第二十四章圆知识点及练习题
初中数学《九上》第二十四章 圆-圆的有关性质 考试练习题
初中数学《九上》第二十四章圆-圆的有关性质考试练习题姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分评卷人得分1、如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝32° ，则∠AOC＝（）A ．64°B ．58°C ．68°D ．55°知识点：圆的有关性质【答案】A【分析】利用圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．即可解答．【详解】解：，故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角定理，理解定理是解题关键．2、在中，为直径，为上一点．（Ⅰ ）如图① ，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的大小；（Ⅱ ）如图② ，为优弧上一点，且的延长线经过的中点，连接与相交于点，若，求的大小．知识点：圆的有关性质【答案】（Ⅰ ）26° ；（Ⅱ ）69° ．【分析】（Ⅰ ）连接 OC ，如图① ，根据切线的性质得∠OCP=90° ，再根据等腰三角形的性质得到∠OCA=∠CAB=32° ，则利用三角形外角性质可计算出∠POC ，然后利用互余计算∠P 的度数；（Ⅱ ）如图② ，根据垂径定理的推论，由点 E 为 AC 的中点得到OD⊥AC ，则利用三角形外角性质得∠AOD=∠CAB+∠OEA=106° ，再根据圆周角定理得到，然后利用三角形外角性质可计算出∠DPA 的度数．【详解】（Ⅰ ）连接，如图① ，为切线，，，，，，；（Ⅱ ）如图② ，点为的中点，，，，，．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．3、在平面直角坐标系中，已知点A（2 ， 0 ），点B（0 ，）．点O（0 ， 0 ）．△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△A ‘OB ‘ ，点A、B旋转后的对应点为A ‘ 、B ‘ ，记旋转角为α ．（Ⅰ ）如图 1 ，若α ＝30° ，求点B ‘ 的坐标；（Ⅱ ）如图 2 ，若0° ＜α ＜90° ，设直线AA ‘ 和直线BB ‘ 交于点P，求证：AA ‘⊥BB ‘ ；（Ⅲ ）在（Ⅱ ）中的条件下，若0° ＜α ＜360° ，点C（﹣2 ， 0 ）．求线段CP长度的取值范围．（直接写出结果即可）知识点：圆的有关性质【答案】（Ⅰ ）（，3 ）；（Ⅱ ）证明见解析；（Ⅲ ） 2-2≤CP ≤2+2 ．【分析】（Ⅰ ）设A ‘B ‘ 与x轴交于点H，依据旋转的性质得出BO ∥A ‘B ‘ ，即可得到OH＝OB ‘ ＝，B ‘H＝3 ，进而得出点B ‘ 的坐标为（，3 ）；（Ⅱ ）依据旋转的性质可得∠BOB ‘ ＝∠AOA ‘ ＝α ，OB＝OB ‘ ，OA＝OA ‘ ，即可得出∠OBB ‘ ＝∠OA ‘A＝（180° ﹣α ），再根据∠BOA ‘ ＝90°+α ，四边形OBPA ‘ 的内角和为360° ，即可得到∠BPA ‘ ＝90° ，即AA ‘⊥BB ‘ ；（Ⅲ ）作AB的中点M（1 ，），连接MP，依据点P的轨迹为以点M为圆心，以MP＝AB＝2 为半径的圆，进而利用两点之间的距离解答．【详解】解：（Ⅰ ）如图 1 ，设A ‘B ‘ 与x轴交于点H，∵OA＝2 ，OB＝2，∠AOB＝90° ，∴AB =4 ，∴∠ABO＝∠B ‘ ＝30° ，∵∠BOB ‘ ＝α ＝30° ，∴BO∥A ‘B ‘ ，∵OB ‘ ＝OB＝2，∴OH＝OB ‘ ＝，B ‘H＝＝3 ，∴ 点B ‘ 的坐标为（，3 ）；（Ⅱ ）∵∠BOB ‘ ＝∠AOA ‘ ＝α ，OB＝OB ‘ ，OA＝OA ‘ ，∴∠OBB ‘ ＝∠OA ‘A＝（180° ﹣α ），∵∠BOA ‘ ＝90°+α ，四边形OBPA ‘ 的内角和为360° ，l 由同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角为90° 然后根据三角形内角和即可求出的度数．【详解】∵，∴，又∵AB是直径，∴，∴．故答案为：．【点睛】此题考查了同弧所对圆周角的性质和直径所对圆周角的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对圆周角的性质和直径所对圆周角的性质．5、如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3 ： 1 ，则圆的面积约为正方形面积的（）A ． 27 倍B ． 14 倍C ． 9 倍D ． 3 倍知识点：圆的有关性质【答案】B【分析】设OB =x，则OA =3x，BC =2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解．【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA =OD，OB =OC，∵ 圆的直径与正方形的对角线之比为 3 ： 1 ，∴ 设OB =x，则OA =3x，BC =2x，∴ 圆的面积=π(3x )2 =9πx2，正方形的面积==2x2，∴9πx2 ÷2x2 =，即：圆的面积约为正方形面积的14 倍，故选B ．【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键．6、如图，⊙中，弦与相交于点,, 连接.求证：⑴；⑵.知l ∴△ADE≌△CBE （ASA ），∴AE=CE ．【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，① 圆心角相等，② 所对的弧相等，③ 所对的弦相等，三项“ 知一推二” ，一项相等，其余二项皆相等．7、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB=60° ， AB=AC=2 ，则弦 BC 的长为（）A ．B ． 3C ． 2D ． 4知识点：圆的有关性质【答案】C【分析】如图，首先证得OA⊥BC ；然后由圆周角定理推知∠C=30° ，通过解直角△ACD 可以求得 CD 的长度．则 BC=2CD ．【详解】设AO 与 BC 交于点 D ．∵∠AOB=60° ，，∴∠C=∠AOB=30° ，又∵AB=AC ，∴∴AD⊥BC ，∴BD=CD ，∴ 在直角△ACD 中， CD=AC•cos30°=2×=，∴BC=2CD=2．故选C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，也考查了解直角三角形. 题目难度不大 .8、如图，AC为⊙O的弦，点B在上，若∠CBO＝58° ，∠CAO＝20° ，则∠AOB的度数为___ ．知识点：圆的有关性质【答案】76°【分析】如图，连接OC．根据∠AOB =2∠ACB，求出∠ACB即可解决问题．【详解】解：如图，连接OC．∵OA =OC =OB，∴∠A =∠OCA =20° ，∠B =∠OCB =58° ，∴∠ACB =∠OCB -∠OCA =58°-20°=38° ，∴∠AOB =2∠ACB =76° ，故答案为：76° ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9、如图，在⊙O中，=，则下列结论中：①AB =CD；②AC =BD；③∠AOC =∠BOD；④=，正确的是______ 填序号．知识点：圆的有关性质【答案】①②③④【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．【详解】解：∵ 在⊙O中，=，∴AB =CD，故① 正确；∵BC为公共弧，∴=，故④ 正确；∴AC =BD，故② 正确；∴∠AOC =∠BOD，故③正确．故答案为：①②③④ ．【点睛】本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．10、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55° ，则∠D的度数是___ ．知识点：圆的有关性质【答案】35°【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB＝90° ，再结合图形由直角三角形的性质得到∠B＝90° ﹣∠CAB＝35° ，进而根据同圆中同弧所对的圆周角相等推出∠D＝∠B＝35° ．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90° ，∵∠CAB＝55° ，∴∠B＝90° ﹣∠CAB＝35° ，∴∠D＝∠B＝35° ．故答案为：35° ．【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.11、已知⊙O的半径为2 ，A为圆内一定点，AO＝1 ．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120° ，则OG的最大值为___ ．知识点：圆的有关性质【答案】1+【分析】如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120° 得到线段OT，连接AT，GT，OP．则AO =OT =1 ，AT =，利用相似三角形的性质求出GT，再根据三角形的三边关系解决问题即可．【详解】解：如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120° 得到线段OT，连接AT，GT，OP．则AO =OT =1 ，过作于∵△AOT，△APG都是顶角为120° 的等腰三角形，∴∠OAT =∠PAG =30° ，同理：∴∠OAP =∠TAG，，∴，∴△OAP ∽△Tl（1 ）求证：是的切线：（2 ）若，求的长．知识点：圆的有关性质【答案】（1 ）见解析；（2 ）【分析】（1 ）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB =90° ，根据等量代换得到∠DCO =90° ，即可证明DC 是圆O的切线；（2 ）根据已知得到OA =2DA，证明△DCO ∽△DEB，得到，可得DA =EB，即可求出DA的长．【详解】解：（1 ）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB =90° ，∵OC，OB是圆O的半径，∴OC =OB，∴∠OCB =∠ABC，又∵∠DCA =∠ABC，∴∠DCA =∠OCB，∴∠DCO =∠DCA +∠ACO =∠OCB +∠ACO =∠ACB =90° ，∴OC ⊥DC，又∵OC是圆O的半径，∴DC是圆O的切线；（2 ）∵，∴，化简得OA =2DA，由（1 ）知，∠DCO =90° ，∵BE ⊥DC，即∠DEB =90° ，∴∠DCO =∠DEB，∴OC ∥BE，∴△DCO ∽△DEB，∴，即，∴DA =EB，∵BE =3 ，∴DA =EB =，经检验：DA =是分式方程的解，∴DA =．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．13、如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∠P＝70° ，C为弧AB上一点，则∠ACB的度数为___ ．知识点：圆的有关性质【答案】125°【分析】由切线的性质得出∠OAP =∠OBP =90° ，利用四边形内角和可求∠AOB =110° ，再利用圆周角定理可求∠ADB =55° ，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACl 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA、OB，求出∠AOB ．14、如图，CD为⊙O的直径，且CD ⊥ 弦AB，∠AOC＝50° ，则∠B大小为___ ．知识点：圆的有关性质【答案】65°【分析】本题关键是理清弧的关系，找出等弧，则可根据“ 同圆中等弧对等角” 求出∠D 的度数，即可得出结果．【详解】解：∵CD ⊥AB，∴，∴，∴∠B =90°-25°=65° ；故答案为：65° ．【点睛】此题综合考查垂径定理和圆周角的求法及性质．熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．15、如图，BD是⊙O的直径，∠CBD =30° ，则∠A的度数为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°知识点：圆的有关性质【答案】C【分析】先求出∠D的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【详解】∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD =90° ．∵∠CBD =30° ，∴∠D =90° ﹣30°=60° ，∴∠A =∠D =60° ．故选C ．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．16、如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“ 图上” 太阳与海平线交于，两点，他测得“ 图上” 圆的半径为 10 厘米，厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16 分钟，则“ 图上” 太阳升起的速度为（）．A ． 1.0 厘米 / 分B ． 0.8 厘米分C ． 12 厘米 / 分D ． 1.4 厘米 / 分知识点：圆的有关性质【答案】A【分析】首先过⊙O的圆心O作CD ⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，由垂径定理，即可求得OC的长，继而求得CD的长，又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10 分钟，即可求得“ 图上” 太阳升起的速度．【详解】解：过⊙O的圆心O作CD ⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，∴AC =AB =×16=8 （厘米），在Rt △AOC中，（厘米），∴CD =OC +OD =16 （厘米），∵ 从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为 16 分钟，∴16÷16=1 （厘米 / 分）．∴“ 图上” 太阳升起的速度为 1.0 厘米 / 分．故选：A．【点睛】此题考查了垂径定理的应用．解题的关键是结合图形构造直角三角形，利用勾股定理求解．17、如图，四边形内接于，为直径，，连接，若，则的度数为（）A ．50°B ．65°C ．75°D ．130°知识点：圆的有关性质【答案】B【分析】根据可得∠DAC =∠CAB =25° ，根据AB是直径可得∠ACB =90° ，利用三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：∵，∴∠DAC =∠CAB =25° ，∵AB是直径，∴∠ACB =90° ，∴∠B =90°-25°=65° ，故选B ．【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．18、已知⊙O的半径是7 ，AB是⊙O的弦，且AB的长为7，则弦AB所对的圆周角的度数为__________ ．知识点：圆的有关性质【答案】60° 或120°【分析】∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，连接OA、OB，如图，过O点作OH ⊥AB于H，根据垂径定理得到AH＝BH＝，则利用余弦的定义可求出∠OAH＝30° ，所以∠AOB＝120° ，然后根据圆周角定理得到∠ACB＝60° ，根据圆内接四边形的性质得到∠ADB＝120° ．解：∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，连接OA、OB，如图，过O点作OH ⊥AB于H，则AH＝BH＝AB＝，在Rt △OAH中，∵cos ∠OAH＝＝＝，∴∠OAH＝30° ，∵OA＝OB，∴∠OBH＝∠OAH＝30° ，∴∠AOB＝120° ，∴∠ACB＝∠AOB＝60° ，∵∠ADB＋∠ACB＝180° ，∴∠ADB＝180° ﹣60° ＝120° ，即弦AB所对的圆周角的度数为60° 或120° ．故答案为60° 或120° ．【点睛】本题考查了圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．19、如图，A，B，C是⊙O上的三点，若，则的度数是（）A ．40°B ．35°C ．30°D ．25°知识点：圆的有关性质【答案】B【分析】根据圆周角定理即可求解．【详解】∵，∴=故选B ．【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆周角定理的性质．20、已知，，，，则的最大值为__ ．知识点：圆的有关性质【答案】作△ABC的外接圆⊙O，取优弧BC中点为D，由，可确定点A在上运动，由AC是弦，当为直径时，最大，当AC最大时，可得，在Rt△ABC中，即可求解【详解】解：作△ABC的外接圆⊙O，取优弧BC中点为D，∵∴∠B所对的弧＞∠C所对的弧，∴ 点A在上运动∵AC是弦，当为直径时，最大，∴ 当AC最大时，在Rt△ABC中，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查三角形外接圆，弧与圆周角关系，直径是圆中最大弦，直径所对圆周角性质，锐角三角函数，题的难度较大，通过引辅助圆画出准确图形，利用锐角三角函数求解是关键．。
第二十四章圆知识点
第二十四章圆24.1 圆1.圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．2.与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．3.圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．4.垂直于弦的直径（1）垂径定理平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．5.圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．6.圆周角（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①定点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．7.圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的对边和相等．圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．8.相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB=PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PA•PB（相交弦定理推论）．24.2 点、直线和圆的位置关系1.点和圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d=r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA=∠PBC（∠PCA 为弦切角）．10.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．11.切割线定理（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD．12.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．13.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．14.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．15.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（2）两圆的公切线性质：两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．24.3正多边形和圆1.正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．24.4 弧长和扇形面积1.弧长的计算（1）圆周长公式：C=2πR（2）弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．2.扇形面积计算（1）圆面积公式：S=π（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=nπR2360或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．3.圆锥的计算（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．（3）圆锥的侧面积：S侧=•2πr•l=πrl（4）圆锥的全面积：S全=S底+S侧=πr2+πrl（5）圆锥的体积=×底面积×高注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．4.圆柱的计算（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．（2）圆柱的侧面积=底面圆的周长×高（3）圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积（4）圆柱的体积=底面积×高．。
2022九年级数学上册 第24章 圆 24.1圆的有关性 2垂直于弦的直径习题课件 (新版)新人教版
3.如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，那么以下选项中不一定成立的是D (A.CE) ＝DE B. ＝ C.∠BAC＝∠BAD D.OE＝BE
4.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴 交于O，A两点，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为 ，那么点P的坐标为 ________. (3，2)
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。22.2.2822.2.28Monday, February 28, 2022 10、低头要有勇气，抬头要有低气。09:42:4309:42:4309:422/28/2022 9:42:43 AM 11、人总是珍惜为得到。22.2.2809:42: 4309:4 2Feb-2 228-Fe b-22 12、人乱于心，不宽余请。09:42:4309:42:4309:42M onday, February 28, 2022 13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。22.2.2822.2.2809:42:4309:42:43Februar y 28, 2022 14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年2月28日 星期一 上午9时42分43秒09:42:4322.2.28 15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2022年2月 上午9时42分22.2.2809:42Februar y 28, 2022 16、业余生活要有意义，不要越轨。2022年2月28日 星期一 9时42分43秒09:42:4328 February 2022 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。上 午9时42分43秒 上午9时42分09:42:4322.2.28
.7米
D.8米
7.在直径为200 cm的圆柱形油箱内装入一些油后，截面如下图(油面在圆心 下).假设油面的宽AB＝160 cm，那么油的最大深度为40________cm.
