二次根式混合运算(经典)

当2a  b  0时，即2a=b, 原式= a  2a  a (1 2)  1 2  2 2  3. a  2a a (1 2) 1 2

1: 先化简，再求值：

（a  1）2 4  （a  1）-2 4

a

a

1 其中a =

，

3

(2)已知 x＋1x＝－3，求 x－1x的值．

例2： (1)已知 x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求：x2＋xy＋y2 的值．
解：(1)∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3 ∴x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4，xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1 ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15
1.x2＋xy＋y2是一个对称式，可先求出基本对称式x＋y＝4， xy＝1，然后将x2＋xy＋y2转化为(x＋y)2－xy，整体代入即 可.

二：二次根式运算中的技巧

例4、（1）当x= 1 , y  1时，求代数式

23

(2) 已知：a= 1 , b= 1

52

52

x  y 的值； x y x y
, 求 a2  2ab  b2  7的值

解：(1) x  y x y x y
= x（ x  y）- （ y x  y） （ x  y)( x  y）

(2)Q a  1  5  2 , 52
b= 1  5  2. 52

= x  xy- yx  y x-y

= x+y

x-y

当x  1 , y  1 23

时，

原式=

1
2 1

 

1
3 1



3 3

2 2



5.

23

 a2  2ab  b2  7  （a-b）2  7  42  7 9 3

(3)已知a＝3＋2 5 ，b＝3－2 5 ，求a2b－ab2的值；
解：∵a－b＝(3＋2 5)－(3－2 5)＝4 5 ， ab＝(3＋2 5 )(3－2 5 )＝－11，
∴a2b－ab2＝ab(a－b)＝(－11)×4 5 ＝－44 5 .

(4)已知x＝ 2－ 1 ，y＝ 2＋ 1 ，求 x2－y2 的值；

b a

+b

a b

的值

2.已知a+b=-8,ab=12,求

b

b a

+a

a b

的值

2. 已知 a  2  3  b  2  3 （c  2 3）2 0
求 3a + 5b – c 的值。
解： Q 2a2  3ab  b2  0 （a-b)(2a  b)  0
当a  b=0时， 即a=b, 原式= a  a =0. a a
二次根式的混合运算

说一说
如果梯形的上、下底长分别为 2 2 cm，4 3 cm，高 为 6 cm，那么它的面积是多少？
梯形面积 = 12(2 2 +4 3)× 6 =( 2 +2 3)× 6 = 2× 6 +2 3× 6 = 2×6 +2 3×6 = 2×2×3 +2 3×3×2 = 2 3 +2×3 2 = 2 3 +6 2(cm2).

= 2 1  ( 2  1)
= 2 1 2 1
=-2

1 已知a，b分别是 36  3的整数部分和小数部分，

那么a – 2b 的值是
2 已知 x2+ 3x-1=0，求

；
x2 1x2 2 的值。

练习：

已知x

=

3

1 +2

，求 x2 - 6x +2 的值.

2

x-3



三：注意二次根式运算中隐含条件

例3 已知：a＝

1 2＋

3，求aa2＋－11 －

a2－2a＋1 a2－a

的值．

学生作答

解：原式＝ a＋1a－1－ a－12

a＋1

aa－1

＝a－1－ a－1 ＝a－1－ 1 .

aa－1

a

∴当a＝ 1 时， 2＋ 3

原式＝ 1 －1－(2＋ 3 )＝－1－2 3 . 2＋ 3

规范解答

解：∵a＝ 1 <1，∴a－1<0. 2＋ 3

∴ a2－2a＋1＝ a－12 ＝|a－1|＝1－a.

∴原式＝a＋1a－1 － a＋1

1－a aa－1

＝a－1＋

1 a

.

∴当a＝ 1 时， 2＋ 3

原式＝ 1 －1＋(2＋ 3)＝3. 2＋ 3

老师忠告

(1)题目中的隐含条件为a＝ 1 2＋

3)； 5

( 2 )( 1 + 2 3 )( 3 - 3 )；

( 3 )( 2 + 3 )( 2 - 3 )；

( 4 )( 5 + 3 2 )2 .

