高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2复数的四则运算5.2.1复数的加法与减法北师大版选修2
2020版高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.1复数的加法与减法课件北师大版选修2_2
【解析】(1)因为A，C对应的复数分别为3+2i，-2+4i， 由复数的几何意义，知 OA与OC 表示的复数分别为3+ 2i，-2+4i. ①因为 AO＝－OA，所以 AO 表示的复数为-3-2i.
②因为 CA＝OA－OC， 所以 CA表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. ③因为 OB＝OA＋所O以C， 表示O的B 复数为(3+2i)+ (-2+4i)=1+6i.
即(x，y)-(1，2)= (-1，-2)-(-2，1)， (x-1，y-2)=(1，-3)，
所以
x y
1 1解, 得
2 3,
x 2, y 1.
故点D对应的复数为2-i. 若BC为平行四边形的一条对角线，则AC B同D，理， 得点D对应的复数为-4-3i. 若AB为平行四边形的一条对角线，则CA B同D，理， 得点D对应的复数为5i.
所以|z|i+z= x2＋y2 i+x+yi= x＋( x2＋y2＋y)i
=1+3i，所以
x＝1，
x2 y
2＋y＝3
所以z=1+ 4 i.
3
答案：1+ 4 i
3
x＝1，
解得
y＝
4 3
,
2.原式=4i+(1-3i)=1+i.
【内化·悟】 1.若z1=a+bi，z2=c+di，则z1±z2如何计算？ 提示：根据复数运算法则：z1±z2=(a±c)+(b±d)i.
【思维·引】1.复数z=a+bi在复平面上对应的向量为 OZ =(a，b).
2.利用向量相等或对称性，求第四个顶点对应的复数.
(完整word版)数系的扩充和复数的概念全面版
数系的扩充和复数的概念教学目标重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等。
复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用.难点:虚数单位i 的引进以及对复数概念的理解．知识点:了解引进复数的必要性；理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、实部、虚部、实数、虚数、纯虚数、复数相等）;理解虚数单位i 及i 与实数的运算规律能力点:探寻复数的形成过程,体会引入虚数单位i 和复数形式的合理性，以及等价转化思想、方程思想、分类讨论数学思想的运用。
教育点:通过问题情境,体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，经历由实数系扩充到复数系的研究过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.自主探究点：如何运用实数与虚数单位i 的加、乘运算得到复数代数形式及探索复数相等的充要条件. 考试点:用复数的基本概念解决简单的数学问题。
易错易混点:对复数代数形式的认识,及复数分类的把握。
拓展点:如何利用复数代数形式解题,理解复数的几何意义.一、 引入新课求下列方程的解:(1)24x = 2(2)40x -= (3)310x -= 2(4)20x -= 2(5)10x +=．学生分析各题的解：(1)2x =；(2)22x x ==-或;1(3)3x =；(4)22x x ==-或；(5)实数集内无解. 通过以上五题解的探讨,学生会发现方程(5)在实数集中遇到了无解现象.如何使方程(5)有解呢?类比引进2，就可以解决方程220x -=在有理数中无解的问题,就有必要扩充数集，今天我们来与大家一起学习“数系的扩充”。
【设计意图】通过类比，易引发学生的学习兴趣.使学生了解扩充数系要从引入新数开始,引出本课题．二、探究新知1.复习已学过的数系问题1:数，是数学中的基本概念。
到目前为止,我们学习了哪些数集?用符号如何表示?它们之间有怎样的包含关系？用图示法可以如何表示?答：自然数集、整数集、有理数集、实数集,符号分别表示为N ，Z ,Q ，R ； 其中它们之间的关系式:N Z Q R ; 用文氏图表示N ,Z ,Q ,R 的关系【设计意图】数集及其之间关系的回顾，特别是“图示法”的直观表示,旨在帮助学生对“数系的扩充”有个初步感受.我们将一个数集连同相应的运算及结构叫做一个数系。
高中数学第5章数系的扩充与复数的引入2复数的四则运算北师大版选修
2i－[(3＋2i)－(－1＋3i)]
(2) －4＋3i ＝2i－[(3＋1)＋(2－3)i]
＝2i－(4－i)＝－4＋3i.
(3)
－2a＋(5b－
(a＋bi)－(3a－4bi)－5i ＝(a－3a)＋(b＋4b－5)i
5)i
＝－2a＋(5b－5)i.
复数加减法法则的记忆： 法一：实部与实部相加减做为实部，虚部与虚部相加减做 为虚部． 法二：把 i 看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并 同类项．
§2 复数的四则运算
课前预习学案
已知复数 z1＝3＋4i，z2＝－2＋i， (1)z1 对应的向量O→Z1的坐标是什么？z2 对应的向量O→Z2的坐 标是什么？
(2)求出O→Z1＋O→Z2、O→Z1－O→Z2的坐标，那么向量O→Z1＋O→Z2和 O→Z1－O→Z2对应的复数又分别是什么呢？
[提示] (1)O→Z1＝(3,4)，O→Z2＝(－2,1)． (2)O→Z1＋O→Z2＝(1,5)，O→Z1－O→Z2＝(5,3)， 它们对应的复数分别为 1＋5i 和 5＋3i.
1．计算： (1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－1＋ 2i)＋(1－ 2i)； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
பைடு நூலகம்
解析：
序号
结论
理由
原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i (1) －4－10i
＝－4－10i；
(2)
0
原式＝(－1＋1)＋( 2－ 2)i＝0；
原式＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i (3) －a＋(4b－3)i
＝－a＋(4b－3)i.
