江西省于都中学高中数学2.7圆的渐开线与摆线教案北师大版选修44
高中数学第二章平摆线和渐开线学案北师大版选修4-4
§4 平摆线和渐开线1．了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程． 2．了解平摆线和渐开线在实际中的作用．一、平摆线1．平摆线(旋轮线)一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作______(或旋轮线)，如图．2．平摆线(旋轮线)的参数方程半径为r 的圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝(－∞＜α＜＋∞)．3．平摆线的性质当圆滚动半周时，过定点M 的半径转过的角度是π，点M 到达最高点____，再滚动半周，点M 到达______，这时圆周和x 轴又相切于点M ，得到平摆线的一拱．圆滚动一周时，平摆线出现一个周期．平摆线上点的纵坐标最大值是____，最小值是____，即平摆线的拱高为____．【做一做1】已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．那么圆的平摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2之间的距离为( )． A ．π2－1 B ． 2C ．10D ．32π－1 二、渐开线1．渐开线、基圆把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧再逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持____，此时，铅笔尖所画出的曲线称为此圆的______，此圆称为渐开线的____，如图．2．渐开线的参数方程半径为r 的圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ (其中φ为参数)．【做一做2－1】半径为4的圆的渐开线的参数方程为__________ .【做一做2－2】当φ为π2，π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ上对应点A ，B 的距离为__________．1．圆的平摆线的参数方程中的参数的几何意义剖析：根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程，可以知道其中的字母r 是指圆的半径，参数α是过圆周上点M 的半径与过圆与x 轴切点的半径的夹角．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．2．圆的渐开线的参数方程中的参数的几何意义剖析：根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r 是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时，半径OB 相对于Ox 转过的角度，如图，其中的∠AOB 即是角φ.显然点P 由参数φ唯一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．答案：一、1．平摆线2．r (α－sin α) r (1－cos α) 3．(πr,2r ) (2πr,0) 2r 0 2r【做一做1】C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－sin φ，y ＝31－cos φ(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3.∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－32π2＋3－22＝10.二、1．相切 渐开线 基圆2．r (cos φ＋φsin φ) r (sin φ－φcos φ)【做一做2－1】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋φsin φ，y ＝4sin φ－φcos φ(φ为参数) r ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋φsin φ，y ＝4sin φ－φcos φ(φ为参数)．【做一做2－2】5π2－4π＋82 当φ＝π2时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos π2＋π2sin π2＝π2，y ＝sin π2－π2cos π2＝1，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.当φ＝π时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos π＋πsin π＝－1，y ＝sin π－πcos π＝π，∴B (－1，π)．∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋12＋1－π2＝54π2－π＋2＝5π2－4π＋82.题型一 求平摆线的参数方程【例1】已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程．分析：根据圆的平摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ，y ＝r 1－cos φ(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的平摆线的参数方程即可．反思：要熟知平摆线的参数方程及每个字母的含义． 题型二 求渐开线的参数方程【例2】求半径为10的基圆的渐开线的参数方程． 分析：代入参数方程公式即可．反思：求渐开线的参数方程，只需知道半径即可． 题型三 平摆线、渐开线的参数方程的应用【例3】求平摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －sin t ，y ＝1－cos t(0≤t ＜2π)与直线y ＝1的交点的直角坐标．分析：利用参数方程求出t 的三角函数值，从而求出点的坐标．反思：解此类题，应明确相应参数的意义． 答案：【例1】解：令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r ＞0， 即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)． 又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得r ＝1k π(k ∈N ＋)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π.代入即可得圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ－sin φ，y ＝1π1－cos φ(φ为参数)．【例2】解：∵r ＝10，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10cos φ＋φsin φ，y ＝10sin φ－φcos φ(φ为参数)．【例3】解：由题意知，y ＝1－cos t ＝1，∴cos t ＝0，∴sin t ＝1.∴t ＝2k π＋π2(k ∈Z )，又∵0≤t ＜2π，∴t ＝π2.∴x ＝π2－1.∴交点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，1.1半径为2的圆的渐开线方程是( )．A ．