2019年人教A版必修五高中数学第一章 解三角形 章末检测(A) 导学案及答案
高中必修五导学案 第一章 解三角形(含答案)
第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理 【学习目标】1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．【学习过程】1、课前准备试验：固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？2、新课导学 ※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a bA B=， 同理可得sin sin c bC B=，从而sin sin a bA B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即sin sin a bA B =sin c C=． （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c bC B =，sin a A =sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=；b = ．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin aA B b=；sin C = ．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．【学习评价】1．满足a =4，A=045，B=060的△ABC 的边b 的值为（ ） A 62 B 232+ C 13+ D 132+2．△ABC 中6=a ，36=b ，A=030，则边c = （ ） A 6 B 12 C 6或12 D 363．在△ABC 中，若C B A cos sin 2sin ⋅=，C B A 222sin sin sin +=，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B 。
（新）人教版高中数学必修5第一章《解三角形》导学案（全套）
（新）⼈教版⾼中数学必修5第⼀章《解三⾓形》导学案（全套）学案 1 正弦定理（1）教学⽬标：1、掌握正弦定理及其推导过程；2、能利⽤正弦定理解三⾓形及判断三⾓形解的个数．教学重点：利⽤正弦定理解三⾓形．教学难点：正弦定理的证明．教学过程：⼀、问题情境：1．复习：在Rt ΔABC 中，∠C=90 ，试判定A a sin ，B b sin 与Cc sin 之间的⼤⼩关系？ 2．猜想：对任意三⾓形ABC 上述关系是否成⽴？如何证明?⼆、讲授新课：1．正弦定理：_________________________________．2．利⽤正弦定理，可解决两类三⾓形问题：（1）已知两⾓与⼀边，求另两边与另⼀⾓；（2）已知两边和其中⼀边的对⾓，求其他边⾓．3．三⾓形的元素与解三⾓形：（1）把三⾓形的_________________和它们的_________________叫做三⾓形的元素．（2）已知三⾓形的_________________求其他____________的过程叫做解三⾓形.三、知识运⽤：例1．在ΔABC 中已知23,45,7500===c B A ，求b a C ,,.例2．在ΔA BC 中，已知060,67,14===B b a ，解ABC ?.例3．在ΔABC 中，已知045,332,2===B b c ，解ABC ?.探究：对于例2、例3能否从图形来分析为什么解的个数不⼀样，分析类型（２）产⽣多解的原因.四、课堂练习：1.在ABC ?中，⼀定成⽴的是（）A.B b A a sin sin =B.B b A a cos cos =C.A b B a sin sin =D.A b B a cos cos =2.在ABC ?中，45A = ,60B = ,10a =,则b =（）A. C.3 D.3.在ABC ?中,?=60A ,24,34==b a ，则B 等于（）A.?45或?135B.?135C.?45D.以上都不对4.在ABC ?中，45,75AB A C =?=?，则=BC （）A ．33-B ．2C ．2D ．33+5．不解三⾓形，下列判断正确的是（）A.7a =,14b =,30A = ,有两解B.30a =,25b =,150A = ,有⼀解C.6a =,9b =,45A = ,有两解D.9b =,10c =,60B = ,⽆解6．在ΔABC 中，已知060,32,2===B b a ，解三⾓形ABC .学案 2 正弦定理（2）教学⽬标：1、掌握公式的变式及三⾓形⾯积公式；2、能灵活运⽤正弦定理解决三⾓形相关问题，⽐如判断三⾓形的形状.教学过程：⼀、回顾练习：（1）在ABC ?中，已知B=60°，2=a ，3=b ，求A .（2）在ABC ?中，已知A =15°，B=120°，12=b ，求a 和c .⼆、正弦定理的变形及⾯积公式：1．正弦定理的变形①__________________________________________________②__________________________________________________③__________________________________________________2．三⾓形的⾯积公式：__________________________________________________三、例题分析：例1．在ΔABC 中，5:4:3sin :sin :sin =C B A ，且12=++c b a ，求c b a ,,.例2．在ΔABC 中， 30B = ，AB =2AC =，求三⾓形的⾯积.例3．①在ΔABC 中，已知Cc B b A a cos cos cos ==，试判断ΔABC 的形状. ②在ΔABC 中，已知B b A a cos cos =，试判断ΔABC 的形状.四、课堂练习：1．在ABC ?中,?=30A ,3=a ，则ABC ?的外接圆半径为（）A ．23B ．3C ．33D ．62．在ΔABC 中，若,3,600==a A 则CB A c b a sin sin sin ++++等于___________. 3．在ΔABC 中，若3:2:1::=C B A ，则_____________::=c b a .4．在ΔABC 中，已知2sin b c B =，求⾓Ｃ.5．根据下列条件，判断ΔABC 的形状：① C B A 222sin sin sin =+；② cC b B a A cos cos sin ==学案 3 余弦定理教学⽬标：1．掌握余弦定理的两种表⽰形式；2．证明余弦定理的向量⽅法；3．运⽤余弦定理解决两类基本的解三⾓形问题．教学过程：⼀、问题探究：问题：在ABC ?中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ．∵AC = ，∴AC AC ?=同理可得： 2222c o s a b c b c A =+-， 2222cos c a b ab C =+-．⼆、讲授新知：1．余弦定理：_________________________________；_________________________________；_________________________________．推论：_________________________________；_________________________________；_________________________________．2．利⽤余弦定理，可解决两类三⾓形问题：（1）已知三边，求三⾓；（2）已知两边和它们的夹⾓，求第三边和其他两个⾓．试试：（1）△ABC中，a=2c=，150B= ，求b．（2）△ABC中，2a=，b=，1c，求A．三、典型例题：例1．在△ABC中，已知a=b=45B= ，求,A C和c．变式：在△ABC中，若AB AC＝5，且cos C＝910，则BC＝________．例2．在△ABC中，已知三边长3a=，4b=，c=变式：在?ABC 中，若222a b c bc =++，求⾓A ．四、课堂练习：1. 已知a c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为（）2. 已知三⾓形的三边长分别为3、5、7，则最⼤⾓为（）A ．60B ．75C ．120D ．1503.在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满⾜222b a c ab +-=，则∠C 等于．4. 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，求最⼤⾓的余弦值．5. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，求AB BC ? 的值.学案 4 正、余弦定理在三⾓形中的应⽤（1）题型⼀利⽤正、余弦定理求边、⾓例1 已知ABC ?中， 6b =，c =30B =，求边a 的值.题型⼆判定三⾓形的形状例2 在ABC ?中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2cos sin sin A B C ?=，试判断三⾓形的形状.。
2019-2020人教A版数学必修5章末综合测评1 解三角形
章末综合测评(一) 解三角形满分：150分 时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝k ，b ＝3k (k >0)，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个A [由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝62>1，即sin B >1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．]2．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°B [设最小边为5，则三角形的三边分别为5，7，8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cos θ，解得cos θ＝12，∴θ＝60°.则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.]3．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝( ) A ．π4或3π4 B ．3π4 C ．π4D ．π6C [由BC sin A ＝AB sin C ，得sin C ＝22. ∵BC ＝3，AB ＝6，∴A >C ， 则C 为锐角，故C ＝π4.]4．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B ＝( )A ．±53 B ．23 C ．－53D ．53A [因为a sin A ＝b sinB ，所以15sin 30°＝20sin B ，解得sin B ＝23.因为b >a ，所以B >A ，故B 有两解，所以cos B ＝±53.]5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6B [∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b6＝k (k >0)，则⎩⎨⎧b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k .∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.]6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( )A ．1＋32B ．1＋ 3C ．2＋22D ．2 3B [∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴ac ＝6.又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos 30°＝4b 2－12－63， ∴b 2＝4＋23，∴b ＝1＋ 3.]7．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，0)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D [由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk ，(m >0)， ∵⎩⎨⎧a ＋b >c ，a ＋c >b ，即⎩⎨⎧m （2k ＋1）>2mk ，3mk >m （k ＋1）， ∴k >12.]8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b2c ，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形B [由已知可得1－cos A 2＝12－b 2c ，即cos A ＝bc ，b ＝c cos A .法一：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，则b ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc ， 所以c 2＝a 2＋b 2，由此知△ABC 为直角三角形． 法二：由正弦定理，得sin B ＝sin C cos A . 在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )，从而有sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ， 即sin A cos C ＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos C ＝0.由此得C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．]9．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2C ． 2D ．22C [∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ＝8， ∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2.]10．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( )A ．154B ．1534C ．2134D ．3534B [∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a ＋2，∵sin α＝32，∴α＝120°.由余弦定理得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a ，故a ＝5，故三边长为3，5，7，S △ABC ＝12×3×5×sin 120°＝1534.]11．如图，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°，与O 相距15海里的C 处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向25海里的B 处的乙船，则甲船到达B 处需要的时间为( )A ．12小时 B ．1小时 C ．32小时D ．2小时B [在△OBC 中，由余弦定理，得CB 2＝CO 2＋OB 2－2CO ·OB cos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB ＝35，3535＝1(小时)，因此甲船到达B 处需要的时间为1小时．]12．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为()A ．33B ．36C ．63D ．66D [设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝32a . 在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2－a 22×32a ·32a ＝13.又∵A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝223. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC sin A ＝ABsin C . ∴sin C ＝AB BC ·sin A ＝32a 2a ·223＝66.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知△ABC 为钝角三角形，且C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为________．a 2＋b 2<c 2[∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，且C 为钝角，∴cos C <0，∴a 2＋b 2－c 2<0，故a 2＋b 2<c 2.]14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________．2π3 [由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ， 所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.]15．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A 的值等于________，AC 的取值范围为________．2 (2，3) [设A ＝θ⇒B ＝2θ. 由正弦定理得AC sin 2θ＝BCsin θ， ∴AC 2cos θ＝1⇒ACcos θ＝2.由锐角△ABC 得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°. 又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°， 故30°<θ<45°⇒22<cos θ<32， ∴AC ＝2cos θ∈(2，3)．]16．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B ＝________．4 [∵b a ＋ab ＝6cos C ， ∴a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ， ∴2a 2＋2b 2－2c 2＝c 2，又tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos A sin A cos C ＋sin C cos B sin B cos C ＝sin C （sin B cos A ＋cos B sin A ）sin A sin B cos C ＝sin C sin （B ＋A ）sin A sin B cos C ＝sin 2C sin A sin B cos C ＝c 2ab cos C ＝c 2ab a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.[解](1)由正弦定理得，sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A.故sin B＝2sin A，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cos B＝（1＋3）a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cos B>0，故cos B＝22，所以B＝45°.18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝3 5.(1)若b＝4，求sin A的值；(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．[解](1)∵cos B＝35>0，且0<B<π，∴sin B＝1－cos2B＝4 5.由正弦定理得asin A＝bsin B，sin A＝a sin Bb＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4， ∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17. 19．(本小题满分12分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值． [解] (1)∵cos A ＝2cos 2A2－1， ∴2cos 2A2＝cos A ＋1.