三角形的角平分线、中线与高线
三角形的高,中线与角平分线
角平分线的计算方法
通过角度计算
给定一个三角形，可以通过测量或计算角度来确定角平分线的长度。
通过边长计算
已知三角形的三边长度，可以通过计算来找到角平分线的长度。
角平分线的应用
确定中点和垂直平分线
角平分线可以用来找到一个三角形内的中点，以及过这个中 点的垂直平分线。
判定定理的应用
角平分线的性质可以用于证明某些几何定理，如等腰三角形 的判定定理。
条垂直于底边的高。
注意事项和难点解析
高的定义
三角形的高是顶点到底边的垂线段。在直角三角形中， 斜边上的高是直角边上的高的2倍。
钝角三角形高的画法
在钝角三角形中，需要先确定钝角所对的边，然后在其 延长线上作高。
等腰三角形高的画法
在等腰三角形中，需要找到底边的中点，然后过该点作 两条相等的高。这两条高与底边形成一个等腰直角三角 形。
THANK YOU.
性质
三角形中线平分三角形的三条边，且三条中线交于一点。该交点称为三角形 的重心，每条中线与三条边的长度乘积相等。
中线的计算方法
方法一
利用几何作图法，通过三角形的顶点和对边中点直接连接得到中线。
方法二
通过三角形的顶点和对边中点的距离公式来计算中线的长度。公式为：$AD = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}}$，其中AD为中线长度，AB和AC为三角形的两边长度 。
性质
高是连接顶点和垂足的线段，并且高经过三角形的顶点，且 平行于底边。
高的计算方法
• 方法一：直接作图法 • 确定顶点和对边； • 过顶点作对边的垂线； • 连接顶点和垂足，得到高。 • 方法二：利用中线和角平分线性质作图法 • 作三角形中线或角平分线； • 在中线或角平分线上取一点，连接这个点和相应顶点，得到高。
三角形的高线、中线、角平分线
数学导案授课教师齐晓宁迟源授课班级七年级授课时间2013年3月5日课题三角形的高、中线与角平分线导学目标1、理解并掌握三角形的三条线段的定义、画法以及表示方法；2、理解三角形的三条线段所表示的意义；3、体会转化数学思想。
导学重难点三角形的三条线段的画法以及表示方法导学流程个案补充一、知识互动1、三角形的高线（1）定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作，和之间的线段。
（2）图形：（3）表示方法：①AD是△ABC的BC边上的高线②AD⊥BC于D③∠ADB=∠ADC=90°（4）请画出△ABC另两条边上的高以及△MAN、△DEF的三条高，从高线的位置角度考虑，得出什么结论?2、三角形的中线（1）定义：三角形中，连接一个顶点和它对边的线段。
（2）图形：（3）表示方法：①AE是△ABC的BC边上的中线②BC EC BE 21== （4）请画出△ABC 另两条边上的中线以及△MAN 、△DEF 的三条中线，从中线的位置考虑，你得出什么结论?（5）三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。
3、三角形的角平分线（1）定义：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。
（2）图形：（3）表示方法：①AM 是△ABC 的∠BAC 的平分线； ②BAC ∠=∠=∠2121 （4）请画出△ABC 另两条角平分线以及△MAN 、△DEF 的三条角平分线，从角平分线的位置考虑，你得出什么结论?（5）三角形的三条角平分线相交于一点，这个交点叫做三角形的内心。
【注】三角形的高、中线、角平分线都是 ；二垂线是 ； 角平分线是 。
二、例题讲解例1 如图1所示，图中共有 6 个三角形，若BC=CD=DE ，则AC 、AD 分别是 △ABD 、 △ACE 的中线。
图1 图2例2 如图2所示，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm,AC=8cm ,BC=10cm，∠CAB=90°。
三角形的角平分线中线高线
§5.1.3三角形的高、中线与角平分线1、[教学目标]基于上述对教材地位与作用的分析，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节如下的教学目标：（1）知识与技能目标：通过观察、画、折等实践操作、想像、推理、交流等过程，认识三角形的高线、角平分线、中线；会画出任意三角形的高线、角平分线、中线，通过画图、折纸了解三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线会交于一点．（2）过程与方法目标：经历画、折等实践操作活动过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神．学会用数学知识解决实际问题能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力．（3）情感与态度目标：通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心．2、教学重点：能够正确地画出三角形的“高”、“角平分线”和“中线”，并理解它们概念的含义、联系和区别．3、教学难点：在钝角三角形中作高，理解高所在直线交于一点．[教学过程]本节课按照“创设情境，引入新课”——“合作交流，探求新知”——“拓展创新，挑战自我”——“课堂小结，感悟反思”——“走出课堂，应用数学”的流程展开．（每一个同学准备一个锐角三角形的纸片）你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？从这三条高中你发现了什么？（这三条高之间有（可以反过来画好高后，找哪条边上高）=如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶边上高的是（）．你能画出三角形的所有中线吗？观察你们所作的图形，你又有哪些发现？与同伴交流．（分组合作交流）CD= , AF=，按图所示的方法折叠，和∠2两部分．观察1．三角形角平分线定义：三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形（准备三个三角形）你能分别画出或折出这三个三角形的角平分线。
高考数学二轮复习三角形中的中线、高线、角平分线问题ppt课件
三角形中的中线、高线、
角平分线问题
一、中线
2
2
2
2
1.中线长定理:在△ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,则 AB +AC =2(BD +AD )
推导过程:在△ABD 中,cos B=
在△ABC 中,cos B=
+ -
+ -
·
·
,求 c.
