您的位置：360文档中心› 高二数学中考试题答案(2)

高二数学中考试题答案(2)

合集下载

2021学年高二下学期期中考数学试题含答案

2021学年高二下学期期中考数学试题含答案

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的. 1．若集合}{2<=x x M ，{}10|≤≤=x x N ，则=⋂N M （ ）.A ]1,0[.B ]2,0[.C )2,1[.D ]2,(-∞2．复数i i--232等于（ ） .A i 5754-.B i 5457-.C i 5457+.D i 5754+ 3.在[]25,15内的所有实数中随机抽取一个实数a ，则这个实数满足2017<<a 的概率是（ ） .A 31.B 103.C 21.D 107 4.函数⎩⎨⎧=,log ,32x y x ),1[)1,(+∞∈-∞∈x x 的值域是( ).A )3,0(.B ]3,0[.C ]3,(-∞.D ),0[+∞5.按如图所示的程序框图运算,若输入200=x ,则输出k 的值 是( ).A 2.B 3.C 4.D 56.已知命题:p 1sin ,≤∈∀x R x ，则（ ）.A 1sin ,:≥∈∃⌝x R x p .B 1sin ,:>∈∃⌝x R x p .C 1sin ,:≥∈∀⌝x R x p .D 1sin ,:>∈∀⌝x R x p7.已知圆0882:221=-+++y x y x C ，圆0244:222=---+y x y x C ，则两圆的位置关系是（ ）.A 内含 .B 内切 .C 外切 .D 相交（第5题）8.2=3=,1)(-=-⋅a b a ,则向量a 与b 的夹角是 ( ).A 6π.B 4π.C 3π.D 2π 9.曲线x e y =在点()2,2e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ( ).A 22e .B 22e .C 2e .D 249e 10.已知函数x x x x f 2sin 2)2cos 2(sin )(22-+=的图象向左平移8π个单位后得到函数)(x g y =的图象,以下关于函数)(x g 的判断正确的是 ( ).A 点)0,163(π为函数)(x g 图象的一个对称中心 .B 16π=x 为函数)(x g 图象的一条对称轴.C 函数)(x g 在区间)163,0(π上单调递减 .D 函数)(x g 在区间)0,8(π-上单调递减11.设)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在)0,(-∞上是增函数,已知01>x ,02<x 且)()(21x f x f <,那么一定有 ( ).A 021<+x x .B 0)()(21<-⋅-x f x f .C )()(21x f x f ->-.D 021>+x x12.已知抛物线()220x py p =>的焦点F 恰好是双曲线122=-by a x 的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为（ ）.A .B 1+.C 1.D 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数()x f y =的图像与函数()0log 21>=x x y 的图像关于直线x y =对称，则()=x f .14.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤-100y y x y x ，则目标函数y x z 3+=的最大值为.15.一个几何体的三视图如右图，则这个几何体的体积为.16.下列各命题中，p 是q 的充要条件的是 ________． （1）()()1:=-x f x f p ； ()x f y q =:是偶函数； （2）A B A p = :； A C B C q U U ⊆:；（3）2:-<m p 或6>m ； 3:2+++=m mx x y q 有两个不同的零点； （4）βαcos cos :=p ； βαtan tan :=q ；三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)侧视图已知等差数列}{n a 满足，22=a ，85=a . （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）各项均为正数的等比数列{}n b 中，11=b ，432a b b =+，求{}n b 的前n 项和n T .18．(本小题满分12分)在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，且)cos(2C B -=1sin sin 4-C B .（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若3=a ，312sin =B ，求b .19．(本小题满分12分)如图，已知三棱锥ABC S -中，BC AB ⊥，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，SC SB SA ==. （Ⅰ）求证：⊥BC 平面SDE ；（Ⅱ）若2==BC AB ，4=SB ，求三棱锥ABC S -的体积.20．(本小题满分12分)盒子里装有4张卡片,上面分别写着数字1，1，2，2，每张卡片被取到的概率相等.先从盒子中任取1张卡片，记下上面的数字x ，然后放回盒子内搅匀，再从盒子中随机任取1张卡片，记下它上面的数字y .（Ⅰ）求2=+y x 的概率P ； （Ⅱ）设“函数()()518532++-=t y x t t f 在区间()4,2内有且只有一个零点”为事件A ，求A 的概率()A P .21．(本小题满分12分)已知函数()c bx ax x x f +++=23在2,1-==x x 时都取得极值. （Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）若[]2,3-∈x 都有()2102->c x f 恒成立，求c 的取值范围．22．(本小题满分12分)已知椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的右顶点A )0,2(,离心率为23,O为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知P (异于点A )为椭圆C 上一个动点,过O 作线段AP 的垂线l 交椭圆C 于点D E ,,求APDE 的取值范围.数学参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）1 A2 B3 B4 D5 C6 B7 D8 A9 A 10 C 11 D 12 B二、填空题（每小题5分，共20分）13 . xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21 14 .4 15 .2 16 . ()()32三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17. (本小题满分10分)（Ⅰ）解：设等差数列}{n a 的公差为d ， 则由已知得⎩⎨⎧=+=+,84,211d a d a 所以1=a ，2=d .………………………………………(3分)所以 ()2211-=-+=n d n a a n .………………………………………………………(6分)（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ，则由已知得42a q q =+， 因为64=a ，所以 62=+q q ，解得2=q 或3-=q . ………………………………(8分)又因为等比数列{}n b 的各项均为正数，所以2=q .……………………………………(9分)所以等比数列{}n b 的前n项和()()1221211111-=--⨯=--=n nn n q q b T .………………(12分)18．(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）因为1sin sin 4)cos(2-=-C B C B ， …………………………………(1分)所以 1sin sin 4sin sin 2cos cos 2-=+C B C B C B ， ……………………………(2分)即 1)sin sin cos (cos 2-=-C B C B ， ……………………………………………(3分)得 21)cos(-=+C B ， ………………………………………………………………(4分) 因为π<+<C B 0，所以32π=+C B . ………………………………………(5分)所以 3π=A . …………………………………………………………………………(6分)（Ⅱ） 因为π<<B 0，所以3222cos 312sin=⇒=B B ，……………………(8分) 所以9242cos 2sin 2sin ==B BB ，……………………………………………………(10分) 由AaB b sin sin =， …………………………………………………………………(11分) 得 968sin sin ==A B a b . ………………………………………………………………(12分)19. (本小题满分12分)（Ⅰ）证明: D ，E 分别为AC ，BC 的中点∴AB DE //，又 BC AB ⊥，∴BC DE ⊥，又 SC SB =，∴BC SE ⊥，且E DE SE = ，故 ⊥BC 平面SDE .……………………………………………………………………(6分)（Ⅱ）解： SA SC =，D 为AC 的中点， ∴AC SD ⊥， 由（Ⅰ）知⊥BC 平面SDE ，∴BC SD ⊥，C AC BC = ，∴⊥SD 平面ABC . 由2==BC AB ，221==AC AD ， 得 1421622=-=-=AD SD SD . 又 2222121=⨯⨯=⋅=∆AC AB S ABC ，故31421423131=⨯⨯=⋅=∆-SD S V ABC ABC S . ……………………………………(12分)20. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）先后两次取到卡片的情况如下表：共有16种情况. …………………………………………………………………………(3分) 满足2=+y x 的共有4种情况.∴2=+y x 的概率41164==P .……………………………………………………(6分)（Ⅱ） y x +的值只能取2，3，4，当2=+y x 时，()()y x t t f +-=253t 5182535182+-=+t t ， 它没有零点，不符合要求.当3=+y x 时，()()y x t t f +-=253t 5183535182+-=+t t ，它的零点分别为2，3，在区间()4,2内只有3这个零点，符合要求. 当4=+y x 时，()()y x t t f +-=253t 5184535182+-=+t t ，它的零点分别为34610-，34610+，都不在区间()4,2内，不符合要求.…………………………(9分)∴事件A 相当于3=+y x ，由（Ⅰ）知：2=+y x 的率为41，同理可得:4=+y x 的概率也为41.y x +的值只能取2，3，4，∴()()()()21414114213=--==+-=+-==+=y x P y x P y x P A P . 即函数函数()()y x t t f +-=253t 518+在区间()4,2内有且只有一个零点的概率等于21.……………………………………………………………………………………(12分)21. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）()'232f x x ax b =++.…………………………………………………………(2分)因为函数在1x =，2x =-时都取得极值， 所以1，2-是2320x ax b ++=的两个根. ………………………………………………(4分) 则有 2123a -=-，23b -=， 所以，32a =，6b =-. ……………………………………………………………………(6分)（Ⅱ）()()()()'2233632321f x x x x x x x =+-=+-=+-. ………………………(7分)令 ()'0f x =，解得2x =-，或1x =.所以()'f x ，()f x 随x 的变化情况如下表:所以()32f c -=+，()210f c -=+，()12f c =-，()22f c =+， 所以()f x 在[]3,2-的最小值为()712f c =-. ………………………………………(10分)所以要使()2102c f x ->恒成立，只要271022c c -->.即2230c c --<，解得13c -<<. ……………………………………………………(12分)22．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）因为()2,0A 是椭圆C 的右顶点，所以2a =.又ca=c =所以222431b a c =-=-=. 所以椭圆C的方程为2214x y +=.…………………………………………………………(5分) （Ⅱ）当直线AP 的斜率为0时，4AP =，DE 为椭圆C 的短轴，则2DE =.所以12DE AP =.………………………………………………………………………………(6分)当直线AP 的斜率不为0时，设直线DE 的方程为()2y k x =-，()00,P x y ， 则直线AP的方程为1y x k=-.…………………………………………………………(7分) 由 ()222,1,4y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()224240x k x +--=⎡⎤⎣⎦， 即 ()222214161640k x k x k +-+-=，所以 20216241k x k +=+，所以2028241k x k -=+. ……………………………………………………………………(8分)所以AP ==即AP =.同理可得DE =所以2241DE AP k ==+. …………………………………………………(10分)设 t =，则224k t =-，2t >.()22441415154t DE t t APtt t-+-===-()2t >.令 ()()1542g t t t t=->，所以()g t 是一个增函数， 所以 24154415122DE t AP t -⨯-=>=.综上，DE AP的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. ……………………………………………………(12分)请注意：以上参考答案与评分标准仅供阅卷时参考，其他答案请参考评分标准酌情给分.。

高二数学考试卷(附解答)

高二数学考试卷(附解答)

高二数学考试卷(附解答)高二数学考试卷（附解答）一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x + 1是单调递增函数，则实数a的取值范围是：A. a > -1B. a ≤ -1C. a > 1D. a ≤ 1解答：A. a > -12. 已知等差数列的前5项和为35，公差为3，首项为：A. 5B. 10C. 15D. 20解答：B. 103. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上对应的点位于：A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限解答：B. 虚轴4. 设函数g(x) = x^3 - 3x，下列说法正确的是：A. g(x)在(-∞, 0)上单调递增B. g(x)在(0, +∞)上单调递减C. g(x)的极小值点为x = 0D. g(x)的极大值点为x = 0解答：C. g(x)的极小值点为x = 05. 若平面α与平面β的交线为直线l，且直线l与直线a平行，则直线a与平面α的关系为：A. 在平面α内B. 平行于平面αC. 与平面α相交D. 在平面α的延长线上解答：B. 平行于平面α二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知等比数列的前3项分别为2，4，__，则该数列的公比为______。

解答：8，22. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图象与坐标轴的交点个数为______。

解答：33. 若矩阵A的行列式为2，则矩阵A的逆矩阵的元素满足______。

解答：元素乘以-1/2后与原矩阵对应元素相等4. 设平面α与平面β的夹角为θ，则sinθ等于______。

解答：平面α与平面β的法向量夹角的余弦值5. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且cosA = 1/2，则三角形ABC的形状为______。

解答：等腰三角形或直角三角形三、解答题（每题10分，共30分）1. （10分）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值及取得最小值的x值。

2024学年江苏省泰州市联盟五高二上学期期中考数学试题及答案

2024学年江苏省泰州市联盟五高二上学期期中考数学试题及答案

联盟五校2023年秋学期期中考试高二数学试题出卷人： 审核人：（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线24y x =的准线方程是（ ）A ．1x =-B ．2x =-C ．1y =-D ．2y =-2． 已知12:310,:30l kx ky l x ky -+=+=，若12l l ⊥，则实数k =（）A ．0或1 B ．19- C ．1 D ．0或19-3．设m 为实数，若方程22121x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．322m << B ．32m > C ．12m << D ． 32m <<1 4． 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝6，S 4＝12，则S 7＝（ ）A ．30B ．36C ．42D ．485．已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，n N *∈，都有2343n n S n T n +=-，则214313a a b b ++的值为（）A ．3765 B ．1119 C ．919 D ．19297． 已知椭圆1C 与双曲线2C 共焦点，双曲线2C 实轴的两顶点将椭圆1C 的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线2C 的离心率为( )ABCD ．8 ．在平面直角坐标系中，点A(0,3) ，直线:24=-l y x ，设圆C 的半径为1，圆心C 在直线l 上，若圆C 上存在点M ，使得MA 2MO =，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是（ ）A ．[]0,1 B ．1215⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．1205⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．1205⎛⎫ ⎪⎝⎭，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知双曲线C ：22136y x -=，则（ ）A ． 双曲线CB ． 双曲线CC ． 双曲线C 的焦点坐标为()3,0±D ． 双曲线C的渐近线方程为y =10.已知直线10l y -+=，则A ．直线l 的倾斜角为3πB．点)到直线l 的距离为2 C ．直线lD ．直线l 关于y10y +-=11．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且5678S S S S <=>，则下列命题正确的是（ ）A ．该数列公差d <0B ． 59S S <C ． a 7=0D ． S 12>012．已知圆M ：22(2)1x y +-= ，以下四个命题表述正确的是（A ．圆22230x y x ++-=与圆M 的公共弦所在直线为230x y +-=B ．若圆228100x y x y m +--+=与圆M 恰有一条公切线，则8m =-C ．直线(21)20m x y m ++--=与圆M 恒有两个公共点D ．点P 为x 轴上一个动点，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP交于点C ，若Q ，则CQ 的最大值为94三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13． 过点(2,3)A ，且平行于直线410x y --=的直线方程为 ．14． 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2 S 31n n n =++，则数列{}n a 的通项公式为 ．的15． 设m ，n 为实数，已知经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛324,310P 的椭圆11022=+m y x 与双曲线121122=-++n y n x 有相同的焦距，则=n ．16． 若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知椭圆的焦点为126,06,0F F -（）,（），且该椭圆过点P （5,2）．（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上的点M （x 0，y 0）满足12MF MF ⊥，求y 0的值．18． (本小题满分12分)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，n n S b n=（1）证明：数列{}n b 是等差数列；（2）当74a = ，155b = 时，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．(本小题满分12分)已知两直线042:1=+-y x l ，0534:2=++y x l （1）求直线1l 和2l 的交点P 的坐标；（2）若过点P 作圆()1222+=+-m y m x 的切线有两条，求m 的取值范围；（3）若直线062=-+y ax 与1l ，2l 不能构成三角形，求实数a 的值.20．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心在直线220x y --=上，且圆C 过点(3,1),(6,4).（1）求圆C 的标准方程；（2）过点(1,1)P 的直线l 与圆C 相交于A ,B 两点，当AB =l 的方程.21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程()1222=-+y x ，设直线l 的方程为kx y =（1）若过点A(1,4)的直线与圆C 相切，求切线的方程；（2）已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．若A 是OB 的中点，求直线l 的方程；（3）当21=k 时，点P 在直线l 上，过P 作圆C 的切线PM ,切点为M ，问经过C M P ,,的圆是否过定点？如果过定点，求出所有定点的坐标.22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知动点M 到点(2,0)F 的距离是到直线32x =．（1）求点M 的轨迹方程；（2）设(1,0)P ，直线()3x t t =≠与M 的轨迹方程相交于,A B 两点，若直线BP 与M 的轨迹方程交于另一个点C ，证明：直线AC 过定点．2023年秋学期期中考试高二数学参考答案一、选择题：1.A2. C3. D4. C5. B6. B7. D8. C9. ,A C 10. ,,A B D 11. ,,A C D 12. ,,A C D13.450x y --= 14 .5,122,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩ 15.2± 16.⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ 17.18.解：（1）设等差数列的公差为d1(1)2n n n S na d -=+1122n n S d d b a d n a n ===+-12n n d b b +-=为常数所以数列{}n b 是等差数列………………6分（2）71464a a d =⇒+=151575b a d =⇒+=12,1a d ∴=-=52n n b -∴=294n n n T -∴=………………12分19．(1)联立方程组240243501x y x x y y -+==-⎧⎧⇒⎨⎨++==⎩⎩()P -2,1\………………3分(2)点P 在圆外，()222211m m ∴--+>+m>-1\………………6分(3) 若直线062=-+y ax 与1l ，2l 不能构成三角形31323l l l l l P或或过点8a 1a a 23=-==-或或 ………………12分（每个答案2分）20.解（1）设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=()()2222222203(3)(1)4364a b a a b r b r a b r ⎧--==⎧⎪⎪⎪-+-=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩-+-=⎪⎩圆的标准方程为()()22349x y -+-= ………………6分（2）当直线l 的斜率不存在时，直线方程为1x =，符合题设………………8分当直线l 斜率存在时，设为1(1)10y k x kx y k -=---+=即d 2=Q 512k ∴=:51270l x y -+= ………………11分综上，符合条件的直线有2条，分别为1x =或512+70x y -=.………………12分21. (1) 当直线l 斜率不存在时，直线方程为1x =，符合题设；当直线l 斜率存在时，设为4(1)40y k x kx y k -=---+=即d 1=Q k-2\=3k L :3x-4y 1304\=\+=综上，符合条件的直线有2条，分别为1x =或34+130x y -=.………………4分(2)设00(,)A x y 则00(2,2)B x y ()()22002200(2)12221x y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0098x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩:l y x =………………8分(3)设m P （2,m ）过P,M,C 的圆方程：()()()220x x m y m y -+--=()222220x y y m x y +--+-=2220220x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得405225x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或恒过定点()0,2，4255⎛⎫⎪⎝⎭，………………12分22.解:(1)设点(,)M xy 32=2213x M y ∴-=点的轨迹方程 ………………4分（2）由题意；直线BP 的斜率不为零，设直线BP 的方程为1x my =+，11(,)B x y ，()22,C x y ，()11,A x y -，联立22131x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x 整理得()223220m y my -+-=，2300m -≠∆>且，12122222,33m y y y y m m +=-=---………………8分直线AC 的方程为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =()122121112211212121(1)1()3my y my y x x y x y x y x x y y y y y y +++-+=+===+++直线AC 过定点（3，0） ………………12分。