复数的乘除运算
计算： (1)(1－2i)(2＋i)(4－3i)； (2)－12＋ 23i－12－ 23i； (3)56＋－65ii； (4)13－－24ii2－42－＋3ii2. [思路导引] 直接利用复数的乘除法法则计算，注意乘法 公式及特殊复数的运算结果的应用．
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入教材基础素材
§1 数系的扩充与复数的引入复数是16世纪人们在研究求解一元二次、三次方程的问题时引入的。
现在它已在数学、力学、电学以及其他科学里获得了广泛的应用。
复数的初步知识是进一步学习高等数学的基础,在初等数学范围内，它与平面解析几何、三角函数、指数和对数等也有密切的联系,为解决一些问题提供了方便。
高手支招1细品教材一、虚数单位i状元笔记i就是-1的一个平方根，-i是-1的另一个平方根。
1.我们把平方等于—1的数用i表示，规定i2=—1，其中的i叫做虚数单位.虚数单位的引入是为了使方程x2+1=0,即x2=—1有解,使实数的开方运算总可以实施(即让负数能开平方根），实数集的扩充就从引入平方等于—1的“新数”开始.2。
i可与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算仍然成立.i可以与实数进行四则混合运算，是扩充数集的原则之一，这里只提加、乘运算，不提减、除运算，并不是对减、除运算不成立，这和后面在讲复数的四则运算时，只对加法和乘法法则作出规定,而把减法、除法运算分别定义为加法、乘法的逆运算的做法一致的,即在四则运算中突出加、乘运算,这样处理更为科学、合理，分清了主次。
二、复数的概念1.复数与复数集我们把形如a+bi （a ，b ∈R )的数叫做复数.其中i 做虚数单位.全体复数所构成的集合C={a+bi ｜a,b ∈R ｝叫做复数集。
2。
复数的实部与虚部(1)复数通常用字母z 来表示，即z=a+bi （a,b ∈R ),这一表示形式叫做复数的代数形式.其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部,分别用Rez 与Imz 表示,即a=Rez,b=Imz 。
【示例】 写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数,哪些是虚数，哪些是纯虚数.4,2-3i ，0，21-+34i,5+2i,6i 。
思路分析：要指出这些复数的实部与虚部,我们首先要弄清楚这些复数的完整形式,如2—3i 本身已是复数的完整形式,其实部与虚部一目了然,然而像4，6i 等形式简化的复数,在指出它们的实部与虚部时可先写出它们的完整的复数形式,如4=4+0i,那么,我们便马上得出4的实部是4，虚部为0;6i=0+6i ，则我们马上可知其实部是0，虚部是6。
高中数学_数系的扩充和复数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思
《数系的扩充与复数的概念》教学设计【教学目标】1．了解数系的扩充过程，理解复数的有关概念以及符号表示；2．掌握复数的代数形式和几何表示法，理解复平面、实轴、虚轴等概念的意义掌握复数集C与复平面内所有点成一一对应；【教学重点】复数的有关概念,复数的代数形式和复数的向量表示【教学难点】复数相等的条件,复数向量表示．【教学方法】点拨教学与小组合作【教学过程】一、创设情景问题 1 从你认识自然数到现在，数系都在哪几个阶段经历了哪几次扩充？2 为什么要进行数系的扩充？设计意图：学生已经学习过一些数集，在此基础之上，帮助学生重新建构数集的扩充过程，不仅通过对前几次数系扩充进行了的梳理，也为数系的为何要再一次扩充打下了基础，让学生感受到数系扩充的合理性，并能自我总结出数系扩充的一般原则。
二探究新知（一）数系的扩充问题如何在实数范围内解x2 +1=0这样的方程？设计意图由于有了前面问题的铺垫，这个问题的解决，使新数的引入变得自然了，由教师引导同学们回答1 引入新数i数学家欧拉引入一个新数i，i叫做虚数单位，并规定：（1）i2= -1 ；（2）实数可以与它加法和乘法运算，原有的加、乘运算律仍然成立．这样出现了很多新数，如2+i,-3+4i,2i等，由于满足乘法交换律及加法交换律，从而这些结果可以写成a+bi ，a ,b∈R2形成新数集所有i实数实数形式的都应该在新的数集里面，并+⨯且新的数集里面的数都可以写成这种形式，我们不妨把这种形式写成,,+∈∈，这就是我们把实数集进行扩充后得到的数所具有a bi a Rb R的一般形式。
（二）复数的概念1 复数概念形如的数，我们把它们叫做复数．注意（1）复数的代数形式z=a+bi、(a ,b∈R,)a叫实部、b叫虚部.（2）全体复数所形成的集合{}=+∈∈叫做复数集，C a bi a R b R|,一般用字母C表示2 概念运用判断正误（1）z=1-ai (a ∈R)是一个复数（2）z=-2i+0.1实部为-2，虚部为0.1（3）10-2i2＞0（4）z=a+3i其中a为实部设计意图这几个题目采取学生口答形式，通过分析题目，使学生对复数概念的认识达到及时巩固的效果（三）复数分类探究（1） z=a+bi(a ,b∈R)中a,b在什么条件下为实数？（2）复数集C和实数集R之间有什么关系?设计意图采用学生先独立思考在小组讨论方式解决，这样由问题1到2的过渡，让学生对复数集C和实数集R关系的理解能较为容易些。
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)4.5数系的扩充与复数的引入课件 理 新人教B版
然后利用复数的模公式求解.
【提醒】解题时，需注意两方面问题：一是正确理解和表达有
关概念，如a+bi为实数的条件，其共轭复数是什么,a+bi的虚部
是什么等;二是加强复数代数形式的四则运算的熟练程度.
【例1】(2011·安徽高考)设i是虚数单位，复数 1 ai 为纯虚
2i
数，则实数a为 ( (A)2 (C)- 1
1 i
算.
【创新探究】复数命题新动向
【典例】(2011·陕西高考)设集合M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},
N={x||x- 1|＜ 2，i为虚数单位，x∈R},则M∩N为(
i
)
(A)(0,1) (C)［0,1)
(B)(0,1］ (D)［0,1］
【解题指南】集合M为函数值域，N为不等式的解集，其中 | x |为复数的模，弄清集合的元素是解题的关键.
【即时应用】(1)设z=3i+2,则1- z =
.
(2)1+i+i2+i3=
(3)
Байду номын сангаас
.
.
a 1 i 为实数，则实数a= 1 i 2 (4) 3 i +(3+i)(1-i)= . 1 i
【解析】(1)∵z=3i+2,∴z =2-3i,1- z =1-(2-3i)=-1+3i. (2)1+i+i2+i3=1+i-1-i=0.
【反思·感悟】解决此类问题，一方面要了解复数的几何意义(
如复数的向量表示，复数表示的点在复平面内的位置)，了解复 数加、减运算的几何意义，另一方面要准确地进行复数代数形 式的四则运算.
5.1 数系的扩充与复数的引入 课件(北师大选修2-2)
一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量 OZ ＝ (a，b) 是一一对应的．
2．复数的模 设复数 z＝a＋bi(a， b∈R)在复平面内对应的点是 Z(a， b)，点 Z 到 原点的距离 |OZ|叫作复数 z 的模或绝对值， 记
a2＋b2 . 作|z|，显然，|z|＝
1．注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，b∈R这一条
答案：0或2
1 9．求复数 z1＝6＋8i 及 z2＝－ － 2i 的模，并比较它们的 2 模的大小．
1 解：∵z1＝6＋8i，z2＝－ － 2i， 2 ∴|z1|＝ 62＋82＝10， |z2|＝
1 － 2＋－ 2
3 2 ＝ . 2
2
3 ∵10> ， 2 ∴|z1|>|z2|.
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明 确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚 数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0. 2．复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对
应，可知复数z＝a＋bi(a，b∈R)、复平面内的点Z(a，b)和
平面向量 OZ 之间的关系可用图表示．
解析： 复数 z1， 2 对应的点分别为 Z1(1， 3)， 2(1， 3)， z Z － 关于 x 轴对称． 答案：A
6．已知平面直角坐标系中O是原点，向量 OA ，OB 对应 的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量 BA 的坐标是
( A．(－5,5) C．(5,5) B．(5，－5) D．(－5，－5) )
OB 对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2 解析：向量 OA ，
＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向
量 OA ＝(2，－3)， OB ＝(－3,2)．
高中数学一轮复习课件：数系的扩充与复数的引入
i1＋2 3i 2 21005 (2)原式＝ ＋ 1＋2 3i 1－i 2 1005 ＝i＋( ) ＝i＋i1005 －2i ＝i＋i4
×251＋1
＝i＋i＝2i.
(3)解法一：原式
1＋i2 6 ＝ ＋ 2
6
2＋ 3i 3＋ 2i 32＋ 22
－2＋2i z1 2i 解析：z＝ ＝ ＝ ＝－1＋i，共轭复数 z2 1－i 2 为 z ＝－1－i，则复数 z ＝－1－i 所对应的点是(－1， －1)，在第三象限，故选 C.
