8-1空间解析几何简介07-04-25
高考数学解析几何概念详解
高考数学解析几何概念详解高考数学是每个学生普遍都需要面对的考试之一。
其中，解析几何是不可避免的一个重要考点。
解析几何主要涉及到平面解析几何和空间解析几何两个部分。
本文将着重介绍空间解析几何的概念及其应用。
一、空间直角坐标系和三元组空间解析几何中，空间直角坐标系是十分重要的概念。
我们通常用三个坐标轴来确定一个三维空间，这三个坐标轴之间相互垂直，其中x轴是水平方向，y轴是垂直于x轴的水平方向，z轴是垂直于x轴和y轴的垂直方向。
三元组则是指在一个空间直角坐标系中，一个点的坐标表示。
三元组的一般表示为$(x,y,z)$，其中x表示该点在x轴上的坐标位置，y表示该点在y轴上的坐标位置，z表示该点在z轴上的坐标位置。
二、空间向量的定义和性质空间向量是指在空间内有大小和方向的量。
空间向量可以用坐标表示和点表示两种方式。
在坐标表示中，一个空间向量通常用起点和终点的坐标表示出来，两个坐标之间的差即为该向量的坐标表示。
在点表示中，一个空间向量通常用其起点和方向向量来表示，我们通常用有向线段表示空间向量，起点在空间上的一个点，终点则为有向线段的末端点，而方向则由有向线段的方向确定。
在学习空间解析几何时，我们需要掌握空间向量的一些基本性质，比如向量的运算法则、向量共线条件、向量的数量积等等。
三、空间直线的方程式和特殊直线空间直线通常可以用向量、点向式和截距式表示。
其中，向量式表示的直线通常采用点向式和截距式表示。
点向式表示的直线可以通过其通过的一点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 和与直线平行的一个向量 $\overrightarrow{l}=\langle a,b,c\rangle$ 来表示，其方程为：$$ \frac{\mathbf{x}-\mathbf{P}}{a}=\frac{\mathbf{y}-\mathbf{P}}{b}=\frac{\mathbf{z}-\mathbf{P}}{c} $$截距式表示的直线则主要用于表示直线与坐标轴的交点及其坐标。
空间解析几何基本概念
空间解析几何基本概念空间解析几何是数学中一个重要的分支，它研究的对象是三维空间中的几何图形和几何问题。
在进行空间解析几何的学习和研究之前，我们需要先了解一些基本概念。
一、坐标系空间解析几何中常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系两种。
直角坐标系由三个相互垂直的坐标轴构成，通常用x、y、z表示。
极坐标系则由原点、极径和极角组成，极径表示点到原点的距离，极角表示点与正x轴的夹角。
二、点、直线和平面在空间解析几何中，点是最基本的图形概念，用坐标表示为(x,y,z)。
直线可以通过两点或参数方程表示，例如直线L可以表示为：L: {(x,y,z) | x=x0+at, y=y0+bt, z=z0+ct}，其中a、b、c为实数，(x0,y0,z0)为直线上的一点。
平面可以通过三点或参数方程表示，例如平面P可以表示为：P: { (x,y,z) | Ax+By+Cz+D=0 }，其中A、B、C、D为实数。
三、距离和中点在空间解析几何中，点与点之间的距离可以通过勾股定理计算：d(P_1, P_2) = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2)，其中P_1(x_1, y_1, z_1)和P_2(x_2, y_2, z_2)为两点的坐标。
直线上的两点的中点可以通过坐标的平均值计算得到。
四、向量向量是空间解析几何中的重要概念，它可以表示有方向和大小的量。
向量由起点和终点表示，可以用坐标表示为一个有序三元组。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘法。
两个向量的加法等于它们对应坐标的相加，减法等于相减。
数量乘法将向量的大小与一个实数相乘，结果是一个新的向量。
点乘法可以用来判断两个向量是否垂直，它的结果为零表示两个向量垂直。
五、投影在空间解析几何中，投影是指点在坐标轴或平面上的影子。
点在坐标轴上的投影可以通过坐标的部分表示，例如点P的x轴投影为(x, 0,0)。
点在平面上的投影可以通过垂直于平面的直线与平面的交点来表示。
8.1空间解析几何简介
By + Cz = 0
因平面过点(4, −3, −1)，该点坐标满足上述方程， 该点坐标满足上述方程，
C=故 −3B − C = 0，即 C=-3B
C=将 C=-3B 代入方程 By + Cz = 0
并消去 B，即得所求平面方程为
y − 3z = 0
例 3 求球心在点 M0( x0 , y0 , z0 )， 半径为 R 的球 面的方程． 面的方程．
x 2 + y 2 = R2 是由平行于z轴的直线沿 轴的直线沿xOy平面上的圆 是由平行于 轴的直线沿 平面上的圆
叫作它的准线， 移动而形成的圆柱面. 移动而形成的圆柱面 x + y = R 叫作它的准线，圆
2 2 2
柱面上平行于z轴并与 轴相距 轴相距R的直线叫作它的母线. 柱面上平行于 轴并与 z轴相距 的直线叫作它的母线
F(x, y, z) = 0
z
S
x
O
y
常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、 常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转曲 面和二次曲面等. 面和二次曲面等. 两个基本问题: 两个基本问题: (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程. 求曲面方程. (2) 已知方程时,研究它所表示的几何形状 已知方程时, (必要时需作图). 必要时需作图).
