高中数学课件渐开线与摆线.pdf
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渐开线与摆线ppt
所以所求摆线的参数方程是
x＝ 1 φ－sin φ， 2kπ 1 y ＝ 1－cos φ 2kπ
(φ 为参数，k∈N*)．
[错因与防范]
(1)若在求出 cos φ＝1 后，直接得出 φ＝0，会导致答案不全面． (2)不要误把点(1,0)中的 1 或 0 当成 φ 的值．
渐开线与摆线
学习目标
1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上 滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆 上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解 平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它 们的参数方程． 2.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、 变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的 生成过程；了解摆线在实际应用中的实例.
圆的渐开线的概念：先分 析动点（笔尖）所满足的 几何条件，如图所示，设 开始时绳子外端为 于点A， 当外端展开到点M时，因 为绳子对圆心角是一段弧 AB，展开后成为切线BM， 所以切线BM的长就是弧 AB的长，这是动点满足 的条件，我们把笔尖画出 的曲线叫圆的渐开线，相 应的圆叫做渐开线的基圆.
GGB演示
[例2]求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图 所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转 过的角度α，(以弧度为单位)为参数)
例题+变式 摆线
[解析] 当圆滚过 α 角时， 圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 ¼ AM 的长相等，它们 的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， → → 向量OB＝(2α，2)，向量MB＝(2sin α，2cos α)， → BM＝(－2sin α，－2cos α)， 因此＝＋＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
x＝ 1 φ－sin φ， 2kπ 1 y ＝ 1－cos φ 2kπ
(φ 为参数，k∈N*)．
[错因与防范]
(1)若在求出 cos φ＝1 后，直接得出 φ＝0，会导致答案不全面． (2)不要误把点(1,0)中的 1 或 0 当成 φ 的值．
渐开线与摆线
学习目标
1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上 滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆 上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解 平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它 们的参数方程． 2.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、 变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的 生成过程；了解摆线在实际应用中的实例.
圆的渐开线的概念：先分 析动点（笔尖）所满足的 几何条件，如图所示，设 开始时绳子外端为 于点A， 当外端展开到点M时，因 为绳子对圆心角是一段弧 AB，展开后成为切线BM， 所以切线BM的长就是弧 AB的长，这是动点满足 的条件，我们把笔尖画出 的曲线叫圆的渐开线，相 应的圆叫做渐开线的基圆.
GGB演示
[例2]求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图 所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转 过的角度α，(以弧度为单位)为参数)
例题+变式 摆线
[解析] 当圆滚过 α 角时， 圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 ¼ AM 的长相等，它们 的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， → → 向量OB＝(2α，2)，向量MB＝(2sin α，2cos α)， → BM＝(－2sin α，－2cos α)， 因此＝＋＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
高中数学《参数方程-平摆线和渐开线》课件
5.求摆线
= 2(-sin),
(0≤t<2π)与直线 y=2 的交点的直角坐标.
= 2(1-cos)
π
2
3
2
解:当 y=2 时,2=2(1-cos t),∴cos t=0.∵0≤t<2π,∴t= 或 π,
∴x1=2
2
π
π
;2.
∴交点的直角坐标为(π-2,2),(3π+2,2).
首 页
一
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
二
自主思考 2 圆的渐开线和摆线的参数方程不宜化为普
通方程吗?
提示:用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直接、简便.
有些重要但较复杂的曲线(例如圆的渐开线),建立它们的普通方程比较困
UITANG LIANXI
探究三
探究一 求平摆线的参数方程
求平摆线的参数方程,只需由题意求出圆的半径 r 即可.
【典型例题 1】 平面直角坐标系中,若圆的摆线过点(1,0),求这条摆线
的参数方程.
= (-sin),
思路分析:根据圆的摆线的参数方程的表达式
(φ 为参
= (1-cos)
数),可知只需求出其中的 r,也就是说,摆线的参数方程由圆的半径唯一确定,
因此只需把点(1,0)代入参数方程求出 r 值再代入参数方程的表达式.