答案：C
1－i 3． 设复数 z＝ ＋(1＋i)2， 则(1＋z)7 展开式的第 1＋i 五项是 ( A．－21 C．－21i B．35 D．－35i )
(3)要使 z 是纯虚数，m 须满足： mm＋2 ＝0 且 m2＋2m－3≠0. m－1 解得 m＝0 或 m＝－2， ∴当 m＝0 或 m＝－2 时，z 为纯虚数．
• 此题是基础题，用到了复数的分类．在对 复数进行分类时要注意，使得虚部和实部 均有意义，如当z为实数时，应有虚部b＝ 0，还要保证实部a有意义；当z为虚数时， 应有虚部b≠0，还要保证实部a有意义； 当z为纯虚数时，应有实部a＝0，还要保 证虚部b≠0，否则容易发生错误，在做题 时要特别小心.
→ → 解析：如右图，OA与OB对应复数 z1、z2， → → ∴OC、BA分别对应复数 z1＋z2 和 z1－z2， ∵|z1＋z2|＝|z1－z2|， → → ∴|OC|＝|BA|， ∴平行四边形 OACB 为矩形， → → ∴OA⊥OB，即OA⊥OB.
答案：C
• 1．复数的代数运算 • (1)复数代数运算的实质是转化为实数运 算，在转化时常用的知识有复数相等，复 数的加、减、乘、除运算法则，模的性质， 共轭复数的性质．
北师大版高中数学课本目录(含重难点及课时分布)
高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一1、集合的基本关系ﻫ·２、集合·第一章集合(考点的难度不是很大，是高考的必考点)ﻫ·的含义与表示ﻫ·３、集合的基本运算（重点)（2课时）1、生活中的变量关系··第二章函数ﻫ·4、二次函数性质的再研究（重点)3、函数的单调性(重点)ﻫ· 2、对函数的进一步认识ﻫ··５、简单的幂函数(５课时）ﻫ·第三章指数函数和对数函数·2、指数概念的扩充·１、正整数指数函数ﻫ· 3、指数函数（重点)· 4、对数· 5、对数函数（重点)· 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点）（3课时）ﻫ·第四章函数应用ﻫ·１、函数与方程ﻫ·2、实际问题的函数建模（２课时）北师大版高中数学必修二·第一章立体几何初步ﻫ·1、简单几何体ﻫ2、三视图(重点)·· 3、直观图(１课时)ﻫ·４、空间图形的基本关系与公理（重点）ﻫ·５、平行关系（重点)ﻫ·６、7、简单几何体的面积和体积(重点)·垂直关系(重点)ﻫ· 8、面积公式和体积公式的简单应用(重点、难点)(4课时)·第二章解析几何初步·3、空间直角坐标系· 1、直线与直线的方程ﻫ·２、圆与圆的方程ﻫ（4课时）北师大版高中数学必修三1、统计活动：随机选取数字··第一章统计ﻫ· 2、从普查到抽样ﻫ·3、抽样方法6、用样本估计总体·4、统计图表ﻫ·5、数据的数字特征（重点）ﻫ·· 7、统计活动:结婚年龄的变化· 8、相关性ﻫ·９、最小二乘法（３课时)ﻫ·第二章算法初步· 1、算法的基本思想·3、排序问题（重点)· 2、算法的基本结构及设计（重点)ﻫ·4、几种基本语句(2课时）1、随机事件的概率(重点)··第三章概率ﻫ· 2、古典概型(重点)·３、模拟方法――概率的应用（重点、难点）（４课时）ﻫ北师大版高中数学必修四·第一章三角函数·１、周期现象与周期函数ﻫ·2、角的概念的推广ﻫ·3、弧度制· 4、正弦函数（重点)· 5、余弦函数(重点)· 6、正切函数(重点)·７、函数的图像(重点）·８、同角三角函数的基本关系(重点、难点)(５课时）1、从位移、速度、力到向量ﻫ·２、从位移的合成到向量的加法（重ﻫ·第二章平面向量ﻫ·3、从速度的倍数到数乘向量（重点)·点）ﻫ· 4、平面向量的坐标(重点)·５、从力做的功到向量的数量积（重点）ﻫ·6、平面向量数量积的坐标表示(重点)·７、向量应用举例（难点）(5课时）ﻫ·第三章三角恒等变形(重点）·2、二倍角的正弦、余弦和正切·１、两角和与差的三角函数ﻫ·3、半角的三角函数·４、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用(难点）（4课时）北师大版高中数学必修五·第一章数列ﻫ·1、数列的概念· 2、数列的函数特性4、等差数列的前n项和（重点）· 3、等差数列（重点）ﻫ·· 5、等比数列(重点)·６、等比数列的前n项和(重点）ﻫ·7、数列在日常经济生活中的应用·3、2、正弦定理ﻫ1、正弦定理与余弦定理正弦定理ﻫ（6课时)ﻫ·第二章解三角形(重点）ﻫ··4、三角形中的几何计算（难点)ﻫ·５、解三角形的实际应用举例·余弦定理ﻫ(6课时）ﻫ·第三章不等式·1、不等关系ﻫ· 1.1、不等式关系· 1.2、比较大小（重点)ﻫ2，一元二次不等式（重点)ﻫ·２．1、一元二次不等式的解法（重点）ﻫ·２.２、一元二次不等式的应用【4课时】· 3、基本不等式（重点）3.1 基本不等式· 3.2、基本不等式与最大（小）值４线性规划（重点）·４.1、二元一次不等式(组）与平面区（重点)ﻫ·４.2、简单线性规划（重点）· 4.3、简单线性规划的应用(重点、难点) 【3课时】选修1-1第一章常用逻辑用语１命题2.2必要条件2充分条件与必要条件（重点）ﻫ2.1充分条件ﻫ2.３充要条件3全称量词与存在量词ﻫ3．１全称量词与全称命题ﻫ3．2存在量词与特称命题ﻫ3．3全称命题与特称命题的否定ﻫ4逻辑联结词“且’’‘‘或…‘非(重点)４．1逻辑联结词“且ﻫ4.２逻辑联结词“或4.3逻辑联结词‘‘非【1．5课时】ﻫ第二章圆锥曲线与方程（重点）ﻫ1椭圆ﻫ1．1椭圆及其标准方程1．2椭圆的简单性质ﻫ２抛物线2．1抛物线及其标准方程2．2抛物线的简单性质3 曲线3.2双曲线的简单性质3．1双曲线及其标准方程ﻫ【８课时】第三章变化率与导数（重点)ﻫ1变化的快慢与变化率ﻫ2导数的概念及其几何意义2.1导数的概念ﻫ2.2导数的几何意义３计算导数(重点）ﻫ4导数的四则运算法则(重点）ﻫ4．１导数的加法与减法法则4.2导数的4.2导数的乘法与除法法则ﻫ第四章导数应用(重点)ﻫ4．１导数的加法与减法法则ﻫ乘法与除法法则【6课时】ﻫ选修１－2第一章统计案例1 回归分析ﻫ1．1 回归分析ﻫ１.2相关系数ﻫ1.３可线性化的回归分析ﻫ2独立性检验(重点、重点）2．１条件概率与独立事件２．2独立性检验2.３独立性检验的基本思想ﻫ２.4独立性检验的应用（重点、难点）【４课时】第二章框图（重点，高考必考点)1 流程图ﻫ2结构图【1．5课时】第三章推理与证明１归纳与类比ﻫ１．１归纳推理１.2类比推理ﻫ２数学证明3综合法与分析法3.1综合法3.2分析法4反证法【２课时】1.2复1.1数的概念的扩充ﻫﻫ第四章数系的扩充与复数的引入ﻫ1数系的扩充与复数的引入ﻫ数的有关概念（重点)ﻫ2复数的四则运算(重点、高考必考点)2.1复数的加法与减法ﻫ2．2复数的乘法与除法【1．5课时】ﻫ选修2－1ﻫ第一章常用逻辑用语1命题2充分条件与必要条件ﻫ３全称量词与存在量词４逻辑联结词“且”“或”“非”&…&…（重点）【1.5课时】第二章空间向量与立体几何(重点,在解决立体几何方面有很大的帮助）1 从平面向量到空间向量2 空间向量的运算ﻫ3向量的坐标表示和空间向量基本定理４用向量讨论垂直与平行ﻫ5夹角的计算ﻫ６距离的计算【６课时】ﻫ第三章圆锥曲线与方程(重点、高考大题必考知识点）1 椭圆ﻫ１．１椭圆及其标准方程1.2 椭圆的简单性质2 抛物线2.1抛物线及其标准方程3.1双曲线及其标准方程ﻫ３．２双曲线的简单性质2.2抛物线的简单性质ﻫ３双曲线ﻫﻫ4 曲线与方程４．1 曲线与方程４.2 圆锥曲线的共同特征ﻫ4．3 直线与圆锥曲线的交点【8课时】选修2-２第一章推理与证明(重点）ﻫ1归纳与类比ﻫ2综合法与分析法ﻫ3反证法4数学归纳法【2课时】ﻫ第二章变化率与导数（重点）ﻫ1变化的快慢与变化率ﻫ２导数的概念及其几何意义2.1导数的概念2．2导数的几何意义ﻫ3计算导数ﻫ4导数的四则运算法则4.1导数的加法与减法法则ﻫ4.２导数的乘法与除法法则5简单复合函数的求导法则【２课时】第三章导数应用（重点)１函数的单调性与极值1.1导数与函数的单调性ﻫ１.2函数的极值（重、难点)ﻫ2导数在实际问题中的应用ﻫ2．1实际问题中导数的意义２.2最大、最小值问题（重、难点）【5课时】第四章定积分１定积分的概念1.１定积分背景-面积和路程问题（重点)ﻫ1.2定积分２微积分基本定理3定积分的简单应用(重点)３.