实际问题与一元二次方程中的数字和面积问题

27
要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之
一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设
计四周边衬的宽度? 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中
解法一:设央正的中矩央形的两矩边形之两比边也分为别9:为7 9xcm，7xcm
依题意得
3
9பைடு நூலகம்7x 2721
4
解得
x1
33 2
x2
3 3(不合题 ,舍意 去 ) 2
x
80cm
x
50cm
x x
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
答:道路的宽为1米.
练习：
1.如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长 方形拼成，则每个小长方形的面积为【 A 】 A．400cm2 B．500cm2 C．600cm2 D．4000cm2
2. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周
镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示， 如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸 边的宽为xcm，那么x满足的方程是【 】 B A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0 C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的 矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边
衬与左右边衬的宽度之比也为9:7
解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm
(2 71x依8 )题2意(得 11x4 )32 721
解方程得 x 6 3 3 4
4
方程的哪个根合 乎实际意义?
(以下同学们自己完成)
22.3实际问题与一元二次方程
二、数字和面积问题
一、复习
列方程解应用题的一般步骤？ 第一步：设未知数(单位名称); 第二步：列出方程； 第三步：解这个方程，求出未知数的值； 第四步：查(1)值是否符合实际意义,
(2)值是否使所列方程左右相等; 第五步：答题完整（单位名称）。
二、新课
1、在三位数345中，3，4，5各具体表示 的什么？
化简得，x252x1000,
x12,x2 50
其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.
取x=2时，道路总面积为：
32220222 =100 (米2)
草坪面积= 3220100= 540（米2）
答：所求道路的宽为2米。
解法二：
我们利用“图形经过移动， 它的面积大小不会改变”的道理， 把纵、横两条路移动一下，使列 方程容易些（目的是求出路面的 宽，至于实际施工，仍可按原图 的位置修路）
(3 2 2 x)2 ( 0 2 x) 540
化简得，
(1)
x22x6 2 50 (x 2)5 x ( 1 ) 0 x12,x 5 21
其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去.
∴图(1)中道路的宽为1米.
分析：此题的相等关系
是矩形面积减去道路面
积等于540米2。
解法一、
(2)
如图，设道路的宽为x米，
2、如果a ,b ,c 分别表示百位数字、十位数 字、个位数字，这个三位数能不能写成abc 形式？为什么？
100a+10b+c
例1、两个连续奇数的积是323，求这两个数。
解：设较小的一个奇数为x，则另一个为 x+2, 根据题意得：x(x+2)=323
整理后得：x2+2x-323=0 解这个方程得：x1=17 x2=-19 由x1=17 得：x+2=19 由 x2=-19 得：x+2=-17 答：这两个数奇数是17，19，或者-19，-17 。
为什么?
例：某校为了美化校园,准备在一块长32米, 宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余 下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在 有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两 种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分 别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.
(1)
(2)
解:(1)如图，设道路的宽为 x米，则
如图，设路宽为x米，
横向路面 32x米2，
纵向路面面积为 20x米。2
(2)
草坪矩形的长（横向) （32，-x)米
草坪矩形的宽（纵向） (20。-x)米
即 32x20x540.
化简得：x252x1000,x150,x22
再往下的计算、格式书写与解法1相同。 相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2
练习：
故上下边衬的宽度为: 279x279323542731.8
2
2
4
左右边衬的宽度为: 217x217323422131.4
2
2
4
27
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中 央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果 要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之 一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设 计四周边衬的宽度?
1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑 同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂 直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验 地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
解:设道路宽为x米，则
(3 2 2 x)2 ( 0 2 x) 570 化简得，x23x63 50
(x 3)5 x ( 1 )0 x13,x 5 21
则横向的路面面积为 32x 米2 ，
纵向的路面面积为 20x 米2 。
？ 所列的方程是不是 3 2 2 0 (3 2 x 2 0 x ) 5 4 0
注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2
图中的道路面积不是 32x20x米2。
而是从其中减去重叠部分，即应是 32x20xx2 米2
所以正确的方程是：3 2 2 0 3 2 x 2 0 x x 2 5 4 0
解这个方程得：x1=3 x2=5 答：原来的两位数为35或53.
课堂练习：
1、两个连续整数的积是210，则这两个 数是 14，15或。-14，-15
2、已知两个数的和等于12，积等于32，
则这两个数是
4，。8
探究3
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中
央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果
例2:有一个两位数，它的两个数字之和是8， 把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘 以原来的数就得到1855，求原来的两位数。
解 ： 设 原 来 的 两 位 数 的 个 位 数 字 为 x, 则 十 位上的数字为8-x，根据题意得：
［10（8-x）+x］［10x+(8-x)］=1855
整理后得： x2-8x+15=0