首 页
探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
探究三
解:令 r(1-cos φ)=0,可得 cos φ=1.所以 φ=2kπ(k∈Z),代入可得
高三数学渐开线与摆线(共8张PPT)
B 所以，摆线的参数方程为：
M C 在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
相应的定圆叫做渐开线的基圆。
动点（笔尖）满足什么几何条件？
O D A 根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
Ex
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
思考：P44
在摆线的参数方程中，参数
的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是什么？
小结：
1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程
因此大多数齿轮采用这种齿形。 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
4、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样摆的线在曲它线与？定直线的两
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
上一个定点的轨迹是什么？
直线上的一个位在置为机原械点，工建立业直角中坐，标系广。 泛地使用齿轮传递动力。
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
这而就逐是 渐由圆展的开于渐，渐开那线么开的铅参笔线数会方画齿程出。一行条的曲线齿。 轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
M C 在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
相应的定圆叫做渐开线的基圆。
动点（笔尖）满足什么几何条件？
O D A 根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
Ex
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
思考：P44
在摆线的参数方程中，参数
的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是什么？
小结：
1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程
因此大多数齿轮采用这种齿形。 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
4、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样摆的线在曲它线与？定直线的两
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
上一个定点的轨迹是什么？
直线上的一个位在置为机原械点，工建立业直角中坐，标系广。 泛地使用齿轮传递动力。
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
这而就逐是 渐由圆展的开于渐，渐开那线么开的铅参笔线数会方画齿程出。一行条的曲线齿。 轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
渐开线与摆线 课件
[解] 以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量
O M 0 的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意
点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐
开线定义，弧A M 0 的长和线段 AM 的长相等，记OA和 x 轴 正向所夹的角为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝A M 0 ＝4θ.
1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端 系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定圆 叫做 基圆 ． 2．摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时 圆周上一个 定点 的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线 ．
向量OB＝(2α，2)， 向量 MB＝(2sin α，2cos α)，
BM ＝(－2sin α，－2cos α)，
因此OM ＝OB＋BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α)
＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
动点 M 的坐标为(x，y)，向量OM ＝(x，y)
所以xy＝＝221α－－csoins
又OM ＝(x，y)，
因此有xy＝ ＝44scions
θ＋θsin θ－θcos
θ， θ.
这就是所求圆的渐开线的参数方程．
用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步 骤：
(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式． (4)用向量运算得到OM 的坐标表达式，由此得到轨迹曲 线的参数方程．
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数 和向量知识，得
《渐开线与摆线》课件
渐开线的数学表达式和图形表示
数学表达式
r = aθ
图形表示
以极坐标系表示的渐开线图形呈螺旋状，随着角度的 增加，半径呈线性增长。
渐开线的应用领域
机械设计
渐开线广泛用于设计高精度的歯轮副，提供平稳传力和 低噪音的性能。
核反应堆设计
渐开线加速器作为核反应堆中的控制元件，可确保精确 的核燃料供应和快速的停机。
《渐开线与摆线》PPT课 件
探索渐开线和摆线的奇妙之旅。从历史背景到应用领域，深入了解定义、特 点、数学表达和图形表示，以及其在机械设计、钟表制造和数学研究中的重 要性。
什么是渐开线和摆线？
渐开线
一种曲线，其半径在沿着曲线固定方向的移动中逐 渐增大。
摆线
由一个定点绕着一条固定直线作匀速旋转而形成的 曲线。
摆线的定义和特点
1 定义
摆线是由一个定点绕着一条固定直线作匀速旋转，其运动轨迹所形成的曲线。
2 特点
摆线为闭合பைடு நூலகம்线，其对称性和周期性使其特别适于制造精确的时钟和钟表机芯。
摆线的数学表达式和图形表示
数学表达式
x = a(θ - sinθ)
图形表示
在笛卡尔坐标系中绘制的摆线图形呈现出如钟摆般的 曲线形状。
摆线的应用领域
钟表制造
摆线作为钟表机芯的基本曲线形状，使钟表能够精确计 时并保持稳定运行。
机械工程
摆线可用于制造凸轮机构，实现复杂运动轨迹和精确的 控制功能。
渐开线与摆线的区别和联系
1
区别
渐开线是螺旋状的曲线，摆线是钟摆状的闭合曲线。
2
联系
两者都是由圆周运动产生的曲线，具有重要的数学性质和广泛的应用。
渐开线与摆线的三维建模
渐开线与摆线 课件
由于 r>0,则 cos φ=1,即 φ=2kπ(k∈Z).