１平面图形的面积3.２简单几何体的体积【4课时】ﻫ第五章数系的扩充与复数的引入（重点)1 数系的扩充与复数的引入1．1数的概念的扩展１.2复数的有关概念2复数的四则运算ﻫ2.１复数的加法与减法2．2复数的乘法与除法【2课时】选修２-3第一章计数原理(重点）1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理1.1 分类加法计数原理1.2分步乘法计数原理ﻫ2．排列（重点、难点)ﻫ2.1排列的原理2.２排列数公式3．组合3.1 组合及组合数公式3.2 组合数的两个性质ﻫ４.简单计数问题ﻫ5.二项式定理(重、难点）5.2二项式系数的性质5.1二项式定理ﻫ【8课时】第二章概率（重点)ﻫ1．离散型随机变量及其分布列２.超几何分布ﻫ３.条件概率与独立事件４．二项分布５.离散型随机变量均值与方差5.1 离散型随机变量均值与方差（一）5．2离散型随机变量均值与方差（二)6．正态分布6．1 连续型随机变量6.2正态分布【4课时】ﻫ第三章统计案例1.1回归分析1.回归分析ﻫ1.2 相关系数1．3 可线性化的回归分析2.1独立性检验2.独立性检验（重点）ﻫ2．2 独立性检验的基本思想2.3 独立性检验的应用【2课时】选修3－1ﻫ第一章数学发展概述第二章数与符号ﻫ第三章几何学发展史ﻫ第四章数学史上的丰碑－－-－微积分第五章无限第六章数学名题赏析ﻫ选修3-2选修3-3ﻫ第一章球面的基本性质１.直线、平面与球面的我诶制关系ﻫ2．球面直线与球面距离ﻫ第二章球面上的三角形1.球面三角形2.球面直线与球面距离ﻫ3.球面三角形的边角关系4.球面三角形的面积【2课时】ﻫ第三章欧拉公式与非欧几何1.球面上的欧拉公式2.简单多面体的欧拉公式3．欧氏几何与球面几何的比较ﻫ选修4-1第一章直线、多边形、圆(重点）1.全等与相似ﻫ2.圆与直线ﻫ３.圆与四边形【2课时】第二章圆锥曲线ﻫ1．截面欣赏ﻫ2．直线与球、平面与球的位置关系3．柱面与平面的截面ﻫ4.平面截圆锥面5．圆锥曲线的几何性质【3课时】ﻫ选修4－２ﻫ第一章平面向量与二阶方阵ﻫ1平面向量及向量的运算２向量的坐标表示及直线的向量方程ﻫ3二阶方阵与平面向量的乘法ﻫ第二章几何变换与矩阵１几种特殊的矩阵变换2 矩阵变换的性质ﻫ第三章变换的合成与矩阵乘法ﻫ1变换的合成与矩阵乘法２矩阵乘法的性质ﻫ第四章逆变换与逆矩阵1 逆变换与逆矩阵2 初等变换与逆矩阵ﻫ3二阶行列式与逆矩阵4 可逆矩阵与线性方程组第五章矩阵的特征值与特征向量ﻫ1矩阵变换的特征值与特征向量ﻫ2特征向量在生态模型中的简单应用ﻫ选修4－4ﻫ第一章坐标系1 平面直角坐标系2 极坐标系ﻫ３柱坐标系和球坐标系ﻫ第二章参数方程ﻫ1参数方程的概念2 直线和圆锥曲线的参数方程ﻫ３参数方程化成普通方程4平摆线和渐开线ﻫ选修4-5第一章不等关系与基本不等式（重点）l不等式的性质ﻫ2含有绝对值的不等式（难点)3平均值不等式ﻫ４不等式的证明５不等式的应用第二章几个重妻的不等式1柯西不等式ﻫ2排序不等式ﻫ３数学归纳法与贝努利不等式选修4-6第一章带余除法与书的进位制１、整除与带余除法ﻫ2、二进制ﻫ第二章可约性１、素数与合数2、最大公因数与辗转相除法ﻫ３、算术基本定理及其应用ﻫ4、不定方程第三章同余ﻫ1、同余及其应用ﻫ2、欧拉定理还在更新。
本章测试(第五章数系的扩充与复数的引入
本章总结知识结构专题总结专题一复数的概念1.虚数单位i 的平方等于-1,实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立.2.形如a+bi(a 、b ∈R )的数,叫做复数.全体复数所成的集合叫做复数集,一般用字母C 表示.3.复数表示成a+bi 的形式叫做复数的代数形式.4.对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数a;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0且b≠0时,叫做纯虚数;a 与b 分别叫做复数a+bi 的实部与虚部. 【例1】 (2005天津高考，理2) 若复数iia 213++(a ∈R ,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为( )A.-2B.4C.-6D.6 思路分析:因为iia 213++是纯虚数,所以,只要使其实部为零,虚部不为零即可,因此,要先化简i i a 213++,对其进行分母实数化,即i i a 213++=i aa i i i i a 52356)21)(21()21)(3(-++=-+-+,令其实部56+a =0且虚部523a-≠0,得a=-6. 答案:C【例2】 (2006四川高考，理2) 复数(1-i)3的虚部为( )A.3B.-3C.2D.-2 思路分析:将复数(1-i)3展开,整理得1-3i+3i 2-i 3=-2-2i,其虚部为-2.答案:D【例3】 (2005福建高考，理1) 复数z=i-11的共轭复数是( ) A.21+21i B.2121-i C.1-i D.1+i 思路分析:可先求共轭复数,再化简;也可先化简,再求共轭复数.即i i i i z 21211111)11(-=+=-=-=;或者是,因为z=i -11=21)1)(1(1ii i i +=+-+,21)21(i i z -=+==2121-i.答案:B专题二复数的四则运算1.两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减),即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.2.设z 1=a+bi,z 2=c+di 是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;它们的商(a+bi)÷(c+di)=2222dc adbc d c bd ac +-+++i(c+di≠0). 3.在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成dic bia ++的形式,再把分子与分母都乘分母的共轭复数(c-di).【例4】 (2007海南、宁夏高考，文15) i 是虚数单位,i+2i 2+3i 3+…+8i 8=______________.(用a+bi 的形式表示,a,b ∈R ) 思路分析:对任何n ∈N *，都有i 4n +1=i,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i,i 4n =1.所以，i+2i 2+3i 3+…+8i 8=i-2-3i+4+5i-6-7i+8=4-4i.答案：4-4i【例5】 （2006广东高考，理10） 对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定(a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d;运算“⊗”为：(a,b)⊗(c,d)=(ac-bd,bc+ad),运算“⊕”为:(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d),设p,q ∈R ,若(1,2)⊗(p,q)=(5,0)则(1,2)⊕(p,q)=( )A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-4)思路分析:这是一个新定义型的信息迁移题,通过观察,我们不难发现,这个“⊗”运算,其实就是复数的乘法运算,即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,它与(a,b)⊗(c,d)=(ac-bd,bc+ad)完全对应.因此,在解题时,就将其作为复数乘法运算来处理.由(1,2)⊗(p,q)=(p-2q,2p+q)=(5,0),得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-.2,1,02,52q p q p p p 所以(1,2)⊕(p,q)=(1,2)⊕(1,-2)=(2,0). 答案:B【例6】 (2005山东高考，理)22)1(1)1(1i ii i -+++-=( ) A.i B.