八年级数学课件 利用完全平方公式分解
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人教版八上数学14.3.3因式分解—完全平方公式优质课(共35张PPT)
4
（2）. 计算: 7652×17－2352 ×17.
解：7652×17－2352 ×17 =17(7652 －2352) =17(765+235)(765 －235) =17 ×1 000 ×530 =9 010 000.
（3）.2 0132+2 013能被2 014整除吗?
解：∵2 0132+2013 =2 013(2 013+1) =2 013 ×2 014 ∴ 2 0132+2 013能被2 014整除.
14.3 因式分解 14.3.2 完全平方公式
因式分解—完全平方公式
我们前面学习了利用平方差公式来分
解因式即：a2-b2=(a+b)(a-b)
例如： 4a2-9b2= (2a+3b)(2a-3b)
此处运用了什么公式? 逆用 完全平方公式
试计算：9992 + 2×1999998×1 + 1 = (999+1)2 = 106
y
2
7、如果100x2+kxy+y2可以分解为 （10x-y)2,那么k的值是（ B ）
A、20 B、-20
C、10 D、-10
8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式， 那么m的值为（ B ）
A、6 B、±6
C、3 D、±3
9、把 a b2 4a b 4 分解因式得
（C ）
A、a b 12 B、a b 12 C、a b 22 D、a b 22
A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2 C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2
3、下列各式中，能用完全平方公式
（2）. 计算: 7652×17－2352 ×17.
解：7652×17－2352 ×17 =17(7652 －2352) =17(765+235)(765 －235) =17 ×1 000 ×530 =9 010 000.
（3）.2 0132+2 013能被2 014整除吗?
解：∵2 0132+2013 =2 013(2 013+1) =2 013 ×2 014 ∴ 2 0132+2 013能被2 014整除.
14.3 因式分解 14.3.2 完全平方公式
因式分解—完全平方公式
我们前面学习了利用平方差公式来分
解因式即：a2-b2=(a+b)(a-b)
例如： 4a2-9b2= (2a+3b)(2a-3b)
此处运用了什么公式? 逆用 完全平方公式
试计算：9992 + 2×1999998×1 + 1 = (999+1)2 = 106
y
2
7、如果100x2+kxy+y2可以分解为 （10x-y)2,那么k的值是（ B ）
A、20 B、-20
C、10 D、-10
8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式， 那么m的值为（ B ）
A、6 B、±6
C、3 D、±3
9、把 a b2 4a b 4 分解因式得
（C ）
A、a b 12 B、a b 12 C、a b 22 D、a b 22
A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2 C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2
3、下列各式中，能用完全平方公式
4.3.2 完全平方公式 北师大版八年级数学下册授课课件
知2－练
2 下列各式能用完全平方公式进行因式分解的 是( D )
A．x2＋1
B．x2＋2x－1
C．x2＋x＋1
D．x2＋4x＋4
知2－练
3 (中考·长春)把多项式x2－6x＋9分解因式，结果正
确的是( A )
A．(x－3)2
B．(x－9)2
C．(x＋3)(x－3)
D．(x＋9)(x－9)
4 把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( C )
(2)原式＝(a2－2)2－2a2(a2－2)＋(a2)2 ＝(a2－2－a2)2 ＝(－2)2＝4.
知2－讲
总结
知2－讲
利用完全平方公式分解因式在计算或化简中应 用广泛且巧妙，要注意灵活运用，往往能获得意想 不到的解题效果．
1 把下列各式因式分解： (1)x2－12xy＋36y2； (2)16a4＋24a2b2＋9b4； (3)－2xy－x2－y2； (4)4－12(x－y)＋9(x－y)2.