=2cos sin =2sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ+⎧⎨-⎩（）,（）(φ为参数)B ．=2cos ,=2sin x y ϕϕ⎧⎨⎩(φ为参数)C ．=2sin ,=2cos x y ϕϕϕϕ⎧⎨-⎩(φ为参数)D ．()()2sin cos ,2cos sin x y ϕϕϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩(φ为参数)2半径为4的圆的平摆线参数方程为( )． A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数) B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4cos φ，y ＝－4sin φ(φ为参数)C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－sin φ，y ＝41－cos φ(φ为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝41－sin φ，y ＝4φ－cos φ(φ为参数)3面积为36π的圆的平摆线参数方程为__________． 4已知圆C 的参数方程是=16cos ,=26sin x y αα+⎧⎨-+⎩(α为参数)，直线l 对应的普通方程是x －y－62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请判断平移后圆和直线的位置关系？ (2)写出平移后圆的平摆线方程． (3)求平摆线和x 轴的交点． 答案： 1．A2．C 把r ＝4代入平摆线参数方程即可． 3．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6φ－sin φ，y ＝61－cos φ(φ为参数) S ＝36π，∴r ＝6. ∴平摆线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6φ－sin φ，y ＝61－cos φ(φ为参数)．4．解：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．(2)由于圆的半径是6，所以平摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6φ－sin φ，y ＝61－cos φ(φ为参数)．(3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1， 所以φ＝2k π(k ∈Z )．则x ＝12k π(k ∈Z )，即圆的平摆线和x 轴的交点为(12k π，0)(k ∈Z )．。
第2讲-渐开线和摆线 共27页
即得 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)．
课
代入 x＝r(φ－sin φ)，得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)．又因为 x＝2， 当
前
堂
自 主 导 学
所以 r(2kπ－sin 2kπ)＝2，即得 r＝k1π(k∈Z)．
双 基 达 标
又由实际可知 r>0，所以 r＝k1π(k∈N＋)．易知，当 k＝1
当 堂 双
主
基
导 学
解参数方程的过程，可知其中的字母 r
达 标
是指基圆的半径，而参数 φ 是指绳子外
端运动时绳子与基圆的切点 B 转过的角
课
堂 互
度，如图，其中的∠AOB 即是角 φ.显然
课
动
时
探 究
点 M 由参数 φ 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利
作 业
用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使
φ， φ
(φ 为参数)，
堂 双 基 达
学
分别把 φ＝π3和 φ＝π2代入，
标
课 堂 互
可得
A、B
两点的坐标分别为
3＋ A( 6
3π，3
36－π)，
课
动 探 究
B(π2，1)．
时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
那么，根据两点之间的距离公式可得 A、B 两点的距离为
课
当
前 自 主 导
|AB|＝
3＋ 6
课 时 作 业
线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的
实例.
菜单
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1．渐开线及其参数方程
课
当
前 自
(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头
高中数学 第二章 参数方程 2.4 平摆线和渐开线名师课件 北师大版选修4-4
则基圆的面积为 .
解析:由题意知基圆的半径为3,所以S=πr2=9π. 答案:9π
12345
5 已知圆 C 的参数方程是
������ ������
= =
1 + 6cos������, -2 + 6sin������
(������为参数),
直线������对应的普通方程是������ − ������ − 6 2 = 0.
B.
������ ������
= =
-4cos������, -4sin������
(������为参数)
C.
������ ������
= =
4(������-sin������), 4(1-cos������)
(������为参数)
D.
������ ������
= =
4(1-sin������), 4(������-cos������)
(������为参数)
答案:C
12345
3面积为81π的圆的平摆线的参数方程为
.
解析:因为 S=81π,所以 r=9.
所以圆的平摆线的参数方程为
������ ������
= =
99((���1���--csoins������������)),(������为参数).
答案:
������ ������
解:由题意知,y=1-cos t=1,所以 cos t=0,
∵当0t≤1=t<π2 2时π,,∴x=t1π2=−π2
, ������2 sin
=π2 =32ππ2. − 1, ������
=
1 − cos
π 2
=
1.
∴������
高中数学 第2章 参数方程 2.4 平摆线和渐开线课件 北师大版选修44
φ 取π2时对应的曲线上的点的坐标是________.
【导学号：12990031】
【解析】 所给的圆的渐开线的参数方程可化为
x＝21kπα－sinα， y＝21kπ1－cosα
(α 为参数，k∈N＋).
根据圆的摆线的参数方程
x＝rα－sin α， y＝r1－cos α
(α 为参数)，可知只需求出其中的半径 r.圆摆线的参数方
程即可写出，也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径唯一确定的.
【答案】 A
圆的渐开线参数方程及其应用 已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点 A，
B 对应的参数分别是π2和32π，求 A，B 两点间的距离.
【精彩点拨】 根据渐开线的参数方程，分别求出 A，B 两点的坐标，再由 A，B 两点间的距离公式求出.
【自主解答】 由题意，知 r＝1，则圆的渐开线参数方程为
【答案】 (1)√ (2)√
教材整理 2 渐开线的参数方程 1.把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头 离开圆周，保持线与 圆相切， 线头的轨迹就叫作圆的渐开线，相应的定圆 叫作渐开线的 基圆.