2 2 2 2 2
2
化简后即得点 M 的轨迹方程为
x + y − 2z − 3 = 0
这个方程表示空间中的一个平面． 这个方程表示空间中的一个平面．
一般地， 一般地， 一次方程 Ax + By + Cz + D = 0表示空间
空间解析几何基础
空间解析几何基础空间解析几何是数学中一个重要的分支，它研究了在三维空间中点、直线、平面和曲线的性质和相互关系。
本文将介绍空间解析几何的基础概念和常见问题的解决方法，帮助读者掌握这一领域的基本知识。
一、点的表示和坐标系在空间解析几何中，点的位置通常通过坐标来表示。
我们常用的坐标系是三维直角坐标系，它由三个相互垂直的坐标轴组成，分别记为x 轴、y轴和z轴。
一个点的坐标可以用一个有序数对(x, y, z)来表示，其中x表示点在x轴上的投影，y表示点在y轴上的投影，z表示点在z轴上的投影。
二、直线的表示和性质在空间解析几何中，直线可以通过两点或者一点和方向向量来表示。
假设直线上有两点A和B，我们可以通过将这两点的坐标代入参数方程：x = xA + t(xB - xA)y = yA + t(yB - yA)z = zA + t(zB - zA)其中t为参数，可以取任意实数。
由参数方程可以得到直线的一些性质，比如两点确定一条直线以及直线上所有点的坐标满足参数方程。
三、平面的表示和性质与直线类似，平面可以通过三点或者一个点和两个方向向量来表示。
假设平面上有三点A、B和C，我们可以通过将这三点的坐标代入方程：Ax(x - xA) + Ay(y - yA) + Az(z - zA) = 0其中Ax、Ay和Az分别表示平面的法向量的分量，(x, y, z)为平面上任意一点的坐标。
由方程可以得到平面的一些性质，比如平面上的所有点的坐标满足平面方程。
四、空间图形的距离和角度在空间解析几何中，我们常常需要计算点到点、点到直线、点到平面和直线间的距离，以及直线与平面的夹角。
这些计算可以通过向量的方法进行。
点P到直线L的距离可以通过向量PA与直线的方向向量的叉乘来计算，即：d = |PA × n| / |n|其中n为直线L的方向向量，|·|表示向量的模。
类似地，点P到平面的距离可以通过向量PA与平面的法向量的点积来计算，即：d = |PA · n| / |n|两条直线的夹角可以通过它们的方向向量的夹角来计算，即：cosθ = |n₁ · n₂| / (|n₁| |n₂|)其中n₁和n₂分别为两条直线的方向向量，θ为夹角。
《解析几何》课程介绍
《解析几何》课程介绍解析几何课程是高等院校数学类各专业的最重要的主干基础课之一。
多年来这门课程一直由教学经验丰富、业务能力较强的教师担任主讲。
上世纪八十年代学院的前身师范专科学校时期，我校数学专业所开设的基础课程包括解析几何，在山西省教委组织的同类学校基础课会考和专升本的历年考试中，成绩一直居于全省的前列。
自1989年，由师范专科学校、教育学院、河东大学三校合并为高等专科学校后，本课程的校内发展大致分为两个阶段：第一阶段（1989—2001）,专科阶段。
1978年起开设解析几何课程,使用的教材有吕林根、许子道等编写的《解析几何》（第一版）、（第二版），主讲解析几何课程的老师责任心强、教学经验丰富、业务素质比较高。
自1990年三校合一起，教研室活动逐步走向正规化、规范化，制订了一整套教学常规管理制度和教师的业务进修制度，修订了教学计划和教学大纲，对解析几何等重要的基础课程，制订了教学目标大纲、考试大纲和卡片试题库。
解析几何教学目标大纲对课程在质的方面提出了具体要求和相应的教学措施，对教学质量的提高，发挥了很好的作用。
为此，1996年《解析几何教学目标大纲》荣获校优秀教学成果奖。
系里先后多次派教师到一些名牌大学进修,为《解析几何》课程的本科教学积累了一定的经验,奠定了基础。
第二阶段（2002—现在），本科阶段。
解析几何是数学专业三大基础课之一，教学内容属经典型的，知识体系完善，逻辑性强，因此教材建设起步较早，数学系领导和解析几何课程组成员悉心选择了吕林根、许子道等编的《解析几何》（第二版、第三版）（国优）作为该课程的教材，选择苏步青等编写的《解析几何》，朱鼎勋编写的《空间解析几何》，南开大学几何教研室编写的《空间解析几何引论》，等作为参考书目；借鉴老本科院校的经验，制定了适合我校校情的教学大纲和教学计划；教研活动有秩序的开展，提高教师的教学水平，适应本科教学是这个阶段的主要目标。
自校领导开始有计划的部署迎接教育部本科教学水平评估工作，解析几何乘这个大好形势得到了飞速发展，表现最突出的是教师队伍建设，课程组成员的职称、学历结构发生了巨大的变化，引进了硕士3人，其中在读博士1人；教研活动从单纯的教学研究向教学改革研究转变，课堂教学由教师一言堂向以学生为主体的开放式教学转变；解析几何课程对学生其它课程的理论知识学习和理解，以及科研素质的培养和提升有着至关重要的影响,为使学生对“几何”体系有更深层次地了解，我院还为学生开设了《高等几何》、《微分几何》等课程，为学生提供了几何方面的毕业论文选题和考研支持；为解析几何课程组积累了较丰富的教学研究资料。
《解析几何》课程简介
《空间解析几何》课程简介
《空间解析几何》
Spatial Analytic Geometry
课程简介：
《空间解析几何》是高等学校本科数学与应用数学专业的一门专业基础基础课，是初等数学通向高等数学的桥梁，乃数学专业课的基石.空间解析几何是用坐标法，把数学的基本对象与数量关系密切联系起来，它对整个数学的发展起了很大作用.