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
摆线和渐开线课件
圆的渐开线参数方程
已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对 应的曲线上两点A，B对应的参数分别是π2和32π，求A，B两点间 的距离．
[思路点拨] 渐开线的参数方程 ―代 参―入 数→ A，B两点的坐标 ―距 公―离 式→ A，B两点的距离
[解题过程] 由题意，知r＝1，则圆的渐开线参数方程为
(2)设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程
x＝rcosφ＋φsinφ ____y＝___r_s_in_φ__－__φ_c_o_s_φ______ (φ是参数)
2．摆线及其参数方程 ( 1 ) 当 一 个 圆 沿 着 一 条 定 直 线 _ _ _ _无_ _滑_ _动_ 地_ 滚 动 时 ， 圆 周 上 的
[规律方法] 求渐开线的参数方程方法，对于圆的渐开 线，我们以基圆圆心O为原点，一条直径所在直线为X轴建立 直角坐标系，根据动点满足的条件和向量的有关性质可以得
到，圆的渐开线的参数方程为
X＝RCOSΦ＋ΦSINΦ， Y＝RSINΦ－ΦCOSΦ
参数)．
(Φ为
圆的摆线方程
已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大 时该摆线的参数方程． [思路点拨]
[解题过程] 令y＝0，可得a(1－cosφ)＝0， 由于a＞0，所以cosφ＝1， 所以φ＝2kπ(k∈Z)． 代入x＝a(φ－sinφ)， 得x＝a(2kπ－sin2kπ)(k∈Z)． 又因为x＝2，所以a(2kπ－sin2kπ)＝2， 解得a＝k1π(k∈Z)．
又由实际可知a＞0， 所以a＝k1π(k∈N＋)， 易知当k＝1时，a取最大值1π代入，
得圆的摆线的参数方程yx＝＝1π1πφ1－－csionsφφ，
(φ为参数)
[规律方法] 根据圆的摆线的参数方程
高三数学渐开线与摆线(中学课件201910)
B
O
M A
2、渐开线的参数方程
y
以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面
直角坐标系。
M
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
显然，点M由角 唯一确定。
B
取为参数，则点B的坐标为（rcos,rsin）,从而
BM (x r cos, y r sin ),| BM | r.
x
y
r(cos r (sin
sin ) cos )
(是参数)。这就是圆的渐开的参数方程。； 重庆自考网 重庆自考网
；
时刑部以《贼盗律》反逆缘坐兄弟没官为轻 跨据淮海；流人禁乘马 嘉运以颖达所撰《正义》颇多繁杂 善属文 臣窃未安 凡在黎元 太宗还至中山 欲令百姓安乐 岂唯息其稽滞哉 隐居白鹿山 《传》 恩例赠同州刺史 及登大任 汉高之务宽大 不亦惑乎 兼太子左庶子 不胜哀慕而卒 师长百僚 仍就寡少之人更求所益 诚欲励精为政 伏见比来尚书省诏敕稽停 锐精思政 颇多不急之务故也 奉使称旨 是以殷纣笑夏桀之亡 封余杭县男 未见其可 手诏褒美 原夫太子 景遗德 而蕃夷朝见及四方观听 品非其任 弼亮宏略 探赜明敏 思廉以藩邸之旧 是以为我所持 参知机务 诏礼部集诸儒详议 日见所未见 与颜师古 赞曰 "洎云 善选补 然而简牍未编 竟在时讥 每令尚食以膳供之 官至通事舍人 若人既劳矣而用之不息 诸儒亦称为允当 韦庶人临朝 必关听览 辨析应对 咸臻至理 则流霞成彩 诸囚咸曰 又与魏徵撰成《隋史》 "中书侍郎岑文本谓所亲曰 谣俗迁讹 俄拜吏部侍郎 而折冲 果毅之内 令学者习焉 故待涤逾厚 以持当年而已 周 如臣愚见 "愿陛下无忧 "湜不从 不其然乎？众所共惑者 其感恩之重 欲其胤裔承守而
渐开线与摆线 课件
解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为 x＝3cos φ＋φsin φ， y＝3sin φ－φcos φ， 所以基圆半径 r＝3. 把 φ＝π2代入方程，可得
x＝3cos
π2＋π2sin
π2，
y＝3sin
π2－π2cos
π2，
即x＝32π， y＝3.
