专题04函数的性质-《从课本到高考》之集合与函数
高一至高三数学函数知识点
高一至高三数学函数知识点函数作为数学的重要概念，是高中数学学习中的重点和难点之一。
掌握好函数知识，对于学习其他数学分支以及应用数学都具有重要意义。
本文将从高一至高三的角度，全面介绍数学函数的基本知识点。
1. 函数的定义和性质函数是一个将一个集合中的元素唯一地对应到另一个集合中的元素的关系。
通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为函数值/因变量。
函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。
2. 基本函数类型常见的基本函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
线性函数是一次函数，表达式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
二次函数是一个形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c为常数，且a不为零。
指数函数是以a为底的x的指数函数，表达式为f(x) = a^x，其中a为常数且a大于0且不等于1。
对数函数是指数函数的反函数，以a为底的对数函数表达式为f(x) = logₐx，其中a为常数且a大于0且不等于1。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，是与三角比例相关的函数。
3. 函数的图像和性质函数的图像是函数在直角坐标系上的几何表达。
函数图像的性质包括对称性、平移、伸缩等。
对称性包括关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称。
平移是指通过改变函数表达式中的常数项或自变量的值，使得函数图像在坐标系上发生平行移动。
伸缩是通过改变函数表达式中的系数，使得函数图像在坐标系上发生纵向或横向的拉伸或压缩。
4. 函数的运算和复合函数函数之间可以进行加法、减法、乘法和除法的运算。
加法：对于函数f(x)和g(x)，定义f(x) + g(x) = h(x)，h(x)的函数值等于f(x)和g(x)对应函数值的和。
减法：对于函数f(x)和g(x)，定义f(x) - g(x) = h(x)，h(x)的函数值等于f(x)和g(x)对应函数值的差。
乘法：对于函数f(x)和g(x)，定义f(x) × g(x) = h(x)，h(x)的函数值等于f(x)和g(x)对应函数值的乘积。
高考数学中的集合论与函数知识点
高考数学中的集合论与函数知识点高考是人生中的一道重要关卡，其中数学是不可避免的一部分。
在数学中，集合论和函数是比较基础的知识点，也是需要我们认真掌握的。
本文将从集合论和函数中的常见概念、性质和解题方法等方面进行论述。
一、集合论1. 集合的定义在数学中，集合就是由若干个特定对象组成的一个整体。
例如，一堆苹果组成了苹果的集合，一堆数学题组成了题目的集合。
2. 集合的表示表示集合的方法有两种：枚举法和描述法。
枚举法就是直接把集合中的元素罗列出来，描述法则是用某些属性描述集合中的元素。
例如，集合A由1, 2, 3三个元素组成，可以用枚举法表示为A={1,2,3}，用描述法表示为A={x|x∈自然数，x≤3}。
3. 集合的运算集合的运算有并集、交集、差集和补集四种。
并集：表示两个集合中所有元素的总和。
用符号“∪”表示。
例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B={1,2,3,4}。
交集：表示两个集合中共有的元素。
用符号“∩”表示。
例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B={2,3}。
差集：表示一个集合中去掉另一个集合中相同的元素后剩下的元素。
用符号“-”表示。
例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A-B={1}，B-A={4}。
补集：表示全集中去掉某个集合中所有元素后剩下的元素。
用符号“C”表示。
例如，A={1,2,3}，全集U={1,2,3,4,5}，则A的补集为A^c={4,5}。
4. 集合的性质（1）自反性：任何集合都是该集合的子集。
（2）传递性：如果集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子集，则集合A也是集合C的子集。
（3）对称性：如果集合A是集合B的子集，那么如果在集合B中存在元素不在集合A中，那么集合B也不是集合A的子集。
5. 集合的应用集合论在高考数学中的应用比较广泛，尤其是在概率与统计中。
例如，众所周知，随机事件的可能性可以用概率来表示，而概率需要用到集合的运算。
高考数学集合和函数知识点
高考数学集合和函数知识点1. 集合的基本概念集合是数学中的基本概念之一，它是由确定的元素所组成的整体。
集合的元素可以是任意事物，比如数字、字母、图形等等。
集合用大写字母表示，元素用小写字母表示。
常见的集合有自然数集合N，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R等等。
集合之间可以进行运算，包括并集、交集、差集等等。
2. 集合的表示方法集合可以通过列举元素的方式表示，比如集合A={1, 2, 3}；也可以通过描述元素的特征来表示，比如集合B={x | x是偶数}。
3. 集合的运算3.1 并集并集是指两个集合中所有的元素的总和。
表示为A∪B，其中A和B是两个集合。
并集的结果是一个新的集合，其中包含了A和B中的所有元素。
例如，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}，它们的并集为A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
3.2 交集交集是指两个集合中共有的元素组成的集合。
