2020届天津市河东区高三数学文科第一次模拟考试卷 人教版
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一次调研测试参考答案及评分建议
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一次调研测试参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合{}12A x x =-<<，}{101B =-，，，则A B =▲． 【答案】}{01，2． 若复数2i z a =+(i 为虚数单位，a ∈R )满足||3z =，则a 的值为▲．【答案】3． 从1234，，，这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是▲．【答案】564．根据下图所示的伪代码，可知输出的结果S 为▲．【答案】145． 为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间[04500]，上，其频率分布直方图如下图所示，则被调查的10000户家庭中，有▲户月消费额在1000元以下． 【答案】7506n S ．若2S 7程为y =，则该双曲线的方程为▲． 【答案】2221x y -=消费/元（第5题）8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1B B 的中点，则三棱锥1B ADE -的体积为 ▲．【答案】1129． 若函数()0()(2)0x x b x f x ax x x -⎧=⎨+⎩，≥，，＜( )a b ∈R ，为奇函数，则()f a b +的值为▲．【答案】1-10．已知1sin()63x π+=，则25sin()sin ()63x x ππ-+-的值为 ▲ ．【答案】5911．在平面直角坐标系xOy 中，点(10)(40)A B ，，，．若直线0x y m -+=上存在点P 使得12PA PB =，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【答案】[- 12．已知边长为6的正三角形ABC ，12BD BC =，13AE AC =，AD 与BE 交于点P ，则PB PD ⋅的 值为 ▲ ．【答案】27413．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线2(0)y x x =>和3(0)y x x =>均相切，切点分别为 11()A x y ，和22()B x y ，，则12x x 的值为 ▲ ． 【答案】4314．已知函数2()23()f x ax +b a b =∈R ，．若对于任意[11]x ∈-，，都有()1f x ≤成立，则ab 的最大值是 ▲ ． 【答案】124二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，()()a b c a b c ab +-++＝．（1）求角C 的大小；（2）若2cos 2c=a B b=，，求△ABC 的面积．【解】（1）在△ABC 中，由(a +b －c )(a +b +c )＝ab ，得222122a b c ab +-=-，即cos C ＝12-． (3)分因为0＜C ＜π，所以C ＝23π．……………………………………………………………6分 （2）（法一）因为c ＝2a cos B ，由正弦定理，得sin C ＝2sin A cos B ，…………………………………………………………………………8分 因为A +B +C ＝π，所以sin C ＝sin(A +B )，所以sin(A +B )＝2sin A cos B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，………10分 又－3π＜A －B ＜3π， 所以A －B ＝0，即A ＝B ，所以a ＝b ＝2．………………………………………………12分 所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 23π＝ 3．………………………14分（法二）由2cos c a B =及余弦定理，得22222a c b c a ac+-=⨯，…………………………8分化简得a b =， (12)分所以，△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 23π＝3．………………………14分16．(本小题满分14分)如图，在直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，点E 是A 1C 1的中点． 求证：（1）BE ⊥AC ； （2）BE ∥平面ACD 1．【证明】（1）在直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中， 连结BD 交AC 于点F ，连结B 1D 1交A 1C 1于点E ．因为四边形ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ． 因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直棱柱，所以BB 1⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，所以，BB 1⊥AC ．………………………………………………………………………3分（第16题）C 1D 1 ABC DA 1B 1EF又BD∩BB1＝B，BD⊂平面B1BDD1，BB1⊂平面B1BDD1，所以AC⊥平面B1BDD1．………………………………………………………………5分而BE⊂平面B1BDD1，所以BE⊥AC．………………………………………………7分（通过证明等腰三角形A1BC1，得BE⊥A1C1，再由AC∥A1C1得BE⊥AC，可得7分）（2）连结D1F，因为四棱柱ABCD–A1B1C1D1为直棱柱，所以四边形B1BDD1为矩形．又E，F分别是B1D1，BD的中点，所以BF＝D1E，且BF∥D1E．…………………………………………………………9分所以四边形BED1F是平行四边形．所以BE∥D1F．…………………………………………………………………………11分又D1F⊂平面ACD1，BE⊄平面ACD1，所以BE∥平面ACD1．………………………………………………………………14分17．(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>过点A(2，1)，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线:(0)l y kx m k=+≠与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB AC⊥，求直线l的方程．【解】（1）由条件知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>离心率为cea==所以222214b ac a=-=．又点A(2，1)在椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上，所以22411a b+=，……………………………………………………………………………2分解得2282ab⎧=⎪⎨=⎪⎩，．所以，所求椭圆的方程为22182x y +=． ………………………………………………4分 （2）将(0)y kx m k =+≠代入椭圆方程，得224()80x kx m ++-=， 整理，得222(14)8480k x mkx m +++-=．① 由线段BC 被y 轴平分，得28014B C mkx x k +=-=+，因为0k ≠，所以0m =． …………………………………………………………………8分 因为当0m =时，B C ，关于原点对称，设()()B x kx C x kx --，，，， 由方程①，得22814x k =+，又因为AB AC ⊥，A (2，1)，所以22(2)(2)(1)(1)5(1)AB AC x x kx kx k x ⋅=---+---=-+228(1)5014k k +=-=+， 所以12k =±．………………………………………………………………………………12分由于12k =时，直线12y x =过点A (2，1)，故12k =不符合题设． 所以，此时直线l 的方程为12y x =-． …………………………………………………14分18．(本小题满分16分)如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O 1为圆心，半径为 1 km 的半圆面．公路l 经过点O ，且与直径OA 垂直．现计划修建一条与半圆相切的公路PQ （点P 在直径OA 的延长线上，点Q 在公路l 上），T 为切点． （1）按下列要求建立函数关系：①设∠OPQ =α(rad)，将△OPQ 的面积S 表示为α的函数； ②设OQ = t (km)，将△OPQ 的面积S 表示为t 的函数．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ 的面积S 的最小值． 【解】（1）①由题设知，在Rt △O 1PT 中， ∠OPT =α，O 1T =1， 所以O 1P 1sin =α． 又OO 1=1，所以OP 11sin =+α． 在Rt △OPQ 中，（第18题）l 111sin tan (1)tan sin cos OQ OP ααααα+==+=．…3分 所以，Rt △OPQ 的面积为2(1sin )π(0)sin 22ααα+=<<． …………………………………………………………5分（取值范围不写或不正确扣1分）②由题设知，OQ =QT = t ，O 1T =1，且Rt △POQ ∽Rt △PTO 1， 所以1OP TP OQ TO =，即OP t = 化简，得222(1)1t OP=t t >-．………………………………………………………………8分 所以，Rt △OPQ 的面积为232212(1)211t t =t t t t ⋅=>--．…………………………………………………………10分 （取值范围不写或不正确扣1分）（2）选用（1）中①的函数关系2(1sin )π(0)sin 22S ααα+=<<． 222(1sin )(2sin 1)(0)(sin 2)2αααα+-π=<<．………………………………………………13分由222(1sin )(2sin 1)0(0)(sin 2)2S =αααα+-π'=<<，得6=απ．列表所以，当6=απ时，△OPQ 的面积S的最小值为2π(1sin )6πsin 26+⨯（）km 2）．………16分（2）选用（1）中②的函数关系32(1)1t S t t =>-． 1)t =>……………………………………………………………13分由0(1)S t '==>，得 列表所以，当t=OPQ的面积S的最小值为km2）．…………16分19．(本小题满分16分)已知函数()()f x a x a=+∈R．（1）求()f x的单调区间；（2）试求()f x的零点个数，并证明你的结论．【解】（1）由函数f(x)＝a ln x(a∈R)，得f ′(x)2)x+．…………………………2分因此，函数f(x)的单调增区间为(e-2，+∞)，单调减区间为(0，e-2)．……………………5分（2）由（1）可知，f min(x)＝f(e-2)＝a－2e-1．………………………………………………6分（i）当a＞2e-1时，由f(x)≥f(e-2)＝a－2e-1＞0，得函数f(x)的零点个数为0．…………8分（ii）当a＝2e-1时，因f(x)在(e-2，+∞)上是单调增，在(0，e-2)上单调减，故x∈(0，e-2)∪(e-2，+∞)时，f(x)＞f(e-2)＝0．此时，函数f(x)的零点个数为1．……………………………………………………10分（iii）当a＜2e-1时，f min(x)＝f(e-2)＝a－2e-1＜0．①a≤0时，因为当x∈(0，e-2]时，f(x)＝a ln x＜a≤0，所以，函数f(x)在区间(0，e-2]上无零点；另一方面，因为f(x)在[e-2，+∞)单调递增，且f(e-2)＝a－2e-1＜0，又e-2a∈(e-2，+∞)，且f(e-2a)＝a(1－2e-a)>0，此时，函数f(x)在(e-2，+∞)上有且只有一个零点．所以，当a≤0时，函数f(x)零点个数为1．………………………………………13分②0＜a＜2e-1时，因为f (x )在[e -2，+∞)上单调递增，且f (1)＝a ＞0，f (e -2)＝a －2e -1＜0， 所以，函数f (x )在区间(e -2，+∞)有且只有1个零点；另一方面，因为f (x )在(0，e -2]上是单调递减，且f (e -2)＝a －2e -1＜0 又4e a -∈(0，e -2)，且f ( )4e a -＝a －24e aa ＞a －242()a a＝0，（当0x >时，2e x x >成立） 此时，函数f (x )在(0，e -2)上有且只有1个零点． 所以，当0＜a ＜2e -1时，函数f (x )零点个数为2．综上所述，当a ＞2e -1时，f (x )的零点个数为0；当a ＝2e -1，或a ≤0时，f (x )的零点个数为1； 当0＜a ＜2e -1时，f (x )的零点个数为2．………………………………………16分 20．(本小题满分16分)若数列{a n }中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为“等比源数列”． （1）已知数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n －1．①求{a n }的通项公式；②试判断{a n }是否为“等比源数列”，并证明你的结论． （2）已知数列{a n }为等差数列，且a 1≠0，a n ∈Z ()n *∈N ． 求证：{a n }为“等比源数列”．【解】（1）①由a n +1＝2a n －1，得a n +1－1＝2(a n －1)，且a 1－1＝1，所以数列{a n －1}是首项为1，公比为2的等比数列．……………………………………2分 所以a n －1=2n-1．所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n-1+1．………………………………………………4分 ②数列{a n }不是“等比源数列”．用反证法证明如下：假设数列{a n }是“等比源数列”，则存在三项a m ，a n ，a k (m ＜n ＜k )按一定次序排列构成等比数列．因为a n ＝2n -1+1，所以a m ＜a n ＜a k ．……………………………………………………7分 所以a n 2＝a m ·a k ，得 (2n -1+1)2＝(2m -1+1)(2k -1+1)，即22n -m -1+2n -m +1－2k -1－2k -m ＝1． 又m ＜n ＜k ，m ，n ，k ∈N *，所以2n －m －1≥1，n －m +1≥1，k －1≥1，k －m ≥1．所以22n -m -1+2n -m +1－2k -1－2k -m 为偶数，与22n -m -1+2n -m +1－2k -1－2k -m ＝1矛盾． 所以，数列{a n }中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列．综上可得，数列{a n }不是“等比源数列”．…………………………………………10分（2）不妨设等差数列{a n }的公差d ≥0．当d ＝0时，等差数列{a n }为非零常数数列，数列{a n }为“等比源数列”． 当d ＞0时，因为a n ∈Z ，则d ≥1，且d ∈Z ，所以数列{a n }中必有一项a m ＞0．为了使得{a n }为“等比源数列”，只需要{a n }中存在第n 项，第k 项(m ＜n ＜k )，使得a n 2＝a m a k 成立，即[a m +(n －m )d ]2＝a m [a m +(k －m )d ]，即(n －m )［2a m +(n －m )d ］＝a m (k －m )成立．…13分 当n ＝a m +m ，k ＝2a m +a m d +m 时，上式成立．所以{a n }中存在a m ，a n ，a k 成等比数列． 所以，数列{a n }为“等比源数列”．……………………………………………………16分数学Ⅱ（附加题）参考答案及评分建议21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，圆O 的直径10AB=，C 为圆上一点，6BC=．过C 作圆O 的切线l ，AD ⊥l 于点D ，且交圆O 于点E ，求DE 的长．【解】因为圆O 的直径为AB ，C 为圆上一点，所以908ACB AC ∠=︒===，．因为直线l 为圆O 的切线， 所以DCA CBA ∠=∠． 所以Rt △ABC ∽Rt △ACD ，所以AB AC BCAC AD DC==．……………………………………5分 又因为10AB=，6BC=所以2325AC AD AB ==，245AC BC DC AB ⋅==． 由2DC DE DA =⋅，得2224()1853255DC DE DA ===．………………………………………10分 B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵1022⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求逆矩阵1-M 的特征值． ABCDEOl（第21_A 题）【解】设1a b c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M，则110102201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦MM ， 所以2222ab ac bd ⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以1022022 1.a b a c b d =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，解得1011.2a b c d =⎧⎪=⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩，，，所以110112M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦．……………………………………5分 1-M 的特征多项式11()(1)()01212f λλλλλ-==--=-，所以1λ=或12．所以，矩阵M 的逆矩阵1-M 的特征值为1或12．……………………………………………10分 C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知点(2)4A π，，圆C的方程为ρθ=(圆心为点C )，求直线AC 的极坐标方程．【解法一】以极点为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ．圆C的平面直角坐标方程为22x y +=，即22(8x y +-=，圆心(0C ． A的直角坐标为．……………………………………………………………………4分直线AC的斜率1AC k ==-．所以，直线AC的直角坐标方程为y x =-+8分极坐标方程为(cos sin )ρθθ+=sin()24ρθπ+=．…………………………10分【解法二】在直线AC 上任取一点()M ρθ，，不妨设点M 在线段AC 上．由于圆心为)2C π，，OAC OAM OCM S S S ∆∆∆=+，……………………………………………4分所以1112sin 2sin()sin()242422ρθρθπππ⨯=⨯⨯-+⨯⨯-，即(cos sin )ρθθ+=化简，得直线AC 的极坐标方程为sin()24ρθπ+=． ………………………………………10分D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知00a b ≥，≥，求证：6644()a b ab a b ++≥． 【证明】6644()a b ab a b +-+55()()a a b a b b =---………………………………………………………………………2分 55()()a b a b =--…………………………………………………………………………4分 2432234()()a b a a b a b ab b =-++++………………………………………………………8分又00a b ≥，≥，所以6644()0a b ab a b +-+≥，即6644()a b ab a b ++≥．……………10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，1AB =，2AD AS ==，P 是棱SD 上一点，且12SP PD =．（1）求直线AB 与CP 所成角的余弦值； （2）求二面角A PC D --的余弦值．【解】（1）如图，分别以AB AD AS ，，为x y z ，，轴建立空间直角坐标系． 则(000)(100)(120)(020)(002).A B C D S ，，，，，，，，，，，，，， 设000()P x y z ，，，由13SP SD =，得0001(2)(022)3x y z -=-，，，，， 00024033x y z ∴===，，，点P 坐标为24(0)33，，．44(1)33CP =--，，，(100)AB =，，，………………2分设直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α=4分 （2）设平面APC 的一个法向量为111()m x y z =，，， 所以111120240.33m AC x y =m AP y z ⎧⋅=+⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令12y =-，则1141x z ==，，(421)m =-，，．……………………………………………6分 设平面SCD 的一个法向量为222()n x y z =，，，由于(100)(022)DC DS ==-，，，，，， 所以2220220n DC x n DS y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令21y =，则21z =，(011)n =，，．……………………8分 设二面角A PC D --的大小为θ，由于cos m n <=，， 所以，由向量m n ，的方向，得42cos cos m n =θ=-<>，…………………………10分 23．已知函数0()(sin cos )f x x x x =+，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求12()()f x f x ，的表达式；（2）写出()n f x 的表达式，并用数学归纳法证明． 【解】（1）因为()n f x 为1()n f x -的导数， 所以10() ()f x f x '=(sin cos )(cos sin )x x x x x =++-(1)cos (1)(sin )x x x x =++--，…………………………………………………2分同理，2()(2)sin (2)cos f x x x x x =-+--．………………………………………………4分 （2）由（1）得32() ()(3)cos (3)sin f x f x =x x x x '=-++-，……………………………………5分把123()()()f x f x f x ，，分别改写为 1()(1)sin()(1)cos()22f x x x x x ππ=+++-+,222()(2)sin()(2)cos()22f x x x x x ππ=+++-+, 333()(3)sin()(3)cos()22f x x x x x ππ=+++-+, 猜测()()sin()()2n n f x x n x x n π=+++-cos()2n x π+（ ）*．……………………………7分下面用数学归纳法证明上述等式．（i ）当1n =时，由（1）知，等式（ ）*成立； （ii ）假设当n k =时，等式（ ）*成立，即()()k f x x k =+sin()()cos()22k k x x k x ππ++-+． 则当1n k =+时，即当1n k =+时，等式（ ）*成立． 综上所述，当n *∈N 时，()()sin()()2n n f x x n x x n π=+++-cos()2n x π+成立．……10分。
天津市河东区高考数学一模试卷(文科)