本课程主要内容为向量与坐标，轨迹与方程，平面与空间直线，柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面，二次曲线与二次曲面的一般理论.
通过本课程的学习，使学生能理解和掌握《空间解析几何》的基本知识，基本理论，基本方法；培养学生的空间想象能力，娴熟的向量代数的计算能力和逻辑思维能力，以及解决问题的能力，并为后继课程的学习和进一步深造打下良好的基础.
教材:
《解析几何》第四版,吕林根许子道等编,高等教育出版社,2006年6月.
主要参考书:
1.《解析几何》丘维生编，北京大学出版社，1996年.
2.《空间解析几何》，王敬庚傅若男编,北京师范大学出版社，2004年；
3.《解析几何学习辅导书》，吕林根编,高等教育出版社,2006年5月第一版；
4.《解析几何》[苏]A.B波格列诺夫著,姚志亭译,吴祖基校,人民教育出版社,1982年3月.。
《空间解析几何简介》PPT课件
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7(补充) 空间解析几何简介
例2 作z = d （d为常数）的图形.
解 A x B y C zD 0
A0,B0,C 1.
z
d
o
x
y
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7(补充) 空间解析几何简介
例3 求球心在点
,半径为R的球面方程.
M0(x0, y0,z0)
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7(补充) 空间解析几何简介
例4 作 x2y2R2的 图 形 .
解
z
x2 y2 R2
o y
x
.
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7(补充) 空间解析几何简介
例5 作 zx2y2的 图 形 .
解
z
z x2 y2
x2 y2 0 zx2y2在xoy面的上方,
2. 空间曲面与方程
定义 如果曲面S上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0, 不在曲面S上的点的坐标都不满足F(x,y,z)=0,则称方程 F(x,y,z)=0为曲面S的方程,而曲面S称为方程F(x,y,z)=0的图 形.
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7(补充) 空间解析几何简介
z
o x
y
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7(补充) 空间解析几何简介
(5) 抛物面 x2 y2 z(p、q同号）
2p 2q
z
z
o y
x
xo
8-1空间解析几何简介.
(x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
化简得： 2x 6 y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
空间直角坐标系
一、空间直角坐标系及点的坐标 二、两点间距离公式 三、曲面与方程 四、空间曲线的一般方程
Longlan_sophiey@
一、空间直角坐标系及点的坐标
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴
按右手规则
z
组成一个
空间直角坐标系.
o
y
x
• 坐标原点
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
M 2M3 M1M3
M1
M3
即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
M2
三、曲面与方 程
引例: 求到两定点A(1, 2, 3) 和 B(2, -1, 4) 等距离的点的轨迹方程.
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
C(x, o, z)
r
o
x P(x,0,0)
B(0, y, z)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
z
o
x
坐标面 :
坐标轴 :
y
二、两点间距离公式
对空间两点A、B
有两点间的距离公式:
1、旋转曲面 一条平面曲线绕其平面上一条定直线 旋转一周所形成的曲面，叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴.
