一元二次方程应用数字问题

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一元二次方程(数字与循环问题)

x1=-9，x2=7 x+2=-7，x+2=9 答：这个两个数为7、9，或者-7、-9
练习：三个连续整数，两两之积的和为587，求这三个数解：设这三个连续整数为x-1，x，x+1，
(x-1)x+(x-1)(x+1)+x(x+1)=587
x-1 = 13 x+1= 15
x-1= -15 x+1= -13
复习旧知
某商人将每件进价为80元的商品按照100元出售，每天可售出30件。现在他为了尽快减少库存，决定采取降价措施来扩大销售量，增加日盈利。经市场调查发现，如果该商品每降价2元，那么平均每天可多售出10件。要想在销售这种商品上平均每天盈利800元，问每件商品应降价多少元？
问1：连续三个奇数，若第一个为x，则5 - x 10x + 5 - x
练习：一个两位数等于个位数字与十位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数
例1、在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手21次，求参加聚会的人数？分析：
1、如果知道人数为4人，甲为其中1人，他需要握手几次？ 2、乙也是其中1人，他需要握手几次？ 3、总的握手次数怎么表示？ 4、这样算出来的有什么问题？ 5、应该怎么算？
答：参加聚会的认识为7人
练习1：要组织一场足球比赛，要求每两队之间比赛两场，计划安排72场比赛，则应该邀请多少支球队
练习2：在一次象棋比赛中，每个选手都要和其他选手恰好比赛一局，预计要进行28场比赛，求需要要求多少人参加？
1、这节课你学了些什么？ 2、这节课你学会了什么? 3、这节课你什么还有困难？
问2：连续的五个整数，若中间一个数位n，其余的为 n+2，n+1，n-1，n-2

专题21.17 一元二次方程的应用—数字问题(基础检测)(解析版)