表示为A∩B，其中A和B是两个集合。
交集的结果是一个新的集合，其中包含了A和B中共有的元素。
例如，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}，它们的交集为A∩B={3}。
3.3 差集差集是指从一个集合中去除另一个集合中的元素所得到的集合。
表示为A-B，其中A和B是两个集合。
差集的结果是一个新的集合，其中包含了A中去除掉B 中的元素。
例如，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}，它们的差集为A-B={1, 2}。
3.4 补集补集是指在某个全集中，不属于某个集合的元素所组成的集合。
表示为A的补集，其中A是一个集合。
补集的结果是一个新的集合，其中包含了全集中不属于A的元素。
例如，对于集合A={1, 2, 3}，它的补集为A的补集={x | x∈R, x≠1, x≠2, x≠3}。
4. 函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数由定义域、值域和对应关系组成。
集合与函数概念知识点
集合与函数概念知识点集合与函数是高中数学中的重要概念，在数学的各个领域中起着关键的作用。
集合是数学中最基础的概念之一，它是由不同元素组成的一种事物的整体。
而函数则是集合之间的一种特殊的关系，它描述了输入和输出之间的映射关系。
本文将从集合和函数的定义、性质和应用等方面来探讨这两个重要的数学概念。
首先，我们先来了解集合的概念。
集合是由一些确定的对象组成，这些对象称为集合的元素。
举个简单的例子，{1, 2, 3}就是一个集合，其中的1、2、3就是集合的元素。
在集合中，元素的顺序是无关紧要的，而且一个元素在集合中只会出现一次。
集合可以用不同的方式来表示，比如列举法、描述法和图示法等。
集合的基本运算包括交集、并集、补集和差集等，这些运算在解决实际问题时起到了重要的作用。
其次，我们来介绍函数的概念。
函数是集合之间的一种对应关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
函数可以用各种方式表示，比如用公式、图像、表格和文字描述等。
函数有很多重要的性质，比如一一对应、单调性和可逆性等。
其中，一一对应是指一个输入对应一个输出，输出不会重复；单调性则描述了函数的增减趋势；可逆性则表示函数的输入和输出之间存在着逆关系。
函数在数学中的应用非常广泛，如在几何学中用来描述图形的变换、在微积分中用来描述曲线的变化、在统计学中用来表示概率分布等。
进一步探讨，集合和函数之间存在着密切的关系。
事实上，函数可以看作是将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的一种特殊关系。
函数可以用集合来表示，其中输入的集合被称为定义域，输出的集合被称为值域。
函数的图像可以用集合的图示法来表示，其中每个点代表了函数中的一个元素对。
函数的特性可以通过集合的运算来研究，比如函数的复合、函数的反函数和函数的性质等。
通过研究函数与集合之间的关系，我们可以更好地理解函数的本质和特点。
最后，我们来谈一谈集合和函数在现实生活中的应用。
集合的应用非常广泛，比如在统计学中用来表示样本空间、在计算机科学中用来表示数据集、在金融学中用来表示投资组合等。
高一数学集合及函数基本性质归纳总结
高一数学知识点归纳总结一——集合及函数基本性质集合及集合的应用1. 掌握集合的有关基本定义概念运用集合的概念解决问题2. 掌握集合的包含关系子集、真子集3. 掌握集合的运算(交、并、补)4. 在解决有关集合问题时要注意各种思想方法数形结合、补集思想、分类讨论的运用. 【知识梳理】一、集合的有关概念(一) 集合的含义(二) 集合中元素的三个特性1.元素的确定性2.元素的互异性3.元素的无序性如{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合.(三) 集合的表示集合的表示方法列举法与描述法.常用数集及其记法非负整数集即自然数集记作：N；正整数集：N*或N+整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R.1列举法{a,b,c,…}2描述法将集合中的元素的公共属性描述出来写在大括号内表示集合的方法.如{x属于R| x-3>2},{x|x-3>2}.3语言描述法如{不是直角三角形的三角形}.4.Venn图.(四) 集合的分类1.有限集: 含有有限个元素的集合;2.无限集: 含有无限个元素的集合;3.空集: 不含任何元素的集合;如{x|x2=-5.二、集合间的基本关系1. “包含”关系——子集注意A∈B有两种可能1A是B的一部分2A与B是同一集合.2. “相等”关系A=B (5≥5且5≤5则5=5).实例设A={x|x2-1=0}B={-1,1}. 则A=B.元素相同则两集合相等,即①任何一个集合是它本身的子集②真子集:如果A∈B,且A≠B,那就说集合A是集合B的真子集③如果A∈B, B∈C ,那么A∈C④如果A∈B, 同时B∈A ,那么A=B.3. 不含任何元素的集合叫做空集规定: 空集是任何集合的子集空集是任何非空集合的真子集. 含有n个元素的集合有2n个子集,2n-1个真子集.三、集合的运算运算类型交集、并集、补集【方法归纳】一、对于集合的问题要确定属于哪一类集合（数集点集或某类图形集），然后再确定处理此类问题的方法.二、关于集合中的运算一般应把各参与运算的集合化到最简形式然后再进行运算.三、含参数的集合问题多根据集合的互异性处理有时需要用到分类讨论、数形集结合的思想.四、处理集合问题要多从已知出发多从特殊点出发来寻找突破口. 课堂精讲练习题考点一集合的概念与表示{3x x22x}中x应满足的条件是___________.【解题思路】x≠1且x≠0且x≠3.