如何用导数解决与切线有关的问题
高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用
高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用高考压轴题：导数题型及解题方法一、切线问题题型1：求曲线y=f(x)在x=x处的切线方程。
方法：f'(x)为在x=x处的切线的斜率。
题型2：过点(a,b)的直线与曲线y=f(x)的相切问题。
方法：设曲线y=f(x)的切点(x,f(x))，由(x-a)f'(x)=f(x)-b求出x，进而解决相关问题。
注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条。
例题：已知函数f(x)=x-3x。
1）求曲线y=f(x)在点x=2处的切线方程；（答案：9x-y-16=0）2）若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围。
提示：设曲线y=f(x)上的切点(x,f(x))，建立x,f(x)的等式关系。
将问题转化为关于x,m的方程有三个不同实数根问题。
答案：m的范围是(-3,-2)）练1：已知曲线y=x-3x。
1）求过点(1,-3)与曲线y=x-3x相切的直线方程。
（答案：3x+y=0或15x-4y-27=0）2）证明：过点(-2,5)与曲线y=x-3x相切的直线有三条。
题型3：求两个曲线y=f(x)、y=g(x)的公切线。
方法：设曲线y=f(x)、y=g(x)的切点分别为(x1,f(x1))、(x2,g(x2))，建立x1,x2的等式关系，(x2-x1)f'(x1)=g(x2)-f(x1)，(x2-x1)f'(x2)=g(x2)-f(x1)；求出x1,x2，进而求出切线方程。
解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。
例题：求曲线y=x与曲线y=2elnx的公切线方程。
（答案：2ex-y-e=0）练1：求曲线y=x与曲线y=-(x-1)的公切线方程。
（答案：2x-y-1=0或y=0）2.设函数f(x)=p(x-2)-2lnx，g(x)=x，直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于(1,0)，求实数p的值。
导数的应用曲线的切线和法线问题
导数的应用曲线的切线和法线问题在微积分中，导数是一个重要的概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
除了用来求函数的极值和变化趋势外，导数还可以应用于曲线的切线和法线问题。
本文将探讨导数在曲线切线和法线问题上的应用。
一、曲线的切线问题对于给定的曲线，我们可以通过求取该曲线上某一点的导数来确定该点处的切线。
具体的步骤如下：1. 确定曲线上的某一点P(x₀, y₀)。
2. 求取该点的导数dy/dx。
3. 使用点斜式或一般式求取与该点所在切线平行的直线方程。
4. 得到切线的方程。
举例来说，如果我们有一个曲线的方程为y = 2x² + 3x - 4，那么可以依次进行如下步骤来求取曲线在某一点上的切线：1. 确定点P(x₀, y₀)的坐标，假设为P(2, 7)。
2. 求取该点的导数dy/dx，对于曲线y = 2x² + 3x - 4，求导得到dy/dx = 4x + 3。
3. 使用点斜式求取切线的方程，将点P的坐标和导数dy/dx的值代入点斜式方程y - y₀ = m(x - x₀)，得到y - 7 = (4(2) + 3)(x - 2)。
4. 化简方程，得到切线的方程y = 8x - 9。
通过这个例子可以看出，求取曲线切线的关键是求取点的导数，然后利用切线方程将导数与点的坐标结合，得到切线的方程。
二、曲线的法线问题曲线的法线是与该曲线在某一点处相切，垂直于切线的直线。
求取曲线的法线同样可以通过求取该点的导数来完成。
具体的步骤如下：1. 确定曲线上的某一点P(x₀, y₀)。
2. 求取该点的导数dy/dx，并计算其倒数k。
3. 求取法线的斜率nk = -1/k。
4. 使用点斜式求取法线方程。
5. 得到法线的方程。
和曲线的切线问题类似，求取曲线的法线也需要先求取点的导数，然后计算导数的倒数作为法线的斜率。
三、综合案例考虑一个具体的综合案例，假设我们有一个函数f(x) = x³ + 2x²- 3x + 1，我们希望求取该函数在 x = 2 处的切线和法线。
导数的应用 图形切线问题
导数的应用图形切线问题
导数的应用：图形切线问题
导数在数学中有广泛的应用，其中之一就是解决图形切线问题。
图形切线问题是指如何找到曲线某一点的切线，导数给出了解决这
类问题的有效方法。
1. 切线的定义
切线是曲线上通过给定点的直线，它与曲线在该点相切且方向
与曲线在该点的切线方向相同。
2. 导数的定义
导数可以理解为函数在某一点上的斜率。
对于函数f(x)，它在
点x处的导数表示为f'(x)或dy/dx。
3. 求切线的步骤
- 求取函数f(x)在给定点x0处的导数f'(x0)。
- 使用点斜式找到通过给定点(x0, f(x0))且斜率为f'(x0)的切线方程。
4. 举例说明
假设我们要找到函数f(x) = x^2在点x = 2处的切线。
- 首先求取f(x)在x = 2处的导数。
f'(x) = 2x，代入x = 2，得到f'(2) = 4。
- 接下来使用点斜式得到切线方程。
切线方程为y - f(2) = f'(2)(x - 2)。
代入f(2) = 4和f'(2) = 4，得到y - 4 = 4(x - 2)。
化简方程，得到y = 4x - 4。
所以，函数f(x) = x^2在点x = 2处的切线方程为y = 4x - 4。
导数的应用之图形切线问题为我们提供了一种有效的方法来求取曲线某点的切线。
通过求取导数和使用点斜式，我们可以准确地找到给定点处的切线方程。
这对于解决多种实际问题，例如物理学中的运动问题和经济学中的边际分析，都具有重要意义。
利用导数求切线方程
利用导数求切线方程1. 引言在微积分中，导数是一个重要的概念。
它描述了函数在给定点的变化率，可以用来解决许多实际问题。
其中一个应用就是求解切线方程。
切线是曲线上的一条直线，与曲线在给定点处相切。
求解切线方程可以帮助我们更好地理解曲线的性质和行为。
本文将介绍如何利用导数求解切线方程。
首先，我们将回顾导数的定义和性质。
然后，我们将详细介绍如何利用导数求解切线方程，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。
2. 导数的定义和性质回顾在微积分中，导数描述了函数在给定点的变化率。
对于一个函数f(x)，它在x处的导数可以通过以下极限定义得到：f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ其中，f′(x)表示函数f(x)在x处的导数。
导数具有一些重要的性质，这些性质在求解切线方程时非常有用。
下面是一些常见的导数性质：•常数函数的导数为0：f′(x)=0•幂函数的导数：(x n)′=nx n−1•和差法则：(f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x)•乘法法则：(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)•除法法则：(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x)•复合函数的导数：(f(g(x)))′=f′(g(x))g′(x)这些性质将在后面的内容中被广泛应用。
3. 求解切线方程的步骤为了求解切线方程，我们需要知道曲线上的一个点以及该点处的斜率。
导数提供了一个方法来计算曲线在给定点处的斜率，因此我们可以利用导数来求解切线方程。
以下是求解切线方程的步骤：步骤 1：确定曲线上的一个点首先，我们需要确定曲线上的一个点。
这个点将成为切线方程的起点。
可以通过给定的问题或者观察曲线的图像来确定这个点。
步骤 2：计算导数在确定了起点之后，我们需要计算曲线在该点处的导数。
根据导数的定义和性质，我们可以得到导数的计算公式。
步骤 3：计算斜率利用导数求得的斜率可以用来确定切线的斜率。
导数的应用切线与极值问题
导数的应用切线与极值问题导数的应用：切线与极值问题导数是微积分中的重要概念，它在各个科学领域中都有着广泛的应用。
其中，切线与极值问题是导数应用的两个常见问题。
本文将探讨如何使用导数解决切线和极值问题，并通过实例解释其应用。
一、切线问题切线是曲线上某一点处与该点相切的直线。
通过导数，我们可以确定曲线上某点的切线方程。
设曲线方程为y=f(x)，点P(x,y)处的切线斜率k即为函数f(x)在该点的导数，即k=f'(x)。
例子1：求曲线y=x^2+2x+1在点P(1,4)处的切线方程。
解：首先求导数：f'(x)=(x^2+2x+1)'=2x+2。
然后求点P(1,4)处的斜率：k=f'(1)=2(1)+2=4。
由切线斜率和点可确定切线方程，即y-4=4(x-1)。
将其化简，得到切线方程为y=4x。
二、极值问题在求解极值问题时，我们可以利用导数为0的点来确定函数的最大值或最小值。
设函数f(x)在[a,b]区间上连续且在区间内可导，若f'(c)=0且c∈(a,b)，则c称为f(x)在[a,b]上的临界点。
临界点和区间端点都有可能是函数的极值点。
例子2：求函数f(x)=x^3-3x^2的极小值。
解：首先求导数：f'(x)=(x^3-3x^2)'=3x^2-6x。
然后求导函数的临界点：3x^2-6x=0。
化简得到x(x-2)=0，解得x=0或x=2。
接下来，我们通过判断临界点和区间端点的函数值来确定极小值。
计算f(0)=-0、f(2)=-4，因此f(x)=x^3-3x^2的极小值为-4，在x=2处取得。
综上，我们通过求解导数和判断临界点来确定函数的极值。
三、切线和极值问题的应用切线问题和极值问题在实际应用中有着广泛的运用。
