2011年揭阳市高考一模数学试题文

揭阳市2011年高中毕业班高考第一次模拟考数 学 (文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 表示底面积，h 表示高． 一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合{0,2,4,6,8,10}U =，{2,4,6}A =，则U C A = A ．{2,4,6}B ．{0,8,10}C ．{6,8,10}D ．{8,10}2.函数()lg(1)f x x =-的定义域是A ．(, 2]-∞ B.(2,)+∞ C.(1,2] D.(1,)+∞3.已知复数z =则“3πθ=”是“z 是纯虚数”的A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 4. 设向量(1,2),(2,),//,|3|a b y a b a b ==-+若则等于 A ．5B ．6CD ．265. 已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0, b ＞0)的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为 A. 32y x =±B. y x =C. y x =D. y =x侧视图正视图DCBA6. 已知函数(),0(),0.f x xyg x x>⎧=⎨<⎩是偶函数，()logaf x x=的图象过点(2,1)，则()y g x=对应的图象大致是A. B. C. D.7.已知α为锐角，且4cos(),65πα+=则cosα的值为.A. B.C.D.8.一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图（又称主视图）、侧视图（又称左视图）如右图所示，则其俯视图为.9.已知函数()sin(0)f x x xωωω=>的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于2π，则为得到函数()y f x=的图象可以把函数siny xω=的图象上所有的点.A．向右平移6π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍;B．向右平移3π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍;C．向左平移12π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的12倍;DEAC BD ．向左平移12π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍. 10. 直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于M 、N 两点，若MN ≤k 的取值范围是A ．[B ．C ．3(,[,)-∞+∞D ．[二. 填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11. 已知1{1,,1,2}2α∈-，则使函数y x α=在[0,)+∞上单调递增的所有α值为 . 12. 已知函数(),()f x g x 分别由下表给出：则满足(())(())f g x g f x =的x 值为 ．13. 某市新年第一个月前10天监测到空气污染指数如下表（主要污染物为可吸入颗粒物）：（第i 天监测得到的数据记为i a ）在对上述数据的分析中，一部分计算见右图所示的算法流程图， 则这10个数据的平均数a = ，输出的S 值是_ ， （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选做题）如图所示，圆的内接三角形ABC 的角平分线BD 与AC 交于点D ，与圆交于点E,连结AE ，已知ED=3,BD=6 , 则线段AE 的长＝ . 15. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数，2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数），若1l //2l ，则k = ；若12l l ⊥，则k = ． 第13题图第14题图0.08/克)0.050.040.020.03频率/组距0.010.07产品重量（克）频数（490,495]（495,500]（500,505]（505,510]（510,515]481486三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是首项为２，公比为12的等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （1）求数列{}n a 的通项n a 及n S ；（2）设数列{}n n b a +是首项为－２，公差为２的等差数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .17. (本小题满分12分)某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在(495,510]的产品为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本频数分布表，图１是乙流水线样本的频率分布直方图．表１：（甲流水线样本频数分布表） 图1：（乙流水线样本频率分布直方图）（1）根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；（2）若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取１件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；（3）由以上统计数据完成下面22⨯列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与附：下面的临界值表供参考：HGDEFABC(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)18.（本小题满分14分）已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点． （１）求证：GH ∥平面CDE ；（２）若2,CD DB ==F-ABCD 的体积． 