人教版九年级上册数学-第二十四章-圆--圆的有关性质--圆周角
O
∴∠ACB=90°
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB
B
=180°-90°-80°=10°.
巩固练习
如图，AB是⊙O的直径，∠A＝10°， 则∠ABC＝____8_0_°．
C
A
O
B
探究新知
例2 如图，分别求出图中∠x的大小.
C A
x
60°
x
60°
D
20° B Dx
E 30°
A
B
FC
解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°.
E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（
A.30°
B.40°
） A
C.50°
D.60°
课堂检测
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,如∠BOD=130°则
∠BCD的度数是（ A. 115°
）C B. 130°
C. 65°
D. 50°
C
O
B
D
A
课堂检测
能力提升题
如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=
推论：圆内接四边形的对角互补.
探究新知
想一想：图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°， ∵∠BCD＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE.
D
A O
B
CE
探究新知
推论：圆的内接四边形的任何一个 外角都等于它的内对角.
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明：∵ ACB 1 AOB, 2
BAC 1 BOC, 2
∠AOB=2∠BOC，
∴∠ACB=2∠BAC.
人教版初中九年级数学上册第二十四章《圆》知识点(含答案解析)
一、选择题1．在ABC 中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，把它绕AC 旋转一周得一几何体，该几何体的表面积为（ ）A ．24πB ．21πC ．16.8πD ．36π 2．如图，AB 、AC 是⊙O 的切线，B 、C 为切点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的点，则∠BPC 的度数是（ ）A ．65°B ．115°C ．115°或65°D ．130°或65° 3．如图，在三角形ABC 中，AB=22，∠B=30°，∠C=45°，以A 为圆心，以AC 长为半径作弧与AB 相交于点E ，与BC 相交于点F ，则弧EF 的长为( )A ．6πB ．2πC ．23πD ．π4．已知△ABC 的外心为O ，连结BO ，若∠OBA=18°，则∠C 的度数为（ ）A ．60°B ．68°C ．70°D ．72°5．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，7AB =，4AC =，以点C 为圆心、CA 为半径的圆交AB 于点D ，求弦AD 的长为（ ）A 433B ．327C ．337D ．1676．如图，正方形ABCD 内接于O ，直径//MN AD ，则阴影部分的面积占圆面积的（ ）A ．12B ．16C ．13D ．147．若圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为265cm π，则该圆锥的高是（ ） A ．13cm B ．12cm C ．11cm D ．10cm 8．如图，ABC 的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将ABC 绕点B 顺时针旋转到A B C '''的位置，且点A '、C '仍落在格点上，则线段AB 扫过的图形的面积是（ ）平方单位（结果保留）A ．254πB ．134πC ．132πD ．136π 9．如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D ．则AB 的长为（ ）A ．5B ．10C ．52D ．10210．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，28CDB ∠=︒，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则E ∠等于（ ）A ．28︒B ．34︒C ．44︒D ．56︒ 11．如图，⊙O 的半径为1，点 O 到直线 a 的距离为2，点 P 是直线a 上的一个动点，PA 切⊙O 于点 A ，则 PA 的最小值是（ ）A ．1B ．3C ．2D ．5 12．如图，ABC 的顶点A 是O 上的一个动点，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，边AC ，AB 分别交O 于点E ，D ，分别过点E ，D 作O 的切线交于点F ，且点F 恰好在边BC 上，连接OC ，若O 的半径为6，则OC 的最大值为（ ）A ．393+B ．2103+C ．353+D ．53 13．如图，点M 是矩形ABCD 的边BC 、CD 上的点，过点B 作BN ⊥AM 于点P ，交矩形ABCD 的边于点N ，连接DP ，若AB=6，AD=4，则DP 的长的最小值为（ ）A ．2B ．121313C ．4D ．514．如图，在平行四边形ABCO 中，45C ∠=︒，点A ，B 在O 上，点D 在ADB 上，DA DB =，则AOD ∠的度数为（ ）A．112.5°B．120°C．135°D．150°15．在△ABC中，∠ACB为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作弧BAC，如图所示．若AB=4，AC=2，图中两个新月形面积分别为S1，S2，两个弓形面积分别为S3，S4，S1-S2=14π，则S3-S4的值是( )A．294πB．234πC．114πD．54π二、填空题16．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝________°．17．如图，四边形ABCD是O的内接四边形，对角线AC，BD交于点E，且AC BD AB==，若70AEB∠=︒，则AOB∠等于______︒．18．已知半径为5的圆O中，弦AB=8，则以AB为底边的等腰三角形腰长为___________．19．如图，PA，PB分别与O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若8AP=，则PDE△的周长为______．20．如图，O 的半径为6，AB 、CD 是互相垂直的两条直径，点P 是O 上任意一点，过点P 作PM AB ⊥于M ，PN CD ⊥于N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周从点D 逆时针方向运动到点C 的过程中，当∠QCN 度数取最大值时，线段CQ 的长为______．21．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点M 和N 分别从B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 方向向终点C 和D 运动．连接AM ，BN 交于点P ，则PC 长的最小值为____________．22．如图，直线AB 、CD 相交于点,30O AOC ∠=︒，半径为1cm 的⊙P 的圆心在直线AB 上，且与点O 的距离为8cm ，如果⊙P 以2cm/s 的速度，由A 向B 的方向运动，那么_________秒后⊙P 与直线CD 相切.23．在矩形ABCD 中，43AB =6BC =，若点P 是矩形ABCD 上一动点，要使得60APB ∠=︒，则AP 的长为__________．24．小明用一张扇形纸片做一个圆锥的侧面，已知该扇形的半径是10cm ，弧长是12πcm 2，那么这个圆锥的高是________cm ．参考答案25．如图，在⊙O 中，弦AC 、BD 相交于点E ，且AB BC CD ==，若∠BEC=130°，则∠ACD 的度数为_____26．如图，已知空间站A 与星球B 距离为a ，信号飞船C 在星球B 附近沿圆形轨道行驶，B ，C 之间的距离为b ．数据S 表示飞船C 与空间站A 的实时距离，那么S 的最小值________．三、解答题27．如图，AB 是O 的弦，CD 是O 的直径，CD AB ⊥，垂足为E ．1CE =，3ED =．（1）求O 的半径．（2）求AB 的长．28．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，以BC 为直径的圆O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：∠A =∠ADE ；（2）若AD =8，DE =5，求BC 的长．29．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧CD ，点O 是CD 的圆心，E 为 CD 上一点，OE ⊥CD ，垂足为F ．已知CD=300m ，EF=50m ，求这段弯路的半径．30．如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，求劣弧MN 的长度．。
【单元练】九年级数学上册第二十四章《圆》知识点总结(1)
一、选择题1．下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B 解析：B【分析】根据确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可．【详解】解：（1）任意三点确定一个圆；错误，应该是不在同一直线上的三点可以确定一个圆； （2）直径所对的圆周角是直角；正确；（3）平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，直径与直径互相平分，但不一定互相垂直；（4）相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；（5）圆内接四边形对角互补；正确；故选：B ．【点睛】本题考查确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．如图，正方形ABCD 内接于O ，直径//MN AD ，则阴影部分的面积占圆面积的（ ）A ．12B ．16C ．13D ．14D 解析：D【分析】连接OC 、OD ，设O 半径为r ，利用正方形性质得：MN ∥BC ，根据三角形面积公式得：S △DON ＝S △AON ，S △CON ＝S △BON ，利用面积差可得S 阴影部分＝S 扇形COD ，再利用正方形的性质得到∠COD ＝90°，则S 扇形＝214r ，所以阴影部分面积是圆的面积的14 【详解】解：如图，连接OC、OD，设O半径为r，∵直径//MN AD，AD∥BC∴MN∥BC，根据三角形面积公式得：S△DON＝S△AON，S△CON＝S△BON，∴S阴影部分＝S扇形COD，∵四边形ABCD是正方形∴∠COD＝90°，∴S扇形＝290360rπ︒︒＝214rπ，∵圆的面积为2rπ∴所以阴影部分面积是圆的面积的14故选：D【点睛】本题考查扇形面积计算公式、正方形的性质，利用了面积的和差计算不规则图形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式.3．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D．则AB的长为（）A．5B．10C．52D．102解析：C【分析】根据圆周角定理得出∠D=∠B，得出△ABC是等腰直角三角形，进而解答即可．【详解】∵AC=AC，∴∠D=∠B，∵∠BAC=∠D，∴∠B=∠BAC，∴△ABC是等腰三角形，∵AB是直径，∴△ABC是等腰直角三角形，∵AC=5，∴AB=52，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是根据圆周角定理得出∠D=∠B．4．点A，B的坐标分别为A (4，0)，B(0，4)，点C为坐标平面内一点，BC﹦2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．22＋1 B．22＋2 C．42＋1 D．42-2A解析：A【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．【详解】解：如图，BC=，点C为坐标平面内一点，2∴在B上，且半径为2，COD OA，连接CD，取4AM CM =，OD OA =，OM ∴是ACD ∆的中位线， 12OM CD ， 当OM 最大时，即CD 最大，而D ，B ，C 三点共线时，当C 在DB 的延长线上时，OM 最大，4OB OD ，90BOD ∠=︒，42BD ∴=， 422CD ，1142222122OM CD ， 即OM 的最大值为221+；故选：A ．【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM 为最大值时点C 的位置是解题的关键．5．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，28CDB ∠=︒，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则E ∠等于（ ）A ．28︒B ．34︒C ．44︒D ．56︒B解析：B【分析】 连接OC ，由CE 为圆O 的切线，利用切线的性质得到OC 垂直于CE ，由OA=OC ，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出∠COE 的度数，即可求出∠E 的度数．【详解】解：连接OC ，∵CE 为圆O 的切线，∴OC ⊥CE ，∴∠COE=90°，∵∠CDB与∠BAC都对BC，且∠CDB=28°，∴∠BAC=∠CDB=28°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=28°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE=56°，则∠E=34°．故选：B．【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．6．如图△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，则AD的度数为（）A．28°B．56 °C．62°D．112°B解析：B【分析】连接CD，如图，利用互余计算出∠A=62°，则∠A=∠ADC=62°，再根据三角形内角和定理计算出∠ACD=56°，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．【详解】解：连接CD，如图，∵∠C=90°，∠B=28°，∴∠A=90°-28°=62°，∵CA=CD ，∴∠A=∠ADC=62°，∴∠ACD=180°-2×62°=56°∴AD 的度数为56°；故选：B ．【点睛】本题考查了同圆的半径相等、直角三角形的两锐角互余、等腰三角形的性质，熟练进行逻辑推理是解题关键．7．如图，大半圆中有n 个小半圆，若大半圆弧长为1L ，n 个小半圆弧长的和为2L ，大半圆的弦AB ，BC ，CD 的长度和为3L ．则（ ）A ．123L L L =>B ．123L L L =<C ．无法比较1L 、2L 、3L 间的大小关系D ．132L L L >>A解析：A【分析】利用圆周长公式计算1L 和2L 的长．根据圆周长公式分别写出1L 和2L 的表达式进行比较，再根据“两点之间线段最短的性质”得出13L L >，即可选出答案．【详解】解：设n 个小半圆半径依次为1r ，2r ，⋯，n r ．则大圆半径为()12n r r r ++⋯+()112n L r r r π∴=++⋯+，212n L r r r πππ=++⋯+()12n r r r π=++⋯+，12L L ∴=；根据“两点之间线段最短的性质”可得：13L L >，123L L L ∴=>．．故选A ．【点睛】本题考查了半圆弧长的计算，两点之间线段最短的性质，是基础题，难度不大． 8．如图，⊙P 与y 轴相切于点C （0，3），与x 轴相交于点A （1，0），B （7，0），直线y=kx-1恰好平分⊙P 的面积，那么k 的值是（ ）A ．12B ．45C ．1D ．43C 解析：C【分析】连接PC ，PA ，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，根据切线的性质可知PC ⊥y 轴，故可得出四边形PDOC 是矩形，所以PD=OC=3，再求出AB 的长，由垂径定理可得出AD 的长，故可得出OD 的长，进而得出P 点坐标，再把P 点坐标代入直线y=kx-1即可得出结论．【详解】解：连接PC ，PA ，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，∵⊙P 与y 轴相切于点C （0，3），∴PC ⊥y 轴，∴四边形PDOC 是矩形，∴PD=OC=3，∵A （1，0），B （7，0），∴AB=7-1=6，∴AD=12AB=12×6=3， ∴OD=AD+OA=3+1=4，∴P（4，3），∵直线y=kx-1恰好平分⊙P的面积，∴3=4k-1，解得k=1．故选：C．【点睛】本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出P点坐标即可得出结论．9．如图，半径为1cm的P在边长为9πcm，12πcm，15πcm的三角形外沿三遍滚动（没有滑动）一周，则圆P所扫过的面积为（）cm2A．73πB．75πC．76πD．77πA解析：A【分析】圆在三角形的三个角的顶点处旋转的路线是弧，通过观察可以发现圆转动时在三个角上共转动了圆心角360°，所以在三个顶点处转了一个圆的面积，在三个边上滚过的图形是以三角形边长为长，圆的直径为宽的矩形，然就分别计算，最后求和．【详解】解：根据运动特点可知三个顶点处转了一个圆的面积，在三个边上滚过的图形矩形∴圆P所扫过的面积=π+（9π+12π+15π）×2=73π故选：A【点睛】解答本题的关键是，找出圆滚动一周的图形，并将图形进行分割，拼组，化难为易，列式解答即可．10．下列说法中，正确的是（）A．三点确定一个圆B．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等C．平分弦的直径垂直于弦D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等D解析：D【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理一一判断即可．【详解】解：A、任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆，不符合题意；B 、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，错误，不符合题意；C 、平分弦的直径垂直于弦，错误，此弦不是直径，不符合题意；D 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题11．如图，点A ，B ，C 在圆O 上，54ACB ∠=︒，则ABO ∠的度数是______．36°【分析】根据圆周角定理可得再利用等腰三角形的性质即可求解【详解】解：∵∴∵∴故答案为：36°【点睛】本题考查圆周角定理掌握圆周角定理是解题的关键解析：36°【分析】根据圆周角定理可得2108AOB ACB ∠=∠=︒，再利用等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：∵54ACB ∠=︒，∴2108AOB ACB ∠=∠=︒，∵OA OB =， ∴()1180362ABO BAO AOB ∠=∠=︒-∠=︒， 故答案为：36°．【点睛】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．12．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，对角线AC ，BD 交于点E ，且AC BD AB ==，若70AEB ∠=︒，则AOB ∠等于______︒．125【分析】根据题意先求出∠ABE=∠BAE=55°然后由等腰三角形的定义和三角形的内角和定理求出∠C=625°即可求出的度数【详解】解：根据题意∵在圆中有∴∴∴在△ABE 中∴在等腰△ABC 中则∴解析：125【分析】根据题意，先求出∠ABE=∠BAE=55°，然后由等腰三角形的定义和三角形的内角和定理，求出∠C=62.5°，即可求出AOB ∠的度数．【详解】解：根据题意，∵在圆中，有AC BD AB ==，∴AC BD =，∴AD BC =，∴ABD BAC ∠=∠，在△ABE 中，70AEB ∠=︒， ∴1(18070)552ABD BAC ∠=∠=⨯︒-︒=︒， 在等腰△ABC 中，AC AB =则1(18055)62.52C ∠=⨯︒-︒=︒， ∴2125AOB C ∠=∠=︒；故答案为：125．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．13．将面积为3πcm 2的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是120°，则该圆锥底面圆的半径为_____cm ．1【分析】直接利用已知得出圆锥的母线长再利用圆锥侧面展开图与各部分对应情况得出答案【详解】解：设圆锥的母线长为Rcm 底面圆的半径为rcm ∵面积为3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面扇形的圆心角是120 解析：1【分析】直接利用已知得出圆锥的母线长，再利用圆锥侧面展开图与各部分对应情况得出答案．【详解】解：设圆锥的母线长为Rcm ，底面圆的半径为rcm ，∵面积为3πcm 2的扇形围成一个圆锥的侧面，扇形的圆心角是120°， ∴2120360R π⨯＝3π， 解得：R ＝3，由题意可得：2πr ＝1203180π⨯， 解得：r ＝1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了圆锥的计算，正确得出母线长是解题关键．14．