例子3：一辆汽车在某段时间内行驶的路程和时间的关系如图所示。
求该段时间内汽车的平均速度，以及汽车行驶的最快和最慢速度。
图表：时间（小时） 0 2 4 6 8 10路程（公里）***********解：我们可以通过导数来求解这个问题。
利用导数求三角函数切线方程的三种问题类型
利用导数求三角函数切线方程的三种问题类型导数是微积分中的重要概念，可以用来求解三角函数的切线方程。
在这份文档中，我们将介绍三种利用导数求三角函数切线方程的问题类型。
问题类型一：给定函数和点，求切线方程在这种类型的问题中，我们已知一个三角函数及其定义域上一点的坐标，需要求解该函数在该点处的切线方程。
解决这类问题的关键是求解该点处的导数。
对于三角函数而言，我们可以利用基本导数公式来求解。
例如，对于sin(x)函数，其导数是cos(x)；对于cos(x)函数，其导数是-sin(x)。
一旦我们求得了函数在给定点处的导数，我们可以使用切线方程的一般形式y = f'(x0)(x - x0) + f(x0)来求解。
其中，f'(x0)表示函数在x0处的导数值，f(x0)表示函数在x0处的函数值。
问题类型二：给定函数和切线斜率，求切点坐标在这种类型的问题中，我们已知一个三角函数及其切线的斜率，需要求解切线与该函数的交点坐标。
解决这类问题的关键是找到切点的x坐标。
我们可以使用导数和斜率的关系来求解。
具体而言，由于导数就是切线的斜率，我们可以将斜率与导数相等来列方程。
然后，通过求解方程，我们可以得到切点的x坐标。
一旦我们获得了切点的x坐标，我们可以将该坐标代入三角函数的方程中，得到切点的y坐标。
问题类型三：给定函数和切点，求切线斜率在这种类型的问题中，我们已知一个三角函数及其切线的切点坐标，需要求解切线的斜率。
解决这类问题的关键是求解切点的导数。
我们可以使用导数的定义来求解。
具体而言，我们可以将切点的坐标代入三角函数的导数公式中，然后求导得到切点的导数。
一旦我们求得了切点的导数，即可得到切线的斜率。
通过掌握这三种问题类型的解决方法，我们可以有效地利用导数来求解三角函数的切线方程。
这有助于我们更好地理解三角函数的性质和导数的应用。
导数的应用切线和极值问题
导数的应用切线和极值问题导数的应用：切线和极值问题在微积分中，导数是一个重要的概念，它能够帮助我们解决各种实际问题。
本文将讨论导数的应用之一：切线和极值问题。
一、切线问题在几何学中，切线是一个与曲线相切于一点且与曲线在该点处具有相同的斜率的直线。
利用导数，我们可以求解切线方程。
设函数f(x)在点x=a处可导，则点P(a, f(a))处的切线斜率等于f'(a)。
因此，切线的斜率可以通过求函数的导数来获得。
进而，切线方程可以通过使用点斜式或一般式来表达。
举个例子，我们考察函数f(x) = x^2在点x=2处的切线。
首先，我们求f(x)的导数f'(x)。
通过求导法则，我们得到f'(x) = 2x。
将x=2代入到f'(x)中，我们可以计算得到切线的斜率：f'(2) = 2 * 2 = 4。
考虑到切线经过点(2, f(2)) = (2, 4)，我们可以使用点斜式来得到切线方程：y - 4 = 4(x - 2)。
简化这个方程我们可以得到y = 4x - 4，即函数f(x) = x^2在x=2处的切线方程。
二、极值问题极值是函数在某一区间内取得的最大值或最小值。
通过使用导数的概念，我们可以判断函数在给定区间内的极值。
设函数f(x)在区间[a, b]内可导。
为了判断f(x)在[a, b]内的极值，我们需要找到f'(x) = 0的点，以及f'(x)不存在的点。
这些点称为f(x)的临界点。
然后，我们将f(x)的临界点与区间的端点进行比较，找出极值点。
举个例子，我们考察函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在区间[-1, 3]上的极值。
首先，我们计算f(x)的导数f'(x)，得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
为了找到临界点，我们需要解方程f'(x) = 0。
通过求解这个方程，我们得到x = 1或x = 2。
然后，我们将这些临界点与区间的端点进行比较。
导数的应用切线与法线
导数的应用切线与法线导数的应用：切线与法线导数是微积分中非常重要的概念之一。
通过计算导数，我们可以得到函数在某一点的切线斜率，从而揭示函数在该点的变化趋势。
在实际问题中，我们经常需要使用导数的应用来解决与切线和法线相关的问题。
本文将探讨导数在切线和法线问题中的应用。
一、切线的求解切线是曲线在某一点处与曲线相切且仅与曲线有一个公共点的直线。
切线的斜率正是曲线在该点处的导数。
考虑一个函数f(x)，我们希望求解函数f(x)在点x=a处的切线方程。
首先，我们需要计算函数f(x)在该点处的导数，即f'(a)。
然后，我们可以使用切线的斜率公式来确定切线的斜率：m = f'(a)。
接下来，我们需要找到过点(x=a, f(a))的直线，且斜率为m。
假设切线方程为y = mx + c，其中c为常数。
由于切线过点(x=a, f(a))，我们可以将这一点的坐标代入切线方程得到f(a) = ma + c，进一步，我们可以得到c = f(a) - ma。
因此，函数f(x)在点x=a处的切线方程为y = f'(a)x + (f(a) - af'(a))。
二、法线的求解法线是曲线在某一点处与切线垂直的直线。
法线的斜率是切线斜率的负倒数。
与切线问题类似，我们考虑函数f(x)在点x=b处的法线方程。
首先，我们计算函数f(x)在该点处的导数，即f'(b)。
然后，我们可以使用切线斜率的负倒数来确定法线的斜率：m' = -1/f'(b)。
我们需要找到过点(x=b, f(b))的直线，且斜率为m'。
假设法线方程为y = m'x + d，其中d为常数。
由于法线过点(x=b, f(b))，我们可以将这一点的坐标代入法线方程得到f(b) = m'b + d。
进一步，我们可以得到d = f(b) - m'b。
因此，函数f(x)在点x=b处的法线方程为y = -1/f'(b)x + (f(b) -b/f'(b))。
导数专题：导数与曲线切线问题的6种常见考法(解析版)
导数专题：导数与曲线切线问题的6种常见考法一、求曲线“在”与“过”某点的切线1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤第一步（求斜率）：求出曲线在点()()00,x f x 处切线的斜率0()f x '第二步（写方程）：用点斜式000()()()y f x f x x x '-=-第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤（此类问题的点不一定是切点）第一步：设切点为()()00,Q x f x ；第二步：求出函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '；第三步：利用Q 在曲线上和0()PQ f x k '=，解出0x 及0()f x '；第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-．二、公切线问题研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线，但要注意以下两个方面：（1）两个曲线有公切线，且切点是同一点；（2）两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。
三、切线条数问题求曲线的切线条数一般是设出切点()(),t f t ，由已知条件整理出关于t 的方程，把切线问条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题。
四、已知切线求参数问题此类问题常见的考查形式有两种，一是判断符合条件的切线是否存在，二是根据切线满足条件求参数的值或范围。
常用的求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数，再根据方程的根的情况或函数性质去求解。
题型一“在”点求切线问题【例1】函数2()ln 2f x x x x =++在点()()1,1f 处的切线方程为（）A．33y x =-B．3y x =C．31y x =+D．33y x =+【答案】B【解析】因为2()ln 2f x x x x =++，所以()1ln 2f x x x=++'()13f '∴=，又()13f =，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为33(1)y x -=-，即3y x =.故选：B.【变式1-1】已知函数()f x 满足()()3211f x x f x =-'⋅+.（1）求()1f '的值；（2）求()f x 的图象在2x =处的切线方程.【答案】（1）()11f '=；（2）8110x y --=【解析】（1）因为()()3211f x x f x =-'⋅+，则()()2321f x x f x ''=-，所以，()()1321f f ''=-，解得()11f '=.（2）由（1）可知()321f x x x =-+，则()232f x x x '=-，则()25f =，()28f '=，因此，()f x 的图象在2x =处的切线方程为()582y x -=-，即8110x y --=.【变式1-2】若曲线2y x ax b =++在点(0,)P b 处的切线方程为10x y -+=，则a ，b 的值分别为（）A．1，1B．1-，1C．1，1-D．1-，1-【答案】A【解析】因为2y x a '=+，所以0|x y a='=曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线10x y -+=的斜率为1，1a ∴=，又切点(0,)b 在切线10x y -+=上，010b ∴-+=1b ∴=．故选：A．