专题21.17 一元二次方程的应用—数字问题（基础检测）一、单选题1．两个连续奇数的积为323，求这两个数.若设较小的奇数为x ，则根据题意列出的方程正确的是（） A ．()1323+=x xB ．()2323+=x xC ．()2323-=x xD ．()()2121323+-=x x【答案】B【分析】根据连续奇数的关系用x 表示出另一个奇数，然后根据乘积列方程即可．【详解】解：根据题意：另一个奇数为：x ＋2∴()2323+=x x故选B ．【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握数字之间的关系是解决此题的关键．2．连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是（）A ．3B ．﹣4C ．﹣3或4D ．﹣4或3 【答案】D【分析】设这两个整数中较小的一个是x ，则较大的一个是（x +1），根据两数之积为12，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设这两个整数中较小的一个是x ，则较大的一个是（x +1），根据题意得：x （x +1）＝12，解得：x 1＝3，x 2＝﹣4．故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．(易错题)若两个连续整数的积是20,那么这两个整数的和是 ( )A ．9B ．-9C ．9或-9D ．12或-12 【答案】C【分析】设这两个连续整数分别是n ，n +1，根据两个连续整数的积是20列方程求解即可.【详解】设这两个连续整数分别是n ，n +1，由题意得，n (n +1)=20,解之得，n 1=4,n 2=-5,∴这两个连续整数分别是4,5或-5，-4，∴这两个整数的和是4+5=9或-5-4=-9.故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据两个连续整数的积是20列出方程是解答本题的关键.本题的易错点是有些同学容易把负整数忽视了.4．一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上的数比十位上的数字大2，则这个两位数是（） A ．24B ．35C ．42D ．53 【答案】A【分析】设十位数字为x ，则个位数字为x+2，根据“两位数等于其各数位上数字的积的3倍”列式即可求解．【详解】解：设十位上的数字为x ，则个位上的数字为x+2，由“两位数等于其各数位上数字的积的3倍”得：10x+x+2=3x(x+2)，整理得：(x-2)(3x+1)=0，解得12123x x ==-，(舍去)，∴这个两位数为24，故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键是设出个位或十位数为x ，其他数位用x 的代数式表示，进而建立方程求解．5．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x 与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为( )A ．x (x +8)=225B ．x (x +16)=225C ．x (x ﹣16)=225D ．(x +8)(x ﹣8)=225【答案】C 【分析】最大数为x ，则我们只需要将最小数用x 表示出来即可列出方程．【详解】∵最大数为x ，∴最小数用x 表示为：x-16，∴列方程为：x (x ﹣16)=225，故选：C【点睛】本题考查列一元二次方程，解题关键是根据题干找出等量关系式，然后根据等量关系式来列方程．6．如图，是一张月历表，在此月历表上用一个长方形任意圈出2×2个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为128，那么这四个数的和为( )A ．40B ．48C ．52D ．56【答案】B 【分析】根据题意，设最小数为x ，则另外三个数为x ＋1，x ＋7，x ＋8，根据题意可列方程x(x ＋8)＝128，结合月历表的数据情况选出合适的数.【详解】设最小数为x ，则另外三个数为x ＋1，x ＋7，x ＋8，根据题意可列方程x(x ＋8)＝128，解得x 1＝8，x 2＝－16(不符合题意，舍去)，∴x ＝8，x ＋1＝9，x ＋7＝15，x ＋8＝16，∴四个数分别为8，9，15，16.∵8＋9＋15＋16＝48，∴四个数的和为48.【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用.找出题中等量关系，并用方程表示出来是解题的关键.二、填空题7．已知3个连续整数的和为m ，它们的平方和是n ，且()118n m =-．则m =____．【答案】15或18【分析】设这3个连续整数为x ，x+1，x+2，则由题意可得33m x ，()()22212n x x x =++++，然后由()118n m =-可求解．【详解】解：设这3个连续整数为x ，x+1，x+2，由题意得： 33m x ，()()22212n x x x =++++， ∴33m x -=，2365n x x =++， ∵()118n m =-，∴()()23336511893m m m --⨯+⨯+=-，化简得：2332700m m -+=，解得：1215,18m m ==，故答案为15或18．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．8．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数的平方恰好等于这个两位数，这个两位数是____．【答案】25或36．【分析】设个位数字为x ，那么十位数字是（x-3），这个两位数是[10（x-3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解．【详解】解：设个位数字为x ，那么十位数字是（x-3），这个两位数是10（x-3）+x ，依题意得：()2103,x x x =-+ ∴211300,x x -+=∴125,6,x x ==∴x-3=2或3．答：这个两位数是25或36．故答案为：25或36．【点睛】本题考查的是关于数字方面的一元二次方程的应用，掌握一个两位数的表示及根据题意列方程是解题的关键．9．三个连续偶数，平方和为56，则这三个数为______.【答案】2，4，6或6-，4-，2-【分析】设三个连续偶数分别为2n-2，2n ，2n+2根据题意列方程即可求解．【详解】解：设三个连续偶数分别为2n-2，2n ，2n+2，则()()()2222222256n n n -+++=21248n =解得：n=2±，当n=-2时，三个连续偶数为6-，4-，2-，当n=2时偶数为2，4，6．故答案为：2，4，6或6-，4-，2-．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键是掌握偶数的表示方法．10．如果一个数的相反数等于这个数的平方，这个数是______________.【答案】0或-1．【分析】根据题意得等量关系为：一个数的相反数=这个数的平方，列方程求解即可．【详解】解：设这个数为x ，-x = x 2x （x+1）=0，解得x 1=0，x 2=-1，故答案为：0或-1．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键．11．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，这个两位数等于它的个位数字的平方，则这个两位数是__________．【答案】25或36【分析】设这个两位数字的个位数字是x ，则十位数字是（x-3），则这个两位数为[10（x-3）+x]，然后根据一个两位数等于它的个位数字的平方即可列出方程，解方程就可以解决问题．【详解】解：设这个两位数字的个位数字是x ，则十位数字是（x-3），根据题意得：10（x-3）+x=x 2原方程可化为：x 2-11x+30=0，∴x 1=5，x 2=6，当x=5时，x-3=2，两位数为25；当x=6时，x-3=3，两位数为36；答：这个两位数是25或36．故答案为：25或36．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．12．对于符号“∇”，我们作如下规定：221a b a b ∇=+-，如22454511625140∇=+-=+-=，因此，(1)(2)-∇-=________；若312x ∇=，则x =______.【答案】4 2±【分析】根据221a b a b ∇=+-可得22(1)(2)(1)(2)1-∇-=-+--，进而可得22331x x ∇=+-=12，再解方程即可；【详解】由题意得22(1)(2)(1)(2)14-∇-=-+--=；∵2233112x x ∇=+-=，∴29112x +-=.∴24x =，2x =±.故答案为：4；2±.【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确新定义计算公式，正确得到方程．错因分析中等题.失分的原因是：1.不能根据定义的式子，推导下面式子的运算；2.没有掌握解一元二次方程的方法.13．有三个连续的自然数，已知其中最大的一个数比另外两个数的积还大1，那么这个最大的数是___．【答案】3【解析】根据最大的一个数为n+2，则另外两个数为n+1，n ，根据题意可得等量关系：n 和n+1的积+1=n+2，根据等量关系列出方程，再解即可.解：最大的一个数为n+2，则另外两个数为n+1，n ，由题意得：n （n+1）+1=n+2，解得：n=±1， ∵自然数为非负数，∴n=1，n+1=2，n+2=3，最大的数是3.故答案为3.14．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大3，而这个两位数字等于其数字之和的3倍，如果这个两位数的十位数字为x ，则方程可列为________．【答案】()()2210333x x x x ++=++【分析】如果设这个两位数的十位数字为x ，那么个位数字就应该是x 2+3，那么根据“这个两位数字等于其数字之和的3倍”可列出方程．【详解】设这个两位数的十位数字为x ，那么个位数字就应该是()23x +，依题意得()()2210333x x x x ++=++故答案为()()2210333x x x x ++=++.【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.三、解答题15．（1）解方程：2680x x -+=（2）一个两位数字，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，求这个两位数．【答案】（1）2x =或4；（2）63【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；（2）设个位数字为x ，则十位数字为(x +3)，根据这两个数字之积等于这个两位数的27列出一元二次方程，求解即可．【详解】解：（1）2680x x -+=，(2)(4)0x x --=，20x -=或40x -=，12x =，24x =；（2）设个位数字为x ，则十位数字为(x +3)，由题意得，()()231037x x x x +=++⎡⎤⎣⎦，即27600x x --=，解得，13x =，2207x =-（不合题意，舍去）， ∴十位数字为x +3＝6，答：这个两位数为63．【点睛】本题考查解一元二次方程与一元二次方程的应用，熟练掌握因式分解法与正确理解题意是解题的关键，注意应用题中要检验一元二次方程的解是否符合题意．16．李先生乘出租车去某公司办事，下车时，打出的电子收费单为“里程11千米，应收29.10元”.该城市的出租车收费标准如下表所示，请求出起步价N(N 12)<．【答案】起步价是10元．【分析】根据收费标准,将11千米分段计费,列出方程即可.【详解】解：依题意，得()()2225N 6311629.10N N +-⨯+-⨯=，整理，得2N 29.1N 1910-+=，解得1N 19.1=，2N 10=．由于N 12<，所以N 10=．答：起步价是10元．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,列方程是解题关键.17．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．【答案】24【分析】设十位上的数字为x ，则个位上的数字为（x+2），根据十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设十位上的数字为x ，则个位上的数字为（x+2），根据题意得：3x （x+2）=10x+（x+2），整理得：3x 2-5x-2=0，解得：x 1=2，x 2=13-（不合题意，舍去），∴x+2=4，∴这个两位数为24．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18．阅读探究有关个位数是5的整数的平方简便计算问题.观察下列算式：152=1×2×100＋25=225；252=2×3×100＋25=625；352=3×4×100＋25=1225……（1）请你写出952的简便计算过程及结果；（2）其实这种方法也可以推广到个位数是5的三位数的平方，证明略.① 请你写出1152的简便计算过程及结果.② 用计算或说理的方式确定9852－8952的结果末两位数字是多少？（3）已知一个个位数是5的整数的平方是354025，请用方程的相关知识求这个数.【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②0；（3）595．【分析】（1）结果=十位数字×（十位数字+1）×100+25；（2）①结果=前两位数字×（前两位数字+1）×100+25；②末两位数字都是25，那么可得相减后的末两位数字；（3）可设未知数位上的数字为x，那么x（x+1）×100+25=354025，求得正整数x，进而加上最后一位上的5即可．【详解】解：（1）952=9×10×100+25=9025；（2）①1152=11×12×100+25=13225；②因为9852的末两位为25，而8952的末两位也为25，所以9852-8952的末两位数字都为零；（3）笼统地设未知数位上的数为x，由题意有x（x+1）×100+25=354025，x（x+1）×100=354000，x（x+1）=3540，左边为相邻两整数的积，把3540“分解”为两个相邻整数，即3540=59×60，故 x=59．所以这个三位数为595．【点睛】考查规律性的数字问题及一元二次方程的应用；得到末尾数字是5的数的平方的计算规律是解决本题的关键．。

