1、乘法公式的应用例1：已知2=x ，计算22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++的值。
例2：已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值。
例3：已知0152=+-x x ，求331x x +的值。
练习： 1、填空： （1）221111()9423a b b a -=+（ ）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )；（3）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )。
2、已知1=++c b a ，2222=++c b a ，求ca bc ab ++的值。
3、不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数4、设x y ==，求33x y +的值。
2、代数式（根式、整式、分式）的化简例4：（1）化简222)23()32()21(-+-+-的结果为__________。
（2）化简323213312-+-+++x x x x x 的结果为__________。
练习： 1、求值（1______；（2）=______；（3。
2=成立的条件是 （ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<例5：试比较下列各组数的大小：（1 （2和3、指数的化简运算例6：求下列各式的值（1）2 （2）3 （3（4（5） 12100 （6）238 （7）()329- （8） 34181-⎛⎫⎪⎝⎭练习：1、化简()43325⎥⎦⎤⎢⎣⎡-的结果为（ ）A ．5B ．5C ．5-D ．-52、()[]2122--等于（ ）A ．2B ．2-C ．22D ．22-3、将235写为根式，则正确的是（ ） A ．325B ．35C ．523D ．35例7：下列运算结果中，正确的是（ ）A ．632a a a =⋅ B ．()()2332a a -=-C ．()110=-aD ．()632a a -=-例8：（1）化简3163278--⎪⎪⎭⎫⎝⎛ba； （2）计算：()3263425.0031323228765.1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-练习：1、下列各式中成立的是（） A ．7177m n m n =⎪⎭⎫⎝⎛B ．()312433-=-C ．()43433y x y x +=+ D ．3339=2、化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛656131212132313b a b a b a 的结果为（ ）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3、化简()0,03421413223>>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ab b a ab b a 的结果是（）A ．abB ．abC ．b a 2D ．ba四、因式分解例9：分解因式（1）34381a b b -； （2）76a ab -；（3）2222()()ab c d a b cd ---； （4）2222428x xy y z ++-（5）232+-x x （6）2452-+x x（7）5322--x x （8）222()8()12x x x x +-++练习：1、多项式22215x xy y --的一个因式为（ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 例10：若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数A 、B 的值。
练习： 已知122432+--=--+x Bx A x x x ，其中A 、B 为常数，则B A -4的值为_______。
五、拓展提高例11：已知10<<m ，且61=+-m m ，求mm 1-的值。
例12：已知0>a ，32=xa ，求xxxx a a a a --++33的值。
练习： 已知0>a ，3222+=xa，求xx xx aa a a ---+66的值。
例13：分解因式（1）3234x x -+； （2）2234+++x x x 。
例14：已知+∈N n（1）试证：111(1)1n n n n =-++（2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯； （3）证明：对任意的正整数n ， 有11111122334(1)n n ++++<⨯⨯⨯+。
例15：计算)201411)(201311()411)(311)(211(22222--⋅⋅⋅---。
例16：已知0=++c b a ，8=abc ，证明：0111<++cb a 。
例17：已知0=++c b a ，求)11()11()11(ba c a cbc b a +++++的值。
第一讲作业1、若211=-y x ，则yxy x y xy x ---+33的值为（ ） A.53 B.53- C.35- D.352(x =-x 的取值范围是________。
3、计算 ） （A（B（C） （D）4、计算：()14323112325671027.0-+-+⎪⎭⎫⎝⎛-----=___________。
5、以下各式的化简错误的是（ ） A ．11513152=-aa aB ．()643296b a ba ---=C ．y y x y x y x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--322132413141 D ．ac cb ac b a 532515433121433121-=---6、化简xx 3-的结果是（）x --x x -x -7、已知m a=2，n b=2，则b a 322+=_________。
（用n m ,表示）8、已知0>x 且11=-xx ，求 （1）求1122-+x x 的值；（2）求331x x -的值；（3）求331xx +的值。
9、已知41=+aa ，求15242++a a a 的值。
10、计算：（1）1111132435911++++⨯⨯⨯⨯；（2+++11、已知0a b c ++=，证明：32230a a c b c abc b ++-+=。
12、化简2)42()41()44122(-+--÷+--+-+a a aa a a a a a 。
第二讲 方程与方程组1、含绝对值的方程形如B x A =)(的方程叫做绝对值方程。
解绝对值方程的要点就是根据正负去掉绝对值符号，化为普通方程进行求解，即分类讨论。
2、一元一次方程形如0=+B Ax （0≠A ）的方程叫做一元一次方程。
解一元一次方程时要注意对A 进行讨论。
3、一元二次方程形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫做一元二次方程。
（1）一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的根的情况可以由ac b 42-来判定，我们把ac b 42-叫做一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示。
（2）直接开平方法：形如a x =2（0≥a ）的方程，可用直接开平方法求解。
（3）配方法：对于一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ），用配方法可以将其变形为044)2(222=-++=++ab ac a b x a c bx ax移项开平方可以求解。
（4）因式分解法：通过因式分解直接找出方程的两个根。
（5）公式法：求根公式aac b b x 2422,1-±-=（前提：042≥-ac b ）4、韦达定理（1）若一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个实数根1x =，2x =，则有1222b bx x a a-+===-；221222(4)444b b ac ac cx x a a a--====。
以上关系称为韦达定理。
（2）ax x x x x x x x ∆=-+=-=-21221221214)()(5、可化为一元二次方程的方程（1）对于次数超过2的整式方程（称高次方程），有时可通过因式分解和换元法，把它转化为一元二次方程进行求解。
（2）对于分式方程，通常是去分母或换元，把它转化为整式方程进行求解，但需要注意增根的情况或进行验根。
6、方程组：消元法典型例题解析1、解绝对值方程例1：解方程（1）12=-x ； （2）34132-=--+x x x练习：解方程（1）132=-x ； （2）521=++-x x2、关于一元二次方程的根例2：方程042=+-k x x 和方程0322=+-k x x 有一个根相同，求此根及k 的值。
例3：解方程0)1()1(2=--++a a x x a a例4：m 为何值时，方程04)2(2=++-x m x 有实根？练习：1、已知关于x 的方程01)1()1(22=+++-x m x m 有实根，求实数m 的取值范围。