2.设基圆的半径为 r，圆的渐开线的参数方程是
x＝rcos φ＋φsin φ， y＝rsin φ－φcos φ
x＝cos φ＋φsin φ， y＝sin φ－φcos φ
(φ 为参数).
当 φ＝π2时，xy＝ ＝csions2ππ2－＋π2π2csoinsπ2π2＝＝π21， ，
所以 Aπ2，1.
当 φ＝32π时，xy＝ ＝csions3322ππ－＋3322ππ··csoins3322ππ＝＝－－312π，， 所以 B 点坐标为－32π，－1. 所以|AB|＝ π2＋32π2＋1＋12 ＝2 π2＋1.
高中数学第二章参数方程2.4平摆线和渐开线备课资料北师大版选修4_4
4.1 平摆线4.2 渐开线教学建议对于本节内容,课标中定位为了解,高考中也很少涉及,因此在教学中要控制好教学深度,只要能够让学生通过实例,了解平摆线、渐开线的定义及形成过程,以及二者参数方程的形式,注意参数方程中字母和参数的含义即可,无需人为地设置一些综合性较强的题目.备选习题我们都使用过蚊香,蚊香是由一圈螺旋线组成的.为了兼顾美观和燃烧的效果,通常在设计时,有以下几种方案:方案一:等速螺线,如图①.图中画出的关于点O对称的两支蚊香是沿这两支曲线剪开的平面部分(以下同).方案二:圆的渐开线,如图②.图中曲线是圆弧,曲线是圆的渐开线 (以下同).受方案二的启示,可得方案三:正方形的渐开线,如图③.请根据图①②③,写出图③对应曲线的方程.分析:本题是数学美在实际问题中的体现.要写出相应曲线的方程,可以根据曲线满足的条件,可以使用参数方程,普通方程或者极坐标方程写出,关键在于对知识的灵活掌握和应用.首先要明白渐开线的含义,可以根据课本中圆的渐开线的定义和求解的方法进行类比.建立适当的坐标系,根据条件写出坐标满足的关系式.解:在方案三中,曲线是由圆弧与圆弧内连接的,建立如题图中图③所示的直角坐标系,设OA=OC=1,则曲线的各段弧的方程如下(式中n∈N):(0≤x<1,≤y<0);x2+(y-1)2=2(4n-3)2〔4n-3≤x<(4n-3),-4n+4≤y<4n-2〕;(x+1)2+y2=2(4n-2)2〔-4n+1≤x<4n-3,4n-2≤y<(4n-2)〕;x2+(y+1)2=2(4n-1)2〔-(4n-1)≤x<-4n+1,-4n≤y<4n-2〕;(x-1)2+y2=2(4n)2(-4n+1≤x<4n+1,-4n≤y<-4n).。
高二数学北师大版选修4-4课件：2.4 平摆线和渐开线
(1)如果把圆心平移到原点 O,请问平移后圆和直线有什么关系?
(2)写出平移后圆的摆线方程.
(3)求摆线和 x 轴的交点.
探究一
探究二
探究三
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X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
解:(1)圆 C 平移后圆心为 O(0,0),它到直线 x-y-6 2=0 的距离为 d=6 22=6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的. (2)由于圆的半径是 6,所以可得摆线方程是 ������������==66������−−66csoisn������������,(φ 为参 数). (3)令 y=0,得 6-6cos φ=0⇒cos φ=1,所以 φ=2kπ(k∈Z).代入 x=6φ-6sin φ,得 x=12kπ(k∈Z),即圆的摆线和 x 轴的交点为(12kπ,0)(k∈Z).
离为
.
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X 新知导学 INZHI DAOXUE
1
2
解析:当 φ=π2时,
������ = cos π + π sin π
22
2
������
=
sin π
2
−
π 2
cos π
2
=
π 2
,
= 1,
∴点 A 为
π 2
,1
.