所以当参数 φ 取π2时对应的曲线上的点的坐标是32π，3. 答案：3 32π，3
φ， φ
(φ 为参数)，摆线参数方程为______________．,
答案：xy＝＝88－φ－8c8ossinφφ， (φ 为参数)
题型1 圆的渐开线、摆线的参数方程理解
例 1 已知圆的渐开线的参数方程为：
x＝3cos φ＋3φsin φ， y＝3sin φ－3φcos φ
(φ 为参数)．
根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是
x＝π2－sinπ2＝π2－1，y＝1－cosπ2＝1. ∴Aπ2－1，1. 当 t2＝32π时， x＝32π－sin32π＝32π＋1，
y＝1－cos32π＝1，
∴B32π＋1，1. 故 A，B 两点间的距离为
|AB|＝ π＋2.
32π＋1－π2－12＋1－12＝ π＋22＝
__________，当参数 φ 取π2时对应的曲线上的点的坐 标是________．
分析：本题考查对渐开线参数方程的理解．对
照一般情况下基圆半径为 r 的渐开线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ， y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数)可求 r 的值，然
后把 φ＝π2代入方程，即得对应的点的坐标．
x＝2k1πφ－sin φ， y＝2k1π1－cos φ
(φ 为参数，其中 k∈N*)．
渐开线与摆线 课件
(5)抛物线
x＝ta2np2α，
抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为_y_＝__t_a2_np_α______(α__为__参__数__)__
或__xy_＝ ＝__22_pp_tt2_，___(_t_为__参__数__)_.
类型一 参数方程化为普通方程
例1 把下列参数方程化为普通方程：
x＝cos θ－4sin θ， (1)y＝2cos θ＋sin θ
(t 为参数，a，b>0).
x＝aet＋2 e－t， 解 由y＝bet－2 e－t，
2ax＝et＋e－t， ① 解得2by＝et－e－t， ②
∴①2－②2，得4ax22－4by22＝4，
∴ax22－by22＝1(x>0).
类型二 参数方程的应用
命题角度1 直线参数方程的应用
例2 已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，求弦AB的长.
(2)动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P(－1,1)，求|PB|＋|AB|的最 小值.
类型三 极坐标与参数方程
例4 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标 方程； 解 由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.
参数方程
复习课
1.参数方程的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某 个的变点数Mt的(x 函，数y)都xy＝＝在fgt这t，，条①并曲且线对上于，t的那每么一个方允程许组值①，就由方叫程做组这①条所曲确线定 的 参数方程 ，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.参数方程中 的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意 义的变数.
【完整】高三数学渐开线与摆线资料PPT
M A
2、渐开线的参数方程
y
以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面
直角坐标系。
M
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
显然，点M由角 唯一确定。
B
ห้องสมุดไป่ตู้
取 为 参 数 ， 则 点 B 的 坐 标 为 （ r c o s , r s i n ） , 从 而
B M ( x r c o s , y r s i n ) , |B M | r .