高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.已知i是虚数单位，x∈R，复数z=（x+i）（2+i）为纯虚数，则2x-i的模等于（）A. 1B.C.D. 22.已知x，y满足不等式组，则z=x+3y的最小值等于（）A. 3B. 6C. 9D. 123.若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 64.设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知偶函数f（x）在[0，2]上递减，试比a=f（1），b=f（），c=f（log2）大小（）A. a＞b＞cB. a＞c＞bC. b＞a＞cD. c＞a＞b6.为了得到函数y=3cos2x图象，只需把函数图象上所有点（）A. 向右平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动个单位长度D. 向左平行移动个单位长度7.已知F1、F2分别是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A. （1，）B. （，+∞）C. （，2）D. （2，+∞）8.定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=，若当x∈[-4，-2）时，不等式f（x）≥恒成立，则实数t的取值范围是（）A. [2，3]B. [1，3]C. [1，4]D. [2，4]二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.集合A={0，1，2，3}，B={x|x2-2x≤0}，则A∩B=______．10.已知函数f（x）的导函数，满足f（x）=2xf'（1）+x3，则f'（1）等于______．11.如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．如果三棱柱的体积为，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为______．12.已知直线y=mx与圆C：（x-m）2+（y-1）2=m2-1交于A，B两点，∠ACB=60°，则圆的面积为______．13.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，=2，则的值是______．14.若实数x，y满足2cos2（x+y-1）=，则xy的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（x）=2sin（x-A）cos x+sin（B+C）（x∈R），函数f（x）的图象关于点（，0）对称．（Ⅰ）当x∈（0，）时，求f（x）的值域；（Ⅱ）若a=7且sin B+sin C=，求△ABC的面积．16.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，①列出所有可能的结果；②求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．17.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，CC1⊥平面ABCD．（1）求证：BD⊥平面ACC1A1；（2）若二面角C1-BD-C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成角的余弦值．18.在等差数列{a n}中，已知公差d=2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．19.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．20.已知f（x）=mx-a ln x-m，g（x）=，其中m，a均为实数，（1）求g（x）的极值；（2）设m=1，a=0，求证对|恒成立；（3）设a=2，若对∀给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t1，t2（t1≠t2）使得f（t1）=f（t2）=g（x0）成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵z=（x+i）（2+i）=（2x-1）+（x+2）i为纯虚数，∴，即x=．∴2x-i=1-i，则2x-i的模等于．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得x，代入2x-i，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．2.【答案】A【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=x+3y得：y=-x+，显然直线过（3，0）时，z最小，z的最小值是3，故选：A．画出满足条件的平面区域，将直线变形为y=-x+，通过图象读出即可．本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道基础题．3.【答案】C【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求满足P=1+3+…+（2n-1）＞20的最小n 值，∵P=1+3+…+（2n-1）=×n=n2＞20，∴n≥5，故输出的n=5．故选：C．算法的功能是求满足P=1+3+…+（2n-1）＞20的最小n值，利用等差数列的前n项和公式求得P，根据P＞20，确定最小的n值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．求解：|x-2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：∵|x-2|＜1，∴1＜x＜3，∵“1＜x＜2”∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x-2|＜1”的充分不必要条件．故选A．5.【答案】D【解析】解：∵，∴∵f（x）在[0，2]上递减，∴f（）＞f（1）＞f（2）又∵f（x）是偶函数，f（）=f（-）=∴＞f（1）＞，即c＞a＞b故选：D．由对数的定义，可得b=f（2），c=f（-）=f（）．再结合函数函数f（x）在[0，2]上递减，即可得到a、b、c的大小关系．本题给出偶函数在[0，2]上递减，要求我们比较三个函数值的大小，考查了函数奇偶性与单调性和对数的运算性质等知识，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：把函数图象上所有点向左平行移动个单位长度，可得函数y=3cos2x=3sin（2x+）图象，故选：D．由题意利用诱导公式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查诱导公式的应用，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：双曲线-=1的渐近线方程为y=±x，不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x-c），与y=-x联立，可得交点M（，-），∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF2|，即有＞c2，∴b2＞3a2，∴c2-a2＞3a2，即c＞2a．则e=＞2．∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．故选：D．根据斜率与平行的关系即可得出过焦点F2的直线，与另一条渐近线联立即可得到交点M的坐标，再利用点M在以线段F1F2为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出．本题考查的知识点是双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：当x∈[0，1）时，f（x）=x2-x∈[-，0]，当x∈[1，2）时，f（x）=-（0.5）|x-1.5|∈[-1，]，∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为-1，又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[-2，0）时，f（x）的最小值为-，当x∈[-4，-2）时，f（x）的最小值为-，若x∈[-4，-2]时，f（x）≥-t+恒成立，∴≥-t+恒成立．即t2-4t+3≤0，即（t-3）（t-1）≤0，即1≤t≤3，即t∈[1，3]，故选：B．根据条件，只要求出函数f（x）在x∈[-4，-2）上的最小值即可得到结论．本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，一元二次不等式的解法，难度较大．9.【答案】{0，1，2}【解析】解：∵集合A={0，1，2，3}，B={x|x2-2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴A∩B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】-3【解析】解：∵f（x）=2xf′（1）+x3，∴f′（x）=2f′（1）+3x2，令x=1，则f′（1）=2f′（1）+3×12=2f′（1）+3，即f′（1）=-3．故答案为：-3求函数的导数，让x=1，建立关于f′（1）的方程，即可求解．本题主要考查导数的计算和求值，利用f′（1）为常数，建立关于f′（1）的方程是解决本题的关键，比较基础．11.【答案】16π【解析】解：设圆柱的底面半径为r，则其高为2r．三棱柱的底面是正三角形，内接于圆，如图：连接OA，OB，过O作OD垂直于AB，垂足为D，因为三角形ABC为等边三角形，所以∠OAB=30°，在直角三角形中，AD=OA×cos30°=，∴AB=r，∴三棱柱的体积为=12．解得r=2，所以圆柱的侧面积为：2πr×2r=2π×2×4=16π．故填：16π．根据已知条件求出底面半径，同时得到圆柱的母线长，进而得到圆柱的侧面积．本题考察圆柱侧面积的简单计算，属于基础题．12.【答案】6π【解析】解：根据题意，圆C：（x-m）2+（y-1）2=m2-1，则其圆心为（m，1），半径为，直线y=mx与圆C交于A，B两点，且∠ACB=60°，则△ABC为等边三角形，则圆心到直线y=mx的距离d=r，即=×，解可得：m2=7，则圆的半径r==，则圆的面积S=πr2=6π；故答案为：6π．根据题意，分析圆C的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系可得圆心到直线y=mx的距离d=r，进而可得=×，解可得m的值，由圆的面积公式计算可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析弦长与圆心到直线的距离，半径的关系，属于基础题．13.【答案】22【解析】【分析】本题考查向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，属于中档题.由=3，可得=+，=-，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案．【解答】解：∵=3，∴=+=+，=-，又∵AB=8，AD=5，∴=（+）（-）=||2--||2=25--12=2，故•=22，故答案为22．14.【答案】【解析】解：∵，∴2cos2（x+y-1）=∴2cos2（x+y-1）=，故2cos2（x+y-1）==（x-y+1）+，由基本不等式可得（x-y+1）+≥2，或（x-y+1）+≤-2，∴2cos2（x+y-1）≥2，由三角函数的有界性可得2cos2（x+y-1）=2，故cos2（x+y-1）=1，即cos（x+y-1）=±1，此时x-y+1=1，即x=y∴x+y-1=kπ，k∈Z，故x+y=2x=kπ+1，解得x=，故xy=x•x=，当k=0时，xy的最小值，故答案为：配方可得2cos2（x+y-1）==（x-y+1）+，由基本不等式可得（x+y+1）+≤2，或（x-y+1）+≤-2，进而可得cos（x+y-1）=±1，x=y=，由此可得xy的表达式，取k=0可得最值．本题考查基本不等式在最值问题中的应用，余弦函数的单调性，得出cos（x+y-1）=±1是解决问题的关键，属中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x-A）cos x+sin（B+C）=2（sin x cos A-cos x sin A）cos x+sin A=2sin x cosxcos A-2cos2x sin A+sin A=sin2x cos A-cos2x sin A=sin（2x-A），由于函数f（x）的图象关于点（，0）对称，则f（）=0，即有sin（-A）=0，由0＜A＜π，则A=，则f（x）=sin（2x-），由于x∈（0，），则2x-∈（-，），即有-＜sin（2x-）≤1．则值域为（-，1]；（Ⅱ）由正弦定理可得===，则sin B=b，sin C=c，sin B+sin C=（b+c）=，即b+c=13，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cos A，即49=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc，即有bc=40，则△ABC的面积为S=bc sin A=×40×=10．【解析】（Ⅰ）运用两角差的正弦公式和诱导公式，结合二倍角公式，化简f（x），再由对称性，计算可得A，再由x的范围，结合正弦函数的图象和性质，即可得到值域；（Ⅱ）运用正弦定理和余弦定理，可得bc=40，再由面积公式即可计算得到．本题重点考查正弦定理和余弦定理以及面积公式的运用，考查两角和差的正弦公式和二倍角公式的运用，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】解：（1）由频率分布直方图得：（0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005）×10=1，解得a=0.03．（2）由频率分布直方图得不低于60分的学生的频率为：1-（0.010+0.015）×10=0.75，∴估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数为：0.75×640=480．（3）①数学成绩在[40，50）的学生人数为：0.010×10×40=4人，设为A，B，C，D，数学成绩在[90，100]的学生人数为：0.005×10×40=2人，设为a，b，数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，所有可能的结果有15种，分别为：（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）．②这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10包含的基本事件有7种，分别为：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），（a，b）∴这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率p=．【解析】本题考查实数值、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、概率、列举法，考查运算求解能力，属于中档题．（1）由频率分布直方图能求出a．（2）由频率分布直方图得不低于60分的学生的频率为0.75，由此能估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数．（3）①数学成绩在[40，50）的学生人数为4人，设为A，B，C，D，数学成绩在[90，100]的学生人数为2人，设为a，b，数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，利用列举法能求出所有可能的结果．②这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10包含的基本事件有7种，这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．17.【答案】证明：（1）∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD，∵AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1．解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=BC=1，AA1=t，则D（0，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，t），C（0，1，0），=（1，1，0），=（0，1，t），=（0，1，0），设平面DBC1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，），平面BDC的法向量=（0，0，1），∵二面角C1-BD-C的大小为60°，∴cos60°==，解得t=，∴B（1，1，0），C1（0，1，），A（1，0，0），C（0，1，0），=（-1，0，），=（-1，1，0），设异面直线BC1与AC所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线BC1与AC所成角的余弦值为．【解析】（1）推导出AC⊥BD，CC1⊥BD，由此能证明BD⊥平面ACC1A1．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BC1与AC所成角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d=2，a2是a1与a4的等比中项，可得a22=a1a4，即（a1+2）2=a1（a1+6），解得a1=2，则a n=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n；（Ⅱ）数列{b n}满足：，可得a1=，即b1=8；n≥2时，a n-1=++…+，与，相减可得2=，即有b n=2（3n+1），上式对n=1也成立，可得b n=2（3n+1），n∈N*；（Ⅲ）=n（3n+1），则前n项和T n=（1•3+2•32+…+n•3n）+（1+2+…+n），设S n=1•3+2•32+…+n•3n，3S n=1•32+2•33+…+n•3n+1，相减可得-2S n=3+32+…+3n-n•3n+1=-n•3n+1，化简可得S n=，则T n=+n（n+1）．【解析】（Ⅰ）运用等差数列{a n}的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项，可得所求通项公式；（Ⅱ）令n=1可得数列b1，n≥2时，将n换为n-1，作差可得所求通项公式；（Ⅲ）求得=n（3n+1），运用数列的分组求和和错位相减法，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19.【答案】20．（本小题满分12分）解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，∴依题意，解得a=2，b=，c=1，∴椭圆C的方程为：．…（5分）（2）设过椭圆右焦点F2的直线l：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，则，整理，得：（3t2+4）y2+6ty-9=0，由韦达定理，得：，，∴|y1-y2|===，∴==，椭圆C的内接平行四边形面积为S=4S△OAB=，令m=≥1，则S=f（m）==，注意到S=f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴S max=f（1）=6，当且仅当m=1，即t=0时等号成立．故这个平行四边形面积的最大值为6．…（12分）【解析】（1）由椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设过椭圆右焦点F2的直线l：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，由，得：（3t2+4）y2+6ty-9=0，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性，能求出平行四边形面积的最大值．本题考查椭圆方程的求法，考查平行四边形的面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性的合理运用．20.【答案】解：（1）∵，∴，∴（-∞，1）↑，（1，+∞）↓，∴g（x）极大值g（1）=1，无极小值；…（4分）（2）∵m=1，a=0，∴f（x）=x-1，在[3，4]上是增函数∴，在[3，4]上是增函数设3≤x1＜x2≤4，则原不等式转化为即…（6分）令，即证∀x1＜x2，h（x2）＜h（x1），即h（x）在[3，4]↓∵h′（x）=1-e x＜0在[3，4]恒成立即h（x）在[3，4]↓，即所证不等式成立．…（9分）（3）由（1）得g（x）在（0，1）↑（1，e）↓，g（x）max=g（1）=1所以，g（x）∈（0，1]又不符合题意当m＞0时，要∃t1，t2使得f（t1）=f（t2），那么由题意知f（x）的极值点必在区间（0，e）内，即得，且函数f（x）在由题意得g（x）在（0，e）上的值域包含于f（x）在上的值域，∴内，，下面证时，f（t）≥1，取t=e-m，先证．令w（x）=2e x-x，∴内恒成立，∴w（x）↑，∴，∴2e m-m＞0，再证f（e-m）≥1，∵，∴．…（14分）【解析】（1）求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后求解极值．（2）通过m=1，a=0，化简f（x）=x-1，利用函数的单调性，转化原不等式转化，构造函数，利用新函数的导数的单调性，证不等式成立．（3）由（1）得g（x）的最大值，求出函数f（x）的导数，判断m≤0，不满足题意；当m＞0时，要∃t1，t2使得f（t1）=f（t2），f（x）的极值点必在区间（0，e）内，求出m的范围，当，利用g（x）在（0，e）上的值域包含于f（x）在上的值域，推出关系式，通过构造函数w（x）=2e x-x，通过导数求解函数的最值，然后推出．本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性的判断与应用，新函数以及构造法的应用，考查综合分析问题解决问题的能力．。
天津市河东区2020届高三高考模拟考试(一)数学试题