当 φ=π 时, ������ = cos π + πsin π = −1, ������ = sin π−πcos π = π,
1
2
2.平摆线(旋轮线)的参数方程 半径为r的圆在x轴上滚动,起点为原点O,它的平摆线的参数方程为
������ = ������(������−sin������),
高中数学第2章参数方程44.1平摆线4.2渐开线学案北师大版选修4_4
4.1 平摆线 4.2 渐开线学习目标：1.了解平摆线和渐开线的生成过程.2.能推导平摆线和渐开线的参数方程．(难点)3.掌握平摆线和渐开线参数方程的简单应用．(重点)教材整理1 平摆线及其参数方程1．一个圆在平面上沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线，简称摆线，又叫作旋轮线．2．设圆的半径为r ，圆滚动的角为α，那么摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (α－sin α)，y ＝r (1－cos α)(－∞<α<＋∞)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆的摆线实质上就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆圈上一个定点的轨迹．( )(2)求圆的摆线时，建立的坐标系不同，会得到不同的参数方程．( ) [答案] (1)√ (2)√ 教材整理2 渐开线的参数方程1．把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头离开圆周，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫作圆的渐开线，相应的定圆叫作渐开线的基圆．2．设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ是参数)．关于渐开线和摆线的叙述正确的是________(填序号)． ①只有圆才有渐开线；②平摆线和渐开线的概念是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形； ③正方形也可以有渐开线；④对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同． [解析] 对于①，不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，故①不正确；对于②，两者定义上虽有相似之处，但它们的实质是完全不同的，因此②不正确；对于③，正确；对于④，同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形大小和形状都是一样的，只有方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．[答案] ③【例1 [精彩点拨] 定点(1，0)―→滚动圆的半径―→ 平摆线的参数方程[尝试解答] 令r (1－cos α)＝0，可得cos α＝1. ∴α＝2k π(k ∈Z )，∴x ＝r (2k π－sin 2k π)＝1，∴r ＝12k π.又由题意可知，r 是圆的半径，故r ＞0. ∴应有k ＞0且k ∈Z ，即k ∈N ＋. ∴所求平摆线的参数方程是 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k π(α－sin α)，y ＝12k π(1－cos α)(α为参数，k ∈N ＋)．根据圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (α－sin α)，y ＝r (1－cos α)(α为参数)，可知只需求出其中的半径r .圆摆线的参数方程即可写出，也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径唯一确定的．1．平摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(α－sin α)，y ＝2(1－cos α)(0≤α≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A ．(π－2,2)，(3π＋2,2)B ．(π－3,2)，(3π＋3,2)C ．(π，2)，(－π，2)D ．(2π－2,2)，(2π＋2,2)[解析] y ＝2时，2＝2(1－cos α)， ∴cos α＝0.∵0≤α≤2π，∴α＝π2或32π，∴x 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－sin π2＝π－2，x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－sin 32π＝3π＋2.∴交点坐标为(π－2,2)，(3π＋2,2)．故选A. [答案] A【例2，B 对应的参数分别是π2和3π2，求A ，B 两点间的距离．[精彩点拨] 根据渐开线的参数方程，分别求出A ，B 两点的坐标，再由A ，B 两点间的距离公式求出．[尝试解答] 由题意，知r ＝1，则圆的渐开线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)．当φ＝π2时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos π2＋π2sin π2＝π2，y ＝sin π2－π2cos π2＝1，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1.当φ＝3π2时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 3π2＋3π2·sin 3π2＝－3π2，y ＝sin 3π2－3π2·cos 3π2＝－1，所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－1.所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋3π22＋(1＋1)2 ＝2π2＋1.利用圆的渐开线的参数方程求解有关问题时，关键是记住其参数方程的形式，并且弄清其中哪些字母已知，哪些字母待求．2．给出圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是________，当参数φ取π2时对应的曲线上的点的坐标是________．[解析] 所给的圆的渐开线的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(cos φ＋φsin φ)，y ＝4(sin φ－φcos φ)，所以基圆半径r ＝4.然后把φ＝π2代入方程，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋π2sin π2，y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2－π2cos π2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2π，y ＝4.所以当参数φ取π2时对应的曲线上的点的坐标是(2π，4)．[答案] 4 (2π，4)1．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程，但是转化出的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题．③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点． 其中正确的说法有( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．①③④[解析] 结合圆的渐开线的知识可知②③正确．[答案] C2．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)[解析] 当φ＝2π时，代入圆的渐开线方程． ∴x ＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6，y ＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π.[答案] C3．半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12πD ．14π[解析] 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3α－3sin α，y ＝3－3cos α(α为参数)．把y ＝0代入可得cos α＝1，所以α＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3α－3sin α＝6k π(k ∈Z )．故应选C.[答案] C4．已知圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是________．[解析] 圆的渐开线的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(cos φ＋φsin φ)，y ＝3(sin φ－φcos φ)(φ为参数)，圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径r ＝3.[答案] 35．已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程． [解] 令y ＝0， 可得r (1－cos α)＝0. ∵r ＞0，∴cos α＝1， ∴α＝2k π(k ∈Z )． 代入x ＝r (α－sin α)， 得x ＝r (2k π－sin 2k π)(k ∈Z )． 又∵x ＝2，∴r (2k π－sin 2k π)＝2，得r ＝1k π(k ∈Z )．又由实际可知r ＞0，所以r ＝1k π(k ∈N ＋)，易知当k ＝1时，r 取最大值1π. 代入，得圆的摆线的参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π(α－sin α)，y ＝1π(1－cos α)(α为参数)．。
高中数学 北师大版 选修 坐标系与参数方程 平摆线和渐开线部优课件
y
B
O
M
Ax
取为参数，则点B的坐标为（r cos, r sin）,从而
BM (x r cos, y r sin),| BM | r.
