一元二次方程应用(4)--数字问题

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一元二次方程应用数字问题

位数字是0，这个三位数是 100n+m 。
例题引导
例1.两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数。
解：设这两个偶数为x，x+2，则： x(x+2)=168
解得：x1 =12 x2 =-14 当x =12 时： x +2=14 当x =-14 时： x +2=-12 答：这两个偶数为12，14或-12，-14.
答：原来的两位数为32，23.
实践运用
1.两个数的和是14，积是45，那么这两个数分
别是 5和9 .
2.一个两位数等于它个位数的平方，且个位数
比十位数大3，这个两位数是 25或36 .
3.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小9，如果把个位与十位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数.
一元二次方程的应用
数字问题
冯东霞
课前热身
1. 365=( 3 )×100 +( 6 )×10 +( 5 ) 2. 2013=( 2 )×1000 +( 0 )×100 +( 1 )×10 +( 3 ) 3. 一个三位数，个位数字，十位数字，百位数字分
别是a,b,c,这个三位数是 100c+10b+a 。 4. 一个三位数，个位数字，百位数字分别是m,n, 十
例题பைடு நூலகம்导
例2.一个两位数，个位数字与十位数字之和为5，把个位数字与十位数字对调后，所得的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。
解：设个位数字为x，则十位数字为5-x: 【10(5-x) +x】(10x+5-x)=736 解得：x1 =2 x2 =3 当x = 2 时： 5-x =3 当x = 3 时： 5-x= 2

专题21.17 一元二次方程的应用—数字问题(基础检测)(解析版)

专题21.17 一元二次方程的应用—数字问题（基础检测）一、单选题1．两个连续奇数的积为323，求这两个数.若设较小的奇数为x ，则根据题意列出的方程正确的是（） A ．()1323+=x xB ．()2323+=x xC ．()2323-=x xD ．()()2121323+-=x x【答案】B【分析】根据连续奇数的关系用x 表示出另一个奇数，然后根据乘积列方程即可．【详解】解：根据题意：另一个奇数为：x ＋2∴()2323+=x x故选B ．【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握数字之间的关系是解决此题的关键．2．连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是（）A ．3B ．﹣4C ．﹣3或4D ．﹣4或3 【答案】D【分析】设这两个整数中较小的一个是x ，则较大的一个是（x +1），根据两数之积为12，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设这两个整数中较小的一个是x ，则较大的一个是（x +1），根据题意得：x （x +1）＝12，解得：x 1＝3，x 2＝﹣4．故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．(易错题)若两个连续整数的积是20,那么这两个整数的和是 ( )A ．9B ．-9C ．9或-9D ．12或-12 【答案】C【分析】设这两个连续整数分别是n ，n +1，根据两个连续整数的积是20列方程求解即可.【详解】设这两个连续整数分别是n ，n +1，由题意得，n (n +1)=20,解之得，n 1=4,n 2=-5,∴这两个连续整数分别是4,5或-5，-4，∴这两个整数的和是4+5=9或-5-4=-9.故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据两个连续整数的积是20列出方程是解答本题的关键.本题的易错点是有些同学容易把负整数忽视了.4．一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上的数比十位上的数字大2，则这个两位数是（） A ．24B ．35C ．42D ．53 【答案】A【分析】设十位数字为x ，则个位数字为x+2，根据“两位数等于其各数位上数字的积的3倍”列式即可求解．【详解】解：设十位上的数字为x ，则个位上的数字为x+2，由“两位数等于其各数位上数字的积的3倍”得：10x+x+2=3x(x+2)，整理得：(x-2)(3x+1)=0，解得12123x x ==-，(舍去)，∴这个两位数为24，故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键是设出个位或十位数为x ，其他数位用x 的代数式表示，进而建立方程求解．5．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x 与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为( )A ．x (x +8)=225B ．x (x +16)=225C ．x (x ﹣16)=225D ．(x +8)(x ﹣8)=225【答案】C 【分析】最大数为x ，则我们只需要将最小数用x 表示出来即可列出方程．【详解】∵最大数为x ，∴最小数用x 表示为：x-16，∴列方程为：x (x ﹣16)=225，故选：C【点睛】本题考查列一元二次方程，解题关键是根据题干找出等量关系式，然后根据等量关系式来列方程．6．如图，是一张月历表，在此月历表上用一个长方形任意圈出2×2个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为128，那么这四个数的和为( )A ．40B ．48C ．52D ．56【答案】B 【分析】根据题意，设最小数为x ，则另外三个数为x ＋1，x ＋7，x ＋8，根据题意可列方程x(x ＋8)＝128，结合月历表的数据情况选出合适的数.【详解】设最小数为x ，则另外三个数为x ＋1，x ＋7，x ＋8，根据题意可列方程x(x ＋8)＝128，解得x 1＝8，x 2＝－16(不符合题意，舍去)，∴x ＝8，x ＋1＝9，x ＋7＝15，x ＋8＝16，∴四个数分别为8，9，15，16.∵8＋9＋15＋16＝48，∴四个数的和为48.【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用.找出题中等量关系，并用方程表示出来是解题的关键.二、填空题7．已知3个连续整数的和为m ，它们的平方和是n ，且()118n m =-．则m =____．【答案】15或18【分析】设这3个连续整数为x ，x+1，x+2，则由题意可得33m x ，()()22212n x x x =++++，然后由()118n m =-可求解．【详解】解：设这3个连续整数为x ，x+1，x+2，由题意得： 33m x ，()()22212n x x x =++++， ∴33m x -=，2365n x x =++， ∵()118n m =-，∴()()23336511893m m m --⨯+⨯+=-，化简得：2332700m m -+=，解得：1215,18m m ==，故答案为15或18．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．8．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数的平方恰好等于这个两位数，这个两位数是____．【答案】25或36．【分析】设个位数字为x ，那么十位数字是（x-3），这个两位数是[10（x-3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解．【详解】解：设个位数字为x ，那么十位数字是（x-3），这个两位数是10（x-3）+x ，依题意得：()2103,x x x =-+ ∴211300,x x -+=∴125,6,x x ==∴x-3=2或3．答：这个两位数是25或36．故答案为：25或36．【点睛】本题考查的是关于数字方面的一元二次方程的应用，掌握一个两位数的表示及根据题意列方程是解题的关键．9．三个连续偶数，平方和为56，则这三个数为______.【答案】2，4，6或6-，4-，2-【分析】设三个连续偶数分别为2n-2，2n ，2n+2根据题意列方程即可求解．【详解】解：设三个连续偶数分别为2n-2，2n ，2n+2，则()()()2222222256n n n -+++=21248n =解得：n=2±，当n=-2时，三个连续偶数为6-，4-，2-，当n=2时偶数为2，4，6．故答案为：2，4，6或6-，4-，2-．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键是掌握偶数的表示方法．10．如果一个数的相反数等于这个数的平方，这个数是______________.【答案】0或-1．【分析】根据题意得等量关系为：一个数的相反数=这个数的平方，列方程求解即可．【详解】解：设这个数为x ，-x = x 2x （x+1）=0，解得x 1=0，x 2=-1，故答案为：0或-1．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键．11．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，这个两位数等于它的个位数字的平方，则这个两位数是__________．【答案】25或36【分析】设这个两位数字的个位数字是x ，则十位数字是（x-3），则这个两位数为[10（x-3）+x]，然后根据一个两位数等于它的个位数字的平方即可列出方程，解方程就可以解决问题．【详解】解：设这个两位数字的个位数字是x ，则十位数字是（x-3），根据题意得：10（x-3）+x=x 2原方程可化为：x 2-11x+30=0，∴x 1=5，x 2=6，当x=5时，x-3=2，两位数为25；当x=6时，x-3=3，两位数为36；答：这个两位数是25或36．故答案为：25或36．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．12．对于符号“∇”，我们作如下规定：221a b a b ∇=+-，如22454511625140∇=+-=+-=，因此，(1)(2)-∇-=________；若312x ∇=，则x =______.【答案】4 2±【分析】根据221a b a b ∇=+-可得22(1)(2)(1)(2)1-∇-=-+--，进而可得22331x x ∇=+-=12，再解方程即可；【详解】由题意得22(1)(2)(1)(2)14-∇-=-+--=；∵2233112x x ∇=+-=，∴29112x +-=.∴24x =，2x =±.故答案为：4；2±.【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确新定义计算公式，正确得到方程．错因分析中等题.失分的原因是：1.不能根据定义的式子，推导下面式子的运算；2.没有掌握解一元二次方程的方法.13．有三个连续的自然数，已知其中最大的一个数比另外两个数的积还大1，那么这个最大的数是___．【答案】3【解析】根据最大的一个数为n+2，则另外两个数为n+1，n ，根据题意可得等量关系：n 和n+1的积+1=n+2，根据等量关系列出方程，再解即可.解：最大的一个数为n+2，则另外两个数为n+1，n ，由题意得：n （n+1）+1=n+2，解得：n=±1， ∵自然数为非负数，∴n=1，n+1=2，n+2=3，最大的数是3.故答案为3.14．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大3，而这个两位数字等于其数字之和的3倍，如果这个两位数的十位数字为x ，则方程可列为________．【答案】()()2210333x x x x ++=++【分析】如果设这个两位数的十位数字为x ，那么个位数字就应该是x 2+3，那么根据“这个两位数字等于其数字之和的3倍”可列出方程．【详解】设这个两位数的十位数字为x ，那么个位数字就应该是()23x +，依题意得()()2210333x x x x ++=++故答案为()()2210333x x x x ++=++.【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.三、解答题15．（1）解方程：2680x x -+=（2）一个两位数字，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，求这个两位数．【答案】（1）2x =或4；（2）63【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；（2）设个位数字为x ，则十位数字为(x +3)，根据这两个数字之积等于这个两位数的27列出一元二次方程，求解即可．【详解】解：（1）2680x x -+=，(2)(4)0x x --=，20x -=或40x -=，12x =，24x =；（2）设个位数字为x ，则十位数字为(x +3)，由题意得，()()231037x x x x +=++⎡⎤⎣⎦，即27600x x --=，解得，13x =，2207x =-（不合题意，舍去）， ∴十位数字为x +3＝6，答：这个两位数为63．【点睛】本题考查解一元二次方程与一元二次方程的应用，熟练掌握因式分解法与正确理解题意是解题的关键，注意应用题中要检验一元二次方程的解是否符合题意．16．李先生乘出租车去某公司办事，下车时，打出的电子收费单为“里程11千米，应收29.10元”.该城市的出租车收费标准如下表所示，请求出起步价N(N 12)<．【答案】起步价是10元．【分析】根据收费标准,将11千米分段计费,列出方程即可.【详解】解：依题意，得()()2225N 6311629.10N N +-⨯+-⨯=，整理，得2N 29.1N 1910-+=，解得1N 19.1=，2N 10=．由于N 12<，所以N 10=．答：起步价是10元．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,列方程是解题关键.17．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．【答案】24【分析】设十位上的数字为x ，则个位上的数字为（x+2），根据十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设十位上的数字为x ，则个位上的数字为（x+2），根据题意得：3x （x+2）=10x+（x+2），整理得：3x 2-5x-2=0，解得：x 1=2，x 2=13-（不合题意，舍去），∴x+2=4，∴这个两位数为24．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18．阅读探究有关个位数是5的整数的平方简便计算问题.观察下列算式：152=1×2×100＋25=225；252=2×3×100＋25=625；352=3×4×100＋25=1225……（1）请你写出952的简便计算过程及结果；（2）其实这种方法也可以推广到个位数是5的三位数的平方，证明略.① 请你写出1152的简便计算过程及结果.② 用计算或说理的方式确定9852－8952的结果末两位数字是多少？（3）已知一个个位数是5的整数的平方是354025，请用方程的相关知识求这个数.【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②0；（3）595．【分析】（1）结果=十位数字×（十位数字+1）×100+25；（2）①结果=前两位数字×（前两位数字+1）×100+25；②末两位数字都是25，那么可得相减后的末两位数字；（3）可设未知数位上的数字为x，那么x（x+1）×100+25=354025，求得正整数x，进而加上最后一位上的5即可．【详解】解：（1）952=9×10×100+25=9025；（2）①1152=11×12×100+25=13225；②因为9852的末两位为25，而8952的末两位也为25，所以9852-8952的末两位数字都为零；（3）笼统地设未知数位上的数为x，由题意有x（x+1）×100+25=354025，x（x+1）×100=354000，x（x+1）=3540，左边为相邻两整数的积，把3540“分解”为两个相邻整数，即3540=59×60，故 x=59．所以这个三位数为595．【点睛】考查规律性的数字问题及一元二次方程的应用；得到末尾数字是5的数的平方的计算规律是解决本题的关键．。