【变式1-3】已知函数()2ln f x a x x =+的图象在1x =处的切线方程为30x y b -+=，则a b +=（）A．2-B．1-C．0D．1【答案】B【解析】因为()2ln f x a x x =+，所以()2af x x x'=+.又()f x 的图象在1x =处的切线方程为30x y b -+=，所以()123f a '=+=，解得1a =，则()2ln f x x x =+，所以()11f =，代入切线方程得310b -+=，解得2b =-，故1a b +=-.故选：B.题型二“过”点求切线问题【例2】（多选）已知曲线()()3211f x x =++，则曲线过点()0,3P 的切线方程为（）A．630x y +-=B．630x y -+=C．5260x y -+=D．3260x y -+=【答案】BD【解析】设切点坐标为()()300,211x x ++，()()261f x x '=+，∴切线斜率为()()20061k f x x '==+切线方程为()()()2003012161y x x x x ⎤=+-++⎦-⎡⎣曲线过点()0,3P ，代入得()()()20030362111x x x ⎡⎤++⎣=--⎦+可化简为()()032001113x x x +-+=，即3020023x x -=-，解得00x =或032x =-则曲线过点()0,3P 的切线方程为630x y -+=或3260x y -+=故选：BD【变式2-1】过原点的直线,m n 与分别与曲线()e xf x =，()lng x x =相切，则直线,m n 斜率的乘积为（）A．-1B．1C．eD．1e【答案】B【解析】设()(),f x g x 的切点分别为()()1122,e ,,ln xx x x ，由题意可得()e xf x '=，()1g x x'=，所以()f x 在1x x =处的切线为()111e e x xy x x -=-，()g x 在2x x =处的切线为()2221ln y x x x x -=-，又因为两条切线过原点，所以()()1112220e e 010ln 0x x x x x x ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，解得121e x x =⎧⎨=⎩，所以直线,m n 斜率的乘积为()()1121e 1ef xg x ''=⨯=，故选：B【变式2-2】设点P 是曲线e e e ex xx x y ---=+上任意一点，直线l 过点P 与曲线相切，则直线l 的倾斜角的取值范围为______.【答案】π0,4⎛⎤⎥⎦⎝【解析】设直线l 的倾斜角为α2e e e e 4(e e e e e e x x x x x x x x x x y y -------''=∴=+++=（）0e e 1x x y -≥∴≤<'+2][]tan (0,1,0,ααπ∴∈∈π0,4α⎛⎤∴∈ ⎥⎦⎝【变式2-3】过点()1,0作曲线e x y =的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.【答案】2e 1-【解析】0x >时，e x y =，设切点()11,ex x ，则11e ,e x xy k=='，切线()1111:e e x xl y x x -=-过()1,0，()111e e 1x x x ∴-=-，2112,e x k ∴==，0x ≤时，e x y -=，切点()22,e xx -，22e ,e x x y k --=-=-'，切线()2222:ee x x l y x x ---=--过()1,0，()222e e 1x x x --∴-=--，220,1x k ∴==-，故212e 1k k +=-.故答案为：2e 1-.题型三切线的条数问题【例3】若过点()0,(0)b b >只可以作曲线e xxy =的一条切线，则b 的取值范围是__________.【答案】24,e ∞⎛⎫+⎪⎝⎭【解析】函数e x x y =的定义域为R ，则1e x x y -'=，设切点坐标为000,e x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线斜率为001e x x k -=，故切线方程为：()000001e e x x x x y x x --=-，又切线过点()0,(0)b b >，则()000200001e e e x x x x x x b x b --=-⇒=，设()2ex x h x =，则()()20e xx x h x -'==得，0x =或2x =，则当(),0x ∈-∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当()0,2x ∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当()2,x ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，所以()()2400,2e h h ==，又x →-∞时，()h x →+∞，x →+∞时，()0h x →，所以02ex x b =有且只有一个根，且0b >，则24e b >，故b 的取值范围是24,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为：24,e ∞⎛⎫+⎪⎝⎭.【变式3-1】若曲线(2)e x y x a =-有两条过坐标原点的切线，则实a 的取值范围为______.【答案】(,0)(8,)-∞⋃+∞【解析】设切点坐标为：00(,)x y ，(22)e x y x a '=+-，所以切线斜率为00(22)e x k x a =+-，即切线方程为0000(2)e (22)e ()x xy x a x a x x --=+--，又切线过坐标原点，所以00000(2)e (22)e (0)x x x a x a x --=+--，整理得20020x ax a -+=，又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个解，所以280a a ∆=->，解得(,0)(8,).a ∈-∞⋃+∞故答案为：(,0)(8,).-∞⋃+∞【变式3-2】已知过点(),0A a 可以作曲线()2e xy x =-的两条切线，则实数a 的取值范围是（）A．()2,+∞B．()(),e 2,∞∞--⋃+C．()(),22,∞∞--⋃+D．()(),12,-∞-+∞【答案】C【解析】设切点是()00,P x y ，0R x ∈，即()0002e x y x =-，而()1exy x '=-故切线斜率()001e x k x =-，切线方程是()()()00002e 1e x xy x x x x --=--，又因为切线经过点(),0A a ，故()()()00002e 1e x xx x a x --=--，显然01x ≠，则()0000021111x a x x x x -=+=-+--，在01x ≠上有两个交点，令01x x =-，设()1,0h x x x x =+≠，则()222111x h x x x-=-='，令()0h x '=得11x =-，21x =，所以当(),1x ∈-∞-时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,0x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，又()12h -=-，()12h =，且x →-∞时，()h x →-∞，0x -→时，()h x →-∞，0x +→时，()h x →+∞，x →+∞时，()h x →+∞，所以()a h x =有两个交点，则2a >或2a <-，故实数a 的取值范围是()(),22,∞∞--⋃+.故选：C.【变式3-3】已知函数()326f x x x =-，若过点()1,P t 可以作出三条直线与曲线()f x 相切，则t 的取值范围是（）A．()5,4--B．()4,3--C．()3,2--D．()2,1--【答案】A【解析】设过点()1,P t 的切线与()f x 相切于点()32,6m m m -，()2312f x x x '=-，()2312f m m m '∴=-，则切线方程为：()()()3226312y m m m m x m --=--，又切线过点()1,P t ，()()()23232312162912t m m m m m m m m ∴=--+-=-+-，令()322912g m m m m =-+-，则问题等价于y t =与()g m 有三个不同的交点，()()()261812612g m m m m m '=-+-=---，∴当()(),12,m ∈-∞+∞时，()0g m '<；当()1,2m ∈时，()0g m '>；()g m ∴在()(),1,2,-∞+∞上单调递减，在()1,2上单调递增，又()15g =-，()24g =-，由此可得()g m 图象如下图所示，由图象可知：当()5,4t ∈--时，y t =与()g m 有三个不同的交点，即当()5,4t ∈--时，过点()1,P t 可以作出三条直线与曲线()f x 相切.故选：A.题型四两曲线的公切线问题【例4】若直线1:2l y kx b k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭与曲线1()e x f x -=和()ln(1)g x x =+均相切，则直线l 的方程为___.