专题六 培优点20 抛物线的焦点弦问题
专题六 培优点20 抛物线的焦点弦问题(解析版)
培优点20 抛物线的焦点弦问题【方法总结】直线与抛物线相交的问题，若直线过抛物线的焦点，可使用焦点弦长公式求弦长，利用焦点弦的特殊结论求解题目．【典例】1 (1)(2020·石家庄模拟)已知F 是抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AB 的中点为C ，过C 作抛物线准线的垂线交准线于C ′，若CC ′的中点为M(1,4)，则p 等于( ) A ．4 B ．8 C ．4 2 D ．8 2 【答案】 B【解析】 如图，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，∵M(1,4)，∴y 1＋y 2＝8，又C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋p 2，4，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， ∴k AB ＝2，∴直线AB ：y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2， 代入y 2＝2px ， 得y 2－py －p 2＝0， ∴y 1＋y 2＝p ＝8.(2)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )A ．4 B.92 C ．5 D ．6【答案】 B【解析】 不妨设点A 在x 轴的上方，如图，设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于点E ，设|BF|＝m ，直线l 的倾斜角为θ， 则|AF|＝2m ，|AB|＝3m ， 由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m ，|BC|＝|BF|＝m ， 所以cos θ＝|AE||AB|＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，所以sin 2θ＝89.由y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式得|AB|＝2p sin 2θ＝92. 【典例】2 已知抛物线C ：y 2＝8x ，P 为C 上位于第一象限的任一点，直线l 与C 相切于点P ，连接PF 并延长交C 于点M ，过P 点作l 的垂线交C 于另一点N ，求△PMN 的面积S 的最小值．【解析】解 由题意知F(2,0)，设P(x 0，y 0)(y 0>0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 218，y 1， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 228，y 2，切线l 的方程为x －x 0＝t(y －y 0)，则FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 218－2，y 1，FP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 208－2，y 0，由M ，F ，P 三点共线，可知FM →∥FP →，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y 218－2y 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 208－2y 1＝0， 因为y 0≠y 1，所以化简可得y 0y 1＝－16.由⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝t y －y 0，y 2＝8x ，可得y 2－8ty ＋8ty 0－8x 0＝0，因为直线l 与抛物线相切，故Δ＝64t 2－32ty 0＋4y 20＝0，故t ＝y 04.所以直线PN 的方程为y －y 0＝－y 04(x －x 0)，即y 0x ＋4y －4y 0－y 38＝0，所以点M 到直线PN 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 21y 08＋4y 1－4y 0－y 308y 20＋16，将y 1＝－16y 0代入可得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32y 0＋4y 0＋y 308y 2＋16＝y 20＋1628|y 0|y 20＋16， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 0x ＋4y －4y 0－y 308＝0，y 2＝8x ，消去x 可得，y 0y 2＋32y －y 30－32y 0＝0，所以y 0＋y 2＝－32y 0，y 2＝－32y 0－y 0，|PN|＝1＋16y 20|y 0－y 2|＝1＋16y 20⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y 0＋32y 0＝2y 20＋16y 20＋16y 20，故S ＝12d|PN|＝12×y 20＋1628|y 0|y 20＋16×2y 20＋16y 20＋16y 20＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20＋16y 03＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋16y 03 ≥18⎝⎛⎭⎪⎫2y 0·16y 03＝64，当且仅当y 0＝4时，“＝”成立，此时，△PMN 的面积S 取得最小值，为64. 【方法总结】设AB 是抛物线y 2＝2px(p>0)的一条焦点弦，焦点为F ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)1|AF|＋1|BF|＝2p. (3)|AB|＝2psin 2α(α为弦AB 所在直线的倾斜角)． 【拓展训练】1．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30° 的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94【答案】 D【解析】 由已知得焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.方法一 联立直线方程与抛物线方程，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝y A ＋y B2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF||y A －y B |＝12×34×6＝94.方法二 联立直线方程与抛物线方程得x 2－212x ＋916＝0，故x A ＋x B ＝212.