又2cos 2A2＋cos A ＝0，∴2cos A ＋1＝0， ∴cos A ＝－12，∴A ＝120°.(2)由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 又a ＝23，b ＝2，cos A ＝－12， ∴(23)2＝22＋c 2－2×2×c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，化简，得c 2＋2c －8＝0， 解得c ＝2或c ＝－4(舍去)．20．(本小题满分12分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时C 、D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A ?[解] 如图所示，设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β. 在△CBD 中，由余弦定理得 cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sin β＝437.而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314.在△ACD 中，21sin 60°＝ADsin α，∴AD ＝21×sin αsin 60°＝15(千米)．所以这人还要再走15千米可到达城A .21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值． [解] (1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0， ∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0， 即(2cos C ＋1)2＝0， ∴cos C ＝－22. 又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2， ∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ， ∴sin A ＝15sin C ＝1010. ∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ， ∴12ab sin C ＝22sin A sin B ，∴absin A sin B sin C ＝2，由正弦定理得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1. 22．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足sin A ＋3cos A ＝2.(1)求角A 的大小；(2)现给出三个条件：①a ＝2；②B ＝π4；③c ＝3b .试从中选出两个可以确定△ABC 的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC 的面积．(写出一种方案即可)[解] (1)依题意得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝1，∵0<A <π，∴π3<A ＋π3<4π3，∴A ＋π3＝π2， ∴A ＝π6.(2)参考方案：选择①②.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin Bsin A ＝2 2. ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2＋64，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×22×2＋64＝3＋1.。
人教A版必修5数学 精品导学案：第1章 解三角形(复习)
第一章 解三角形（复习）班级 姓名 学号 学习目标学习过程一、课前准备（1）用正弦定理：①知两角及一边解三角形；②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）．（2）用余弦定理：①知三边求三角；②知道两边及这两边的夹角解三角形．复习2：应用举例① 距离问题，②高度问题，③ 角度问题，④计算问题．练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变. 则斜坡长变为___ ．二、新课导学※ 典型例题例1. 在ABC ∆中tan()1A B +=，且最长边为1，tan tan A B >，1tan 2B =，求角C 的大小及△ABC 最短边的长．练习：在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则2222sin sin sin B A A-的值为例2. 【2014高考山东文第17题】△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知a =3，A cos =36,2π+=A B , （1）求b 得值；（2）求△ABC 的面积.练习：在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且8=++c b a（Ⅰ）若25,2==b a ，求C cos 的值; （Ⅱ）若C A B B A sin 22cos sin 2cos sin 22=+，且ABC ∆的面积C S sin 29=，求a 和b 的值.例3. 在∆ABC 中，设tan 2,tan A c b B b-= 求A 的值．练习：在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = .例4.在△ABC 中，b ＝10，A ＝30°，问a 取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？三、总结提升※ 学习小结1. 应用正、余弦定理解三角形；2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．※ 知识拓展设在ABC ∆中，已知三边a ，b ，c ，那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，则△ABC 的面积为（ ）.A ．9B ．18C ．9D ．2.在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C =（ ）.A ． 60°B ． 90°C ．150°D ．120°3. 在∆ABC 中，80a =，100b =，A =30°，则B 的解的个数是（ ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定的4. 在△ABC 中，a =，b =1cos 3C =，则ABC S =△_______ 5. 在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若2222sin a b c bc A =+-，则A =___ ____.1. 已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=． （1）求A ；（2）若4a b c =+=，求ABC ∆的面积．2. 在△ABC中，,,a b c分别为角A、B、C的对边，2228 5 bca c b-=-，a=3，△ABC的面积为6，（1）求角A的正弦值；（2）求边b、c.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
高中数学 第一章《解三角形(复习)》导学案 新人教A版必修5
第一章 《解三角形（复习）》 【学习目标】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题．【知识链接】 复习1： 正弦定理和余弦定理（1）用正弦定理：①知两角及一边解三角形；②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）．（2）用余弦定理： ①知三边求三角；②知道两边及这两边的夹角解三角形．复习2：应用举例① 距离问题，②高度问题，③ 角度问题，④计算问题．练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变. 则斜坡长变为___ ．【学习过程】※ 典型例题例1. 在ABC ∆中tan()1A B +=，且最长边为1，tan tan A B >，1tan 2B =，求角C 的大小及△ABC 最短边的长．例2. 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30o ，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1o ）？例3. 在∆ABC 中，设tan 2,tan A c b B b-= 求A 的值． 北 20 10 A B • •C※ 动手试试练1. 如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40 min 后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min 到达C 点，求P 、C 间的距离．练2. 在△ABC 中，b ＝10，A ＝30°，问a 取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？【学习反思】※ 学习小结1. 应用正、余弦定理解三角形；2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．※ 知识拓展设在ABC ∆中，已知三边a ，b ，c ，那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是 ()()()R p p a p b p c =--- 【基础达标】）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：60°30°60°ABP 北1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120︒，则△ABC的面积为（）.A．9 B．18 C．9D．1832.在△ABC中，若222c a b ab=++，则∠C=（）.A． 60° B． 90° C．150° D．120°3. 在∆ABC中，80a=，100b=，A=30°，则B的解的个数是（）.A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定的4. 在△ABC中，32a=，23b=，1cos3C=，则ABCS=△_______5. 在∆ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若2222sina b c bc A=+-，则A=___ ____.【拓展提升】1. 已知A、B、C为ABC∆的三内角，且其对边分别为a、b、c，若1 cos cos sin sin2B C B C-=．（1）求A；（2）若23,4a b c=+=，求ABC∆的面积．2. 在△ABC中，,,a b c分别为角A、B、C的对边，2228 5 bca c b-=-，a=3，△ABC的面积为6，（1）求角A的正弦值；（2）求边b、c.。
(新)人教版高中数学必修5第一章《解三角形》导学案(全套)
学案 1 正弦定理 （1）教学目标：1、掌握正弦定理及其推导过程；2、能利用正弦定理解三角形及判断三角形解的个数．教学重点：利用正弦定理解三角形．教学难点：正弦定理的证明．教学过程：一、问题情境：1．复习：在Rt ΔABC 中，∠C=90 ，试判定A a sin ，B b sin 与Cc sin 之间的大小关系？ 2．猜想：对任意三角形ABC 上述关系是否成立？如何证明?二、讲授新课：1．正弦定理：_________________________________．2．利用正弦定理，可解决两类三角形问题：（1）已知两角与一边，求另两边与另一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角．3．三角形的元素与解三角形：（1）把三角形的_________________和它们的_________________叫做三角形的元素．（2）已知三角形的_________________求其他____________的过程叫做解三角形.三、知识运用：例1．在ΔABC 中 已知23,45,7500===c B A ，求b a C ,,.例2．在ΔA BC 中 ，已知060,67,14===B b a ，解ABC ∆.例3．在ΔABC 中 ，已知045,332,2===B b c ，解ABC ∆.探究：对于例2、例3能否从图形来分析为什么解的个数不一样，分析类型（２）产生多解的原因.四、课堂练习：1.在ABC ∆中，一定成立的是（ ）A.B b A a sin sin =B.B b A a cos cos =C.A b B a sin sin =D.A b B a cos cos =2.在ABC ∆中，45A =,60B =,10a =,则b =（ ）A.3.在ABC ∆中,︒=60A ,24,34==b a ，则B 等于（ ）A.︒45或︒135B.︒135C.︒45D.以上都不对4.在ABC ∆中，45,75AB A C ==︒=︒，则=BC （ ）A ．33-B ．2C ．2D ．33+5．不解三角形，下列判断正确的是（ ）A.7a =,14b =,30A =,有两解B.30a =,25b =,150A =,有一解C.6a =,9b =,45A =,有两解D.9b =,10c =,60B =,无解6．在ΔABC 中 ，已知060,32,2===B b a ，解三角形ABC .学案 2 正弦定理 （2）教学目标：1、掌握公式的变式及三角形面积公式；2、能灵活运用正弦定理解决三角形相关问题，比如判断三角形的形状.教学过程：一、回顾练习：（1）在ABC ∆中，已知B=60°，2=a ，3=b ，求A .（2）在ABC ∆中，已知A =15°，B=120°，12=b ，求a 和c .二、正弦定理的变形及面积公式：1．正弦定理的变形①__________________________________________________②__________________________________________________③__________________________________________________2．三角形的面积公式：__________________________________________________三、例题分析：例1．在ΔABC 中，5:4:3sin :sin :sin =C B A ，且12=++c b a ，求c b a ,,.例2．在ΔABC 中， 30B =，AB =2AC =，求三角形的面积.例3．① 在ΔABC 中，已知Cc B b A a cos cos cos ==，试判断ΔABC 的形状. ② 在ΔABC 中，已知B b A a cos cos =，试判断ΔABC 的形状.四、课堂练习：1．在ABC ∆中,︒=30A ,3=a ，则ABC ∆的外接圆半径为（ ）A ．23B ．3C ．33D ．62．在ΔABC 中，若,3,600==a A 则CB A c b a sin sin sin ++++等于___________. 3．在ΔABC 中，若3:2:1::=C B A ，则_____________::=c b a .4．在ΔABC 中，已知2sin b c B =，求角Ｃ.5．根据下列条件，判断ΔABC 的形状：① C B A 222sin sin sin =+； ② cC b B a A cos cos sin ==学案 3 余弦定理教学目标：1．掌握余弦定理的两种表示形式；2．证明余弦定理的向量方法；3．运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．教学过程：一、问题探究：问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ．∵AC = ，∴AC AC •=同理可得： 2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-．二、讲授新知：1．余弦定理：_________________________________；_________________________________；_________________________________．推论： _________________________________；_________________________________；_________________________________．2．利用余弦定理，可解决两类三角形问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．试试：（1）△ABC 中，a =2c =，150B =，求b ．（2）△ABC 中，2a =，b ，1c，求A ．三、典型例题：例1．在△ABC 中，已知a =b ，45B =，求,A C 和c ．变式：在△ABC 中，若AB ，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________．例2．在△ABC 中，已知三边长3a =，4b =，c =变式：在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A ．四、课堂练习：1. 已知a c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为（ ）A. 222. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）A ．60B ．75C ．120D ．1503.在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足222b a c ab +-=，则∠C 等于 ．4. 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，求最大角的余弦值．5. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，求AB BC ⋅的值.学案 4 正、余弦定理在三角形中的应用（1）题型一 利用正、余弦定理求边、角例1 已知ABC ∆中， 6b =，c =30B =，求边a 的值.题型二 判定三角形的形状例2 在ABC ∆中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2cos sin sin A B C ⋅=，试判断三角形的形状.题型三 三角形的面积例3 ABC ∆的周长为20，BC 边的长为7，60A =，求它的内切圆的半径.自我检测1．在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于（ ）A ．23B ． 23-C ．13-D ．14- 2．在ABC ∆中，若cos cos A b B a=，则ABC ∆是（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形3．已知△ABC 的两边长为2和3，其夹角的余弦为13，则其外接圆的半径为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．94．根据下列条件，确定ABC ∆有两解的是（ ）A ．︒===120,20,18A b aB ．︒===60,48,3B c aC ．︒===30,6,3A b aD ．︒===45,16,14A b a5．在平行四边形ABCD 中,120,6,4B AB BC ===则AC =_________,BD =_______.6．在△ABC 中，其三边长分别为,,a b c ，且三角形面积2224a b c S +-=，则角C =_________.7．在△ABC 中，已知sinA ＝2sinBcosC ，试判断△ABC 的形状．8．在ΔABC 中，∠A 的外角平分线交BC 的延长线于Ｄ，证明DCBD AC AB =．9.用余弦定理证明:平行四边形的两条对角线平方和等于四边平方的和.学案 4 正、余弦定理在三角形中的应用（2）题型一 利用正、余弦定理求边、角例1 已知ABC ∆中， 6b =，c =30B =，求边a 的值.题型二 判定三角形的形状例2 在ABC ∆中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2cos sin sin A B C ⋅=，试判断三角形的形状.题型三 三角形的面积例3 ABC ∆的周长为20，BC 边的长为7，60A =，求它的内切圆的半径.自我检测1.