第六章 机械波
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震源：是地球内发生地震的地方。
震源深度：震源垂直向上到地表 的距离是震源深度。我们把地震 发生在60公里以内的称为浅源地 震；60－300公里为中源地震； 300公里以上为深源地震。目前有 记录的最深震源达720公里。
地震波主要包含纵波和横波。来自地下的纵波引起地面上下颠簸振动。 来自地下的横波能引起地面的水平晃动。横波是地震时造成建筑物破坏的 主要原因。
(3) 波动曲线与振动曲线不同。
y
yu
o t
振动曲线
o
x
波动曲线
振动的图像
波的图象
研究对象 研究内容
一个振动质点
质点在振动过程中，位移随时间 而变化的规律
波的传播方向上所有的振动质 点
某一时刻连续介质中各质点相 对于平衡位置的位移规律
图象
坐标含义 物理意义
图线的 变化
（t、x）表示t时刻的位移是x
(3) 横波使介质产生切变，只有能承受切变的物体（固体）才能传 递横波。横波仅在固体中传播！
它既不是纵波，也不是横波。
水
它是因重力以及表面张力的作用， 面
在水表面上传播的波。
波
(4) 纵波在介质中引起长变或体变，所有物质都能承受长变和体变 （固、液、气体）。在固体中纵波、横波均可传递，但两种波 速各不相同。
｛ 条件
波源：作机械振动的物体 弹性介质：承担传播振动的物质
二、横波和纵波
横波： 介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波；如 柔绳上传播的波。
纵波：介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波；如空 气中传播的声波。
横波 (transverse wave) 波的传播方向
特点：具有波峰和波谷 ⊥ 质点的振动方向
第6章 机械波
· · · ·
t+∆t 时刻波面 ∆ 波传播方向
t ·
· · · ·
u∆t 平面波
· · · ·
说明： 说明： 1）可以方便地从某一时刻的波前去确定其 ） 后任一时刻的新波前； 后任一时刻的新波前； 2）各子波源在传播中，对某一点的贡献有 ）各子波源在传播中， 多大？没有说清楚。 多大？没有说清楚。
第6章
机械波
波动：振动的传播过程就叫波动。 波动：振动的传播过程就叫波动。 机械波： 机械波：机械振动在介质中的传 播过程。 播过程。 分类： 分类： 电磁波： 电磁波：电磁振荡所激起的变化 电场和变化磁场在空间 的传播过程。 的传播过程。
§6.1
机械波的产生和传播
一、机械波的形成
弹性介质：由无穷多个质点，通过相互之间 弹性介质：由无穷多个质点， 弹性力组合在一起的连续介质 组合在一起的连续介质。 弹性力组合在一起的连续介质。 1、传播原因：弹性介质各质点之间的弹性 传播原因： 力。 2、产生条件：波源 弹性介质 产生条件：
问题：若波沿x 负方向传播 传播？ 问题：若波沿x 轴负方向传播？
二、波函数的物理意义
1、x = x0，y 为 t 的函数，x0处质点的振动方程 的函数， y A O
2πx0 x0处质点的振动初相为 − +φ λ
2πx y(t, x) = Acos[(ωt + φ) − ] λ
T
t
若x0=λ 则 x0处质点落后于原点的位相为2π 处质点落后于原点的位相为2 λ 是波在空间上的周期性的标志。 是波在空间上的周期性的标志。
二、能流和能流密度
1、能流（P）：单位时间内通过介质某一 能流（ ）：单位时间内通过介质某一 截面的能量
第六章 机械波
三 波长 波的周期和频率 波速
Ay
u
O
x
-A
波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相
位差为 2π 的振动质点之间的距离，即一个完整
波形的长度.
周期 T ：波前进一个波长的距离所需要
的时间.
频率 ：周期的倒数，即单位时间内波
动所传播的完整波的数目.
1 T
u 波速 ：波动过程中，某一振动状态（即
振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.
u u Tu
T
注意
周期或频率只决定于波源的振动! 波速只决定于媒质的性质！
u 波速 与介质的性质有关， 为介质的密度.
u
固体
u
液、气体u
如声音的传播速度
G 切变模量
横波
E 弹性模量
K体积模量
纵波
343 m s 空气，常温
4000 m s 左右，混凝土
四 波线 波面 波前
波线： 由波源出发，沿波传播方向的线， 其上 任一点切线方向为该点波传播方向。 波面： 某时刻介质中同相点的集合。（球面波, 柱面波,平面波 ...） 波前： 传在最前面的波面
波前
波面
*
球面波
波线
平面波
例1 在室温下，已知空气中的声速 u1为340 m/s， 水中的声速 u2 为1450 m/s ，求频率为200 Hz和2000 Hz
y y(x,t)
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
以速度u 沿 x 轴正向传播的平面简谐波 .