《空间解析几何》课程简介
《空间解析几何》课程简介一、课程的性质与任务《空间解析几何》是高等学校本科数学与应用数学专业的一门重要基础课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是数学专业课的基石。
空间解析几何是用坐标法，把数学的基本对象与数量关系密切联系起来，它对整个数学的发展起了很大作用。
本课程内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛，学好这门课为后续课程以及进一步学习数学和专业知识奠定必要的数学知识、方法和思维基础。
本课程主要讲述解析几何的基本内容和基本方法包括：向量代数，空间直线和平面，常见曲面，坐标变换，二次曲线方程的化简等。
通过本课程的教学，使学生能理解和掌握《空间解析几何》的基本知识，基本理论，基本内容，基本运算方法和分析方法；培养学生的空间想象能力，娴熟的向量代数的计算能力和逻辑思维能力，以及解决问题的能力，并为后继课程的学习和进一步深造打下良好的基础。
二、课程内容本课程选用教材为：空间解析几何（第二版）（杨文茂、李全英编，武汉大学出版社），主要教学内容有：第一章空间直角坐标系与向量代数§1.1 空间直角坐标系§1.2曲面与曲线方程§1.3向量的概念与向量的线性运算§1.4向量在轴上的投影、向量的坐标§1.5向量的内积§1.6向量的外积与混合积第二章平面与直线§2.1平面方程§2.2平面的法式方程§2.3直线的方程§2.4平面、直线之间的位置关系第四章特殊的曲面§3.1空间曲线与曲面的参数方程§3.2柱面、锥面、二次柱面与二次锥面§3.3旋转曲面、二次旋转曲面§3.4基本类型二次曲面§3.5直纹二次曲面第四章二次曲线与二次曲面§4.1平面的坐标变换§4.2二次曲线§4.3空间坐标变换§4.4二次曲面的分类三、教学方式为使学生能较好的掌握这一过程，在讲解时应尽可能将主要概念的产生背景以及概念之间的联系加以介绍，讲解时既要严格论证，又要形象说明，同时要配合典型例题。
空间解析几何简介(中华)
即
( 4 0)2 (1 0)2 (7 z )2 ( 3 0 ) 2 ( 5 0 ) 2 ( 2 z ) 2
14 14 解得 z ，即所求点为 M (0, 0, ) . 9 9
12
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2º 球面方程
特殊地：球心在原点时方程为 x 2 y 2 z 2 R2 .
13
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例2 求 球 面 方 程 x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 2 0
的球心和半径 .
解
x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6z 2 ( x 1) ( y 2) ( z 3) 14 2 0 ,
在xoy面上, x2 + y2 = R2 表示以 原点O为圆心, 半径为R的圆.
曲面可以看作是由平行 于 z 轴的直线 L 沿 xoy 面上的 圆 x2 + y2 = R2 移动而形成, 称 该曲面为圆柱面.
z
l o o
y
x
31
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画出下列柱面的图形:
yx
z
2
y x
平面解析几何中
2
2
( 3) y x 1.
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) ，
x2 y2 4
y x 1
以 z 轴为中心轴的圆 柱面
平行于 z 轴的平面
34
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半径为2 的圆
斜率为1的直线
1. 椭圆柱面 z
空间解析几何的基本概念与理论
空间解析几何的基本概念与理论空间解析几何是数学的一个分支，主要研究空间中的点、线、面、体的性质和运动规律。
它利用坐标系和代数方法，将几何问题转化为代数问题，通过代数的手段来研究几何对象之间的关系。
在空间解析几何中，我们通常使用三维直角坐标系来描述空间中的点、线、面、体。
三维直角坐标系由三根垂直于彼此的坐标轴组成，分别记为x轴、y轴和z轴。
每个点在坐标系中都有唯一的坐标表示，即(x, y, z)，其中x、y、z分别表示点在x 轴、y轴和z轴上的投影长度。
在空间解析几何中，有一些基本概念和理论是我们需要了解和掌握的。
下面我们将介绍一些重要的内容：1. 点、直线和平面：在空间解析几何中，点是最基本的概念，它没有大小和方向，仅有位置。
直线是由无数个点组成的，在三维空间中可以用点和向量表示。
平面是由无数个点和法向量确定的，可以用点和法向量或者用三点表示。
2. 距离和斜率：在解析几何中，我们可以利用坐标系中两点的坐标来计算它们之间的距离。
对于平面上的直线，我们可以用斜率来描述直线的倾斜程度。
斜率可以用两点的纵坐标差除以横坐标差来计算。
3. 方向余弦和方向角：在空间解析几何中，我们可以利用方向余弦来描述向量的方向。
方向余弦是指向量与坐标轴之间的夹角的余弦值。
方向角是指向量与坐标轴之间的夹角。
4. 四边形和三角形：在解析几何中，我们可以利用坐标表示方法来研究四边形和三角形。
四边形的面积可以通过坐标计算公式得到，而三角形的面积可以通过行列式计算得到。
除了以上内容，空间解析几何还涉及到直线的位置关系、平面的位置关系、曲线和曲面的表示、曲线的参数方程、平面和曲线的交点等方面的理论和应用。
这些内容在工程、物理学、计算机图形学等领域中具有重要的应用价值。
在实际问题中，空间解析几何可以帮助我们解决各种几何问题。
例如，在计算机图形学中，我们可以利用解析几何的知识来描述和处理三维图形的形状和变换；在工程中，我们可以利用解析几何的理论来计算结构体的强度和稳定性。
空间解析几何基本知识_ppt课件
M
O x P(x,0,0)
在直角坐标系下
1 1
Q (0 ,y ,0 )
y
A (x ,y ,0 )
(x, y, z) (称为点 M 的坐标) 点 M 有序数组
8
4.各卦限坐标的符号： Ⅰ(+,+,+), Ⅱ(-,+,+), Ⅲ(-,-,+), Ⅳ(+,-,+), Ⅴ(+,+,-), Ⅵ(-,+,-),
14 14 解得 z ， 即所求点为 M(0, 0, ) . 9 9
13
二、曲面及其方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程. 解:设轨迹上的动点为 M AM BM ,即 ( x ,y ,z ) ,则
( x 1 ) ( y 2 ) ( z 3 )
2
第七章 第一节 空间解析几何基本知识
一、空间直角坐标系
二、曲面及其方程的概念 三、几种常见的曲面及其方程
3
一、空间直角坐标系
为了确定空间上一个点的位 置，我们需要引入空间直角坐 标系． 为此,过空间中一点 o 分别作 ,oy ,oz 三条互相垂直的数轴 ox
z
o
y
x
(见右图所示)，常称这三条数轴为三个坐标轴，分别 oy轴和 oz 记为ox 轴、 轴．
4
一、空间直角坐标系
(一)空间坐标系的建立 定义：由原点重合且互相 垂直的三条数轴(单位一般
o
x
z
y
一致)， 而且三条数轴的正方
向符合右手系. 即构成一个空间直角坐标系.