一元二次方程应用--数字问题

1、一个两位数的个位数字与
十位数字的平方和等于29，且
个位数字与十位数字之和为7，
则这个两位数
是 25或52
。
2、有一个两位数，它的十位数字比个位数字小２，它的十位上的数字与个位上的数字的积的３倍刚好等于这个两位数，求这个两位数。
课堂练习1、两个连续奇数的积是323，求这两个数。解：设较小的一个奇数为x，则另一个为x+2,
课堂练习2. 三个连续偶数，已知最大数与最小数的平方和比中间一个数的平方大332，求这三个连续偶数.
解：设中间一个偶数为x，则其余两个偶数分别为 (x2)和 (x2), 根据题意，得(x2)2+(x2)2 x2 332 整理，得 x2 324 x18 当x18时，x2 16, x2 20；当x= 18时，x2= 20, x2 16. 答：这三个连续偶数分别为16、18和20，或20、 18和16.
解：设原两位数的十位数字是x，则个位数字是6-x。由题意得：
(10x+6-x)[10(6-x)+x]=1008
根据题意列出方程即可 1、三个连续的奇数，最大数与最小数的
积比中间一个数的6倍多3，求这三个数。 2、两个连续整数的积为210，求这两个数。 3、两个连续偶数积为168，求这两个数。 4、已知两个数的和等于12，积等于32求这两个数。
数字问题
教学目标：
1、掌握一元二次方程解决数字问题，并能够根据问题的实际意义，检验结果的合理性（重点、难点）
2、理解将实际问题抽象为方程模型的模型，并能够运用所学知识解决问题
1、如果a ,b ,c 分别表示百位数字、十位数字、个位数字，这个三位数能不能写成abc 形式？为什么？

一元二次方程应用题 ------数字类

一元二次方程应用题 ----数字类
数字与方程
例题. 两个数的差等于4,积ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ于45,求这两个数.
解 : 设其中一个数为x, 根据题意, 得
x x 4 45 .
整理得x 4 x 45 0.
2
解得 x1 5 , x 2 9 . x 4 5 4 9, 或 x 4 9 4 5. 答 : 这两个数为 5 ,9 或 9 , 5 .
练习1一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它
的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.
练习2有一个两位数,它的十位数字与个位数字
的和是5.把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为736. 求原来的两位数.
练习3.三个连续偶数，已知最大数与最小
数的平方和比中间一个数的平方大332，
达标检测
1、两个连续奇数的积是323，求这两个数． 2、两个连续整数的积是210，求这两个数． 3、已知两个数的和是12，积为35，求这两个数．
4、有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数． 5、有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．
求这三个连续偶数.
小结（ 1 ）十位数字为 a ，个位数字为 b 的两位数是
10ab; （2）百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c的三位数是100a10bc.
（ 3 ）偶数个连续偶数（或奇数），一般可设中间两个为
(x1)和(x 1).
（4）奇数个连续偶数（或奇数，自然数），一般可设中间一个为 x. 如三个连续偶数，可设中间一个偶数为 x ，则其余两个偶数分别为 (x2) 和 (x+2) 又如三个连续自然数，可设中间一个自然数为x，则其余两个自然数分别为(x1)和(x 1).