如图所示，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE 边长是6，则它的外接圆圆心P 的坐标是______．【分析】如图所示连接POPA 过点P 作PG ⊥OA 于点G 由正六边形推出为等边三角形进而求出OGPG 的长度即可求得P 点坐标【详解】解：如图所示连接POPA 过点P 作PG ⊥OA 于点G 则∵多边形为正六边形∴∵∴ 解析：(3,33【分析】如图所示，连接PO ，PA ，过点P 作PG ⊥OA 于点G ，由正六边形OABCDE 推出OPA 为等边三角形，进而求出OG 、PG 的长度即可求得P 点坐标.【详解】解：如图所示，连接PO ，PA ，过点P 作PG ⊥OA 于点G ，则90OGP ∠=︒，∵多边形OABCDE 为正六边形，∴60OPA ∠=︒，∵PO PA =， ∴OPA 为等边三角形，又∵PG ⊥OA ，∴PG 平分OPA ∠，∴30OPG ∠=︒，又∵OA=6， ∴11163222OG OP OA ===⨯=， ∴由勾股定理得：22226333PG OP OG =--=∴P 的坐标是(3,33， 故答案为：(3,33【点睛】本题考查正多边形外接圆的问题，熟练掌握正多边形的性质，灵活运用三角形相关知识解决边角关系是本题的关键.15．半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB=BC，连结OB、OC，延长CO交弦AB 于D，若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为______________．或【分析】如图1当∠DOB=90°时推出△BOC是等腰直角三角形于是得到BC=；如图2当∠ODB=90°时推出△ABC是等边三角形解直角三角形得到BC=AB=【详解】如图1当∠DOB=90°时∴∠B解析：52或53【分析】如图1，当∠DOB=90°时，推出△BOC是等腰直角三角形，于是得到BC=252OB=；如图2，当∠ODB=90°时，推出△ABC是等边三角形，解直角三角形得到BC=AB=53．【详解】如图1，当∠DOB =90°时，∴∠BOC=90°∴△BOC是等腰直角三角形∴BC=252OB=⊥如图2，当∠ODB=90°时，即CD AB∴ AD=BD∴ AC=BC∵ AB=BC∴ △ABC 是等边三角形∴ ∠DBO=30°∵ OB=5∴ 35322BD OB == ∴ BC=AB=53． 综上所述：若△OBD 是直角三角形，则弦BC 的长为52或53．故答案为：52或53． 【点睛】 本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．16．如图，△ABC 中，∠A=60°，若O 为△ABC 的内心，则∠BOC 的度数为______度．120【分析】根据三角形的内心是三角形角平分线的交点结合公式求出即可【详解】解：为的内心故答案是：120【点睛】注意此题中的结论：若是内心则熟记公式可简化计算解析：120【分析】根据三角形的内心是三角形角平分线的交点，结合公式1902BOC A ∠=+∠︒求出即可． 【详解】解：60A ∠=︒，O 为ABC ∆的内心，1190906012022BOC A ， 故答案是：120．【点睛】注意此题中的结论：若O 是内心，则1902BOC A ∠=+∠︒．熟记公式可简化计算． 17．如图，A ，B ，P 是半径为2的O 上的三点，45APB ∠=︒，则弦AB 的长为______．【分析】首先连接OAOB由圆周角定理即可求得∠AOB=90°又由OA=OB=2利用勾股定理即可求得弦AB的长【详解】解：连接OAOB∵∠APB=45°∴∠AOB=2∠APB=90°∵OA=OB=2∴解析：22【分析】首先连接OA，OB，由圆周角定理即可求得∠AOB=90°，又由OA=OB=2，利用勾股定理即可求得弦AB的长．【详解】解：连接OA，OB，∵∠APB=45°，∴∠AOB=2∠APB=90°，∵OA=OB=2，∴2222+=AB OA OB故答案为：2【点睛】此题考查了圆周角定理以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．18．小明用一张扇形纸片做一个圆锥的侧面，已知该扇形的半径是10cm，弧长是12πcm2，那么这个圆锥的高是________cm．参考答案8【分析】设圆锥的底面半径为利用圆锥的侧面展开图为一个扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长圆的周长公式计算出然后利用勾股定理计算出圆锥的高【详解】解：设圆锥底面圆的半径为则有∴圆锥的高为故答案是：【解析：8【分析】设圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一个扇形、这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长、圆的周长公式计算出r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．解：设圆锥底面圆的半径为r ，则有，212r ππ=6r =∴圆锥的高为221068cm -=．故答案是：8【点睛】本题考查了平面图形与立体图形之间的互相转化、求圆锥的底面半径、圆的周长公式以及勾股定理等相关知识，能够利用“扇形的弧长等于圆锥底面的周长”求得圆锥的底面半径是解题的关键．19．如图，直线33y x =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ．以A 为圆心，以AB 为半径作弧交x 轴于点A 1；过点A 1作x 轴的垂线，交直线 AB 于点B 1，以A 为圆心，以AB 1为半径作弧交x 轴于点 A 2；…，如此作下去，则点n A 的坐标为___________；（2n ﹣10）【分析】根据题意先求出点AB 的坐标再利用勾股定理求出AA1AA2AA3……AAn 的长可得到点A1A2A3……An 的坐标找到规律即可解答【详解】解：当x=0时y=当y=0时x=﹣1∴A(解析：（2n ﹣1，0）【分析】根据题意，先求出点A 、B 的坐标，再利用勾股定理求出AA 1、AA 2、AA 3……AA n 的长，可得到点A 1、A 2、A 3……A n 的坐标，找到规律即可解答．【详解】解：当x=0时，3y=0时，x=﹣1，∴A(﹣1，0)，B(03，∴AA 122(01)(3)2++=，则点A 1(1，0)，B 1(1，3，∴AA 2=AB 122(11)(23)4++=，则点A 2(3，0)，B 2(3，3，∴AA 3=AB 222(31)(43)8++=，则点A 3(7，0)，B 3(7，3，……∴可以得到A n 的坐标为（2n ﹣1，0），故答案为：（2n ﹣1，0）．本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、图形的规律探究、圆的基本知识、勾股定理，解答的关键是利用勾股定理求得AA 1、AA 2、AA 3……AA n 的长，进而得到A 1、A 2、A 3……A n 的坐标的变化规律．20．在半径为4cm 的圆中，长为4cm 的弦所对的圆周角的度数为________或【分析】首先根据题意画出图形然后在优弧上取点C 连接ACBC 在劣弧上取点D 连接ADBD 易得是等边三角形再利用圆周角定理即可得出答案【详解】解：如图在优弧上取点C 连接ACBC 在劣弧上取点D 连接ADBD解析：30或150︒【分析】首先根据题意画出图形，然后在优弧上取点C ，连接AC 、BC ，在劣弧上取点D ，连接AD 、BD ，易得OAB 是等边三角形，再利用圆周角定理，即可得出答案．【详解】解：如图，在优弧上取点C ，连接AC 、BC ，在劣弧上取点D ，连接AD 、BD ，4,4OA OB cm AB cm OA OB AB===∴== OAB ∴是等边三角形，601302180150AOB C AOB D C ∴∠=︒∴∠=∠=︒∴∠=︒-∠=︒∴所对的圆周角度数为：30或150︒故答案为：30或150︒．【点睛】本题考查圆周角定理及等边三角形的判定与性质，注意两种情况．三、解答题21．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形BEFG 中，点E 在AB 的延长线上，点G在BC上，点O在线段AB上，且AO BO≥．以OF为半径的O与直线AB交于点M、N．（1）如图1，若点O为AB中点，且点D，点C都在O上，求正方形BEFG的边长．（2）如图2，若点C在O上，求证：以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值．（3）如图3，若点D在O上，求证：DO FO⊥．解析：（1）12；（2）见解析；12；（3）证明见解析【分析】（1）连接OC，设BE=EF=x，则OE=x+12，得出(x+12)2+x2＝(12)2+12，解得：x=12，则答案求出；（2）连接OC，设OB=y，BE=EF=x，同（1）可得，OE2+EF2=OF2，OB2+BC2=OC2，得出x2+（x+y）2=y2+12，即x（x+y）=12，则结论可得证；（3）连接OD，设OA=a，BE=EF=b，则OB=1-a，则OE=1-a+b，可得出12+a2=（1-a+b）2+b2，得出a=b，则OA=EF，证明Rt△AOD≌Rt△EFO（HL），则得出∠FOE=∠ODA，结论得出．【详解】解：（1）连接OC∵四边形ABCD和四边形BEFG为正方形，∴AB=BC=1，BE=EF，∠OEF=∠ABC=90°，∵点O为AB中点，∴OB=12AB=12，设BE=EF=x，则OE=x+12，在Rt△OEF中，∵OE2+EF2=OF2，∴(x+12)2+x2＝OF2，在Rt△OBC中，∵OB2+BC2=OC2，∴(12)2+12=OC2，∵OC，OF为⊙O的半径，∴OC=OF，∴(x+12)2+x2＝(12)2+12，解得：x=12，∴正方形BEFG的边长为12；（2）证明：如图2，连接OC，设OB=y，BE=EF=x，同（1）可得，OE2+EF2=OF2，OB2+BC2=OC2，∴OF2=x2+（x+y）2，OC2=y2+12∵OC，OF为⊙O的半径，∴OC=OF，∴x2+（x+y）2=y2+12，∴2x2+2xy=1，∴x2+xy=12，即x（x+y）=12，∴EF×OE=12，∴以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，这个定值为12．（3）证明：连接OD，设OA=a，BE=EF=b，则OB=1-a，则OE=1-a+b，∵∠DAO=∠OEF=90°，∴DA 2+OA 2=OD 2，OE 2+EF 2=OF 2，∴12+a 2=OD 2，（1-a+b ）2+b 2=OF 2，∵OD=OF ，∴12+a 2=（1-a+b ）2+b 2，∴（b+1）（a-b ）=0，∵b+1≠0，∴a-b=0，∴a=b ，∴OA=EF ，在Rt △AOD 和Rt △EFO 中，OD OF OA EF ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △AOD ≌Rt △EFO （HL ），∴∠FOE=∠ODA ，∵∠DAO=90°，∴∠ODA+∠AOD=90°，∴∠FOE+∠AOD=90°，∴∠DOF=90°，∴DO ⊥FO ．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的面积等知识，熟练运用方程的思想是解题的关键．22．如图，以Rt ABC 的AC 边为直径作O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点P 为BC 的中点，连接EP ，AD ．（1）求证：PE 是O 的切线；（2）若O 的半径为3，30B ∠=︒，求P 点到直线AD 的距离． 解析：（1）证明见解析；（2）217 【分析】（1）连接CE ，由AC 是⊙O 的直径，得出CE ⊥AE ，由P 为BC 的中点，可得EP=BP=CP ，可得∠PEC=∠PCE ， 再由∠ACB=90°，即可得到结论．（2）设P 点到直线AD 的距离为d ，根据三角形的面积得到PD AC d AD= ①由勾股定理得63BC =，根据平行线的性质得到∠OPC=∠B=30°，推出OEA △为等边三角形，得到∠EOA=60°，在Rt ACD △中，由勾股定理得：2237AD AC CD =+=，将以上数据代入①得即可得到结论．【详解】 证明：（1）连接CE ，如图所示：∵AC 为⊙O 的直径，∴∠AEC=90°．∴∠BEC=90°．∵点P 为BC 的中点，∴EP=BP=CP ．∴∠PEC=∠PCE ．∵OE=OC ，∴∠OEC=∠OCE ．∵∠PCE+∠OCE=∠ACB=90°，∴∠PEC+∠OEC=∠OEP=90°．E 在O 上，∴EP 是⊙O 的切线；（2）解：设P 点到直线AD 的距离为d ，连接,AP OP ， 则有：1122PAD S AD d PD AC ==，∴PD ACd AD = ①∵⊙O 的半径为3，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=6，AB=12，由勾股定理得：3BC =∴33PC =∵O ，P 分别是AC ，BC 的中点，∴//OP AB ，∴∠OPC=∠B=30°，∵OE=OA ，∠OAE=60°，∴OEA △为等边三角形，∴∠EOA=60°，∴∠ODC=90°-∠COD=90°-∠EOA=30°，∴∠ODC=∠OPC=30°，∴OP=OD ，∵OC ⊥PD ， ∴33CD PC ==，在Rt ACD △中，由勾股定理得：2237AD AC CD =+=，将以上数据代入①得： 6361221737PD AC d AD ⨯===． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，勾股定理，等腰三角形，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30的直角三角形的性质，等面积法，掌握以上知识是解题的关键．23．如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点M ，弦MN ∥BC 交AB 于点E ，且ME ＝NE ＝3．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若AE ＝4，求⊙O 的直径AB 的长度．解析：（1）见解析；（2）AB ＝254． 【分析】（1）先由垂径定理得AB ⊥MN ，再由平行线的性质得BC ⊥AB ，然后由切线的判定定理即可得到BC 是⊙O 的切线；（2）连接OM ，设⊙O 的半径是r ，在Rt △OEM 中，根据勾股定理得到r 2=32+（4-r ）2，解方程即可得到⊙O 的半径，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵ME ＝NE ＝3，∴AB ⊥MN ，又∵MN ∥BC ，∴BC⊥AB，∴BC是⊙O的切线；（2）解：连接OM，如图，设⊙O的半径是r，在Rt△OEM中，OE＝AE﹣OA＝4﹣r，ME＝3，OM＝r，∵OM2＝ME2+OE2，∴r2＝32+（4﹣r）2，解得：r＝25 8，∴AB＝2r＝254．【点睛】本题考查了切线的判定定理、垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定和垂径定理是解题的关键．24．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，∠C=90°，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F 与y轴相交于另一点G．(1)求证：BC是⊙F的切线；(2)若点A、D的坐标分别为A(0,−1)，D(2,0)，求⊙F的半径；(3)请直接写出线段AG、AD、CD三者之间满足的数量关系：___________________．解析：（1）见解析；（2）52；（3）AG=AD+2CD．【分析】（1）连接EF，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC，得到FE∥AC，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结论；（2）连接FD ，设⊙F 的半径为r ，根据勾股定理列出方程，解方程即可；（3）作FR ⊥AD 于R ，得到四边形RCEF 是矩形，得到EF=RC=RD+CD ，根据垂径定理解答即可．【详解】（1）证明：连接EF ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠FAE=∠CAE ，∵FA=FE ，∴∠FAE=∠FEA ，∴∠FEA=∠EAC ，∴FE ∥AC ，∴∠FEB=∠C=90°，即BC 是⊙F 的切线；（2）解：连接FD ，∵A(0,−1)，D(2,0)，∴OA=1,OD=2.在Rt △FOD 中，∵222OF OD DF += 设⊙F 的半径为r ，∴r 2=（r-1）2+22，解得，r=52，即⊙F 的半径为52； （3）解：AG=AD+2CD ．证明：作FR ⊥AD 于R ，则∠FRC=90°，又∵BC 是⊙F 的切线；∴∠FEC=∠C=∠FRC=90°，∴四边形RCEF 是矩形，∴EF=RC=RD+CD ，∵FR ⊥AD ，AF=FD,∴AR=RD ， ∴EF=RD+CD=12AD+CD ， ∴AG=2FE=AD+2CD ．【点睛】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键．25．第十届亚运会在广东召开，有三名运动员分别下榻在A 、B 、C 三个宾馆，三个宾馆由三条道路相连，如图所示．（1）为建一个公共活动场地P 到三个宾馆的距离相等．请用尺规作图方法作出点P ，使得点P 落在△ABC 内部．保留作图痕迹，不要求写作法．（2）如果ACB α∠=，那么APB ∠=______．解析：（1）作两边的垂直平分线，交点即为所求，见解析；（2）2α．【分析】（1）分别作三角形两条边的垂直平分线，两条直线的交点即为所求；（2）根据（1）的作法，可以确定点P 是△ABC 的外接圆的圆心，再根据圆周角定理即可确定∠APB 是∠ACB 的2倍，即可求得结论．【详解】解：（1）如图所示，点P 即为所求（2）由（1）可知PA=PB=PC ，所以点A 、B 、C 在以P 为圆心，PA 为半径的圆上，即A 、B 、C 三点共圆，∴∠APB 与∠ACB 是AB 所对的圆心角和圆周角，∴∠APB=2∠ACB ，又∵ACB α∠=，∴∠APB=2α．故答案为：2α．【点睛】本题考查垂直平分线的作法和定义，三角形外心定义、三角形外接圆、圆周角定理，难度中等．26．如图，在33⨯的网格中有一个圆，请仅用无刻度直尺作图（保留画图痕迹）．（1）在图1中，圆过格点A ，B ，请作出圆心O ；（2）在图2中，⊙O 的两条弦AB CD =，请作一个45圆周角．解析：（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）如图3，连接AN 、BM ，通过圆内接三角形是直角三角形时，斜边就是直径来确定圆心位置；（2）连接BC 、AD 、BD ，通过同（等）弧所对圆周角相等推出ABD CDB ∠=∠，进而推出45BDC ∠=︒．【详解】（1）如图3，连接AN 、BM 交点O 即为圆心∵9090ABN BAM ∠=︒∠=︒，，∴AN 、BM 是直径，∴直径交点O 就是圆心．（2）如图4，连接BC 、AD 、BD∵AB=CD ，∴AB CD =，∴ADB CBD ∠=∠，又∵AC CA =，∴ABC CDA ∠=∠，∴ABD CDB ∠=∠，又∵90BED ∠=︒，∴45ABD CDB ∠=∠=︒，故连接BD ，则45BDC ∠=︒．【点睛】本题考查确定圆心和确定圆弧圆周角等问题，解题的关键是圆内接三角形是直角三角形时，斜边就是直径以及同（等）弧所对圆周角相等．27．如图，O 中，AB CD =，A C ∠=∠，AB 与CD 交于点P ．求证=DP BP ．解析：见解析．【分析】根据已知条件和圆周角定理证明△APD ≌△CPB 即可得到DP=BP ．【详解】证明：∵AB CD =，∴CD = AB ，∴ CD- CA= AB - AC ，∴ AD = BC.又∵∠A=∠C ，∠APD=∠CPB ，∴△APD ≌△CPB.∴DP=BP .【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及圆心角定理：在同圆或等圆中圆心角相等，弧相等，弦相等，弦心距相等，在这几组相等关系中，只要有一组成立，则另外几组一定成立． 28．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧CD ，点O 是CD 的圆心，E 为 CD 上一点，OE ⊥CD ，垂足为F ．已知CD=300m ，EF=50m ，求这段弯路的半径．解析：这段弯路的半径为250米．【分析】设这段弯路的半径为R 米，可得50OFOE EF R ．由垂径定理得 11300150()22CF CD m ．由勾股定理可得222OC CF OF =+，解得 R 的值．【详解】解：连接OC ．设这段弯路的半径为R 米则50OF OE EF ROE CD ⊥ 11300150()22CF CD m ．根据勾股定理，得222OC CF OF =+即()22215050R R =+-R解之，得250所以这段弯路的半径为250米．【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键．。
第二十四章圆(完整知识点)人教版九年级数学上册
第二十四章 圆一、圆的有关概念及表示方法 （一）圆的定义1、描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。
其固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。
2、集合性定义：圆可以看成是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。
（二）圆的表示方法：以点O 为圆心的圆，记作⨀O ，读作“圆O ”。
（三）圆具有的特性1、圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）。
2、到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
注：（1）确定一个圆需要两个因素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
（2）同一个圆中的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心[三点不共线(直径)]构成的三角形都是等腰三角形。
