高中数学分章节训练试题：28随机变量及其分布
2024全国高考真题数学汇编：随机变量及其分布章节综合
2024全国高考真题数学汇编随机变量及其分布章节综合一、多选题1．（2024全国高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x ，样本方差20.01s ，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布 21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布 2N x s，则（）（若随机变量Z 服从正态分布 2,N，()0.8413P Z ）A ．(2)0.2P XB ．(2)0.5P XC ．(2)0.5P Y D ．(2)0.8P Y 二、填空题2．（2024上海高考真题）某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是．3．（2024天津高考真题）,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A 的概率为；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为．4．（2024全国高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.三、解答题5．（2024北京高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：赔偿次数01234单数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.（i ）记X 为一份保单的毛利润，估计X 的数学期望 E X ；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i ）中 E X 估计值的大小．（结论不要求证明）6．（2024全国高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．(1)若0.4p ，0.5q ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设0p q ，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？参考答案1．BC【分析】根据正态分布的3 原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，22.1,0.01x s ，所以 2.1,0.1Y N ，故 2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y ，C 正确，D 错误；因为 1.8,0.1X N ，所以 2 1.820.1P X P X ，因为 1.80.10.8413P X ，所以 1.80.110.84130.15870.2P X ，而 2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X ，B 正确，A 错误，故选：BC ．2．0.85【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.【详解】由题意知，,,A B C 题库的比例为：5:4:3，各占比分别为543,,121212，则根据全概率公式知所求正确率5430.920.860.720.85121212p ．故答案为：0.85．3．3512【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率.【详解】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，则甲选到A 得概率为：63105P；乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ，故乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为 2435C 3C 5P M ；乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为 133524351C 2C C P MN C P N M P M故答案为：35；124．12/0.5【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在该轮得分的概率 631448k P X，所以 31,2,3,48k E X k .从而 441234113382k k k E X E X X X X E X .记 0,1,2,3k p P X k k .如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p .而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p ， 1233232p p p E X .所以121112p p，121282p p ，两式相减即得211242p，故2312p p .所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p .故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.5．(1)110(2)(i)0.122万元；(ii)这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i ）中 E X 估计值【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;（2）（ⅰ）设 为赔付金额，则 可取0,0.8,0.1.6,2.4,3，用频率估计概率后可求 的分布列及数学期望，从而可求 E X .（ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求 E Y ，从而即可比较大小得解.【详解】（1）设A 为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得 603010180010060301010P A.（2）（ⅰ）设 为赔付金额，则 可取0,0.8,1.6,2.4,3，由题设中的统计数据可得 800410010,0.810005100010P P ，603( 1.6)100050P ，303( 2.4)1000100P ，101(3)1000100P，故 4133100.8 1.6 2.430.27851050100100E故 0.40.2780.122E X （万元）.（ⅱ）由题设保费的变化为410.496%0.4 1.20.403255，故 0.1220.40320.40.1252E Y （万元），从而 E X E Y .6．(1)0.686(2)（i ）由甲参加第一阶段比赛；（i ）由甲参加第一阶段比赛；【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i ）首先各自计算出331(1)P p q 甲，331(1)Pq p 乙，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到X 和Y 的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，比赛成绩不少于5分的概率 3310.610.50.686P .（2）（i ）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q 甲，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p 乙，0p q ，3333()()P P q q pq p p pq 甲乙2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq2222()333p q p q p q pq 3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q ，P P 甲乙，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X 的所有可能取值为0，5，10，15，333(0)(1)1(1)(1)P X p p q ，3213511C 1P X p q q ，3223(10)1(1)C (1)P X p q q ，33(15)1(1)P X p q，332()151(1)1533E X p q p p p q记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y 的所有可能取值为0，5，10，15，同理 32()1533E Y q q q p()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q 15()(3)p q pq p q ，因为0p q ，则0p q ，31130p q ，则()(3)0p q pq p q ，应该由甲参加第一阶段比赛.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论.。
(必考题)高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试(有答案解析)
一、选择题1．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p .某检验员从该生产线上随机抽检50个零件，设其中优等品零件的个数为X .若()8D X =，(20)P X =(30)P X <=，则p =（ ） A ．0.16B ．0.2C ．0.8D ．0.842．已知随机变量X 的分布列则对于任意01a b c <<<<，()E X 的取值范围是（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭3．假定男女出生率相等，某个家庭有两个小孩，已知该家庭至少有一个女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．164．随机变量ξ的分布列如表所示，若1()3E X =-，则(31)D X +=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在()0,1内增大时（ ）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（ ） A ．38B ．1340C ．1345D ．347．已知随机变量~X N ()22,σ，(0)0.84P X=，则(04)P X <<=（ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.66D ．0.688．袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件A ，“摸得的两球不同色”为事件B ，则概率()|P B A 为( ) A ．14B ．23C ．13D ．129．随机变量X 服从正态分布()()()210,12810X N P X m P X n σ->==，，≤≤，则12m n+的最小值为（ ）A ．3+B ．6+C ．3+D ．6+10．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件A 为4名同学所报项目各不相同”,事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则(|)P B A =（ ） A ．14B ．34C ．29D ．5911．某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ） A ．313B ．413C ．14D ．1512．10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽取两张.则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率是( ) A ．27B ．29C ．310D ．15二、填空题13．游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为14，停在不同区域的概率为34，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为X ，若开始时指针停在红色区域，则()E X =______.14．由“0，1，2”组成的三位数密码中，若用A 表示“第二位数字是2”的事件，用B 表示“第一位数字是2”的事件，则(|)P A B =__________.15．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是________. 16．下列说法中，正确的有_______．①回归直线ˆˆˆy bx a =+恒过点(),x y ，且至少过一个样本点；②根据22⨯列列联表中的数据计算得出2 6.635K ≥，而()26.6350.01P K ≥≈，则有99%的把握认为两个分类变量有关系；③2K 是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当2K 的值很小时可以推断两个变量不相关；④某项测量结果ξ服从正态分布()21,N a，则(5)0.81P ξ≤=，则(3)0.19P ξ≤-=．17．已知某随机变量X 的分布列如下（,p q R ∈）：且X 的数学期望()12E X =，那么X 的方差()D X =__________． 18．（1）10件产品，其中3件是次品，任取2件，若ξ表示取到次品的个数，则()E ξ=_______；（2）设随机变量ξ的分布列为()P k ξ==21C ()()33k k n kn -，k =0，1，2，…，n ，且()24E ξ=，则()D ξ= _______；（3）设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X 表示三次中红球被摸中的次数（每个小球被抽取的概率相同，每次抽取相互独立），则方差()D X =______．三、解答题19．已知某射手射中固定靶的概率为34，射中移动靶的概率为23，每次射中固定靶､移动靶分别得1分､2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次.（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率； （2）求该射手的总得分X 的分布列和数学期望.20．某校拟举办“成语大赛”，高一（1）班的甲、乙两名同学在本班参加“成语大赛”选拔测试，在相同的测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）的茎叶图如图所示.（1）你认为选派谁参赛更好？并说明理由；（2）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取1次进行分析，设抽到的2次成绩中，90分以上的次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X .21．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩ξ近似服从正态分布()70,100N ．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名．（1）此次参赛的学生总数约为多少人?（2）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，则设奖的分数线约为多少分? 说明：对任何一个正态分布()2~,X Nμσ来说，通过1X Z μσ-=转化为标准正态分布()~0,1Z N ，从而查标准正态分布表得到()()1P X X Z <=Φ． 参考数据：可供查阅的（部分）标准正态分布表()Z Φ Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 1.2 0.8849 0.869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.985722．为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下:(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数； (2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列及均值E (X );(3)试比较男生学习时间的方差21s 与女生学习时间的方差22s 的大小.(只需写出结论) 23．为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取100只小白鼠，并将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如下的频率分布直方图（以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率）：（1）根据频率分布直方图，估计100只小白鼠该项医学指标平均值x （同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）若认为小白鼠的该项医学指标值X 服从正态分布()2,N μσ，且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于14.77时，则认定其体内已经产生抗体；进一步研究还发现，对第一次注射疫苗的100只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有10只小白鼠又产生了抗体．这里μ近似为小白鼠医学指标平均值x ，2σ近似为样本方差2s ．经计算得2 6.92s =，假设两次注射疫苗相互独立，求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率p （精确到0.01）． 附：参考数据与公式6.92 2.63≈，若()2~,X N μσ，则①()0.6827P X μσμσ-<≤+=；②()220.9545P X μσμσ-<≤+=；③()330.9973P X μσμσ-<≤+=． 24．甲､乙两人进行乒乓球比赛，规定比赛进行到有一人比对方多赢2局或打满6局时比赛结束.设甲､乙在每局比赛中获胜的概率均为12，各局比赛相互独立，用X 表示比赛结束时的比赛局数（1）求比赛结束时甲只获胜一局的概率； （2）求X 的分布列和数学期望.25．现有编号为1，2，3的三只小球和编号为1，2，3的三个盒子，将三只小球逐个随机地放入三个盒子中，每只球的放置相互独立. （1）求恰有一个空盒的概率；（2）求三只小球在三个不同盒子中，且每只球编号与所在盒子编号不同的概率； （3）记录所有至少有一只球的盒子，以X 表示这些盒子编号的最小值，求()E X . 26．某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5),[5,6]共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）.（1）从甲班每天学习数学的平均时间在[0,2)的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0,1)范围内的概率；（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由(20)(30)p X P X =<=求出的范围，再由方差公式求出值．【详解】∵(20)(30)p X P X =<=，∴2020303030205050(1)(1)C p p C p p -<-，化简得1p p -<，即12p >，又()850(1)D X p p ==-，解得0.2p =或0.8p =，∴0.8p =，故选C ． 【点睛】 本题考查概率公式与方差公式，掌握这两个公式是解题的关键，本题属于基础题．2．B解析：B 【分析】由题易得222()E X a b c =++，结合题中条件再由基本不等式可得2222()133a b c a b c ++++>=，即1()3E X >；再由2222()2()12()1a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=++-++=-++<，即()1E X <，最后得出()E X 的取值范围. 【详解】由随机变量的期望定义可得出222()E X a b c =++， 因为01a b c <<<<，且1a b c ++=，所以222222222a b aba c acbc bc ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，三式相加并化简可得222a b c ab bc ac ++>++，故2222222222()2222()3()a b c a b c ac bc ab a b c ac bc ab a b c ++=+++++=+++++<++，即2222()133a b c a b c ++++>=，所以2()1()33a b c E X ++>=，又因为2()()2()12()1E X a b c ab bc ca ab bc ca =++-++=-++<，所以1()13E X <<. 故选：B . 【点睛】本题考查随机变量的期望，考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.3．B解析：B 【分析】记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，分别求出A 、B 的结果个数，问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式求解即可. 【详解】解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}．记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，则{A =（男，女），（女，男），（女，女）}，{B =（男，女），（女，男），（女，女）}，{AB =（女，女）}．于是可知3()4P A =，1()4P AB =． 问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式，得()114334P B A ==．故选：B ． 【点睛】本题的考点是条件概率与独立事件，主要考查条件概率的计算公式：()()()P AB P B A P A =，等可能事件的概率的求解公式：()mP M n=（其中n 为试验的所有结果，m 为基本事件的结果）.4．B解析：B 【分析】 由于()13E X =-，利用随机变量的分布列列式，求出a 和b ，由此可求出()D X ，再由()(319)X D D X +=，即可求出结果.根据题意，可知：112a b ++=，则12a b +=， ()13E X =-，即：1123b -+=-，解得：16b =，13a ∴=，()22211111151013233369X D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()59959(31)D D X X ==⨯+=， ∴5(31)D X +=.故选：B. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列､数学期望等知识，考查运算求解能力.5．B解析：B 【分析】根据题意计算随机变量ξ的分布列和方差，再判断p 在(0,1)内增大时，()E ξ、()D ξ的单调性即可． 【详解】解：设01p <<，随机变量ξ的分布列是1131()01222222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=-， 方差是22231311311()(0)(1)(2)222222222p p D p p p ξ-=-+⨯+-+⨯+-+⨯ 21144p p =-++ 215(2)44p =--+，当p 在(0,1)内增大时，()E ξ减小，()D ξ增大．故选：B ． 【点睛】本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力．6．B【分析】由条件概率的定义()(|)()P A B P B A P A =，分别计算(),()P A B P A 即得解.【详解】 由题意5()9P A = 事件AB 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有223313⨯+⨯=个事件1313()9872P A B ==⨯由条件概率的定义：()13(|)()40P A B P B A P A ==故选：B 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.7．D解析：D 【分析】先由对称性求出(X 4)P ≥，再利用(04)12(4)P X P X <<=-≥即得解. 【详解】由于随机变量~X N ()22,σ，关于2X =对称，故(4)(0)1(0)10.840.16P X P X P X ≥=≤=-≥=-= (04)12(4)10.320.68P X P X ∴<<=-≥=-=故选：D 【点睛】本题考查了正态分布在给定区间的概率，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.8．B解析：B 【分析】根据题目可知，求出事件A 的概率，事件AB 同时发生的概率，利用条件概率公式求得()|P B A ，即可求解出答案．【详解】依题意，()1214C 1C 2P A ==，()11221143C C 1C C 3P AB ==，则条件概率()()()123|132P AB P B A P A ===．故答案选B ． 【点睛】本题主要考查了利用条件概率的公式计算事件的概率，解题时要理清思路，注意()P AB 的求解．9．D解析：D 【分析】利用正态密度曲线的对称性得出12m n +=，再将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后可利用基本不等式求出12m n+的最小值． 【详解】 由于()210,XN σ，由正态密度曲线的对称性可知，()()128P X P X m >=<=，所以，()()188102P X P X <+≤≤=，即12m n +=，221m n ∴+=， 由基本不等式可得()1212422266m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭6=， 当且仅当()420,0m n m n n m=>>，即当n =时，等号成立， 因此，12m n +的最小值为6+，故选D. 【点睛】本题考查正态密度概率以及利用基本不等式求最值，解题关键在于利用正态密度曲线的对称性得出定值，以及对所求代数式进行配凑，以便利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题．10．A解析：A 【分析】确定事件AB ，利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，再利用条件概型的概率公式可计算出()P B A 的值. 【详解】事件AB 为“4名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”，则()3344A P AB =，()4444A P A =，()()()3434444144P AB A P B A P A A ∴==⋅=，故选A. 【点睛】本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题．11．A解析：A 【分析】根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果. 【详解】设事件A 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件B 为“学生丙第一个出场”则()41134333555578A C C A P A A A +==，()1333555518C A P AB A A == 则()()()1837813P AB P B A P A === 本题正确选项：A 【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.12．B解析：B 【分析】根据第一次抽完的情况下重新计算总共样本数和满足条件样本数，再由古典概型求得概率． 【详解】在第一次抽中奖后，剩下9张奖券，且只有2张是有奖的，所以根据古典概型可知，第二次中奖的概率为29P =．选B. 【点睛】事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率称为“事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率”，记为(|)P B A ；条件概率常有两种处理方法： （1）条件概率公式：()(|)()P AB P B A P A =． （2）缩小样本空间，即在事件A 发生后的己知事实情况下，用新的样本空间的样本总数和满足特征的样本总数来计算事件B 发生的概率．二、填空题13．【分析】依题意画出数形图即可求出的分布列即可求出数学期望；【详解】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下：则的分布列如下：0 1 2 3 故故答案为：【点睛】本题考查概率的计算随机解析：27 16【分析】依题意画出数形图，即可求出X的分布列，即可求出数学期望；【详解】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下：则X的分布列如下：X0123P 16421643964364故()01236464646416 E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为：27 16【点睛】本题考查概率的计算，随机变量的分布列和数学期望，解答的关键是画出树形图. 14．【分析】利用古典摡型的概率计算公式分别求得结合条件概率的计算公式即可求解【详解】由012组成的三位数密码共有个基本事件又由用A表示第二位数字是2的事件用B表示第一位数字是2的事件可得所以故答案为：【解析：1 3【分析】利用古典摡型的概率计算公式，分别求得(),()P B P A B，结合条件概率的计算公式，即【详解】由“0，1，2”组成的三位数密码，共有33327⨯⨯=个基本事件，又由用A表示“第二位数字是2”的事件，用B表示“第一位数字是2”的事件，可得33131 (),()273279P B P A B⨯====，所以1()19 (|)1()33P A BP A BP B===.故答案为：1 3 .【点睛】本题主要考查了条件概率的计算与求解，其中解答中熟记条件概率的计算公式，准确运算时解答得关键，属于基础题.15．【分析】利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下基本事件总数n=3这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下这时另一个也是女孩的概率【详解】一个家庭有解析：1 3【分析】利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下，基本事件总数n=3，这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1，由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率.【详解】一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，基本事件有: {男，男}，{男，女}，{女,男}，{女,女},已知这个家庭有一个女孩的条件下，基本事件总数n=3 ,这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1，∴已知这个家庭有一个女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是13mpn==，故答案为：1 3【点睛】本题主要考查了条件概率，可以列举在某条件发生的情况下，所有事件的个数及所研究事件的个数，利用古典概型求解，属于中档题.16．②④【分析】由回归直线的性质判断①；由独立性检验的性质判断②③；由正态分布的特点判断④【详解】回归直线恒过点但不一定要过样本点故①错误；由得有99的把握认为两个分类变量有关系故②正确；的值很小解析：②④ 【分析】由回归直线的性质判断①；由独立性检验的性质判断②③；由正态分布的特点判断④. 【详解】回归直线ˆˆˆybx a =+恒过点(),x y ，但不一定要过样本点，故①错误； 由2 6.635K ≥，得有99%的把握认为两个分类变量有关系，故②正确；2K 的值很小时，只能说两个变量的相关程度低，不能说明两个变量不相关，故③错误；(5)0.81P ξ≤=,(5)(3)10.810.19P P ξξ∴>=<-=-=，故④正确；故答案为：②④ 【点睛】本题主要考查了正态分布求指定区间的概率等，属于中等题.17．【解析】根据题意可得解得故的方差解析：34【解析】根据题意可得112p q p q +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得34p =，14q =，故X 的方差()22131131124244D X ⎛⎫⎛⎫=-⨯+--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．18．8【解析】（1）由题意得随机变量的可能取值为012所以（2）由题意可知所以解得所以（3）每次取球时取到红球的概率为黑球的概率为所以服从二项分布即所以解析：358 23 【解析】（1）由题意得，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，()27210C 70C 15P ξ===，()1P ξ=1173210C C 7C 15==， ()23210C 12C 15P ξ===，所以()77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=． （2）由题意可知2,3B n ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，所以()2243n E ξ==，解得36n =，所以()D ξ= 22361833⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭．（3）每次取球时，取到红球的概率为23、黑球的概率为13，所以X 服从二项分布，即23,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()22231333D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．三、解答题19．（1）13；（2）分布列答案见解析，数学期望：4112. 【分析】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ，得到D ABC BC A =+，结合互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，即可求解；（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，根据互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ， 则()34P A =，()()23P B P C ==， D ABC BC A =+，其中ABC C AB +互斥，,,,,A B C B C 相互独立，从而()()()()322114336P ABC P A P B P C ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭， 则()()()()13P D P ABC ABC P ABC P ABC =+=+=， 所以该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次的概率为13. （2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5， 则()()()()()3221011143336P X P ABC P A P B P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()3111143312P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=，1211121(2)()()()()()()()4334339P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=，()()()()()()()()321312134334333P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=()()()()()122144339P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,3221(5)()()()()4333P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,该射手的总得分X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012345.3612939312E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤： 理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值； 求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列； 由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.20．（1）选派乙参赛更好，理由见解析；（2）分布列见解析，()25E X =. 【分析】（1）计算出甲、乙两人5次测试的成绩的平均分与方差，由此可得出结论；（2）由题意可知，随机变量X 的取值有0、1、2，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可计算得出()E X . 【详解】（1）甲5次测试成绩的平均分为555876889236955x ++++==甲，方差为22222213693693693693695704555876889255555525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦甲，乙5次测试成绩的平均分为658287859541455x ++++==乙，方差为22222214144144144144142444658285879555555525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦乙，所以，x x <甲乙，22s s >甲乙，因此，选派乙参赛更好；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2，()24160525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()148125525P X ==⨯⨯=，()2112525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：因此，()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 21．（1）526（人）；（2）83分. 【分析】（1）由题意知9070(90)(2)10P ξ-⎛⎫<=Φ=Φ ⎪⎝⎭，则(90)1(90)P P ξξ=-<可求，结合对应人数可得总人数；（2）假定设奖的分数线为x 分，由题意知7050()10.095110526x P x ξ-⎛⎫=-Φ== ⎪⎝⎭，查表得x 值.【详解】 （1）由题意知9070(90)1(90)11(2)10.97720.022810P P ξξ-⎛⎫=-<=-Φ=-Φ=-= ⎪⎝⎭，故此次参赛的学生总数约为125260.0228≈（人）．（2）假定设奖的分数线为x 分，由题意知7050()1()10.095110526x P x P x ξξ-⎛⎫=-<=-Φ== ⎪⎝⎭， 即700.904910x -⎛⎫Φ=⎪⎝⎭，查表得70 1.3110x -=， 解得83.1x =，故设奖的分数线约为83分．【点睛】本题关键在于正确理解正态分布概率计算公式及运用. 22．（1）240人；（2）分布列见解析，2；（3）2212s s >. 【分析】（1）由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，把频率当概率可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0，1，2，3，4；利用组合知识，由古典概型公式计算可得X =0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X 的分布列；（3）根据折线图，看出男生、女生的学习时间的集中与分散程度，根据方差的实际意义可得答案． 【详解】(1)由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400×1220=240. (2)学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男生人数为4， 故X 的所有可能取值为0，1，2，3，4. 由题意可得P (X=0)=4448170C C =，P (X=1)=1344481687035C C C ==， P (X=2)=22444836187035C C C ==， P (X=3)=3144481687035C C C ==， P (X=4)=4448170C C =.∴均值E (X )=0×170+1×835+2×1835+3×835+4×170=2.(3)由折线图可得2212s s >. 【点睛】方法点睛：本题考查了折线统计图和超几何分布，考查了离散型随机变量分布列和数学期望的计算，求解离散型随机变量分布列的步骤是： 首先确定随机变量X 的所有可能取值；计算X 取得每一个值的概率，可通过所有概率和为1来检验是否正确； 进行列表，画出分布列的表格；最后扣题，根据题意求数学期望或者其它． 23．（1）17.4；（2）0.94. 【分析】（1）利用每一个小矩形的面积乘以对应的底边中点的横坐标之和即为x ；（2）先计算第一次注射疫苗后产生抗体的概率()()14.77P x P x μσ≥=≥-，即可计算第一次注射疫苗后100只小白鼠中产生抗体的数量，加上第二次注射疫苗10只小白鼠又产生了抗体，可以得出两次注射疫苗产生抗体的总数，即可求概率. 【详解】（1）0.021220.061420.141620.181820.05202x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.032220.0224217.4+⨯⨯+⨯⨯= （2）17.40 2.6314.77μσ-=-=∴()10.68270.68270.84142P x μσ-≥-=+= 记事件A 表示首先注射疫苗后产生抗体，则()()()14.770.8414P A P x P x μσ=≥=≥-=，因此100只小鼠首先注射疫苗后有1000.841484⨯≈只产生抗体，有1008416-=只没有产生抗体．故注射疫苗后产生抗体的概率84100.94100P +==. 【点睛】 结论点睛：频率分布直方图的相关公式以及数字特征的计算， ①直方图中各个小长方形的面积之和为1； ②直方图中每组样本的频数为频率乘以总数； ③最高的小矩形底边中点横坐标即是众数； ④中位数的左边和右边小长方形面积之和相等；⑤平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 24．（1）18；（2）分布列见解析，()72E X =.【分析】（1）先分析出甲只获胜一局的所有情况，然后根据对应的情况去计算概率；（2）先分析X 的可能取值，然后根据取值列出对应的比赛获胜情况，由此计算出对应的概率，可得X 的分布列，根据分布列可计算出数学期望.【详解】（1）因为比赛结束时甲只获胜一局，所以一共比赛了4局，且甲在第1局或第2局赢了，当甲在第1局赢了，则乙在后面3局都赢了，此事件的概率为：31112216⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，当甲在第2局赢了，则乙在第1,3,4局赢了，此事件的概率为：2111122216⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭，记“比赛结束时甲只获胜一局”为事件A ，则()112168P A =⨯=； （2）根据条件可知：X 可取2,4,6，当2X =时，包含甲或乙前2局连胜，此时2种情况：{甲，甲}，{乙，乙}；当4X =时，包含甲或乙前2局赢了1局，后2局都没赢，此时4种情况：{甲，乙，乙，乙}，{乙，甲，乙，乙}，{乙，甲，甲，甲}，{甲，乙，甲，甲}（大括号中，按顺序为各局的获胜者）；()2112222P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()4114424P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()()()161244P X P X P X ==-=-==， 所以X 的分布列为：所以()2462442E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】思路点睛：求离散型随机变量X 的数学期望的一般步骤： （1）先分析X 的可取值，根据可取值求解出对应的概率； （2）根据（1）中概率值，得到X 的分布列；（3）结合（2）中分布列，根据期望的计算公式求解出X 的数学期望. 25．（1）23；（2）227；（3）43. 【分析】（1）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率； 方法二：用排列组合数表示；（2）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率；方法二：用排列组合数表示；（3）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率；方法二：用排列组合数表示；【详解】解：方法一：记三个球分别为①，②，③，试验的全部基本事件如下表：共27种.根据古典概型公式()182 273P A==.（2）记“三只小球在三个不同盒子中，且每只球的编号与所在盒子编号不同”为事件B，事件B包含的基本事件数有2种.根据古典概型公式2 ()27 P B=.（3）X的可能取值为1，2，3.。
随机变量及其分布函数习题
第2章 随机变量及其分布习题 21．设有函数⎩⎨⎧≤=其它，,0,0,sin )(πx x x F试说明)(x F 能否是某随机变量的分布函数。
解：不能，易知对21x x <，有：),()(}1{}{}{12221x F x F x X P x X P x X x P -=<-<=<<又)()(,0}{1221x F x F x X x P ≥≥<<，因此)(x F 在定义域内必为单调递增函数。
然而)(x F 在),0(π上不是单调递增函数，所以不是某随机变量的分布函数。
2．－筐中装有7只蓝球，编号为1，2．3，4，5，6，7。
在筐中同时取3只，以X 表示取出的3只当中的最大号码，写出随机变量X 的分布列。
解：X 的可能值为3，4，5，6，7。
在7只篮球中任取3个共有37C 种取法。
}3{=X 表示取出的3只篮球以3为最大值，其余两个数是1，2，仅有这一种情况，故3515673211)3(37=⋅⋅⋅⋅===C X P}4{=X 表示取出的3只篮球以4为最大值，其余两个数可以在1，2，3中任取两个，共有23C 种取法，故35356732113)4(3723=⋅⋅⋅⋅===C C X P 。
}5{=X 表示取出的3只篮球以5为最大值，其余两个数可在1，2，3，4中任取2个，共有24C 种取法，故3565673212134)5(3724=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P ， }6{=X 表示取出的3只篮球以6为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5中任取2个，共有25C 种取法，故35105673212145)6(3725=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P ，}7{=X 表示取出的3只篮球以7为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5，6中任取2个，共有26C 种取法，故35155673212156)7(3726=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P 。
3. 设X 服从)10(-分布，其分布列为,)1(}{1kkp p k X P --== ,1,0=k 求X 的分布函数，并作出其图形。
(必考题)高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试(答案解析)(4)