在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于（ ）A ．23B ． 23-C ．13-D ．14- 2. 在ABC ∆中，若cos cos A b B a =，则ABC ∆是（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形3.已知ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.若2=b ， B =45°，那么ABC ∆ 的外接圆的直径等于 .4.在ABC ∆中，c b a 、、分别是角A 、B 、C 所对的边.若105A =，45B =，22=b ，则=c __________.5.在平行四边形ABCD 中,120,6,4B AB BC ===则AC =_________,BD =_______.6.已知锐角ABC ∆的面积为4,3BC CA ==，则角C 的大小为 .7.在ABC ∆中，若A a C c B b sin sin sin =+，试判断三角形的形状．8.在△ABC 中，已知sinA ＝2sinBcosC ，试判断△ABC 的形状．学案 5 正、余弦定理的实际应用课前准备：1、正弦定理：___________=____________=___________=________2、余弦定理：_____________2=a _____________2=b _____________2=c余弦定理推论：cosA=__________________cosB=______________________cosC=______________________3、解斜三角形中的有关名词、术语：（1）坡度：斜面与地平面所成的角度．（2）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．（3）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的夹角．（4）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等．（5）基线：在测量上，根据测量需要适当确定的 叫基线．知识运用：1．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ）A ．a kmB.3a kmC.2a kmD ．2a km2．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m,∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为（ ）A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD ．2522 m3．如右图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D.测得 ∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝__________米．4．如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为( )A．(30＋303) m B．(30＋153) mC．(15＋303) m D．(15＋33) m5．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为( ) A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时6．如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=60°，在塔底C处测得A处的俯角β=45°. 已知铁塔BC部分的高为28 m，求出山高CD．学案 6 第一章知识整合题型1 利用正、余弦定理解三角形例1 在△ABC 中，c ＝4，b ＝7，BC 边上的中线AD 长为72，求a ．例 2 如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．题型2 利用正、余弦定理判定三角形的形状例3 在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．题型3 三角形解的个数的确定例4 在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，则b 为何值时，三角形有一解，两解，无解？题型4 正、余弦定理在实际问题中的应用 例5 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．达标检测1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b，则角B 的值为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．已知三角形的三边长分别是a ，b ，a 2＋b 2＋ab ，则此三角形中最大的角是（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．在△ABC 中，a ＝5，c ＝7，C ＝120°，则三角形的面积为（ ）A ．152B ．154C ．1534D ．15324．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 一定是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°视角，则B 、C 间的距离是（ ）A ．103海里B ．1036海里 C ．52海里 D ．56海里 6．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A .(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c ．。
高一数学(人教版)必修5导学案设计：第一章《解三角形》综合复习
必修五第一章解三角形复习学案一、知识梳理： 解斜三角形时可用的定理和公式适用类型 备注余弦定理222a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩①已知三边；②已知两边及其夹角；类型①②有解时只有一个正弦定理：sin ac B===③已知两角和一边； ④已知两边及其中一边的对角； 类型③有解时只有一个，类型④可有解、一解或无解 三角形面积公式：S ⎧⎪=⎨⎪⎩⑤已知两边及其夹角（1）余弦定理变形：cos A = ；cos B = ；cos C = .（2）正弦定理变形：C B A c b a sin :sin :sin ::= ………………………适用边角互化。
（3）22a b +<2c 则角C 为 角 22a b +＞2c 则角C 为 角。
二、试题训练：选择填空试题（每小题5分共计60分）1、在ABC ∆中，已知2=a ，2=c ，︒=30A ，那么B 等于（ ）A ．︒15B ．︒15或︒105C ．︒45D ．︒45或︒1352、 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则C B A cb a sin sin sin ++++等于( )A ．33B ．3392 C ．338 D ．2393、在ABC ∆中，下列关系式不一定成立的是（ ） A ．sin sin a B b A =B ．cos cos a bC c B =+C ．2222cos a b c ab C +-=D ． sin sin b c A a C =+4、在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 5、已知ABC ∆的三边长3=a ，5=b ，6=c ，则ABC ∆的面积是（ ） A ．14 B ．142 C ．15 D ．152 6、在ABC ∆中，若cCb B a A sin cos cos ==，则ABC ∆是（ ） A ．有一内角为︒30的直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．有一内角为︒30的等腰三角形 D ．等边三角形7、△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )A 有 一个解B 有两个解C 无解D 不能确定8、如图，从气球A 测得正前方的河流上的桥梁两端B 、C 的俯角分别为α、β，如果这时气球的高度是h ，则桥梁BC 的长度为（ ） A.sin()sin sin h αβαβ- B. sin sin sin()h αβαβ-C. sin sin sin()h αβαβ-D. sin sin sin()h βααβ-9、如果ABC ∆中，222c bc b a ++=，那么A 等于__________。
最新人教A版必修五高中数学章末检测第一章 解三角形 导学案及答案
章末检测一、选择题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若A ＋C ＝2B ，有a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( ) A.2B.3C.32D ．2 答案 C解析 由A ＋C ＝2B ，解得B ＝π3.由余弦定理得(3)2＝1＋c 2－2c cos π3，解得c ＝2或c ＝－1(舍去)．于是，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×2sin π3＝32.2．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞B ．(10，＋∞) C．(0,10) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，403答案 D 解析 ∵c sin C＝a sin A＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403. 3．在△ABC 中，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( )A.53B.54C.55D.56答案 B解析 由正弦定理得a b ＝sin A sin B ，∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52.又A ＝2B ，∴sin2B sin B ＝52，∴cos B ＝54. 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定答案 A解析 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，又C ＝120°，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，∴a 2＝b 2＋ab ＞b 2，∴a ＞b ，故选A.5．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B．(－∞，0) C ．(－12，0) D ．(12，＋∞)答案 D解析 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk (m >0)， ∵⎩⎨⎧a ＋b >ca ＋c >b即⎩⎨⎧mk ＋mk3mk >m k ＋，∴k >12.6．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )A.922 B.924 C.928D ．9 2 答案 C解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13，∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924，R ＝928. 7．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形答案 B解析 ∵sin A ＝sin C 且A 、C 是三角形内角， ∴A ＝C 或A ＋C ＝π(舍去)． ∴△ABC 是等腰三角形．8．在锐角△ABC 中，BC ＝1，∠B ＝2∠A ，则AC 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．(0,2]D ．(2，3) 答案 D解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0＜π－3∠A ＜π2，0＜2∠A ＜π2⇒π6＜∠A ＜π4， 由正弦定理AC sin B ＝BCsin A 得AC ＝2cos A .∵∠A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4，∴AC ∈(2，3)．9．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 答案 D 解析 A 中，因a sin A＝b sin B，所以sin B ＝16×sin30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解；B 中，sinC ＝20sin60°18＝539，且c >b ，∴C >B ，故有两解；C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，即有解； 故A 、B 、C 都不正确．用排除法应选D.10．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A.21B.106C.69D.154 答案 B解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos∠AMB ，即72＝14a2＋42－2×a2×4·cos∠AMB①在△ACM中，AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos∠AMC即62＝42＋14a2＋2×4×a2·cos∠AMB②①＋②得：72＋62＝42＋42＋12a2，∴a＝106.二、填空题11．已知△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则cos C的大小是________．答案1 3解析由3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，得c2＝a2＋b2－23 ab.根据余弦定理，得cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－a2－b2＋23ab2ab＝13，所以cos C＝13.12．在△ABC中，若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________.答案2π3解析由已知3sin A＝5sin B，利用正弦定理可得3a＝5b.由3a＝5b，b＋c＝2a，利用余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝－12.C∈(0，π)，C＝23π.13．在△ABC中，已知cos A＝35，cos B＝513，b＝3，则c＝________.答案14 5解析在△ABC中，∵cos A＝35>0，∴sin A＝45.∵cos B＝513>0，∴sin B＝1213.∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知bsin B ＝csin C，∴c＝b sin Csin B＝3×56651213＝145.14．太湖中有一小岛C，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km到达B处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.答案3 6解析如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1 (km)．由正弦定理得BC sin∠CAB ＝ABsin∠ACB，∴BC＝1sin60°·sin15°＝6－223(km)．设C到直线AB的距离为d，则d＝BC·sin75°＝6－223·6＋24＝36(km)．三、解答题15．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝3 5 .(1)若b＝4，求sin A的值；(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．解(1)∵cos B＝35>0，且0<B<π，∴sin B＝1－cos2B＝4 5 .由正弦定理得a sin A ＝bsin B，sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25. (2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.16.如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．解 设我艇追上走私船所需时间为t 小时，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中， 由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°， 根据余弦定理知(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos120°， ∴t ＝2(t ＝－34舍去)．答 我艇追上走私船所需要的时间为2小时． 17．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A＝26sin2A. 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝539.所以c＝a sin Csin A＝5.18．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积．(1)证明∵m∥n，∴a sin A＝b sin B，即a·a2R＝b·b2R，其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)解由题意知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S△ABC＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。
整理人教A版数学必修五第一章 解三角形导学案
人教A 版数学必修五第一章解三角第一章選舉類別第一節︰規管選舉及投票制度的法例第二節︰報告的範圍第一節︰規管選舉及投票制度的法例1.1 為組成立法會而須舉行的選舉，以及選舉應如何進行，是由兩條法例規定，即《立法會條例》及《選舉管理委員會條例》(以下簡稱「《選管會條例》」)。
(A) 《立法會條例》1.2 根據《立法會條例》第4(3)條，香港特別行政區行政長官(以下簡稱「行政長官」) 指定第二屆立法會的任期於二零零零年十月一日開始，並藉二零零零年一月二十一日的憲報公告，指定舉行選舉委員會界別分組選舉的日期是二零零零年七月九日，及舉行換屆選舉的日期則為二零零零年九月十日。
1.3 第二屆立法會須有60名議員，以下述方式選出︰(a) 五個地方選區共選出24名議員；(b) 在28個功能界別中，除勞工界功能界別選出三名議員外，其餘27個功能界別各選出議員一名；及(c) 選舉委員會選出六名議員。
1.4 《立法會條例》就各選區或選舉界別(即地方選區和功能界別)及選舉委員會作出詳細規定。
地方選區一如其名，是以地區為基礎的。
每個選區分界的劃定由選舉管理委員會(以下簡稱「選管會」或「委員會」)建議(見本報告第二章)。
28個功能界別及其選民的資格詳列在《立法會條例》第20、20A至20ZB及25條。
選舉委員會由不超過800名委員組成，他/她們是由38個界別分組組成的四個界別的代表。
這四個界別和38個界別分組及其成員載於《立法會條例》附表2 (見第三章第3.4段)。
1.5 不同選區、選舉界別、選舉委員會和界別分組的選舉各有不同的投票制度，詳情如下︰(a) 地方選區選舉—比例代表名單投票制(《立法會條例》第49條)；(b) 《立法會條例》第50條(附錄一)所指明的特別功能界別(即鄉議局功能界別、漁農界功能界別、保險界功能界別及航運交通界功能界別)的選舉—按選擇次序淘汰投票制；以及(c) 《立法會條例》第20(1)(e)至(zb)條(附錄一) 所指明的24個功能界別的選舉、選舉委員會選舉及界別分組選舉—得票最多者當選投票制(《立法會條例》第51及52條)。
高中数学第一章解三角形章末复习提升学案新人教A版必修5
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CD2＝ BC2＋BD2－ 2BC·BD· cos 120 ° .