【答案】y x=【解析】设()f x ，()g x 上的切点分别为()111,ex A x -，()()22,ln 1B x x+，由()1e xf x -'=，()11g x x '=+，可得1121e 1x k x -==+，故()f x 在A 处的切线方程为()()1111111111ee e e 1x x x x y x x y x x -----=-⇒=+-，()g x 在B 处的切线方程为()()()222222211ln 1ln 1111x y x x x y x x x x x -+=-⇒=++-+++，由已知()()()111122121221e 1ln 11e 1ln 11x x x x x x x x x --⎧=⇒-=+⎪+⎪⎨⎪-=+-⎪+⎩,所以()()()22222222221ln 1ln 1ln 11111x x x x x x x x x x ⎛⎫+=+-⇒=+ ⎪++++⎝⎭，故20x =或()2ln 11x +=，而()222111ln 111e 1e 2x x x +=⇒+=⇒=<+，不合题意舍去，故20x =，此时直线l 的方程为y x =.故答案为：y x =.【变式4-1】已知函数()e xf x =与函数()lng x x b =+存在一条过原点的公共切线，则b =________.【答案】2【解析】设该公切线过函数()e xf x =、函数()lng x x b =+的切点分别为()11,ex x ，()22,ln b x x +.因为()e xf x '=，所以该公切线的方程为()1111111e e e e ex x x x x y x x x x =-+=+-同理可得，该公切线的方程也可以表示为()2222211ln ln 1y x x x b x x b x x =-++=⋅++-因为该公切线过原点，所以()112121e e 10ln 10x x xx x b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪+-=⎪⎪⎩，解得1211,e ,2x x b ===.故答案为：2【变式4-2】函数()bf x ax x =+的图象在点(1,3)处的切线也是抛物线213x y =的切线，则a b -=（）A．1B．3C．6D．2【答案】C【解析】()bf x ax x =+，则2()b f x a x '=-，则在点(1,3)处的切线的斜率为12(1)1bk f a a b '==-=-，213x y =，则6y x '=，则在点(1,3)处的切线的斜率为26k =，函数()bf x ax x =+的图象在点(1,3)处的切线也是抛物线213x y =的切线，则12k k =，即6a b -=，故选：C.【变式4-3】若曲线e x y a =与曲线y ==a __________.【解析】令()e x f x a =，()g x ()e xf x a '=，()g x '=设()f x 与()g x 的公共点为()00,x y ，()f x 与()g x 在公动点处有相同的切线，()()()()0000f x g x f x g x '⎧=∴'⎪⎨=⎪⎩，即00e e x x a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩=012x =，12e a ∴=a ==题型五切线平行、垂直问题【例5】若曲线ln x ay x+=在点()1,a 处的切线与直线:250l x y -+=垂直，则实数=a （）．A．12B．1C．32D．2【答案】C 【解析】因为21ln x ay x --'=，所以曲线ln x ay x+=在点()1,a 处的切线的斜率为()111k f a ='=-，直线l 的斜率22k =，由切线与直线l 垂直知121k k =-，即()211a -=-，解得32a =．故选：C．【变式5-1】已知曲线y =y x =--24垂直的曲线的切线方程为_________．【答案】2250x y -+=【解析】设切点为(),m n ，因为y =y '=，因为曲线的切线与直线y x =--24垂直，()21-=-，解得25m =，又点(),m n在曲线y =25n ==，所以切点坐标为()25,25，所以曲线y =y x =--24垂直的切线方程为：()125252y x -=-，即2250x y -+=，故答案为：2250x y -+=.【变式5-2】若曲线s n e i =+x y x a 存在两条互相垂直的切线，则a 的取值范围是________．【答案】()(),00,∞-+∞U 【解析】由题知，令()e sin x f x a x =+，则()e cos xf x a x '=+．若函数曲线存在两条互相垂直的切线则可得1x ∃，2x ，()()121f x f x ''⋅=-．当0a =时，()21e 0,xx x f x '=>⇒∀，()()120f x f x ''>，与题目矛盾；当0a ≠时，由()e 0,xy =∈+∞，cos y a x a=≥-可得()f x '的值域是(),a -+∞故12,x x ∃，使得()()1,0f x a '∈-，()210,f x a ⎛⎫'∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()()121f x f x ''⋅=-．故答案为：()(),00,∞-+∞U ．【变式5-3】曲线33y x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-，则点P 的坐标为______．【答案】()1,3或()1,3-【解析】由已知得231y x '=-，令2y '=，则2312x -=，解得1x =或=1x -，所以()1,3P 或()1,3P -．经检验，点()1,3P 与()1,3P -均符合题意．故答案为：()1,3或()1,3-【变式5-4】若曲线()21ln 2f x x x ax =++存在与直线50x y -=平行的切线，则实数a 的最大值为______.【答案】3【解析】()()10f x x a x x=++>，因为曲线()21ln 2f x x x ax =++存在与直线50x y -=平行的切线，所以15x a x ++=在()0,∞+有解.即15a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,∞+有解.设()15g x x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞，则()1553g x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当1x x=，即1x =时等号成立，即()3g x ≤.所以3a ≤，即a 的最大值为3.故答案为：3题型六与切线有关的最值问题【例6】若动点P 在直线1y x =+上，动点Q 在曲线22x y =-上，则|PQ |的最小值为（）A．14B．4C．22D．18【答案】B【解析】设与直线1y x =+平行的直线l 的方程为y x m =+，∴当直线l 与曲线22x y =-相切，且点Q 为切点时，P ，Q 两点间的距离最小，设切点()00,Q x y ，22x y =-，所以212y x =-，y x ∴'=-，0011x x ∴-=⇒=-，012y ∴=-，∴点11,2Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴直线l 的方程为12y x =+，,P Q ∴两点间距离的最小值为平行线12y x =+和1y x =+间的距离，,P Q ∴24=.故选：B .【变式6-1】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线24x y =上的一个动点，则点P 到直线40x y ++=的距离的最小值是_____.【答案】2【解析】设直线0x y b ++=与214y x =相切，则切线的斜率为1-且12y x '=，令112y x '==-，则2x =-，即切点的横坐标为2-，将2x =-，代入214y x =，可得1y =，即切点坐标为()2,1-，所以点P 到直线40x y ++=的距离的最小值即为()2,1-到直线的距离，即2d =，故答案为:【变式6-2】已知P 为直线210x y +-=上的一个动点，Q 为曲线423242210x x y x x --++=上的一个动点，则线段PQ 长度的最小值为______.【解析】直线210x y +-=可化为：1122y x =-+.对于曲线423242210x x y x x --++=.当0x =时，代入10=不成立，所以0x ≠.所以423242210x x y x x --++=可化为22112122y x x x =-++，导数为31142y x x -'=-所以线段PQ 的最小值即为与1122y x =-+平行的直线与423242210x x y x x --++=相切时，两平行线间的距离.设切点(),Q m n .由题意可得：322111422112122m m n m m m ⎧--=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，即32214112122m m n m m m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得：234m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或234m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩.当Q ⎝⎭时，PQ当,324Q ⎛-+ ⎝⎭时，PQ =综上所述：线段PQ.【变式6-3】点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，且点P 到直线y x a =+的距离的a 的值是__________.【答案】2-【解析】由题设12y x x '=-且0x >，令0'>y ，即22x >；令0'<y ，即202x <<，所以函数2ln y x x =-在0,2⎛⎝⎭上单调递减，在,2⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，且12|ln 022x y ->，如图所示，当P 为平行于y x a =+并与曲线2ln y x x =-相切直线的切点时，距离最近.令1y '=，可得12x =-（舍）或1x =，所以1|1x y ==，则曲线上切线斜率为1的切点为(1,1)P ，=2a =（舍去）或2-，故答案为：2-.。