一、选择题1．随机变量ξ的分布列如表所示，若1()3E X =-，则(31)D X +=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．72．将两颗骰子各掷一次，设事件A =“两个点数都不相同”，B =“至少出现一个5点”，则概率()P A B =（ ） A ．1011B ．511C ．518D ．5363．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则D X 的最大值为（ ） A ．29B ．59C ．34D ．234．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在()0,1内变化时，（ ） A ．()D ξ增大 B ．()D ξ减小 C ．()D ξ先增大后减小 D ．()D ξ先减小后增大5．已知随机变量()2,1XN ，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ） 附：若随机变量()2,N ξμσ，则()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，()220.9544P μσξμσ-≤≤+=.A．0.1359 B．0.7282 C．0.6587 D．0.86416．某校从6名学生干部（其中女生4人，男生2人）中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为（）A．12B．25C．35D．457．甲、乙、丙三人每人准备在3个旅游景点中各选一处去游玩，则在“至少有1个景点未被选择”的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是（）A．17B．18C．114D．3148．在一个袋子中装有6个除颜色外完全相同的球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，从中依次不放回地抽取2个球，则在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球的概率为（）A．15B．25C．35D．459．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以1A，2A，3A表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确．．．的是（）A．事件B与事件1A不相互独立B．1A，2A，3A是两两互斥的事件C．()3 5P B=D．()17|11P B A=10．已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则Eξ=（）A．145B．135C．73D．8311．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为（）A．14B．13C．12D．112．将两枚骰子各掷一次，设事件A={两个点数都不相同}，B={至少出现一个3点}，则(|)P B A=（）A ．13B ．518C ．1011D ．12二、填空题13．一位篮球运动员投篮一次得3分概率为a ，得2分概率为b ，不得分概率为c ，(),,0,1a b c ∈.若他投篮一次得分的期望为1，则12a b+的最小值为______.14．甲、乙等4人参加4100⨯米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是______.15．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为______．16．已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示．若()()0,1E X D X ==，则a b -的值为__________．17．已知X 服从二项分布()100,0.2B ，则()32E X --= ________.18．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N （100，σ2），已知P （80<ξ<120）=0.70，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析．则应从120分以上的试卷中抽取________份．三、解答题19．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974 年发明的.魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为333⨯⨯的正方体结构，由26个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原.截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次3.475秒.（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y (秒) 与训练天数x (天)有关，经统计得到如下数据：y （秒）99 99 4532 3024 21现用y a x=+作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y 约为多少秒(精确到1) ?参考数据（其中1i iz x =） 71i ii z y =∑z72217i i zz =-⨯∑184.50.37 0.55对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆva u β=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆˆˆ,ni i i nii u vnuv av u unu ββ==-==--∑∑. （2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面.某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动90︒，记顶面白色色块的个数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X .20．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治､上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民约为2000万.从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示.（1）估计该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71~80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差.21．某企业为了解职工A款APP和B款APP的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表：男职工女职工使用不使用使用不使用A款APP72人48人40人80人B款APP60人60人84人36人（1）分别估计该企业男职工使用A款APP的概率､该企业女职工使用A款APP的概率；（2）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用A款APP的人数为X，求X的分布列及数学期望；（3）据电商行业发布的市场分析报告显示，A款APP的用户中男性占52.04%､女性占47.96%；B款APP的用户中男性占38.92%､女性占61.08%.试分析该企业职工使用A款APP的男､女用户占比情况和使用B款APP的男､女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男､女用户占比情况更相符.22．甲､乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数3839404142天数101510105送餐单数 38 39 40 41 42 天数51010205（1）记乙公司送餐员日工资为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望；（2）小王打算到甲､乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.23．某单位有车牌尾号为2的汽车A 和尾号为6的汽车B ，两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A 车日出车频率0.6，B 车日出车频率0.5.该地区汽车限行规定如下： 车尾号 0和51和62和73和84和9限行日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五. （1）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（2）设X 表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X 的分布列及其数学期望()E X .24．某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5),[5,6]共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）.（1）从甲班每天学习数学的平均时间在[0,2)的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0,1)范围内的概率；（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.25．某种子公司培育了一个豌豆的新品种，新品种豌豆豆荚的长度比原来有所增加，培育人员在一块田地(超过1亩)种植新品种，采摘后去掉残次品，将剩下的豆荚随机按每20个一袋装袋密封.现从中随机抽取5袋，测量豌豆豆荚的长度(单位：dm )，将测量结果按)0.6,0.8⎡⎣，)0.8,1.0⎡⎣，)1.0,1.2⎡⎣，)1.2,1.4⎡⎣，[]1.41.6,分为5组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值并估计这批新品种豌豆豆荚长度的平均数x -(不含残次品，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（2）假设这批新品种豌豆豆荚的长度X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ的近似值为豌豆豆荚长度的平均数x -，0.23σ=，试估计采摘的100袋新品种豌豆豆荚中，长度位于区间()0.88,1.57内的豆荚个数；（3）如果将这批新品种豌豆中豆荚长度超过1.4dm 的豆荚称为特等豆荚，以频率作为概率，随机打开一袋新品种豌豆豆荚，记其中特等豆荚的个数为ξ，求1ξ≤的概率和ξ的数学期望.附：19170.04620⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，若随机变量()2,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<<+=.26．为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现F 症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现F 症状的概率均为13，且每次给药后是否出现F 症状与上次给药无关．（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现2次F 症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F 症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为X ，求X 的分布列和数学期望．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由于()13E X =-，利用随机变量的分布列列式，求出a 和b ，由此可求出()D X ，再由()(319)X D D X +=，即可求出结果.【详解】 根据题意，可知：112a b ++=，则12a b +=， ()13E X =-，即：1123b -+=-，解得：16b =，13a ∴=，()22211111151013233369X D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()59959(31)D D X X ==⨯+=， ∴5(31)D X +=.故选：B. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列､数学期望等知识，考查运算求解能力.2．A解析：A 【分析】根据条件概率的含义，(A |B)P 其含义为在B 发生的情况下，A 发生的概率，即在“至少出现一个5点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，分别求得“至少出现一个5点”与“两个点数都不相同”的情况数目，进而相比可得答案． 【详解】根据条件概率的含义，(A |B)P 其含义为在B 发生的情况下，A 发生的概率， 即在“至少出现一个5点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率， “至少出现一个5点”的情况数目为665511⨯-⨯=， “两个点数都不相同”则只有一个5点，共12510C ⨯=种， 故10(|)11P A B =． 故选：A ． 【点睛】本题考查条件概率，注意此类概率计算与其他的不同，(A |B)P 其含义为在B 发生的情况下，A 发生的概率．3．D解析：D 【分析】分别运用等差数列的中项性质和概率的性质，以及离散型随机变量的期望和方差公式，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值． 【详解】解：因为a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，∵1a b c ++=，∴13b =，23c a =-， ∴()823E X a =-，2422()4969833E X a b c a a a =++=++-=-则()()()22D XE XE X =-22821224439333a a a ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭，当13a b c ===时取等号． 则()D X 的最大值为23. 故选：D. 【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差的求法，考查等差数列的中项性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．4．A解析：A 【分析】计算出()E ξ和()2E ξ，根据()()()22D E E ξξξ=-将()D ξ表示成关于p 的函数，研究函数的单调性即可得出结论. 【详解】()()()()222112nni i i i i i i D E p E E p ξξξξξξξ==⎡⎤=-⋅=-+⋅⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑()()()()()()()2222222122ni i i i i p p E E E E E E E ξξξξξξξξξ=⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦∑， 由分布列得()1111012222p p p E ξ--=-⨯+⨯+⨯=，()211110222p p p E ξ+-+=⨯+⨯=， 所以，()()()()222221111152224444p p D E E p p p ξξξ+-⎛⎫=-=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以，当()0,1p ∈时，()D ξ随着p 的增大而增大. 故选：A. 【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查二次函数的单调性，属于中等题.5．D解析：D 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即得解. 【详解】由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：()()1(01)(22)0.13592P X P P μσξμσμσξμσ≤≤=-≤≤+--≤≤+=故所求的概率为10.13590.86411P -==， 故选：D 【点睛】本题考查了正态分布的图像及其应用，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】先求出女生甲被选中的情况下的基本事件总数1215C C n =，再求出在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为2124C C m =，结合条件概率的计算方法，可得m P n=. 【详解】女生甲被选中的情况下，基本事件总数1215C C 10n ==，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为2124C C 4m ==，则在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为42105m P n ===. 故选B. 【点睛】本题考查了条件概率的求法，考查了学生的计算求解能力，属于基础题.7．A解析：A 【分析】设事件A 为：至少有1个景点未被选择，事件B 为：恰有2个景点未被选择,计算()P AB 和()P A ,再利用条件概率公式得到答案.【详解】设事件A 为：至少有1个景点未被选择，事件B 为：恰有2个景点未被选择331()39P AB == 3337()139A P A =-=()1()()7P AB P B A P A == 故答案选A 【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生对于条件概率的理解和计算.8．B解析：B 【分析】设抽取第一个球是红球的事件为A ，第二个球是黄球的事件为B ，所求概率为()()()|P AB P B A P A =，求解即可.【详解】设抽取第一个球是红球的事件为A ，第二个球是黄球的事件为B ，则()16P A =，()1216515P AB =⨯=，则所求概率为()()()25P AB P B A P A |==. 故选B. 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生对条件概率知识的掌握，属于基础题.9．C解析：C 【分析】依次判断每个选项得到答案. 【详解】A.乙罐取出的球是红球的事件与前面是否取出红球相关，正确B. 1A ，2A ，3A 两两不可能同时发生，正确C. ()5756131011101122P B =⨯+⨯=，不正确 D. ()11117()7211|1()112P BA P B A P A ⨯===，正确 故答案选C【点睛】本题考查了独立事件，互斥事件，条件概率，综合性强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.10．A解析：A 【分析】先求出ξ的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用1122i i E p p p ξξξξ=++++可求得数学期望. 【详解】ξ的可能取值为2,3,4.2ξ=表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故()33925525P ξ==⨯=.3ξ=表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故()3223123555525P ξ==⨯+⨯=.4ξ=表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故()22445525P ξ==⨯=.所以9124142342525255E ξ=⨯+⨯+⨯=.故选A. 【点睛】求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布(),B n p ，也可以直接利用公式E np ξ=求期望.11．C解析：C 【解析】分析：设A 表示“第一次抛出的是奇数点”，B 表示“第二次抛出的是奇数点”，利用古典概型概率公式求出()(),P A P AB 的值，由条件概率公式可得结果. 详解：设A 表示“第一次抛出的是奇数点”，B 表示“第二次抛出的是奇数点”，()()31111,62224P A P AB ===⨯=， ()()()114|122P AB P B A P A ===，∴在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为12，故选C. 点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件概率计算公式的合理运用，同时注意区分独立事件同时发生的概率与条件概率的区别与联系.12．A解析：A 【解析】分析：利用条件概率求(|)P B A .详解：由题得2265()30,()3010,n A A n AB A ===-=所以(|)P B A =()101.()303n AB n A ==故答案为A. 点睛：（1）本题主要考查条件概率，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 条件概率的公式:()(|)()P AB P B A P A =, (|)P B A =()()n AB n A . 二、填空题13．；【分析】推导出从而利用基本不等式能求出的最小值【详解】一位篮球运动员投篮一次得3分概率为得2分概率为不得分概率为他投篮一次得分的期望为1当且仅当时取等号的最小值为故答案为：【点睛】本题考查代数式的解析：7+； 【分析】推导出321a b +=，从而121262()(32)7a ba b a b a b b a+=++=++，利用基本不等式能求出12a b +的最小值． 【详解】一位篮球运动员投篮一次得3分概率为a ，得2分概率为b ， 不得分概率为c ，a ，b ，(0,1)c ∈，他投篮一次得分的期望为1， 321a b ∴+=，∴1212626()(32)7727a b a a b a b a b b a b +=++=+++=+ 当且仅当62a bb a=时取等号，∴12a b+的最小值为7+．故答案为：7+ 【点睛】本题考查代数式的最小值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．【分析】根据古典概型的概率计算公式先计算总的基本事件数：甲不跑第一棒的基本事件数：再确定所求事件：甲不跑第一棒的条件下乙不跑第二棒的的基本事件数：即可得到答案【详解】由题得甲不跑第一棒的总的基本事件解析：79【分析】根据古典概型的概率计算公式，先计算总的基本事件数：甲不跑第一棒的基本事件数：1333C A ，再确定所求事件：甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的的基本事件数：13123322C A A A -，即可得到答案.【详解】由题得甲不跑第一棒的总的基本事件数：133318C A =，甲不跑第一棒，乙跑第二棒的基本事件有12224A A =，所以甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件有1312332214C A A A -=，所以由古典概型的概率公式得：在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是：147189P ==. 故答案为：79. 【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用、利用排列组合计算基本事件数，解题关键在于求甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件数时，利用正难则反的思想，先计算甲不跑第一棒，乙跑第二棒的基本事件数，再用总的基本事件数减去这个结果即为所求.15．【分析】求出甲获得冠军的概率比赛进行了局的概率根据条件概率公式得到答案【详解】根据题意甲获得冠军的概率为其中比赛进行了局的概率为所以在甲获得冠军的条件下比赛进行了3局的概率为故答案为【点睛】本题考查解析：25【分析】求出甲获得冠军的概率，比赛进行了3局的概率，根据条件概率公式，得到答案. 【详解】根据题意，甲获得冠军的概率为22212122203333333327⋅+⋅⋅+⋅⋅=， 其中，比赛进行了3局的概率为212122833333327⋅⋅+⋅⋅=，所以，在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为822720527P ==.故答案为25.【点睛】本题考查条件概率，相互独立事件概率公式，属于中档题.16．【分析】根据题目条件中给出的分布列可以知道和之间的关系根据期望为0和方差是1又可以得到两组关系这样得到方程组解方程组得到要求的值【详解】由题知由题得则故选【点睛】本题考查期望方差和分布列中各个概率之解析：16【分析】根据题目条件中给出的分布列，可以知道a 、b 、c 和112之间的关系，根据期望为0和方差是1，又可以得到两组关系，这样得到方程组，解方程组得到要求的值． 【详解】 由题知1112a b c ++=，106a c -++=， 由题得2221(10)(10)(20)112a c --⨯+-⨯+-⨯=， 512a ∴=，14b =． 则5111246a b -=-=． 故选A ． 【点睛】本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，通过关系列出方程组，本题的运算量不大，解题时要认真．17．【解析】分析：先根据二项分布数学期望公式得再求详解：因为服从二项分布所以所以点睛：本题考查二项分布数学期望公式考查基本求解能力 解析：62-【解析】分析：先根据二项分布数学期望公式得()E X ，再求()32E X --. 详解：因为X 服从二项分布()100,0.2B ，所以()1000.220,E X =⨯=所以()32320262.E X --=-⨯-=-点睛：本题考查二项分布数学期望公式，考查基本求解能力.18．15【解析】分析：根据正态分布概率计算可求出120分以上的概率；根据分层抽样可求出120分以上抽取样本的数量详解：根据正态分布所以根据分层抽样中概率值可得120分以上抽取份数为点睛：本题考查了利用正解析：15． 【解析】分析：根据正态分布概率计算，可求出120分以上的概率；根据分层抽样，可求出120分以上抽取样本的数量． 详解：根据正态分布()2100,N σ ,100μ= ，()801200.7P ξ<<=所以()10.71200.152P ξ-<== 根据分层抽样中概率值，可得120分以上抽取份数为1200.1515⨯=点睛：本题考查了利用正态分布的概率特征，计算特定范围内的概率，结合分层抽样求出抽取样本的数数量，属于简单题．三、解答题19．（1）100ˆ13yx=+，每天魔方还原的平均速度y 约为13秒；（2）分布列见解析，509. 【分析】（1）利用题设中的数据清除y 的平均值，进而可以求出ˆb的值和ˆa 的值，即可求解； （2）写出随机变量X 的可能取值，求出对应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，根据表格中的数据，可得99994532302421507y ++++++==，可得7172217184.570.375055ˆ1000.550.557i ii i i z y z ybz z==-⋅-⨯⨯====-∑∑，所以501000.3713a y bz =-=-⨯=，因此y 关于x 的回归方程为：100ˆ13yx=+， 所以最终每天魔方还原的平均速度y 约为13秒（2）由题意，可得随机变量X 的取值为3,4,6,9，可得141(3)669A P X ===⨯，1422(4)669A P X ⨯===⨯，()111142241205(6)66369A A A A P X ++====⨯，11221(9)669A A P X ⨯===⨯， 所以X 的分布列为所以()346999999E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤： 理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值； 求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列； 由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.20．（1）56万；（2）这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为0.441，数学期望2.1，方差0.63. 【分析】（1）根据频率分布直方图可直接计算该组的频率，故可估计该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）由题知此地区年龄段在71~80的每个居民签约家庭医生的概率为0.7P =，“从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取三人”为事件B ，随机变量为X ，满足二项分布，进而可求概率，期望及方差. 【详解】（1）由题知该地区居民约为2000万，由图1知，该地区年龄在71~80岁的居民人数为0.00410200080⨯⨯=万.由图2知.年龄在71~80岁的居民签概率为0.7.所以该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数为800.756⨯=万.（2）由题知此地区年龄段在71~80的每个居民签约家庭医生的概率为0.7P =，且每个居民之间是否签约是独立的，所以设“从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取三人”为事件B ，随机变量为X ，这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为()()()212320.710.70.441P X C ==-=.数学期()30.7 2.1E X =⨯=，方差()30.70.30.63D X =⨯⨯=.21．（1）13；（2）分布列答案见解析，数学期望：1415；（3）该企业职工使用B APP 的情况与官方发布的男､女用户情况更相符 【分析】（1）根据题中数据，用频率估计概率，即可求出；（2）先确定X 的取值，再计算出对应的概率，即求出X 的分布列及数学期望；（3）分别计算出A 款，B 款APP 的男､女用户总人数，再计算对应的男用户，女用户的概率，再根据题意判断即可. 【详解】解：（1）由所给数据可知，男职工使用A 款APP 的人数为72， 用频率估计概率，可得男职工使用京东APP 的概率约为7231205=， 同理，女职工使用A 款APP 的概率约为4011203=； （2）X 的可能取值为0，1，2，()3140115315P X ⎛⎫⎛⎫∴==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()31318111535315P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3112535P X ==⨯=.∴X 的分布列为：X 的数学期望()0121515515E X =⨯+⨯+⨯=； （3）样本中，A 款APP 的男､女用户为7240112+=(人)，其中男用户占7264.3112≈%；女用户占4035.7112≈%， 样本中，B 款APP 的男､女用户为6084144+=(人)，其中男用户占6041.7144≈%；女用户占8458.3144≈%， ∴该企业职工使用B APP 的情况与官方发布的男､女用户情况更相符.【点睛】 思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.22．（1）详见解析；（2）推荐小王去乙公司应聘，理由见解析. 【分析】（1）本题首先可以设乙公司送餐员送餐单数为a ，然后依次求出38a =、39a =、40a =、41a =、42a =时的工资X 以及概率p ，即可列出X 的分布列并求出数学期望；（2）本题可求出甲公司送餐员日平均工资，然后与乙公司送餐员日平均工资进行对比，即可得出结果. 【详解】（1）设乙公司送餐员送餐单数为a ， 当38a =时，386228X =⨯=，515010p ； 当39a =时，396234X =⨯=，101505p ； 当40a =时，406240X =⨯=，101505p； 当41a =时，40617247X =⨯+⨯=，202505p ； 当42a=时，40627254X =⨯+⨯=，515010p，故X 的所有可能取值为228、234、240、247、254， 故X 的分布列为：故()228234240247254241.81055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：380.2390.3400.2410.2420.139.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，则甲公司送餐员日平均工资为80439.7238.8+⨯=元， 因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，238.8241.8<， 所以推荐小王去乙公司应聘. 【点睛】关键点点睛：（1）求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式后即可，（2）根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从平均数、方差等的大小关系作出比较后得到结论.23．（1）0.5；（2）分布列见解析，1.7. 【分析】（1）设A 车在星期i 出车的事件为i A ，B 车在星期i 出车的事件为i B ，1i =，2，3，4，5，设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ，根据()()1111P C P A B A B =+计算可得结果；（2）X 的可能取值为0，1，2，3，求出X 的各个取值的概率可得分布列和数学期望. 【详解】（1）设A 车在星期i 出车的事件为i A ，B 车在星期i 出车的事件为i B ，1i =，2，3，4，5由已知可得()0.6i P A =，()0.5i P B = 设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ，因为A ，B 两车是否出车相互独立，且事件11A B ，11A B 互斥， 所以()()()()()()()()111111111111P C P A B A B P A B P A B P A P B P A P B =+=+=+()()0.610.510.60.5=⨯-+-⨯0.5=所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5. （2）X 的可能取值为0，1，2，3()()()11200.40.50.40.08P X P A B P A ===⨯⨯=()()()()()211210.50.40.40.50.60.32P X P C P A P A B P A ==+=⨯+⨯⨯= ()()()()()112220.60.50.40.50.60.42P X P A B P A P C P A ==+=⨯⨯+⨯=()()()11230.60.50.60.18P X P A B P A ===⨯⨯=所以X 的的分布列为00.0810.3220.4230.18 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】关键点点睛：第二问分析出X 的可能取值，搞清楚X 的每个取值对应的事件是解题关键.。
最新人教版高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试题(包含答案解析)(2)
一、选择题1．随机变量ξ的分布列如表所示，若1()3E X =-，则(31)D X +=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．72．随机变量X 的概率分布为()()()1,2,31aP X n n n n ===+，其中a 是常数，则()E aX =（ ）A ．3881B ．139C ．152243D ．52273．随机变量X 的取值为0，2，3，若1(0),()26P X E X ===，则(23)D X -=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，成等差数列，则D X 的最大值为（ ） A ．29B ．59C ．34D ．235．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在()0,1内变化时，（ ） A ．()D ξ增大 B ．()D ξ减小 C ．()D ξ先增大后减小D ．()D ξ先减小后增大6．已知随机变量ξ的取值为()0,1,2i i =.若()105P ξ==，()1E ξ=，则( )A ．()()1P D ξξ=<B ．()()1P D ξξ==C ．()()1PD ξξ=>D ．()()115P D ξξ==7．某校从6名学生干部（其中女生4人，男生2人）中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为（） A ．12B ．25C ．35D ．458．将一枚质地均匀且各面分别有狗，猪，羊，马图案的正四面体玩具抛掷两次，设事件=A {两次掷的玩具底面图案不相同}，B ={两次掷的玩具底面图案至少出现一次小狗}，则()P B A =（ ）A ．712B ．512C ．12D ．11129．已知三个正态分布密度函数()()2221e2i i x i ix μσϕπσ--=（, 1,2,3i =）的图象如图所示则（ ）A ．123123==μμμσσσ<>，B ．123123==μμμσσσ><，C ．123123μμμσσσ=<<=，D ．123123==μμμσσσ<<，10．已知离散型随机变量X 的分布列如下：X0 1 2Px4x5x由此可以得到期望()E X 与方差()D X 分别为（ ） A ．() 1.4E X =，()0.2D X =B ．()0.44E X =，() 1.4D X =C ．() 1.4E X =，()0.44D X =D ．()0.44E X =，()0.2D X =11．已知随机变量X 的分布列如下表所示则(25)E X -的值等于 A ．1B ．2C ．3D ．412．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若()20.66P ξ≤=，则()0P ξ≤=（ ）A ．0.84B ．0.68C ．0.34D ．0.16二、填空题13．世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”．通俗点说就是存在A 传B ，B 又传C ，C 又传D ，这就是“持续人传人”．那么A 、B 、C 就会被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.7，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大________．14．已知随机变量~(2,)(01)B p p ξ<<，当()()E D ξξ⋅取最大值时，p =________． 15．随机变量ξ的取值为0，1，2，若()104P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=______. 16．有10张纸币，其中有4张假币，从中取出两张，已知其中一张是假币，则另一张也是假币的概率为____．17．下列说法正确的有________(填序号)．①离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值； ②离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的平均水平； ③离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的波动水平； ④离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的波动水平．18．袋中有20个大小相同的球,其中标号为0的有10个,标号为(1,2,3,4)n n =的有n 个.现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.若2,()1a E ηξη=-=,则()D η的值为_____.参考答案三、解答题19．上饶市正在创建全国文明城市，我们简称创文.全国文明城市是极具价值的无形资产和重要城市品牌.创文期间，将有创文检查人员到学校随机找学生进行提问，被提问者之间回答问题相互独立、互不影响.对每位学生提问时，创文检查人员将从规定的5个问题中随机抽取2个问题进行提问.某日，创文检查人员来到A 校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只能答对这规定5个问题中的3个，乙能答对其中的4个，而丙能全部答对这5个问题.计一个问题答对加10分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分60分，达到50分以上（含50分）时该学校为优秀. （1）求甲、乙两位同学共答对2个问题的概率；（2）设随机变量X 表示甲、乙、丙三位同学共答对的问题总数，求X 的分布列及数学期望，并求出A 校为优秀的概率.20．某班级以“评分的方式”鼓励同学们以骑自行车或步行方式“绿色出行”，培养学生的环保意识．“十一黄金周”期间，组织学生去A 、B 两地游玩，因目的地A 地近，B 地远，特制定方案如下：目的地A 地出行方式 绿色出行 非绿色出行概率 34 14得分1 0目的地B 地出行方式 绿色出行 非绿色出行概率 23 13得分1若甲同学去A 地玩，乙、丙同学去B 地玩，选择出行方式相互独立． （1）求恰有一名同学选择“绿色出行”方式的概率； （2）求三名同学总得分X 的分布列及数学期望EX ．21．2020年某市教育主管部门为了解近期举行的数学竞赛的情况，随机抽取500名参赛考生的数学竞赛成绩进行分析，并制成如下的频率分布直方图：（1）求这500名考生的本次数学竞赛的平均成绩x (精确到整数)； （2）由频率分布直方图可认为：这次竞赛成绩X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似等于样本的平均数x ，σ近似等于样本的标准差s ，并已求得18s ≈.用该样本的频率估计总体的概率，现从该市所有考生中随机抽取10名学生，记这次数学竞赛成绩在(86,140]之外的人数为Y ，求(2)P Y =的值(精确到0.001). 附：（1）当()2,XN μσ时，()0.6827,(22)0.9545P X P X μσμσμσμσ-<+=-<+=；（2）820.81860.18140.0066⨯≈.22．2020年8月，教育部发布《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，要求体育纳入高中学业水平考试范围.《国家学生体质健康标准》规定高三男生投掷实心球6.9米达标，高三女生6.2米达标.某地初步拟定投掷实心球的考试方案为每生可以投掷3次，一旦通过无需再投，为研究该方案的合理性，到某校任选4名学生进行测试，如果有2人不达标的概率超过0.1，该方案需要调整；否则就定为考试方案.已知该校男生投掷实心球的距离1ξ服从()6.9,0.25N ，女生投掷实心球的距离2ξ服从()6.2,0.16N （1ξ，2ξ的单位：米）.（1）请你通过计算，说明该方案是否需要调整；（2）为提高学生考试达标率，该校决定加强训练.以女生为例，假设所有女生经训练后，投掷距离的增加值相同.问：女生投掷实心球的距离至少增加多少米，可使达标率不低于99%.附：①2.15=；②若()~ 6.516,0.16X N ，则()6.8320.785P X ≤=.23．国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35％以上.截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70％.武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：（1）通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值x （精确到0.1）； （2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为（1）中的样本平均值x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得 5.2s =.请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数.（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查.现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设Y 为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y 的分布列与数学期望.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；()220.9545P X μσμσ-<≤+≈；()330.9974P X μσμσ-<≤+≈）24．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有()|P A C 0.95=，()|0.95P A C =.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即()0.005P C =，试求()|P C A .25．甲､乙两人按如下规则进行射击比赛，双方对同一目标轮流射击，若一方未击中，另一方可继续射击，甲先射，直到有人击中目标或两人总射击次数达4次为止.若甲击中目标的概率为23，乙击中目标的概率为12.（1）求甲在他第二次射击时击中目标的概率；（2）求比赛停止时，甲､乙两人射击总次数X 的分布列和期望.26．某中学举办的校园文化周活动中，从周一到周五的五天中，每天安排一项内容不同的活动供学生选择参加，要求每位学生参加三项活动，其中甲同学必须参加周一的活动，不参加周五的活动，其余三天的活动随机选择两项参加，乙同学和丙同学可以在周一到周五中随机选择三项参加.（1）求甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率；（2）用X 表示甲､乙､丙三名同学选择周三活动的人数之和，求X 的分布列和数学期望.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 由于()13E X =-，利用随机变量的分布列列式，求出a 和b ，由此可求出()D X ，再由()(319)X D D X +=，即可求出结果.【详解】 根据题意，可知：112a b ++=，则12a b +=， ()13E X =-，即：1123b -+=-，解得：16b =，13a ∴=， ()22211111151013233369X D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()59959(31)D D X X ==⨯+=， ∴5(31)D X +=.故选：B. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列､数学期望等知识，考查运算求解能力.2．D解析：D 【分析】根据裂项相消法以及概率的性质求出a ，再得出()E X ，最后由()()E aX aE X =得出答案. 【详解】()()11a a aP X n n n n n ===-++(1)(2)(3)1P X P X P X =+=+== 122334a a a a a a ∴-+-+-=，解得43a =则221(1),(2),(3)2369129a a a P X P X P X ========= 62113()1239999E X ∴=⨯+⨯+⨯=452()()392137E aX aE X ∴==⨯=故选：D 【点睛】本题主要考查了随机变量分布列的性质以及均值的性质，属于中档题.3．C解析：C 【分析】首先设23(2),(3)P X P P X P ====，根据概率和为1以及()2E X =求2P 和3P ，再求()D X ，最后根据公式()()2D aX b a D X +=求解.【详解】记23(2),(3)P X P P X P ====，则2356P P +=，由23()232E X P P =+=，解得2311,23P P ==，故222111()(0())(2())(3())1623D X E X E X E X =-+-+-=，所以(23)4()4D X D X -==.故选:C 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及期望、方差的计算，属于基础题型.解决本题应掌握结论：（1）离散型随机变量的概率和为1；（2）期望1122()n n E X x P x P x P =++⋯+，()()E aX b aE X b +=+；（3）方差()()()2221122()()()()n n D X x E X P x E X P x E X P =-+-++-，2()()D aX b a D X +=.4．D解析：D 【分析】分别运用等差数列的中项性质和概率的性质，以及离散型随机变量的期望和方差公式，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值． 【详解】解：因为a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，∵1a b c ++=，∴13b =，23c a =-， ∴()823E X a =-，2422()4969833E X a b c a a a =++=++-=-则()()()22D XE XE X =-22821224439333a a a ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭，当13a b c ===时取等号． 则()D X 的最大值为23. 故选：D. 【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差的求法，考查等差数列的中项性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．5．A解析：A 【分析】计算出()E ξ和()2E ξ，根据()()()22D E E ξξξ=-将()D ξ表示成关于p 的函数，研究函数的单调性即可得出结论. 【详解】()()()()222112nni i i i i i i D E p E E p ξξξξξξξ==⎡⎤=-⋅=-+⋅⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑()()()()()()()2222222122ni i i i i p p E E E E E E E ξξξξξξξξξ=⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦∑， 由分布列得()1111012222p p p E ξ--=-⨯+⨯+⨯=，()211110222p p p E ξ+-+=⨯+⨯=， 所以，()()()()222221111152224444p p D E E p p p ξξξ+-⎛⎫=-=-=-++=--+ ⎪⎝⎭， 所以，当()0,1p ∈时，()D ξ随着p 的增大而增大. 故选：A. 【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查二次函数的单调性，属于中等题.6．C解析：C 【分析】设()1P x ξ==，根据()f x ，()1E ξ=列方程求出x ，进而求出()D ξ，即可比较大小. 【详解】 设()1P x ξ==， 则()425P x ξ==-，则()1480121555x x E x ξ⎛⎫=⨯+⨯+-⨯=-= ⎪⎝⎭，解得()315P ξ==，()125P ξ==， 则()()()()22213120111215555D ξ=⨯-+⨯-+⨯-=， 故()()1P D ξξ=>， 故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.7．B解析：B【分析】先求出女生甲被选中的情况下的基本事件总数1215C C n =，再求出在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为2124C C m =，结合条件概率的计算方法，可得m P n=. 【详解】女生甲被选中的情况下，基本事件总数1215C C 10n ==，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为2124C C 4m ==，则在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为42105m P n ===. 故选B. 【点睛】本题考查了条件概率的求法，考查了学生的计算求解能力，属于基础题.8．C解析：C 【分析】利用条件概率公式得到答案. 【详解】336()1616P AB +== 412()11616P A =-= ()()1()2P AB P B A P A == 故答案选C 【点睛】本题考查了条件概率的计算，意在考查学生的计算能力.9．D解析：D 【分析】正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果． 【详解】根据课本中对正太分布密度函数的介绍知道：当正态分布密度函数为()()2221ei i x i ix μσϕ--=，则对应的函数的图像的对称轴为：i μ，∵正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A ，D 两个答案中选一个， ∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，第一个和第二个的σ相等 故选D ． 