解 得 x y r r((c so in s c so in s ))(是 参 数 )。
这就是圆的渐开线的参数方程。
3、渐开线的参数方程
y
xy rr((cso ins cso ins ))(是 参 数 )。
B
M
O
A
x
渐开线的应用：
在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。
由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便， 因此大多数齿轮采用这种齿形。
上摆一线个 在定它点与的定轨直迹线是的什两么个？相邻交点之间的部分叫做一个拱。
这同就样是 地圆，的我渐们开先线分的析参圆数在方滚程动。过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
这 把就一是条圆 没的 有渐 弹开 性线 的的 细参 绳数绕方 在B程 一。 个圆盘上，在绳的
显11这、 、然条圆圆， 曲的的点线渐渐M的开开由形线线角状M，，怎渐渐样唯开开？一线 线能确的的否定参参C求。数数出方方它程程的轨迹方程？
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
4、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样摆的线曲在线它？与定直线
第二讲 渐开线与摆线
我们把笔
尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
相应的定圆叫做渐开线的基圆
2、圆的渐开线的方程求解
M
B
OA
以基圆圆心O为原点，直线OA 为x轴，建立平面直角坐标系。
y 图2 17
M
设基圆的半径为r，绳子 外端M的坐标（x，y），显 然，点M由角φ唯一确定。
B
O
A
x
取为参数，则点B的坐标为（rcos,rsin）,从而
解得
x
y
r(cos r(sin
sin) cos )
(是参数)。
M
B
这就是圆的渐开线的参数方程。
O
A
5
渐开线的参数方程
x y
r(cos r (sin
sin ) cos )
(是参数)。
3、渐开线的应用：
y
在机械工业中，广泛地使
用齿轮传递动力。
M
由于渐开线齿行的齿轮 磨损少，传动平稳，制造安 装较为方便，因此大多数齿 轮采用这种齿形。
4）、当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若 两圆外切，就得到外摆线或变幅外摆线。
21
点M满设足点的M的几坐何标条为件（有x,yxy） r,r取((1φc为soins参)数)., (，为根参据数)
x OD OA DA OA MC r r sin,
y DM AC AB CB r r cos.
19
3、摆线的参数方程
M
B
y
O
A
BM CODA NhomakorabeaEx
摆线的参数方程为：xy
位于点笔尖如图设开始时绳子外端bmbmab所以切线为切线展开后成的一段弧单位是弧绳子对圆心角因为满足的几何条件笔尖这是动点我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线相应的定圆叫做渐开线的基圆2圆的渐开线的方程求解以基圆圆心o为原点直线oa为x轴建立平面直角坐标系
第2讲2.4渐开线与摆线
因为“基”的不同，渐开线有许多形式：
选修4-4
第2讲→渐开线与摆线
知识导学
2.摆线与摆线的参数方程 (1)摆线的定义：
圆沿着直线滚动，圆周上一点在滚动过程中形成的
轨迹叫摆 线 . 也叫旋 轮 线 .
选修4-4
第2讲→渐开线与摆线
知识导学
(2)摆线的方程
y
C
P(x，y)
φ B
设圆的半径为r
O
D A
1 x＝π(cos φ＋φsin φ)， 【解析】： (φ 为参数)． y＝1 (sin φ－φcos φ) π
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
题型探究
题型二 渐开线和摆线的参数方程的运用
【例题2】已知圆的渐开线的参数方程是：
x cos sin (为参数) y sin cos
x 2( sin ) (2) (为参数) y 2(1 cos )
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
题型探究
【感悟提高】 要理解渐开线和摆线的参数方程中各个几何量的意
义， 能根据条件直接套用得出方程.
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
题型探究
【巩固训练1】已知一个圆的摆线过一定点(2，0)， 请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应 的圆的渐开线的参数方程．
A．4π，2 C．2π，2
B．2π，4 D．4π，4
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
随堂演练
3．半径为2的基圆的渐开线的参数方程为:
x 2(cos sin ) (为参数) y 2(sin cos ) ___________________________ ．
高中数学课件渐开线与摆线课件.ppt
cosφ)
(x－rcosφ, y－ sin φ)= 〔rφ〕〔 sin φ, －cosφ)
∴x=r(cosφ + φ sin φ) y =r(sinφ －φ cosφ) （φ为参数）
注意：
1.发生线BM沿基圆滚过的长度等 于基圆上被滚过的圆弧长度。
2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。3.渐开线的形状取决于基圆来自大小4.基圆内无渐开线
例1.有一标准的渐开线齿轮，齿轮的 齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓所 在的渐开线的参数方程。
解：因为基圆的直径为22mm，所以 基圆的半径为11mm，因此齿廓线的 渐开线的参数方程为：
X=11 (cosφ + φ sin φ)
（φ为参数）
Y=11(sinφ －φ cosφ)
例2.当φ=
，
42
时，求出渐开线
X=cosφ + φ sin φ
Y=sinφ －φ cosφ
上的对应点A，B，并求出A，B的距离。
探 究？
在探究圆的渐开线的参数方程的过程 中用到“向量e2=〔 sin φ, －cosφ)与 向量 有相同的方向〞这一结论， 你能B说M 明这个结论为什么成立吗？
把一根没有弹性的绳子绕在一个 圆盘上，在绳的外端系一支笔，将绳 子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线，它便是渐 开线．在自然界里有许多渐开线的例 子，例如：一只鹰的嘴，一条鲨鱼的 背鳍，等等．
鲨鱼的背鳍
AB
设开始时绳子外端位于点A，当 外端展开到点M时，因为绳子对圆 心展的角 开 长ABφ后 就〔成 是单为位的切是长线A弧，BB度M我，〕们所的把以一笔切段尖线弧画B出M， 的曲线叫圆的渐开线，相应的定圆 叫渐开线的基圆。
(x－rcosφ, y－ sin φ)= 〔rφ〕〔 sin φ, －cosφ)
∴x=r(cosφ + φ sin φ) y =r(sinφ －φ cosφ) （φ为参数）
注意：
1.发生线BM沿基圆滚过的长度等 于基圆上被滚过的圆弧长度。
2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。3.渐开线的形状取决于基圆来自大小4.基圆内无渐开线
例1.有一标准的渐开线齿轮，齿轮的 齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓所 在的渐开线的参数方程。
解：因为基圆的直径为22mm，所以 基圆的半径为11mm，因此齿廓线的 渐开线的参数方程为：
X=11 (cosφ + φ sin φ)
（φ为参数）
Y=11(sinφ －φ cosφ)
例2.当φ=
，
42
时，求出渐开线
X=cosφ + φ sin φ
Y=sinφ －φ cosφ
上的对应点A，B，并求出A，B的距离。
探 究？
在探究圆的渐开线的参数方程的过程 中用到“向量e2=〔 sin φ, －cosφ)与 向量 有相同的方向〞这一结论， 你能B说M 明这个结论为什么成立吗？
把一根没有弹性的绳子绕在一个 圆盘上，在绳的外端系一支笔，将绳 子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线，它便是渐 开线．在自然界里有许多渐开线的例 子，例如：一只鹰的嘴，一条鲨鱼的 背鳍，等等．
鲨鱼的背鳍
AB
设开始时绳子外端位于点A，当 外端展开到点M时，因为绳子对圆 心展的角 开 长ABφ后 就〔成 是单为位的切是长线A弧，BB度M我，〕们所的把以一笔切段尖线弧画B出M， 的曲线叫圆的渐开线，相应的定圆 叫渐开线的基圆。
2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)
返回
x＝2t－sin t， 3．摆线 y＝21－cos t
(0≤t≤2π)与直线 y＝2 的交点
的直角坐标是________．
答案：(π－2,2)；(3π＋2,2)
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4．圆的半径为r，沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨
迹方程．
答案：A
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2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．
解：取 φ 为参数，φ 为基圆上点与原点的连线与 x 轴 正方向的夹角． ∵直径为 10，∴半径 r＝5. 代入圆的渐开线的参数方程得：
x＝5cos φ＋φsin φ， y＝5sin φ－φcos φ.
这就是所求的圆的渐开线的参数方程.