高二数学试题答案解析

高二数学试题答案解析

高二数学试题答案解析一、选择题1. 选择题答案解析本题考查了集合的基本概念和运算。

根据题目所给的集合A和B，我们可以列出它们的元素，并进行交集和并集的运算。

通过比较选项，我们可以得出正确答案为C。

2. 选择题答案解析这是一个关于函数奇偶性的题目。

首先，我们需要根据函数的定义域来判断函数是否具有奇偶性。

然后，通过代入特定的值，比如0和-1，来验证我们的判断。

最终，我们可以确定答案为B。

3. 选择题答案解析题目涉及了三角函数的图像和性质。

我们需要根据三角函数的周期性、振幅和相位等特征，来判断哪个选项的图像与题目描述相符。

通过逐一排除法，我们可以得出正确答案为D。

二、填空题1. 填空题答案解析本题要求我们求解一个二次方程的根。

我们可以通过因式分解或者使用求根公式来求解。

注意，二次方程可能有两个实根，也可能有一个重根和一个虚根。

在解答时，我们需要仔细检查并给出所有可能的解。

2. 填空题答案解析这是一个关于数列求和的题目。

我们需要根据题目给出的数列的前几项，来推断数列的通项公式。

然后，利用求和公式计算前n项和。

在计算过程中，要注意区分等差数列和等比数列的求和公式。

三、解答题1. 解答题答案解析本题主要考查了平面几何中的证明题。

我们需要根据题目给出的条件，利用几何定理和公理来证明两个图形的相似性或者相等性。

在解答过程中，要注意逻辑推理的严密性，确保每一步都有充分的依据。

2. 解答题答案解析这是一个关于导数和函数极值的题目。

我们需要先求出函数的导数，然后找出导数为零的点，这些点可能是函数的极值点。

接着，我们需要判断这些点是极大值还是极小值，这通常通过二阶导数的符号来判断。

最后，我们需要计算出这些极值的具体数值。

3. 解答题答案解析本题考查了概率论中的事件概率计算。

我们需要根据题目描述，明确事件之间的关系，比如互斥事件、独立事件等。

然后，根据概率公式，如加法公式和乘法公式，来计算所求事件的概率。

在计算过程中，要注意条件概率和非条件概率的区别。

人教版高二上学期期中考试数学试题与答案解析(共两套)

人教版高二上学期期中考试数学试题与答案解析(共两套)

人教版高二上学期期中考试数学试题（一） （本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：选择性必修第一册：第一章、第二章、第三章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知两个非零向量)(111z y x a ，，=，)(222z y x b ，，=，则这两个向量在一条直线上的充要条件是( )。

A 、||||b b a a ：：= B 、212121z z y y x x == C 、0212121=++z z y y x x D 、存在非零实数k ，使b k a =2．已知焦点在x 轴上的双曲线的焦距为32，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为( )。

A 、1222=-y xB 、1222=-y xC 、1222=-x y D 、1222=-x y3．若直线m my x +=+2与圆012222=+--+y x y x 相交，则实数m 的取值范围为( )。

A 、)(∞+-∞， B 、)0(，-∞ C 、)0(∞+， D 、)0()0(∞+-∞，， 4．点)24(-，P 与圆422=+y x 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )。

A 、1)1()2(22=++-y x B 、4)1()2(22=++-y x C 、1)1()2(22=-++y x D 、4)2()4(22=-++y x5．若P 、Q 分别为直线01243=-+y x 与0586=++y x 上任意一点，则||PQ 的最小值为( )。

A 、59 B 、1029 C 、518 D 、5296．已知椭圆C ：12222=+b y a x (0>>b a )的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为 30的直线与圆222b y x =+相交的弦长为b 3，则椭圆的离心率为( )。

A 、21 B 、22 C 、43 D 、237．已知点1F 是抛物线C ：py x 22=的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F 、2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。

广东省梅州市五校联考2022-2023学年高二下学期期中考数学试题及参考答案

广东省梅州市五校联考2022-2023学年高二下学期期中考数学试题及参考答案

梅州市五校联考高二数学试题考试时间：120分钟 总分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线24y x =的焦点坐标是（ ） A.()1,0 B.()0,1 C.1,016⎛⎫⎪⎝⎭ D.10,16⎛⎫⎪⎝⎭2.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且51010,50S S ==，则15S =（ ） A.70 B.90 C.100 D.1203.从012345､､､､､六个数中，选3个不同的数可以组成多少个不同的三位数？（ ） A.60 B.80 C.100 D.1204.函数()()3e xf x x =-的单调递减区间是（ ）A.(),2∞-B.()0,3C.()1,4D.()2,∞+5.已知函数()21382f x x x =-+，且()04f x '=，则0x =（ ）A.32B.22C.2D.226.如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ）A.72B.56C.48D.367.2022年10月9日7时43分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁型运载火箭，成功将先进天基太阳天文台“夸父一号”发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功.该卫星是我国综合性太阳探测卫星，将聚焦太阳磁场､太阳耀斑和日冕物质抛射的观测，开启我国综合性太阳探测时代，实现我国天基太阳探测卫星跨越式突破.“夸父一号”随着地球绕太阳公转，其公转轨道可以看作是一个椭圆，若我们将太阳看做一个点，则太阳是这个椭圆的一个焦点，“夸父一号”离太阳的最远距离为15210万千米，最近距离为14710万千米，则“夸父一号”的公转轨道的离心率为（ ）A.14711521 B.251471 C.251521 D.2514968.已知函数()()eln e 2,xxf x x ag x x=+=，对任意[][]121,2,1,3x x ∈∃∈，都有不等式()()12f x g x ≥成立，则a 的取值范围是（ ）A.)2e ,∞⎡-+⎣ B.1e ,2∞-⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ e C.,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭ D.21e ,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A.若372,32a a ==，则58a =± B.数列{}2n a 是等比数列C.若数列{}n a 的前n 项和13n n S r -=+，则13r =-D.若首项10a >，公比1q >，则数列{}n a 是递减数列10.已知(1)n x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A.8n =B.(1)n x +的展开式中2x 项的系数为56C.奇数项的二项式系数和为128D.()21nx y +-的展开式中2xy项的系数为5611.如图是导函数()y f x ='的图象，则下列说法正确的是（ ）A.函数()y f x =在区间()1,3上单调递减B.函数()y f x =在区间(),0∞-上单调递减C.函数()y f x =在1x =处取得极大值D.函数()y f x =在2x =-处取得极小值12.定义：设()f x '是()f x 的导函数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数()()32503f x ax bx ab =++≠的对称中心为()1,1，则下列说法中正确的有（ ） A.1,13a b ==- B.函数()f x 既有极大值又有极小值 C.函数()f x 有三个零点D.过11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭可以作两条直线与()y f x =图像相切三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2023年春节期间，电影院上映《满江红》《流浪地球2》《熊出没·伴我“熊芯”》等多部电影，这些电影涵盖了悬疑､科幻､动画等多类型题材，为不同年龄段､不同圈层的观众提供了较为丰富的观影选择.某居委会有6张不同的电影票，奖励给甲､乙､丙三户“五好文明家庭”，其中一户1张，一户2张，一户3张，则共有__________种不同的分法.14.在二项式61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是-160，则a 的值为__________.15.若函数()3227f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极大值10，则ba的值为__________. 16.若函数()()()2ln ,1,0,x a xf xg x e x x∞+==-∃∈+，使得()()f x g x ≥成立，则实数a 的最小值是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题共10分）一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球.（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？ 18.（本小题共12分）已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且11332,8a b a b ====. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若n T 是数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若n T M <恒成立，求实数M 的取值范围. 19.（本小题共12分）已知函数()32f x ax bx =++在2x =处取得极值-14.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在[]3,3-上的最值. 20.（本小题共12分）疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%.经测算政府决定采用函数模型()44x bf x x=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案.（1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件①､②的参数b 的取值范围. 21.（本小题共12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，离心率12e =，点F 到左顶点的距离为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）若,A B 是椭圆C 的上下两顶点，,C D 是椭圆C 上异于,A B 关于y 轴对称的两点，直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N .试判断以MN 为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由. 22.（本小题共12分）已知函数()()2ln ,ln xf x x x xg x e a x =-=-，（1）求函数()f x 的单调区间； （2）证明：当0a >时，()()g x f a ≥.参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.D3.C4.A5.A6.C7.D8.C二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.BC 10.AC 11.ACD 12.ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.360 14.-2 15.32-16.12四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题共10分）解：（1）将取出4个球分成三类情况： ①取4个红球，没有白球，有44C 种； ②取3个红球1个白球，有3146C C 种； ③取2个红球2个白球，有2246C C 种故有4312244646115C C C C C ++=种.（2）采用间接法：减去最低分5个白球5分，其次4个白球1个红球6分；因此，符合题意的取法共有554110664186C C C C --=种18.（本小题共12分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，且0q >. 由132,8a a ==，得822d =+，解3d =. 所以()21331n a n n =+-⨯=-.由132,8b b ==，得282q =，又0q >，解得2q =. 所以1222n nn b -=⨯=.（2）由（1）可知112n n b = 故数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列，123123111111112222n nn T b b b b =++++=++++1111222111212nn ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-< ⎪⎝⎭-因为n T M <恒成立，1M ≥ 即实数M 的取值范围为[)1,∞+ 19.（本小题共12分）（1）因()32f x ax bx =++，故()23f x ax b =+'由于()f x 在2x =处取得极值，故有()()20214f f ⎧=⎪⎨=-⎪⎩'即12082214a b a b +=⎧⎨++=-⎩，化简得12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得112a b =⎧⎨=-⎩，经检验，1,12a b ==-时，符合题意，所以1,12a b ==-.()()32122,312f x x x f x x =-+-'=，故()()19,19f f =-=-'.所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为：()()991y x --=--，即90.x y += （2）()()322122,312.3120f x x x f x x x =-+-'=-≥得2x ≤-或2x ≥；即[]3,2--单调递增，[]2,2-单调递减，[]2,3单调递增，()()()()311,218,214,37f f f f -=-==-=-因此()f x 在[]3,3-的最小值为()214f =-.最大值为()218f -= 20､（本小题共12分） 解（1）()[]()21211212,43,6;044x b f x x f x x x==-=+'+∈>， ()f x 为增函数满足条件①；()31231334343422f =-+=<⋅=，不满足条件②；所以12b =不合要求； （2）由条件①可知，()44x bf x x=-+在[]3,6上单调递增，()2221444b x bf x x x +=+=' 所以当0b ≥时，()()0,f x f x '>为增函数满足条件①；当0b <时，()2240,4x bf x x x+=>>'，所以93,04b ≤>≥-满足条件①由条件②可知，()2x f x ≥，即不等式44x bx+≤在[]3,6上恒成立， 等价于2144b x x ≤-+在[]3,6上恒成立，令()()2114,4042h x x x h x x '=-+=-+>， 8x <，即()h x 在[]3,6递增，()min 39393,44h b =∴≤综上，参数b 的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 21.（本小题共12分）解：（1）由题意知12213c a a c a c ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩222223, 1.43x y b a c ∴=-=+=椭圆方程为设()00,C x y ，则()00000033,,AC BD y y D x y k k x x -==-， 000033:3,:3y y AC y x BD y x x x ==- 令0y =，则00003333M N x x x x y y --==-+设MN 的中点为E ，则E 的坐标为0003333,02x x y y ⎛⎫-- ⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 即：22220000000003433:3412,3,:4x y y E x y y x E ⎫⎫-+=∴-=-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，半径为：0000002200033333342233x x MN y y x x y y x ----+--====--∴圆E 的方程为：22020043163y x y x x ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭①令02x =-，则00y =，代入①得：224,x y +=②令01x =-，则032y =，代入①得：22(23)16x y ++=， 由①②得：0,2x y ==±，代入①得：20200431643y x x ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 222200004836916,3412y x x y +=⨯+=上式恒成立∴圆E 恒过定点()0,2±. 22､（本小题共12分）解：（1）()y f x =的定义域为()()()0,,2ln 10f x x ∞+-+'=≥，ln 1ln ,0x e x e ≤=<≤，所以()f x 在()0,e 单调递增，在(),e ∞+单调递减.（2）()ln xg x e a x =-定义域是()()0,,(0)x ax g x e a x∞+-'∈=>由图可得：()()()()0000,0,,0;,,0x aex g x x g x x ∞='+'<> 所以()g x 在()00,x 单调递减，在()0,x ∞+单调递增；()()000ln x g x g x e a x ≥=-()0000ln ln 2ln x x e a x f a e a x a a a --=--+由00000000,ln ln ,ln ln ,ln ln x x a aee x a x x a x x x ===-=- ()0000ln ln 2ln x x e a x f a e a x a a a --=--+ ()0000001ln 2ln 220a aa a x a a a ax a a x x x x ⎛⎫=---+=+-=+-≥ ⎪⎝⎭即()00ln xe a xf a -≥ 所以()()g x f a ≥。

中考数学真题二卷答案解析

中考数学真题二卷答案解析

中考数学真题二卷答案解析中考数学作为学生们备受关注的科目之一，对于他们的学业发展和升学规划有着重要的影响。

为了帮助同学们更好地复习和备考数学，本文将对中考数学真题二卷进行答案解析，希望能提供一些有益的参考和指导。

一、选择题1. 题目：若a+b=5，b+c=2，c+a=4，那么a+b+c=？解析：将三个等式相加得a+b+c=11，因此答案为11。

2. 题目：某数减去7再除以2，得到的商为5余4。

这个数是多少？解析：设这个数为x，则由题意可得(x-7)/2=5。

解这个方程可得x=17，因此答案为17。

3. 题目：甲、乙两人共有20个橙子，如果甲比乙多8个橙子，那么甲共有几个橙子？解析：设甲有x个橙子，则乙有x-8个橙子。

根据题意得x+x-8=20，解这个方程可得x=14，因此甲共有14个橙子。

二、填空题1. 题目：用3和5两个相同的方块铺满一个矩形区域，这个区域的面积是多少？解析：根据题意可得矩形的长是3的整数倍，宽是5的整数倍，面积可表示为3n×5m。

因此答案为15nm。

2. 题目：一个矩形的长是6m，宽是4m，这个矩形的面积是多少？解析：根据矩形的面积公式可得答案为长乘以宽，即6m×4m=24m²。

三、解答题1. 题目：已知一比例尺为 1 : 3000000 的地图上，两个城市的实际距离是12km。

在这个地图上，这两个城市的距离应该多少个厘米？解析：根据比例尺的定义可得1cm代表3000000cm，即1cm代表3km。

因此，12km在地图上应该是4cm。

2. 题目：在一个正方形花坛中，小明栽种了一颗高度为3cm的花，假设花坛中的每个正方形区域的面积都是6cm²，那么这个花坛的边长是多少？解析：设花坛的边长为x，则花坛的面积为x²。

由题意可得x²-6=3，解这个方程可得x=√9，因此花坛的边长是3cm。

通过以上对中考数学真题二卷答案的解析，我们可以发现，数学题目的解答过程都是基于公式和定理的应用。

高二数学试题答案及解析

高二数学试题答案及解析

高二数学试题答案及解析1.函数的导函数是A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，得；故选C.2.“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意得，，故是必要不充分条件，故选B．【考点】1．对数的性质；2．充分必要条件．3.设函数的定义域为，则“，”是“函数为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由增函数定义知：若函数为增函数，则，，必要性成立；反之充分性不成立，如非单调函数（取整函数），满足，，所以选B.【考点】充要关系4.给定命题：对任意实数都有成立；：关于的方程有实数根．如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围．【答案】．【解析】若为真，则或即；若为真，则，则，分真假、假真分别进行讨论.试题解析：若为真，则或即；若为真，则，则．又∵为真，为假，则真假或假真．①真假时，解得；②假真时，解得．综上，的取值范围为．【考点】逻辑联结词．5.已知函数的导函数为，且，则__________．【答案】【解析】 ,则，所以 .6.设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，即，若，则，即由不一定能推出，故选A。