＝
(21
－
9t
)
2＋
(6
t
)
2－
2(21
－
9t
)
·６t
·(
－
1 2)
＝ 63t 2－ 252t ＋441
＝
63(
t
－
2)
2
＋
189.
∴当 t ＝ 2 时， CD取得最小值 189＝ 3 21.
7
7
当 t ＝3时， C与 B 重合，此时 CD＝6× 3＝ 14>3 21.
1.5 km/s.
(1) 设 A 到 P 的距离为 x km，用 x 表示 B，C到 P的距离，并求 x 的值；
(2) 求静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离 ( 精确到 0.01 km) ．
解 (1) 由题意得 PA－ PB＝1.5 ×8＝ 12(km) ，PC－ PB＝ 1.5 × 20＝ 30(km) ．
a2 sin Acos B ∴ b2＝cos Asin B ，
a2 sin2A 又由正弦定理可得 b2＝ sin2B，
sin Acos B sin2A ∴ cos Asin B ＝sin2B ，
cos B sin A ∴ cos A ＝ sin B ，∴ sin 2 A＝ sin 2 B. 又∵ A∈(0 ，π ) ， B∈ (0 ，π ) ，
3x＋32 72－x
132
∴ 5x ＝ 3x ，解得 x＝ 7 .
(2) 作 PD⊥ a 于 D，
在 Rt △ PDA中，
PD＝ PAcos ∠ APD
132
3x＋32 3× 7 ＋32
人教版高中数学必修5：第一章 解三角形(课堂同步教学课件+学案+练习+单元检测,10份)第一章 解三角形
_1.1正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理[提出问题]如图，在Rt △ABC 中，A ＝30°，斜边c ＝2，问题1：△ABC 的其他边和角为多少？ 提示：∠B ＝60°，∠C ＝90°，a ＝1，b ＝ 3.问题2：试计算a sin A ，b sin B ，c sin C 的值，三者有何关系？提示：a sin A ＝2，b sin B ＝3sin 60°＝2，csin C ＝2，三者的值相等．问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？提示：是．如图sin A ＝a c ，∴a sin A ＝c .sin B ＝bc ，∴b sin B＝c . ∵sin C ＝1，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C.问题4：在钝角△ABC 中，B ＝C ＝30°，b ＝3，试求其他边和角． 提示：如图，△ACD 为直角三角形，∠C ＝30°AC ＝3，则AD ＝32，CD ＝32， BC ＝3.AB ＝3，∠BAC ＝120°.问题5：问题4中所得数字满足问题3中的结论吗？ 提示：满足．问题6：若是锐角三角形上述结论还成立吗？提示：都成立． [导入新知] 1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 2．解三角形一般地，把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．[化解疑难]对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化．[例1] 在△ABC [解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°. 由b sin B ＝asin A得， b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46，由a sin A ＝c sin C 得，c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)． ∴A ＝45°，b ＝46，c ＝4(3＋1)． [类题通法]已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角． (2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．[活学活用]1．在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形． 解：∵A ＝45°，C ＝30°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°. 由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. 由b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°， ∵sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45° ＝2＋64， ∴b ＝20×2＋64＝52＋5 6.[例2] 在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解这个三角形． [解] ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1； 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°. [类题通法]已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[活学活用]2．在△ABC 中，若c ＝6，C ＝π3，a ＝2，求A ，B ，b .解：由a sin A ＝c sin C ，得sin A ＝a sin C c ＝22.∴A ＝π4或A ＝34π.又∵c ＞a ，∴C ＞A ， ∴只能取A ＝π4，∴B ＝π－π3－π4＝5π12，b ＝c sin Bsin C＝6·sin 5π12sinπ3＝3＋1.[例3] 在△ABC sin A ＝2sin B ·cos C ．试判断△ABC 的形状． [解] 由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R. ∵sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ， ∴⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2， 即a 2＝b 2＋c 2，故A ＝90°. ∴C ＝90°－B ，cos C ＝sin B . ∴2sin B ·cos C ＝2sin 2 B ＝sin A ＝1. ∴sin B ＝22.∴B ＝45°或B ＝135°(A ＋B ＝225°＞180°，故舍去)． ∴△ABC 是等腰直角三角形． [类题通法]1．判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．2．判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．[活学活用]3．在△ABC 中，若b ＝a cos C ，试判断该三角形的形状． 解：∵b ＝a cos C ，a sin A ＝bsin B ＝2R .(2R 为△ABC 外接圆直径)∴sin B ＝sin A ·cos C .∵B ＝π－(A ＋C )，∴sin (A ＋C )＝sin A ·cos C . 即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A ·cos C ， ∴cos A sin C ＝0，∵A 、C ∈(0，π)，∴cos A ＝0，∴A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．1.警惕三角形中大边对大角[典例] 在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝2，A ＝60°，则 B ＝________.[解析] 由正弦定理，得sin B ＝b ×sin A a ＝2×sin 60°23＝12.∵0°＜B ＜180°，∴B ＝30°，或B ＝150°.∵b ＜a ，根据三角形中大边对大角可知B ＜A ，∴B ＝150°不符合条件，应舍去，∴B ＝30°.[答案] 30° [易错防范]1．由sin B ＝12得B ＝30°，或150°，而忽视b ＝2＜a ＝23，从而易出错．2．在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍． [成功破障]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B, C 所对应的边，且b ＝6，a ＝23，A ＝30°，求ac 的值. 解：由正弦定理a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32.由条件b ＝6，a ＝23，b ＞a 知B ＞A . ∴B ＝60°或120°.(1)当B ＝60°时，C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°.在Rt △ABC 中，C ＝90°，a ＝23，b ＝6，c ＝43， ∴ac ＝23×43＝24.(2)当B ＝120°时，C ＝180°－A －B ＝180°－30°－120°＝30°， ∴A ＝C ，则有a ＝c ＝2 3. ∴ac ＝23×23＝12.[随堂即时演练]1．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )A ．43B ．2 3 C. 3D.32解析：选B 由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.2．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37 D.57答案：A3．在△ABC 中，若(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝sin 2 C ，则△ABC 是________三角形． 解析：由已知得sin 2 A －sin 2 B ＝sin 2 C ，根据正弦定理知sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，所以⎝⎛⎭⎫a 2R 2－⎝⎛⎭⎫b 2R 2＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2，即a 2－b 2＝c 2，故b 2＋c 2＝a 2.所以△ABC 是直角三角形． 答案：直角4．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．解析：由正弦定理可知sin B ＝b sin Aa ＝3sin π33＝12，所以∠B ＝π6或5π6(舍去)，所以∠C ＝π－∠A －∠B ＝π－π3－π6＝π2.答案：π25．不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a ＝5，b ＝4，A ＝120°； (2)a ＝7，b ＝14，A ＝150°； (3)a ＝9，b ＝10，A ＝60°.解：(1)sin B ＝b sin 120°a ＝45×32＜32，所以△ABC 有一解．(2)sin B ＝b sin 150°a＝1，所以△ABC 无解．(3)sin B ＝b sin 60°a ＝109×32＝539，而32＜539＜1，所以当B 为锐角时，满足sin B ＝539的B的取值范围为60°＜B ＜90°.当B 为钝角时，有90°＜B ＜120°，也满足A ＋B ＜180°，所以△ABC 有两解．[课时达标检测]一、选择题1．在△ABC 中，下列式子与sin Aa的值相等的是( ) A.b c B.sin B sin A C.sin C cD.c sin C解析：选C 由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，所以sin A a ＝sin C c. 2．(2013·浏阳高二检测)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A 、B 的大小关系不确定解析：选A ∵sin A >sin B ，∴2R sin A >2R sin B ，即a >b ，故A >B .3．一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是46，那么120°角所对边长是( )A ．4 B.12 3 C ．4 3D ．12解析：选D 若设120°角所对的边长为x ，则由正弦定理可得：x sin 120°＝46sin 45°，于是x ＝46·sin 120°sin 45°＝46×3222＝12，故选D.4．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba ＝( )A ．2 3 B.2 2 C. 3D. 2解析：选D 由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， 即sin B ·(sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 所以sin B ＝2sin A ．∴b a ＝sin B sin A＝ 2.5．以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是( ) A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在△ABC 中，asin A ＝b ＋c sin B ＋sin C解析：选B 由正弦定理易知A ，C ，D 正确．对于B ，由sin 2A ＝sin 2B ，可得A ＝B ，或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2，∴a ＝b ，或a 2＋b 2＝c 2，故B 错误. 二、填空题6．在△ABC 中，若a ＝14，b ＝76，B ＝60°，则C ＝________. 解析：由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，又a ＝14，b ＝76，B ＝60°，∴sin A ＝a sin B b ＝14sin 60°76＝22，∵a ＜b ，∴A ＜B ，∴A ＝45°，∴C ＝180°－(B ＋A )＝180°－(60°＋45°)＝75°. 答案：75°7．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________.解析：A ＝180°－B －C ＝30°，由正弦定理得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ， 即a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120° ＝1∶1∶ 3. 答案：1∶1∶ 38．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝________.解析：由正弦定理，得 sin C ＝AB ·sin ABC＝5sin 120°7＝5314.可知C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1114.∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314.答案：3314三、解答题9．(2011·安徽高考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．解：由1＋2cos(B ＋C )＝0和B ＋C ＝π－A ，得 1－2cos A ＝0，所以cos A ＝12，sin A ＝32. 再由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝22.由b <a 知B <A ，所以B 不是最大角，B <π2，从而cos B ＝1－sin 2B ＝22. 由上述结果知sin C ＝sin(A ＋B )＝22×(32＋12)＝6＋24. 设边BC 上的高为h ，则有h ＝b sin C ＝3＋12. 10．在△ABC 中，已知a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A ，试数列△ABC 的形状．解：∵a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A ，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，∴4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2 B sin Acos A .又∵sin A sin B ≠0， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ， ∴2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π， 即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.故△ABC 是等腰三角形或直角三角形．1．1.2 余弦定理[提出问题]在△ABC 中，若AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. 问题1：这个三角形确定吗？ 提示：确定．问题2：你能利用正弦定理求出BC 吗？ 提示：不能问题3：能否利用平面向量求边BC ？如何求得？ 提示：能．∵＝＋ ∴2＝2＋2＋2· ＝2＋2－2cos A＝4＋9－2×2×3cos 60° ＝7 ∴＝7问题4：利用问题3的推导方法，能否推导出用b ，c ，A 表示a? 提示：能． [导入新知] 余弦定理[化解疑难]对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．[例1] 在△[解] 由于a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，可设a ＝x ，b ＝3x ，c ＝2x .由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3x 2＋4x 2－x 22×3x ×2x ＝32，故A ＝30°.同理可求得cos B ＝12，cos C ＝0，所以B ＝60°，C ＝90°.[类题通法]已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角． [活学活用]1．边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角的和是________．解析：设中间角为θ，由于8＞7＞5，故θ的对边的长为7，由余弦定理，得cos θ＝52＋82－722×5×8＝12.所以θ＝60°，故另外两角和为180°－60°＝120°. 答案：120°[例2] [解] 由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝82＋[4(3＋1)]2－2×8×4(3＋1)·cos 60° ＝64＋16(4＋23)－64(3＋1)×12＝96，∴b ＝4 6.