根据抛物线的定义有|AB|＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为d ＝|－3|42＋－432＝38， 因此S △OAB ＝12|AB|·d ＝94.2．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 且倾斜角为120° 的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF||BF|的值等于( )A.13B.23C.34D.43 【答案】 A【解析】 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则cos ∠ABB 1＝|BC||AB|＝|BB 1|－|AA 1||AF|＋|BF|＝|BF|－|AF||AF|＋|BF|，即cos 60°＝|BF|－|AF||AF|＋|BF|＝12，得|AF||BF|＝13. 3．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，点M(－2,2)，过点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若∠AMB ＝90°，则k 等于( )A. 2B.22 C.12D ．2 【答案】 D【解析】 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F(2,0)， 由题意可知直线AB 的斜率一定存在， 所以设直线方程为y ＝k(x －2)(k ≠0)， 代入抛物线方程可得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝8k，y 1y 2＝－16，因为∠AMB ＝90°，所以M A →·M B →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝16k 2－16k ＋4＝0，解得k ＝2，故选D.4.如图，已知点F(1,0)为抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧，记△AFG ，△CQG 的面积为S 1，S 2.(1)求p 的值及抛物线的准线方程； (2)求S 1S 2的最小值及此时点G 的坐标．【解析】解 (1)由题意可得p2＝1，则p ＝2,2p ＝4，抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1. (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，k>0， 与抛物线方程y 2＝4x 联立可得， k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 故x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2－2)＝4k ，y 1y 2＝－4x 1×4x 2＝－4，设C(x 3，y 3)，由重心坐标公式可得， x G ＝x 1＋x 2＋x 33＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋4k 2＋x 3， y G ＝y 1＋y 2＋y 33＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋y 3，令y G ＝0可得，y 3＝－4k ，则x 3＝y 234＝4k 2，即x G ＝13⎝⎛⎭⎪⎫2＋4k 2＋4k 2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋8k 2，由斜率公式可得，k AC ＝y 1－y 3x 1－x 3＝y 1－y 3y 214－y 234＝4y 1＋y 3，直线AC 的方程为y －y 3＝4y 1＋y 3(x －x 3)，令y ＝0，可得x Q ＝x 3＋－y 3y 1＋y 34＝y 234＋－y 3y 1＋y 34＝－y 1y 34，故S 1＝12×(x G －x F )×y 1＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋8k 2－1×y 1＝y 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫83k 2－13，且S 2＝12×(x Q －x G )×(－y 3)＝－y 32⎣⎢⎡⎦⎥⎤－y 1y 34－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋8k 2， 由y 3＝－4k ，代入上式可得S 2＝2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1k －23－83k 2，由y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4可得y 1－4y 1＝4k ，则k ＝4y 1y 21－4，则S 1S 2＝y 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫83k 2－132k ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1k －23－83k 2＝2y 21y 21－2y 21－4y 21＋4＝2－4y 21－8＋48y 21－8＋16≥2－42y 21－8×48y 21－8＋16＝1＋32， 当且仅当y 21－8＝48y 21－8，即y 21＝8＋43，y 1＝6＋2时等号成立，此时k ＝4y 1y 21－4＝2，x G＝13⎝⎛⎭⎪⎫2＋8k 2＝2，则点G 的坐标为(2,0)．。
【06】专题讲座：抛物线的焦点弦
AF BF AF BF AB AB 2 p p ( x1 )( x2 ) x1 x2 p ( x1 x2 ) p 2 2 2 4
=
2 （常数） p
方法二： 证明：①若直线 AB 的斜率不存在 则|AF|=|BF|=p ∴
1 1 1 1 2 AF BF p p p
①②得
1 1 AF BF
为定值
④: （1）已知直线 AB 过抛物线 y 2 2 px( p 0) 的焦点，且直线 AB 的倾斜角为
，求证|AB|=
2p （ ≠ 0） 。 sin 2
（2）求证焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最 短。
y 2 2 px, p p p 证明：（1）当 θ=90°时，直线 AB 的方程为 x= ，由 得 A( ,-p)、B( ，p). p 2 2 2 x , 2
∴|AB|=2p. 当 θ≠90°时，直线 AB 的方程为 y=(x-
p )tanθ. 2
p p2 y ( x ) tan , 2θ·x2-(2p+ptan2θ)x+ 由 得 tan ·tan2θ=0. 2 4 2 y 2 px,
2 p p tan 2 设 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，则 x1+x2= tan 2 2 p p tan 2 2p ∴|AB|= x1 x 2 p p 2 tan sin 2
.