【考点】（1）不等式的基本性质；（2）充分必要条件的判断。

7.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．【答案】【解析】抛物线的准线方程为，双曲线的渐近线方程为，所以所要求的三角形的面积为；【考点】1．抛物线的几何性质；2．双曲线的几何性质；8.命题“”的否定是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为，，故应选.【名师】本题主要考查特称命题的否定，其解题的关键是正确理解并识记其否定的形式特征.先把存在量词（或全称量词）改为全称量词（或存在量词），再否定结论即可；扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力.【考点】含一个量词的命题的否定.9.已知点在椭圆上，椭圆离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点、，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点，使得为定值.【解析】（1）依题意建立方程椭圆的方程为；（2）假设存在点,使得为定值, 设元和设直线的方程为,联立,存在点,使得为定值恒成立．试题解析：（1）因为点在椭圆上，椭圆离心率为,,解得椭圆的方程为．（2）假设存在点,使得为定值, 设,设直线的方程为,联立,得,,,,要使上式为定值, 即与无关, 应有,解得,存在点,使得为定值恒成立．【考点】1、椭圆的方程及其性；2、直线与椭圆．10.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线：交椭圆于，两不同的点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线不过点，求证：直线，与轴围成等腰三角形.【答案】（1）；（2）；（3）证明详见解析．【解析】（Ⅰ）求椭圆方程采用待定系数法，首先设出椭圆方程，由离心率和点的坐标可分别得到关于的关系式，结合可求得值，从而得到椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程与椭圆方程联立，借助于二次方程根与系数的关系可得到坐标与的关系式，证明三角形为等腰三角形转化为证明直线的斜率互为相反数，通过计算两斜率之和为0，来实现结论的证明.（Ⅰ）设椭圆方程为，因为，所以，又椭圆过点，所以，解得，，故椭圆的方程为（Ⅱ）将代入并整理得，再根据，求得.设直线，斜率分别为和，只要证即可.设，，则，，∴而此分式的分子等于可得因此，与轴所围成的三角形为等腰三角形.11.命题的否定是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】全称命题的否定是特称命题，所以：，故选B.【考点】1.全称命题；2.特称命题.12.函数，已知在时取得极值，则= （）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】对函数求导可得，，∵在时取得极值，∴,得故答案为：D.【考点】函数的导数与极值的关系.13.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系为R=R（x）=，则总利润最大时，每年生产的产品数量是．【答案】300．【解析】先根据题意得出总成本函数，从而写出总利润函数，它是一个分段函数，下面求其导数P′（x），令P′（x）=0，从而得出P的最大值即可．解析：由题意，总成本为C=20000+100x．∴总利润为：P=R﹣C=，P′=．令P′=0，即可得到正确答案，即x=300．故答案：300．点评：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．14.把长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形最小的面积之和是．【答案】2 cm2．【解析】设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4﹣x）cm，则可得到这两个正三角形面积之和，利用二次函数的性质求出其最小值．解：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4﹣x）cm，两个三角形的面积和为S=x2+（4﹣x）2=x2﹣2x+4．令S′=x﹣2=0，则x=2，所以S=2．min故答案为：2 cm2．点评：本题考查等边三角形的面积的求法，二次函数的性质及最小值的求法．15.若是假命题，则（）A．是真命题，是假命题B．均为假命题C．至少有一个是假命题D．至少有一个是真命题【答案】C【解析】当、都是真命题是真命题，其逆否命题为：是假命题、至少有一个是假命题，可得C正确.【考点】命题真假的判断.16.（本题满分13分）已知椭圆的离心率为，且它的一个焦点的坐标为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设过焦点的直线与椭圆相交于两点，是椭圆上不同于的动点，试求的面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦距即可求出标准方程；（Ⅱ）设过焦点F的直线为l，分1两类，若l的斜率不存在，求出答案，若l的斜率存在，不妨设为k，则l的方程为y=kx+1，根据韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，得到，构造函数，利用导数求出函数的最值，问题得以解决试题解析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则．又由，可解得，所以，所以，椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设过焦点的直线为．①若的斜率不存在，则，即，显然当在短轴顶点或时，的面积最大，此时，的最大面积为.②若的斜率存在，不妨设为，则的方程为．设．联立方程：消去整理得：，所以则．因为，当直线与平行且与椭圆相切时，此时切点到直线的距离最大，设切线，联立消去整理得：，由，解得：．又点到直线的距离，所以，所以.将代入得．令，设函数，则，因为当时，，当时，，所以在上是增函数，在上是减函数，所以．故时，面积最大值是．显然，所以，当的方程为时，的面积最大，最大值为．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．17.设命题，则为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，存在的否定为任意，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.【考点】原命题与否命题.18.已知；．（Ⅰ）若是的必要条件，求的取值范围；（Ⅱ）若是的必要不充分条件，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】（1）求出p，q成立的等价条件，根据p是q的必要条件，建立条件关系即可；（2）利用是的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，建立条件关系进行求解即可．试题解析：由得，即，又．（1）若p是q的必要条件，则，即，即，解得，即m的取值范围是．（2）∵是的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，即，解得或．即m的取值范围是．点睛：根据命题真假求参数的方法步骤（1）先根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）；（2）然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；（3）最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围19.已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，的周长为所求的椭圆成为，故选A．【考点】1.椭圆的几何性质；2. 椭圆的焦点三角形问题；3．椭圆方程的求法．20.已知命题,命题,若是的充分不必要条件，求的取值范围.【答案】【解析】根据一元二次不等式的解法分别求出命题和，由是的充分不必要条件，可知，从而求出的范围：试题解析：：，解得；：，解得．∵，，∴，故有且两个等号不同时成立，解得，因此，所求实数的取值范围是．【考点】充分条件和必要条件的应用21.已知椭圆的离心率为，点在上（1）求的方程（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.【答案】（1）（2）【解析】把和的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点坐标；把的方程化为极坐标方程代入到和的极坐标方程得出两点的极坐标，的长度为两点的极径的差的绝对值，借助三角函数求出最值.试题解析：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为联立解得，或，所以与交点的直角坐标为和（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中因此的极坐标为，的极坐标为所以当时，取得最大值，最大值为.22.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若A、B两点的横坐标之和为，则|AB|=（）A. B. C. 5 D.【答案】D【解析】由抛物线定义得，选D.【考点】抛物线定义【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点的坐标．2．若P（x0，y）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．23.已知椭圆的离心率为，点在上（1）求的方程（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.【答案】（1）（2）【解析】把和的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点坐标；把的方程化为极坐标方程代入到和的极坐标方程得出两点的极坐标，的长度为两点的极径的差的绝对值，借助三角函数求出最值.试题解析：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为联立解得，或，所以与交点的直角坐标为和（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中因此的极坐标为，的极坐标为所以当时，取得最大值，最大值为.24.已知椭圆C：的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若AB＝10，BF＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为________．【答案】【解析】在△ABF中，由余弦定理得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB|·|BF|cos∠ABF，∴|AF|2＝100＋64－128＝36，∴|AF|＝6，从而|AB|2＝|AF|2＋|BF|2，则AF⊥BF.∴c＝|OF|＝|AB|＝5，利用椭圆的对称性，设F′为右焦点，则|BF′|＝|AF|＝6，∴2a＝|BF|＋|BF′|＝14，a＝7.因此椭圆的离心率e＝＝.25.已知命题p：方程ax2＋ax－2＝0在[－1,1]上只有一个解；命题q：只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p∨q”为假命题，求实数a的取值范围．【答案】且【解析】由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0，显然a≠0，∴x＝－或x＝.∵x∈[－1，1]，故≤1或≤1，∴|a|≥1.由题知命题q“只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2，∴当命题“p或q”为真命题时|a|≥1或a＝0.∵命题“p或q”为假命题，∴a的取值范围为{a|－1<a<0或0<a<1}．26.设为直线与双曲线左支的交点，是左焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率【答案】：【解析】设，则由题意，知．因为垂直于轴，则由双曲线的通径公式知，即，所以．又由，得，所以．【考点】双曲线的性质．【方法点睛】讨论椭圆的性质，离心率问题是重点，求椭圆的离心率的常用方法有两种：（1）求得的值，直接代入求得；（2）列出关于的一个齐次方程（不等式），再结合消去，转化为关于的方程（或不等式）再求解．27.已知命题p：方程ax2＋ax－2＝0在[－1,1]上只有一个解；命题q：只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p∨q”为假命题，求实数a的取值范围．【答案】且【解析】由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0，显然a≠0，∴x＝－或x＝.∵x∈[－1，1]，故≤1或≤1，∴|a|≥1.由题知命题q“只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2，∴当命题“p或q”为真命题时|a|≥1或a＝0.∵命题“p或q”为假命题，∴a的取值范围为{a|－1<a<0或0<a<1}．28.顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是A．B．C．或D．或【答案】C【解析】当焦点在轴时，设方程为，代入点，所以方程为，同理焦点在轴时方程为【考点】抛物线方程29.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】双曲线的渐近线y＝±x，所以a＝2，选C项．30.已知函数，其中为实数，为的导函数，若，则的值为_________．【答案】3【解析】，所以．【考点】导数的运算．【名师】(1)在解答过程中常见的错误有：①商的求导中，符号判定错误．②不能正确运用求导公式和求导法则．(2)求函数的导数应注意：①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量．②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．。

高二数学试题答案及解析

高二数学试题答案及解析

高二数学试题答案及解析1.已知实数，设命题：函数在上单调递减；命题：不等式的解集为，如果为真，为假，求的取值范围.【答案】.【解析】命题：函数在上单调递减，可得：. 命题：不等式的解集为，可得，如果为真，为假，可得只能一真一假，解出即可.试题解析：由函数在上单调递减可得，，解得.设函数，可知的最小值为，要使不等式的解集为，只需，因为或为真，且为假，所以只能一真一假，当真假时，有，无解；当假真时，有，可得，综上，的取值范围为.2.设函数，则（）A．2B．-2C．5D．【答案】D【解析】由得：，所以，则，故选D.3.“”是“方程为双曲线的方程”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程表示椭圆，则，解得且，所以是方程表示椭圆的必要不充分条件，故选B．【考点】椭圆的标准方程；必要不充分条件的判定．4.函数，则的值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】解答：f ( x)=sin x+e x，∴f′(x)=cos x+e x，∴f′(0)=cos0+e0=1+1=2，故选：B5.“”是“”成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题可得，而，故应选择A.【考点】充要条件6.如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是A．B．C．D．【答案】D【解析】略7.如图：已知为抛物线上的动点，过分别作轴与直线的垂线，垂足分别为，则的最小值为_____________.【答案】【解析】抛物线的准线方程是，又根据抛物线的几何性质，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离所以,的最小值就是点到直线的距离，所以点到直线的距离，即的最小值是，故填：.【考点】抛物线的几何意义【方法点睛】本题考查了抛物线的几何性质，属于基础题型，当涉及圆锥曲线内线段和的最小或线段差的最大时，经常使用圆锥曲线的定义进行转化，比如本题，抛物线上任一点到焦点的距离和到准线的距离相等，所以将到轴的距离转化为,这样通过几何图形就比较容易得到结果.8.已知椭圆（）的离心率为，短轴的一个端点为.过椭圆左顶点的直线与椭圆的另一交点为.（1）求椭圆的方程；（2）若与直线交于点，求的值；（3）若，求直线的倾斜角.【答案】（1）；（2）；（3）或．【解析】（1）根据条件可得，，再结合条件，计算得到，和，求得椭圆的标准方程；（2）首先设，根据点的坐标求出直线的方程，并计算得到点的坐标，并表示,最后根据点在椭圆上，满足椭圆方程，计算得到常数；（3）设直线方程与椭圆方程联立，根据弦长公式，解得直线的斜率，最后得到直线的倾斜角.试题解析：（1）∵∴∴椭圆的方程为（2）由（1）可知点，设，则令，解得，既∴又∵在椭圆上，则，∴（3）当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设其为，则由可得，由于，则设可得，，∴∴解得∴直线的倾斜角为或.【考点】1.椭圆方程；2.弦长公式；3.直线与椭圆相交的综合问题.9.已知点是双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，为的内心，若成立，则双曲线的离心率为（）A．4B．C．2D．【解析】如图，设圆I与的三边分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，则，它们分别是的高，，其中r是的内切圆的半径．由根据双曲线定义，得，∴2a=c⇒离心率为【考点】双曲线方程及性质10.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．【答案】【解析】抛物线的准线方程为，双曲线的渐近线方程为，所以所要求的三角形的面积为；【考点】1．抛物线的几何性质；2．双曲线的几何性质；11.命题“”的否定是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为，，故应选.【名师】本题主要考查特称命题的否定，其解题的关键是正确理解并识记其否定的形式特征.先把存在量词（或全称量词）改为全称量词（或存在量词），再否定结论即可；扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力.【考点】含一个量词的命题的否定.12.已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解析】依题意有，解得，所以方程为.【考点】双曲线的概念与性质．13.设抛物线的焦点为，直线过且与交于两点，若，则的方程为（）A．或B．或C．或D．或【答案】C【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),又F(1,0),则=(1-x1,-y1), =(x2-1,y2),由题意知=3,因此即又由A、B均在抛物线上知解得直线l的斜率为=±,因此直线l的方程为y= (x-1)或y=- (x-1).故选C.14.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为．【答案】9万件【解析】求出函数的导函数，由导函数等于0求出极值点，结合实际意义得到使该生产厂家获取最大年利润的年产量．解：由，得：y′=﹣x2+81，由﹣x2+81=0，得：x1=﹣9（舍），x2=9．当x∈（0，9）时，y′＞0，函数为增函数，当x∈（9，+∞）时，y′＜0，函数为减函数，所以当x=9时，函数有极大值，也就是最大值，为（万元）．所以使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．故答案为9万件．点评：本题考查了函数在某点取得极值的条件，考查了运用导函数判断原函数的单调性，此题是基础题．15.求下列函数的导数：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】直接利用导数的乘除法则及基本初等函数的求导公式求解.试题解析：（1）（2）.16.已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于不同的两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）；（2），.【解析】（1）本问主要考查待定系数法求椭圆标准方程，首先设椭圆方程为，然后根据条件列方程组，求解后即得到椭圆标准方程；（2）本问主要考查直线与椭圆的综合问题，分析可知，内切圆面积最大时即为内切圆半径最大，的面积可以表示为，由椭圆定义可知的周长为定值，这样的面积转化为，然后再根据直线与椭圆的位置关系，的面积表示为，这样可以联立直线方程与椭圆方程，消去未知数，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理，表示出，最后转化为关于的函数，即可求出最值.试题解析：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为．则，解得：椭圆方程为，（Ⅱ）设，不妨，设的内切圆的半径，则的周长为因此最大，就最大，由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由得，得 .则，令，可知，则，令，则，当时，，在上单调递增，有，即当时，，这时所求内切圆面积的最大值为．故直线内切圆面积的最大值为.点睛：直线与圆锥曲线问题一直以来都是考查的热点，一方面考查学生数形结合、划归转化思想的能力，另一方面考查学生分析问题及计算的能力.解题时注意到直线的斜率为0以及斜率不存在这两种特殊情况，这就决定我们在设直线方程时是选择用，还是用，这样可以避免讨论.在解决最值问题时，可以通过换元法，转化为函数、导数问题求最值，也可以利用不等式思想求最值，重点考查学生函数方程、不等式思想的应用.17.（本题满分13分）已知椭圆的离心率为，且它的一个焦点的坐标为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设过焦点的直线与椭圆相交于两点，是椭圆上不同于的动点，试求的面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的直线为l，分【解析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦距即可求出标准方程；（Ⅱ）设过焦点F1两类，若l的斜率不存在，求出答案，若l的斜率存在，不妨设为k，则l的方程为y=kx+1，根据韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，得到，构造函数，利用导数求出函数的最值，问题得以解决试题解析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则．又由，可解得，所以，所以，椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设过焦点的直线为．①若的斜率不存在，则，即，显然当在短轴顶点或时，的面积最大，此时，的最大面积为.②若的斜率存在，不妨设为，则的方程为．设．联立方程：消去整理得：，所以则．因为，当直线与平行且与椭圆相切时，此时切点到直线的距离最大，设切线，联立消去整理得：，由，解得：．又点到直线的距离，所以，所以.将代入得．令，设函数，则，因为当时，，当时，，所以在上是增函数，在上是减函数，所以．故时，面积最大值是．显然，所以，当的方程为时，的面积最大，最大值为．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．18.如图，已知椭圆的上、下顶点分别为A,B，点P在椭圆上，且异于点A,B，直线AP,BP与直线分别交于点M,N，（1）设直线AP,BP的斜率分别为，求证：为定值；（2）求线段MN的长的最小值；（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.【解析】（Ⅰ）随点运动而变化，故设点表示，进而化简整体消去变量；（Ⅱ）点的位置由直线，生成，所以可用两直线方程解出交点坐标，求出，它必是的函数，利用基本不等式求出最小值；（Ⅲ）利用的坐标求出圆的方程，方程必含有参数，消去一个后，利用等式恒成立方法求出圆所过定点坐标.试题解析：（Ⅰ），令，则由题设可知，∴直线的斜率，的斜率，又点在椭圆上，所以，（），从而有.（Ⅱ）由题设可以得到直线的方程为，直线的方程为，由，由，直线与直线的交点，直线与直线的交点.又，等号当且仅当即时取到，故线段长的最小值是.（Ⅲ）设点是以为直径的圆上的任意一点，则，故有，又，所以以为直径的圆的方程为，令解得，以为直径的圆是否经过定点和.【考点】直线的交点，圆的方程，圆过定点问题，基本不等式的应用.19.已知命题，则为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】命题为全称命题，则命题的否定应该将全称量词改为特称量词，然后否定结论，因此为：，故选D．【考点】全称命题的否定．20.已知命题,命题,若是的充分不必要条件，求的取值范围.【答案】【解析】根据一元二次不等式的解法分别求出命题和，由是的充分不必要条件，可知，从而求出的范围：试题解析：：，解得；：，解得．∵，，∴，故有且两个等号不同时成立，解得，因此，所求实数的取值范围是．【考点】充分条件和必要条件的应用21.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若A、B两点的横坐标之和为，则|AB|=（）A. B. C. 5 D.【答案】D【解析】由抛物线定义得，选D.【考点】抛物线定义【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点的坐标．2．若P（x0，y）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．22.2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是（）A．－＜x＜3B．－＜x＜0C．－3＜x＜D．－1＜x＜6【答案】D【解析】由，解得，所以的一个必要不充分条件是，故选D．【考点】充分条件与必要条件的判定．23.若，则“”是“”的（）.A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，，所以，或；反之，时，一定可以得到，故“”是“”的必要而不充分条件，选B.【考点】充要条件24.已知命题p：x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若命题p与命题q有且只有一个为真，求实数m的取值范围．【答案】m≥3，或1＜m≤2【解析】根据题意，首先求得p、q为真时m的取值范围，再由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，分p假q真与p真q假两种情况分别讨论，最后综合可得答案试题解析：若方程x2＋mx＋1=0有两不等的负根，则解得m＞2，即命题p：m＞2若方程4x2＋4（m－2）x＋1＝0无实根，则Δ＝16（m－2）2－16＝16（m2－4m＋3）＜0解得：1＜m＜3．即q：1＜m＜3．因“p或q”为真，所以p、q至少有一为真，又“p且q”为假，所以命题p、q至少有一为假，因此，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真．∴解得：m≥3或1＜m≤2．【考点】1．复合命题的真假；2．一元二次方程的根的分布与系数的关系25.抛物线的焦点坐标是______【答案】(1,0)【解析】由抛物线方程可知焦点在y轴上，由，所以焦点为【考点】抛物线方程及性质26.设为直线与双曲线左支的交点，是左焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率【答案】：【解析】设，则由题意，知．因为垂直于轴，则由双曲线的通径公式知，即，所以．又由，得，所以．【考点】双曲线的性质．【方法点睛】讨论椭圆的性质，离心率问题是重点，求椭圆的离心率的常用方法有两种：（1）求得的值，直接代入求得；（2）列出关于的一个齐次方程（不等式），再结合消去，转化为关于的方程（或不等式）再求解．27.设、分别为双曲线的左右项点，双曲线的实轴长为,焦点到渐近线的距离为.（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于、两点，且在双曲线的右支上存在点使，求的值及点的坐标.【答案】（1）；（2），点．【解析】（1）由于实轴长为，可得，由双曲线的焦点到渐进线的距离可得，从而得其方程；（2）设，根据向量关系可得，联立直线方程与双曲线方程消去得关于的一元二次方程，由韦达定理可得，代入直线方程可得，从而得，再根据点在双曲线上，满足双曲线方程，解方程组即可得到点的坐标和的值.试题解析：（1）由实轴长为，得，渐近线方程为，即，焦点到渐近线的距离为，，又，双曲线方程为：. （2）设，则,由，，，解得.【考点】双曲线的标准方程及直线与双曲线的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程的求解及直线与圆锥曲线的位置关系问题，同时涉及到了向量的线性运算及坐标表示，考查考生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.本题第一问解答时，可求出渐近线方程，利用点到直线的距离公式求得，也可以直接利用结论求解，第二问解答的关键是通过向量加法的坐标表示建立点坐标和坐标的关系，通过韦达定理即可求解.28.顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是A．B．C．或D．或【答案】C【解析】当焦点在轴时，设方程为，代入点，所以方程为，同理焦点在轴时方程为【考点】抛物线方程29.命题：“”的否定为________;【答案】【解析】全称命题“”的否定是“”，所以命题“”的否定是“”【考点】含有一个量词命题的否定.30.命题“若，则”的逆命题是A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】“若则”的逆命题是“若则”，所以原命题的逆命题是“若，则”，故选C.【考点】四种命题。