法一：由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝96＋16(3＋1)2－642×46×4(3＋1)＝22，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝45°.故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°. 法二：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，∴8sin A ＝46sin 60°，∴sin A ＝22，∵b ＞a ，c ＞a ， ∴a 最小，即A 为锐角． 因此A ＝45°.故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°. [类题通法]已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好．[活学活用]2．在△ABC ，已知a ＝22，b ＝23，C ＝15°，解此三角形．解：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(22)2＋(23)2－2×22×23×cos(45°－30°) ＝8－4 3 ＝(6－2) 2 ∴c ＝6－ 2.法一：由余弦定理的推论得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝(23)2＋(6－2)2－(22)22×23×(6－2)＝22.∵0°＜A ＜180°， ∴A ＝45°， 从而B ＝120°. 法二：由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝22×6－246－2＝22.∵a ＜b ， ∴A ＜B ， 又0°＜A ＜180°， ∴A 必为锐角，∴A ＝45°，从而得B ＝120°.[[解] 法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°， ∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理得 sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°.法二：由b ＜c ，B ＝30°，b ＞c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°，当C ＝60°时，A ＝90°，△ABC 为直角三角形． 由勾股定理得a ＝b 2＋c 2＝32＋(33)2＝6， 当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形， ∴a ＝3. [类题通法]已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边．[活学活用]3．已知：在△ABC 中，cos A ＝35，a ＝4，b ＝3，则c ＝________.解析：A 为b ，c 的夹角，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴16＝9＋c 2－6×35c ，整理得5c 2－18c －35＝0. 解得c ＝5或c ＝－75(舍)．答案：5[例4] 在△ABC [解] 由余弦定理可得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ·a 2＋b 2－c 22ab等式两边同乘以2abc 得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＝c 2(a 2＋b 2－c 2)， 整理化简得a 4＋b 4－2a 2b 2＝c 4， ∴(a 2－b 2)2＝c 4.因此有a 2－b 2＝c 2或b 2－a 2＝c 2. 即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2故△ABC 为直角三角形． [类题通法]判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状．[活学活用]4．在△ABC 中，若cos A ＝sin Bsin C ，试判断其形状．解：由cos A ＝sin B sin C 得cos A ＝bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2， 因此△ABC 是以C 为直角的直角三角形．1.利用正、余弦定理求解平面图形中线段长[典例]如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA＝60°，∠BCD ＝135°，求出BC 的长．[解题流程][规范解答]设BD ＝x .在△ABD 中，根据余弦定理，AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ，∴142＝102＋x 2－2×10×x cos 60°，即x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，∴BD ＝16. ∵AD ⊥CD ，∠BDA ＝60°，∴∠CDB ＝30°. 在△BCD 中，由正弦定理，BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2.[名师批注]将四边形ABCD 分解为两个△ABD 和△BCD ，利用余弦定理列出关于x 的一元二次方程，化简方程时易出错，应注意步骤及计算的准确性．由AD ⊥CD ，∠BDA ＝60°得∠CDB ＝30°，学生有时不易想到．[活学活用]如图所示，在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB . 解：在△ADC 中，cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22·AC ·DC ＝72＋32－522×7×3＝1114.又∵0°＜C ＜180°，∴sin C ＝5314.在△ABC 中，AC sin B ＝AB sin C， ∴AB ＝sin C sin B ·AC ＝5314·2·7＝562.[随堂即时演练]1．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c 的值为( ) A ．4 B ．8 C ．4或8D ．无解解析：选C 由3a ＝3b ＝12，得a ＝4，b ＝43，利用余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即16＝48＋c 2－12c ，解得c ＝4或c ＝8.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c 2－a 2－b 22ab ＞0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析：选C 由c 2－a 2－b 22ab＞0得－cos C ＞0，所以cos C ＜0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．3．(2012·陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________.解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝4，所以b ＝2. 答案：24．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，则最大的角是________． 解析：∵a ＞c ＞b ，∴A 为最大角． cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12，又∵0°＜A ＜180°， ∴A ＝120°. 答案：120°5．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求第三边c 的长．解：5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)(x ＋2)＝0. ∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)．∴cos C ＝35.根据余弦定理， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4.[课时达标检测]一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( )A ．1 B.2 C.3－1D. 3解析：选B 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－c －2＝0，解得c ＝2或c ＝－1(舍去)． 2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B.－16C ．－17D ．－18解析：选C 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.3．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则此三角形一定是( )A ．直角三角形 B.等边三角形 C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形解析：选B 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－ac ， 又∵b 2＝ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c . ∵B ＝60°， ∴A ＝C ＝60°.故△ABC 是等边三角形．4．(2013·宁阳高二检测)在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B.等腰三角形 C ．直角三角形D ．锐角三角形解析：选B 因为b cos A ＝a cos B ， 所以b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac .所以b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2. 所以a 2＝b 2.所以a ＝b .故此三角形是等腰三角形．5．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B.60° C ．75°D ．90° 解析：选C 由题意可知c ＜b ＜a ，或a ＜b ＜c ， 不妨设c ＝2x ，则a ＝(3＋1)x ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac.即12＝(3＋1)2x 2＋4x 2－b 22·(3＋1)x ·2x∴b 2＝6x 2.∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝(3＋1)2x 2＋6x 2－4x 22(3＋1)x ·6x ＝22，∴C ＝45°，∴A ＝180°－60°－45°＝75°. 二、填空题6．(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________解析：∵(a ＋b )2－c 2＝ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，C ＝2π3.答案：2π37．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为________．解析：由余弦定理可得49＝AC 2＋25－2×5×AC ×cos 120°，整理得： AC 2＋5·AC －24＝0，解得AC ＝3或AC ＝－8(舍去)， 再由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝35.答案：358．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则C 的大小是________．解析：因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，设a ＝3k (k ＞0)，则b ＝5k ，c ＝7k ，由余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0°＜C ＜180°，所以C ＝120°.答案：120° 三、解答题9．在△ABC 中，若已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，并且sin C ＝2sin B cos A ，试判断△ABC 的形状．解：由正弦定理，可得sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.代入sin C ＝2sin B cos A ，得c ＝2b ·b 2＋c 2－a 22bc .整理得 a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 所以a 2＋b 2－c 2＝ab ， 即cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.故C ＝π3.又a ＝b ，所以△ABC 为等边三角形．10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C (1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求bc 的值．解：(1)根据正弦定理 2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ⇒ 2cos A sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin (A ＋C )＝sin B ， ∵sin B ≠0， ∴cos A ＝12，∵0°＜A ＜180°， ∴A ＝60°. (2)由余弦定理得： 7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60° ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， 把 b ＋c ＝4代入得bc ＝3，故bc ＝3._1.2应用举例1.2.1 正、余弦定理在实际中的应用[提出问题]李尧出校门向南前进200米，再向东走了200米，回到自己家中． 问题1：李尧家在学校的哪个方向？ 提示：东南方向．问题2：能否用角度再进一步确定其方位？ 提示：可以，南偏东45°或东偏南45°. [导入新知]实际测量中的有关名称、术语[化解疑难]解三角形实际问题的一般步骤，在弄清题意的基础上作出示意图，在图形中分析已知三角形中哪些元素，需求哪些量．用正、余弦定理解三角形是解题的关键环节．[例1] 如图，为了测量河对岸的塔高AB ，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 和D ，测得CD ＝200米，在C 点和D 点测得塔顶A 的仰角分别是45°和30°，且∠CBD ＝30°，求塔高AB .[解] 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，若设AB ＝h ，则BC ＝h ；在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，则BD ＝ 3 h .在△BCD 中，由余弦定理可得CD 2＝BC 2＋BD 2－2·BC ·BD ·cos ∠CBD ， 即2002＝h 2＋(3h )2－2·h ·3h ·32，所以h 2＝2002，解得h ＝200(h ＝－200舍去) 即塔高AB ＝200米． [类题通法]测量高度问题的要求及注意事项(1)依题意画图是解决三角形应用题的关键，问题中，如果既有方向角(它是在水平面上所成的角)，又有仰(俯)角(它是在铅垂面上所成的角)，在绘制图形时，可画立体图形和平面图形两个图，以对比分析求解；(2)方向角是相对于在某地而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一点的方向角．从这个意义上来说，方向角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活，否则在理解题意时将可能产生偏差．[活学活用]1.如图，A 、B 是水平面上两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角是25°，∠BAD ＝110°，又在点B 测得∠ABD ＝40°，其中D 点是点C在水平面上的垂足．求山高CD (精确到1 m)．解：在△ABD 中，∠ADB ＝180°－110°－40°＝30°， 由正弦定理得AD ＝AB sin B sin ∠ADB ＝800×sin 40°sin 30°≈1 028.5(m)，在Rt △ACD 中，CD ＝AD tan 25° ≈480(m)．答：山高约为480 m.[例2] 如图，在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 处2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？[解] 设缉私船用t h 在D 处追上走私船， 则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°， ∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120° ＝6， ∴BC ＝6，且sin ∠ABC ＝AC BC ·sin ∠BAC ＝26·32＝22.∴∠ABC ＝45°. ∴BC 与正北方向垂直． ∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBDCD＝10t sin 120°103t＝12， ∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船． [类题通法]解决追及问题的步骤(1)把实际问题转化为数学问题；(2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离，这样借助于正弦定理或余弦定理，就容易解决问题了；(3)最后把数学问题还原到实际问题中去． [活学活用]2.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A 处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以103海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．解：在△ABC 中，根据余弦定理，有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°， 可得(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°， 整理得2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)．