一元二次方程应用--数字问题

1、一个两位数的个位数字与
十位数字的平方和等于29，且
个位数字与十位数字之和为7，
则这个两位数
是 25或52
。
2、有一个两位数，它的十位数字比个位数字小２，它的十位上的数字与个位上的数字的积的３倍刚好等于这个两位数，求这个两位数。
课堂练习1、两个连续奇数的积是323，求这两个数。解：设较小的一个奇数为x，则另一个为x+2,
课堂练习2. 三个连续偶数，已知最大数与最小数的平方和比中间一个数的平方大332，求这三个连续偶数.
解：设中间一个偶数为x，则其余两个偶数分别为 (x2)和 (x2), 根据题意，得(x2)2+(x2)2 x2 332 整理，得 x2 324 x18 当x18时，x2 16, x2 20；当x= 18时，x2= 20, x2 16. 答：这三个连续偶数分别为16、18和20，或20、 18和16.
解：设原两位数的十位数字是x，则个位数字是6-x。由题意得：
(10x+6-x)[10(6-x)+x]=1008
根据题意列出方程即可 1、三个连续的奇数，最大数与最小数的
积比中间一个数的6倍多3，求这三个数。 2、两个连续整数的积为210，求这两个数。 3、两个连续偶数积为168，求这两个数。 4、已知两个数的和等于12，积等于32求这两个数。
数字问题
教学目标：
1、掌握一元二次方程解决数字问题，并能够根据问题的实际意义，检验结果的合理性（重点、难点）
2、理解将实际问题抽象为方程模型的模型，并能够运用所学知识解决问题
1、如果a ,b ,c 分别表示百位数字、十位数字、个位数字，这个三位数能不能写成abc 形式？为什么？

第二：数字问题一元二次方程应用题

解：设较小的数为x，则较大的数为(x+8)，根据题意，得x(x8) 209
x28x16209+16
(x4)2225 x415
∴x111, x219
当x=11时，x819；当x19时，x811.都符合题意.
答：这两个数分别11和19，或19和11.
3.
答：这个两位数为24.
1.（1）十位数字为a，个位数字为b的两位数是10ab;
总结：
（2）百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c的三
位数是100a10bc. 2.偶数个连续偶数（或奇数），一般可设中间两个为(x1)和(x 1).
3.奇数个连续偶数（或奇数，自然数），一般可设中间一个为x.
4、三个连续整数两两相乘后，再求和，得 362，求这三个数。
5.一个两位数等于其各位数字之积的3倍，且其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.
解：设这个两位数的十位数字为x，则其个位数字为（x2），根据题意，得10x(x2)3x(x2)
3x25x20 1 解得 x1 , x2 2. 3 1 x 不合题意，舍去； ∵ 3 ∴x2, 10x(x2)24. 整理，得
18和16.
三、课堂练习：
1、两个连续整数的积是210，则这两个数是 14，15或 -4，-15 。 2、已知两个数的和等于12，积等于32，则这两个数是 4，8 。 3、一个六位数，低位上的三个数字组成的三位数是a ,高位上的三个数是b，现将a，b 互换，得到的六位数是_____________ 。 1000a+b
例3、有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多5，求这个两位数。
解：设个位上的数为 x, 则十位上的数为 x+3,根据题意得：

初三数学一元二次方程常考应用题型附答案解析

初三数学一元二次方程常考应用题型附答案解析一、列一元二次方程解决率类问题例1、今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元。

假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500x2=3500 （B．2500（1+x）2=3500C．2500（1+x%）2=3500D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500【解答】解：设增长率为x，根据题意得2500×（1+x）2=3500，故选B．例2、为落实素质教育要求，促进学生全面发展，某市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元。