( A) A．64 C．32
B．48 D．16
知1－练
4 已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值
为( D )
A．8
B．±8
C．24
D．±24
知1－练
5 给多项式x8＋4加上一个单项式，使其成为一个 完全平方式，则加上的单项式是 __4_x_4(_答__案__不__唯__一__)__(写出一个即可)．
错解解析： 错在只注意到中间项的符号是正，而忽视中间 项的符号是负的情况，产生漏解．
正确解法： 因为x2＋(m－3)x＋4＝x2＋(m－3)x＋22， x2＋(m－3)x＋4是完全平方式， 所以(m－3)x＝±2x·2. 所以(m－3)x＝±4x. 因此m－3＝±4. 所以m＝7或m＝－1.
人教版(新)数学八年级上册第十四章第三节完全平方公式因式分解课件
2 2
( 2 0 1 4 2 0 1 3 )
2
1.
7.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)
1 2－2x＋3. x 3
小聪和小明的解答过程如下： 小聪:
×
小明:
×
他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来. 解:(1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2 1 1 (2)原式＝ 3 (x2－6x＋9)＝ (x－3)2 3
般先利用添括号法则， 将其变形为-(x2-4xy +4y2),然后再利用公式 分解因式.
a2
2ab
+b2
解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2· 4x· 3 + (3)2 = (4x + 3)2； (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2.
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0， 即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( B )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y
D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( B ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2 C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
课堂小结
公
式
a2±2ab+b2=(a±b)2
完全平方 公式分解 因 式 特 点
（1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写 成某数或式的平方，另一项则是这
( 2 0 1 4 2 0 1 3 )
2
1.
7.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)
1 2－2x＋3. x 3
小聪和小明的解答过程如下： 小聪:
×
小明:
×
他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来. 解:(1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2 1 1 (2)原式＝ 3 (x2－6x＋9)＝ (x－3)2 3
般先利用添括号法则， 将其变形为-(x2-4xy +4y2),然后再利用公式 分解因式.
a2
2ab
+b2
解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2· 4x· 3 + (3)2 = (4x + 3)2； (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2.
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0， 即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( B )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y
D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( B ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2 C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
课堂小结
公
式
a2±2ab+b2=(a±b)2
完全平方 公式分解 因 式 特 点
（1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写 成某数或式的平方，另一项则是这
初中数学《完全平方公式》优秀课件北师大版2
a2 2• a •bb2
(1)、解：16x2 24x 9
方法：当一个式子满足完全
(4x)2 2 4x 3 32
平方式的所有特征时，可直 接分解因式。结果为这两平
4x 32
方项底数和或差的平方，是
和是差看中间项的符号
分析：- x2 4xy 4 y2 - x2 2 • x • 2 y 2 y2
• 学习重点：
运用完全平方公式分解因式．
学习难点：综合运用提公因式和公式法分解
因式
复习引入
问题一：大家还记得什么是因式分解吗?
因式分解就是将一个多项式化成几个整式的 积的形式
即： 和
积
问题二：我们已经学习了分解因式的哪
些方法？
1、提公因式法 2、公式法
平方差公式 a2 b2 a ba b
即：两个数的平方差等于 这两个数的和与差的积
方法：若式子有整体满足完全平方 式可直接进行因式分解，需注意中 间项的符号
练习2 将下列多项式分解因式：
1 25a3 ax2 10a2x
2 12x3 12x2 2 y 1- 3x2y -12
答案：
1 a5a x2
a b2 b a2
2 - 3x2 y 1 2x2
或 - 32x 2 y 12
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括 你的发现.
把整式的乘法公式——完全平方公式 倒过来 就得到因式分解的完全平 方公式：
a2 2ab+b2 =（a b）2
首2 2 首 尾 尾2 首 尾2
即两个数的平方和加上（或减去）这两个 数的积的2倍，等于这两个数的和（或差） 的平方
1、在下面括号ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ填空
14.3.2.2 利用完全平方公式因式分解
人教版八年级上册数学：完全平方公式精品课件PPT
合作探究
思考：怎样添括号才能够变成 乘法公式的结构？
例5 运用乘法公式计算: 找到相同和相反项
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ;
(2) (a + b +c ) 2.