2024学年江苏省南京市高二上学期期中考数学试题及答案

2024学年江苏省南京市高二上学期期中考数学试题及答案

南京市2023－2024学年度第一学期期中调研测试高二数学2023.11注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第12题)、填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题)四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．若样本中A型号的产品有20件，则样本容量n为A．50B．80C．100D．2002．已知复数z0＝3＋i，其中i为虚数单位，复数z满足zz0＝3z＋z0，则z＝A．1－3i B．1＋3i C．3＋i D．3－i 3．已知圆C1：x2＋y2－x－ay＝0与圆C2：x2＋y2－2x－4y＋2＝0的公共弦所在直线与x轴垂直，则实数a的值为A．－4 B．－2 C．2 D．4 4．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数，即平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积．假令器形为圆台，盆口径(直径)一尺四寸，底径(直径)六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸(一尺等于十寸)，则平地降雨量为A．1 B．2 C．3 D．45．已知cos x＋sin x＝23，则sin2xcos(x－\f(π,4))＝A．－716B．－726C．－76D．－736．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F 2，A 为双曲线右支上一点，连接AF 1交y 轴于点B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线C 的离心率为A ．23B ．32C ．3D ．3327．在平面直角坐标系xOy 中，P 为直线3x ＋4y ＋1＝0上一点．若向量a ＝(3，4)，则向量OP→在向量a 上的投影向量为A ．－15B ．(－35，－45)C ．(－325，－425)D ．无法确定8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)．若 x ∈R ，f (x )≤f (π3)，且f (x )在(0，π)上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为A ．(0，32]B ．(34，32]C ．(34，94]D ．(32，94]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则A ．众数是22B ．80百分位数是28C ．平均数是30D ．前4个数据的方差比最后4个数据的方差小10．声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为y ＝A sin ωx ．设声音的函数为φ(x )，音的响度与φ(x )的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与φ(x )的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是f (x )＝sin x ＋12sin2x ，纯音乙的函数解析式是g (x )＝32sin ωx (ω＞0)，则下列说法正确的有A ．纯音乙的响度与ω无关B ．纯音乙的音调与ω无关C ．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则ω＞1D ．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)为抛物线C 上的任意三点(异于O 点)，FA → ＋FB → ＋FD →＝0，则下列说法正确的有A ．设A ，B 到直线x ＝－1的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2＜AB B ．FA ＋FB ＋FD ＝6C ．若FA ⊥FB ，则FD ＝ABD ．若直线AB ，AD ，BD 的斜率分别为k AB ，k AD ，k BD ，则1k AB ＋1k AD ＋1k BD ＝012．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ＝8，AD ＝6，点E 是正方形BCC 1B 1内部或边界上异于点C 的一点，则下列说法正确的有A ．若D 1E ∥平面ABB 1A 1，则E ∈C 1CB ．设直线D 1E 与平面BCC 1B 1所成角的最小值为θ，则tan θ＝223C ．存在E ∈BB 1，使得∠D 1EC ＞π2D ．若∠D 1EC ＝π2，则EB 的最小值为35－3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M (2，3)和N (4，0)，点Q 在x 轴上．若直线MQ 与直线MN 的夹角为90°，则点Q 的坐标为▲________．14．在△ABC 中，AB ＝36，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝75°，D 是射线BC 上一点，且CD ＝10，则AD ＝▲________．15．某商场为了促销，每天会在上午和下午各举办一场演出活动，两场演出活动相互独立．每个时段演出的概率分别如下：若某顾客打算第二天11：00抵达商场并逛3.5小时后离开，则他当天能观看到演出的概率为▲________．16．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(1，0)，|a －c |＝12，则向量b ，c 最大夹角的余弦值为▲________．上午演出时段9：00－9：3010：00－10：3011：00－11：30下午演出时段14：00－14：3015：00－15：3016：00－16：30相应的概率161213四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝sin x cos x－sin2x＋t(x∈R)的最大值为2 2．（1）求f(x)的解析式；（2）若 x∈[π12，π2]，f(x)－m≤0，求实数m的最小值．18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在l：x－2y＝0上，且圆C与x轴相切，直线l1：x－ay＝0(a∈R)，D(6，0)．（1）若直线l1与圆C相切，求a的值；（2）若直线l1与圆C相交于A，B两点，将圆C分成的两段弧的弧长之比为1∶3，且DA＝DB，求圆C的方程．19．(本小题满分12分)如图，一个质地均匀的正二十面体骰子的各面上标有数字0~9这10个数字(相对的两个面上的数字相同)，抛掷这个骰子，并记录下朝上一面(与地面或桌面平行)的数字．记事件A1为“抛两次，两次记录的数字之和大于16”，记事件A2为“抛两次，两次记录的数字之和为奇数”，事件A3为“抛两次，第一次记录的数字为奇数”．（1）求P(A1)，P(A2)；（2）判断事件A1A2与事件A3是否相互独立，并说明理由．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，AB → ·AC →＝b 2－12ab ．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的面积为32，且CM → ＝2MB → ，AN → ＝3NM → ，求|CN →|的最小值．21．(本小题满分12分)如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABB 1＝π2，∠B 1BC ＝π3．（1）证明：A 1C 1⊥B 1C ；（2）求直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为23，椭圆C 的上顶点为B ，且BF 1→ ·BF 2→＝－2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点A (2，－1)，且与椭圆C 交于M ，N 两点（不与B 重合），直线BM 与直线BN 分别交直线x ＝4于P ，Q 两点．判断是否存在定点G ，使得点P ，Q 关于点G 对称，并说明理由．（第21题图）南京市2023－2024学年度第一学期期中学情调研测试高二数学参考答案 2023.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．C2．A 3．D 4．B 5．D6．C7．C 8．B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分． 9．ACD10．AC11．BCD12．ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．(12，0)14．1415．4916．15－38四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）解：（1）f (x )＝sin x cos x －sin 2x ＋t ＝12sin2x －1－cos2x2＋t ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分＝12sin2x ＋12cos2x －12＋t ＝22sin(2x ＋π4)－12＋t ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为f (x )的最大值为22，所以22－12＋t ＝22，解得t ＝12，所以f (x )＝22sin(2x ＋π4)．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（2）由（1）可知f (x )＝22sin(2x ＋π4)，当x ∈[π12，π2]时，5π12≤2x ＋π4≤5π4，当2x ＋π4＝π2时，即x ＝π8时，f (x )max ＝22．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为f (x )－m ≤0恒成立，所以m ≥f (x )max 恒成立，即m ≥22恒成立，因此m 的最小值为22．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分18．（本小题满分12分）解：（1）因为圆心C 在直线l 上，可设C (2m ，m )，m ≠0．因为圆C 与x 轴相切，所以r ＝|m |．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分又因为直线l 1与圆C 相切，所以|m |＝|2m －am |a 2＋1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为m ≠0，解得a ＝34．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分（2）因为A ，B 把圆C 分成的两段弧长之比为1∶3，所以弦AB 所对劣弧圆心角为2π×14＝π2，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分所以圆心C 到l 1的距离d 等于圆C 半径的22倍，即22|m |＝|2m －am |a 2＋1，由（1）得m ≠0，解得a ＝1或a ＝7． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分又因为DA ＝DB ，所以AB 的垂直平分线经过D (6，0)和圆心C (2m ，m )，所以m2m －6＝－a ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分所以，当a ＝1时，m ＝2，圆C 方程为(x －4)2＋(y －2)2＝4，当a ＝7时，m ＝145，圆C 方程为(x －285)2＋(y －145)2＝19625．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分19．（本小题满分12分）解：若用(i ，j )表示第一次抛掷骰子数字为i ，用j 表示第二次抛掷骰子数字为j ，则样本空间Ω＝{(i ，j )|0≤i ≤9，0≤j ≤9，i ，j ∈Z }，共有100种等可能的样本点． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分（1）A 1＝{(8，9)，(9，8)，(9，9)}，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分所以P (A 1)＝3100．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为 A 2＝{(0，1)，(0，3)…(9，8)}共有50个样本点，所以P (A 2)＝50100＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（2）因为A 1A 2＝{(8，9)，(9，8)}，所以P (A 1A 2)＝2100＝150．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为A 3＝{(1，0)，(1，1)…(9，9)}，共有50个样本点，所以P (A 3)＝50100＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分因为A 1A 2A 3＝{(9，8)}，所以P (A 1A 2A 3)＝1100．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分因为P (A 1A 2)P (A 3)＝150×12＝P (A 1A 2A 3)，所以事件A 1A 2与事件A 3独立．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分20．（本小题满分12分）解：（1）方法1因为AB → ·AC → ＝b 2－12ab ，所以bc cos A ＝b 2－12ab ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分由余弦定理得bc ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2－12ab ，化简得b 2＋a 2－c 22ab ＝12，所以cos C ＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为C 为△ABC 内角，所以C ＝π3．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分方法2因为AB → ·AC →＝b 2－12ab ，所以bc cos A ＝b 2－12ab ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分由正弦定理得sin B sin C cos A ＝sin 2B －12sin A sin B ．因为B 为△ABC 内角，所以sin B ≠0，所以sin C cos A ＝sin B －12sin A ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C cos A ＝sin(A ＋C )－12sin A ，即sin C cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C －12sin A ，化简得sin A cos C ＝12sin A ．因为A 为△ABC 内角，所以sin A ≠0，所以cos C ＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为C 为△ABC 内角，所以C ＝π3．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分（2）因为S △ABC ＝12ab sin C ＝32，所以ab ＝2．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分因为CM → ＝2MB → ，AN → ＝3NM → ，所以CN → ＝CA → ＋AN → ＝CA → ＋34AM → ＝CA → ＋34(CM →－CA → )＝14CA → ＋34CM → ＝14CA → ＋12CB →，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分从而|C N → |2＝(14CA → ＋12CB → )2＝116b 2＋14a 2＋14CA → ·CB→＝116b 2＋14a 2＋14∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分≥2116b 2×14a 2＋14＝34．当且仅当116b 2＝14a 2，即a ＝1，b ＝2时取等号．所以|C N →|的最小值为32．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分21．（本小题满分12分）（1）证明：连接AB 1，在△ABB 1中，∠ABB 1＝π2，AB ＝BB 1＝1，所以AB 1＝2，在△BCB 1中，∠B 1BC ＝π3，BC ＝BB 1＝1，所以B 1C ＝1，所以在△ACB 1中，AB 1＝2，B 1C ＝1，AC ＝1，所以AB 12＝AC 2＋B 1C 2，所以AC ⊥B 1C ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分又因为在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，所以A 1C 1⊥B 1C ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分（2）方法1解：连接AB 1，A 1B ，交于点O ，连接BC 1，连接CO ．在边长都为1的正方形A 1ABB 1中，O 是AB 1的中点，又因为B 1C ＝AC ＝1，所以CO ⊥AB 1． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分因为四边形B 1BCC 1边长都为1，所以B 1C ⊥BC 1．由(1)知B 1C ⊥A 1C 1．又因为A 1C 1∩BC 1＝C 1，A 1C 1，BC 1⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥平面A 1BC 1．因为A 1B ⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥A 1B ．因为在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，A 1B ⊥AB 1．又因为AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1，B 1C ⊂平面AB 1C ，所以A 1B ⊥平面AB 1C ．因为CO ⊂平面AB 1C ，所以CO ⊥A 1B ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分又因为A 1B ∩AB 1＝O ，A 1B ，AB 1⊂平面A 1ABB 1，所以CO ⊥平面A 1ABB 1，所以∠CBO 即为直线BC 与平面ABB 1A 1所成的角． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，∠ABB 1＝π2，所以BO ＝22．因为BC ＝1，所以cos ∠CBO ＝22，所以∠CBO ＝π4，所以直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小为π4． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分方法2解：取AB 1中点O ，连接BO ，CO ．在△ACB 1中，AC ＝B 1C ＝1，所以CO ⊥AB 1， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分在边长都为1的正方形A 1ABB 1中，BO ＝22，A 1B ＝2．又因为AC 2＋B 1C 2＝A 1B 2，所以△ACB 1为直角三角形，所以CO ＝22．在△ACB 1中，CO 2＋BO 2＝BC 2，所以CO ⊥BO ．…………………………………………8分又因为AB 1∩BO ＝O ，AB 1，BO 平面A 1ABB 1，所以CO ⊥平面A 1ABB 1，所以∠CBO 即为直线BC 与平面ABB 1A 1所成的角．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，∠ABB 1＝π2，所以BO ＝22．因为BC ＝1，所以cos ∠CBO ＝22，所以∠CBO ＝π4，所以直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小为π4．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分22．（本小题满分12分）解：（1）因为BF 1→ ＝(－3，－b )，BF 2→＝(3，－b )，所以BF 1→ ·BF 2→＝b 2－3＝－2，所以b 2＝1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分因为c ＝3，所以a 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分（2）设直线MN 的方程为y ＝k (x －2)－1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立{x 2＋4y 2＝4，y ＝k (x －2)－1，消去y 得，(1＋4k 2)x 2－8k (1＋2k )x ＋16k 2＋16k ＝0，所以x 1＋x 2＝8k (1＋2k )1＋4k 2，x 1x 2＝16k 2＋16k 1＋4k 2，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分直线BM 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1，直线BN 的方程为y ＝y 2－1x 2x ＋1，设P ，Q 两点的纵坐标分别为y P ，y Q ，所以y P ＝4×y 1－1x 1＋1，y Q ＝4×y 2－1x 2＋1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为y P ＋y Q ＝4×(y 2－1x 2＋y 1－1x 1)＋2＝4×[k (x 2－2)－2x 2＋k (x 1－2)－2x 1]＋2＝4×(2k －2k ＋2x 2－2k ＋2x 1)＋2＝4×[2k －(2k ＋2)x 1＋x 2x 1x 2]＋2∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分＝4×[2k －(2k ＋2)8k (1＋2k )16(k ＋k 2)]＋2＝4×[2k －(2k ＋1)]＋2＝－2，所以y P ＋y Q 2＝－1，所以存在G (4，－1)，使得点P ，Q 关于点G 对称．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分。