则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是，从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资万元。

【解答】解：设该学校为新增电脑投资的年平均增长率是x11（1+x）2=18.59x=30%（则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是30%11×（1+30%）=14.3万元11+14.3+18.59=43.89万元故答案为：30%；43.89练习1、股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。

已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价。

若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．（1+x）2=B．（1+x）2=C．1+2x=D．1+2x=【解答】解：设平均每天涨x，则90%（1+x）2=1，即（1+x）2=，故选B。

（2、某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）A．20%B．40%C．﹣220%D．30%【解答】解：设每年投资的增长率为x，根据题意，得：5（1+x）2=7.2解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去），故每年投资的增长率为为20%，故选：A3、随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆。

小专题7 一元二次方程的实际应用

小专题7 一元二次方程的实际应用类型1 数字问题1.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，这个两位数是 .2.如图是一张日历表，在此日历表上用一个矩形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）.如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，那么这4个数中最小的数是 .类型2 传播问题3.某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43. 若设主干长出x 个支干，则可列方程( )A .2(1)43x +=B .2143x x ++=C .2143x x ++=D .(1)43x x +=4.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用一元二次方程的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制，则经过三轮感染后，被感染的电脑共有多少台类型3 球赛与握手问题5.（驻马店平舆二中周清）新年里，一个小组有若干人, 若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为( )6.（郑州外国语中学月考）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，则共有支球队参赛.7.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会类型4增长率问题8.（郑州期中）某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，则平均每次降价的百分率是( )% % % %9.（河南模拟）某市为做好“统筹镇村，迁村并点推进城镇化”，在2021年投入资金1600万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2021年在2021年的基础上增加投入资金900万元.（1）从2021年到2021年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少（2）2021年要安置搬迁户2000户，为了加快安置进度，该地拿出不高于400万元的资金，用于搬迁奖励，规定“舍旧家入新家”的前800户每户奖励3 000元，800户以后每户奖励2 000元，奖励资金用完为止.试求2021年该地至少有多少户享受不到搬迁奖励类型5营销利润问题10. 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为27万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利万元；销售量在10辆以上，每辆返利1万元.（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车（盈利=销售利润十返利）11.（许昌模拟）某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间为一次函数关系，如图所示.（1）求y与x的函数表达式；（2）要使销售利润达到800元，销售单价应定为多少元类型6几何图形问题12.某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米. 计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米.（1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建3条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米13. 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发，沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止. 已知在相同时间内，若BQ=x cm（x ≠0），则AP=2x cm，CM=3x cm，DN=2x cm.（1）当x为何值时，点P，N重合（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形类型7其他问题14.（教材P58复习题T21变式）如图，某天晚上8点时，一台风中心位于点O正北方向160 km的点A处，台风中心以每小时的速度向东南方向移动，在距台风中心≤120km的范围内将受到台风影响，同时，在点O有一辆汽车以每小时40km的速度向东行驶.（1）汽车行驶了多少小时后受到台风影响（2）汽车受到台风影响的时间有多长参考答案1. 812. 84解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，则有1(1)81x x x +++=，即2(1)81x +=.解得128,10x x ==-（不合题意，舍去）.所以经过三轮感染后，被感染的电脑共有81+81×8=729（台）.答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑.经过三轮感染后，被感染的电脑共有729台.6. 87.解: 设共有x 家公司参加商品交易会，根据题意，得1(1)452x x -=，整理，得2900x x --=，解得12=10,9x x =-(不合题意，舍去). 答: 共有10家公司参加商品交易会.9.解:(1)设从2021年到2021年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为x ，根据题意，得21600(1)9001600x +=+，解得:0.2525 2.25x x ===-％或(舍去). 答:从2021年到2021年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为25％.(2)设2021年该地有a 户享受到搬迁奖励，根据题意，得80080020004000000a ⨯3000+(-)⨯≤，解得1600.20001600=400a -≤(户). 答: 2021年该地至少有400户享受不到搬迁奖励.10.解:（1）（2）设需要售出x 辆汽车. 由题意可知，每辆汽车的销售利润为[]28270.1(1)(0.10.9)x x ---=+（万元）.当0≤x ≤10 时，根据题意，得(0.10.9)0.512x x x ++=，解得1=20x -（不合题意，舍去），2=6x ；当x >10时，根据题意，得(0.10.9)12x x x ++=，解得1=24x -（不合题意，舍去），2=5x .因为5<10，所以2=5x 舍去. 答: 需要售出6辆汽车.11.解:（1）当0<x <20时，y =60；当20≤x ≤80时，设y 与x 的函数表达式为y kx b =+,把(20,60),(80,0)代入,得{60=20k b +0=80k b +，解得{1k =-80b =.∴=80y x -+. ∴y 与x 的函数表达式为=y {60(0)x ＜＜2080(2080)x x -+≤≤. （2）若销售利润达到800元，则(20)(80)800x x --+=.解得1240,60x x ==. 答:要使销售利润达到800元,销售单价应定位40元/千克或60元/千克. 12解:（1）设与墙垂直的一面长x 米，则与墙平行的一面长(2622)x -+米，根据题意，得(282)80x x -=，整理，得214400x x -+=，解得12=410x x =，. 当=4x 时，28220x -=>12（舍去）；当=10x 时，2828x -=<12，符合题意. 答: 这个车棚的长为10米，宽为8米.（2）设小路的宽为a 米，根据题意，得(82)(10)54a a --=,整理,得214130a a -+=，解得113a =>10（舍去）, 21a =. 答:小路的宽为1米.13.解:（1）∵点P ，N 重合，∴2220x x +=.∴11x =-，21x =-（舍去）∴当1x =时，点P ，N 重合.（2）∵当N 点到达A 点时，x =M 点和Q 点还未相遇，∴点Q 只能在点M 的左侧. ①当点P 在点N 的左侧时，依题意得220(3)20(2)x x x x -+=-+，解得10x =（舍去）,22x =, ∴当2x =时，四边形PQMN 是平行四边形；②当点P 在点N 的右侧时，依题意得220(3)(2)20x x x x -+=+-，解得110x =-（舍去），24x =，∴当4x =时，四边形NQMP 是平行四边形. ∴当2x =或4x =时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.14.解:（1）如图，以O 为原点，OA 所在直线为y 轴，汽车行驶的路线为x 轴，建立平面直角坐标系. 设当台风中心在M 点，汽车在N 点时，汽车开始受到影响，过点M 分时别作MC ⊥x 轴于点C ，MD ⊥y 轴于点D . 则△ADM 是等腰直角三角形, 设运动时间是t 小时，则AM =，AD =DM 2AM =t =40t . ∴点M 的坐标为(20t ,160－20t ), 点N 的坐标为(40t ,0). 若汽车开始受到影响,则MN =120km ，∴222(4020)(16020)120t t t -+-=即28140t t -+=，解得1=4t ，24t =答: 汽车行驶了(4小时后受到台风影响（2）(4(4-=. 答：汽车受到台风影响的时间有时.。