综上：|AB|=
2p sin 2
（2）由（1）：AB 为通径时，θ=90°， sin 2 的值最大， AB 最小，即焦点弦中通
径最短.
⑤已知直线 AB 过抛物线 y 2 2 px( p 0) 的焦点，交抛物线于 A,B 两点，求证：以弦 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明：设 AB 的中点为 Q,过 A、Q、B 向准线 l 作垂线，垂足分别为 M、P、N，连结 AP、BP。 由抛物线定义： AM AF ， BN BF ，
抛物线焦点弦性质总结
抛物线焦点弦性质总结基本性质 已知抛物线22y px =的图像如图所示，则有以下基本结论：1、以AB 为直径的圆与准线L 相切；2、2124p x x ⋅=且212y y p ⋅=-；3、90AC B '∠=︒，90A FB ''∠=︒；4、123222()2sin p p AB x x p x α=++=+=；5、112AF BF P +=；6A 、O 、B '三点共线，B 、O 、A '三点共线；7、22sin AOB p S α=△，322AOB S p AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△(定值)； 8、1cos p AF α=-，1cos p BF α=+； 9、BC '垂直平分B F '，AC '垂直平分A F '， C F AB '⊥；10、2AB p ≥；11、11()22CC AB AA BB '''==+； 12、3AB p k y =，22tan 2y p x α=-； 13、24A B AF BF ''=⋅，12C F A B '''=. 14、切线方程：()x x m y y +=00性质深究一、焦点弦与切线结论1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上．特别地，当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 结论2、切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3、弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．结论4、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点．特别地，过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．结论5、过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6、PA ⊥PB ．结论7、PF ⊥AB ． 结论8、M 平分PQ ． 结论9、PA 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．结论102PF =结论11、PAB S ∆2min p =二、非焦点弦与切线 当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，也有与上述结论类似结果：结论12、①p y y x p 221=，221y y y p += 结论13、PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．结论14、PFB PFA ∠=∠结论15、点M 平分PQ结论162=。
抛物线“焦点弦的性质”及解题策略
03
解题策略
利用焦点弦性质解题
焦点弦性质
对于抛物线上的任意一点P，其到焦 点F的距离等于到准线的距离。利用这 一性质，可以快速找到与焦点弦相关 的点P的坐标。
解题方法
利用焦点弦性质，可以求出点P的坐 标，进而求出与焦点弦相关的其他量， 如弦长、面积等。
在抛物线中，焦点弦的倾斜角可以通过轴线的倾斜角和该弦与轴线的夹角的补角之和（或差）来计算 。这个补角等于该弦与轴线的夹角的两倍。当焦点弦与轴线垂直时，其倾斜角等于轴线的倾斜角。
焦点弦的倾斜角
解题策略
根据题目给出的条件，选择适当的方法计算焦点弦的长 度、中点坐标或倾斜角。
熟悉抛物线的定义和性质，理解焦点弦的意义和特点。
02
焦点弦的性质
焦点弦的长度
总结词
焦点弦的长度等于通径的长度，等于焦准距的平方根。
详细描述
在抛物线中，焦点弦是指通过焦点的弦，其长度可以通过通径的长度来计算。 通径是过焦点的最短的弦，其长度等于焦准距的平方根。当焦点弦与抛物线的 轴线不垂直时，其长度还会受到其他因素的影响。
焦点弦的中点坐标
总结词
焦点弦的中点坐标等于焦点坐标加上弦中点与轴线的垂直距 离。
详细描述
在抛物线中，焦点弦的中点坐标可以通过焦点坐标和弦中点 与轴线的垂直距离之和来计算。这个垂直距离等于弦的长度 的一半乘以该弦与轴线的夹角的正切值。
焦点弦的倾斜角
总结词
焦点弦的倾斜角等于轴线的倾斜角加上或减去该弦与轴线的夹角的补角。
详细描述
解题方法
利用代数方法，可以建立方程组、不等式组等，进而求解与抛物线相关的问题。在解题过程中，需要注意方程组 的解法、不等式的性质等。
抛物线的焦点弦问题
(3)x2 2 py,
| AB | y1 y2 p
(4)x2 2 py, | AB | p y1 y2
例：过抛物线y2 2 px( p 0)的焦点的一条直线和
这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2 ,
求证 : y1 y2 p2.
y
证法 :因直线AB过定点F且与x轴
变题3 : 设M (a,0)是抛物线y2 2 px B
( p 0)的轴上的一个定点， 过M的
直线交抛物线于A(x1, y1)、B (x2, y2 )
两点,求证 : y1 y2与x1x2均为定值.