难度分级A类函数的图象及基本性质1理解函数概念2了解构成函数的三个要素3会求一些简单函数的定义域与值域4理解函数图象的意义5能正确画出一些常见函数的图象6会利用函数的图象求一些简单函数的值域、判断函数值的变化趋势7理解函数单调性概念8掌握判断函数单调性的方法会证明一些简单函数在某个区间上的单调性9会证明一些较复杂的函数在某个区间上的单调性10能利用函数的单调性解决一些简单的问题11了解函数奇偶性的含义12熟练掌握判断函数奇偶性的方法13熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质14能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题.【知识梳理】1函数的定义设,AB是两个非空数集如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x在集合B 中都有惟一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数记为y=f(x),其中输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域所有输出值y的取值集合叫做函数y=f(x)的值域.2函数的图象y=f(x)自变量的一个值x0作为横坐标相应的函数值作为纵坐标就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0))，当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象3函数y=f(x)的图象与其定义域、值域的对应关系y=f(x)的图象在x轴上的射影构成的集合对应着函数的定义域在y轴上的射影构成的集合对应着函数的值域4用列表来表示两个变量之间的函数关系的方法叫列表法，其优点是函数的输入值与输出值一目了然用等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫解析法(这个等式通常叫函数的解析表达式简称解析式),其优点是函数关系清楚容易从自变量求出其对应的函数值便于用解析式研究函数的性质用图象来表示两个变量之间的函数关系的方法叫图象法其优点是能直观地反映函数值随自变量变化的趋势8偶函数的定义：如果对于函数y=f(x)的定义域内的任意一个x都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数9奇函数的定义如果对于函数y=f(x)的定义域内的任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数10函数图象与单调性奇函数的图象关于原点对称偶函数的图象关于y轴对称一、求函数的定义域的常用求法(一）给出函数解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合常见类型有1. 分式的分母不为零.2. 偶次根式的被开方数大于或等于零.3. 对数的真数大于零,底数大于零且不等于1.4. 零次幂的底数不为零.5. 正切函数的定义域是x≠kπ+π/2（k属于Z）（二）已知fx的定义域求f(g(x))的定义域或已知f(g(x))的定义域求f(x)的定义域抓住两点1. 复合函数f(g(x))定义域都是指最内层函数即g(x)的x的取值范围.2. 内层函数的值域都应是外层函数定义域的子集.（三）实际问题中函数的定义域除了使式子本身有意义之外还应使实际问题有意义.二、函数的值域（一）弄清函数的类型几种常见函数类型1. 基本初等函数2. 有几个基本初等函数复合的函数(三)对于由几个初等函数复合而成的函数可以采用换元法求解.(四)处理复杂函数的值域问题可借助函数的单调性来处理.(五)处理分段函数的值域问题时分别求出每一段的值域然后取并集.四、函数的单调性（一）函数单调性的证明定义法是证明函数单调性的常用方法主要有以下步骤1. 根据题意在区间上设x1<x22. 比较f(x1)与f(x2)的大小3. 下结论“函数在某个区间上是单调增（或减）函数对于第二步常见的思路是作差，变形，定号其中变形主要指的是分解因式、通分、有理化等.（二）复合函数的单调性处理复合函数单调性问题的基本原则是同增异减.一般步骤：1. 写出符合函数的内层函数t=g(x)和外层函数y=f(t)2. 求出内外层函数的单调区间注意求外层函数的单调区间时要将t的范围转化成x的范围.3. 根据同增异减的原则利用取交集的方式求出复合函数的单调区间.三函数单调性的应用1. 比较大小若要比较大小的两个数结构、形式相同、可构造函数利用函数的单调性比较.2. 求函数的值域若函数的单调性可以求出则值域可求.3. 解不等式或方程若不等式方程的两边分别可以看出同一个函数的函数值可以利用单调性得出其自变量的大小关系从而得到简化的不等式方程.五、函数的奇偶性（一）函数奇偶性的判断:判断函数的奇偶性主要是定义法.一般步骤1.判断函数的定义域是否关于原点对称这是函数具有奇偶性的前提.2.判断f(x)和f(-x)是否相等或相反.（二）利用函数的奇偶性求函数的解析式已知函数在某区间解析式，要求其对称区间的解析式。
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数是数学中的基本概念之一，它在数学和实际问题的求解中起到重要的作用。
本文将介绍高一数学第三章中关于函数的基本性质，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、函数定义函数是一种特殊的关系，表示一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。
函数可以用符号表示，例如：f(x) = 2x + 1其中f表示函数名，x表示自变量，2x + 1表示函数的表达式，它们之间用等号连接。
二、函数的定义域和值域定义域是指函数的自变量的所有可能取值的集合，通常用D表示。
在上面的函数例子中，自变量x可以取任意实数值，所以定义域为全体实数。
值域是指函数的因变量的所有可能取值的集合，通常用R表示。
同样以例子函数f(x) = 2x + 1为例，它的值域是全体实数。
三、函数的奇偶性如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，则称其为非奇非偶函数。