（四）圆的有关概念1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。
以AC 为端点的弦，记作：弦AC 。
注：圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦，但弦不一定是直径。
2、弧2.1圆上任意两点间的部分叫做圆弧、简称弧。
以A 、B 为端点的弧记作⨀AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。
2.2圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，如图中的⨀ABC 。
小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的⨀AC。
注：（1）在一个圆中，任意一条弦都对着两条弧，任意一条弧只对着一条弦。
（2）弧包括优弧、劣弧、半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧。
3、同圆或等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
同圆或等圆的半径相等。
4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
等弧是全等的，不仅仅是弧的长度相等。
5、同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。
二、圆的有关性质 （一）垂直于弦的直径1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
名称 文字语言 符号语言 图示垂径 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
人教版数学九年级上册第二十四章《圆》知识点及练习题（附答案）
⼈教版数学九年级上册第⼆⼗四章《圆》知识点及练习题（附答案）《圆》章节知识点复习和练习附参考答案⼀、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离⼤于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离⼩于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆⼼，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、⾓的平分线：到⾓两边距离相等的点的轨迹是这个⾓的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平⾏于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平⾏线距离相等的点的轨迹是：平⾏于这两条平⾏线且到两条直线距离都相等的⼀条直线。
⼆、点与圆的位置关系1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内；2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上；3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ? d r > ? ⽆交点；2、直线与圆相切 ? d r = ? 有⼀个交点；3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）? ⽆交点 ? d R r >+；外切（图2）? 有⼀个交点 ? d R r =+；相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+；内切（图4）? 有⼀个交点 ? d R r =-；内含（图5）? ⽆交点 ? d R r <-；A五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆⼼，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的⼀条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另⼀条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径②AB CD ⊥③CE DE = ④弧BC =弧BD ⑤弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
人教版第24章圆的知识点及典型例题
圆知识点总结一．圆的定义1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．2．圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．3．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．二．同圆、同心圆、等圆1．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；#2．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3．半径相等的圆叫做等圆．三．弦和弧1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的弧记作AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．*3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．四．与圆有关的角及相关定理1．顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．…圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）3．顶点在圆内，两边与圆相交的角叫圆内角．圆内角定理：圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半．4．顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角．【圆外角定理：圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半． 5．圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．6．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．7．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． ：五．垂径定理1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2．其它正确结论：⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． \3．知二推三：⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平分优弧．以上五个条件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法：⑴过圆心，作垂线，连半径，造RT △，用勾股，求长度；⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 相关题目： {1．平面内有一点到圆上的最大距离是6，最小距离是2，求该圆的半径 2．（08郴州）已知在O ⊙中，半径5r =，AB CD ，是两条平行弦，且86AB CD ==，，则弦AC 的长为__________．． 六．点与圆的位置关系 1．点与圆的位置有三种：⑴点在圆外⇔d r >；⑵点在圆上⇔d r =；⑶点在圆内⇔d r <.》2．过已知点作圆⑴经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A 的圆，这样的圆有无数个． ⑵经过两点A B 、的圆：以线段AB 中垂线上任意一点O 作为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A B 、的圆，这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：若这三点A B C 、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C 、、三点不共线时，圆心是线段AB 与BC 的中垂线的交点，而这个交点O 是唯一存在的，这样的圆有唯一一个． ⑷过n ()4n ≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．3．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． —注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．4．三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.|⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.图3图2图1CBCC五．直线和圆的位置关系的定义、性质及判定从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：四．切线的性质及判定1. 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．、2. 切线的判定定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3. 切线长和切线长定理：⑴在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．：五．三角形内切圆1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形．六．圆和圆的位置关系的定义、性质及判定设O O、⊙⊙的半径分别为（其中），两圆圆心距为，则两圆位置关系如下表：|位置关系图形定义性质及判定外离两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．—d R r>+⇔两圆外离外切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．d R r=+⇔两圆外切相交#两个圆有两个公共点．R r d R r-<<+⇔两圆相交内切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．d R r=-⇔两圆内切内含>两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．0d R r≤<-⇔两圆内含说明：圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．七．正多边形与圆，1. 正多边形的定义：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．2. 正多边形的相关概念：⑴正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．⑵正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．⑶正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．⑷正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．~3. 正多边形的性质：⑴正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；⑵正多边形都是轴对称图形，正n边形共有n条通过正n边形中心的对称轴；⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．八、圆中计算的相关公式设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ，、1. 弧长公式：π180n Rl =2. 扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形 3. 圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+4. 圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+（l 为母线） 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法。
【3套】人教版九年级上册数学单元练习题：第二十四章圆(含解析答案)
人教版九年级上册数学单元练习题：第二十四章圆（含解析答案）一．选择题1．如图，AB是⊙O直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．40°B．50°C．65°D．25°2．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（）A．2B．2 C．3D．43．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°4．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（）A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：25．下列说法中，正确的是（）A．正n边形有n条对称轴B．相等的圆心角所所对的弦相等C．三角形的外心到三条边的距离相等D．同一个平面上的三个点确定一个圆6．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（）A．8 B．10 C．D．7．如图，⊙O的弦AB＝8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM＝3，则MN的长为（）A．2 B．3 C．4 D．58．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠BAO的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．55°9．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC ＝3，则BC的长为（）A．5B．3C．2D．10．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于（）A．65°B．35°C．25°D．15°11．如图，⊙O的半径为4，A、B、C、D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，D G相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF的值是（）A．4 B．2C．4D．值不确定12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝2cm，把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB1C1，则线段BC所扫过的面积为（）A．πcm2B．πcm2C．πcm2D．5πcm2二．填空题13．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，连接DE，过点D作DF⊥AC于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是．14．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB 的度数是．15．如图，△ABC是圆O的内接三角形，则∠ABC﹣∠OAC＝．16．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD平分∠CAB，若AD＝6，则AC＝．17．如图，⊙O的半径为10cm，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于D，交⊙O于点C，且CD＝4cm，弦AB的长为c m．18．如图，在坐标系中以原点为圆心，半径为2的圆，直线y＝kx﹣（k+1）与⊙O有两个交点A、B，则AB的最短长度是．三．解答题19．如图，△ACB内接于圆O，AB为直径，CD⊥AB与点D，E为圆外一点，EO⊥AB，与BC 交于点G，与圆O交于点F，连接EC，且EG＝EC．（1）求证：EC是圆O的切线；（2）当∠ABC＝22.5°时，连接CF，①求证：AC＝CF；②若AD＝1，求线段FG的长．20．如图，OA、OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，点C在⊙O上，AC与OB交点D，点E在OB 的延长线上，且CE＝DE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）当∠A＝30°，OA＝6时，则CD的长为．21．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3，AC＝6，以BC为边作等边三角形BCD，连接AD，求AD的值．（2）如图2，四边形ABCD中．△ABM，△CDN是分别以AB，CD为一条边的等边三角形，E，F分别在这两个三角形的外接圆上，试问AE+EB+EF+FD+FC是否存在最小值？若存在最小值，则E，F两点的位置在什么地方？井说明理由．若不存在最小值，亦说明理由．22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接OC，过点A作AD∥OC，交BC的延长线于D，AB交OC于E，∠ABC＝45°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AE＝，CE＝3．①求⊙O的半径；②求图中阴影部分的面积．23．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆．AC、BD是四边形ABCD的对角线，BD经过圆心O，点E在BD的延长线上，BA与CD的延长线交于点F，DF平分∠ADE．（1）求证：AC＝BC；（2）若AB＝AF，求∠F的度数；（3）若，⊙O半径为5，求DF的长．24．如图，点A在数轴上对应的数为20，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB＝，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．（1）若优弧上一段的长为10π，求∠AOP度数及x的值．（2）若线段PQ的长为10，求这时x的值．参考答案一．选择题1．解：连接OD，∵AO＝OD，∴∠A＝∠ODA＝25°，∵∠COD＝∠A+∠ADO，∴∠COD＝50°，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC＝90°，∵∠C+∠COD＝90°，∴∠C＝40°，故选：A．2．解：∵⊙O与AC相切于点D，∴AC⊥OD，∴∠ADO＝90°，∵AD＝OD，∴tan A＝＝，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠C＝∠ADO＝90°，∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝6，AC＝BC＝6，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BC＝×6＝2；故选：A．3．解：连接FB．∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠FEB＝∠FOB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF＝55°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF＝20°，∴∠EFO＝∠EBO，∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故选：B．4．解：如图，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为r，作AH⊥BC于H，∵△ABC为等边三角形，∴AH平分∠BAC，即∠BAH＝30°，∴点O在AH上，∴OH＝r，连接OB，∵⊙O为△ABC的内切圆，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OA＝OB，在Rt△OBH中，OB＝2OH＝2r，∴AH＝2r+r＝3r，∴OH：OA：AH＝1：2：3，即等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3．故选：B．5．解：A、正n边形有n条对称轴，故本选项正确；B、如图，圆心角相等，但是弦AB和弦CD不相等，故本选项错误；C、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三角形三边的距离相等，故本选项错误；D、在同一直线上的三个点不能作一个圆，故本选项错误；故选：A．6．解：连接OB，∵AO⊥BC，AO过O，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∠BDO＝90°，由勾股定理得：OD＝＝＝3，∴AD＝OA+OD＝5+3＝8，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝4，故选：D．7．解：连接OA，∵在圆O中，M为AB的中点，AB＝8，∴OM⊥AB，AM＝AB＝4，在Rt△OAM中，OM＝3，AM＝4，根据勾股定理得：OA＝＝5．∴MN＝5﹣3＝2故选：A．8．