求在旋转过程中BC边扫过的面积

合集下载

3.9弧长及扇形的面积-2020-2021学年北师大版九年级数学下册同步测试

北师大版九年级数学下册第三章 3.9 弧长及扇形的面积同步测试(原卷版) 一．选择题1.在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（）A．π B．2π C．4π D．6π2．如图，四边形ABCD内接于半径为9的⊙O，∠ABC＝110°，则劣弧AC的长为（）A．7πB．8πC．9πD．10π3.若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为（）A．3 B．9 C．．4.如图1，水平地面上有一面积为30π平方厘米的灰色扇形OAB，其中OA的长度为6厘米，且与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图1的扇形向右滚动至OB垂直地面为止，如图2所示，则O点移动（）厘米．A．20 B．24 C．10π D．30π5．如图，已知P是半径为3的⊙A上一点，延长AP到点C，使AC＝4，以AC为对角线作▱ABCD，AB＝4，⊙A交边AD于点E，当▱ABCD面积为最大值时，的长为（）A．πB．πC．πD．3π6．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝2，BC＝4，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．7.如图，△ABC是等边三角形，AC=6，以点A为圆心，AB长为半径画弧DE，若∠1=∠2，则弧DE的长为（）A．1π B．1.5π C．2π D．3π8．如图，5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与AE交于H，则弧AH的弧长为（）A．πB．πC．πD．π9.如图，四边形OCBA是菱形，点A、B在以点O为圆心的圆弧DE上，若AO=3，∠COE=∠DOA，则扇形ODE的面积为（）A．23π B．2π C．2.5 π D．3π10．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，以B为圆心、BC长为半径画弧，交AB于点F，若点O恰好在圆弧上，且AB＝6，则阴影部分的面积为（）A．18﹣6πB．54﹣18πC．36﹣6πD．27﹣9π11．如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣4B．4﹣C．﹣8D．9﹣3π12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（）A．B．C．D．二．填空题13．一个扇形的半径为6，弧长为3π，则此扇形的圆心角为度．14．一个扇形的圆心角为60°，半径为3，则此扇形的弧长是．15.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则AB的长为16．如图，AB是半圆O的直径，AC＝，∠BAC＝30°，则的长为．17．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝60°，CD＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD边于点E，以点B为圆心，BE的长为半径画弧交BC边于点F，则阴影部分的面积为．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，＝．则阴影部分面积S阴影19．如图，已知⊙O的半径是3，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为．20．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA＝6，则阴影部分的面积为．三.解答题21.如图，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的范围面积是多少？22．如图，A、B、C三点在半径为1的⊙O上，四边形ABCO是菱形，求的长．23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，∠BAD=120°，AB=AD．（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；（2）已知AC=6，求阴影部分的面积．24．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G．（1）求证：△ABE≌△BCG；（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求劣弧的长．（结果保留π）25．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，将斜边BC绕点B顺时针方向旋转至BD，使BD∥AC，过点D作DE⊥BC于点E．（1）求证：△ABC≌△EDB；（2）若CD＝BD，AC＝3，求在上述旋转过程中，线段BC扫过的面积．26．如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD 交于点E，且AE＝BC．（1）求证：AB＝CB；（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．北师大版九年级数学下册第三章 3.9 弧长及扇形的面积同步测试(解析版)一．选择题1.在半径为6的⊙O 中，60°圆心角所对的弧长是（）A ．πB ．2πC ．4πD ．6π 606180180n rl ππ=2π． 2．如图，四边形ABCD 内接于半径为9的⊙O ，∠ABC ＝110°，则劣弧AC 的长为（）A ．7πB ．8πC ．9πD ．10π解：连接OA 、OC ，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠D+∠ABC ＝180°，∵∠ABC＝110°，∴∠D＝70°，∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠D＝140°，∴劣弧AC的长为＝7π，故选：A．3.若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为（）A．3 B．9 C．．解：扇形的面积=260360r =3π．解得：．故选D．4.如图1，水平地面上有一面积为30π平方厘米的灰色扇形OAB，其中OA的长度为6厘米，且与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图1的扇形向右滚动至OB垂直地面为止，如图2所示，则O点移动（）厘米．A．20 B．24 C．10π D．30π解：点O移动的距离为扇形的弧长，根据面积公式求出弧长，即30π=12×l×6，解得l=10π．故选C．5．如图，已知P是半径为3的⊙A上一点，延长AP到点C，使AC＝4，以AC为对角线作▱ABCD，AB＝4，⊙A交边AD于点E，当▱ABCD面积为最大值时，的长为（）A．πB．πC．πD．3π解：如图，作CF⊥AB于F．∵四边形ABCD是平行四边形，∴S＝AB•CF，平行四边形ABCD∵AB是定值，∴CF定值最大时，平行四边形ABCD的面积最大，∵CF≤AC，∴当AC⊥AB时，平行四边形ABCD的面积最大，此时tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝60°，∵BC∥AD，∴∠DAC＝∠ACB＝60°，∴的长＝＝π，故选：B．6．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝2，BC＝4，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．解：如图，设与EF交于H，连接AH，∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，∴AH＝AD＝BC＝4，∴∠AHE＝∠GAH＝30°，∵AE＝AB＝2，∴HE＝2，∴阴影部分的面积＝S扇形AHG +S△AHE＝+×2×2＝+2，故选：D．7.如图，△ABC是等边三角形，AC=6，以点A为圆心，AB长为半径画弧DE，若∠1=∠2，则弧DE的长为（）A．1π B．1.5π C．2π D．3π解：∵△ABC是等边三角形，AC=6，∴AB=AC=6，∠CAB=60°．∵∠1=∠2，62180ππ， 8．如图，5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A ，C ，B 三点的圆弧与AE 交于H ，则弧AH 的弧长为（）A ．πB ．πC ．πD ．π 解：连接EB ，BH ，AB ，∵BE ＝AB ＝＝，AE ＝＝，∴BE 2+AB 2＝AE 2，∴∠ABE ＝90°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∵∠ACB ＝90°，∴AB 是圆的直径， ∴∠AHB ＝90°， ∴BH ⊥AH ，∴∠ABH ＝∠BAH ＝45°，∴弧AH 所对的圆心角为90°，∴的长＝＝．故选：B ．9.如图，四边形OCBA 是菱形，点A 、B 在以点O 为圆心的圆弧DE 上，若AO=3，∠COE=∠DOA ，则扇形ODE 的面积为（）A ．23π B ．2π C ．2.5 π D ．3π9360=3π．10．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，以B 为圆心、BC 长为半径画弧，交AB 于点F ，若点O 恰好在圆弧上，且AB ＝6，则阴影部分的面积为（）A．18﹣6πB．54﹣18πC．36﹣6πD．27﹣9π解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，∠DCB＝90°，AC＝BD，OC＝AC，OB＝BD，∴OB＝OC，∵BC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠CBO＝60°，BC＝BO，即AC＝2BC，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，（6）2+BC2＝（2BC）2，解得：BC＝6，∴阴影部分的面积＝S△BCD ﹣S扇形BOC＝﹣＝18﹣6π，故选：A．11．如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣4B．4﹣C．﹣8D．9﹣3π解：由折叠可知，S弓形AD ＝S弓形OD，DA＝DO，∵OA＝OD，∴AD＝OD＝OA，∴△AOD为等边三角形，∴∠AOD＝60°，∠DOB＝30°，∵AD＝OD＝OA＝4，∴CD＝2，∴S弓形AD ＝S扇形ADO﹣S△ADO＝﹣＝，∴S弓形OD＝，阴影部分的面积＝S扇形BDO ﹣S弓形OD＝﹣（）＝4﹣，故选：B．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（）A．B．C．D．解：连接OD，OF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAC，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴S△AFD ＝S△OFA，∴S阴＝S扇形OFA，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴S阴＝S扇形OFA＝＝．故选：C．二．填空题13．一个扇形的半径为6，弧长为3π，则此扇形的圆心角为90 度．解：设这个扇形的圆心角为n°，则＝3π，解得，n＝90，故答案为：90．14．一个扇形的圆心角为60°，半径为3，则此扇形的弧长是π．解：∵一个扇形的圆心角为60°，半径为3，∴此扇形的弧长是＝π，故答案为：π．15.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则AB的长为解：∵ABCDEF 为正六边形，∴∠AOB=360°÷ 6 =60°，AB 的长为601803ππ．故答案为：3π．16．如图，AB 是半圆O 的直径，AC ＝，∠BAC ＝30°，则的长为．解：如图，连接BC ．∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∵OC ＝OB ，∴△OBC 是等边三角形，∵BC ＝AC •tan ∠BAC ＝1，∴OC ＝OB ＝1，∠BOC ＝60°，∴的长＝＝，故答案为．17．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝60°，CD＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD边于点E，以点B为圆心，BE的长为半径画弧交BC边于点F，则阴影部分的面积为4．解：如图连接BE，EF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝120°，∵AE＝AB，∴△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝∠EBF＝60°，∵BE＝BF，∴△EBF是等边三角形，∵S阴＝S△BEF＝×42＝4，故答案为4．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，则阴影部分面积S阴影＝．解：连接OC．∵AB⊥CD，∴＝，CE＝DE＝，∴∠COB＝∠BOD，∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB＝OD，∴△OBC，△OBD都是等边三角形，∴OC＝BC＝BD＝OD，∴四边形OCBD是菱形，∴OC∥BD，∴S△BDC ＝S△BOD，∴S阴＝S扇形OBD，∵OD＝＝2，∴S阴＝＝，故答案为．19．如图，已知⊙O的半径是3，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为3π﹣．解：连接OB和AC交于点D，∵圆的半径为3，∴OB＝OA＝OC＝3，又四边形OABC是菱形，∴OB⊥AC，OD＝OB＝，在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD＝＝，∴AC＝2CD＝3，∵sin∠COD＝，∴∠COD＝60°，∠AOC＝2∠COD＝120°，∴S菱形ABCO＝×3×3＝，S扇形AOC＝＝3π，则图中阴影部分面积为S扇形AOC ﹣S菱形ABCO＝3π﹣，故答案为：3π﹣．20．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA＝6，则阴影部分的面积为．解：∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠A＝∠OBA＝30°，∵OC⊥AO，∴∠AOD＝90°，∴∠BOD＝30°，∴DO＝DB，在Rt△AOD中，OD＝OA＝，OD＝AD，∴BD＝AD，∵S△AOD＝×6×＝6，∴S△BOD ＝S△AOD＝3，∴阴影部分的面积＝S△AOD +S扇形BOC﹣S△BOD＝6+﹣3＝3+3π．故答案为3+3π．三.解答题21.如图，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的范围面积是多少？解：狗能活动的范围面积=34π×142+12π×42=147π+8π=155π．答：在狗窝外面狗能活动的范围面积是155π．22．如图，A、B、C三点在半径为1的⊙O上，四边形ABCO是菱形，求的长．解：连接OB．∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB＝OB＝OC＝BC，∴△AOB，△BOC都是等边三角形，∴∠AOB＝∠BOC＝60°，∴∠AOC＝120°，∴的长＝＝23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，∠BAD=120°，AB=AD．（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；（2）已知AC=6，求阴影部分的面积．解：（1）证明：∵∠BAD=120°，AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°，∴弧AB和弧AD的度数都等于60°，又∵BC是直径，∴弧CD的度数也是60°，∴AB=CD且∠CAD=∠ACB=30°，∴BC∥AD，∴四边形ABCD 是等腰梯形；（2）解：∵BC 是直径，∴∠BAC=90°∵∠ACB=30°，AC=6，∴BC=30°cos AC =4√3 ，故R=2√3 ， ∵弧AB 和弧AD 的度数都等于60°，∴∠BOD=120°，连接OA 交BD 于点E ，则OA ⊥BD ，在Rt △BOE 中：OE=OBsin30°= √3 ，BE=OB •cos30°=3，BD=2BE=6，故S 阴影=S 扇形BOD -S △BOD =21202313602()×6=4π 24．如图，四边形ABCD 是正方形，以边AB 为直径作⊙O ，点E 在BC 边上，连结AE 交⊙O 于点F ，连结BF 并延长交CD 于点G ．（1）求证：△ABE ≌△BCG ；（2）若∠AEB ＝55°，OA ＝3，求劣弧的长．（结果保留π）（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，AB 为⊙O 的直径，∴∠ABE ＝∠BCG ＝∠AFB ＝90°，∴∠BAF+∠ABF ＝90°，∠ABF+∠EBF ＝90°， ∴∠EBF ＝∠BAF ，在△ABE与△BCG中，，∴△ABE≌△BCG（ASA）；（2）解：连接OF，∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠AEB＝55°，∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，∵OA＝3，∴的长＝＝．25．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，将斜边BC绕点B顺时针方向旋转至BD，使BD∥AC，过点D作DE⊥BC于点E．（1）求证：△ABC≌△EDB；（2）若CD＝BD，AC＝3，求在上述旋转过程中，线段BC扫过的面积．解：（1）∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵AC∥BD，∴∠A＝∠ABD＝∠DEB＝90°，∵∠ABC+∠CBD＝90°，∴∠CBD+∠BDE＝90°，∴∠ABC＝∠BDE，∵BC＝BD，∴△ABC≌△EDB（AAS）．（2）∵CD＝BD＝BC，∴△BCD为等边三角形，∴∠CBD＝60°，∠ABC＝90°﹣∠CBD＝30°，∵AC＝3，∴BC＝2AC＝6，∴线段BC扫过的面积＝6π．26．如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD 交于点E，且AE＝BC．（1）求证：AB＝CB；（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．（1）证明：∵AD＝BD，∠DAE＝∠DBC，AE＝BC，∴△ADE≌△BDC（SAS），∴∠ADE＝∠BDC，∴＝．∴AB＝BC．（2）解：S阴＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF＝＝．。

专题训练. 圆的基本性质--八大题型总结(拔尖篇)- 九年级数学上册 (浙教版)

专题3.12圆的基本性质章末八大题型总结（拔尖篇）【题型1动态图形的扫过的面积的计算】（2023秋·江苏·九年级专题练习）2．如图，半圆O的直径时停止滑动，若M是（2023·黑龙江鸡西·校考三模）3．在平面直角坐标系中，已知()2,0A ，()3,1B ，()1,3C ；(1)将ABC 沿x 轴负方向平移2个单位至111A B C △，画图并写出1C 的坐标____________；(2)以1A 点为旋转中心，将111A B C △逆时针方向旋转90︒得22A B C 1△，画图并写出2C 的坐标_____；(3)在平移和旋转过程中线段BC 扫过的面积为___________．（2023秋·浙江·九年级专题练习）4．如图所示，扇形OAB 从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，60O ∠=︒，1OA =．(1)求O 点运动的路径长；(2)求O 点走过路径与射线l 围成的面积．【题型2圆周角定理有关的计算与证明】【方法点拨】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径（2023秋·北京西城·九年级北京八中校考期中）5．如图，已知：过O 上一点A 作两条弦AB 、AC ，且45BAC ∠=︒，(AB ，AC 都不经过)O 过A 作AC 的垂线AF 交O 于D ，直线BD ，AC 交于点E ，直线BC ，DA 交于点F ．(1)证明：BE BF =；(2)探索线段AB 、AE 、AF 的数量关系，并证明你的结论．（2023秋·湖北·九年级期末）6．已知ABC 内接于O ，BAC ∠的平分线交O 于点D ，连接DB ，DC ．(1)如图①，当120BAC ∠=︒时，请直接写出线段(2)如图②，当90BAC ∠=︒时，试探究线段(1)求ADB ∠的度数；(2)求AC 的长度；(3)判定四边形AFBC 的形状，并证明你的结论．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期中）8．如图，在O 的内接四边形(1)若75DAE ∠=︒，则(2)过点D 作DE AB ⊥(3)若62AB AE ==、【题型3垂径定理的实际应用】【方法点拨】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦(不是直径条弧．（2023秋·河北石家庄9．如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，圆的半径为5厘米，上”太阳与海平线的位置关系是（2023秋·浙江台州·10．我市在创建全国文明城市检查中，发现一些破旧的公交车候车亭有碍观瞻，现已更换新的公交候车亭图2所示的是侧面示意图，FG为水平线段，PQ⊥FG，点H为垂足，FG=4m，FH=2.4m，点P在弧FG上，且弧FG所在的圆的圆心O到FG，PQ的距离之比为5：2，则PH的长约为多少米？（2023春·浙江台州·九年级台州市书生中学校考期中）11．如图这是我市某跨海大桥正侧面的照片，大桥的主桥拱为圆弧型，桥面AB长为800米，且与水面平行，小王用计算机根据照片对大桥进行了模拟分析，在桥正下方的水面上取一点P，在桥面AB上取点C，作射线PC交弧（主桥拱）于点D，右边画出了PC与PD关于AC长的函数图象，下列对此桥的判断不合理的是（）A．桥拱的最高点与桥面AB的实际距离约为210米B．桥拱正下方的桥面EF的实际长度约为500米C．拍摄照片时，桥面离水面的实际高度约为110米D．桥面上BF段的实际长度约200米(1)求该圆的半径；(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦【题型4由点与圆的位置关系求求最值】【方法点拨】解决此类问题关键要记住若半径为当d＝r时，点在圆上，当d＜（2023秋·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考期中）13．如图，在平面直角坐标系中，已知点为半径的圆上运动，且始终满足（2023秋·山东泰安·九年级校联考期末）15．如图，点()34P P ，，半径为大值是（）A ．32B ．52（2023秋·河南驻马店·九年级平舆县第二初级中学校考期末）16．如图，Rt ABC 中，AB 的最小值为（2023秋·安徽淮北·九年级校考期末）的直径，18．如图，AB是O+的最小值为（点，则PC PDA．22B．2（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）19．如图，A、B是半圆O上的两点，的最小值为．（2023秋·广东广州·九年级校考期末）20．（1）如图①，在ABC 中，120A ∠= ，5AB AC ==．尺规作图：作ABC 的外接圆O ，并直接写出ABC 的外接圆半径R 的长．（2）如图②，O 的半径为13，弦24AB =，M 是AB 的中点，P 是O 上一动点，求PM 的最大值．（3）如图③所示，AB ，AC 、 BC是某新区的三条规划路，其中6km AB =，3km AC =，60BAC ∠= ， BC 所对的圆心角为60 ，新区管委会想在 BC路边建物资总站点P ，在AB ，AC 路边分别建物资分站点E 、F ，也就是，分别在 BC、线段AB 和AC 上选取点P 、E 、F ．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P E F P →→→的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE 、EF 和FP ．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE 、EF 、FP 之和最短，试求PE EF FP ++的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）【题型6动点的运动轨迹长度计算】（2023秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）22．如图，已知90ABC ∠=︒停止，圆心O 运动的路程是（2023秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）23．如图，有一块长为4cm 、宽为3cm 的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点化为12A A A →→，其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿滚到点2A 的位置经过的路径长为（）A ．10cmB ．3.5cm π（2023·浙江温州·校考三模）24．图1是挂桶式垃圾车的联动装置，通过钢轴先后作两次旋转移动垃圾桶，实现对垃圾桶提升和翻转，将垃圾桶内的垃圾自动收入车厢．图2，图110cm,AB =303cm,30cm BC CD ==【题型7正多边形与圆】【方法点拨】定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．（2023秋·山东淄博·九年级统考期末）25．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A ，B ，C ，D ，E ，F 在圆上．若两个大正六边形的边长均为小正六边形的边长是（）A ．33-B ．2312-C ．312+D ．1312-（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）26．如图，已知O 的半径为4，则该圆内接正六边形ABCDEF 的边心距OG （① DF 的长为2π；②2DF OF =；③ODE 为等边三角形；④S 正八边形【题型8圆锥侧面积的相关计算】【方法点拨】解决此类问题掌握圆锥侧面积的计算公式是关键，并且能够灵活运用（2023秋·全国·九年级专题练习）29．小华的爸爸要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为缝（接缝忽略不计）()1你能求出这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角吗？()2如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？（2023秋·江苏·九年级专题练习）31．如图是一张直角三角形卡片，DE⊥AB．若将该卡片绕直线DE旋转一周，则形成的几何体的表面积为（2023秋·全国·九年级专题练习）32．如图，在一张四边形ABCD的纸片中，、交于点E、径的圆分别与AB AD(1)求证：DC与A的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)过点B作A(3)若用剪下的扇形AEF围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？。