2024学年江苏省扬州中学高二上学期期中考数学试题及答案

2024学年江苏省扬州中学高二上学期期中考数学试题及答案

江苏省扬州中学2023-2024学年第一学期期中考试高二数学2023.11试卷满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码.2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效.3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1.经过(A 、()1,0B -两点的直线的倾斜角为（ ）A.π6 B.π3C.2π3D.5π62. 抛物线22x py =的准线方程是2y =，则实数p 的值为（ ）A. 8- B. 4- C. 4D. 83. 已知(),P x y 是椭圆22114425x y +=上的点，则x y +的值可能是（ ）A. 13B. 14C. 15D. 164. 若点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部，则a 的取值范围是（ ）A. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()1,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭5. 已知12,F F 是椭圆 221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，则2MNF 的周长为（ ）A. 10B. 16C. 20D. 266. 已知抛物线2:16C y x =，直线:4l x =与C 交于A ，B 两点，M 是射线BA 上异于A ，B 的动点，圆1C 与圆2C 分别是OMA 和OMB △的外接圆（O 为坐标原点），则圆1C 与圆2C 面积的比值为（ ）A 小于1B. 等于1C. 大于1D. 与M 点的位置有关.7. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22221y x a b-=(00)a b >>，下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）A. 221124y x -= B. 223144y x -=C. 22144x y -= D. 221164y x -=8. 已知点()2,4M ，若过点()4,0N 的直线l 与圆()22:69C x y -+=交于A 、B 两点，则MA MB +的最大值为（ ）A. 12B. C. 10D. 6二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中. ）9. 已知直线2:(1)10l a a x y ++-+=，其中R a ∈，则（ ）A. 直线l 过定点(0,1)B. 当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直C. 当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等D. 若直线l 与直线0x y -=10. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，与y 轴正半轴交于点B ，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆E 标准方程的选项是（ ）A. 2,1a c ==B. 已知椭圆E 的离心率为12，短轴长为2C. 12BF F △是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12D. 设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆22()9x c y -+=上11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线1l 从点()3,1M 射入，经过抛物线上的点()11,P x y 反射后，再经抛物线上另一点()22,Q x y 反射后，沿直线2l 射出，则下列结论中正确的是（ ）A. 34PQ k =- B. 121=x x C. 254PQ =D. 1l 与2l 之间的距离为412. 已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线C 的右支上一点，过点P 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于,M N ，则（ ）A. 2212PF PF -的最小值为8C. 若直线l 与双曲线C 相切，则点,M N 的纵坐标之积为2-；D. 若直线l 经过2F ，且与双曲线C 交于另一点Q ，则PQ 最小值为6.三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13. 若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>____．14. 若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.15. 阿基米德是古希腊著名数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆22221x y a b+=（a >b >0）的右焦点为(3,0)F ，过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦AB 中点坐标为(2,1)-，则该椭圆的面积为_____________.16. 已知圆1C 和圆2C 与x 轴和直线(0)y kx k =>相切，两圆交于,P Q 两点，其中P 点坐标为(3,2)，已知两圆半径的乘积为132，则k 的值为___________.的的四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17. 已知方程2214x y m+=（R m ∈且0m ≠）（1）若方程表示焦点在y 上的椭圆，且离心率为12，求m 的值；（2）若方程表示等轴双曲线，求m 的值及双曲线的焦点坐标.18. 已知直线l 经过直线12:34110, :2380l x y l x y +-=+-=的交点M ．（1）若直线l 经过点(3,1)P ，求直线l 的方程;（2）若直线l 与直线3250x y ++=垂直，求直线l 的方程．19. 已知圆C 经过()()1,4,5,0A B 两点，且在x 轴上截距之和为2．（1）求圆C 的标准方程；（2）圆M 与圆C 关于直线10x y -+=对称，求过点()3,0且与圆M 相切的直线方程.20. 已知双曲线：()2211551x y m m m -=<<--的一个焦点与抛物线C ：()220y px p =>的焦点重合.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l ：8xty =+交抛物线C 于A 、B 两点，O 为原点，求证：以AB 为直径的圆经过原点O .21.已知直线:R)l y kx k =+∈，与双曲线22:13x C y -=左支交于A ，B 两点.（1）求实数k 的取值范围；（2）若OAB（O 为坐标原点），求此时直线l 的斜率k 的值.22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(2.（1）求椭圆C 方程；（2）点,A B 分别为椭圆C 的上下顶点，过点()04P ，且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点,M N ，探究直线,BM AN 的交点是否在一条定直线0l 上，若存在，求出该直线0l 的方程；若不存在，请说明理由.的的江苏省扬州中学2023-2024学年第一学期期中考试高二数学2023.11试卷满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码.2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效.3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1. 经过(A 、()1,0B -两点的直线的倾斜角为（ ）A.π6 B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】求出直线AB 的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出结果.【详解】设直线AB 的倾斜角为α，则0πα≤<，且tan α==，故π3α=.故选：B.2. 抛物线22x py =的准线方程是2y =，则实数p 的值为（ ）A. 8- B. 4- C. 4D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的准线求得p 的值【详解】由题意可得：22p-=，则4p =-故选：B3. 已知(),P x y 是椭圆22114425x y +=上的点，则x y +的值可能是（ ）A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】A【解析】【分析】根据题意，可设12cos ,5sin x y θθ==，得到13sin()x y θϕ+=+，求得x y +的取值范围，即可求解.【详解】由椭圆22114425x y +=，可设12cos ,5sin x y θθ==，其中[]0,2πθ∈，则12cos 5sin 13sin()x y θθθϕ=+=++，其中12tan 5ϕ=，因为1sin()1θϕ-≤+≤，所以1313x y -≤+≤，即x y +的取值范围为[]13,13-，结合选项，可得A 符合题意.故选：A.4. 若点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部，则a 的取值范围是（ ）A 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()1,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.【详解】依题意，方程220x y x y a +-++=可以表示圆，则22(1)140a -+->，得12a <；由点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部可知：2221210a +-++>，得4a >-.故142a -<<.故选：C5. 已知12,F F 是椭圆 221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，则2MNF 的周长为（ ）A. 10 B. 16C. 20D. 26【答案】C 【解析】【分析】由椭圆的定义可得122MF MF a +=，122NF NF a +=，代入即可求出答案.【详解】由椭圆的定义可得：122MF MF a +=，122NF NF a +=，.则2MNF 的周长为：22112244520MN MF NF MF NF MF NF a ++=+++==⨯=.故选：C .6. 已知抛物线2:16C y x =，直线:4l x =与C 交于A ，B 两点，M 是射线BA 上异于A ，B 的动点，圆1C 与圆2C 分别是OMA 和OMB △的外接圆（O 为坐标原点），则圆1C 与圆2C 面积的比值为（ ）A. 小于1 B. 等于1C. 大于1D. 与M 点的位置有关【答案】B 【解析】【分析】求出,A B 的坐标，由对称性可得OB OA =，OBA OAB ∠=∠，设OAM △，OBM 的外接圆半径为12,R R ，由正弦定理得到12sin OM R OAB =∠，22sin OMR OBA=∠，故12R R =，故面积比值为1.【详解】由题意得，抛物线2:16C y x =的焦点坐标为()4,0F ，将4x =代入2:16C y x =中，8y =±，不妨令()()4,8,4,8A B -，由对称性可知,A B 两点关于y 轴对称，OB OA =，OBA OAB ∠=∠，设OAM △，OBM 的外接圆半径为12,R R ，当点M 在A 点上方时，()12sin sin πsin OM OM OM R OAM OAB OAB===∠-∠∠，当点M 在A 点上方时，12sin OMR OAB=∠，同理22sin OMR OBA=∠，因为OBA OAB ∠=∠，所以12R R =，所以圆1C 圆2C 面积的比值为1.故选：B7. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22221y x a b-=(00)a b >>，下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）A. 221124y x -= B. 223144y x -=C. 22144x y -= D. 221164y x -=【答案】B 【解析】【分析】首先根据题意得到22222b c a c a b=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，再解方程组即可.【详解】设双曲线的一个焦点为()0,c ，一条渐近线方程为a y x b=，则焦点到渐近线的距离2d b ===，所以2222224234b a ca b c a b=⎧⎧⎪=⎪⎪=⇒⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩，即双曲线方程为：223144y x -=.故选：B8. 已知点()2,4M ，若过点()4,0N 的直线l 与圆()22:69C x y -+=交于A 、B 两点，则MA MB + 的最大值为（ ）A. 12B. C. 10D. 6【答案】A 【解析】【分析】设AB 中点(),P x y ，根据垂径定理可得点P 的轨迹方程，进而可得MP的取值范围，又2MA MB MP +=，即可得解.【详解】设AB 中点(),P x y ，则()6,CP x y =- ，()4,NP x y =-，所以()()2640CP NP x x y ⋅=--+= ，即()2251x y -+=，所以点P 的轨迹为以()5,0E 为圆心，1为半径的圆，所以11ME MP ME -≤≤+，5ME ==，所以46MP ≤≤，又2MA MB MP +=，所以MA MB +的最大值为12，故选：A.二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中. ）9. 已知直线2:(1)10l a a x y ++-+=，其中R a ∈，则（ ）A. 直线l 过定点(0,1)B. 当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直C. 当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等D. 若直线l 与直线0x y -=【答案】ABD 【解析】【分析】坐标代入方程检验判断A ，根据垂直的条件判断B ，求出两坐标轴上截距判断C ，求出平行线间距离判断D ．【详解】选项A ，把坐标(0,1)代入直线方程而立，A 正确；选项B ，1a =-时直线l 方程为10x y -+=，斜率是1，直线0x y +=斜率是1-，两直线垂直，B 正确；选项C ，0a =时直线方程为10x y -+=，在x 轴上截距为=1x -，在y 轴上截距为1y =，不相等，C 错；选项D ，211a a ++=即0a =或1-时，直线l 方程为10x y -+=与直线0x y -=平行，距离为d ==D 正确．故选：ABD ．10. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，与y 轴正半轴交于点B ，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆E 标准方程的选项是（ ）A 2,1a c ==B. 已知椭圆E 的离心率为12，短轴长为2C. 12BF F △是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12D. 设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆22()9x c y -+=上【答案】ABD.【解析】【分析】逐项代入分析即可求解.【详解】根据222a b c =+之间的关系即可求解，故选项A 正确；根据2221,22,2c e b a b c a ====+即可求解，故选项B 正确；12BF F △是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12，只能确定12,2c a c e a ===，不能求椭圆E 标准方程，故选项C 不正确；设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆22()9x c y -+=上，所以()2222224,09c c b c b a =-+=+==，即可求出椭圆E 标准方程,故选项D 正确.故选：ABD.11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线1l 从点()3,1M 射入，经过抛物线上的点()11,P x y 反射后，再经抛物线上另一点()22,Q x y 反射后，沿直线2l 射出，则下列结论中正确的是（ ）A. 34PQ k =-B. 121=x xC. 254PQ = D. 1l 与2l 之间的距离为4【答案】BC【解析】【分析】由抛物线的光学性质可知，直线PQ 过焦点(1,0)F ，设直线:1PQ x my =+，代入24y x =，由韦达定理得124y y =-，进而求得121=x x ，可判断B ；先求点P 的坐标，再结合124y y =-可得点Q 的坐标，然后利用斜率公式即可判断A ；根据抛物线的定义可知12Q x p P x ++=，可判断C ；由于1l 与2l 平行，所以1l 与2l 之间的距离12d y y =-，可判断D .【详解】由抛物线的光学性质可知，直线PQ 过焦点(1,0)F ，设直线:1PQ x my =+，代入24y x =得2440y my --=，则124y y =-，所以()212121616y y x x ==，所以121=x x ，故B 正确；点P 与M 均在直线1l 上，则点P 的坐标为(1,14)，由124y y =-得24y =-，则点Q 的坐标为(4,4)-，则4141344PQ k --==--，故A 错误；由抛物线的定义可知，121254244PQ x x p =++=++=，故C 正确；1l 与2l 平行，1l ∴与2l 之间的距离125d y y =-=，故D 错误.故选：BC.12. 已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线C 的右支上一点，过点P 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于,M N ，则（ ）A. 2212PF PF -的最小值为8B. 212PF PF OP -为定值C. 若直线l 与双曲线C 相切，则点,M N 的纵坐标之积为2-；D. 若直线l 经过2F ，且与双曲线C 交于另一点Q ，则PQ 的最小值为6.【答案】AB【解析】【分析】设00(,)P x y ，由2221208PF PF x -=，可判定A 正确；化简2122PF PF OP -=，可判定B 正确；设直线l 的方程为x my n =+，联立方程组，结合Δ0=，得到2213n m =-，在化简123y y =-，可判定C 不正确；根据通经长和实轴长，可判定D 错误.【详解】由题意，双曲线2213y x -=，可得1,a b ==2c ==，所以焦点12(2,0),(2,0)F F -，且1222PF PF a -==，设00(,)P x y ，则01x ≥，且220013y x -=，即220033=-y x ，双曲线C的两条渐近线的方程为y =，对于A 中，由()][()22222212000002288PF PF x y x y x ⎡⎤-=++--+=≥⎣⎦，所以A 正确；对于B中，2221200()PF PF OP x y -=-+2200(33)x x =-+-2000(21)(21)(43)2x x x =+---=（定值），所以B 正确；对于C 中，不妨设1122(,),(,)M x y N x y ，直线l 的方程为x my n =+，联立方程组2213x my n y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222(31)6330m y mny n -++-=，若直线l 与双曲线C 相切，则22223612(31)(1)0m n m n ∆=---=，整理得2213n m =-，联立方程组x my n y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得y =M的纵坐标为1y =，联立方程组x my n y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得y =N的纵坐标为2y =，则点,M N的纵坐标之积为21222233(13)33113y n m mm y ---===-=--所以C 不正确；对于D 中，若点Q 在双曲线的右支上，则通经最短，其中通经长为226b a=，若点Q 在双曲线的左支上，则实轴最短，实轴长为226a =<，所以D 错误.故选：AB.三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13. 若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>____．【答案】y =【解析】【分析】由c e a ===b a =，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】因为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>c e a ===222b a =，所以b a =，双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>渐近线方程为：b y x a =±=.故答案为：y =14. 若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.【答案】1,14⎛⎫-⎪⎝⎭##()0.25,1-【解析】【分析】作出图象，结合题意可知A ，P 及P 到准线的垂足三点共线时，所求距离之和最小，此时P 点的纵坐标为1，代入抛物线即可求得P 点的坐标.【详解】根据题意，由y 2＝－4x 得p ＝2，焦点坐标为(－1，0)，作出图象，如图，.因为PF 等于P 到准线的距离PQ ，所以PF PA PQ PA AQ +=+≥，可知当A ，P 及P 到准线垂足三点共线时，点P 与点F 、点P 与点A 的距离之和最小，此时点P 的纵坐标为1，将y ＝1代入抛物线方程求得14x =-，所以点P 的坐标为1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭.15. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆22221x y a b+=（a >b >0）的右焦点为(3,0)F ，过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦AB 中点坐标为(2,1)-，则该椭圆的面积为_____________.【答案】【解析】【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程2121221212y y x x b x x y y a-+=-⋅-+，再结合222a c b -=即可求解出a 、b ，进而求出面积.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，记AB 的中点为M ，即(2,1)M -，因为AB 的中点为M ，所以由中点坐标公式得121242x x y y +=⎧⎨+=-⎩，因为直线AB 过椭圆焦点()3,0F ，所以直线AB 斜率为121201132y y k x x --===--，又因为A ，B 在椭圆22221x y a b+=上，的所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212220x x y y a b --+=，整理得2121221212y y x x b x x y y a-+=-⋅-+，代值化简得222b a =，因为椭圆22221x y a b+=的焦点为()3,0F ，所以22a b 9-=，得a =，3b =，由题意可知，椭圆的面积为ab π=.故答案为：.16. 已知圆1C 和圆2C 与x 轴和直线(0)y kx k =>相切，两圆交于,P Q 两点，其中P 点坐标为(3,2)，已知两圆半径的乘积为132，则k 的值为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意可设1(,)C ma a ，2(,)C mb b ，(0)m >，由P 在两圆上，将坐标代入对应圆的方程整理，易知,a b 是22(64)130m r m r -++=的两个根，进而求直线12C C 的斜率，再根据直线12C C 、(0)y kx k =>倾斜角的关系求k 值.【详解】由题设，圆1C 和圆2C 与x 轴和直线(0)y kx k =>相切，且一个交点P (3,2)，∴1C 和2C 在第一象限，若,a b 分别是圆1C 和圆2C 的半径，可令1(,)C ma a ，2(,)C mb b ，(0)m >，∴222222(3)+(2){(3)+(2)ma a a mb b b --=--=，易知：,a b 是22(64)130m r m r -++=的两个根，又132ab =，∴213132m =，可得m =12C C k =，而直线12C C 的倾斜角是直线(0)y kx k =>的一半，∴1212221C C C C k k k ==-.故答案为：【点睛】关键点点睛：分析圆心的坐标并设1(,)C ma a ，2(,)C mb b ，结合已知确定,a b 为方程的两个根，应用韦达定理求参数m ，进而求12C C 斜率，由倾斜角的关系及二倍角正切公式求k 值.四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17. 已知方程2214x y m+=（R m ∈且0m ≠）（1）若方程表示焦点在y 上椭圆，且离心率为12，求m 的值；（2）若方程表示等轴双曲线，求m 的值及双曲线的焦点坐标.【答案】（1）163m = （2）4m =-，()±【解析】【分析】（1）根据题中条件及离心率公式直接计算即可；（2）根据题中条件得4m =-，进一步计算得到c 的值，即可求解.【小问1详解】因为方程为焦点在y 轴上的椭圆，所以22,4a m b ==则离心率12c e a ===，解得163m =故163m =【小问2详解】由题意得 4m =-，c ===故焦点坐标为()±18. 已知直线l 经过直线12:34110, :2380l x y l x y +-=+-=的交点M ．（1）若直线l 经过点(3,1)P ，求直线l 的方程;（2）若直线l 与直线3250x y ++=垂直，求直线l 的方程．【答案】（1）250x y +-=（2）2340x y -+=【解析】的.【分析】（1）联立方程求得交点坐标，再由两点式求出直线方程.（2）根据直线垂直进行解设方程，再利用交点坐标即可得出结果.【小问1详解】由341102380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得12x y =⎧⎨=⎩，即直线1l 和2l 的交点为(1,2)M ．直线l 还经过点()3,1P ，∴l 的方程为211231y x --=--，即250x y +-=．【小问2详解】由直线l 与直线3250x y ++=垂直，可设它的方程为230x y n -+=．再把点(1,2)M 的坐标代入，可得260n -+=，解得4n =，故直线l 的方程为2340x y -+=.19. 已知圆C 经过()()1,4,5,0A B 两点，且在x 轴上的截距之和为2．（1）求圆C 的标准方程；（2）圆M 与圆C 关于直线10x y -+=对称，求过点()3,0且与圆M 相切的直线方程.【答案】（1）()22116x y -+=（2）3x =或3490x y --=【解析】【分析】（1）根据题意，设圆的一般式方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，分直线的斜率存在与不存在讨论，结合点到直线的距离公式列出方程，即可得到结果.【小问1详解】设圆C 的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，令0y =，可得20x Dx F ++=，则122x x D +=-=，将()()1,4,5,0A B 代入可得，116402550D E F D F ++++=⎧⎨++=⎩，解得2015D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以圆C 方程为222150x y x +--=，即()22116x y -+=.【小问2详解】圆C 的圆心()1,0C ，圆M 的圆心与()1,0C 关于10x y -+=对称，∴设圆M 的圆心为(),M a b 则11022111a b b a +⎧-+=⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，圆M 的标准方程为：()()221216x y ++-=，若过点()3,0的直线斜率不存在，则方程为3x =，此时圆心()1,2C -到直线3x =的距离为314r +==，满足题意；若过点()3,0且与圆C 相切的直线斜率存在，则设切线方程为()3y k x =-，即30kx y k --=，则圆心到直线30kx y k --=4，解得34k =，所以切线方程为39044x y --=，即3490x y --=，综上，过点()3,0且与圆C 相切的直线方程为3x =或3490x y --=.20. 已知双曲线：()2211551x y m m m -=<<--的一个焦点与抛物线C ：()220y px p =>的焦点重合.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l ：8x ty =+交抛物线C 于A 、B 两点，O 为原点，求证：以AB 为直径的圆经过原点O .【答案】（1）28y x =（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据双曲线方程求出其焦点坐标，即也是抛物线焦点，得到抛物线方程.（2）直线l 与抛物线联立后，利用韦达定理求出0OA OB ⋅= 即可得证.【小问1详解】由双曲线方程()2211551x y m m m -=<<--知其焦点在x 轴上且焦点坐标为1(2,0)F -，2(2,0)F ，所以2(2,0)F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，得242p p =⇒=，所以抛物线C 的方程为28y x =.【小问2详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y 联立22886408x ty y ty y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，2644640t ∆=+⨯>由韦达定理得128y y t +=，1264y y =-所以12121212(8)(8)OA OB x x y y ty ty y y ⋅=+=+++ 21212(1)8()64t y y t y y =++++2(1)(64)8(8)640t t t =+-++=所以OA OB ⊥ ，所以以AB 为直径的圆经过原点O .得证21. 已知直线:R)l y kx k =+∈，与双曲线22:13x C y -=的左支交于A ，B 两点.（1）求实数k 的取值范围；（2）若OAB （O 为坐标原点），求此时直线l 的斜率k 的值.【答案】（11k <<（2）k =【解析】【分析】（1）设点坐标，联立方程组，根据根与系数的关系求解；（2）通过OAB 面积求解出12x x -，从而求解出k 的值.【小问1详解】依题意，设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组22330y kx x y ⎧=+⎪⎨--=⎪⎩，整理得：()221390,k x ---=因为直线:R)l y kx k =∈，与双曲线22:13x C y -=的左支交于A ，B 两点，所以()2212212130361090130k k x x k x x ⎧-≠⎪=->⎪⎪⎪-⎨=>⎪-⎪⎪+=<⎪⎩ ，解得210,13k k ><<1k <<，【小问2详解】设点O到直线:R)l y kx k =∈的距离为d，则d =，212OAB S AB d x ==-=- ，又因为S =，所以1212,5x x -=又因为12125x x -==，代入12212913x x k x x -⎧=⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩125，整理得4236210k k+-=1k <<，解得k =，此时直线l的斜率k.22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(2.（1）求椭圆C 方程；（2）点,A B 分别为椭圆C 的上下顶点，过点()04P ，且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点,M N ，探究直线,BM AN 的交点是否在一条定直线0l 上，若存在，求出该直线0l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22:184x y C += （2）存在，1y =【解析】【分析】（1）由椭圆离心率可得222a b =，再将(2代入椭圆的方程可得228,4a b ==，即可求出椭圆的方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为:4y kx =+，联立直线MN 和椭圆的方程求出两根之积和两根之和，设直线AN 的方程和直线BM 的方程，两式联立求得交点的纵坐标的表达式，将两根之积和两根之和代入可证得交点在一条定直线上.【小问1详解】，即c e a ===，所以2212b a =，所以222a b =，又因为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(2，所以224212b b +=，解得：228,4a b ==，所以椭圆C 方程为22184x y +=.【小问2详解】因为()()0,2,0,2A B -，设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为:4y kx =+，联立方程221844x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()221216240k x kx +++=，()()222Δ164241264960,k k k =-⨯⋅+=->得232k >则1212221624,1212k x x x x k k -+=⋅=++直线AN 的方程为：2222y y x x --= ，直线BM 的方程为：1122y y x x ++=，联立两直线方程消元：()()2112112122222226y x kx x x y y y x kx x x -+-==+++ 法1：由()221216240k x kx +++=解得：12x x ==，代入化简，2123y y -===-+，解得：1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.法2：由韦达定理得1221612k x x k-=-+代入化简()()22222222224162824211212242324612612k k x k k x y k k k y k k x x k -⎛⎫+- ⎪--+-++⎝⎭===-+++++，得1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.法3：由1212221624,1212k x x x x k k -+=⋅=++，得()121232x x kx x -+=⋅代入化简()()1211223221232362x x x y y x x x -++-==-+-++，得1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.法4： 代()11,M x y 点进椭圆方程得2211184x y +=化简得()()221111221844y y x y +-=-=进而得到()()1111222y x y x -=+，代入化简()()121222222y y y y x x ----=+⋅转化为韦达定理代入()()()()1212121222222222y y kx kx y y x x x x ----++-==+⋅⋅()22221212122241622422412122412k k k k x x k x x k k x x k ⎛⎫-⋅-⋅+ ⎪⎡⎤-+++++⎣⎦⎝⎭==⋅+22222243248211224312k k k k k -++-⋅+=-+，得1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定直线.。