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．10．C解析：C 【分析】由离散型随机变量X 的分布列的性质求出x ＝0.1，由此能求得结果 【详解】由x ＋4x ＋5x ＝1得x ＝0.1， E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4，D(X)＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.44. 故选C 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，由已知先求出x 的值，然后运用公式求得期望和方差，属于基础题．11．A解析：A 【分析】先求出b 的值，再利用期望公式求出E(X)，再利用公式求出()25E X -. 【详解】由题得0.1+0.2+0,20.11,0.4,b b ++=∴=，所以()10.120.230.440.250.13E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以(25)2()52351E X E X -=-=⨯-=. 故答案为A 【点睛】(1)本题主要考查分布列的性质和期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若a b ηξ=+(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，E η=()E a b aE b ξξ+=+，2()D a b a D ξξ+=.12．C解析：C 【解析】分析：先根据正态分布得(12)0.16,P ξ≤≤=再求(01)0.16,P ξ≤≤=最后求得() 0P ξ≤=0.34.详解：由正态分布曲线得(12)0.660.50.16,P ξ≤≤=-= 所以(01)0.16,P ξ≤≤=所以()0P ξ≤=0.5-0.16=0.34. 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想和方法.（2）解答本题的关键是数形结合，要结合正态分布曲线的图像和性质解答，不要死记硬背.二、填空题13．【分析】求出小明与第一代第二代第三代传播者接触的概率利用独立事件互斥事件的概率公式求解即可【详解】设事件为第一代第二代第三代传播者接触事件为小明被感染由已知得：（A ）（B ）（C ）（D ）（A ）（B ）（ 解析：0.83【分析】求出小明与第一代、第二代、第三代传播者接触的概率，利用独立事件、互斥事件的概率公式求解即可． 【详解】设事件A ，B ，C 为第一代、第二代、第三代传播者接触， 事件D 为小明被感染，由已知得：P （A ）0.5=，P （B ）0.3=，P （C ）0.2=，(|)0.9P D A =，(|)0.8P D B =，(|)0.7P D C =，P （D ）(|)P D A P =（A ）(|)P D B P +（B ）(|)P D C P +（C ）0.90.50.80.30.70.2=⨯+⨯+⨯ 0.83=．∴小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率为0.83．故答案为：0.83． 【点睛】本题考查概率的求法，考查独立事件、互斥事件的概率公式以及条件概率的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．【分析】利用二项分布数学期望方差的计算公式先列出然后构造函数利用导数求解最大值及取得最值时的值【详解】因为所以故设函数则令得或（舍）故当时当所以在上递增上递减故在处取最大值其最大值为故答案为：【点睛解析：23【分析】利用二项分布数学期望、方差的计算公式先列出()()E D ξξ⋅，然后构造函数，利用导数求解最大值及取得最值时p 的值. 【详解】因为~(2,)(01)B p p ξ<<，所以()2E p ξ=，()()21D p p ξ=-， 故()2()()41E D p p ξξ⋅=-，设函数()()()232414401f p p p p pp =-=-+<<，则()2128f p p p '=-+，令()0f p '=得，23p =或0p =（舍）， 故当()0f p '>时，203p <<，当()0f p '<，213p <<，所以()f p 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，2,13⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故()f p 在23p =处取最大值，其最大值为32222164433327f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：23. 【点睛】本题考查二项分布的数学期望、方差的运算，考查利用导数分析函数的最值，难度一般.15．【分析】根据计算得到再计算得到答案【详解】则；故故答案为：【点睛】本题考查了方差的计算意在考查学生的计算能力 解析：12【分析】根据()()3124P P ξξ=+==，()()()1221P E P ξξξ=+===计算得到 ()()111,224P P ξξ====，再计算()D ξ得到答案.【详解】()104P ξ==，则()()3124P P ξξ=+==；()()()1221P E P ξξξ=+===故()()111,224P P ξξ====.()()()()22211111011214242D ξ=-+-+-=故答案为：12【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.16．【解析】分析：记抽出的两张有一张是假币为事件A 抽出的两张都是假币为事件B 利用条件概率计算公式能求出其中1张放到验钞机上检验发现是假钞则另一张也是假钞的概率详解：记抽出的两张有一张是假币为事件A 抽出的解析：15【解析】分析：记“抽出的两张有一张是假币”为事件A ，“抽出的两张都是假币”为事件B ，利用条件概率计算公式能求出其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率． 详解：记“抽出的两张有一张是假币”为事件A ，“抽出的两张都是假币”为事件B ， 则将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为：24210211446210()1(|)()5C C P AB P B A C C C P A C ===+. 点睛：本题主要考查了条件的求解以及组合数的应用，正确理解条件概率的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及转化与化归思想的应用，试题比较基础，属于基础题．17．4【解析】①错误因为离散型随机变量ξ的期望反映了ξ取值的平均水平②错误因为离散型随机变量ξ的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度③错误因为离散型随机变量的方差反映了ξ取值的波动水平而随机变量的期望解析：4 【解析】①错误．因为离散型随机变量ξ的期望()E ξ反映了ξ取值的平均水平．②错误．因为离散型随机变量ξ的方差()D ξ反映了随机变量偏离于期望的平均程度． ③错误．因为离散型随机变量的方差()D ξ反映了ξ取值的波动水平，而随机变量的期望()E ξ反映了ξ取值的平均水平．④正确．由方差的意义可知正确．18．【解析】根据题意得出随机变量ξ的分布列： 0 1 2 3 4 P ∵∴即a=2∴∵故答案为11 解析：11【解析】根据题意得出随机变量ξ的分布列：()01234220102052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ，∵2,()1a E ηξη=-= ，∴3122a =⨯- ， 即a=2，∴22,()1E ηξη=-= ，22222131113331311()234222021022020524D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，∵11()4()4114D D ηξ==⨯= . 故答案为11.三、解答题19．（1）310；（2）分布列见解析，期望值245，3350. 【分析】（1）首先事件甲、乙两位同学共答对2个问题，分为两人各答对1题，或是乙答对2题，再求互斥事件和的概率；（2）由条件可知3,4,5,6X =,再根据随机变量对应的事件，分别求概率，再列出分布列，并计算数学期望,根据分布列，列出该学校为优秀的概率. 【详解】（1）记“甲、乙两位同学共答对2题”为事件A ，则()()111122324124225310C C C C C C P M C ⋅⋅⋅+⋅==（2）由题意可知随机变量X 的可能取值为3、4、5、6，()()211224153251325C C C C P X C ⋅⋅⋅===()()3410P X P M ===()()211211223415324532512525C C C C C C C C P X C ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅===()()2223453259650C C C P X C ⋅⋅===所以，随机变量X 的分布列如下表所示：13129243456251025505EX =⨯+⨯+⨯+⨯= A 校为优秀的概率()()1293356255050P X P X =+==+=. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分清随机变量代表的事件，其中容易错的是乙同学会5题中的四个题，所以两个题，至少会一题. 20．（1）736；（2）分布列见解析，1225=EX ． 【分析】（1）分析恰有一个同学选择“绿色出行”方式的情况，利用相互独立事件的概率计算公式求解；（2）根据题意得，X 的所有可能取值为0，1，2，3，分别计算概率，列出分布列，代入公式求解EX . 【详解】（1）恰有一名同学选择绿色出行方式的概率2123111274343336P C ⎛⎫=⋅+⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭．（2）根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，根据事件的独立性和互斥性得：1111(0)43336P X ==⨯⨯=；1231112173(1)4334363==⨯⨯+⨯⨯⨯=P X C ；21221124(2)4393343⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭P X C ；3221(3)4333==⨯⨯=P X ．故X 的分布列为：所以360123369312=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ． 【点睛】本题考查了随机变量分布列问题，一般列分布列时先判断变量的可能取值，遇到比较复杂的情况可以采用列表格的方式能更直观的判断出可能取值有哪些，然后计算不同取值下的概率，需要分析清楚不同取值对应的所有情况，注意是二项分布还是超几何分布问题. 21．（1）104(分)；（2）0.298. 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数公式求解.（2）由104,18μσ==，求得(86140)(2)P X P X μσμσ<=-<+，进而得到(P X μσ-或2)X μσ>+，然后由()10,0.1814Y B ~求解.【详解】（1）10(650.0028750.01850.01950.0181050.02x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，1150.0181250.0121350.008+⨯+⨯+⨯1450.0012)+⨯1010.416104.16104(=⨯=≈分).（2）由题意知()2,,X Nμσ~且104,18μσ==，所以8610418,1401041822μσμσ=-=-=+⨯=+， 所以0.68270.9545(86140)(2)0.81862P X P X μσμσ+<=-<+==，所以(P X μσ-或2)10.81860.1814X μσ>+=-=， 所以()10,0.1814Y B ~，所以()228102C 0.18140.8186450.006630.298P Y ==⨯⨯≈⨯≈.【点睛】结论点睛：（1）若X 服从正态分布，即X ～N (μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X ＝μ对称和曲线与x 轴之间的面积为1.（2）二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位．①判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次． ②对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝kk n kn p q C -.其中k ＝0，1，…，n ，q ＝1－p .22．（1）需要调整，（2）0.316米 【分析】（1）由于每个人不达标的概率均为12，由此可得4名学生中有2个不达标的概率为22241122C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再与0.1比较大小可得答案； （2）设女生投掷实心球的距离至少增加x 米，则有'2ξ()6.2,0.16N x +，由()~ 6.516,0.16X N 可得0.316x =，由已知条件和正态分布的对称性可得( 6.2)0.215P X <=，此时女生达标率为310.21510.010.99-≈-=，从而可得结论【详解】（1）因为每个人不达标的概率均为12，所以4名学生中有2个不达标的概率为 22241130.1228C ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以该方案需要调整；（2）设女生投掷实心球的距离至少增加x 米， 此时'2ξ()6.2,0.16N x +，当()~ 6.516,0.16X N 时，此时6.2 6.516x +=，得0.316x =， 且()6.8320.785P X ≤=，所以( 6.832)10.7850.215P X >=-=，因为点(6.832,0)关于 6.516X =的对称点恰好为(6.2,0)， 所以( 6.2)0.215P X <=，此时女生达标率为310.21510.010.99-≈-=，达标率刚好为99%， 所以使达标率不低于99%，投掷实心球的距离至少增加0.316米，【点睛】关键点点睛：此题考查正态分布的有关知识，独立重复试验的概率问题，解题的关键是正利用正态分布的对称性求解，考查分析问题的能力，考查计算能力，属于中档题 23．（1）22.8吨；（2）51；（3）分布列见解析，52. 【分析】（1）直接利用平均数公式求解；（2）由（1）知22.8μ=， 由题意可知()()28P X P X μσ>=>+，利用3σ原则求解；（3）Y 的可能取值为1，2，3，4，利用超几何分布求概率，列出分布列，并求数学期望. 【详解】（1）由频数分布表得：1451762092312268296322.7622.8542x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+≈⨯⨯=+，所以这50个社区这一天垃圾量的平均值为22.8吨.（2）由（1）知22.8μ=， 5.2s =， 5.2s σ∴==， ()()10.6827280.158652P X P X μσ-∴>=>+==， 3200.1586550.76851⨯=≈，所以这320个社区中“超标”社区的个数为51.（3）由频数分布表知：8个“超标”社区中这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区有4个，所以Y 的可能取值为1，2，3，4，且()1444581114C C P Y C ===，()234458327C C P Y C ===，()324458337C C P Y C ===，()4144581414C C P Y C ===， 所以Y 的分布列为：Y1 2 3 4P11437 37 114()12341477142E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】关键点点睛：本题的关键首先要理解题意，并能转化为熟悉的概率类型，本题第二问是正态分布，求概率时，注意是否满足“3σ”原则，第三问关键知道8个超标社区，其中垃圾量至少为30.5吨的社区有4个，这样就满足超几何分布类型，按公式求解.24．19218【分析】根据条件概率和全概率公式可求得结果. 【详解】因为()|0.95P A C =，所以()|1P A C =-()|0.05P A C =， 因为()0.005P C =，所以()0.995P C =，所以由全概率公式可得()()()()()||P A P A C P C P A C P C =⋅+⋅， 因为()P AC =()|P C A ()P A ()()|P A C P C = 所以()|P C A ()()()|()0.950.005190.950.0050.050.995218|()|()P A C P C P A C P C P A C P C ⨯===⨯+⨯+.【点睛】关键点点睛：掌握条件概率和全概率公式是解题关键. 25．（1）19；（2）分布列见解析，()149E X =. 【分析】（1）根据甲在第二次射击时击中目标，说明甲第一次未击中目标，乙第一次也未击中目标，由此利用概率的乘法公式计算出目标事件的概率；（2）先分析X 的可能取值，然后求解出X 的可能取值对应的概率，由此得到X 的分布列并计算出期望值. 【详解】记甲在第i ()1,2i =次射击击中目标为事件i A ，乙在第i ()1,2i =次射击击中目标为事件i B ，（1）记“甲在他第二次射击时击中目标”为事件M ，所以()()()()11211213239P M P A P B P A ==⨯⨯=； （2）由题意可知：X 可取1,2,3,4，()()1213P X P A ===，()()()111112326P X P A P B ===⨯=， ()()()()112112133239P X P A P B P A ===⨯⨯=，()()()()1121111432318P X P A P B P A ===⨯⨯=，所以X 的分布列如下：所以()1141234369189E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】 关键点点睛：解答本题的关键是理解对立事件的概率计算以及概率乘法公式，同时注意分析每次击中目标之前对应的情况. 26．（1）415；（2）2815. 【分析】（1）利用相互独立事件概率公式，可求甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率；（2）由题意可以知道随机变量X 的可能值为0，1，2，3，利用独立事件概率公式即可求得随机变量每一个值对应的概率，并列出其分布列，再由期望公式求解．【详解】（1）设A 表示事件“甲同学选周三的活动”， B 表示事件“乙同学选周三的活动”，则P （A ）122323C C ==，P （B ）243535C C ==， 事件A ，B 相互独立，∴甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率为()P AB P =（A ）234()(1)3515P B =⨯-=； （2）设C 表示事件“丙同学选周三的活动”，则P （C ）243535C C ==， X 的可能取值为0，1，2，3，则1224(0)35575P X ==⨯⨯=； 2221321234(1)35535535515P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； 23222313311(2)35535535525P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； 2336(3)35525P X ==⨯⨯=． X 的分布列EX=⨯+⨯+⨯+⨯=．数学期望01237515252515【点睛】求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.。
新教材高中数学习题课二随机变量及其分布新人教A版选择性必修第三册
习题课（二） 随机变量及其分布一、选择题1．已知事件A 发生时，事件B 一定发生，P (A )＝13P (B )，则P (A |B )等于( )A.16 B.14 C.13D.12解析：选C 因为P (AB )＝P (A )＝13P (B )，所以P (A |B )＝P AB P B ＝13.2．甲击中目标的概率是12，如果击中赢10分，否则输11分，用X 表示他的得分，计算X 的均值为( )A ．0.5分B ．－0.5分C ．1分D ．5分解析：选B E (X )＝10×12＋(－11)×12＝－0.5.3．已知离散型随机变量ξ的概率分布列如下：ξ 1 3 5 P0.5m0.2则数学期望E (ξ)等于( A ．1 B ．0.6 C ．2＋3mD ．2.4解析：选D 由题意得m ＝1－0.5－0.2＝0.3， 所以E (ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.4．已知随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则D (2X ＋1)等于( ) A ．6 B ．4 C ．3D ．9解析：选A 因为D (2X ＋1)＝D (X )×22＝4D (X )，D (X )＝6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝32，所以D (2X＋1)＝4×32＝6.5．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )A.1127 B.1124 C.827D.924解析：选C 设从1号箱取到红球为事件A ，从2号箱取到红球为事件B . 由题意，P (A )＝42＋4＝23，P (B |A )＝3＋18＋1＝49， 所以P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝23×49＝827，所以两次都取到红球的概率为827.6．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A ＝(例如：若a 1＝a 3＝a 5＝124A 的各位数中，已知a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，现在仪器启动一次，则E (X )＝( )A.83 B.113 C.89D.119解析：选B 法一：X 的所有可能取值为1,2,3,4,5，P (X ＝1)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝181， P (X ＝2)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝881， P (X ＝3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827， P (X ＝4)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281， P (X ＝5)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫130⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681， 所以E (X )＝1×181＋2×881＋3×827＋4×3281＋5×1681＝113.法二：由题意，X 的所有可能取值为1,2,3,4,5， 设Y ＝X －1，则Y 的所有可能取值为0,1,2,3,4，因此Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，所以E (Y )＝4×23＝83， 从而E (X )＝E (Y ＋1)＝E (Y )＋1＝83＋1＝113.二、填空题7．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝________.解析：P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，由条件概率公式，得P (B |A )＝P ABP A ＝11025＝14. 答案：148．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果P (X <10)＝0.3，P (10≤X ≤30)＝0.4，那么P (X >30)等于________．解析：根据随机变量的概率分布的性质， 可知P (X <10)＋P (10≤X ≤30)＋P (X >30)＝1， 故P (X >30)＝1－0.3－0.4＝0.3. 答案：0.39．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．解析：种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1， 每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B (1 000,0.1)，∴E (ξ)＝1 000×0.1＝100，故需补种的种子数X 的期望为2E (ξ)＝200. 答案： 200 三、解答题10．某一射手射击所得环数X 的分布列如下：X 4 5 6 7 8 9 10 P0.020.040.060.09m0.290.22(1)求m (2)求此射手“射击一次命中的环数≥7”的概率．解：(1)由分布列的性质得m ＝1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.09＋0.29＋0.22)＝0.28. (2)P (射击一次命中的环数≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.11．随机抽取某中学高一年级若干名学生的一次数学统测成绩，得到样本，并进行统计，已知分组区间和频数是[50,60)，2；[60, 70)，7；[70,80)，10；[80,90)，x ；[90,100]，2，其频率分布直方图受到破坏，可见部分如图所示，据此解答如下问题．(1)求样本容量及x 的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记2人中成绩不低于90分的人数为ξ，求ξ的数学期望．解：(1)由题意，得分数在[50,60)内的频数为2， 频率为0.008×10＝0.08， 所以样本容量n ＝20.08＝25，x ＝25－(2＋7＋10＋2)＝4.(2)成绩不低于80分的人数为4＋2＝6，成绩不低于90分的人数为2， 所以ξ的所有可能取值为0,1,2，因为P (ξ＝0)＝C 24C 26＝25，P (ξ＝1)＝C 14C 12C 26＝815，P (ξ＝2)＝C 22C 26＝115，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 P25815115所以ξ的数学期望E (ξ)＝0×5＋1×15＋2×15＝3.12．经调查统计，网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．该淘宝小店推出买一种送5元优惠券的活动．已知某网民购买A ，B ，C 商品的概率分别为23，p 1，p 2(p 1<p 2)，至少购买一种的概率为2324，最多购买两种的概率为34.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．(1)求该网民分别购买B ，C 两种商品的概率；(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求X 的分布列和数学期望． 解：(1)由题意可知至少购买一种的概率为2324，所以一种都不买的概率为1－2324＝124，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23(1－p 1)(1－p 2)＝124.① 又因为最多购买两种商品的概率为34，所以三种都买的概率为1－34＝14，即23p 1p 2＝14.② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p 1＝12，p 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝34，p 2＝12.因为p 1<p 2，所以某网民购买B ，C 两种商品的概率分别为p 1＝12，p 2＝34.(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，由题意可得X 的所有可能取值为0,5,10,15.则P (X ＝0)＝124，P (X ＝5)＝23×12×14＋13×12×14＋13×12×34＝14， P (X ＝10)＝23×12×14＋23×12×34＋13×12×34＝1124， P (X ＝15)＝23×12×34＝14.所以X 的分布列为则E (X )＝0×124＋5×14＋10×24＋15×4＝12.。
人教版高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．在市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩()2~90,X N σ，已知(7090)0.35P X <=，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为（ ） A ．0.15B ．0.50C ．0.70D ．0.852．抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件A 为“两个点数不同”，事件B 为“两个点数中最大点数为4”，则()P B A =（ ） A ．112B ．16C ．15D ．563．从一个装有3个白球，3个红球和3个蓝球的袋中随机抓取3个球，记事件A 为“抓取的球中存在两个球同色”，事件B 为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率()|P B A =（ ） A ．37B ．1237C ．1219D ．16214．已知随机变量ξ的取值为()0,1,2i i =.若()105P ξ==，()1E ξ=，则( ) A ．()()1P D ξξ=< B ．()()1P D ξξ== C ．()()1P D ξξ=>D ．()()115P D ξξ==5．已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（ ）A ．E E ξη<，D D ξη<B ．E E ξη<，D D ξη>C ．E E ξη<，D D ξη=D ．E E ξη=，D D ξη=6．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为（ ） A ．8225B ．12C ．38D ．347．甲、乙、丙三人每人准备在3个旅游景点中各选一处去游玩，则在“至少有1个景点未被选择”的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是（ ） A ．17B ．18C ．114D ．3148．一个盒子装有4件产品，其中有3件一等品，1件二等品.从中不放回的取两次，每次取出一件.设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”.则()|P B A =（ ）A ．34B ．13C ．23D ．129．某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ） A ．313B ．413C ．14D ．1510．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)XN σ，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1≥x ”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1B ．2C ．3D ．411．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．112．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若()20.66P ξ≤=，则()0P ξ≤=（ ）A ．0.84B ．0.68C ．0.34D ．0.16二、填空题13．已知随机变量X 的分布列为：则随机变量X 的方差()V X 的值为______．14．由“0，1，2”组成的三位数密码中，若用A 表示“第二位数字是2”的事件，用B 表示“第一位数字是2”的事件，则(|)P A B =__________. 15．随机变量X 的概率分布为2()(1,2,3)aP X n n n n===+，其中a 是常数，则()D aX =__________．16．某工厂在试验阶段大量．．生产一种零件，这种零件有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，若有且仅有一项技术指标达标的概率为12，至少一项技术指标达标的概率为34.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品，任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，则E ξ=______.17．从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为________；18．抛掷红、黄两颗骰子，设事件A 为“黄色的骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于7”.当已知黄色的骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于7的概率为__________．三、解答题19．某班级以“评分的方式”鼓励同学们以骑自行车或步行方式“绿色出行”，培养学生的环保意识．“十一黄金周”期间，组织学生去A 、B 两地游玩，因目的地A 地近，B 地远，特制定方案如下：若甲同学去A 地玩，乙、丙同学去B 地玩，选择出行方式相互独立． （1）求恰有一名同学选择“绿色出行”方式的概率； （2）求三名同学总得分X 的分布列及数学期望EX ．20．在某运动会上，有甲队女排与乙队女排以“五局三胜”制进行比赛，其中甲队是“慢热”型队伍，根据以往的经验，首场比赛甲队获胜的概率为P ，决胜局（第五局）甲队获胜的概率为23，其余各局甲队获胜的概率均为12.（1）求甲队以3:2获胜的概率； （2）现已知甲队以3:0获胜的概率是112，若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分，对方得1分，求甲队得分的分布列及数学期望.21．甲､乙两人进行投篮比赛，要求他们站在球场上的A ，B 两点处投篮，已知甲在A ，B 两点的命中率均为12，乙在A 点的命中率为p ，在B 点的命中率为212p -，且他们每次投篮互不影响.（1）若甲投篮4次，求他至多命中3次的概率；（2）若甲和乙每人在A ，B 两点各投篮一次，且在A 点命中计2分，在B 点命中计1分，未命中则计0分，设甲的得分为X ，乙的得分为Y ，写出X 和Y 的分布列，若EX EY =，求p 的值.22．现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪．根据猪的体重，将其分为三个成长阶段，如下表：根据以往经验，两个养猪场内猪的体重X 均近似服从正态分布()250,16N ．由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪的监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年期的猪，甲、乙两个养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已知甲，乙两个养猪场内一头成年期的猪能通过质检合格的概率分别为43,54． （1）试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利400元，若为不合格的猪，则亏损200元；乙养猪场出售--头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损100元记Y 为甲，乙养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润，求随机变量Y 的分布列，假设两个养猪场均能把成年期的猪售完，求两个养猪场的总利润的期望值． （参考数据：若()2~,Z Nμσ，则()0.683,(22)0.954,(33)0.997P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ-+≈-+≈-+≈）23．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立.（1）求未来3年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台?24．近年来，我国肥胖人群的规模不断扩大，肥胖人群有很大的心血管安全隐患，目前，国际上常用身体质量指数(Bodv Mass Index，缩写BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI＝体重（单位：千克）÷身高2（单位：2m），中国成人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖.某单位随机调查了100名员工，测量身高、体重并计算出BMI值.（1）根据调查结果制作了如下2×2列联表，请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关；人中“经常运动且不肥胖”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.25．山竹，原产于马鲁古，具有清热泻火、生津止渴的功效，其含有丰富的蛋白质与脂类，对体弱、营养不良的人群都有很好的调养作用，因此被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱．现将某水果经销商近一周内山竹的销售情况统计如下表所示：采购人数1001005020050（1）根据表格中数据，完善频率分布直方图；（2）求近一周内采购量在286箱以下（含286箱）的人数以及采购数量x的平均值；（3）以频率估计概率，若从所有采购者中随机抽取4人，记采购量不低于260箱的采购人E X．数为X，求X的分布列以及数学期望()26．某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5),[5,6]共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）.（1）从甲班每天学习数学的平均时间在[0,2)的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0,1)范围内的概率；（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据正态密度曲线的对称性得出()()()110700.57090P X P X P X ≥=≤=-<≤，于是可计算出()()1101110P X P X <=-≥，于此可得出结果． 【详解】 由于()2~90,X N σ，由正态密度曲线的对称性可得()()()110700.570900.15P X P X P X ≥=≤=-<≤=，因此，()()110111010.150.85P X P X <=-≥=-=，故选D. 【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率的计算，解题的关键在于利用正态密度曲线的对称性将所求概率转化为已知区间概率进行计算，属于基础题．2．C解析：C 【分析】抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有36种，其中记事件A 为“两个点数不同”的基本事件共有30种，再由“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件共有6种，利用条件概率的计算公式，即可求解． 【详解】由题意，抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有36种， 其中记事件A 为“两个点数不同”的基本事件共有36630-=种，又由事件“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件为：(1,4),(2,4),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)，共有6种，所以6()136()30()536P A B P B A P A ⋂===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中熟记条件概率的计算方法，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．C解析：C 【分析】根据题意，求出()P A 和()P AB ，由公式()()()|P AB P B A P A =即可求出解答.【详解】解：因为事件A 为“抓取的球中存在两个球同色”包括两个同色和三个同色，所以()213363393357198428C C C P A C +=== 事件A 发生且事件B 发生概率为：()12213336392363847C C C C P AB C +=== 故()()()3127|191928P AB P B A P A ===. 故选：C. 【点睛】本题考查条件概率求法，属于中档题.4．C解析：C 【分析】设()1P x ξ==，根据()f x ，()1E ξ=列方程求出x ，进而求出()D ξ，即可比较大小. 【详解】 设()1P x ξ==， 则()425P x ξ==-，则()1480121555x x E x ξ⎛⎫=⨯+⨯+-⨯=-= ⎪⎝⎭，解得()315P ξ==，()125P ξ==， 则()()()()22213120111215555D ξ=⨯-+⨯-+⨯-=， 故()()1P D ξξ=>， 故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.5．C解析：C 【分析】由题意分别求出E ξ，D ξ，E η，D η，由此能得到E ξ＜E η，D ξ＞D η． 【详解】 由题意得： E ξ111123326=⨯+⨯+⨯=116， D ξ22211111111151(1)(2)(3)636108266=-⨯+-⨯+-⨯=．E η111131236236=⨯+⨯+⨯=， D η＝（1316-）216⨯+（2136-）212⨯+（3136-）21513108⨯=， ∴E ξ＜E η，D ξ=D η． 故选：C ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查运算求解能力，是中档题．6．C解析：C 【分析】利用条件概率公式，即可求得结论． 【详解】该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110， ∵设A 事件为下雨，B 事件为刮风，由题意得，P （A ）415=，P （AB ）110=， 则P （B |A ）()()13104815P AB P A ===， 故选C ． 【点睛】本题考查概率的计算，考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．7．A解析：A 【分析】设事件A 为：至少有1个景点未被选择，事件B 为：恰有2个景点未被选择,计算()P AB 和()P A ,再利用条件概率公式得到答案.【详解】设事件A 为：至少有1个景点未被选择，事件B 为：恰有2个景点未被选择331()39P AB == 3337()139A P A =-=()1()()7P AB P B A P A == 故答案选A 【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生对于条件概率的理解和计算.8．C解析：C 【分析】利用古典概型概率公式计算出()P AB 和()P A ，然后利用条件概率公式可计算出结果． 【详解】事件:AB 前两次取到的都是一等品，由古典概型的概率公式得()232412A P AB A ==，由古典概型的概率公式得()34P A =，由条件概率公式得()()()142233P AB P B A P A ==⨯=， 故选C. 【点睛】本题考查条件概率公式求概率，解题时要弄清楚各事件之间的关系，关键在于灵活利用条件概率公式计算，考查运算求解能力，属于中等题．9．A解析：A 【分析】根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果. 【详解】设事件A 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件B 为“学生丙第一个出场”则()41134333555578A C C A P A A A +==，()1333555518C A P AB A A == 则()()()1837813P AB P B A P A === 本题正确选项：A 【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.10．C解析：C 【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；（2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确； （4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】分析：设A 表示“第一次抛出的是奇数点”，B 表示“第二次抛出的是奇数点”，利用古典概型概率公式求出()(),P A P AB 的值，由条件概率公式可得结果. 详解：设A 表示“第一次抛出的是奇数点”，B 表示“第二次抛出的是奇数点”，()()31111,62224P A P AB ===⨯=， ()()()114|122P AB P B A P A ===，∴在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为12，故选C. 点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件概率计算公式的合理运用，同时注意区分独立事件同时发生的概率与条件概率的区别与联系.12．C解析：C 【解析】分析：先根据正态分布得(12)0.16,P ξ≤≤=再求(01)0.16,P ξ≤≤=最后求得() 0P ξ≤=0.34.详解：由正态分布曲线得(12)0.660.50.16,P ξ≤≤=-= 所以(01)0.16,P ξ≤≤=所以()0P ξ≤=0.5-0.16=0.34. 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想和方法.（2）解答本题的关键是数形结合，要结合正态分布曲线的图像和性质解答，不要死记硬背.二、填空题13．【分析】由分布列求出然后由方差公式计算方差【详解】由题意故答案为：【点睛】本题考查随机变量的概率分布列考查随机变量的方差根据分布列计算出期望再由方差公式计算即得考查了学生的运算求解能力解析：65216【分析】由分布列求出q ，然后由方差公式计算方差． 【详解】 由题意1111362q =--=， 111()11263E X =-⨯+⨯=-，222111111165()(1)(0)()2333663216V X =⨯-++⨯++⨯+=．故答案为：65216．【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查随机变量的方差．根据分布列计算出期望，再由方差公式计算即得．考查了学生的运算求解能力．14．【分析】利用古典摡型的概率计算公式分别求得结合条件概率的计算公式即可求解【详解】由012组成的三位数密码共有个基本事件又由用A 表示第二位数字是2的事件用B 表示第一位数字是2的事件可得所以故答案为：【解析：13【分析】利用古典摡型的概率计算公式，分别求得(),()P B P A B ，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由“0，1，2”组成的三位数密码，共有33327⨯⨯=个基本事件，又由用A 表示“第二位数字是2”的事件，用B 表示“第一位数字是2”的事件， 可得33131(),()273279P B P A B ⨯====， 所以1()19(|)1()33P A B P A B P B ===. 故答案为：13.【点睛】本题主要考查了条件概率的计算与求解，其中解答中熟记条件概率的计算公式，准确运算时解答得关键，属于基础题.15．【分析】根据随机变量分布列概率和为1求出求出再由方差性质即可求解【详解】由题意得则∴则∴故答案为:【点睛】本题考查离散型随机变量分布列性质期望方差以及方差的性质考查计算求解能力属于中档题解析：608729【分析】根据随机变量分布列概率和为1求出a ，求出(),()E X D X ，再由方差性质，即可求解. 【详解】 由题意得11111311122334223344a a a a a ⎛⎫++=-+-+-== ⎪⨯⨯⨯⎝⎭， 则43a =，∴()213P X ==，()229P X ==，()139P X ==，则24113()3939E X =++=，222132********()12393999981D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2608()()729D aX a D X ==. 故答案为:608729【点睛】本题考查离散型随机变量分布列性质、期望、方差以及方差的性质，考查计算求解能力，属于中档题.16．1【分析】设两项技术指标达标的概率分别为得到求得的值进而得到可得分布列和的值得到答案【详解】由题意设两项技术指标达标的概率分别为由题意得解得所以即一个零件经过检测为合格品的概率为依题意知所以故答案为解析：1 【分析】设,A B 两项技术指标达标的概率分别为12,P P ，得到()()()()122112111231114P p P P P P ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩，求得12,P P 的值，进而得到1(4,)4B ξ，可得分布列和E ξ的值，得到答案．【详解】由题意，设,A B 两项技术指标达标的概率分别为12,P P ，由题意，得()()()()122112111231114P p P P P P ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩，解得1211,22P P ==， 所以1214P PP ==，即一个零件经过检测为合格品的概率为14， 依题意知1(4,)4B ξ，所以1414E ξ=⨯=．故答案为1． 【点睛】本题主要考查了随机变量的分布列及其数学期望的计算，其中解答中根据概率的计算公式，求得12,P P 的值，得到随机变量1(4,)4B ξ是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．17．【分析】设事件A 表示第一张抽到奇数事件B 表示第二张抽取偶数则P （A ）P （AB ）利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下第二次抽到偶数的概率【详解】解：从标有12345的五张卡片中依次抽出2 解析：12【分析】设事件A 表示“第一张抽到奇数”，事件B 表示“第二张抽取偶数”，则P （A ）35=，P （AB ）3235410=⨯=，利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率． 