19. (本小题满分1４分)如图，某人在塔的正东方向上的C 处在与塔垂直的水 平面内沿南偏西60°的方向以每分钟100米的速度步行了 １分钟以后，在点D 处望见塔的底端B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB ∠=α,α的最大值为60．（1）求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟； （2）求塔的高AB.20.（本小题满分14分）在直角坐标系xoy 上取两个定点12(2,0),(2,0)A A -,再取两个动点1(0,),N m 2(0,)N n , 且3mn =.（1）求直线11A N 与22A N 交点的轨迹M 的方程；（2）已知点G (1,0)和'(1,0)G -，点P 在轨迹M 上运动，现以P 为圆心，PG 为半径作圆Ｐ，试探究是否存在一个以点'(1,0)G -为圆心的定圆，总与圆P 内切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分14分）已知函数 321()(21)3(2)13f x x a x a a x =-++++，a R ∈． （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点（3,(3)f ）处的切线方程； （2）当1a =-时，求函数()y f x =在[0,4]上的最大值和最小值；（3）当函数'()y f x =在0,4（）上有唯一的零点时，求实数a 的取值范围．揭阳市2011年高中毕业班高考第一次模拟考数学(文科)参考答案及评分说明一. 解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二. 计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部 分的解答有较严重的错误，就不再给分．三. 答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四. 给整数分数． 一．选择题：BCCADBDCAC解析： 3. (tan z i θ==+，当3πθ=时，z i =是纯虚数，反之当z 是纯虚数时，θ未必为3π，故选C. 4. 4(1,2)a b y a b ⇒=-⇒=//3+||5a b ⇒=3+，选A. 5. 依题意得双曲线的半焦距4c =，由22ce a a==⇒=，∴b ==的焦点在x 轴，∴双曲线的渐近线方程为y =.选D.6. 依题意易得2()log f x x =（0x >）因函数的图象关于y 轴对称，可得2()log ()g x x =- （0x <）,选B.7. cos cos 66ππαα⎡⎤⎛⎫=+-==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦310.选D. 8. 依题意可知该几何体的直观图如右，其俯视图应选C. 9. 依题意知2ω=，故()2sin(2)3f x x π=-2sin 2()6x π=-，故选A. 10.当|MN |=1，可求出k =，再结合图形可得答案C. 或设圆心到直线3y kx =+的距离为d ，则d =22||()42MN d =-且MN≤231k k≥⇒≥k≤二. 填空题：11.1,1,22；12. 2, 4、； 13. 60、3.4、；14.15. 4、－１解析：12. 将1,2,3,4x=依次代入方程(())(())f g x g f x=检验，易得2,4x=14. ∵,E E EAD EBA∠=∠∠=∠∴EDA∆∽EAB∆AE EDBE AE⇒=2AE ED BE⇒=⋅39=⨯AE⇒=.15. 将1l、2l的方程化为直角坐标方程得：1:240l kx y k+--=，2:210l x y+-=，由1l//2l得24211k k+=≠⇒4k=,由12l l⊥得220k+=1k⇒=-三．解答题：16. 解：（1）∵数列{}n a是首项12a=，公比12q=的等比数列∴1212()22n nna--=⋅=，---------------------------------------3分12(1)124(1)1212nn nS-==--.-------------------------------------6分（2）依题意得：22(1)24n nb a n n+=-+-=--------------------------------7分∴224242nn nb n a n-=--=-----------------------------------------9分设数列{}n nb a+的前ｎ项和为nP则(224)(3)2nn nP n n-+-==--------------------------------------10分∴221(3)4(1)3422nn n n nT P S n n n n-=-=---=--+.------------------12分H G DEFAC 17. 解：（１）甲流水线样本的频率分布直方图如下：----------------------4分（２）由表１知甲样本中合格品数为814830++=，由图１知乙样本中合格品数为(0.060.090.03)54036++⨯⨯=，故甲样本合格品的频率为300.7540= 乙样本合格品的频率为360.940=， 据此可估计从甲流水线任取１件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.75从乙流水线任取１件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.9.----------------6分（３）22⨯列联表如下：------10分∵22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++＝280(120360) 3.11766144040⨯-≈⨯⨯⨯ 2.706> ∴有90％的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．---------12分18．