令原点O 的初相为零，其振动方程
yO A cost
1、时间推迟方法 点O 的振动状态 yO Act-x/u时刻点O 的运动
第六章机械波
波动方程
x
X
y
S
a
x
讨论： 波动方程： 1） 为定值
X
x
x x1
即
x y A cos[ (t ) ] u x1 y A cos[a点振动方程] (t ) u x y A cos(t 1 ) u x
a比S点初相滞后：
1
u
2） t 为定值
此时的相对形变（应变）
y x A sin (t ) A 也最大！ x u u u
同理可证：质元动能最小时，势能也最小。
质元的相对位移小 （周围的质元位移都大） y
t 质元的相对位移大
二、波的能流密度 1、平均能流：单位时间内垂直通过S面的 平均能量。
1 2 2 w A 2
一根长为 l 的棒，伸长 l 时具有的势能：
x y A cos (t ) u x
y y
u
1 2 EP k (l ) 2
FF
FF ' '
l l l
.Y m i
y
V
x y S
x
y y
x
x
u
2）体积元的势能 一根长为 l 的棒，伸 长 l 时具有的势能。 由胡克定律：
1 x 2 2 2 EP VA sin (t ) 2 u
E EK EP x VA sin (t ) u
2 2 2
E EK EP
可见：
x VA sin (t ) u
2 2 2
1、波的能量随时间作周期性变化，周期为T/2。 2、动能与势能同相变化。dV内的波动能量 在 0 ~ dV 2 A2 之间变化。 当dE增加，能量沿波线传入体元； 当dE减少，能量沿波线传出体元。 3、能量密度 w
x
X
y
S
a
x
讨论： 波动方程： 1） 为定值
X
x
x x1
即
x y A cos[ (t ) ] u x1 y A cos[a点振动方程] (t ) u x y A cos(t 1 ) u x
a比S点初相滞后：
1
u
2） t 为定值
此时的相对形变（应变）
y x A sin (t ) A 也最大！ x u u u
同理可证：质元动能最小时，势能也最小。
质元的相对位移小 （周围的质元位移都大） y
t 质元的相对位移大
二、波的能流密度 1、平均能流：单位时间内垂直通过S面的 平均能量。
1 2 2 w A 2
一根长为 l 的棒，伸长 l 时具有的势能：
x y A cos (t ) u x
y y
u
1 2 EP k (l ) 2
FF
FF ' '
l l l
.Y m i
y
V
x y S
x
y y
x
x
u
2）体积元的势能 一根长为 l 的棒，伸 长 l 时具有的势能。 由胡克定律：
1 x 2 2 2 EP VA sin (t ) 2 u
E EK EP x VA sin (t ) u
2 2 2
E EK EP
可见：
x VA sin (t ) u
2 2 2
1、波的能量随时间作周期性变化，周期为T/2。 2、动能与势能同相变化。dV内的波动能量 在 0 ~ dV 2 A2 之间变化。 当dE增加，能量沿波线传入体元； 当dE减少，能量沿波线传出体元。 3、能量密度 w
第6章 机械波(大学物理赵近芳版)
如声音的传播速度
G 切变模量
横波
E 弹性模量
纵波
K体积模量
343 m s 空气，常温
4000 m s 左右，混凝土
1.波长、波速、周期和频率这四个物理量中， 哪些量由传播介质决定？哪些量由波源决定？
答：波速由传播介质决定；周期和频率由波源 决定。
2.波速和介质质元的振动速度相同吗？它们各 表示什么意思？波的能量是以什么速度传播的？
2.横波与纵波 横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.
（仅在固体中传播 ） ➢ 特征：具有交替出现的波峰和波谷.
纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.
（可在固体、液体和气体中传播） ➢ 特征：具有交替出现的密部和疏部.
u 波速 与介质的性质有关， 为介质的密度.
u
固体
u
液、气体u
u
λ
y(x,t) y(x,t T ) （波具有时间的周期性）
(2) 当t一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平 衡位置的位移，即此刻的波形.
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
波程差
x21 x2 x1
21
2
π
x21
(3) 若 x,t 均变化，波函数表示波形沿传播方
向的运动情况（行波）.
dx
( dy ）2 （w）2 A2 sin2[w(t x ） ]
dx
u
u
dWk
dWp
1 2
dVA2 2
sin 2 (t
x) u
6. 波动能量的传播 当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在
其平衡位置附近振动，因而具有振动动能.
同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能.
G 切变模量
横波
E 弹性模量
纵波
K体积模量
343 m s 空气，常温
4000 m s 左右，混凝土
1.波长、波速、周期和频率这四个物理量中， 哪些量由传播介质决定？哪些量由波源决定？
答：波速由传播介质决定；周期和频率由波源 决定。
2.波速和介质质元的振动速度相同吗？它们各 表示什么意思？波的能量是以什么速度传播的？
2.横波与纵波 横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.
（仅在固体中传播 ） ➢ 特征：具有交替出现的波峰和波谷.
纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.
（可在固体、液体和气体中传播） ➢ 特征：具有交替出现的密部和疏部.
u 波速 与介质的性质有关， 为介质的密度.
u
固体
u
液、气体u
u
λ
y(x,t) y(x,t T ) （波具有时间的周期性）
(2) 当t一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平 衡位置的位移，即此刻的波形.
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
波程差
x21 x2 x1
21
2
π
x21
(3) 若 x,t 均变化，波函数表示波形沿传播方
向的运动情况（行波）.
dx
( dy ）2 （w）2 A2 sin2[w(t x ） ]
dx
u
u
dWk
dWp
1 2
dVA2 2
sin 2 (t
x) u
6. 波动能量的传播 当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在
其平衡位置附近振动，因而具有振动动能.
同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能.