解:(2)设 BC 边上的高为 h,由三角形的面积公式得 S△ABC= ah= ×
bcsin A=×5c×sin=
c,所以
a=
c,即 a=
a=
c,
由余弦定理得 a2=25+c2-5c,
将 a=
c 代入上式得 c2+16c-80=0,解得 c=4 或-20(舍去),所以 c=4.
→
→ → →
+ +||·||·cos∠ADB,解得
cos∠ADB=.
三角形的角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比,
再结合共线定理的推论,就可以转化为向量.一般地,涉及三角形中“定比”
类问题,运用向量知识解决起来都较为简捷.
触类旁通2 如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,
→
→
→
→
→
两边平方得 4 = + +2·,
2
2
2
三角形的中线、高线、角平分线
三角形的中线、高线、角平分线【考点精讲】三角形的重要线段定义图形表示法说明三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
1. AD是△ABC的BC边上的高线。
2. AD⊥BC于D。
3.∠ADB=∠ADC=90°。
三角形有三条高，且它们（或它们的延长线）相交于一点，这个交点叫做三角形的垂心。
三角形的中线三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段。
1. AD是△ABC的BC边上的中线。
2. BD=DC=12BC。
三角形有三条中线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。
三角形的重心在三角形的内部。
三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，连接这1. AD是△AB C的∠BAC的平分线。
2.∠1=∠2=12∠BA C三角形有三条角平分线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形个角的顶点与交点之间的线段。
的内心。
三角形的内心在三角形的内部。
【典例精析】例题1 如图，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC 的高BE ，其中画对的是_______。
甲 乙 丙 丁思路导航：根据三角形的高是过一个顶点向对边引垂线，顶点与垂足之间的线段是该三角形的高，对各图形作出判断。
答案：丁点评：这是学生在画图时的一个易错点，通过本题理解画高时的两个注意点：一是过哪个点；二是垂直于哪条边。
这道题是过B 点，垂直于AC 边。
例题 2 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是______。
思路导航：根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论。
答案：设等腰三角形的腰长是x cm ，底边是y cm 。
根据题意，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+212122x y x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+122212x y x x ， 解得：⎩⎨⎧==178y x 或⎩⎨⎧==514y x根据三角形的三边关系，知：8，8，17不能组成三角形，应舍去。
三角形的高线、中线、角平分线最新教案
根据三角形的边长和角度特征，可以 将三角形分为不同类型，如等边三角 形、等腰三角形、直角三角形、锐角 三角形和钝角三角形等。
三角形内角和定理
内角和定理的推论
三角形内角和定理：三角形 的三个内角之和等于180°。
01
直角三角形的两个锐角互余。
02
03
一个三角形中，最多只有一 个直角或一个钝角。
d2=2S/(a+b-c)，d3=2S/(a+c-b)，其中S为三角形面积。
04
内心到三角形三顶点的距离与这三顶点到对边的垂足 所构成的三个三角形面积相等。
角平分线长度求解方法
01
公式法
对于三角形ABC，若已知两边a、b和夹角C，则其角平分线的长度l可用
公式 l = 2abcos(C/2) / (a + b) 计算。
课堂小测及成绩反馈
01
成绩反馈
02
本次课堂小测平均分为85分，最高分为100分，最低分为60分。
03
大部分同学对于三角形的高线、中线和角平分线的定义和性质掌握得 比较好，但在应用这些性质解决问题时还存在一些困难。
04
需要加强对于三角形基本性质的理解和应用能力，提高解题速度和准 确性。
THANKS.
