2018年高中数学人教版选修4-4课件：渐开线与摆线
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人教版高中数学选修4-4课件：第二讲四渐开线与摆线
解：由摆线的参数方程易知半径为 2 的圆的参数方程
x＝2（φ－sin φ），
为：
(φ 为参数)．
y＝2（1－cos φ）
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24
归纳升华 1．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动 地滚动时圆周上一个定点的轨迹． 2．根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可 知其中的字母 r 是指定圆的半径，参数 φ 是指圆上定点相 对于某一定点运动所张开的角度大小．
于渐开线和坐标轴的交点要看坐标系的选取．
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
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2．当 φ＝2π 时，圆的渐开线
x＝6（cos y＝6（sin
φ＋φsin φ－φcos
φ）， φ） (φ
为参数)上的点是(
)
A．(6，0)
B．(6，6π)
C．(6，－12π) D．(－π，12π)
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22
由于 r 表示圆的半径，故 r>0，所以 r＝2k1π(k∈N*)，
故所求摆线的参数方程为
x＝2k1π（φ－sin y＝2k1π（1－cos
φ）， (φ
φ）
为参数，其中
k∈N*)．
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[迁移探究] (变换条件)把典例 2 中的条件“摆线过 一定点(1，0)”改为“半径为 2”，请写出该摆线的参数 方程．
A．2π，2 B．2π，4
C．4π，2 D．4π，4
解析：因为半径 r＝2，所以拱宽为 2πr＝4π，拱高为
2r＝4.
答案：D
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4．写出半径为 2 的圆的渐开线参数方程：_________．
选修4-4高中数学课件4.渐开线与摆线
E x
第 3、4 题.
3. 有一个半径是 a 的轮子沿着直线轨道滚动, 在 轮辐上有一点 M, 与轮子中心的距离是 b (b<a), 求 点 M 的轨迹方程. y j 解: 建立如图的坐 标系. 圆心为 B, M B C BA⊥x 轴于 A, E O D A x MC⊥BA于 C, MD⊥x 轴于 D. 则 |AB|=a, |BM|=b. 取∠MBA=j (弧度) 为参变数. 则 OA 等于滚动 j 弧度的大圆弧长, 即 OA=aj, 设点 M 的坐标为 (x, y), 则 x=OD =OA-DA =aj-MC=aj-bsinj, y=DM =AB-CB =a-bcosj,
3. 有一个半径是 a 的轮子沿着直线轨道滚动, 在 轮辐上有一点 M, 与轮子中心的距离是 b (b<a), 求 点 M 的轨迹方程. y j 解: 建立如图的坐 标系. 圆心为 B, M B C BA⊥x 轴于 A, E O D A x MC⊥BA于 C, MD⊥x 轴于 D. 则 |AB|=a, |BM|=b. 取∠MBA=j (弧度) 为参变数. 则点 OA j 弧度的大圆弧长, 即 OA=aj, ∴ M等于滚动 的轨迹方程为 设点 的坐标为 =a j - bsinj ,(x, y), xM (a jj为参数 )j-bsinj, = 则x OD = OA DA = MC = a y = a - bcosj . y=DM =AB-CB =a-bcosj,
一 曲线的参数方程
二 圆锥曲线的参数方程
三 直线的参数方程
四 渐开线与摆线
1. 渐形线是怎样的图形? 怎样建立 它的方程?
2. 摆线是怎样产生的? 怎样建立摆 线的方程?
1. 渐开线
问题 1. 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上, 在绳的外端系上一支铅笔, 将绳子拉紧绕圆盘回放绳 子, 将画出一条什么样的曲线? 你能建立适当的坐标 系写出这条曲线的方程吗?