变成两个项的和
解：(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) （2）（a + b +c ) 2
= [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y- 3) ] = [ (a+b) +c ]2
人教版八年级上册数学课件：14.2.2 完全平 方公式
人教版八年级上册数学课件：14.2.2 完全平 方公式
尝试练习
1.先将式子变形，后自选两道题再计算。
(1) (a + 2b – 1 ) 2 (2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
2
= _[_a_+_(_2_b_-_1_)]____ =_[_2_x_+_(_y_+_z_)_]_[_2_x_-_(_y_+_z_)]
= x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9)
三=平=个a方2数(和+a和2，+a的b再b)完加2+全+上b2平2每(+方两a2等+数ab于c乘)c这+积2+三的bc个2c2倍数+。c的2
= x2-4y2+12y-9.
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
点拨：此式需用添括号变形成平方差和完全平方公式 公式结构，再运用公式使计算简便。
思考：怎样添括号才能够变成 乘法公式的结构？
例5 运用乘法公式计算: 找到相同和相反项
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ;
(2) (a + b +c ) 2.
变成两个项的和
解：(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) （2）（a + b +c ) 2
= [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y- 3) ] = [ (a+b) +c ]2
人教版八年级上册数学课件：14.2.2 完全平 方公式
人教版八年级上册数学课件：14.2.2 完全平 方公式
尝试练习
1.先将式子变形，后自选两道题再计算。
(1) (a + 2b – 1 ) 2 (2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
2
= _[_a_+_(_2_b_-_1_)]____ =_[_2_x_+_(_y_+_z_)_]_[_2_x_-_(_y_+_z_)]
= x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9)
三=平=个a方2数(和+a和2，+a的b再b)完加2+全+上b2平2每(+方两a2等+数ab于c乘)c这+积2+三的bc个2c2倍数+。c的2
= x2-4y2+12y-9.
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
点拨：此式需用添括号变形成平方差和完全平方公式 公式结构，再运用公式使计算简便。
数学：15.2.2《完全平方公式》课件(人教新课标八年级上)
3.下列计算中正确的是（ C ）
A. (x+2)²=x²+2x+4
B. (2x-y)²=4x²-2xy+y²
C. ( ½ x-y)²= ¼ x²-xy+y²
D. (a+b)²=a²+b²
4.计算：
(1).(y-6)² (2).(-1+½y)² (3).101² (4).(x+3)(x-3)(x²-9)
= 10 000 - 200 + 1
= 9 801.
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?
展示交流
1.运用完全平方公式计算:
(1)(x+6)2;
(2) (y-5)2;
(3) (-2x+5)2;
(4) ( x - y)2.
2.下面各式的计算错在哪里?应当怎样改 正?
(1) (a+ b)2 = a2 +b2;
(2) (a – b) 2 =a2 – b2.
1.下列各式中与(x+1)²相等的是( B )
A.x²+1 B.x²+2x+1 C.x²-2x+1 D.x²-1
2.下列各式中是完全平方式的（ D）
பைடு நூலகம்
A.x²+xy+y²B.y²+2y+2 C.x²+xy+y²D.m²-2m+1
一则为他们做官增加了位置 阶级斗争越来越显著与激烈 由于迁入人口数目相当多 都可以出家 使得国力富盛 率朝中重臣及诸将东行 亲掌朝政 李班 334 沉陷在纸醉金迷中而不能自拔 [4] 他们所受的剥削和压迫格外沉重
完全平方公式-完整版PPT课件
知识要点 添括号法则
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项 都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号（简记为“负变正不变”）
典例精析
例5 运用乘法公式计算: 1 2y-3-2y3 ; 2 abc2 解: (原1)式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
= 2-2y-32 = 2-4y2-12y9 = 2-4y212y-9 2原式 = [abc]2 = ab22abcc2
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十四章 整式的乘法与因式分解
142 乘法公式
1422 完全平方公式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释（重点） 2灵活应用完全平方公式进行计算（难点）
导入新课
情境引入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米形成四块实验田，以种植不同的新品种如图 用不 同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较
课堂小结
法则
完全平方 注 意 公式
常用 结论
a±b2= a2 ±2abb2
1项数、符号、字母及其指数
2不能直接应用公式进行计算的 式子，可能需要先添括号变形 成符合公式的要求才行 3弄清完全平方公式和平方差公 式不同（从公式结构特点及结 果两方面）
a2b2=ab2-2ab=a-b22ab;
4ab=ab2-a-b2
解：15－a2＝25－10a＋a2； 2－3m－4n2＝9m2＋24mn＋16n2； 3－3a＋b2＝9a2－6ab＋b2
二 添括号法则 去括号 abc = abc; a- bc = a - b – c 把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号： a b c=a b c; a–b–c=a– b c
14.3.2因式分解完全平方公式课件八年级数学人教版上册
a
b
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
利用公式把某些具有特殊 形式(如平方差式，完全平 方式等)的多项式分解因式， 这种分解因式的方法叫做 公式法因式分解.