2020-2021中考数学圆的综合(大题培优易错难题)及答案

2020-2021中考数学圆的综合(大题培优易错难题)及答案一、圆的综合1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．【详解】（1）如图所示，连接OD．∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD=，∴OD⊥BC．又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DBDB DA=，即DB2=DF•DA．∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．2．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．试题解析：连接AD，OA，∵∠ADC=∠B，∠B=60°，∴∠ADC=60°，∵CD是直径，∴∠DAC=90°，∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，∵AP=AC，OA=OC，∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OA⊥AP，∵OA为半径，∴AP是⊙O切线．（2）连接AD，BD，∵CD是直径，∴∠DBC=90°，∵CD=4，B为弧CD中点，∴BD=BC=，∴∠BDC=∠BCD=45°，∴∠DAB=∠DCB=45°，即∠BDE=∠DAB，∵∠DBE=∠DBA，∴△DBE∽△ABD，∴，∴BE•AB=BD•BD=．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．3．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正=上半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x=于点M，BC边交x轴于点N（如图）.时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；∆的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明（3）设MBN你的结论.【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析【解析】试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；（3）利用全等把△MBN 的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．试题解析：（1）∵A 点第一次落在直线y=x 上时停止旋转，直线y=x 与y 轴的夹角是45°，∴OA 旋转了45°．∴OA 在旋转过程中所扫过的面积为24523602ππ⨯=．（2）∵MN ∥AC ，∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．∴∠BMN=∠BNM ．∴BM=BN ．又∵BA=BC ，∴AM=CN ．又∵OA=OC ，∠OAM=∠OCN ，∴△OAM ≌△OCN ．∴∠AOM=∠CON=12（∠AOC-∠MON ）=12（90°-45°）=22.5°． ∴旋转过程中，当MN 和AC 平行时，正方形OABC 旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化．证明：延长BA 交y 轴于E 点，则∠AOE=45°-∠AOM ，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM ，∴∠AOE=∠CON ．又∵OA=OC ，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN ．∴△OAE ≌△OCN ．∴OE=ON ，AE=CN ．又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM ，∴△OME ≌△OMN ．∴MN=ME=AM+AE ．∴MN=AM+CN ，∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．∴在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化．考点：旋转的性质.4．如图1，将长为10的线段OA 绕点O 旋转90°得到OB ，点A 的运动轨迹为AB ，P 是半径OB 上一动点，Q 是AB 上的一动点，连接PQ.发现：∠POQ ＝________时，PQ 有最大值，最大值为________；思考：（1）如图2，若P 是OB 中点，且QP ⊥OB 于点P ，求BQ 的长；（2）如图3，将扇形AOB 沿折痕AP 折叠，使点B 的对应点B′恰好落在OA 的延长线上，求阴影部分面积；探究：如图4，将扇形OAB 沿PQ 折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA 相切，切点为C ，若OP ＝6，求点O 到折痕PQ 的距离．【答案】发现： 90°，102；思考：（1）10 3π=；（2）25π−1002+100；（3）点O 到折痕PQ 的距离为30.【解析】分析：发现：先判断出当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，即可得出结论；思考：（1）先判断出∠POQ=60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；（2）先在Rt △B'OP 中，OP 2+(102−10)2=（10-OP ）2，解得OP=102−10，最后用面积的和差即可得出结论．探究：先找点O 关于PQ 的对称点O′，连接OO′、O′B 、O′C 、O′P ，证明四边形OCO′B 是矩形，由勾股定理求O′B ，从而求出OO′的长，则OM=12OO′=30．详解：发现：∵P 是半径OB 上一动点，Q 是AB 上的一动点，∴当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，此时，∠POQ=90°，PQ=22OA OB +=102；思考：（1）如图，连接OQ ，∵点P 是OB 的中点，∴OP=12OB=12OQ ． ∵QP ⊥OB ，∴∠OPQ=90° 在Rt △OPQ 中，cos ∠QOP=12OP OQ =， ∴∠QOP=60°，∴l BQ =6010101803ππ⨯=；（2）由折叠的性质可得，BP ＝B ′P ，AB ′＝AB ＝2，在Rt △B'OP 中，OP 22−10)2=（10-OP ）2解得OP=102−10， S 阴影=S 扇形AOB -2S △AOP =290101210(10210)3602π⨯-⨯⨯⨯- ＝25π−1002+100；探究：如图2，找点O 关于PQ 的对称点O′，连接OO′、O′B 、O′C 、O′P ，则OM=O′M ，OO′⊥PQ ，O′P=OP=3，点O′是B Q '所在圆的圆心，∴O′C=OB=10，∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA 相切于C 点，∴O′C ⊥AO ，∴O′C ∥OB ，∴四边形OCO′B 是矩形，在Rt △O′BP 中，O′B=226425-=，在Rt △OBO′K ，OO′=2210(25)=230-，∴OM=12OO′=12×230=30，即O 到折痕PQ 的距离为30．点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l=180n R π（n 为圆心角度数，R 为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分．5．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B .(1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD ＝ 12，求AB 和FC 的长．【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ， 403CF =【解析】分析：（1）连接OC ，根据圆周角定理证明OC ⊥CF 即可；（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA ＝∠B 求出CE 、BE 的长，即可得到AB 长，然后根据直径和半径的关系求出OE 的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE ∽△CFE ，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.详解：⑴证明：连结OC∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB=90° ∴∠B+∠BAC=90°∵OA=OC∴∠BAC=∠OCA∵∠B=∠FCA∴∠FCA+∠OCA=90°即∠OCF=90°∵C 在⊙O 上∴CF 是⊙O 的切线⑵∵AE=4，tan ∠ACD12AE EC = ∴CE=8 ∵直径AB ⊥弦CD 于点E∴AD AC =∵∠FCA ＝∠B∴∠B=∠ACD=∠FCA∴∠EOC=∠ECA∴tan ∠B=tan ∠ACD=1=2CE BE ∴BE=16∴AB=20∴OE=AB÷2-AE=6∵CE ⊥AB∴∠CEO=∠FCE=90°∴△OCE ∽△CFE∴OC OE CF CE=即106=8 CF∴40CF3=点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.6．已知，如图：O1为x轴上一点，以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E，AB是弦，且AB∥CD，直线DM的解析式为y=3x+3．（1）如图1，求⊙O1半径及点E的坐标．（2）如图2，过E作EF⊥BC于F，若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD，试问：BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明．（3）在（2）的条件下，EF交⊙O1于点G，问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG 的长（不写过程），若变化自画图说明理由．【答案】（1）r=5 E（4，5）（2）BF+CF=AC （3）弦BG的长度不变，等于2【解析】分析：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1，可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC，从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°．由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r．在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题．（2）过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．由AB∥DC可证到BD=AC，易证四边形O1PFQ是矩形，从而有O1P=FQ，∠PO1Q=90°，进而有∠EO1P=∠CO1Q，从而可以证到△EPO1≌△CQO1，则有PO1=QO1．根据三角形中位线定理可得FQ=12BD．从而可以得到BF+CF=2FQ=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．易证EF∥BD，则有∠GEB=∠EBD，从而有BG=ED，也就有BG=DE．在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED，就可解决问题．详解：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1．∵ME平分∠SMC，∴∠SME=∠EMC．∵∠SME=∠ECD，∠EMC=∠EDC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠EO1D=∠EO1C．∵∠EO1D+∠EO1C=180°，∴∠EO1D=∠EO1C=90°．∵直线DM的解析式为y=3x+3，∴点M的坐标为（0，3），点D的坐标为（﹣1，0），∴OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r，则MO1=DO1=r．在Rt△MOO1中，（r﹣1）2+32=r2．解得：r=5，∴OO1=4，EO1=5，∴⊙O1半径为5，点E的坐标为（4，5）．（2）BF+CF=AC．理由如下：过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．∵AB∥DC，∴∠DCA=∠BAC，∴AD=BC BD∴，=AC，∴BD=AC．∵O1P⊥EG，O1Q⊥BC，EF⊥BF，∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°，∴四边形O1PFQ是矩形，∴O1P=FQ，∠PO1Q=90°，∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q．在△EPO1和△CQO1中，111111EO P CO QEPO CQOO E O C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPO1≌△CQO1，∴PO1=QO1，∴FQ=QO1．∵QO1⊥BC，∴BQ=CQ．∵CO1=DO1，∴O1Q=12BD ，∴FQ=12BD．∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ，∴BF+CF=BD=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．∵DC是⊙O1的直径，∴∠DBC=90°，∴∠DBC+∠EFB=180°，∴EF∥BD，∴∠GEB=∠EBD，∴BG=ED，∴BG=DE．∵DO1=EO1=5，EO1⊥DO1，∴DE=52，∴BG=52，∴弦BG的长度不变，等于52．点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度．而由AB∥DC证到AC=BD是解决第（2）小题的关键，由EG∥DB证到BG=DE是解决第（3）小题的关键．7．如图，在ABC ∆中，90,BAC ∠=︒ 2,AB AC ==AD BC ⊥，垂足为D ，过,A D 的⊙O 分别与,AB AC 交于点,E F ，连接,,EF DE DF ．（1）求证：ADE ∆≌CDF ∆；（2）当BC 与⊙O 相切时，求⊙O 的面积．【答案】(1)见解析;(2)24π.【解析】分析：（1）由等腰直角三角形的性质知AD =CD 、∠1=∠C =45°，由∠EAF =90°知EF 是⊙O 的直径，据此知∠2+∠4=∠3+∠4=90°，得∠2=∠3，利用“ASA”证明即可得；（2）当BC 与⊙O 相切时，AD 是直径，根据∠C =45°、AC =2可得AD =1，利用圆的面积公式可得答案．详解：（1）如图，∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴∠C =45°．又∵AD ⊥BC ，AB =AC ，∴∠1=12∠BAC =45°，BD =CD ，∠ADC =90°．又∵∠BAC =90°，BD =CD ，∴AD =CD ．又∵∠EAF =90°，∴EF 是⊙O 的直径，∴∠EDF =90°，∴∠2+∠4=90°．又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠3．在△ADE 和△CDF 中．∵123C AD CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADE ≌△CDF （ASA ）．（2）当BC 与⊙O 相切时，AD 是直径．在Rt △ADC 中，∠C =45°，AC 2，∴sin ∠C =AD AC ，∴AD =AC sin ∠C =1，∴⊙O 的半径为12，∴⊙O 的面积为24π．点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系等知识点．8．如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有正三角形都关于PQ 对称，其中第一个△A 1B 1C 1的顶点A 1与点P 重合，第二个△A 2B 2C 2的顶点A 2是B 1C 1与PQ 的交点，…，最后一个△A n B n C n 的顶点B n 、C n 在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a 1=_____；如图2，当n=2时，正三角形的边长a 2=_____；如图3，正三角形的边长a n =_____（用含n 的代数式表示）．38313 24313n+ 【解析】分析：（1）设PQ 与11B C 交于点D ，连接1B O ，得出OD=1A D -O 1A ，用含1a 的代数式表示OD ，在△O 1B D 中，根据勾股定理求出正三角形的边长1a ；（2）设PQ 与2B 2C 交于点E ，连接2B O ，得出OE=1A E-O 1A ，用含2a 的代数式表示OE ，在△O 2B E 中，根据勾股定理求出正三角形的边长2a ；（3）设PQ 与n B n C 交于点F ，连接n B O ，得出OF=1A F-O 1A ，用含an 的代数式表示OF ，在△O n B F 中，根据勾股定理求出正三角形的边长an ．本题解析：(1)易知△A 1B 1C 1的高为323 ∴a 13.(2)设△A 1B 1C 1的高为h ，则A 2O ＝1－h ，连结B 2O ，设B 2C 2与PQ 交于点F ，则有OF ＝2h －1. ∵B 2O 2＝OF 2＋B 2F 2，∴1＝(2h －1)2＋2212a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵h 32，∴1＝32－1)2＋14a 22，解得a 283 . (3)同(2)，连结B n O ，设B n C n 与PQ 交于点F ，则有B n O 2＝OF 2＋B n F 2，即1＝(nh －1)2＋212n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ . ∵h ＝32 a n ，∴1＝14a n 2＋231n na ⎫⎪⎪⎝⎭ ，解得a n ＝24331n n + .9．如图1，延长⊙O 的直径AB 至点C ，使得BC=12AB ，点P 是⊙O 上半部分的一个动点（点P 不与A 、B 重合），连结OP ，CP ．（1）∠C 的最大度数为；（2）当⊙O 的半径为3时，△OPC 的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，延长PO 交⊙O 于点D ，连结DB ，当CP=DB 时，求证：CP 是⊙O 的切线．【答案】（1）30°；（2）有最大值为9，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）当PC 与⊙O 相切时，∠OCP 的度数最大，根据切线的性质即可求得；（2）由△OPC 的边OC 是定值，得到当OC 边上的高为最大值时，△OPC 的面积最大，当PO ⊥OC 时，取得最大值，即此时OC 边上的高最大，于是得到结论；（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB ，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C ，得到CO=OB+OB=AB ，推出△APB ≌△CPO ，根据全等三角形的性质得到∠CPO=∠APB ，根据圆周角定理得到∠APB=90°，即可得到结论．试题解析：（1）当PC 与⊙O 相切时，∠OCP 最大．如图1，所示：∵sin ∠OCP=OP OC =24=12，∴∠OCP=30° ∴∠OCP 的最大度数为30°，故答案为：30°；（2）有最大值，理由： ∵△OPC 的边OC 是定值，∴当OC 边上的高为最大值时，△OPC 的面积最大，而点P 在⊙O 上半圆上运动，当PO ⊥OC 时，取得最大值，即此时OC 边上的高最大，也就是高为半径长，∴最大值S △OPC =12OC•OP=12×6×3=9；（3）连结AP ，BP ，如图2，在△OAP 与△OBD 中，OA OD AOP BOD OP OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OAP ≌△OBD ，∴AP=DB ，∵PC=DB，∴AP=PC，∵PA=PC，∴∠A=∠C，∵BC=12AB=OB，∴CO=OB+OB=AB，在△APB和△CPO中，AP CPA CAB CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APB≌△CPO，∴∠CPO=∠APB，∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴∠CPO=90°，∴PC切⊙O于点P，即CP是⊙O的切线．10．（1）问题背景如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB=AC，P为BmC上一动点（不与B，C重合），求证：2PA=PB+PC．小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB，AP，AC，且AB=AC，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：第一步：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；第二步：证明Q，B，P三点共线，进而原题得证．请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．（2）类比迁移如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．（3）拓展延伸如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=43AC，AB⊥AC，垂足为A，则OC的最小值为．【答案】（1）证明见解析；（2）OC最小值是32﹣3；（3）32．【解析】试题分析：（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①），只要证明△APQ 是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，在△BOQ中，利用三边关系定理即可解决问题；（3）如图③构造相似三角形即可解决问题．作AQ⊥OA，使得AQ=43OA，连接OQ，BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ=43OC，当BQ最小时，OC最小；试题解析：（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；∵BC是直径，∴∠BAC=90°，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°，由旋转可得∠QBA=∠PCA，∠ACB=∠APB=45°，PC=QB，∵∠PCA+∠PBA=180°，∴∠QBA+∠PBA=180°，∴Q，B，P三点共线，∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°，∴QP2=AP2+AQ2=2AP2，∴QP=2AP=QB+BP=PC+PB，∴2AP=PC+PB．（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°,由旋转可得QB=OC，AQ=OA，∠QAB=∠OAC，∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，∴在Rt△OAQ中，2，AO=3 ，∴在△OQB中，BQ≥OQ﹣2﹣3 ，即OC最小值是2﹣3；（3）如图③中，作AQ⊥OA，使得AQ=43OA，连接OQ，BQ，OB．∵∠QAO=∠BAC=90°，∠QAB=∠OAC ，∵QA AB OA AC ==43， ∴△QAB ∽OAC ，∴BQ=43OC ，当BQ 最小时，OC 最小，易知OA=3，AQ=4，OQ=5，BQ≥OQ ﹣OB ，∴OQ≥2，] ∴BQ 的最小值为2，∴OC 的最小值为34×2=32，故答案为32．【点睛】本题主要考查的圆、旋转、相似等知识，能根据题意正确的添加辅助线是解题的关键.11．如图1，四边形ABCD 为⊙O 内接四边形，连接AC 、CO 、BO ，点C 为弧BD 的中点．（1）求证：∠DAC=∠ACO+∠ABO ；（2）如图2，点E 在OC 上，连接EB ，延长CO 交AB 于点F ，若∠DAB=∠OBA+∠EBA ．求证：EF=EB ；（3）在（2）的条件下，如图3，若OE+EB=AB ，CE=2，AB=13，求AD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AD=7．【解析】试题分析：（1）如图1中，连接OA ，只要证明∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO ，由点C 是BD 中点，推出CD CB = ，推出∠BAC=∠DAC ，即可推出∠DAC=∠ACO+∠ABO ；（2）想办法证明∠EFB=∠EBF 即可；（3）如图3中，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，延长BE 交HO 的延长线于G ，作BN ⊥CF 于N ，作CK ⊥AD 于K ，连接OA ．作CT ∠⊥AB 于T ．首先证明△EFB 是等边三角形，再证明△ACK ≌△ACT ，Rt △DKC ≌Rt △BTC ，延长即可解决问题；试题解析：（1）如图1中，连接OA ，∵OA=OC ，∴∠1=∠ACO ，∵OA=OB ，∴∠2=∠ABO ，∴∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO ，∵点C 是BD 中点，∴CD CB =，∴∠BAC=∠DAC ，∴∠DAC=∠ACO+∠ABO ．（2）如图2中，∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠CAB ，∠COB=2∠BAC ，∴∠BAD=∠BOC ，∵∠DAB=∠OBA+∠EBA ，∴∠BOC=∠OBA+∠EBA ，∴∠EFB=∠EBF ，∴EF=EB ．（3）如图3中，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，延长BE 交HO 的延长线于G ，作BN ⊥CF 于N ，作CK ⊥AD 于K ，连接OA ．作CT ∠⊥AB 于T ．∵∠EBA+∠G=90°，∠CFB+∠HOF=90°，∵∠EFB=∠EBF ，∴∠G=∠HOF ，∵∠HOF=∠EOG ，∴∠G=∠EOG ，∴EG=EO ，∵OH ⊥AB ，∴AB=2HB ，∵OE+EB=AB ，∴GE+EB=2HB ，∴GB=2HB ，∴cos ∠GBA=12HB GB = ，∴∠GBA=60°， ∴△EFB 是等边三角形，设HF=a ，∵∠FOH=30°，∴OF=2FH=2a ，∵AB=13，∴EF=EB=FB=FH+BH=a+132，∴OE=EF﹣OF=FB﹣OF=132﹣a，OB=OC=OE+EC=132﹣a+2=172﹣a，∵NE=12EF=12a+134，∴ON=OE=EN=（132﹣a）﹣（12a+134）=134﹣32a，∵BO2﹣ON2=EB2﹣EN2，∴（172﹣a）2﹣（134﹣32a）2=（a+132）2﹣（12a+134）2，解得a=32或﹣10（舍弃），∴OE=5，EB=8，OB=7，∵∠K=∠ATC=90°，∠KAC=∠TAC，AC=AC，∴△ACK≌△ACT，∴CK=CT，AK=AT，∵CD CB，∴DC=BC，∴Rt△DKC≌Rt△BTC，∴DK=BT，∵FT=12FC=5，∴DK=TB=FB﹣FT=3，∴AK=AT=AB﹣TB=10，∴AD=AK﹣DK=10﹣3=7．12．如图，AB是⊙O的直径，D、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE=CF.（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）连接CD、CB，若AD=CD=a，求四边形ABCD面积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OC，AC，可先证明AC平分∠BAE，结合圆的性质可证明OC∥AE，可得∠OCB＝90°，可证得结论；（2）可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明△OCB为等边三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面积公式可求得答案．【详解】（1）证明：连接OC，AC．∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE＝CF．∴∠CAE＝∠CAB．∵OC＝OA，∴∠CAB＝∠OCA．∴∠CAE＝∠OCA．∴OC∥AE．∴∠OCE＋∠AEC＝180°，∵∠AEC＝90°，∴∠OCE＝90°即OC⊥CE，∵OC是⊙O的半径，点C为半径外端，∴CE是⊙O的切线．（2）解：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝∠CAB，∴DC∥AB，∵∠CAE＝∠OCA，∴OC∥AD，∴四边形AOCD是平行四边形，∴OC＝AD＝a，AB＝2a，∵∠CAE＝∠CAB，∴CD＝CB＝a，∴CB＝OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，在Rt△CFB中，CF＝，∴S四边形ABCD＝（DC＋AB）•CF＝【点睛】本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．13．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，），点O（0，0）．△AOB 绕着O顺时针旋转，得△A'OB'，点A、B旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．（Ⅰ）如图1，A'B'恰好经过点A时，求此时旋转角α的度数，并求出点B'的坐标；（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，求证：AA'⊥BB'；（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．【答案】（Ⅰ）α＝60°，B'（3，）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为﹣2．【解析】【分析】（Ⅰ）作辅助线,先根据点A（2,0）,点B（0,）,确定∠ABO＝30°,证明△AOA'是等边三角形,得旋转角α＝60°,证明△COB'是30°的直角三角形,可得B'的坐标;（Ⅱ）依据旋转的性质可得∠BOB'＝∠AOA'＝α,OB＝OB',OA＝OA',即可得出∠OBB'＝∠OA'A ＝（180°﹣α）,再根据∠BOA'＝90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,即可得到∠BPA'＝90°,即AA'⊥BB';（Ⅲ）作AB的中点M（1,）,连接MP,依据点P的轨迹为以点M为圆心,以MP＝AB＝2为半径的圆,即可得到当PM∥y轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.【详解】解：（Ⅰ）如图1，过B'作B'C⊥x轴于C,∵OA＝2,OB＝2,∠AOB＝90°,∴∠ABO＝30°,∠BAO＝60°,由旋转得：OA＝OA',∠A'＝∠BAO＝60°,∴△OAA'是等边三角形,∴α＝∠AOA'＝60°,∵OB＝OB'＝2,∠COB'＝90°﹣60°＝30°,∴B'C＝OB’＝,∴OC＝3,∴B'（3,）,（Ⅱ）证明：如图2,∵∠BOB'＝∠AOA'＝α,OB＝OB',OA＝OA',∴∠OBB'＝∠OA'A＝（180°﹣α）,∵∠BOA'＝90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,∴∠BPA'＝360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）＝90°,即AA'⊥BB';（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为-2．理由是：如图，作AB的中点M（1,）,连接MP,∵∠APB＝90°,∴点P的轨迹为以点M为圆心,以MP＝AB＝2为半径的圆,除去点（2,2）,∴当PM⊥x轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2．【点睛】本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,含30°角的直角三角形的性质,四边形内角和以及圆周角定理的综合运用,解决问题的关键是判断点P的轨迹为以点M为圆心,以MP 为半径的圆．14．.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6．D是线段AC上一个动点（不与点A重合），⊙D与AB相切，切点为E，⊙D交射线．．DC于点F，过F作FG⊥EF交直线．．BC于点G，设⊙D的半径为r．（1）求证AE＝EF；（2）当⊙D与直线BC相切时，求r的值；（3）当点G落在⊙D内部时，直接写出r的取值范围．【答案】(1)见解析,(2)r=3,(3)63 35r<<【解析】【分析】（1）连接DE，则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE，而∠DEF=∠DFE，则∠DEF=∠DFE=30°=∠A，即可求解；（2）如图2所示，连接DE，当圆与BC相切时，切点为F，∠A=30°，AB=6，则BF=3，AD=2r，由勾股定理，即可求解；（3）分点F在线段AC上、点F在线段AC的延长线上两种情况，分别求解即可．【详解】解：设圆的半径为r；（1）连接DE，则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE，而∠DEF=∠DFE，则∠DEF=∠DFE=30°=∠A，∴AE=EF；（2）如图2所示，连接DE，当圆与BC相切时，切点为F∠A=30°，AB=6，则BF=3，AD=2r ，由勾股定理得：（3r ）2+9=36，解得：r=3；（3）①当点F 在线段AC 上时，如图3所示，连接DE 、DG ，333,3933FC r GC FC r =-==-②当点F 在线段AC 的延长线上时，如图4所示，连接DE 、DG ，333,3339FC r GC FC r ===-两种情况下GC 符号相反，GC 2相同，由勾股定理得：DG 2=CD 2+CG 2，点G 在圆的内部，故：DG2＜r2，即：22(332)(339)2r r r +-<整理得：25113180r r -+<6335r <<【点睛】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．15．对于平面直角坐标系xoy 中的图形P ，Q ，给出如下定义：M 为图形P 上任意一点，N 为图形Q 上任意一点，如果M ，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P ，Q 间的“非常距离”，记作d （P ,Q ）．已知点A （4,0），B （0,4），连接AB ．（1）d （点O ，AB ）= ；（2）⊙O 半径为r ，若d （⊙O ，AB ）=0，求r 的取值范围；（3）点C （－3，－2），连接AC ，BC ，⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为2，d （⊙T ，△ABC ），且0<d <2，求t 的取值范围．【答案】（1）22；（2）224r ≤≤；（3）25252t --<<--或6<r <8．【解析】【分析】（1）如下图所示，由题意得：过点O 作AB 的垂线，则垂线段即为所求；（2）如下图所示，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB ，交AB 于点E ，则：OB=2， OE=22，即可求解；（3）分⊙T 在△ABC 左侧、⊙T 在△ABC 右侧两种情况，求解即可．【详解】（1）过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D ，根据“非常距离”的定义可知，d （点O ，AB ）=OD=2AB 2244+2; （2）如图，当d（⊙O，AB）=0时，过点O作OE⊥AB,则OE=22,OB=OA=4，∵⊙O与线段AB的“非常距离”为0，∴224r≤≤；（3）当⊙T在△ABC左侧时，如图，当⊙T与BC相切时，d=0,2236+35,过点C作CE⊥y轴，过点T作TF⊥BC,则△TFH∽△BEC,∴TF THBE BC=,即2635,∴5∵HO∥CE,∴△BHO∽△BEC,∴HO=2，此时5，0);当d=2时，如图，同理可得，此时T （252--）；∵0<d <2，∴25252t --<<--；当⊙T 在△ABC 右侧时，如图，当p=0时，t=6，当p=2时，t=8.∵0<d <2，∴6<r <8；综上，25252t -<<或6<r <8．【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“非常距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用．。