人A版数学选修4-4课件：第2讲 4 渐开线与摆线
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根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r是指基圆的半 径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．
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[再练一题]
x＝cos φ＋φsin φ， 3π π 1．当φ＝ 2 ， 2 时，求出渐开线 上的对应点A，B，并 y＝sin φ－φcos φ
【解析】 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确． 【答案】 B
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[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________
那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为|AB|＝
3＋ 6
3π
3 3－π 2 2 π －2 ＋ 6 －1
1 ＝6 13－6 3π2－6π－36 3＋72. 即A、B两点之间的距离为 1 2 13 － 6 3 π －6π－36 3＋72. 6
根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r是指基圆的半 径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．
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[再练一题]
x＝cos φ＋φsin φ， 3π π 1．当φ＝ 2 ， 2 时，求出渐开线 上的对应点A，B，并 y＝sin φ－φcos φ
【解析】 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确． 【答案】 B
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[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________
那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为|AB|＝
3＋ 6
3π
3 3－π 2 2 π －2 ＋ 6 －1
1 ＝6 13－6 3π2－6π－36 3＋72. 即A、B两点之间的距离为 1 2 13 － 6 3 π －6π－36 3＋72. 6
渐开线与摆线 课件
由于 r>0,则 cos φ=1,即 φ=2kπ(k∈Z).
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
人教版高中数学选修4-4课件：2.3直线的参数方程 2.4 渐开线与摆线
么曲线.
(2)若曲线C1和C2相交于A,B两点,求|AB|.
【解题探究】(1)如何将参数方程化为普通方程? 提示:消去参数即得曲线的普通方程. (2)如何求线段的长度? 提示:利用直线参数方程的几何意义计算线段长度.
【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点
M到动点P的位移t为参数的参数方程是
(t为参数)即为
(t为参数)
答案:
(t为参数)
【知识探究】
探究点 直线的参数方程、渐近线与摆线
1.直线的参数方程中,参数的几何意义是什么?
提示:设e表示直线向上方向上的单位向量,
当
参数t>0时, 与e同向;
有向线段
|t|是定点M0(1,0)到t对应的点M(x,y)的 的长.
2.方程组变形为
①代入②消去参数t,得直线的点斜式方程
可得
倾斜角
普通方程为
①②两式平方相加,得(x+3)2+(y-1)2=4t2,
所以
|t|是定点M0(3,1)到t对应
的点M(x,y)的有向线段 的长的一半.
【方法技巧】直线参数方程的标准形式应用技巧 (1)已知直线l经 过 点M0(x0,y0),倾 斜角为α,点M(x,y) 为 直线l上任意一点,则 直线l的参数方程为 (t为 参数) ①
三 直线的参数方程 四 渐开线与摆线
【自主预习 】
1.直线的参数方程
已知直线l经 过 点M0(x0,y0),倾 斜角为
点M(x,y)
为 直线l上任意一点,则 直线l的普通方程和参数方程分
别为
普通方程
参数方程
_y_-_y_0_=_t_a_n_α__(_x_-_x_0_) ___________ (t为 参数)
人教版选修A4-4数学课件：2.4 渐开线与摆线(共22张PPT)
-7-
四 渐开线与摆线
探究一 探究二 思维辨析
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X 新知导学 D答疑解惑
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圆的渐开线、摆线的参数方程的理解
������ = 3cos������ + 3������sin������, 【例 1】 已知圆的渐开线的参数方程为 ������ = 3sin������-3������cos������ (φ 为参数). 根据参数方程可以看出该渐开线的基圆的半径是 ,当 π 参数 φ 取 时对应的曲线上的点的坐标是 .
四
渐开线与摆线
-1-
四 渐开线与摆线
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学 习 目 标 思 维 脉 络 1.了解 圆的渐开线的参 渐开线与摆线 数方程,了解 摆线的生成 渐开线的概念及生成过程 过程及它的参数方程. 摆线的概念及生成过程 2.了解 用向量知识推导 圆的渐开线与摆线的参数方程 运动轨迹的方法和步骤.