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
判断下列各式是完全平方式吗？
a2 4a 22 (a 2)2
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
例4 计算：
(1) 1002–2×100×99+99²；
解：(1)原式=(100–99)² =1.
(2) 342＋34×32＋162.
(2)原式＝(34＋16)2 ＝2500.
利用完全平方 公式分解因式， 可以简化计算.
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
2a(x y)2
先纳总结 巩固提升 小结回顾
例2 因式分解
（2） 16a4 8a2b2 b4 解：原式 (4a2 )2 2 4a2 b2 (b2 )2
(4a2 b2 )2 [(2a b)(2a b)]2 (2a b)2 (2a b)2
因式分解 步骤方法
先提公因式→一提 再用公式→二用 继续分解→三查
例2 因式分解
（5） ( p 1)( p 4) p 解：原式 p2 4 p p 4 p
p2 4p 4 ( p 2)2
无提无公式， 展开合并 再观察。
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
例3 已知: a2+b2+2a–4b+5=0，求 2a2+4b–3的值.
解：∵a2+b2+2a–4b+5=0
∴ 2a2+4b–3
人教版数学八年级上册14.完全平方公式课件
直接求：总面积=(a+b)(a+b) 间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
(a b)2 a 2+ 2ab+ b2
b
a
a
b
（1）
探究新知
某学校要对一个边长为a的正方形操场进行改造， 方案（2）若现要分割出一个边长比原来小b的正方 形操场，用两种不同的方法表示新操场的面积。
直接求：总面积=(a-b)(a-b) 间接求：总面积=a2-ab-ab+b2
；-10
2.若4x2+mx+9是完全平方式，则m=
±.12
解析：（1）∵(x-5)2=x2-10x+25=x2+kx+25， ∴k=-10.
（2）∵4x2+mx+9是完全平方式， ∴4x2+mx+9=(2x±3)2，∴m=±12.
口诀：首平方，尾平方， 积的2倍放中央，
s式子 3x 42
3x
4
3x2 2.3x 4 42
思考
（1）（a+b）2 与 （-a-b）2 相等吗？ （2）（a-b）2 与 （b-a）2 相等吗？ （3）（a-b）2 与 a2 -b2 相等吗？为什么？
（1）（2）相等.因为互为相反数的数或式子 平方相等.（3）不相等.因为前者是完全平方， 后者是平方差.