[专题]高二数学试卷及答案2.doc

[专题]高二数学试卷及答案2.doc

高二数学试题 说明：1、 试卷满分120分，考试时间100分钟。

2、 答案必须写在答案卷上，写在试题卷上的答 案无效。

一、选择题（12X4分=48分）1、执行右图所示的程序框图后,输出的结果为答案：c2、200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所时速在［50,60）的汽车大约有职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍。

为了解职工身体状况, 现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工4 A ・30B. 40603、某单位共有老、中、青职工430人，其中青年 D ・80 [W|5=032人，则该样本中的老年职工人数为(A)9 (B)18 (027 (D) 36 答案B.解析：由比例可得该单位老年职工共有90人, 用分层抽样的比例应抽取18人・4、观察右列各图形:其中两个变量x、y具有相关是A.①②B・①④A 关系的图X②••••••O久C.③④D.②③解析：相关关系有两种情况：所有点看上去都在一条直线附近波动, 是线性相关；若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，是非线性相关.①②是不相关的，而③④是相关的.答案:c5、如图，一个矩形的长为5,宽为2,在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积大约为答案：A6、是“方程mx 2+ny 2= l 表示焦点在y 轴上的椭圆”的A.充分而不必要条件 B •必要而不充分条件答案：CA. Vx^R, X 2+3<0 B.VxeN, x 2^lc.3xez,使兀D.3xeQ, x 2=3 答案：c8、已知命题"“任意xe[l 92],兀2_心0”,命题g ： “存在xeR, x 2+2ax+2-a=0^ •若命题“p 且g”是真命题，则实数Q 的取值范围为C ・a21解析：由已知可知p 和g 均为真命题，由命题p 为真得aWl,由 命C •充要条件D •既不充分也不必要条件7、 下列四个命题中, 其中为真命题的是^16 Dg解析：据题意知:S 阴 S 阴 138S 矩 2X5 300’:.S 23阴=5 •A ・aW —2 或a = l B.aW —2 或 1 WaW2题q为真得aW - 2或所以aW - 2或a = 1・解析：设椭圆的半长轴.半短轴.半焦距分别为a 、b 、c ，9：MF\ •雨可=0,:.M 点的轨迹是以原点O 为圆心，半焦距c 为半径的圆.又M 点总在椭圆内部，•••该圆内含于椭圆,即c<b, c 2<b 2= a-c 20 < e < 平.答案：CD ・ y=~u 解析：由宀务 准线方程为丿=-厉答案：A 9、 已知巧、的两个焦点，满足顾•帀可=0的点M 总在A. (0J)B.C.(劇)D.(0, 2 【¥，1)10 4x 2的准线方程为A. y=~4B. J1 1611、已知双曲线亍一占=1的离心率为e,抛物线x=2py2的焦点为（©0）,则卩的值为A・2 C4解析：依题意得e = 2,抛物线方程为y1 = 2p c,故吉=2,得"=壽答案：D字x（e为双12、双曲线（一話=l（a>0,方>0）的一条渐近线方程为y=答案：D曲线离心率），则有（）A.b=2a C • a=2bB.b=yj5a解析：由已知£ = ¥e,= .\c = -\[5b,又a2 + b2 =c2,a aA a2 + 护=5方2, :.a = 2b.答案：c二、填空题（4X4分=16分）13、右边程序框图中，语句1将被执行的次数为14、命题^3xeR,2x 2-3«x+9<0^为假命题，则实数a 的取值范为 ________________解析：题目中的否命题“ ▽兀€R,2F_3a 兀+ 9M0”为真命 题，也就是常见的“恒成立”问题，只需A = 9/-4x2x9W0，即 可解得- 2\JiWaW2並 答案：［一2迈，2迈115、某班级共有52名学生，现将学生随机编号，用系统抽样方法， 抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号学生在样本中, 那么在样本中还有一个学生的编号是 _______ 号.解析：用系统抽样抽出的四个学生的号码从小到大成等差数列，因 此，另一学生编号为6 + 45 - 32 = 19. 答案：1916、已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为£焦距为解析：由题意知，2c = 8, c = 4,8,则该椭圆 的方程是__________2 2•:方程是士煌2222 2 丄_|_丄答案:64^48二、解答题17、先后随机投掷2枚正方体骰子，其中兀表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数.(1)求点P(x, y)在直线y=x—l上的概率；(2)求点P(x,刃满足J2<4X的概率.解：⑴每枚骰子出现的点数都有6种情况，所以基本事件总数为6X6 = 36个.记“点P(4 y)在直线丿=兀-1上”为事件A，A有5个基本事件:A = {(2.1), (3,2), (4,3), (5,4), (6,5)},5・・・弘)=乔(2)记“点P(x, y)满足y2<4x,f为事件B,则事件B有17个基本事件：当兀=1时，y = l;当兀=2时，丿=1,2;当兀=3 时，y = 1,2,3；当兀=4 时，y = 1,2,3;当兀=5 时，y = 1,29394;当兀=6 时，y = 19293?4・17呦=乔18.已知命题p：关于x的方程宀庶+1=0有两个不相等的负根，命题q：关于X的方程4/+帥-2)兀+1=0无实根，若pvq为真,p M为假，求加的取值范围.+2 = 0有两个不相等的负根。

高二期中考数学试卷答案

高二期中考数学试卷答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的对称轴是：A. x = 1B. x = -1C. y = 1D. y = -1答案：A2. 下列命题中，正确的是：A. 对于任意实数x，有x^2 ≥ 0B. 对于任意实数x，有x^3 ≥ 0C. 对于任意实数x，有x^4 ≥ 0D. 对于任意实数x，有x^5 ≥ 0答案：A3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 20，a1 = 2，则公差d为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A4. 下列函数中，在定义域内单调递增的是：A. y = x^2B. y = 2x - 1C. y = -x^2D. y = x^3答案：B5. 若log2(3x - 1) = 3，则x的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B6. 下列不等式中，正确的是：A. |x| > 0B. |x| ≥ 0C. |x| < 0D. |x| ≤ 0答案：B7. 若a，b是方程x^2 - 2ax + 1 = 0的两个实根，则a + b的值为：A. 2B. 1C. 0D. -1答案：A8. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, -2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为：A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/5答案：A9. 下列函数中，奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = 1/x答案：C10. 已知函数f(x) = x^2 - 3x + 2，则f(x)的图像与x轴的交点个数为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题5分，共50分）11. 若等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 3，则第5项a5 = ____________。

答案：16212. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f(-1) = ____________。

高二函数中考试题及答案

高二函数中考试题及答案

高二函数中考试题及答案1. 单项选择题1) 当函数y = ax^2 + bx + c的二次项系数a>0时，该函数的图像开口方向为：A. 向上开口B. 向下开口C. 不开口D. 开口方向与a无关答案：B. 向下开口2) 函数y = 2sinx的值域为：A. (-∞, 2)B. [0, 2]C. [0, ∞)D. [-2, 2]答案：C. [0, ∞)3) 函数y = log(x - 2)的定义域为：A. (-∞, 2)B. (2, ∞)C. (-∞, ∞)D. [2, ∞)答案：D. [2, ∞)2. 解答题1) 求函数y = x^3 - 3x^2的单调增区间。

解答：首先求导数：y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)令y' = 0，得到x = 0和x = 2因此函数的单调增区间为(-∞, 0)和(2, +∞)2) 已知函数y = 2^x + 3, 求函数的对称轴和顶点坐标。

解答：对称轴的横坐标为对数函数底数的负倒数，即x = -1将x = -1代入函数得到y = 2^(-1) + 3 = 2/3 + 3 = 11/3因此对称轴为x = -1，并且顶点坐标为(-1, 11/3)3. 简答题1) 请解释什么是函数的定义域？答案：函数的定义域是指所有使函数有意义的输入值的集合。

对于某个函数来说，如果某个值在定义域内，那么这个值可以作为输入，函数将会产生对应的输出。

定义域可以由不等式、条件等来表示。

2) 请解释什么是函数的值域？答案：函数的值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

对于某个函数来说，值域是所有可能的y值的集合，通过对定义域内的不同输入值计算函数的输出得到。

函数的值域可以是实数集合或某个特定的子集。

4. 解析题已知函数y = log2(x)，求以下等式的解：1) log2(x+2) = 3解析：对等式两边进行指数运算，得到2^log2(x+2) = 2^3即x + 2 = 8解得x = 62) log2(3x-1) = 2解析：对等式两边进行指数运算，得到2^log2(3x-1) = 2^2即3x - 1 = 4解得x = 5/3通过以上的高二函数中的考试题及答案，希望能够提供帮助和指导，加深对函数相关概念和解题方法的理解。

石光高二中考数学试卷答案

石光高二中考数学试卷答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = 2x - 3在区间[1, 4]上是增函数，则下列哪个选项正确？A. a > bB. a < bC. a = bD. 无法确定答案：A2. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an等于多少？A. 29B. 30C. 31D. 32答案：C3. 在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C等于多少？A. 75°B. 105°C. 120°D. 135°答案：C4. 下列哪个方程的解集是实数集？A. x^2 + 1 = 0B. x^2 - 1 = 0C. x^2 + 2x + 1 = 0D. x^2 - 2x + 1 = 0答案：B5. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z位于哪个区域？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：A二、填空题（每题5分，共50分）6. 若log2(3x - 1) = 3，则x等于多少？答案：27. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[1, 2]上是增函数，则a、b、c的关系是？答案：a > 0，b > 0，c > 08. 在△ABC中，若a = 3，b = 4，c = 5，则sinA + sinB + sinC等于多少？答案：2√29. 若复数z满足z^2 + z + 1 = 0，则z的值是？答案：z = (-1 ± √3i) / 210. 若数列{an}的通项公式为an = 2^n - 1，则第10项an等于多少？答案：1023三、解答题（每题15分，共45分）11. 解下列方程：x^2 - 4x + 3 = 0解答：首先，我们尝试将方程因式分解，得到(x - 1)(x - 3) = 0。