大学物理第6章机械波
则合成振动 的振幅最大
当
2
r2
l
r1
即
（ 0,1,2,
则合成振动 的振幅最小
)时
波程差为零或为波长的整数倍 时，各质点的振幅最大，干涉相长。
波程差为半波长的奇数倍时， 各质点的振幅最小，干涉相消。
两相干波源 同初相， 2 m 振动方向垂直纸面
到定点 P 的距离 50 m
P
当 满足什么条件时 在 P 点发生相消干涉； 在 P 点发生相长干涉。
A1
P点给定，则 A1
sin( j 1
2r1 )
l
A2 sin( j 2
c恒os定(。j故1 空间2l每r1一)点的A合2 c成os振( j幅2A
2r2 )
l
保2持r恒2 定) 。
l
相长与相消干涉
A
A12 A22
2 A1 A2 cos (j 2
j1
2
r2
l
r1
)
当
j2
j1
2
r2
l
r1
当
j2
j1
2
r2
波
腹
ma x
波 节
min 0
正向行波
反向行波
驻波的形成
在同一坐标系 XOY 中
正向波 反向波 驻波
点击鼠标，观察 在一个周期T 中 不同时刻各波的 波形图。
每点击一次， 时间步进
正向波 反向波
驻波形成图解
ttt====t7353=TTTT0T///82488
4
合成驻波
驻波方程
正向波 由
反向波
为简明起见， 设
并用
改写原式得
驻波方程
注意到三角函数关系
第6章机械波
第6章机械波12天线发射出电磁波水波地震波造成的损害§6-1 关于波动的基本概念声波3机械波：机械振动在弹性介质中的传播电磁波：交变电磁场在空间的传播波动的共同特征衍射衍射干涉反射折射46-1-1 机械波的产生和传播机械波是机械振动状态在弹性介质中的传播过程机械波产生的条件：波源+弹性介质弹性介质的弹性和惯性决定了机械波的产生和传播。
5波动是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点的传播。
1、横波：质点的振动方向和波动的传播方向垂直。
波形特征：波峰波谷存在波峰和波谷。
6-1-2 横波与纵波4-30密部疏部复杂波如地震波，水波。
特点：可分解为横波和纵波的合成76-1-3 波动过程的描述波线：从波源沿各传播方向所画的带箭头的线，表示波的传播方向。
波面：波在传播过程中，所有振动相位相同的点连成的面。
波前：在最前面的那个波面。
8球面波波线波前波面波线波面波前平面波在各向同性的均匀介质中，波线总是与波面垂直。
91.波长λ：沿同一波线上相位差为2π的两个相邻质点之间的距离。
λ横波：波长等于两相邻波峰之间或相邻波谷之间的距离。
纵波：波长等于两相邻密部之间或相邻疏部之间的距离。
6-1-3 描述波动的物理量14结论：波速由弹性介质性质决定，频率（或周期）则由波源的振动特性决定。
注意：固体既能传播横波，又能传播纵波；流体只能传播纵波，不能传播横波。
钢铁中水中声波在空气中1sm 340-⋅1sm 5001-⋅1sm 0005-⋅周期或频率只决定于波源的振动波速只决定于介质的性质156-1-5 波动的特征1．各质点仅在各自的平衡位置附近振动。
各质点的振动都是受迫振动，振动频率与波源频率相同。
2．各质点之间以弹性力相互作用着，回复力的作用使质点的振动状态（相位）由近及远地传播，并伴随着能量的传播——行波。
164．相位差为2k 的各质点，步调一致，为同相位。
3．各质点的振动状态的差别仅在于，沿波的传播方向各质点的相位依次落后。
机械振动和机械波
（4）F=-kx是判断一个振动是不是简谐运动 的充分必要条件。凡是简谐运动沿振动方 向的合力必须满足该条件；反之，只要沿 振动方向的合力满足该条件，那么该振动 一定是简谐运动。
3．振幅、周期和频率：振动的最大特点是往 复性或者说是周期性。因此振动物体在空间 的运动有一定的范围，用振幅A来描述；在 时间上则用周期T来描述完成一次全振动所 须的时间。
振动减弱点始终减弱。振动加强点的特点是两
列波在该质点引起的位移和速度始终同方向，
而不是看某一时刻的位移大小；振动减弱点则
相反。
3．波的衍射：明显衍射的条件是障碍物或小 孔的尺寸小于波长或与波长相差不多。
4．波的图象：
（1）物理意义：描述某一时刻介质中所有质 点偏离平衡位置的位移情况。以质点偏离 平衡位置的位移为纵坐标，以各质点的平 衡位置为横坐标。
k
（其中m是振动物体的质量，k是回复力系数， 即简谐运动的判定式F= -kx中的比例系数， 对于弹簧振子k就是弹簧的劲度，对其它简 谐运动它就不再是弹簧的劲度了），与振幅 无关。
4．受迫振动和共振：
（1）受迫振动：物体在驱动力（既周期性外 力）作用下的振动叫受迫振动。
①物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率， 与物体的固有频率无关。
（1）振幅A是描述振动强弱的物理量。（一 定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振 动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改 变的）
（2）周期T是描述振动快慢的物理量。（频 率f=1/T 也是描述振动快慢的物理量）周期 由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。
任何简谐运动都有共同的周期公式： T 2 m
（3）周期T：即质点的振动周期；由波源决 定，即波源的振动周期。
（4）常用结论：
①波在一个周期内传播的距离恰好为波长。 由此： v=λ/T=λf；λ=vT.
3．振幅、周期和频率：振动的最大特点是往 复性或者说是周期性。因此振动物体在空间 的运动有一定的范围，用振幅A来描述；在 时间上则用周期T来描述完成一次全振动所 须的时间。
振动减弱点始终减弱。振动加强点的特点是两
列波在该质点引起的位移和速度始终同方向，
而不是看某一时刻的位移大小；振动减弱点则
相反。
3．波的衍射：明显衍射的条件是障碍物或小 孔的尺寸小于波长或与波长相差不多。
4．波的图象：
（1）物理意义：描述某一时刻介质中所有质 点偏离平衡位置的位移情况。以质点偏离 平衡位置的位移为纵坐标，以各质点的平 衡位置为横坐标。
k
（其中m是振动物体的质量，k是回复力系数， 即简谐运动的判定式F= -kx中的比例系数， 对于弹簧振子k就是弹簧的劲度，对其它简 谐运动它就不再是弹簧的劲度了），与振幅 无关。
4．受迫振动和共振：
（1）受迫振动：物体在驱动力（既周期性外 力）作用下的振动叫受迫振动。
①物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率， 与物体的固有频率无关。
（1）振幅A是描述振动强弱的物理量。（一 定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振 动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改 变的）
（2）周期T是描述振动快慢的物理量。（频 率f=1/T 也是描述振动快慢的物理量）周期 由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。
任何简谐运动都有共同的周期公式： T 2 m
（3）周期T：即质点的振动周期；由波源决 定，即波源的振动周期。
（4）常用结论：
①波在一个周期内传播的距离恰好为波长。 由此： v=λ/T=λf；λ=vT.
大学物理第六章 机械波
x
x 0
t
x /4
t
x /2
t
x 3 / 4
t
3.当 t c（常数）时，
y t 0
o
x
y f (x为) 某一时刻各质
点的振动位移.
y t T /4
o
x
不同时刻波线上各质点的位
y t T /2
移分布，称为波形图。
o
x
y t 3T / 4
o
x
4. 当 u 与 x 轴反向时取 u
y
A
cos
t
x u
③ 在平衡位置时质元具有最大动能和势能，在振幅处 动能和势能为零。在回到平衡位置时从相邻质元吸 收能量，离开时放出能量。
二、能量密度
1、能量密度 单位体积内的能量 w dE
dV
dE (dV )A 22 sin 2 (t x / u )
w A 22 sin 2 (t x / u )
2.平均能量密度 能量密度在一个周期内的平均值。
称为波面。
波前: 某时刻处在最前面的波面。
球面波
波线
平面波
波线
波面
波面
在各向同性均匀介质中，波线与波阵面垂直.