1.若(x-5)2=x2+kx+25，则k=
你发现了什么？
(a b)2 a2 2ab b2
a （2） a
像研究平方差公式一样，我们探究一下(a+b)2的运算 结果有什么规律． 计算下列各式，你能发现什么规律？
（1）(p+1)2=(p+1)(p+1)=_______； （2）(m+2)2=_______； （3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=________； （4）(m-2)2=________；
人教版八年级数学上册教学课件14.3 第三课时 用完全平方公式分解因式
18．(10分)若|m＋4|与n2－2n＋1互为相反数，把多项式x2＋4y2－mxy－n分解因
式．
解：由题意，有|m＋4|＋(n2－2n＋1)＝0，即|m＋4|＋(n－1)2＝0， ∴m＝－4，n＝1.∴x2＋4y2－mxy－n＝x2＋4y2＋4xy－1＝(x＋2y)2－12＝ (x＋2y＋1)(x＋2y－1)
完全平方式 1．(3分)下列式子中是完全平方式的是( D ) A．a2＋ab＋b2 B．a2＋2a＋2 C．a2－2b＋b2 D．a2＋2a＋1 2．(3分)(安顺中考)若x2＋2(m－3)x＋16是关于x的完全平方式，则m＝－__1_或_．7 3．(3分)已知9x2－12xy＋m是一个完全平方式，则m＝_4_y_2_.
14．在△ABC3中，已知三边a，b，c满足a4＋2a2b2＋b4－2a3b－2ab3＝0，则△ABC的 形状是( A )
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．直角三角形
二、填空题(每小题4分，共8分) 3
15．若a＋b＝3，则2a2＋4ab＋2b2－6的值为__12__．
16．若A＝(2 019－1 985)2，B＝(2 019－1 985)(2 018－1 986)，C＝(2 018－1
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(a2－2a－1)·(a2－2a＋3)＋4进行因式分解
解：设a2－2a＝b， 原式＝(b－1)(b＋3)＋4 ＝b2＋2b－3＋4 ＝(b＋1)2 ＝(a2－2a＋1)2 ＝[(a－1)2]2 ＝(a－1)4
9．(8分)把下列各式因式分解： (1)4x2＋y2－4xy；
解：原式＝(2x－y)2 (2)9－12a＋4a2； 解：原式＝(3－2a)2 (3)x3－6x2＋9x；
《公式法 利用完全平方公式进行因式分解》公开课课件人教版 八年级下册
北师大版八年级下册
4.5 运用完全平方式 (1) ax4 － ax2
(2) x4－16
2、能用平方差公式因式分解的多项 式有什么特征？
(1)两项
(2)平方的差
ab2 a2 2abb2 ab2 a2 2abb2
整式乘法
a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2
课堂小结
1、完全平方式的特征
(1) 三项。 (2)首平方尾平方的和，加上（或减去） 它们乘积的2倍。
2、因式分解的步骤
（1）提公因式。（2）运用公式分解。 （3）分解彻底为止。
你说，我说，大家说
作业
1、随堂练习 2题 2、习题4.5 1、2题
下列各式是完全平方式吗？如果是，可以写成怎样 的完全平方？
（1）a2－4a+4;
（2） x2+4xy+4y2 +16;
（3） 4a2+2ab+ 1b2; （4）a2－ab+b2; 4
（5）x2－6x－9.
把下列多项式因式分解
(1) x2＋14x＋49
解：原式 x2 2 x 7 72
(x 7) 2
(2) (m n)2 6(m n) 9 解：原式 (m n)2 2 (m n) 3 32
(m n 3)2
把下列多项式因式分解.
3ax2+6axy+3ay2 -x2-4y2 +4xy
问题引申
1、选择题 （1）下列各式中能用完全平方公式分解的是
（B ） ①x2-4x+4; ②6x2+3x+1; ③ 4x2-4x+1; ④ x2+4xy+2y2 ;⑤9x2-20xy+16y2 A.①② B.①③ C.②③ D.①⑤
4.5 运用完全平方式 (1) ax4 － ax2
(2) x4－16
2、能用平方差公式因式分解的多项 式有什么特征？
(1)两项
(2)平方的差
ab2 a2 2abb2 ab2 a2 2abb2
整式乘法
a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2
课堂小结
1、完全平方式的特征
(1) 三项。 (2)首平方尾平方的和，加上（或减去） 它们乘积的2倍。
2、因式分解的步骤
（1）提公因式。（2）运用公式分解。 （3）分解彻底为止。
你说，我说，大家说
作业
1、随堂练习 2题 2、习题4.5 1、2题
下列各式是完全平方式吗？如果是，可以写成怎样 的完全平方？
（1）a2－4a+4;
（2） x2+4xy+4y2 +16;
（3） 4a2+2ab+ 1b2; （4）a2－ab+b2; 4
（5）x2－6x－9.