2.过抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点的一条直线和
这条抛物线相交 ， 两个交点的纵坐标为 y1、y 2,
|
PF
|
- y0
p 2
例1 :
(1)抛物线y2 x上一点P到焦点的
距离为2,则P点的坐标为__答_案__: P___74_,.
7
2
(2)抛物线y2 2x上两点A, B到焦点的距离
之和是5,则线段AB中点横坐标是 _答_案_:_2..
例2.斜率为1的直线过抛物线y2 4x的焦点,
交抛物线于A, B两点, 通过点A
A
和 抛 物线顶点的直线交抛物 o
线的准线于点D ,求 证 :直线
F DB
x
DB平行于抛物线的对称轴.
分析 我们用坐标法证明,即通 过建立抛物线及直线的方程, 借
图2.3 5
助方程研究直线DB与抛物线对
称轴之间的位置关系.
建立如图2.3 5所示的直角坐标系,只要证明 点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.
[整理]抛物线焦点弦的性质专题 经典
![[整理]抛物线焦点弦的性质专题 经典](https://img.taocdn.com/s3/m/938884cf5fbfc77da269b16a.png)
tan 2 1 2p 2p 2 tan sin 2
p y ( x ) tan 2 由 2 y 2 px
2p 2 p2 2 | AB | 1 tan ( p ) 4 2 tan 4
1) 焦点弦长 | AB | x1 x2 p
2p 2) 焦点弦长 | AB | sin 2 (其中为直线AB与 对称轴的夹角）
⒈过抛物线 y 2 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 )， B( x2 , y2 ) 两点．若 x1 x2 6 ，则|AB|= ___________ 8 ⒉过抛物线 y 24 为________；一条焦点弦长为16，则弦所在的直线倾斜 2 角为 _________． 或
5.过抛物线 焦点的一条直线，与它交于P、Q两点， 经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证 直线MQ平行于抛物线的对称轴。
（课本P123习题第6题）
变：设抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的焦点为F，经过点F 的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线 上，且BC x轴，证明AC经过原点O。 （01高考）
2. 若直线与抛物线 y 2 2 px ( p 0)的两个交点的纵坐标y1、y2， 满足 y1 y2 p 2，则该直线是否经过焦 F ？ 点
设交点为A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ) p 1) 若 x1 x2，则| y1 | | y2 | p x1 x2
2
下记AB为焦点弦， 1 H 2为通径 H 1. 若H1、H 2的纵坐标为 y1、y2，则 y1 y2 p 2 2. 若A、B的纵坐标为 y1、y2，则 y1 y2 ？ 2 p
抛物线焦点弦的有关结论含答案
抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若AB是过抛物线()022>=ppxy的焦点F的弦。
设(),,11yxA()22,yxB，则（1）4221pxx=；（2）221pyy-=证明：如图，（1）若AB的斜率不存在时，依题意,221pxx==4221pxx=∴若AB的斜率存在时，设为,k则⎭⎝⎛-=2:xkyAB()042222222222=++-⇒=⎪⎭⎫⎝⎛-pkpxkxkpxpxk.4221pxx=∴综上：.4221pxx=（2）pyxpyx2,2222211==，,22142221pyypyy±=⇒=∴但22121,0pyyyy-=∴<（2）另证：设2:pmyxAB+=与pxy22=联立，得22122,02pyyppmyy-=∴=--知识点2：若AB是过抛物线()022>=ppxy的焦点F的弦。
设(),,11yxA()22,yxB，则（1）;21pxxAB++=（2）设直线AB的倾斜角为α，则2sin2pAB=证明：（1）由抛物线的定义知,2,221pxBFpxAF+=+=pxxBFAFAB++=+=∴21（2）若,2,9021pxx===则α由（1）知α2sin22ppAB==若pxypxkyAB2,2:,9020=⎪⎭⎫⎝⎛-=≠与设α联立，得()042222222222=++-⇒=⎪⎭⎫⎝⎛-pkpxkxkpxpxk(),22221kkpxx+=+∴()222112kkppxxAB+=++=∴，而αtan=k，()ααα222sin2tantan12ppAB=+=∴知识点3：若AB是过抛物线()022>=ppxy的焦点F的弦，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
证明：过点BA、分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为,11BA、过AB中点M向准线引垂线，垂足为,N设以AB为直径的圆的半径为,r.2211rMNMNBBAABFAFABr=∴=+=+==∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
抛物线焦点弦问题(附答案解析)