一元二次方程应用题汇总(传染、增长率、面积、利润、球赛、数字等问题)

一元二次方程应用题分类汇总一、传播问题：1、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，求，，每轮感染中平均一台电脑能感染几台？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？2、有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?3、甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？二、增长率问题：平均增长（降低）率公式注意：（1）1与x的位置不要调换（2）解这类问题列出的方程一般用直接开平方法1. 某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程为_________________2. 某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为_____________3、雪融超市今年的营业额为280万元，计划后年的营业额为403.2万元，求平均每年增长的百分率？4、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价后，由每盒121元降到每盒100元，则这种药品平均每次降价的百分率为多少？5、我国土地沙漠化日益严重，西部某市2003年有沙化土地100平方公里，到2005年已增至144平方公里。

请问：2003至2005年沙化土地的平均增长率为多少？三、面积问题：1、一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？2、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。

一元二次方程应用数字问题

1. 有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位
与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。

2. 一个五位数最高位上的数字是2，如果把这个数字移到个位数字的右边，那么所得的数
比原来的数的3倍多489，求原数。

3. 一个两位数字，十位上的数字比个位上的小3,十位上的数字与个位上的数字的和是这个
两位数的1/4,求这个两位数。

4. 一个三位数，三个数位上的数字的和是17，百位上的数字比十位上的数字大7，个位上
的数字是十位上的数字的3倍，求这个三位数。

5. 一次数学测验中，小明认为自己可以得满分，不料卷子发下来一看得了96分，原来是
由于粗心大意把一个题目的答案的十位与个位上的数字写颠倒了，结果自己的答案比正确答案大36，而正确答案的个位数是十位数的2倍，正确答案是多少？
6. 将连续的奇数1，3，5，7，9…，排成如下的数表：
（1）十字框中的五个数的平均数与15有什么关系？
（2）若将十字框上下左右平移，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于315吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由.
37353331211191。

一元二次方程的应用题训练(数字问题)

一元二次方程的应用题训练（数字问题）一．选择题1．（2014秋•安顺期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为x，则方程为（）A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4B．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x+4C．x2+（x﹣4）2＝10x+x﹣4﹣4D．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x+4 2．（2015秋•咸丰县校级月考）有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为（）A．62B．44C．53D．353．（2009秋•自贡期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（）A．25B．36C．25或36D．﹣25或﹣36 4．（2009秋•新民市期中）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是（）A．不存在B．25C．36D．25或365．有一个三位数，其个位、十位、百位的数字是三个连续整数，并且个位数字与百位数字的平方和是十位数字的5倍．则这个三位数是（）A．321B．123C．321或123D．±123或±321 6．一个两位数比它的个位数字的平方小2．并且个位数字比十位数字大3．下列的各数中，是符合要求的两位数的是（）A．25B．36C．47D．597．（2015秋•诏安县期中）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，那么原数中较大的两位数是（）A．95B．59C．26D．628．（2012秋•赣榆县校级期中）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x，则方程为（）A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4B．x2+（x+4）2＝10x+x﹣4﹣4C．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x﹣4D．x2+（x+4）2＝10x+（x﹣4）﹣4二．填空题（共10小题）9．一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为．10．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是．11．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是．12．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为．13．一个两位数，十位数字比个位数字大1，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数少19，则这个两位数是．14．若一个两位正整数，它的个位数字与十位数的和是5，数字的平方和是17，求这个两位数．解：设这个两位数的十位数字是x，则它的个位数字为，所以这两位数是，根据题意，得．15．有两个正数，其中一个比另一个多81，将两数相乘时，算错了，使得乘积的十位数字少了4，再用较大的数去除错误的得数时，商为20，余数为62，求这两个数？解：设其中较小的数为x，则依据题意列方程为．16．已知一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于这个两位数，则这个两位数是．17．小雷在纸上写了一个两位数，这个两位数的个位数字比十位数字大1，个位数字的平方与十位数字的平方的和为13，则这个两位数是．18．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，设个位上的数字为x，列出关于x的方程：．三．解答题19．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数；若不能请说明理由．20．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原来的两位数．21．读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？22．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式（1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数．（2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm，面积为24cm2，求它的两条直角边的长．23．有一个两位数，它的个位数字比十位数字大3，个位数字与十位数字的平方和比这两个数大18，求这个两位数．24．已知有一个两位数，它的十位数字比个位数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．25．阅读探究有关个位数是5的整数的平方简便计算问题．观察下列算式：152＝1×2×100+25＝225；252＝2×3×100+25＝625；352＝3×4×100+25＝1225…（1）请你写出952的简便计算过程及结果；（2）其实这种方法也可以推广到个位数是5的三位数的平方，证明略．①请你写出1152的简便计算过程及结果．②用计算或说理的方式确定9852﹣8952的结果末两位数字是多少？（3）已知一个个位数是5的整数的平方是354025，请用方程的相关知识求这个数。

一元二次方程应用题精选含答案

一元二次方程应用题精选一、数字问题1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

2、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．二、销售利润问题3、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?三、平均变化率问题增长率（1）原产量+增产量=实际产量．（2）单位时间增产量=原产量×增长率．（3）实际产量=原产量×（1+增长率）．6. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？7. 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？四、形积问题8、有一块长方形的铝皮，长24cm、宽18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高．9、如图，在一块长为32m，宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地要使耕地的面积是540m2，求小路宽的宽度．五、围篱笆问题10、如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ），用80m 长的篱笆围一个矩形场地． ⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?六、相互问题（传播、循环）11、（1）参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?(2)要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?(3) 某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一张留作纪念，全班共送了3080张照片．如果该班有x 名同学，根据题意可列出方程为?12、有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感．（1）求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患上流感？第21题图13、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？七.行程问题：14、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。

一元二次方程的应用之数字问题

答：原来的两位数为35或53.
例2：有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的2倍多5，求这个两位数。
例3.两个连续奇数的积是 323，求这两个数。
解：设较小的一个奇数为x，则另一个为 x+2, 根据题意得：x(x+2)=323 整理后得：x2+2x-323=0 解这个方程得：x1=17 x2=-19 由x1=17 得：x+2=19 由 x2=-19 得：x+2=-17 答：这两个数奇数是17，19，或者-19，-17 。
问：如果设这两个数奇数中较小的一个为x-1, 另一个为x+1,这道题该怎么解？
巩固练习：
1、两个连续整数的积是210，则这两个数是 14，15或 -14，-15 。 2、已知两个数的和等于12，积等于32，则这两个数是 4，8 。 3、一个六位数，低位上的三个数字组成的三位数是a ,高位上的三个数是b，现将 a，b互换，得到的六位数是 _____________。 1000a+b
练习：有一个两位数，它的两个数字之和是8，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以原来的数就得到1855，求原来的两位数。
解：设原来的两位数的个位数为 x, 则十位上的数为8-x，根据题意得：
［10(8-x)+x］［10x+(8-x)］=1855
整理后得：
x2-8x+15=0
x2=5
解这个方程得：x1=3
数字问题
复习：
表示一个两位数的方法： (1) 已知一个两位数，个位数字是3，十位数字是5，这个数是 . (2) 上题中 3 表示什么意思； 5表示什么意思。 (3) 已知一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，这个数是 .个位与十位交换位置后表示的数是。