由此可得x - 1 = 0或x - 3 = 0，解得x = 1或x = 3。

河北高二数学真题答案解析

河北高二数学真题答案解析

河北高二数学真题答案解析在高中数学学习过程中，做真题是一个非常重要的环节。

通过解析真题，我们可以了解学生在各个知识点上的掌握情况，进而有针对性地进行复习和提高。

下面，我将为大家解析一些河北高二数学真题的答案，希望能够帮助到大家。

第一题是一道函数题，考察的是函数的定义和性质。

题目要求求解函数f(x) = 3x + 4的零点。

很显然，当f(x) = 0时，3x + 4 = 0，解得x = -4/3。

因此，-4/3是函数f(x)的零点。

第二题是一道概率题，考察的是事件的概率计算。

题目给出一个箱子，里面有10个红球和6个蓝球。

从箱子里随机抽2个球，并且不放回。

要求计算第一个球是红球，第二个球是蓝球的概率。

根据概率的计算公式，我们知道第一个球是红球的概率是10/16，然后在剩下的球中，第二个球是蓝球的概率是6/15。

因此，第一个球是红球，第二个球是蓝球的概率是(10/16) * (6/15) = 1/4。

第三题是一道立体几何的题目，考察的是平行四边形的性质。

题目给出了一个平行四边形ABCD，其中AB = 6cm，BC = 8cm，且∠A BC= 120°。

要求计算平行四边形面积。

首先，可以通过三角形计算公式计算出三角形的面积，即√3 * 6 * 6 / 4 = 9√3 cm²。

由于平行四边形的面积等于底乘以高，我们可以确定高的长度。

通过向高中线引垂线，可以将平行四边形拆分为两个等边三角形和一个矩形。

而矩形的高等于三角形的高，即3√3 cm。

因此，平行四边形的面积为(6 + 8) * 3√3 / 2 = 21√3 cm²。

第四题是一道解析几何的题目，考察的是直线和圆的性质。

题目给出了一个圆心为O，半径为2的圆，直线AB经过圆心O。

要求判断直线AB与圆的位置关系。

由于直线AB经过圆心O，所以直线AB与圆相交于两点A和B，在几何中，这种情况被称为切割。

因此，直线AB 与圆的位置关系是相交。

2022-2023上海松江二中高二上学期期中考数学试卷及答案

2022-2023上海松江二中高二上学期期中考数学试卷及答案

第1页共8页松江二中2022学年第一学期高二年级数学期中2022.11一、填空题(本大题共有12题,满分54分.其中第16~题每题满分4分,第712~题每题满分5分,第12题第一空2分,第二空3分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.)1.一条直线与一个平面所成角的取值范围是___________(用区间表示).2.若直线//a 平面α,直线b ⊂平面α,则直线a 与b 的位置关系为__________.3.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1390,14a a a +==,则10S =__________4.若一平面截一球得到半径为的表面积等于__________.5.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且423n n S a +=,则数列{}n a 的通项公式为__________6.若干个正方体形状的积木按右图所示摆成塔型:上方正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点,最下面的正方体的棱长为1,平放于桌面上.如果所有正方体能直接看到的表面积超过8.8,则正方体的个数至少是个__________.67.设正四面体ABCD 的棱长为1,棱AB 上一点P 满足13AP =,且P 到面ACD BCD 、的距离分别为12d d 、,则12d d +=__________8.如图,在ABC ∆中,90,30,1ACB ABC AC ∠=∠==.在三角形内挖去半圆（圆心O 在边BC 上,半圆与BC 相交于N ,与AC 相切于点C与AB 相切于点M ),则图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积为__________9.如图,在大小为120的二面角l αβ--中,A 是二面角的棱l 上的一点,B 、D 在平面α内,C 在平面β内,直线BA l ⊥,直线CA l ⊥,且2BA =,1CA =,直线//BD l 且线段BD 的长为3,则异面直线CD 与l所成角的大小为(结果用反三角函数值表示)__________.第2页共8页10.如图,有一棱柱形粮堆,其轴截面是边长为6m 的正ABC ∆,粮堆母线AC 的中点P 只有一老鼠正在偷吃粮食,此时小猫正在B 只,它要沿棱柱侧面到达P 只捕捉老鼠,则小猫所经积的最短路程是__________m.11.已知正四面体ABCD 的棱长为2,棱//AB 平面α,则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的最小值是__________12.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是1AC 的中点,F G 、分别为线段11AC B C 、上的动点,点P 为底面1111A B C D 上的动点,则E 到1B C 的距离为_____,FG FP +的最小值为__________二、选择题(本大题共有4题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.)13.关于直线l m 、及平面αβ、,下列命题中正确的是（）A.若//,l m ααβ⋂=,则//l mB.若,//l m αα⊥,则l m ⊥C.若//,//l m αα,则//l mD.若//,l m l α⊥,则m α⊥14.与空间不共面的四个点距离相等的平面共有（）A.3个B.4个C.7个D.无数个15.正三棱柱的顶点都在同一个球面上,若球的半径为4,则该三棱柱侧面面积最大值为（）A.B. C.172831D.576716.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{}()0,11,2,i a i ∈= ,且存在正整数m ,使得()1,2,i m i a a i +== 成立,则称其为01-周期序列,并称满足()1,2,i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列()()1211,1,2,,1mn i i k i a a a C k a a k m m +===-∑ 是描述其性质的重要指标,下列周期为5的0-1序列中,满足()()11,2,3,45C k k ≤=的序列是（）第3页共8页A.11010..⋯.B.10001......C.11011......D.11001......三、解答题(本大题共有5题,满分76分.解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.)17.（本小题满分14分,第（1）题6分,第（2）题8分）如图,已知AB ⊥平面,BCD BC CD ⊥.(1)求证:平面ACD ⊥平面ABC ;(2)若1,AB CD BC ===AD 与平面ABC 所成的角的余弦值.18.（本小题满分14分,第（1）题7分,第（2）题7分）(1)求81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项;(2)记81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中奇数项系数之和为A ,偶数项系数之和为B ,求A B -.19.（本小题满分14分，第（1）题6分,第（2）题8分)某种“笼具”由内,外两层组成,无下底面,内层和外层分别是一个圆锥和圆柱,其中圆柱与圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面,制作时需要将圆锥的顶端剪去,剪去部分和接头忽略不计,已知圆柱的底面周长为24cm π,高为30cm ,圆锥的母线长为20cm .(1)求这种“笼具”的体积;(2)现要使用一种纱网材料制作50个““笼具”,该材料的造价为每平方米8元,共需多少元?（精确到1元）第4页共8页20.（本小题满分16分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题6分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为1的菱形,60,ABC PC ∠=⊥平面,1,ABCD PC E =为PA 的中点.(1)求证://PC 平面EDB ;(2)求二面角A EB D --的正切值;(3)求点E 到平面PBC 的距离.21.（本小题满分18分,第（1）题4分,第（2）题6分,第（3）题8分)若数列{}n a 满足:对任意的正整数n ,都有1122n na a +≤≤,则称{}n a 为“紧密”数列.(1)设某个数列为“紧密”数列,其前5项依次为398112416x 、、、、,求x 的取值范围;(2)若数列{}n b 的前n 项和()2134n S n n =+，判断{}n b 是否为“紧密”数列,并说明理由;(3)设{}n c 是公比为q 的等比数列,前n 项和为n T ,且{}n c 与{}n T 均为“紧密”数列,求实数q的取值范围.第5页共8页参考答案一、填空题1.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 2.平行或异面； 3..60； 4.64π； 5.n a =1123n -⋅⋅； 6.6；7.3；；9.7arctan 3；10.；11；12.12,23；二、选择题13.B；14.C；15.A；16.B三、解答题17.（1）AB ⊥ 面,BCD AB CD ∴⊥,2分又BC CD ⊥ 且,,AB BC B AB BC ⋂=⊂平面ABC ,CD ∴⊥面ABC ,2分CD ⊂ 平面,ACD ∴平面ACD ⊥平面ABC ..2分(2)DC ⊥ 面,ABC CAD ∴∠即为直线AD 与平面ABC 所成的角,且DC AC ⊥,.3分90,1,2,BC CD BCD BD AB AD AC ==∠=∴==∴==∴又在Rt ACD ∆中,cos ...7AC CAD AD ∠==⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分即直线AD 与平面ABC所成角的余弦值为7.2分18.(1)81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的通项为()88218811,.3rr r r r rr T C x C x x --+⎛⎫=-=-⋯⋯⋯⋯ ⎪⎝⎭分令820r -=,得814,r x x ⎛⎫=∴- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为()44418170T C +=-=;.4分(2)在81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中,令1x =,则82256A B -==7分（根据解答方法与步骤酌情给分）第6页共8页19.(1)设圆柱的底面半径r ,高为h ;圆锥的高为1h ,则224r ππ=,则112,16,..2r h ==⋯⋯⋯⋯⋯⋯分22223111123012163552;33V r h r h cm πππππ=-=⨯-⨯=故这种“笼具”的体积为33552cm π1分(2)圆柱的侧面积212720S rh cm ππ==,圆柱的底面积222144S r cm ππ==,圆锥的侧面积23240S rl cm ππ==,所以"笼具"表面积21231104,S S S S cm π=++=表故50个"笼具"的总造价为:411045081104138.71025ππ⨯⨯=≈.答:现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”共需约138（139)元.1分20.(1)证明:设AC BD O ⋂=,连接EO ,ABCD 是菱形,O ∴是AC 中点.E 为PA 的中点,//OE PC ∴2分PC 不在平面EDB 内,EO ⊂平面EDB ,//PC ∴平面EDB ;2分(2)过点O 作OF 垂直BE 于F 点,连接AF ,//,OE PC PC ⊥ 平面,ABCD OE ∴⊥平面ABCD .由,AO BD EO ⊥⊥平面,ABCD AO ⊂平面ABCD ,所以AO OE ⊥,又,,BD OE O BD OE ⋂=⊂平面,BDE AO ∴⊥平面BDE ,因为BE ⊂平面BDE ,所以,,,,AO BE OF BE AO OF O AO OF ⊥⊥⊥=⊂平面,AOF BE ⊥平面AOF .AFO ∴∠即为二面角A EB D --的平面角..3分因为底面ABCD 是边长为1的菱形,60,1ABC PC ∠==,则ABC ∆为等边三角形,所以113,222AO AC OB ===,又1122OE PC ==,所以1BE ==,第7页共8页所以4OB OE OF BE ⋅==,在直角AFO ∆中12tan 334AO AFO OF ∠===.(3)在底面作OH BC ⊥,垂足为H ,PC ⊥ 平面,ABCD OH ⊂平面ABCD ,所以PC OH ⊥,,,PC BC C PC BC ⋂=⊂平面PCB ,所以OH ⊥平面PCB ,//OE 平面PBC ,所以点E 到平面PBC 的距离就是点O 到平面PBC 的距离OH ,4分在Rt BOC ∆中,1,,122BO OC BC ===所以34OB OC OH BC ⋅==,即点E 到平面PBC 的距离为34.4分注：用等体积法酌情给分21.若数列{}n a 满足:对任意的正整数n ,都有1122n na a +≤≤,则称{}n a 为“紧密”数列.(1)设某个数列为“紧密”数列,其前5项依次为398112416x 、、、、,求x 的取值范围;(2)若数列{}n b 的前n 项和()2134n S n n =+，判断{}n b 是否为“紧密”数列,并说明理由;(3)设{}n c 是公比为q 的等比数列,前n 项和为n T ,且{}n c 与{}n T 均为“紧密”数列,求实数q的取值范围.解(1)若数列{}n a 为“紧密”数列,则0x ≠,且142291812216xx⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩,解得:819322x ≤≤;即x 的取值范围为819,322⎡⎤⎢⎥⎣⎦;4分(2)数列{}n b 为“紧密”数列;理由如下:第8页共8页数列{}n b 的前项和()()2*134n S n n n N =+∈,当1n =时,()1111314b S ==+=;当2n ≥时,()()()221111131314422n n n b S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦,又111122b +==,即11b =满足1122n b n =+,因此()*1122n b n n N =+∈,2分所以对任意()*11112122,1111122n n n b n n N b n n n ++++∈===++++,所以1111221n n b b n +<=+<+,因此数列{}n b 为“紧密”数列;.2分(3)因为数列{}n c 是公比为q 的等比数列,前n 项和为n T ,当1q =时,有11,n n c c T nc ==,所以11111112,1222n n n n c T n c T n n+++≤=≤≤==+≤,满足题意;.2分当1q ≠时,()1111,1nn n n c q c c q T q--==-,因为{}nc 为“紧密”数列,所以1122n nc q c +≤=≤,即112q ≤<或12q <≤,1分当112q ≤<时,1111111n n n n n n T q q T q q ++--=>=--,()()121111112,111n n n n nn n n nn q q T q q q T q q q +++---=<==+<---所以1111221n n nn T q T q++-≤=≤-,满足{}n T 为“紧密”数列;3分当12q <≤时,2211121T q q T q-==+>-,不满足{}n T 为“紧密”数列;1分综上,实数q 的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.1分。

2021-2022学年福建省厦门科技中学高二上学期期中考数学试题(解析版)

2021-2022学年福建省厦门科技中学高二上学期期中考数学试题(解析版)