2020河东一模一、选择题1．已知集合{2,3,4,4,5}A =---，{1|}B x x π=||-<，则A B ⋂=（ ）A ．{2,3,4}--B ．{2,4,5}-C ．{1,2,3,4,0,1,2,3,4,5}----D ．{2,4}-2．i 是虚数单位，复数Z 满足条件2||2Z Z i +=，则复数Z 在复平面的坐标为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．双曲线2221(0)5x y a a -=>的一条渐进线与直线y =垂直，则a 的值为（ ） A ．5B ．25CD ．14．已知平面α、β，直线l α∈，直线m 不在平面α上，下列说法正确的是（ ）A ．若//,αβ//m β，则//l mB ．若//,αβm β⊥，则l m ⊥C ．若//,l m //αβ，则//m βD ．若,lm ⊥//m β，则a β⊥5．对于非零向量a r 、b r ，“2a b =r r ”是“a r ，b r共线”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数()f x 为定义在[3,3]-的奇函数，且(2)(1)(3)0f f f >>>，则下列各是一定正确的是（ ）A ．2131(1)log (0)log 98f f f f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．1231log 9(1)log (0)8f f f f ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()123log 9(1)(1)log 8f f f f ⎛⎫-+->- ⎪⎝⎭D ．1231log 9(1)log (0)8f f f f ⎛⎫⎛⎫+-<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．三角形ABC 中，,A ∠,B ∠C ∠对应的边分别为a ，b ，c ，23A π∠=，3b =，三角形ABC，则边a 的值为（ ）A B ．2C ．7D ．498．已知实数a ，b ，0ab >，则22224aba b a b +++的最大值为（ ） A ．16B ．14C ．17D ．69．已知函数()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭130,24x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，函数()()g x f x a =+有三个零1,x 2,x 3x ，则123x x x ++的取值范围是（ ） A ．107,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．75,128ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．50,8π⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．75,128ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题10．在52y ⎫⎪⎭的展开式中，3xy 的系数是________．11．已知抛物线的焦点为10,2F ⎛⎫-⎪⎝⎭，点(1,)P t 在抛物线上，则点到F 的距离________． 12．已知圆O 过点(0,0)A 、(0,4)B 、(1,1)C ，点(3,4)D 到圆O 上的点最小距离为________．13．正四棱锥的高与底面边长相等且体积为83，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧楞中点的求的表面积为________．14．已知圆O 内接正三角形ABC 边长为2，圆心为O ，则OB OC ⋅=u u u r u u u r________．若线段BC 上一点D ，1,2BD DC =OC AD ⋅=u u u r u u u r ________．15．函数(),f x x =2()3g x x x =-+，若存在1,x 2,x ,⋅⋅⋅90,2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()()()()()121121,n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++⋯+=++⋯+*n N ∈，则n 的最大值为________．三、解答题16．已知递增等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，数列{}n c ，111a c ==，49c =，1a 、2a 、3a 成等比数列，2n n b a c =+，*n N ∈．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n S ．17．“海河英才”行动计划政策实施1年半以来，截止2019年11月30日，累计引进各类人才落户23．5万人．具体比例如图，新引进两院院士，长江学者，杰出青年，科学基金获得者等顶尖领军人才112人，记着李军计划从人才库中随机抽取一部分进行调查．（1）李军抽取了8人其中学历型人才4人，技能型人才3人，资格型人才1人，周二和周五随即进行采访，每天4人（4人任意顺序），周五采访学历型人才不超过2人的概率；（2）李军抽取不同类型的人才有不同的采访补助，学历型人才500元/人，技能型人才400元/人，资格型人才600元/人，则创业急需型人才最少需要多少元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人？18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 边长为2，E 是P A 的中点．（1）求证：//PC 平面BDE ；（2）求证：直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值为1010，求P A 的长度； （3）若2PA =，线段PC 上是否存在一点F ，使AF⊥平面BDE ，若存在求PE 的长度，若不存在请说明理由．19．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(,0)F c ，左右顶点分别为A ，B ，上顶点为C ，120BFC ∠=︒．（1）求椭圆离心率；（2）点F 到直线BC 的距离为217，求椭圆方程； （3）在（2）的条件下，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，直线AP 与直线2x =交于点D ，说明P 运动时以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并证明．20．已知函数2()ln ,f x x x k x =-+0k >．（1）函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率为2，求K 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若函数()f x 有两个不同极值点为1x 、2x ，证明：()()12124f x f x k -<-．2020年河东区高考模拟考试数学参考答案一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，满分45分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案DBABBDCAD二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，满分30分． 10．54-11．11213．6π 14．23-、2315．8三、解答题：本大题共5小题，满分75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程． 16．（1）由己知，1(1)n a n d =+-，2215a a a =．解为2d =或0（舍），21n a n =-，*n N ∈，1112,b a c =+=12,n n b q -=44416b a c =+=，解2,q =2n n b =．（2）2(21)n nn n c b a n =-=--，21221232(21)n n n S c c c n =++⋯+=-+-+⋯+--2222[13(21)]n ''=++⋯+-++⋯+-1222n n +=--，*n N ∈．17．（1）事件A “周五采访学历型人才人数不超过2人”的概率，41322444444853()70C C C C C P A C ++==． （2）各类人才的补贴数额为随机变量ξ，取值分别为400、500．600、x 分布列为：()4000.2555000.5366000.1910.018484.60.018E x x ξ=⨯+⨯+⨯+=+，484.60.018500x +≥，解为7700(855.56)9x ≥． 18．（1）如图以D 为原点建立空间直角坐标系D-xyz ．(0,2,0)A ，(0,2,2)B ，(0,0,2)C ，(0,0,0)D ，(,2,0)P a ，(0)a >， ,2,02a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(,2,2)PC a =--u u ur ， 设平面BDE 法向量为()1111,,n x y z =u r(0,2,2)DB =u u u r ，,2,02a DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，14220PC n ⋅=--=u u u r，PC ⊄平面BDE ，//PC 平面BDE ．（2）设平面PCD 法向量为()2222,,,n x y z =u u r(0,0,2)DC =u u u r ，(,2,0)DP a =u u u r ，夹角θ，222sin cos ,||BE n BE n BE n θ⋅=〈>=||u u ur r u u u r ru u u r u u r == 解2a =或4．（3）2,a =(2,2,0),P ,PF PC λ=u u u r u u u r (22,22,2),F λλλ--1(2,1,1)n =--u r，(22,2,2),AF λλλ=--u u u r222,21λλ--=-解1,3λ=3PF =．19．（1）由已知1cos602c a =︒=， （2）(,0),B a (0,)C b，直线:BC l y x a =- 解为2,a =1c =，椭圆方程为22143x y +=． （3）以BD 为直径的图与直线PF 相切，证明直线:(2)(0)AP l y k x k =+≠，22(2)3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩交点为A ，(),p p P x y ， 得()2222431616120,kx k x k +++-=2216122,43P k x k --=+226843P k x k -=+， ()2122,43P P ky k x k =+=+(1,0)F ，点(2,4)D k ，BD 中点圆心(2,2)E k ．当12k=±时，点31,2P ⎛⎫± ⎪⎝⎭．直线:1PF l x =，圆心(2,1)+，半径1，与直线相切， 当12k≠±时，24114P PF P y k k x k ==--，24:(1)14PFkl y x k =--， 点E 到直线PF 的距离|2|E PFd k -==为半径，得证．20．（1）()21(0),kf x x x x '=-+>(1)12,f k '=+=1k ∴=，（2）令()210kf x x x'=-+=，即220x x k -+=，18k ∆=-．当18k≥时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞单调递增； 当108k<<时，0∆>， 1202kx x =>，12102x x +=>，1,x 20x >．1x =2x =12x x >，()f x 在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增，在1144⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭单调递减． （3）由（2）可知，108k<<，()()21f x f x >， ()()()2211212122lnx f x f x x x x x k x -=---+ ()()1121221lnx x x x x k x =-+-+[ln(1ln(144k k =-+=-+-，令(0,1)t=，则21112444k t -=∆=，只需证明2[ln(1)ln(1)]44t t k t t +--+<，2()[ln(1)ln(1)]44t tg t k t t =----+（只需证明()0g t >即可），211112()2411241t t k g t k t t t-⎛⎫'=---=-+ ⎪-+-⎝⎭，211(18)8t k k -=--=，()02tg t '∴=>，()g t 在(0,1)单调递增． ()(0)0g t g >=，得证．（注：学生有其它解法时，请参照以上标准按步骤给分）.。
2020届天津市河东区高三数学文科第一次模拟考试卷 人教版
2020届天津市河东区高三数学文科第一次模拟考试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试卷满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上。
注意：直接写在题后无效！1．（文）若集合A ＝｛x ∣x ≤2｝，B ＝｛x ∣x 2－3x ＝0｝，则集合A ∩B ＝（ ）（A ）｛3｝（B ）｛0｝ （C ）｛0，2｝（D ）｛0，3｝2．函数 y ＝x 2＋2（x ≤0）的反函数是（ ）（A ）y ＝x 2－2（x ≥2） （B ）y ＝－x 2－2（x ≥2） （C ）y ＝x 2－2（x ≥0）（D ）y ＝－x 2－2（x ≥0）3．△ABC 的内角满足sinA ＋cosA ＞0，tanA －sinA ＜0，则A 的取值范围是（ ）（A ）（0，π4）（B ）（π2，3π4）（C ）（π4，π2）（D ）（3π4，π）4．椭圆与双曲线 x 25－y 2＝1有共同的焦点，且一条准线的方程是x ＝36，则此椭圆的方程为（ ） （A ）x 218＋y212＝1（B ）x 212＋y218＝1（C ）x 212＋y26＝1（D ）x 29＋y26＝15．在下面给出的四个图形中，与函数 y ＝2－log 3x 的图象关于直线 y ＝x 对称的图形只可能是（ ）6．已知直线l ⊥平面α，直线m∩平面β，有如下四个命题： ① 若α∥β，则l ⊥m ；② 若α⊥ β，则l ∥m ；（A ）（B ）（C ）（D ）③ 若l ∥m ，则α⊥β； ④ 若l ⊥m ，则α∥β．其中正确的两个命题是（ ） （A ）①与② （B ）①与③ （C ）②与④（D ）③与④7．若函数f (x)＝x 2－2x －8 的定义域为A ，函数g(x)＝11－|x －a|的定义域为B ，则使A ∩B ＝〇／的实数a 的取值范围是（ ） （A ）（－1，3） （B ）[－1，3] （C ）（－2，4）（D ）[－2，4]8．设坐标原点为O ，抛物线 y 2＝4x 与过抛物线焦点的直线l 交于点A 、B ，则向量OA →·OB →的值为（ ） （A ）3 4（B ）－3 4（C ）－3（D ）39．（文）已知三棱锥P —ABC 的三条侧棱两两垂直，且PA ＝1，PB ＝3，PC ＝6，则底面三角形的内角ABC 的大小为（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60°（D ）90°10．（文）函数 f (x)＝a ∣x ∣（a ＞0，x ∈R ）的值域是 ｛ f (x)∣0＜f (x)≤1｝，则 f (－2)与f (1) 的大小关系是（ ）（A ）f (－2)＜f (1) （B ）f (－2)＝f (1) （C ）f (－2)＞f (1)（D ）不能确定二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案直接填在题中横线上． 11．某体协参加全运会有男运动员56人，女运动员42人．比赛后立即用分层抽样的方法从全体队员中抽出一个容量为28的样本进行尿样兴奋剂检查．其中男、女运动员应分别抽取16 、 12 人．12．在条件 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤20≤y ≤2y －x ≥1下，函数z ＝4－2x ＋y 的最大值是 6 ．13．如果等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝3n＋r ，那么r ＝ －1 ．14．（文）在等差数列｛a n ｝中，a 1＞0，S n 为｛a n ｝的前n 项和，且S 3＝S 9，则使S n 取最大值的n的值为 6 ．15．在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x－2310的展开式中，第五项等于8，则x 的值为 12－16log 335 ．16．（文）设a 为常数，已知 f (x)＝x 3＋2ax 2＋28x ＋a 2在x ＝－2时有极值，则a ＝ 5 ． 三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）（文）箱中装有大小相同的五个白球，三个红球．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是红球则结束，若取出的是白球，则白球不放回并继续从箱中任意取出一个球，但取出四个白球取球也结束．（Ⅰ）求取出一个白球的概率； （Ⅱ）求取出四个白球的概率． 解：（Ⅰ）P 1＝5×3A 28 ＝1556 ；---------------------------------6分 （Ⅱ）P 2＝ A 45 A 48 ＝114 ．---------------------------------12分18．（本小题满分12分）已知：向量 a →＝（1，x ），b →＝（x 2＋x ，－x ），m 为常数且m ≤－2．求使向量 a →·b →＋2＞m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 a →·b →＋1 成立的x 的取值范围．解：∵a →＝（1，x ），b →＝（x 2＋x ，－x ），∴a →·b →＝x 2＋x －x 2＝x ，∴原不等式等价于：x ＋2＞m ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2x ＋1，----------------------------4分整理，得：(x ＋2) (x －m)x＞0，即：x (x ＋2) (x －m)＞0．------------------------------------------------6分 当m ＝－2时，x ∈（0，＋∞）；---------------------------------------9分 当m ＜－2时，x ∈（m ，－2）∪（0，＋∞）．-------------------12分 19．（本小题满分12分）已知：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1． （Ⅰ）求棱AA 1与平面A 1BD 所成的角； （Ⅱ）求二面角B —A 1D —B 1的大小； （Ⅲ）求四面体A 1—BB 1D 的体积． 解：（Ⅰ）取BD 的中点O ，连结OA ，OA 1．∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ⊥BD ， 又AA 1⊥BD ，∴BD ⊥平面AA 1O ， ∴AA 1在平面A 1BD 上的射影落在OA 1上， ∴∠AA 1O 为AA 1与平面A 1BD 所成的角． ∵AA 1＝1，AO ＝22，∴tan ∠AA 1O ＝22，∴∠AA 1O ＝arctan 22．----4分 （Ⅱ）取B 1C 的中点E ，A 1D 的中点F ，连结BE 、EF 、FB ．∵△A 1BD 为正三角形，∴BF ⊥A 1O ， 又四边形A 1B 1CD 是矩形，∴EF ⊥A 1D ， ∴∠BFE 为二面角B —A 1D —B 1的平面角． ∵EF ∥A 1B 1，A 1B 1⊥平面BC 1，∴EF ⊥BF ．在Rt △BEF 中，BE ＝22，EF ＝1，∴tan ∠BFE ＝22，∴∠BFE＝arctan22．-----------------------------------------------------------------8分 （Ⅲ）V A 1—BB 1D ＝V B —A 1B 1D ＝V B —B 1DC ＝V D —BCB 1 ＝13·12·1·1·1＝16 ．--12分20．（本小题满分12分）在△ABC 中，设a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，S 为△ABC 的面积，且满足条件4sinB ·sin 2(π4＋B2)＋cos2B ＝1＋3． （Ⅰ）求∠B 的度数；（Ⅱ）若a ＝4，S ＝53，求b 的值．解：（Ⅰ）由已知条件可得：2sinB ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos(π2 ＋B)＋1－2sin 2B ＝1＋3，ABCDC 1B 1A 1D 1A BC DC 1B 1A 1D 1F E O化简整理，得：2sinB ＝3，∴sinB ＝32，B ＝60°或120°；------------5分 （Ⅱ）∵a ＝4，S ＝53，∴S ＝12acsinB ＝53，∴c ＝5；--------------------------8分当B ＝60°时，由b 2＝42＋52－2·4·5·cos60°＝21，得b ＝21；-----10分 当B ＝120°时，由b 2＝42＋52－2·4·5·cos120°＝61，得b ＝61．--12分21．（本小题满分14分）（文）设数列｛a n ｝、｛b n ｝都是正项数列，且对于任意n ∈N*，都有a n ，b 2n ，a n ＋1 成等差数列，b 2n ，a n ＋1，b 2n ＋1成等比数列．（Ⅰ）求证：数列｛b n ｝是等差数列；（Ⅱ）如果a 1＝1，b 1＝2，S n ＝1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n，求S n 的表达式．（Ⅰ）证明：∵a n＞0，b n＞0，且 ⎩⎨⎧2b 2n＝a n＋a n ＋1①a 2n ＋1＝b 2n ·b 2n ＋1 ②，由②得：a n ＋1＝b n ·b n ＋1，∴当n ≥2时，有a n ＝b n －1·b n ， 代入①，得：2b 2n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1，∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1（n ≥2），∴数列｛b n ｝是等差数列．---------------------------------6分（Ⅱ）解：由a 1＝1，b 1＝2，可得a 2＝3，b 2＝322， ∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝22(n ＋1)，-----------------------------8分 ∴a n ＝n(n ＋1)2，（n ∈N*）-------------------------------------10分 ∴S n ＝21·2＋22·3＋…＋2n(n ＋1)＝2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2n n ＋1．-------------14分22．（本小题满分14分）（理）已知：抛物线方程为 y ＝14 x 2＋1，点P （x 0，y 0）在抛物线上，且点P 处抛物线的切线为直线l ．（Ⅰ）写出直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 交x 轴于点Q ，求使∣PQ ∣的长最小的P 点坐标．（文）已知：A 、B 是椭圆 x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1（a ＞b ＞0）的一条弦，向量 OA →＋OB →交AB 于点M ，且向量OM →＝（2，1）．以M 为焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB 交于点N （4，－1）．（Ⅰ）求椭圆的离心率e 1；（Ⅱ）设双曲线的离心率为e 2，若e 1＋e 2＝f (a)，求 f (a) 的解析式，并确定它的定义域． 解：（Ⅰ）由 OA →＋OB →与AB 相交于点M ，可知：AB 的中点是M ，由 OM →＝（2，1），知：M （2，1）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，且AB 在椭圆上，有 x 12a 2 ＋y 12b 2 ＝1，x 22a 2 ＋y 22b2 ＝1，两式相减，得： (x 1－x 2) (x 1＋x 2) a 2＋ (y 1－y 2) (y 1＋y 2)b 2＝0， ∴k AB ＝ y 1－y 2 x 1－x 2＝－2b 2a2＝k MN ＝－1，∴a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝c 2， ∴椭圆的离心率e 1＝22．--------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）设椭圆的右准线为 l ，过点N 作 NN ′⊥ l 于N ′，则由双曲线定义及题意知：e 2＝MNMN ′ ＝(2－4)2＋22a 2c －4＝22 a 2c －4 ＝2a －22 ； ∴e 1＋e 2＝f (a)＝22＋2a －22 ＝2a 2a －42，-----------------------10分 由题设条件，lAB：y ＝－x ＋3， 代入椭圆方程并消去y ，得：3x 2－12x ＋18－a 2＝0，由△＝122－12(18－a 2)＞0，得a 2＞6，∴a ＞6，又e 2＝2a －22，∴a ≠22，又由e 2＞1，得22＜a ＜2＋22，∴f (a)的定义域为：a ∈（22，2＋22）．---------------------------14分。
2020届天津市河东区高考模拟数学试题(解析版)
【点睛】
本题考查了待定系数法求圆的一般方程、标准方程，圆上的点到定点的距离最值，两点间的距离公式，属于基础题.