初中数学一元二次方程的应用——数字问题

初中数学一元二次方程的应用——数字问题2019年4月9日（考试总分：80 分考试时长： 120 分钟）一、单选题（本题共计 4 小题，共计 16 分）1、（4分）两数的和比m少5，这两数的积比m多3，这两数若为相等的实数，则m等于（）A． 13或1 B．－13 C． 1D．不能确定2、（4分）若两个连续整数的积是20,那么这两个整数的和是 ( )A． 9 B． -9 C． 9或-9 D． 12或-123、（4分）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为( )A． a2+(a-4)2=10(a-4)+a-4 B． a2+(a+4)2=10a+a-4-4C． a2+(a+4)2=10(a+4)+a-4 D． a2+(a-4)2=10a+(a-4)-44、（4分）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．20（1+2x）=28.8B．28.8（1+x）2=20C．20（1+x）2=28.8D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8二、填空题（本题共计 1 小题，共计 4 分）5、（4分）已知三个连贯奇数，其中较大的两个数的平方和比最小数的平方的3倍小25，则这三个数分别为_________________________.三、解答题（本题共计 5 小题，共计 60 分）6、（12分）根据下列问题，列出关于的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式有一个三位数，它的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字小，三个数字的平方和的倍比这个三位数小，求这个三位数．如果一个直角三角形的两条直角边长之和为，面积为，求它的两条直角边的长．7、（12分）一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？8、（12分）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数．9、（12分）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，求这个两位数．10、（12分）五个连续整数－2，－1，0，1，2满足下面关系：（－2）2+（－1）2+02=12+22，即前三个连续整数的平方和等于后两个连续整数的平方和，你能否再找到五个连续整数，使它们也具有上面的性质？一、单选题（本题共计 4 小题，共计 16 分）1、（4分）【答案】A【解析】设相等的实数为x，因为两数的和比n少5，所以n＝5＋2x，因为两数的积比n多3，所以n＝ x2－3，因此联立得 x2－3＝5＋2x，即 x2－2x－8＝0，所以(x－4)(x ＋2)＝0，即x＝4或﹣2，又因为n＝5＋2x，所以n＝13或1，选A.2、（4分）【答案】C【解析】设这两个连续整数分别是n，n+1，由题意得，n(n+1)=20,解之得，n1=4,n2=-5,∴这两个连续整数分别是4,5或-5，-4，∴这两个整数的和是4+5=9或-5-4=-9.故选C.3、（4分）【答案】C【解析】依题意得：十位数字为：a+4，这个数为：a+10(x+4)，这两个数的平方和为：a2+(a+4)2，∵两数相差4，∴a2+(a+4)2=10(a+4)+a−4.故选：C.4、（4分）【答案】C.【解析】设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次”，可得方程20（1+x）2=28.8．故答案选C．二、填空题（本题共计 1 小题，共计 4 分）5、（4分）【答案】15，17，19或-3，-1，1【解析】设3个连续奇数为n，n+2，n+4，依题意有3n2-25=（n+2）2+（n+4）2，解得n=15或n=-3，当n=15时这3个奇数为15，17，19；当n=-3时这3个奇数为-3，-1，1．故答案是：15，17，19或-3，-1，1．三、解答题（本题共计 5 小题，共计 60 分）6、（12分）【答案】（1）；（2）．【解析】设十位数字为，则个位数字为，百位数字为，根据题意得：，化简为；设其中一条直角边的长为，则另一条直角边为，根据题意得，整理得：．7、（12分）【答案】这个两位数是36或25.【解析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x-3)，由题意，得x2=10(x-3)+x.解得x1=6，x2=5.当x=6时，x-3=3；当x=5时，x-3=2.答：这个两位数是36或25.8、（12分）【答案】x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4，一般形式为：2x2－19x+24 =0．【解析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为：x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4整理得：2x2－19x+24=0．9、（12分）【答案】62.【解析】设原数十位数字为x，个位数字为(x－4)，则原数为10x＋(x－4)；交换位置后新数为10(x－4)＋x.由题意得[10x＋(x－4)]×[10(x－4)＋x]＝1612，整理得x2－4x－12＝0，解得x1＝6，x2＝－2.数字－2不合题意，应舍去，∴x＝6，x－4＝2，∴原来这个两位数是62.10、（12分）【答案】10，11，12，13，14．【解析】设这五个连续整数为x，x+1，x+2，x+3，x+4，∴x2+（x+1）2+（x+2）2=（x+3）2+（x+4）2，移项得x2=（x+3）2－（x+2）2+（x+4）2－（x+1）2，∴整理得x2－8x－20=0，∴x1=－2，x2=10，∴这五个连续整数是10，11，12，13，14．。

数学教案一元二次方程的应用(6篇)

数学教案一元二次方程的应用（6篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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一元二次方程的应用(7种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