把下列多项式因式分解
(1) x2＋14x＋49
解：原式 x2 2 x 7 72
(x 7) 2
(2) (m n)2 6(m n) 9 解：原式 (m n)2 2 (m n) 3 32
(m n 3)2
把下列多项式因式分解.
3ax2+6axy+3ay2 -x2-4y2 +4xy
问题引申
1、选择题 （1）下列各式中能用完全平方公式分解的是
（B ） ①x2-4x+4; ②6x2+3x+1; ③ 4x2-4x+1; ④ x2+4xy+2y2 ;⑤9x2-20xy+16y2 A.①② B.①③ C.②③ D.①⑤
八年级-人教版-数学-上册-第3课时-运用完全平方公式因式分解和综合运用
公式 步骤
a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2
一“提” 二“套” 三“检查”
第3课时 运用完全平方公式因 式分解和综合运用
1．提公因式法 一般地，如果多项式的各项有_公__因__式__，可以把这个_公__因__式__提取 出来，将_多__项__式__写成_公__因__式__与另一个因式的__乘__积__的形式，这种分 解因式的方法叫做提公因式法． 2．运用平方差公式分解因式 两个数的平方差，等于这两个数的_和__与这两个数的_差__的_积__． a2 b2 ＝_(_a__b_)_(_a___b_) ．
思考 多项式 a2 2ab b2与 a2 2ab b2 有什么特点？
这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积 的 2 倍．
我们把 a2 2ab b2 和 a2 2ab b2这样的式子叫 做完全平方式．
思考 你能将 a2 2ab b2与 a2 2ab b2 分解因式吗？
例 3 把下列多项式进行因式分解： （1）4x3 y 36xy3； （2）x4 2x2 1 ； （3） x3 y 2x2 y2 xy3 ；（4）9x2 (a b) y2 (b a) ．
解：（1）4x3 y 36xy3 4xy(x2 9 y2 ) 4xy(x 3y)(x 3y)． （2）x4 2x2 1 (x2 1)2
（2）x2 4xy 4 y2 (x2 4xy 4 y2 ) [x2 2 x 2 y (ax2 6axy 3ay2； （2）(a b)2 12(a b) 36 ．
分析：（1）中有公因式 3a，应先提出公因式，再进一步分解 因式；（2）中，将 a＋b 看作一个整体，设 a＋b＝m，则原式可化 为完全平方式 m2 12m 36 ．
《公式法-利用完全平方公式进行因式分解》优质课件人教版八年级下册
用公式法正确分解因式关键是什么？ 完全平方式
a2 ± 2 a b + b2 = （ a ± b ）2
从项数看： 都有两项可化为两个数(或整式)
的平方,另一项为这两个数(或整式) 的乘积的2倍.
从符号看： 平方项符号相同 （即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项）
填空：
（1）a2+ 2ab +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ b2 =(a-b) 2 （3）m2+2m+ 1 =( m+1) 2
解:原式=32-2×3×2(a-b)+[2(a b)]2
= 3 2(a b)2
=(3-2a+2b)2
分解因式：
（1）x2-12xy+36y2 =(x-6y)2 (2)16a4+24a2b2+9b4 =(4a2+3b2)2 (3)-2xy-x2-y2 =-(x+y)2 (4)4-12(x-y)+9(x-y)2=(2-3x+3y)2
错。应为： -x2-2xy-y2
=-（ x2+2xy+y2）
=-（x+y)2
（2）a2+2ab-b2 (a b)2
错。此多项式不是完全平方式
练一练 因式分解：
（5）-a3b3+2a2b3-ab3 解：原式=-ab3(a2-2a×1+12) =-ab3(a-1)2
（6）9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2
=(x+2)2+(y-1)2=0得
x+2=0,y-1=0
∴x=-2,y=1
∴x-y=(-2)-1= 1 2
因式分解：
a2 ± 2 a b + b2 = （ a ± b ）2
从项数看： 都有两项可化为两个数(或整式)
的平方,另一项为这两个数(或整式) 的乘积的2倍.