13．正四棱锥的高与底面边长相等且体积为 ，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱的中点的球的表面积为________.
【答案】
【解析】首先利用棱锥的体积公式求出棱锥的底边边长以及棱锥的高，在 中，求出 ，在 中，利用余弦定理求出半径 ，再利用球的表面积公式即可求解.
（1）由已知，
（2） ，直线 ，
即
则点 到直线 的距离 ，
解为 ， ，椭圆方程为
（3）以 为直径的圆与直线 相切，
证明：直线
交点为
得 ，
，
， ，点 ， 中点圆心
当 时，点 ，直线 ，圆心 ，半径1，与直线相切；
当 时， ，
点 到直线 的距离 为半径，得证.
【点睛】
本题考查了椭圆的简单几何性质、椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系中的定值问题，考查了考生的计算能力，属于难题.
2020届天津市河东区高考模拟数学试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】首先求出集合 ，然后利用集合的交运算即可求解.
【详解】
由 ， ，
所以 .
故选：D
【点睛】
本题考查了集合的交运算、绝对值的几何意义解不等式，属于基础题.
2． 是虚数单位，复数 满足条件 ，则复数 在复平面上对应的点位于（）
【详解】
由 ，则 、 共线同向，充分性满足；
非零向量 、 ，当 ， 共线时，则 ，必要性不满足；
故“ ”是“ ， 共线”的充不必要条件.
故选：B
2020年天津市河东区高三一模数学试题
数学试卷第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 2．本卷共9个小题，每小题5分，共45分.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知,a b ∈R ，若i2i ib a +-=（i 是虚数单位），则复数i a b +是 A.12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +2．设∈θR ，则“22ππθ-<”是“sin 0θ>”的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件3．已知函数()2ln =+-f x x x ax .若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线y =2x 平行，则实数=aA ．72B ．2C ．32D ．14．在∆ABC 中，90∠=︒B ，3=AB ，4=BC ，以边BC 所在的直线为轴，将∆ABC 旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为 A ．36πB ．12πC ．36D ．12频率5．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取 部分学生参加环保知识测试，这些学生的成绩（分） 的频率分布直方图如图所示，数据（分数）的分组 依次为[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100.若分数在区间[)20,40的频数为5，则大于等于60分的人数为 A ．15B ．20C ．35D ．456．已知函数()25=+x f x x .若131log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(3log b f =，()0.26c f =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．>>a b cB ．>>a c bC ．>>c a bD ．>>c b a7．已知函数()()sin =+f x x ωϕ（0,2><πωϕ）的最小正周期为π，其图象关于直线6=x π对称.给出下面四个结论：①将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的函数图象关于原点对称；②点5012⎛⎫⎪⎝⎭，π为()f x 图象的一个对称中心；③142⎛⎫= ⎪⎝⎭f π；④()f x 在区间06⎡⎤⎢⎥⎣⎦，π上单调递增.其中正确的结论为A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④8．设双曲线22221-=x y a b()0>>a b的两条渐近线与圆2210+=x y 相交于A ，B ，C ，D 四点，若四边形ABCD 的面积为12，则双曲线的离心率是3D ．9．在等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，60∠=︒BAD ，8=AB ，4=CD .若M 为线段BC 的中点，E 为线段CD 上一点，且27⋅=u u u u r u u u rAM AE ，则⋅=u u u u r u u u r DM DEA.15B ．10C ．203D ．5第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定位置上. 2．本卷共11个小题，共105分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分, 共30分；答题直接填写结果，不必写计算或推证过程.10．已知集合{}2,2=m A ，{},=B m n （,m n ∈R ），且14⎧⎫=⎨⎬⎩⎭I A B ，则=U A B ▲ .11．在522⎫-⎪⎭x 的展开式中，5x 项的系数为 ▲ （用数字作答）.12．设0,0>>a b ，若a 与2b 的等差中项是2，则22log 2log +a b 的最大值是 ▲ . 13．已知圆:C ()()221116x y ++-=，过点()2,3P -的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB =，则的方程为 ▲ .14．天津市某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为:每位参赛教师都要回答3个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，若每答对1个问题，得1分；答错，得0分，最后按照得分多少排出名次，并分一、二、三等奖分别给予奖励.已知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为31,,42p .若教师甲恰好答对3个问题的概率是14，则p = ▲ ；在前述条件下，设随机变量X 表示教师甲答对题目的个数，则X 的数学期望为 ▲ .15．已知函数()20,0.x x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .三、解答题:本大题共5个小题,共75分；解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤.16.（本小题满分14分）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sinsin 2+=A Ba c A，=c 23=a b .（1）求角C 的大小； （2）求()sin -C B 的值. 17．（本小题满分15分）如图，在三棱柱111-ABC A B C 中，四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，且1111⊥A B B C ，M 为1CC 的中点， N 为1A B 的中点.（1）求证：MN //平面ABC ； （2）求二面角1--B MN B 的正弦值； （3）设P 是棱11B C 上一点，若直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为215，求111B P B C 的值.18．（本小题满分15分）已知抛物线:C 2=y 的焦点为椭圆:E 22221+=x y a b（0>>a b ）的右焦点，C的准线与E 交于P ，Q 两点，且2=PQ .（1）求E 的方程；（2）过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ，且BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，若直线AM 的斜率为1，求l 的方程.19.（本小题满分15分）设{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列.已知48a =，322a a =+，12b a =，265b b a +=. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设2121221,+12,m m n m a b n m c b n m --=-⎧=⎨=⎩，，其中m ∈N *，求数列{}n c 的前2n 项和.20.（本小题满分16分）已知函数()ln 1()f x x m x m =--∈R 在1x =处取得极值A ，函数()()g x f x =+1x e x --，其中 2.71828e =L 是自然对数的底数.（1）求m 的值，并判断A 是()f x 的最大值还是最小值；（2）求()gx 的单调区间；（3）证明：对于任意正整数n ，不等式2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 成立.。
2020河东区高三一模数学试卷及答案
答案第1页共4页2020年河东区高考模拟考试数学参考答案一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，满分45分．题号123456789答案D B A B B D C A D二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．10、45-11、112、513、π614、32-、3215、8三、解答题：本大题共5小题，满分75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程．16、（1）由已知，d n a n )1(1-+=，5122a a a =……2分解为2=d 或0（舍），12-=n a n *∈N n ……4分2111=+=c a b ，12-=n n q b ，16444=+=c a b ，解2=q ，n n b 2=……8分（2）)122--=-=n a b c nn n n （)12(23212221--++-+-=+++=n c c c S n n n []21222)12(31222n n n n --=-+++-+++=+ *∈N n ……14分17、（1）事件A“周五采访学历型人才人数不超过2人”的概率7053)(482424341444=++=C C C C C C A P ……6分（2）各类人才的补贴数额为随机变量ξ，取值分别为400、500、600、x分布列为：ξ400500600x P 25.5%53.6%19.1% 1.8%答案第2页共4页x x E 018.06.484018.0191.0600536.0500255.0400)(+=+⨯+⨯+⨯=ξ500018.06.484≥+x ，解为97700≥x （855.56）……15分18、（1）如图以D 为原点建立空间直角坐标系xyzD -A （0，2，0）B （0，2，2）C （0，0，2）D （0，0，0）P （a ，2，0）)0(>aE （2a ，2，0）=PC （a -，-2，2）设平面BDE 法向量为),,(1 z y x n ==（0，2，2）=（2a ，2，0）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+022022 y x a z y 令1= y ，)1,1,4(1--=a n 02241=--=∙n PC ，⊄PC 平面BDE ，//PC 平面BDE ……5分（2）设平面PCD 法向量为),,(2 z y x n =，=DC （0，0，2）=DP （a ，2，0）⎩⎨⎧=+=0202y ax z 令2= x ，)0,,2(2a n -==BE （2a ，0，-2），夹角θ1010444,cos sin 222=++==><=a a a n θ解2=a 或4……10分（3）2=a ，P （2，2，0），λ=，)2,22,22(λλλ--F ，)1,1,2(1--=n )2,2,22(λλλ--=，，12222λλ-=--，解31=λ，332=PF ……15分答案第3页共4页19、（1）由已知，2160cos == a c ……3分（2）)0,(a B ，),0(b C ，直线)(23:a x y l BC --=，7217)(3=-=-c a d BC F 解为2=a ，1=c ，椭圆方程为13422=+y x ……7分（3）以BD 为直径的圆与直线PF 相切，证明直线)0)(2(:≠+=k x k y l AP ⎩⎨⎧=++=1243)2(22y x x k y 交点为A ，()p p y x P ,得0121616)34(2222=-+++k x k x k ，341216222+-=-k k x p ，348622+-=k k x p 3412)2(2+=+=k k x k y p p ，)0,1(F ，点)4,2(k D ，BD 中点圆心)2,2(k E 当21±=k 时，点23,1(±P ，直线1:=x l PF ，圆心()1,2±，半径1，与直线相切当21±≠k 时，24141k k x y k p p PF -=-=，)1(414:2--=x kk y l PF 点E 到直线PF 的距离k k k k kk d PF E 24411124412222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⨯--=-为半径，得证……15分20、（1）)0(12)(>+-='x xk x x f ，21)1(=+='k f ，1=∴k ……3分（2）令012)(=+-='xk x x f 即022=+-k x x ，k 81-=∆当81≥k 时，0≤∆，0)(≥'x f ，)(x f 在()+∞,0单调递增当810<<k 时，0>∆，0221>=k x x ，02121>=+x x ，0,21>x x答案第4页共4页48111k x -+=，48112k x --=，21x x >)(x f 在)4811,0(k --，),4811(+∞-+k 单调递增在)4811,4811(k k -+--单调递减……8分（3）由（2）可知，810<<k ，)()(12x f x f >2121212121222121ln )1)((ln )()()(x x k x x x x x x k x x x x x f x f +-+-=+---=-[])1ln()1ln(411ln 4∆--∆++∆-=∆-∆++∆-=k k 令()1,0∈∆=t 则24141241t k =∆=-，只需证明[]4)1ln()1ln(42t t t k t <+--+[])1ln()1ln(44)(2t t k t t t g +----=（只需证明0)(>t g 即可）212412)1111(412)(t k t t t k t t g -+-=+-----='k k t 8)81(112=--=-，02)(>='∴t t g ，)(t g 在()1,0单调递增0)0()(=>g t g ，得证……16分（注：学生有其它解法时，请参照以上标准按步骤给分）。
2020年天津市高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年天津市高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年天津市河东区第一次模拟考试—数学
天津市河东区2020届高三年级第一次模拟考试一、选择题1、已知全集{}，54432,,,,A ---=集合{}，π<-=1x |x B ，则=⋂B A A.{}432,,-- B.{}542,,- C.{}5432104321,,,,,,,,,---- D.{}，42,-2、i 是虚数单位，复数Z 满足条件2Z +|Z |=2i ，则复数Z 在复平面上对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、双曲线()015222>=-a y ax 的一条渐近线与直线x y 5=垂直，则a 的值为（） A.5 B.25 C.5 D.14、已知平面α，β，直线α⊂l ，直线m 不在平面上，下列说法正确的是A.若α//β，m//β，则 l //mB.若α//β，m ⊥β，则 l ⊥mC.若 l//β，α//β，则 m//βD.若l ⊥m ，m//β，则α⊥β5、对于非零向量，“=2”是“共线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件6、已知函数()x f 为定义在[-3，3]上的奇函数，且()()()0312>>>f f f ，则下列各式中一定成立的是A.()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛->⎪⎭⎫⎝⎛-90811312log f f log f f B.()()08119231f log f f log f +⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ C.()()()8119231log f f f log f ->-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛- D.()()08119231f log f f log f +⎪⎭⎫ ⎝⎛<-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 7、ABC ∆中∠A ，∠B ，∠C 所对应的边分别为a ，b ，c ，∠A=32π，b =3，ABC ∆的面积为4315，则边a 的长为 A.19 B.291C.7D.49 8、已知实数a ，b ，ab >0，则42222+++b a b a ab的最大值为 A.61 B.41 C.71D.6 9、已知函数））（（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=2413034ππ,x x siny ，函数()()a x f x g +=有3个零点321x ,x ,x ，则321x x x ++的取值范围是A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡27310ππ, B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡85127ππ, C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡850π, D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡85127ππ, 二、填空题10、若92⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 的展开式中3xy 的系数为_______.11、已知抛物线的焦点为（0，-21）点P （1，t ）在抛物线上，则点P 、F 的距离为_______.12、已知圆O 过点A （0，0）,B （0，4）,C （1，1）,点D （3，4）到圆O 上的点的最小距离为_______.13、正四棱锥的高和底面边长相等且体积为38，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱的中点的球的表面积为_______.14、如图，圆O 内接正三角形ABC 边长为2，圆心为O ，则⋅=_______.若线段BC 上一点D ，BD=21DC ，则⋅=_______.15、函数()x x f =，()32+-=x x x g 。
2020天津河东区高三数学一模