-4-
四 渐开线与摆线
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X 新知导学 D答疑解惑
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做一做1 半径为2的圆的渐开线的参数方程为( ������ = 2(������-sin������), A. (θ 为参数) ������ = 2(1-cos������) ������ = 2(1-sin������), B. (θ 为参数) ������ = 2(������-cos������) ������ = 2(cos������ + ������sin������), C. (θ 为参数) ������ = 2(sin������-������cos������) ������ = 2(cos������-������sin������), D. (θ 为参数) ������ = 2(sin������ + ������cos������) 答案：C
2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)
答案：A
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2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．
解：取 φ 为参数，φ 为基圆上点与原点的连线与 x 轴 正方向的夹角． ∵直径为 10，∴半径 r＝5. 代入圆的渐开线的参数方程得：
x＝5cos φ＋φsin φ， y＝5sin φ－φcos φ.
这就是所求的圆的渐开线的参数方程.
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x＝2t－sin t， 3．摆线 y＝21－cos t
(0≤t≤2π)与直线 y＝2 的交点
的直角坐标是________．
答案：(π－2,2)；(3π＋2,2)
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4．圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点
O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨
迹方程．
π 解：xM＝r· φ－r· φ－2 cos
＝r(φ－sin φ)， π yM＝r＋r· sin(φ－ ) 2 ＝r(1－cos φ)． 即点 M 的轨迹方程为 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ.
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的长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， 向量 OB ＝(2α，2)， 向量 MB ＝(2sin α，2cos α)，
返回
BM ＝(－2sin α，－2cos α)， 因此 OM ＝ OB ＋ BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 动点 M 的坐标为(x，y)，向量 OM ＝(x，y)
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1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端 系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定圆
人教版数学选修4-4课件 2.4 渐开线与摆线
课末随堂演练
课后限时作业
制作者：状元桥
适用对象：高二学生
制作软件：Powerpoint2003、 Photoshop cs3
运行环境：WindowsXP以上 操作系统
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从 左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
第二讲
参数方程
• 2.4 渐开线与摆线
•2.1 曲线的参数方程
•2.1.1 参数方程的概念与圆的参数 方程
栏目导 航
课前教材预案 课堂深度拓展 课末随堂演练 课后限时作业
课前教材预案
•要点一 渐开线
以基圆圆心 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆的渐开线
的参数方程为yx＝＝rrscions
AM，按渐开线定义，弧A︵M0 的长和线段 AM 的长相等，记―O→A 和 x 轴正向所夹的角为
θ(以弧度为单位)，则|AM|＝A︵M0 ＝4θ.
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作直线 AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得―O→A ＝
(4cos θ，4sin θ)，由几何知识知∠MAB＝θ，―AM→＝(4θsin θ，－4θcos θ)，
• 解析A：．根据3渐π开线的定义B可．知弧4πAE 的长是半径为 1C的．圆周5长π的四分之一，长度
2018版数学人教A版选修4-4课件：第二讲 参数方程 四
第二讲 参数方程
四 渐开线与摆线
学习目标
1.了解圆的渐开线的参数方程. 2.了解摆线的生成过程及它的参数方程. 3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
渐开线
思考
把绕在圆盘上的细绳展开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看 看曲线的形状.若要建立曲线的参数方程，请试着确定一下参数.
(1)摆线的参数方程
x＝rφ－sin φ， 摆线的参数方程为 (φ为参数)，其中r：生成圆的半径，φ：圆在 y＝r1－cos φ
直线上滚动时，点M绕圆心作圆周运动转过的角度∠ABM.
(2)将参数φ的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标，
进而可求渐开线或摆线上两点间的距离.
解答
反思与感悟
圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ 是指绳子外 端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.
跟踪训练 1
＋φsin φsin 30° ， x＝cos φsin 30° 已知圆的渐开线方程为 －φcos φcos 60° y＝sin φcos 60°
1 2 ，当圆心角φ＝π时，曲线上点A的直角 (φ为参数)，则该基圆半径为____
(φ 为参数).
1
2
3
4
解答
规律与方法
1.圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外
端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.
2.由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，
就能确定摆线的参数方程.