第二节
平面简谐波的 波函数
用数学表达式表示波动----函数y(x,t)，称为波函数。
一、平面简谐波的波函数
·································
➢ 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时，在介质中所形成的波.
波面上的两点，A、B点达到界 面发射子波，
经t后， B点发射的子波到达界
面处D点， A点的到达C点，
i
B
A
x 0
t
x /4
t
x /2
t
x 3 / 4
t
3.当 t c（常数）时，
y t 0
o
x
y f (x为) 某一时刻各质
点的振动位移.
y t T /4
o
x
不同时刻波线上各质点的位
y t T /2
移分布，称为波形图。
o
x
y t 3T / 4
o
x
4. 当 u 与 x 轴反向时取 u
y
A
cos
t
x u
③ 在平衡位置时质元具有最大动能和势能，在振幅处 动能和势能为零。在回到平衡位置时从相邻质元吸 收能量，离开时放出能量。
二、能量密度
1、能量密度 单位体积内的能量 w dE
dV
dE (dV )A 22 sin 2 (t x / u )
w A 22 sin 2 (t x / u )
2.平均能量密度 能量密度在一个周期内的平均值。
称为波面。
波前: 某时刻处在最前面的波面。
球面波
波线
平面波
波线
波面
波面
在各向同性均匀介质中，波线与波阵面垂直.
第二节
平面简谐波的 波函数
用数学表达式表示波动----函数y(x,t)，称为波函数。
一、平面简谐波的波函数
·································
➢ 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时，在介质中所形成的波.
波面上的两点，A、B点达到界 面发射子波，
经t后， B点发射的子波到达界
面处D点， A点的到达C点，
i
B
A
大学物理第六章-《机械波》
2023/4/24
P.15/37
6.2.3 波动方程
机械波
波动表式
y A cos[(t x ) ]
u
质点的振动速度： 质点的振动加速度：
v y A sin[(t x ) ]
t
u
a
v t
2y t 2
A2 cos[(t x ) ]
u
2y A 2 cos[(t x ) ]
x 2
A2 2
sin2 (t
x u
)dV
P.18/37
(2) 质元的弹性势能：
机械波
dWp
dWk
1 2
A2 2 sin2 (t
x u
)dV
(3) 质元的总能量：
dW
dWk
dWp
A2 2
sin2
(t
x u
)dV
结论： (1) 介质元dV的总能量：
A2 2
sin2
t
x u
dV
——周期性变化
(2) 介质元的动能、势能变化是同周期的，且相等。
(3) 机械能不守恒，因为不是孤立体系， 有能量传播。
(4) 峰值处 Ek Ep 0
平衡位置处 y 0, Ek Ep Emax
2023/4/24
P.19/37
2. 波的能量密度
机械波
（1）能量密度：单位体积中波的能量
w dW A22 sin2 (t x )
dV
u
（2）平均能量密度：
)
表示x0处质元的振动表达式。 (2) 当 t = t 0 (常数) 时，
y(x)
A
cos
t
0
x u
A cos
x u
第6章 机械波
由此可得
x x π 所以 2 π ( t ) 2 π ( t ) u u 3 1 由此得 x x 6
t t
T 6
表明计时起点应向前移六分之一周期.
[例题2] 有一列向 x 轴正方向传播的平面简谐波，它在t = 0时刻的 波形如图所示,其波速为u =600 m/s.试写出波动方程. y/m A = 5m [解] = 24m u π 0 2 u 600 1 . s 25s 1 O 12 24
波线（或波射线)--波的传播方向称之为波射线或波线。 波面（或相面）--某时刻介质内振动相位相同的点组成的面称 为波面。 波前(波阵面)--某时刻处在最前面的波面。
球面波
波线
平面波
波线
波面 波面
球面波、平面波在各向同性均匀介质中，波线与波阵面垂直.
5.波长、周期、波速和频率
波长—波射线上，相位差2的两点间的距离称为波长。 是波源完成一次全振动，波前进的距离,用 表示。
2 波动方程的物理意义
位移 y 既是 t 的函数，又是 x 的函数 (1)、当 x 一定时，令 x = x0
x0 y( t ) A cos ( t 0 ) u
y A O -A T
表达式变成 y - t 关系，是 x0 点的振动方程.
x0 x0相位比 x=0 点落后 u x0 y( x0 , t ) A cos ( t ) 0 u
(3) x、t 均变
x y( x , t ) A cos t 0 u
具有波动意义
即: ① 各质点各自振动 ; y t 时刻 y1 x1 x2 x
② 波形向前传播. t +t 时刻
x x π 所以 2 π ( t ) 2 π ( t ) u u 3 1 由此得 x x 6
t t
T 6
表明计时起点应向前移六分之一周期.
[例题2] 有一列向 x 轴正方向传播的平面简谐波，它在t = 0时刻的 波形如图所示,其波速为u =600 m/s.试写出波动方程. y/m A = 5m [解] = 24m u π 0 2 u 600 1 . s 25s 1 O 12 24
波线（或波射线)--波的传播方向称之为波射线或波线。 波面（或相面）--某时刻介质内振动相位相同的点组成的面称 为波面。 波前(波阵面)--某时刻处在最前面的波面。
球面波
波线
平面波
波线
波面 波面
球面波、平面波在各向同性均匀介质中，波线与波阵面垂直.