舰艇需1小时靠近货船． 此时AB ＝103，BC ＝10， 又AC ＝10，所以∠CAB ＝30°， 所以护航舰航行的方位角为75°.1.探究距离测量问题测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达．解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．【角度一】 两点不相通的距离如图所示，要测量一水塘两侧A 、B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离．即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，试计算AB 长． 解：在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000. ∴AB ＝2007 m.即A 、B 两点间的距离为2007 m.【角度二】 两点间可视但有一点不可到达如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出AB 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出AC 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60 m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A 、B 两点间的距离为________． 解析：∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°， 所以由正弦定理得，AB sin C ＝AC sin B ，∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)．即A 、B 两点间的距离为20 6 m. 答案：20 6 m【角度三】 两点都不可到达如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，测出AB 的距离，其方法测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A ，B 两点间的距离．解：∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°， ∴AC ＝DC ＝32. 在△BCD 中，∠DBC ＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64.在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38. ∴AB ＝64(km)． ∴A ，B 两点间的距离为64km.[随堂即时演练]1．若P 在Q 的北偏东44°50′方向上，则Q 在P 的( ) A ．东偏北45°10′方向上 B ．北偏东45°50′方向上 C ．南偏西44°50′方向上D ．西偏南45°50′方向上解析：选C 如图所示，点Q 在点P 的南偏西44°50′的方向上．2．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 海里 B.1063 海里C ．5 2 海里D ．5 6 海里解析：.选D 如图，C ＝180°－60°－75°＝45°，AB ＝10，由正弦定理得10sin 45°＝BCsin 60°，∴BC ＝56(海里)，故选D.3.如图，线段AB 、CD 分别表示甲、乙两楼，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C 处的仰角为α＝30°，测得乙楼底部D 的俯角β＝60°，已知甲楼高AB ＝24米，则乙楼高CD ＝________米．解析：过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，ED ＝AB ＝24米，则AE ＝ED tan 60°＝243＝83(米)在Rt △ACE 中，CE ＝AE ·tan 30°＝83·33＝8(米)∴CD ＝CE ＋ED ＝8＋24＝32(米) 答案：324.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，AB ＝120米，则河的宽度为________．解析：如图∠ACB ＝180°－45°－75°＝60°， 在△ABC 中，AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠CAB .∴BC ＝120·sin 45°sin 60°＝12023，河宽为BC sin ∠CBA ＝12023sin 75°＝20(3＋3)米.答案：20(3＋3)米5.如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度由B 向C 航行，航行的方位角是140°.A 处有一灯塔，其方位角是110°，在C 处观察灯塔A 的方位角是35°，由B 到C 需航行半个小时，求C 到灯塔A 的距离．解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20(km)，∠ABC ＝140°－110°＝30°， ∠ACB ＝(180°－140°)＋35°＝75°， ∴∠BAC ＝75°.由正弦定理，得AC sin 30°＝BC sin 75°，∴AC ＝BC sin 30°sin 75°＝10sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝406＋2＝10(6－2)(km)． 答：C 到灯塔A 的距离为10(6－2) km.[课时达标检测]一、选择题1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( ) A ．α＞β B.α＝β C ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°解析：选B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B.2．两灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km)，灯塔A 在C 北偏东30°，B 在C 南偏东60°，则A ，B 之间距离为( )A.2a kmB.3a km C ．a kmD ．2a km解析：选A △ABC 中，AC ＝BC ＝a ，∠ACB ＝90°， AB ＝2a .3．有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )A ．5 B.10 C ．10 2D ．10 3解析：选C 如图，设将坡底加长到B ′时，倾斜角为30°，在△ABB ′中，利用正弦定理可求得BB ′的长度．在△ABB ′中，∠B ′＝30°，∠BAB ′＝75°－30°＝45°，AB ＝10 m ， 由正弦定理，得BB ′＝AB sin 45°sin 30°＝10×2212＝102(m)．∴坡底延伸10 2 m 时，斜坡的倾斜角将变为30°.4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762海里/小时B.346海里/小时C.1722海里/小时D ．342海里/小时解析：选A 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝68×32＝346，∴v ＝MN 4＝1726(海里/小时)．5.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，则乙船每小时航行( )A ．102海里 B.202海里 C ．30海里D ．302海里解析：选D 如图，连结A 1B 2，在△A 1A 2B 2中，易知∠A 1A 2B 2＝60°，又易求得A 1A 2＝302×13＝102＝A 2B 2，∴△A 1A 2B 2为正三角形， ∴A 1B 2＝10 2.在△A 1B 1B 2中，易知∠B 1A 1B 2＝45°，∴B 1B 22＝400＋200－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝102，∴乙船每小时航行302海里． 二、填空题6．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地距离为________km.解析：如右图所示，由题意可知AB ＝33，BC ＝2，∠ABC ＝150°.由余弦定理，得AC 2＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49， AC ＝7.则A ，C 两地距离为7 km. 答案：77．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x ＝________.解析：如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知：x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin 45°sin 60°＝1063(cm)．答案：1063cm8．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30 n mile 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为________ n mile.解析：如图所示，B 是灯塔，A 是船的初始位置，C 是船航行后的位置， 则BC ⊥AD ，∠DAB ＝30°， ∠DAC ＝60°，则在Rt △ACD 中，DC ＝AC sin ∠DAC ＝30sin 60°＝15 3 n mile ， AD ＝AC cos ∠DAC ＝30cos 60°＝15 n mile ， 则在Rt △ADB 中，DB ＝AD tan ∠DAB ＝15tan 30°＝5 3 n mile ， 则BC ＝DC －DB ＝153－53＝10 3 n mile. 答案：10 3 三、解答题9．海岛O 上有一座海拔1 000米的山，山顶上设有一个观察站A ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东60°的C 处，俯角30°，11时10分，又测得该船在岛的北偏西60°的B 处，俯角60°.则该船的速度为每小时多少千米？解：如图所示，设观察站A 在水平面上的射影为O ，依题意OB ＝OA ·tan 30°＝33(千米)，OC ＝OA ·tan 60°＝ 3(千米)， 则BC ＝ OB 2＋OC 2－2OB ·OC ·cos 120°＝133(千米)． ∴船速v ＝133÷1060＝239(千米/小时)． 10．甲船在A 处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶多少海里．解：设甲沿直线与乙船同时到C 点， 则A 、B 、C 构成一个△ABC ， 如图，设乙船速度为v ，则甲船速度为3v ，到达C 处用时为t . 由题意BC ＝v t ，AC ＝3v t ，∠ABC ＝120°. 在△ABC 中， 由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120°， ∴3v 2t 2＝a 2＋v 2t 2＋a v t . ∴2v 2t 2－a v t －a 2＝0， 解得v t ＝－a2(舍)或v t ＝a .∴BC ＝a ，在△ABC 中AB ＝BC ＝a ， ∴∠BAC ＝∠ACB ＝30°.答：甲船应取北偏东30°的方向去追乙，此时乙船行驶a 海里．1．2.2 正、余弦定理在三角形中的应用[提出问题]在△ABC 中，若AC ＝3，BC ＝4，问题1：△ABC 的高AD 为多少？ 提示：AD ＝AC ·sin C ＝3×sin 60°＝332. 问题2：△ABC 的面积为多少？提示：S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×4×332＝3 3.问题3：若AC ＝b ，BC ＝a ，你发现△ABC 的面积S 可以直接用a ，b ，C 表示吗？ 提示：能．S ＝12ab sin C .[导入新知] 三角形的面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .[化解疑难]三角形的面积公式S ＝12ab sin C 与原来的面积公式S ＝12a ·h (h 为a 边上的高)的关系为：h ＝b sin C ，实质上b sin C 就是△ABC 中a 边上的高．[例1] 在△ABC [解] 由正弦定理知AB sin C ＝AC sin B ，即23sin 120°＝2sin B ， 所以sin B ＝12，由于AB ＞AC ， 所以C ＞B ，故B ＝30°. 从而A ＝180°－120°－30°＝30°. 所以△ABC 的面积 S ＝12AB ·AC ·sin A ＝12·23·2·sin 30°[类题通法]1．求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值．2．事实上，在众多公式中，最常用的公式是S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式．[活学活用]1．(1)在△ABC 中，若A ＝60°，b ＝16，S △ABC ＝643，则c ＝________. (2)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝2，c ＝4，则其面积等于________． 解析：(1)由已知得S △ABC ＝12·bc ·sin A ，即643＝12×16×c ×sin 60°，解得c ＝16.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋16－92×2×4＝1116，所以sin A ＝1－cos 2 A ＝31516，于是S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×31516＝3154.答案：(1)16 (2)3154[例2] 在△ABC 中，求证：a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.[解] 法一：左边＝a －c (a 2＋c 2－b 2)2acb －c (b 2＋c 2－a 2)2bc ＝a 2－c 2＋b 22a ·2b b 2－c 2＋a 2＝b a ＝2R sin B 2R sin A ＝sin B sin A ＝右边， 其中R 为△ABC 外接圆的半径． ∴a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 法二：左边＝sin A －sin C cos Bsin B －sin C cos A＝sin (B ＋C )－sin C ·cos B sin (A ＋C )－sin C ·cos A＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B sin A ＝右边，(cos C ≠0) ∴a －c ·cos B b －c ·cos A ＝sin B sin A . [类题通法]解决此类问题，既要用到三角形中特有的恒等变形公式，又要用到任意角三角函数的恒等变形公式，两者要结合，灵活运用．三角形边和角的相互转换公式，主要是正弦定理、余弦定理这两个定理，因此这类题型都可用不同的途径求解．[活学活用]2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，求证：a b －ba ＝c ⎝⎛⎭⎫cos Bb －cos A a . 证明：由余弦定理的推论得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，代入等式右边，得右边＝c ⎝⎛⎭⎫a 2＋c 2－b 22abc －b 2＋c 2－a 22abc ＝2a 2－2b 22ab ＝a 2－b 2ab ＝a b －ba ＝左边， ∴ab －ba ＝c ⎝⎛⎭⎫cos B b－cos A a .[例3] (2012·c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C .(1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c . [解] (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ， 得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1， 即cos(B ＋C )＝－13，从而cos A ＝－cos(B ＋C )＝13.(2)由于0<A <π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.[类题通法]解决三角形的综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数、三角恒等变换、方程等知识．因此，掌握正、余弦定理，三角函数的公式和性质是解题关键．。
2019高中数学 第一章 解三角形 阶段复习课 第1课 解三角形学案 新人教A版必修5