3.由于渐开线、摆线的方程复杂，所以不宜用普通方程来表示.
本课结束
四 渐开线与摆线
学习目标
1.了解圆的渐开线的参数方程. 2.了解摆线的生成过程及它的参数方程. 3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
渐开线
思考
把绕在圆盘上的细绳展开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看 看曲线的形状.若要建立曲线的参数方程，请试着确定一下参数.
(1)摆线的参数方程
x＝rφ－sin φ， 摆线的参数方程为 (φ为参数)，其中r：生成圆的半径，φ：圆在 y＝r1－cos φ
直线上滚动时，点M绕圆心作圆周运动转过的角度∠ABM.
(2)将参数φ的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标，
进而可求渐开线或摆线上两点间的距离.
解答
反思与感悟
圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ 是指绳子外 端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.
跟踪训练 1
＋φsin φsin 30° ， x＝cos φsin 30° 已知圆的渐开线方程为 －φcos φcos 60° y＝sin φcos 60°
1 2 ，当圆心角φ＝π时，曲线上点A的直角 (φ为参数)，则该基圆半径为____
(φ 为参数).
1
2
3
4
解答
规律与方法
1.圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外
端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.
2.由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，
就能确定摆线的参数方程.
3.由于渐开线、摆线的方程复杂，所以不宜用普通方程来表示.
本课结束
高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：2.3直线的参数方程 2.4 渐开线与摆线
(2)l1⊥l2⇔a1a2+b1b2=0.
2.标准形式的参数方程中参数的应用 经过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为
xyxy00ttscions， （ ， t为参数）
(1)若P1,P2是直线l上的两个点,对应的参数分别为
t1,t2,则向量
的数量为t2-t1,所以
=|t2-t1|,
2.直线的参数方程形式唯一吗?如果不唯一,同一直线 不同形式的参数方程中的参数都具有相同的几何意义 吗?
提示:直线的参数方程形式不唯一,同一直线不同形式
的参数方程中的参数具有不同的意义,甚至不具有明显
的几何意义,如直线x-y=0的参数方程 x 2 t ， (t为参数)
中的参数t就不具有明显的几何意义.
【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点 3
M到动点P的位移t为参数的参数方程是
x
1
tc
o
s
3
，
(t为参数)即为
x
1
(1t为t ， 参数) 2
y
3
ts
in
3
，
答案:
x
1
1(tt ，为 参y 数 3) 2
3 t. 2
y
3
3 t. 2
【知识探究】
探究点 直线的参数方程、渐近线与摆线
3.摆线及其参数方程
(1)定义.
当一个圆沿着一条定直线_________滚动时,圆周上的 无滑动地
_____________的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫做 _一__个__定__点. 运动
旋轮线
(2)参数方程. 设圆的半径为r,圆滚动的角为φ,那么摆线的参数方程 是__xy__rr_（ （_1__c_soi_sn_） _） ._，(φ是参数)
2.标准形式的参数方程中参数的应用 经过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为
xyxy00ttscions， （ ， t为参数）
(1)若P1,P2是直线l上的两个点,对应的参数分别为
t1,t2,则向量
的数量为t2-t1,所以
=|t2-t1|,
2.直线的参数方程形式唯一吗?如果不唯一,同一直线 不同形式的参数方程中的参数都具有相同的几何意义 吗?
提示:直线的参数方程形式不唯一,同一直线不同形式
的参数方程中的参数具有不同的意义,甚至不具有明显
的几何意义,如直线x-y=0的参数方程 x 2 t ， (t为参数)
中的参数t就不具有明显的几何意义.
【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点 3
M到动点P的位移t为参数的参数方程是
x
1
tc
o
s
3
，
(t为参数)即为
x
1
(1t为t ， 参数) 2
y
3
ts
in
3
，
答案:
x
1
1(tt ，为 参y 数 3) 2
3 t. 2
y
3
3 t. 2
【知识探究】
探究点 直线的参数方程、渐近线与摆线
3.摆线及其参数方程
(1)定义.
