圆周运动中的动力学问题

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曲线运动精讲精练：11.圆周运动的动力学问题

圆周运动的动力学问题一、向心力1．作用效果：产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．2．大小：F＝m v2r＝mω2r＝m4π2rT2＝mωv＝4π2mf2r3．方向：总是沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．4．来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供．二、圆周运动、向心运动和离心运动1．匀速圆周运动与非匀速圆周运动两种运动具体比较见下表：2.(1)本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向．(2)受力特点(如图所示)①当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；②当F＝0时，物体沿切线方向飞出；③当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力．④当F＞mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做向心运动．三、圆周运动动力学分析思路1．向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．2．向心力的确定(1)先确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．(2)再分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．3．解决动力学问题要注意三个方面的分析(1)几何关系的分析，目的是确定圆周运动的圆心、半径等．(2)运动分析，目的是表示出物体做圆周运动所需要的向心力．(3)受力分析，目的是利用力的合成与分解知识，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力．4.几种常见的向心力来源(1)飞机在水平面内的圆周运动，如图1所示；(2)火车转弯，如图2所示；(3)圆锥摆，如图3所示；。

圆周运动的动力学问题

尖子生补充19 圆周运动1．某电视台举办了一期群众娱乐节目，其中有一个环节是让群众演员站在一个旋转较快的大平台边缘上，向大平台圆心处的球筐内投篮球。

如果群众演员相对平台静止，则下面各俯视图中哪幅图中的篮球可能被投人球筐(图中箭头指向表示投篮方向)（）2．关于互成角度的两个分运动和它们的合运动的性质，下列说法中正确的是（） A ．两个匀速直线运动的合运动的轨迹必是直线B ．两个匀变速直线运动的合运动的轨迹可能是曲线，也可能是直线。

C ．一个匀变速直线运动和一个匀速直线运动的合运动的轨迹一定是直线D ．两个初速度为零的匀变速直线运动的合运动的轨迹一定是直线3．如图所示，一个质量为m 的质点以速度A v 从A 点水平射出，以速度B v 经过B 点，不计空气阻力，则下列正确的说法是（）A ．若质点以速度-B v 从B 点射出，它将刚好以速度-A v 经过A 点． B ．若质点以大于B v 的速度从B 点射出，它也有可能经过A 点．C ．若质点以小于B v 的速度从B 点射出，它也有可能经过A 点．D ．若质点以速度-A v 从B 点射出时还受到竖直向上大小为2 mg 的恒力，则它将刚好以速度-B v 经过A 点．4．如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动，细杆长0.5m ，小球质量为3.0kg ，现给小球一初速度使它做圆周运动，若小球通过轨道最低点a 处的速度为v a＝4m/s ，通过轨道最高点b 处的速度为v b ＝1m/s ，g 取10m/s 2，则杆对小球作用力的情况（）A ．最高点b 处为拉力，大小为24NB ．最高点b 处为支持力，大小为24NC ．最低点a 处为压力，大小为126ND ．最低点a 处为拉力，大小为126N 5．（2012年2月济南检测）如图所示，两个3/4竖直圆弧轨道固定在同一水平地面上，半径R 相同，左侧轨道由金属凹槽制成，右侧轨道由金属圆管制成，均可视为光滑。