由于向量e1 (cos,sin)是与OB同方向的单位向量，
因而向量e2 (sin, cos)是与向量BM同方向的单位向量。
渐开线的参数方程
y
所以| BM | (r)e2,即
思考：小明同学的自行车轮上喷有一个红色印 记，当他骑车在笔直的道路上行驶时，这个红 色印记会画出一条什么样的曲线？
上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着 一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点 的轨迹是什么？
定义：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚 动时，圆周上一定点运动的轨迹叫做平摆线， 简称摆线.
相切于点A，圆心在点B。
从点M 分别做AB，x轴的垂线，垂足分别是C，D。
设点M的坐标为(x, y),取为参数，根据点M满足
的几何条件，有
y
B
M C
OD
A
Ex
x OD OA DA OA MC r r sin,
y DM AC AB CB r r cos.
所以，摆线的参数方程为：
齿 轮 工 作 原 理
课堂小结
摆线的参数方程
x
y
r( sin), r(1 cos).
(为参数)
渐开线的参数方程
x
y
r(cos r (sin
sin) cos)
(是参数)
作业
课本p47 1，2 推导短幅摆线、长幅摆线的参数方程.
B
O
M
Ax
BM (x r cos, y r sin) r(sin, cos)
高中数学 4.4.4 平摆线与圆的渐开线课件 苏教版选修4-4
准双曲面齿轮
第二十页，编辑于星期五：十点 三十八分。
小结： 1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程
第二十一页，编辑于星期五：十点 三十八分。
• 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，假设两圆 外切，就得到外摆线或变幅外摆线。
第五页，编辑于星期五：十点 三十八分。
4、渐开线的定义
探究：
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
第十四页，编辑于星期五：十点 三十八分。
曲齿
第十五页，编辑于星期五：十点 三十八分。
人字齿
第十六页，编辑于星期五：十点 三十八分。
相交轴齿轮传动机构〔圆锥齿轮传动机构〕
直齿
第十七页，编辑于星期五：十点 三十八分。
斜齿
第十八页，编辑于星期五：十点 三十八分。
曲线齿
第十九页，编辑于星期五：十点 三十八分。
动点〔笔尖〕满足什么几何条件？
设 开 始 时 绳 子 外 端 （ 笔 尖 ） 位 于 点 A ，
当 外 端 展 开 到 点 M 时 ， 因 为 绳 子 对 圆 心 角 的 一 段 弧 A B ，
展 开 后 成 为 切 线 ， 所 以 切 线 B M 的 长 就 是 A B 的 长 ，
这 是 动 点 （ 笔 尖 ） 满 足 的 几 何 条 件 。
平摆线与圆的渐开线
第一页，编辑于星期五：十点 三十八分。
1、摆线的定义
思考：P51 如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直
的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？
摆线在它与定直线的两个相邻交点
高中数学第二章参数方程24平摆线和渐开线课件北师大版选修4
π
5．圆的渐开线 y＝ 2（sint－tcost）
(t 为参数)上与 t＝ 4
对应的点的直角坐标为________．
第26页
ππ 答案 (1＋ 4 ，1－ 4 )
π
ππ π
π
解析 t＝ 4 时 x＝ 2(cos 4 ＋ 4 sin 4 )＝1＋ 4 ，
ππ π
π
y＝ 2(sin 4 － 4 cos 4 )＝1－ 4 .
复习课件
高中数学第二章参数方程24平摆线和渐开线课件北师大版选修4
2021/4/17
高中数学第二章参数方程24平摆线和渐开线课件北师大版 选修4
§4 平摆线和渐开线
第2页
知识探究
第3页
1.平摆线 (1)平摆线的定义： 一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周 上一定点的运动轨迹叫作平摆线，又叫旋轮线．
线的拱高为________．
答案 4 解析 圆的半径 r＝2，所以拱高 2r＝4.