高中数学教案应用导数解决曲线的切线与法线问题
高中数学教案应用导数解决曲线的切线与法线问题高中数学教案：应用导数解决曲线的切线与法线问题尊敬的同学们，今天我们将探讨数学中的一个重要概念——导数，并学习如何应用导数来解决曲线的切线与法线问题。
这是一种在数学上非常有用的方法，它不仅能够帮助我们找到曲线上某一点的切线和法线，还能提供深入了解曲线变化的信息。
接下来，我们将逐步学习导数的概念、计算方法以及如何将其应用于具体问题中。
一、导数的概念和计算方法1. 导数的定义：导数描述了函数在某一点处的变化率。
对于函数f(x)，其在点x=a处的导数表示为f'(a)或df(x)/dx|_(x=a)。
导数可以用数学式子表示为lim_(h→0)[f(a+h)-f(a)]/h。
2. 导数的计算方法：为了计算导数，我们可以采用以下几种方法：- 利用导数的定义进行计算：根据导数定义的极限表达式，我们可以直接计算导数。
- 使用基本导数公式：对于常见的基本函数，我们可以利用其导数公式来计算导数。
- 利用导数的性质：导数具有一系列的运算性质，如链式法则、乘积法则和商法则等，通过运用这些性质，我们可以简化导数的计算过程。
二、曲线的切线问题1. 切线的定义：切线是曲线在某一点处与曲线相切的直线，它与曲线有且只有一个公共点，并且在该点处具有与曲线相同的斜率。
2. 求解切线的步骤：- 确定曲线上某一点的坐标：假设我们需要求解曲线y=f(x)在点P(a, f(a))处的切线。
- 求解导数：计算函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)。
- 构造切线方程：使用点斜式或一般式等方法，根据导数的定义和点P的坐标，构造出切线方程。
三、曲线的法线问题1. 法线的定义：与切线垂直且经过切点的直线称为曲线的法线。
切线和法线在切点处的交点即为切点的坐标。
2. 求解法线的步骤：- 确定曲线上某一点的坐标：与求解切线类似，我们需要确定曲线上某一点的坐标。
- 求解导数：计算函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)。
利用导数解决曲线切线问题的技巧
利用导数解决曲线切线问题的技巧导数是微积分中一个重要的概念，它可以帮助我们解决曲线切线问题。
在本文中，我们将介绍一些利用导数解决曲线切线问题的技巧。
第一部分：导数的定义与意义在引入导数之前，我们先来了解一下导数的定义与意义。
导数可以理解为函数在某一点处的变化率，表示函数在该点附近的斜率。
导数的计算公式为：f'(x) = lim(h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h第二部分：计算导数的方法有很多种方法可以计算导数，下面我们将介绍几种常用的方法。
1. 使用导数定义计算根据导数的定义，我们可以通过求函数在某一点的斜率来计算导数。
这种方法通常适用于简单的多项式函数或基本三角函数。
2. 使用求导法则求导法则是一些用来计算导数的常用规则。
这些规则包括求和法则、常数法则、乘积法则、商法则以及复合函数法则等。
通过应用这些法则，我们可以更快速地计算导数。
3. 使用隐函数求导对于一些复杂的函数表达式，我们可能无法直接通过求导法则计算导数。
这时，我们可以使用隐函数求导的方法。
通过对方程两边同时求导，然后解方程组，我们可以求得导函数。
第三部分：曲线切线问题与导数曲线切线问题是指在给定函数图像上找到曲线某点处的切线方程。
利用导数可以帮助我们解决曲线切线问题。
1. 切线的斜率首先，根据导数的定义，我们知道函数在某点的导数就是切线的斜率。
因此，要求解曲线切线的斜率，我们只需要计算函数在该点处的导数。
2. 切线的方程根据点斜式的定义，切线的方程可以表示为：y - y1 = f'(x1)(x - x1)其中，(x1, y1)是切线上的一点，f'(x1)是函数在该点处的导数。
通过求得导数和已知点坐标，我们可以得到切线的方程。
第四部分：实例分析为了更好地理解利用导数解决曲线切线问题的技巧，我们来看一个具体的实例。
例：求函数f(x) = x^2在点(1, 1)处的切线方程。
首先，我们需要计算函数在x = 1处的导数。
用导数研究曲线的切线应注意的几个问题
用导数研究曲线的切线应注意的几个问题■江苏省泰兴市第二高级中学高峰用导数研究曲线的切线是高考一个主要考点,常与解析几何知识交汇命题,旨在考查同学们对导数的几何意义的正确理解。
主要涉及求曲线切线的斜率与方程、曲线切线的条数、曲线的公切线、满足条件的切线是否存在及满足条件的切线的参数范围等问题。
一、曲线在某点处的切线例1(2021 届四川省遂宁市高三三模)已知函数f(x)=ex-x2+lnx,g(x)=2-ex-lnx。
(1)设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为k1,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线的斜率为k2,求k1+k2的值;(2)若h(x)=f(x)+g(x),设曲线y=h(x)在点(t,h(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为s(t),求s(t)的最小值。
解析:(1)因为f(x)=ex-x2+lnx,所以f＇(x)=ex-2x+,所以k1=f＇(1)=e-1。
又因为g(x)=2-ex-lnx,所以g＇(x)=-ex-,所以k2=g＇(1)=-e-1。
所以k1+k2=-2。
(2)h(x)=f(x)+g(x)=2-x2(x＞0),h＇(x)=-2x,则h＇(t)=-2t。
又因为点(t,h(t))为(t,2-t2),所以y=h(x)在点(t,2-t2)处的切线方程为y-(2-t2)=-2t(x-t),故当x=0 时,y=t2+2;当y=0时,x=。
感悟:曲线在某点(x0,f(x0))处的切线,则已知点一定是切点,求切线方程的步骤为:①求出函数f(x)的导数f＇(x);②求出切线的斜率k=f＇(x0);③写出切线方程yf(x0)=f＇(x0)(x-x0),并化简为直线方程的一般式。
二、过某点的曲线的切线例2(2022 届山东省潍坊市高三上学期期中)已知a∈r,函数f(x)=lnx+a(1-x),g(x)=ex。
(1)讨论f(x)的单调性;(2)过原点分别作曲线y=f(x)和y=g(x)的切线l1和l2,求证:存在a＞0,使得切线l1和l2的斜率互为倒数。
新高考视角下的导数新授课：切线问题专题研究
新高考背景下的切线问题研究一．基本原理1. 用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点00(,())x f x 的坐标；②求出函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x ' ③得切线方程00()()()y f x f x x x '-=- 2. 求过点A 处切线方程方法如下：设切点为00(,)P x y ，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-，∵过点(,)A m n ，∴000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值，0x 有几个值，就有几条切线. 3.若函数)(x f y =的图象在点),(11y x A 处的切线与函数)(x g y =的图象在点),(22y x B 处的切线相同（公切线），则等价于)(x f 的图象在点A 处的切线：))(()(11'1x x x f x f y -=-与)(x g 的图象在点B 处的切线：))(()(22'2x x x g x g y -=-重合.进一步等价于下列方程组有解：⎪⎩⎪⎨⎧⋅-=⋅-=)()()()()()(2'221'112'1'x g x x g x f x x f x g x f . 4.若动点C 为函数)(x f y =图象上任一点，直线l 与)(x f y =图象相离，则C 到l 距离的最小值为函数)(x f y =图象在点C 处的切线与l 平行时产生，故此时最小距离即为切点到直线l 的距离.5.切线不等式求解双参数恒成立问题，分离性常见的两个不等式:（1）与xe 有关：0,1≥+≥x x e x；0,≥≥x ex e x.（2）与x ln 有关：0,ln 1>≥-x x x几何解释：凸函数的图象上切线总在图象的下方；几何解释：凹函数的切线总在的上方； 可以看到，分离性是导数中切线放缩的理论依据. 二．典例分析例1.已知直线21y x =-与曲线ln(3)y x t =+相切，则实数t 的值为__________． 解析：依题意，设切点坐标为00(,ln(3))x x t +，由ln(3)y x t =+求导得：33y x t'=+，于是得000323ln(3)21x t x t x ⎧=⎪+⎨⎪+=-⎩，即00332321ln 2x t x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：33ln 22t =-，所以实数t 的值为33ln 22-. 故答案为：33ln 22-例2．（2021新高考1卷）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a <<D ．0e a b <<解析：在曲线xy e =上任取一点(),tP t e，对函数xy e=求导得e x y '=，所以，曲线xy e =在点P 处的切线方程为()tty e e x t -=-，即()1tty e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1tty e x t e =+-上，可得()()11tttb ae t e a t e =+-=+-，令()()1tf t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==， 由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选：D. 