高三数学统练试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知集合，，2，3，，则A. B. C. 3， D.2.设，则“”是“直线与直线平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.设，，，则A. B. C. D.4.若圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为6，则实数k的值是A. B. 1 C. 4 D. 75.对于任意的实数a，b，记，若，其中函数是奇函数，且当时，；函数是正比例函数，其图象与时函数的图象如图所示，则下列关于函数的说法中，正确的是A. 为奇函数B. 在上为增函数C. 的最小值为，最大值为2D. 以上说法都不正确6.已知函数的最小值为a，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下面结论正确的是A. 函数是奇函数B. 函数在区间上是增函数C. 函数图象关于对称D. 函数图象关于直线对称7.某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则A. B. C. D.8.已知双曲线的两条渐近线与抛物线：的准线分别交于A，B两点．若双曲线C的离心率为2，的面积为，O为坐标原点，则抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.9.若函数对任意，都有，则t的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.设复数i满足是虚数单位，则复数z的模为______．11.在二项式的展开式中，各项系数的和为______，含x的一次项的系数为______用数字作答12.已知随机变量的分布列为：012 P b若，则______，______．13.正四棱锥底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果，则球O的体积是______．14.如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，，AD与CE的交点为若，则AB的长为______．15.在平面四边形ABCD中，已知的面积是的面积的3倍．若存在正实数x，y使得成立，则的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，．Ⅰ求c和sin A的值；Ⅱ求的值．17.如图，已知四棱锥的底面ABCD为等腰梯形，，，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又，，．求异面直线PD与BC所成角的余弦值；求二面角的大小；设点M在棱PC上，且，问为何值时，平面BMD．18.已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上，直线过椭圆C的右焦点与上顶点，动直线：与椭圆C交于M、N两点，交于P点．求椭圆C的方程；已知O为坐标原点，若点P满足，求此时的长度．19.已知各项均为正数的等比数列满足，，等差数列的前n项和为，，，．求数列和的通项公式；若，且不等式对任意的恒成立，求；求实数t的取值范围．20.已知函数．求在点处的切线方程；若，证明：在上恒成立；若方程有两个实数根，，且，证明：．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合，，2，3，，，3，．故选：C．先求出，由此能求出．本题考查补集、交集的求法，考查集合运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：直线与直线平行，直线斜率都存在且相等，，解得：，“”是““的充分不必要条件，故选：A．先利用两直线平行求出a的值，再结合充分必要条件的定义，从而求出答案．本题考查了充分必要条件，考查直线位置关系，是一道基础题．3.【答案】D【解析】解：，．．故选：D．利用对数函数、幂函数的单调性即可得出．本题考查了对数函数、幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：圆的方程化为标准方程为：，设圆心到直线的距离为d，则圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为，，，，，故选：D．先把圆的方程化为标准方程，设圆心到直线的距离为d，则圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为，从而求出半径，再求出k的值即可．本题主要考查了直线与圆的位置关系，是中档题．5.【答案】D【解析】解：设，则，故，又为奇函数，故，由图可知，正比例函数过，则，作出完整图象实线部分如图所示：由图象可知，的图象不关于原点对称，故其不为奇函数，且在上不为增函数，没有最大值、最小值，故选：D．根据条件可求出在时的解析式为，根据给出的定义可以画出的图象，数形结合逐一进行判断即可．本题考查新定义函数问题，考查函数利用奇偶性求解析式，数形结合思想，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：，当且仅当，即时，上式“”成立．．则将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则．，函数图象关于对称．故选：C．利用基本不等式求最值可得a，代入，再由函数的图象平移可得，结合得答案．本题考查型函数的图象变换及性质，是基础题．7.【答案】C【解析】解：他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为m，，n，三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，，解得．故选：C．利用相互独立事件概率加法公式和对立事件概率计算公式列出方程组，能求出的值．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率加法公式和对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】B【解析】解：双曲线的两条渐近线方程是，又抛物线的准线方程是，故A，B两点的纵坐标分别是，又由双曲线的离心率为2，所以，即，则，A，B两点的纵坐标分别是，又的面积为，可得，得，抛物线的焦点坐标为，故选：B．求出双曲线的渐近线方程与抛物线的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，的面积为，列出方程，由此方程求出p的值，可得所求焦点坐标．本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，解出A，B两点的坐标，考查离心率公式和三角形的面积公式，有一定的运算量，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：如图：当时；；其最大值为1；因为当时，；所以上最大值为；上最大值为；而；函数对任意，都有，则t的取值范围是；故选：C．画出分段函数的大致图象结合图象即可求解本题考查的知识点是分段函数的应用，带绝对值函数的图象，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．10.【答案】【解析】解：，．化为：．．故答案为：．利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】【解析】解：在二项式中，取，可得各项系数的和为；二项式的展开式的通项．由，得．含x的一次项的系数为．故答案为：；．直接在二项式中取，可得各项系数的和，写出二项展开式的通项，令x的指数为1求得r，则含x的一次项的系数可求．本题考查二项式定理的应用，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．12.【答案】【解析】解：，由随机变量的分布列，得：，并且，解得，，，．故答案为：；．由，利用随机变量的分布列，列出方程组求出，，由此能求出和．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.【答案】【解析】【分析】本题考查球的内接体问题，球的体积，考查学生空间想象能力，是基础题．由题意可知，平面ABCD，并且PO是球的半径，由棱锥的体积求出半径，然后求出球的体积．【解答】解：如图，正四棱锥底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，设球的半径为R，底面ABCD，，，又，，解得：，球O的体积：，故答案为：14.【答案】【解析】解：是BC的中点，，，，O，C三点共线，设，且三点A，O，D共线，，解得，，，，，．故答案为：．根据条件可得出，可设，根据三点A，O，D共线即可得出，从而可得出，进而得出，进行数量积的运算即可求出AB的长．本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，三点A，B，C共线，且时，可得出，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于中档题．15.【答案】【解析】【分析】本题考查平面向量的运算和均值不等式的应用，属于中档题．由题意不妨设，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，可得，，由的面积是的面积的3倍．可得，，，根据，可得，再利用基本不等式即可求解此题．【解答】解：如图以点A为坐标原点建立直角坐标系：由题意知，不妨设，可得，，由的面积是的面积的3倍．可得，，，由，可得整理得，即，所以当且仅当取等号，所以的最小值为，故答案为．16.【答案】解：Ⅰ中，由余弦定理，-------------------分得，-----------------------分又，，，所以，解得，；-----------------------分在中，，---------------------分由正弦定理得，--------------------分，；------------------------分因，则A为锐角，所以，---------------分，----------------------分；----------------------------分分【解析】Ⅰ根据题意，利用余弦定理和正弦定理，即可求得c和sin A的值；根据同角的三角函数关系和三角恒等变换，计算即可．本题考查了解三角形与三角函数求值问题，是基础题．17.【答案】解：平面ABCD，以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为0，，0，，2，，0，，，0，，．．故直线PD与BC所成的角的余弦值为．设平面PAB的一个法向量，由于，由取的一个法向量0，，．又二面角不是钝角．所求二面角的大小为设0，，由于P，M，C三点共线，可得，，若平面BMD成立则必有．．由知故时，平面BMD．【解析】以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，要求两条异面直线所成的角，在两条异面直线上构造方向向量，根据两条向量的夹角得到结果．设出平面的法向量，根据法向量与平面上的两条相交直线对应的向量垂直，列出关系式，写出平面的一个法向量，根据两个向量之间的夹角得到面面角．设出M点的坐标，根据三点共线与垂直，得到关于未知数的方程组，解出方程组得到点M的坐标，求出对应的的值．本题考查空间中直线与平面之间的关系，用空间向量求解夹角，本题解题的关键是建立坐标系，把理论的推导转化成数字的运算，降低了本题的理论推导的难度．18.【答案】解：由题意得：，，，解得：，，所以椭圆的方程：；由题意直线的方程：，代入椭圆中整理：，解得，令M的坐标，由对称性可知，点P为OM的中点．故P的坐标，由P在直线：，所以，解得：或，故M的坐标为，或，所以，或，所以的长度为4或．【解析】由离心率及过的点和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；直线的方程与椭圆联立求出点M的坐标，由得P点坐标，P的直线上求出k值，进而求出的值．考查直线与椭圆的综合，属于中难题．19.【答案】解：各项均为正数的等比数列的公比设为q，，由，可得，即，由，即，即，解得舍去，则；等差数列的公差设为d，前n项和为，，，即，可得，则，，；由，则；由，可得递增，取得最小值，由可得，由不等式对任意的恒成立，可得．【解析】各项均为正数的等比数列的公比设为q，，由等比数列的通项公式解方程可得首项和公比，即有；等差数列的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，结合恒等式可得，进而得到；由，运用裂项相消求和，计算可得所求；判断递增，求得最小值，解二次不等式，结合恒成立可得t的范围．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的裂项相消求和和不等式恒成立思想的应用，考查化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：函数，由，由，，所以切线方程为，当时，，所以．故只需证，构造，，又在上单调递增，且，知在上单调递增，故因此，得证．由知在点处的切线方程为．构造，，．当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增．又，，，所以在上单调递减，在上单调递增．所以．设方程的根又，由在R上单调递减，所以．另一方面，在点处的切线方程为．构造．，．当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增．又，，，所在上单调递减，在上单调递增．所以．设方程的根．又，由在R上单调递增，所以．，，，所以，得证．【解析】由，，可得利用点斜式可得切线方程．根据，当时，，所以故“在上恒成立”等价于“在上恒成立”，构造函数，只需证明最小值大于等于0即可．由知在处的切线方程，令，求得导数和单调性，可得，解方程得其根，运用函数的单调性，所以，；另一方面，在点处的切线方程为，构造，同理可得，解方程得其根，运用函数的单调性，所以根据不等式的基本性质即可得出结论．本题考查了导数的综合运用：求切线的斜率切线方程，求函数单调性和最值，考查分类讨论思想方法和构造函数法，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．。
天津市河东区2020届高三高考模拟考试(一)数学试题
2020河东一模一、选择题1．已知集合{2,3,4,4,5}A =---，{1|}B x x π=||-<，则A B ⋂=（ ）A ．{2,3,4}--B ．{2,4,5}-C ．{1,2,3,4,0,1,2,3,4,5}----D ．{2,4}-2．i 是虚数单位，复数Z 满足条件2||2Z Z i +=，则复数Z 在复平面的坐标为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．双曲线2221(0)5x y a a -=>的一条渐进线与直线y =垂直，则a 的值为（ ） A ．5B ．25CD ．14．已知平面α、β，直线l α∈，直线m 不在平面α上，下列说法正确的是（ ）A ．若//,αβ//m β，则//l mB ．若//,αβm β⊥，则l m ⊥C ．若//,l m //αβ，则//m βD ．若,l m ⊥//m β，则a β⊥5．对于非零向量a r 、b r ，“2a b =r r ”是“a r ，b r共线”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数()f x 为定义在[3,3]-的奇函数，且(2)(1)(3)0f f f >>>，则下列各是一定正确的是（ ）A ．2131(1)log (0)log 98f f f f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．1231log 9(1)log (0)8f f f f ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()123log 9(1)(1)log 8f f f f ⎛⎫-+->- ⎪⎝⎭D ．1231log 9(1)log (0)8f f f f ⎛⎫⎛⎫+-<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．三角形ABC 中，,A ∠,B ∠C ∠对应的边分别为a ，b ，c ，23A π∠=，3b =，三角形ABC的面积为4，则边a 的值为（ ）AB ．2C ．7D ．498．已知实数a ，b ，0ab >，则22224aba b a b +++的最大值为（ ） A ．16B ．14C ．17D ．69．已知函数()sin 43f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭130,24x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，函数()()g x f x a =+有三个零1,x 2,x 3x ，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．107,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．75,128ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．50,8π⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．75,128ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题10．在52y ⎫⎪⎭的展开式中，3xy 的系数是________．11．已知抛物线的焦点为10,2F ⎛⎫-⎪⎝⎭，点(1,)P t 在抛物线上，则点到F 的距离________． 12．已知圆O 过点(0,0)A 、(0,4)B 、(1,1)C ，点(3,4)D 到圆O 上的点最小距离为________．13．正四棱锥的高与底面边长相等且体积为83，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧楞中点的求的表面积为________．14．已知圆O 内接正三角形ABC 边长为2，圆心为O ，则OB OC ⋅=u u u r u u u r________．若线段BC 上一点D ，1,2BD DC =OC AD ⋅=u u u r u u u r ________．15．函数(),f x x =2()3g x x x =-+，若存在1,x 2,x ,⋅⋅⋅90,2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()()()()()121121,n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++⋯+=++⋯+*n N ∈，则n 的最大值为________． 三、解答题16．已知递增等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，数列{}n c ，111a c ==，49c =，1a 、2a 、3a 成等比数列，2n n b a c =+，*n N ∈．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n S ．17．“海河英才”行动计划政策实施1年半以来，截止2019年11月30日，累计引进各类人才落户23．5万人．具体比例如图，新引进两院院士，长江学者，杰出青年，科学基金获得者等顶尖领军人才112人，记着李军计划从人才库中随机抽取一部分进行调查．（1）李军抽取了8人其中学历型人才4人，技能型人才3人，资格型人才1人，周二和周五随即进行采访，每天4人（4人任意顺序），周五采访学历型人才不超过2人的概率；（2）李军抽取不同类型的人才有不同的采访补助，学历型人才500元/人，技能型人才400元/人，资格型人才600元/人，则创业急需型人才最少需要多少元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人？18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 边长为2，E 是P A 的中点．（1）求证：//PC 平面BDE ；（2）求证：直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值为1010，求P A 的长度； （3）若2PA =，线段PC 上是否存在一点F ，使AF ⊥平面BDE ，若存在求PE 的长度，若不存在请说明理由．19．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(,0)F c ，左右顶点分别为A ，B ，上顶点为C ，120BFC ∠=︒．（1）求椭圆离心率； （2）点F 到直线BC 的距离为217，求椭圆方程； （3）在（2）的条件下，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，直线AP 与直线2x =交于点D ，说明P 运动时以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并证明．20．已知函数2()ln ,f x x x k x =-+0k >．（1）函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率为2，求K 的值； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若函数()f x 有两个不同极值点为1x 、2x ，证明：()()12124f x f x k -<-． 2020年河东区高考模拟考试数学参考答案一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，满分45分． 题号123456789二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，满分30分． 10．54-11．11213．6π 14．23-、2315．8三、解答题：本大题共5小题，满分75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程． 16．（1）由己知，1(1)n a n d =+-，2215a a a =．解为2d =或0（舍），21n a n =-，*n N ∈，1112,b a c =+=12,n n b q -=44416b a c =+=，解2,q =2nn b =．（2）2(21)n n n n c b a n =-=--，21221232(21)n n n S c c c n =++⋯+=-+-+⋯+-- 2222[13(21)]n ''=++⋯+-++⋯+-1222n n +=--，*n N ∈．17．（1）事件A “周五采访学历型人才人数不超过2人”的概率，41322444444853()70C C C C C P A C ++==． （2）各类人才的补贴数额为随机变量ξ，取值分别为400、500．600、x 分布列为：()4000.2555000.5366000.1910.018484.60.018E x x ξ=⨯+⨯+⨯+=+，484.60.018500x +≥，解为7700(855.56)9x ≥． 18．（1）如图以D 为原点建立空间直角坐标系D -xyz ．(0,2,0)A ，(0,2,2)B ，(0,0,2)C ，(0,0,0)D ，(,2,0)P a ，(0)a >，,2,02a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(,2,2)PC a =--u u ur ， 设平面BDE 法向量为()1111,,n x y z =u r(0,2,2)DB =u u u r ，,2,02a DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，14220PC n ⋅=--=u u u r，PC ⊄平面BDE ，//PC 平面BDE ．