一元二次方程的应用之数字问题

答：原来的两位数为35或53.
例2：有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的2倍多5，求这个两位数。
例3.两个连续奇数的积是 323，求这两个数。
解：设较小的一个奇数为x，则另一个为 x+2, 根据题意得：x(x+2)=323 整理后得：x2+2x-323=0 解这个方程得：x1=17 x2=-19 由x1=17 得：x+2=19 由 x2=-19 得：x+2=-17 答：这两个数奇数是17，19，或者-19，-17 。
问：如果设这两个数奇数中较小的一个为x-1, 另一个为x+1,这道题该怎么解？
巩固练习：
1、两个连续整数的积是210，则这两个数是 14，15或 -14，-15 。 2、已知两个数的和等于12，积等于32，则这两个数是 4，8 。 3、一个六位数，低位上的三个数字组成的三位数是a ,高位上的三个数是b，现将 a，b互换，得到的六位数是 _____________。 1000a+b
练习：有一个两位数，它的两个数字之和是8，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以原来的数就得到1855，求原来的两位数。
解：设原来的两位数的个位数为 x, 则十位上的数为8-x，根据题意得：
［10(8-x)+x］［10x+(8-x)］=1855
整理后得：
x2-8x+15=0
x2=5
解这个方程得：x1=3
数字问题
复习：
表示一个两位数的方法： (1) 已知一个两位数，个位数字是3，十位数字是5，这个数是 . (2) 上题中 3 表示什么意思； 5表示什么意思。 (3) 已知一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，这个数是 .个位与十位交换位置后表示的数是。

一元二次方程应用题精选含答案

一元二次方程应用题精选一、数字问题1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数.2、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6,把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．二、销售利润问题3、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售,增加赢利，尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2)要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．4。

某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克。

为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现，这种小型西瓜每降价O。

1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？三、平均变化率问题增长率(1）原产量+增产量=实际产量．（2）单位时间增产量=原产量×增长率．(3)实际产量=原产量×(1+增长率）．6. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨,这两个月平均每月增长的百分率是多少？7. 某产品原来每件600元，由于连续两次降价,现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？四、形积问题8、有一块长方形的铝皮，长24cm、宽18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面积的一半,求盒子的高．9、如图，在一块长为32m，宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地要使耕地的面积是540m2，求小路宽的宽度．五、围篱笆问题10、如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ），用80m 长的篱笆围一个矩形场地． ⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？六、相互问题(传播、循环)11、（1）参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会？(2）要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场，计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛？（3) 某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一张留作纪念,全班共送了3080张照片．如果该班有x 名同学，根据题意可列出方程为?12、有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感．(1)求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度,经过三轮传染后共有多少人患上流感?第21题图13、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？七.行程问题：14、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。

一元二次方程的应用(数字问题)

一元二次方程的应用
一、数字问题
1.两个连续奇数的积是323，求这两个数．
举一反三：
【变式1】两个连续整数的积是210，求这两个数．
【变式2】已知两个数的和是12，积为35，求这两个数．
2.有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数．
举一反三：
【变式1】有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．
二、传播问题
.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？
举一反三：
【变式1】生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？
【变式2】一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？。

3[1].5一元二次方程的应用

轾 5 - x + x 轾 x + 5 - x = 736. 10 10 ) ) ( 臌 ( 臌
整理得x - 5 x + 6 = 0.
2
解得x1 = 2, x2 = 3. \ 5 - x = 5 - 2 = 3, 或5 - x = 5 - 3 = 2.
答 : 这两个数为32或23.
‹# ›
试一试：一个两位数等于其各位数字之
246cm ,求小路的宽度.
20+2x 20 15+2x 15
2
‹# ›
三、增长率问题
（1）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长率都是x，那么一年后的销售收入将达到____
a ? (1
_
_万元（用代数式表示）
x)
（2）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长率都是x，那么两年后的销售收入将达到__
[500(1 + 0.8 x) - 50](1 + 0.8 x) = 461.
‹# ›
课堂小结 • 列方程解应用题的一般步骤是:
解应用题
• 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已知,未知之间有什么关系?
• 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
• 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系.
x1 = 15 2 15 2 , x2 = 10.
当
x =
时，352x2018不合题意，舍去；
当x10时，352x15. 符合题意. 答：自行车棚的长和宽分别为15米和10米.