-I C.1 D.-1 思路分析:本题要充分利用速算式(1±i)2=±2i,即i ii i i i i i i i i 2112121)1(1)1(122---=-++-=-+++-=-1. 答案:D专题三复数方程解复数方程时,可以综合利用解实数方程的相关技巧和复数的特有性质.【例7】 (2006上海高考，理5) 若复数z 同时满足z-z ＝2i,z ＝iz(i 为虚数单位),则z ＝_______________.思路分析:将z ＝iz 代入z-z ＝2i,得z-iz=2i,然后,对z 进行化简,我们观察可知,式z=ii-12中分子为2i,因此,分子分母同乘以1-i,则分母立刻可得-2i.当然也可以进行分母实数化化简.z=)1)(1()1(212i i i i i i ---=-=-1+i. 答案:-1+i【例8】 (2006上海春季高考，18) 已知复数ω满足ω-4=(3-2ω)i(i 为虚数单位),z=ω5+|ω-2|,求一个以z 为根的实系数一元二次方程. 思路分析:先将ω求出并化简,并将其代入z=ω5+|ω-2|化简,发现这一虚数如果是一个实系数的一元二次方程的根,那必定还有一个共轭复数根.然后利用韦达定理即可求得以z 为根的实系数一元二次方程. 也可设ω=a+bi(a 、b ∈R ),利用复数相等的定义,求出ω=2-i,以下和前面的思路分析内容相同. 解法1:∵ω(1+2i)=4+3i,∴ω=ii 2134++=2-i,∴z=i -25+|-i|=3+i,若实系数一元二次方程有虚根z=3+i,则必有共轭虚根z =3-i,∵z+z =6,z·z =10,∴所求的一个一元二次方程可以是x 2-6x+10=0. 解法2:设ω=a+bi(a 、b ∈R ).则a+bi-4=3i-2ai+2b,得⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴⎩⎨⎧-==,1,2b a ∴ω=2-i,以下同解法一.【例9】 (2005高考全国Ⅲ，理13) 已知复数z 0=3+2i,复数z 满足z·z 0=3z+z 0,则z=_________________. 思路分析:可将z·z 0=3z+z 0中的z 用z 0表示出来,并将z 0=3+2i 代入,再进行化简,即得,z=i i i z z 231223300-=+=-. 答案:1-23i 专题四复数的几何意义复数的几何意义,有两个方面:一是用点来表示复数,复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b),这是复数的一个几何意义.二是用向量来表示复数,重点在于复数对应点的轨迹问题. 【例10】 (2005辽宁高考，理1文1) 复数z=ii++-11-1.在复平面内所对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 思路分析:将复数z=ii++-11-1化简为a+bi(a,b ∈R)的形式,从而可判断其对应点的位置.z=i i ++-11-1=)1)(1()1)(1(i i i i -+-+--1=22i -1=-1+i,可知其在复平面内所对应的点为（-1，1）,应为第二象限.答案:B【例11】 (2005浙江高考，理4) 在复平面内,复数ii+1+(1+3i)2对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 思路分析:将复数ii+1+(1+3i)2化简为a+bi(a,b ∈R )的形式,从而可判断其对应点的位置. i i +1+(1+3i)2=)1)(1()1(i i i i -+-+1+23i-3=23-+(23+21)i,显然,其所对应点在第二象限.答案:B本章测试（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.复数z 是实数的充分而不必要条件是( )A.|z|=zB.z=zC.z 2是实数D.z+z 是实数 答案:A思路分析：注意题目是求充分不必要条件而不是充要条件,即当满足条件时z 为实数,但复数z 为实数时该条件不一定成立. 当z ＝i 时,z 2=-1,故C 项不成立.当z 为虚数且非纯虚数时,z+z 是实数,故D 项不成立.若z=z ,设z=a ＋bi ，则z ＝a-bi,则复数相等得b=0,∴复数z 为实数;反之,若复数z 为实数,则必有z=z ，故B 项是充要条件.当|z|=z,设z=a ＋bi ，由复数相等得b=0,∴复数z 为实数;反之,若复数z 为实数且a<0时，得不出|z|=z.故正确答案是A 项.2.设复数z 满足关系式z ＋|z|＝2+i,那么z 等于( ) A.43-＋i B.43-i C.43--i D.43+i答案:D思路分析：设出复数由复数相等解方程组即可.设z=x+yi(x,y ∈R ),则x+yi ＋22y x +＝2＋i,∴⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==++.1,43,1,222y x y y x x 解得∴z ＝43+i,∴应选D 项. 3.若z 2＋z ＋1＝０,则z 2００2＋z 2００３＋z 2００５＋z 2００６的值是（ ）A.2B.-2C.21-+23i D.21-±23i 答案:B思路分析：由z 2＋z ＋1＝０,不难联系到立方差公式,从而将z 得出.将z 2＋z ＋1＝０两边乘以(z-1)得z ３-1＝０,即z ３＝1(z≠1).则z ４＝z,z 2００2＝(z ３)６６７·z ＝z,于是原式＝z 2００2(1＋z ＋z ３＋z ４)＝z(2＋2z)＝2(z ＋z 2)＝-2.故选B 项. 4.复数z,a,x 满足x=azza --1,且|z|=1,则|x|等于（ ） A.0 B.1 C.|a| D.21 答案:B思路分析：由|z|=1得z z =1,将分母中的1代换,便可与分子约分,否则问题很复杂. 由|z|=1得|z|2=1,即z z =1,∴x=za z z z a az z z z a 1)(-=--=--=-z,∴|x|=|-z|=1,故答案选B 项.5.以复平面内的点(0,-1)为圆心,1为半径的圆的方程是（ ） A.|z-1|=1 B.|z+1|=1 C.|z-i|=1 D.|z+i|=1 答案:D思路分析：结合复数减法的几何意义来解.设复数为z=x+yi(x,y ∈R ),则|z+i|=22)1(++y x ,∴|z+i|=1表示以(0,-1)为圆心,1为半径的圆.故答案选D 项.6.若复数z 满足|z ＋３＋４i|≤６,则|z|的最小值和最大值分别为（ ）A.1和11B.0和11C.5和6D.0和1 答案:B思路分析：由复数减法的几何意义知，满足条件的点的集合为圆面,|z|即圆面上的点对应复数的模,利用数形结合及解决圆上点的最值办法转化为到圆心的距离减加半径即可. ∵方程|z ＋３＋４i|≤６是以(-３,―４)为圆心,６为半径的圆及其内部, ∴原点满足方程,故|z|的最小值为０,而|z|的最大值为６＋|３＋４i|＝６＋５＝11.故答案选B 项. 7.设f(n)=(i i -+11)n +(ii +-11)n(n ∈N ),则集合{x|x=f(n)}中元素个数是（ ） A.1 B.2 C.３ D.无穷多个答案:C思路分析：应先将i i -+11,i i+-11化简,再根据i 的周期性来解. 化简f(n)= i i -+11)n +(ii +-11)n(n ∈N )＝i n +(-i)n .由i 4n =1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i,给n 赋值发现集合{x|x=f(n)}＝{０,-2,2},故选C 项.8.若方程x 2+x+m=0有两个虚根α、β,且|α-β|＝３,则实数m 的值为…（ ） A.25 B.25- C.2 D.-2 答案:A思路分析：实系数一元二次方程不能简单地利用韦达定理来解,应由方程的根适合方程及相关知识来解. ∵方程x 2+x+m=0为实系数一元二次方程,且有两个虚根α、β,∴α、β互为共轭复数. 设α＝a+bi,则β＝a-bi, 由|α-β|＝３,得b ＝±23.