【详解】解：从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，设事件A 表示“第一张抽到奇数”，事件B 表示“第二张抽取偶数”，则P （A ）35=，P （AB ）3235410=⨯=， 则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为：P （A|B ）()()3P AB 1103P A 25===． 【点睛】本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力．18．【解析】分析：由题意知这是一个条件概率做这种问题时要从这两步入手一是做出黄色骰子的点数为或的概率二是两颗骰子的点数之和大于的概率再做出两颗骰子的点数之和大于且黄色骰子的点数为或的概率根据条件概率的公 解析：712【解析】分析：由题意知这是一个条件概率，做这种问题时，要从这两步入手，一是做出黄色骰子的点数为3或6的概率，二是两颗骰子的点数之和大于7的概率，再做出两颗骰子的点数之和大于7且黄色骰子的点数为3或6的概率，根据条件概率的公式得到结果.详解：设x 为掷红骰子的点数，y 为黄掷骰子得的点数，(),x y 共有6636⨯=种结果，则黄色的骰子的点数为3或6所有12种结果，两颗骰子的点数之和大于7所有结果有10种，利用古典概型概率公式可得()()()1211077,,363361836P A P B P AB =====，由条件概率公式可得()()()7736|1123P AB P B A P A ===，故答案为712. 点睛：本题主要考查条件概率以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出；(3)利用两个原理及排列组合知识.三、解答题19．（1）736；（2）分布列见解析，1225=EX ． 【分析】（1）分析恰有一个同学选择“绿色出行”方式的情况，利用相互独立事件的概率计算公式求解；（2）根据题意得，X 的所有可能取值为0，1，2，3，分别计算概率，列出分布列，代入公式求解EX .【详解】（1）恰有一名同学选择绿色出行方式的概率2123111274343336P C ⎛⎫=⋅+⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭．（2）根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，根据事件的独立性和互斥性得：1111(0)43336P X ==⨯⨯=；1231112173(1)4334363==⨯⨯+⨯⨯⨯=P X C ；21221124(2)4393343⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭P X C ；3221(3)4333==⨯⨯=P X ．故X 的分布列为：所以360123369312=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ． 【点睛】本题考查了随机变量分布列问题，一般列分布列时先判断变量的可能取值，遇到比较复杂的情况可以采用列表格的方式能更直观的判断出可能取值有哪些，然后计算不同取值下的概率，需要分析清楚不同取值对应的所有情况，注意是二项分布还是超几何分布问题. 20．（1）14；（2）分布列见解析，数学期望为118. 【分析】（1）分析出第五局甲赢，前四局甲队赢两局，利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；（2）利用独立事件的概率乘法公式计算得出13P =，设甲队得分为X ，则X 的可能取值有0、1、2、3，计算出X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值. 【详解】（1）记事件A ：甲队以3:2获胜，则第五局甲队胜，前面四局甲队赢两局，所以，()()33123312121123234P A P C P C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）记甲队以3:0获胜为事件B ，则()21112412P B P P ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，解得13P =. 记甲队得分为X ，则X 的可能取值有0、1、2、3， 若X 0=，则甲队以0:3或1:3落败，所以，()23312111111301113232328P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⋅-+⋅+-⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；若1X =，则甲队以2:3落败，所以，()331233111211113233238P X C C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若2X =，则甲队以3:2获胜，所以，()()124P X P A ===； 若3X =，则甲队以3:0或3:1获胜，所以，()2231211111211332322324P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅⋅⋅+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以，随机变量X 的分布列如下表所示：因此，()012388448E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 21．（1）1516；（2）分布列答案见解析，12p =. 【分析】（1）根据相互独立事件的概率计算“甲4次全部命中”的概率，用1减去“甲4次全部命中”的概率即可得出答案；（2）由题意得,X Y 的可能取值均为0，1，2，3，依据题意算出其概率，列出其分布列分布列，根据数学期望公式算出,EX EY ，由EX EY =建立方程解出p . 【详解】解：（1）“甲至多命中3次”的对立事件为“甲4次全部命中”，所以甲至多命中3次的概率为41151216⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（2）X ，Y 的可能取值均为0，1，2，3. X 的分布列为所以31234442EX =⨯+⨯+⨯=. Y 的分布列为2322(1)124312122EY p p p p p p p =--++-=+-.由231222p p +-=，解得12p =.【点睛】离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略：（1）求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解；（2）由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值；（3）由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断.22．（1）幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头；（2）135450元. 【分析】（1）设各阶段猪的数量分别为123,,n n n ，根据猪的体重X 近似服从正态分布2(50,16)N ，分别求得(218)P X <，(1882)P X <，(8298)P X 即可.（2）随机变量Y 的所有可能取值为900，300，300-，分别求得其概率，列出分布列，再根据分布列利用均值公式求解. 【详解】（1）设各阶段猪的数量分别为123,,n n n ， ∵猪的体重X 近似服从正态分布2(50,16)N ，0.9970.954(218)(50316502 16) 0.02152P X P X -∴<=-⨯<-⨯≈=，1100000.0215215n ∴=⨯=（头）；(1882)(5021650216)0.954P X P X <=-⨯<+⨯≈2100000.9549540n ∴=⨯=（头）；0.9970.954(8298)(5021650316) 0.02152P X P X -=+⨯+⨯≈=，3100000.0215215n ∴=⨯=（头）∴甲、乙两个养猪场各有幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头． （2）随机变量Y 的所有可能取值为900，300，300-．43341137111(900),(300),(300)5455454205420P Y P Y P Y ==⨯===⨯+⨯==-=⨯=，Y ∴的分布列为()90030030063052020E Y ∴=⨯+⨯-⨯=（元），由于两个养猪场均有215头成年期的猪，且两个养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润的期望为630元，则总利润的期望为630215135450⨯=（元）． 【点睛】方法点睛： (1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．(2)注意性质的应用：若随机变量X 的均值为E (X )，则对应随机变量aX ＋b 的均值是aE (X )＋b ，方差为a 2D (X )． 23．（1）9721000；（2）2台. 【分析】（1）先求出年入流量X 的概率，根据二项分布可得未来3年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（2）分三种情况进行讨论，分别求出安装1台、2台、3台的数学期望，比较即可求解. 【详解】（1）依题意，得110(4080)0.250p P X =<<==， 235(80120)0.750p P X =≤≤==， 35(120)0.150p P X =>==. 由二项分布，记“在未来3年中，至多有1年的年入流量超过120”为事件A ，320133919729243972)101010100010001000P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ （2）记水电站年总利润为Y （单位：万元）.①安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000Y =，()500015000E Y =⨯=；②安装2台发电机的情形：依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时50008004200Y =-=，因此1(4200)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80X ≥时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，因此23(10000)(80)0.8P Y P X p p ==≥=+=.由此得Y 的概率分布列如下：所以0.88840⨯=. ③安装3台发电机的情形：依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=， 因此1(3400)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80120X ≤≤时，两台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=， 因此2(9200)(80120)0.7P Y P X p ==≤≤==；当120X >时，三台发电机运行，此时5000315000Y =⨯=，因此3(15000)(120)0.1P Y P X p ==>==，由此得Y 的概率分布列如下：所以，150000.18620+⨯=. 综上所述，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台. 【点睛】 思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.24．（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，65.。
人教版高中数学选修2-3第二章随机变量及其分布单元测试(一)- Word版含答案
2018-2019学年选修2-3第二章训练卷随机变量及其分布（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则()3P ξ==（ ） A ．22313C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B ．22331C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ C ．21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭D ．23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭2．某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率是（ ） A ．0.1462B ．0.1538C ．0.9962D ．0.85383．已知某离散型随机变量X 服从的分布列如图，则随机变量X 的方差D(X)等于（ ）A ．19B ．29C ．13D ．234．设随机变量ξ等可能取值1、2、3、…、n ，如果P(ξ<4)＝0.3，那么n 的值为（ ） A ．3 B ．4C ．9D ．105．有编号分别为1、2、3、4、5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为（ ） A ．521B ．27C ．13D ．8216．在比赛中，如果运动员A 胜运动员B 的概率是23，那么在五次比赛中运动员A恰有三次获胜的概率是（ ） A ．40243B ．80243C ．110243D ．202437．如果随机变量ξ表示抛掷一个各面分别有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量ξ的均值为（ ） A ．2.5B ．3C ．3.5D ．48．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是（ ） A ．512B ．12C ．712D ．349．设随机变量ξ的概率分布列为()()()110,1kk P k p p k ξ--===，则E(ξ)和D(ξ)的值分别是（ ） A ．0和1B ．p 和p 2C ．p 和1－pD ．p 和(1－p)p10．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为（ ） A ．0.9B ．0.2C ．0.7D ．0.511．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为（ ）A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多2只是坏的12．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R 的函数：()1f x x =，()22f x x =，()33f x x =，()4sin f x x =，()5cos f x x =，()62f x =．现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为（ ） A ．74B ．7720C ．34D ．73此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）13．随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ＝0)＝15，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________．14．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)． ①P(B)＝25；②P(B|A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．15．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数字0，两个面上标以数字1，一个面上标以数字2．将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望 是_______．16．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E(ξ)＝________(结果用最简分数表示)．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（12分）某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X 的分布列．18．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35，现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立． （1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．19．（12分）端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．（1）求三种粽子各取到1个的概率；（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．20．（12分）甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．（1）求甲、乙两人都被分到A社区的概率；（2）求甲、乙两人不在同一个社区的概率；（3）设随机变量ξ为四名同学中到A社区的人数，求ξ的分布列和E(ξ)的值．21．（12分）有红、黄、蓝、白4种颜色的小球，每种小球数量不限且它们除颜色不同外，其余完全相同，将小球放入编号为1，2，3，4，5的盒子中，每个盒子只放一只小球．（1）放置小球满足：“对任意的正整数j(1≤j≤5)，至少存在另一个正整数k(1≤k≤5，且j≠k)使得j号盒子与k号盒子中所放小球的颜色相同”的概率；（2）记X为5个盒子中颜色相同小球个数的最大值，求X的概率分布和数学期望E(X)．22．（14分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．2018-2019学年选修2-3第二章训练卷随机变量及其分布（一）答 案一、选择题． 1．【答案】C【解析】ξ＝3表示前2次测到的为次品，第3次测到的为正品， 故()234431P ξ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭=．故选C ．2．【答案】A【解析】237240C 10.1462C P =-=．故选A ．3．【答案】B【解析】由m ＋2m ＝1得，m ＝13，∴E(X)＝0×13＋1×23＝23，()22122202133393D X ⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，故选B ．4．【答案】D【解析】∵P(ξ<4)＝3n ＝0.3，∴n ＝10．故选D ．5．【答案】D【解析】从10个球中任取4个，有410C 210=种取法， 取出的编号互不相同的取法有445C 280⋅=种，∴所求概率P ＝80210＝821．故选D ． 6．【答案】B 【解析】32352280C 133243P ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选B ． 7．【答案】C【解析】∵p( ξ＝k)＝16(k ＝1，2，…，6)．∴()()12616 3.5E ξ++=⋯+=．故选C ．8．【答案】C【解析】由题意P(A)＝12，P(B)＝16，事件A 、B 中至少有一个发生的概率P ＝1－12×56＝712．9．【答案】D【解析】这是一个两点分布，分布列为∴E(ξ)＝p ，D(ξ)＝p(1－p)10．【答案】D【解析】设事件A 、B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5， 事件恰有一人击中敌机的概率为()()()()()()()110.5P AB AB P A P B P A P B +=⋅-+-⋅=．故选D ．11．【答案】C【解析】ξ＝k 表示取出的螺丝钉恰有k 只为好的，则()473410C C C 4)2(13k kP k k ξ-===、、、， ∴P(ξ＝1)＝130，P(ξ＝2)＝310，P(ξ＝3)＝12，P(ξ＝4)＝16．故选C ．12．【答案】A【解析】由于()2f x ，()5f x ，()6f x 为偶函数，()1f x ，()3f x ，()4f x 为奇函数， ∴随机变量ξ可取1，2，3，4．()131621C 1C P ξ===，()11331165C C 3C 2C 10P ξ===，()111323111654C C C 3C C C 203P ξ===，()1111321311116543C C C C 1C C C 24C 0P ξ===．∴ξ的分布列为E(ξ)＝1×12＋2×310＋3×320＋4×120＝74．二、填空题． 13．【答案】25【解析】本题考查期望，方差的求法．设ξ＝1概率为P ．则E(ξ)＝0×15＋1×P ＋2(1－P －15)＝1，∴P ＝35．故D(ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)×35＋(2－1)2×15＝25．14．【答案】②④【解析】由条件概率知②正确．④显然正确．而且P(B)＝P(B∩(A 1∪A 2∪A 3))＝P(B∩A 1)＋P(B∩A 2)＋P(B∩A 3) ＝P(A 1)·P(B|A 1)＋P(A 2)P(B|A 2)＋P(A 3)P(B|A 3) ＝510·511＋210·411＋310·411＝922． 故①③⑤不正确． 15．【答案】49【解析】设ξ表示向上的数之积，则P(ξ＝1)＝13×13＝19，P(ξ＝2)＝12C ×13×16＝19， P(ξ＝4)＝16×16＝136，P(ξ＝0)＝34．∴Eξ＝1×19＋2×19＋4×136＝49．16．【答案】47【解析】由题意，ξ的可能取值为0，1，2，则()2527C 10C 210P ξ===，()115227C C 10C 121P ξ===，()2227C 1C 221P ξ===． ∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝1221＝47．三、解答题． 17．【答案】见解析．【解析】由题意知，用X 表示成功的人数，则X 服从n ＝3，p ＝34的二项分布，于是有()3333C 144kkk P X k -⎛⎫⎛⎫=⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=，0,1,2,3k =．∴X 的分布列为18．【答案】（1）1315；（2）分布列见解析，140．【解析】（1）设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立 事件，则事件B 为一种新产品都没有成功，因为甲，乙成功的概率分别为23，35．则P(B)＝(1－23)×(1－35)＝13×25＝215，再根据对立事件概率之间的公式可得P(A)＝1－P(B)＝1315， ∴至少一种产品研发成功的概率为1315．（2）由题可设该企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有0，120＋0，100＋0，120＋100，即ξ＝0，120，100，220，由独立试验的概率计算公式可得： P(ξ＝0)＝(1－23)×(1－35)＝215；P(ξ＝120)＝23×(1－35)＝415；P (ξ＝100)＝(1－23)×35＝15；P(ξ＝220)＝23×35＝25；∴ξ的分布列如下：则数学期望E(ξ)＝0×215＋120×415＋100×15＋220×25＝32＋20＋88＝140．19．【答案】（1）14；（2）分布列见解析，35．【解析】（1）令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有()111235310C C C 1C 4P A ==． （2）X 的可能取值为0，1，2，且()38310C 70C 15P X ===，()1228310C C 71C 15P X ===，()2128310C C 12C 15P X ===；综上知，X 的分布列为：故E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)20．【答案】（1）118；（2）56；（3）分布列见解析，43．【解析】（1）记甲、乙两人同时到A 社区为事件M ，那么()232343A 1C A 18P M ==，即甲、乙两人同时分到A 社区的概率是118． （2）记甲、乙两人在同一社区为事件E ，那么()332343A 1C A 6P E ==，∴甲、乙两人不在同一社区的概率是()()516P E P E =-=． （3）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“ξ＝i(i ＝1，2)”是指有i 个同学到A 社区，则()22422343C A 1C 32A p ξ===．∴()()21312p pξξ-====， ξ的分布列是：∴E(ξ)＝1×23＋2×13＝43．21．【答案】（1）31256；（2）分布列见解析，635256．【解析】（1）4种颜色的球放置在5个不同的盒子中，共有45种放法， 满足条件的发放分为两类：①每个盒子中颜色都相同，共有4种，②有2种颜色组成，共有22452C C 120⨯⨯=，所求的概率为54120314256P +==． （2）X 的可能的值为2，3，4，5．则()1321124542545C C C C C C 7541282P X +===，()132455C C 34541283P X ⋅===， ()1414535C C C 1544256P X ===，()54145526P X ===； ∴X 的概率分布列为：E(X)＝2×75128＋3×45128＋4×15256＋5×1256＝635256．22．【答案】（1）710；（2）分布列见解析，35．【解析】（1）记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}， B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}． 由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥， 且B 1＝A 1A 2，21212B A A A A =+，C ＝B 1＋B 2． 因P(A 1)＝410＝25，P(A 2)＝510＝12，∴P(B 1)＝P(A 1A 2)＝P(A 1)P(A 2)＝25×12＝15，()()()()()()()()()()212121212121211P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=-++-=212111152522⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故所求概率为P(C)＝ P(B 1＋B 2)＝P(B 1)＋P(B 2)＝15＋12＝710．（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，∴13,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭～．于是()03031464C 551025P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，()12131448C 551125P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=， ()21231412C 551225P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，()3033141C 551235P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=． 故X 的分布列为X 的数学期望为E(X)＝3×15＝35．。
(易错题)高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试题(含答案解析)(1)
记“三人中至少有两人解答正确”为事件 ；“甲解答不正确”为事件
则 ；
本题正确选项：
【点睛】
本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.
10．C
解析：C
【分析】
根据二项分布 的性质可得 ， ，化简即 ，结合基本不等式即可得到 的最小值.
【详解】
离散型随机变量X服从二项分布 ，
3．随机变量 的概率分布为 ，其中 是常数，则 （）
A． B． C． D．
4．设 ，随机变量 的分布列如下：
0
1
p
当 在 内增大时，下列结论正确的是（）
A． 减小B． 增大
C． 先减小后增大D． 先增大后减小
5．某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为（）
（2）从（1）中得到的6个水果中随机抽取3个，记X为质量在 的水果数量，求X的分布列和数学期望；
（3）果园现有该种水果越20000个，其等级规则及销售价格如下表所示：
质量m（单位：克）
等级规格二等一等源自特等价格（元/个）4
7
10
试估计果园该种水果的销售收入．
24．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了 位校友( 且 )，其中女校友 位，组委会对这 位校友制作了一份校友名单，现随机从中选出 位校友代表，若选出的 位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．
， ，
故 ， ,
由条件概率得P(AB)＝P（B）P(A|B)，计算即得解.
【详解】
设事件A＝“血检呈阳性”，B＝“患该种疾病”．
依题意知P（B）＝0.005，P(A|B)＝0.99，
由条件概率公式P(A|B)＝ ，
(典型题)高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》检测(答案解析)
一、选择题1．抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件A 为“两个点数不同”，事件B 为“两个点数中最大点数为4”，则()P B A =（ ）A ．112B ．16C ．15D ．562．若随机变量X 的分布列为则X 的数学期望()E X =（ ） A ．2a b +B ．2+a bC ．2D ．33．已知随机变量X 的分布列表如下表，且随机变量23Y X =+，则Y 的期望是（ ）A ．73B ．53C ．13D ．164．已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（ ）A ．E E ξη<，D D ξη<B ．E E ξη<，D D ξη>C ．E E ξη<，D D ξη=D ．E E ξη=，D D ξη=5．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件A 为4名同学所报项目各不相同”,事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则(|)P B A =（ ） A ．14B ．34C ．29D ．596．将一枚质地均匀且各面分别有狗，猪，羊，马图案的正四面体玩具抛掷两次，设事件=A {两次掷的玩具底面图案不相同}，B ={两次掷的玩具底面图案至少出现一次小狗}，则()P B A =（ ）A ．712B ．512C ．12D ．11127．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（ ） A ．1320B ．920C ．15D ．1208．已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则E ξ=（ ） A ．145B ．135C ．73D ．839．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X 近似服从正态分布2(84,)N σ，且(7884)0.3P X <≤=.该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为（ ） A ．60 B ．80 C ．100D ．12010．已知一组数据12,,,n x x x 的平均数3x =，方差24s =，则数据1232,32,,32n x x x +++的平均数、方差分别为（ ）A ．9,12B ．9,36C ．11,12D ．11,3611．随机变量()~1,4X N ，若()20.2p x ≥=，则()01p x ≤≤为（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.612．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为（ ）A ．8225B ．12C ．34D ．38二、填空题13．一个口袋中有7个大小相同的球，其中红球3个，黄球2个，绿球2个.现从该口袋中任取3个球，设取出红球的个数为ξ，则()E ξ=______.14．如图，EFGH 是圆O 的内接正方形，将一颗豆子随机扔到圆O 内，记事件A ：“豆子落在正方形EFGH 内”，事件B ：“豆子落在扇形OEH （阴影部分）内”，则条件概率(|)P B A =__．15．以下4个命题中，所有正确命题的序号是______. ①已知复数()12i z i i +=-，则105z =；②若()727012731x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则1234567127a a a a a a a ++++=++ ③一支运动队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为28的样本，则样本中男运动员有16人；④若离散型随机变量X 的方差为()3D X =，则()2112D X -=. 16．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布()2800,50N 的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p ，则0p 的值为________. (参考数据：若2),(X N μσ～，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=；2()2P X μσμσ-<≤+=0.9544；(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤.)17．已知随机变量2(1,)XN σ，若(01)0.3P X <<=，则(2)P X >=__________．18．设随机变量X 的概率分布如下表所示,且随机变量X 的均值()E X 为2.5 ,X1 2 3 4Pab38316则随机变量X 的方差()V X 为__________．三、解答题19．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．（1）求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X ，求X 的分布列及数学期望． 20．为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取100只小白鼠，并将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如下的频率分布直方图（以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率）：（1）根据频率分布直方图，估计100只小白鼠该项医学指标平均值x （同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）若认为小白鼠的该项医学指标值X 服从正态分布()2,N μσ，且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于14.77时，则认定其体内已经产生抗体；进一步研究还发现，对第一次注射疫苗的100只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有10只小白鼠又产生了抗体．这里μ近似为小白鼠医学指标平均值x ，2σ近似为样本方差2s ．经计算得2 6.92s =，假设两次注射疫苗相互独立，求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率p （精确到0.01）． 附：参考数据与公式6.92 2.63≈，若()2~,X N μσ，则①()0.6827P X μσμσ-<≤+=；②()220.9545P X μσμσ-<≤+=；③()330.9973P X μσμσ-<≤+=． 21．某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额(单位：元)，如图所示：（1）现从去年的消费金额超过3 200元的消费者中随机抽取2人，求至少有1位消费者去年的消费金额在(3 200，4 000]内的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：会员等级消费金额普通会员 2 000银卡会员 2 700金卡会员 3 200(1 600，3 200]内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在(3 200，4 800]内的消费者都将会申请办理金卡会员，消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额，该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励：普通会员中的“幸运之星”每人奖励500元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励600元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800元.方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球(球只有颜色不同)的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球，若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励.规定每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立).请你预测哪一种返利活动方案该健身机构的投资较少？并说明理由.22．2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作[20,40)、9:40~10:00记作[40,60)，10:00~10:20记作[60,80)，10:20~10:40记作[80,100)，例如：10点04分，记作时刻64.（Ⅰ）估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（Ⅱ）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；（Ⅲ）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T 服从正态分布()2~,N μσ，其中μ可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，2σ用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.假如4日全天共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.附：若随机变量T 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P T μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P T μσμσ-<≤+=，(33)0.9973P T μσμσ-<≤+=.23．近年来，我国肥胖人群的规模不断扩大，肥胖人群有很大的心血管安全隐患，目前，国际上常用身体质量指数(Bodv Mass Index ，缩写BMI )来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI ＝体重（单位：千克）÷身高2（单位：2m ），中国成人的BMI 数值标准为：BMI ＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI ＜24为正常；24≤BMI ＜28为偏胖；BMI ≥28为肥胖.某单位随机调查了100名员工，测量身高、体重并计算出BMI 值.（1）根据调查结果制作了如下2×2列联表，请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关；人中“经常运动且不肥胖”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.24．山竹，原产于马鲁古，具有清热泻火、生津止渴的功效，其含有丰富的蛋白质与脂类，对体弱、营养不良的人群都有很好的调养作用，因此被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱．现将某水果经销商近一周内山竹的销售情况统计如下表所示：（1）根据表格中数据，完善频率分布直方图；（2）求近一周内采购量在286箱以下（含286箱）的人数以及采购数量x的平均值；（3）以频率估计概率，若从所有采购者中随机抽取4人，记采购量不低于260箱的采购人数为X，求X的分布列以及数学期望()E X．25．某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5),[5,6]共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）.（1）从甲班每天学习数学的平均时间在[0,2)的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0,1)范围内的概率；（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.26．为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现F症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现F症状的概率均为13，且每次给药后是否出现F症状与上次给药无关．（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现2次F症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为X，求X的分布列和数学期望．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有36种，其中记事件A 为“两个点数不同”的基本事件共有30种，再由“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件共有6种，利用条件概率的计算公式，即可求解． 【详解】由题意，抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有36种， 其中记事件A 为“两个点数不同”的基本事件共有36630-=种，又由事件“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件为：(1,4),(2,4),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)，共有6种，所以6()136()30()536P A B P B A P A ⋂===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中熟记条件概率的计算方法，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2．C解析：C 【分析】由期望公式可知()2(2)E X a b =+，而总体的概率21a b +=，即可求得()E X 【详解】由1122()()()...()n n E X X P X X P X X P X =+++ ∴()1232(2)E X a b a a b =⨯+⨯+⨯=+，而21a b += ∴()2E X = 故选：C 【点睛】本题考查了概率，理解期望的含义，利用期望公式求离散型变量的期望，并根据样本总体概率为1求期望值3．A解析：A 【分析】由随机变量X 的分布列求出m ，求出()E X ，由23Y X =+，得()()23E Y E X =+，由此能求出结果． 【详解】由随机变量X 的分布列得：11123m ++=， 解得16m =， ()11111012363E X ∴=-⨯+⨯+⨯=-，23Y X =+，()()2723333E Y E X ∴=+=-+=．故选：A ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．C解析：C 【分析】由题意分别求出E ξ，D ξ，E η，D η，由此能得到E ξ＜E η，D ξ＞D η． 【详解】 由题意得： E ξ111123326=⨯+⨯+⨯=116， D ξ22211111111151(1)(2)(3)636108266=-⨯+-⨯+-⨯=． E η111131236236=⨯+⨯+⨯=， D η＝（1316-）216⨯+（2136-）212⨯+（3136-）21513108⨯=， ∴E ξ＜E η，D ξ=D η． 故选：C ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查运算求解能力，是中档题．5．A解析：A 【分析】确定事件AB ，利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，再利用条件概型的概率公式可计算出()P B A 的值. 【详解】事件AB 为“4名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”，则()3344A P AB =，()4444A P A =，()()()3434444144P AB A P B A P A A ∴==⋅=，故选A. 【点睛】本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题．6．C解析：C 【分析】利用条件概率公式得到答案. 【详解】336()1616P AB +== 412()11616P A =-= ()()1()2P AB P B A P A == 故答案选C 【点睛】本题考查了条件概率的计算，意在考查学生的计算能力.7．C解析：C 【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B ，利用二项分布的知识计算出()P A ，再计算出()P AB ，结合条件概率公式求得结果. 【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B则()2323332122033327P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()122433327P AB =⨯⨯= ()()()15P AB P B A P A ∴== 本题正确选项：C 【点睛】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.8．A解析：A 【分析】先求出ξ的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用1122i i E p p p ξξξξ=++++可求得数学期望. 【详解】ξ的可能取值为2,3,4.2ξ=表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故()33925525P ξ==⨯=.3ξ=表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故()3223123555525P ξ==⨯+⨯=.4ξ=表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故()22445525P ξ==⨯=.所以9124142342525255E ξ=⨯+⨯+⨯=.故选A. 【点睛】求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布(),B n p ，也可以直接利用公式E np ξ=求期望.9．B解析：B 【分析】由题意，成绩X 近似服从正态分布()284,N σ，则正态分布曲线的对称轴为84X =，根据正态分布曲线的对称性，求得()190[12(7884)]2P X P X ≥=⨯-⨯<≤,进而可求解，得到答案. 【详解】由题意，成绩X 近似服从正态分布()284,N σ，则正态分布曲线的对称轴为84X =，又由(7884)0.3P X <≤=， 根据正态分布曲线的对称性，可得()()1190[12(7884)]10.60.222P X P X ≥=⨯-⨯<≤=-=,所以该市某校有400人中，估计该校数学成绩不低于90分的人数为4000.280⨯=人， 故选B. 【点睛】本题主要考查了正态分布曲线的性质的应用，其中解答中熟练应用正态分布曲线的对称性，求得成绩不低于90分的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10．D解析：D 【解析】分析：由题意结合平均数，方程的性质即可求得新数据的平均数和方差. 详解：由题意结合平均数，方程的性质可知： 数据1232,32,,32n x x x +++的平均数为：3211x +=，方差为22336s ⨯=.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查平均数的性质，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．B解析：B 【解析】分析：根据正态分布的整体对称性计算即可得结果. 详解：(0)(2)0.2,P X P X ≤=≥=10.22(01)0.3,2P X -⨯∴≤≤== 故选B.点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正态分布曲线的对称性，从而求得结果.12．D解析：D 【解析】分析：根据条件概率求结果.详解：因为在下雨天里，刮风的概率为既刮风又下雨的概率除以下雨的概率，所以在下雨天里，刮风的概率为13104815=， 选D.点睛：本题考查条件概率，考查基本求解能力.二、填空题13．【分析】先确定随机变量的取值再分别计算对应的概率最后利用期望的计算公式即得结果【详解】依题意设取出红球的个数为则而口袋中有红球3个其他球4个故故故答案为：【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的期望的步解析：97【分析】先确定随机变量的取值0,1,2,3ξ=，再分别计算对应的概率，最后利用期望的计算公式即得结果. 