右手系： 即以右手握住z轴，当右手的四个手指从 轴的正向以 角度转向 y轴的正向时,大拇指的 x 2 指向就是 z 轴的正向.
高等数学-01空间解析几何
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空间直线的方程应用：用于表示 空间中的直线，以及进行空间几 何计算和图形绘制。
平面与直线的位置关系
平行：两条直线在同一平面 内，没有公共点
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异面：两条直线不在同一平 面内，没有公共点
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垂直于平面：直线与平面有 两个公共点
平行于平面：直线与平面没 有公共点
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解析：向量法是 解析几何中常用 的方法，可以解 决许多几何问题
结论：两个平面 的交线是直线， 这是解析几何中 的基本定理
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空间解析几何是理解空间结构的基础，对于理解物理现象、解决工程问题等具有重要意义。
空间解析几何是现代数学的一个重要组成部分，对于培养数学思维和逻辑思维能力具有重 要作用。
空间解析几何的基本概念
空间解析几何是研究空间中点、线、面、体的位置关系和度量关系的数学 学科。
空间解析几何的基本概念包括向量、标量、矩阵、线性变换等。
向量的模和向量的数量积
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向量的模：表示向量的长度或大小，是向量的绝对值
添加标题
向量的数量积：表示两个向量的夹角，是向量的相对值
添加标题
向量的模和向量的数量积的关系：向量的模和向量的数量积是向量的两个基本属性，它们之间 的关系是向量的模的平方等于向量的数量积的平方加上向量的数量积的平方
添加标题
向量的向量积和混合积的应用：在空间解析几何中，向量的向量积和混合积可以用来求 解向量的夹角、向量的长度等。
向量的向量积和混合积的性质：向量的向量积和混合积具有交换律、结合律和分配律等性质。
空间解析几何基础知识
空间解析几何基础知识空间解析几何是数学中的一个重要分支，它研究了空间中的点、直线、平面以及它们之间的关系和性质。
在几何学中，空间解析几何被广泛应用于解决实际问题和推导几何定理。
本文将介绍空间解析几何的基础知识，包括坐标系、向量以及距离和中点公式。
一、坐标系在空间解析几何中，我们通常使用笛卡尔坐标系来描述点的位置。
笛卡尔坐标系由三个相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴、y轴和z轴。
我们可以用三个实数(x,y,z)来表示一个点在三维空间中的位置，这个点的坐标就是该点相对于坐标系原点在各个轴上的投影长度。
通过坐标系，我们可以方便地描述点、直线和平面的位置和方向。
二、向量向量是空间解析几何中的重要概念，它可以表示有大小和方向的量。
在三维空间中，一个向量可以用三个实数(a,b,c)表示。
当我们把坐标系的原点平移到另一个点时，两点之间的位移就可以用一个向量来表示。
向量的加法和减法可以通过对应分量的运算得到，而向量的数乘可以将向量的每个分量乘以一个实数。
向量的长度称为向量的模，它可以由勾股定理求得。
三、距离和中点公式在空间解析几何中，我们经常需要计算点与点之间的距离。
对于平面上的两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们可以利用勾股定理求得它们之间的距离d的公式为：d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)而在空间中的两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)之间的距离d的公式为：d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)除了计算距离，我们还可以通过点A和点B的坐标求得它们连线上的中点C的坐标。
对于平面上的两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，中点C的坐标是：C = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)而在空间中的两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)之间的中点C的坐标是：C = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2)总结：通过学习空间解析几何的基础知识，我们可以更好地理解和应用几何学中的概念和定理。
空间解析几何基础
空间解析几何基础空间解析几何是数学中的一个重要分支，它描述了空间中点、直线、平面的性质和它们之间的关系。
本文将介绍空间解析几何的基本概念和应用，帮助读者更好地理解这一领域的知识。
一、空间直角坐标系空间解析几何中使用的坐标系是三维直角坐标系，它由三个互相垂直的坐标轴组成：x轴、y轴和z轴。
一般情况下，我们将x轴水平向右延伸，将y轴水平向上延伸，将z轴垂直向上延伸。
在这个坐标系中，每个点都可以用三个坐标值表示，分别代表其在x、y、z轴上的距离。