（难度3星）1.（2019 •安徽高二期末（文））在平而直角坐标系中，抛物线关于轴对称，顶点为坐标原点，且经过点（2（1）求抛物线的标准方程：（2）过点 3的直线交抛物线于弘"两点，尸点是直线：=一2上任意一点.证明：直线、、的斜率依次成等差数列.【答案】（1）—2 : （2）证明见解析【解析】（1）因为抛物线关于轴对称，可设抛物线为亠2，而点（玄②在抛物线上，从而有另=2X2,得 =故抛物线方程为2=2 ：（2）设点（―）是直线上任意一点，直线交抛物线于“、"两点，所以直线的斜率不等于0,可设直线：= +2交抛物线于（”』）、（？，？），由｛可得：--2 - 2= 0从而有j + 2=2, 1 2= ~~ 2,1 ~ _ 2~= ------- •= ------ 9 =— --1^1 ?+/ 21且在直线上，所以有：1= 丄+Z 2= E+Z-2 —=―：=一'而2 =-，即证得证直线，,+ =2的斜率成等差数列.（难度2星）2. （2020 •河南高二期末（理））已知是抛物线： I （2,）是抛物线上一点，且| |=2（1）求抛物线的方程：（2）直线与抛物线交于，两点，若―'• 一 = -彳（否会过某个泄点若是，求出该立点坐标，若不是，说明理由.【答案】（1）2=4:⑵是，（2,6.【解析】（1）由抛物线的泄义知I | =』+三=2,.・.=2,•••抛物线的方程为：2=4（2）由题意知:可设的方程为：= + ,代入'=4有2— 4 — 4 = 0、（＞。
的焦点,为坐标原点），则直线是设(b 1}>( 9 2)> 则r 2= -4、・・「（宀一么••1 2_ 托 _ 、S・・・•= 广？+ 厂2= 4 =_4 ・•・ =2••• 的方程为 = +Z恒过点（2,0）.所以直线过左点（20・（难度2星）3.（2020 •江西高二期末（文））已知抛物线：亠2（2_ 2=谢圆心.（1）求抛物线Q的标准方程：（2）过抛物线的焦点尸的直线』与抛物线相交于两点，程.■【答案】（1）2=4（2）=2一戒=_2 +2【解析】（1）圆的标准方程为（一庁+ 2*圆心坐标为（20,>0的焦点尸为圆2 +| = £求直线』的方即焦点坐标为 g 则7= I =缩到抛物线的方程亠4（2）设直线的方程为: + /联立抛物线的方程2=4消整理得: 2- {4 2+2) +1=0：.』+ 尸 4 - + 2根据焦点弦的性质可知：| |= ；+ .+ =4 2+4又因为| | = 5 ..4 2+4=M得=±：所以所求直线的方程为：=2 = _2 +2（难度2星）4.（2019 •四川高二期末（文））已知点（一2。
高中数学抛物线的焦点弦-经典性质及其证明过程
有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB = 证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短.结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P P y y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。
《抛物线的焦点弦》专题
《抛物线的焦点弦》专题2019年（ ）月（ ）日 班级 姓名),(),,(.12211y x B y x A ）（ ,,421221221p x x AB p y y p x x ++=-==，pBF AF p S p AB AOB 211,sin 2,sin 2222=+==∆αα）（（3）以AB 为直径的圆与抛物线的准线过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，自A ，B 向准线作垂线，垂足分别为A ′，B ′，则∠A′FB′=______．【点坐标处理焦点弦问题】1抛物线x y 42=与过焦点的直线交于A ,B 两点，则=∙OB OA2. 过抛物线x y 42=焦点的直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，如果621=+x x ，那么AB =3.已知抛物线y 2＝4x (p >0)，过其焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为2，则AB =4.抛物线x y 42=的焦点做直线交抛物线于A ,B 两点，如果AB =8，O 为坐标原点，则△OAB 的重心的横坐标是【长度与角处理焦点弦问题】1.斜率为1的直线经过抛物线4x y 2=的焦点，与抛物线相交A ，B 两点，求线段AB 的长。
2.过抛物线x y 92=的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为3.已知过抛物线()y px p 2=2>0的焦点，斜率为的直线交抛物线于(,)A x y 11和(,)()B x y x x 2112<两点，且AB =9,则抛物线的方程4.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作倾斜角为 30的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则=p _____________5.过抛物线24y x =的焦点作倾斜角为45的直线l 交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为6.在直角坐标系xoy 中,直线l 过抛物线24y x =的焦F ,且与该抛物线相交于A 、B 两点,其中点A 在x 轴上方,若直线l 的倾斜角为60°,则△OAF 的面积为_______7.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A. B. C. 6332 D. 94 8.过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P Q ，两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p q ，，则11p q+=9.过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于B A ,两点，若线段BF AF ,的长分别为n m ,，则nm mn +等于10.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点， 已知3,2AF BF ==，则p 等于 .11.过抛物线24y x ＝的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若｜AF ｜＝5，则｜BF ｜＝12.如图过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线与点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则p=________．13已知直线)0(),2(>-=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。