一元二次方程的应用（7种题型）【知识梳理】1、数字问题：对于数的应用题主要是要知道数的表示．例如：一个三位数个位、十位、百位分别为x、y、z，那么这个三位数则可以表示为10010x y z++．2、增长率问题基本公式：()21a x b+=，a表示增长前的数，x表示增长率，b表示增长后的数，要列出这类方程关键在于找出a、b．如果是降低率，则为()21a x b−=．3、利润问题：总利润=单件利润⨯总件数；总利润=总售价−总成本价．根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可．4、几何面积问题：x表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来．5、双循环问题送贺卡原则是我送你一张你也要送我一张，所以对于每个人都送出去了1x−张，总共有x个人所以列式为()1930x x−=；6、单循环问题握手以及单循环比赛是不重复进行的，但我们可以假设它重复进行，所以列式为(1)1052x x−=．这两类问题具有共同的特征，统称为传播问题．7、利率问题：利息＝本金×年利率×期数×（1-利息税）；本利和＝本金+利息＝本金+本金×年利率×期数×（1-利息税）＝本金×[1+年利率×期数×（1-利息税）] ．【考点剖析】题型一：数字问题例1.有一个两位数等于它各位数字积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．【答案】24．【解析】设个位数字为x ，则十位数字是2−x ，由题意可得：()()x x x x 23210−=+−，整理可得：0201732=+−x x ，解：41=x ，352=x （不是整数，舍去）∴这个两位数为24．【总结】本题主要考查一元二次方程在数字问题中的运用．【变式1】有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数．【答案】36．【解析】设个位数字为x ，则十位数字是3−x ．根据题意可得：()()32310−=+−x x x x ，整理得：0301722=+−x x ，()()0652=−−x x ，解得：61=x ，252=x （不是整数，舍去）．答：这个两位数为36．【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题．【变式2】已知两个连续奇数的积是323，求这两个数．【答案】17，19或1719−−，．【解析】解：设这两个连续奇数为2x x +，，则(2)323x x +=，整理得：223230x x +−=，解得：121719x x ==−，，所以12+219+217x x ==−，．答：这两个数是17，19或1719−−，．【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题．【变式3】有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．【答案】原来的两位数是35或53．【解析】设个位数字为x ，则十位数字是x −8．根据题意可得：()[]()[]1855810810=−++−x x x x ，整理得：01357292=+−x x ．分解得：()()05279=−−x x ，解得：31=x ，52=x ．答：原来的两位数是35或53．【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题．题型二：增长率问题例2．受疫情影响某厂今年第一季度的产值只有200万元，为帮助企业渡过难关，政府出台了很多帮扶政策，在当地政府的暖心相助下，该厂第三季度的总产值提高到500万元．若平均每季度的增产率是x ，则可以列方程（）A ．()20012500+=xB ．()50012200−=xC ．()22001500+=xD ．()25001200−=x 【答案】C【分析】若平均每季度的增产率是x ，经过两次增长后应该为()22001x +，建立方程即可．【详解】解：若平均每季度的增产率是x ，则可以列方程()22001500+=x 故本题选择C【点睛】本题是一元二次方程的应用问题当中的变化率问题，解题时找到等量关系是关键．【变式1】某口罩加工厂今年一月口罩产值达80万元，第一季度总产值达340万元，问二、三月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率为x ，则根据题意可得方程为（）A ．280(1)340x +=B ．8080(1)80(12)340x x ++++=C ．380(1)340x +=D ．28080(1)80(1)340x x ++++= 【答案】D【分析】由一月份口罩产值以及月平均增长率分别求出二月份、三月份的口罩产值，再根据第一季度总产值达340万元列方程即可．【详解】二月份口罩产值：80(1)x +万元，三月份口罩产值：280(1)x +万元，∴28080(1)80(1)340x x ++++=．故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，理解增长率的概念并灵活运用是解题关键．【变式2】某商场今年一月份销售额100万元，二月份销售额下降10%，进入3月份该商场采取措施，改革营销策略，使日销售额大幅上升，四月份的销售额达到129.6万元，求三、四月份平均每月销售额增长的百分率．【答案】20％【解析】三、四月份平均每月销售额增长的百分率是x ，则根据题意可得：()()6.12911011002=+−x ％，解：2.0=x （负值舍去）．答：三、四月份平均每月销售额增长的百分率是20％．【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决增长率的问题．【变式3】某工厂1月份产品数是50万件，要求第1季度总产品数达到183.705万件，若每月平均增长率相同，求该工厂每月的平均增长率．（只列方程不求解）【答案】设该工厂每月的平均增长率是x ，则根据题意可得：()()705.183********=++++x x ．【解析】注意第一季度为1、2、3月份产品数之和．【变式4】某中学读书社对全校600名学生图书阅读量（单位：本）进行了调查，第一季度全校学生人均阅读量是6本，读书社人均阅读量是15本．读书社人均阅读量在第二季度、第三季度保持一个相同的增长率x ，全校学生人均阅读量第三季度和第一季度相比，增长率也是x ，己知第三季度读书社全部40名成员的阅读总量将达到第三季度全校学生阅读总量的25%，求增长率x 的值．【答案】增长率x 的值为50%【分析】根据“第三季度读书社全部40名成员的阅读总量将达到第三季度全校学生阅读总量的25%”列出方程即可求出结论．【详解】解：由题意可得40×15（1＋x ）2=600×6（1＋x ）×25%整理，得（x ＋1）（x －0.5）=0解得：1=0.5x =50%，21x =−（不符合实际，舍去）答：增长率x 的值为50%．【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题关键．题型三：利润问题例3．某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P (件)与每件的销售价X (元)满足关系：1002P X =−，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？【答案】每件商品的售价应定为40元，每天要售出这种商品20件．【解析】由题意列方程得：()()200210030=−−X X ，整理可得：01600802=+−X X ，解得：40=X20801002100=−=−=X P答：每件商品的售价应定为40元，每天要售出这种商品20件．【总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析．【变式1】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产X 只熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R 、P 与X 的关系式分别为=500+30R X ，1702P X =−．（１）当日产量为多少时每日获得的利润为1750元？（２）若可获得的最大利润为1950元，问日产量应为多少？【答案】（1）当日产量为25时每日获得的利润为1750元；（2）当日产量为35时每日获得的利润为1950元．【解析】设利润为W 元，则()()50014023050021702−+−=+−−=x x x x x W ．当每日获得的利润为1750元时，则1750=W ．则175050014022=−+−x x ，解得：251=x ，452=x ．∵每日最高产量为40只， ∴45=x 舍去． ∴当日产量为25时每日获得的利润为1750元．（2）当每日获得的利润为1950元时，则1950=W ，则195050014022=−+−x x ，解得：3521==x x ． ∴当日产量为35时每日获得的利润为1950元．【总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析．【变式2】某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件．为了减少库存量，且在月内赚取8000元的利润，售价应定为每件多少元？【答案】60元．【解析】设这种衬衫每件涨价x 元．则根据题意可得：()()8000105004050=−−+x x ，整理可得：0300402=+−x x ，解得：101=x ，302=x ．当101=x 时，50010400x −=；当302=x 时，50010200x −=．因为要减少库存量，所以售价应定为每件50+10=60元．【总结】本题中主要考查对减少库存的理解．【变式3】某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【答案】5元．【解析】设这种衬衫每件涨价x 元．则根据题意可得：()()60002050010=−+x x ，整理可得：050152=+−x x ，解得：101=x ，52=x ，要使顾客得到实惠，需涨价少，则5=x ．∴每千克应涨价5元．【总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析．【变式4】服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【答案】20元．【解析】设每件童装应降价x 元，则根据题意可得：()()120022040=+−x x ，整理可得：0200302=+−x x ，解得：101=x ，202=x ．要减少库存，则要使()x 220+的值比较大，则20=x ．∴每件童装应降价20元．【总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析．【变式5】工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元，按标价的八五折销售共工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件，若每件工艺品降价1元，则每天可售出该工艺品4件，如果既要每天要获得的利润4800元，又要使消费者得到实惠，问每件工艺品降价多少元出售？（3）请商场如何定价可以使每天获得最高利润？【答案】（1）该商品的每件标价为200元，进价为155元；（2）每件工艺品降价15元出售；（3）当工艺品定价为190元，每天获得的利润最大，最大利润4900元【分析】（1）设标价为x，则进价为x-45，根据“标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等”列方程求解即可；（2）设工艺品降价m元，根据“总利润=单件利润×件数”列出方程即可求出结论；（3）设工艺品定价为a元，可根据总利润=单件利润×件数、配方法及平方的非负性即可求出结论．【详解】解：（1）设标价为x，则进价为x-45，8[0.85x-(x-45)]=12[x-35-(x-45)]，整理得360-1.2x=120，即1.2x=240，解得：x=200，则每件进价为：200-45=155（元）答：该商品的每件标价为200元，进价为155元．（2）设工艺品降价m元，则(45-m)(100+4m)=4800解得：m1=5，m2=15∵要使消费者得到实惠∴m=15答：每件工艺品降价15元出售．（3）设工艺品定价为a元，总利润为：(a－155)[ 100+4（200－a）]=-4a2＋1520a －139500=-4(a-190)2+4900，∵(a-190)2≥0∴-4(a-190)2≤0∴-4(a-190)2+4900≤4900，即总利润最大值为4900，此时a=190答：当工艺品定价为190元，每天获得的利润最大，最大利润4900元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用配方法和平方的非负性求最值．题型四：几何面积问题：例4．某建筑工程队，在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围成一个所占地面为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边，按下列要求，分别求长方形的两条邻边的长.（1）长方形的面积是1152平方米（2）长方形的面积是1800平方米（3）长方形的面积是2000平方米【答案】（1）长方形的长为96米，宽为12米或长为48米，宽为24米.（2）长方形的长为60米，宽为30米.（3）此时的长方形不存在.【分析】本题可根据题意分别用x 表示垂直于墙的一边的长或平行于墙的一边的长，再根据面积公式列出方程求解即可．【详解】设垂直于墙的一边的长为x 米，则平行于墙的一边为（120-2x ）米．（1）根据题意得x （120-2x ）=1152．2605760x x −+=()()12480x x −−=解得1212,48x x ==当12x =时，120212021296x −=−⨯=；当48x =时，120212024824x −=−⨯=；答：长方形的长为96米，宽为12米或长为48米，宽为24米.（2）x （120-2x ）=1800212021800x x −=2212018000x x −+=2609000x x −+=()2300x −=，解得30x =当30x =时，120212023060x −=−⨯=答：长方形的长为60米，宽为30米.（3）x （120-2x ）=2000212022000x x −=2212020000x x −+=26010000x x −+=∵()26041000360040004000=−−⨯=−=−△＜∴方程无实数根.故此时的长方形不存在.【点睛】本题考查的是一元二次方程的运用，要注意靠墙的那面不需要栅栏，不要把平行于墙的一边算成是12（120-2x ）．【变式1】如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米？【答案】宽为10米，长为15米．【解析】设鸡场的宽为x ，则长为x x 2352233−=−+．根据题意可得：()150235=−x x ，整理可得：()()010152=−−x x ，解得：2151=x ，102=x ．当215=x 时，1820215235235>=⨯−=−x ，舍去．∴宽为10米，长为15米．【总结】本题主要考查一元二次方程在几何图形面积中的应用，注意对条件的分析．【变式2】如图利用长25米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地做鸡场，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上和中间用篱笆的隔离各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆的长度为51米，为了使这个长方形ABCD 的面积为216平方米，求,AB BC 边各为多少米？