(1)公式表达： a sin A sin B sin C ＝2R .2R 2R 2R④ a ＋b ＋c ＝ a ＝ b ＝ c2bc ，cos B ＝ 2ac 2ab .(1)S ＝ ah (h 表示边 a 上的高)；(2)S ＝ bc sin A ＝ ac sin B ＝ ab sin C ；(3)S ＝ r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．第一课 解三角形[核心速填]1．正弦定理b c＝ ＝(2)公式变形：①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；a b c②sin A ＝ ，sin B ＝ ，sin C ＝ ；③a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；sin A ＋sin B ＋sin C sin A sin B sin C ＝2R .2．余弦定理(1)公式表达：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .b 2＋c 2－a 2 a 2＋c 2－b 2 a 2＋b 2－c 2 (2)推论：cos A ＝ ，cos C ＝ 3．三角形中常用的面积公式121 1 12 2 212[体系构建](2)若△ABC 的面积 S ＝ ，求角 A 的大小.(2)由 S ＝ ，得 ab sin C ＝ ，故有sin B sin C ＝ sin 2B ＝sin B cos B ，当 B ＋C ＝ 时，A ＝ ；当 C －B ＝ 时，A ＝ .综上，A ＝ 或 A ＝ .[题型探究]利用正、余弦定理解三角形在△ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c .已知 b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；a 24【导学号：91432090】[解] (1)证明：由正弦定理得 sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故 2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是 sin B ＝sin(A －B )．又 A ，B ∈(0，π )，故 0<A －B <π ，所以，B ＝π －(A －B )或 B ＝A －B ，因此 A ＝π (舍去)或 A ＝2B ，所以 A ＝2B .a 2 1 a 24 2 412因为 sin B ≠0，所以 sin C ＝cos B ，又 B ，C ∈(0，π )，所以 C ＝ π2±B .π π2 2π π2 4π π2 41．如图11，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，CD＝2，cos∠ADC＝.因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.＝43727214 AB sin∠BAD14sin∠ADB432[规律方法]解三角形的一般方法：,(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.[跟踪训练]π137图11(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．[解](1)在△ADC中，17437所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADC cos B－cos∠ADC sin B11333×－×＝.(2)在△ABD中，由正弦定理，得338×BD＝＝＝3.7在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B1＝82＋52－2×8×5×＝49.sin C ＋ cos C ＝1.＝a ＋c －2accos 60°，⎝ 2 ⎭展开整理得 3 2 ，⎪所以 AC ＝7.判断三角形的形状在△ABC 中，若 B ＝60°，2b ＝a ＋△c ，试判断 ABC 的形状．思路探究：利用正弦定理将已知条件中边的关系，转化为角的关系求角或利用余弦定理，由三边之间的关系确定三角形的形状．[解] 法一：(正弦定理边化角)由正弦定理，得 2sin B ＝sin A ＋sin C .∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°.∴2sin 60°＝sin(120°－C )＋sin C .12 2∴sin(C ＋30°)＝1.∵0°<C <120°，∴C ＋30°＝90°.∴C ＝60°，则 A ＝60°.∴△ABC 为等边三角形．法二：(余弦定理法)由余弦定理，得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .a ＋c∵B ＝60°，b ＝∴⎛a ＋c ⎫2 2 2 化简得(a －c )2＝0.∴a ＝c .又 B ＝60°，∴a ＝b ＝c .∴△ABC 为等边三角形．[规律方法 ] 根据已知条件 (通常是含有三角形的边和角的等式或不等式 )判断三角形的形状时，需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系 .判断三角形的形状是高考中考查能力的常见题型，此类题目要求准确地把握三角形的分类，三角形按边的关系分为等腰三角形和不等边三角形；三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解.[跟踪训练]221＋cos2B2cos Bcos B c cos Bc cos B∴由余弦定理得222a＋c－b c2．在△ABC中，若b cos C1＋cos2△C＝，试判断得cos C bc sin C cos B sin Cc cos B1＋cos2B【导学号：91432091】1＋cos2C2cos2C cos2C b cos C[解]由已知＝＝＝，cos B c可有以下两种解法．法一：(利用正弦定理，将边化角)b sin B cos C sin B由正弦定理得＝，∴＝，即sin C cos C＝sin B cos B，即sin2C＝sin2B.∵B，C均为△ABC的内角，∴2C＝2B或2C＋2B＝180°.即B＝C或B＋C＝90°.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．法二：(利用余弦定理，将角化边)b cos C∵＝，a2＋b2－c22ab b＝，2ac即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)．∴a2c2－c4＝a2b2－b4，即a2b2－a2c2＋c4－b4＝0.∴a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0，即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0.∴b2＝c2或a2－b2－c2＝0，即b＝c或a2＝b2＋c2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.正、余弦定理的实际应用如图12所示，某市郊外景区内有一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向上8km处，位于景点sin∠ABD＝ABAB 5B 的正北方向，还位于景点C 的北偏西 75°方向上．已知 AB ＝5 km.图 12(1)景区管委会准备由景点 D 向景点 B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(2)求景点 C 与景点 D 之间的距离．(结果精确到 0.1 km)(参考数据： 3＝1.73，sin 75°＝0.97，cos 75°＝0.26，tan 75°＝3.73，sin 53°＝0.80，cos 53°＝0.60，tan 53°＝1.33，sin 38°＝0.62，cos 38°＝0.79，tan 38°＝0.78)思路探究：(1)以 BD 为边的三角形为△ABD 和△BCD ，在△ABD 中，一角和另外两边易得，所以可在△ABD 中利用余弦定理求解 DB .(2)以 CD 为边的两个三角形中的其他边不易全部求得，而角的关系易得，考虑应用正弦定理求解．[解] (1)设 BD ＝x △k m ，则在 ABD 中，由余弦定理得 52＝82＋x 2－2×8x cos 30°，即 x 2－8 3x ＋39＝0，解得 x ＝4 3±3.因为 4 3＋3>8，应舍去，所以 x ＝4 3－3≈3.9，即这条公路的长约为 3.9 km.(2) 在 △ABD 中 ， 由 正 弦 定 理 得ADsin∠ADB ， 所 以 sin∠ABD ＝ sin∠CBD ＝AD 4·sin∠ADB ＝ ＝0.8，所以 cos∠CBD ＝0.6.在△CBD 中，sin∠ D CB ＝sin(∠CBD ＋∠BDC )＝sin(∠CBD ＋75°)＝0.8×0.26＋0.6×0.97＝ 0.79，由正弦定理得CD ＝sin∠DBC ×BDsin∠DCB≈3.9.故景点 C 与景点 D 之间的距离约为 3.9 km.[规律方法] 正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用 .常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等 .解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中 目的是发现已知量与未知量之间的关系 ，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求.[跟踪训练]3．如图 13， a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在 a 上点 A 处有一个水声监测点，另两个监测点 B ，C 分别在 A 的正东方 20 km 和 54 km 处．某时刻，监测点 B 收到发自静止目标 P的一个声波信号，8 s 后监测点 A,20 s 后监测点 C 相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波cos∠PAB＝＝5x同理cos∠PAC＝.∴3x＋3272－x5x3x73x＋3275x5 1．如图14所示，向量AB与BC的夹角是∠B吗？在△ABC中，两向量AB·AC的数量积与余弦在水中的传播速度是1.5km/s.图13(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到0.01km).【导学号：91432092】[解](1)由题意得PA－PB＝1.5×8＝12(km)，PC－PB＝1.5×20＝30(km)．∴PB＝x－12，PC＝18＋x.在△PAB中，AB＝20km，PA2＋AB2－PB2x2＋202－x－2PA·AB2x·2023x＋32＝.72－x3x∵cos∠PAB＝cos∠PAC，132＝，解得x＝.1323×＋32(2)作PD⊥a于D，在Rt△PDA中，PD＝PA cos∠APD＝PA cos∠PAB＝x·＝≈17.71(km)．所以静止目标P到海防警戒线a的距离为17.71km.与三角形有关的综合问题[探究问题]→→→→定理有怎样的联系？提示：向量AB与BC的夹角是∠B的补角，大小为180°－∠B，由于AB·AC＝|AB|·|AC|cos A＝bc cos A.所以AB·AC＝bc cos A＝(b2＋c2－a2)，有时直接利用此结论解决与向量数量积有关的解三角在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知BA·BC＝2，cos B ＝，b＝3.求：[解](1)由BA·BC＝2得ca cos B＝2.又cos B＝，所以ac＝6.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13.⎩⎩⎩sin B＝1－cos2B＝⎛1⎫⎝3⎭1－ ⎪＝b339图14→→→→→→→→12形问题．2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？提示：用余弦定理可以根据角的余弦值的符号直接判断是锐角还是钝角，但计算比较复杂．用正弦定理计算相对比较简单，但仍要结合已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角，避免讨论．→→13(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值.【导学号：91432093】思路探究：(1)由平面向量的数量积定义及余弦定理，列出关于a，c的方程组即可求解．(2)由(1)结合正弦定理分别求出B，C的正、余弦值，利用差角余弦公式求解．→→13由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2ac cos B.13⎧⎪ac＝6，解⎨⎪a2＋c2＝13，⎧⎪a＝2，得⎨⎪c＝3⎧⎪a＝3，或⎨⎪c＝2.因为a＞c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，2223，c22242由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.因为a＝b＞c，所以C为锐角，1－⎛42⎫⎝9⎭9393927母题探究：1.(变条件，变结论)将本例中的条件“a>c，BA·BC＝2，cos B＝，b＝3”变为“已知△SABC＝30且cos A＝”求AB·AC的值．1313∴A为锐角且sin A＝，∴AB·AC＝|AB|·|AC|cos A＝bc cos A＝156×＝144.[解]由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b－c)2＋2bc(1－cos A)＝1＋2×156×＝25，因此cos C＝1－sin2C＝27⎪＝.于是cos(B－C)＝cos B cos C＋sin B sin C17224223＝×＋×＝.→→1312→→[解]在△ABC中，cos A＝12，513115∴△SABC＝2bc sin A＝2bc·13＝30.∴bc＝156.→→→→12132．(变条件，变结论)在“母题探究1”中再加上条件“c－b＝1”能否求a的值？113∴a＝25＝5.[规律方法]正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题.(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解.。
人教版高中数学必修5：第一章 解三角形(课堂同步教学课件+学案+练习+单元检测,10份)阶段质量检测
阶段质量检测(一) 解三角形(时间90分钟，满分120分)一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A ＝( )A.π3B.π6C.2π3D.π3或2π32．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于( ) A.63 B.62C.12D.32 3．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC ( )A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定4．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则·的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－195．若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( ) A.154 B.34C.31516D.1116 6．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2 D.227．在△ABC 中，a ＝k ，b ＝3k (k ＞0)，A ＝45°，则满足条件的三角形个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝2A ，a ＝1，b ＝43，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定9．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a ，那么a 的取值范围( )A ．(8,10)B ．(22，10)C ．(22，10)D ．(10，8)10．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，则炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A ．103米B ．1003米C ．2030米D ．30米二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．在△ABC 中，已知b ＝503，c ＝150，B ＝30°，则边长a ＝________.12．已知△ABC 的面积S ＝3，A ＝π3，则·＝________. 13． △ABC 为钝角三角形，且∠C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为________．14．在△ABC 中，a ＝14，A ＝60°，b ∶c ＝8∶5，则该三角形的面积为________．三、解答题(共4小题，共50分)15．(12分)在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，求B 及S △ABC .16．(12分)在△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255， (1)求BC 边的长．(2)若点D 是AB 的中点，求中线CD 的长度．17．(12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km 内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km 有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h 的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？18．(14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b， (1)求sin C sin A的值； (2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .答 案阶段质量检测(一) 解三角形1．选C ∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴由余弦定理的推论得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2－c 2－bc 2bc ＝－bc 2bc ＝－12， ∴A ＝2π3. 2．选A ∵A ＝180°－45°－60°＝75°∴A ＞C ＞B∴边b 最短．由b sin B ＝c sin C得b ＝c sin B sin C＝sin 45°sin 60°＝63.3．选C b sin A ＝4×sin 60°＝4×32＝2 3. 又a ＝6，且6＜23，故△ABC 无解．4．选D 在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝1935 ∴·＝－cos B ＝－7×5×1935＝－19. 5．选D 依题意，结合正弦定理得6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝12k (k ＞0)，则有a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(2k )2＋(4k )2－(3k )22×2k ×4k ＝1116. 6．选C ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ＝8， ∴sin C ＝c 8， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2. 7．选A 由正弦定理得a sin A ＝b sin B， ∴sin B ＝b sin A a ＝62＞1，即sin B ＞1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形． 8．选C 由正弦定理得1sin A ＝43sin 2A ，则cos A ＝23，从而cos B ＝cos 2A ＝2cos 2 A －1＝－19＜0，所以角B 为钝角，△ABC 是钝角三角形．9．选B 设1,3，a 所对的角分别为∠C 、∠B 、∠A ，由余弦定理知a 2＝12＋32－2×3cos A ＜12＋32＝10，32＝1＋a 2－2×a cos B ＜1＋a 2，∴22＜a ＜10.10．