5.波长、周期、波速和频率
波长—波射线上，相位差2的两点间的距离称为波长。 是波源完成一次全振动，波前进的距离,用 表示。
2 波动方程的物理意义
位移 y 既是 t 的函数，又是 x 的函数 (1)、当 x 一定时，令 x = x0
x0 y( t ) A cos ( t 0 ) u
y A O -A T
表达式变成 y - t 关系，是 x0 点的振动方程.
x0 x0相位比 x=0 点落后 u x0 y( x0 , t ) A cos ( t ) 0 u
(3) x、t 均变
x y( x , t ) A cos t 0 u
具有波动意义
即: ① 各质点各自振动 ; y t 时刻 y1 x1 x2 x
② 波形向前传播. t +t 时刻
第六章机械波
§6-1机械波的形成 波长 周期和波速
一 机械波的形成
波源 弹性介质
二 横波与纵波 机械波可分为横波与纵波： 机械波可分为横波与纵波： 横波—质点振动的方向与波的传播方向垂直； 横波—质点振动的方向与波的传播方向垂直； 纵波— 纵波—质点振动的方向与波的传播方向平行
横波
u
x
纵波
u
x
三 波长 波的周期和频率 波速 1.波长 1.波长 波传播方向上两相邻的振动状态完全相同 的质点间的距离（ （或相位差为 2π ）的质点间的距离（一完整波 的长度），称为波长， ），称为波长 单位： 的长度），称为波长，用表示 λ ，单位：m 2.周期 2.周期 波传过一波长所需的时间， 波传过一波长所需的时间，或一完整波通过 波线上某点所需的时间， 表示，单位： 波线上某点所需的时间，用 T 表示，单位：s
∆ϕ = −ω
如x=x1时
u
= −2 π
λ
y = Acos[ω(t − x1 u) +ϕ]
= Acos[ωt + (ϕ −ω x1 u)]
y = Acos[ωt + (ϕ −ω x1 u)]
′ 令 ϕ −ω x1 u = ϕ，则
y = Acos[ωt +ϕ′]
相位差为 y o
给定点的振动曲线
x=x1 t
x − xo ωt − ω t ′ = ω (t −t ′) = ω (t − ) u
二. 波动方程的物理意义
x y = Acos[ω(t − ) +ϕ] u 1.x为定值 1. 为定值
波函数y只是 的函数， 波函数 只是t 的函数，表示该点的简谐运动 只是 方程（ 的关系）， ），即描述该给定点作简谐振 方程（y- t 的关系），即描述该给定点作简谐振 动的情形；并给出该点与O点的振动相位差 点的振动相位差， 动的情形；并给出该点与 点的振动相位差，相 位差为 x x
第6章 机械波
2 x x0 A cos t ( x x ) y A cos ( t ) 0 0 0 u
沿x轴正向传播，有
2 y A cost ( x x0 ) 0 2 2 A cost x 2 2
y 0
x
t=t0时刻波形曲线 在 t0 时刻，同一波线上两点的振动位相差
O
t 0 2
x1 x1
x2
x
0
t 0 2
x2
0
2
( x2 x1 )
若
x2-x1=k,
k=1,2,…
则 ＝2k,
反映了波动的空间周期性
17
3、如x, t 均变化y=y(x, t)包含了不同时刻的波形
如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则称为 弹性波。 如果波源是简谐振动且介质是理想介质（各向同性均匀无 限大）各部分振动的回复力是弹性力，则称为简谐波。
二、横波与纵波
横波：介质个部分振动的振动方向与波的传播方向垂直。 纵波：介质个部分振动的振动方向与波的传播方向平行。
3
1、横波
（1）当波源完成一个周期的振动，就发出一个完整的波形。 （2）沿着波的传播方向向前看去，前面质元的振动位相落后于 波源的位相。 （3）横波使介质产生切变，只有能承受切变的物体（固体）才 4 能传递横波。
t ( x x0 ) y A cos{2 [ ] 0 } T
( x x0 ) 0 ]
y A cos{
2
[( x x0 ) ut ] 0 }
14
三、波函数的物理意义
沿x轴正向传播，有
2 y A cost ( x x0 ) 0 2 2 A cost x 2 2
y 0
x
t=t0时刻波形曲线 在 t0 时刻，同一波线上两点的振动位相差
O
t 0 2
x1 x1
x2
x
0
t 0 2
x2
0
2
( x2 x1 )
若
x2-x1=k,
k=1,2,…
则 ＝2k,
反映了波动的空间周期性
17
3、如x, t 均变化y=y(x, t)包含了不同时刻的波形
如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则称为 弹性波。 如果波源是简谐振动且介质是理想介质（各向同性均匀无 限大）各部分振动的回复力是弹性力，则称为简谐波。
二、横波与纵波
横波：介质个部分振动的振动方向与波的传播方向垂直。 纵波：介质个部分振动的振动方向与波的传播方向平行。
3
1、横波
（1）当波源完成一个周期的振动，就发出一个完整的波形。 （2）沿着波的传播方向向前看去，前面质元的振动位相落后于 波源的位相。 （3）横波使介质产生切变，只有能承受切变的物体（固体）才 4 能传递横波。
t ( x x0 ) y A cos{2 [ ] 0 } T
( x x0 ) 0 ]
y A cos{
2
[( x x0 ) ut ] 0 }
14
三、波函数的物理意义
大学物理第六章机械波3
等代入：
y Acos(t x)
u
y Acos 2 ( t x ) T
y Acos(2t 2பைடு நூலகம்x)
y Acos 2 (x ut)
21 首 页 上 页 下 页退 出
6.2.2 波动方程的物理意义
振动 y=f(t) 描述一个质点的位移随时间变化的规律。
波动 y=f(x,t) 描述波线上所有质点的位移随时间变化 的规律。
10 首 页 上 页 下 页退 出
*6.1.5 物体的弹性形变
固体、液体和气体在受到外力作用时，不仅运动状态会发生变化，而 且其形状和体积也会发生改变，这种改变称为形变.如果外力不超过一定 限度，在外力撤去后，物体的形状和体积能完全恢复原状，这种形变称为 弹性形变.这个外力限度称为弹性限度.形变有以下几种基本形式：
λ
λ
2、波动周期、频率 波动周期T：一个完整波形通过波线上某固定点所需的 时间。 或者说，波传播一个波长所需的时间。
在波源相对于介质为静止时，波动周期等于波源振动周期。
波动频率：单位时间内通过介质中某一点完整波的个数
1 T 2
14 首 页 上 页 下 页退 出
3、波速u 某个振动状态（即位相）在介质中传播的速度，波速又叫
1、假定 x=x0 常数 则考察的是波线上某固定点