当b=23时,α＝a+23i,代入方程得(a+23i)2+(a+23i)+m=0, 即(a 2+a+m-49)＋(3a+23)i ＝０,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-++.25,21.0233,0492m a a m a a 得出故选A 项.9.在复平面内,若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋iz|,则z 在复平面内对应点的轨迹为（ ） A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 答案:A思路分析：设复数z=x+yi(x,y ∈R )，求模，用几何意义来解即可.设z=x+yi(x,y ∈R),|x+1＋yi|＝22)1(y x ++,|1＋iz|＝|1＋i(x+yi)|＝22)1(x y +-,则22)1(y x ++＝22)1(x y +-.∴复数z=x+yi 对应点(x,y)的轨迹为到点(-1,０)和(０,1)距离相等的直线.故答案选A 项.10.已知|z 1|＝|z 2|＝1,|z 1-z 2|＝2,则|z 1＋z 2|＝( )A.2B.2C.3D.5答案:A 思路分析：由向量加减法的几何意义知,|z 1-z 2|是以z 1,z 2对应的向量为邻边的平行四边形的一对角线长,则|z 1＋z 2|为另一对角线长. 由向量的平行四边形法则,知∠z 1Oz 2＝９０°,∴对应的四边形为正方形.∴|z 1＋z 2|＝2.故答案选A 项.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上）11.设i yi i x -+-=+1231(x,y ∈R ),则x=_________,y=___________. 答案：53 59-思路分析：此题是复数相等的应用,将等式两边整理后列方程组求解即可. 由已知得)1)(1()1()2)(2()2(3)1)(1()1(i i i y i i i i i i x +-+++-+=-+-, 整理得:i y y i x x )253(25622+++=-. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=.59,53,2532,2562y x y x y x 解得∴答案为x=53,y=59-. 12.设ω=21-+23i,A={x|x=ωk +ω-k ,k ∈Z },则集合A 中的元素有__________-个. 答案：2思路分析：此题是ω3=1,ω2=ω的周期性的应用.∵ω3=1,设n ∈Z ,∴k=3n 时x=2;k=3n+1时x=-1;k=3n+2时x=-1,故有2个元素. 13.(2007上海高考，理9文10) 对于非零实数a,b,以下四个命题都成立: ①a+a1≠0;②(a+b)2=a 2+2ab+b 2;③若|a|=|b|,则a=±b;④若a 2=ab,则a=b. 那么,对于非零复数a,b,仍然成立的命题的所有序号是_____________. 答案：②④思路分析：熟练掌握复数代数形式的四则运算是关键.我们也可以利用特例法进行一一验证.①不成立，例如，a=i,则a+a 1=i+i1=0;③不成立，例如，a=i,b=1,则|a|=|b|,而a≠±b. 14.(2007重庆高考，理11) 复数322ii+的虚部为_____________. 答案：54思路分析：化简542)2)(2()2(222223ii i i i i i i i +-=+-+=-=+，所以其虚部为54. 15.(2007海南、宁夏高考，理15) i 是虚数单位,ii43105++-=___________.(用a+bi 的形式表示,a,b ∈R ) 答案：25)43)(105()43)(43()43)(105(43105i i i i i i i i -+-=-+-+-=++-=1+2i. 思路分析：1+2i三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分10分）已知复数z=3232++-x x x +(x 2+2x-3)i ，求实数x,使:(1)z 是实数;(2)z 是虚数;(3)z 是纯虚数.解：解方程3232++-x x x =0得x=1或x=2;解x 2+2x-3=0得x=-3或x=1.答：x=1时z 是实数；x≠-3且x≠1时z 是虚数；x=2时z 是纯虚数.思路分析：复数z=a+bi 表示实数的条件是b=0,表示虚数的条件是b≠0,表示纯虚数的条件是a=0且b≠0.17.（本小题满分12分）已知复数z 的实部和虚部分别是a 和1,z 是z 的共轭复数,且z ·(1-2i)∈R ,求z. 解：∵z=a ＋i,z =a-i,z ·(1-2i)=(a-i)(1-2i)=(a-2)-(1+2a)i. 又z ·(1-2i)∈R ,∴1＋2a=0,a=21-,∴z=21-＋i. 思路分析：依据复数的乘法法则化简后再由复数表示实数的条件求解.18.（本小题满分12分）设方程(1+i)x 2+(1+5i)x-(2-6i)=0有实根，求这个实数根. 解：方程整理为(x 2+x-2)+i(x 2+5x+6)=0.设方程的实根为x 0，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+)2(,065)1(,02020020x x x x解方程组得⎩⎨⎧--=-=.23,2100或或x x x同时满足①②的值为x 0=-2.∴所求的根为x 0=-2.思路分析：我们将方程的实根x 0代入方程，由复数相等的充要条件可得方程组，求解即可. 19.（本小题满分12分）已知x,y ∈R ,x 2+2x+(2y+x)i 和3x-(y+1）i 是共轭复数，求复数z=x+yi 和z .解：由已知得⎩⎨⎧+=+=+,12,322y x y x x x解方程组得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,1,1,0y x y x 或 ∴z=i 或z=1，z =-i 或z =1.思路分析：两个复数a+bi 与c+di 共轭，等价于a=c 且b=d.由此可以得到关于x 、y 的方程组.20.（本小题满分12分）解方程2102221222++=+-++x x x x x .解：原方程可化为2222223)1(1)1(2)2(++=+-++x x ,设z 1=2x+2i,z 2=1-x+i, z 1+z 2=1+x+3i, ∴原方程可化为|z 1|+|z 2|=|z 1+z 2|,显然，仅当1OZ 与2OZ 共线且同向时上式才成立，从而xx -=1122, ∴x=21时等号成立，即x=21是方程的根. 思路分析：无理方程一般解法是平方去根号转化为有理方程再求解.但平方后次数高，项数多，求解更加困难.由于本题根号里面可配方，类似复数的模，所以，可转化为复数问题来解决.21.（本小题满分12分）实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根之比为p ，求证： （1）当11+-p p 为实数时，原方程有实根； （2）当11+-p p 为纯虚数时，原方程有虚根. 证明：设α与β是实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根， 且βα=p,则α+β=a b -α·β=a c ,βαβαβαβα+-=+-=+-1111p p , （2222222224)()(4)()(4)()()()11(b ac b aa c ab p p -=---=+-+=+-=+-βααββαβαβα.① （1）当11+-p p 为实数时，(11+-p p )2≥0,则由①可得b 2-4ac≥0，故原方程有实根.（2）当11+-p p 为纯虚数时，（11+-p p )2<0，则由①可得b 2-4ac<0，故原方程有虚根. 思路分析：判定实系数一元二次方程根的实、虚，只要判定其判别式b 2-4ac 的符号就可以了.由题意，应在b 2-4ac 与11+-p p 之间建立起联系. 教材习题点拨 复习题五(P 112)A 组1.