例3.（2022新高考1卷）若曲线()e =+x y x a 有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是____________．解析：易得曲线不过原点，设切点为()000,()e +x x x a ，则切线斜率为：000'()(1)e =++x f x x a ．可得切线方程为00000()e (1)e ()-+=++-x x y x a x a x x ，又切线过原点，可得00000()e (1)e -+=-++x x x a x x a ，化简得0020=-+a ax x ，又切线有两条，即方程有两不等实根，由判别式042>+=∆a a ，得4<-a ，或0>a ．例4．若过点()(),0a b a >可以作曲线e x y x =的三条切线，则（） A ．0e b a b << B ．e 0a a b -<<C ．20e 4a b <<+D ．()24e 0a b -+<<解析：由题可得()1e xy x '=+，设切点()00,ex x x ，则()00000e 1e x x x bx x a-+=-，整理得()0200e x xax a b --=-，由题意知关于0x 的方程()0200e x x ax a b --=-有三个不同的解，设()()2e x f x x ax a =--，()()()2e x x x f x a '=+-，由0fx ，得2x =-或x a =，又0a >，所以当2x <-时，0f x，()f x 单调递增，当2x a -<<时，0fx，()f x 单调递减，当x a >时0f x，()f x 单调递增，当x →-∞时()0f x →，当x →+∞时，()f x →+∞，且()242eaf +-=，()e 0a f a a =-<，函数()f x 的大致图像如图所示，因为()f x 的图像与直线y b =-有三个交点，所以240ea b +<-<，即()24e 0a b -+<<. 故选：D.例5．（2022浙江卷）设函数()ln (0)2ef x x x x=+>． （1）求()f x 的单调区间；（2）已知a ，b R ∈，曲线()y f x =上不同的三点1(x ，1())f x ，2(x ，2())f x ，3(x ，3())f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若a e >，则0b f <-)(a 1(1)2ae<-；解析：证明：设经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图象相切时切点坐标为000(,)2ex lnx x +， 则切线方程为0000:()()2yl lnx f x x x x -='-，2001()2e f x x x '=-+，∴切线l的方程为020001()102e ex y lnx x x x -+-++-=， 020001()102e ea b lnx x x x ∴-+-++-=， 令21()()12e eg x a b lnx x x x=-+-+++-，(0)x >， 曲线()y f x =上不同的三点1(x ，1())f x ，2(x ，2())f x ，3(x ，3())f x 处的切线都经过点(,)a b ， ∴函数()g x 有三个不同的零点，322311()()()()e e x e x a g x a x x x x x --'=--+=， a e >，x e ∴<，或x a >时，()0g x '>，()g x 单调递增，e x a <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，从而()g x g =极大值)(e 0>，()g x g =极小值)(a 0<，∴102a b e -+>①，且02e lna b a+-<②， 由②得b f -)(a 02e b lna a =-->，由①有12ab e<+， b f -)(a 2e b lna a =--，∴要证明b f -)(a 1(1)2ae<-， 只需证明11(1)222a e a lna e a e +--<-，即322e lna a +>， 令h )(a 2e lna a =+，则2212()022e a eh a a a a -'=-=>，h ∴（a ）在 ()e,+∞上单调递增， h ∴)(a h >)(e 32=，b f ∴-)(a 1(1)2a e <-，综上，若a e >，则0b f <-)(a 1(1)2ae<-. 例6.若曲线与曲线存在公切线，则的最值情况为（ ）A ．最大值为B ．最大值为C ．最小值为D ．最小值为解析：设公切线与曲线1C 切于点()211,x x，与曲线2C切于点()22,x x ae，由''2xy x y ae⎧=⎪⎨=⎪⎩可得：22211212x x ae x x ae x x -==-，所以有221111221122222x x x x x x x x x ae ⎧-=⇒=-⎪-⎨⎪=⎩，所以2244x ae x =-，即()2241x x a e-=，设()()41xx f x e-=，则()()'42xx fx e-=，可知()f x 在()1,2单调递21x y C =：xae y C =：2a 28e 24e 28e 24e增，在()2,+∞单调递减，所以()max 242a f e ==例7.（2015年新课标卷）已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则a =_______ 解析：'11y x=+，所以'1|2x y ==，切线方程为()12121y x y x -=-⇒=-，联立方程()22212021y x ax ax y ax a x =-⎧⎪⇒++=⎨=+++⎪⎩，从而由相切可得：2808a a a ∆=-=⇒= 例8．已知函数1()e ln x f x x -=+，则过点(,)a b 恰能作曲线()y f x =的两条切线的充分条件可以是（ ） A ．211b a =-> B ．211b a =-< C ．21()a b f a -<<D ．211b a <--由1()e ln x f x x -=+，得11()e (0)x f x x x-'=+>，设切点为0100(,e ln )x x x -+，则切线的斜率为0101e x k x -=+，所以有00110001e ln e ()x x x b x a x --⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，整理得010000e (1)ln 10(0)x ax a x b x x ----++-=>，由题意可知此方程有且恰有两个解， 令1()e (1)ln 1(0)x a g x x a x b x x -=---++->，11(1)e (11)ln11121a g ab b a -=---++-=+-，112211()e ()()e (0)x x a g x x a x a x x x x --⎛⎫'=--+=--> ⎪⎝⎭，令121()e (0)x F x x x -=->，则132()e 0(0)x F x x x-'=+>>，所以()F x 在(0,)+∞上递增，因为11(1)e 10F -=-=， 所以当01x <<时，()0<F x ，当1x >时，()0F x >， ①当1211a -<-<，即01a <<时，当0x a <<时，()0g x '>，则()g x 递增，当1<<a x 时，()0g x '<，则()g x 递减，当1x >时，()0g x '>，则()g x 递增， 所以只要()0g a =或(1)0g =，即1e ln ()a b a f a -=+=或21(1,1)b a =-∈-；②当211a -≤-，即0a ≤时，当01x <<时，()0g x '<，则()g x 递减，当1x >时，()0g x '>，则()g x 递增，所以只要(1)0<g ，即21b a <-，而211a -≤-；③当211a ->，即1a >时，当01x <<时，()0g x '>，则()g x 递增，当1x a <<时，()0g x '<，则()g x 递减，当x a >时，()0g x '>，则()g x 递增， 当x a =时，1()e ln a g a b a -=--，所以只要(1)0g =或()0g a =，由(1)0g =，得211b a =->，由()0g a =得1e ln ()a b a f a -=+=； ④当1a =时，121()(1)e 0x g x x x -⎛⎫'=--> ⎪⎝⎭，所以()g x 在(0,)+∞上递增，所以函数至多有一个零点，不合题意；综上：0a ≤时，211b a <-≤-；01a <<时，1e ln ()a b a f a -=+=或21(1,1)b a =-∈-；1a >时，211b a =->或1e ln ()a b a f a -=+=，故A 正确，B 错误，C 错误，D 正确.故选：AD.例9．已知函数()ln a xf x b x =+在1x =处的切线方程为220x y --=.（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()f x 图象上的点到直线230x y -+=的距离的最小值.解析：（1）∵函数()ln a xf x b x =+，∴()f x 的定义域为()0,∞+，()()21ln a x f x x-'=， ∴()f x 在1x =处切线的斜率为()12k f a '===，由切线方程可知切点为()1,0，而切点也在函数()f x 图象上，解得0b =，∴()f x 的解析式为()2ln xf x x=； （2）由于直线220x y --=与直线230x y -+=平行，直线220x y --=与函数()2ln x f x x=在()1,0处相切，所以切点()1,0到直线230x y -+=的距离最小，最小值为d =故函数()f x 图象上的点到直线230x y -+=例11.