当一个圆沿着一条定直线_________滚动时,圆周上的 无滑动地
_____________的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫做 _一__个__定__点. 运动
旋轮线
(2)参数方程. 设圆的半径为r,圆滚动的角为φ,那么摆线的参数方程 是__xy__rr_（ （_1__c_soi_sn_） _） ._，(φ是参数)
高中数学：2.4.2《渐开线》课件(新人教A选修4-4)
思考在：摆P线42的参数方程中，参数 的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是什么？
的两个相邻交点之间 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一的条部定分直叫线做无一滑个动拱地滚。动时，圆周
上一个定点的轨迹是什么？
M
B
OA
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
线段OA的长等于M»A的长，即OA r。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
3、摆线的参数方程
uuuur
r
所以 | uuuur
BM
|
(r )e2 ,即
| BM | (x r cos, y r sin) r(sin, cos)
解得
x
y
r(cos r (sin
sin ) cos )
(是参数)。
这就是圆的渐开线的参数方程。
2、渐开线的参数方程
y
x y
r(cos r (sin
四 渐开线与摆线
1、渐开线 2、摆线
1、渐开线
1、渐开线的定义
探究：P40
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，
sin ) cos )
(是参数)。
M
B
O
A
x
渐开ห้องสมุดไป่ตู้的应用：
在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。
由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便， 因此大多数齿轮采用这种齿形。
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, .
是参数
方程 .
在机械工业中 轮传递动力 的齿轮磨损少 安装方便 用这种齿轮
, 广泛地使用齿 .由 于 渐 开 线 齿 形 , 传动平稳 , 制造
,因 此 大 多 数 齿 轮 采 , 设计加工这种齿 程.
轮 , 需要借助圆的渐开线方
欣赏在上述几何条件下 M 形成轨迹的过程 .
四
渐开线与摆线
图 2 17
根据动点满足的几何条 我们以基圆圆心
件,
O 为原点 ,
直线 OA 为 x 轴 , 建立平面直 角坐标系
图 2 18 .
r , 绳子外
设基圆的半径为 端 M 的坐标为
x , y .显然
.
,
图 2 18
点 M 由角 惟一确定
取 为参数 , 则点 B 的坐标为 从而 BM
O
M D
B C
A
x
图 2 20
设开始时定点 于点 A , 圆心在点 垂足分别是
M 在原点 , 圆滚动 角后与 x 轴相切 B .从点 M 分别作 AB , x 轴的垂线 ,
C , D . 设点 M 的坐标为
,有
x , y , 取 为参
数 , 根据点 M 满足的几何条件
x OD OA DA OA MC r r sin ,
MA 的 长 , 即 OA
M 在 圆 B 沿直线滚动过 .我们把点 M 的轨迹叫做 .
, 又叫
下面我们求摆线的参 数方程 .
y
根据点 M 满足的几何 条件 , 我们取直线为 轴 , 定点 M 滚动时落在 定直 线 上的一个位置 为原点 , 建立直角坐标系 (图 2 20 ), 设圆的半径为 r. x
向量 .所以 BM r e 2 , 即
x r cos , y r sin r sin , cos , x r cos sin 解得 y r sin cos
这就是圆渐开线的参数
图 2 18
y DM AC AB CB r r cos .
所以 , 摆线的参数方程是
x r sin , y r 1 cos .
是参数
①
①
r cos , r sin ,
x
r cos , y r sin , | BM | r .
由于向量
e 1 cos , sin , ,
是与 OB 同方向的单位向量 因而向量 是与向量 e 2 sin , cos BM 同方向的单位
动点
B M
O
A
图 2 19
如 图 2 19 , 假 设 B 为圆心 , 圆周上的定点为 开始时位于 心作圆周运动 O 处 , 圆在直线上滚动时 , 转 过 弧 度
M ,
, 点 M 绕圆 的长等于弧 r .这就是圆周上的定点 程中满足的几何条件 , 简称