专题六 培优点20 抛物线的焦点弦问题

培优点20 抛物线的焦点弦问题

直线与抛物线相交的问题，若直线过抛物线的焦点，可使用焦点弦长公式求弦长，利用焦点弦的特殊结论求解题目．

例1 (1)(2020·临沂模拟)已知F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AB 的中点为C ，过C 作抛物线准线的垂线交准线于C ′，若CC ′的中点为M (1,4)，则p 等于( )

A ．4

B ．8

C ．4 2

D ．8 2 答案 B

解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

∵M (1,4)，∴y 1＋y 2＝8， 又C ⎝⎛⎭⎫2＋p 2，4，F ⎝⎛⎭⎫p

2，0， ∴k AB ＝2，

∴直线AB ：y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p

2， 代入y 2＝2px ， 得y 2－py －p 2＝0， ∴y 1＋y 2＝p ＝8.

(2)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A ．4 B.9

2 C ．5 D ．6

答案 B

解析 不妨设点A 在x 轴的上方，如图，设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于点E ，

设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ， 则|AF |＝2m ，|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知

|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ， 所以cos θ＝|AE ||AB |＝1

3，所以tan θ＝2 2.

则sin 2 θ＝8cos 2 θ，所以sin 2 θ＝8

9

.

由y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式得|AB |＝2p sin 2 θ＝9

2

.

例2 已知抛物线C ：y 2＝8x ，P 为C 上位于第一象限的任一点，直线l 与C 相切于点P ，连接PF 并延长交C 于点M ，过P 点作l 的垂线交C 于另一点N ，求△PMN 的面积S 的最小值． 解 设P (x 0，y 0)(y 0>0)，M ⎝⎛⎭⎫y 2

18，y 1，N ⎝⎛⎭

⎫y 2

2

8，y 2，切线l 的方程为x －x 0＝t (y －y 0)， 则FM →＝⎝⎛⎭⎫y 218－2，y 1，FP →＝⎝⎛⎭⎫y 208－2，y 0，

由M ，F ，P 三点共线，可知FM →∥FP →

， 即⎝⎛⎭⎫y 2

18－2y 0－⎝⎛⎭⎫y 2

8－2y 1＝0， 因为y 0≠y 1，所以化简可得y 0y 1＝－16.

由⎩

⎪⎨⎪⎧

x －x 0＝t (y －y 0)，y 2＝8x ，可得y 2－8ty ＋8ty 0－8x 0＝0， 因为直线l 与抛物线相切，故Δ＝64t 2－32ty 0＋4y 20＝0，故t ＝y 04. 所以直线PN 的方程为y －y 0＝－y 0

4(x －x 0)，

即y 0x ＋4y －4y 0－y 30

8

＝0，

所以点M 到直线PN 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪

y 21y 08

＋4y 1－4y 0－y 3

08y 20＋16

，

将y 1＝－16

y 0

代入可得

d ＝

⎪⎪⎪⎪

32y 0

＋4y 0＋y 3

08y 20＋16

＝

(y 20＋16)

2

8|y 0|

y 20

＋16，

联立⎩⎪⎨⎪⎧

y 0x ＋4y －4y 0－y 3

08＝0，

y 2＝8x ，消去x 可得，

y 0y 2＋32y －y 30－32y 0＝0，

所以y 0＋y 2＝－32y 0，y 2＝－32

y 0－y 0，

|PN |＝

1＋16

y 20

|y 0－y 2|＝

1＋16y 20⎪⎪

⎪⎪2y 0＋32y 0＝2(y 20＋16)y 20＋16y 20

，

故S ＝1

2

d |PN |

＝1

2×(y 20＋16)28|y 0|y 20＋16

×2(y 20＋16)y 20＋16y 20 ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20＋16y 03＝18⎝⎛⎭

⎫y 0＋16y 03≥18⎝⎛⎭

⎫

2y 0·16y 03＝64， 当且仅当y 0＝4时，“＝”成立，

此时，△PMN 的面积S 取得最小值，为64.

设AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的一条焦点弦，焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 2

4，y 1y 2＝－p 2.

(2)1|AF |＋1|BF |＝2p

. (3)|AB |＝2p

sin 2α

(α为弦AB 所在直线的倾斜角)．

1．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30° 的直线交C 于A ，B 两点，O 为

坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94

答案 D

解析 由已知得焦点为F ⎝⎛⎭⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝3

3⎝⎛⎭⎫x －34，即4x －43y －3＝0. 方法一 联立直线方程与抛物线方程， 化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝

(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6.

因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝9

4

.

方法二 联立直线方程与抛物线方程得x 2－212x ＋916＝0，故x A ＋x B ＝21

2.

根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋3

2＝12，

同时原点到直线AB 的距离为d ＝|－3|

42＋(－43)2

＝3

8

， 因此S △OAB ＝12|AB |·d ＝9

4

.

2．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120° 的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF |

|BF |的值等于( )

A.13

B.23

C.34

D.43 答案 A

解析 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，

则cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1|

|AF |＋|BF |