第24页
4．已知圆的半径为 3，圆心在原点，动点的初时位置在 x 轴
正半轴上，则圆的渐开线方程为________．
x＝3（cosφ＋φsinφ），
答案
(φ 为参数)
y＝3（sinφ－φcosφ）
第25页
x＝ 2（cost＋tsint），
所以 φ＝2kπ(k∈Z)代入可得 x＝r(2kπ－sin2kπ)＝1.
第10页
所以 r＝2k1π. 又 r>0.所以，应有 k>0 且 k∈Z， 即 k∈N＋. 所以，所求平摆线的参数方程是 x＝2k1π（φ－sinφ）， y＝2k1π（1－cosφ） (φ 为参数)(其中 k∈N＋)．
第11页
2019学年高中数学 4.4.4 平摆线与圆的渐开线学案 苏教版选修4-4
又因为x＝2，所以r(2kπ－sin 2kπ)＝2，
即得r＝ (k∈N＋)．
易知，当k＝1时，r取最大值为 .
代入即可得圆的平摆线的参数方程为
(φ为参数).
圆的渐开线
已知圆的参数φ取 时，求对应曲线上点的坐标．
【思路探究】由圆的渐开线的参数方程形式可得r＝3，把φ＝ 代入即得对应的坐标．
【自主解答】∵ ，∴半径为3.
此渐开线的基圆方程为x2＋y2＝9.
把φ＝ 代入参数方程得
即
∴曲线上点的坐标为( ，3)．
圆的渐开线参数方程
其中φ为参数．
[再练一题]
2．已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A、B对应的参数分别是 和 ，求A、B两点的距离．
我还有这些不足：
(1)_____________________________________________________
解惑：_____________________________________________________
疑问3：_____________________________________________________
解惑：_____________________________________________________
1．了解平摆线、圆的渐开线的生成过程，能导出它们的参数方程．
2．在欣赏曲线美的同时，体会参数方程在曲线研究中的地位．
3．体会“参数”思想在处理较为复杂问题时的优越性．
[基础·初探]
1．平摆线
(1)如图447所示，假设A为圆心，圆周上的定点为P，开始时位于O处，圆(半径为r)在直线上滚动时，点P绕圆心做圆周运动，转过θ(弧度)角后，圆与直线相切于B，线段OB的长等于 的长，即OB＝rθ.这就是圆周上的定点P在圆A沿直线滚动过程中满足的几何条件．我们把点P的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．
精品2019学年高中数学 4.4.4 平摆线与圆的渐开线学案 苏教版选修4-4
4.4.4 平摆线与圆的渐开线1．了解平摆线、圆的渐开线的生成过程，能导出它们的参数方程． 2．在欣赏曲线美的同时，体会参数方程在曲线研究中的地位． 3．体会“参数”思想在处理较为复杂问题时的优越性．[基础·初探]1．平摆线(1)如图447所示，假设A 为圆心，圆周上的定点为P ，开始时位于O 处，圆(半径为r )在直线上滚动时，点P 绕圆心做圆周运动，转过θ(弧度)角后，圆与直线相切于B ，线段OB 的长等于的长，即OB ＝r θ.这就是圆周上的定点P 在圆A 沿直线滚动过程中满足的几何条件．我们把点P 的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．图447(2)以定直线为x 轴，点O 为原点建立直角坐标系，则定点P (x ，y )的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rθ－sin θ，y ＝r －cos θ(θ为参数)．2．圆的渐开线有一条钢丝紧箍在一个半径为r 的圆盘上，在钢丝的外端系上一支铅笔，逐渐撒开钢丝，并使撒开的部分成为圆盘的切线，我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．[思考·探究]1．用参数法求曲线的轨迹方程的步骤是什么？【提示】 用参数法求曲线的轨迹方程，其步骤主要有三步：选参、用参、消参．其中关键是选参，若题目没有明确要求化为普通方程(或需判断曲线的形状和位置)，则可以用曲线的参数方程作为答案．2．圆的渐开线的参数方程中的参数的几何意义是什么？【提示】 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r 是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时，半径OB 相对于Ox 转过的角度，如图，其中的∠AOB 即是角φ.显然点P 由参数φ惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________【自主解答】 根据圆的摆线的参数方程的表达式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ－sin φ，y ＝r －cos φ(φ为参数)可知，只需求出其中的r ，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径惟一来确定，因此只需把点(1,0)代入参数方程求出r 值再代入参数方程的表达式．令r (1－cos φ)＝0可得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )代入可得x ＝r (2k π－sin 2k π)＝1. 所以r ＝12k π.又根据实际情况可知r 是圆的半径，故r >0. 所以，应有k >0且k ∈Z ， 即k ∈N ＋.所以，所求摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k πφ－sin φ，y＝12k π－cos φ(其中φ为参数，k ∈N ＋)．[再练一题]1．已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程．【解】 令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r ＞0， 即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)． 又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2， 即得r ＝1k π(k ∈N ＋)． 易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π.代入即可得圆的平摆线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ－sin φ，y＝1π－cos φ(φ为参数).⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)求出该渐开线的基圆的方程，当参数φ取π2时，求对应曲线上点的坐标．