广州市九年级上期中考试数学试题

1第一学期初三年级期中数学考试试卷第一卷注意：请将第一卷的答案写在第二卷的表格里。

一、选择题（每小题3分，共30分）1.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )．A ．B ．C ．D ．2.下列计算结果正确的是( )（Ａ）257+=（Ｂ）3223-= （Ｃ）2510⨯= （Ｄ）25105= 3.方程x (x + 2) = 0的根是（）．（A ）x = 2 （B ）x = 0 （C ）x 1 = 0 ，x 2 = -2 （D ）x 1 = 0 ，x 2 = 24.下列说法正确的是（）．（A ）“明天降雨的概率是80％”表示明天有80％的时间降雨（B ）“抛一枚硬币正面朝上的概率是0．5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上（C ）“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定会中奖（D ）“抛一枚正方体骰子朝上面的数为奇数的概率是0．5”表示如果将这个骰子抛很多很多次，那么平均每2次就有1次出现朝上面的数为奇数5.如图所示，圆O 的弦AB 垂直平分半径OC ．则四边形OACB （）A ．是正方形B ．是长方形C ．是菱形D ．以上答案都不对6.如图△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 的直径，∠ABC = 30°，则∠CAD=( )A ．30°B ． 60°C ． 90°D ．无法确定7.如图，边长为1的菱形ABCD 绕点A 旋转，当B 、C 两点恰好落在扇形AEF 的弧EF 上时，弧BC 的长度等于FED A第6题2（）Ａ．π6 Ｂ．π4 Ｃ．π3 Ｄ．π28.若圆锥的侧面面积为12π cm 2，它的底面半径为3 cm ，则此圆锥的母线长为（）A ．2πcmB ．2cmC ．4cmD ．4πcm9.⊙O 1和⊙O 2的半径是2 cm 和3 cm ，两圆的圆心距5 cm ，则两圆的位置关系是（） A ．内切 B ．外离 C ．外切 D ．相交10.已知分别是三角形的三边长，则方程的根的情况是（）A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根二、填空题（每小题3分，共18分） 11.3的倒数是．12.若a ＜1，化简2(1)1a --＝ .13若x 1，x 2是方程x 2=4的两根，则x 1+x 2的值是 14.如图，O 中OA BC ⊥，25CDA ∠=，则AOB ∠的度数为．15.甲、乙、丙三人坐成一排照相，则甲、乙两人坐在相邻位置上的概率为 .16.将直角边长为5cm 的等腰直角ABC △绕点A 逆时针旋转15后得到AB C ''△，则图中阴影部分的面积是 .第一卷答案题号1 2 3 4 56 7 8 9 10第14题AC BB '第16题3答案题号 11 12 13 14 15 16 答案第二卷三、解答题17.计算：（每小题5分，共10分）（1） 1(4875)13（2）解方程：x 2+ x+ 1=018.已知关于x 的一元二次方程)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4)2(222-+-b a ab 的值。

中学考试数学旋转问题

旋转问题考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。

旋转性质----对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。

注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。

一、直线的旋转1、(2009年省市)如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；2、（2009年）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°, ∠B =60°，BC =2．点0是AC的中点，过点0的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点D .过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设（第1题）直线l的旋转角为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．3、（2009年市）在ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD 于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：①当P为射线CD上任意一点（P1不与C 重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转90得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若AD=6,tanB=43,AE=1,在①的条件下，设CP1=x，S11P FC=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值围. 分析：此题是综合开放题-------已知条件、问题结论、解题依据、解题方法这四个要素中缺少两个或两个以上，条件需要补充，结论需要探究，解题方法、思考方向有待搜寻。

中考专题-几何综合题

中考专题-几何综合题1.在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．⑴ 在图1中证明CE CF =；⑵ 若90ABC ∠=︒，G 是EF 的中点（如图2），直接写出BDG ∠的度数； ⑶ 若120ABC ∠=︒，FG CE ∥，FG CE =，分别连结DB 、DG （如图3），求BDG ∠的度数．图1图2图3ABCFEDADBE CGFADECGFB2．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。