二、空间中的点和向量在空间解析几何中，点是最基本的概念之一。
一个点可以用它在空间直角坐标系中的坐标表示。
例如，点P的坐标可以表示为P(x,y,z)。
除了点，向量也是空间解析几何中的重要概念。
向量可以表示从一个点到另一个点的有向线段。
向量的表示方式有多种，其中一种常用的表示方式是向量的起点坐标和终点坐标。
例如，向量AB可以表示为⃗AB。
三、空间中的直线直线是空间解析几何中的另一个重要概念。
空间中的直线可以用一般式方程、点向式方程或者参数方程来表示。
1. 一般式方程一般式方程表示为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D为常数。
这种表示方式可以方便地表示直线在空间直角坐标系中的位置。
2. 点向式方程点向式方程表示为⃗r = ⃗a + t⃗v，其中⃗r为直线上的任意点，⃗a为直线上的已知点，⃗v为直线的方向向量，t为参数。
这种表示方式更加灵活，可以方便地描述直线上的任意点。
3. 参数方程参数方程表示为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中x0、y0、z0为直线上的已知点，a、b、c为参数。
这种表示方式可以将直线的方程分解为三个分量方程，容易进行计算和推导。
四、空间中的平面平面是空间解析几何中的另一个重要概念。
和直线一样，平面可以用不同的方程表示。
1. 一般式方程一般式方程表示为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D为常数。
《空间解析几何》课件
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通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
7.1空间解析几何
例1 练习2 例2 练习3 例3 练习4 a 例4
a+b 练习1
二、新授 （二）向量的几何运算 1、向量的加减运算 由于向量是自由向量，即向量可以平行移动， 如果 把向量b平行移动，使向量b的起点与向量a 的终点重合， b 则由a的起点到b的终点的 a-b 向量亦是a与b的和向量 这种求两个向量和的方法称 a 为向量加法的三角形法则 例1 练习1 练习2 例2 练习3 三角形法则还可以推广到求任意有限个向量的和 例3
b a a-b
例1 练习2 例2 练习3 例3 练习4 例4
二、新授 （二）向量的几何运算 1、向量的加减运算 容易验证,向量的加法有下列运算规律 (1) a+b=b+a ； (交换律)
(2) (a+b)+c= a+(b+c)； (结合律) (3) a+0= a；
例1 练习1 练习2 例2 练习3 例3 练习4 例4
例3 练习4 例4
§7.1向量及其运算
一、数学文化的介绍： 解析几何的创始人 笛卡尔【法国】
与皮克曼的交往，使笛卡儿对自己的数学 和科学能力有了较充分的认识，他开始认真探 寻是否存在一种类似于数学的、具有普遍使用 性的方法，以期获取真正的知识。
例1 练习1 练习2 例2 练习3 例3 练习4 例4
在中学物理中，我们曾学习过两类性质的量,一 类只有大小没有方向的量,如温度、质量、距离、 面积、体积等,这一类量称为数量(或标量). 既有大小又有方向、如力、速度、加速度等,这 一类量称为向量(或矢量). 向量通常可以用有向线段来表示,有向线段的 长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量 例1 练习1 练习2 B 例2 练习3 的方向(如图).
解析几何全册课件
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解析几何全册课件大纲
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目录
Contents
01 添 加 目 录 项 标 题 02 解 析 几 何 概 述 03 平 面 解 析 几 何 04 空 间 解 析 几 何 05 解 析 几 何 中 的 变 换 06 解 析 几 何 中 的 重 要 定 理 和 公 式
01
添加章节标题
02
解析几何概述
空间直线方程
空间直线方程的定义 空间直线方程的表示方法 空间直线方程的性质 空间直线方程的应用
空间平面方程
空间平面方程的定义 空间平面方程的表示方法 空间平面方程的性质 空间平面方程的应用
球面和旋转曲面
球面：定义、性质、方程 旋转曲面：定义、性质、方程 球面和旋转曲面的应用：几何、物理、工程等领域 球面和旋转曲面的实例：球、圆柱、圆锥、球面镜等
的应用
空间曲线和 曲面方程： 描述空间中 曲线和曲面 的形状和位
置
空间解析几 何在实际生 活中的应用： 如建筑设计、 机械制造等
领域
变换中的重要定理和公式
旋转变换：旋转角度、旋转中心、旋转 矩阵
投影变换：投影矩阵、投影向量
平移变换：平移向量、平移矩阵
反射变换：反射向量、反射矩阵
缩放变换：缩放因子、缩放矩阵
05
解析几何中的变换
平移变换
定义：将图形 沿某个方向移 动一定距离的
变换
性质：保持图 形的形状和大
小不变
应用：在解析 几何中，平移 变换常用于求 解方程、证明
定理等
例子：平移变 换可以将一个 图形移动到另 一个位置，例 如将直线y=x 平移到y=x+1
空间解析几何