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培优点20 抛物线的焦点弦问题直线与抛物线相交的问题，若直线过抛物线的焦点，可使用焦点弦长公式求弦长，利用焦点弦的特殊结论求解题目．例1 (1)(2020·临沂模拟)已知F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AB 的中点为C ，过C 作抛物线准线的垂线交准线于C ′，若CC ′的中点为M (1,4)，则p 等于( )A ．4B ．8C ．4 2D ．8 2 答案 B解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵M (1,4)，∴y 1＋y 2＝8， 又C ⎝⎛⎭⎫2＋p 2，4，F ⎝⎛⎭⎫p2，0， ∴k AB ＝2，∴直线AB ：y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p2， 代入y 2＝2px ， 得y 2－py －p 2＝0， ∴y 1＋y 2＝p ＝8.(2)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A ．4 B.92 C ．5 D ．6答案 B解析 不妨设点A 在x 轴的上方，如图，设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于点E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ， 则|AF |＝2m ，|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ， 所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2 θ＝8cos 2 θ，所以sin 2 θ＝89.由y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式得|AB |＝2p sin 2 θ＝92.例2 已知抛物线C ：y 2＝8x ，P 为C 上位于第一象限的任一点，直线l 与C 相切于点P ，连接PF 并延长交C 于点M ，过P 点作l 的垂线交C 于另一点N ，求△PMN 的面积S 的最小值． 解 设P (x 0，y 0)(y 0>0)，M ⎝⎛⎭⎫y 218，y 1，N ⎝⎛⎭⎫y 228，y 2，切线l 的方程为x －x 0＝t (y －y 0)， 则FM →＝⎝⎛⎭⎫y 218－2，y 1，FP →＝⎝⎛⎭⎫y 208－2，y 0，由M ，F ，P 三点共线，可知FM →∥FP →， 即⎝⎛⎭⎫y 218－2y 0－⎝⎛⎭⎫y 28－2y 1＝0， 因为y 0≠y 1，所以化简可得y 0y 1＝－16.由⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝t (y －y 0)，y 2＝8x ，可得y 2－8ty ＋8ty 0－8x 0＝0， 因为直线l 与抛物线相切，故Δ＝64t 2－32ty 0＋4y 20＝0，故t ＝y 04. 所以直线PN 的方程为y －y 0＝－y 04(x －x 0)，即y 0x ＋4y －4y 0－y 308＝0，所以点M 到直线PN 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪y 21y 08＋4y 1－4y 0－y 308y 20＋16，将y 1＝－16y 0代入可得d ＝⎪⎪⎪⎪32y 0＋4y 0＋y 308y 20＋16＝(y 20＋16)28|y 0|y 20＋16，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 0x ＋4y －4y 0－y 308＝0，y 2＝8x ，消去x 可得，y 0y 2＋32y －y 30－32y 0＝0，所以y 0＋y 2＝－32y 0，y 2＝－32y 0－y 0，|PN |＝1＋16y 20|y 0－y 2|＝1＋16y 20⎪⎪⎪⎪2y 0＋32y 0＝2(y 20＋16)y 20＋16y 20，故S ＝12d |PN |＝12×(y 20＋16)28|y 0|y 20＋16×2(y 20＋16)y 20＋16y 20 ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20＋16y 03＝18⎝⎛⎭⎫y 0＋16y 03≥18⎝⎛⎭⎫2y 0·16y 03＝64， 当且仅当y 0＝4时，“＝”成立，此时，△PMN 的面积S 取得最小值，为64.设AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的一条焦点弦，焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)1|AF |＋1|BF |＝2p. (3)|AB |＝2psin 2α(α为弦AB 所在直线的倾斜角)．