y Acos(t x0 )
u
y Acos(t 2 x0 )
y Acos(t / )
y=f（x，t） 蜕变成 y=f（t）
22 首 页 上 页 下 页退 出
（1）波动方程蜕变成 x0 处质元的振动方程
y(t) Acos(t / ) Acos(t 2 x0 )
=
S
arctan
第6章_机械波_1_
y 0.04m a o
b
u
P x
解：
0.2m
T=λ/ｕ
① 波源振动方程： y A cos(t ) 由图知：λ=2×0.2=0.4m, ω=2π/T=2πｕ/λ=2π×0.08/0.4=2π/5
第6章 机械波 t = 0 时， 则
y0 A cos 0
2
由图判断ｖ0的方向：与前一质点运动方向一致 振动方程：
②波动方程
2 y 0.04 cos t 2 5
2 x y 0.04 cos t 0.08 2 5
第6章 机械波
③因
P 点的振动方程
x P 0.4m
④判断：与前一质点运动方向一致
2 t - 5 y 0.04 cos 2 5
第6章 机械波
例3 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振 幅 A 1.0m ， 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标 T 原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求 波动方程 解 写出波动方程的标准式
t x y A cos[2π ( - ) ] T
u2
-1
第6章 机械波
6.2 平面简谐波
简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐振动时，介质中各质点也将随着振动状态的传 播而相继作同频率的简谐振动，形成简谐波。
波动方程：介质中任一质点（坐标为 x）相对其 平衡位置的位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即
y y ( x, t )
y
u
x
第6章 机械波
周期 T ：波前进一个波长的距离所需要 的时间. 频率 ：周期的倒数，即单位时间内波 动所传播的完整波的数目.
第6章 机械波
a
b
u
X
求解的关键是求出波速u 及原点的初位相
方法：解析法 由题意知 t =1.0s时
所以
------------------(1)
------------------(1)
同理
得
------------------(2)
注意b 点落后于a点，故同一时刻（t=1.0s) a点的相
位取/2时，b点的相位取-/3 （不取5/3，还考虑了
= /2
x=1
例3：一平面简谐波沿x正方向传播，振幅A＝10cm，
圆频率 7s -1 当t=1.0s时，位于x=10cm处的质点a
经过平衡位置向y轴负方向运动。此时,位于x=20cm处
的质点b的位移为5cm, 且向y轴正方向运动。设该波波
长 10cm ，试求该波的波动方程。
解：设该波的波动方程为： O
p
2
(
x
-
xp
)]
3.已知波函数，求p点的振动方程
yp
A cos[ ( t
xp u
)
]
例1:波源振动方程为 y 6 10 -2 sin 800 πt 波速 u 200m/s
沿x正方向传播。求:①波函数； ②波长、频率；
③ x=5m处P质点的振动与波源的相位差。
解：①波源 y 610-2 cos( 800t - )
1.声波的频率范围
声波频率 20 ~ 20000Hz 超声波频率 > 20000Hz
次声波频率 < 20Hz
2.声强
声波的平均能流密度叫声强。
I 1 u 2 A2 单位：W/m2
2
标准声强： 最低(引起听觉)声强 I<10–12W/m2,不引起听觉； I>1W/m2(炮声),引起痛觉。
第6章 机械波
第6章 机械波一、基本要求1．理解波动方程是如何建立的；2．熟练掌握振幅、周期、频率、波长、波速、相位等描述机械波的物理量；3．掌握从某点的振动到振动的传播，即从振动到波动，会由波源振动方程写出相应的波动方程；4．之，也掌握波动中的某点的运动规律，即从波动到振动，会由波动方程写出某点的振动方程；5．理解波的干涉及相位差与波程差之间的关系；了解驻波及其形条成件。
二、基本内容（一）本章重点和难点：重点：掌握平面简谐波的波动方程建立及相关物理量的求解。
难点：从已知的某点振动规律推出波动方程，相反，从波动方程求某点的振动规律。
（二）知识网络结构图：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧波腹波节驻波表达式驻波波程差相位差相干条件波的干涉物理意义波动方程平面简谐波波长波速角频率频率周期基本物理量纵波横波机械波的两种形式介质波源机械波产生的条件波动,,,,:（三）容易混淆的概念：1.横波和纵波横波是指波传播方向和质点振动方向相垂直的机械波，如绳波；纵波是指波传播方向和质点振动方向相平行的机械波，如声波。
2.同相和反相同相是指两列相干波干涉加强，相位差是π的偶数倍，合振幅最大；反相是指两列相干波干涉减弱，相位差是π的奇数倍，合振幅最小。
3.能量密度、能流和能流密度能量密度ω是单位体积内波动能量；能流P是单位时间内垂直通过某一面积的能量；能流密度(波的强度)I是垂直通过单位面积内的能流。
（四）主要内容:1．波动的基本概念（1）机械波：机械振动在弹性介质中的传播称为机械波。
形成机械波必须有波源（振动物体）和弹性介质。
（2）波速u（相速）：振动状态（即相位）在单位时间内所传播的距离称为波速或相速。
它与波动的特性无关，仅取决于传播介质的性质。
（3）波长λ：沿波传播方向两个相邻的相位相同的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度。
它反映波在空间上的周期性。
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第六章 机械波
课后习题十一
1．波由一种媒质进入另一种媒质时，其传播速
度、频率和波长
(B )
(A) 都发生变化； (B) 速度和波长变，频率不变 (C) 速度和频率变，波长不变； (D) 都不变
第六章 机械波
课后习题十一
2．图(a)表示 t 0 时的简谐波的波形图，沿 x 轴
正方向传播，图(b)为一质点的振动曲线，则图(a)中所
4. 波源作简谐振动,方程 y 4.0103 cos 240 t m
它所形成的波以 30m s1 的速度沿一直线运动,则
波动方程
y 4.0103 cos 240 (t x )m
30
,波的
周期
T 8.33103s
，波长 0.25m .