（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC=45°，求α的值。

3．在正方形ABCD 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接BE DE ，，其中DE 交直线AP 于点F ．（1）依题意补全图1；（2）若20PAB ∠=︒，求ADF ∠的度数；（3）如图2，若4590PAB ︒<∠<︒，用等式表示线段AB FE FD ，，之间的数量关系，并证明．图 1PDCBAA BCDP图 24如图1，正方形ABCD 与正方形AEFG 的边AB 、AE （AB ＜AE ）在一条直线上，正方形AEFG 以点A 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α. 在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE 、DG .（1）当正方形AEFG 旋转至如图2所示的位置时，求证：BE =DG ；（2）当点C 在直线BE 上时，连接FC ，直接写出∠FCD 的度数；（3）如图3，如果α=45°，AB =2，AE=G 到BE 的距离.A BCD E FG图2A BC D E FG图3GFED CBA 图15边长为2的正方形ABCD 的两顶点A 、C 分别在正方形EFGH 的两边DE 、DG 上(如图1)，现将正方形ABCD 绕D 点顺时针旋转，当A 点第一次落在DF 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交DF 于点M ，BC 边交DG 于点N . （1）求边DA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时(如图2)，求正方形ABCD 旋转的度数；（3）如图3，设MBN ∆的周长为p ，在旋转正方形ABCD 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.6在菱形ABCD 中，120ADC ∠=︒，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，50DEC ∠=︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转50︒并延长得到射线BF ，交ED 的延长线于点G ．（1）依题意补全图形；EDCBAEDCBA备用图（2）求证：EG BC =；（3）用等式表示线段AE ，EG ，BG 之间的数量关系：_____________________________．7如图，四边形ABCD 、1111A B C D 是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正方形1111A B C D 可以绕中心O 旋转,正方形ABCD 静止不动．（1）如图1，当11D D B B 、、、四点共线时，四边形11DCC D 的面积为；（2）如图2，当11D D A 、、三点共线时，请直接写出11CD DD = _________；（3）在正方形1111A B C D 绕中心O 旋转的过程中，直线1CC 与直线1DD 的位置关系是______________,请借助图3证明你的猜想．8.（1）如图1，正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，且满足BE=CF ，联结AE 、BF 交于点H..请直接写出线段AE 与BF 的数量关系和位置关系；（2）如图2，正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，联结BF ，过点E 作EG ⊥BF 于点H ，交AD 于点G ，试判断线段BF 与GE 的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，联结GF 、HD. 求证：FG+BEBF;BB图1 图2 图3题图1F BA图2FBD GEFB GE9.在正方形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上, 且DF = DC , M 为AB 边上一点,N 为MD 的中点, 点E 在直线CF 上(点E 、C 不重合).(1) 如图1, 点M 、A 重合, E 为CF 的中点, 试探究BN 与NE 的位置关系及BMCE的值, 并证明你的结论; (2) 如图2, 点M 、A 不重合, BN = NE , 你在(1)中得到的两个结论是否仍然成立?若成立, 加以证明; 若不成立, 请说明理由.10．在ABC △中，90ABC ∠=，D 为平面内一动点，AD a =，AC b =，其中a ，b 为常数，且a b <.将ABD △沿射线BC 方向平移，得到FCE △，点A 、B 、D 的对应点分别为点F 、C 、E .连接BE . （1）如图1，若D 在ABC △内部，请在图1中画出FCE △；（2）在（1）的条件下，若AD BE ⊥，求BE 的长（用含, a b 的式子表示）；（3）若=BAC α∠，当线段BE 的长度最大时，则BAD ∠的大小为__________；当线段BE 的长度最小时，则BAD ∠的大小为_______________（用含α的式子表示）.图1 备用图11．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =α，点P 在△ABC 的内部．(1) 如图1，AB =2AC ，PB =3，点M 、N 分别在AB 、BC 边上，则cos α=_______， △PMN 周长的最小值为_______；(2) 如图2，若条件AB =2AC 不变，而P A =2，PB =10，PC =1，求△ABC 的面积； (3) 若P A =m ，PB =n ，PC =k ，且cos sin k m n αα==，直接写出∠APB 的度数．FNMECB AECB FA (M )ABABCC12．已知等腰Rt ABC∆和等腰Rt AED∆中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC（1）发现：如(图1)，当点E在AB上且点C和点D重合时，若点M、N分别是DB、EC的中点，则MN与EC的位置关系是，MN与EC的数量关系是（2）探究：若把（1）小题中的△AED绕点A旋转一定角度，如(图2)所示，连接BD和EC,并连接DB EC的中点M、N,则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由;请以逆时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明位置关系成立，13．如图1，在△ABC 中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC = DE，∠CDE=∠ADB=α．（1）如图2 ，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．若α=90°，依题意补全图3，并求出：线段AF的长14．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．A(图2)(图1)(图3)(图4)BB图1DCB A15．如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =α，D 是BC 边上一点，以AD 为边作△ADE ，使AE =AD ， DAE ∠+BAC ∠=180°．（1）直接写出∠ADE 的度数（用含α的式子表示）；（2）以AB ，AE 为边作平行四边形ABFE ，①如图2，若点F 恰好落在DE 上，求证：BD =CD ； ②如图3，若点F 恰好落在BC 上，求证：BD =CF ．16．将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AC ，继续旋转α(0120)α<< 得到线段AD ，连接CD ．（1）连接BD ，①如图1，若α=80°，则∠BDC 的度数为；②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC 的大小是否改变．若不变，求出∠BDC 的度数；若改变，请说明理由．（2）如图2，以AB 为斜边作直角三角形ABE ，使得∠B =∠ACD ，连接CE ，DE ．若∠CED =90°，求α的值．17 如图1，在ABC Rt △中，90ACB ∠=︒，E 是边AC 上任意一点(点E 与点A ，C 不重合)，以CE 为一直角边作ECD Rt △，90ECD ∠=︒，连接BE ，AD .(1) 若CA CB =，CE CD =，①猜想线段BE ，AD 之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②现将图1中的ECD Rt △绕着点C 顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (2) 若8CA =，6CB=，3CE =，4CD =，ECD Rt △绕着点C 顺时针旋转锐角α，如图3，连接BD ，AE ，计算22BD AE +的值.图1 图2。

初中数学《旋转》专题100题含答案

（1）试猜想四边形AB‸′是什么特殊四边形，并说明理由；
（2）连接h′，C‸，如图③，求证：四边形C‸′h是平行四边形．
24.如图，将OABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，将线段
AB绕点B顺时针旋转9to．得线段A'B，点A的对应点为A'，连接AA'交线段BC于点‸．
（1）写出点B的坐标；
（2）画出O ABC绕点0旋转1‸to后得到的图形O A1B1C1，并写出点B1的坐标?
33. 如图，在建立了平面直角坐标系的正方形网格中，A2t2，B1tt，C3t1．
（1）画出O ABC关于x轴对称的O A1B1C1．
（1）作出旋转后的图形．
（2）C‸=．
‸B
25.如图，已知正方形ABC‸中，Bh平分²‸BC且交C‸边于点h，将OBCh绕点C顺时针旋转到
O‸C′的位置，并延长Bh交‸′于点G．
（1）求证：O B‸G∽O ‸hG；
（2）若hG · BG = t，求Bh的长．
26.如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个OABC和一点0，OABC
（3）求出在O ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．
7.正方形ABC‸的边长为3，h，′分别是AB，BC边上的点，且²h‸′=t5o．将O‸Ah绕点‸
逆时针旋转9to，得到O ‸Ch．
（1）求证：h′=′h
（2）当Ah=1时，求h′的长．
8. 如图，将OABC放于平面直角坐标系中，得到顶点坐标为A—3tt，B—3tt，Ctt3，以B为旋转中心，在平面直角坐标系内将O ABC顺时针旋转9to．
（2）将O ABC绕点0顺时针旋转9to，画出旋转后得到的O A2B2C2，并直接写出点A旋转到点A2所经过的路径长．

(含答案)九年级数学人教版上册课时练第24章《24.4 弧长和扇形面积》

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第24章圆24.4弧长和扇形面积一、选择题1．如图，在Rt ABC 中，90ACB Ð=°，AB =2BC =，以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧，交AB 于点D ，交AC 于点C ，以点B 为圆心，AC 的长为半径画弧，交AB 于点E ，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积为（）A ．8p -B ．4p -C ．24p-D ．14p-2．如图，AB 是O 的直径，4,AB C =为半圆AB 的中点，P 为弧AC 上一动点，连接PC 并延长，作BQ PC ^于点Q ，若点P 从点A 运动到点C ，则点Q 运动的路径长为（）A ．2B ．p C D ．43．如图，ABC 是等腰直角三角形，90ACB Ð=°，2AC BC ==，把ABC 绕点A 按顺时针方向旋转45°后得到AB C ¢¢△，则线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（）A ．13p B ．12πC ．p D ．2p4．如图，O 内切于边长为2的正方形ABCD ，则图中阴影部分的面积是（）A ．12π4-B ．1π4C ．4π-D ．11π4-5．如图，正方形ABCD 的边长为8，以点A 为圆心，AD 为半径，画圆弧DE 得到扇形DAE （阴影部分，点E 在对角线AC 上）．若扇形DAE 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（）A ．B ．2CD ．16．如图，把直径为60cm 的圆形车轮（O ）在水平地面上沿直线l 无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P ，则下列说法错误的是（）A ．当点P 离地面最高时，圆心O 运动的路径的长为30cmp B ．当点P 再次回到最低点时，圆心O 运动的路径的长为60cmp C ．当点P 第一次到达距离地面15cm 的高度时，圆心O 运动的路径的长为7.5cmp D ．当点P 第二次到达距离地面30cm 的高度时，圆心O 运动的路径的长为45cmp 7．如图是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面展开图的圆心角的度数为（）A ．60°B ．90°C ．120°D ．135°8．如图所示，矩形纸片ABCD 中，6cm AD =，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（）A ．24πcmB ．25πcmC ．26πcmD ．28πcm 9．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径6CA =，圆心角120ACB Ð=°，则此圆锥高OC 的长度是（）A ．2B ．C ．D ．10．如图，一张扇形纸片OAB ，∠AOB ＝120°，OA ＝6，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 重合，折痕为CD ，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（）A ．B ．12p -C ．D ．6p -二、填空题11．已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m ，半圆的直径为6m ，则圆心O 所经过的路线长是____________m ．（结果用π表示）12．如图，AC 的半圆O 的一条弦，将弧AC 沿弦AC 为折线折叠后过圆心O ，，则⊙O 的半径为___．13．如图，从一块半径是1m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是______m．14．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫、、都是格点，若图中扇形AOB是一个圆锥的侧面展开图，则该做格点，点O A B圆锥底面圆的半径为_______．15．如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画AC，点P为菱形内一点，连接P A，PB，PC．当BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为________．三、解答题16．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D、E．（1）求证：BD＝DC；（2）若∠BAC＝40°，AB＝AC＝8，求弧求的长．17．如图，点C ，D 是半圆O 上的三等分点，直径8AB =，连接AD ，AC ，作DE AB ^，垂足为E ，DE 交AC 于点F ．（1）求证：AF DF =．（2）求阴影部分的面积（结果保留p 和根号）18．如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，直线BO 与⊙O 交于点F 和点D ，OA 与⊙O 交于点E ，与DC 交于点G ，OA ＝OB ，CA ＝CB ．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若FC ∥OA ，CD ＝6，求图中阴影部分面积．19．如图，在正方形网格中，ABC 的4个顶点都在格点上，点A 、B 、C 的坐标分别为()2,4-、()2,0-、()4,1-，将ABC 绕着点A 逆时针旋转90°得到11ABC △．（1）画出11AB C △；（2）求点C 走过的路线长．20．如图，在直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为(3,3)，(4,0)，(0,2)，将ABC 绕着点C 顺时针旋转90°得11A B C ，其中点A 的对应点为点1A ．（1）请画出旋转后的11A B C ，并写出1A 的坐标；（2）求出在旋转过程中点A 所走过的路径长．（结果保留p ）21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ．以BC 为直径画圆O 分别交AB ，AC 于点D ，E ．（1）求证：BD ＝CE ；（2）当△ABC 中，∠B ＝70°且BC ＝12时，求DE 的长．22．如图，AB 为⊙O 的直径，且AB ＝4，点C 是弧AB 上的一动点（不与A ，B 重合），过点B 作⊙O 的切线交AC 的延长线于点D ，点E 是BD 的中点，连接EC ．（1）求证：EC 是⊙O 的切线；（2）当∠D ＝30°时，求图中阴影部分面积．23．如图1所示，在ABC 中，12AB AC ==，120CAB Ð=°，P 是BC 边上一点（不与B 、C 点重合），将线段AP 绕点A 逆时针旋转120°得到扇形P AQ ．@（1）求证：APB AQC（2）当BC与扇形P AQ相切时，求BQ的长；∥，求阴影部分的图形的周长．（结果不求近似值）（3）如图2，若AP CQ参考答案1．D 2．A 3．B 4．D 5．D 6．C 7．C 8．B 9．C 10．A11．（3π+50）50+3π）12．213．414．5415．23p 16．（1）连接BE ，AD ，∵AB 为直径，∴90ADB Ð=°，∴AD BC ^，又∵AB ＝AC ，∴AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝DC ；（2）连接OE ，∵∠BAC ＝40°，OA OE =，∴40OEA Ð=°，∴80BOE Ð=°，又∵AB ＝AC ＝8，∴4OB =，∴804161801809n r BC p p p ´´===．17．（1）证明：连接OD ，OC ，∵C 、D 是半圆O 上的三等分点，∴AD CD BC ==，度数都是60°，∴∠AOD =∠DOC =∠COB =60°，∴∠DAC =30°，∠CAB =30°，∵DE ⊥AB ，∴∠AEF =90°，∴∠ADE =180°-90°-30°-30°=30°，∴∠DAC =∠ADE =30°，∴AF =DF ；（2）解：由（1）知，∠AOD =60°，∵OA =OD ，AB =8，∴△AOD 是等边三角形，OA =4，∵DE ⊥AO ，OA =4，∠ADE =30°，∴AE =2，=∴S 阴影=S 扇形AOD -S △AOD =260418436023p p ×´-´´=-．18．（1）证明：连接OC ，∵OA ＝OB ，CA ＝CB ，∴OC ⊥AB ，∵OC 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线；（2）解：∵DF 是圆O 的直径，∴∠DCF ＝90°，∵FC ∥OA ，∴∠DGO ＝∠DCF ＝90°，∴DC ⊥OE ，∴DG ＝12CD ＝12×6＝3，∵OD ＝OC ，∴∠DOG ＝∠COG ，∵OA ＝OB ，AC ＝CB ，∴∠AOC ＝∠BOC ，∴∠DOE ＝∠AOC ＝∠BOC ＝13×180°＝60°，∠ODG ＝30°，∴OD=2OG ，在Rt △ODG 中，DG =，OG ，OD ＝，∴S 阴影＝S 扇形ODE ﹣S △DOG ＝260360p ×﹣12×3＝2π．19．解：（1）如图所示，11AB C △即为所求；（2）由题意得：190CAC Ð= ，AC ，∴1CC 的长A-；20．解：（1）如图，△A1B1C为所作，1(1,1)（2）CA=所以在旋转过程中点A．21．解：（1）证明：如图1，连接CD和BE，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠BCD＝∠CBE，∴BD CE=，∴BD＝CE．（2）解：如图2，连接OD、OE，∵AB＝AC，∠B＝70°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠DOC＝140°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE＝70°，∴∠COE＝40°，∴∠DOE＝100°，∵BC＝12，∴⊙O的半径为6，∴DE的长＝1006180p´＝103π．22．（1）证明：连接OC，OE，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵BE＝ED，∴DE＝EC＝BE，∵OC＝OB，OE＝OE，∴△OCE≌△OBE（SSS），∴∠OCE＝∠OBE，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，∴∠OCE＝∠ABD＝90°，∴OC ⊥CE ，∴EC 是⊙O 的切线；（2）∵OA ＝OB ，BE ＝DE ，∴AD ∥OE ，∴∠D ＝∠OEB ，∵∠D ＝30°，∴∠OEB ＝30°，∠EOB ＝60°，∴∠BOC ＝120°，∵AB ＝4，∴OB ＝2，∴BE．∴四边形OBEC 的面积为2S △OBE ＝2×12＝，∴阴影部分面积为S 四边形OBEC ﹣S 扇形BOC ＝﹣21202360p ×´＝﹣43p．23．解：（1）∵120CAB Ð=°，120PAQ Ð=°，∴CAB PAQ Ð=Ð，∵PAB CAB CAP Ð=Ð-Ð，CAQ PAQ CAP Ð=Ð-Ð，∴PAB CAQ Ð=Ð，在APB D 和AQC D 中，AB AC PAB QACAP AQ =ìïÐ=Ðíï=î∴APB AQC ≌ΔΔ（SAS ）；（2）如图所示，当BC 与扇形P AQ 相切时，P 为切点，则^AP BC 于P 点，∵120CAB Ð=°，AB AC =，∴30B ACB Ð=Ð=°，∵12AB =，∴6AP =，∵APB AQC ≌，∴60PAB CAQ Ð=Ð=°，AP AQ =，∴180QAB CAB CAQ Ð=Ð+Ð=°，∴12618BQ AB AQ =+=+=；（3）∵APB AQC ≌，∴30B ACQ Ð=Ð=°，CQ BP =，∵AP CQ ∥，∴60APB QCB ACQ ACB Ð=Ð=Ð+Ð=°，∴90PAB Ð=°，∴2BP AP =，∵12AB =，∴222AP AB BP +=，∴AP =，BP =，∴120ππ1803PQ =´=，∵30ACB PAC Ð=Ð=°，∴PC AP ==，∴阴部部分图形的周长为π3CQ PC PQ ++=+．。