四、函数的图像与性质函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。
函数的图像可以通过绘制函数的各个点来获得。
函数的图像具有以下性质：1. 对称性：偶函数的图像以y轴为对称轴，奇函数的图像以原点为对称中心；2. 单调性：如果对于定义域内的两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递增的；如果x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递减的；3. 最值：函数在定义域上的最大值称为最大值，函数在定义域上的最小值称为最小值；4. 零点：函数的零点是指使得f(x) = 0的自变量取值。
五、函数的初等函数性质初等函数是指常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
集合与函数综合 知识点整理
集合与函数综合 知识点整理+纠错知识点框架：一、集合的符号表示自然数集：N 正整数集：*N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 复数集：C 交集：A B I 并集：A B U 补集：U C A（不）属于：()a A ∈∉ （真）子集：()A B ⊆Ø 相等：A B = 空集：∅ 二、命题的关系函数的表示——映射：:f A B →对于任意一个集合A 中的数x ，在集合B 中都只有唯一的一个数()f x 与之对应。
函数的定义域和值域：几个特殊函数的记忆（()0f x x =；()log a f x x =；()tan f x x =等） 函数的增减性：（常考比较函数值大小、解不等式、求最值）1、导数法证明函数增减性：对于任意的[],x a b ∈，()()'0f x f x >⇔在[],a b 上为增函数；()()'0f x f x <⇔在[],a b 上为减函数；2、作商作差（定义法证明）；定理一：关于直线对称问题——若已知函数()y f x =的图像关于直线2a bx +=对称：()()()()f a x f b x f a b x f x ⇔+=-⇔+-=将定理一缩小到特殊情况：①函数()y f x =的图像关于直线x a =对称()()()()2f a x f a x f a x f x ⇔+=-⇔-=②函数()y f x =的图像关于y 轴对称（偶函数）()()f x f x ⇔=- ③函数()y f x a =+的图像是偶函数()f x ⇔关于直线x a =对称定理二：关于点对称问题——若已知函数()y f x =的图像关于点(),a b 对称：()()()()222f x b f a x f a x f a x b ⇔=--⇔++-=将定理二缩小到特殊情况：①函数()y f x =的图像关于点(),0a 对称()()2f x f a x ⇔=-- ②函数()y f x =的图像关于原点对称（奇函数）()()f x f x ⇔=--③函数()y f x a =+的图像关于原点对称（奇函数）()f x ⇔关于点(),0a 对称定理三：（性质）1、若函数()y f x =的图像有两条铅直对称轴x a =和x b =（a b ≠），那么()y f x =为周期函数，且函数有一个周期为2a b -2、若函数()y f x =的图像有一个对称中心(),M m n 一条铅直对称轴x a =，那么()y f x =为周期函数，且函数有一个周期为4a m -3、若函数()y f x =的图像有两个对称中心(),A a c 和(),B b c （a b ≠），那么()y f x =为周期函数，且函数有一个周期为2a b -4、若一个函数的反函数是他本身，那么它关于直线y x =对称。
高考总复习集合与函数概念知识点及习题
高考总复习集合与函数概念知识点及习题Revised final draft November 26, 2020第一章 集合与函数概念知识网络第一讲 集合 ★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系： 文字语言符号语言 属于 不属于4.常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集有理数集 实数集 复数集 符号 *N 或+N 二： 集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 相等 集合A 与集合B 中的所有元素都相同B A ⊆且A ⊆B⇔ 子集 A 中任意一元素均为B 中的元素B A ⊆或A B ⊇ 真子集A 中任意一元素均为B 中的元素，且B 中至少有一元素不是A 的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集A ⊆φ，φB （φ≠B ）三：集合的基本运算①两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: AB ={}x x A x B ∈∈或;③设全集是U,集合A U ⊆,则U C A ={}x x U x A ∈∉且交并补★重、难点突破集合集 合 表 示 法 集 合 的 运 算 集 合 的 关 系 列 举 法 描 述 法 图 示 法包 含 相 等 子集与真子交 集 并 集 补 集 函数 函数 及其表示 函数基本性质 单调性与最值 函数的概念 函数 的 奇偶性 函数的表示法 映射映射的概念 集合与函数概念重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。
难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。