y
A cos (t
r1
P
u
y1
0.1102
cos(2
t
r )(SI)
0.1
S2
r2
y2
0.1102
cos(2
t
r
0.1
)(SI)
第六章 机械波
课后习题十二
（2）求2
r2
r1
uT u 2 0.2m Φ 2 (0.5 0.4) 0
0.2
（3）在P点的振幅是加强还是减弱
Φ 0 2k (k 0,1,2,3 ) 满足干涉加强
A A1 A2 0.1102 0.1102 0.2102m
第六章 机械波
课后习题十二
6．A 、B两船行驶方向相反,航速分别为20m·s-1 和30m·s-1.已知A船上汽笛的频率为700Hz, 空气中 声速为340m·s-1,求B船上的人听到A船笛声的频率．
为 0.79103 W.m 2 .该处的平均能流为 1.2106 W .
I 1 A2 2u 0.79103 W.m 2
2
P (1 A2 2u)S 1.2106 W
2
第六章 机械波
课后习题十二
4．如图所示, 两相干波源分别在P 、Q两点处,
它们发出频率为ν、波长为λ、初相位相同、振幅分
(B )
(D)波腹两边的质点反相位.
第六章 机械波
课后习题十二
3．钢轨中声速为 u 5.1103m s1,今有一声波沿
钢轨传播，在某处振幅为 A 1.0109m ，声波频率
为 1.0103 Hz 。钢的密度为 7.9103kgm3，钢轨 的横截面积按 15cm2 计，则该声波在该处的强度
解 v' u vO v u vS
vO vB 30m s1 观察者远离波源取负号
vS vA 20m s1 波源远离观察者取正号
v' u v0 v 340 30 700 Hz 602.8Hz u vS 340 20
解 (1) yO Acos(t O )
O
P
2
( xO
xP )
yO
A cos( t
l
u
)
o l px
O
u
l
第六章 机械波
课后习题十一
(2)
yO
A cos( t
l
u
)
y Acos[(t x) l ] Acos(t l x )
uT
4m
10 9
2
(10 9)
2
第六章 机械波
课后习题十一
6．已知一平面简谐波沿x轴正向传播，距坐标
原点O为 l 处P点的振动方程为 y Acos(t )
波速为u. 求 (1) O点处质点的振动方程; (2)该平面简 谐波的波函数；(3) 若波沿x轴负向传播, 求波函数.
B
速是___C_____.在波传播方向上相距为 d 的两点的振
动相位差是___C_d__.
y
cos
B(t
x B
)
C
Acos(t x )
u
B，u B C
uT B 2 2 C C
Φ
2
x
2
d
2
Cd
C
第六章 机械波
课后习题十一
uu
uu
正向传播波函数
y
A cos (t
xl) u
(3)
yO
A cos(t
l
u
)
y Acos[(t x) l ] Acos(t l x )
uu
uu
反向传播波函数
y
Acos(t
x u
l
)
第六章 机械波
t
2
)m
波源为原点的波函数
y
0.02
cos200
(t
x 400
)
2
m
8m处振动方程
y8
0.02cos(200 t
8 200
400
)m
2
y8
0.02 cos(200t
9 2
)m或y8
0.02 cos(200
t
5 2
)m
(2) 9m和10m处两点的相位差 2 x
别为 y10 0.1cos 2 t cm ，y20 0.1cos(2 t )cm它们在 P 点相遇，已知波速 u 20cm s1， r1 40cm ，r2 50cm
试求(1)两列波的波波函数；(2)两列波传播到 P点的
相位差；(3)P点的振幅是加强还是减弱。
解（1） y Acos(t r )(SI) S1
表示的 x 0 处质点振动的初相位与图(b)所表示的振
动初相位分别为
(A) 均为零
(D) 与
2
2
yu
(B) 均为
(E)
2
与
22
xy
( D)
(C) 均为
2
t
o
(a)
o
(b)
第六章 机械波
课后习题十一
3．已知平面简谐波的波动方程为 y Acos(Bt Cx) 式中 A、B、C 为正常数，此波的波长是___2_C_____，波
课后习题十二
1．在波动传播的介质中，体积元 V 若恰好运
动到平衡位置，则该V 中的波能量。
D( )
(A)动能最大,势能最小. (B)动能最小,势能最大.
(C)动能最小,势能最小. (D)动能最大,势能最大.
2．驻波的特点是 (A)只有相位传播,没有能量传播； (B)没有相位和能量的传播；
(C)波节两边的质点同相位；
解 (1)设波源处振动方程
y0 Acos(t )
经平衡位置向正方向运动
O
x
或 3 2 200
y0
2 0.02 cos(200 t
2
2
)m或y0
T
0.02 cos(200 t
3
2
)m
第六章 机械波
课后习题十一
波源处振动方程
y0
0.02 cos(200
别为A1和A2的两列相干波.设
PQ 3 ,R为P Q连
2
线上一点, 则自P 、Q发出两列波在 R 处的相位差
为 3 ,两波在 R 处干涉时的合振幅为 A1 A2 ．
P
3
2
Q
Rx
Φ
2
1
2
x
3
(2k
1)
第六章 机械波
课后习题十二
5．如图所示，两相干波源 S1、S2，其振动方程分
x u
)
4.0 103
cos
240
(t
x )m 30
y Acos 2 ( t x ) 4.0103 cos 2 ( t x )m
T
11 120 4
第六章 机械波
课后习题十一
5．波源作简谐振动A=0.02m,T=1.0×10-2s.在t=0 时,它经平衡位置向正方向运动.此振动以u=400m·s-1 的速度沿 x 轴正向传播,求(1)距波源为8m处质点的振 动方程;(2) 距波源为9m和10m处两点的相位差。
课后习题十一
1．波由一种媒质进入另一种媒质时，其传播速
度、频率和波长
(B )
(A) 都发生变化； (B) 速度和波长变，频率不变 (C) 速度和频率变，波长不变； (D) 都不变
第六章 机械波
课后习题十一
2．图(a)表示 t 0 时的简谐波的波形图，沿 x 轴
正方向传播，图(b)为一质点的振动曲线，则图(a)中所
4. 波源作简谐振动,方程 y 4.0103 cos 240 t m
它所形成的波以 30m s1 的速度沿一直线运动,则
波动方程
y 4.0103 cos 240 (t x )m
30
,波的
周期
T 8.33103s
，波长 0.25m .