【详解】依题意，设取出红球的个数为ξ，则0,1,2,3ξ=，而口袋中有红球3个，其他球4个，故()34374035C P C ξ===，()12343718135C C P C ξ===，()21343712235C C P C ξ===，()33375313C C P ξ===，故()418121459012335353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==. 故答案为：97. 【点睛】 方法点睛：求离散型随机变量的期望的步骤：（1）先确定随机变量的取值12,,...,n x x x ξ=；（2）再计算每个变量所对应的概率(),1,2,3,...,i i P x p i n ξ===； （3）利用公式()112233...n n E x p x p x p x p ξ=++++，计算得到期望即可.14．【分析】利用与面积有关的几何概型公式求出然后代入条件概率公式即可求解【详解】如图设正方形边长为由几何概型的概率公式可得（A ）由条件概率公式可得故答案为：【点睛】本题考查与面积有关的几何概型和条件概率解析：14【分析】利用与面积有关的几何概型公式求出()(),P A P AB ,然后代入条件概率公式()()()P AB P B A P A =即可求解.【详解】如图,设正方形边长为a ，由几何概型的概率公式可得,P （A）22π==，11()2a a P AB π⨯==， ∴由条件概率公式可得,1()12(|)2()4P AB P B A P A ππ===． 故答案为：14【点睛】本题考查与面积有关的几何概型和条件概率的求解;熟练掌握概率公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.15．①③④【分析】根据复数的模的运算可知①正确；代入所得式子作差即可知②正确；利用分层抽样原则计算可知③正确；根据方差的性质可知④正确【详解】①则①正确；②令则；令则②错误；③抽样比为：则男运动员应抽取解析：①③④ 【分析】根据复数的模的运算可知5z z ==，①正确；代入0x =，1x =，所得式子作差即可知②正确；利用分层抽样原则计算可知③正确；根据方差的性质可知④正确. 【详解】①()11212i i z i i i ++==-+，则1112125i i z z i i ++=====++，①正确； ②令0x =，则()7011a =-=-；令1x =，则0123456772a a a a a a a a +++++=++1234567721129a a a a a a a ∴+++++=+=+，②错误；③抽样比为：28256427=+，则男运动员应抽取：256167⨯=人，③正确；④由方差的性质可知：()()2143412D X D X -==⨯=，④正确. 本题正确结果：①③④ 【点睛】本题考查命题的真假性的判断，涉及到复数模长运算、二项式系数和、分层抽样、方差的性质等知识，属于中档题.16．09772【分析】由X 是服从正态分布知μ=800σ=50故结合正态分布的对称性可知根据即可求解【详解】由于随机变量X 服从正态分布故有μ=800σ=50则由正态分布的对称性可得【点睛】本题主要考查了正解析：0.9772【分析】由X 是服从正态分布()2800,50N 知μ=800，σ=50，故()7009000.9544P X <=≤，结合正态分布的对称性可知()01=800290P X <≤()700900P X <≤，根据()()()0900800800900p P X P X P X ≤≤+≤==<即可求解.【详解】由于随机变量X 服从正态分布()2800,50N ，故有μ=800，σ=50，则()7009000.9544P X <=≤. 由正态分布的对称性， 可得()()()090080080019200p P X P X P X ==≤<≤=≤++()17009000.97722P X =<≤. 【点睛】本题主要考查了正态分布，利用正态曲线的对称性解题，属于中档题.17．02【分析】随机变量得到曲线关于称根据曲线的对称性得到根据概率的性质得到结果【详解】随机变量∴曲线关于对称∴故答案为02【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义函数图象对称性的应用等解析：0.2 【分析】随机变量()21,X N σ~，得到曲线关于1x =称，根据曲线的对称性得到200.501P X P X P X >=<=-<<（）（）（），根据概率的性质得到结果． 【详解】随机变量()21,X N σ~，∴曲线关于1x =对称，∴200.5010.2P X P X P X >=<=-<<=（）（）（），故答案为0.2. 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题18．【解析】分析：根据分布列的性质求出的值然后再根据方差的定义求解即可得到结论详解：由题意得即解得∴点睛：（1）离散型随机变量的分布列中所有概率和为1这一性质为求概率和检验分布列是否正确提供了工具（2）解析：98【解析】分析：根据分布列的性质求出,a b 的值，然后再根据方差的定义求解即可得到结论．详解：由题意得3318163352348162a b a b ⎧+++=⎪⎪⎨⎪++⨯+⨯=⎪⎩，即716528a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14316a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴()2222515353539123424216282168V X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．点睛：（1）离散型随机变量的分布列中所有概率和为1，这一性质为求概率和检验分布列是否正确提供了工具．（2）求分布列的期望和方差时可根据定义直接求解即可．三、解答题19．(1)0.28；(2)分布列见解析，()0.6E X =. 【分析】(1)由题意利用对立事件概率公式即可求得满足题意的概率值；(2)首先确定X 可能的取值，然后分别求解其概率值，最后确定其分布列并求解数学期望即可. 【详解】(1)设部件1需要调整为事件A ，部件2需要调整为事件B ，部件3需要调整为事件C ， 由题意可知：()()()0.1,0.2,0.3P A P B P C ===. 部件1，2中至少有1个需要调整的概率为：()()11110.90.810.720.28P A P B ⎡⎤⎡⎤---=-⨯=-=⎣⎦⎣⎦.(2)由题意可知X 的取值为0，1,2,3.且：()()()()0111P X P A P B P C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==---⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()10.110.210.3=-⨯-⨯-0.504=，()()()()111P X P A P B P C ⎡⎤⎡⎤==--⎣⎦⎣⎦()()()11P A P B P C ⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦()()()11P A P B P C ⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦0.10.80.7=⨯⨯0.90.20.7+⨯⨯0.90.80.3+⨯⨯ 0.398=，()()()()21P X P A P B P C ⎡⎤==-⎣⎦()()()1P A P B P C ⎡⎤+-⎣⎦()()()1P A P C P B ⎡⎤+-⎣⎦0.10.20.7=⨯⨯0.10.80.3+⨯⨯0.90.20.3+⨯⨯0.092=.()()()()30.10.20.30.006P X P A P B P C ===⨯⨯=，故X 的分布列为：其数学期望：0.50400.39810.09220.00630.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】 思路点晴：求离散型随机变量X 的数学期望的一般步骤：（1）先分析X 的可取值，根据可取值求解出对应的概率； （2）根据（1）中概率值，得到X 的分布列；（3）结合（2）中分布列，根据期望的计算公式求解出X 的数学期望. 20．（1）17.4；（2）0.94. 【分析】（1）利用每一个小矩形的面积乘以对应的底边中点的横坐标之和即为x ；（2）先计算第一次注射疫苗后产生抗体的概率()()14.77P x P x μσ≥=≥-，即可计算第一次注射疫苗后100只小白鼠中产生抗体的数量，加上第二次注射疫苗10只小白鼠又产生了抗体，可以得出两次注射疫苗产生抗体的总数，即可求概率. 【详解】（1）0.021220.061420.141620.181820.05202x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.032220.0224217.4+⨯⨯+⨯⨯= （2）17.40 2.6314.77μσ-=-=∴()10.68270.68270.84142P x μσ-≥-=+= 记事件A 表示首先注射疫苗后产生抗体，则()()()14.770.8414P A P x P x μσ=≥=≥-=，因此100只小鼠首先注射疫苗后有1000.841484⨯≈只产生抗体，有1008416-=只没有产生抗体．故注射疫苗后产生抗体的概率84100.94100P +==. 【点睛】 结论点睛：频率分布直方图的相关公式以及数字特征的计算， ①直方图中各个小长方形的面积之和为1； ②直方图中每组样本的频数为频率乘以总数； ③最高的小矩形底边中点横坐标即是众数； ④中位数的左边和右边小长方形面积之和相等；⑤平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 21．（1）1011；（2）方案2投资较少，理由见解析. 【分析】（1）去年的消费金额超过3 200元的消费者有12人，随机抽取2人，消费金额在(3 200，4 000]的范围内的概率满足超几何分布)（2）方案1：计算“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数，求奖励总金额，方案2：设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则η的可能取值为0，200，300，列出其分布列，求期望. 【详解】（1）去年的消费金额超过3 200元的消费者有12人，随机抽取2人，消费金额在(3 200，4 000]的范围内的人数为X ，可能取值为0，1，2，2421210(1)1(0)111C P X P X C ≥=-==-=，所以至少有1位消费者去年的消费金额在(3 200，4 000]的范围内的概率为1011. (2)方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为28257100⨯=，602515100⨯=，12253100⨯=. 按照方案1奖励的总金额1=7500+15600+3800=14900ξ⨯⨯⨯（元）.方案2：设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则η的可能取值为0，200，300.摸到红球的概率121525C P C ==， 所以031233232381(0)()()()5555125P C C η==⋅⋅+⋅⋅=， 2232336(200)()55125P C η==⋅⋅=，3303238(300)()()55125P C η==⋅⋅=.η的分布列为数学期望81368()020030076.8125125125E η=⨯+⨯+⨯=（元）， 按照方案2奖励的总金额2=(28+260+312)76.814131.2ξ⨯⨯⨯=（元）， 由12ξξ>知，方案2投资较少. 【点睛】超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X 的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．22．（Ⅰ）10:04；（Ⅱ）答案见解析；（Ⅲ）819. 【分析】（Ⅰ）结合频率分布直方图，利用平均数公式求解.（Ⅱ）结合频率分布直方图，利用分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在[20,60)这一区间内的车辆数为(0.0050.015)20104+⨯⨯=，则X 的可能的取值为0，1，2，3，4，再分别求得相应的概率，列出分布列.（Ⅲ）由（1）得64μ=，再利用频率分布直方图求得σ，然后利用3σ原则求解. 【详解】（Ⅰ）这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：(300.005500.015700.020900.010)2064⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，即10∶04（Ⅱ）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在20，60这一区间内的车辆数， 即(0.0050.015)20104+⨯⨯=， 所以X 的可能的取值为0，1，2，3，4.所以()464101014C P X C ===，()31644108121C C P X C ===，()2264410327C C P X C ===， ()136********C C P X C ===，()4441014210C P X C ===.所以X 的分布列为：（Ⅲ）由（1）得，22222(3064)0.1(5064)0.3(7064)0.4(9064)0.2324σ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=车辆所以18σ=，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数也就是在46，100通过的车辆数，由()2~64,18T N ，得()(22)(641864218)0.818622P T P T P T μσμσμσμσ-<≤+-<≤+-≤≤+⨯=+=，所以估计在在9:46~10:40之间通过的车辆数为10000.8186819⨯≈. 【点睛】方法点睛：(1)求解离散型随机变量X 的分布列的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．23．（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，65. 【分析】(1) 根据调查结果数据直接填入22⨯列联表，并代入公式，计算出2k 的值，与独立性检验判断表比较作出判断.(2). 先计算经常运动且不肥胖的概率p 和变量X 的可能种数，判断随机变量X 服从二项分布，用二项分布概率公式计算，再利用分布列求期望. 【详解】 （1）2100(20164024) 6.93 6.63560404456K ⋅⨯-⨯==>⨯⨯⨯∴有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关； （2）经常运动且不肥胖的概率为：4021005= X 的所有可能取值为0，1，2，30312333272354(0)(),(1)()512555125P X C P X C =====⨯⨯=223335233628(2)(),(3)()551255125P X C P X C ==⨯===⨯=X 的分布列：。
(好题)高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建76光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为（ ）A ．1128B ．7128C ．21128D ．351282．某地区共有高二学生5000人，该批学生某次数学考试的成绩服从正态分布()260,8N ，则成绩在7684分的人数大概是（ ）附：()0.6827P Z μσμσ-<<+=，()220.9545P Z μσμσ-<<+=，()330.9973P Z μσμσ-<<+=.A ．107B ．679C ．2493D ．23863．随机变量X 的概率分布为()()()1,2,31aP X n n n n ===+，其中a 是常数，则()E aX =（ ）A ．3881B ．139C ．152243D ．52274．设103p <<，随机变量ξ的分布列如下： ξ1当p 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时，下列结论正确的是（ ） A ．()D ξ减小 B ．()D ξ增大 C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小5．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（ ）A ．38B ．1340C ．1345D ．346．先后抛掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为4x y +>，事件B 为x y ≠，则概率()|P B A =（ ）A ．45B ．56C ．1315D ．2157．已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（ ） A ．0.75B ．0.6C ．0.52D ．0.488．随机变量X 服从正态分布()()()210,12810X N P X m P X n σ->==，，≤≤，则12m n+的最小值为（ ）A ．3+B ．6+C ．3+D ．6+9．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件A 为4名同学所报项目各不相同”,事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则(|)P B A =（ ） A ．14B ．34C ．29D ．5910．将一枚质地均匀且各面分别有狗，猪，羊，马图案的正四面体玩具抛掷两次，设事件=A {两次掷的玩具底面图案不相同}，B ={两次掷的玩具底面图案至少出现一次小狗}，则()P B A =（ ）A ．712B ．512C ．12D ．111211．从装有大小形状完全相同的3个白球和7个红球的口袋内依次不放回地取出两个球，每次取一个球，在第一次取出的球是白球的条件下，第二次取出的球是红球的概率为（ ）A．715B．12C．710D．7912．某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数2222()xf x e-μ-σ=π⋅σ（）x∈R（）曲线如图所示，正态变量X在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%，则成绩X位于区间(52,68]的人数大约是（）A．997B．954C．683D．341二、填空题13．在一个不透明的摸奖箱中有五个分别标有1，2，3，4，5号码的大小相同的小球，现甲､乙､丙三个人依次参加摸奖活动，规定：每个人连续有放回地摸三次，若得到的三个球编号之和恰为4的倍数，则算作获奖，记获奖的人数为X，则X的数学期望为___________.14．设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行调查，则查得次品数的数学期望为__________.15．一个口袋中有7个大小相同的球，其中红球3个，黄球2个，绿球2个.现从该口袋中任取3个球，设取出红球的个数为ξ，则()Eξ=______.16．随机变量110,2X B⎛⎫⎪⎝⎭，变量204Y X=+，则()E Y=__________．17．设01P<<，若随机变量ξ的分布列是：则当P变化时，()Dξ的极大值是______.18．已知某随机变量X的分布列如下（,p q R∈）：且X 的数学期望()12E X =，那么X 的方差()D X =__________． 三、解答题19．某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为34，第二、第三种产品受欢迎的概率分别为p ，()q p q >，且不同种产品是否受欢迎相互独立，记ξ为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为：（2）求p ，q 的值； （3）求数学期望()E ξ.20．某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除了颜色外均相同. （1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记取到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；（3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取20次，取得几次红球的概率最大？（只需写出结论）21．某软件是一款自营生鲜平台以及提供配送服务的生活类APP .某机构为调查顾客对该软件的使用情况，在某地区随机抽取了100人，调查结果整理如下：（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用这款APP 的概率；（2）从被抽取的年龄在[50,70]且使用这款APP 的顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，用X 表示这2人中年龄在[50,60)的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望； （3）为鼓励居民使用，该机构拟对使用这款APP 的居民赠送1张5元的代金劵.若某区预计有6000人具有购物能力，试估计该机构至少应准备多少张代金券.22．学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A 、B 两个靶子进行射击，先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B 靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，如果连续命中两次则得5分．甲同学准备参赛，经过一定的训练，甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A 靶射击，命中的概率是23；向B靶射击，命中的概率为34．假设甲同学每次射击结果相互独立．（1）求甲同学恰好命中一次的概率；（2）求甲同学获得的总分X的分布列及数学期望．23．某学校工会积极组织学校教职工参与“日行万步”健身活动，规定每日行走不足8千步的人为“不健康生活方式者”，不少于14千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般健康生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校300名教职工的“日行万步”健身活动数据，统计出他们的日行步数(单位：千步，且均在[4,20]内)，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求被抽取的300名教职工日行步数的平均数(每组数据以区间的中点值为代表，结果四舍五入保留整数).（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数ξ服从正态分布()2,Nμσ，其中，μ为（1）中求得的平均数标准差σ的近似值为2，求该校被抽取的300名教职工中日行步数(14,18)ξ∈的人数(结果四舍五入保留整数).（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般健康生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元，求工会慰问奖励金额X的分布列和数学期望.附：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，则()0.6827Pμσξμσ-<+≈，(22)0.9545Pμσξμσ-<+≈，(33)0.9973Pμσξμσ-<+≈.24．某学校用“10分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽取16名，以茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（1）若教学满意度不低于9.5分，则称该生对教师的教学满意度为“极满意”．求从这16人中随机选取3人，至少有1人是“极满意”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校所有学生中(学生人数很多)任选3人，记X 表示抽到“极满意”的人数，求X 的分布列及数学期望．25．时值金秋十月，秋高气爽，我校一年一度的运动会拉开了序幕.为了增加运动会的趣味性，大会组委会决定增加一项射击比赛，比赛规则如下：向甲､乙两个靶进行射击，先向甲靶射击一次，命中得2分，没有命中得0分；再向乙靶射击两次，如果连续命中两次得3分，只命中一次得1分，一次也没有命中得0分.小华同学准备参赛，目前的水平是：向甲靶射击，命中的概率是35；向乙靶射击，命中的概率为23.假设小华同学每次射击的结果相互独立.（1）求小华同学恰好命中两次的概率； （2）求小华同学获得总分X 的分布列及数学期望.26．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有()|P A C 0.95=，()|0.95P A C =.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即()0.005P C =，试求()|P C A .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向右边跳动2次，由二项分布概率即可求解. 【详解】小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向左边跳动5次，向右边跳动2次，而向左或向右的概率均为12，则向右的次数服从二项分布，所以所求的概率为2527112122128P C ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：C. 【点睛】本题的解题关键是判断小球向右边跳动的次数服从二项分布.2．A解析：A【分析】由已知结合2σ与3σ原则求得P （76＜Z ＜84），乘以5000得答案． 【详解】由学生某次数学考试的成绩服从正态分布N （60，82），得μ＝60，σ＝8，(7684)(23)P Z P Z μσμσ∴<<=+<<+1[(33)(22)]2P Z P Z μσμσμσμσ=-<<+--<<+ 1(0.99730.9545)0.02142=-= ∴成绩在76～84分的人数大概是5000×0.0214＝107． 故选：A ． 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．3．D解析：D 【分析】根据裂项相消法以及概率的性质求出a ，再得出()E X ，最后由()()E aX aE X =得出答案. 【详解】()()11a a aP X n n n n n ===-++(1)(2)(3)1P X P X P X =+=+== 122334a a a a a a ∴-+-+-=，解得43a =则221(1),(2),(3)2369129a a a P X P X P X ========= 62113()1239999E X ∴=⨯+⨯+⨯=452()()392137E aX aE X ∴==⨯=故选：D 【点睛】本题主要考查了随机变量分布列的性质以及均值的性质，属于中档题.4．A解析：A 【分析】根据方差公式得出211()64D p ξ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质，即可得出答案. 【详解】122()01333E p p p ξ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222122()013333D p p p p ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--++-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯2212113964p p p ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭当p 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时，()D ξ∴减小 故选：A 【点睛】本题主要考查了求离散型随机变量的方差，涉及了二次函数性质的应用，属于中档题.5．B解析：B 【分析】由条件概率的定义()(|)()P A B P B A P A =，分别计算(),()P A B P A 即得解.【详解】 由题意5()9P A = 事件AB 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有223313⨯+⨯=个事件1313()9872P A B ==⨯由条件概率的定义：()13(|)()40P A B P B A P A ==故选：B 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.6．C解析：C 【分析】分别得到所有基本事件总数、4x y +>的基本事件个数、满足4x y +>且x y ≠的基本事件个数，根据古典概型概率公式计算可得()P AB 和()P A ；由条件概率公式计算可得结果. 【详解】先后抛掷骰子两次，正面朝上所得点数(),x y 的基本事件共有6636⨯=个 则4x y +≤的有()1,1、()1,2、()2,1、()2,2、()1,3、()3,1，共6个基本事件4x y ∴+>的基本事件共有36630-=个，其中x y =的有()3,3、()4,4、()5,5、()6,6，共4个∴满足4x y +>且x y ≠的基本事件个数为30426-=个()26133618P AB ∴==，()30153618P A == ()()()131318151518P AB P B A P A ∴=== 故选：C【点睛】本题考查条件概率的计算问题，涉及到古典概型概率问题的求解；关键是能够准确计算基本事件总数和满足题意的基本事件的个数.7．A解析：A 【分析】记事件:A 该元件使用寿命超过1年，记事件:B 该元件使用寿命超过2年，计算出()P A 和()P AB ，利用条件概率公式可求出所求事件的概率为()()()P AB P B A P A =.【详解】记事件:A 该元件使用寿命超过1年，记事件:B 该元件使用寿命超过2年， 则()0.8P A =，()()0.6P AB P B ==，因此，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为()()()0.60.750.8P AB P B A P A ===，故选A. 【点睛】本题考查条件概率的计算，解题时要弄清楚两个事件的关系，并结合条件概率公式进行计算，考查分析问题和计算能力，属于中等题.8．D解析：D 【分析】利用正态密度曲线的对称性得出12m n +=，再将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后可利用基本不等式求出12m n+的最小值． 【详解】 由于()210,XN σ，由正态密度曲线的对称性可知，()()128P X P X m >=<=，所以，()()188102P X P X <+≤≤=，即12m n +=，221m n ∴+=， 由基本不等式可得()1212422266m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭6=， 当且仅当()420,0m n m n n m=>>，即当n =时，等号成立， 因此，12m n +的最小值为6+，故选D. 【点睛】本题考查正态密度概率以及利用基本不等式求最值，解题关键在于利用正态密度曲线的对称性得出定值，以及对所求代数式进行配凑，以便利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题．9．A解析：A 【分析】确定事件AB ，利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，再利用条件概型的概率公式可计算出()P B A 的值. 【详解】事件AB 为“4名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”，则()3344A P AB =，()4444A P A =，()()()3434444144P AB A P B A P A A ∴==⋅=，故选A. 【点睛】本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题．10．C解析：C 【分析】利用条件概率公式得到答案. 【详解】336()1616P AB +==412()11616P A =-= ()()1()2P AB P B A P A == 故答案选C 【点睛】本题考查了条件概率的计算，意在考查学生的计算能力.11．D解析：D 【分析】运用条件概率计算公式即可求出结果 【详解】令事件A 为第一次取出的球是白球，事件B 为第二次取出的球是红球，则根据题目要求得()()()377109|3910P AB P B A P A ⨯===， 故选D 【点睛】本题考查了条件概率，只需运用条件概率的公式分别计算出事件概率即可，较为基础．12．C解析：C 【解析】分析：先由图得,μσ，再根据成绩X 位于区间(52,68]的概率确定人数.详解：由图得8μσ=== 因为60852,60868-=+=，所以成绩X 位于区间(52,68]的概率是68.3%， 对应人数为68.3%1000683⨯=， 选C.点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.二、填空题13．【分析】由题意可知抽得三球编号和为4812三种情况的基本事件有31种而总事件有125种即三个球编号之和恰为4的倍数的概率为则有根据二项分布的期望公式求期望即可【详解】三个球编号之和恰为4的倍数的基本 解析：93125【分析】由题意可知抽得三球编号和为4,8,12三种情况的基本事件有31种，而总事件有125种，即三个球编号之和恰为4的倍数的概率为31125，则有31~(3,)125X B ，根据二项分布的期望公式求期望即可. 【详解】三个球编号之和恰为4的倍数的基本事件：(1,1,2)有3种、(1,2,5)有6种、(1,3,4)有6种、(2,2,4)有3种、(2,3,3)有3种、(2,5,5)有3种、(3,4,5)有6种、(4,4,4)有1种，而总共有555125⨯⨯=， ∴三个球编号之和恰为4的倍数的概率为31125，由题意31~(3,)125X B ， ∴X 的数学期望：3193()3125125E X =⨯=. 故答案为：93125. 【点睛】关键点点睛：根据编号和分组得到三个球编号之和恰为4的倍数的基本事件数，进而确定其概率，由人数为X 服从31(3,)125B 的二项分布，求期望. 14．【分析】设抽得次品数为列出随机变量的分布列进而可求得的值【详解】设抽得次品数为则随机变量的可能取值有则所以随机变量的分布列如下表所示： 所以故答案为：【点睛】方法点睛：求离散型随机解析：35【分析】设抽得次品数为X ，列出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值. 【详解】设抽得次品数为X ，则随机变量X 的可能取值有0、1、2，则()272107015C P X C ===，()11372107115C C P X C ===，()232101215C P X C ===， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=.故答案为：35. 【点睛】方法点睛：求离散型随机变量均值与方差的基本方法： （1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．（2）已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y aX b =+的均值、方差，可直接用X 的均值、方差的性质求解；（3）如果所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），利用它们的均值、方差公式求解．15．【分析】先确定随机变量的取值再分别计算对应的概率最后利用期望的计算公式即得结果【详解】依题意设取出红球的个数为则而口袋中有红球3个其他球4个故故故答案为：【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的期望的步解析：97【分析】先确定随机变量的取值0,1,2,3ξ=，再分别计算对应的概率，最后利用期望的计算公式即得结果. 【详解】依题意，设取出红球的个数为ξ，则0,1,2,3ξ=，而口袋中有红球3个，其他球4个，故()34374035C P C ξ===，()12343718135C C P C ξ===，()21343712235C C P C ξ===，()33375313C C P ξ===，故()418121459012335353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==. 故答案为：97. 【点睛】 方法点睛：求离散型随机变量的期望的步骤：（1）先确定随机变量的取值12,,...,n x x x ξ=；（2）再计算每个变量所对应的概率(),1,2,3,...,i i P x p i n ξ===； （3）利用公式()112233...n n E x p x p x p x p ξ=++++，计算得到期望即可.16．【解析】分析：先根据二项分布得再根据得详解：因为所以因为所以点睛：二项分布)则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式 解析：40【解析】分析：先根据二项分布得()E X ,再根据204Y X =+，得().E Y 详解：因为1~10,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1()1052E X =⨯=， 因为204Y X =+，所以()204()202040.E Y E X =+=+= 点睛：二项分布(,)XB n p )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()E X np =.17．【解析】分析:先求出再求利用二次函数的图像求的极大值详解:由题得所以所以当时的极大值是故答案为点睛：（1）本题主要考查离散型随机变量的方差的计算意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力(2) 解析：12【解析】分析:先求出()E ξ,再求()D ξ,利用二次函数的图像求()D ξ的极大值. 详解:由题得113()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=-, 所以2222311111()()()()(01)2222224p p D p p p p p p ξ-=-+-++=-++<< 所以当12p =时,() D ξ的极大值是12. 故答案为12. 点睛：（1）本题主要考查离散型随机变量的方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么D ξ＝211()x E p ξ-⋅＋222()x E p ξ-⋅＋…＋2()n n x E p ξ-⋅18．【解析】根据题意可得解得故的方差解析：34【解析】根据题意可得112p q p q +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得34p =，14q =，故X 的方差()22131131124244D X ⎛⎫⎛⎫=-⨯+--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．三、解答题19．（1）1920；（2）23p =，25q =；（3）10960. 【分析】（1）根据对立事件的概率公式计算可得结果； （2）由1(0)20P ξ==与1(3)5P ξ==联立可解得结果； （3）求出,a b 后，根据数学期望公式可求得结果. 【详解】（1）设事件i A 表示“该公司第i 种产品受欢迎”，1i =，2，3.由题意可知()134P A =，()2P A p =，()3P A q =. 由于事件“该公司至少有一种产品受欢迎”与事件“0ξ=”是对立的，所以该公司至少有一种产品受欢迎的概率是()1191012020P ξ-==-=. （2）由题意可知，()()()()12311011420P P A A A p q ξ===--=， 且()()12331345P P A A A pq ξ====， 所以整理得，415pq =，且1615p q +=，结合p q >解得23p =，25q =.（3）由题意可知，()()()()1231231231a P P A A A P A A A P A A A ξ===++()()()()3111111444p q p q p q =--+-+- 313123112435435435=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 1760=， ()()()()21013b P P P P ξξξξ===-=-=-=1171120605=--- 715=， 因此，()()()()00112233E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+⨯=+⨯=1771012360155=+⨯+⨯+⨯10960=. 【点睛】关键点点睛：利用独立事件的乘法公式求出,a b 是解题关键. 20．（1）12；（2）分布列见解析；（3）15次. 【分析】（1）利用组合数公式和古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）由题意可知，34,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量ξ的分布列； （3）根据独立重复试验的概率公式可得出结论. 【详解】（1）一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球，相当于从3个红球中摸出2个红球，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为232412C P C ==；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，则每次摸到红球的概率均为34， 这样摸球4次，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以，()4110=4256P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()3143131=4464P C ξ⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，()22243127244128P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()334312734464P C ξ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，()438144256P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭. 因此，随机变量ξ的分布列如下表所示：【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 21．（1）750；（2）分布列见解析，43；（3）2820张.【分析】（1）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有2+12＝14人，由概率公式即可得到所求值；（2）X 所有的可能取值为0，1，2，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望； （3）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有47人，计算可得所求值． 【详解】（1）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30， 50)且未使用这款APP 的共有2+12=14人，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30， 50)且未使用这款APP 的概率为14710050P ==． （2）X 的所有可能取值为0，1，2，则()22261015C P X C ===， ()1142268115C C P X C ===， ()24266215C P X C === .所以X 的分布列为()18640121515153E X =⨯+⨯+⨯=. （3）在随机抽取的100名顾客中，使用自助结算机的共有5101884247+++++=人， 所以该机构至少应准备张代金券的张数估计为:4760002820100⨯=张. 【点睛】本题考查统计表，随机变量X 的分布列及数学期望，以及古典概型，求X 的分布列，关键点是求出X 所有可能取值对应的概率可得，是一道综合题． 22．（1）16；（2）分布列见解析；期望为20348． 【分析】（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C ，“甲射击命中A 靶”为事件D ，“甲第一次射击B 靶命中”为事件E ，“甲第二次射击B 靶命中”为事件F ，然后利用互斥事件概率的求解方法求解即可.（2）随机变量X 的可能取值为：0，1，2，3，5，6，求出概率，列出分布列，然后求解期望. 【详解】（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C ，“甲射击命中A 靶”为事件D ，“甲第一次射击B 靶命中”为事件E ，“甲第二次射击B 靶命中”为事件F ，由题意可知()23P D =，()()34P E P F ==．由于C DEF DEF DEF =++，()()21111313134434413446P C P DEF DEF DEF =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）随机变量X 的可能取值为：0，1，2，3，5，6．()1111034448P X ==⨯⨯=()2111134424P X ==⨯⨯=()12113123448P X C ==⨯⨯⨯=()12231334144P X C ==⨯⨯⨯=()1333534416P X ==⨯⨯=()233363448P X ==⨯⨯=()48E X =． 【点睛】 关键点点睛：古典概型及其概率计算公式的应用，求离散型随机变量的分布列及其期望的求法，解题的关键为正确求出X =0，1，2，3，5，6，所对应的概率. 23．（1）12；（2）47；（3）分布列答案见解析，数学期望：216. 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数求解. （2）根据()2~12,2N ξ，由(1418)P ξ<<1[(618)(1014)]2P P ξξ=<<-<<求得概率，然后再乘以300求解.（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1，易得X 的可能取值为0，100，200，300，400，分别求得其相应的概率，列出分布例，再求期望. 【详解】 （1）依题意得0.0150.0170.0890.5811x =⨯+⨯+⨯+⨯0.22130.06150.03170.011911.6812+⨯+⨯+⨯+⨯=≈.（2）因为()2~12,2N ξ，所以(1418)(1221232)P P ξξ<<=+<<+⨯，1[(618)(1014)]0.15732P P ξξ=<<-<<≈ 所以走路步数(14,18)ξ∈的总人数为3000.157347⨯≈.（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1. 由题意知X 的可能取值为0，100，200，300，400.2(0)0.020.0004P X ===；12(100)0.020.880.0352P X C ==⨯⨯=； 122(200)0.020.10.880.7784P X C ==⨯⨯+=；12(300)0.10.880.176P X C ==⨯⨯=；2(400)0.10.01P X ===.所以X 的分布列为.【点睛】方法点睛：(1)求解离散型随机变量X 的分布列的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识． 24．（1）1728；（2）分布列见解析，()34E X =. 【分析】（1）先求出抽出的3人都不满意的概率，再利用对立事件的概率公式即可求解； （2）X 的所有可能取值为0,1,2,3则13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，利用二项分布的概率公式求出每一个X 的取值对应的概率，即可列出X 的分布列求出数学期望.【详解】（1）16人中满意的有4人，不满意的有12人，设i A 表示所抽取的3人中有i 个人是“极满意”，至少有1人是“极满意”记为事件A ，则抽出的3人都不满意的概率为()31203161128C P A C ==，所以()()01117112828P A P A =-=-=， （2）X 的所有可能取值为0,1,2,316人中满意的有4人，不满意的有12人，随机抽取一人极满意的概率为41164=， 所以13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()33270464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()213132714464P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， ()22313924464P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()333113464P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.所以X 的分布列为所以()1236464644E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】 思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算） 25．（1）49；（2）分布列答案见解析，数学期望：13445. 【分析】（1）记：“小华恰好命中两次”为事件A ，“小华射击甲靶命中”为事件B ，“小华第一次射击乙靶命中”为事件C ，“小华第二次射击乙靶命中”为事件D ， 则有A BCD BCD BCD =++，由互斥事件与独立事件的概率公式可得；（2）随机变量X 的取值可能为0,1,2,3,5，求出它们的概率可得分布列，由期望公式可计算出期望．【详解】解：（1）记：“小华恰好命中两次”为事件A ，“小华射击甲靶命中”为事件B ，“小华第一次射击乙靶命中”为事件C ，“小华第二次射击乙靶命中”为事件D ， 由题意可知3()5P B =，2()()3P C P D ==， 由于A BCD BCD BCD =++， ∴3213122224()()5335335339P A P BCD BCD BCD =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故甲同学恰好命中一次的概率为49. （2）X =0，1，2，3，5． 2212(0)5345P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，122218(1)53345P X C ==⨯⨯⨯=， 2311(2)5315P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，123212224(3)5335339P X C ==⨯⨯⨯+⨯⨯=， 2324(5)5315P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()0123545451591545E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】 本题考查互斥事件与相互独立事件的概率公式，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题关键是把事件“小华恰好命中两次”拆成一些互斥事件的和，确定随机变量的可能值并计算出概率．26．19218【分析】根据条件概率和全概率公式可求得结果.【详解】因为()|0.95P A C =，所以()|1P A C =-()|0.05P A C =，。