推论3
以重心为起点，作三角形的三 条高线，这三条高线交于一点
，该点称为三角形的垂心。
中线长度求解方法
方法1
利用余弦定理求解。在已知三角 形两边长及其夹角的情况下，可 以利用余弦定理求解第三边长，
进而求得中线长度。
方法2
利用平行四边形法则求解。将三角 形补全为平行四边形，利用平行四 边形的性质求解中线长度。
02
面积法
三角形及其角平分线、中线和高线
三角形及其角平分线、中线和高线知识导引1、三角形的有关概念：定义：由不在通一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
外角：三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。
三角形的中线：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线。
三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
注意：三角形的中线、高线、角平分线都是线段。
2、三角形的边角关系：边与边的关系：三角形的任意一边大于另外两边之差，并小于另外两边之和。
角与角的关系：三角形的内角和等于180°，外角和等于360°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个和它不相邻的内角。
边与角的关系：在一个三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角。
3三角形的分类：按角分：三角形可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
按边分：三角形可分为不等边三角形、等腰三角形。
典例精析例1：现有2cm，4cm，5cm，8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）A、1个B、2个C、3个D、4个例2：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是BC边上的高线，∠B=20°，∠C=40°，求∠DAE 的度数。
例3：如图所示，平面上的六个点A、B、C、D、E、F构成一个封闭的折线图形。
求∠A＋∠B ＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的值。
例3—1：求如图1所示图形中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 的大小。
例3—2：如图所示，（∠1＋∠2－∠3）＋（∠4＋∠5－∠6）＋（∠7＋∠8－∠9）=例4：如图所示，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，且∠D=30°，求∠A 的度数。
三角形高中线角平分线
三角形的高、中线与角平分线三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 三角形的中线。
三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段。
三角形角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段。
D C B A D C B A 21D CB A∵AD 是△ABC 的BC 的高线.∵AE 是△ABC 的BC 的中线.∵AM 是△ABC 的∠BAC 的平分线. ∴AD⊥___ ∴BE=EC=12____. ∴∠1=∠2=12∠_____.∴∠ADB=∠AD C=____°.1．以下说法错误的是（ ）A ．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B ．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C ．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D ．三角形的三条高可能相交于外部一点2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，•那么这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定3．如图1，BD=12BC ，则BC 边上的中线为______，△ABD 的面积=_____的面积．(1) (2) (3)4．如图2，△ABC 中，高CD 、BE 、AF 相交于点O ，则△BOC•的三条高分别为线段________．5．下列图形中具有稳定性的是（ ）A ．梯形B ．菱形C ．三角形D ．正方形6．如图3，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，已知AB=5cm ，AC=3cm ，求△ABD•与△ACD 的周长之差． 7．如图，∠BAD=∠CAD ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，且BD=CD ．• 可知哪些线段是哪个三角形的角平分线、中线或高？ 8.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长． 9．有一块三角形优良品种试验基地， 如图所示，•由于引进四个优良品种 进行对比试验，需将这块土地分成面 积相等的四块，请你制定出两种以上 的划分方案供选择（画图说明）． 10．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC =4cm 2，求S △ABE ． 1、分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高。