初中数学竞赛奥数培优资料第三辑专题24 平面几何的定值问题

专题24平面几何的定值问题【阅读与思考】所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）.几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化的元素，也就是我们要探求的定值.解答定值问题的一般步骤是：1.探求定值；2.给出证明.【例题与求解】【例1】如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD ⌒上任意一点.求证：PA PC PB为定值.解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质，证明三角形全等.【例2】如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （）A .到CD 的距离保持不变B .位置不变C .等分DB ⌒D .随C 点的移动而移动（济南市中考试题）解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论.【例3】如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角.（加拿大数学奥林匹克试题）解题思路：不管ST 滑到什么位置，∠SOT 的度数是定值.从探寻∠SPM 与∠SOT 的关系入手.【例4】如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是AB⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；（2）当点C 在AB⌒上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD 2+3CH 2是定值.（广州市中考试题）解题思路：延长OG 交CD 于N ，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线段ON 转化成线段CH 的倍分关系，再以Rt △OND 为基础，通过勾股定理，使问题得以解决.【例5】如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8.（1）求点C 的坐标；（2）连接MG ，BC ，求证：MG ∥BC ；（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PF OF 的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.（深圳市中考试题）解题思路：对于（3）从动点F 达到的特殊位置时入手探求定值.（图1）（图2）【例6】如图，已知等边△ABC 内接于半径为1的圆O ，P 是⊙O 上的任意一点.求证：PA 2+PB 2+PC 2为定值.解题思路：当点P 与C 点重合时，PA 2+PB 2+PC 2=2BC 2为定值，就一般情形证明.【能力训练】A 级1.如图，点A ，B 是双曲线xy 3=上的两点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段.若S 阴影=1，则=+21S S _______.（牡丹江市中考试题）（第1题图）（第3题图）（第4题图）2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.（全国初中数学联赛试题）3.如图，OA ，OB 是⊙O 任意两条半径，过B 作BE ⊥OA 于E ，又作OP ⊥AB 于P ，则定值OP 2+EP 2为_________.4.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ，则直线BF 与直线DE 所夹的锐角的度数为（）A .30°B .40°C .50°D .60°（武汉市竞赛试题）5.如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作A A '⊥AB ，AB B B ⊥'，且A A '=AP ，B B '=BP .连接B A ''，当点P 从点A 移动到点B 时，B A ''的中点的位置（）A ．在平分AB 的某直线上移动B .在垂直AB 的某直线上移动C .在弧AMB 上移动D .保持固定不移动（第5题图）（第6题图）6.如图，A ，B 是函数xk y 图象上的两点，点C ，D ，E ，F 分别在坐标轴上，且分别与点A ，B ，O 构成正方形和长方形.若正方形OCAD 的面积为6，则长方形OEBF 的面积是（）A .3B .6C .9D .12（海南省竞赛试题））7.（1）经过⊙O 内或⊙O 外一点P 作两条直线交⊙O 于A ，B 和C ，D 四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况.在六种不同情况下，PA ，PB ，PC ，PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.（2）已知⊙O 的半径为一定值r ，若点P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点P 任作一直线交⊙O 于不重合的两点E ，F .PE ·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.8.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，点O 在原点，现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线x y =上时停止旋转.旋转过程中，AB 边交直线x y =于点M ，BC 边交x 轴于点N .（1）求OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 与AC 平行时，求正方形OABC 旋转度数；（3）设△MBN 的周长为P ，在正方形OABC 旋转的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论.（济宁市中考试题）9.如图，AB 是半圆的直径，AC ⊥AB ，AC =AB .在半圆上任取一点D ，作DE ⊥CD ，交直线AB 于点E ，BF ⊥AB ，交线段AD 的延长线于点F .（1）设弧AD 是x °的弧，若要点E 在线段BA 的延长线上，则x 的取值范围是_______.（2）不论点D 取在半圆的什么位置，图中除AB ＝AC 外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段，并予证明.（江苏省竞赛试题）（第9题图）（第10题图）（第11题图）10.如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O 的半径为R .求证：（1）2222DK CK BK AK +++是定值；（2）2222DA CD BC AB +++是定值.611.如图，设P 是正方形ABCD 外接圆劣弧弧AB上的一点，求证：DP CP BP AP ++的值为定值.（克罗地亚数学奥林匹克试题）B 级1.等腰△ABC 的底边BC 为定长2，H 为△ABC 的垂心.当顶点A 在保持△ABC 为等腰三角形的情况下改变位置时，面积S △ABC ·S △HBC 的值保持不变，则S △ABC ·S △HBC =________.2.已知A ，B ，C ，D ，E 是反比例函数xy 16=（x ＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）.（福州市中考试题）3.如图，将六边形ABCDEF 沿直线GH 折叠，使点A ，B 落在六边形ABCDEF 的内部，记∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝α，则下列结论一定正确的是（）A .∠1＋∠2＝900°－2αB .∠1＋∠2＝1080°－2αC .∠1＋∠2＝720°－αD .∠1＋∠2＝360°－21α（武汉市竞赛试题）4.如图，正△ABO的高等于⊙O的半径，⊙O在AB上滚动，切点为T，⊙O交AO，BO于M，N，则弧MTN（）A.在0°到30°变化B.在30°到60°变化C.保持30°不变D.保持60°不变5.如图，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8.若MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A，B到MN的距离分别为h1，h2，则∣h1-h2∣等于（）A.5B.6C.7D.8（黄石市中考试题）（第5题图）（第6题图）6.如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A，C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B，D.（1）求点A的坐标（用m表示）（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F.试证明：FC（AC+EC）为定值.（株洲市中考试题）7.如图，已知等边△ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A，B的点M.设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N.证明线段AK和BN的乘积与M点的选择无关.（湖北省选拔赛试题）（第7题图）（第8题图）8.如图，设H 是等腰三角形ABC 两条高的交点，在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积S △ABC ·S △HBC 的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.（全国初中数学联赛试题）9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线10941812--=x x y 与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点为点B .过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连接AC .现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动.点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动.线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于E ，射线QE 交x 轴于点F .设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）.（1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程；（3）当290<<t 时，△PQF 的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由；（4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形，请写出解答过程.（黄冈市中考试题）（第9题图）（第10题图）10.已知抛物线C 1：12121+-=x x y ，点F （1,1）.（1）求抛物线C 1的顶点坐标；（2）若抛物线C 1与y 轴的交点为A ，连接AF，并延长交抛物线C 1于点B ，求证：211=+BF AF .（3）抛物线C 1上任意一点P （x P ，y P ）（0＜x P ＜1），连接PF ，并延长交抛物线C 1于点Q （x Q ，y Q ），试判断211=+QFPF 是否成立？请说明理由.11.已知A ，B 是平面上的两个顶点，C 是位于AB 一侧的一个动点，分别以AC ，BC 为边在△ABC 外作正方形ACDE 和正方形BCFG .求证：不论C 在直线AB 同一侧的任何位置，EG 的中点P 的位置不变.（四川省竞赛试题）专题24平面几何的定值问题例1延长PC 至E ，使CE ＝AP ，连结BE ，则△BCE ≌△BAP ，及△PBE 为等腰直角三角形，故2PA PC CE PC PE PB PB PB ++===例2B 提示：连结AC ，BC ，可以证明P 为 APB 的中点．例3∵SP ⊥OP ，OM ⊥ST ，∴S ，M ，O ，P 四点共圆，于是∠SPM ＝∠SOM ＝12∠SOT 为定角．例4(1)连结OC 交DE 于M ，则OM ＝CM ，EM ＝DM ，而DG ＝HE ，则HM ＝GM 故四边形OGCH 是平行四边形．(2)DG 不变．DE ＝OC ＝OA ＝3.DG ＝13DE ＝13×3＝1．(3)设CD ＝x ，延长OG 交CD 于N ，则CN ＝DN ＝12x ，229CE x =-，2214DN x =.∴22394ON x =-，而ON ＝32CH ，∴22143CH x =-．故CD 2＋3CH 2＝x 2＋3(4－13x 2)＝x 2＋12－x 2为定值．例5⑴C (0，4)⑵先求得AM ＝CM ＝5，连接MC 交AE 于N ，由△AO G ∽△ANM ，得OG AO MN AN =，O G ＝32，38OG OM OC OB ==，又∠BOC ＝∠G OM ，∴△G OM ∽△COB ，∠G MO ＝∠CBO ，得M G ∥BC ．⑶连结DM ，则DM ⊥PD ，DO ⊥PM ，DO 2＝OM •OP ，OP ＝163．动点F 在⊙M 的圆周上运动时，从特殊位置探求OF PF的值．当F 与点A 重合时，2316523OF AO PF AP ===-；当点F 与点B 重合时，8316583OF OB PF PB ===+；当点F 不与点A ，B 重合时，连接OF 、PF 、MF ，∴DM 2＝MO •MP ，∴FM 2＝MO •MP ，即FM MP OM FM =，又∠OMP ＝∠FMP ，∴△MFO ∽△MPF ，35OF MO PF MF ==，故OF PF 的比值不变，比值为35．例6∠BPC ＝120°，在△BPC 中，由余弦定理得BC 2＝PB 2＋PC 2－2PB •PC ＝BC 2，又由上托勒密定理得BC •PA ＋PC •AB ，而AB ＝BC ＝AC ，∴PA ＝PB ＋PC ，从而PA 2＋PB 2＋PC 2＝(PB ＋PC )2＋PB 2＋PC 2＝2(PB 2＋PC 2＋PB •PC )＝2BC 2＝2×23＝6．故PA 2＋PB 2＋PC 2为定值．A 级1．4提示：∵S 1＋S 阴＝S 2＋S 阴＝xy ＝3，∴S 1＋S 2＝2xy －2S 阴＝6－2＝4．2．273提示：1＋3＋5＝9是等边三角形的高．3．r 2提示：先考查OB 与OA 垂直的情形．4．D 提示：延长BF 交DE 于点M ，连接BD ，则△BCD 为等边三角形，BF 平分∠CBD ．∵F 为CD 中点，且AD ∥CE ，∴△ADF 与△ECF 关于点F 中心对称．∴CE ＝AD ＝CD ，∴∠CEM=30°，∠DMF=60°，5．D 提示：A′B′的中点均在⊙O 的上半圆的中点处．6．B提示：S 正方形OCAD ＝OD •OC ＝A A x y k = ＝6，∴S OEBF ＝OE •OF ＝x B •y B k =＝6．7．⑴略⑵当点P 在⊙O 内时，过P 作直径CD ，则PE •PF ＝PD •PC ＝r 2－OP 2为定值；当点P 在⊙O 外时，PE •PF 为定值22OP r -．结论：过不在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆相交点的两条线段长的积为定值．8．⑴2π⑵22.5°⑶P 值无变化．理由如下：如图，延长BA 交y 轴于E 点，可证明△OAE ≌△OCN ，得OE ＝ON ，AE ＝CN ，又∠MOE ＝∠MON ＝45°，OM ＝ON ，∴△OME ≌△OMN ，得MN ＝ME ＝AM ＋AE ＝AM ＋CN ．∴P ＝MN ＋BN ＋BM ＝AM ＋CM ＋CN ＋BN ＋BM ＝AB ＋AC ＝4．9．⑴0＜x ＜90⑵BE ＝BF 提示：连接BD ，可证明△BDF ∽△ADB ，△BDE ∽△ADC ．10．⑴作OP ⊥BD 于P ，OQ ⊥AC 于Q ，连接AO ，则AO 2＝()()221122BK DK CK AK ⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又AK •CK ＝BK •DK ，得AK 2＋BK 2＋CK 2＋DK 2＝4R 2为定值．⑵作直径DE ，连接AE ，BE ，CE ，AB 2＋CD 2＝4R 2，AD 2＋BC 2＝4R 2，故AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝8K 2为定值．11．设正方形的边长为a ，根据托勒密定理，对于四边形APBC 和四边形APBD ，有CP •a ＝AP •a ＋BP •，DP •a ＝BP •a ＋AP ，两式相加并整理得(CP ＋DP )a ＝(AP ＋BP )(a )，从而1AP BP CP DP+=-+为定值．1．1提示：不妨设∠A 为锐角，AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，H 为垂心，由AB ＝AC 知∠HBD ＝∠HCD ＝∠HAE ，∠HDC ＝∠CDA ＝90°，故R t △CHD ∽R t △ACD ．∴AD DC DC HD =，即AD •HD ＝DC 2＝14BC 2＝1．∴S △ABC •S △HBC ＝2111224BC AD BC HD BC ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1．当∠A ≥90°时，结论成立．2．13π－26提示：∵A ，B ，C ，DE 是反比例函数y ＝16x(x ＞0)图象上五个整数点，由图象可知，这些点的横坐标分别为1，2，4，8，16．∴五个正方形的边长分别为1，3，4，2，1．∴这五人橄榄形的面积总和是2221111112211122222444424242ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝5π－10＋8π－16＝13π－26．3．B 提示：如图，设FA 的延长线与CB的延长线交于点P ，G A ′的延长线与HB ′的延长线交于点P ′．由对称性可知∠1＝2∠APP ′，∠2＝2∠BPP ′．∴∠1＋∠2＝2∠APB ．∵∠APB ＝540°－α，∴∠1＋∠2＝1080°－2α．4．D 5．B 提示：如图，设AB 与MN 交于点C ，过点O 作OD ⊥MN 于D ，连接FO 并延长交EB 于G ．由垂径定理，得OD ＝3．由△AFO ≌△B G O ，得AF ＝B G ，即h 1＝B G ．由AF ⊥MN ，BE ⊥MN ，得△FOD ∽△F G E ．∴12OD FO GE FG ==．∴E G ＝2OD ＝6，∴12h h AF BE -=-＝E G ＝6．6．⑴A (3－m ，0)⑵y ＝x 2－2x ＋1⑶过点Q 作QM ⊥AC 于M ，过点Q 作QN ⊥BC 于N ，设Q 点的坐标为(x ，x 2－2x ＋1)，则QM ＝CN ＝(x －1)2，MC ＝QN ＝3－x ．∵QM ∥CE ，∴PQM ∽△PEC ．∴QM PM EC PC =，即()2112x x EC --=，得EC ＝2(x －1)．∵QN ∥CF ，∴△BQN ∽△BFC ．∴QN BN FC BC=，即()24134x x FC ---=，得FC ＝41x +．又AC ＝4，∴FC (AC ＋EC )＝()44211x x +-⎡⎤⎣⎦+＝8为定值．7．提示：易证△ABK ∽△BNA ，故AK •BN ＝AB 2为定值，即AK 与BN 的乘积与M 点的选择无关．8．提示：S △ABC •S △HBC ＝116BC 4，由于BC 是不变的，所以当点A 至BC 的距离变小时，乘积S △ABC •S △HBC 保持不变．9．⑴A (18，0)，B (0，－10)，顶点坐标为(4，－989)⑵若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC ∥PA ，故只要QC ＝PA 即可，而PA ＝18－4t ，CQ ＝t ，故18－4t ＝t ，得t ＝185．⑶设点P 运动t s ，则OP ＝4t ，CQ ＝t ，0＜t ＜4.5．说明P在线段OA 上，且不与点O ，A 重合．由于QC ∥OP 知△QDC ∽△PDO ，故144QD QC t DP OP t ===．同理QC ∥AF ，故14QC CE AF EA ==，即14t AF =，∴AF ＝4t ＝OP ．∴PF ＝PA ＋AF ＝PA ＋OP ＝18．又点Q 到直线PF 的距离d ＝10，∴S △PQF ＝12•PF •d ＝12×18×10＝90．于是S △PQF 的面积总为定值90．⑷由前面知道，P (4t ，0)，F (18＋4t ，0)，Q (8－t ，－10)，0≤t ≤4.5．构造直角三角形后易得PQ 2＝(4t －8＋t )2＋102＝，FQ 2＝(18＋4t －8＋t )2＋102＝(5t ＋10)2＋100．①若FP ＝FQ ，即182＝(5t ＋10)2＋100，故25(t ＋2)2＝224，(t ＋2)2＝24425．∵2≤t ＋2≤6.5，∴t＋25=．∴t ＝2．②若QP ＝QF ，即(5t －8)2＋100＝(5t ＋10)2＋100，即(5t －8)2＝(5t ＋10)2，无0≤t ≤4.5的t 满足．③若PQ ＝PF ，即(5t －8)2＋100＝182，∴(5t－8)2＝22415，又0≤5t ≤22.5，∴－8≤5t －8≤14.5，14.52＝22984124⎛⎫= ⎪⎝⎭＜224．故没有t (0≤t ≤4.5)满足此方程．综上所述，当t ＝5－2时，△PQ R 为等腰三角形．10．⑴C 1的顶点坐标为(1，12).⑵略⑶作PM ⊥AB 于M ，作QN ⊥AB 交AB 延长线于N ，∴PM ＝1－y P ，FM ＝1－x P ．在R t △PMF 中，PF 2＝(1－y P )2＋(1－x P )2＝1－2y P ＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2，又∵点P 在抛物线上，∴y P ＝12x P 2－x P ＋1，∴PF 2＝1－x P 2＋2x P －2＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2＝y P 2，∴PF ＝y P ，同理，QF ＝y Q ，易证△PMF ∽△QNF ，则PM QN PF QF =，∴11Q P y y PF QF --=，即11PF QF PF QF--=，∴11PF QF+＝2．11．先从特殊情况出发．当△ABC 是等腰直角三角形时，点P 与点C 重合，此时点P 的位置在AB 的中垂线上，且到AB 的距离为12AB ，如图①所示．下面就一般情况来证明上面的结论(结论②所示)．过C ，E ，G 分别作直线AB 的垂线CH ，EM ，G N ，垂足分别是H ，M ，N ．容易证明△AEM ≌△ACH ，△B G N ≌△BCH ．从而有AM ＝CH ＝BN ，EM ＝AH ，G N ＝BH ．这样，线段AB 的中点O 也是线段MN 的中点，连接OP ，则OP 是梯形EMN G 的中位线，从而OP ⊥AB ，OP ＝12(EM ＋G N )＝12(AH ＋BH )＝12AB ．∴无论点C 在AB 同一侧的位置如何，E G 中点P 的位置不变．。