空间解析几何（Space Analytic Geometry）课程编号：（由教务处统一编写）学分：3学时：45 （其中：讲课学时：45 实验学时：上机学时：）先修课程：无适用专业：数学各专业1年级教材：(教材名称；主编；出版社、版次)蔡国梁等主编，解析几何教程，江苏大学出版社，2012开课学院：理学院一、课程的性质与任务：《解析几何》是高等学校本、专科数学与应用数学、信息与计算专业的一门重要基础课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是数学专业课的基石，也是江苏大学重点建设的“842”核心课程之一。
自江苏大学成立以来，《空间解析几何》课程一直是我系数学与应用数学专业（师范和非师范）及信息与计算科学专业的一门重要的专业基础课程，课时数为45课时，在第1学期开设。
解析几何的基本内容和基本方法包括：向量代数，空间直线和平面，常见曲面，坐标变换，二次曲线方程的化简等。
通过学习这门课程，学生可以掌握用代数的方法研究空间几何的一些问题，而坐标法、向量法正是贯穿全书的基本方法。
学好空间解析几何是学生学好其他后继数学课程的基础，数学知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，空间解析几何课程正是其中最重要的一个环节。
数学分析、高等代数和解析几何是大学数学类专业的三大主要基础课程。
解析几何是用代数的方法来研究几何，从而把几何问题的讨论，从定性的研究推进到可以计算的定量的层面，“数形结合”是解析几何的精髓。
解析几何是现代数学区别于经典数学的里程碑。
《空间解析几何》是初等数学通向高等数学的桥梁，是数学专业课的基石。
空间解析几何是用坐标法和向量法作为主要的研究工具，用代数方法来研究几何图形的几何学,它把数学的基本对象与数量关系密切联系起来，它对整个数学的发展起了很大作用。
空间解析几何，作为高等师范学校数学系开设的一门专业课，它是培养初中数学教师知识体系的一部分，是构成合格的初中数学教师的智能结构中的一个元素.它是由中学的平面几何、立体几何发展起来的几何学的一个分支。
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M 2 M 3 (5 7)2 ( 2 1)2 ( 3 2)2 6, M 3 M1 (4 5)2 ( 3 2)2 (1 3)2 6,
2
2
M 2 M 3 M 3 M1 ,
原结论成立.
三、曲面与方程
如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
x o y
p0
双曲抛物面（鞍形曲面）
x2 y2 z 2 p 2q
( p , q 异号)
用截痕法讨论： 设 p 0, q 0 1) 用坐标面 yoz ( x 0) ，x x1 与曲面相截 均可得抛物线. x z
Lx 0 Lx x1
y
o
2) 用坐标面 zox ( y 0)， 平面 y y1 与曲面相截
z
• 坐标原点 • 坐标轴 • 坐标面(三个) • 卦限(八个)
Ⅶ x轴(横轴) Ⅷ Ⅳ
z 轴(竖轴) Ⅱ
Ⅲ
yoz 面
• o xoy面
Ⅰ
y
y轴(纵轴) Ⅵ
x
Ⅴ
在直角坐标系下
有序数组 ( x, y, z ) 点 M
有序数 x、y、 z 分别称为点 M 的横坐标、纵坐标、 竖坐标, 记为 M(x, y, z). z B(0, y, z ) R(0,0, z ) z 特殊点的坐标 :
O
点，旋转轴为z 轴，半顶角为 的
圆锥面方程．
② 圆锥面： z a x 2 y 2 直线 L 绕另一条与L 相交的直线旋 转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．
两直线的交点叫圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0 < < ) 叫圆锥 2 面的半顶角. 试建立顶点在坐标原
O
点，旋转轴为z 轴，半顶角为 的
x o y
p0
⑤ 旋转抛物面
y 2 2 pz 抛物线 x 0
绕 z 轴旋转而成的曲面：
z
x y 2 pz
2 2
—— 旋转抛物面
x o y
p0
⑤ 旋转抛物面
y 2 2 pz 抛物线 x 0
绕 z 轴旋转而成的曲面：
z
x y 2 pz
2 2
—— 旋转抛物面
第一节 空间解析几何简介
一、空间直角坐标系 二 、空间任意两点间的距离 三 、曲面与方程
第八章
一、空间直角坐标系
过空间一定点 o 由三条互相垂直的数轴 ,
按右手规则组成一个空间直角坐标系. z 即以右手握住 z 轴， 当右手的四个手指，从 从x轴正向以 角度转向 2 定点 o y y轴正向时，大拇指的指向 空间直角坐标系 就是 z轴的正向. x
x o y
p0
⑤ 旋转抛物面
y 2 2 pz 抛物线 x 0
绕 z 轴旋转而成的曲面：
z
x y 2 pz
2 2
—— 旋转抛物面
x o y
p0
⑤ 旋转抛物面
y 2 2 pz 抛物线 x 0
绕 z 轴旋转而成的曲面：
z
x y 2 pz
2 2
—— 旋转抛物面
z
S
o
x
y
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
例5
求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的
轨迹方程. 解 即 设轨迹上的动点为 M ( x, y, z ) , 则 AM BM ,
( x 1) 2 ( y 2) 2 ( z 3) 2
( x 2) 2 ( y 1) 2 ( z 4) 2 化简得 2 x 6 y 2 z 7 0
求一点C，使ACB为直角 .