【思路探究】 由圆的渐开线的参数方程形式可得r ＝3，把φ＝π2代入即得对应的坐标．【自主解答】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φy ＝3sin φ－3φcos φ，∴半径为3.此渐开线的基圆方程为x 2＋y 2＝9.把φ＝π2代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π2＋π2sin π2，y ＝π2－π2cos π2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3π2，y ＝3.∴曲线上点的坐标为(3π2，3)．圆的渐开线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ＋φsin φ，y ＝r φ－φcos φ，其中φ为参数．[再练一题]2．已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A 、B 对应的参数分别是π3和π2，求A 、B两点的距离．【导学号：98990038】【解】 根据条件可知圆的半径是1， 所以对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A 、B 两点的坐标分别为A (3＋3π6，33－π6)，B (π2，1)．那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为AB ＝3＋3π6－π22＋33－π6－2＝16－63π2－6π－363＋72.即A 、B 两点之间的距离为 16－63π2－6π－363＋72.1．若某圆的渐开线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此圆的方程是_______，对应φ＝0的点的坐标是________，对应φ＝π2的点是________．【解析】 圆的方程为x 2＋y 2＝1，φ＝0的点的坐标是(1,0)，对应φ＝π2的点的坐标是(π2，1)．【答案】 x 2＋y 2＝1 (1,0) (π2，1)2．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝θ－sin θ，y ＝－cos θ(0≤θ≤2π)与直线y ＝1交点的直角坐标为________．【导学号：98990039】【解析】 当y ＝1时，有2(1－cos θ)＝1， ∴cos θ＝12，又∵0≤θ≤2π，∴θ＝π3或5π3，当θ＝π3时，x ＝2π3－3；当θ＝5π3时，x ＝10π3＋ 3.【答案】 (2π3－3，1)，(3＋10π3，1)3．如图448，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中弧AE 、EF 、FG 、GH 的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是________．图448【解析】 ＝2π ，相加得5π. 【答案】 5π4．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．那么圆的平摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2之间的距离为________． 【解析】 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π2－，y ＝3即A (3(π2－1)，3)，∴AB ＝π2－－32π]2＋－2＝10.【答案】10我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________(2)_____________________________________________________。
【2019-2020】高中数学第二章参数方程第4节摆线和渐开线检测北师大版选修4_4
教学资料参考范本【2019-2020】高中数学第二章参数方程第4节摆线和渐开线检测北师大版选修4_4撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________一、选择题(每小题5分，共20分)1．当φ＝2π时，圆的渐开线上的点是( ) A ．(6,0) B ．(6,6π) C ．(6，－12π) D ．(－π，12π)解析： 当φ＝2π时， 得，故点(6，－12π)为所求． 答案： C2．已知一个圆的参数方程是(θ为参数)，那么圆的摆线方程中参数φ＝对应的点的坐标与点之间的距离为( )A ．－1B ． 2C ．D ．3π2解析： 根据圆的参数方程可知圆的半径是3，那么其对应的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程，得，代入距离公式，可得距离为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π2＝.答案： C3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( ) A．①③ B．②④C．②③ D．①③④解析：本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．答案：C4. 如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…中做“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是( )A．3πB．4πC．5πD．6π解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．给出某渐开线的参数方程(φ为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是________，且当参数φ取时对应的曲线上的点的坐标是________.解析： 本题考查对渐开线参数方程的理解．根据一般情况下基圆半径为r 的渐开线的参数方程(φ为参数)进行对照可知，这里的r ＝3，即基圆半径是3.然后把φ＝分别代入x 和y ，可得即得对应的点的坐标．答案： 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，36．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两焦点间的距离为________.解析： 根据渐开线方程，知基圆的半径为6，则基圆的方程为x2＋y2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍，得到的椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，对应的焦点坐标为(6，，0)和(－6，0)，它们之间的距离为12.