列一元二次方程解有关数字问题

・．．
●
奇数为ｘｌｅ设较小的奇数＋；．
为一．另一个奇数为＋．１则１
说明三种设未知数的方
．
法不同，对比较第二种设法简相单些，在设未知数的过程中要故选择合适的方法．
为ｌ．２
２２一２＝．；１＝１．＋ｘ３３０，．ｘ＝７，２一９・
由ｘ＝７得ｘ２１，ｌ１，＋＝９由＝１，一９得＋：１．２一７
（）元（种设法）．较２设几ａ设小的奇数为，则另一奇数为＋２ｂ设较小的奇数为一，则另：．１
一
答：两个奇数是ｌ，９７１或者一９一７ｌ，１．解法旦设较小的奇数为１则较大的奇数为一，斛１依题意，（一）ｘ１＝２．Ｚ３４．＝８＝１．得１（＋）３３ｘ２ ’ １，２８－＿．１＝
当．１ｘ８时，８－＝７１＋＝９＝１－１，８１１．１。。当＝１一８时，１一＝１，１＋＝１．一８ｌ一９－８１－７答：两个奇数是ｌ，９或者一９一７７１ｌ，１．解法５设较小的奇数为２一，ｘ１则另一个奇数为２＋．ｘ１依题意，（ｘ１（＋）３３得２一）１＝２．４２３４解得２＝８或＝１．ｘ＝２．ｘ１一８当２＝８时，ｘ１１，ｘ１１；ｘ１２一＝７２＋＝９当＝ｌ一８时，ｘ１一９２＋＝１．２一＝１，ｘｌ一７答：个奇数分别为１，或者一９－７两７１，１．