【答案】AB 边为12米，BC 边为18米【分析】设AB 的长为x 米，根据题意列出一元二次方程，求解并找到符合题意的解即可．【详解】设AB 的长为x 米，根据题意得()5133216x x +−=，解得126,12x x ==，当6x =时，513363625BC =+−⨯=>，不符合题意，故舍去；当12x =时，5133121825BC =+−⨯=<，符合题意，∴12,18AB BC ==，∴AB 边为12米，BC 边为18米．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程并找到合适的解是关键．【变式3】如图，要建一个面积为 140 平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为 18 米，在与墙垂直的一边要开一扇 2 米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为 32 米，那么这个仓库的宽和长分别是多少米？【答案】长和宽分别为14米和10米.【分析】首先设这个仓库的长为x 米，则宽表示为1(322)2x +−，再根据面积为 140 平方米的仓库可得1(322)1402x x +−=，再解一元二次方程即可．【详解】解：设这个仓库的长为x 米，由题意得：1(322)1402x x +−=，解得：120x =，214x =，这堵墙的长为 18 米，20x ∴=不合题意舍去，14x ∴=，宽为：1(32214)102⨯+−=（米)．答：这个仓库的宽和长分别为 14 米、 10 米．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽．【变式4】如图，某小区有一块长为30m ，宽为24m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为2594m ，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．【答案】人行通道的宽度为1米．【分析】设人行通道的宽度为x 米，将两块矩形绿地合在一起长为(30-3x)m ，宽为(24-2x)m ，根据矩形绿地的面积为594m2，即可列出关于x 的一元二次方程，解方程即可得出x 的值，经检验后得出x=21不符合题意，此题得解．【详解】解：设人行通道的宽度为x 米，将两块矩形绿地合在一起长为()303x m −，宽为()242x m −，由已知得：()()303x 242x 594−⋅−=，解得：1x 1=，2x 21=，当x 21=时，303x 33−=−，242x 18−=−，不符合题意舍去，即x 1=．答：人行通道的宽度为1米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出关于x 的一元二次方程是解题的关键．【变式5】如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽【答案】花边的宽为1米.试题分析：可以设花边的宽为x .【详解】解：设花边的宽为x 米，列方程为(26)(23)40x x ++=，解之得12111,2x x ==−（舍去）答：花边的宽为1米. 考点：实际问题与一元二次方程题型五：双循环问题例5．圣诞节昂立师生互送贺卡，总共送出930张，求昂立共有师生多少人？【答案】31人．【解析】设昂立共有师生x 人，由题意可得：()9301=−x x整理得：09302=−−x x ，解得：311=x ，302−=x （负值舍去）．答：昂立共有师生31人．【总结】本题主要考查互送卡片问题，由于每人都要送到，因此不用除2．【变式1】生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？【答案】14．【解析】设这个小组共有x 名同学，由题意可得：()1821=−x x整理得：01822=−−x x ，解得：141=x ，132−=x （负值舍去）．答：这个小组共有14名同学．【总结】本题主要考查传播问题中的互送问题，由于每个成员各赠送一件，因此不用除2．【变式2】某小组每人给他人送一张照片，全组共送出132张，那么这个小组共有___________人．【答案】12【分析】先找出题目中的等量关系为：人数×（人数-1）=132，通过列一元二次方程计算求得正数解即可．【详解】解：设这个小组共有x 人．x （x-1）=132，解得x1=12，x2=-11（不合题意，舍去）．故答案为: 12．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，得到照片总张数的等量关系是解决本题的关键，重点是理解2个人之间要互送出2张照片．题型六：单循环问题例6．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？【答案】10．【解析】设共有x 个队参加比赛，由题意可得：()4521=−x x整理得：0902=−−x x ，解得：101=x ，92−=x （负值舍去）．答：共有10个队参加比赛．【总结】本题主要考查传播问题中的比赛问题，由于每两队之间都进行一场比赛，因此不用除2．【变式1】一个小组同学互相握手，规定每个同学都与其他同学握一次手，共计握手120次，设小组共有x 人，则可列出方程___________________ ．【答案】()11202x x −=【分析】先根据题意可得每个人都要与()1x −个人握一次手，再根据“共计握手120次”建立方程即可得．【详解】由题意，可列方程为()11202x x −=，故答案为：()11202x x −=．【点睛】本题考查了列一元二次方程，理解题意，正确找出等量关系是解题关键．【变式2】某校八年级举行足球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，结果一共进行了6场比赛，则八年级共有_____个班级．【答案】3．【分析】设共有x 个班级参加比赛，根据共有45场比赛列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设共有x 个班级参加比赛，根据题意得：(1)62x x −=，整理得：260x x −−=，即(3)(2)0x x −+=，解得：3x =或2x =−（舍去）．则共有3个班级球队参加比赛．故答案为：3．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系“需安排6场比赛”．【变式3】首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与其它棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共下了105场，那么参加第一轮比赛的共有几名选手？【答案】21．【解析】设参加第一轮比赛的共有x 名选手由题意可得：()10521=−x x ，整理得：02102=−−x x ，解得：115x =，214x =−（负值舍去）．答：参加第一轮比赛的共有21名选手．【总结】本题主要考查传播问题中的比赛问题，由于每队只参加一场，因此要除2．题型七：利率问题例7．某人想把10000元钱存入银行，存两年．一年定期年利率6%，两年定期年利率为6.2%．方式一：采用一年期的利率存一年后到期取出再存一年；方式二：一次性存两年再取出，问两种方式哪种划算？【答案】方式一划算．【解析】方式一：两年后可取出：()1123661100002=+％；方式二：两年后可取出：()100622.6110000=+％；∵11236>10062，∴方式一划算．【总结】本题主要考查利率的应用，注意对两种不同存款方式的区分．【变式1】某人将1000元人民币按一年期存入银行，到期后将本金和利息再按一年期存入银行，两年后本金和利息共获1077.44元，则这种存款的年利率是多少？(注：所获利息应扣除5%的利息税，1.038=）．【答案】4％．【解析】设这种存款的年利率是x，由题意可列方程：()44.107795110002=+x％，则()07744.19512=+x％，解：038.1951±=+x％（负值舍去），04.0=x．答：这种存款的年利率是4％．【总结】注意要扣除利息税，则第一年的表达式为()x％9511000+，而不是()x+11000．【变式2】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本利和全部取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本利和共530元，求第一次存款时的年利率，只列式不计算．（不计利息税）【答案】设第一次存款时的年利率为x，则可列方程为：()[]()53090150011000=+−+xx％．【解析】注意年利率的变化．【变式3】李立购买了1500元的债券，定期1年，到期兑换后他用去了435元，然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年（利率不变），再到期后他兑换得到1308元，求这种债券的年利率．【答案】9％．【解析】设这种债券的年利率为x，则可列方程为()[]()1308143511500=+−+xx，化简可得：0818555002=−+xx，分解可得：()()0910095=−+xx，解：591−=x（负值舍去），09.02=x．答：这种债券的年利率为9％．【总结】本题中需要注意对题意得理解以及解方程的方法．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2020秋•浦东新区校级月考）同学聚会，大家见面，所有人互赠小礼物，共有礼物90件．设x人参加聚会，列方程为（）A．B．C．x（x+1）＝90D．x（x﹣1）＝90【分析】此题利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x人参加聚会，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了x（x﹣1）件礼物解决问题即可．【解答】解：有x人参加这次聚会，每两人都互赠了一件礼物，则每人有（x﹣1）件礼物，依题意，得x（x﹣1）＝90．故选：D．【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程．理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都互赠了一件礼物”的条件，类似于球类比赛的双循环赛制．2．（2022秋•宝山区校级期中）容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精多少升（）A．10或96B．10C．96D．26【分析】设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液（x+14）升，根据倒出两次后容器内纯酒精还剩下60×升，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液（x+14）升，根据题意得：•[60﹣（x+14）]＝60×，解得：x1＝10，x2＝96（不符合题意，舍去），∴第一次倒出了酒精10升．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2022秋•宝山区期中）某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价销售，降价后的单价为16.2元，且两次降价的百分比均为x，那么可列方程为（）A．16.2（1﹣x）2＝20B．20（1﹣x）2＝16.2C．20（1﹣x）2＝20﹣16.2D．20（1﹣2x）＝16.2【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分比）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：20（1﹣x）2＝16.2，故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．（2022春•庐阳区校级期中）如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．如果要使整幅挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．x2+130x﹣1400＝0B．x2+65x﹣350＝0C．x2﹣130x﹣1400＝0D．x2﹣65x﹣350＝0【分析】根据矩形的面积＝长×宽，得出本题的等量关系是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）＝整个挂图的面积，由此可得出方程．【解答】解：依题意，设金色纸边的宽为xcm，（80+2x）（50+2x）＝5400，故选：B．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．5．（2022秋•徐汇区校级期末）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）＝18B．x2﹣3x+16＝0C．（x﹣1）（x﹣2）＝18D．x2+3x+16＝0【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式可列出方程．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）＝18，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．6．（2021秋•松江区期末）某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为2100棵．若这个百分数为x．则由题意可列方程为（）A．300（1+x）2＝2100B．300+300（1+x）2＝2100C．300（1+x）+300（1+x）2＝2100D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝2100【分析】首先表示出各年栽种果树棵数，进而得出方程即可．【解答】解：设这个百分数为x，根据题意得出：300+300（1+x）+300（1+x）2＝2100，故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，分别表示出各年的栽种数量是解题关键．二．填空题（共12小题）7．（2023春•奉贤区期末）某品牌新能源汽车的某款车型售价为30万元，连续两次降价后售价为24.3万元，假如每次平均降价的百分率都为x，那么可列方程为．【分析】利用连续两次降价后的售价＝原价×（1﹣每次平均降价的百分率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得：30（1﹣x）2＝24.3．故答案为：30（1﹣x）2＝24.3．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．（2022秋•奉贤区期中）如图，用33米长的竹篱笆一边靠墙（墙长18米）围一个长方形养鸡场，墙的对面有一个2米宽的门，围成的养鸡场的面积为150平方米，设垂直于墙的长方形的宽为x米，则可列出方程为．【分析】根据各边之间的关系，可得出长方形的长为（33+2﹣2x）米，根据围成的养鸡场的面积为150平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵竹篱笆的总长度为33米，且垂直于墙的长方形的宽为x米，∴垂直于墙的长方形的长为（33+2﹣2x）米，依题意得：x（33+2﹣2x）＝150．故答案为：x（33+2﹣2x）＝150．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（2023春•浦东新区期末）有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并且十位上的数的平方比。