三角形的高、中线、角平分线
三角形的中线是连结一个顶点和它对边的中点的线段，而过两点的直线有着本质的不同，一个代表的是线段，另一个却是直线．
(3)什么叫三角形的角平分线？三角形的角平分线与角平分线有何区别和联系？
三角形的角平分线是三角形的一个内角平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段，而角平分线指的是一条射线．
导学
目标
知识与
技能
经历折纸，画图等实践过程理解三角形的高、中线与角平分线．毛
过程与
方法
会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，通过画图理解三角形的三条高(及所在直线)交于一点，三角形的三条中线，三条角平分线等都交于一点
情感态度与价值观
培养学生辨别水平
各种三角形高线的画法
三角形的三条高交于一点，锐角三角形三条高交点在直角三角形内，直角三角形三条高线交点在直角三角形顶点，而钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部．
2．让学生在练习本上画三角形，并在这个三角形中画出它的三条中线．(假如他们所画的是锐角三角形，接着让他们画出直角三角形和钝角三角形，看看这些三角形的中线在哪里)？观察这三条中线的位置有何关系？
薛坪中学教师引导学生自主学习的预案设计
课题
三角形的高、中线、角平分线
环节
教师活动
预达目标
年级
班级
八年级
学科
数学
导学教师
Yt
课型
新授
探
究
深
化
训
练
为
能
2．仔细观察投影表中的内容，并回答下面问题．
(1)什么叫三角形的高？三角形的高与垂线有何区别和联系？三角形的高是从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，而从三角形一个顶点向它对边所在的直线作垂线这条垂线是直线．
初一数学《三角形的高线中线角平分线》
首先找到三角形的一边的中点，然后 通过该中点作一条与对顶点平行的线 段，接着在该线段上取中点，最后连 接这个中点与对顶点。
三角形的角平分线
03
三角形角平分线的定义
三角形角平分线是从三角形的一个角的顶点出发，将相对边分成两段相等的线段 ，并且与相对边相交的线段。
三角形有三条角平分线，分别对应三个内角。
在三角形的一边上取中点，作这边所对的角的平分线，与这边相交于一点，即为三 角形的角平分线。
利用尺规作图，通过三角形的内心，作三角形的三条边的垂直平分线，它们的交点 即为三角形的内心，从而作出角平分线。
三角形的高的中线与
04
角平分线的比较与关
系
高的中线与角平分线的异同点
相同点 都是从三角形的一个顶点出发，并连接到对边的某一点。
三角形中线的性质
三角形的中线与对应 的底边平行且等于底 边的一半。
三角形的重心将中线 分为两段，其中一段 是另一段的两倍长度。
三角形的三条中线相 交于一点，该点称为 三角形的重心。
三角形中线的作法
作法一
首先找到三角形的一个顶点，然后通 过该顶点作一条与对边平行的线段， 接着在该线段上取中点，最后连接这 个中点与对边的中点。
THANKS.
三角形角平分线的性质
三角形角平分线与相对边相交于 一点，这一点称为三角形的内心， 内心到三角形的三边距离相等。
三角形角平分线将相对边分成两 段相等的线段，即相对边被角平
分线分成两段等长的线段。
三角形角平分线的长度与相对边 的长度成正比。
三角形角平分线的作法
通过三角形的顶点，作对边的平行线，与对边相交于两点，连接这两个交点，即为 三角形的角平分线。
高的中线与角平分线在三角形中的相互转换关系
三角形的高线中线角平分线
如右图
A
∵D是BC的中点
∴BD=DC 而△ABD的面积=
—21
BD×AE
△ADC的面积= —12 DC×AE B E D
C
故△ABD的面积= △ADC的面积
也就是说： 三角形的任意一条中线把这个三角形分 成了两个面积相等的三角形。
三角形的中线
请同学们自己任意画一个三角形，然后画出它的中线。 想一想可以画几条？他们有什么特点？
D
C
三角形的高
(2)A怎样画三角A形的高线？（画法）A
G
F
B
E
CB
D
F
CB
CD E
三角形的高
小结: ①锐角三角形、直角三角形、钝角三角
形都有高线，三角形的三条高线所在直 线相交于一点。 ②锐角三角形的高线交于三角形的内部 一点。直角三角形高线交于直角顶点。 钝角三角形高线交于三角形外部一点。 ③三角形的高是线段，而垂线是直线。
学习目标：
1、认识三角形的角平分线、中线、 高这三种线段。
2、会画任意三角形的角平分线、中 线和高。
3、了解三角形的角平分线、中线、 高会相交于一点。
相关知识回顾
1.垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有
一个角是直角时，就说这两条直线互 相垂直，其中一条直线叫做另一条直 线的垂线。
2.线段中点的定义：把一条线段分成两条相等的
三角形 的中线
三角形中,连结
一个顶点和它对
边中的
线段
B
三角形一个内角
三角形的 角平分线
的平分线与它的 对边相交,这个 角顶点与交点之
间的线段
B
A
∵AD是△ABC的BC上的高线. ∴AD⊥BC D C ∠ADB=∠ADC=90°.
