数理金融学作业12：期权价值的计算(2)单期
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期权价值的计算（2）单期
3. 某个股票现价为80美元。已知在4个月后，股票价格为75美元或85美元。无风险年利率为6%（连续复利）。请用无套利原理说明，（1）执行价格为80美元的4个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（2）执行价格为80美元的4个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.
3解：股票的价格二叉树模型为：
085
80,6%,1/3175u f d q
S S r q S τ====-=
第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q . 由无套利原理知： 0.061/3808575(1)e q q ´?+-
从 80(10.02)8575(1)q q ?=+-
我们得到
6.6857510q q q =-= 所以
0.66q =
第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均.
（2） 执行价格为80美元的4个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：
05
10u d q C C q C =-=
看涨期权的价格为： 01 3.3
[5(1)0] 3.2351.02 1.02C q q （美元）=?-?
（3） 执行价格K=80美元的看跌期权的二叉树模型为：
00
15u d q C P q C =-=，所以看跌期权的价格为： 01 1.7[0(1)5] 1.6671.02 1.02P q q （美元）=
?-? （3）r P S C Ke τ-+=+，
0.021.678081.67, 3.23580 3.2478.4381.67r P S C Ke e τ--+=+=+=+⨯=+=
4．股票现在的价值为50元。一年后，它的价值可能是55元或40元。一年期利率为4%。假设我们希望计算两种看涨期权的价格，一种执行价格为48美元，另一种执行价为53美元。我们也希望为一种执行价为45元的看跌期权定价。
问：如何求欧式看涨期权这三个无套利价格。
4.解：股票的价格二叉树模型为：
055
50,4%,1140u f d q
S S r q S τ====-=
第1步：从股票二叉树得到风险中性概率q
由无套利原理知：
1.04505540(1)q q ?+-
从525540(1)q q =+-,得到 12554015q q q =-= ,所以, 120.815q =
= 第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均
(1) 执行价格为48美元的1年后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：
07
10u d q C C q C =-=
看涨期权的价格为： 01 5.6
[7(1)0] 5.381.04 1.04C q q （美元）=?-?
(2) 执行价格为53美元的1年后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：
02
10u d q C C q C =-= 看涨期权的价格为： 01 1.6(0.820)1.541.04 1.04C （美元）=
?= (3) 执行价格为45美元的1年后到期的欧式看跌期权的二叉树模型为：
00
15u d q C C q C =-=，看跌期权的价格为： 01 1.0(00.25)0.961.04 1.04C （美元）=+?