1．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30° 的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94答案 D解析 由已知得焦点为F ⎝⎛⎭⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即4x －43y －3＝0. 方法一 联立直线方程与抛物线方程， 化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.方法二 联立直线方程与抛物线方程得x 2－212x ＋916＝0，故x A ＋x B ＝212.根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为d ＝|－3|42＋(－43)2＝38， 因此S △OAB ＝12|AB |·d ＝94.2．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120° 的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A.13B.23C.34D.43 答案 A解析 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |， 即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，得|AF ||BF |＝13. 3．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135° 的直线，被抛物线所截得的弦长为8，则抛物线方程为____________________． 答案 y 2＝4x 或y 2＝－4x解析 如图所示，当抛物线开口向右时，可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则直线方程为y ＝－x ＋p 2.设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足为C ，D ，则由抛物线的定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线和抛物线的交点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋p 2，y 2＝2px ， 消去y ，得x 2－3px ＋p 24＝0，所以x 1＋x 2＝3p . 将其代入①，得p ＝2，所以所求的抛物线的方程为y 2＝4x .当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 综上，抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .4.如图，已知点F (1,0)为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧，记△AFG ，△CQG 的面积为S 1，S 2.(1)求p 的值及抛物线的准线方程； (2)求S 1S 2的最小值及此时点G 的坐标．解 (1)由题意可得p2＝1，则p ＝2,2p ＝4，抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k >0，与抛物线方程y 2＝4x 联立可得，k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 故x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝4k ，y 1y 2＝－4x 1×4x 2＝－4，设C (x 3，y 3)，由重心坐标公式可得， x G ＝x 1＋x 2＋x 33＝13⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋x 3， y G ＝y 1＋y 2＋y 33＝13⎝⎛⎭⎫4k ＋y 3， 令y G ＝0可得，y 3＝－4k ，则x 3＝y 234＝4k 2，即x G ＝13⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋4k 2＝13⎝⎛⎭⎫2＋8k 2， 由斜率公式可得，k AC ＝y 1－y 3x 1－x 3＝y 1－y 3y 214－y 234＝4y 1＋y 3，直线AC 的方程为y －y 3＝4y 1＋y 3(x －x 3)，令y ＝0，可得x Q ＝x 3＋－y 3(y 1＋y 3)4＝y 234＋－y 3(y 1＋y 3)4＝－y 1y 34，故S 1＝12×(x G －x F )×y 1＝12×⎣⎡⎦⎤13⎝⎛⎭⎫2＋8k 2－1×y 1＝y 12×⎝⎛⎭⎫83k 2－13， 且S 2＝12×(x Q －x G )×(－y 3)＝－y 32⎣⎡⎦⎤－y 1y 34－13⎝⎛⎭⎫2＋8k 2， 由y 3＝－4k ，代入上式可得S 2＝2k ⎝⎛⎭⎫y 1k －23－83k 2，由y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4可得y 1－4y 1＝4k ，则k ＝4y 1y 21－4，则S 1S 2＝y 12×⎝⎛⎭⎫83k 2－132k ⎝⎛⎭⎫y 1k －23－83k 2＝2y 21(y 21－2)(y 21－4)(y 21＋4) ＝2－4(y 21－8)＋48y 21－8＋16≥2－42(y 21－8)×48y 21－8＋16＝1＋32， 当且仅当y 21－8＝48y 21－8，即y 21＝8＋43，y 1＝6＋2时等号成立，此时k ＝4y 1y 21－4＝2，x G ＝13⎝⎛⎭⎫2＋8k 2＝2， 则点G 的坐标为(2,0)．。