高中数学随机变量及其分布讲义及练习
随机变量及其分布要求层次重难点取有限值的离散型随机变量及其分布列C⑴理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．⑵理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．超几何分布A（一） 知识内容1．运用计数原理，求随机事件的概率，为求随机变量的分布列打下基础．2．涉及到的主要是古典概型的概率求法，与概率初步相承接．对于直接列出基本事件空间求概率的题型不再收集，属于概率初步中的内容．（二）典例分析：【例1】 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，知识框架例题精讲高考要求离散型随机变量二点分布超几何分布 二项分布离散型随机变量的分布列板块一：随机事件的概率随机变量及其分布把乙猜的数字记为b，且{0129}，，，，，，若||1a b∈-≤，则称甲乙“心有灵犀”．现任意a b找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为．【例2】从装有3个白球，4个红球的箱子中，把球一个个取出来，到第五个恰好白球全部取出来的概率是_____．【例3】从正二十边形的对角线中任取一条，则其与此正二十边形的所有边都不平行的概率为_____．【例4】某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参加某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是______．【例5】（09上海春）一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘．若每敲1次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey”的概率为______．【例6】6女，4男中随机选出3位参加测验．每位女同学能通过测验的概率为0.8，每位男同学能通过测验的概率为0.6．试求：⑴选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；⑵10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．【例7】（06江西）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a p，的值分别为（）A ．510521a p ==， B ．410521a p ==， C ．521021a p ==， D ．421021a p ==，【例8】 （07四川）已知一组抛物线2112y ax bx =++，其中a 为2468，，，中任取的一个数，b 为1357，，，中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线1x =交点处的切线相互平行的概率是（ ）A ．112B ．760C ．625D ．516【例9】 （08湖南）对有(4)n n ≥个元素的总体{}12n ，，，进行抽样，先将总体分成两个子总体{}12m ，，，和{}12m m n ++，，，（m 是给定的正整数，且22m n -≤≤），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P = ；所有(1)ij P i j n <≤≤的和等于 ．【例10】 （2009江西10）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（ ）A ．3181B ．3381C ．4881D ．5081【例11】 （2009重庆6）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）A ．891B ．2591C ．4891D ．6091【例12】 （2009安徽）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）A ．175B ．275C ．375D ．475【例13】 （2009安徽10）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于（ ）A ．1B ．12C ．13D ．0【例14】 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为12318，，，，的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为_______．【例15】 右图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（ ）A ．445B ．136C ．415D ．815【例16】 已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为（ ）A ．2140B ．1740C ．310D ．7120【例17】（2006上海）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是______（结果用分数表示）．【例18】某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（）A．120B．110C．25D．35【例19】从数字12345，，，，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）A．19125B．18125C．16125D．13125【例20】（2007年全国II卷文）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A=．⑴求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；⑵若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B．【例21】（2006年浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球．由甲，乙两袋中各任取2个球．⑴若3n=，求取到的4个球全是红球的概率；⑵若取到的4个球中至少有2个红球的概率为34，求n．【例22】 （2009江苏23）对于正整数2n ≥，用n T 表示关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的有序数组()a b ，的组数，其中{}12a b n ∈，，，，（a 和b 可以相等）；对于随机选取的{}12a b n ∈，，，，（a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的概率．⑴求2n T 及2n P ；⑵求证：对任意正整数2n ≥，有11n P n>-．【例23】 某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是12，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为1233，；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为3255，；记 第(*)n n ∈N 次按下按钮后出现红球的概率为n P ． ⑴求2P 的值；⑵当2n n ∈N ，≥时，求用1n P -表示n P 的表达式； ⑶求n P 关于n 的表达式．（一） 知识内容1．离散型随机变量如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示． 如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列将离散型随机变量X 所有可能的取值i x 与该取值对应的概率i p (1,2,,)i n =列表表示：X 1x 2x … i x … n x P1p2p…i p…n pX 的分布列．板块二：离散型随机变量及其分布列（二）典例分析：【例1】 以下随机变量中，不是离散型随机变量的是：⑴ 某城市一天之内发生的火警次数X ；⑵ 某城市一天之内的温度Y ．【例2】 写出下列各随机变量可能的取值．⑴ 小明要去北京旅游，可能乘火车、汽车，也可能乘飞机，他的旅费分别为100元、260元 和600 元，记他的旅费为X ；⑵ 正方体的骰子，各面分别刻着123456，，，，，，随意掷两次，所得的点数之和X ．【例3】 若()1P X n a =-≤，()1m P X b =-≥，其中m n <，则()P m X n ≤≤等于（ ）A ．(1)(1)a b --B ．1(1)a b --C ．1()a b -+D ．1(1)b a --【例4】 甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至有人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且每次不受其他次投篮结果的影响，甲投篮的次数为X ，若甲先投，则()P X k ==_________．【例5】 某12人的兴趣小组中，有5名三好生，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中三好生的人数，则(3)P X ==________．【例6】 设随机变量的分布列如下：k【例7】 设随机变量X 等可能的取值123n ，，，，，如果(4)0.3P X <=，那么（ ） A ．3n = B ．4n = C ．9n = D ．10n =【例8】 设随机变量X 的概率分布列为2()1233iP X i a i ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，，则a 的值是（ ） A ．1738 B ．2738 C ．1719 D ．2719【例9】 已知随机变量X 的分布列为()(123)2iP X i i a===，，，则(2)P X == ．【例10】 设随机变量X 的概率分布是()5kaP X k ==，a 为常数，123k =，，，则a =（ ） A ．2531 B ．3125 C ．12531 D ．31125【例11】 设随机变量ξ所有可能取值为1234，，，，且已知概率()P k ξ=与k 成正比，求ξ的分布．【例12】 设随机变量X 的概率分布列为()1262k cP X k k ===，，，，，其中c 为常数，则(2)P X ≤的值为（ ）A ．34B ．1621C ．6364D ．6463【例13】 设随机变量X 的分布列为()()123k P X k k n λ===，，，，，，求λ的取值．【例14】 已知(12)(1)k p k k k λ==+，，为离散型随机变量的概率分布，求λ的取值．【例15】 随机变量X 的分布列()(1234)(1)p P X k k k k ===+，，，，p 为常数，则1522P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭（ ）A ．23B ．34C ．45D ．56【例16】（2008年北京卷理）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．⑴求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；⑵求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；⑶设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．【例17】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，求：⑴记甲击中目标的次数为ξ，ξ的概率分布及数学期望；⑵乙至多击中目标2次的概率；⑶甲恰好比乙多击中目标2次的概率．【例18】甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记国徽面（记为正面）朝上的次数为随机变量X；乙用一枚硬币掷2次，记国徽面（记为正面）朝上的次数为随机变量Y．⑴求随机变量X与Y的分布列；⑵求甲得到的正面朝上的次数不少于1的概率．⑶求甲与乙得到的正面朝上的次数之和为3的概率；⑷求甲得到的正面朝上的次数大于乙的概率．【例19】一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得1-分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列，并求出所得分数不为0的概率．【例20】一袋中装有编号为123456，，，，，的6个大小相同的球，现从中随机取出3个球，以X表示取出的最大号码．⑴求X的概率分布；⑵求4X 的概率．【例21】袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止所需要的取球次数．⑴求袋中所有的白球的个数；⑵求随机变量X的概率分布；⑶求甲取到白球的概率．【例22】一个袋中有5个球，编号为12345，，，，，在其中同时取3个球，以X表示取出的3个球中的最大号码，试求X的概率分布列以及最大号码不小于4的概率．（一） 知识内容1．如果随机变量X 的分布列为 X 1 0P p q其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布． X 1 0P 0.8 0.2两点分布又称01-为伯努利分布．2．超几何分布一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C mn m M N M nNP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．（二）典例分析：【例23】 某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有两人会说日语的概率为____．【例24】 在15个村庄中有6个村庄交通不便，现从中任意选取10个村庄，其中有X 个村庄交通不便，下列概率中等于46691015C C C 的是（ ） A ．(4)P X = B ．(4)P X ≤ C ．(6)P X =D ．(6)P X ≤板块三：二点分布与超几何分布【例25】4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选三人中女生人数，则所选三人中女生人数1ξ≤的概率为（）．A．15B．25C．35D．45【例26】袋中装有2个5分硬币，3个二分硬币，5个一分硬币，任意抓取3个，则总面值超过1角的概率是（）A．115B．215C．1315D．1415【例27】从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片中任取2张，则两数之和是奇数的概率是______【例28】从一副扑克（无王牌）中随意抽取3张，其中至少有一张是黑桃的概率_______（保留四位有效数字）【例29】袋中有12个大小规格相同的球，其中含有2个红球，从中任取3个球，求取出的3个球中红球个数X的概率分布．【例30】袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率．⑴摸出2个或3个白球；⑵至少摸出一个黑球．【例31】一批产品共100件，其中5件是废品，任抽10件进行检查，求下列事件的概率．⑴10件产品中至多有一件废品；⑵10件产品中至少有一件废品．【例32】（2009四川文）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡），某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客，在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡．⑴在该团中随即采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；⑵在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．【例33】已知10件产品中有3件是次品．⑴任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；⑵为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？【例34】人类血型有A型，B型，AB型，O型，四种常见血型，现在有100人，其中是A型血的有40人，B型血的有20人，AB型血的有10人，O型血的有30人，从这100人中随机选出两人，问血型不同的概率是多少？【例35】交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，所得奖励是所抽2球的钱数之和，求摸奖人至少不赔的概率．【例36】一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，从中任取4个球，⑴红球的个数不比白球少的概率是多少？⑵若取一个红球记2分，取一个白球记1分，使总分不少于7分的概率是多少？【例37】已知甲盒内有大小相同的1个红球、1个绿球和2个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球、1个绿球和3个黑球，现从甲乙两个盒子内各任取2球．⑴求取出的4个球中恰有1个红球的概率；⑵求取出的4个球中红球的个数不超过2个的概率．。
高中数学第二章《随机变量及其分布》测试题新人教A版选修
高中新课标选修〔2-3〕第二章随机变量及其分布测试题一、选择题1．将一枚均匀骰子掷两次，以下选项可作为此次试验的随机变量的是〔〕Ａ．第一次出现的点数Ｂ．第二次出现的点数Ｃ．两次出现点数之和Ｄ．两次出现相同点的种数答案：C2．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么为〔〕Ａ．恰有1只坏的概率Ｂ．恰有2只好的概率Ｃ．4只全是好的概率Ｄ．至多2只坏的概率答案：B3．某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，设X表示击中目标的次数，那么等于〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：A4．采用简单随机抽样从个体为6的总体中抽取一个容量为3的样本，那么对于总体中指定的个体a，前两次没被抽到，第三次恰好被抽到的概率为〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：D5．设，那么等于〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ6．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击〔各发射一枚导弹〕，由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为，，，假设至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，那么目标被摧毁的概率为〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ7．设，那么落在内的概率是〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ8．设随机变量X的分布列如下表，且，那么〔〕0 12 30 0．1 ．1Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ9．任意确定四个日期，设 X表示取到四个日期中星期天的个数，那么DX等于〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｂ10．有5支竹签，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3支，以X表示取出竹签的最大号码，那么EX的值为〔〕Ａ．4 Ｂ．Ｃ．Ｄ．5答案：Ｂ11．袋子里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15支，白色手套10只，现从中随机地取出只手套，如果2只是同色手套那么甲获胜，2只手套颜色不同那么乙获胜．试问：甲、乙获胜的时机是〔Ａ．甲多Ｂ．乙多Ｃ．一样多Ｄ．不确定 2〕答案：Ｃ12．节日期间，某种鲜花进货价是每束元，销售价每束理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量5元；节日卖不出去的鲜花以每束元价格处X服从如下表所示的分布：2030405000000000．20．35．30．15假设进这种鲜花500束，那么利润的均值为〔〕Ａ．706元Ｂ．690元Ｃ．754元Ｄ．720元答案：Ａ二、填空题13．事件相互独立，假设，那么．答案：14．随机量X 等可能地取1，2，3，⋯，，假设，等于．n答案：15．在4次独立重复中，随机事件A恰好生1次的概率不大于其恰好生两次的概率，事件A在一次中生的概率P的取范是．答案：16．某公司有5万元金用于投开目．如果成功，一年后可利12%；一旦失，一年后将失全部金的50%．下表是去200例似目开的施果．那么该公司一年后估计可获收益的均值是元．答案：4760三、解答题17．掷3枚均匀硬币一次，求正面个数与反面个数之差X的分布列，并求其均值和方差．解：，，1，3，且；，；，1 3.18．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求1〕恰有1人译出密码的概率；2〕假设到达译出密码的概率为，至少需要多少乙这样的人．解：设“甲译出密码〞为事件A；“乙译出密码〞为事件B，那么．1〕．（2〕个乙这样的人都译不出密码的概率为．．解得．到达译出密码的概率为，至少需要17人.19．生产工艺工程中产品的尺寸偏差，如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4mm的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于的概率．〔精确到〕．解：由题意，求得．设表示5件产品中合格品个数，那么．．故生产的5件产品的合格率不小于80%的概率为.20．甲、乙、丙三名射击选手，各射击一次，击中目标的概率如下表所示：选甲乙丙手概率假设三人各射击一次，恰有k名选手击中目标的概率记为．(1) 求X的分布列；〔2〕假设击中目标人数的均值是2，求P的值．解：〔1〕；，，，的分布列为0 1232〕，，．21．张华同学上学途中必须经过四个交通岗，其中在岗遇到红灯的概率均为，在岗遇到红灯的概率均为．假设他在4个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，X表示他遇到红灯的次数．〔1〕假设，就会迟到，求张华不迟到的概率；〔2〕求EX．解：〔1〕；．故张华不迟到的概率为．〔2〕的分布列为01 234.22．某种工程的射击比赛，开始时在距目标100m处射击，如果命中记3分，且停止射击；假设第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150m处，这时命中记2分，且停止射击；假设第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200m处，假设第三次命中那么记1分，并停止射击；假设三次都未命中，那么记 0分．射手甲在100m处击中目标的概率为，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．1〕求这位射手在三次射击中命中目标的概率；（2〕求这位射手在这次射击比赛中得分的均值．解：记第一、二、三次射击命中目标分别为事件，三次都未击中目标为事件D，依题意，设在m处击中目标的概率为，那么，且，，即，，，．〔1〕由于各次射击都是相互独立的，∴该射手在三次射击中击中目标的概率．〔2〕依题意，设射手甲得分为X，那么，，，，．。
(常考题)人教版高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试(有答案解析)(3)
一、选择题1．设0a >，若随机变量ξ的分布列如下：A ．()D ξB ．(||)D ξC ．(21)D ξ-D ．(2||1)D ξ+2．设随机变量(),1N ξμ，函数()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，则()01P ξ<≤=（ ）附：若()2,N ξμσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+≈，()220.9544P X μσμσ-<≤+≈.A ．0.1587B ．0.1359C ．0.2718D ．0.34133．抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件A 为“两个点数不同”，事件B 为“两个点数中最大点数为4”，则()P B A =（ ）A ．112B ．16C ．15D ．564．若随机变量X 的分布列为则X 的数学期望()E X =（ ） A ．2a b +B ．2+a bC ．2D ．35．某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为（ ） A ．0.495%B ．0.940 5%C ．0.999 5%D ．0.99%6．已知随机变量X 的分布列表如下表，且随机变量23Y X =+，则Y 的期望是（ ）A ．73B ．53C ．13D ．167．随机变量X 的分布列如下：X123Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则D X 的最大值为（ ） A ．29B ．59C ．34D ．238．从一个装有3个白球，3个红球和3个蓝球的袋中随机抓取3个球，记事件A 为“抓取的球中存在两个球同色”，事件B 为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率()|P B A =（ ） A ．37B ．1237C ．1219D ．16219．已知随机变量()2,1XN ，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ） 附：若随机变量()2,N ξμσ，则()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，()220.9544P μσξμσ-≤≤+=.A ．0.1359B ．0.7282C ．0.6587D ．0.864110．随机变量X 服从正态分布()()()210,12810X N P X m P X n σ->==，，≤≤，则12m n+的最小值为（ ） A ．342+B ．622+C ．322+D ．642+11．已知某随机变量X 的概率密度函数为0,0,(),0,xx P x e x -≤⎧=⎨>⎩则随机变量X 落在区间(1,3)内在概率为( )A ．21e e+B ．231e e-C ．2e e -D ．2e e +12．已知一组数据12,,,n x x x 的平均数3x =，方差24s =，则数据1232,32,,32n x x x +++的平均数、方差分别为（ ）A ．9,12B ．9,36C ．11,12D ．11,36二、填空题13．已知随机变量X 的概率分布为()()2,1,2,3aP X n a R n n n==∈=+，则()D X =______.14．世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”．通俗点说就是存在A 传B ，B 又传C ，C 又传D ，这就是“持续人传人”．那么A 、B 、C 就会被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.7，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大________．15．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率(A |B)P 等于______. 16．下列说法正确的是________①设回归方程为ˆ33yx =-，则变量x 增加一个单位时，y 平均增加3个单位； ②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对越接近于1； ③随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3316P X ==； ④若()03f x '=-，则()()000lim6x f x x f x x x∆→+∆--∆=-∆；⑤()()2323E X E X +=+，()()232D X D X += 17．已知某随机变量X 的分布列如下（,p q ∈R ）：且X 的数学期望1()2E X =，那么X 的方差()D X =__________． 18．给出如下四个结论：①若随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)且P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤－2)＝0.16；②∃a ∈R ＋，使得f (x )＝21xx x e --+－a 有三个零点；③设线性回归方程为y ＝3－2x ，则变量x 每增加一个单位时，y 平均减少2个单位； ④若命题p ：∀x ∈R ，e x >x ＋1，则¬p 为真命题；以上四个结论正确的是________．(把你认为正确的结论都填上)三、解答题19．上饶市正在创建全国文明城市，我们简称创文.全国文明城市是极具价值的无形资产和重要城市品牌.创文期间，将有创文检查人员到学校随机找学生进行提问，被提问者之间回答问题相互独立、互不影响.对每位学生提问时，创文检查人员将从规定的5个问题中随机抽取2个问题进行提问.某日，创文检查人员来到A 校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只能答对这规定5个问题中的3个，乙能答对其中的4个，而丙能全部答对这5个问题.计一个问题答对加10分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分60分，达到50分以上（含50分）时该学校为优秀. （1）求甲、乙两位同学共答对2个问题的概率；（2）设随机变量X 表示甲、乙、丙三位同学共答对的问题总数，求X 的分布列及数学期望，并求出A 校为优秀的概率.20．某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务，付款方式分为四个档次：1期、2期、3期和4期.记随机变量1x 、2x 分别表示顾客购买H 型手机和V 型手机的分期付款期数，根据以往销售数据统计，1x 和2x 的分布列如下表所示：率；（2）电商平台销售一部V 型手机，若顾客选择分1期付款，则电商平台获得的利润为300元；若顾客选择分2期付款，则电商平台获得的利润为350元；若顾客选择分3期付款，则电商平台获得的利润为400元；若顾客选择分4期付款，则电商平台获得的利润为450元.记电商平台销售两部V 型手机所获得的利润为X （单位：元），求X 的分布列； （3）比较()1D x 与()2D x 的大小（只需写出结论）.21．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩ξ近似服从正态分布()70,100N ．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名．（1）此次参赛的学生总数约为多少人?（2）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，则设奖的分数线约为多少分? 说明：对任何一个正态分布()2~,X Nμσ来说，通过1X Z μσ-=转化为标准正态分布()~0,1Z N ，从而查标准正态分布表得到()()1P X X Z <=Φ． 参考数据：可供查阅的（部分）标准正态分布表()Z Φ1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.97672.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.985722．已知一个袋中装有3个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同.（1）每次从袋中取一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数ξ的分布列和数学期望()E ξ；（2）每次从袋中取一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数η的分布列、数学期望()E η和方差()D η.23．某学校用“10分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽取16名，以茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（1）若教学满意度不低于9.5分，则称该生对教师的教学满意度为“极满意”．求从这16人中随机选取3人，至少有1人是“极满意”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校所有学生中(学生人数很多)任选3人，记X 表示抽到“极满意”的人数，求X 的分布列及数学期望．24．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为n X ，恰有2个黑球的概率为n p ，恰有1个黑球的概率为n q . （1）求12,p p 和12,q q ；（2）求2n n p q +与112n n p q --+1的递推关系式和n X 的数学期望()n E X (用n 表示) . 25．某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5),[5,6]共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）.（1）从甲班每天学习数学的平均时间在[0,2)的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0,1)范围内的概率；（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.26．某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.（1）通过分析可以认为考生初试成绩X 服从正态分布2(,)N μδ，其中64μ=，2169δ=，试估计初试成绩不低于90分的人数；（2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为34，后两题答对的概率均为23，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为Y ，求Y 的分布列及数学期望.附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μδ，则()0.6826P X μδμδ-<<+=，()220.9544P X μδμδ-<<+=，()330.9974P X μδμδ-<<+=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由概率分布列求出参数a ，然后求出均值和方差再比较． 【详解】由题意231a a a ++=，16a =，()11151026326E ξ=-⨯+⨯+⨯=，1117()1026326E ξ=⨯+⨯+⨯=，()D ξ=222151515(1)(0)(2)663626⨯--+⨯-+⨯-=5336， 222171717()(1)(0)(2)663626D ξ=⨯-+⨯-+⨯-=2936．()()1D D ξξ>>，5353(21)4369D ξ-=⨯=，2929(21)4369D ξ+=⨯=． 其中(21)D ξ-最大． 故选：C ． 【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量X 的期望、方差，求(),aX b a b R +∈的期望与方差，利用期望和方差的性质（()()E aX b aE X b +=+，()()2D aX b a D X +=）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.2．B解析：B 【分析】首先根据函数()f x 没有零点求出ξ的取值范围，再根据()f x 没有零点的概率是0.5，得到(1)0.5P ξ<-=，再根据正态曲线的性质得到μ的值；然后再根据正态曲线的对称性求出()01P ξ<≤的值即可.【详解】 解：函数()22f x x x ξ=+-没有零点，∴二次方程220x x ξ+-=无实根，44()0ξ∴∆=--<，1ξ∴<-，又()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，(1)0.5P ξ∴<-=，由正态曲线的对称性知：1μ=-，()1,1N ξ∴-，1,1μσ∴=-=，2,0,23,21μσμσμσμσ∴-=-+=-=-+=， (20)0.6826P ξ∴-<<=，(31)0.9544P ξ-<<=，[][]11(01)(31)(20)0.95440.68260.135922P P P ξξξ∴<≤=-<<--<<=-=， 故选：B.【点睛】本题主要考查正态分布的曲线的性质，二次方程的解等知识点，考查运算求解能力；解本题的方法是根据()f x 没有零点得到1ξ<-，再结合正态分布的图像的对称性得到μ值，然后再利用正态分布函数图像的性质求解即可；解题的关键点是要熟知正态分布函数图像的对称性.3．C解析：C 【分析】抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有36种，其中记事件A 为“两个点数不同”的基本事件共有30种，再由“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件共有6种，利用条件概率的计算公式，即可求解． 【详解】由题意，抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有36种， 其中记事件A 为“两个点数不同”的基本事件共有36630-=种，又由事件“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件为：(1,4),(2,4),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)，共有6种，所以6()136()30()536P A B P B A P A ⋂===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中熟记条件概率的计算方法，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4．C解析：C 【分析】由期望公式可知()2(2)E X a b =+，而总体的概率21a b +=，即可求得()E X 【详解】由1122()()()...()n n E X X P X X P X X P X =+++ ∴()1232(2)E X a b a a b =⨯+⨯+⨯=+，而21a b += ∴()2E X = 故选：C 【点睛】本题考查了概率，理解期望的含义，利用期望公式求离散型变量的期望，并根据样本总体概率为1求期望值5．A解析：A 【分析】设事件A ＝“血检呈阳性”，B ＝“患该种疾病”,由题得P （B ）＝0.005，P (A |B )＝0.99， 由条件概率得P (AB )＝P （B ）P (A |B )，计算即得解. 【详解】设事件A ＝“血检呈阳性”，B ＝“患该种疾病”． 依题意知P （B ）＝0.005，P (A |B )＝0.99， 由条件概率公式P (A |B )＝()()P AB P B ， 得P (AB )＝P （B ）P (A |B )＝0.005×0.99=0.00495， 故选：A. 【点睛】本题主要考查条件概率的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．A解析：A 【分析】由随机变量X 的分布列求出m ，求出()E X ，由23Y X =+，得()()23E Y E X =+，由此能求出结果． 【详解】由随机变量X 的分布列得：11123m ++=， 解得16m =， ()11111012363E X ∴=-⨯+⨯+⨯=-，23Y X =+，()()2723333E Y E X ∴=+=-+=．故选：A ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．D解析：D 【分析】分别运用等差数列的中项性质和概率的性质，以及离散型随机变量的期望和方差公式，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值． 【详解】解：因为a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，∵1a b c ++=，∴13b =，23c a =-，∴()823E X a =-，2422()4969833E X a b c a a a =++=++-=-则()()()22D XE XE X =-22821224439333a a a ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭，当13a b c ===时取等号． 则()D X 的最大值为23.故选：D. 【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差的求法，考查等差数列的中项性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．8．C解析：C 【分析】根据题意，求出()P A 和()P AB ，由公式()()()|P AB P B A P A =即可求出解答.【详解】解：因为事件A 为“抓取的球中存在两个球同色”包括两个同色和三个同色，所以()213363393357198428C C C P A C +=== 事件A 发生且事件B 发生概率为：()12213336392363847C C C C P AB C +=== 故()()()3127|191928P AB P B A P A ===. 故选：C. 【点睛】本题考查条件概率求法，属于中档题.9．D解析：D 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即得解. 【详解】由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：()()1(01)(22)0.13592P X P P μσξμσμσξμσ≤≤=-≤≤+--≤≤+=故所求的概率为10.13590.86411P -==， 故选：D 【点睛】本题考查了正态分布的图像及其应用，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.10．D解析：D 【分析】利用正态密度曲线的对称性得出12m n +=，再将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后可利用基本不等式求出12m n+的最小值． 【详解】 由于()210,XN σ，由正态密度曲线的对称性可知，()()128P X P X m >=<=，所以，()()188102P X P X <+≤≤=，即12m n +=，221m n ∴+=， 由基本不等式可得()1212422266m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭6=， 当且仅当()420,0m n m n n m=>>，即当n =时，等号成立， 因此，12m n +的最小值为6+，故选D. 【点睛】本题考查正态密度概率以及利用基本不等式求最值，解题关键在于利用正态密度曲线的对称性得出定值，以及对所求代数式进行配凑，以便利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题．11．B解析：B 【分析】求概率密度函数在（1，3）的积分，求得概率． 【详解】由随机变量X 的概率密度函数的意义得3233111d xx e P e x ee---==-=⎰，故选B ． 【点睛】随机变量X 的概率密度函数在某区间上的定积分就是随机变量X 在这一区间上概率．12．D解析：D 【解析】分析：由题意结合平均数，方程的性质即可求得新数据的平均数和方差. 详解：由题意结合平均数，方程的性质可知： 数据1232,32,,32n x x x +++的平均数为：3211x +=，方差为22336s ⨯=.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查平均数的性质，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．【分析】根据概率之和为1求得a 再分别求得然后再利用期望和方差公式求解【详解】因为所以解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查随机变量的概率分布与期望和方差还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：3881【分析】根据概率之和为1求得a ，再分别求得()()()1,2,3P X P X P X ===，然后再利用期望和方差公式求解. 【详解】因为()()()1231P X P X P X =+=+==， 所以1111122334a ⎛⎫++=⎪⨯⨯⨯⎝⎭， 解得43a =， 所以()213P X ==，()229P X ==，()139P X ==，所以()221131233999E X =⨯+⨯+⨯=， ()2221321321313812393999981D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：3881【点睛】本题主要考查随机变量的概率分布与期望和方差，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．【分析】求出小明与第一代第二代第三代传播者接触的概率利用独立事件互斥事件的概率公式求解即可【详解】设事件为第一代第二代第三代传播者接触事件为小明被感染由已知得：（A ）（B ）（C ）（D ）（A ）（B ）（ 解析：0.83【分析】求出小明与第一代、第二代、第三代传播者接触的概率，利用独立事件、互斥事件的概率公式求解即可． 【详解】设事件A ，B ，C 为第一代、第二代、第三代传播者接触， 事件D 为小明被感染，由已知得：P （A ）0.5=，P （B ）0.3=，P （C ）0.2=，(|)0.9P D A =，(|)0.8P D B =，(|)0.7P D C =，P （D ）(|)P D A P =（A ）(|)P D B P +（B ）(|)P D C P +（C ）0.90.50.80.30.70.2=⨯+⨯+⨯ 0.83=．∴小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率为0.83．故答案为：0.83． 【点睛】本题考查概率的求法，考查独立事件、互斥事件的概率公式以及条件概率的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．【分析】本题利用条件概率公式求解【详解】至少出现一个5点的情况有：至少出现一个5点的情况下三个点数之和等于15有一下两类：①恰好一个5点则另两个点数只能是4和6共有；②恰好出现两个5点则另一个点数也 解析：113【分析】本题利用条件概率公式()(|)()n AB P A B n B =求解． 【详解】至少出现一个5点的情况有：336591-=，至少出现一个5点的情况下，三个点数之和等于15有一下两类：①恰好一个5点，则另两个点数只能是4和6，共有11326C C ⨯=；②恰好出现两个5点，则另一个点数也只能是5点，共有1种情况．()611(|)()9113n AB P A B n B +∴===， 故答案为：113. 【点睛】本题考查条件概率的公式，需要求出基本事件的个数，运用正难则反的思想．16．（2）（4）【分析】对各个命题分别判断【详解】①回归方程为则变量增加一个单位时平均减少3个单位；②两个随机变量的线性相关性越强则相关系数的绝对值越接近于1；③随机变量服从二项分布则；④若则；⑤综上所解析：（2）（4） 【分析】对各个命题分别判断. 【详解】①回归方程为ˆ33yx =-，则变量x 增加一个单位时，y 平均减少3个单位； ②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1；③随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()366153()216P X C ===；④若()03f x '=-，则()()()()()()0000000limlimlimx x x f x x f x x f x x f x f x f x x xx x∆→∆→∆→+∆--∆+∆---∆=+∆∆∆()()()()0000000limlim()()6x x f x x f x f x x f x f x f x xx∆→∆→+∆-∆-''=+=+=-∆-∆-；⑤()()2323E X E X +=+，()()234D X D X +=.. 综上所述，只有②④正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查命题的真假判断，需要掌握的知识较多，如线性回归直线方程的意义，线性相关系数r 与相关强弱的关系，二项分布的概率公式，导数的定义以及数据变换后的均值与方差的关系．本题属于中档题．17．【解析】根据题意可得解得故的方差解析：34【解析】根据题意可得112p q p q +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得34p =，14q =，故X 的方差2213113()1124244D X ⎛⎫⎛⎫=-⨯+--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 18．①③④【解析】由正态分布曲线得①正确；令得当时单调递增当时单调递减当时单调递增得且时的图象如图所示函数有两个零点故②错误；由回归直线方程的定义知③正确；④中当时错误故为假命题为真命题④正确故答案为①解析：①③④ 【解析】由正态分布曲线得()()()24140.16P P P ξξξ≤-=≥=-≤=，①正确；令()21x x xg x e --+=，得()22'xx x g x e --=，当(),1x ∈-∞-时，()()'0,g x g x >单调递增，当()1,2x ∈-时，()()'0,g x g x <单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()'0,g x g x >单调递增，得()()21,25g e g e --==-，且150,22g x ⎛⎫-±=→+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()()'0,g x g x <∴的图象如图所示函数有两个零点，故②错误；由回归直线方程的定义知③正确；④中当0x =时，01e >错误，故p 为假命题，p ⌝为真命题，④正确，故答案为①③④．