例说计算旋转扫过的面积

A

B

C O

D

计算旋转扫过的面积

河北 欧阳庆红

我们知道线旋转,面在平面上旋转都扫过一定面积,如何计算图形旋转扫过的面积呢,下面跟随我的脚步来领略几例计算旋转扫过的面积问题.

例1 (08内江市)如图1，Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点顺时针旋转而得，且点

A B C '，，在同一条直线上，在Rt ABC △中，若90C =∠，

2BC =，4AB =，则斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积

为 ．

解析: 欲求斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积，已知扇形半径AB=4,只要求出其圆心角∠A AB '度数, ∵Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点旋转得到的,∴△ACB ≌△

B C A '',∴,2,4=='=='BC C B AB B A ∴∠A '=030,

∴∠A AB '=∠C '+∠A '=0

1203090=+，∴.3

1636041202ππ=⨯⨯='

A A

B S 扇形

例 2 （08甘肃兰州）如图2，在Rt ABC △中，

903C AC ∠==，．将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以

BA BC ，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为 ．

解析：本题考察了圆的有关计算，勾股定理，旋转等方面的知识. 根据圆面积公式和勾股定理：圆环的面积为：πAB 2－πBC 2=π(AB 2－BC 2)= πAC 2 =π×32 =9π.所以本题填9π.

例3 (08宁波)如图3，菱形OABC 中，120A =∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90，则图中由BB '，B A ''，A C '，CB 围成的阴影部分的面积是 ．

解析:本题主要考查扇形面积的计算和菱形的性质,连接BO,O B ',

图2

A

C

B

C

B

A

图1

阴影部分的面积转化为扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-三角形BOC 面积-三角形O A B ''面积=扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-菱形OABC 的面积,欲求扇形B BO '面积,需要计算OB 的长,于是连接AC,

则AC ⊥OB, ∵120A =∠,∴∠AOC=060,∴∠AOB=2

1

∠AOC=030, ∴AD=

2121=AO ,根据勾股定理得,OD=22AD OA -=2

3, ∴OB=3,∵旋转角∠A AO '=，090∴∠A CO '=，030∴∠B BO '=，090∴

()

OB AC S ⨯⨯-⨯-⨯=

2

1360130360

39022

ππ阴影

=

3121

1243⨯⨯--ππ=23π32

-. 例4 (08鄂州)如图4，Rt ABC △中，

90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的

中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ C ） A ．

77π338

- B ．

47

π338

+ C ．π

D ．

4

π33

+ 解析:本题考查的知识点有扇形面积的计算,中位线定理和直角三角形的有关性质等,连接BH 和1BH ,∵90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，∴AB=2BC=4, ∴AC=,32242222=-=-BC AB

∵O H ，分别为边AB AC ，的中点，∴OB=1OB =2,CH=32

1

11==AC H C , ∴BH=()

7322

2211211=+

=+=H C BC BH ,

易证△HOB ≌△B O H 11,∴线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为圆心角为

图4

A

H

B

O

C

120,半径分别为7和3的两扇形的面积差,即3601202BH S π=阴影360

1202BO π-

=ππ

π=-3437.