2021-2022学年福建省厦门科技中学高二上学期期中考数学试题一、单选题1．过点()1,2P -且平行于:210l x y -+=的直线方程为（ ） A ．230x y +-= B ．250x y +-= C ．20x y -= D ．240x y -+=【答案】D【分析】根据两条直线平行求出斜率，再根据点斜式可得结果. 【详解】因为直线:210l x y -+=的斜率为2， 所以所求直线的斜率也为2，由点斜式可得所求直线方程为22(1)y x -=+，即240x y -+=. 故选：D2．若椭圆2212516x y +=上一点P 到椭圆一个焦点的距离为4，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】D【分析】根据椭圆的定义，直接求解. 【详解】设点P 到另一个焦点的距离为d ， 由椭圆方程可知225a =，210a =， 则410d +=，所以6d =. 故选：D3．已知双曲线222:1y C x b-=的一个焦点为(2,0)-，则双曲线C 的一条渐近线方程为（ ）A ．0x +=B 0y +=C ．10x -=D 10y +-=【答案】B【分析】由双曲线中a ，b ，c 的关系先求出b ，进而可求焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程.【详解】解：由题意，1,2a c ==，又222c a b =+，解得b =所以双曲线C 的一条渐近线方程为by x a =-=0y +=.故选：B.4．已知平面α的一个法向量为()()()1,2,1,1,0,1,0,1,1n A B =--，且,A B αα∉∈，则点A 到平面α的距离为（ ）A ．13B C D ．1【答案】B【分析】直接由点面距离的向量公式就可求出． 【详解】∵()()1,0,1,0,1,1A B --，∴()1,1,2AB =--，又平面α的一个法向量为()1,2,1n =， ∴点A 到平面α的距离为66AB n n⋅=故选：B5．已知圆221:(1)(2)9O x y -++=，圆2224101:2O x x y y ++-+=，则这两个圆的位置关系为（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内含【答案】C【分析】求得两个圆的圆心和半径，求得圆心距，由此确定正确选项. 【详解】圆1O 的圆心为()1,2-，半径为13r =， 2242110x y x y +++-=可化为()()222214x y +++=，圆2O 的圆心为()2,1--，半径为24r =，圆心距12O O =21211,7,17r r r r -=-=<，所以两个圆的位置关系是相交. 故选：C6．已知椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，斜率为13-的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为()1,2M ，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．5C D ．12【答案】C【解析】由点差法化简可得2223b a =，再由椭圆离心率公式即可得解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，又121213AB y y k x x ，线段AB 的中点为()1,2M ，所以12122,4x x y y +=+=，所以()()121222240x x y y a b --+=即()212212223y y b a xx -=-=-， 所以该椭圆的离心率为c e a ===故选：C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是掌握点差法的适用条件及应用.7．设O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点P 是C 上在第一象限的点，点()00,Q x y 满足000bx ay +=，且线段,OPQF 互相垂直平分，则C 的离心率为（ ）A B1C D 1【答案】B【分析】由垂直平分得||QO OF c ==，由此列出00,x y 的方程组，解得00(,)x y ，由中点坐标公式求得P 点坐标，代入双曲线方程得关于,a b 的方程，整理后可求得离心率ca．【详解】因为线段,OP QF 互相垂直平分，所以||QO OF c ==，故22200x y c +=，而000bx ay +=，解得00,x a y b =-=，故QF 的中点坐标为,22c a b -⎛⎫⎪⎝⎭，从而(,)P c a b -， 代入2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，2222()1c a b a b--=， 故1)c a =，即21ce a，故选：B.8．已知直线l 与椭圆221:184x y C +=切于点P ，与圆222:16C x y +=交于点AB ，圆2C 在点AB 处的切线交于点Q ，O 为坐标原点，则OPQ ∆的面积的最大值为A ．22B ．2C ．2D ．1【答案】A【解析】设点()00,P x y ，(),Q m n ，利用四点Q ，A ，O ，B 共圆，求得以OQ 为直径的圆，与已知圆的方程相减得出直线AB 的方程，直线与过点P 的椭圆的切线重合，两个方程相等，可得02m x =,04n y =，再由椭圆的参数方程和向量数量积的坐标表示和向量的模，结合三角形的面积公式和三角恒等变换以及三角函数的基本性质求出所求的最大值．【详解】设0(P x ，0)y ，(,)Q m n ，由AQ AO ⊥，BQ BO ⊥，可得四点Q ，A ，O ，B 共圆， 可得以OQ 为直径的圆，方程为2222()()224m n m n x y +-+-=， 联立圆222:16C x y +=，相减可得AB 的方程为160mx ny +-=， 又AB 与椭圆相切，可得过P 的切线方程为00184x x y y+=，即为0024160x x y y +-=， 由两直线重合的条件可得02m x =，04n y =，由于P 在椭圆上，可设022cos x α=，02sin y α=，02απ<， 即有42cos m α=，8sin n α=，可得220016cos 16sin 16OP OQ mx ny αα⋅=+=+=，且222||8421OP cos sin cos ααα=+=+，222||3264421OQ cos sin sin ααα=+=+， 即有1||||sin 2OPQ S OP OQ OP ∆=<，221(||||)()2OQ OP OQ OP OQ >=- 222211128(1)(1)256128(2)25622cos sin sin cos αααα=++-=+- 2132222|sin 2|222sin αα==，当sin 21α=±即4πα=或34π或54π或74π时，OPQ S ∆的面积取得最大值22．故选A ．【点睛】本题考查椭圆和圆的方程的应用，考查直线和椭圆、直线与圆相切的条件，以及运用参数方程和三角恒等变换公式是解题的关键，考查运算求解能力与分析问题的能力，属于难题． 二、多选题9．已知直线l 的倾斜角等于120，且l 经过点()1,2-，则下列结论中正确的是（ ）A ．l 的一个方向向量为31,62u ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．l 在xC ．l 320y -+=垂直D ．l 20y ++=平行【答案】ACD【分析】求出直线方程，由直线方程直接判断D ，由直线方程得一法向量，由法向量与方向向量的关系判断A ，直线方程中令0y =，解出x 为横截距，判断B ，由两直线垂直的关系判断C ．【详解】由题意直线l 的斜率为tan120k =︒=21)y x -=+，即20+-y 20y ++=平行，D 正确；直线的一个法向量是，而131()0262⋅=-+=，因此1()2是直线l 的一个方向向量，A 正确；在直线方程中令0y =得1x =，B 错误；1(3)0⨯-=，C 正确． 故选：ACD ．10．若圆1C ：223330x y x y +--+=与圆2C ：22220x y x y +--=的交点为A ，B ，则（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为30x y +-= B ．线段AB 中垂线方程为10x y -+=C ．公共弦AB 的长为D ．在过A ，B 两点的所有圆中，面积最小的圆是圆1C 【答案】AD【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，联立两个圆的方程，分析可得公共弦AB 所在直线方程，可判断A ，对于B ，有两个圆的方程求出两圆的圆心坐标，分析可得直线12C C 的方程，即可得线段AB 中垂线方程，可判断B ，对于C ，分析圆1C 的圆心1C 和半径，分析可得圆心1C 在公共弦AB 上，即可得公共弦AB 的长为圆1C 的直径，可判断C ，对于D ，由于圆心1C 在公共弦AB 上，在过A ，B 两点的所有圆中，即可判断D ． 【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，圆221:3330C x y x y +--+=与圆222:220C x y x y +--=，联立两个圆的方程可得30x y +-=，即公共弦AB 所在直线方程为30x y +-=，A 正确，对于B ，圆221:3330C x y x y +--+=，其圆心1C 为3(2，3)2，圆222:220C x y x y +--=，其圆心2C 为(1,1)，直线12C C 的方程为y x =，即线段AB 中垂线方程0x y -=，B 错误，对于C ，圆221:3330C x y x y +--+=，即22333()()222x y -+-=，其圆心1C 为3(2，3)2，半径r =13(2C ，3)2在公共弦AB 上，则公共弦AB ，C 错误，对于D ，圆心13(2C ，3)2在公共弦AB 上，在过A ，B 两点的所有圆中，面积最小的圆是圆1C ，D 正确， 故选：AD ．11．椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，则以下说法正确的是（ ）A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则1ABF 的周长为8 B ．椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF = C ．椭圆C 的离心率为12D ．P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为3 【答案】ABD【分析】结合椭圆定义判断A 选项的正确性，结合向量数量积的坐标运算判断B 选项的正确性，直接法求得椭圆的离心率，由此判断C 选项的正确性，结合两点间距离公式判断D 选项的正确性.【详解】对于选项A ：由椭圆定义可得：1212||||||||24AF AF BF BF a +=+==，因此1ABF ∆的周长为121122||||||||||||||48AF BF AB AF BF AF BF a ++=+++==，所以选项A 正确；对于选项B ：设(,)P m n ，则2214m n +=，且22m -，又1(F ，2F ， 所以1(,)PF m n =--，2(3,)PF m n =-，因此2222123(3)(3)132044m m PF PF m m n m =---+=+--=-=， 解得26[23m =∈-，2]，故选项B 正确； 对于选项C ：因为24a =，21b =，所以2223c a b =-=，即3c =，所以离心率32c e a ==，所以选项C 错误；对于选项D ：设1(P x ，1)y ，则点P 到圆221x y +=的圆心的距离为2222211111||4443PO x y y y y =+=-+=-，因为111y -，所以||||14013max max PQ PO =+=-+=， 所以选项D 正确， 故选：ABD ．12．已知1F ，2F 分别为双曲线2213yx -=的左、右焦点，过2F 且倾斜角为θ的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，记12AF F △的内切圆1O 的半径为1r ，12BF F △的内切圆2O 的半径为2r ，圆1O 的面积为1S ，圆2O 的面积为2S ，则（ ） A ．θ的取值范围是5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．直线12O O 与x 轴垂直C ．若122r r +=，则6AB =D ．12S S +的取值范围是102,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】BCD【分析】根据双曲线渐近线倾斜角判断A ；利用双曲线定义及切线长性质判断B ；根据平面几何知识确定2212122O F O AF B π∠=∠=后，根据直角三角形相似，求出12,r r 判断C ；求出12,r r 的关系，及1r 的范围，利用对勾函数判断出D. 【详解】设1212,,AF AF F F 与圆的切点分别为,,M N E ,如图，易知，1,O E 横坐标相等，根据题意得1122,,AM AN F M F E F N F E ===由双曲线定义知12||||2AF AF a -=，即 12||||2MF NF a -=， 可得12||||2F E F E a -=,设10(,0)O x ，则()002x c c x a +--=，解得 0x a =， 同理可得2O 的横坐标也为a ， 所以12O O x ⊥轴，故B 正确；双曲线2213y x -=的渐近线方程为y =，其倾斜角分别为 2,33ππ， 因为过2F 且倾斜角为θ的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点， 所以θ的取值范围是2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故A 错误； 连接2122,F O F O ,由切线的性质可知21122222,AF O O F E EF O BF O ∠=∠∠=∠, 所以2212122O F O AF B π∠=∠=,212122221222~,,EO EF Rt O EF Rt F EO EF EO EO EF EO =∴=⋅,即 121r r =，若122r r +=，解得 121r r ==，AB x ∴⊥轴，2A B x x c ∴===，229A B y y ∴==, ||||6A B AB y y ∴=-=, 故C 正确；对于D ，233ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 2233AF E ππ⎛⎫∴∠∈ ⎪⎝⎭，，1263O F E ππ⎛⎫∴∠∈ ⎪⎝⎭，,1121tan 1r O F E r ∴∠==∈⎝，又 121r r =，211r r =， 222121211r r r r ∴+=+∈ 12S S +的取值范围是102,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点点睛：根据圆的切线的性质及双曲线的定义，推导出圆1O 与圆2O 相切于x 轴上同一点是解题的关键，同时利用平面几何的性质推导出2212O F O π∠=是解题的难点，属于难题. 三、填空题13．过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程是_______．【答案】280x y +-=【分析】先求交点，再根据垂直关系得直线方程. 【详解】直线240x y -+=与50x y -+=的交点为()1,6, 垂直于直线20x y -=的直线方程可设为20x y m ++=, 所以260,8m m ++==-,即280x y +-=.【点睛】本题考查两直线垂直与交点，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．已知实数,x y 满足方程()2221x y -+=，则yx的取值范围是_____. 【答案】33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】设yk x=，数形结合以及点到直线的距离即可求解. 【详解】()2221x y -+=，圆心为()2,0，1r =，设yk x=，y kx ∴=， 当直线与圆相切时2211k d k ==+，3k ∴=33k ⎡⎢⎣∈⎦∴，所以yx 的取值范围是33⎡⎢⎣⎦. 故答案为：33⎡⎢⎣⎦【点睛】本题考查了直线的斜率公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式的应用，属于基础题.15．已知1F 、2F 是椭圆22110064x y+=上的两个焦点，P 是椭圆上一点，且12PF PF ⊥，则12F PF △的面积为_____【答案】64【解析】设11||PF r =，22||PF r =，根据椭圆的定义和勾股定理求出12128r r =，再根据三角形的面积公式可求得结果.【详解】由22110064x y +=得2100a =，264b =，所以10a =，6c ==，所以12||212F F c ==，设11||PF r =，22||PF r =，所以12220r r a +==，所以2212122400r r r r ++=，因为12PF PF ⊥，所以222124144r r c +==所以121442400r r +=，所以12128r r =， 所以12F PF △的面积为12111286422r r =⨯=.故答案为：64【点睛】关键点点睛：根据椭圆的定义和勾股定理求解是解题关键.16．设直线l :1y x =+与椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，与x 轴相交于左焦点F ，且3AF FB =，则椭圆的离心率e =_________【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组可得12y y +、12y y ，由3AF FB =可得123y y =-，进而可得()()2222240a a b a b +-+=，再由椭圆的焦点坐标可得a ，即可得解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，将直线l :1y x =+代入椭圆方程，消去x 化简得222222()2(1)0a b y b y b a +-+-=， 所以222121222222(1),b b a y y y y a b a b -+==++， 又3AF FB =，所以123y y =-，所以222222b y a b -=+，222222(1)3b a y a b --=+，所以22222222(1)3b b a a b a b ⎛⎫---= ⎪++⎝⎭，化简得()()2222240a a b a b +-+=， 又直线l :1y x =+过椭圆C 的左焦点F ， 所以()1,0F -，所以2221a b c -==， 所以22a =或21a =（舍去），所以a =c e a ==.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化3AF FB =为123y y =-，再结合韦达定理即可得解. 四、解答题17．已知ABC 的三个顶点分别为()()()4,0,0,2,2,2A B C --，求： (1)AB 边中线所在的直线方程 (2)ABC 的外接圆的方程 【答案】(1)3420x y ++= (2)222280x y x y +++-=【分析】（1）求出AB 中点D 的坐标，由两点得直线斜率，由点斜式得直线方程并化简； （2）设出圆的一般方程，代入三点坐标求解．【详解】(1)设AB 的中点为(2,1)-D ，则CD 所在直线的斜率为34-，则CD 边所在直线的方程为31(2)4y x -=-+，即3420x y ++=．(2)设ABC 的外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由41602402280D F E F D E F -++=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩，解之可得228D E F =⎧⎪=⎨⎪=-⎩故ABC 的外接圆的方程为222280x y x y +++-=．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0B ，()2,0C -，设直线AB ，AC 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，记点A 的轨迹为E ．（1）求E 的方程；（2）若直线l ：1y x =+与E 相交于P ，Q 两点，求PQ ． 【答案】（1）22142x y +=，（0y ≠）；（2【分析】（1）先设点(,)A x y ，再建立方程12122+2y y x k x k ⋅=--=，最后得到E 的方程：22142x y +=，（0y ≠）； （2）先联立方程221142y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得到23420x x +-=，再得到12124323x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，最后求PQ 即可.【详解】解：（1）设点(,)A x y ，则12yk x =-，2+2y k x =，因为1212k k =-，则12122+2y y x k x k ⋅=--=， 整理得：22142x y +=，斜率存在，所以2x ≠±，所以E 的方程：22142x y +=，（0y ≠） （2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由221142y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到23420x x +-=，则2443(2)400∆=-⨯⨯-=>，所以12124323x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，则12PQ x =-=，所以PQ =【点睛】本题考查求点的轨迹方程、利用弦长公式求弦长，是中档题.19．已知双曲线：C ：22221x y a b -=(0a >，0b >)与22142-=y x 有相同的渐近线，且经过点M.（1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ､B ，且线段AB 的中点在圆2220x y +=上，求实数m 的值.【答案】（1）2212y x -=；（2）2m =±. 【解析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点M计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于x 的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出AB 的中点坐标，代入圆的方程计算.【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为22(0)42λλ-=≠y x ，又因为双曲线过点()2,2M -，221422λ=-=-，所以双曲线的方程为：2212y x -=（2）由2212y x my x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22220x mx m ---=设()11,A x y ()22,B x y ，则122x x m +=，2122x x m ⋅=--，所以124y y m +=则AB 中点坐标为(),2m m ，代入圆2220x y += 得2520=m ，所以2m =±.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，,//AB AD BC AD ⊥，点M 是棱PD 上一点，且满足2,4AB BC AD PA ====．(1)求二面角A CD P --的正弦值；(2)若直线AM 与平面PCD 6，求MD 的长． 【答案】6(2)22【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角；（2）设MD PD λ=（01λ≤≤），求出(0,4,44)AM λλ=-，用向量法求线面角，从而得参数λ值，得出结论．【详解】(1)如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,4)P ， (2,2,0)CD =-，(0,4,4)PD =-，设平面PCD 法向量(,,)n x y z =，则00n CD n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220440x y y z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即(1,1,1)n =，又平面ACD 的法向量(0,0,1)m =，13cos ,3m n m n m n⋅〈〉===， 故二面角A CD P --23613⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭． (2)设MD PD λ=（01λ≤≤），(0,4,4)MD λλ=-， 点(0,4,44)M λλ-，∴(0,4,44)AM λλ=-，由（1）得平面PCD 法向量(1,1,1)n =，且直线AM 与平面PCD 6 ∴224446cos ,(4)(44)3AM n AM n AM nλλλλ+-⋅〈〉===+-⋅，解得12λ=，即12=MD PD ，又224442+PD 1222==MD PD 21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在y 轴上的圆C 经过两点()0,2M 和()1,3N ，直线l 的方程为y kx =. (1)求圆C 的方程；(2)过点()1,0-作圆C 切线，求切线方程；(3)当1k =时，Q 为直线l 上的点，若圆C 上存在唯一的点P 满足2PO PQ ，求点Q 的坐标.【答案】(1)()2231x y +-= (2)1x =-或4340x y -+=(3)(2Q或(2【分析】（1）设出圆的标准方程，将两点代入即可求解；（2）直线斜率不存在时满足，斜率存在时，设出直线点斜式，利用点到直线距离公式求解；（3）设(),Q t t ，(),P x y，利用PO =化简得()()222224x t y t t -+-=，故圆与圆C 相切，结合圆心距和半径关系即可求解.【详解】(1)设圆的方程为()222(0)x y b r r +-=>，将M ，N 坐标代入，得：()()2222220213b r b r⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩， 解得31b r =⎧⎨=⎩，所以圆的方程为()2231x y +-=；(2)当切线斜率不存在时，直线1x =-与圆相切；当切线斜率存在时，设直线方程为()1y k x =+，即0kx y k -+=， 由圆心()0,3到直线的距离1d =，解得43k =，故切线方程为4340x y -+=， 综上，切线方程为1x =-或4340x y -+=； (3)设(),Q t t ，(),P x y=化简得()()222224x t y t t -+-=， 此圆与圆C 相切，21t=±，解得2t=所以(2Q或(2.22．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点与它的左、右两个焦点1F ，2F 的距离之和为222x y -=的离心率互为倒数．（1）求椭圆的方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点），1AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC 面积的最大值，并求此时直线AB 的方程． 【答案】（1）2212x y +=；（22AB 的方程为1x =-.【解析】（1）易得双曲线2210x y -=2，则椭圆的离心率为22，再根据222a =.（2）设直线AB 的方程为1x ty =-，联立221,22x ty x y =-⎧⎨+=⎩，利用弦长公式求得||AB 222(1).2t t +=+点O 到直线AB 的距离21d t +，然后由1||22ABC S AB d =⋅△求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c 因为双曲线2210x y -=2 22c a =由题意，得222a =．解得2a =于是1c =，222211b a c =-=-=． 故椭圆的方程为2212x y +=．（2）设直线AB 的方程为1x ty =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ．由221,22x ty x y =-⎧⎨+=⎩消去x 并整理，得22(2)210t y ty +--=， 所以12222ty y t +=+，12212y y t -=+， 222121||()()AB x x y y -+-222121[(1)(1)]()ty ty y y =---+-，2221(1)()t y y +-222112(1)[()4]t y y y y =++- 222222122(1)(1)[()4]22t t t t t -+=+-⋅=++点O到直线AB的距离d=因为O是线段AC的中点，所以点C到直线AB的距离为2d．1||22ABCS AB d=⋅==△u=，则1u≥．ABCSuu==+△当且仅当1uu=，即1u=，亦即0=t时，ABC．此时直线AB的方程为1x=-．【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB==(k为直线斜率)．注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高二理科数学中考试题答案
一：选择题（每小题5分，共60分）
二：填空题（每小题5分，共20分） 13.()2
2
2
n
n f +>； 14.2； 15.57； 16.（1）（2）；
三．解答题
17.解：设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-
由已知得：(12)()(2)(2)43i a bi a b b i i +-=++-=+，由复数相等的定义知
24a b +=
23b -= 得6,1a b ==-
∴6z i =-，3512
3737z i z
=- 18.解：类比得到的结论是：在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>中，,A B 分
别是椭圆长轴的左右端点，()
,C x y 点是椭圆上不同于,A B 的任意一点，
由2
2AC BC
b k k a
∙=-
证明：设00()A x y ，为椭圆上的任意一点，则A 关于中心的对称点B 的坐标为00()B x y --，，点()P x y ，为椭圆上异于A B ，两点的任意一点，则22
000
22
000
AP BP
y y y y y y k k x x x x x x -+-==-+- ． 由于A B P ，，三点在椭圆上，22
22
22
0022
11.x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+
=⎪⎩，
两式相减，有
2222
00
22
0x x y y a b --+=， 22
2
02220y y b x x a
-∴=--，即22AP BP b k k a =- ．
故椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>中过中心的一条弦的两个端点A B P
，，为异于A B ，的椭圆上的任意一点，则有2
2AP BP b k k a
=-
．
19.证明：可用分析法或综合法证明，过程略
20.解：依题意
22y x =
2x = 8x =
4y x =- 解得 2y =或 4y =-
∴2
8
2
2
(4S x dx =+-⎰=
70
3
21.（1）解：112a =；216a =；3112a =；41
20
a =.
(2)猜测：1
(1)
n a n n =
+.下面用数学归纳法证明
①当1n =时，猜想显然成立． ②假设*()n k k =∈N 时，猜想成立，
即1
(1)
k a k k =+．
那么，当1n k =+时，111(1)k k S k a ++=-+， 即111(1)k k k S a k a +++=-+． 又11
k k k
S ka k =-=+， 所以
111(1)1
k k k
a k a k +++=-++， 从而111
(1)(2)(1)[(1)1]
k a k k k k +=
=+++++．
即1n k =+时，猜想也成立．
故由①和②，可知猜想成立． 22.（12分）
解: （1）解：由已知1()f x x x
'=+， 当[1e]x ∈，时，()0f x '>，
所以函数()f x 在区间[1e]，上单调递增，
所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值分别为2
e (e)12
f =+，
1(1)2
f =
， 所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大值为2
e 12
+，最小值为12；
（
2
）
证
明
：
设
2312
()ln 23
F x x x x =
+-，则
2
2
1(1)(1
2)
(
)2x x x F x x
x
x
x
-++'=+-=．
因为1x >，所以()0F x '<，
所以函数()F x 在区间(1
)+∞，上单调递减， 又1
(1)06
F =-
<，所以在区间(1)+∞，上，()0F x <，即2312ln 23
x x x +<。

相关文档
最新文档