中考数学旋转(大题培优易错难题)及答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编〔难题易错题〕1 .在由△ ABC中,AB=BC=5, Z B=90%将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点.处,将三角板绕点0旋转,三角板的两直角边分别交AB, BC或其延长线于E, F两点,如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况.〔1〕三角板绕点0旋转,△OFC是否能成为等腰直角三角形？假设能,指出所有情况〔即给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长〕：假设不能,请说明理由：〔2〕三角板绕点0旋转,线段0E和OF之间有什么数量关系？用图①或②加以证实：〔3〕假设将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处〔如图③〕,当AP:AC=L4时,PE和PF 有怎样的数量关系？证实你发现的结论.【解析】【小题1】由题意可知,①当F为BC的中点时,由AB=BC=5,可以推出CF和OF的长度,即可推出BF的长度,②当B与F重合时,根据直角三角形的相关性质,即可推出OF 的长度,即可推出BF 的长度；【小题2】连接0B,由己知条件推出△ OEB合么OFC,即可推出OE=OF：【小题3］过点P做PM±AB, PN±BC,结合图形推出△ PNF~ & PME, △ APM- △ PNC,继而推出PM： PN=PE： PF, PM： PN=AP： PC,根据条件即可推出PA： AC=PE： PF=1： 4.2 .在平面直角坐标中,边长为2的正方形OA8C的两顶点A、C分别在y轴、X轴的正半轴上,点.在原点.现将正方形.48c绕.点顺时针旋转,当A点一次落在直线y=x上时停止旋转,旋转过程中,A5边交直线〕'='于点M边交汇轴于点N 〔如图〕.〔1〕求边04在旋转过程中所扫过的面积；〔2〕旋转过程中,当和AC平行时,求正方形O43C旋转的度数:(3)设AM3N的周长为P,在旋转正方形O45C的过程中,〃值是否有变化？请证实你的结论. 【答案】(1)n/2(2) 22.5.⑶周长不会变化,证实见解析【解析】试题分析：(1)根据扇形的面积公式来求得边0A在旋转过程中所扫过的面积：(2)解决此题需利用全等,根据正方形一个内角的度数求出NAOM的度数：(3)利用全等把△ MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子.试题解析：(1) TA点第一次落在直线y=x上时停止旋转,直线y=x与y轴的夹角是45.,/. 0A 旋转了45°.0A在旋转过程中所扫过的面积为土」=-.360 2(2) •/ MNII AC,・•. Z BMN=Z BAC=45% Z BNM=Z BCA=45°./. Z BMN=Z BNM. /. BM=BN.又YBA=BC, A AM=CN.又；OA=OC, Z OAM=Z OCN, △ OAM合△ OCN./. Z A0M=Z CON=- (Z AOC-Z MON ) =- (90°-45°) =22.5°.2 2旋转过程中,当MN和AC平行时,正方形OABC旋转的度数为45.-22.5.=22.5..(3)在旋转正方形OABC的过程中,p值无变化.证实：延长BA交y轴于E点,那么N AOE=45°-Z AOM, Z CON=90°-45°-Z AOM=450-Z AOM,・•. Z AOE=Z CON.又：OA=OC, Z OAE=180o-90o=90°=Z OCN.:, & OAE2 A OCN.「.OE=ON, AE=CN.文:Z MOE=Z MON=45°, 0M=0M,「・△ OME2△ OMN. /. MN=ME=AM+AE.・•, MN=AM+CN,/. p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4...・在旋转正方形OABC的过程中,p值无变化.考点：旋转的性质.3.己知：如图1,将两块全等的含30.角的直角三角板按图所示的方式放置,N 84c=N 8MiC=30°,点8, C, 8］在同一条直线上.(1)求证：AB=2BC(2)如图2,将△ABC绕点C顺时针旋转凌.(0Va<180),在旋转过程中,设AB与AiC. AiB】分别交于点D、E, AC与A】Bi交于点F.当骏等于多少度时,AB与A X B工垂直？请说明理由.〔3〕如图3,当△ABC绕点C顺时针方向旋转至如下图的位置,使ABIICBi,AB与AK 交于点D,试说明A1D=CD.【答案】〔1〕证实见解析〔2〕当旋转角等于30.时,AB与AiBa垂直.〔3〕理由见解析【解析】试题分析：⑴由等边三角形的性质得八8=88］,又由于8B1=2BC,得出A8=28C;⑵利用AB与AiBi垂直得N AiED=90°,那么N AQE=90°-N Ai=60°,根据对顶角相等得Z BDC=60.,由于N B=60°,利用三角形内角和定理得N A1CB=180°-Z BDC-Z B=60°,所以N ACA】=90.-/AiCB=30.,然后根据旋转的定义得到旋转角等于30.时,AB与AiBi垂直：⑶由于ABIICB］, N ACBF90.,根据平行线的性质得N ADC=90.,在由△ ADC中,根据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=L AC,再根据旋转的性质得AC=AC 所以2CD=-AiC,贝ljAiD=CD.2试题解析：（1）.「△488］是等边三角形；AB=BBi•/ 881=2BCAB=2BC〔2〕解：当AB 与AiBi垂直时,Z AiED=90%・•, Z A1DE=90°-Z A F900-30°=60°,Z B=60% ?. Z BCD=60%/. Z ACAi=90°-60c=30°,即当旋转角等于30.时,AB与A】B,垂直.〔3〕 ABII CBi, Z ACBi=90%/. Z CDB=90°,即CD 是△ ABC 的高,设BC=.,AC=.,贝lj由〔1〕得AB=2fl, ,7 ^WRC = — BCxAC = — ABxCD.UBC 2 2即［=k2axeO2 2CD = -b 9即CD=-!-AiC,2 2/. AiD=CD.【点睛】此题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中央的距离相等: 对应点与旋转中央的连线段的夹角等于旋转角.也考查了含30度的直角三角形三边的关系.4.:在△ ABC中,BC=a, AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究以下问题：〔1〕如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时,a=b=3,且N ACB=60.,那么CD=—: 〔2〕如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时,a=b=6,且N ACB=90.,那么CD=_；〔3〕如图3,当NACB 变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求CD的最大值及相应的N ACB的度数.【答案】〔1〕3\产：〔2〕 3、伸-3\4 ㈠〕当NA CB=120.时,CD有最大值是a+b.【解析】【分析】〔1〕a=b=3,且NACB=60.,△ ABC是等边三角形,且CD是等边三角形的高线的2倍,据此即可求解；〔2〕 a=b=6,且NACB=90.,△ ABC是等腰直角三角形,且CD是边长是6的等边三角形的高长与等腰直角三角形的斜边上的高的差：〔3〕以点D为中央,将△ DBC逆时针旋转60.,那么点B落在点A,点C落在点E.连接AE, CE,当点E、A、C在一条直线上时,CD有最大值,CD=CE=a+b.【详解】（1）/ a=b=3,且NACB=60°,「. △ ABC是等边三角形,3//. 0C= 2 ,/. CD=3、3：（2）石-3©〔3〕以点D 为中央,将△ DBC 逆时针旋转60., 那么点B 落在点A,点C 落在点E.连接AE, CE, CD 有最大值是a+b.此题主要考查了等边三角形的性质,以及轴对称的性质,正确理解CD 有最大值的条件, 是解题的关键.5.在△ ABC 中,AB=AC, Z A=30°,将线段BC 绕点B 逆时针旋转60.得到线段BD,再将线段BD 平移到EF,使点E 在AB 上,点F 在AC 上.〔1〕如图1,直接写出N ABD 和NCFE 的度数；〔2〕在图1中证实:AE=CF ；〔3〕如图2,连接CE,判断4CEF 的形状并加以证实.□ 1 口2【答案】(1)15% 45.： (2)证实见解析：(3) 4CEF 是等腰直角三角形,证实见解析.【解析】试题分析：(1)根据等腰三角形的性质得到N ABC 的度数,由旋转的性质得到/ DBC 的度数,从・•・A CDE 为等边三角CE=CD.当点E 、A 、C 不在一条直线上时,有 CD=CE<AE+AC=a+b ；当点E 、A 、C 在一条直线上时,CD 有最大值,CD=CE=a+b ：只有当N ACB=120°时,Z CAE=180%即A 、C 、E 在一条直线上,此时AE 最大【点/. Z ACB=120°, 因此当N ACB=120°时,而得到NABD的度数；根据三角形外角性质即可求得NCFE的度数.(2)连接CD、DF,证实△ BCD是等边三角形,得到CD=BD,由平移的性质得到四边形BDFE是平行四边形,从而ABH FD,证实△ AEF合△ FCD即可得AE=CF.(3)过点E作EG J_CF于G,根据含30度直角三角形的性质,垂直平分线的判定和性质即可证实△ CEF是等腰直角三角形.(1) :在△ ABC 中,AB=AC, ZA=30% Z ABC=75°.•将线段BC绕点B逆时针旋转60.得到线段BD,即NDBC=60..NABD=15../. Z CFE=Z A+Z ABD=45°.(2)如图,连接CD、DF.线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD, /. BD=BC, Z CBD=60°. △ BCD是等边三角形.「・CD=BD.・「线段BD平移到EF,・・.EFII BD, EF=BD.四边形BDFE是平行四边形,EF=CD.「AB = AC, Z A=30°, /. Z ABC=Z ACB=75°. /. Z ABD=Z ACD=15°.,•,四边形BDFE是平行四边形…♦・ABH FD. /. Z A=Z CFD.:■ & AEF合△ FCD (AAS)./. AE=CF.(3) ZkCEF是等腰直角三角形,证实如下：如图,过点E作EG_LCF于G,: Z CFE =45°, /. Z FEG=45°. /. EG=FG.1EG =耳AEZ A=30°, NAGE=90°,「・2・1 1EG = £：F FG = KFV AE=CF,「. 2 . /. 2.・.G为CF的中点.「.EG为CF的垂直平分线.EF=EC./. Z CEF=Z FEG=90°.・•.△ CEF是等腰直角三角形.考点：1 •旋转和平移问题：2.等腰三角形的性质；3.三角形外角性质；4.等边三角形的判定和性质：5.平行四边形的判定和性质：6.全等三角形的判定和性质；7.含30度直角三角形的性质：8.垂直平分线的判定和性质：9.等腰直角三角形的判定.6.边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上〔如图1〕.现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转,当A点第一次落在DF上时停止旋转,旋转过程中,AB 边交DF于点M, BC边交DG于点N.〔1〕求边DA在旋转过程中所扫过的面积：〔2〕旋转过程中,当MN和AC平行时〔如图2〕,求正方形ABCD旋转的度数；〔3〕如图3,设AMBN的周长为p,在旋转正方形ABCD的过程中,p值是否有变化？清证实你的结论.71【答案】〔1〕2 〔2〕 225°；〔3〕不变化,证实见解析.【解析】试题分析：〔1〕将正方形ABCD绕D点顺时针旋转,当A点第一次落在DF上时停止旋转,旋转过程中,DA旋转了45°,从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的面积.〔2〕旋转过程中,当MN和AC平行时,根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求正方形ABCD旋转的度数为22.5.〔3〕延长BA交DE轴于H点,通过证实/D4〃三4DCN和/DM〃三4DMN可得结论.〔1〕;A点第一次落在DF上时停止旋转,「.DA旋转了45°.457r x 22 7TDA在旋转过程中所扫过的而积为360― 一2〔2〕 ,/ MN II AC, = ^-BAC = 45° Z./7/VM = ZBC4=45°.乙BMN =乙BNM . BM = BN・•・• • •T7.. BA = BC . AM = CN • ,・・•T7..DA = DC,4AM =乙DCN . ADAM=ADCN• /• • •1"DM = k〔900 - 45°〕 = 22.5°.L ADM=乙CDN . 2••• ・• •厂.旋转过程中,当MN和AC平行时,正方形ABCD旋转的度数为45°-22.5.= 22.5.⑶不变化,证实如下：如图,延长BA交DE轴于H点,那么LADE = 45° - LADM L CDN = 900 - 45° - L ADM = 450 - L ADM,,.LADE =乙CDN•• •T7.. DA = DC^DAH = 1800-90° = 90° = LDCN . ADAH^ADCN • •• • •.DH = DN f AH = CN•• ♦..〔MDE =乙MDN = 45°刀M = DM . ADMHwADMNv.MN = MH = AM + AH . MN = AM + CNp = MN + BN + BM = AM + CN + BN + BM = AB + BC = 4,在旋转正方形ABCD的过程中,P值无变化.考点：1 ,而动旋转问题：2.正方形的性质：3,扇形面积的计算：4.全等三角形的判定和性质.7.思维启迪：(1)如图1, A, B两点分别位于一个池塘的两端,小亮想用绳子测量A, B 间的距离,但绳子不够长,聪明的小亮想出一个方法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C,连接BC,取BC的中点P (点P可以直接到达A点),利用工具过点C作CDII AB,思维探索：(2)在4ABC 和4ADE 中,AC=BC. AE = DE,且AE<AC,Z ACB = Z AED =90.,将△ ADE绕点A顺时针方向旋转,把点E在AC边上时△ ADE的位置作为起始位置 (此时点B和点D位于AC的两侧),设旋转角为a,连接BD,点P是线段BD的中点,连接PC, PE.①如图2,当△ ADE在起始位置时,猜测：PC与PE的数量关系和位置关系分别是；②如图3,当a = 90.时,点D落在AB边上,请判断PC与PE的数量关系和位置关系,并证实你的结论：③当a=150.时,假设BC = 3, DE=I,请直接写出PC?的值.【答案】(1) 200： (2)①PC=PE, PC_LPE：②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE, PC±PE,见解析：@PC2=-1()+ 3-.2【解析】【分析】(1)由CDIIAB,可得NC=NB,根据N APB=N DPC即可证实△ ABP2△ DCP,即可得AB = CD,即可解题.(2)①延长EP交BC于F,易证△ FBP合△ EDP (SAS)可得△ EFC是等腰直角三角形,即可证实PC=PE, PCXPE.②作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,易证△ FBP合△ EDP (SAS),结合得BF = DE=AE,再证实△FBCW △ EAC (SAS),可得△ EFC是等腰直角三角形,即可证实PC = PE, PC±PE.③作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,过E点作EH_LAC交CA延长线于H 点,由旋转旋转可知,Z CAE = 150", DE与BC所成夹角的锐角为30.,得N FBC = N EAC, 同②可证可得PC=PE, PC_LPE,再由己知解三角形得J. EC2=CH2+HE2=1O + 3JJ,即可求出尸C2=9EC2 = 1()-3丫’3 2 2【详解】(1)解:丁CDII AB, J Z C=Z B,在仆ABP和aDCP中,BP = CPZAPB = NDPC,/B = /C:■ & ABP合△ DCP (SAS),DC=AB.AB = 200 米.・•・CD=200米,故答案为：200.(2)①PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE, PCXPE.理由如下：如解图1,延长EP交BC于F,同(1)理,可知,△ FBP合 & EDP (SAS),/. PF=PE, BF = DE,又,.,AC=BC, AE = DE,FC=EC,又•・・Z ACB = 90\EFC是等腰直角三角形,・/ EP = FP,・・.PC=PE, PCJLPE.®PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC = PE, PC±PE.理由如下：如解图2,作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF, 同①理,可知△ FBP2△ EDP (SAS),・・.BF = DE. PE = PF=-EF, 2・/ DE=AE,/. BF = AE,・••当a=90.时,Z EAC=90°,ED II AC, EAII BCFBII AC, Z FBC=90,・•・ Z CBF=Z CAE,在^ FBC和^ EAC中,BF = AE< NCBE = NCAE ,BC = AC:■ & FBC合 ' EAC (SAS),・•. CF = CE, Z FCB = Z EC A,•/ Z ACB = 90°,/. Z FCE = 90°,△ FCE是等腰直角三角形,・/ EP = FP,CP±EP, CP = EP=-EF.2③如解图3,作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,过E点作EH_LAC交CA延长线于H点,当a=150.时,由旋转旋转可知,Z CAE = 150°, DE与BC所成夹角的锐角为30.,・•・ Z FBC=Z EAC=a=150°同②可得^ FBP24 EDP (SAS),同②△ FCE是等腰直角三角形,CPJ_EP, CP = EP=』±CE,2在RSAHE 中,NEAH = 30.,AE=DE=1,HE=- , AH=叵,2 2又< AC=AB=3,/. CH=3+正,2・•, EC2=CH2+HE2=IO +3>/3【点睛】此题考查几何变换综合题,考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形性质、勾股定理和30.直角三角形性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于压轴题.8.小明合作学习小组在探究旋转、平移变换.如图△ ABC, △ DEF均为等腰直角三角形, 各顶点坐标分别为 A (1, 1) , B (2, 2) , C (2, 1) , D ( 0) , E( 2五,0),〔1〕他们将△ ABC绕C点按顺时针方向旋转45.得到△ AiBiC.请你写出点A］,Bi的坐标,并判断A】C和DF的位置关系：〔2〕他们将△ ABC绕原点按顺时针方向旋转45.,发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y = 2g?+bx+c±.请你求出符合条件的抛物线解析式：〔3〕他们继续探究,发现将△ ABC绕某个点旋转45,假设旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y = x?上,那么可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标.请你直接写出点P的所有坐标.A】C和DF的位置关系是平行.〔2〕•/ △ ABC绕原点按顺时针方向旋转45.后的三角形即为^ DEF,2 应x〔扃+>/Ib + c = O①当抛物线经过点D、E时,根据题意可得：｛, ,解得2 应x〔2 回一+ 2回+ c=0b = -12(=8万A y = 2>/2x2-12x+8x/2 .2 五x(近忘b + c = o②当抛物线经过点D、F时,根据题意可得：｛(3①丫372 点,解得I 2 J 2 2b = -llL = 7-72y = 2V2x2-llx+7>/2.2耳〔2⑸+2岳+ c = 0③当抛物线经过点E、F时,根据题意可得：｛〔30丫35/22ax --- +---b + c =-2 2J 乙b = -13'c = 10 应y = 2x/2x2-13x + 10x/2 .〔3〕在旋转过程中,可能有以下情形：①顺时针旋转45.,点A、B落在抛物线上,如答图1所示,易求得点p坐标为〔o, Lz叵〕. 2②顺时针旋转45.,点B、C落在抛物线上,如答图2所示,设点夕,.的横坐标分别为右,X2,易知此时BC与一、三象限角平分线平行,.•.设直线BC的解析式为y=x+b.联立丫f2与丫=乂+1〕得：x2=x+b,即X? — x-b = 0,「. X]+x? =1,X t x2 =-b ..•.根据题意易得：|x「x」=走,.J 〔Xi-xJ?=：,即 2 2\2 IX] +X2〕 -4x^2 =-..1- l + 4b = i,解得b =一2 8x2-x + - = 0,解得x = ^^x 或x = ^^.8 4 4••1点c的横坐标较小,x = 三口 .42 - *\/2 . 9 3-2近1IX = ------------- 时,y = x = ---------------------- .4 8.p f 2-5/2 3-2V2 .4 8③顺时针旋转45.,点C、A落在抛物线上,如答图3所示,设点C, A,的横坐标分别为4, X2.易知此时C7V与二、四象限角平分线平行,.•.设直线C7V的解析式为y = -x + b.联立y=x?与y = lX + b 得：x° =-x + b ,即+ x - b = 0 , /. X. +x?=一1, x,x, ="b .••・UA'=1, .•.根据题意易得：|x「x」= WI, ... 〔x「X2〕2 =；,即2 2.1- l+4b = l,解得b =一 2 8, 2 I ] 八-2 + y/2 T -2 - V2..X- + X + —= 0 , 解得X = ------------------ x 或X = ---------------- -8 4 4•・•点C的横坐标较大,「. x = "2+V,2 .4w + V? . 2 3 -2>/2ix = --------------- 时,y = x = ----------------------- .4 8*〕.4 8④逆时针旋转45.,点A、B落在抛物线上.由于逆时针旋转45.后,直线AB与y轴平行,由于与抛物线最多只能有一个交点,故此种情形不存在.⑤逆时针旋转45.,点B、C落在抛物线上,如答图4所示,与③同理,可求得：P 〔二2 一退,3二2巫〕.4 8⑥逆时针旋转45.,点C、A落在抛物线上,如答图5所示,与②同理,可求得：p 〔2y,,一y.〕.综上所述,点P的坐标为：〔0,上叵〕,〔三叵,3-2立〕,p〔―2 +点,2 4 8 43-2>/2 2 + 72 3 + 20\8 4 8等图I 答医2 硝； 1 答& 等国【解析】〔1〕由旋转性质及等腰直角三角形边角关系求解.〔2〕首先明确△ ABC绕原点按顺时针方向旋转45.后的三角形即为ADEF,然后分三种情况进行讨论,分别计算求解.〔3〕旋转方向有顺时针、逆时针两种可能,落在抛物线上的点有点A和点B、点B和点C、点C和点D三种可能,因此共有六种可能的情形,需要分类讨论,防止漏解.考点：旋转变换的性质,曲线上点的坐标与方程的关系,平行线的性质,等腰直角三角形的性质,分类思想的应用.。