解：∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，OC过O，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC，即∠AOB＝2∠AOC，∵∠ABC＝20°，∴∠AOC＝2∠ABC＝40°，∴∠AOB＝40°+40°＝80°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝50°，故选：C．9．解：连接OB，作OD⊥BC于点D．∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∴∠OBD＝∠ABC﹣∠ABO＝120°﹣90°＝30°，在直角△OBD中，BD＝OB•cos30°＝3×＝，则BC＝2BD＝3．故选：B．10．解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，∠AOC＝130°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝∠BOC＝25°，故选：C．11．解：当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF是定值．理由：连接OA、OB、OC、OD，如图：∵DG与⊙O相切，∴∠GDA＝∠ABD．∵∠ADG＝30°，∴∠ABD＝30°．∴∠AOD＝2∠ABD＝60°．∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形．∴AD＝OA＝4．同理可得：BC＝4．∵PE∥BC，PF∥AD，∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．∴＝，＝．∴+＝+＝1．∴+＝1．∴PE+PF＝4．∴当∠ADG ＝∠BCH ＝30°时，PE +PF ＝4．故选：A ．12．解：∵∠C ＝90°，BC ＝3cm ，AC ＝2cm ，∴AB ＝cm ，如图，由旋转知，∠BAB 1＝∠CAC 1＝90°，△ABC ≌△AB 1C 1，则线段BC 所扫过的面积S ＝+﹣S △ABC ﹣＝﹣＝﹣＝π（cm 2），故选：A ．二．填空题（共6小题）13．解：连接OE ，∵∠CDF ＝15°，∠C ＝75°，∴∠OAE ＝30°＝∠OEA ，∴∠AOE ＝120°，S △OAE ＝AE ×OE sin ∠OEA ＝×2×OE ×cos ∠OEA ×OE sin ∠OEA ＝，S阴影部分＝S 扇形OAE ﹣S △OAE ＝×π×32﹣＝3π﹣．故答案3π﹣．14．解：连接OC 交AB 于E ．∵C 是的中点，∴OC ⊥AB ，∴∠AEO ＝90°，∵∠BAO ＝20°，∴∠AOE ＝70°，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠C ＝55°，∴∠CAB ＝∠OAC ﹣∠OAB ＝35°，故答案为35°．15．解：作直径AD ，连接CD ，如图所示：∵AD 是圆O 的直径，∴∠ACD ＝90°，∴∠OAC +∠D ＝90°，∵∠ABC +∠D ＝180°，∴∠ABC ﹣∠OAC ＝180°﹣90°＝90°；故答案为：90°．16．解：连接BD．∵AB是直径，∴∠C＝∠D＝90°，∵∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，∴∠DAB＝30°，∴AB＝AD÷cos30°＝4，∴AC＝AB•cos60°＝2，故答案为2．17．解：连接OA，∵OA＝OC＝10cm，CD＝4cm，∴OD＝10﹣4＝6cm，在Rt△OAD中，有勾股定理得：AD＝＝8cm，∵OC⊥AB，OC过O，∴AB＝2AD＝16cm．故答案为16．18．解：∵直线y＝kx﹣（k+1）可化为y＝（x﹣1）k﹣1，∴此直线恒过点（1，﹣1）．过点D作DH⊥x轴于点H，∵OH＝1，DH＝1，OD＝＝＝．∵OB＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝2．故答案为：2．三．解答题（共6小题）19．（1）证明：连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∵EO⊥AB，∴∠OGB+∠B＝90°，∵EG＝EC，∴∠ECG＝∠EGC，∵∠EGC＝∠OGB，∴∠OCB+∠ECG＝∠B+∠OGB＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是圆O的切线；（2）①证明：∵∠ABC＝22.5°，∠OCB＝∠B，∴∠AOC＝45°，∵EO⊥AB，∴∠COF＝45°，∴＝，∴AC＝CF；②解：作CM⊥OE于M，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°∵∠ABC＝22.5°，∠GOB＝90°，∴∠A＝∠OGB＝∠67.5°，∴∠FGC＝67.5°，∵∠COF＝45°，OC＝OF，∴∠OFC＝∠OCF＝67.5°，∴∠GFC＝∠FGC，∴CF＝CG，∴FM＝GM，∵∠AOC＝∠COF，CD⊥OA，CM⊥OF，∴CD＝DM，在Rt△ACD和Rt△FCM中∴Rt△ACD≌Rt△FCM（HL），∴FM＝AD＝1，∴FG＝2FM＝2．20．（1）证明：如图连接OC．∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠A+∠ADO＝90°，∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝∠ADO，∴∠OCD+∠DCE＝90°，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线．（2）解：在Rt△AOD中，∵OA＝6，∠A＝30°，∴OD＝，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°，∠COA＝120°，∠DOC＝30°，∴∠DOC＝∠OCD＝30°，∴CD＝OD＝2．故答案为：2．21．（1）证明：在AD上截取AP＝AB，连结PB，如图，∵△DBC为等边三角形，∴∠DBC＝∠DCB＝∠BDC＝60°，DB＝CB，∵∠BAC＝120°∴∠BAC+BDC＝180°，∴A、B、D、C四点共圆，∴∠BAP＝∠DCB＝60°，∴△PAB为等边三角形，∴∠ABP＝60°，BP＝BA，∴∠DBC﹣∠PBC＝∠ABP﹣∠PBC，即∠DBP＝∠CBA，∴△DBP≌△CBA（SAS），∴PD＝AC，∴AD＝DP+AP＝AC+AB＝9．（2）当点E、F为直线MN与两圆的交点时，AE+EB+EF+FC+FD的值最小．证明：连结ME、NF，如图，由（1）的结论得EA+EB＝ME，FC+FD＝FN，∴AE+EB+EF+FC+FD＝ME+EF+FN，∴当点M、E、F、N共线时，ME+EF+FN的值最小，此时点E、F为直线MN与两圆的交点．22．解：（1）证明：连接OA，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COA＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）①设OE＝x，∵OC＝OA，∴OA＝x+3，由于AE＝，在Rt△AOE中，由勾股定理可知：x2+（x+3）2＝17，∴x2+3x﹣4＝0，∴x＝1，∴OC＝x+3＝4，∴⊙O的半径为4，；②S＝＝4π，扇形OACS＝×4×4＝8，△AOC∴图中阴影部分的面积＝4π﹣8．23．（1）证明：∵DF平分∠ADE，∴∠EDF＝∠ADF，∵∠EDF＝∠ABC，∠BAC∠BDC，∠EDF＝∠BDC，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC；（2）解：∵BD是⊙O的直径，∴AD⊥BF，∵AF＝AB，∴DF＝DB，∴∠FDA＝∠BDA，∴∠ADB＝∠CAB＝∠ACB，∴△ACB是等边三角形，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∴∠F＝∠ABD＝30°；（3）解：∵，∴＝，设CD＝k，BC＝2k，∴BD＝＝k＝10，∴k＝2，∴CD＝2，BC＝AC＝4，∵∠ADF＝∠BAC，∴∠FAC＝∠ADC，∵∠ACF＝∠DCA，∴△ACF∽△DCA，∴＝，∴CF＝8，∴DF＝CF﹣CD＝6．24．解：（1）如图1，由＝10π，解得n＝90°，∴∠POQ＝90°，∵PQ∥OB，∴∠PQO＝∠BOQ，∴tan∠PQO＝tan∠QOB＝＝∴OQ＝∴x＝；（2）分三种情况：①如图2，作OH⊥PQ于H，设OH＝k，QH＝k．在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，∴202＝（k）2+（10﹣k）2，整理得：k2﹣5k﹣75＝0，解得k＝或k＝（舍弃），∴OQ＝2k＝此时x的值为②如图3，作OH⊥PQ交PQ的延长线于H．设OH＝k，QH＝k．在Rt△在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，∴202＝（k）2+（10+k）2，整理得：k2+5k﹣75＝0，解得k＝（舍弃）或k＝（舍弃），∴OQ＝2k＝，此时x的值为﹣+5③如图4，作OH⊥PQ于H，设OH＝k，QH＝k．在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，∴202＝（k）2+（10﹣k）2，整理得：k2﹣5k﹣75＝0，解得k＝或（舍弃），∴OQ＝2k＝此时x的值为．综上所述，满足条件的x的值为或﹣+5或．人教版九年级数学上册第二十四章圆单元测试（含答案）一、单选题1．下列命题：①直径相等的两个圆是等圆；②等弧是长度相等的弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦； ④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中真命题是 ( ) A ．①③ B ．①③④ C ．①②③ D ．②④2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ．若CD ＝AP ＝8，则⊙O 的直径为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．33．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8m ，桥拱半径OC 为5m ，则水面AB 宽为（ ）A.4mB.5mC.6mD.8m4．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知4EF CD ==，则球的半径长是（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．45．如图，C 、D 为半圆上三等分点，则下列说法：①AD =CD =BC ；②∠AOD ＝∠DOC ＝∠BOC ；③AD ＝CD ＝OC ；④△AOD 沿OD 翻折与△COD 重合．正确的有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个6．下列各角中，是圆心角的是（）A. B. C. D.7．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是()A．60°B．35°C．30.5°D．30°8．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是60°，则∠ACD的度数为( )A．60°B．30°C．120°D．45°9．已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定10．如图，AB是⊙O 的直径，BC是⊙O 的切线，若OC=AB，则∠C的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°11．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A ．πB ．2πC ．3πD ．6π12．如图，已知在⊙O 中，AB=4， AF=6，AC 是直径，AC ⊥BD 于F ，图中阴影部分的面积是（ ）A. B.C. D.13．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=2，以AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )2π- 2π C.π D.2π二、填空题14．已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为________．15．如图，在⊙O 中，已知∠AOB ＝120°，则∠ACB ＝________．16．如图，在O 中，直径4AB =，弦CD AB ⊥于E ，若30A ∠=，则CD =____17．如图，在O 中，120AOB ∠=︒，P 为劣弧AB 上的一点，则APB ∠的度数是_______.三、解答题18．如图，在△ABC 中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，求弦BD 的长19．如图，在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D ，过点 D 作∠ADE ＝∠A ，交 AC 于点 E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若34BCAC=，求DE 的长．20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BC的中点．过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．（1）求证：A DOB∠=∠；（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．21．如图所示，一个圆锥的高为h＝(1)圆锥的母线长与底面圆的半径之比；(2)母线AB与AC的夹角；(3)圆锥的全面积．答案1．A2．A3．D4．B5．A6．D7．D8．B9．A10．B11．C12．D13．A14．6.15．60°16．17．12018．解：如图，作CE ⊥AB 于E ．∵∠B=180°-∠A-∠ACB =180°-20°-130°=30°，在Rt △BCE 中，∵∠CEB=90°，∠B=30°，BC=2，∴CE=12BC=1，∵CE⊥BD，∴DE=EB，∴19．（1）证明：连接OD，如图，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，而∠ADE＝∠A，∴∠ADE+∠ODB＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt△ABC 中34 BC AC∴AC＝43×15＝20，∵ED 和EC 为⊙O 的切线，∴ED＝DC，而∠ADE＝∠A，∴DE＝AE，∴AE＝CE＝DE12AC＝10，即DE 的长为10．20．(1)连接OC ，D Q 为BC 的中点，∴CD BD =，12BOD BOC ∴∠=∠， 12BAC BOC ∠=∠， A DOB ∴∠=∠；(2)DE 与⊙O 相切，理由如下：A DOB ∠=∠，//AE OD ∴，∴∠ODE+∠E=180°，DE AE ⊥，∴∠E=90°，∴∠ODE=90°，OD DE ∴⊥，又∵OD 是半径，DE ∴与⊙O 相切．21．(1)设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r .∵圆锥的侧面展开图是半圆，∴2r l ππ＝，∴2l r ＝，∴21l r ＝::.即圆锥的母线长与底面圆的半径之比为2:1.(2)∵2l r ＝，即2AB BO ＝，∴30BAO ∠︒＝，∴60BAC ∠︒＝，即母线AB 与AC 的夹角为60︒.(3)在Rt AOB 中，222l h r ＝＋，又2l r ＝，h ＝∴36r l ＝，＝，∴227S S S rl r πππ全底＝＋＝＋＝侧人教版九年级数学上册第23章旋转单元练习卷含答案一、单选题1.已知点与点关于坐标原点对称，则实数a、b的值是A. ，B. ，C. ，D. ，2.观察下图，在A、B、C、D四幅图案中，能通过图案平移得到的是（）A. B. C. D.3.将图绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是（）A. B. C. D.4.如图，四边形ABCD是正方形，△ADE绕着点A旋转90°后到达△ABF的位置，连接EF，则△AEF的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形5.如图，□ABCD绕点A逆时针旋转32°，得到□AB′C′D′，若点B′与点B是对应点，若点B′恰好落在BC边上，则∠C=（）A. 106°B. 146°C. 148°D. 156°6.如图所示的图案绕旋转中心旋转一定角度后能够与自身重合，那么这个旋转角可能是( )A. B. C. D.7.如图的四个图形中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 48.已知点P1（a，3）与P2（﹣5，﹣3）关于原点对称，则a的值为（）A. 5B. 3C. 4D. -5二、填空题9.在平面直角坐标系中，规定把一个点先绕原点逆时针旋转45°，再作出旋转后的点关于原点的对称点，这称为一次变换，已知点A的坐标为（﹣1，0），则点A经过连续2016次这样的变换得到的点A2016的坐标是________．10.我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°．（1）判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为144°．________②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．________（2）填空：下列图形中时旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是________ ．（写出所有正确结论的序号）①正三角形②正方形③正六边形④正八边形11.在下列图案中可以用平移得到的是________（填代号）．12.如图是奥迪汽车的车牌标志，右边的三个圆环可以看作是左边的圆环经过________得到的．13.将一个自然数旋转180°后，可以发现一个有趣的现象，有的自然数旋转后还是自然数．例如，808，旋转180°后仍是808．又如169旋转180°后是691．而有的旋转180°后就不是自然数了，如37．试写一个五位数，使旋转180°后仍等于本身的五位数________．（数字不得完全相同）14.如图，在平面直角坐标系中，是由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是________.15.若将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，OB=2，则点A关于原点对称的点的坐标为________ ．三、解答题16.如图，在直角坐标系中，已知△ABC各顶点坐标分别为A（0，1），B（3，﹣1），C（2，2），试作出与△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1，并直接写出A1，B1，C1的坐标．17.找出图中的旋转中心，说出旋转多少度能与原图形重合？并说出它是否是中心对称图形．18.如图所示，在△OAB中，点B的坐标是（0，4），点A的坐标是（3，1）．（1）画出△OAB向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度后的△O1A1B1（2）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求出点A旋转到A2所经过的路径长（结果保留π）四、作图题19.如图，阴影部分是由4个小正方形组成的一个直角图形，请用三种方法分别在下图方格内添涂黑一个小正方形，使涂黑后整个图形的阴影部分成为轴对称图，并画出其对称轴．答案一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】点与点关于坐标原点对称，实数a、b的值是：，．故答案为：D【分析】根据关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，就可求出a、b的值。
新人教版初三九年级上册数学第二十四章圆知识点及练习题(附答案)试卷
新人教版初三九年级上册数学第二十四章圆知识点及练习题(附答案)试卷并且可以用于解决一些圆的问题。
在圆O中，圆心角∠XXX和∠AEB相等，则弦AB和DE相等，弦BC和BD相等，弦AC和AD相等，且弦心距相等。
七、切线与切点1、切线定义：过圆上一点的直线称为圆的切线；2、切点定义：圆上与切线相切的点称为切点；3、定理：切线垂直于半径，切点在切线上，且切点到圆心的距离等于半径长。
在圆O中，点A在圆上，线段AB是圆O上的一条切线，点B是切点，且AB垂直于半径OA，AB上的点与圆心O的距离等于半径OA的长度。
参考答案：一、圆的概念集合形式的概念：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
圆的外部是到定点的距离大于定长的点的集合，圆的内部是到定点的距离小于定长的点的集合。
轨迹形式的概念：圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹，以定点为圆心，定长为半径的圆。
垂直平分线是到线段两端距离相等的点的轨迹，角的平分线是到角两边距离相等的点的轨迹，到直线的距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线，到两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系点在圆内的距离小于半径，点在圆上的距离等于半径，点在圆外的距离大于半径。
三、直线与圆的位置关系直线与圆相离的距离大于半径，直线与圆相切的距离等于半径，直线与圆相交的距离小于半径。
四、圆与圆的位置关系圆与圆外离的距离大于两圆半径之和，圆与圆外切的距离等于两圆半径之和，圆与圆相交的距离在两圆半径之差和之和之间，圆与圆内切的距离等于两圆半径之差，圆与圆内含的距离小于两圆半径之差。