一元二次方程的应用-第4课时-数字+营销+动态几何问题

实际问题与一元二次方程 (第4课时)数字问题+营销问题+动态几何问题导学探究：典例探究：一元二次方程的应用——营销问题（“每每型”问题）每每型问题指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，关键是找出两个“每次”代表的数量，并用未知数表达出来，然后根据等量关系列出方程求解．1．一元二次方程的应用——数字问题【例1】（2014秋•冠县校级期末）一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，求这个两位数．【解析】设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），则这个两位数为[10（x﹣3）+x]，然后根据一个两位数等于它的个位数字的平方即可列出方程求解．解：设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），根据题意得10（x﹣3）+x=x2原方程可化为：x2﹣11x+30=0，∴x1=5，x2=6，当x=5时，x﹣3=2，两位数为25；当x=6时，x﹣3=3，两位数为36.答：这个两位数是25或36．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．练1．练1 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.【解析】设这个两位数字的个位数字为x，则十位数字为（x-2），则这个两位数为10（x-2）+x，然后根据这个两位数等于其数字之积的3倍列方程，并解方程即可.解：设这个两位数字的个位数字为x，则十位数字为（x-2）.根据题意，得10（x-2）+x=3x（x-2），原方程可化为：3x2-17x+20=0,因式分解，得（3x-5）（x-4）=0，解得x1=53，x2=4.因为x为整数，所以x=53不符合题意，x=4.10（x-2）+x=24，所以这个两位数是24.点评：本题考查了一元二次方程的应用中的数字问题.注意：在求得解后，要进行实际意义的检验，舍去不符合题意的解.练2．练2（2015•河北模拟）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如：把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数2，则m的值是（）A．3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3或﹣1【解析】按照相应的运算方法与顺序，让得到的含m的一元二次方程的结果为2，列式求值即可．解：由题意得：m2+（﹣2m）﹣1=2，m2﹣2m﹣3=0，（m﹣3）（m+1）=0，解得m1=3，m2=﹣1．故选：D．点评：考查一元二次方程的应用；理解新定义的运算方法是解决本题的关键．2．一元二次方程的应用——营销问题【例2】（2015•乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？【解析】设降价x元，表示出售价和销售量，列出方程求解即可．解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意，得（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，解得x1=1，x2=4，又顾客得实惠，故取x=4，定价为：60-4=56（元），答：应将销售单价定为56元．点评：本题考查了一元二次方程应用，从题中找到关键描述语，并找出等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．练3．（2015•淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【解析】（1）销售量=原来销售量﹣下降销售量，据此列式即可；（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可．解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20=100+200x斤；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）=300，解得：x=或x=1，∵每天至少售出260斤，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．点评：本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．3．一元二次方程的应用——动态几何问题【例3】（2015春•寿县校级月考）如图△ABC，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？（2）△PBQ的面积会等于10cm2吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．【解析】（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．先用含x的代数式分别表示BP和BQ的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可求出时间；（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2．根据三角形的面积公式，列出关于y的一元二次方程，根据△=b2﹣4ac进行判断．解：（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．∵AP=1•x=x，BQ=2x，∴BP=AB﹣AP=6﹣x，∴S△PBQ =×BP×BQ=×（6﹣x）×2x=8，∴x2﹣6x+8=0，解得：x=2或4，即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2.（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2，则S△PBQ =×（6﹣y）×2y=10，即y2﹣6y+10=0，因为△=b2﹣4ac=36﹣4×10=﹣4＜0，所以△PBQ的面积不会等于10cm2．点评：本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示BP和BQ的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解并作出判断．练4（2015春•慈溪市校级月考）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：【解析】（1）设点B将向外移动x米，即BB1=x，B1C=x+0.7，根据勾股定理求出A1C=AC﹣AA1=﹣0.4=2．在Rt△A1B1C中，由勾股定理得到B1C2+A1C2=A1B12，依此列出方程方程（x+0.7）2+22=2.52，解方程即可；（2）设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，根据勾股定理可得（x+0.7）2+（2.4﹣x）2=2.52，再解即可．解：（1）设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=﹣0.4=2．而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B12得方程（x+0.7）2+22=2.52，解方程得x1=0.8，x2=﹣2.2（不合题意舍去），∴点B将向外移动0.8m．故答案为（x+0.7）2+22=2.52，0.8，﹣2.2（不合题意舍去），0.8；（2）有可能．设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有（x+0.7）2+（2.4﹣x）2=2.52，解得：x1=1.7或x2=0（不合题意舍去）．故当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B 向外移动的距离有可能相等．点评：本题主要考查了一元二次方程的应用及勾股定理的应用，根据题意得出关于x的一元二次方程是解答此题的关键．夯实基础一、选择题1．已知两数之差为4，积等于45，则这两个数是（）A．5和9 B．﹣9和﹣5 C．5和﹣5或﹣9和9 D．5和9或﹣9和﹣52．（2014•鄂城区校级模拟）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低（）元．A．0.2或0.3 B．0.4 C．0.3 D．0.23. 如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色形由3个正方形组成，第2个黑色形由7个正方形组成，那么组成第12个黑色形的正方形个数是（）A．44 B．45 C．46 D．47．二、填空题4．（2014秋•娄底校级期末）若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是______．5．（2015•东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．据此规律计算：每件商品降价_____元时，商场日盈利可达到2100元．三、解答题6．（2015•谷城县模拟）怎样用一条长40cm的绳子围成一个面积为96cm2的矩形？能围成一个面积为102cm2的矩形吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由．7．（2015春•江阴市期末）某大学生利用暑假社会实践参与了一家网店经营，该网店以每个20元的价格购进900个某新型商品．第一周以每个35元的价格售出300个，第二周若按每个35元的价格销售仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个）．（1）若第二周降低价格1元售出，则第一周，第二周分别获利多少元？（2）若第二周单价降低x元销售一周后，商店对剩余商品清仓处理，以每个15元的价格全部售出，如果这批商品计划获利9500元，问第二周每个商品的单价应降低多少元？8．（2014•江西模拟）等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P 点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．9.（2015春•汕头校级期中）如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D 移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t=1秒时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t= 以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）夯实基础答案：一、选择题1．【解析】设其中一个数是x，另一个数是（x+4），依题意列出方程．解：设其中一个数是x，另一个数是（x+4），则x（x+4）=45，整理，得（x+2）2=49，x+2=±7，解得 x1=5，x2=﹣9．则x+4=9或x+4=﹣5．故这两个数是5、9或﹣9、﹣5．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．2．【解析】设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每千克的利润为：（3﹣2﹣x），由于这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售出数量为：200+千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量﹣固定成本=200．解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．根据题意，得（3﹣2﹣x）（200+）﹣24=200．解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．∵200+＞200+，∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元．故选：C．点评：本题考查了一元二次方程的应用，通过生活实际较好地考查学生“用数学”的意识．注意题目的要求为了减少库存，舍去不合题意的结果．3.【解析】看后面每个图形中正方形的个数是在3的基础上增加几个4即可．解：第1个黑色“”形由3个正方形组成，第2个黑色“”形由3+4=7个正方形组成，第3个黑色“”形由3+2×4=11个正方形组成，…，那么组成第n个黑色“”形的正方形个数是3+（n﹣1）×4=4n﹣1．故组成第12个“”的正方形个数是：4×12﹣1=47．故选：D．点评：考查图形的变化规律；得到第n个图形与第1个图形中正方形个数之间的关系是解决本题的关键．二、填空题4．【解析】设这两个连续偶数为x、x+2，根据“两个连续偶数的积是224”作为相等关系列方程x（x+2）=224，解方程即可求得这两个数，再求它们的和即可．解：设这两个连续偶数为x、x+2，则x（x+2）=224解之得x=14或x=﹣16则x+2=16或x+2=﹣14即这两个数为14，16或﹣14，﹣16所以这两个数的和是30或﹣30．点评：找到关键描述语，用代数式表示两个连续的偶数，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．5．【解析】根据等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，化简得：x2﹣35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选x=20，故答案为：20．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键．三、解答题6．【解析】首先设矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，再利用矩形面积公式列出方程x（20﹣x）=96或x（20﹣x）=102，得出根据根的判别式的符号，进而得出答案．解：设所围矩形的长为xcm，则所围矩形的宽为（20﹣x）cm，（1）依题意，得 x（20﹣x）=96，化简，得x2﹣20x+96=0．解，得x1=8，x2=12．当x=8时，20﹣x=12；当x=12时，20﹣x=8．所以，当所围矩形的长为12cm，宽为8cm时，它的面积为96cm2．（2）依题意，得 x（20﹣x）=102化简，得x2﹣20x+102=0．∵△=b2﹣4ac=（﹣20）2﹣4×102=400﹣408=﹣8＜0，∴方程无实数根．所以用一条长40cm的绳子不能围成一个面积为102cm2的矩形．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，熟练应用根的判别式是解题关键．7．【解析】（1）根据利润=每个的利润×销售量列式计算即可求解；（2）设第二周每个商品的单价应降低x元，根据这批商品计划获利9500元建立方程，解方程即可．解：（1）第一周获利：300×（35﹣20）=4500（元）；第二周获利：（300+50）×（35﹣1﹣20）=4900（元）；（2）根据题意，得：4500+（15﹣x）（300+50x）﹣5（900﹣300﹣300﹣50x）=9500，即：x2﹣14x+40=0，解得：x1=4，x2=10（不符合题意，舍去）．答：第二周每个商品的销售价格应降价4元．点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．8．【解析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t∴当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10∴（4分）（2）∵S△ABC=（5分）∴当t＜10秒时，S△PCQ=整理得t2﹣10t+100=0无解（6分）当t＞10秒时，S△PCQ=整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5（舍去负值）（7分）∴当点P运动秒时，S△PCQ=S△ABC（8分）（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M易证△APE≌△QCM，∴AE=PE=CM=QM=t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM=AC=10∴DE=5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE=5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．点评：做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．9.【解析】（1）如图1，当t=1时，就可以得出CQ=1cm，AP=2cm，就有PB=6﹣2=4cm，由梯形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥CD于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论，如图3，当PQ=DQ时，如图4，当PD=PQ时，如图5，当PD=QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，AD=BC=2，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．∵CQ=1cm，AP=2cm，∴AB=6﹣2=4cm．∴S==5cm2．答：四边形BCQP面积是5cm2；（2）如图1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=9，解得：t=．如图2，作PE⊥CD于E，∴∠PEQ=90°．∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE=BC=2cm，BP=CE=6﹣2t．∵CQ=t，∴QE=t﹣（6﹣2t）=3t﹣6在Rt△PEQ中，由勾股定理，得（3t﹣6）2+4=9，解得：t=．综上所述：t=或；（3）如图3，当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．DQ=6﹣t．∵PQ=DQ，∴PQ=6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=（6﹣t）2，解得：t=．如图4，当PD=PQ时，作PE⊥DQ于E，∴DE=QE=DQ，∠PED=90°．∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE=BC=2cm．∵DQ=6﹣t，∴DE=．∴2t=，解得：t=；如图5，当PD=QD时，∵AP=2t，CQ=t，∴DQ=6﹣t，∴PD=6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2=（6﹣t）2，解得t1=，t2=（舍去）．综上所述：t=，，，．故答案为：，，，．点评：本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．。