第二讲 三角形的高、中线与角平分线(含解析)(人教版)
第二讲三角形的高、中线与角平分线【学习目标】1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念。
2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法。
3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法。
【温故知新】1.垂线的定义2.线段中点的概念3.角平分线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段中点。
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
【新课学习】知识点1：三角形的高1.定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
2.如图所示，AD是边BC上的高。
3.三角形的高的做法：锐角三角形的高直角三角形的高钝角三角形的高4. 三角形的三条边上的高的交点锐角三角形的高交于三角形内部一点；交点在内部的三角形是锐角三角形。
直角三角形的高交于直角顶点；交点在顶点的三角形是直角三角形。
钝角三角形的高所在的直线交于三角形外部一点。
交点在外部的三角形是钝角三角形。
5.与三角形高相关的解题方法（1）记住三角形面积公式=BC AD/2（2）等面积法。
=BC AD/2= AC BE/2= AB CF/26.例题演练【例题1】如图，于点B，于点C，且AC与BD相交于点E，则的边DE上的高是____，边AE上的高是_____；若，，，则______．【答案】AB；DC；．【解析】的边DE上的高为线段AB，边AE上的高为线段DC．知识点2：三角形的中线1. 三角形的中线定义在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线. AE是BC边上的中线.2. 三角形的重心.每一个三角形都有三条中线，并且三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.【例题2】在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC的周长。
【答案】20cm.【解析】∵CD是△ABC的中线，∴BD＝AD，∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，则BD+CD＝25－BC.∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC＝BD＋CD＋AC＝25-BC＋AC＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.知识点3：三角形的角平分线1.三角形的角平分线的定义在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.注意：“三角形的角平分线”是一条线段.如上图线段AD是∠A的平分线。
专题(6)三角形的“角平分线”“中线”和“高线”教师版
高三第二轮专题复习专题（6）——三角形的“角平分线”、“中线”和“高线”类型1、三角形的内角平分线问题例1、如图，在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍.（1）求sin sin B C；（2）若1,2AD DC ==，求BD 和AC 的长.答案：（1）12；（2）1. 变式1、已知AD 为ABC ∆内角A 的角平分线，03,5,120AB AC BAC ==∠=，求AD 的长度.答案：158.变式2、在ABC ∆中，2,1AB AC ==,角A 的平分线1AD =，求ABC ∆的面积S .类型2、三角形的中线问题例2、在ABC ∆中，2,3,AB AC BC ==边上的中线2AD =，求ABC ∆的面积S .答案：4. 变式：在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知函数()sin(2)6f x x π=-满足： 对于任意,()()x R f x f A ∈≤恒成立．（1）求角A 的大小；（2）若a =BC 边上的中线AM 长的取值范围．解（1）由题意，∵对于任意,()()x R f x f A ∈≤恒成立， ∴()sin(2)6f x x π=-的最大值为()f A ， 当()f x 取得最大值时，22,62x k k Z πππ-=+∈，即,3x k k ππ=+∈Z ， ∴,3A k k ππ=+∈Z ，又∵A 是三角形的内角，即0A π<<，∴3A π=．（2）∵AM 是BC 边上的中线，∴在ABM ∆中，2232cos 4AM AM AMB c +-∠=， ①在ACM ∆中，2232cos 4AM AM AMC b +-∠=， ② 又∵AMB AMC π∠=-∠，∴cos cos AMB AMC ∠=-∠，①＋②得 222324b c AM +=-．由余弦定理222222cos 33a b c bc b c bc π=+-=+-=， ∵2222032b c b c bc +<+-=≤，∴2236b c <+≤，∴23944AM <≤32AM <≤ 类型3、三角形的高线例3、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足sin a A =. （1）求角B 的大小；（2）若点M 为BC 的中点，且AM AC =，求sin BAC ∠的值.答案：（1）3π；（2. 变式：已知ABC ∆的一个内角为0120，并且三边长构成公差为4的等差数列，求ABC ∆的面积.答案：类型4、四边形问题例4、在平面四边形ABCD 中，075,2A B C BC ====，求AB 的取值范围.答案：.变式：在平面四边形ABCD 中，内角A C 与互补，1,3,2AB BC CD DA ====.（1）求角C 和边BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.答案：（1）,3C BD π∠==（2）。
(完整版)三角形的中线、高线及角平分线
●
B
C
直角边BC边上的高是 AB ; 直角边AB边上的高是 CB ; 斜边AC边上的高是 BD ;
议一议
(1) 钝角三角形的
A
三条高交于一点吗？
它们所在的直线交于一点吗？
将你的结果与同伴进行交流. D
钝 角三角形的
三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高 所在直线交于一点
O
F
B
C
E
三角形的高的 表示法
叫做三角形这边的高，
简称三角形的高。
B
如图, 线段AD是BC边上的高.