y
A cos (t
r1
P
u
y1
0.1102
cos(2
t
r )(SI)
0.1
S2
r2
y2
0.1102
cos(2
t
r
0.1
)(SI)
第六章 机械波
课后习题十二
（2）求2
r2
r1
uT u 2 0.2m Φ 2 (0.5 0.4) 0
0.2
（3）在P点的振幅是加强还是减弱
Φ 0 2k (k 0,1,2,3 ) 满足干涉加强
A A1 A2 0.1102 0.1102 0.2102m
第六章 机械波
课后习题十二
6．A 、B两船行驶方向相反,航速分别为20m·s-1 和30m·s-1.已知A船上汽笛的频率为700Hz, 空气中 声速为340m·s-1,求B船上的人听到A船笛声的频率．
为 0.79103 W.m 2 .该处的平均能流为 1.2106 W .
I 1 A2 2u 0.79103 W.m 2
2
P (1 A2 2u)S 1.2106 W
2
第六章 机械波
课后习题十二
4．如图所示, 两相干波源分别在P 、Q两点处,
它们发出频率为ν、波长为λ、初相位相同、振幅分
(B )
(D)波腹两边的质点反相位.
第六章 机械波
课后习题十二
3．钢轨中声速为 u 5.1103m s1,今有一声波沿
钢轨传播，在某处振幅为 A 1.0109m ，声波频率
为 1.0103 Hz 。钢的密度为 7.9103kgm3，钢轨 的横截面积按 15cm2 计，则该声波在该处的强度
解 v' u vO v u vS
vO vB 30m s1 观察者远离波源取负号
vS vA 20m s1 波源远离观察者取正号
v' u v0 v 340 30 700 Hz 602.8Hz u vS 340 20
解 (1) yO Acos(t O )
O
P
2
( xO
xP )
yO
A cos( t
l
u
)
o l px
O
u
l
第六章 机械波
课后习题十一
(2)
yO
A cos( t
l
u
)
y Acos[(t x) l ] Acos(t l x )
uT
4m
10 9
2
(10 9)
2
第六章 机械波
课后习题十一
6．已知一平面简谐波沿x轴正向传播，距坐标
原点O为 l 处P点的振动方程为 y Acos(t )
波速为u. 求 (1) O点处质点的振动方程; (2)该平面简 谐波的波函数；(3) 若波沿x轴负向传播, 求波函数.
B
速是___C_____.在波传播方向上相距为 d 的两点的振
动相位差是___C_d__.
y
cos
B(t
x B
)
C
Acos(t x )
u
B，u B C
uT B 2 2 C C
Φ
2
x
2
d
2
Cd
C
第六章 机械波
课后习题十一
uu
uu
正向传播波函数
y
A cos (t
xl) u
(3)
yO
A cos(t
l
u
)
y Acos[(t x) l ] Acos(t l x )
uu
uu
反向传播波函数
y
Acos(t
x u
l
)
第六章 机械波
t
2
)m
波源为原点的波函数
y
0.02
cos200
(t
x 400
)
2
m
8m处振动方程
y8
0.02cos(200 t
8 200
400
)m
2
y8
0.02 cos(200t
9 2
)m或y8
0.02 cos(200
t
5 2
)m
(2) 9m和10m处两点的相位差 2 x
别为 y10 0.1cos 2 t cm ，y20 0.1cos(2 t )cm它们在 P 点相遇，已知波速 u 20cm s1， r1 40cm ，r2 50cm
试求(1)两列波的波波函数；(2)两列波传播到 P点的
相位差；(3)P点的振幅是加强还是减弱。
解（1） y Acos(t r )(SI) S1
表示的 x 0 处质点振动的初相位与图(b)所表示的振
动初相位分别为
(A) 均为零
(D) 与
2
2
yu
(B) 均为
(E)
2
与
22
xy
( D)
(C) 均为
2
t
o
(a)
o
(b)
第六章 机械波
课后习题十一
3．已知平面简谐波的波动方程为 y Acos(Bt Cx) 式中 A、B、C 为正常数，此波的波长是___2_C_____，波
课后习题十二
1．在波动传播的介质中，体积元 V 若恰好运
动到平衡位置，则该V 中的波能量。
D( )
(A)动能最大,势能最小. (B)动能最小,势能最大.
(C)动能最小,势能最小. (D)动能最大,势能最大.
2．驻波的特点是 (A)只有相位传播,没有能量传播； (B)没有相位和能量的传播；
(C)波节两边的质点同相位；
解 (1)设波源处振动方程
y0 Acos(t )
经平衡位置向正方向运动
O
x
或 3 2 200
y0
2 0.02 cos(200 t
2
2
)m或y0
T
0.02 cos(200 t
3
2
)m
第六章 机械波
课后习题十一
波源处振动方程
y0
0.02 cos(200
别为A1和A2的两列相干波.设
PQ 3 ,R为P Q连
2
线上一点, 则自P 、Q发出两列波在 R 处的相位差
为 3 ,两波在 R 处干涉时的合振幅为 A1 A2 ．
P
3
2
Q
Rx
Φ
2
1
2
x
3
(2k
1)
第六章 机械波
课后习题十二
5．如图所示，两相干波源 S1、S2，其振动方程分
x u
)
4.0 103
cos
240
(t
x )m 30
y Acos 2 ( t x ) 4.0103 cos 2 ( t x )m
T
11 120 4
第六章 机械波
课后习题十一
5．波源作简谐振动A=0.02m,T=1.0×10-2s.在t=0 时,它经平衡位置向正方向运动.此振动以u=400m·s-1 的速度沿 x 轴正向传播,求(1)距波源为8m处质点的振 动方程;(2) 距波源为9m和10m处两点的相位差。