一元二次方程应用题归类练习

一元二次方程应用题数字问题1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

2、有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字之和的3倍刚好等于这个两位数。

求这个两位数。

3、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果把它的个位数字与十位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008，求调换位置后得到的两位数。

4、两个数的和为8，积为9.75，求这两个数。

5、两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是多少？6 .一个两位数，个位数字与十位数字之和为5，把个位数字与十位数字对调，所得的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。

7、有一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字的和是8。

如把十位上的数字和个位上的数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数，就得到1855。

求原来的两位数。

8、两个连续自然数的积是56，那么这两个自然数的和是_____________。

9、一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍，它的十位上的数字比个位上的数字大2，若设个位数字为x ，列出求这个两位数的方程__________________________。

增长（降低）率问题基本量：（1）原有量a （2）最终量b (3)增长率x基本关系式：（1）一次增长b x a =+)1(二次增长b x a =+2)1( 1、某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x ，则可列方程．2. 某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为____万元．3、上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a %后售价为128元. 下列所列方程中正确的是A ．128)% 1(1682=+aB ．128)% 1(1682=-aC ．128)% 21(168=-aD ．128)% 1(1682=-a 4、某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x ，根据题意列出的方程是．5、某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 ▲ ．6，某木器厂今年一月份生产课桌500张，因管理不善，2月份的产量减少了10%，从3月份起加强了管理，产量逐月上升，4月份的产量达到了648张，求工厂3月份和4月份的平均增长率。

一元二次方程的应用分类

一元二次方程的应用一、数字问题１、两个数的和为１６，积为４８。

求这两个数。

２、有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大６，把这个两位数个位数字与十位数字对调，再与原数相乘，积为３６２７。

求这个两位数。

３、一个直角三角形的三边长是连续整数。

求这三条边长。

４、一个多边形有１４条对角线，那么这个多边形的边数是多少？５、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组互赠了１８２件。

求全组人数。

6、某次足球赛进行大循环赛(每两个队都要进行一次比赛),一共比赛了45场,共有多少个球队参加比赛?二、增减率问题7、某商店的一款诺基亚手机连续两次降价，售价由原来的1199元降到了899元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程正确的是（）A、1199)1(11992=+x；-x； B、899)1(8992=C、11991(11992=-x))1(8992=+x； D、8998.小王的便利店今年1月份的利润是1000元，3月份的利润为1210元，则该店这两个月的利润平均增长率为（）A、9%B、10%C、11%D、12%9.某乡今年人均上缴农业税25元，若计划两年后人均上缴农业税为16元，则这两年农业税平均每年降低的百分率为多少？10、某商场一月份的营业额为400万元，第一季度营业总额为1600万元，若平均每月增长率为x，则列方程为（）A、16004002=+x； B、16001()+xx；+4004004002=C、[]1600+++xx； D、1600)+1(4002=)1(1+xx+2400=)1(11、某商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.12、某工程队再我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。

原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20％。

一元二次方程数字问题

数字问题1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

2、有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字之和的3倍刚好等于这个两位数。

求这个两位数。

面积问题4、用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的边长为Xcm的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方形盒子，求X的值。

5、如图，在长为32m，宽为20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不等的六块作实验田，要使试验田面积为570m2，道路的宽应为多少？6.如图所示，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，问AB和BC边各应是多少？A7.某4中学有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪。

（12分）a)如图，请分别写出每条道路的面积（用含a或b的代数式表示）；b)已知a：b=2：1，并且四块草坪的面积之和为312平方米，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？8.．在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽为多少？9.要在长32m，宽20m的长方形绿地上修建宽度相同的道路，六块绿地面积共570m2,问道路宽应为多宽？。

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