任意画一个
锐角△ABC,
请你画出BC边上的高.
注意 ! 标明
垂直的记号
和垂足的字母.
B
A
01 23 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 23 4 5
D
C
A
D
C
每个人画一个锐角三角形纸片。 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗?
线有什么区别？
思
考
三角形的角平分线是一 条线段 , 角的平分线是 一条射线
知识归纳
三角形的 重要线段
概念
图形
表示法
从三角形的一个
三角形 的高线
顶点向它的对边 所在的直线作垂 线,顶点和垂足之
B
间的线段
∵AD是△ABC的BC上的高
A 线.
D C ∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
三角形 的中线
A
B
D
C
∵AD是△ ABC的高 ∴∠ BDA = ∠ CDA =90°
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高。
9.3三角形的角平分线、中线和高
这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。 ∵AD是 △ ABC的角平分线 １∠BAC ∴∠ BAD = ∠ CAD = ２
●
︶
1 2
● C B 三角形的三条角平分线相交于 D 一点,交点在三角形的内部
任意画一个三角形,然后利用量角器画出 这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?
角平分线的理解
B E D 图1-15 C
新乐市实验学校
例3：如图,AE是 △ ABC的角平分线.
已知∠B=40 , ∠ C=60 ,求下列角的
大小. (1) ∠CAE
C
0
0
(2) ∠BEA
A
E
B
新乐市实验学校
例4：如图，△ABC中，AD是BC边上的 中线，若△ABC的周长为35cm， BC=11cm，且△ABD与△ACD的周长差为 3cm，求AB与AC的长。
新乐市实验学校 从这个例题你有什么发现吗 ?
例2
如图1-15,在△ABC中,AE,AD分别是BC边上
中线和高,说明△ABE的面积与△AEC的面积相等.
解： ∵ AE是BC边上的中线
∴ BE = EC
A
∵ S ABE
S AEC
∴ SABE SAEC
1 EC AD 2
1 BE AD 2
∵BE是△ABC的角平分线
新乐市实验学校
A
1 ∠ABC ∠ ABE ∠CBE ∴ ____=_____= _____ 2
∵CF是△ABC的角平分线
F
O
E
∠ACF ∠BCF B ∴∠ACB=2______=2______
D
C
三角形的角平分线与角的 平分线有什么区别？
三角形高线中线与角平分线
D. 不能确定
三角形的中线的定义：
在三角形中，连接一个顶点与它对边
中点的线段,叫做这个三角形的中线. A ∵AD是△ ABC的 中线
BD
=CD =
1 2
BC
B
D
C
做一做:
任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出
这个三角形三条边的中线,你发现了什么?
三角形的三条中线交于一点
其中,AB边上的中线是__C_F___ BC边上的中线是__A__D__
做一做:
B
D
C
任意画一个三角形,然后利用量角器画出
这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?
三角形的三条角平分线线交于一点
A
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠_A_B__E=∠__C_B_E_= 1 _∠_A_B_C_
F
E
O
2
∵CF是△ABC的角平分线
∴∠ACB=2_∠__A_C_F_=2_∠_B_C__F_B
直角三角形的三条
D
高线相交于直角顶点.
B
C
口答： 如图的直角三角形ABC中，
直角边BC边上的高是 AB ;
直角边AB边上的高是 CB ;
斜边AC边上的高是 BD ;
议一议 钝角三角形的三条高
钝角三角形的三条高线 A
也相交于一点吗？试通过
F
画图来验证。
钝 角三角形的 三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高 所在直线交于一点
A
D
B
C
• 如果现在你手上有一张三角 形的纸，你能想几种办法画 出它的一个内角的平分线吗？
三角形的角平分线的定义：
• 在三角形中，一个内角的角平分线与它的 对边相交，这个角的顶点与交点之间的线 段叫做三角形的角平分线。
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BC边上的高是 AD ;
CA边上的高是 BF ;
拓拓展展练练习习
1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高(D )
C AD
DБайду номын сангаас
BC B
B C
CA
B (A)
(B)
AD (C)
D
A
(D)
2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个
顶点，那么这个三角形是（ B ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
∠B=450, ∠ C=600 ,求下列角的大小.