选D 设炮台顶部为A ，两条船分别为B 、C ，炮台底部为D ，可知∠BAD ＝45°，∠CAD ＝60°，∠BDC ＝30°，AD ＝30.分别在Rt △ADB ，Rt △ADC 中，求得DB ＝30，DC ＝30 3.在△DBC 中，由余弦定理得BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ·DC cos 30°，解得BC ＝30.故选D.11．解析：由余弦定理得a 2＋c 2－2ac cos 30°＝b 2 ∴a 2－1503a ＋15 000＝0解得a ＝1003或50 3.答案：1003或50 312．解析：S △ABC ＝12·|AB |·|AC |·sin A ， 即3＝12·|AB |·|AC |·32， 所以|AB |·|AC |＝4，于是·＝··cos A＝4×12＝2. 答案：213．解析：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∵∠C 为钝角， ∴cos C <0，∴a 2＋b 2－c 2<0，故a 2＋b 2<c 2.答案：a 2＋b 2<c 214．解析：设另两边长分别为8x 和5x ，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2解得x ＝2所以b ＝16，c ＝10∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×16×10sin 60°＝40 3. 答案：40 315．解：在△ABC 中，由正弦定理，得sin B ＝b a sin A ＝623×12＝32. 又A ＝30°，且a ＜b ，∴B ＝60°或B ＝120°.①当B ＝60°时，C ＝90°，△ABC 为直角三角形，故S △ABC ＝12ab ＝6 3. ②当B ＝120°时，C ＝30°，△ABC 为等腰三角形，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×23×6sin 30°＝3 3. 16．解：(1)由cos C ＝255得sin C ＝55. sin A ＝sin(180°－45°－C )＝22(cos C ＋sin C )＝31010.由正弦定理知BC ＝AC sin B ·sin A ＝1022·31010＝3 2. (2)AB ＝AC sin B ·sin C ＝1022·55＝2，BD ＝12AB ＝1. 由余弦定理知CD＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos B＝ 1＋18－2×1×32×22＝13.17．解：如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1 km.在△ABC 中，AB ＝ 3，AC ＝1，∠ABC ＝30°，由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB sin 30°AC ＝32， ∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)，∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1.在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1.∵BC 12×60＝5， 在BC 上需要5 min ，CD 上需要5 min.答：最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并持续至少5 min 才算合格．18．解：(1)法一：在△ABC 中，由cos A －2cos C cos B ＝2c －a b及正弦定理可得 cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B， 即cos A sin B －2cos C sin B ＝2sin C cos B －sin A cos B .则cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos B ＋2cos C sin B ，即sin(A ＋B )＝2sin(C ＋B )，而A ＋B ＋C ＝π，则sin C ＝2sin A ，即sin C sin A＝2. 法二：在△ABC 中，由cos A －2cos C cos B ＝2c －a b可得 b cos A －2b cos C ＝2c cos B －a cos B由余弦定理可得b 2＋c 2－a 22c －a 2＋b 2－c 2a ＝a 2＋c 2－b 2a －a 2＋c 2－b 22c， 整理可得c ＝2a ，由正弦定理可得sin C sin A ＝c a＝2. 法三：利用教材习题结论解题，在△ABC 中有结论 a ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝c cos A ＋a cos C ， c ＝a cos B ＋b cos A .由cos A －2cos C cos B ＝2c －a b可得 b cos A －2b cos C ＝2c cos B －a cos B ，即b cos A ＋a cos B ＝2c cos B ＋2b cos C ，则c ＝2a ，由正弦定理可得sin C sin A ＝c a＝2. (2)由c ＝2a 及cos B ＝14，b ＝2可得 4＝c 2＋a 2－2ac cos B ＝4a 2＋a 2－a 2＝4a 2， 则a ＝1，c ＝2.∴S ＝12ac sin B ＝12×1×2×1－cos 2B ＝154.。
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第一章 章末检测（A ）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( )A.53B.54C.55D.56 答案 B解析 由正弦定理得a b ＝sin A sin B，∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52.又A ＝2B ，∴sin2B sin B ＝52，∴cos B ＝54.2.在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC=10，则·AC →等于( ) A ．－32B ．－23C.23D.32答案 A解析 由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－1012＝14.∴·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝3×2×14＝32.∴·AC →＝－AB →·AC →＝－32. 3．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( )A ．25B. 5C ．25或5D ．以上都不对 答案 C解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴5＝15＋c 2－215×c ×32.化简得：c 2－35c ＋10＝0，即(c －25)(c －5)＝0， ∴c ＝25或c ＝ 5.4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 答案 D解析 A 中，因a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝16×sin30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解； B 中，sin C ＝20sin60°18＝539， 且c >b ，∴C >B ，故有两解；C 中， ∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2， ∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21， 即有解，故A 、B 、C 都不正确．5．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )A.922B.924C.928D ．9 2答案 C解析 设另一条边为x ， 则x 2＝22＋32－2×2×3×13，∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924，R ＝928.6．在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 答案 A解析 由cos 2A 2＝b ＋c 2c ⇒cos A ＝bc ，又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2⇒a 2＋b 2＝c 2，故选A.7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 等于( )A ．2B.6－ 2 C ．4－23D ．4＋2 3 答案 A解析 sin A ＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝6＋24，由a ＝c 知，C ＝75°，B ＝30°.sin B ＝12.由正弦定理：b sin B ＝asin A ＝6＋26＋24＝4.∴b ＝4sin B ＝2.8．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A.152B.15C.8155D ．6 3答案 A解析 由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0. ∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即6＝4c 2＋c 2－4c 2·78.∴c ＝2，从而b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝152. 9．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( )A.21B.106C.69D.154 答案 B解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos∠AMB ， 即72＝14a 2＋42－2×a 2×4·cos∠AMB ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos∠AMC 即62＝42＋14a 2＋2×4×a2·cos∠AMB ②①＋②得：72＋62＝42＋42＋12a 2，∴a ＝106.10．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形 答案 C解析 ∵sin A a ＝cos B b，∴a cos B ＝b sin A ，∴2R sin A cos B ＝2R sin B sin A,2R sin A ≠0.∴cos B ＝sin B ，∴B ＝45°.同理C ＝45°，故A ＝90°. 11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 答案 D解析 ∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32.∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3.12．△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＋3 B ．43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋3C ．6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＋3D ．6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋3答案 D解析 A ＝π3，BC ＝3，设周长为x ，由正弦定理知BC sin A ＝ACsin B＝ABsin C＝2R ， 由合分比定理知BC sin A ＝AB ＋BC ＋ACsin A ＋sin B ＋sin C，即332＝x 32＋sin B ＋sin C. ∴23⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32＋sin B ＋A ＋B＝x ，即x ＝3＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝3＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋sin B cos π3＋cos B sin π3＝3＋23⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin B ＋12sin B ＋32cos B ＝3＋23⎝⎛⎭⎪⎪⎫32sin B ＋32cos B ＝3＋6⎝⎛⎭⎪⎪⎫32 sin B ＋12cos B ＝3＋6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －csin C ＝________.答案 014．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B的值为________． 答案 π6解析 ∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∴B ＝π6.15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sinC ＝________.答案 1解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B . ∴B ＝π3.由正弦定理知，sin A ＝a sin B b ＝12.又a <b .∴A ＝π6，C ＝π2.∴sin C ＝1.16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．答案 32≤a <3解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a ＋a ＋2a 2＋a ＋2－a ＋2<0a 2＋a ＋2－a ＋22a a ＋≥－12.解得32≤a <3.三、解答题(本大题共6小题，共74分)17．(10分)如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．解 设我艇追上走私船所需时间为t 小时，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°， 根据余弦定理知：(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos120°， ∴t ＝2.答 我艇追上走私船所需的时间为2小时．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且cos A ＝45.(1)求sin 2B ＋C2＋cos2A 的值；(2)若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a . 解 (1)sin2B ＋C2＋cos2A ＝1－B ＋C2＋cos2A ＝1＋cos A2＋2cos 2A －1＝5950.(2)∵cos A ＝45，∴sin A ＝35.由S △ABC ＝12bc sin A ，得3＝12×2c ×35，解得c ＝5.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得 a 2＝4＋25－2×2×5×45＝13，∴a ＝13.19．(12分)如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE .解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°.∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24. (2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得AE sin ∠ABE ＝ABsin ∠AEB，即AE－＝2＋，故AE ＝2sin30°cos15°＝2×126＋24＝6－ 2.20．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值． 解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝bsin B，sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25. (2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4， ∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.21．(12分)(2010·辽宁)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解 (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，A ＝120°. (2)方法一 由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，又A ＝120°，∴sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝34， ∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B .∴sin 2B ＋(1－sin B )2＋sin B (1－sin B )＝34， 即sin 2B －sin B ＋14＝0. 解得sin B ＝12.故sinC ＝12.∴B ＝C ＝30°.所以，△ABC 是等腰的钝角三角形．方法二 由(1)A ＝120°，∴B ＋C ＝60°，则C ＝60°－B ，∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B )＝sin B ＋32cos B －12sin B ＝12sin B ＋32cos B＝sin(B ＋60°)＝1，∴B ＝30°，C ＝30°.∴△ABC 是等腰的钝角三角形．22．(14分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即a ·a2R ＝b ·b2R ，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形．(2)解 由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0.∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S△ABC＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。