解
可设C (0,0, z ). 点C在z轴上，
2 2 2
依题意，有 AB AC BC
B
2 2 2 ( 1 7 ) ( 7 1 ) ( 12 12 ) 即
A
C
(0 7)2 (0 1)2 ( z 12)2 (0 1)2 (0 7)2 ( z 12)2
解得 z 12 ，故所求点为 C (0, 0, 12).
例2 求点 M(4,3,-2) 到 y 轴的距离.
解 过点 M作 y 轴的垂面，则垂足点为P(0,3,0).
故点M 到 y 轴的距离为：
PM (4 0) 2 ( 3 3) 2 ( 2 0) 2
16 4 2 5
两直线的交点叫圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0 < < ) 叫圆锥 2 面的半顶角. 试建立顶点在坐标原
O
点，旋转轴为z 轴，半顶角为 的
圆锥面方程．
② 圆锥面： z a x 2 y 2 直线 L 绕另一条与L 相交的直线旋 转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．
两直线的交点叫圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0 < < ) 叫圆锥 2 面的半顶角. 试建立顶点在坐标原
例3
设 P 在 x 轴上，它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为
到点 P2 ( 0, 1, 1) 的距离的两倍，求点P 的坐标.
解
因为 P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x ,0,0),
PP1 x 2 3 x 11,
2 2 2
2
PP2 x 1 1 x 2 ,
•
1 1
原点 O(0,0,0) ;
M C ( x, o,点 z ) M在x轴、y 轴 o
坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C .
y 、 z 轴上的投影 Q(0, y,0) x A( x, y,0) x P( x,0,0)
y
z
坐标面 :
o
y
坐标轴 :
x
三元有序数组 ( x , y , z ) 的全体所构成的集合：
圆锥面方程．
② 圆锥面： z a x 2 y 2 直线 L 绕另一条与L 相交的直线旋 转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．
两直线的交点叫圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0 < < ) 叫圆锥 2 面的半顶角. 试建立顶点在坐标原
O
点，旋转轴为z 轴，半顶角为 的
圆锥面方程．
② 圆锥面： z a x 2 y 2 直线 L 绕另一条与L 相交的直线旋 转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．
特别,当M0在原点时,球面方程为
z
x 2 y 2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
M0
o
M
y
x
例7 的曲面.
表示怎样
解
配方得
球心为 M 0 ( 1, 2, 0 ) ,
此方程表示:
半径为 5 的球面.
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 表示球面方程。
几种特殊的曲面及其方程
p0
⑤ 旋转抛物面
y 2 2 pz 抛物线 x 0
绕 z 轴旋转而成的曲面：
z
x y 2 pz
2 2
—— 旋转抛物面
x o y
p0
⑤ 旋转抛物面
y 2 2 pz 抛物线 x 0
绕 z 轴旋转而成的曲面：
z
x y 2 pz
2 2
—— 旋转抛物面
R 3 {( x , y, z ) x R, y R, z R}
称为三维欧氏空间.
二、空间任意两点间的距离
设 M1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点，
d M1 M 2 ?
在 直 角 M1 NM 2 及 直角 M1 PN 中， 使用 勾股定理，知
两直线的交点叫圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0 < < ) 叫圆锥 2 面的半顶角. 试建立顶点在坐标原
O
点，旋转轴为z 轴，半顶角为 的
圆锥面方程．
② 圆锥面： z a x 2 y 2 直线 L 绕另一条与L 相交的直线旋 转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．
两直线的交点叫圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0 < < ) 叫圆锥 2 面的半顶角. 试建立顶点在坐标原
O
点，旋转轴为z 轴，半顶角为 的
圆锥面方程．
② 圆锥面： z a x 2 y 2 直线 L 绕另一条与L 相交的直线旋 转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．
两直线的交点叫圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0 < < ) 叫圆锥 2 面的半顶角. 试建立顶点在坐标原
O
点，旋转轴为z 轴，半顶角为 的
x o y
p0
⑤ 旋转抛物面
y 2 2 pz 抛物线 x 0
绕 z 轴旋转而成的曲面：
z
x y 2 pz
2 2
—— 旋转抛物面
x o y
p0
⑤ 旋转抛物面
y 2 2 pz 抛物线 x 0
绕 z 轴旋转而成的曲面：
z
x y 2 pz
2 2
—— 旋转抛物面
x2 y2 z 2 p 2q ( p 0, q 0)
均可得抛物线.
3) 用 平面 z z1 与曲面相截
Lz z1 ( 0)
z z
Lx 0 Lx x1
可得双曲线. 用坐标面 xoy ( z 0) x x Ly Ly 与曲面相截可得 y y y1 y 0 0 1 Lz L z z z1 ( ( 0) 两条直线. 1 0)
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
点 方程. 解 设轨迹上动点为