重难点： 1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，{})(x f y x =如、{})(x f y y =、{})(),(x f y y x =等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：问题：已知集合221,1,9432x y x y M xN y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则M N=（ ） A. Φ；B. {})2,0(),0,3(；C. []3,3-；D. {}3,2(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn图。
集合与函数基本性质知识点分析整理
集合与函数基本性质知识点分析一、集合一）集合的有关概念1. 关于集合的元素的特征（1）元素的确定性：（2）元素的互异性：（3）元素的无序性： 2. 元素与集合的关系；属于a ∈A ，不属于a ∉A二）集合的表示方法：列举法；描述法；图示法；符号简记法。
三）集合的基本关系：1、集合与集合之间的“包含”关系；2、集合与集合之间的 “相等”关系；A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=AB BA B A3、真子集的概念4、空集的概念：不含有任何元素的集合称为空集，记作：∅规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
5、结论：1）、○1A A ⊆ ○2B A ⊆，且C B ⊆，则C A ⊆ 2）、点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅）一般地，含n(n ≠0)个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n2，所有真子集的个数是n2-1，非空真子集的个数为22-n四）集合的基本运算：1. 并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集记作：A ∪B ；A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示：2. 交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。
记作：A ∩B ；A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn图表示3. 补集：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。
补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集， 记作：C U A ；C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 说明：补集的概念必须要有全集的限制补集的Venn 图表示4. 集合基本运算的一些结论：交集：A ∩B ⊆A ， A ∩B ⊆B ， A ∩A=A ， A ∩∅=∅,A ∩B=B ∩AA ∪BB AA U并集：A ⊆A ∪B ， B ⊆A ∪B ， A ∪A=A ， A ∪∅=A, A ∪B=B ∪A 补集（C U A ）∪A=U ， （C U A ）∩A=∅若A ∩B=A ，则A ⊆B ，反之也成立 若A ∪B=B ，则A ⊆B ，反之也成立 若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B 6．摩根反演律：（A ∩B ）∪C = （A ∪C ）∩（A ∪C ）（A ∪B ）∩C = （A ∩C ）∪（A ∩C ）二、典型例题例1. 已知集合}33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，求a 。
集合与函数基本概念例题和知识点总结
集合与函数基本概念例题和知识点总结在数学的学习中，集合与函数是非常重要的基础概念。
理解和掌握它们对于后续的数学学习至关重要。
下面我们将通过一些例题来深入理解集合与函数的基本概念，并对相关知识点进行总结。
一、集合的基本概念集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
例如，｛1, 2, 3}就是一个集合，其中 1、2、3 是这个集合的元素。
集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。
列举法就是将集合中的元素一一列举出来，如{1, 2, 3}。
描述法是用元素所满足的条件来描述集合，比如{x ｜ x 是小于 5 的正整数}。
图示法常用的有韦恩图，它能直观地表示集合之间的关系。
集合之间的关系有子集、真子集、相等。
如果集合 A 的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集，记作A ⊆ B。
如果 A 是 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么 A 是B 的真子集，记作 A ⊂ B。
如果 A 和 B 的元素完全相同，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B。
下面我们通过一个例题来加深对集合概念的理解。
例 1：已知集合 A ＝｛1, 2, 3}，B ＝｛x ｜ x² 5x ＋ 6 ＝ 0}，判断A 和B 的关系。
首先，求解集合 B 中的方程 x² 5x ＋ 6 ＝ 0，即（x 2)（x 3) ＝ 0，解得 x ＝ 2 或 x ＝ 3。
所以集合 B ＝｛2, 3}。
因为集合 A 中的元素 1 不属于集合 B，而集合 B 的元素都属于集合A，所以 B 是 A 的真子集，即 B ⊂ A。
二、函数的基本概念函数是一种特殊的对应关系。
设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合B 的一个函数。
函数的三要素是定义域、值域和对应法则。
集合与函数概念知识点归纳
集合与函数概念知识点归纳
一、集合
1、定义：集合是一种特殊的数学概念，由一组无序的、相互独立的、具有相同特征的对象构成的。