一元二次方程的应用-第4课时-数字+营销+动态几何问题

实际问题与一元二次方程 (第4课时)数字问题+营销问题+动态几何问题导学探究：典例探究：一元二次方程的应用——营销问题（“每每型”问题）每每型问题指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，关键是找出两个“每次”代表的数量，并用未知数表达出来，然后根据等量关系列出方程求解．1．一元二次方程的应用——数字问题【例1】（2014秋•冠县校级期末）一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，求这个两位数．【解析】设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），则这个两位数为[10（x﹣3）+x]，然后根据一个两位数等于它的个位数字的平方即可列出方程求解．解：设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），根据题意得10（x﹣3）+x=x2原方程可化为：x2﹣11x+30=0，∴x1=5，x2=6，当x=5时，x﹣3=2，两位数为25；当x=6时，x﹣3=3，两位数为36.答：这个两位数是25或36．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．练1．练1 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.【解析】设这个两位数字的个位数字为x，则十位数字为（x-2），则这个两位数为10（x-2）+x，然后根据这个两位数等于其数字之积的3倍列方程，并解方程即可.解：设这个两位数字的个位数字为x，则十位数字为（x-2）.根据题意，得10（x-2）+x=3x（x-2），原方程可化为：3x2-17x+20=0,因式分解，得（3x-5）（x-4）=0，解得x1=53，x2=4.因为x为整数，所以x=53不符合题意，x=4.10（x-2）+x=24，所以这个两位数是24.点评：本题考查了一元二次方程的应用中的数字问题.注意：在求得解后，要进行实际意义的检验，舍去不符合题意的解.练2．练2（2015•河北模拟）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如：把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数2，则m的值是（）A．3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3或﹣1【解析】按照相应的运算方法与顺序，让得到的含m的一元二次方程的结果为2，列式求值即可．解：由题意得：m2+（﹣2m）﹣1=2，m2﹣2m﹣3=0，（m﹣3）（m+1）=0，解得m1=3，m2=﹣1．故选：D．点评：考查一元二次方程的应用；理解新定义的运算方法是解决本题的关键．2．一元二次方程的应用——营销问题【例2】（2015•乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？【解析】设降价x元，表示出售价和销售量，列出方程求解即可．解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意，得（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，解得x1=1，x2=4，又顾客得实惠，故取x=4，定价为：60-4=56（元），答：应将销售单价定为56元．点评：本题考查了一元二次方程应用，从题中找到关键描述语，并找出等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．练3．（2015•淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【解析】（1）销售量=原来销售量﹣下降销售量，据此列式即可；（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可．解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20=100+200x斤；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）=300，解得：x=或x=1，∵每天至少售出260斤，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．点评：本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．3．一元二次方程的应用——动态几何问题【例3】（2015春•寿县校级月考）如图△ABC，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？（2）△PBQ的面积会等于10cm2吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．【解析】（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．先用含x的代数式分别表示BP和BQ的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可求出时间；（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2．根据三角形的面积公式，列出关于y的一元二次方程，根据△=b2﹣4ac进行判断．解：（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．∵AP=1•x=x，BQ=2x，∴BP=AB﹣AP=6﹣x，∴S△PBQ =×BP×BQ=×（6﹣x）×2x=8，∴x2﹣6x+8=0，解得：x=2或4，即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2.（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2，则S△PBQ =×（6﹣y）×2y=10，即y2﹣6y+10=0，因为△=b2﹣4ac=36﹣4×10=﹣4＜0，所以△PBQ的面积不会等于10cm2．点评：本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示BP和BQ的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解并作出判断．练4（2015春•慈溪市校级月考）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：【解析】（1）设点B将向外移动x米，即BB1=x，B1C=x+0.7，根据勾股定理求出A1C=AC﹣AA1=﹣0.4=2．在Rt△A1B1C中，由勾股定理得到B1C2+A1C2=A1B12，依此列出方程方程（x+0.7）2+22=2.52，解方程即可；（2）设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，根据勾股定理可得（x+0.7）2+（2.4﹣x）2=2.52，再解即可．解：（1）设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=﹣0.4=2．而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B12得方程（x+0.7）2+22=2.52，解方程得x1=0.8，x2=﹣2.2（不合题意舍去），∴点B将向外移动0.8m．故答案为（x+0.7）2+22=2.52，0.8，﹣2.2（不合题意舍去），0.8；（2）有可能．设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有（x+0.7）2+（2.4﹣x）2=2.52，解得：x1=1.7或x2=0（不合题意舍去）．故当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B 向外移动的距离有可能相等．点评：本题主要考查了一元二次方程的应用及勾股定理的应用，根据题意得出关于x的一元二次方程是解答此题的关键．夯实基础一、选择题1．已知两数之差为4，积等于45，则这两个数是（）A．5和9 B．﹣9和﹣5 C．5和﹣5或﹣9和9 D．5和9或﹣9和﹣52．（2014•鄂城区校级模拟）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低（）元．A．0.2或0.3 B．0.4 C．0.3 D．0.23. 如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色形由3个正方形组成，第2个黑色形由7个正方形组成，那么组成第12个黑色形的正方形个数是（）A．44 B．45 C．46 D．47．二、填空题4．（2014秋•娄底校级期末）若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是______．5．（2015•东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．据此规律计算：每件商品降价_____元时，商场日盈利可达到2100元．三、解答题6．（2015•谷城县模拟）怎样用一条长40cm的绳子围成一个面积为96cm2的矩形？能围成一个面积为102cm2的矩形吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由．7．（2015春•江阴市期末）某大学生利用暑假社会实践参与了一家网店经营，该网店以每个20元的价格购进900个某新型商品．第一周以每个35元的价格售出300个，第二周若按每个35元的价格销售仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个）．（1）若第二周降低价格1元售出，则第一周，第二周分别获利多少元？（2）若第二周单价降低x元销售一周后，商店对剩余商品清仓处理，以每个15元的价格全部售出，如果这批商品计划获利9500元，问第二周每个商品的单价应降低多少元？8．（2014•江西模拟）等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P 点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．9.（2015春•汕头校级期中）如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D 移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t=1秒时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t= 以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）夯实基础答案：一、选择题1．【解析】设其中一个数是x，另一个数是（x+4），依题意列出方程．解：设其中一个数是x，另一个数是（x+4），则x（x+4）=45，整理，得（x+2）2=49，x+2=±7，解得 x1=5，x2=﹣9．则x+4=9或x+4=﹣5．故这两个数是5、9或﹣9、﹣5．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．2．【解析】设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每千克的利润为：（3﹣2﹣x），由于这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售出数量为：200+千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量﹣固定成本=200．解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．根据题意，得（3﹣2﹣x）（200+）﹣24=200．解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．∵200+＞200+，∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元．故选：C．点评：本题考查了一元二次方程的应用，通过生活实际较好地考查学生“用数学”的意识．注意题目的要求为了减少库存，舍去不合题意的结果．3.【解析】看后面每个图形中正方形的个数是在3的基础上增加几个4即可．解：第1个黑色“”形由3个正方形组成，第2个黑色“”形由3+4=7个正方形组成，第3个黑色“”形由3+2×4=11个正方形组成，…，那么组成第n个黑色“”形的正方形个数是3+（n﹣1）×4=4n﹣1．故组成第12个“”的正方形个数是：4×12﹣1=47．故选：D．点评：考查图形的变化规律；得到第n个图形与第1个图形中正方形个数之间的关系是解决本题的关键．二、填空题4．【解析】设这两个连续偶数为x、x+2，根据“两个连续偶数的积是224”作为相等关系列方程x（x+2）=224，解方程即可求得这两个数，再求它们的和即可．解：设这两个连续偶数为x、x+2，则x（x+2）=224解之得x=14或x=﹣16则x+2=16或x+2=﹣14即这两个数为14，16或﹣14，﹣16所以这两个数的和是30或﹣30．点评：找到关键描述语，用代数式表示两个连续的偶数，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．5．【解析】根据等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，化简得：x2﹣35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选x=20，故答案为：20．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键．三、解答题6．【解析】首先设矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，再利用矩形面积公式列出方程x（20﹣x）=96或x（20﹣x）=102，得出根据根的判别式的符号，进而得出答案．解：设所围矩形的长为xcm，则所围矩形的宽为（20﹣x）cm，（1）依题意，得 x（20﹣x）=96，化简，得x2﹣20x+96=0．解，得x1=8，x2=12．当x=8时，20﹣x=12；当x=12时，20﹣x=8．所以，当所围矩形的长为12cm，宽为8cm时，它的面积为96cm2．（2）依题意，得 x（20﹣x）=102化简，得x2﹣20x+102=0．∵△=b2﹣4ac=（﹣20）2﹣4×102=400﹣408=﹣8＜0，∴方程无实数根．所以用一条长40cm的绳子不能围成一个面积为102cm2的矩形．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，熟练应用根的判别式是解题关键．7．【解析】（1）根据利润=每个的利润×销售量列式计算即可求解；（2）设第二周每个商品的单价应降低x元，根据这批商品计划获利9500元建立方程，解方程即可．解：（1）第一周获利：300×（35﹣20）=4500（元）；第二周获利：（300+50）×（35﹣1﹣20）=4900（元）；（2）根据题意，得：4500+（15﹣x）（300+50x）﹣5（900﹣300﹣300﹣50x）=9500，即：x2﹣14x+40=0，解得：x1=4，x2=10（不符合题意，舍去）．答：第二周每个商品的销售价格应降价4元．点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．8．【解析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t∴当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10∴（4分）（2）∵S△ABC=（5分）∴当t＜10秒时，S△PCQ=整理得t2﹣10t+100=0无解（6分）当t＞10秒时，S△PCQ=整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5（舍去负值）（7分）∴当点P运动秒时，S△PCQ=S△ABC（8分）（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M易证△APE≌△QCM，∴AE=PE=CM=QM=t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM=AC=10∴DE=5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE=5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．点评：做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．9.【解析】（1）如图1，当t=1时，就可以得出CQ=1cm，AP=2cm，就有PB=6﹣2=4cm，由梯形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥CD于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论，如图3，当PQ=DQ时，如图4，当PD=PQ时，如图5，当PD=QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，AD=BC=2，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．∵CQ=1cm，AP=2cm，∴AB=6﹣2=4cm．∴S==5cm2．答：四边形BCQP面积是5cm2；（2）如图1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=9，解得：t=．如图2，作PE⊥CD于E，∴∠PEQ=90°．∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE=BC=2cm，BP=CE=6﹣2t．∵CQ=t，∴QE=t﹣（6﹣2t）=3t﹣6在Rt△PEQ中，由勾股定理，得（3t﹣6）2+4=9，解得：t=．综上所述：t=或；（3）如图3，当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．DQ=6﹣t．∵PQ=DQ，∴PQ=6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=（6﹣t）2，解得：t=．如图4，当PD=PQ时，作PE⊥DQ于E，∴DE=QE=DQ，∠PED=90°．∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE=BC=2cm．∵DQ=6﹣t，∴DE=．∴2t=，解得：t=；如图5，当PD=QD时，∵AP=2t，CQ=t，∴DQ=6﹣t，∴PD=6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2=（6﹣t）2，解得t1=，t2=（舍去）．综上所述：t=，，，．故答案为：，，，．点评：本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．。