五、垂径定理垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1包括平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
六、圆心角定理圆心角定理是指同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
第二十四章 圆 知识点总结
第二十四章圆一、圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。
（如途中的CD）直径等于半径的2倍。
（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
六、圆周角定理及其推论1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
第24章圆章节知识点及习题及答案
第24章圆章节知识点及习题及答案第⼆⼗四章圆章节知识点思维导图：⼀、圆的有关性质（⼀）与圆有关的概念1、定义：在⼀个平⾯内线段OA绕它固定的⼀个端点O旋转⼀周，另⼀个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆⼼，线段OA叫做半径。
2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆⼼的弦，叫做直径。
3、弧：圆上任意两点间的部分（曲线）叫做圆弧，简称弧。
能够互相重合的弧叫等弧。
圆的任意⼀条直径的两个端点把圆分成两条弧，每⼀条弧都叫做半圆，⼤于半圆的弧叫优弧；⼩于半圆的弧叫劣弧，由弦及其所对的弧组成的圆形叫⼸形。
4、圆⼼⾓：我们把顶点在圆⼼的⾓叫做圆⼼⾓。
5、圆周⾓：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的⾓叫做圆周⾓。
注意：在圆中，同⼀条弦所对的圆周⾓有⽆数个。
6、弦⼼距：从圆⼼到弦的距离叫弦⼼距。
7、同⼼圆、等圆：圆⼼相同，半径不相等的两个圆叫同⼼圆；能够重合的两个圆叫等圆。
8、点的轨迹：1）圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆⼼，定长为半径的圆；2）垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3）⾓的平分线：到⾓两边距离相等的点的轨迹是这个⾓的平分线；4）到直线的距离相等的点的轨迹是：平⾏于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5）到两条平⾏线距离相等的点的轨迹是：平⾏于这两条平⾏线且到两条直线距离都相等的⼀条直线。
（⼆）圆的性质1、对称性：圆是轴对称图形，任何⼀条直径所在直线都是它的对称轴；圆也是以圆点为对称中⼼的中⼼对称图形。
2、性质：①垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1 ：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理及推论1 可理解为⼀个圆和⼀条直线具备下⾯五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆⼼；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2：圆两条平⾏弦所夹的弧相等。
九年上第二十四章圆全章知识点总结
圆圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧，半圆既不是优弧，也不是劣弧，它是区分优弧和劣弧的一个界限。
能够重合的两个圆叫做等圆。
半径相等的两个圆是等圆。
同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
垂直于弦的直径：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。
圆即是轴对称图形，又是中心对称图形。
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
同弧或等弧所对的圆周角相等。
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，O 90的圆周角所对的弦是直径。
外接圆：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形的每一个角都是圆周角。
圆内接四边形的对角互补。
点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离d OP =，则有： 点P 在圆外r d >⇔点P 在圆上r d =⇔点P 在圆内r d <⇔不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结
人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；②优弧：大于半圆的弧叫做优弧；③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.5、弧、弦、圆心角的关系(1)圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．6、圆周角（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.7.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．8.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。
九年级数学上册第二十四章圆基础知识点归纳总结(带答案)
九年级数学上册第二十四章圆基础知识点归纳总结单选题1、如图，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，∠ABC ＝25°，OC 的延长线交PA 于点P ，则∠P 的度数是( )A ．25°B ．35°C ．40°D ．50°答案：C分析：根据圆周角定理可得∠AOC =50°，根据切线的性质可得∠PAO =90°，根据直角三角形两个锐角互余即可求解．∵AC⌢=AC ⌢，∠ABC ＝25°， ∴∠AOC =2∠ABC =50°，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠PAO =90°，∴∠P =90°−∠AOC =40°．故选C ．小提示：本题考查了圆周角定理，切线的性质，掌握圆周角定理与切线的性质是解题的关键．2、已知圆锥的底面半径为4cm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．36πcm 2B ．24πcm 2C ．16πcm 2D ．12πcm 2答案：B分析：利用圆锥侧面积计算公式计算即可：S 侧=πrl ；S 侧=πrl =π×4×6=24π cm 2 ，故选B ．小提示：本题考查了圆锥侧面积的计算公式，比较简单，直接代入公式计算即可．3、圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（）A．90°B．100°C．120°D．150°答案：C分析：圆锥的侧面展开图是一个扇形，利用弧长公式进行计算即可得．解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，=2π×1，由题意得：n⋅3π180解得n=120，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，故选：C．小提示：本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，熟记弧长公式是解题关键．4、如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD=40°，则∠B=（）A．70°B．60°C．50°D．40°答案：C分析：由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．解：∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴∠ACD+∠D＝90°，∵∠ACD＝40°，∴∠ADC＝∠B＝50°．故选：C．小提示：本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．5、如图，在平面直角坐标系中，以1.5为半径的圆的圆心P的坐标为(0,2)，将⊙P沿y轴负方向平移1.5个单位长度，则x轴与⊙P的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定答案：A分析：根据题意，将圆心点向下平移1.5个单位，即可判断圆与x轴的位置关系．解：如图，∵圆心P的坐标为(0,2)，将⊙P沿y轴负方向平移1.5个单位长度，∴平移后的点P的坐标为(0,0.5)，∴OP=0.5，∵半径为1.5，∴PO<r，∴圆P与x轴相交，故选A.小提示：本题主要考查圆与直线的位置关系，结合题意判断圆与x轴的位置关系是解题的关键．6、如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一点D，且BC=10cm，DC=2cm．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（）cm．A．14B．12C．10D．8答案：C分析：首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长12cm，求出AB的值，由BC=10cm，DC=2cm，求出DB的值，再在Rt△ABD中，根据勾股定理求出AD的长，即可得答案．解：圆柱侧面展开图如下图所示，∵圆柱的底面周长为12cm，∴AB =6cm，∵BC=10cm，DC=2cm，∴DB=8，在Rt△ABD中，AD=√AB2+DB2=√62+82=10( cm )，即蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是10cm，故选： C ．小提示：此题主要考查了圆柱的平面展开图，以及勾股定理的应用，解题的关键是画出圆柱的侧面展开图．⌢上，则∠BAC的度数为（）7、如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在BACA．55°B．65°C．75°D．130°答案：B分析：利用圆周角直接可得答案．⌢上，解：∵∠BOC＝130°，点A在BAC∴∠BAC=1∠BOC=65°,2故选B小提示：本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键．8、如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A．55°B．65°C．60°D．75°答案：B分析：连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD ＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．解：连接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E 是边BC 的中点，∴OD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∴∠ODB ＝∠ODC ＝12∠BDC ＝65°，故选：B ．小提示：本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质等知识．正确理解题意是解题的关键．9、如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AE ＝BEB ．OE ＝DEC ．AC⌢=BC ⌢D ．AD ⌢=BD ⌢ 答案：B分析：根据垂径定理即可判断．解：∵CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，∴AE =EB ，AC⌢=BC ⌢， AD ⌢=BD ⌢． 故选：B ．小提示：本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．10、如图，点A,B,C,D,E 在⊙O 上，AB =CD,∠AOB =42°，则∠CED =（ ）A ．48°B ．24°C ．22°D ．21°答案：D分析：先证明AB⌢=CD ⌢,再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案． 解：∵ 点A,B,C,D,E 在⊙O 上，AB =CD,∠AOB =42°，∴AB⌢=CD ⌢, ∴∠CED =12∠AOB =12×42°=21°,故选：D.小提示：本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌握同弧或等弧的概念与性质是解题的关键．填空题11、如图，在正六边形ABCDEF 中，连接AC,CF ，则∠ACF =____________度．答案：30分析：连接BE ，交CF 与点O ，连接OA ，先求出∠AOF =360°6=60°，再根据等腰三角形等边对等角的性质，三角形外角的性质求解即可．连接BE ，交CF 与点O ，连接OA ，∵在正六边形ABCDEF 中，∴∠AOF =360°6=60°，∵OA =OC∴∠OAC =∠OCA∵∠AOF =∠OAC +∠ACF =2∠ACF∴∠ACF =30°，所以答案是：30．小提示：本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．12、如图，在⊙O 中，半径OC 与弦AB 垂直于点D ，M 为AD 的中点，N 为AC⌢上的点，且MN ∥CD ．若CD ＝5，MN ＝4，则⊙O 的半径为_______．答案：212##10.5分析：连接AO ，ON ，延长NM 交⊙O 于F ，过O 作OE ⊥NF 于E ，如图，设⊙O 的半径为r ，AD =t ，先证明四边形MEOD 是矩形得到OE =DM =12t ，OD =ME =r -5，再利用勾股定理得(r −5)2+t 2=r 2①，(r −5+4)2+(12t)2=r 2②，然后解方程组即可．解：连接AO ，ON ，延长NM 交⊙O 于F ，过O 作OE ⊥NF 于E ，如图，设⊙O的半径为r，AD=t，∵CD⊥AB，MN∥CD，∴∠ODM=∠DME=∠MEO=90°，∴四边形MEOD是矩形，∴OE=DM=1t，OD=ME=r-5，2在Rt△AOD中，(r−5)2+t2=r2，①t)2=r2，②在Rt△NOE中，(r−5+4)2+(12②×4-①得2r-21=0，，解得r=212即⊙O的半径为21．2所以答案是：212小提示：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．13、如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是AD⌢所对的圆周角，则∠APD的度数是______．答案：30°##30度分析：根据垂径定理得出∠AOB =∠BOD ，进而求出∠AOD =60°，再根据圆周角定理可得∠APD =12∠AOD =30°． ∵OC ⊥AB ，OD 为直径，∴BD⌢=AD ⌢， ∴∠AOB =∠BOD ，∵∠AOB =120°，∴∠AOD =60°，∴∠APD =12∠AOD =30°，所以答案是：30°．小提示：本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．14、如图，在△ABC 中，AC =2，BC =4，点O 在BC 上，以OB 为半径的圆与AC 相切于点A ，D 是BC 边上的动点，当△ACD 为直角三角形时，AD 的长为___________．答案：32或65 分析：根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．解：连接OA ，①当D 点与O 点重合时，∠CAD 为90°，设圆的半径=r ，∴OA =r ，OC =4-r ，∵AC =2，在Rt △AOC 中，根据勾股定理可得：r 2+4=（4-r ）2，解得：r =32， 即AD =AO =32；②当∠ADC =90°时，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵12AO •AC =12OC •AD ， ∴AD =AO⋅AC OC ，∵AO =32，AC =2，OC =4-r =52， ∴AD =65，综上所述，AD 的长为32或65， 所以答案是：32或65．小提示：本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．15、如图，已知A 为半径为3的⊙O 上的一个定点，B 为⊙O 上的一个动点（点B 与A 不重合），连接AB ，以AB 为边作正三角形ABC ．当点B 运动时，点C 也随之变化，则O 、C 两点之间的距离的最大值是______．答案：6分析：连接OB ，OC ，OA ，在优弧AB 上取点N ，使得AN =AO ．证明△BAO ≌△CAN （SAS ），推出OB =CN =3，推出OC ≤ON +CN =6，可得结论．解：如图，连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．∵OA=ON，OA=AN，∴AO=ON=AN，∴△OAN是等边三角形，∴∠OAN=60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BAC=∠OAN=60°，∴∠BAO=∠CAN，∴△BAO≌△CAN（SAS），∴OB=CN=3，∵OC≤ON+CN=6，∴OC的最大值为6，所以答案是：6．小提示：本题考查了等边三角形的性质，圆的相关性质，垂径定理，利用两地之间线段最短是本题的解题关键．解答题16、（1）如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，若AD平分∠BAC交CB于点D，那么点D到AC的距离为．（2）如图②，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，点B是半圆AC的三等分点（弧AB<弧BC），连接BD，若BD平分∠ABC，且BD=8，求四边形ABCD的面积．（3）如图③，为把“十四运”办成一届精彩圆满的体育盛会很多公园都在进行花卉装扮，其中一块圆形场地圆O，设计人员准备在内接四边形ABCD区域内进行花卉图案设计，其余部分方便游客参观，按照设计要求，四边形ABCD满足∠ABC=60°，AB=AD，且AD+DC=10（其中2≤DC≤4），为让游客有更好的观体验，四边形ABCD花卉的区域面积越大越好，那么是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出这个最大值，不存在请说明理由．答案：（1）127；（2）四边形ABCD的面积为32；（3）存在24√3．分析：（1）如图，作辅助线，证明AE=DE；证明△BDE∽△BCA，得到BEAB =DEAC，列出比例式即可解决问题．（2）（2）连接OB，根据题意得∠AOB=60°，作AE⊥BD，利用解直角三角形可求AB的长，通过解直角三角形分别求出BC，AD，CD的长，再根据面积公式求解即可；过点A作AN⊥BC于点N，AM⊥DC，交DC的延长线于点M，连接AC，可得S四边形ABCD =S四边形ANCM，根据面积法求出关于面积的二次函数关系式，根据二次函数的性质求出最值即可．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E．则DE//AC；∵AD平分∠BAC，∠BAC=90°，∴∠DAE=45°，∠ADE=90°−45°=45°，∴AE=DE（设为λ），则BE=4−λ；∴△BDE∽△BCA，∴BEAB =DEAC，即：4−λ4=λ3解得：λ=127，∴点D到AC的距离127．（2）连接OB，∵点B是半圆AC的三等分点（弧AB＜弧BC），∴∠AOB=60°∴∠ADB=ACB=30°∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD=45°过点A作AE⊥BD于点E，则∠BAE=∠ABE=45°∴AE=BE设AE=BE=x，则DE=AEtan30°=√3x∵BD=BE+DE=x+√3x=8∴AB=√2AE=4√6−4√2∵∠ADB=ACB=30°∴ABBC =tan30°=√33∴BC=√3AB=12√2−4√6∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD∴AD⌢=CD⌢∴AD=CD∵AE⊥DE∴AD2=DE2+AE2∵AE=4√3−4,DE=√3x=12−4√3∴AD2=(12−4√3)2+(4√3−4)2=256−128√3∴S四边形ABCD =SΔABC+SΔADC=12AB·BC+12AD·CD=12AB·BC+12AD2=1 2(4√6−4√2)(12√2−4√6)+12(256−128√3)=64√3−96+128−64√3=32；（3）过点A作AN⊥BC于点N，AM⊥DC，交DC的延长线于点M，连接AC，∵AB=AD∴∠ACB=∠ACD∴AM=AN∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠ADM=180°, ∴∠ABC=∠ADM又∠ANB=∠AMD=90°，∴△ABN≌△ADM∴S四边形ABCD =S四边形ANCM∵AN=AM，∠BCA=∠DCA，AC=AC∴△ACN≌△ACM∴S四边形ANCM=2SΔACM∵∠ABC=60°∴∠ADC=120°∴∠ADM=60°，∠MAD=30°设DM=x，则AD=2x，AM=DM·tan60°=√3x,CD=10−2x,CM=10−x∴S四边形ANCM =2SΔACM=2×12×√3x(10−x)=−√3(x2−10x)∵2≤DC≤4∴2≤10−2x≤4，即3≤x≤4∵抛物线对称轴为x=5∴当x=4时，有最大值，为−√3×(16−40)=24√3小提示：本题属于圆综合题，考查了三角形的面积，解直角三角形，角平分线的性质定理，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．17、如图，已知圆锥的底面半径r为10cm，母线长为40cm．求它的侧面展开扇形的圆心角的度数和它的全面积．答案：90°，500π分析：根据由圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长可求．解：由圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长可知：，n=90°，2π×10=n×π×40180∴侧面展开扇形的圆心角的度数是90°．全面积＝底面积＋展开侧面积，=500π．全面积为：π×102+90×π×402360小提示：本题考查了圆锥全面积和展开图圆心角的度数，解题关键是明确圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，根据题意列方程求解．18、如图所示，扇形OAB的面积为4π cm2，∠AOB=90°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面．求这个圆锥的底面圆的半径．答案：1cm分析：设这个圆锥的底面半径为r cm，先利用扇形面积公式得到90π·OA2=4π，则可得到OA=4，再利用圆锥360的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和扇形面积公式得到1·2π·r·4=4π，然后解2方程求出r即可．解：设这个圆锥的底面半径为r cm，=4π，解得OA=4，由题意得90π·OA2360·2π·r·4=4π，解得r=1．所以12所以这个圆锥的底面半径为1cm．小提示：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．。