解:(1)（-4x+1)+(y+2)i=0⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=+-⇒.2,4102,014y x y x (2)（x-2y)-(3x+y)i=3-6i ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+-=--⇒.73,156)3(,32y y x y x y x 思路分析:利用复数为0或复数相等的条件先列出方程组,然后再求出未知量.2.答案:i 11=i 4×2+3=i 3=-i,i 25=i 4×6+1=i,i 26=i 4×6+2=i 2=-1,i 36=i 4×9=1,i 70=i 4×17+2=i 2=-1,i 101=i 4×25+1=i,i 355=i 4×88+3=i 3=-i,i 400=i 4×100=1.思路分析:利用公式i 4n =1,i 4n +1=i,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i.3.解:(1)（3+4i ）+（-5-3i ）=（3-5）+（4i-3i ）=-2+i ； (2)（1-5i ）+（2+3i ）=（1+2）+（-5i+3i ）=3-2i ； (3)（-2+3i ）+（6-5i ）=（-2+6）+（3i-5i ）=4-2i ； (4)（7-i ）-（2i-3）=（7+3）+（-i-2i ）=10-3i.4.解:(1)(-8-7i)(-3i)=24i-21;(2)(4-3i)(-5-4i)=-20-16i+15i-12=-32-i; (3)(21-+23i)(1+i)= 21-21-i+23i 23-=21-23--(2123-)i; (4)(1-2i)(2+i)(3-4i)=(2+i-4i+2)(3-4i)=(4-3i)(3-4i)=-25i. 5.解:(1)(1+2i)2=1+4i-4=-3+4i;(2)(2-3i)3=(2-3i)2(2-3i)=(-5-12i)(2-3i)=-10+15i-24i-36=-46-9i; (3)(21-+23i)(21-23-i)=(21-)2-(23i)2=41+43=1;(4)ii ii ∙=1=-i;(5)222)1)(1()1(212i i i i i i i +-=+-+=-=-1+i; (6)5521024)31)(31()31)(1(311i i i i i i i i -=-=-+-+=++. 6.解:ω2-ω+1=(231i +)2-(231i +)+1=231i +--231i ++1=0. 思路分析:通过计算不难得出ω2-ω+1=0这一结果,我们可以熟记这一结论,这有利于今后的计算.B 组1.解:(1)1321331323)32)(32()32(32i i i i i i i i +=+=-+-=+； (2)5512555567)2)(2()2)(3()2)(2()2)(4(2324i i i i i i i i i i i i i i i +=-++=+---++-++=+-+-+； (3)8244)22)(22()22)(57(225722643)1(2)32(2)1(2)1)(21(132221i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i --=--+---+=+-+=+-++-=+--++-=+---=21--3i ；` (4))53)(53()53)(53()35)(35()35)(35(53533535i i i i i i i i i ii i+-++-+-++=-+--+8152281522i i +--+==21. 2.解:将原式变为15)33()(18422-+---=-+-z z z z z z z =z-3+15-z ,然后将z=2+i 代入得: z-3+15-z =2+i-3+125-+i =2+i-3+i +15=2+i-3+)1)(1()1(5i i i -+-255i -=23-23i. 思路分析:此题有两种解法,另一种解法是原式不变形,直接将z=2+i 代入也可得出结果.高效率学习决定学习成败的七个因素决定学习成败的因素可分为两大类:一类是内在因素;另一类是外部因素.内在因素归纳起来有七个方面.1.学习的动力是否强大要使学习获得成功,学习动力是第一个因素.学习活动中,有两个系统在同时进行工作,一个是认识系统,另一个是动力系统.动力系统对学习系统起着指向的作用和原动力的作用.所以,搞好学习首先要增强学习的动力.2.基础知识,基本技能是否循序作好了准备不少学习成绩优秀的同学成功的一个重要原因,就是已经学过的基础知识和基本技能掌握得比较扎实.特别是连贯性比较强的知识和技能,一定要一步一个脚印地打好基础.3.阅读、书写、计算的技巧是否已经达到自动化、半自动化的熟练程度“工欲善其事,必先利其器”.学习活动最基本的工具就是阅读技能、书写技能、计算技能,如果读、写的速度太慢,上课就会跟不上老师的讲课进度,课后复习和作业就会比别人多用时间.据有的国家对落后生的调查统计说明,这是造成部分学生学习落后的主要原因.4.好的学习方法一般说来,好的学习方法符合以下三个条件:符合认识规律;符合自己的个性特点;符合不同学习的内容和不同教师教课的特点.5.学习的才能是否强学习的才能主要指三种能力:独立获取知识的自学能力;运用知识分析和解决实际问题的能力;创造才能、发展才能比获得具体知识更重要,学习才能既是提高学习成绩的重要因素,又是通过学习要努力追求的目标.6.是否养成了良好的学习习惯学习方法经过长时期的运用,就会形成比较稳定的学习习惯.好的习惯对于获得学习上的成功极为重要,不好的习惯常常导致学习的失败.7.体力与精力是否充沛要使大脑处于积极工作的状态,必须有健壮的身体和充沛的精力.有的同学经常不吃早饭去上学,到上午第四节课已经饿得不行了,这时,听课效率就会降低.。
(完整版)数系的扩充与复数的引入
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
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复数的概念
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复数的概念
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复数的概念
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复数的概念
数系的扩充
复数的概念
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复数的代数形式:z a bi (a R,b R)
2 7 , 0.618, 2 i, 0
7
i i 2 , i 1 3 , 3 9 2i, 5 +8，
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
例1: 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
满足 i2 1
数系的扩充
复数的概念
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定：
（1）i21；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运
算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结 合律和分配律)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
数系的扩充
复数的概念
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R位。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0
R C
复数a+bi虚数b
【数学】5.2.2 复数的乘法与除法 课件(北师大版选修2-2)
1、复数的乘法法则 2、复数的乘法运算律 3、复数的除法法则 4、复数的一个重要性质
两个共轭复数z,z的积是一个实数,这个实数等于每一 个复数的模的平方,即z z=|z|2=|z|2.