答案： 12 3三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知圆C 的参数方程是(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －6＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线满足什么关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程．解析： (1)圆C 平移后圆心为O(0,0)， 它到直线x －y －6＝0的距离d ＝＝6， 恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是(φ为参数)．8．已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解析： 首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎨⎧ x＝4cos φ＋4φsin φ，y＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．9．(10分)已知圆C 的半径为2，圆周上有一点A ，当圆C 沿直线l 滚动时，(1)求CA 中点的轨迹方程；(2)若在CA 的延长线上取点Q ，使|AQ|＝|CA|，求Q 的轨迹方程． 解析： (1)以直线l 为x 轴，点A 落在直线上的初始位置为原点建立坐标系，当圆C 转过θ角时，圆心的坐标为(2θ，2)，根据已知，点A 的轨迹是平摆线，此时A 点坐标为(2θ－2sin θ，2－2cos θ)，设CA 中点P 的坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x＝12θ＋2θ－2sin θy＝12θ即为P 点的轨迹方程． (2)设点Q 的坐标为(x ，y)． ∵|AQ|＝|CA|，∴A 为CQ 的中点，故有⎩⎨⎧xQ＝2xA－xCyQ＝2yA－yC∴，为Q 点的轨迹方程．。
圆的渐开线的参数方程教学设计
第1页术应用（一）创设情境、激发兴趣（二）小组合作，初步探索，直观感知一．圆的渐开线的生成过程及定义同学们，当我们到工厂参观时会看到很多的机械加工设备，细心的同学还会注意到很多机械零件的轮廓是一些特殊的曲线。
屏幕上所展现的这些齿轮的齿形应用的就是圆的渐开线。
从中抽象出一个齿形介绍从齿顶到齿根间的轮廓的设计应用的就是圆的渐开线。
课堂活动下面请同学们做以下活动：把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线.思考：这条曲线的形状怎样？活动材料：学生根据教材自制画圆的渐开线教具应用PPT动画展现应用圆的渐开线设计的齿轮在生产生活中的应用。
抽象出一个齿形，师介绍齿根与齿顶间的轮廓线便是应用圆的渐开线设计的。
这样学生们对圆的渐开线的形状有个初步的了解。
板书课题师给出画圆的渐开线的具体的操作过程、小组分工通过实例让学生感受渐开线的存在，了解圆的渐开线在生产生活中的广泛应用，从而增加学生学习兴趣.提高学生的动手能力。
通过近距离的操作，也可以帮助学生更直观的抓住渐开线的性质特征。
应用PPT动画展现应用圆的渐开线设计的齿轮在生产生活中的应用。
展现一个齿形的剖面图PPT展示活动的具体步骤与要求第2页（三）合作探究、构建新知层层深入，掌握新知小组分工：一名同学将圆盘固定在练习纸上；一名同学将细绳完全绕在圆盘上，笔尖固定圆盘根部，慢慢拉开细绳，并始终保持细绳与卷圆盘相切.其余同学认真观察，记录活动过程，并不断提醒组员始终保持细绳与圆盘相切并思考在整个操作过程中笔尖满足哪些等量关系。
完成之后画上笔尖的轨迹与圆盘。
活动结束后学生，利用几何画板展示圆的渐开线的几何过程。
二．圆的渐开线的参数方程方程是研究曲线性质的一个重要途径，我们已学过极坐标系下的极坐标方程，直角坐标系下的普通方程和参数方程，我们能否求出圆的渐开线的普通方程？问题设计：些？求曲线方程的步骤有哪.1系？如何建立平面直角坐标.2的关系？的坐标能否直接列出点yx,M.3数？哪些几何量可以做为参.4满足哪些几何条件？动点M.5各小组同学互相配合，分工明确，并探究笔尖所满足的几何条件。
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第七课时 圆的渐开线与摆线
一、教学目标：
知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程. 过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程
教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法
三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学. 四、教学过程：
（一）、复习引入：复习：圆的参数方程 （二）、新课探析：
1、以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 方程为⎩
⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x （ϕ2定点M 设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为。
⎩⎨
⎧-=-=)
cos 1()
sin (ϕϕϕr y r x （ϕ为参数）
（三）、例题与训练题：
例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程 变式训练1 当2
π
ϕ=
，π时，求圆渐开线⎩⎨
⎧-=+=ϕ
ϕϕϕ
ϕϕcos sin sin cos y x 上对应点A 、B 坐标并
求出A 、B 间的距离。
变式训练2 求圆的渐开线⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)
cos (sin 2)
sin (cos 2t t t y t t t x 上当4π=t 对应的点的直角坐标。
例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程
变式训练3： 求摆线⎩⎨
⎧-=-=t
y t
t x cos 1sin π20≤≤t 与直线1=y 的交点的直角坐标
例3、设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M 它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴。
（四）、小结：本节课学习了以下内容：
1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程； 2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程
3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问题。