九年级数学上册第二十四章圆知识点归纳超级精简版(带答案)
九年级数学上册第二十四章圆知识点归纳超级精简版单选题1、如图，点A是⊙O上一点，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，若∠OAC=65°，则∠B的度数是（）A．40°B．50°C．45°D．55°答案：A分析：由切线的性质得到直角，再利用等腰三角形的性质求解∠O，利用直角三角形两锐角互余可得答案．解：∵AB切⊙O于点A，∴OA⊥AB，∵OA=OC，∠OAC=65°，∴∠AOC=180°−65°×2=50°，∵OA⊥AB，∴∠B=90°-∠O=40°，故选A．小提示：本题考查圆的切线的性质，等腰三角形的性质，熟悉这些性质是解题关键．2、在平面直角坐标系中，若⊙A的半径为5，A点的坐标是(4,0)，P点的坐标是(0,3)，则点P与⊙A的位置关系是（）A．点P在⊙A内B．点P在⊙A外C．点P在⊙A上D．不能确定答案：C分析：根据两点间的距离公式求出AP的长，再与5相比较即可．解：∵点A的坐标为(4,0)，点P的坐标为(0,3)，∴AP=√(4−0)2+(0−3)2=5=半径，∴点P与⊙A的位置关系是：点P在⊙A上．故选：C．小提示：本题考查了勾股定理和点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．3、如图，斗笠是一种遮挡阳光和蔽雨的编结帽，它可近似看成一个圆锥，已知该斗笠的侧面积为550πcm2，AB是斗笠的母线，长为25cm，AO为斗笠的高，BC为斗笠末端各点所在圆的直径，则OC的值为（）A．22B．23C．24D．25答案：A分析：根据圆锥的侧面积和母线可得底面圆的周长，进而可得底面圆的半径．解：∵侧面积为550π cm2，母线长为25cm，∴1×l×25=550π解得l=44π，2∵2πr=44π，∴OC=r=22，故选：A．小提示：本题考查圆锥的计算，根据侧面积和母线得到底面圆的半径是解题关键．4、已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（）A．√14B．4C．√23D．5答案：D分析：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，如图所示，先利用垂径定理求得AC=BC=1AB=5，然后在2RtΔAOC中求得OC=2√6，再在RtΔPOC中，利用勾股定理即可求解．解：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，如图所示，则AC=BC=1AB，OA=7，2∵PA＝4，PB＝6，∴AB=PA+PB=4+6=10，∴AC=BC=1AB=5，2∴PC=AC−PA=5−4=1，在RtΔAOC中，OC=√OA2−AC2=√72−52=2√6，在RtΔPOC中，OP=√OC2+PC2=√(2√6)2+12=5，故选：D小提示：本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．5、用尺规作图作三角形的内切圆，用到了哪个基本作图（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作一个角的平分线D．作一条线段的垂直平分线答案：C分析：根据三角形内心的定义解答．解：三角形的内切圆的圆心叫三角形的内心，是三角形三个角平分线的交点，∴用尺规作图作三角形的内切圆，用到了作角的平分线的作法，故选：C．小提示：此题考查了三角形内心的定义，正确理解定义是解题的关键．6、如图，等边△ABC中，AB=3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD=CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为（）A ．√33πB ．2√33πC ．√3πD ．2√3π 答案：B分析：如图，作过A 、B 、F 作⊙O ，AFB⌢为点F 的轨迹，然后计算出AFB ⌢的长度即可． 解：如图：作过A 、B 、F 作⊙O ，过O 作OG ⊥AB∵等边ΔABC∴AB =BC ，∠ABC =∠C =60°∵BD =CE∴△BCE ≌△ABC∴∠BAD =∠CBE∵∠ABC =∠ABE +∠EBC =60°∴∠ABE +∠BAD =60°∴∠AFB =120°∵∠AFB 是弦AB 同侧的圆周角∴∠AOB =120°∵OG ⊥AB ，OA =OB∴∠BOG =∠AOG =12∠AOB =60°，BG =12AB =32 ∴∠OBG =30°设OB =x ，则OG =12x ∴x 2−(x 2)2=(32)2，解得x =√3或x =-√3（舍）∴AFB ⌢的长度为120∘×2√3π360∘=2√3π3． 故选B小提示：本题考查了等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理以及圆周角定理，根据题意确定点F的轨迹是解答本题的关键．7、如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=40°，则∠AOB的度数是（）A．40°B．75°C．80°D．85°答案：C分析：直接利用圆周角定理求解．⌢，解：∵∠AOB和∠ACB都对AB∴∠AOB=2∠ACB=2×40°=80°．故选：C．小提示：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8、已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．2√5cm B．4√3cm C．2√5cm或4√5cm D．2√3cm或4√3cm答案：C分析：先画好一个圆，标上直径CD，已知AB的长为8cm，可知分为两种情况，第一种情况AB与OD相交，第二种情况AB与OC相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的AC的长；连接AC ，AO ，∵圆O 的直径CD =10cm ，AB ⊥CD ，AB =8cm ，∴AM =12AB =12×8=4cm ，OD =OC =5cm ， 当C 点位置如图1所示时，∵OA =5cm ，AM =4cm ，CD ⊥AB ，∴OM =√OA 2−AM 2=√52−42=3cm ，∴CM =OC +OM =5+3=8cm ，∴AC =√AM 2+CM 2=√42+82=4√5cm ；当C 点位置如图2所示时，同理可得OM =3cm ，∵OC =5cm ，∴MC =5−3=2cm ，在Rt △AMC 中，AC =√AM 2+CM 2=√42+22=2√5cm ．故选C ．小提示：本题考查垂径定理和勾股定理，根据题意正确画出图形进行分类讨论，熟练运用垂径定理是解决本题的关键．9、如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC ＝BC ，AB ＝4cm ，CD 是中线，点E 、F 同时从点D 出发，以相同的速度分别沿DC 、DB 方向移动，当点E 到达点C 时，运动停止，直线AE 分别与CF 、BC 相交于G 、H ，则在点E 、F 移动过程中，点G 移动路线的长度为（ ）A．2B．πC．√32πD．√22π答案：D分析：由△ADE≌△CDF，推出∠DAE=∠DCF，因为∠AED=∠CEG，推出∠ADE=∠CGE=90°，推出A、C、G、D四点共圆，推出点G的运动轨迹为弧CD，利用弧长公式计算即可．解：如图，∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD⊥AB，∴∠ADE=∠CDF=90°，CD=AD=DB，在△ADE和△CDF中，{AD=CD∠ADE=∠CDFDE=DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠DAE=∠DCF，∵∠AED=∠CEG，∴∠ADE=∠CGE=90°，∴A、C、G、D四点共圆，∴点G 的运动轨迹为弧CD ，∵AB =4，AB =√2AC ，∴AC =2√2，∴OA =OC =√2，∵DA =DC ，OA =OC ，∴DO ⊥AC ，∴∠DOC =90°，∴点G 的运动轨迹的长为90π×√2180=√2π2故选：D ．小提示：本题考查等腰直角三角形的性质、轨迹、勾股定理、全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确探究点G 的轨迹，属于中考常考题型．10、如图，四边形ABCD 的外接圆为⊙O ，BC ＝CD ，∠DAC ＝36°，∠ACD ＝44°，则∠ADB 的度数为（ ）A ．55°B ．64°C ．65°D ．70°答案：B分析：利用圆心角、弧、弦的关系得到DC⌢=BC ⌢，再利用圆周角定理得到∠BAC ＝∠DAC ＝36°，∠ABD ＝∠ACD ＝44°，然后根据三角形内角和计算∠ADB 的度数．解：∵BC ＝CD ，∴DC⌢=BC ⌢， ∵∠ABD 和∠ACD 所对的弧都是AD⌢， ∴∠BAC ＝∠DAC ＝36°，∴∠BAD =∠BAC +∠DAC =72°，∵∠ABD＝∠ACD＝44°，∴∠ADB＝180°−∠BAD−∠ABD＝180°−72°−44°＝64°，故选：B．小提示：本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．填空题11、如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为_____．答案：√5分析：根据切线的性质得到∠OCA=90°，再利用勾股定理求解即可．解：连接OC，∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB，即∠OCA=90°，在Rt△OCA中，AO=3 ，OC=2，∴AC=√32−22=√5，所以答案是：√5．小提示：本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题关键．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．12、三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2-12x+35=0的根，则该三角形外接圆的半径为______．答案：52分析：先解一元二次方程，根据构成三角形的条件取舍，勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，进而根据90度角所对的弦为直径，进而求得三角形外接圆的半径．解：x2-12x+35=0，(x−5)(x−7)=0，解得x1=5,x2=7，当x=7时，3+4=7不能构成三角形；当x=5时，32+42=25=52，∴这个三角形是斜边为5的直角三角形，，∴该三角形外接圆的半径为52所以答案是：5．2小提示：本题考查了求直角三角形的外接圆的半径，解一元二次方程，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得这个三角形是直角三角形是解题的关键．13、如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC=45°，若PC2+PD2=32，则⊙O的半径为______．答案：4分析：过点O作OE⊥CD,连接OC,根据垂径定理可得CE=DE,根据∠APC=45°，得到EP=OE,对式子PC2+PD2=32进行变换，即可求出半径.解：设⊙O的半径为R过点O作OE⊥CD,连接OC,∴CE=DE,∵∠APC=45°，∴EP=OE,PC2+PD2=(CE+EP)2+(DE−EP)2,=CE2+2CE⋅EP+EP2+DE2−2DE⋅EP+EP2,=2CE2+2EP2,=2(CE2+EP2),=2(CE2+OE2),∴2R2=32,解得：R=4.所以答案是：4小提示：此题考查垂径定理，等腰直角三角形的性质等，把式子PC2+PD2=32进行变形是解题的关键.14、如图，正方形ABCD内接于⊙O，边长BC=√5，P为弧AD上一点且AP=1，则PC=________________．答案：3分析：连接AC，易得AC为直径，在Rt△ABC中利用勾股定理算出AC，再在Rt△ACP中利用勾股定理算出PC．解：连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AC=√5，∠ABC=90°，∴AC是直径．∴∠APC=90°．在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=√(√5)2+(√5)2=√10，在Rt△APC中，PC=√AC2−AP2=√(√10)2−12=3．所以答案是：3．小提示：本题考查了圆的内接正多边形，直径所对的圆周角的性质，解决本题的关键是熟记并灵活运用“直径所对的圆周角是直角”．15、如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=90∘，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合）OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为________．答案：√22分析：连接AB，如图，先计算出AB=√2，再根据垂径定理得到AC=PC，BD=PD，则可判断CD为△PAB的中位线，然后根据三角形中位线定理求解．解：连接AB，如图，∵OA=OB=1，∠AOB=90°，∴AB=√2OA=√2，∵OC ⊥AP ，OD ⊥BP ，∴AC =PC ，BD =PD ，∴CD 为△PAB 的中位线，∴CD =12AB =√22． 所以答案是：√22．小提示：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了三角形的中位线定理．解答题16、在数学实验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra 画出如下示意图小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB 旋转得到，所以它们的侧面积相等．”你认同小亮的说法吗？请说明理由．答案：不认同，理由见详解分析：根据圆锥的侧面面积公式进行比较即可得到答案．解：甲圆锥的底面半径为BC ，母线为AB ，S 甲侧=π×BC ×AB ，乙圆锥的底面半径为AC，母线为AB，S乙侧=π×AC×AB，∵AC≠BC，∴S甲≠S乙，故不认同小亮的说法．小提示：本题考查圆锥的侧面面积，解题的关键是熟知圆锥侧面面积的计算公式．17、如图，⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，已知CF=13BC，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．(1)在图1中的边DE上求作点G，使DG=CF；(2)在图2中的边DE上求作点H，使EH=CF．答案：(1)见解析(2)见解析分析：（1）连接AO并延长与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM与DE的交点即为所求作；（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN并延长即可．（1）连接AO并延长与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作，如图1所示；理由：∵⊙O为正五边形的外接圆，∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B与点E、点C与点D分别是一对对称点．∵点M在直线AO上，∴射线BM与射线EF关于直线AO对称，从而点F与点G关于直线AO对称，∴CF与DG关于直线AO对称．∴DG=CF．（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；小提示：本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题的关键．18、阅读下列材料：平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为|P1P2|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为√(x−a)2+(y−b)2=r，变形可得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，我们称其为圆心为C （a，b），半径为r的圆的标准方程．例如：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题．（1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为：；（2）若已知⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，圆心为C，请判断点A（3，﹣1）与⊙C的位置关系．答案：（1）(x−3)2+(y−4)2=25；（2）点A在⊙C的内部．分析：（1）先设圆上任意一点的坐标（x，y），根据圆的标准方程公式求解即可；（2）先根据圆的标准方程求出圆心坐标，利用两点距离公式求出点A到圆心的距离d，然后与半径r相比较，d＞r，点在圆外，d=r，点在圆上，d＜r，点在圆内，即可判断点A与圆的位置关系．解：（1）设圆上任意一点的坐标为（x，y），∴(x−3)2+(y−4)2=25，故答案为(x−3)2+(y−4)2=25；（2）∵⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，∴圆心坐标为C（2，0），∵点A（3，﹣1），AC=√(2−3)2+(0+1)2=√12+12=√2＜2∴点A在⊙C的内部．小提示：本题考查两点距离公式的拓展内容，圆的标准方程，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题关键．。
九年级数学上册第二十四章圆知识点归纳总结(精华版)(带答案)