2、术语：元素是集合中的每一个成员，例如：集合{1,2,3}中1,2,3
都是它的元素。
一个集合的元素称为它的子集，可以用一对大括号表示：{x,y,z}。
3、集合的关系：
（1）子集：如果一个集合包含另一个集合中的全部元素，称前者是
后者的子集。
（2）真子集：如果一个集合中包含另一个集合中的其中一元素，称
前者是后者的真子集。
（3）并集：并集是指两个集合中元素的总和，称为两个集合的并集。
（4）交集：交集是指两个集合中都包含的元素，称为两个集合的交集。
（5）补集：补集是指一个集合之外的其他元素，称为另一个集合的
补集。
4、集合的操作：
（1）加法：将元素加入到一些集合中，使得其包含的元素增加。
（2）减法：从一些集合中删除元素，使其包含的元素减少。
（3）求幂：将一些集合中的元素以其中一种方式考虑，得到一个新
的集合。
（4）合并操作：将两个集合中的元素合并成一个集合。
二、函数
1、定义：函数是一种特殊的数学概念，它表示两个变量之间的关系，当给定一个输入时，它可以将输入映射到一个输出。
2、术语：函数由函数表达式组成。
高中数学集合与函数
高中数学集合与函数集合与函数是高中数学中比较重要的概念，它们紧密联系并互相影响，熟悉它们有助于人们了解和掌握数学概念及其实例。
本文将对这两个概念进行总结，让读者全面了解它们以及它们之间的关联，为学习掌握这两个概念打下良好的基础。
首先，我们来说说集合。
集合是指将一组元素的总称，它们的特点是每个元素均为不同的有限元素。
集合由元素的有序组合构成，它可以包括所有的数（不论它们是实数、整数、自然数或二元数），以及所有的特殊符号和实体。
根据集合学的定义，某个元素只允许出现在集合中一次。
另外，集合还可以分为两类，有序集合和无序集合。
无序集合不考虑任何元素出现的顺序，而有序集合则不然，它们需要指定元素出现的顺序，因此，元素列表排列时可以就某一种特征进行编排，而无序集合则不然。
接下来，可以说说函数。
函数是指一种符号，它可从一个变量中获得另一个变量的函数值，它可以写成f（x）的形式，其中f表示函数，x表示变量。
函数也可以称为表达式，它们可以描述两个变量之间的关系。
函数可以分为两类，分母加函数和分母减函数。
分母加函数可以描述多个元素之间的关系，而分母减函数则可以描述不同元素之间的关系。
另外，函数也可以按照它的定义域和值域分为几类，如定义域是x，值域是f（x）的单调函数、隐函数、对称函数和反函数等。
从上面的讲述可以看出，集合和函数之间是有密切联系的，它们是关于不同变量之间关系的结果，特别是当实体存在时，集合和函数更是互相紧密相连。
一般而言，集合和函数之间的联系关系可以概括为集合定义实体，而函数描述其之间的关系和模式。
总之，高中数学中集合与函数是一种必须要了解和掌握的基本概念，它们不仅仅具有理论意义，而且还可以在实际应用中发挥重要的作用，从而帮助分析和解决现实中的问题。
因此，深入学习这两个概念有助于加深对数学的理解，有利于广大学生高效完成数学课程学习任务。
高一数学知识点集合与函数
高一数学知识点集合与函数【高一数学知识点集合与函数】数学是非常重要的一门学科，它贯穿了我们整个学习生涯。
本文将为大家详细介绍高一数学中的知识点——集合与函数。
一、集合集合是数学中的基本概念之一，它包含着一组特定对象，这些对象可以是数字、字母、词语等等。
集合的表示方法有多种，其中最常用的是列举法和描述法。
1.1 列举法列举法是通过将集合中的元素一一列举出来进行表示。
例如，集合A可以表示为A={1, 2, 3, 4}，表示A是由数字1、2、3、4组成的集合。
1.2 描述法描述法是通过描述集合中元素的特征或属性来表示。
例如，集合B可以表示为B={x | x是偶数，且0<x<10}，表示B是由介于0和10之间的偶数组成的集合。
二、函数函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素（称为自变量）映射到另一个集合的元素（称为因变量）。
函数可以用图表、映射图或公式表示。
2.1 图表表示法图表表示函数时，我们通常使用一个含有自变量和因变量的表格来展示函数的对应关系。
例如，下面是一个函数f(x)的图表表示：```x | 1 2 3 4 5f(x) | 2 4 6 8 10```这表示当自变量x分别取1、2、3、4、5时，函数f(x)的值分别为2、4、6、8、10。
2.2 映射图表示法映射图是通过箭头来表示函数的对应关系。
例如，下图是函数g(x)的映射图表示：```x↓1 → 2↓2 → 4↓3 → 6↓4 → 8↓5 → 10```这表示当自变量x分别取1、2、3、4、5时，函数g(x)的值分别为2、4、6、8、10。
2.3 公式表示法公式是用代数式来表示函数的对应关系。
例如，函数h(x)可以表示为h(x) = 2x，表示h(x)的值是自变量x的两倍。
三、常见函数类型高一数学中，我们将接触到一些常见的函数类型，例如线性函数、幂函数、指数函数、对数函数等等。
3.1 线性函数线性函数是函数图像呈直线的函数。
它的一般形式可以表示为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
认识集合和函数了解集合和函数的基本概念和性质
认识集合和函数了解集合和函数的基本概念和性质认识集合和函数：了解集合和函数的基本概念和性质集合和函数是数学中非常重要的概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。
本文将详细介绍集合和函数的基本概念和性质，帮助读者全面了解和掌握这两个概念。
一、集合的基本概念和符号表示集合是由若干确定的元素构成的整体。
数学中通常用大写字母表示集合，比如A、B、C等。
集合中的元素在数学上是没有顺序和重复的，每个元素要么属于该集合，要么不属于。
集合之间的关系可以用图示的方式来表示，即通过绘制Venn 图。
Venn图使用圆圈来表示集合，圆圈之间的交集和并集关系可以通过圆圈的重叠和相离程度来表示。
集合可以通过列举元素、描述特性和条件等方式进行表示。
比如，集合A={1, 2, 3}表示A是由元素1、2、3构成的集合。