2011-2012学年辽宁省大连市121中学九年级(上)期末数学试卷(二)

有不会做的数学题吗？大量期末试卷请输入下面网址/?id=7024c29f-2c89-4354-9f48-4a272487adba2011-2012学年辽宁省大连市121中学九年级（上）期末数学试卷（二）一.选择题（3′×8=24′）.．C D．C D3．（3分）如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°至△CBP′，则PB=3，则PP′的长是（）4．（3分）（2011•潼南县）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=30°，则∠B的度数为（）5．（3分）某电视台庆“六一”文艺晚会接到热线电话4000个，现要从中抽取“幸运观众”20名，小刚拨通了一次热线．C D．6．（3分）若，则a与3的大小关系是（）2二.填空题（3′×8=24′）.9．（3分）已知点A的坐标为（1，0），将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到线段OB，则点B的坐标为_________．10．（3分）二次根式有意义的条件是_________．11．（3分）一扇形的半径为3cm，圆心角为60°，则该扇形的弧长为_________．12．（3分）方程（x+3）（x﹣4）=0的解为_________．13．（3分）若，则=_________．14．（3分）（2010•双鸭山）一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰好是黑球的概率为_________．15．（3分）为了改善居民住房条件，某市计划用两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2，若每年的年增长率相同，则年增长率为_________．16．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D，已知AC=3，BC=4，则BD=_________．三.解答题（9′×3+12′=39′）.17．（9分）计算：．18．（9分）解方程：3（2x﹣1）2=2﹣4x．19．（9分）（2009•朝阳）先化简，再求值：，其中x=+1．20．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．（1）用直尺画出圆弧所在圆的圆心M的位置，并写出点M的坐标；（2）若点A的坐标为（0，4），点D的坐标为（7，0），判断直线CD与⊙M的位置关系并证明．21．（9分）（2006•南京）某校有A、B两个餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐：（1）求甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率；（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率．22．（9分）（2002•黄冈）黄冈百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六•一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？23．（10分）（2006•江西）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣1=0，（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根分别为x1，x2，且满足x1+x2=x1•x2，求k的值．24．（11分）如图所示，在△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=4cm，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使C′、A、B在同一直线上．（1）求点B旋转到点B′时所经过的路线长；（2）求在旋转过程中线段BC所扫过的面积．25．（12分）如图，B、D、C三点在同一直线上，△ABD和△CDE都是等腰直角三角形，∠BAD=∠DCE=90°，F是BE中点，判断FA与FC的关系并证明你的结论．26．（12分）（2009•济宁）在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．2011-2012学年辽宁省大连市121中学九年级（上）期末数学试卷（二）参考答案与试题解析一.选择题（3′×8=24′）.．C D．==|a|，可化简；==x是最简二次根式．C D3．（3分）如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°至△CBP′，则PB=3，则PP′的长是（），故选4．（3分）（2011•潼南县）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=30°，则∠B的度数为（）5．（3分）某电视台庆“六一”文艺晚会接到热线电话4000个，现要从中抽取“幸运观众”20名，小刚拨通了一次热线．C D．4000==6．（3分）若，则a与3的大小关系是（）．解：∵=3二次根式=a=2二.填空题（3′×8=24′）.9．（3分）已知点A的坐标为（1，0），将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到线段OB，则点B的坐标为（0，1）．10．（3分）二次根式有意义的条件是．．．11．（3分）一扇形的半径为3cm，圆心角为60°，则该扇形的弧长为πcm．l=解题．l=该扇形的弧长为：要与扇形面积公式S= 12．（3分）方程（x+3）（x﹣4）=0的解为x1=﹣3，x2=4．13．（3分）若，则=1．解：∵∴，∴=114．（3分）（2010•双鸭山）一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰好是黑球的概率为．=．故答案为：=15．（3分）为了改善居民住房条件，某市计划用两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2，若每年的年增长率相同，则年增长率为10%．16．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D，已知AC=3，BC=4，则BD=．=，AB===5∴，故答案为：三.解答题（9′×3+12′=39′）.17．（9分）计算：．﹣）+1+18．（9分）解方程：3（2x﹣1）2=2﹣4x．=19．（9分）（2009•朝阳）先化简，再求值：，其中x=+1．+120．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．（1）用直尺画出圆弧所在圆的圆心M的位置，并写出点M的坐标；（2）若点A的坐标为（0，4），点D的坐标为（7，0），判断直线CD与⊙M的位置关系并证明．MC=AM=2，，21．（9分）（2006•南京）某校有A、B两个餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐：（1）求甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率；（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率．）画树状图得：甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率为=餐厅用餐的概率为．22．（9分）（2002•黄冈）黄冈百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六•一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？23．（10分）（2006•江西）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣1=0，（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根分别为x1，x2，且满足x1+x2=x1•x2，求k的值．24．（11分）如图所示，在△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=4cm，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使C′、A、B在同一直线上．（1）求点B旋转到点B′时所经过的路线长；（2）求在旋转过程中线段BC所扫过的面积．=πAC=AB=，25．（12分）如图，B、D、C三点在同一直线上，△ABD和△CDE都是等腰直角三角形，∠BAD=∠DCE=90°，F是BE中点，判断FA与FC的关系并证明你的结论．FA=BF=BE26．（12分）（2009•济宁）在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．．（，参与本试卷答题和审题的老师有：hnaylzhyk；zcx；MMCH；137-hui；wdxwzk；lanchong；zjx111；星期八；zhangCF；wdxwwzy；HJJ；ZJX；张长洪；CJX；dbz1018；sd2011；Liuzhx；lf2-9；自由人；733599；sks；bjf（排名不分先后）菁优网2012年11月2日。

重庆市2019届中考数学一轮复习《5.4尺规作图》讲解含答案.doc

第四节尺规作图课标呈现——指引方向1．能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线：过一点作已知直线的垂线．2．会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形：已知底边及底边上的高线作等腰三角形：已知一直角边和斜边作直角三角形．3．会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆：作三角形的外接圆、内切圆：作圆的内接正方形和正六边形．4．在尺规作图中，了解作图的原理，保留作图的痕迹，不要求写出作法，考点梳理——夯实基础1．格作图：利用平移、旋转、轴对称、中心对称、位似在格中作图称为格作图2．尺规作图(1)尺规作图的定义：在几何里把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图，称为尺规作图，最基本最常用的尺规作图，称为基本作图．(2)五种基本尺规作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角：③作一个角的角平分线：④作线段的垂直平分线：⑤经过一点作已知直线的垂线．(3)尺规作图的步骤：①已知：写出已知的线段和角，画出图形：②求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化：③作法：应用五种基本作图，叙述时不需要重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹：④证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，根据有关的定义、定理等并结合作法证明所作图形完全符合题设条件，⑤对所作图形下结论．(4)作三角形：①已知三边作三角形；②已知两边及其夹角作三角形：③已知两角及其夹边作三角形：④已知底边及底边上的高作等腰三角形．(5)探究如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．考点精析——专题突破【例1】（2019四川巴中）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，请根据条件画出变换后的三角形．(1)将△ABC向有平移2个单位得到△A1B1C1；(2)与△ABC关于x轴对称的图形△A2B2C2．(3)与△ABC关于原点对称的图形△A3B3C3.【答案】解题点拨：作图平移变换、轴对称、中心对称，图略【例2】（2019四川凉山州）如图，在边长为1的正方形格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A(4，3)、B(4，1)，把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1 B1C．(1)画出△A 1B 1C ，直接写出点A 1、B 1的坐标；(2)求在旋转过程中，△ABC 所扫过的面积．【答案】解题点拨：(1)根据旋转中心方向及角度找出点A 、B 的对应点A 1、B 1的位置，然后顺次连接即可，根据A 、B 的坐标建立坐标系，据此写出点A 1、B 1的坐标；(2)利用勾股定理求出AC 酌长，根据△ABC 扫过的面积等于扇形CAA 1的面积与△ABC 的面积和，然后列式进行计算即可．解：(1)所求作△A 1B 1C 如图所示：由A(4，3)、B(4，1)可建立如图所示坐标系，则点Ai 的坐标为（-1，4），点Bi 的坐标为(1，4)； (2)∵AC=22222313AB BC +=+=，∠ACA 1=90°∴在旋转过程中，△ABC 所扫过的面积为：S 扇形CAA 1+S△ABC 290(13)1323602π⋅=+⨯⨯ 1334π=+【例3】（2019育才）两个城镇A 、B 与两条公路ME ，MF 位置如图所示，其中ME 是东西方向的公路．现电信部门需在C 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条公路ME ，MF 的距离也必须相等，且在∠FME 的内部，那么点C 应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C ．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）【答案】解题点拨：此题考查了尺规作图，正确的作出图形是解答本题的关键．到A、B距离相等则作线段AB的垂直平分线，到ME、MF距离相等则作∠FME的角平分线，它们的交点即为所求．解：答案如图：1．（2019浙江舟山）数掌活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q”．分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是 ( )【答案】A2．（2019湖北宜昌）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示，若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是 ( )A．△EGH为等腰三角形 B．△EGF为等边三角形C．四边形EGFH为菱形 D．△EHF为等腰三角形第2题【答案】B3．（2019吉林长春）如图，在△ABC中，AB>AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D;连结CD．若AB=6，AC=4，则△ACD 的周长为．第3题【答案】104．已知：如图，∠α，∠β，线段m.求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=m．第4题【答案】解：如图所示，△ABC即为所求．第4题答案图A组基础训练一、选择题1.（2019河北）如图，已知△ABC（AC<BC）,用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是 ( )第1题【答案】B2．（2019重庆育才）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A'O'B′=∠AOB的依据是( )A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS第2题【答案】C3．（2019西大附中）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是 ( )A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形第3题【答案】B4．（2019河北）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹，步骤1：以C 为圆心，CA 为半径画弧①；步骤2：以B 为圆心，BA 为半径画弧②，与弧①交于点D ；步骤3：连接AD ，交BC 延长线于点H 。

2023-2024学年江苏省玄武区科利华中学紫东分校九年级(上)月考数学试卷(10月份)+答案解析

一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列方程中是一元二次方程的是( )A. B. C. D.2.已知是关于x 的方程的一个根，则该方程的另一个根为( )A.B. 2C. D.3.若点A 在内，点B 在外，，，则的半径r 的取值范围是( )A.B.C.D.4.如图，点C 、D 在上，AB 2023-2024学年江苏省南京市玄武区科利华中学紫东分校九年级（上）月考数学试卷（10月份）是直径，，，则的度数为( )A. B. C. D.5.下列方程有两个相等的实数根的是( )A.B.C.D.6.下列四个命题，真命题的个数有( )①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；④垂直于弦的直径平分弦．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

7.一元二次方程的根是__________.8.把方程配方成的形式为__________.9.已知关于x的方程的两根分别是，，则__________.10.关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为__________.11.某工厂两年内产值翻了一番，求该工厂产值年平均增长的百分率？设年平均增长的百分率为x，则可列方程__________.12.若m是方程的一个实数根，则的值为__________.13.如图，AB是的直径，CD是的弦，AB、CD的延长线交于E点，若，，则弧AC的度数为__________14.一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为__________.15.已知CD是的直径，AB是的弦，且，垂足为若，，则AC的长为__________16.如图，已知A、D是上任意两点，且，以AD为边作正方形ABCD，若AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的面积为__________.三、计算题：本大题共1小题，共6分。

线段旋转的面积问题

线段旋转的面积问题作者：黄栋来源：《中学数学杂志(初中版)》2014年第03期旋转虽然在初中课本出现的并不多，但是却经常与函数组合成复杂的数学问题；许多对数学感兴趣并且空间思维敏锐的学生，也经常深入分析旋转中的面积问题，并且提出各种各样的疑问和见解.下面笔者将和大家一起来探究在旋转过程中，线段扫过的面积问题.首先根据旋转中心位置的不同，把线段的旋转分为三类：旋转中心为线段的端点，旋转中心在线段上，旋转中心在线段之外.旋转中心为线段的端点.如图1，可以很明显看出，线段扫过的面积为扇形的面积，从而得出（0°旋转中心在线段的端点之间.通过图2我们亦可以轻松得出，旋转角度小于180°时，线段扫过的面积为两块扇形的面积和.即：S=α360π（BC2+AC2）（0°先看最简单的图11，很显然在旋转角大于等于360°的情况下，阴影区域为一个圆环，这个圆环可以看做是线段AC所扫出的阴影，因为线段BC被覆盖，所以在此情况下可以直接当线段BC不存在.因此面积为S=π（OA2-OC2）=πAC2（α=360°）.图7、8、9、10我们从整体上想象下：用剪刀沿着A′B′（图10沿着A′E与AC）把阴影分成两部分，大的部分为线段AC旋转扫过的面积，小的部分为线段BC旋转扫过的没被大的阴影覆盖的面积；所以此类面积可以分成两部分相加.第一部分线段AC扫过的面积为S1=α360π（OA2-OC2）=α360πAC2.图8、9中第二部分为以OB为半径的弓形面积（注：∠BOC=β，这个角必须给出或者可以根据长度用三角函数很容易求出，否则面积无法计算）.则弓形面积为：S2=2β360πOB2-OC×BC.只有旋转角在2∠BOC与360°-2∠BOC之间时，第二部分才为一个弓形.所以图8、9总体的阴影面积为：S=S1+S2（2β≤α≤360°-2β）.〖TPhd-6.tif，Y〗〖TS （〗〖JZ〗图12〖TS）〗图7中的第二部分为不规则图形，下面单独把图7里面两个圆的部分放大.如图12所示，区域①（弧BB′，线段B′E及线段BE围合而成）为线段BC扫过还没有被覆盖的区域，区域②（弧BD′，线段BE及线段ED′围合而成）为线段BC没有扫过，线段CD旋转到线段C′D′的位置，也没有扫到的区域（即图7中的空白区域）.我们发现区域①+区域②就是之前所求过的弓形，所以如果能把区域②面积求出，那么那个不规则的区域①的面积就知道了.我们知道∠BOD=2β，当点D′到达或超过点B时，区域②就不存在了，就变成了图8、9这种情况.所以图7是在旋转角α下面我们专注于扇形OBD′这个区域，做EF垂直OB与点F.∠BOD′=∠BOD-∠DOD′=2β-α，∠BOE=12（2β-α）=β-α2，∠OBE=90°-∠BOC=90°-β.因为OF=EF·cot∠BOE=EF·cot（β-α2），FB=EF·cot∠OBE=EF·cot（90°-β）=EF·tanβ，OF+FB=OB.所以OB=EF·〖JB（[〗cot （β-α2）+tanβ〖JB）]〗，所以EF=OBtanβ+cot（β-α2）所以区域②的面积为扇形减去俩三角形：S3=2β-α360πOB2-OB2tanβ+cot（β-α2）.则区域①面积为之前所求弓形面积减去区域②面积：S4=2β360πOB2-OC×BC-〖JB（[〗2β-α360πOB2-OB2tanβ+cot（β-α2）〖JB）]〗.所以图7总的面积为：S=S1+S4（0经过图7的分析，后面就简单多了.图10与图7是一模一样的，刚图7里面第二块阴影是空白部分需要减去，在图10里面，第二块面积正好是重叠部分，也是需要减去，在这里需要大家注意的只有一件事情，就是α的取值范围.通过上面分析我们可以得出当360°-2β因为∠B′OD=α+2β-360°，所以∠B′OE=12（α+2β-360°）.下面只需要把角度改一下，重叠部分的面积就出来了：S5=α+β-360360πOB2-OB2tanβ+cot（α2+β）.那么弓形面积-重叠部分就是：。