九年级数学上册第二十四章圆知识点归纳总结(精华版)单选题⌢上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（）1、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DEA．30°B．36°C．60°D．72°答案：B分析：根据圆周角的性质即可求解.连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°，同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，=36°,故∠CPD=72°×12故选B.小提示：此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用.2、如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°答案：C分析：过点D作DF⊥AB于点F，根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AE，根据平行线的性质以及角平分线的性质逐一判断即可．解：∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠EAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OD∥AE，∴AE⊥DE．故选项A、B都正确；∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故选项D正确；∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，∴DE=DF<OD，故选项C不正确；故选：C．小提示：本题考查的是切线的性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．3、如图，已知直线y ＝34x －3，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C （0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA 、PB ，则△PAB 面积的最小值是（ ）A ．6B ．112C ．5D ．92答案：B分析：过C 作CM ⊥AB 于M ，连接AC ，MC 的延长线交⊙C 于N ，则由三角形面积公式得，12×AB ×CM =12×OA ×BC ，可知圆C 上点到直线y =34x -3的最短距离是165−1=115，由此求得答案． 解：∵直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴当x =0时，y =-3；y =0时，x =4∴OB =3；OA =4由勾股定理得，AB =√OA 2+OB 2=5∵C （0，1）∴OC =1∴BC =OB +OC =3+1=4过C 作CM ⊥AB 于M ，连接AC ，如图，则由三角形面积公式得，12×AB ×CM =12×OA ×BC ， ∴5×CM =16，∴CM =165， ∴圆C 上点到直线y =34x -3的最小距离是 165−1=115，∴△PAB 面积的最小值是 12×5×115=112，故选：B ． 小提示：本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB 的最小距离．4、如图所示，等边△ABC 的顶点A 在⊙O 上，边AB 、AC 与⊙O 分别交于点D 、E ，点F 是劣弧DE⌢上一点，且与D 、E 不重合，连接DF 、EF ，则∠DFE 的度数为（ ）A ．115°B ．118°C ．120°D ．125°答案：C分析：根据等边三角形的性质可得∠A =60°，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答案．解：∵ △ABC 是等边三角形，∴∠A =60°，∴∠DFE =180°−∠A =120°，故选C ．小提示：本题考查了等边三角形的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．5、如图，点A 是⊙O 外一点，过点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C 两点，连结AC 并延长交BO 的延长线于点D ．若AB ＝3，BD ＝4，则⊙O 的半径为（ ）A ．94B ．83C ．52D ．32答案：D分析：连接OC ，根据题意得到RtΔABD 、RtΔCOD ，由切线长定理求得AC =AB =3，最后根据勾股定理在RtΔABD 、RtΔCOD 中求解即可．解：连接OC ，如图所示：∵点A 是⊙O 外一点，过点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C 两点，∴OC ⊥AD ，BD ⊥AB ，∴AC =AB =3，在RtΔABD中，∠ABD=90°，AB＝3，BD＝4，由勾股定理得AD=5，∴CD=AD−AC=5−3=2，设半径OC=OB=r，则OD=BD−OB=4−r，在RtΔCOD中，∠OCD=90°，CD＝2，OC=r，OD=4−r，由勾股定理知CD2+OC2=OD2，得r2+22=(4−r)2，即8r=12，，解得r=32故选：D．小提示：本题考查在圆背景下利用勾股定理求线段长，掌握切线的性质、切线长定理以及在直角三角形中根据勾股定理列方程求解问题是解题关键．6、如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B=20°，则∠CAD的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°答案：C分析：首先连接CD，由AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACD=90°，又由圆周角定理，可得∠D=∠B=20°，再用三角形内角和定理求得答案．解：连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°．∵∠D=∠B=20°，∴∠CAD=180°−90°−∠D=180°−90°−20°=70°．故选：C．小提示：本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．7、小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．都不能答案：B分析：要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：B．小提示：本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．8、刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ）A ．1B ．3C ．πD ．2π答案：B分析：如图，过A 作AC ⊥OB 于C ，得到圆的内接正十二边形的圆心角为360°12=30°，根据三角形的面积公式即可得到结论．如图，过A 作AC ⊥OB 于C ，∵圆的内接正十二边形的圆心角为360°12=30°，∵OA =1，∴AC =12OA =12，∴S △OAB =12×1×12=14，∴这个圆的内接正十二边形的面积为12×14=3，故选：B ．小提示：本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．9、如图，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，若⊙O 的半径为2，则△ABC 的面积为（ ）A．√32B．√3C．2√3D．3√3答案：D分析：过点O作OH⊥BC于点H，根据等边三角形的性质即可求出OH和BH的长，再根据垂径定理求出BC的长，最后运用三角形面积公式求解即可．解：过点O作OH⊥BC于点H，连接AO，BO，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵O为三角形外心，∴∠OAH=30°，∴OH=12OB=1，∴BH=√BO2−OH2=√3，AH=-AO+OH=2+1=3∴BC=2BH=2√3∴SΔABC=12BC×AH=12×2√3×3=3√3故选：D小提示：本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．10、将一张正方形的透明纸片ABCD和⊙O按如图位置叠放，顶点A、D在⊙O上，边AB、BC、CD分别与⊙O 相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（）A ．AD⌢=AE ⌢B ．AD ⌢=AF ⌢ C ．AF⌢=DG ⌢D ．AF ⌢=DH ⌢ 答案：C分析：连接AF,DG ，根据弦与弧的关系，只要比较弦长即可比较弧长的大小即可求解． 如图，连接AF,DG ，过点O 作NM ⊥AD ，交AD 于M ，交BC 于N ，则MN ⊥BC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =AB =BC =CD ，∠B =∠C ，∴ AM =MD ，∴四边形AMNB,MNCD 是矩形，∴NB =AM =MD =NC ，∴FN =GN ，∴FB =GC ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDG ，∴ AF =DG ，A. ∵AD >AE ，∴ AD⌢>AE ⌢，故该选项不正确，不符合题意； B. ∵AD =AB <AF ，∴AD⌢<AF ⌢，故该选项不正确，不符合题意； C. ∵ AF =DG ，∴ AF ⌢=DG ⌢，故该选项正确，符合题意；D.∵DH<DC<DG=AF，∴AF⌢>DH⌢，故该选项不正确，不符合题意；故选：C.小提示：本题考查了弦与弧的关系，掌握同圆或等圆中，等弦对等弧是解题的关键．填空题11、我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______．答案：289分析：设直角三角形的三边分别为a,b,c，较长的直角边为a,较短的直角边为b,c为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于a+b−c2，即a+b−c=6，根据小正方的面积为49，可得(a−b)2=49，进而计算c2即a2+b2即可求解．解：设四个全等的直角三角形的三边分别为a,b,c，较长的直角边为a,较短的直角边为b,c为斜边，∵直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，∴a+b−c2=3，(a−b)2=49，∴a+b−c=6①，a−b=7②，∴a=13+c2,b=c−12，∵a2+b2=c2③，∴(13+c2)2+(c−12)2=c2，解得c=17或c=−5（舍去），大正方形的面积为c2=172=289，所以答案是：289．小提示：本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆是解题的关键．的半径等于a+b−c212、如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4√3+8，点E为弧AB的中点，C为半径OA上一点，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，若点E′恰好落在半径OB上，则OE′＝_____．答案：4分析：过E点作EH⊥OA于H，过E′点作E′⊥OA于F，连接OE，如图，设OF=x，利用∠AOB=60°得到OE=2√3+4，OH= OE′=2x，E′F=√3x，再利用点E为弧AB的中点得到∠AOE=30°，所以EH=12√3EH=6+4√3，接着证明ΔCEH≅△E′CF，则CH=E′F=√3x，CF=EH=2√3+4，则可列方程x+2√3+4+√3x=6+4√3，然后解方程求出x，从而得到OE′的长．解：过E点作EH⊥OA于H，过E′点作E′⊥OA于F，连接OE，如图，设OF=x，∵∠AOB=60°，∴OE′=2OF=2x，E′F=√3OF=√3x，∵点E为弧AB的中点，∴∠AOE=∠BOE=1∠AOB=30°，2∴EH =12OE =12(4√3+8)=2√3+4， OH =√3EH =6+4√3，∵线段CE 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE′，∴CE =CE′，∠ECE′=90°，∵∠ECH +∠CEH =90°，∠ECH +∠E′CF =90°，∴∠CEH =∠E′CF ，在ΔCEH 和△E′CF 中{∠CHE =∠FE′C ∠CEH =∠E′CF CE =CE′，∴ΔCEH ≅△E′CF(AAS)，∴CH =E′F =√3x ，CF =EH =2√3+4，∵OH =OF +FC +CH ，∴x +2√3+4+√3x =6+4√3，解得x =2，∴OE′=2x =4．故答案为4．小提示：本题考查了圆心角、弧、弦的关系、旋转的性质，解题的关键是在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．13、如图，△ABC 内接于☉O ，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD ⊥AB 于点D ，若☉O 的半径为2，则CD 的长为_____答案：√2分析：连接OA ，OC ，根据∠COA=2∠CBA=90°可求出AC=2√2，然后在Rt △ACD 中利用三角函数即可求得CD的长.解：连接OA，OC，∵∠COA=2∠CBA=90°，∴在Rt△AOC中，AC=√OA2+OC2=√22+22=2√2，∵CD⊥AB，∴在Rt△ACD中，CD=AC·sin∠CAD=2√2×1=√2，2故答案为√2.小提示：本题考查了圆周角定理以及锐角三角函数，根据题意作出常用辅助线是解题关键.14、如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是_____，⊙C上的整数点有_______个．答案： 3 12分析：过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．解：过C作直径UL∥x轴，连接CA，则AC=1×10=5，2∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB=8，∴AO=BO=4，∠AOC=90°，由勾股定理得：CO= √AC2−AO2=√52−42=3，∴ON=5-3=2，OM=5+3=8，即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴，Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3），即共12个点，所以答案是：3；12．小提示：本题考查了垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质，能找出符合条件的所有点是解此题的关键．15、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．答案：（2，1）分析：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为（2，1）．小提示：本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．解答题16、如图，在△ABC，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE 为⊙O的切线．答案：见解析分析：连接OD，证得OD∥AC，可知DE⊥OD，即可证得DE为⊙O的切线．解：连接OD，如图所示，∵AC＝BC，∴∠A=∠ABC，∵OB=OD，∴∠ODB=∠ABC，∴∠ODB=∠A，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE为⊙O的切线．小提示：本题主要考查的是切线的判定，准确做出辅助线，证得平行是解题的关键．17、如图，已知AC为⊙O的直径．请用尺规作图法，作出⊙O的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法）答案：见解析分析：作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形．解：如图，正方形ABCD为所作．∵BD垂直平分AC，AC为⊙O的直径，∴BD为⊙O的直径，∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC，∴四边形ABCD是⊙O的内接正方形．小提示：本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定．18、如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，求圆锥的底面圆的半径．答案：12分析：根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．解：∵正方形ABCD的边长为4∴AD=AE=4∵AC是正方形ABCD的对角线∴∠EAD=45°∴l DE⌢=45°×π×4=π180°∴圆锥底面周长为C=2πr=π，解得r=12∴该圆锥的底面圆的半径是12小提示：本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．。
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《圆》章节知识点复习和练习附参考答案一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；A五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠图1图2图4图5B2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）BABAO推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =PO 平分BPA ∠十一、圆内正多边形的计算 （1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::2OD BD OB =；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::OE AE OA =（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::2AB OB OA =.十二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180n Rl π=； （2）扇形面积公式： 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2S S S =+侧表底=222rh r ππ+（2）圆柱的体积：2V r h π=（2）圆锥侧面展开图（1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+ （2）圆锥的体积：213V r h π=lOC 1D 1圆练习题一、选择1。
下列命题中正确的有( )个(1) 平分弦的直径垂直于弦（2）经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 （3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半 （4）平面内三点确定一个圆（5）三角形的外心到各个顶点的距离相等 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个2。
如图，直线PAPB ，是O 的两条切线， A B ，分别为切点，120APB =︒∠，10OP = 厘米，则弦AB 的长为（ ）A．B ．5厘米C．D厘米3。
小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（ ）4。
已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC 的内切圆的半径为（ ） A ．310 B ．512 C ．2 D ．3 5。
若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm 、深约为2 cm 的小坑，则该铅球的直径约为( ) A. 10 cmB. 14.5 cmC. 19.5 cmD. 20 cm6。
如图9，在10×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），⊙A 的半径为1，⊙B 的半径为2，要使⊙A 与静止的⊙B 内切，那么⊙A 由图示位置需向右平移 _______个单位长．7。
一扇形的圆心角为150°，半径为4，用它作为一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的表面积是_____________8。
已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为 。
9。
直角三角形的两条直角边分别为5cm 和12cm ，则其外接圆半径长为BC10。
点A 是半径为3的圆外一点,它到圆的最近点的距离为5,则过点A 的切线长为__________ 11、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOC =300，半径为1cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，开始时，PO =6cm ．如果⊙P 以1cm/秒的速度沿由A 向B 的方向移动，那么当⊙P 的运动时间t （秒）满足条件 时，⊙P与直线CD 相交．12。
如图，点A B ，是O 上两点，10AB=，点P 是O 上的动点（P 与A B ，不重合），连结AP PB ，，过点O 分别作OE AP ⊥于E ，OF PB ⊥于F ，则EF = ．13。
已知BC 是半径为2cm 的圆内的一条弦，点A 为圆上除点B C ，外任意一点，若BC =，则BAC ∠的度数为 ．14。
⊙0的半径为5，A 、B 两动点在⊙0上，AB=4,AB 的中点为点C,在移动的过程中，点C 始终在半径为_______的一个圆上，直线AB 和这个圆的位置关系是______15. Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为________三、解答16。
已知：△ABC 内接于⊙O ，过点A 作直线EF 。
（1）如图1，AB 为直径，要使EF 为⊙O 的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）：① ；② ；③ 。
（2）如图2，AB 是非直径的弦，∠CAE=∠B ，求证：EF 是⊙O 的切线。
17。
求作一个⊙O ，使它与已知∠ABC 的边AB ，BC 都相切，并经过另一边BC 上的一点P ．18。
如图，从点P 向⊙O 引两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，AC 为弦，BC 为⊙O•的直径，若∠P=60°，PB=2cm ，求AC 的长．AP（第12题）图1 图219。
如图，已知扇形AOB的半径为12，OA⊥OB，C为OB上一点，以OA为直线的半圆O与以BC为直径的半圆O相切于点D．求图中阴影部分面积．20. 如图，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点坐标为（1，0），直线l过点A（—1，0），与⊙C相切于点D，求直线l的解析式。
答案：1. A2. A3. B4. A5. B6. 4或67.8598. 2或8 9. 6.5cm10.11. 4＜t ≤6 12. 513. 60°或120° 14. 3，相切 15. 1216.（1）①BA ⊥EF ；②∠CAE=∠B ；③∠BAF=90°。
（2）连接AO 并延长交⊙O 于点D ，连接CD ， 则AD 为⊙O 的直径，∴∠D+∠DAC=90°。
∵∠D 与∠B 同对弧AC ，∴∠D=∠B ， 又∵∠CAE=∠B ，∴∠D=∠CAE ，∴∠DAC+∠EAC=90°， ∴EF 是⊙O 的切线。
17. 作法：①作∠ABC 的角平分线BD ．②过点P 作PQ ⊥BC ，交BD 于点O ，则O 为所求作圆的圆心． ③以O 为圆心，以OP 为半径作圆．则⊙O 就是所求作的圆18. 连结AB ．∵∠P=60°，AP=BP ， ∴△APB 为等边三角形．AB=PB=2cm ，PB 是⊙O 的切线，PB ⊥BC ， ∴∠ABC=30°，∴AC=2·3=2319. 扇形的半径为12，则1o r =6，设⊙O 2的半径为R ． 连结O 1O 2，O 1O 2=R+6，O O 2=12-R ． ∴Rt △O 1OO 2中，36+（12-R ）2=（R+6）2，∴R=4． S 扇形=14π·122=36π，S=12π·62=18π，S=12π·42=8π． ∴S 阴=S 扇形-S-S=36π-18π-8π=10π．20. 如图所示，连接CD ，∵直线l 为⊙C 的切线，∴CD ⊥AD 。