（2）设平面PCD 法向量为()2222,,,n x y z =u u r(0,0,2)DC =u u u r ，(,2,0)DP a =u u u r ，夹角θ，222sin cos ,||BE n BE n BE n θ⋅=〈>=||u u ur r u u u r ru u u r u u r ==解2a =或4．（3）2,a =(2,2,0),P ,PF PC λ=u u u r u u u r (22,22,2),F λλλ--1(2,1,1)n =--u r，(22,2,2),AF λλλ=--u u u r222,21λλ--=-解1,3λ=3PF =19．（1）由已知1cos602c a =︒=， （2）(,0),B a (0,)C b，直线:BC l y x a =- 解为2,a =1c =，椭圆方程为22143x y +=． （3）以BD 为直径的图与直线PF 相切，证明直线:(2)(0)AP l y k x k =+≠，22(2)3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩交点为A ，(),p p P x y ， 得()2222431616120,k x k x k +++-=2216122,43P k x k --=+226843P k x k -=+， ()2122,43P P ky k x k =+=+(1,0)F ，点(2,4)D k ，BD 中点圆心(2,2)E k ．当12k =±时，点31,2P ⎛⎫± ⎪⎝⎭．直线:1PF l x =，圆心(2,1)+，半径1，与直线相切， 当12k ≠±时，24114P PF P y k k x k ==--，24:(1)14PFk l y x k =--， 点E 到直线PF 的距离|2|E PF d k -==为半径，得证．20．（1）()21(0),kf x x x x '=-+>(1)12,f k '=+=1k ∴=， （2）令()210kf x x x'=-+=，即220x x k -+=，18k ∆=-． 当18k ≥时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞单调递增； 当108k <<时，0∆>， 1202k x x =>，12102x x +=>，1,x 20x >．1x =2x =12x x >，()f x 在10,4⎛- ⎝⎭，14⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，在11,44⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减． （3）由（2）可知，108k <<，()()21f x f x >， ()()()2211212122lnx f x f x x x x x k x -=---+ ()()1121221lnx x x x x k x =-+-+[ln(1ln(144k k =-+=-+-，令(0,1)t =，则21112444k t -=∆=，只需证明2[ln(1)ln(1)]44t t k t t +--+<，2()[ln(1)ln(1)]44t tg t k t t =----+（只需证明()0g t >即可），211112()2411241t t k g t k t t t-⎛⎫'=---=-+ ⎪-+-⎝⎭，211(18)8t k k -=--=，()02tg t '∴=>，()g t 在(0,1)单调递增． ()(0)0g t g >=，得证．（注：学生有其它解法时，请参照以上标准按步骤给分）.。
天津市河东高考数学一模试卷(文科)有答案
天津市河东区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．设集合I={x||x|＜3，x∈Z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∪（C I B）=（）A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2}2．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是（）A．B．C．D．不确定3．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．9 B．10 C．11 D．4．在△ABC中，b=5，∠B=，tanA=2，则a的值是（）A．10B．2C． D．5．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S=（）A．190 B．94 C．46 D．226．已知函数f（x）=a x+x﹣b的零点x0∈（n，n+1）（n∈Z），其中常数a，b满足0＜b＜1＜a，则n的值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣l7．图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变8．已知，且函数y=f（x）﹣2x恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣4，0]B．[﹣8，+∞）C．[﹣4，+∞）D．（0，+∞）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=．10．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为．11．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点与抛物线y2=16x 的焦点相同．则双曲线的方程为．12．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为．13．若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是．14．在平面四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点，且AB=1，EF=，CD=，若•=15，则•的值为．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如表所示．每生产一只圆桌可获利6元，生产一个衣柜可获利10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜各生产多少，才使获得利润最多，利润最多为多少？16．已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（α）=，求sin（π﹣4α）的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2，，．（1）求证：PE⊥平面ABCD；（2）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值；（3）求直线BM与CD所成角的余弦值．18．已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值；②已知点，求证：为定值．19．已知函数f（x）=，数列{a n}满足a1=1，a n+1=f（），n∈N*，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1，求T n；（3）令b n=（n≥2），b1=3，S n=b1+b2+…+b n，若S n＜对一切n∈N*成立，求最小正整数m．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．（I）当a=﹣1时，若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，且AB的中点为C（x0，0），求证：f′（x0）＜0．天津市河东区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．设集合I={x||x|＜3，x∈Z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∪（C I B）=（）A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】把集合A用列举法表示，然后求出C I B，最后进行并集运算．【解答】解：因为I={x||x|＜3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，所以，C I B={0，1}，又因为A={1，2}，所以A∪（C I B）={1，2}∪{0，1}={0，1，2}．故选D．【点评】本题考查了并集和补集的混合运算，考查了学生对集合运算的理解，是基础题．2．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是（）A．B．C．D．不确定【考点】几何概型；任意角的三角函数的定义．【专题】计算题．【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值．【解答】解：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，所以事件A发生的概率．故选B【点评】本题主要考查概率中的几何概型长度类型，关键是找出两段的长都不小于1m的界点来．3．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．9 B．10 C．11 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据得出该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案．【解答】解：．由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，==1，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，V三棱锥所以V=4×3﹣1=11．故选：C【点评】本题考查了空间几何体的性质，求解体积，属于计算题，关键是求解底面积，高，运用体积公式．4．在△ABC中，b=5，∠B=，tanA=2，则a的值是（）A．10B．2C． D．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinA=，再由正弦定理求得a的值．【解答】解：∵在△ABC中，b=5，∠B=，tanA==2，sin2A+cos2A=1，∴sinA=．再由余弦定理可得=，解得a=2，故选B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理的应用，属于中档题．5．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S=（）A．190 B．94 C．46 D．22【考点】循环结构；程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算运行的结果，直到满足条件i＞5，退出循环体，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：第一次运行i=2，S=2×（1+1）=4；第二次运行i=2+1=3，S=2×（4+1）=10；第三次运行i=3+1=4，S=2×（10+1）=22；第四次运行i=4+1=5，S=2×（22+1）=46；第五次运行i=5+1=6，S=2×（46+1）=94．满足条件i＞5，退出循环体，输出S=94．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．6．已知函数f（x）=a x+x﹣b的零点x0∈（n，n+1）（n∈Z），其中常数a，b满足0＜b＜1＜a，则n的值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣l【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数，一次函数的单调性，及增+增=增，可得函数f（x）=a x+x﹣b为增函数，结合常数a，b满足0＜b＜1＜a，可得f（﹣1）＜0，f（0）＞0，进而可得n值．【解答】解：∵函数f（x）=a x+x﹣b为增函数，常数a，b满足0＜b＜1＜a，∴f（﹣1）=﹣1﹣b＜0，f（0）=1﹣b＞0，∴函数f（x）=a x+x﹣b在（﹣1，0）内有一个零点，故n=﹣1，故选：D【点评】本题主要考查了函数零点的判定定理以及指数与对数的互化，函数f（x）=a x+x﹣b是增函数，单调函数最多只有一个零点，是解题的关键，属中档题．7．图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】综合题．【分析】先根据函数的周期和振幅确定w和A的值，再代入特殊点可确定φ的一个值，进而得到函数的解析式，再进行平移变换即可．【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．代入（﹣，0）可得φ的一个值为，故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），即y=sin2（x+），所以只需将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．故选A．【点评】本题主要考查三角函数的图象与图象变换的基础知识，属于基础题题．根据图象求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求φ．三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的8．已知，且函数y=f（x）﹣2x恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣4，0]B．[﹣8，+∞）C．[﹣4，+∞）D．（0，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用．【分析】当x≥0时，f（x）=f（x﹣2），可得当x≥0时，f（x）在[﹣2，0）重复的周期函数，根据x∈[﹣2，0）时，y=a﹣x2﹣4x=4+a﹣（x+2）2，对称轴x=﹣2，顶点（﹣2，4+a），进而可进行分类求实数a的取值范围．【解答】解：因为当x≥0的时候，f（x）=f（x﹣2），当x∈[0，2）时，x﹣2∈[﹣2，0），此时f（x）=f（x﹣2）=a﹣（x﹣2）2﹣4（x﹣2）当x∈[2，4）时，x﹣4∈[﹣2，0），此时f（x）=f（x﹣2）=f（x﹣4）=a﹣（x﹣4）2﹣4（x﹣4）依此类推，f（x）在x＜0时为二次函数a﹣x2﹣4x=﹣（x+2）2+a+4，在x≥0上为周期为2的函数，重复部分为a﹣x2﹣4x=﹣（x+2）2+a+4在区间[﹣2，0）上的部分．二次函数a﹣x2﹣4x=﹣（x+2）2+a+4顶点为（﹣2，a+4），y=f（x）﹣2x恰有3个不同的零点，即f（x）与y=2x恰有3个不同的交点，需满足f（x）与y=2x在x＜0时有两个交点且0≤a+4≤4或f（x）与y=2x在x＜0时有两个交点且a+4＞4∴﹣4≤a≤0或a＞0综上可得a≥﹣4故选C【点评】本题重点考查函数的零点与方程根的关系，考查函数的周期性，有一定的难度．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=．【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由（1+2ai）i=1﹣bi化简求出a、b的值，然后由复数模的公式即可求出|a+bi|的值．【解答】解：由（1+2ai）i=1﹣bi，得﹣1﹣2a+（1+b）i=0．∴．解得：．设z=a+bi（a、b∈R），则z=﹣﹣i，∴|a+bi|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数模的求法，是基础的计算题．10．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为16．【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据四个专业各有的人数，得到本校的总人数，根据要抽取的人数，得到每个个体被抽到的概率，利用丙专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到丙专业要抽取的人数．【解答】解：∵高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生∴本校共有学生150+150+400+300=1000，∵用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查∴每个个体被抽到的概率是=，∵丙专业有400人，∴要抽取400×=16故答案为：16【点评】本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，这种题目经常出现在高考卷中．11．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同．则双曲线的方程为=1．【考点】双曲线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先由双曲线的渐近线方程为y=±x，易得，再由抛物线y2=16x的焦点为（4，0）可得双曲线中c=4，最后根据双曲线的性质c2=a2+b2列方程组，解得a2、b2即可．【解答】解：由双曲线渐近线方程可知①因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4②又c2=a2+b2③联立①②③，解得a2=4，b2=12，所以双曲线的方程为．故答案为．【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程及几何性质．12．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】综合题；压轴题；综合法．【分析】解法一：如图根据题设条件可求得角DOP的大小，由于OD=1，OP=2，由余弦定理求长度即可．解法二：由图形知，若能求得点D到线段OC的距离DE与线段OE的长度，在直角三角形PED中用勾股定理求PD即可．【解答】解：法一：∵PA切⊙O于点A，B为PO中点，∴AB=OB=OA，∴∠AOB=60°，∴∠POD=120°，在△POD中由余弦定理，得：PD2=PO2+DO2﹣2PO•DOcos∠POD=．∴．法二：过点D作DE⊥PC垂足为E，∵∠POD=120°，∴∠DOC=60°，可得，，在Rt△PED中，有．【点评】本题考点是与圆有关的比例线段，本题考查求线段的长度，平面几何中求线段长度一般在三角形中用正弦定理与余弦定理求解，本题中法一的特征用的是余弦定理求长度，法二在直角三角形中用勾股定理求长度，在三角形中求长度时应该根据题意选取适当的方法求解，做题后要注意总结方法选取的规律．13．若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是2﹣log23．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】由基本不等式得2a+2b≥，可求出2a+b的范围，再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c，2c可用2a+b表达，利用不等式的性质求范围即可．【解答】解：由基本不等式得2a+2b≥，即2a+b≥，所以2a+b≥4，令t=2a+b，由2a+2b+2c=2a+b+c可得2a+b+2c=2a+b2c，所以2c=因为t≥4，所以，即，所以故答案为：2﹣log23【点评】本题考查指数的运算法则，基本不等式求最值、不等式的性质等问题，综合性较强．14．在平面四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点，且AB=1，EF=，CD=，若•=15，则•的值为13．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】画出图形，结合图形，先求出•的值，再利用•=15，求出•的值．【解答】解：如图所示，设AB∩DC=O，∵=++=+，=++=+，两式相加得=；∵AB=1，EF=，CD=，平方得2=；∴•=2；又∵•=15，即（﹣）•（﹣）=15；∴•﹣•﹣•+•=15，∴•+•=15+•+•，∴•=（﹣）•（﹣）=•﹣•﹣•+•=（15+•+•）﹣•﹣•=15+•（﹣）+•（﹣）=15+•+•=15+•（﹣）=15+•=15﹣•=15﹣2=13．故答案为：13．【点评】本题考查了两个向量的加减运算的应用问题，也考查了平面向量的几何意义以及平面向量的数量积的应用问题，是中档题．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如表所示．每生产一只圆桌可获利6元，生产一个衣柜可获利10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜各生产多少，才使获得利润最多，利润最多为多少？【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；应用题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】由题意，设生产圆桌x只，衣柜y个，获得利润为z元；从而可得，z=6x+10y；利用线性规划求解．【解答】解：由题意，设生产圆桌x只，衣柜y个，获得利润为z元；则，z=6x+10y；做其平面区域如下，则由y=800﹣2x，x=700﹣3.5y得，x=350，y=100；答：应生产圆桌350只，生产衣柜100个，能使利润总额达到最大，利润最多3100元．【点评】本题考查了线性规划在实际问题中的应用，属于中档题．16．