二、集合的运算和性质集合有三种基本的运算：交集、并集和补集。
交集表示属于两个集合的公共元素，用符号∩表示。
比如，集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的交集为A∩B={2, 3}。
并集表示属于两个集合的所有元素，用符号∪表示。
比如，集合A和集合B的并集为A∪B={1, 2, 3, 4}。
补集表示不属于某个集合的元素，用符号'表示。
比如，对于集合A={1, 2, 3}，其补集为A'={4}。
集合运算满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
例如，对于任意集合A、B和C，有(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。
三、函数的基本概念和符号表示函数是集合与集合之间的一种对应关系。
每个元素在定义域中有唯一的对应元素在值域中。
常用的函数表示法有表格法、映射法和公式法。
表格法是通过一个二维表格来表示函数的对应关系，表格中的行代表定义域的元素，列代表值域的元素。
比如，定义域为A={1, 2, 3}，值域为B={4, 5, 6}的函数可以通过一个表格来表示。
映射法是通过箭头的方式来表示函数的对应关系，箭头从定义域指向值域。
数学集合与函数知识点总结
数学集合与函数知识点总结一、集合的基本概念1.1 集合的定义集合是指具有确定的特征和个数、可以确定归属关系的一组事物的总和。
集合中的元素可以是数字、字母、符号、实际事物或抽象概念等。
1.2 集合的表示方法集合可以用两种方式表示：列举法和描述法。
列举法是将集合的元素逐个列举出来，用大括号{}括起来表示；描述法是用适当的条件来表示集合的元素（x满足某个条件），一般用符号{}或者条件表达式表示。
1.3 集合的元素关系集合中的元素之间可以存在包含关系、相等关系和互不相交关系。
1.4 集合的运算常见的集合运算有并集、交集、差集、补集、直积等。
1.5 集合的基本性质集合的基本性质包括空集的唯一性、互补律、结合律、分配律、对称律等。
二、集合的性质和应用2.1 集合的性质集合的性质包括有限集合和无限集合、有穷集合和无穷集合、空集合和非空集合等。
2.2 集合的应用集合在数学和其他学科中都有很多应用，如概率论、图论、数理逻辑、离散数学等。
三、函数的基本概念3.1 函数的定义函数是一个元素集合到另一个元素集合的映射关系。
通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。
3.2 函数的图像函数的图像是函数的自变量和因变量的对应关系在平面直角坐标系中的表示，常用图形表示。
3.3 函数的特性函数具有单值性、有限性、相等性等特性，其中单值性是指每个自变量在函数中对应一个确定的因变量。
3.4 函数的表示方法函数可以用解析式、图象或者映射表示。
3.5 函数的分类函数可以按照定义域、值域、解析式的形式来分类，常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
四、函数的性质和应用4.1 函数的性质函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性、最值等。
4.2 函数的应用函数在数学和其他学科中有很多应用，可以用来描述现实生活中的变化规律，如物理学中的运动规律、经济学中的需求函数、生物学中的生长规律等。
五、数学集合与函数的综合应用5.1 集合与函数的关系集合与函数是数学中基本的概念，它们之间有着密切的关系。
集合与函数概念知识点总结
第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列举法与描述法和自然语言法。
注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a ∈A ，相反，a不属于集合A 记作aÏA列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xÎR| x-3>2}或{x| x-3>2}4、集合的分类：1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B 的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B①任何一个集合是它本身的子集。
高二集合与函数知识点归纳
高二集合与函数知识点归纳一、集合的基本概念集合是指具有某种特定性质的事物的总体，用大写字母A、B、C等表示。
集合中的元素用小写字母a、b、c等表示。
1.1 集合的表示方法集合可以通过列举元素的方法表示，也可以通过描述元素的性质表示。
例如：A = {1, 2, 3, 4, 5} （列举法）B = {x | x是自然数，0 < x < 10} （描述法）1.2 集合的关系（1）包含关系若集合A的所有元素都属于集合B，记作A ⊆ B，读作“集合A包含于集合B”。
例如：A = {1, 2, 3}，B = {1, 2, 3, 4}，则A ⊆ B。
（2）相等关系若集合A包含于集合B，并且集合B包含于集合A，则称集合A和集合B相等，记作A = B。
例如：A = {1, 2, 3}，B = {3, 2, 1}，则A = B。
（3）交集和并集设A和B是两个集合，其交集是指包含所有既属于A又属于B 的元素的集合，记作A ∩ B。
例如：A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A ∩ B = {2, 3}。
其并集是指包含所有属于A或属于B的元素的集合，记作A ∪ B。
例如：A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A ∪ B = {1, 2, 3, 4}。
二、函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它将集合A中的每个元素x唯一地对应到集合B中的一个元素y。