C
∠ CAE=__3_7__.50
E
∠ AEB=__9__7_.50
B
A
• 如图,在ΔABC中,角平分线BD、CE相 交于点O, 计算:
• (1)当∠A=50°时,求∠BOC; • (2)当∠BOC=130°时,求∠A.
(3)如果设∠A为α,求∠BOC(用α表示)
它的对边的垂线吗?
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B
C
三角形的高
从三角形的一个顶点
A
向它的对边所在直线作垂线， 顶点 和垂足 之间的线段 叫做三角形的高线，
简称三角形的高。(height) B 如图5−12, 线段AD是BC边上的高.
D
C
图5−12
任意画一个锐角△ABC, A
请你画出BC边上的高.
F
画图来验证。
钝 角三角形的 三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高 所在直线交于一点
DB
E OA
C F
D
B
C
E
练一练
分别指出图5—13中△ABC 的三条高。
A
A
D
B
C
直角边BC边上的 高是 AB边 ;
直角边AB边上的 高是 CB边 ;
斜边AC边上的 高是 BD ;
F
D
B
C
E
AB边上的高是 CE ;
A
D
B
C
• 如果现在你手上有一张三角 形的纸，你能想几种办法画 出它的一个内角的平分线吗？
回回顾顾 思思考考
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
画法
01 23 4 5 01 23 4 5 01 23 4 5
0 1 2 0 3 1 4 205 31 42 53 4 5
过三角形
的一个顶点，你能画出
直角三角形的三条高
做一做
画出直角三角形的三条高线,
A
它们有怎样的位置关系呢？
直角三角形的三条
D
高线相交于直角顶点.
B
C
口答： 如图的直角三角形ABC中，
直角边BC边上的高是 AB ;
直角边AB边上的高是 CB ;
斜边AC边上的高是 BD ;
议一议 钝角三角形的三条高
钝角三角形的三条高线 A
也相交于一点吗？试通过
A
DO E
C
B
三角形的中线的定义：
在三角形中，连接一个顶点与它对边
中点的线段,叫做这个三角形的中线. A ∵AD是△ ABC的 中线
BD =CD
=
1 2
BC
B
D
C
做一做:
任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出
这个三角形三条边的中线,你发现了什么?
三角形的三条中线交于一点
其中,AB边上的中线是__C_F___ BC边上的中线是__A__D__
三角形的角平分 线、中线和高线
、
三角形的角平分线的定义：
• 在三角形中，一个内角的角平分线与它的 对边相交，这个角的顶点与交点之间的线 段叫做三角形的角平分线。
∵AD是 △ ABC的 角平分线
A
∠ BAD = ∠ CAD = 1 ∠BAC 2
做一做:
B
D
C
任意画一个三角形,然后利用量角器画出
这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?
AC边上的中线是__B__E__
∵BE是中线
F
∴__A_E_=__C_E__=
1 2
_A__C__
∵CF是中线
B
∴AB=2___A_F__=2___B_F___
A
OE
D
C
思考:任意三角形的三条中线的交点都在三角形的内部吗?
• 在ΔABC中,CD是中线,已知 BC-AC=5cm, ΔDBC的周长为 25cm,求ΔADC的周长.
注意 ! 标明 垂直的记号
和垂足的字母. B
D
C
做一做 锐角三角形的三条高
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗?
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
将你的结果与同伴进行交流.
O
思考：
锐角三角形的三条高是 在三角形的内部还是外部?
锐角三角形的三条高相交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
C.钝角三角形
D.锐角三角形
3.三角形的三条高相交于一点，此一点定在（ D ）
A. 三角形的内部
B.三角形的外部
C.三角形的边上
D. 不能确定
这节课你有那些收获?
三角形的三条角平分线线交于一点
A
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠_A_B__E=_∠_C_B_E_= 1_∠_A_B__C
F
E
O
2
∵CF是△ABC的角平分线
∴∠ACB=2__∠__A_C_F=2__∠_B_C_F_ B
D
C
三角形的角平分线与角的
思
平分线有什么区别与联
考
系？
练习 如图,AE是 △ ABC的角平分线.已知