从符号看： 平方项符号相同 （即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项）
填空：
（1）a2+ 2ab +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ b2 =(a-b) 2 （3）m2+2m+ 1 =( m+1) 2
解:原式=32-2×3×2(a-b)+[2(a b)]2
= 3 2(a b)2
=(3-2a+2b)2
分解因式：
（1）x2-12xy+36y2 =(x-6y)2 (2)16a4+24a2b2+9b4 =(4a2+3b2)2 (3)-2xy-x2-y2 =-(x+y)2 (4)4-12(x-y)+9(x-y)2=(2-3x+3y)2
错。应为： -x2-2xy-y2
=-（ x2+2xy+y2）
=-（x+y)2
（2）a2+2ab-b2 (a b)2
错。此多项式不是完全平方式
练一练 因式分解：
（5）-a3b3+2a2b3-ab3 解：原式=-ab3(a2-2a×1+12) =-ab3(a-1)2
（6）9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2
=(x+2)2+(y-1)2=0得
x+2=0,y-1=0
∴x=-2,y=1
∴x-y=(-2)-1= 1 2
因式分解：
【数学课件】完全平方公式(北师大课标)
• 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分 是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是 正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍， 符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.
问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2； (3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1.
二、新课 和讨论运用平方差公式把多项式 因式分解的思路一样，把完全平方公 式: (a+b)²=a2+2ab+b² (a–b²)=a² –2ab+b² 反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2 a2－2ab+b2=(a－b)2.
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减 去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的 和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－ 2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式 就 也 是完全平方公式.运用这两个式子， 可以把形式是完全平方式的多项式分解因 式,这种方法叫做运用公式法.
2．一圆锥的侧面展开图的圆心角为120°，该 圆锥的侧面积与全面积之比值为（ A ）(05临祈)
3．若圆锥经过轴的剖面是正三角形，则它的侧 面积与底面积之比为（ ）(05上海) C A ． 3 ： 2 B ． 3： 1 C ． 2： 1 D ． 5： 3
感谢各位领导，老师的到 来，也谢谢同学们的支持 与配合。这次是我第一次 利用多媒体上课，如有不 足的地方，希望大家能给
1.问：什么叫把一个多项式因式分解? 我们已经学习了哪些因式分解的法? 答：把一个多项式化成几个整式乘 积形式，叫做把这个多项式因式分 解.我们学过的因式分解的方法有提 取公因式法及运用平方差公式法.
问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2； (3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1.
二、新课 和讨论运用平方差公式把多项式 因式分解的思路一样，把完全平方公 式: (a+b)²=a2+2ab+b² (a–b²)=a² –2ab+b² 反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2 a2－2ab+b2=(a－b)2.
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减 去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的 和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－ 2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式 就 也 是完全平方公式.运用这两个式子， 可以把形式是完全平方式的多项式分解因 式,这种方法叫做运用公式法.
2．一圆锥的侧面展开图的圆心角为120°，该 圆锥的侧面积与全面积之比值为（ A ）(05临祈)
3．若圆锥经过轴的剖面是正三角形，则它的侧 面积与底面积之比为（ ）(05上海) C A ． 3 ： 2 B ． 3： 1 C ． 2： 1 D ． 5： 3
感谢各位领导，老师的到 来，也谢谢同学们的支持 与配合。这次是我第一次 利用多媒体上课，如有不 足的地方，希望大家能给
1.问：什么叫把一个多项式因式分解? 我们已经学习了哪些因式分解的法? 答：把一个多项式化成几个整式乘 积形式，叫做把这个多项式因式分 解.我们学过的因式分解的方法有提 取公因式法及运用平方差公式法.