三、解答题19．（1）310；（2）分布列见解析，期望值245，3350. 【分析】（1）首先事件甲、乙两位同学共答对2个问题，分为两人各答对1题，或是乙答对2题，再求互斥事件和的概率；（2）由条件可知3,4,5,6X =,再根据随机变量对应的事件，分别求概率，再列出分布列，并计算数学期望,根据分布列，列出该学校为优秀的概率. 【详解】（1）记“甲、乙两位同学共答对2题”为事件A ，则()()111122324124225310C C C C C C P M C ⋅⋅⋅+⋅==（2）由题意可知随机变量X 的可能取值为3、4、5、6，()()211224153251325C C C C P X C ⋅⋅⋅===()()3410P X P M ===()()211211223415324532512525C C C C C C C C P X C ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅===()()2223453259650C C C P X C ⋅⋅===所以，随机变量X 的分布列如下表所示：13129243456251025505EX =⨯+⨯+⨯+⨯= A 校为优秀的概率()()1293356255050P X P X =+==+=. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分清随机变量代表的事件，其中容易错的是乙同学会5题中的四个题，所以两个题，至少会一题.20．（1）0.04（2）见解析（3）()1D x ()2D x < 【分析】（1）某位顾客购买H 型和V 手机是独立事件，由独立事件的概率公式求解即可； （2）先得出X 的可能取值，再算出相应概率，即可得出X 的分布列； （3）由以往销售数据统计，结合数据的集中和离散程度得出()1D x ()2D x <. 【详解】（1）某位顾客购买H 型和V 手机是独立事件，则这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率为0.10.40.04⨯=（2）X 的可能取值为600,650,700,750,800,850,900(600)0.40.40.16P X ==⨯=12(650)0.40.10.08P X C ==⨯⨯= 12(700)0.10.10.10.40.09P X C ==⨯+⨯⨯= 1122(750)0.40.40.10.10.34P X C C ==⨯⨯+⨯⨯= 12(800)0.10.10.10.40.09P X C ==⨯+⨯⨯= 12(850)0.10.40.08P X C ==⨯⨯=(900)0.40.40.16P X ==⨯=则X 的分布列为（3）1D x 2D x < 【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的分布列的步骤：（1）先判断随机变量是不是离散型随机变量，主要看随机变量的值能否按一定的顺序一一列举出来； （2）明确随机变量X 可取哪些值； （3）求X 取每一个值的概率； （4）写出分布列.21．（1）526（人）；（2）83分. 【分析】（1）由题意知9070(90)(2)10P ξ-⎛⎫<=Φ=Φ ⎪⎝⎭，则(90)1(90)P P ξξ=-<可求，结合对应人数可得总人数；（2）假定设奖的分数线为x 分，由题意知7050()10.095110526x P x ξ-⎛⎫=-Φ== ⎪⎝⎭，查表得x 值. 【详解】 （1）由题意知9070(90)1(90)11(2)10.97720.022810P P ξξ-⎛⎫=-<=-Φ=-Φ=-= ⎪⎝⎭，故此次参赛的学生总数约为125260.0228≈（人）．（2）假定设奖的分数线为x 分，由题意知7050()1()10.095110526x P x P x ξξ-⎛⎫=-<=-Φ== ⎪⎝⎭， 即700.904910x -⎛⎫Φ=⎪⎝⎭，查表得70 1.3110x -=， 解得83.1x =，故设奖的分数线约为83分． 【点睛】本题关键在于正确理解正态分布概率计算公式及运用. 22．（1）分布列见解析；期望为74；（2）分布列见解析；3()2E η=，3()4D η=.【分析】（1）取到一个红球为止，取球次数ξ所有可能1、2、3、4，求对应次数的概率即可列分布列，求()E ξ；（2）取出后放回，每次取到红球的概率相同，相当于做了三次独立重复试验13,2B η⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布概率公式和期望、方差公式即可求解. 【详解】（1）ξ的可能取值为1、2、3、4，31(1)62P ξ===，333(2)6510P ξ==⨯=， 3233(3)65420P ξ==⨯⨯=，32131(4)654320P ξ==⨯⨯⨯=，故ξ的分布列为：17()123421020204E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）取出后放回，取球3次，每次取到红球的概率为3162=，可看作3次独立重复试验，所以13,2B η⎛⎫ ⎪⎝⎭， η的可能取值为0、1、2、3，303111(0)228P C η⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1213113(1)228P C η⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2123113(2)228P C η⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，333111(4)228P C η⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故ξ的分布列为：∴()322E η=⨯=， 113()3224D η=⨯⨯=.【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算） 23．（1）1728；（2）分布列见解析，()34E X =. 【分析】（1）先求出抽出的3人都不满意的概率，再利用对立事件的概率公式即可求解； （2）X 的所有可能取值为0,1,2,3则13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，利用二项分布的概率公式求出每一个X 的取值对应的概率，即可列出X 的分布列求出数学期望.【详解】（1）16人中满意的有4人，不满意的有12人，设i A 表示所抽取的3人中有i 个人是“极满意”，至少有1人是“极满意”记为事件A ，则抽出的3人都不满意的概率为()31203161128C P A C ==，所以()()01117112828P A P A =-=-=， （2）X 的所有可能取值为0,1,2,316人中满意的有4人，不满意的有12人，随机抽取一人极满意的概率为41164=， 所以13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()33270464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()213132714464P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， ()22313924464P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()333113464P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.所以X 的分布列为所以()1236464644E X =⨯+⨯+⨯=.【点睛】 思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算） 24．（1）1112,33p q ==，22716,2727p q ==； （2）11121(21)3n n n n p q p q --+-=+-，1()13n n E X =+. 【分析】（1）利用已知条件，结合概率的计算方法，求得1112,33p q ==，进而求得12,q q 的值； （2）先得到111,12123993n n n n n p p q q q ---=+=-+，得到112122333n n n n p q p q --+=++，推得11121(21)3n n n n p q p q --+-=+-，得出{}21n n p q +-表示首项为13，公比为13的等比数列，进而求得通项公式和数学期望. 【详解】（1）由题意，可知11131232,333333p q ⨯⨯====⨯⨯， 则2111312112273333333927p p q ⨯⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯⨯， 21123112222251603333333927q p q ⨯⨯+⨯=⨯+⨯+=⨯+⨯=⨯⨯.（2）由题意，可知11111312123333)39,(2n n n n n p p q p q n ----⨯⨯=⨯+⨯=+≥⨯⨯， 111112*********(1)33333393,(2)n n n n n n q p q p n q q -----⨯⨯+⨯⨯=⨯+⨯+--⨯=-+⨯≥⨯⨯，两式相加，可得1121223,23()3n n n n p q p q n --++≥+=，从而11122(2,(2)33)n n n n p q p q n --+=+≥+，所以11121(21),3(2)n n n n p q p q n --=+-≥+-，又因为111213p q +-=，所以{}21n n p q +-表示首项为13，公比为13的等比数列， 所以113112133n n n n p q -+=⨯-=，即1213n n n p q +=+， 又n X 的分布列为所以()()0112213n n n n n n n n E X p q q p p q =⨯--+⨯+⨯=+=+. 【点睛】 方法点睛：根据111,12123993n n n n n p p q q q ---=+=-+，熟练应用数列的的知识，结合等比数列的定义，得出{}21n n p q +-表示首项为13，公比为13的等比数列是解答的关键. 25．（1）35；（2）分布列见解析，127. 【分析】 （1）先求出甲班的总人数，再利用频率分布直方图求出甲班在[0，1），[1，2）的人数，从而可以计算出抽取 3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0,1)范围内的概率；（2）首先计算出甲，乙两班中数学平均时间在区间[5，6]的人数，从而可以得到随机变量ξ的取值，并计算出对应的概率，写出随机变量ξ的分布列，即可计算出随机变量ξ的数学期望.【详解】（1）因为乙班学生的总人数为2+5+10+16+14+3=50，所以甲班中学习平均时间在[0，1）内的人数为50×0.04=2，甲班中学习平均时间在[1，2）内的人数为50×0.08=4.设“3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0，1）范围内”为事件A ，则122436263()205C C P A C ⋅⨯===； （2）甲班学习数学平均时间在区间[5，6]的人数为50×0.08=4.由频数分布表知乙班学习数学平均时间在区间[5，6]的人数为3，两班中学习数学平均时间不小于5小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3.0434471(0)35C C P C ξ===， 13344712(1)35C C P C ξ===，22344718(2)35C C P C ξ===， 3134474(3)35C C P C ξ===. 所以ξ的分布列为()0123353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】 思路点睛：离散型随机变量分布列：（1）明取值；（2）求概率；（3）画表格；（4）做检验.26．（1）114人；（2）分布列见解析，10712. 【分析】（1）通过分析得64μ=，13δ=，26421390μδ+=+⨯=，初试成绩不低于90分的概率为()90P X ≥求得人数；（2）由题得Y 的取值分别为0，3，5，8，10，13，分别计算对应概率列出分布列得解.【详解】（1）∵学生笔试成绩X 服从正态分布()2,N μδ，其中64μ=，2169δ=，26421390μδ+=+⨯=∴()()()190210.95440.02282P X P X μδ≥=≥+=-= ∴估计笔试成绩不低于90分的人数为0.022********⨯=人 （2）Y 的取值分别为0，3，5，8，10，13，则()23210(1)(1)4336P Y ==-⨯-= ()232313(1)433612P Y ==⨯-== ()1232215(1)(1)4339P Y C ==-⨯⨯⨯-= ()12322318(1)43393P Y C ==⨯⨯⨯-== ()232110(1)()439P Y ==-⨯=()2323113()4393P Y ==⨯== Y 的分布为故ξ的分布列为：()03581013361293933612E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== 【点睛】 利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题．解题的关键是利用对称轴=x μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断．对于正态分布2()N μσ，，由=x μ是正态曲线的对称轴知： (1)对任意的a ，有()()P X a P X a μμ<->+＝；(2)()001;()P X x P X x -≥=<(3)()()=()P a X b P X b P X a <<<≤-．。
(压轴题)高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．某地区共有高二学生5000人，该批学生某次数学考试的成绩服从正态分布()260,8N ，则成绩在7684分的人数大概是（ ）附：()0.6827P Z μσμσ-<<+=，()220.9545P Z μσμσ-<<+=，()330.9973P Z μσμσ-<<+=.A ．107B ．679C ．2493D ．23862．随机变量X 的取值为0，2，3，若1(0),()26P X E X ===，则(23)D X -=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为（ ） A ．0.495%B ．0.940 5%C ．0.999 5%D ．0.99%4．已知随机变量X 的分布列：Xa 2P12p - 12p若()1E X =，(21)2D X +=，则p =（ ） A ．13B ．14C ．15D ．165．已知随机变量~X N ()22,σ，(0)0.84P X=，则(04)P X <<=（ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.66D ．0.686．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（ ） A ．1320B ．920C ．15D ．1207．已知随机变量X 的分布列如下表所示则(25)E X -的值等于 A ．1B ．2C ．3D ．48．随机变量()~1,4X N ，若()20.2p x ≥=，则()01p x ≤≤为（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.69．若随机变量()100,,X B p X ~的数学期望()24E X =，则p 的值是( ) A ．25B ．35C ．625D ．192510．下列关于正态分布2(,)(0)N μσσ>的命题： ①正态曲线关于y 轴对称；②当μ一定时，σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”； ③设随机变量~(2,4)X N ，则1()2D X 的值等于2；④当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，随着μ的变化曲线沿x 轴平移. 其中正确的是（ ） A ．①②B ．③④C ．②④D ．①④11．2018年6月18日，是我国的传统节日“端午节”.这天，小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅.小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为( ) A ．14B ．34C ．110D ．31012．将两枚骰子各掷一次，设事件A ={两个点数都不相同}，B ={至少出现一个3点}，则(|)P B A =（ ）A ．13B ．518C ．1011D ．12二、填空题13．随机变量X 的概率分布为2()(1,2,3)aP X n n n n===+，其中a 是常数，则()D aX =__________．14．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为______．15．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为_______．16．10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张．则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率为_________ ．17．驻马店市某校高三年级学生一次数学诊断考试的成绩(单位:分)X 服从正态分布()2110,10N ,记(]90,110X ∈为事件(],80,100A X ∈为事件B ,则()|P B A __________.(结果用分数示)附：()0.68P X μσμσ-<≤+=；()220.95P X μσμσ-<≤+=；()330.99P X μσμσ-<≤+=.18．袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球，设“第一次摸得红球”为事件A ，“摸得的两球同色”为事件B ，则概率P(B|A)＝________.三、解答题19．某疫苗研发机构将其生产的某款疫苗在征集的志愿者中进行人体试验，现随机选取100名试验者检验结果并评分（满分为100分），得到如图所示的频率分布直方图．（1）求t 的值，并估计所有试验者的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）据检测，这100名试验者中的甲、乙、丙三人注射疫苗后产生抗体的概率分别为12，13，14，若同时给此三人注射该疫苗，记此三人中产生抗体的人数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列及其期望值()E ξ．20．为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取100只小白鼠，并将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如下的频率分布直方图（以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率）：（1）根据频率分布直方图，估计100只小白鼠该项医学指标平均值x （同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）若认为小白鼠的该项医学指标值X 服从正态分布()2,N μσ，且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于14.77时，则认定其体内已经产生抗体；进一步研究还发现，对第一次注射疫苗的100只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有10只小白鼠又产生了抗体．这里μ近似为小白鼠医学指标平均值x ，2σ近似为样本方差2s ．经计算得2 6.92s =，假设两次注射疫苗相互独立，求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率p （精确到0.01）． 附：参考数据与公式6.92 2.63≈，若()2~,X N μσ，则①()0.6827P X μσμσ-<≤+=；②()220.9545P X μσμσ-<≤+=；③()330.9973P X μσμσ-<≤+=． 21．根据国家《环境空气质量》规定:居民区中的PM 2.5(PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物)年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM 2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM 2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下: 组别 PM 2.5/(微克/立方米) 频数/天 频率 第一组 [0，15) 4 0.1 第二组 [15，30) 12 0.3 第三组 [30，45) 8 0.2 第四组[45，60)80.2第五组 [60，75) 4 0.1 第六组[75，90]40.1(2)求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM 2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由；(3)将频率视为概率，监测去年的某2天，记这2天中该居民区PM 2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ，求ξ的分布列及均值E (ξ)和方差D (ξ).22．某电视台某节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确各得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．若一个挑战者回答前两题正确的概率都是0.8，回答第三题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和均值； （2）求这位挑战者总得分不为负分（即0ξ）的概率．23．高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行､水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为X ，求X 的分布列.24．现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪．根据猪的体重，将其分为三个成长阶段，如下表： 阶段 幼年期成长期成年期体重(kg)[2,18) [18,82) [82,98]根据以往经验，两个养猪场内猪的体重X 均近似服从正态分布()250,16N ．由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪的监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年期的猪，甲、乙两个养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已知甲，乙两个养猪场内一头成年期的猪能通过质检合格的概率分别为43,54． （1）试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利400元，若为不合格的猪，则亏损200元；乙养猪场出售--头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损100元记Y 为甲，乙养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润，求随机变量Y 的分布列，假设两个养猪场均能把成年期的猪售完，求两个养猪场的总利润的期望值． （参考数据：若()2~,Z Nμσ，则()0.683,(22)0.954,(33)0.997P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ-+≈-+≈-+≈）25．某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成[)0,1，[)1,2，[)2,3，[)3,4，[)4,5，[]5,6共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）.乙班同学学习数学平均时间的频数分布表 学习数学时间区间频数 [)0,12 [)1,25 [)2,310 [)3,416 [)4,514 []5,63（1）从甲班每天学习数学的平均时间在0,2的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在[)0,1范围内的概率；（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.26．A 口袋中有大小相同编号不同的4个黄色乒乓球和2个白色乒乓球，B 口袋中有大小相同编号不同的3个黄色乒乓球和3个白色乒乓球，现从A 、B 两个口袋中各摸出2个球 （1）求摸出的4个球中有3个黄色兵乓球和1个白色乒乓球的概率； （2）求摸出的4个球中黄球个数ξ的数学期望．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由已知结合2σ与3σ原则求得P （76＜Z ＜84），乘以5000得答案． 【详解】由学生某次数学考试的成绩服从正态分布N （60，82），得μ＝60，σ＝8，(7684)(23)P Z P Z μσμσ∴<<=+<<+1[(33)(22)]2P Z P Z μσμσμσμσ=-<<+--<<+ 1(0.99730.9545)0.02142=-= ∴成绩在76～84分的人数大概是5000×0.0214＝107． 故选：A ． 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．2．C解析：C 【分析】首先设23(2),(3)P X P P X P ====，根据概率和为1以及()2E X =求2P 和3P ，再求()D X ，最后根据公式()()2D aX b a D X +=求解.【详解】记23(2),(3)P X P P X P ====，则2356P P +=，由23()232E X P P =+=，解得2311,23P P ==，故222111()(0())(2())(3())1623D XE X E X E X =-+-+-=，所以(23)4()4D X D X -==. 故选:C 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及期望、方差的计算，属于基础题型.解决本题应掌握结论：（1）离散型随机变量的概率和为1；（2）期望1122()n n E X x P x P x P =++⋯+，()()E aX b aE X b +=+；（3）方差()()()2221122()()()()n n D X x E X P x E X P x E X P =-+-++-，2()()D aX b a D X +=.3．A解析：A 【分析】设事件A ＝“血检呈阳性”，B ＝“患该种疾病”,由题得P （B ）＝0.005，P (A |B )＝0.99， 由条件概率得P (AB )＝P （B ）P (A |B )，计算即得解. 【详解】设事件A ＝“血检呈阳性”，B ＝“患该种疾病”． 依题意知P （B ）＝0.005，P (A |B )＝0.99， 由条件概率公式P (A |B )＝()()P AB P B ， 得P (AB )＝P （B ）P (A |B )＝0.005×0.99=0.00495， 故选：A. 【点睛】本题主要考查条件概率的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．B解析：B 【分析】由(21)4()D X D X +=，可得1()2D X =，由随机变量分布列的期望、方差公式，联立即得解. 【详解】由题意，11()0()2121222aE X p a p p =⨯-+⨯+⨯=∴+= 且(21)2D X +=，又1(21)4()()2D X D X D X +=∴=22211()(01)()(1)(21)222D X p a p ∴=-⨯-+-⨯+-⨯=联立可得：11,4a p ==故选：B 【点睛】本题考查了随机变量分布列的期望和方差，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.5．D解析：D 【分析】先由对称性求出(X 4)P ≥，再利用(04)12(4)P X P X <<=-≥即得解. 【详解】由于随机变量~X N ()22,σ，关于2X =对称，故(4)(0)1(0)10.840.16P X P X P X ≥=≤=-≥=-= (04)12(4)10.320.68P X P X ∴<<=-≥=-=故选：D 【点睛】本题考查了正态分布在给定区间的概率，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.6．C解析：C 【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B ，利用二项分布的知识计算出()P A ，再计算出()P AB ，结合条件概率公式求得结果. 【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B则()2323332122033327P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()122433327P AB =⨯⨯= ()()()15P AB P B A P A ∴== 本题正确选项：C 【点睛】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.7．A解析：A 【分析】先求出b 的值，再利用期望公式求出E(X)，再利用公式求出()25E X -. 【详解】由题得0.1+0.2+0,20.11,0.4,b b ++=∴=，所以()10.120.230.440.250.13E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以(25)2()52351E X E X -=-=⨯-=. 故答案为A 【点睛】(1)本题主要考查分布列的性质和期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若a b ηξ=+(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，E η=()E a b aE b ξξ+=+，2()D a b a D ξξ+=.8．B解析：B 【解析】分析：根据正态分布的整体对称性计算即可得结果. 详解：(0)(2)0.2,P X P X ≤=≥=10.22(01)0.3,2P X -⨯∴≤≤== 故选B.点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正态分布曲线的对称性，从而求得结果.9．C解析：C 【解析】分析：由题意结合二项分布数学期望的计算公式求解实数p 的值即可. 详解：随机变量()100,,X B p ~则X 的数学期望()100E X p =， 据此可知：10024p =，解得：625p =. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查二项分布的数学期望公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．C解析：C 【解析】分析：根据正态分布的定义，及正态分布与各参数的关系结合正态曲线的对称性，逐一分析四个命题的真假，可得答案．详解：①正态曲线关于x μ=轴对称，故①不正确，②当μ一定时，σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”；正确；③设随机变量()~2,4X N ，则12D X ⎛⎫⎪⎝⎭的值等于1；故③不正确； ④当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，随着μ的变化曲线沿x 轴平移.正确.故选C.点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了正态分布及正态曲线，熟练掌握正态分布的相关概念是解答的关键．11．A解析：A 【解析】分析：设事件A =“取到的两个为同一种馅”，事件B =“取到的两个都是腊肉馅”，求出22223241,10101010C C C P A P AB +====（），（） ，利用()()|P AB P B A P A =（），可得结论． 详解：设事件A =“取到的两个为同一种馅”，事件B =“取到的两个都是腊肉馅馅”，由题意，22223241,10101010C C C P A P AB +====（），（），()()1|.4P AB P B A P A ∴==（） 故选A ．点睛：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，正确运用公式是关键．12．A解析：A 【解析】分析：利用条件概率求(|)P B A .详解：由题得2265()30,()3010,n A A n AB A ===-=所以(|)P B A =()101.()303n AB n A ==故答案为A. 点睛：（1）本题主要考查条件概率，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 条件概率的公式:()(|)()P AB P B A P A =, (|)P B A =()()n AB n A . 二、填空题13．【分析】根据随机变量分布列概率和为1求出求出再由方差性质即可求解【详解】由题意得则∴则∴故答案为:【点睛】本题考查离散型随机变量分布列性质期望方差以及方差的性质考查计算求解能力属于中档题 解析：608729【分析】根据随机变量分布列概率和为1求出a ，求出(),()E X D X ，再由方差性质，即可求解. 【详解】由题意得11111311122334223344a a a a a ⎛⎫++=-+-+-== ⎪⨯⨯⨯⎝⎭，则43a =，∴()213P X ==，()229P X ==，()139P X ==，则24113()3939E X =++=，222132********()12393999981D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2608()()729D aX a D X ==. 故答案为:608729【点睛】本题考查离散型随机变量分布列性质、期望、方差以及方差的性质，考查计算求解能力，属于中档题.14．【分析】求出甲获得冠军的概率比赛进行了局的概率根据条件概率公式得到答案【详解】根据题意甲获得冠军的概率为其中比赛进行了局的概率为所以在甲获得冠军的条件下比赛进行了3局的概率为故答案为【点睛】本题考查解析：25【分析】求出甲获得冠军的概率，比赛进行了3局的概率，根据条件概率公式，得到答案. 【详解】根据题意，甲获得冠军的概率为22212122203333333327⋅+⋅⋅+⋅⋅=， 其中，比赛进行了3局的概率为212122833333327⋅⋅+⋅⋅=， 所以，在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为822720527P ==.故答案为25.【点睛】本题考查条件概率，相互独立事件概率公式，属于中档题.15．【分析】从顶点到3总共有5个岔口共有10种走法每一岔口走法的概率都是二项分布的概率计算公式即可求解【详解】由题意从顶点到3的路线图单独画出来如图所示可得从顶点到3总共有种走法其中每一岔口走法的概率都 解析：516【分析】从顶点到3总共有5个岔口，共有10种走法，每一岔口走法的概率都是1 2，二项分布的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，从顶点到3的路线图单独画出来，如图所示，可得从顶点到3总共有2510C=种走法，其中每一岔口走法的概率都是12，所以珠子从出口3出来的概率为25515()216P C=⋅=.【点睛】本题主要考查了二项分布的一个模型，其中解答中认真审题，合理利用二项分布的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 16．【分析】设事件A表示第一次抽到中奖券事件B表示第二次也抽到中奖券则P（A）=P（AB）=由此利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到中奖券的条件下第二次也抽到中奖券的概率【详解】10张奖券中有3张是有解析：29【分析】设事件A表示“第一次抽到中奖券”，事件B表示“第二次也抽到中奖券”，则P（A）=310，P（AB）=32109⨯，由此利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率．【详解】10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张，设事件A表示“第一次抽到中奖券”，事件B表示“第二次也抽到中奖券”，∴P（A）=310，P（AB）=32109⨯，∴在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率：P（B|A）=()()322109.3910P ABP A⨯==故答案为29． 【点睛】本题考查概率的求法，考查条件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，P （B|A ）=()()()()=P AB n AB P A n A .17．【解析】分析：利用条件概率公式即可得出结论详解：由题意故答案为点睛：本题考查条件概率考查正态分布考查计算能力属于中档题 解析：2795【解析】分析：利用条件概率公式，即可得出结论. 详解：由题意，()()()()()110.475,0.990.680.155,0.950.680.13522P A P B P AB ==-==-=， ()0.13527|0.47595P B A ∴==. 故答案为2795. 点睛：本题考查条件概率，考查正态分布，考查计算能力，属于中档题.18．【解析】由P(A)＝P(AB)＝×＝由条件概率得P(B|A)＝＝解析：14【解析】由P (A )＝，P (AB )＝×＝，由条件概率得P (B |A )＝＝.三、解答题19．（1）0.015，72；（2）分布列见解析，1312. 【分析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可得t ，平均值等于每个小长方形面积乘每组中点的横坐标，然后相加求和；（2）由已知得0ξ=，1，2，3，再求相应的概率可得答案. 【详解】（1）由()0.0050.0200.0250.0300.005101t +++++⨯=得0.015t =， 平均得分450.00510550.01510650.02010750.03010850.02510=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+950.00510=72⨯⨯.（2）由已知得：0ξ=，1，2，3，()111101112344P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11111111111111111123423423424P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()111111111612111234234234244P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1111323424P ξ==⨯⨯=，则分布列为：则期望()012342442412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用、分布列求期望，由频率分布直方图中是没有样本数据的，平均值等于每个小长方形面积乘每组横坐标的中点，然后相加求和，且所有矩形的面积之和为1，考查了学生分析数据处理问题的能力. 20．（1）17.4；（2）0.94. 【分析】（1）利用每一个小矩形的面积乘以对应的底边中点的横坐标之和即为x ；（2）先计算第一次注射疫苗后产生抗体的概率()()14.77P x P x μσ≥=≥-，即可计算第一次注射疫苗后100只小白鼠中产生抗体的数量，加上第二次注射疫苗10只小白鼠又产生了抗体，可以得出两次注射疫苗产生抗体的总数，即可求概率. 【详解】（1）0.021220.061420.141620.181820.05202x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.032220.0224217.4+⨯⨯+⨯⨯=（2）17.40 2.6314.77μσ-=-=∴()10.68270.68270.84142P x μσ-≥-=+= 记事件A 表示首先注射疫苗后产生抗体，则()()()14.770.8414P A P x P x μσ=≥=≥-=，因此100只小鼠首先注射疫苗后有1000.841484⨯≈只产生抗体，有1008416-=只没有产生抗体．故注射疫苗后产生抗体的概率84100.94100P+==.【点睛】结论点睛：频率分布直方图的相关公式以及数字特征的计算，①直方图中各个小长方形的面积之和为1；②直方图中每组样本的频数为频率乘以总数；③最高的小矩形底边中点横坐标即是众数；④中位数的左边和右边小长方形面积之和相等；⑤平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.21．（1）22.5微克/立方米， 37.5微克/立方米；（2）40.5(微克/立方米), 需要改进,理由见解析；（3）分布列见解析，1.8，0.18.【分析】（1）根据表中数据即可得出；（2）直接计算出平均数即可判断；（3）可得ξ的可能取值为0，1，2，且92,10Bξ⎛⎫⎪⎝⎭，由此的可得出分布列，求出均值和方差.【详解】(1)由表可知众数在第二组，为15+3022.52=微克/立方米，因为前两组的频率之和为0.4，前三组的频率之和为0.6，故中位数在第三组，设为x，则0.1300.24530x-=-，解得37.5x=微克/立方米，所以众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米.(2)去年该居民区PM2.5的年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5(微克/立方米).∵40.5>35，∴去年该居民区PM2.5的年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进.(3)记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则P(A)=9 10.随机变量ξ的可能取值为0，1，2，且92,10Bξ⎛⎫⎪⎝⎭.∴2299()11010k kkP k Cξ-⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(k=0，1，2)，即∴()2 1.810E np ξ==⨯=， 91()(1)20.181010D np p ξ=-=⨯⨯=. 【点睛】本题考查样本数据众数、中位数、平均数的求解，考查二项分布的分布列和均值、方差的求解，解题的关键是正确分析数据，得出92,10B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 22．（1）分布列见解析，()24E ξ=；（2）0.984. 【分析】（1先求出ξ的所有可能取值为10-,0,10,20,30,40，再求总得分ξ的分布列和均值； （2）用对立事件的概率公式求这位挑战者总得分不为负分（即0ξ）的概率． 【详解】（1）若三个问题均答错，则得00(10)10++-=-（分）．若三个问题均答对，则得10102040++=（分）．若三个问题的回答一对两错，包括两种情况：①前两个问题的回答一对一错，第三个问题答错，得100(10)0++-=（分）； ②前两个问题答错，第三个问题答对，得002020++=（分）．若三个问题的回答两对一错，也包括两种情况：①前两个问题答对，第三个问题答错，得1010(10)10++-=（分）； ②第三个问题答对，前两个问题的回答一对一错，得2010030++=（分）． 故ξ的所有可能取值为10-,0,10,20,30,40．(10)0.20.20.40.016P ξ=-=⨯⨯=， 12(0)C 0.80.20.40.128P ξ==⨯⨯⨯=，(10)0.80.80.40.256P ξ==⨯⨯=， (20)0.20.20.60.024P ξ==⨯⨯=， 12(30)C 0.80.20.60.192P ξ==⨯⨯⨯=，(40)0.80.80.60.384P ξ==⨯⨯=，所以ξ的分布列为的均值()100.01600.128100.256200.024300.192400.38424E ξ=-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）．（2）这位挑战者总得分不为负分的概率为(0)1(0)10.0160.984P P ξξ=-<=-=．【点睛】方法点睛：求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤: （1）确定随机变量的所有可能的值i x ； （2）求出各取值的概率()i i p x p ξ==； （3）画出表格. 23．（1）14；（2）分布列答案见解析. 【分析】（1）根据若要小球落入4号容器，则需要在通过的四层中有三层向右，一层向左，利用独立重复实验求解.（2）易得落入4号容器的小球的个数X 的所有可能取值为0，1，2，3，再根据（1）的结果，分别求得相应的概率，列出分布列. 【详解】（1）记“小球落入4号容器”为事件A ，若要小球落入4号容器，则需要在通过的四层中有三层向右，一层向左，∴理论上，小球落入4号容器的概率43411()C 24P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）落入4号容器的小球的个数X 的所有可能取值为0，1，2，3，303127(0)C 1464P X ⎛⎫∴==⨯-=⎪⎝⎭，2131127(1)C 14464P X ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭， 2123119(2)C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 33311(3)C 464P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， X ∴的分布列为24．（1）幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头；（2）135450元. 【分析】（1）设各阶段猪的数量分别为123,,n n n ，根据猪的体重X 近似服从正态分布2(50,16)N ，分别求得(218)P X <，(1882)P X <，(8298)P X 即可.（2）随机变量Y 的所有可能取值为900，300，300-，分别求得其概率，列出分布列，再根据分布列利用均值公式求解. 【详解】（1）设各阶段猪的数量分别为123,,n n n ， ∵猪的体重X 近似服从正态分布2(50,16)N ，0.9970.954(218)(50316502 16) 0.02152P X P X -∴<=-⨯<-⨯≈=，1100000.0215215n ∴=⨯=（头）；(1882)(5021650216)0.954P X P X <=-⨯<+⨯≈2100000.9549540n ∴=⨯=（头）；0.9970.954(8298)(5021650316) 0.02152P X P X -=+⨯+⨯≈=，3100000.0215215n ∴=⨯=（头）∴甲、乙两个养猪场各有幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头． （2）随机变量Y 的所有可能取值为900，300，300-．43341137111(900),(300),(300)5455454205420P Y P Y P Y ==⨯===⨯+⨯==-=⨯=，Y ∴的分布列为()90030030063052020E Y ∴=⨯+⨯-⨯=（元），由于两个养猪场均有215头成年期的猪，且两个养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润的期望为630元，则总利润的期望为630215135450⨯=（元）． 【点睛】方法点睛： (1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．(2)注意性质的应用：若随机变量X 的均值为E (X )，则对应随机变量aX ＋b 的均值是aE (X )＋b ，方差为a 2D (X )． 25．（1）35；（2）分布列见解析，127. 【分析】（1）先求得甲班中学习平均时间在[)0,1内的人数为2，在[)1,2内的人数为4，根据排列组合和古典概型的概率计算公式，即可求得平均时间在[)0,1范围内的概率；（2）求得甲班学习数学平均时间在区间[]5,6的人数为4，乙班学习数学平均时间在区间[]5,6的人数为3，得到随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，求得相应的概率，得出分布列，利用公式求得数学期望. 【详解】（1）因为乙班学生的总人数为25101614350+++++=， 所以甲班中学习平均时间在[)0,1内的人数为500.042⨯=， 甲班中学习平均时间在[)1,2内的人数为500.084⨯=.设“3人中恰有1人学习数学的平均时间在[)0,1范围内”为事件A ，则()122436263205C C P A C ⋅⨯===. （2）甲班学习数学平均时间在区间[]5,6的人数为500.084⨯=. 由频数分布表知乙班学习数学平均时间在区间[]5,6的人数为3， 两班中学习数学平均时间不小于5小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，可得()0434471035C C P C ξ===，()133********C C P C ξ===，()22344718235C C P C ξ===，()3134474335C C P C ξ===.所以ξ的分布列为所以()0123353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤： 理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值； 求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列； 由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解. 26．（1）2675；（2）73．【分析】（1）总的基本事件数为2266C C ⋅，所求事件包含A 中摸出1个黄色乒乓球和1个白色乒乓球，B 中摸出2个黄色乒乓球和A 中摸出2个黄色乒乓球，B 中摸出1个黄色乒乓球和1个白色乒乓球，将组合数运算和古典概型结合可得结果；（2）黄球个数ξ可能取的值为0，1，2，3，4，分别求出对应的概率，再求出期望值即可.【详解】（1）解：总的基本事件数为22661515225C C ⋅=⨯=，摸出的4个球中有3个黄色兵乓球和1个白色乒乓球分为两种情况：①A 中摸出1个黄色乒乓球和1个白色乒乓球，B 中摸出2个黄色乒乓球：11242324C C C ⋅⋅=． ②A 中摸出2个黄色乒乓球，B 中摸出1个黄色乒乓球和1个白色乒乓球：21143354C C C ⋅⋅=． ∴24542622575P +==． （2）黄球个数ξ可能取的值为0，1，2，3，4，()22231022575C C P ξ⋅===． ()11221142323311122575C C C C C C P ξ⋅⋅+⋅⋅===， ()232211114323423331222575C C C C C C C C P ξ⋅+⋅+⋅⋅⋅===， ()21111243342326322575C C C C C C P ξ⋅⋅+⋅⋅===， ()22436422575C C P ξ⋅===， 即ξ的分布列为：∴1234757575753E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】关键点点睛： （1）理解所求事件包含两种情况；（2）准确求出随机变量的取值以及取每个值时对应的概率.。