已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（α）=，求sin（π﹣4α）的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】（I）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，可得函数的最小正周期为π，根据周期公式，可求ω的值；（II）利用正弦函数的单调性，可得函数f（x）的单调增区间；（III）由f（a）=，可得sin（2a+）=，根据sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1，即可求得结论．【解答】解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，∴函数的最小正周期为π∴=π∴ω=1；（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+）∴﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数f（x）的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（III）∵f（a）=，∴sin（2a+）=∴sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1=﹣．【点评】本题考查函数的周期性，考查函数解析式的确定，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，周期确定函数解析式是关键．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2，，．（1）求证：PE⊥平面ABCD；（2）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值；（3）求直线BM与CD所成角的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间角．【分析】（1）推导出PE⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，由此能证明PE⊥平面ABCD．（2）连结EC，取EC中点H，连结MH、HB，则MH∥PE，从而∠MBH即为BM与平面ABCD 所成角，由此能求出直线BM与平面ABCD所成角的正切值．（3）由CD∥BE，得直线BM与CD所成角即为直线BM与BE所成角，由此能求出直线BM与CD 所成角的余弦值．【解答】证明：（1）∵PA=PD，E为AD的中点，∴PE⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PE⊥平面ABCD．解：（2）连结EC，取EC中点H，连结MH、HB，∵M是PC的中点，H是EC的中点，∴MH∥PE，由（1）知PE⊥平面ABCD，∴MH⊥平面ABCD，∴HB是BM在平面ABCD内的射影，∴∠MBH即为BM与平面ABCD所成角，∵AD∥BC，BC=AD，E为AD的中点，∠ADC=90°，∴四边形BCDE为矩形，∴EC=2，HB=，又∵MH=PE=，∴△MHB中，tan=，∴直线BM与平面ABCD所成角的正切值为．（3）由（2）知CD∥BE，∴直线BM与CD所成角即为直线BM与BE所成角连接ME，Rt△MHE中，，Rt△MHB中，，又，∴△MEB中，，∴直线BM与CD所成角的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值和线线角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值；②已知点，求证：为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积及椭圆几何量之间的关系，建立等式，即可求得椭圆的标准方程；（2）①直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及线段AB中点的横坐标为，即可求斜率k的值；②利用韦达定理，及向量的数量积公式，计算即可证得结论．【解答】（1）解：因为满足a2=b2+c2，，…根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，可得．从而可解得，所以椭圆方程为…（2）证明：①将y=k（x+1）代入中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0…△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，…因为AB中点的横坐标为，所以，解得…②由①知，所以…==…===…【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积，考查学生的运算能力，综合性强．19．已知函数f（x）=，数列{a n}满足a1=1，a n+1=f（），n∈N*，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1，求T n；（3）令b n= （n≥2），b1=3，S n=b1+b2+…+b n，若S n＜对一切n∈N*成立，求最小正整数m．【考点】数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）通过代入函数解析式化简可知a n+1=a n+，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1），进而计算可得结论；（3）当n≥2时裂项可知b n=（﹣），进而并项相加可知S n=，从而可知＜，进而问题转化为解不等式≥，计算即得结论．【解答】解：（1）依题意，a n+1==a n+，∴数列{a n}是以为公差的等差数列，又∵a1=1，∴a n=n+；（2）由（1）可知T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣a2n+1）﹣1=﹣（a2+a4+…+a2n）=﹣•=﹣（2n2+3n）；（3）当n≥2时，b n===（﹣），又∵b1=3=×（1﹣）满足上式，∴S n=b1+b2+…+b n=×（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，∵S n＜对一切n∈N*成立，即＜，又∵=（1﹣）递增，且＜，∴≥，即m≥2016，∴最小正整数m=2016．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．（I）当a=﹣1时，若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，且AB的中点为C（x0，0），求证：f′（x0）＜0．【考点】函数的单调性与导数的关系；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；综合题；转化思想．【分析】（I）将f（x）在（0，+∞）上递增，转化成f′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即b≤+2x 对x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤即可，根据基本不等式可求出；（II）根据f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，得到，两式相减，可得，利用中点坐标公式和导数，即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意：f（x）=lnx+x2﹣bx∵f（x）在（0，+∞）上递增，∴f′（x）=+2x﹣b≥0对x∈（0，+∞）恒成立即b≤+2x对x∈（0，+∞）恒成立，∴只需b≤∵x＞0，∴+2x≥2当且仅当x=时取“=”，∴b≤2，∴b的取值范围为（﹣∞，2]；（II）证明：由已知得，即，两式相减，得：⇒，由f′（x）=﹣2ax﹣b及2x0=x1+x2，得f′（x0）=﹣2ax0﹣b===，令t=∈（0，1），且φ（t）=，∵φ′（t）=，∴φ（t）是（0，1）上的减函数，∴φ（t）＞φ（1）=0，又x1＜x2，∴f'（x0）＜0．【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了转化与划归的思想，分析问题解决问题的能力，属于中档题．。
2020届天津市河东区高考模拟数学试题解析
绝密★启用前2020届天津市河东区高考模拟数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{2,3,4,4,5}A =---，{||1|}B x x π=-<，则A B =I （） A ．{2,3,4}--B ．{2,4,5}-C ．{1,2,3,4,0,1,2,3,4,5}----D ．{2,4}-答案：D首先求出集合{|11}B x x ππ=-<<+，然后利用集合的交运算即可求解. 解：由{2,3,4,4,5}A =---，{||1|}{|11}B x x x x πππ=-<=-<<+， 所以A B =I {2,4}-. 故选：D 点评：本题考查了集合的交运算、绝对值的几何意义解不等式，属于基础题.2．i 是虚数单位，复数z 满足条件2||2z z i +=，则复数z 在复平面上对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B设出复数(),z x yi x y R =+∈，代入等式，利用复数相等求出,x y ，再利用复数的几何意义即可求解. 解：设(),z x yi x y R =+∈，由2||2z z i +=，所以()22x yi i +=即222x yi i =，所以2022x y ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以复数在复平面内对应的点为3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，即复数z 在复平面上对应的点位于第二象限. 故选：B 点评：本题考查了复数的几何意义、复数模的运算、复数相等，属于基础题.3．双曲线2221(0)5x y a a -=>的一条渐近线与直线y =垂直，则a 的值为（）A ．5B ．25CD ．1答案：A首先求出双曲线的渐近线y x =，再利用直线垂直，斜率之积等于1-即可求解. 解：双曲线方程：2221(0)5x y a a -=>，则双曲线的渐近线为：y x a=±，由一条渐进线与直线y =垂直，则1a-=-，解得5a =. 故选：A 点评：本题考查了双曲线的简单几何性质、直线垂直斜率之间的关系，属于基础题. 4．已知平面a ，β，直线l α⊂，直线m 不在平面α上，下列说法正确的是（） A ．若//,//m αββ，则//l m B ．若//,m αββ⊥，则l m ⊥ C ．若//,//l m αβ，则//m β D ．若,//l m m β⊥，则αβ⊥答案：B根据线、面之间的位置关系，逐一判断即可求解.解：对于A ，若//,//m αββ，则l 与m 平行或者相交，故A 不正确；对于B ，若//,m αββ⊥，利用面面平行的性质定理可得l m ⊥，故B 正确； 对于C ，若//,//l m αβ，则//m β或m β⊂，故C 不正确； 对于D ，若,//l m m β⊥，则α与β相交或平行，故D 不正确； 故选：B 点评：本题考查了直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，属于基础题.5．对于非零向量a r 、b r ，“2a b =r r ”是“a r ，b r 共线”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B利用向量共线定理以及充分条件、必要条件的定义即可求解. 解：由2a b =rr，则a r、b r共线同向，充分性满足； 非零向量a r 、b r ，当a r ，b r 共线时，则b aλ=r r()λ∈R ，必要性不满足；故“2a b =r r ”是“a r ，b r 共线”的充分不必要条件.故选：B 点评：本题考查了充分条件、必要条件的定义、向量共线定理，理解充分条件、必要条件的定义是解题的关键，属于基础题.6．已知函数()f x 为定义在[3,3]-的奇函数，且(2)(1)(3)0f f f >>>，则下列各式中一定成立的是（）A ．2131(1)log (0)log 98f f f f ⎛⎫⎛⎫->-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1231log 9(1)log (0)8f f f f ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()123log 9(1)(1)log 8f f f f ⎛⎫-+->- ⎪⎝⎭D ．1231log 9(1)log (0)8f f f f ⎛⎫⎛⎫+-<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案：D利用对数的运算性质以及奇函数的性质，结合()(2)(1)(3)0f f f f >>>即可求解. 解：由函数()f x 为定义在[3,3]-的奇函数，则()00f =，且()()f x f x -=-， 因为(2)(1)(3)0f f f >>>，则()(2)(1)(3)0f f f f >>>， 对于A ，2131(1)log (0)log 98f f f f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()32(1)(0)f f f f ->---， 即()()31)(2(0)f f f f +>+，根据不等式的性质可知A 不正确； 对于B ，1231log 9(1)log (0)8f f f f ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()()()2130f f f f -+-=-+，即()()()()2130f f f f +=+，由已知可知()()()()2130f f f f +>+，故B 不正确；对于C ，()123log 9(1)(1)log 8f f f f ⎛⎫-+->- ⎪⎝⎭，即()()(1)(123)f f f f -+->--，即()()(1)123()f f f f ->-，即()(3)2(21)f f f +>，根据不等式的性质可知C 不正确；对于D ，1231log 9(1)log (0)8f f f f ⎛⎫⎛⎫+-<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()(1)2(0)3f f f f +-<+--， 即()()(1)()203f f f f +>+，根据不等式的性质，不等式满足同向相加，可知D 正确； 故选：D 点评：本题考查奇函数的性质、不等式性质以及对数的运算性质，属于基础题.7．△ABC 中，,,A B C ∠∠∠对应的边分别为,,a b c ，23A π∠=，3b =，三角形ABC的面积为4，则边a 的长为（） AB．2C ．7D ．49答案：C首先利用三角形的面积公式1sin 2ABC S bc A ==V ，求出5c =，再利用余弦定理即可求解. 解： 由23A π∠=，3b =，则1sin 2ABC S bc A ==V 5c =， 在△ABC 中，由余弦定理可得：22212cos 925235492a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得7a =. 故选：C 点评：本题考查了三角形的面积公式、余弦定理，需熟记公式与定理，属于基础题. 8．已知实数,,0a b ab >，则22224aba b a b +++的最大值为（）A ．16B ．14C ．17D ．6答案：A将式子同除ab ，利用基本不等式即可求解. 解：2222144ab a b a b a b ab b a ab =++++++，又0ab >，则0a b >，0ba>，所以46a b ab b a ab +++≥=，所以2222146ab a b a b ≤+++，当且仅当2a b ==取等号.故选：A 点评：本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 9．已知函数13()sin 40,324f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，函数()()g x f x a =+有3个零点1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围是（）A ．107,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．75,128ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．50,8π⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．75,128ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案：D根据13()sin 40,324f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，求解内层函数的范围，可得()f x 的图像，函数()()g x f x a =+有3个零点，转化为()f x 与函数y a =-有三个交点问题，即可求解. 解：不妨设123x x x <<，函数13()sin 40,324f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭， 可得54332x πππ≤+≤， 令43x t π+=，函数()()()g t f t a a R =+∈恰有三个零点，。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考模拟检测试卷高三数学文科
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考模拟检测试卷高三数学文科创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重创作单位： 博恒中英学校第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 若集合{0,1,2}A =，2{|3}B x x =<，则B A =（ ） A. φ B ．{1,0,1}- C ．{0,1,2} D ．{0,1} 2. 下列函数中是奇函数，并且在定义域上是增函数的一个是（ ）A. x y 1-=B. ln y x =C. sin y x =D.1,01,0x x y x x +>⎧=⎨-<⎩ 3. 设sin393,cos55,tan50a b c =︒=︒=︒，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．a c b <<4. 执行右边的程序框图，若输入1,1,1a b c ===-， 则输出的结果满足（ ） A. 01,1e f <<>B. 10,12e f -<<<<C. 21,01e f -<<-<<D. 无解5. 在边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（ ）A.B ．C ．D ．ADFd ≥ 输出,e f2b de a--=结束2b d f a-+=输出无解否是24d b ac=-开始 输入,,a b c6. “2>x ”是“22x x >”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的 体积为（ ）A. 96 B ．120 C ．144 D ．1808.有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是d c b a ,,,，已知d c b a +=+，c bd a +>+，b c a <+ 则这四个小球由重到轻的排列顺序是（ ）A.d b a c >>>B. a d c b >>>C. a c b d >>>D. c a d b >>>第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题共6个小题，每小题5分，共30分.9. 复数(1)(1)2i i z i +-=在复平面上对应的点的坐标为.10. 双曲线2222x y -=的焦点坐标是，离心率是. 11. 在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则ABC ∆的面积等于_______.12. 已知1,0x y ≥≥，集合{(,)|4}A x y x y =+≤,{(,)|0}B x y x y t =-+=，如果A B φ⋂≠,则t 的取值范围是.13. 已知直线20x y a ++=与圆心为C 的圆222450x y x y ++--=相交于,A B 两点，且AC BC ⊥，则圆心的坐标为；实数a 的值为.14.ABCD 是矩形，4AB =，3AD =，沿AC 将ADC ∆折起到AD C '∆，使平面AD C '⊥平面ABC ∆,F 是AD '的中点，E 是线段AC 上的一点，给出下列结论：① 存在点，使得平面② 存在点，使得平面③ 存在点，使得平面④ 存在点，使得平面其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）（7题图）主视图俯视图 侧视图44264三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分13分）设是等差数列的前项和，已知，（Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设，求的前项和.16. （本小题满分13分）直角坐标系中，锐角的终边与单位圆的交点为，将 绕逆时针旋转到，使，其中是与单位圆的交点，设的坐标为.（Ⅰ）若的横坐标为，求；（Ⅱ）求的取值范围.17. （本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值． 18．