六年级数学圆试题答案及解析

六年级数学圆试题答案及解析1.如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少？()【答案】12.56【解析】如图，点是在以为中心的扇形上，所以，同理，则是正三角形，同理，有是正三角形．有，正五边形的一个内角是，因此，也就是说圆弧的长度是半径为12厘米的圆周的一部分，这样相同的圆弧有5个，所以中间阴影部分的周长是．2.图中的长方形的长与宽的比为，求阴影部分的面积．【答案】244【解析】如下图，设半圆的圆心为，连接．从图中可以看出，，，根据勾股定理可得．阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，为：．3.将一块边长为厘米的有缺损的正方形铁皮(如图)剪成一块无缺损的正方形铁皮，求剪成的正方形铁皮的面积的最大值.图1 图2 图3【答案】110.25【解析】如图所示，使(厘米)，则正方形的面积为 (平方厘米).如图所示，使(厘米)，则正方形的面积为()(平方厘米).如图所示，连结交曲线于点，使.观察图可知(厘米).(注：的长度在()厘米之间均可．)于是正方形的面积为(平方厘米).因为，所以剪成的正方形铁皮的面积最大为平方厘米.4.如图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴影部分面积．(取3)【答案】8【解析】由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积．解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分．则阴影部分的面积为；解法二：连接AC，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，所以阴影部分面积．5.在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取)【答案】1.42【解析】我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形．则为：．6.图中是一个钟表的圆面，图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少？【答案】1:1【解析】根据图形特点，可以把阴影部分甲与乙分别从不同的角度进行分解：阴影部分甲的扇形三角形小弓形；阴影部分乙三角形小弓形；由于扇形的面积容易求得，所以问题的关键在于确定弓形与三角形的面积：综上所述：阴影部分甲的面积圆的面积的圆的面积的．所以甲、乙面积之比为．7.（2014•慈利县）求图的周长．【答案】图的周长是228.5厘米【解析】观察图形可知，这个图形的周长等于3条50厘米的线段之和与直径50厘米的半圆的弧长的和，据此利用公式计算即可解答．解答：解：50×3+3.14×50÷2=150+78.5=228.5（厘米）答：图的周长是228.5厘米．点评：此题考查了半圆的周长和正方形的周长的计算方法的应用．8.（江苏）如图，正方形网格中，△ABC是格点三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90゜得到△AB1C1．（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；（2）设每个网格小正方形的边长是1cm，用阴影部分表示出旋转过程中线段BC所扫过的面积，然后求出它的面积．（π取3）【答案】6.75平方厘米．【解析】（1）根据旋转图形的特征，△ABC绕点A按逆时针方向旋转90゜后，点A的位置不动，其余点均绕点A按相同方向旋转相同的角度，△AB1C1就是将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90゜后的图形．（2）如图，BC所扫过的部分通过用割补，是一个的环形，由于三角形ABC是一个直角三角形，两直角边分别是3格和4格，根据勾三股四弦五可知斜边AC是5格，也就是5厘米．环形外圆半径是5厘米，内圆半径是4厘米，据此可求出线段BC所扫过的面积．解答：解：（2）根据分析作图如下：×3×52﹣×3×42=×3×（52﹣42）=×3×（25﹣16）=×3×9=6.75（平方厘米）故答案为：，6.75平方厘米．点评：本题考查的知识点有：作旋转一定角度后的图形、勾股定理、圆面积等．要求BC所扫过的面积时，通过割补使其成为一个环形，从而求出面积．9.（浙江）如图中阴影部分面积为100平方厘米，求两圆之间的环形面积．【答案】两个圆之间的环形的面积为78.5平方厘米．【解析】假设小圆半径为r，则小正方形边长为2r；大圆半径为R，则大正方形边长为2R．已知阴影部分的面积是100平方厘米，也就是4R2﹣4r2=100平方厘米，得R2﹣r2=25平方厘米，环形面积为πR2﹣πr2=25π，取π=3.14，计算即可．解答：解：设小圆半径为r，则小正方形边长为2r；大圆半径为R，则大正方形边长为2R．阴影面积：（2R）2﹣（2r）2=100（平方厘米），可得：4R2﹣4r2=100平方厘米，得R2﹣r2=25（平方厘米），环形面积：πR2﹣πr2=25π=25×3.14=78.5（平方厘米）．答：两个圆之间的环形的面积为78.5平方厘米．点评：大圆面积减去小圆面积为环形面积，根据已知结合图形可推出大圆和小圆半径的平方差，进而可求环形面积．10.（龙湾区）如图正方形中画一个最大的圆，圆的面积是12.56平方厘米，那么这个正方形的面积是多少？【答案】正方形的面积是16平方厘米【解析】这个最大圆的直径应该等于正方形的边长，圆的面积已知，从而可以求出半径的平方值，进而可以求出正方形的面积．解答：解：设圆的半径为r，则r2=12.56÷3.14=4，正方形的面积：2r×2r=4r2=16（平方厘米）．答：正方形的面积是16平方厘米．点评：解答此题的关键是：这个最大圆的直径应该等于正方形的边长，从而逐步得解．11.（2014•西安）求下列图形阴影部分的面积．（单位：厘米）【答案】阴影部分的面积是225平方厘米【解析】观察图形可知，阴影部分由左右2两部分构成，因此阴影部分的面积等于左右两部分的面积之和．左边阴影的面积等于上底为（30÷2）厘米、下底30厘米、高（30÷2）厘米的梯形的面积减去半径为（30÷2）厘米的扇形（圆）的面积；右边阴影的面积等于半径为（30÷2）厘米的扇形（圆）的面积减去底和高都是（30÷2）厘米的等腰直角三角形的面积，因此阴影部分的面积就等于梯形的面积减去等腰直角三角形的面积，由此利用梯形、三角形的面积公式即可解决．解答：解：（30÷2+30）×（30÷2）÷2﹣（30÷2）×（30÷2）÷2=45×15÷2﹣15×15÷2=337.5﹣112.5=225（平方厘米）；答：阴影部分的面积是225平方厘米．点评：此题考查了不规则图形的面积的计算方法，一般都是转化到规则图形中，利用面积公式计算解答．12.（2014•长沙）在一块长10分米、宽5分米的长方形铁板上，最多能截取个直径是2分米的圆形铁板．【答案】11【解析】试题分许：在10分米、宽5分米的长方形铁板上，上下两排各均匀切4个2分米的圆形，在它们中间还可以切3个2分米的圆形（上下两行共4个圆形之间可以切出一个2分米的圆形，共有3个）．所以，应该可以切4+4+3=11个．据此解答．解答：解：根据以上分析知：可截取圆的个数是：4+4+3=11（个）答：最多能截11个直径是2分米的圆形铁板．故答案为：11．点评：本题的关键是上下两排各均匀切4个2分米的圆形，在它们中间还可以切3个2分米的圆形．13.（2013•云阳县）号称“华夏第一大锅”现身成都，它的周长为37.68米，自重16吨，内圈有6个大汤锅，外圈有60个小火锅，可供80﹣﹣120人同时用餐．这个大火锅的占地面积有多大？【答案】这个大火锅的占地面积有113.04平方米【解析】首先根据圆的周长公式：c=2πr，求出半径，再根据圆的面积公式：s=πr2，把数据代入公式解答．解答：解：3.14×（37.68÷3.14÷2）2=3.14×36=113.04（平方米）答：这个大火锅的占地面积有113.04平方米．点评：此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用．14.（2013•黎平县）一个圆形环岛的直径是50米，中间是一个直径为10米的圆形花坛，其他地方是草坪．草坪的占地面积是多少？【答案】草坪的占地面积是1884平方厘米【解析】用圆形环岛的面积减去中间圆形花坛的面积就是草坪的占地面积，据此解答即可．解答：解：50÷2=25（米），10÷2=5（米），3.14×（252﹣52），=3.14×600，=1884（平方厘米）；答：草坪的占地面积是1884平方厘米．点评：此题主要考查圆环的面积的计算方法，即大圆的面积减去小圆的面积．15.想想、画画、算算（1）以4厘米为直径画一个圆．（2）在这个圆内作出一个最大的正方形．（3）画出这个组合图形的所有对称轴．（4）用阴影涂上圆中正方形以外的部分，并求出阴影部分的面积．【答案】阴影部分的面积是12.56平方厘米【解析】试题分析:（1）由题意知，要画一个直径是4厘米的圆，首先确定圆的半径为4÷2=2厘米，再依据画圆的方法画一个圆即可．（2）由题意可知：这个最大正方形的对角线应等于圆的直径，因此可以画两条互相垂直的直径，依次连接两条直径的4个端点，即可完成作图．（3）依据轴对称图形的意义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，于是即可画出这个图形的对称轴；（4）因为这个最大正方形的对角线等于圆的直径，所以利用正方形和圆的面积公式即可求出阴影部分的面积．解答：解：据（1）、（2）、（4）的分析画图如下：，（3）正方形的面积为：4×（4÷2）÷2×2=8（平方厘米），圆的面积为：3.14×（4÷2）2=12.56（平方厘米），阴影部分的面积：12.56﹣8=4.56（平方厘米）答：阴影部分的面积是12.56平方厘米．点评：（1）解答此题要明确半径是2厘米，即画圆时圆规两脚叉开的距离为2厘米．（2）解答此题的关键是明白：这个最大正方形的对角线应等于圆的直径，据此即可画出符合要求的正方形．（3）此题主要考查轴对称图形的意义．（4）此题主要考查正方形和圆的面积的计算方法，关键是明白：这个最大正方形的对角线等于圆的直径．16.体育课上，同学们围成一个圆圈做游戏，老师站在中心点上，已知这个圆圈的周长是18.84米，则每个同学与老师的距离大约是米．【答案】3【解析】由题意可知：求每个同学与老师间的距离，实际上就是求这个圆的半径，这个圆的周长已知，依据圆的周长公式即可求出其半径．解答：解：18.84÷（2×3.14），=18.84÷6.28，=3（米）；答：每个同学与老师间的距离大约是3米．故答案为：3．点评：解答此题的关键是明白：求每个同学与老师间的距离，实际上就是求这个圆的半径．17.一个半圆形教具，它的半径为5分米，它的周长是多少分米？面积是多少平方分米？【答案】它的周长是25.7分米；面积是39.25平方分米【解析】（1）因为半圆的周长是由圆周长的一半加上圆的直径组成的，即：半圆的周长=圆的周长÷2+直径，已知半径，代入半圆周长的公式就即可．（2）半圆的面积就是圆面积的一半，已知半径，代入圆的面积公式求解即可．解答：解：（1）5×2+3.14×5×2÷2，=10+15.7，=25.7（分米），（2）3.14×52÷2，=3.14×25÷2，=78.50÷2，=39.25（平方分米），答：它的周长是25.7分米；面积是39.25平方分米．点评：此题考查了求半圆周长和面积的计算方法．注意半圆的周长与圆周长的一半要区分．18.圆有（）条对称轴．A．1B．2C．4D．无数【答案】D【解析】根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，据此即可解答．解答：解：根据题干分析可得，圆有无数条对称轴．故选：D．点评：此题主要考查如何确定轴对称图形的对称轴条数及位置．19.画一个周长是9.42厘米的圆，圆规两脚尖的距离是厘米．【答案】1.5【解析】圆规画圆，圆规两脚之间的距离是圆的半径长度，由C÷2÷π可求得圆的半径．解答：解：9.42÷3.14÷2=3÷2=1.5（厘米）；答：两脚之间的距离应取1.5厘米．20.如图所示，O为圆心，三角形ABC的面积是45平方厘米．阴影部分的面积是平方厘米．【答案】45【解析】根据图可知，阴影部分的面积等于半圆的面积减去线段AB和弧AB所围成的图形的面积，根据三角形的性质确定三角形ABC为等腰直角三角形，根据三角形的面积公式可计算出AC 的平方和AO的平方，三角形ABC和弧AB所围成的图形可看作以AC为半径的圆，线段AB和弧AB所围成的图形的面积可用以AC为半径的圆的面积减去三角形的面积即可，然后再利用圆的面积公式进行列式解答即可得到答案．解答：解：AC的平方=45×2=90（平方厘米），AO的平方为：45÷2×2=45（平方厘米），三角形ABC和线段AB与弧AB所围成的图形面积为：×3.14×90=70.65（平方厘米），线段AB与弧AB所围成的图形面积为：70.65﹣45=25.65（平方厘米），阴影部分所在的半圆的面积为：×3.14×45，=1.57×45，=70.65（平方厘米），阴影部分的面积为：70.65﹣25.65=45（平方厘米）；答：阴影部分的面积是45平方厘米．故答案为：45．点评：解答此题的关键是把三角形ABC和弧AB所围成的图形看作是以AC为半径的圆的，可用以AC为半径的圆的面积的减去三角形ABC的面积即是段AB和弧AB所围成的图形的面积，再用以AO为半径的半圆的面积减去线段AB和弧AB所围成的图形的面积即可．21.一个圆的直径扩大6倍，它的面积就（）A.扩大6倍B.扩大36倍C.扩大12倍【答案】B【解析】因为d=2r，一个圆的直径扩大6倍，则其半径也扩大6倍，圆的面积=πr2，所以圆的面积与半径的平方成正比例关系，据此解答即可．解：因为d=2r，一个圆的直径扩大6倍，则其半径也扩大6倍，又因圆的面积=πr2，所以圆的面积扩大62=36倍；故选：B．点评：此题主要考查圆的直径与半径的关系以及圆的面积的计算方法的灵活应用．22.小圆和大圆直径的比是4:5，那么大圆的面积比小圆面积多( )。

旋转平移轴对称及阴影图形面积问题答案

旋转平移轴对称及阴影图形面积问题答案The following text is amended on 12 November 2020.旋转、平移、轴对称及阴影图形面积（答案）1、已知：E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AB 、BC 上两点，且EF ∥AC 。

求证：S AED ∆=S CDF ∆.解：连接AF,CE.∵EF ∥AC,∴,ACE ACF S S ∆∆=∵AB ∥CD,∴,AED ACE S S ∆∆=∵AD ∥BC,∴,CDF ACF S S ∆∆= ∴S AED ∆=S CDF ∆.2、如图，已知菱形ABCD 边长为2，∠B=600,以AC 为半径作扇形ECF 。

CE 、CF 分别交AB 、AD 于M 、N,且∠ECF=600,求图中阴影部分的面积。

解：连接AC ，△ABC 及△ADC 都是等边三角形∵∠ECF=600,∴∠ACE=∠DCF=600-,∠ACF. 易证△ACM ≌△DCN. ∴将△ACM 绕点C 顺时针旋转600,则扇形AOE 与扇形DOF 重合。

3、图中正方形边长为8米，求阴影部分面积。

解：如下图，画出正方形的两条对角线，把正方形分成4个相同的三角形。

再将①号②号阴影部分分别绕正方形中心点旋转90度，拼A 空白处和B 空白处，阴影部分被割补成2个三角形，其面积正好等于长方形面积的一半。

所求阴影部分面积为：82÷2＝32（平方米）4、以边长为10的正方形ABCD 的边AD 及CD 在为直径作半圆。

求图中阴影部分的面积。

解：连接BD ，AC 将两个阴影小弓形分别按顺时针和逆时针方向转转900. 则阴影部分面积=三角形ABC 面积=50. 5、分别以边长为6的正方形ABCD 的顶点A 、B 为圆心，以3的长为半径作扇形，在以6为直径作半圆。

求图中阴影部分的面积。

解法1：解法2：（旋转法）把上面的半圆化成两个小弓形，再将这两个小弓形向下旋转900，则阴影部分的面积=下面矩形面积=18.6、在扇形AOB 中，∠AOB=900,OA=2,分别以OA 、OB 为直径作半圆. 求图中阴影部分的面积.解：连接OC 、AC 、BC 弓形AC 、BC 重合，则阴影面积=弓形AB 的面积。

六年级上册数学试题--圆-33-人教版含答案

六年级上册数学试题--圆-33-人教新课标一、单选题（共1题；共2分）1.下图是一个半圆，求它的周长的正确算式是（）。

A. B. +15 C. 3.14×15+15×2【答案】C【考点】圆的周长【解析】【解答】解：正确算式是：3.14×15+15×2。

故答案为：C。

【分析】半圆的周长=半径×π+半径×2，据此列式作答即可。

二、计算题（共1题；共5分）2.图形计算。

一个环形的池塘，外圆半径是0.6米，内圆半径是0.4米。

这个池塘（阴影部分）的面积是多少平方米？（得数保留两位小数）【答案】解：3.14×（0.6²-0.4²）=3.14×（0.36-0.16）=3.14×0.2≈0.63（平方米）答：这个池塘（阴影部分）的面积是0.63平方米。

【考点】圆环的面积【解析】【分析】根据题意可知圆环的面积=3.14×（大圆半径的平方-小圆半径的平方）。

三、解答题（共8题；共52分）3.如图：边长为2厘米的正方形，图中阴影部分的面积是多少？【答案】解：2×2-3.14×2²×=4-3.14=0.86（平方厘米）答：图中阴影部分的面积是0.86平方厘米。

【考点】圆的面积【解析】【分析】观察图可知，正方形的面积-圆的面积×=阴影部分的面积，据此列式解答。

4.红星村挖了一口井，井口的外沿周长3.14米，想给它配上一个井盖，井盖的面积是多少？如果沿着井边铺4.5米宽的石子地，每车小石子能铺12平方米，那么至少要运几车？【答案】解：3.14÷2÷3.14=0.5（米）0.52×3.14=0.25×3.14=0.785（平方米）0.5+4.5=5（米）3.14×（52-0.52）÷12=3.14×（25-0.25）÷12=3.14×24.75÷12=77.715÷12≈7（车）答：至少要运7车。

山东青岛崂山区2024-2025学年九年级数学第一学期开学教学质量检测模拟试题【含答案】

山东青岛崂山区2024-2025学年九年级数学第一学期开学教学质量检测模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）在一次编程比赛中，8位评委给参赛选手小李的打分如下：9.0，9.0，9.1，10.0，9.0，9.1，9.0，9.1．规定去掉一个最高分和一个最低分后的平均值做为选手的最后得分．小李的最后得分是（）A ．9.0B ．9.1C ．9.1D ．9.32、（4分）在平面直角坐标系中，若点P 的坐标为()2,2-，则点P 在（）A ．第一象限.B ．第二象限.C ．第三象限D ．第四象限3、（4分）抛物线2321y x x =-+-的图象与坐标轴交点的个数是（）A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有且只有两个交点D ．有且只有三个交点4、（4分）在平行四边形ABCD 中，已知5AB =，3BC =，则它的周长为()A ．8B ．10C ．14D ．165、（4分）已知一次函数y=kx+b ﹣x 的图象与x 轴的正半轴相交，且函数值y 随自变量x 的增大而增大，则k ，b 的取值情况为()A ．k 1>，b 0<B ．k 1>，b 0>C ．k 0>，b 0>D ．k 0>，b 0<6、（4分）如果直线y=kx+b 经过一、三、四象限,那么直线y=bx+k 经过第（）象限A ．一、二、三B ．一、二、四C ．一、三、四D ．二、三、四7、（4分）如图，已知点P 是∠AOB 平分线上的一点，∠AOB=60°，PD ⊥OA ，M 是OP 的中点，DM=4cm ．若点C 是OB 上一个动点，则PC 的最小值为（）cm ．A ．7B ．6C ．5D ．48、（4分）下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）某校生物小组7人到校外采集标本，其中2人每人采集到3件，3人每人采集到4件，2人每人采集到5件，则这个小组平均每人采集标本___________件.10、（4分）已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中错误的有__________.①当AB ＝BC 时，它是菱形；②当AC ⊥BD 时，它是菱形；③当∠ABC ＝90°时，它是矩形；④当AC ＝BD 时，它是正方形。