答案： 3 答案：5 3 - 3 答案：1 答案：43+30 2

二次根式的加、减运算，需要先把二次根式 化简，然后把被开方数相同的二次根式的系数相 加减，被开方数不变.
〉〉解题示范——规范步骤，该得的分一分不丢！

(1)解：原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]

＝18－1－8＋4 2－1

[2分]

＝8＋4 2 (2)解：原式＝[( 10－3)( 10＋3)]2010
＝[( 10)2－32]2010

[4分] [4分]

＝(10－9)2010＝1

知能迁移:
(1) 62－ 18－120； (2)(－3)2－ 4＋12－1.

3

；

( 2 ) ( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ) = 2- 2 2+ 3 2- 3 2× 2 = 2-2 2+ 3 2 -3× 2 = -4 + 2 .

例3 计算：
( 2 )( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).
从例3的第(2)小题看到，二次根式的和相乘， 与多项式的乘法相类似.
我们可以利用多项式的乘法公式，进行某些二 次根式的和相乘的运算.
二次根式的和相乘，类似于多项式的乘法运 算，注意利用乘法公式．

二次根式运算 （提高篇）
三更灯火五更鸡，正是男儿读书时； 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。

一：二次根式混合运算

例1：计算：(每小题4分)
(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2

(2)( 10－3)2010·( 10＋3)2010

二次根式的混合运算是根据实数的运算律进 行的.
例3 计算：

(

1)

 



6-

3 8

×


2；





( 2 )( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).

解

(1)

 

6-



3 8

×


2

=

6×

2-

3× 8

2

=

6× 2 -

3× 8

2

=

3× 2× 2 -百度文库

3 4

=

2

3-

3 2

=

(

2-

1) 2

3

=

3 2

<1，所以 3

a2－2a＋1 ＝

a－12 ＝|a－1|＝1－a，而不是a－1；

(2)注意挖掘题目中的隐含条件，是解决数学问题的关键之

一，上题中的隐含条件a＝ a2－2a＋1＝ a－12＝|a－1| ＝1－a是进行二次根式化简的依据，同学们应注重分析能力 的培养，提高解题的正确性.

练习：

1.已知ab=3，求 a

解： (2)∵x－1x2＝x＋1x2－4＝(－3)2－4＝5

∴x－1x＝± 5

2.注意到(x－1x)2＝(x＋1x)2－4，可得(x－1x)2＝5，x－1x＝± 5.

例5：化简： 3 2 2  3 2 2
解：原式= ( 2 1)2 ( 2 1)2

= 2 1

2 1
分母都乘以( 2 +1)，就
可以使分母变成1.

= 3+2 2.

例5 计算： 1- 5 . 1+ 5

解

11+

5 5

=

(1(1+

5)(15)(1-

5) 5)

=

1-2 5+( 5)2 12 -( 5)2

=

1-2 5+5 1-5

=

6-2 5 -4

=

-

3 2

+

1 2

5.

练习
1. 计算：

(1)

5× (

15 - 4

例4 计算：
( 1 )( 2 + 1 )( 2 - 1 ) ； ( 2 )( 2 - 3 )2 .

动脑筋

如何计算

？ 2 +1 2 -1

2 +1 2 -1

= ((

2 +1)( 2 -1)(

2 +1) 2 +1)

=(

2)2+2 2+1 ( 2)2-1

= 2+2 2+1

从例4的第(1)小题的结 果受到启发，把分子与

2＋ 1

2－ 1

x2＋y2

解：∵x＝

2－ 1 ＝(
2＋ 1

2 －1)2＝3－2

2，

y＝

2＋ 1 ＝(
2－ 1

2 ＋1)2＝3＋2 2 ，

∴x＋y＝6，x－y＝－4 2 ，xy＝1.

原式＝ x＋yx－y ＝6×－4 2 x＋y2－2xy 62－2×1

＝－24 34

2 ＝－12 17

2.
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．

6 解：(1) 2－

18－120＝3

2－3

2－1＝－1

(2)(－3)2－ 4＋12－1＝9－2＋2＝9

(3)∵3< 10<4 ∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b＝ 10－3

∴a2－b2＝32－( 10－3)2＝9－(10－6 10＋9)＝－10＋6 10