（本小题满分13分）某普通高中共有36个班，每班40名学生，每名学生都有且只有一部手机，为了解 该校学生对B A ,两种品牌手机的持有率及满意度情况，校学生会随机抽取了该校6个班的学生进行统计, 得到每班持有两种品牌手机人数的茎叶图以及这些学生对自己所持手机的满意度统计表如下：（Ⅰ）随机选取1名该校学生，估计该生持有品牌手机的概率；（Ⅱ）随机选取1名该校学生，估计该生满意度品牌满意不满意图1图2o1持有或品牌手机且感到满意的概率；（Ⅲ）B A ,两种品牌的手机哪种市场前景更好?(直接写出结果，不必证明） 19.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，其短轴的两个 端点分别为.（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若是椭圆上关于轴对称的两个不同点，直线与轴分别交于点.判断以为直径的圆是否过点，并说明理由.20. （本小题满分13分） 已知函数. （Ⅰ）求过点，曲线的切线方程； （Ⅱ）设函数，求证：函数有且只有一个极值点；（Ⅲ）若恒成立，求的值.延庆县—度一模统一考试 答案一、选择题：)0485('=⨯'1. D2. D3. A4. C5. C6. D7. B8. A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. (0,1)-； 10. (3,0)，62；11. 32；12. [4,2]-；13. (1,2),5-±；14.①③ .三、解答题：)0365('=⨯'15. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）∵41214,5S a a =+=， ∴349a a +=……………………1分o CMy xBNDA∴44,1d d ==, ∴12a =……………………3分∴1(1)1n a a n d n =+-=+.……………………6分（II ）∵122na n nb +==，211222n n n n b b +++∴==, ∵10b ≠, {}n b ∴是等比数列，………8分 ……………………10分，……………………13分16.（本小题满分13分）(Ⅰ) ∵的横坐标为, ∴，∴……………………2分∴22422tan 243tan 241tan 71()3y x ααα⨯====---……………………6分法二：∵的横坐标为, ∴，∴229167cos 2cos sin 252525ααα=-=-=-，……………………2分4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=……………………4分 ∴sin 224cos 27y x αα==-……………………6分 （Ⅱ）cos 2sin 2x y αα+=+,2),(0,)42ππαα=+∈， ……………………10分∴52(0,),2(,)444πππαπα∈+∈，∴2sin(2)(,1]4πα+∈-, ……………………12分2sin(2)(1,2]4πα+∈-,∴的取值范围是……………………13分17. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）法一：∵,∴,,∴,……………………2分∴是平行四边形,∴,……………………3分∴平面,……………………4分法二：∵, ∴平面, ……………………1分∵,∴平面, ……………………2分∴平面平面, ……………………3分∴平面. ……………………4分（Ⅱ）∵,∴为正方形,∴, ……………………5分又∵平面平面,,∴平面, ……………………6分∴, ……………………7分∴平面,……………………8分∴,……………………9分(Ⅲ) 设，则，……………………10分……………………12分当时 ……………………13分达到最大值2 ……………………14分18. (Ⅰ)设该生持有A 品牌手机为事件， ………………1分则………………4 分（Ⅱ）设该生持有A 或B 品牌手机且感到满意为事件， ………………5 分则………………9 分………………10 分（Ⅲ）A 品牌手机市场前景更好. ………………13分 19. （本小题满分14分）（Ⅰ），，，∴，∴，…………3分∴椭圆方程为…………5分（Ⅱ）设，则，，,……………………7分o CMy xBNDA令，则……………………9分∴，……………………11分∴=∵∴，∴……………………13分∴与不垂直，∴以为直径的圆不过点. ……………………14分20. （本小题满分13分） （Ⅰ）设切点为00(,ln )x x ，∵0011(),()f x f x xx ''==……………………1分 ∴切线方程为0001ln ()y x x x x -=-……………………2分∵切线过(0,0)，∴00ln 1,x x e-=-=，……………………3分∴切线方程为11()y x e e -=-，即：1y x e =. ……………………4分 （Ⅱ）1()xg x e x '=-……………………5分当(0,)x ∈+∞时，1x 是减函数，xe -也是减函数，∴1()x g x e x '=-在(0,)+∞上是减函数，……………………6分当1x =时，()10g x e '=-<，……………………7分当12x =时，()20g x '=>，……………………8分∴()g x '在(0,)+∞上有且只有一个变号零点，∴()g x 在定义域(0,)+∞上有且只有一个极值点. ……………………9分（Ⅲ）令()ln (1)h x x a x =--，则()0h x ≤恒成立，1()h x a x '=-，①若0a ≤，则()0h x '>恒成立，∴()h x 在(0,)+∞上是增函数， ∵当x e =时，()1(1)0h e a e =-->，∴题设不成立.…………10分②若0a >，则11()axh x a x x -'=-=，令()0,h x '=则1x a =；令()0,h x '>则10x a <<； 令()0,h x '<则1x a >.∴()h x 在1x a =处达到极大值111()ln (1)ln 1h a a a a a a =--=-+-∴ln 10a a -+-≤恒成立，即：1ln a a -≤恒成立. …………11分令()(1)ln F x x x =--，则1()1F x x '=-，当1x =时，()0F x '=；当01x <<时，()0F x '<；当1x >时，()0F x '>；∴()F x 在(0,1)上是减函数；在(1,)+∞上是增函数；在1x =处达到最小值.∴()1F a F≥（）恒成立，∴ln 10a a -+-≥，即：1ln a a -≥恒成立.…12分 ∴1=ln a a -恒成立， ∴=1a . ……………………13分。
2020年天津市第一次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年天津市第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河东区一模高三数学试卷
河东区一模高三数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，下列说法正确的是：A. 函数f(x)的图象开口向上B. 函数f(x)的图象开口向下C. 函数f(x)的图象关于y轴对称D. 函数f(x)的图象关于x轴对称2. 下列不等式中，解集为R的是：A. x^2 - 2x + 1 > 0B. x^2 - 2x + 1 < 0C. x^2 - 2x + 1 = 0D. x^2 - 2x + 1 ≤ 03. 设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B等于：A. {1,2,3}B. {2,3}C. {1,4}D. {1,2,3,4}4. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=2，a_2=5，则数列的公差d为：A. 3B. -3C. 7D. -75. 函数y=x^3-3x^2+4x-1的导数y'为：A. 3x^2-6x+4B. 3x^2-6x+3C. 3x^2-6x+5D. 3x^2-6x+26. 设A，B是两个事件，P(A)=0.5，P(B)=0.3，P(A∩B)=0.1，则P(A∪B)为：A. 0.4B. 0.6C. 0.7D. 0.87. 已知复数z=1+i，则|z|为：A. 1B. √2C. 2D. √38. 已知向量a=(2,3)，b=(4,-6)，则a·b为：A. 0B. 6C. -6D. 129. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x+8y-24=0，圆心坐标为：A. (3,-4)B. (-3,4)C. (3,4)D. (-3,-4)10. 已知三角形ABC的三边长分别为a=3，b=4，c=5，则三角形ABC的面积为：A. 3√3/2B. √3/2C. 3√3D. √3二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。
）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4，求f'(2)的值为______。
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2020届天津市河东区高三数学文科第一次模拟考试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试卷满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上。
注意：直接写在题后无效！1．（文）若集合A ＝｛x ∣x ≤2｝，B ＝｛x ∣x 2－3x ＝0｝，则集合A ∩B ＝（ ）（A ）｛3｝（B ）｛0｝ （C ）｛0，2｝（D ）｛0，3｝2．函数 y ＝x 2＋2（x ≤0）的反函数是（ ）（A ）y ＝x 2－2（x ≥2） （B ）y ＝－x 2－2（x ≥2） （C ）y ＝x 2－2（x ≥0）（D ）y ＝－x 2－2（x ≥0）3．△ABC 的内角满足sinA ＋cosA ＞0，tanA －sinA ＜0，则A 的取值范围是（ ）（A ）（0，π4）（B ）（π2，3π4）（C ）（π4，π2）（D ）（3π4，π）4．椭圆与双曲线 x 25－y 2＝1有共同的焦点，且一条准线的方程是x ＝36，则此椭圆的方程为（ ） （A ）x 218＋y212＝1（B ）x 212＋y218＝1（C ）x 212＋y26＝1（D ）x 29＋y26＝15．在下面给出的四个图形中，与函数 y ＝2－log 3x 的图象关于直线 y ＝x 对称的图形只可能是（ ）6．已知直线l ⊥平面α，直线m∩平面β，有如下四个命题： ① 若α∥β，则l ⊥m ；② 若α⊥ β，则l ∥m ；（A ）（B ）（C ）（D ）③ 若l ∥m ，则α⊥β； ④ 若l ⊥m ，则α∥β．其中正确的两个命题是（ ） （A ）①与② （B ）①与③ （C ）②与④（D ）③与④7．若函数f (x)＝x 2－2x －8 的定义域为A ，函数g(x)＝11－|x －a|的定义域为B ，则使A ∩B ＝〇／的实数a 的取值范围是（ ） （A ）（－1，3） （B ）[－1，3] （C ）（－2，4）（D ）[－2，4]8．设坐标原点为O ，抛物线 y 2＝4x 与过抛物线焦点的直线l 交于点A 、B ，则向量OA →·OB →的值为（ ） （A ）3 4（B ）－3 4（C ）－3（D ）39．（文）已知三棱锥P —ABC 的三条侧棱两两垂直，且PA ＝1，PB ＝3，PC ＝6，则底面三角形的内角ABC 的大小为（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60°（D ）90°10．（文）函数 f (x)＝a ∣x ∣（a ＞0，x ∈R ）的值域是 ｛ f (x)∣0＜f (x)≤1｝，则 f (－2)与f (1) 的大小关系是（ ）（A ）f (－2)＜f (1) （B ）f (－2)＝f (1) （C ）f (－2)＞f (1)（D ）不能确定二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案直接填在题中横线上． 11．某体协参加全运会有男运动员56人，女运动员42人．比赛后立即用分层抽样的方法从全体队员中抽出一个容量为28的样本进行尿样兴奋剂检查．其中男、女运动员应分别抽取16 、 12 人．12．在条件 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤20≤y ≤2y －x ≥1下，函数z ＝4－2x ＋y 的最大值是 6 ．13．如果等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝3n＋r ，那么r ＝ －1 ．14．（文）在等差数列｛a n ｝中，a 1＞0，S n 为｛a n ｝的前n 项和，且S 3＝S 9，则使S n 取最大值的n的值为 6 ．15．在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x－2310的展开式中，第五项等于8，则x 的值为 12－16log 335 ．16．（文）设a 为常数，已知 f (x)＝x 3＋2ax 2＋28x ＋a 2在x ＝－2时有极值，则a ＝ 5 ． 三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）（文）箱中装有大小相同的五个白球，三个红球．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是红球则结束，若取出的是白球，则白球不放回并继续从箱中任意取出一个球，但取出四个白球取球也结束．（Ⅰ）求取出一个白球的概率； （Ⅱ）求取出四个白球的概率． 解：（Ⅰ）P 1＝5×3A 28 ＝1556 ；---------------------------------6分 （Ⅱ）P 2＝ A 45 A 48 ＝114 ．---------------------------------12分18．（本小题满分12分）已知：向量 a →＝（1，x ），b →＝（x 2＋x ，－x ），m 为常数且m ≤－2．求使向量 a →·b →＋2＞m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 a →·b →＋1 成立的x 的取值范围．解：∵a →＝（1，x ），b →＝（x 2＋x ，－x ），∴a →·b →＝x 2＋x －x 2＝x ，∴原不等式等价于：x ＋2＞m ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2x ＋1，----------------------------4分整理，得：(x ＋2) (x －m)x＞0，即：x (x ＋2) (x －m)＞0．------------------------------------------------6分 当m ＝－2时，x ∈（0，＋∞）；---------------------------------------9分 当m ＜－2时，x ∈（m ，－2）∪（0，＋∞）．-------------------12分 19．（本小题满分12分）已知：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1． （Ⅰ）求棱AA 1与平面A 1BD 所成的角； （Ⅱ）求二面角B —A 1D —B 1的大小； （Ⅲ）求四面体A 1—BB 1D 的体积． 解：（Ⅰ）取BD 的中点O ，连结OA ，OA 1．∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ⊥BD ， 又AA 1⊥BD ，∴BD ⊥平面AA 1O ， ∴AA 1在平面A 1BD 上的射影落在OA 1上， ∴∠AA 1O 为AA 1与平面A 1BD 所成的角． ∵AA 1＝1，AO ＝22，∴tan ∠AA 1O ＝22，∴∠AA 1O ＝arctan 22．----4分 （Ⅱ）取B 1C 的中点E ，A 1D 的中点F ，连结BE 、EF 、FB ．∵△A 1BD 为正三角形，∴BF ⊥A 1O ， 又四边形A 1B 1CD 是矩形，∴EF ⊥A 1D ， ∴∠BFE 为二面角B —A 1D —B 1的平面角． ∵EF ∥A 1B 1，A 1B 1⊥平面BC 1，∴EF ⊥BF ．在Rt △BEF 中，BE ＝22，EF ＝1，∴tan ∠BFE ＝22，∴∠BFE＝arctan22．-----------------------------------------------------------------8分 （Ⅲ）V A 1—BB 1D ＝V B —A 1B 1D ＝V B —B 1DC ＝V D —BCB 1 ＝13·12·1·1·1＝16 ．--12分20．（本小题满分12分）在△ABC 中，设a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，S 为△ABC 的面积，且满足条件4sinB ·sin 2(π4＋B2)＋cos2B ＝1＋3． （Ⅰ）求∠B 的度数；（Ⅱ）若a ＝4，S ＝53，求b 的值．解：（Ⅰ）由已知条件可得：2sinB ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos(π2 ＋B)＋1－2sin 2B ＝1＋3，ABCDC 1B 1A 1D 1A BC DC 1B 1A 1D 1F E O化简整理，得：2sinB ＝3，∴sinB ＝32，B ＝60°或120°；------------5分 （Ⅱ）∵a ＝4，S ＝53，∴S ＝12acsinB ＝53，∴c ＝5；--------------------------8分当B ＝60°时，由b 2＝42＋52－2·4·5·cos60°＝21，得b ＝21；-----10分 当B ＝120°时，由b 2＝42＋52－2·4·5·cos120°＝61，得b ＝61．--12分21．（本小题满分14分）（文）设数列｛a n ｝、｛b n ｝都是正项数列，且对于任意n ∈N*，都有a n ，b 2n ，a n ＋1 成等差数列，b 2n ，a n ＋1，b 2n ＋1成等比数列．（Ⅰ）求证：数列｛b n ｝是等差数列；（Ⅱ）如果a 1＝1，b 1＝2，S n ＝1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n，求S n 的表达式．（Ⅰ）证明：∵a n＞0，b n＞0，且 ⎩⎨⎧2b 2n＝a n＋a n ＋1①a 2n ＋1＝b 2n ·b 2n ＋1 ②，由②得：a n ＋1＝b n ·b n ＋1，∴当n ≥2时，有a n ＝b n －1·b n ， 代入①，得：2b 2n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1，∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1（n ≥2），∴数列｛b n ｝是等差数列．---------------------------------6分（Ⅱ）解：由a 1＝1，b 1＝2，可得a 2＝3，b 2＝322， ∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝22(n ＋1)，-----------------------------8分 ∴a n ＝n(n ＋1)2，（n ∈N*）-------------------------------------10分 ∴S n ＝21·2＋22·3＋…＋2n(n ＋1)＝2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2n n ＋1．-------------14分22．（本小题满分14分）（理）已知：抛物线方程为 y ＝14 x 2＋1，点P （x 0，y 0）在抛物线上，且点P 处抛物线的切线为直线l ．（Ⅰ）写出直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 交x 轴于点Q ，求使∣PQ ∣的长最小的P 点坐标．（文）已知：A 、B 是椭圆 x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1（a ＞b ＞0）的一条弦，向量 OA →＋OB →交AB 于点M ，且向量OM →＝（2，1）．以M 为焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB 交于点N （4，－1）．（Ⅰ）求椭圆的离心率e 1；（Ⅱ）设双曲线的离心率为e 2，若e 1＋e 2＝f (a)，求 f (a) 的解析式，并确定它的定义域． 解：（Ⅰ）由 OA →＋OB →与AB 相交于点M ，可知：AB 的中点是M ，由 OM →＝（2，1），知：M （2，1）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，且AB 在椭圆上，有 x 12a 2 ＋y 12b 2 ＝1，x 22a 2 ＋y 22b2 ＝1，两式相减，得： (x 1－x 2) (x 1＋x 2) a 2＋ (y 1－y 2) (y 1＋y 2)b 2＝0， ∴k AB ＝ y 1－y 2 x 1－x 2＝－2b 2a2＝k MN ＝－1，∴a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝c 2， ∴椭圆的离心率e 1＝22．--------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）设椭圆的右准线为 l ，过点N 作 NN ′⊥ l 于N ′，则由双曲线定义及题意知：e 2＝MNMN ′ ＝(2－4)2＋22a 2c －4＝22 a 2c －4 ＝2a －22 ； ∴e 1＋e 2＝f (a)＝22＋2a －22 ＝2a 2a －42，-----------------------10分 由题设条件，lAB：y ＝－x ＋3， 代入椭圆方程并消去y ，得：3x 2－12x ＋18－a 2＝0，由△＝122－12(18－a 2)＞0，得a 2＞6，∴a ＞6，又e 2＝2a －22，∴a ≠22，又由e 2＞1，得22＜a ＜2＋22，∴f (a)的定义域为：a ∈（22，2＋22）．---------------------------14分。