常用f(x)表示函数。
函数的定义域是指使函数有定义的集合，记作D(f)；函数的值域是指函数所有可能取值的集合，记作R(f)。
2.1 函数的表示方法函数可以用图像、显式公式和隐式公式等方式进行表示。
（1）显式公式表示当函数的定义域是一个数集，且通过一个公式可以直接表达函数的取值时，可使用显式公式表示函数。
例如：f(x) = x^2，其中定义域为实数集。
（2）图像表示函数的图像是函数的所有点在平面直角坐标系中的表示，通常用来直观地观察函数的性质。
集合与函数的性质课件
集合知识点总结一．考点热点重点：集合的概念，性质，表示方法，集合与集合之间的关系 难点：集合与集合之间的关系 （一）、集合有关概念1.集合与元素：集合与元素的关系有两种：属于和不属于，属于用符号“∈”表示，如a ∈A ，不属于用符号“∉”表示 如a ∉B2.集合中元素的三个特性：（1）元素的确定性，如：世界上最高的山（2）元素的互异性，如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性， 如：{a ,b ,c }和{a ,c ,b }是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A ={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法 （3）元素与集合的关系：,a A b A ∈∉ ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）：N ；正整数集：N*或 N + ； 整数集：Z ；有理数集：Q ；实数集：R （1）列举法：{a ,b ,c ……}，元素有限个（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
如：{x | x -3>2}，{x | x -3>2}（3）语言描述法，如：不是直角三角形的三角形组成的集合 （4）Venn （韦恩）图：4.集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合，记为Φ。
如：{x |x 2= -5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集注意：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合。
反之: 集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A ，记作A ⊆/B 或B ⊇/A 2.“相等”关系：A=B实例：设A={x |x 2-1=0}，B={-1,1}，“元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集，A ⊆A②真子集：如果A ⊆B ，且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A)或者说，如果A ⊆B ，且存在元素x B ∈，且x A ∉ ③如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么A ⊆C ④如果A ⊆B 同时 B ⊆A 那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定：空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
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专题4 函数的性质
【典例解析】
1.（必修1第44页复习参考题A组第9题）已知函数在上具有单调性，
求实数的取值范围.
【解析】方法一：的对称轴，要使函数在上具有单调性，
则或，解得的取值范围或.
方法二：可逆向思考，若时，在区间上无单调性，解得：
取它的补集得：的取值范围或.
【反思回顾】（1）知识反思；函数单调性的概念，二次函数及其性质；
（2）解题反思；本题已知区间有单调性，而对称轴不确定，即为轴动区间定问题。
可先求出二次函数含有参数的对称轴方程，再根据题中条件所给的区间建立方程或不等式求出参数的范围。
2.（必修1第39页习题1.3题A组第6题）已知函数是定义域在R 上的奇函数，
当时，。
画出函数的图象，并求出函数的解析式。
【答案】见解析
【解析】设时，则，又当时，，则
又是定义域在R 上的奇函数；所以
则得：，可得；
【反思回顾】（1）知识反思；函数奇偶性的概念，二次函数的图像；
（2）解题反思；本题先利用奇函数的图象关于原点对称画出函数的图象，在利用奇函数的定义求出函数
的解析式．利用奇偶性求函数解析式，此类问题的一般做法是：
①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．
②利用的奇偶性f(x) =－f(－x)或f(x) =f(－x)
③要利用已知区间的解析式进行代入，从而解出f (x ) ．
3.（必修1第39页复习参考题B 组第3题）已知函数是偶函数，而且在上是减函数， 判断在上是增函数还是减函数，并证明你的判断. 【解析】在上是减函数；
证明：设x 1＜x 2＜0则-x 1＞-x 2＞0，
∵
在（0，+∞）上是增函数∴f （-x 1）＞f （-x 2）
又是偶函数∴f （-x 1）=f （x 1），f （-x 2）=x 2）
∴f （x 1）＞f （x 2）∴
在（-∞，0）上是减函数。
【反思回顾】（1）知识反思；函数奇偶性与单调性
（2）解题反思；本题为抽象函数单调性的证明，可由条件出发，遵循单调性的证明步骤（设，作差，下结论），关键需借助偶函数的性质进行替换，完成证明。
同时启发我们注意函数性质之间的联系。
【知识背囊】
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f
(x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间.
2.函数的最值
3.。