设点P 在曲线2()2ln f x x x =-上，Q 在直线32y x =-上，则PQ 的最小值=________. 解析：函数2()2ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞，求导得1()4f x x x'=-，当曲线在点P 处的切线与直线32y x =-平行时，PQ 最小，最小值为切线与直线之间的距离，即切点到直线的距离.设(,)P m n ，由导数的几何意义，可得143m m -=，解得11,4m m ==-（舍去），故切点为(1,2)P ，点P 到直线32y x =-的距离d ==，所以PQ例10.若直线y ax b =+和()ln f x x =的图象相切，则a b +的最小值为________. 解析：解法1：设y ax b =+和()f x 的图象相切于点()()000,ln 0P x x x >， 因为()1f x x'=，所以()f x 的图象在点P 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-，即001ln 1y x x x =+-,从而01a x =，0ln 1b x =-，所以001ln 1a b x x +=+-， 设()()1ln 10x x x x ϕ=+->，则()22111x x x x xϕ-=-+='，所以()01x x ϕ'>⇔>， ()001x x ϕ'<⇔<<，故()x ϕ在()0,1上，在()1,+∞上，从而()()min 01x ϕϕ==,所以a b +的最小值为0.解法2：如图，a b +表示切线y ax b =+上横坐标为1的点的纵坐标，易得()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-，对于这条切线，()110a b +=+-=，而对于其它切线，显然切线上横坐标为1的点M 必在x 轴的上方，所以0a b +>，故a b +的最小值为0.下面把上述问题一般化到恒成立，其实可以看到临界条件还是相切时产生. 例11.已知直线y kx b =+是曲线x y e x =+的一条切线，则k b +的最大值是________. 解析：设切点为(),a a e a +，()1x x e x e +=+'，所以切线方程为()()()1a a y e a e x a -+=+-，整理得：()()11a a x y e a e ++--，所以1a k e =+，()1a b a e =-，从而()21a k b a e +=-+，设()()()21a f a a e a =-+∈R ，则()()1a f a a e '=-，所以()01f a a '>⇔<，()01f a a '<⇔>,从而()f a 在(1),-∞上，在(1,,)+∞上，故()()max 11f a f e ==+，即k b +的最大值为1e +.例12.已知函数()ln f x x =，2()1g x ax bx =++，其中,a b ∈R ．（1）当0a =时，直线()y g x =与函数()y f x =的图象相切，求b 的值； （2）当0a ≠时，若对任意0x >，都有()()f x g x ≤恒成立，求ba的最小值．解析：()()f x g x ≤恒成立，转化为ln 1ax b x x≤-+对任意0x >恒成立，即等价于 )]([1ln a b x a x x --≤-，故只需使得a b -最大即可，即函数xx x h 1ln )(-=的切线横截距最大，那么当e x =时取得，故ba的最小值为e -.。
用导数法解决切线问题小议
用导数法解决切线问题小议湖北枣阳一中 刘安锋导数是新教材中新增的内容，运用导数解曲线的切线问题也就变成了命题者手中的法宝，本文将针对这类问题的三个注意点进行讨论。
一、曲线与切线的交点唯一且恰好为切点函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线斜率，很显然P 点的坐标既满足切线方程又满足曲线()y f x =。
例1、已知曲线1y =，问曲线上哪一点处切线与直线23y x =-+垂直。
并写出在这一点处的切线方程。
解析：/y=/12y ==，解得4x =，代入1y =得5y =。
则曲线在点(4、5)处的切线与直线y=-2x+3垂直。
故切线方程为15(4)2y x -=-即260x y -+=。
二、曲线与切线的交点不唯一注意过点P 的切线与在P 处的切线的差异性，因为过点P 的切线中，点P 不一定 是切点，而在点p 处的切线中，点p 一定是切点。
例2、已知曲线31433y x =+，求过点P (2、4)的切线方程。
分析：虽然点P (2、4)在曲线31433y x =+上，但是曲线31433y x =+上点P (2、4) 处的切线是有区别的：过点P (2、4)的切线中，点P (2、4)不一定是切点，而在点P (2、4)处的切线中，点P (2、4)一定是切点。
解析：设曲线31433y x =+与过点P (2、4)的切线相切于点30014(,)33A x x +，则 0/20|x x k y x ===，切线方程为3200014()()33y x x x x -+=-。
由点P (2、4)在切线上得：32000144()(2)33x x x -+=-，解得0x =2或-1。
故所求的切线方程为20x y -+=或440x y --=。
三、注意解两曲线的公切线问题时思维的严谨性解两曲线的公切线问题时，若思维不严谨，则极易出错，且解答这类问题要具有一定的方法和技巧。
利用导数求抛物线切线方程的三种问题类型
利用导数求抛物线切线方程的三种问题类型问题类型一：已知抛物线上一点求切线方程已知抛物线方程为 $y=ax^2+bx+c$，且已知抛物线上一点为$(x_1, y_1)$，求该点处的切线方程。
解题步骤如下：1. 求出抛物线方程的导数 $\frac{dy}{dx}$。
2. 将已知点 $(x_1, y_1)$ 代入导数 $\frac{dy}{dx}$ 中，求出切线的斜率 $k$。
3. 使用点斜式来表示切线方程，即 $y-y_1=k(x-x_1)$。
问题类型二：已知切线斜率求切线方程已知抛物线方程为$y=ax^2+bx+c$，且已知切线的斜率为$k$，求切线方程。
解题步骤如下：1. 求出抛物线方程的导数 $\frac{dy}{dx}$。
2. 将切线的斜率 $k$ 代入导数 $\frac{dy}{dx}$ 中，得到一个方程。
3. 解方程，求出该方程对应的横坐标 $x$。
4. 将求得的横坐标 $x$ 代入抛物线方程中，求出纵坐标 $y$。
5. 使用点斜式来表示切线方程，即 $y-y=k(x-x_1)$，其中 $(x_1, y_1)$ 为切点坐标。
问题类型三：已知抛物线与切线重合求切点坐标已知抛物线方程为$y=ax^2+bx+c$，且已知抛物线与切线重合，求切点的坐标。
解题步骤如下：1. 求出抛物线方程的导数 $\frac{dy}{dx}$。
2. 将导数$\frac{dy}{dx}$ 与抛物线方程相等，得到一个方程。
3. 解方程，求出该方程对应的横坐标 $x$。
4. 将求得的横坐标 $x$ 代入抛物线方程中，求出纵坐标 $y$。
5. 切点的坐标为 $(x, y)$。
以上是利用导数求抛物线切线方程的三种问题类型及解题步骤。
希望对你有所帮助！。
切线方程的解题技巧
切线方程的解题技巧切线方程是数学中的一个重要概念，它在各个领域中都有广泛的应用，如几何、物理和工程等。
解决切线方程的问题，通常需要使用求导数的方法，也就是微积分的一个应用。
下面，我们将介绍一些解决切线方程的常用技巧。
首先，对于一个简单的直线方程，如 y=2x+1，我们可以使用求导数的方法求解。
具体来说，我们可以使用求导数的技巧，也就是将直线的斜率表示为 y"=-2，然后代入 x=0 和 y=0 中得到切线方程为 x+y=0。
其次，对于比较复杂的直线方程，如 y=x^2+1，我们可以使用代入求导数的方法求解。
具体来说，我们可以将直线的斜率表示为 y"=2x，然后代入 x=0 和y=0 中得到切线方程为 x+y=0。
此外，我们还可以使用构造函数的方法求解切线方程。
具体来说，我们可以构造一个函数 f(x,y)=0，使得该函数的导数在 (x,y) 处等于直线的斜率。
然后，我们可以使用这个函数来求解切线方程。
例如，对于 y=x^2+1 这条直线，我们可以构造函数 f(x,y)=x^3-xy+y^2-1=0。
这个函数的导数为f"(x,y)=3x^2-3xy+y^2，当 y=x^2+1 时，f"(x,y)=3x^2-3xy+y^2=3x-y，因此，该函数在 (x,y) 处斜率为 3x-y。
我们可以使用这个斜率求解切线方程，即x+y=0。
最后，我们还可以使用割线法求解切线方程。
具体来说，我们可以将直线方程表示为 y=kx+b，然后选择一个点 (x_0,y_0),使得该点在直线上，并且与另一个点 (x_1,y_1) 的割线斜率为 k。
然后，我们可以使用割线法求解切线方程，即 x+y=c，其中 c=y_1-kx_0。
例如，对于 y=x^2+1 这条直线，我们可以选择点(0,1),然后计算割线斜率为 k=y"=2x，因此，我们可以使用割线法求解切线方程为 x+y=0。
利用导数求圆切线方程的三种问题类型
利用导数求圆切线方程的三种问题类型概述在解决数学问题时，利用导数求圆的切线方程是一种常见的方法。
本文将介绍三种常见的问题类型，并详细解释如何使用导数来求解。
问题类型一：求圆上某点处的切线方程对于给定的圆，我们需要求解圆上某点处的切线方程。
解决这类问题的关键是确定点的坐标和圆的方程。
假设圆的方程为x²+y²=r²，其中r为半径。
设切线与圆的交点为(x₁, y₁)，则切线的斜率可由导数求得。
假设切线的斜率为k，则切线方程可表示为y-y₁=k(x-x₁)。