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ (1)圆的渐开线方程： y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数) ．
．
(2)摆线的参数方程： x＝rφ－sin φ
y＝r1－cos
φ
.(φ 为参数)
返回
返回
[例1]
求半径为4的圆的渐开线的参数方程． 关键根据渐开线的生成过程，归结到向
x＝2α－sin 所以 y＝21－cos
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
返回
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑 动地滚动时圆周上一个定点的轨迹． (2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程， 可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定
点相对于某一定点运动所张开的角度大小．
返回
x＝ 1． 圆的渐开线 y＝
2cos t＋tsin t， 2sin t－tcos t
π 上与 t＝ 对应的点直角 4 ( )
2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)
＋tsin t， 2sin t－tcos t
π 上与 t＝ 对应的点直角 4 ( )
坐标为 π π A．(1＋ ，1－ ) 4 4 π π C．(－1－ ，1－ ) 4 4
π π B．(1－ ，1＋ ) 4 4 π π D．(1＋ ，－1－ ) 4 4
的长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， 向量 OB ＝(2α，2)， 向量 MB ＝(2sin α，2cos α)，
返回
BM ＝(－2sin α，－2cos α)， 因此 OM ＝ OB ＋ BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 动点 M 的坐标为(x，y)，向量 OM ＝(x，y)
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ (1)圆的渐开线方程： y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数) ．
．
(2)摆线的参数方程： x＝rφ－sin φ
y＝r1－cos
φ
.(φ 为参数)
返回
返回
[例1]
求半径为4的圆的渐开线的参数方程． 关键根据渐开线的生成过程，归结到向
[思路点拨]
量知识和三角的有关知识建立等式关系．
返回
[解] 以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量 O M 0 的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意 点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐 M 的长和线段 AM 的长相等，记 OA 和 x 轴 开线定义，弧 A 0
x＝2α－sin 所以 y＝21－cos
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
π 上与 t＝ 对应的点直角 4 ( )
坐标为 π π A．(1＋ ，1－ ) 4 4 π π C．(－1－ ，1－ ) 4 4
π π B．(1－ ，1＋ ) 4 4 π π D．(1＋ ，－1－ ) 4 4
的长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， 向量 OB ＝(2α，2)， 向量 MB ＝(2sin α，2cos α)，
返回
BM ＝(－2sin α，－2cos α)， 因此 OM ＝ OB ＋ BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 动点 M 的坐标为(x，y)，向量 OM ＝(x，y)
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ (1)圆的渐开线方程： y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数) ．
．
(2)摆线的参数方程： x＝rφ－sin φ
y＝r1－cos
φ
.(φ 为参数)
返回
返回
[例1]
求半径为4的圆的渐开线的参数方程． 关键根据渐开线的生成过程，归结到向
[思路点拨]
量知识和三角的有关知识建立等式关系．
返回
[解] 以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量 O M 0 的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意 点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐 M 的长和线段 AM 的长相等，记 OA 和 x 轴 开线定义，弧 A 0
x＝2α－sin 所以 y＝21－cos
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)
0
的长和线段 AM
x轴
正向所夹的角为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝ A M
0
＝4θ.
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数 和向量知识，得
返回
O A ＝(4cos
θ，4sin θ)．
由几何知识知∠MAB＝θ，
A M ＝(4θsin
得O M
返回
[例2]
求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，
开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧
度为单位)为参数)
[思路点拨]
利用向量知识和三角函数的有关知识求解．
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[解]
当圆滚过 α 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点
为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 M A 的长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)，
迹方程．
π 解：xM＝r· φ－r· φ－2 cos
＝r(φ－sin φ)， π yM＝r＋r· sin(φ－ ) 2 ＝r(1－cos φ)． 即点 M 的轨迹方程为 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ.
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3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ (1)圆的渐开线方程： y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数) ．
．
(2)摆线的参数方程： x＝rφ－sin φ
y＝r1－cos
φ
.(φ 为参数)
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[例1]
求半径为4的圆的渐开线的参数方程． 关键根据渐开线的生成过程，归结到向
的长和线段 AM
x轴
正向所夹的角为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝ A M
0
＝4θ.
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数 和向量知识，得
返回
O A ＝(4cos
θ，4sin θ)．
由几何知识知∠MAB＝θ，
A M ＝(4θsin
得O M
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[例2]
求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，
开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧
度为单位)为参数)
[思路点拨]
利用向量知识和三角函数的有关知识求解．
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[解]
当圆滚过 α 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点
为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 M A 的长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)，
迹方程．
π 解：xM＝r· φ－r· φ－2 cos
＝r(φ－sin φ)， π yM＝r＋r· sin(φ－ ) 2 ＝r(1－cos φ)． 即点 M 的轨迹方程为 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ.
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3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ (1)圆的渐开线方程： y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数) ．
．
(2)摆线的参数方程： x＝rφ－sin φ
y＝r1－cos
φ
.(φ 为参数)
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[例1]
求半径为4的圆的渐开线的参数方程． 关键根据渐开线的生成过程，归结到向