（1）证法１：∵//EF AD ,//AD BC ∴//EF BC 且EF AD BC ==∴四边形EFBC 是平行四边形 ∴H 为FC 的中点--------2分 又∵G 是FD 的中点∴//HG CD ----------------------------------------4分∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE∴GH ∥平面CDE -------------------------------------------------------7分 证法２：连结EA ，∵ADEF 是正方形 ∴G 是AE 的中点-------------------------1分∴在⊿EAB 中，//GH AB -----------------------------------------------3分 又∵AB ∥CD ，∴GH ∥CD ，----------------------------------------------4分 ∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE∴GH ∥平面CDE -------------------------------------------------------7分（2）∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD且F A ⊥AD ，∴F A ⊥平面ABCD . ----------------------------------------------------9分∵6BC =, ∴6FA =又∵2,CD DB == ，222CD DB BC +=∴BD ⊥CD -----------------------------------------------------------11分 ∴ ABCDSCD BD =⋅＝∴ F ABCD V -=13ABCDS FA ⋅＝163⨯=14分 19.解：（１）依题意知在△DBC 中30BCD ∠=,18045135DBC ∠=-=CD ＝100(ｍ),1801353015D ∠=--=，------------3分由正弦定理得sin sin CD BCDBC D=∠∠∴sin 100sin15sin sin135CD D BC⋅∠⨯==1001)2==（ｍ）-----------------6分 在Rt △ABE 中，tan ABBEα=∵AB 为定长 ∴当BE 的长最小时，α取最大值60°，这时BE CD ⊥--------8分当BE CD ⊥时，在Rt △BEC 中cosEC BC BCE =⋅∠1)25(32=⋅=(ｍ), ----------------9分设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t 分钟，则100EC t ===-------------------------------10分 （２）由（１）知当α取得最大值60°时， BE CD ⊥，在Rt △BEC 中,sin BE BC BCD =⋅∠ -----------------------------------12分∴tan 60sin tan 60ABBE BC BCD =⋅=⋅∠⋅＝11)25(32⋅=（m ）即所求塔高为25(3m. --------------------------------------------14分 20.解：（1）依题意知直线11A N 的方程为：(2)2my x =+----------------①--------2分 直线22A N 的方程为：(2)2ny x =-----------------------------②-------4分设(,)Q x y 是直线11A N 与22A N 交点，①×②得22(4)4mn y x =-- 由3mn = 整理得22143x y +=--------------------------------------6分 ∵12,N N 不与原点重合 ∴点12(2,0),(2,0)A A -不在轨迹M 上--------------7分∴轨迹M 的方程为22143x y +=（2x ≠±）--------------------------------8分 (2)由（1）知，点G (1,0)和'(1,0)G -为椭圆22143x y +=的两焦点，----------9分 由椭圆的定义得|'|||4PG PG +=,即|'|4||PG PG =------------------11分∴以'G 为圆心，以4为半径的圆与P 内切，即存在定圆'G ，该定圆与P 恒内切，其方程为：22(1)16x y ++=-----14分21．解：（1）当0a =时， 321()13f x x x =-+， ∴(3)1f =， ∵2'()2f x x x =----------------------------------------2分曲线在点(3,1)处的切线的斜率'(3)3k f ==∴所求的切线方程为13(3)y x -=-，即38y x =--------------------------3分 （2）当1a =-时，函数321()313f x x x x =+-+ ∵2'()23f x x x =+-，令'()0f x =得121,3x x ==------------------------5分2[0,4]x ∉，当(0,1)x ∈时，'()0f x <，即函数()y f x =在(0,1)上单调递减，当(1,4)x ∈时，'()0f x >，即函数()y f x =在(1,4)上单调递增 ∴函数()y f x =在[0,4]上有最小值，2()(1)3f x f ==-最小值，---------------7分 又1(0)1,(4)263f f == ∴当1a =-时，函数()y f x =在[0,4]上的最大值和最小值分别为1226,33-.-----8分(3) ∵2'()2(21)3(2)f x x a x a a =-+++(3)(2)x a x a =---∴123,2x a x a ==+-----------------------------------------------------10分 ①当12x x =时，32a a =+，解得1a =，这时123x x ==，函数'()y f x =在(0,4)上有 唯一的零点，故1a =为所求；-------------------------------------------11分 ②当12x x >时，即32a a >+1a ⇒>，这时12x x >3>，又函数'()y f x =在(0,4)上有唯一的零点， ∴2134,324,424.3 4.3x a a x a <<<+<⎧⎧⇒⇒≤<⎨⎨≥≥⎩⎩，------------------------------12分 ③当12x x <时，即1a <，这时12x x <3<又函数'()y f x =在(0,4)上有唯一的零点，∴120,30,200 3.02 3.x a a x a ≤≤⎧⎧⇒⇒-<≤⎨⎨<<<+<⎩⎩-------------------------------13分 综上得当函数'()y f x =在(0,4)上有唯一的零点时，20a -<≤或423a ≤<或1a =.-------------------------------------------14分。