5、一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上 可以把它推广到n∈Z.
2 2 2 2
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母 都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式 (分母实数化).
例3.计算
1 2i 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (1 2i)(3 4i) (3 4i )(3 4i ) 3 8 6 i 4 i 5 10 i 2 2 3 4 25 1 2 i 5 5
(1 2i) (3 4i)
例4
设 1 3 i ，求证：
2 2
（1） 0；（2） 3 1. 1
2
1 ( 1 3 i ) ( 1 3 i )2 证明：（1） 3 i )3 1 （2） 3 ( 1 2 2 2 22 2 1 3 1 2 3 1 13 3 3 2 i ( ) 2 )2 ( i ( i ) i ) i 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1( 1 3 3)( 1 3 i ) 3 i 2 i2 i 2 2 2 2 4 2 4 1 2 3 2 1 3 ( ) ( i ) 1 0; 2 2 4 4
例2 已知复数
x x 2 ( x 3x 2)i
2 2
是 4 20i 的共轭复数，求x的值． 解：因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i， 根据复数相等的定义，可得
【数学】5.2.1 复数的加法与减法 课件(北师大版选修2-2)
复数减法的几何意义：
OZ1 - OZ 2 = Z 2 Z1
O
Z2
x
复数加减法的几何意义
1、|z1|= |z2| 平行四边形OABC是 菱形 z2 z2-z1
C
z1+z2
B
2、| z1+ z2|= | z1- z2|
平行四边形OABC是 矩形 o
z1 A
3、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2|
探究? 复数的加法满足交换律，结合律吗？
证：设Z1=a1+b1i，Z2=a2+b2i，Z3=a3+b3i (a1，a2， 复数的加法满足交换律、结合律，即对任 a3，b1，b2，b3∈R)
（a1+a2)+(b1+b2)i，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i
平行四边形OABC是 正方形
例1：设z1= x+2i,z2= 3-yi(x,y∈R),且 z1+z2 = 5 - 6i,求z1-z2
解：∵z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i ∴(3+x)+(2-y)i=5-6i 3+x=5, ∴ 2-y=-6. x=2 ∴ y=8
∴z1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i
两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚 部分别相减。
思考？
如何理解复数的减法？
复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足 （c+di）+（x+yi）= a+bi 的复数x+yi 叫做复数 a+bi减去复数c+di的差，记作 （a+bi） － （c+di） 事实上，由复数相等的定义，有： c+x=a， d+y=b
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.1数系的扩充与复数的引入2222数学
未知数。
第十四页，共二十三页。
解：
x 2 3y
根据相等的意义得： 2x y 1
解方程可得：
x 1
y
1
复数相等 转化(zhuǎnhuà) 求方程组解的
的问题 (xiāngděng)
两个复数不能比较(bǐjiào)大小，但它们的模可以 比较大小。
第二十页，共二十三页。
小结 ： (xiǎojié)
＊ 复数(fùshù)定义：
形如 abi(a,bR的)数叫复数，a 叫复数的实部
Re z， b叫复数的虚部Im z。全体复数所成的集合叫 做复数集，用字母C表示。
＊ 复数 abi与实数、虚数、纯虚数及0的关系 ：
探索(tàn suǒ)
复数是由实数扩充得到的，那么(nà me)实数集的性 质和特点能不能推广到复数集呢？
实数的部分性质(xìngzhì)和特点：
(1) 实数可以判定相等或不相等； (2) 实数可以用数轴上的点表示； (3) 不相等的实数可以比较大小； (4) 实数可以进行四则运算； (5) 负实数不能进行开偶次方根运算；
数系的扩充(kuòchōng)和复数的引入
第一页，共二十三页。
复习(fùxí)回顾
数 自然数 系 的 整数 扩 充 有理数
实数
用图形(tú xíng)表示为：
QZ
N
R
(kuòchōng)
第二页，共二十三页。
ห้องสมุดไป่ตู้
新课引入
我们知道：
对于一元二次方程 x2 10没有实数根。
即：在实数范围内， x2 1
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 5.2.1 复数的加法与减法 5.2.2 复数的乘法与除法
2016-2017学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.1 复数的加法与减法5.2.2 复数的乘法与除法学业分层测评（含解析）北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.1 复数的加法与减法5.2.2 复数的乘法与除法学业分层测评（含解析）北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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5.2.1 复数的加法与减法5。
2。
2 复数的乘法与除法(建议用时：45分钟)[学业达标］一、选择题1。
实数x，y满足z1＝y＋x i，z2＝y i－x，且z1－z2＝2,则xy的值是（）A。
1 B.2C.－2 D。
－1【解析】z1－z2＝y＋x i－(y i－x)＝x＋y＋(x－y)i＝2，∴错误!∴x＝y＝1.∴xy＝1。
【答案】A2.已知复数z＋3i－3＝3－3i,则z＝( )A.0B.6iC。
6 D。
6－6i【解析】∵z＋3i－3＝3－3i，∴z＝(3－3i）－（3i－3)＝6－6i。
【答案】D3.复数z＝错误!－a i，a∈R，且z2＝错误!－错误!i，则a的值为( ）A。
1 B。
2C.错误!D.错误!【解析】由z＝错误!－a i，a∈R,得z2＝错误!错误!－2×错误!×a i＋（a i)2＝错误!－a2－错误!a i,因为z2＝错误!－错误!i，所以错误!解得a＝错误!.【答案】C4。
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.1.1数的概念的扩展5222数学
虚数、纯虚数
复数相等
ab icd i ba
c d
第十三页，共十四页。
内容(nèiróng)总结
1.1 数系的扩充与复数的概念。我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问 题能得到圆满解决呢。（1）i2 1。（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算
No 时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。形如a+bi(a,b∈R)
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做(jiàozuò)复数.
全体复数所形成的集合叫做(jiàozuò)复数集，
一般用字母C表示 .
第四页，共十四页。
复数(fùshù)的代数形式：通常用字母 z 表示，即
zab(iaR,bR)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
讨论？ 复数集C和实数集R之间有什么关系？
思考？
x2 1
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 数集中，该问题能得到圆满解决呢？
i 引入一个新数：
满足 i2 1
第三页，共十四页。
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并
且规定：
（1）i21； （2）实数(shìshù)可以与 i 进行四则运算，在进行四则 运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立。
ab icdi b d
第九页，共十四页。
例2: 已知 ( 2 x 1 ) i y ( 3 y ) i，
其中 x, yR,求 x与y.
解：根据(gēnjù)复数相等的定义，得方程组
2x 1 y 1 (3 y)
得
x 5, y 4 2
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练习 ： (liànxí)