通过将圆方程和切线方程联立，可以求解出点(x₁, y₁)，进而获得切线方程的具体表达式。
问题类型二：确定圆和直线的切点坐标在此问题类型中，已知一条直线与圆相切，需要确定切点的坐标。
首先，需要确定直线的方程和圆的方程。
假设直线的方程为y=mx+b，其中m为斜率，b为截距。
圆的方程仍为x²+y²=r²。
确定直线与圆相切的条件为直线方程和圆方程联立，得到二次方程形式的解。
求解该二次方程可得到切点的横坐标x₁，代入直线方程中即可求得切点的纵坐标y₁。
问题类型三：求圆的切线方程和切点坐标此问题类型中，需同时求解切线方程和切点坐标。
解决方法是通过已知条件，构建适当的方程组，然后求解其中的未知变量。
例如，已知圆心坐标和切点在圆上的坐标，可以利用圆方程和切线方程联立求解。
总结利用导数求圆切线方程的三种问题类型包括求圆上某点处的切线方程、确定圆和直线的切点坐标，以及求圆的切线方程和切点坐标。
对于每种问题类型，我们需要确定已知条件，建立适当的方程，然后通过导数运算和联立方程求解未知变量。
这些问题可以通过简单的策略和避免法律复杂性来解决，以确保准确性和可靠性。
备注：本文仅提供数学问题解决方法的讨论，不涉及确切的案例或法律内容。
在实际应用中，请确保依据具体情况做出独立决策并遵循法律法规。
高中数学导数应用于曲线切线与极值问题
高中数学导数应用于曲线切线与极值问题在高中数学中，导数是一个非常重要的概念，它不仅是微积分的基础，也是解决曲线切线与极值问题的关键。
本文将从数学的角度出发，结合具体题目，详细介绍导数在曲线切线和极值问题中的应用，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
一、曲线切线问题曲线切线问题是导数应用的一个重要方向。
我们知道，曲线上的一点处的切线斜率等于该点处的导数值。
因此，要求曲线在某一点处的切线方程，只需要求出该点的导数值即可。
例如，考虑函数f(x) = x^2在点x = 2处的切线方程。
首先，我们需要求出函数f(x)的导数。
根据导数的定义，有f'(x) = 2x。
然后，我们计算x = 2处的导数值，即f'(2) = 2*2 = 4。
因此，曲线在点x = 2处的切线斜率为4。
接下来，我们需要确定切线经过的点。
由于切线与曲线在该点处相切，所以切线经过点(2, f(2))。
由于f(x) = x^2，所以f(2) = 2^2 = 4。
因此，切线经过点(2, 4)。
综合上述信息，我们可以得到曲线在点x = 2处的切线方程为y - 4 = 4(x - 2)。
除了求曲线在某一点处的切线方程外，还有一种常见的曲线切线问题是求曲线与直线的切点坐标。
这种问题常常涉及到解方程。
例如，考虑函数f(x) = x^2与直线y = 2x + 1的切点坐标。
我们需要找到一个点(x, y)，使得该点既在曲线上，又在直线上。
根据切点的定义，该点处的切线既是曲线的切线，又是直线的切线。
因此，该点处的切线斜率既等于曲线在该点处的导数值，又等于直线的斜率。
对于函数f(x) = x^2，其导数为f'(x) = 2x。
直线y = 2x + 1的斜率为2。
因此，我们需要求解方程2x = 2，得到x = 1。
将x = 1代入曲线方程f(x) = x^2，得到y = 1^2 = 1。
因此，曲线与直线的切点坐标为(1, 1)。
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2.求过某定点的曲线的切线；
3.不同曲线的相同切线问题等等。
本节课我们一起来研究几道近几年出现在全国 各地高考试卷中的有关函数曲线的切线问题的高考 试题，从而进一步理解如何利用导数的几何意义来 解决与曲线切线有关的问题。
合作探究
一、求在曲线上某个定点处的切线
例 1 曲线 y＝2xx－1在点(1，1)处的切线方程
(1) f’(x0)>0切线的斜率 0；倾斜角范围
.
(2) f’(x0)<0切线的斜率
0；倾斜角范围
.
(3) f’(x0)=0,切线的斜率 0 ；倾斜角范围
.
(4) f’(x0)不存在,切线的斜率
；倾斜角范围 .
3.曲线在(x0,f(x0))的切线方程是：
.
目标概要
函数曲线的切线问题，是导数的重要应用之一， 也是高考的常见题型之一，主要有以下几类问题：
a的取值范围是( 2 3 3 , +∞).
合作探究
三、不同曲线的相同切线问题
例 3 已知函数 f(x)＝ x，g(x)＝alnx， a∈R．若曲线 y＝f(x)与曲线 y＝g(x)相 交，且在交点处有相同的切线，求 a 的 值及该切线的方程．
过程示范
解 曲线的交点就是切点．
因为f′(x)＝21x，g′(x)＝ax (x＞0)，
分析：由于切线的斜率可用切点的橫坐标表示， 故为了表示切线，可先设出切点的坐标。
合作探究
解 设切点为(t，t3－3t)，切线 l 的斜率为 k＝3t2－3， 切线方程为 y－(t3－3t)＝(3t2－3)(x－t)． 因为 l 过点 A(2， 2)， 所以 2－(t3－3t)＝(3t2－3)(2－t)， 即 t3－3t2＋4＝0，解得 t ＝2 或 t ＝－1．
由已知得
x＝alnx， 21 x＝ax． 解得a＝2e, x＝e2，
所以两条曲线交点的坐标为(e2，e)，
切线的斜率为k＝21e， 所以所求切线的方程为x－2ey＋e2＝0．
【变式训练】
若存在过点(1，0)的直线与曲线 y＝x3 和 y＝ax2
＋145x－9 都相切，则实数 a＝
．
提示 设过(1，0)的直线与 y＝x3 相切于点(x0，x03)，所以切线 方程为 y－x03＝3x02(x－x0)． 又(1，0)在切线上，解得 x0＝0 或 x0＝32．
①当 t＝2 时，l：9x－y－16＝0；
②当 t＝－1 时，l：y＝2．
综上，切线 l 的方程为 y＝2 或 9x－y－16＝0．
概括提升
设切点
写出切线方程
依据题意，代人条件
代数求解
得到结论
【变式训练】
设函数 f(x)＝13x3－a2x2＋1(a∈R)，若过点(0，2) 可作曲线 y＝f(x)的三条不同切线，求实数 a 的 取值范围．
2．已知点 P 在曲线 y＝－ex＋4 1上，θ 为曲线在
点 P 处的切线的倾斜角，则 θ 的取值范围
是
．
(0, ]
4
合作探究 二、经过某个定点的曲线的切线
例2 已知函数f(x)＝x3－3x(x∈R）的图像为 曲线C，曲线C的切线l经过点A(2，2)， 求切线l的方程．
思考：（1）定点A是切点吗？ （2）如何表示切线方程？
展示导入
17（本题满分14分）某山区有两条相互垂直的直线型公路，为 进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山 区边界的直线型公路。记两条相互垂直的公路为l1,l2，山区边界 曲线为C，计划修建的公路为l。如图所示，M,N为C的两个端 点，测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1,l2的 距立为离平常分面数别直）为 角 模坐型20标。千系米x和oy2..假5千设米曲，线以C符l1,l合2所函在数直y线分x2别a为b（x,其y轴中，a,建b
(1)求a,b的值； （2）设公路l与曲线C相切于P点，P的橫坐 标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，
分析 设出切点(t，f(t))， 得到切线方程为 y－f(t)＝f′(t) (x－t)． 将点(0, 2) 代入切线方程，得 4t3－3at2＋6＝0． 问题转化为研究关于 t 的函数 g(t)＝4t3－3at2＋6 有 3 个不同零点的问题． 这就需要研究函数 g(t)的单调性、极值，最终研究 其零点．
（切线有了）
当 x0＝0 时，切线为 y＝0， 与 y＝ax2＋145x－9 相切，可得 a＝－2654； 当 x0＝32时，切线为 y＝247x－247， 与 y＝ax2＋145x－9 相切，可得 a＝－1．
提炼总结
求解与曲线的切线方程有关的问题 过程中应注意审清题意，把准概念，正 确区分“过曲线上的点P的切线”与“在 曲线上的点P处的切线”两个不同的概念 及相应不同的解法．只有这样，同学们 在以后遇到相关问题时，才会驾轻就熟， 才可避免因审题不清而导致解题出错．
为
．
解 点（1，1）在曲线上，且该点为切点． 因为 y′＝(2x－－11)2，在点（1，1）处的切线斜率
k＝－1，所以切线方程为 x＋y－2＝0．
您能总结一下此类型问题的解题思路吗？
【变式训练】
1．若曲线 y＝x2＋ax＋b 在点(0，b)处的切线 方程是 x－y＋1＝0，则 a＝ ，b＝ ．
a＝1，bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
再回首：展示导入
17（本题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路， 为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和 山区边界的直线型公路。记两条相互垂直的公路为l1,l2，山区边 界曲线为C，计划修建的公路为l。如图所示，M,N为C的两个 端点，测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1,l2 的建a,b距立为离平常分面数别直）为角模坐2型0标千。系米x和oy2..假5千设米曲，线以C符l1,l合2所函在数直线分别为y（x,其yx轴2中a，b (1)求a,b的值； （2）设公路l与曲线CP点，P的橫坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t)， 并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出 最短长度。
导数几何意义的应用：
用导数解决与切线有关的问题
温故知新：探究准备
1. f’(x0)的几何意义:
曲线y=f(x)在点(x0,,f(x0))的切线的斜率是f’(x0)。
2.导数与切线斜率及倾斜角的关系：