一元二次方程的应用(1)

教案教学内容一元二次方程——一元二次方程的应用（一）一、学习目标：1．会列出一元二次方程解应用题；2.学会用列一元二次方程的方法解决传播问题、增长率问题和几何图形问题；3.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．二、知识回顾：1．解一元二次方程有哪些方法？直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．2．列一元一次方程解应用题的步骤是什么？（1）审：弄清题意和题目中的数量关系；（2）设：用字母表示题目中的一个未知数；（3）找：找出能够表示应用题全部含义的一个等量关系；（4）列：根据这个等量关系列出代数式，从而列出方程；（5）解：解所列的方程，求出未知数的值；（6）验：检验方程的解是否符合题意；（7）答：写出答案（包括单位名称）．三、新知讲解1．列一元二次方程解应用题的一般步骤（1）审：认真审题，分析题意，弄清已知量、未知量及它们之间的等量关系；（2）设：设未知数，用一个字母来表示题目中的未知量，有直接设未知数和间接设未知数两种方法；（3）列：根据题目中的数量关系列出一元二次方程；（4）解：指解方程，即求出所列方程的解；（5）验：必须检验求出的每个节是否符合题意，不符合题意的应舍去；（6）答：书写答案，注意题目中的单位．注意：（1）设未知数时，必须写清单位，用对单位；（2）列方程时，方程两边各个代数式的单位必须一致，作答时必须写上单位；（3）一定要检验根是否符合实际意义。

2．列一元二次方程解应用题的常见题型传播问题、增长率问题、几何图形面积问题、数字问题、营销问题、利息问题等．（1）传播问题：传播问题要抓住两点：一是传播源；二是传播速度。

若传播源是a，传播速度是x，则一轮传染后，被传染的总数是a+ax；二轮传染的传染源是a+ax，传染速度是x，被传染总数为a+ax+x(a+ax)，即a（1+x）2；注意：每轮的传染源数量改变，传染速度不变。

（2）平均增长率问题与平均降低率问题：1、平均增长率是指增长数与基数的比。

一元二次方程应用题归类练习

一元二次方程应用题数字问题1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

2、有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字之和的3倍刚好等于这个两位数。

求这个两位数。

3、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果把它的个位数字与十位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008，求调换位置后得到的两位数。

4、两个数的和为8，积为9.75，求这两个数。

5、两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是多少？6 .一个两位数，个位数字与十位数字之和为5，把个位数字与十位数字对调，所得的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。

7、有一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字的和是8。

如把十位上的数字和个位上的数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数，就得到1855。

求原来的两位数。

8、两个连续自然数的积是56，那么这两个自然数的和是_____________。

9、一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍，它的十位上的数字比个位上的数字大2，若设个位数字为x ，列出求这个两位数的方程__________________________。

增长（降低）率问题基本量：（1）原有量a （2）最终量b (3)增长率x基本关系式：（1）一次增长b x a =+)1(二次增长b x a =+2)1( 1、某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x ，则可列方程．2. 某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为____万元．3、上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a %后售价为128元. 下列所列方程中正确的是A ．128)% 1(1682=+aB ．128)% 1(1682=-aC ．128)% 21(168=-aD ．128)% 1(1682=-a 4、某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x ，根据题意列出的方程是．5、某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 ▲ ．6，某木器厂今年一月份生产课桌500张，因管理不善，2月份的产量减少了10%，从3月份起加强了管理，产量逐月上升，4月份的产量达到了648张，求工厂3月份和4月份的平均增长率。

一元二次方程的应用分类

一元二次方程的应用一、数字问题１、两个数的和为１６，积为４８。

求这两个数。

２、有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大６，把这个两位数个位数字与十位数字对调，再与原数相乘，积为３６２７。

求这个两位数。

３、一个直角三角形的三边长是连续整数。

求这三条边长。

４、一个多边形有１４条对角线，那么这个多边形的边数是多少？５、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组互赠了１８２件。

求全组人数。

6、某次足球赛进行大循环赛(每两个队都要进行一次比赛),一共比赛了45场,共有多少个球队参加比赛?二、增减率问题7、某商店的一款诺基亚手机连续两次降价，售价由原来的1199元降到了899元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程正确的是（）A、1199)1(11992=+x；-x； B、899)1(8992=C、11991(11992=-x))1(8992=+x； D、8998.小王的便利店今年1月份的利润是1000元，3月份的利润为1210元，则该店这两个月的利润平均增长率为（）A、9%B、10%C、11%D、12%9.某乡今年人均上缴农业税25元，若计划两年后人均上缴农业税为16元，则这两年农业税平均每年降低的百分率为多少？10、某商场一月份的营业额为400万元，第一季度营业总额为1600万元，若平均每月增长率为x，则列方程为（）A、16004002=+x； B、16001()+xx；+4004004002=C、[]1600+++xx； D、1600)+1(4002=)1(1+xx+2400=)1(11、某商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.12、某工程队再我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。

原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20％。