高中数学分章节训练试题：28随机变量及其分布
高三数学章节训练题28《随机变量及其分布》时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分：个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）1. 某一随机变量ξ的概率分布如下表，且2m n + 1.2=，则2n m -的值为（ ）A.－0.2；B.0.2；C.0.1；D.－0.12. 一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则=≤≤)3531(ξP （ ） A.71 B.72C.73D.74 3. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （a 、b 、(0,1)c ∈），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab 的最大值为（ ）A ．148B ．124C ．112D ．164. 如果随机变量()ξμσξξ~N E D ，，，231==，则()P -≤<11ξ等于（ ）A.241Φ()-B.ΦΦ()()42-C.ΦΦ()()24-D.ΦΦ()()---425. 随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3P ξ<=，则（ ）A ．3n =；B ．4n =；C ．10n =；D ．不能确定6. 设ξ是离散型随机变量，32)(1==x p ξ，31)(2==x p ξ，且21x x <，现已知：34=ξE ，92=ξD ，则21x x +的值为（ ） A.35 B.37 C.３ D.311 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 1. 甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲、乙命中的概率分别为32和54，若命中目标的人数为ξ，则=ξE .2. 一袋中装有４个白球，２个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现３次停止，设停止时,取球次数为随机变量X ,则==)5(X P ________．3. 同时掷两枚骰子，它们各面分别刻有：3,3,3,2,2,1，若ξ为掷得点数之积，则E ξ= .4. 设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，则q = .ξ－1 0 1 P21 1－2qξ 01 2 3P 0.1 m n 0.1三、解答题：（本大题共2小题，每小题15分，满分30分） 1. 若随机事件A 在1次试验中发生的概率是p ，用随机变量ξ表示A 在1次实验中发生的次数。
新人教版高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试题(含答案解析)(3)
一、选择题1．设0a >，若随机变量ξ的分布列如下：A ．()D ξB ．(||)D ξC ．(21)D ξ-D ．(2||1)D ξ+2．在一个箱子中装有大小形状完全相同的有4个白球和3个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X ，黑球个数Y ，则（ ） A ．()()()(),E X E Y D X D Y >> B ．()()()(),E X E Y D X D Y => C ．()()()(),E X E Y D X D Y >=D ．()()()(),E X E Y D X D Y ==3．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ） A ．23B ．35C ．12D ．254．已知随机变量()2~0,X N σ，若()10.2P X>=，则()01P X <<的值为( )A ．0.1B ．0.3C ．0.6D ．0.45．某校从6名学生干部（其中女生4人，男生2人）中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为（ ） A ．12B ．25C ．35D ．456．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为（ ） A ．8225B ．12C ．38D ．347．甲、乙、丙三人每人准备在3个旅游景点中各选一处去游玩，则在“至少有1个景点未被选择”的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是（ ） A ．17B ．18C ．114D ．3148．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于3”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P （B /A ）的值等于（ ） A ．118B ．19C ．16D ．139．8张卡片上分别写有数字12345678、、、、、、、，从中随机取出2张，记事件A =“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件B =“所取2张卡片上的数字之和小于9”，则()|=P B A （ ） A ．16B ．13C ．12D ．2310．已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则E ξ=（ ） A ．145B ．135C ．73D ．8311．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若()20.66P ξ≤=，则()0P ξ≤=（ ）A ．0.84B ．0.68C ．0.34D ．0.1612．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（ ） A ．0.2B ．0.6C ．0.8D ．0.9第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．下列命题中，正确命题的序号为_________.①已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，若()30,()20E X D X ==，则23p =； ②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)P p ξ=，则1(10)2P p ξ-<=-； ④某人在10次射击中，击中目标的次数为,~(10,0.8)X X B ，则当8X =时概率最大. 14．如图，EFGH 是圆O 的内接正方形，将一颗豆子随机扔到圆O 内，记事件A ：“豆子落在正方形EFGH 内”，事件B ：“豆子落在扇形OEH （阴影部分）内”，则条件概率(|)P B A =__．15．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为______．16．从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个,在选出4号球的条件下,选出球的最大号码为6的概率为_____.17．将三颗骰子各掷一次，记事件A =“三个点数都不同”，B =“至少出现一个6点”，则()P B A 等于___________.18．10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张．则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率为_________ ．三、解答题19．已知某射手射中固定靶的概率为34，射中移动靶的概率为23，每次射中固定靶､移动靶分别得1分､2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次.（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率； （2）求该射手的总得分X 的分布列和数学期望.20．2020年某市教育主管部门为了解近期举行的数学竞赛的情况，随机抽取500名参赛考生的数学竞赛成绩进行分析，并制成如下的频率分布直方图：（1）求这500名考生的本次数学竞赛的平均成绩x (精确到整数)； （2）由频率分布直方图可认为：这次竞赛成绩X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似等于样本的平均数x ，σ近似等于样本的标准差s ，并已求得18s ≈.用该样本的频率估计总体的概率，现从该市所有考生中随机抽取10名学生，记这次数学竞赛成绩在(86,140]之外的人数为Y ，求(2)P Y =的值(精确到0.001). 附：（1）当()2,XN μσ时，()0.6827,(22)0.9545P X P X μσμσμσμσ-<+=-<+=；（2）820.81860.18140.0066⨯≈.21．某软件是一款自营生鲜平台以及提供配送服务的生活类APP .某机构为调查顾客对该软件的使用情况，在某地区随机抽取了100人，调查结果整理如下：（）现随机抽取名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用这款的概率；（2）从被抽取的年龄在[50,70]且使用这款APP 的顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，用X 表示这2人中年龄在[50,60)的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望； （3）为鼓励居民使用，该机构拟对使用这款APP 的居民赠送1张5元的代金劵.若某区预计有6000人具有购物能力，试估计该机构至少应准备多少张代金券.22．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(10n >且n ∈+N )，其中女校友6位，组委会对这n 位校友制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．（1）若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率等于12，求n 的值； （2）当12n =时，设选出的2位校友中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和()E ξ． 23．已知一个袋中装有3个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同.（1）每次从袋中取一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数ξ的分布列和数学期望()E ξ；（2）每次从袋中取一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数η的分布列、数学期望()E η和方差()D η.24．某单位招聘员工时，要求参加笔试的考生从5道A 类题和3道B 类题共8道题中任选3道作答.（1）求考生甲至少抽到2道B 类题的概率；（2）若答对A 类题每道计1分，答对B 类题每道计2分，若不答或答错，则该题计0分.考生乙抽取的是1道A 类题，2道B 类题，且他答对每道A 类题的概率为23，答对每道B 类题的概率是12，各题答对与否相互独立，用X 表示考生乙的得分，求X 的分布列和数学期望.25．随着如今人们生活水平的不断提高，旅游成了一种生活时尚，尤其是老年人的旅游市场在不断扩大.为了了解老年人每年旅游消费支出（单位：元）的情况，相关部门抽取了某地区1000名老年人进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：（2）根据样本数据，可近似地认为老年人的旅游费用支出X 服从正态分布()23000,1000N ，若该地区共有老年人95000人，试估计有多少位老年人旅游费用支出在5000元以上；（3）已知样本数据中旅游费用支出在[)5000,6000范围内的10名老人中有7名女性，3名男性.现想选其中3名老人回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列. 附：若()2~,X Nμσ，()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=.26．为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现F 症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现F 症状的概率均为13，且每次给药后是否出现F 症状与上次给药无关．（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现2次F 症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F 症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为X ，求X 的分布列和数学期望．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由概率分布列求出参数a ，然后求出均值和方差再比较． 【详解】由题意231a a a ++=，16a =， ()11151026326E ξ=-⨯+⨯+⨯=，1117()1026326E ξ=⨯+⨯+⨯=，()D ξ=222151515(1)(0)(2)663626⨯--+⨯-+⨯-=5336，222171717()(1)(0)(2)663626D ξ=⨯-+⨯-+⨯-=2936．()()1D D ξξ>>，5353(21)4369D ξ-=⨯=，2929(21)4369D ξ+=⨯=． 其中(21)D ξ-最大． 故选：C ． 【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量X 的期望、方差，求(),aX b a b R +∈的期望与方差，利用期望和方差的性质（()()E aX b aE X b +=+，()()2D aX b a D X +=）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.2．C解析：C 【分析】有放回地摸出一个球，它是白球的概率是47，它是黑球的概率是37，因此4(5,)7XB ，3(5,)7YB ，由二项分布的均值与方差公式计算后可得结论．【详解】 有放回地摸出一个球，它是白球的概率是47，它是黑球的概率是37，因此4(5,)7XB ，3(5,)7YB ，∴420()577E X =⨯=，315()577E Y =⨯=， 4360()57749D X =⨯⨯=，3460()57749D Y =⨯⨯=．故选：C 【点睛】结论点睛：本题考查二项分布，掌握二项分布的概念是解题关键．变量(,)XB n p ，则()E X np =，()(1)D X np p =-．3．D解析：D 【分析】设男生甲被选中为事件A ，女生乙也被选中为事件B ，分别求得1()2P A =，1()5P AB =，再结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，设男生甲被选中为事件A ，其概率为25361()2C P A C ==，设女生乙也被选中为事件B ，其概率为14361()5C P AB C ==，所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为()2(|)1()5215P AB P B A P A ===. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了条件概率的求解，其中解答中正确理解题意，熟练应用条件概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查推理与计算能力.4．D解析：D 【分析】根据题意随机变量()2~0,X N σ可知其正态分布曲线的对称轴，再根据正态分布曲线的对称性求解，即可得出答案． 【详解】根据正态分布可知()()20|111P X P X >+<<=，故()010.4P X <<=．故答案选D ． 【点睛】本题主要考查了根据正态分布曲线的性质求指定区间的概率．5．B解析：B 【分析】先求出女生甲被选中的情况下的基本事件总数1215C C n =，再求出在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为2124C C m =，结合条件概率的计算方法，可得m P n=. 【详解】女生甲被选中的情况下，基本事件总数1215C C 10n ==，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为2124C C 4m ==，则在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为42105m P n ===. 故选B. 【点睛】本题考查了条件概率的求法，考查了学生的计算求解能力，属于基础题.6．C解析：C 【分析】利用条件概率公式，即可求得结论． 【详解】该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110， ∵设A 事件为下雨，B 事件为刮风，由题意得，P （A ）415=，P （AB ）110=， 则P （B |A ）()()13104815P AB P A ===， 故选C ． 【点睛】本题考查概率的计算，考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．7．A解析：A 【分析】设事件A 为：至少有1个景点未被选择，事件B 为：恰有2个景点未被选择,计算()P AB 和()P A ,再利用条件概率公式得到答案.【详解】设事件A 为：至少有1个景点未被选择，事件B 为：恰有2个景点未被选择331()39P AB == 3337()139A P A =-=()1()()7P AB P B A P A == 故答案选A 【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生对于条件概率的理解和计算.8．C解析：C 【分析】利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，然后利用条件概率公式()P B A =()()P AB P A 可计算出结果． 【详解】事件:AB 甲的骰子的点数大于3，且甲、乙两骰子的点数之和等于7，则事件AB 包含的基本事件为()4,3、()5,2、()6,1，由古典概型的概率公式可得()316612==⨯P AB ， 由古典概型的概率公式可得()3162P A ==， 由条件概率公式得()()()112126P AB P B A P A ==⨯=，故选C. 【点睛】本题考查条件概率的计算，解题时需弄清楚各事件的基本关系，并计算出相应事件的概率， 解题的关键在于条件概率公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题．9．C解析：C 【分析】利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，再利用条件概率公式()P B A =()()P AB P A 可得出答案． 【详解】事件AB 为“所取2张卡片上的数字之和为小于9的偶数”，以(),a b 为一个基本事件，则事件AB 包含的基本事件有：()1,3、()1,5、()1,7、()2,4、()2,6、()3,5，共6个， 由古典概型的概率公式可得()286314P AB C ==， 事件A 为“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，则所取的两个数全是奇数或全是偶数，由古典概型的概率公式可得()2428237C P A C ==，因此，()()()3711432P AB P B A P A ==⨯=， 故选C ． 【点睛】本题考查条件概率的计算，数量利用条件概率公式，是解本题的关键，同时也考查了古典概型的概率公式，考查运算求解能力，属于中等题．10．A解析：A【分析】先求出ξ的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用1122i i E p p p ξξξξ=++++可求得数学期望. 【详解】ξ的可能取值为2,3,4.2ξ=表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故()33925525P ξ==⨯=.3ξ=表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故()3223123555525P ξ==⨯+⨯=.4ξ=表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故()22445525P ξ==⨯=.所以9124142342525255E ξ=⨯+⨯+⨯=.故选A. 【点睛】求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布(),B n p ，也可以直接利用公式E np ξ=求期望.11．C解析：C 【解析】分析：先根据正态分布得(12)0.16,P ξ≤≤=再求(01)0.16,P ξ≤≤=最后求得() 0P ξ≤=0.34.详解：由正态分布曲线得(12)0.660.50.16,P ξ≤≤=-= 所以(01)0.16,P ξ≤≤=所以()0P ξ≤=0.5-0.16=0.34. 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想和方法.（2）解答本题的关键是数形结合，要结合正态分布曲线的图像和性质解答，不要死记硬背.12．C解析：C 【解析】分析：由题意可知()()0.5,0.4P A P AB ==，利用条件概率公式可求得()|P B A 的值. 详解： 设第一个路口遇到红灯的事件为A ， 第二个路口遇到红灯的事件为B ，则()()0.5,0.4P A P AB ==， 则()()()|0.8P AB P B A P A ==，故选C.点睛：本题考查条件概率公式()()()/=P AB P B A P A ，属于基础题.计算条件概率时一定要注意区分条件概率与独立事件同时发生的概率的区别与联系.二、填空题13．②③④【分析】根据二项分布的均值与方差公式计算判断A 由方差公式判断B 由正态分布判断C 由独立重复试验的概率公式判断D 【详解】根据二项分布的数学期望和方差的公式可得解得所以①错误；根据方差的计算公式可知解析：②③④ 【分析】根据二项分布的均值与方差公式计算判断A ，由方差公式判断B ，由正态分布判断C ，由独立重复试验的概率公式判断D ． 【详解】根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得()30,()(1)20E X np D X np p ===-=，解得13p =，所以①错误； 根据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以②正确；由正态分布的图像的对称性可得12(1)121(10)222P p P p ξξ---<===-，所以③正确；由独立重复试验的概率的计算公式可得，由10101111100.80.2()4(11)1(1)0.80.2k k k k k k C P X k k P X k C k----⋅=-==>=-，得8.8k <，即8k ≤时，()()1P X k P x k =>=-，同理得9k ≥时，()(1)p X k p x k =<=-，即(8)P X =最大，88210(8)(0.8)(10.8)P X C ==-，所以④正确.所以正确命题的序号为②③④.故答案为：②③④． 【点睛】本题考查二项分布，正态分布，随机变量的方差．正态分布曲线具有对称性，常常出现由对称性求概问题，二项分布中概率公式是()(1)k k n kn P X k C p p -==-，可用作商法确定其中的最大值或最小值．14．【分析】利用与面积有关的几何概型公式求出然后代入条件概率公式即可求解【详解】如图设正方形边长为由几何概型的概率公式可得（A）由条件概率公式可得故答案为：【点睛】本题考查与面积有关的几何概型和条件概率解析：1 4【分析】利用与面积有关的几何概型公式求出()(),P A P AB,然后代入条件概率公式()()()P ABP B AP A=即可求解.【详解】如图,设正方形边长为a，由几何概型的概率公式可得,P（A）2222()aππ==⨯，21122()22()aaP ABaππ⨯==⨯，∴由条件概率公式可得,1()12(|)2()4P ABP B AP Aππ===．故答案为：14【点睛】本题考查与面积有关的几何概型和条件概率的求解;熟练掌握概率公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.15．【分析】求出甲获得冠军的概率比赛进行了局的概率根据条件概率公式得到答案【详解】根据题意甲获得冠军的概率为其中比赛进行了局的概率为所以在甲获得冠军的条件下比赛进行了3局的概率为故答案为【点睛】本题考查解析：25【分析】求出甲获得冠军的概率，比赛进行了3局的概率，根据条件概率公式，得到答案.【详解】根据题意，甲获得冠军的概率为22212122203333333327⋅+⋅⋅+⋅⋅=，其中，比赛进行了3局的概率为212122833333327⋅⋅+⋅⋅=，所以，在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为822720527P ==.故答案为25.【点睛】本题考查条件概率，相互独立事件概率公式，属于中档题.16．【分析】令事件求出即可求出选出4号球的条件下选出球的最大号码为6的概率【详解】令事件依题意知∴故答案为【点睛】本题考查古典概型理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性掌握列解析：114【分析】令事件{}44A =选出的个球中含号球，{}46B =选出的个球中最大号码为，求出()39n A C =，()6n AB =，即可求出选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率． 【详解】令事件{}44A =选出的个球中含号球，{}46B =选出的个球中最大号码为，依题意知()39=84n A C =，()246n AB C ==， ∴()61|8414P B A ==，故答案为114. 【点睛】本题考查古典概型，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，掌握列举法，还要应用排列组合公式熟练，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题，属于中档题.17．【分析】根据条件概率的定义明确条件概率的意义即可得出结果【详解】==P(AB)==【点睛】本题主要考查条件概率的计算做题关键在于对条件概率含义的理解属于一般难度试题 解析：12【分析】根据条件概率的定义，明确条件概率的意义，即可得出结果. 【详解】654PA 666⨯⨯=⨯⨯=59，()35P B 16⎛⎫=- ⎪⎝⎭=91216 ,P(AB)=1543666⨯⨯⨯=518,()()()12P AB P B A P A ∴==.【点睛】本题主要考查条件概率的计算，做题关键在于对条件概率含义的理解,属于一般难度试题.18．【分析】设事件A 表示第一次抽到中奖券事件B 表示第二次也抽到中奖券则P （A ）=P （AB ）=由此利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到中奖券的条件下第二次也抽到中奖券的概率【详解】10张奖券中有3张是有 解析：29【分析】设事件A 表示“第一次抽到中奖券”，事件B 表示“第二次也抽到中奖券”，则P （A ）=310，P （AB ）=32109⨯，由此利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率． 【详解】10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张，设事件A 表示“第一次抽到中奖券”，事件B 表示“第二次也抽到中奖券”，∴P （A ）=310，P （AB ）=32109⨯， ∴在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率：P （B|A ）=()()322109.3910P AB P A ⨯== 故答案为29．【点睛】本题考查概率的求法，考查条件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，P （B|A ）=()()()()=P AB n AB P A n A .三、解答题19．（1）13；（2）分布列答案见解析，数学期望：4112. 【分析】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ，得到D ABC BC A =+，结合互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，即可求解；（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，根据互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ， 则()34P A =，()()23P B P C ==， D ABC BC A =+，其中ABC C AB +互斥，,,,,A B C B C 相互独立，从而()()()()322114336P ABC P A P B P C ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭， 则()()()()13P D P ABC ABC P ABC P ABC =+=+=， 所以该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次的概率为13. （2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，则()()()()()3221011143336P X P ABC P A P B P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()3111143312P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=，1211121(2)()()()()()()()4334339P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=，()()()()()()()()321312134334333P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=()()()()()122144339P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,3221(5)()()()()4333P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,该射手的总得分X 的分布列为随机变量X 的数学期望()11111141012345.3612939312E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤： 理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值； 求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列； 由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解. 20．（1）104(分)；（2）0.298. 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数公式求解.（2）由104,18μσ==，求得(86140)(2)P X P X μσμσ<=-<+，进而得到(P X μσ-或2)X μσ>+，然后由()10,0.1814Y B ~求解.【详解】（1）10(650.0028750.01850.01950.0181050.02x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，1150.0181250.0121350.008+⨯+⨯+⨯1450.0012)+⨯1010.416104.16104(=⨯=≈分).（2）由题意知()2,,X Nμσ~且104,18μσ==，所以8610418,1401041822μσμσ=-=-=+⨯=+， 所以0.68270.9545(86140)(2)0.81862P X P X μσμσ+<=-<+==，所以(P X μσ-或2)10.81860.1814X μσ>+=-=， 所以()10,0.1814Y B ~，所以()228102C 0.18140.8186450.006630.298P Y ==⨯⨯≈⨯≈.【点睛】结论点睛：（1）若X 服从正态分布，即X ～N (μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X ＝μ对称和曲线与x 轴之间的面积为1.（2）二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位．①判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次． ②对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝kk n kn p q C -.其中k ＝0，1，…，n ，q ＝1－p .21．（1）750；（2）分布列见解析，43；（3）2820张.【分析】（1）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有2+12＝14人，由概率公式即可得到所求值；（2）X 所有的可能取值为0，1，2，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望； （3）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有47人，计算可得所求值． 【详解】（1）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30， 50)且未使用这款APP 的共有2+12=14人，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30， 50)且未使用这款APP 的概率为14710050P ==． （2）X 的所有可能取值为0，1，2，则()22261015C P X C ===， ()1142268115C C P X C ===， ()24266215C P X C === .所以X 的分布列为()18640121515153E X =⨯+⨯+⨯=. （3）在随机抽取的100名顾客中，使用自助结算机的共有5101884247+++++=人， 所以该机构至少应准备张代金券的张数估计为:4760002820100⨯=张. 【点睛】本题考查统计表，随机变量X 的分布列及数学期望，以及古典概型，求X 的分布列，关键点是求出X 所有可能取值对应的概率可得，是一道综合题． 22．（1）16n =；（2）分布列见解析；期望为1． 【分析】（1）由题可知，所选两人为“最佳组合”的概率1166212(6)(1)n n C C n P C n n -⋅-==-，由此能求出n 的值．（2）由题意得，ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和均值． 【详解】（1）由题可知所选两人为最佳组合的概率：1166212(6)(1)n n C C n P C n n -⋅-==-，则12(6)1(1)2n n n -=-，化简得2251440n n -+=，解得9n =(舍去)或16n =，故16n =；（2）由题意得，ξ的可能取值为0、1、2，则262125(0)22C P C ξ===，11662126(1)11C C P C ξ⋅===，262125(2)22C P C ξ===， ξ的分布列为：所以65()0121221122E ξ=⨯+⨯+⨯=． 【点睛】关键点睛：本题考查由古典概率求解参数和离散型随机变量的分类和期望，解答本题的关键是弄清楚随机变量的取值和随机变量取各个值对应的概率，即ξ的可能取值为0、1、2，以及26212(0)C P C ξ==，1166212(1)C C P C ξ⋅==，26212(2)C P C ξ==，属于中档题. 23．（1）分布列见解析；期望为74；（2）分布列见解析；3()2E η=，3()4D η=.【分析】（1）取到一个红球为止，取球次数ξ所有可能1、2、3、4，求对应次数的概率即可列分布列，求()E ξ；（2）取出后放回，每次取到红球的概率相同，相当于做了三次独立重复试验13,2B η⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布概率公式和期望、方差公式即可求解. 【详解】（1）ξ的可能取值为1、2、3、4，31(1)62P ξ===，333(2)6510P ξ==⨯=， 3233(3)65420P ξ==⨯⨯=，32131(4)654320P ξ==⨯⨯⨯=，故ξ的分布列为：17()123421020204E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）取出后放回，取球3次，每次取到红球的概率为3162=，可看作3次独立重复试验，所以13,2B η⎛⎫ ⎪⎝⎭， η的可能取值为0、1、2、3，303111(0)228P C η⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1213113(1)228P C η⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2123113(2)228P C η⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，333111(4)228P C η⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故ξ的分布列为：∴()322E η=⨯=， 113()3224D η=⨯⨯=.【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）24．（1）27；（2）分布列见解析；期望为83.【分析】（1）利用组合数计算考生甲至少抽到2道B 类题的种数，利用古典概型的概率计算公式可求概率.（2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，分别计算出各自的概率后可得分布列，再利用公式计算期望即可. 【详解】解：（1）设“考生甲至少抽到2道B 类题”为事件A ，则213353382()7C C C P A C +== （2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，所以2211(0)113212P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2211(1)1326P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，122111(2)113226P X C ⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，122111(3)13223P X C ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭， 222211(4)1C 3212P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2211(5)326P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为所以123456631263EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】方法点睛：离散型随机变量的分布列的计算，注意理解每个取值的含义，并借助排列组合的知识计算相应的概率.25．（1）2320元；（2）2166位；（3）分布列见解析. 【分析】（1）将每组的中点值乘以对应组的人数，将所得结果全部相加并除以1000可得出该样本的平均数；（2）由题可得25000μσ+=，计算出()2P X μσ≥+的值，乘以95000即可得解； （3）由题意可知，随机变量ξ的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，进而可得出随机变量ξ的分布列. 【详解】（1）设样本平均数为x ，则有：。
2023年苏教版高中数学选择性必修第二册8.2.1随机变量及其分布列 课时练习题含答案解析
8.2.1随机变量及其分布列一、单选题1．下列结论中，正确的是（）A．随机事件个数与随机变量一一对应B．随机变量与区间一一对应C．随机变量的取值是实数D．随机变量与自然数一一对应【答案】C【分析】根据随机变量的定义直接得到答案.【解析】根据随机变量的定义知：随机变量的取值是实数，C正确；随机事件个数与随机变量不一定是一一对应的，A错误；离散型随机变量与区间不是一一对应的，B错误；连续型随机变量与自然数不是一一对应，D错误.2．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（）．A．至少取到1个白球B．取到白球的个数C．至多取到1个白球D．取到的球的个数【答案】B【分析】根据随机变量的定义进行求解.【解析】根据随机变量的定义，选项B是随机变量，其可能取值为0,1,2,其他三个选项均不能作为随机变量.3．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是（）A．25 B．10 C．15 D．9【答案】D【分析】根据有放回抽样，将号码之和可能的情况列举求解.【解析】由题意得：两个球的号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个. 4．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得ξ=表示（）分，则{}3A．甲赢三局B．甲赢一局输两局C．甲、乙平局二次D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次【答案】D【分析】列举出3ξ=的所有可能的情况，即得.【解析】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分， 故{}3ξ=表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次． 5．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q 等于（ ）A ．1 B ．12 C ．1D ．1的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量X ，则X 的可能取值为（ ） A ．1,2,3,,6⋅⋅⋅ B ．1,2,3,,7⋅⋅⋅ C ．0,1,2,,5⋅⋅⋅ D ．1,2,,5⋅⋅⋅【答案】B【分析】利用随机变量的定义求解. 【解析】因为取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球； 最多次数是7次，即把所有的黑球取完之后才取到白球． 所以取球次数可以是1，2，3，∙∙∙，7．7．随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1，2，…，10)，则a 的值为（ ） A ．1110B ．155C ．110D ．55【答案】B【分析】根据随机变量的概率和为1,列出方程即可求解 【解析】∵随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10， 且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1，2，…，10)， ∴a ＋2a ＋3a ＋…＋10a ＝1，123取值范围是（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[－3，3]D ．[0，1]9．某一随机变量ξ的概率分布如下表，且2 1.2m n +=，则2m -的值为（ ）A ．0.2-B ．0.2C ．0.1D ．0.1-10．若实数x ∈R ，记随机变量ξ＝0,01,(,0)x x ⎧⎪=⎨⎪-∈-∞⎩，则不等式1x ≥1的解集所对应的ξ的值为（ ）A ．1B ．0C ．－1D ．1或011．已知集合1,2,3,4A =，1,2,3,4,5B =，从集合A 中任取3个不同的元素，其中最小的元素用a 表示，从集合B 中任取3个不同的元素，其中最大的元素用b 表示，记X b a =-，则()3P X =为（ ） A ．920B ．154C ．38D ．41()0(1,2,,),1n i i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()(log )ni i i H X p p ==-∑．命题1：若1(1,2,,)i p i n n==，则()H X 随着n 的增大而增大；命题2：若2n m =，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，…，m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则()()H X H Y ≤．则以下结论正确的是（ ）A ．命题1正确，命题2错误B ．命题1错误，命题2正确C ．两个命题都错误D ．两个命题都正确1,2,,)n ，则1,2,,)n ，则21(1,2,,)m j p j m +-+，2212)()log (m m p p p -++2222log (...log m m p p p ++p p +13．设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：则下列各式不正确的是（ ）A ．P (ξ＜3)＝25B ．P (ξ＞1)＝45C ．P (2＜ξ＜4)＝25D ．P (ξ＜0.5)＝014．已知随机变量ξ的分布列为：若()223P x ξ<=，则实数x 的值可能是（ ）A ．1 B ．2 C ．3D ．4∴对于A ，1x =时，()()221063P P ξξ<===≠，故选项A 错误； 对于B ，2x =时，()()()222112201623P P P ξξξ<==+==+=，故选项B 正确； 对于C ，3x =时，()()()222112301623P P P ξξξ<==+==+=，故选项C 正确； 对于D ，4x =时，()()()222112401623P P P ξξξ<==+==+=，故选项D 正确. 15．一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X ，则下列结论正确的是（ ） A ．X 的所有可能取值是3，4，5B ．X 最有可能的取值是5。
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高三数学章节训练题28《随机变量及其分布》
时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分： 个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’）
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 1. 某一随机变量ξ的概率分布如下表，且2m n + 1.2=，则2
n m -的值为（ ）
A.－0.2；
B.0.2；
C.0.1；
D.－0.1
2. 一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则
=≤≤)3
5
31(ξP （ ） A.
7
1
B.
7
2 C.
7
3
D.
7
4 3. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （a 、b 、(0,1)c ∈），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab 的最大值为（ ）
A ．
1
48
B ．
124
C ．
112
D ．16
4. 如果随机变量()
ξμσξξ~N E D ，，，231==，则()P -≤<11ξ等于（ ）
A.241Φ()-
B.ΦΦ()()42-
C.ΦΦ()()24-
D.ΦΦ()()---42
5. 随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3P ξ<=，则（ ）
A ．3n =；
B ．4n =；
C ．10n =；
D ．不能确定
ξ 0 1
2 3
P 0.1 m n 0.1
6. 设ξ是离散型随机变量，32)(1=
=x p ξ，3
1
)(2==x p ξ，且21x x <，现已知：34=
ξE ，9
2
=ξD ，则21x x +的值为（ ） A.35 B.37 C.３ D.3
11 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 1. 甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲、乙命中的概率分别为32和5
4
，若命中目标的人数为ξ，则=ξE .
2. 一袋中装有４个白球，２个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现３次停止，设停止时,取球次数为随机变量X ,则==)5(X P ________．
3. 同时掷两枚骰子，它们各面分别刻有：3,3,3,2,2,1，若ξ为掷得点数之积，则E ξ= .
4. 设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，则q = .
ξ －1
0 1 P
2
1
1－2q
三、解答题：（本大题共2小题，每小题15分，满分30分）
1. 若随机事件A 在1次试验中发生的概率是p ，用随机变量ξ表示A 在1次实验中发生的次数。
（1）求方差ξD 的最大值；（2）求ξ
ξE D 1
2-的最大值.
2. 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为12，乙、丙面试合格的概率都是1
3
，且面试是否合格互不影响．求：
（1）至少有1人面试合格的概率; （2）签约人数ξ的分布列和数学期望．
高三数学章节训练题28《随机变量及其分布》答案
一、选择题
1. 答案：B ；[解题思路]： 由离散型随机变量分布列的性质可得 解析：由0.2m n ++1=，又2m n + 1.2=，可得2n m -0.2=
【名师指引】离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)
2.答案：D 解析：设二级品有k 个，∴ 一级品有k 2个，三级品有2k 个，总数为k 2
7
个。