2025版新教材高中物理第六章圆周运动2向心力专项2圆周运动的动力学问题课时作业新人教版必修第二册

专项2 圆周运动的动力学问题1.(多选)如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m ，运动半径为R ，角速度大小为ω，重力加速度为g ，则座舱 ( )A ．运动的周期为2πRωB ．线速度的大小为ωRC ．受摩天轮作用力的大小始终为mgD ．所受合力的大小始终为m ω2R2．[2024·福建福州四中高一下期中]将一平板折成如图所示形态，AB 部分水平且粗糙，BC 部分光滑且与水平方向成θ角，板绕竖直轴OO′匀速转动，放在AB 板E 处和放在BC 板F 处的物块均刚好不滑动，两物块到转动轴的距离相等，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，则物块与AB 板的动摩擦因数为 ( )A ．μ＝tan θB ．μ＝1tan θC ．μ＝sin θD ．μ＝cos θ3．如图，一同学表演荡秋千．已知秋千的两根绳长均为10 m ，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg .绳的质量忽视不计．当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m /s ，此时每根绳子平均承受的拉力约为 ( )A ．200 NB ．400 NC ．600 ND ．800 N4．[2024·河南许昌高一下期中]如图所示，光滑水平面上，轻绳连接的甲、乙两小球始终在一条直线上绕共同的圆心O 做匀速圆周运动，甲、乙两球视为质点，轻绳的长度为L ，不计空气的阻力，下列说法正确的是( )A ．若甲、乙两球质量之比为k∶1，则甲、乙两球的周期之比为k∶1B ．若甲、乙两球质量之比为k∶1，则甲、乙两球到圆心O 的距离之比为k∶1C ．若甲、乙两球质量之比为k∶1，相等时间内甲、乙两球走过的弧长之比为k∶1D ．若甲、乙两球的质量分别为m 、2m ，甲球的角速度为ω，则轻绳的拉力为23mω2L5．[2024·四川南充高级中学高一下月考]如图所示，在粗糙水平木板上放一个物块，使木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab 为水平直径，cd 为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，则( )A ．物块始终受到三个力作用B ．物块受到的合外力始终指向圆心C ．在c 、d 两个位置，物块所受支持力F N 相同，摩擦力F f 为零D ．在a 、b 两个位置物块所受摩擦力供应向心力，支持力F N ＝06．[2024·安徽太和一中高一下期末](多选)如图所示，半径为R 的半球形容器固定在水平转台上，转台绕过容器球心O 的竖直轴线以角速度ω匀速转动．质量不同的小物块A 、B 随容器转动且相对器壁静止，A 、B 和球心O 点连线与竖直方向的夹角分别为α和β，α>β.则( )A ．当B 所受摩擦力为零时，其角速度为ωB ＝gR cos βB ．若A 不受摩擦力，则整体转动的角速度为ωA ＝gR cos αC ．A 、B 受到的摩擦力可能同时为零D ．若ω增大，A 、B 受到的摩擦力可能都增大专项2 圆周运动的动力学问题 [提实力]1．答案：BD解析：依据匀速圆周运动周期公式可得T ＝2πω，A 错误；依据v ＝ωr ，可知座舱的线速度大小v ＝ωR ，B 正确；当座舱在最低点时，座舱受到摩天轮的作用力大于重力，C 错误；座舱做匀速圆周运动，合力供应向心力，即F n ＝mω2R ，D 正确．2．答案：A解析：设两物体到竖直轴OO ′的距离均为r ，平板转动的角速度为ω，对BC 部分上的物块受力分析，重力和支持力的合力供应向心力，且合力方向水平向左，有m 1g tan θ＝m 1ω2r ，对AB 部分上的物块受力分析，最大静摩擦力供应向心力，即μm 2g ＝m 2ω2r ，联立解得E 处的物块与AB 板的动摩擦因数μ＝tan θ，故A 正确．3．答案：B解析：设当该同学荡到秋千支架正下方时每根绳子的拉力为F T ，对该同学和秋千踏板组成的整体进行受力分析，结合牛顿其次定律有F 合＝2F T －mg ＝m v 2l，若重力加速度取10 m/s 2，则解得F T ＝410 N ，B 正确．4．答案：D解析：两球做匀速圆周运动，相等时间内转过的角度相等，则甲、乙的角速度和周期相同，两球的周期之比为1∶1，故A 错误；甲、乙两球的向心力都是由绳的拉力供应且大小相等，有m 甲ω2r 甲＝m 乙ω2r 乙，结合m 甲m 乙＝k 可得r 甲r 乙＝1k，即甲、乙两球到圆心O 的距离之比为1∶k ，故B 错误；由v ＝ωr 可得v 甲＝ωr 甲、v 乙＝ωr 乙，则有v 甲v 乙＝r 甲r 乙＝1k，即相等时间内甲、乙走过的弧长之比为1∶k ，故C 错误；若甲、乙两球的角速度为ω，质量分别为m 、2m ，设轻绳的拉力为F ，由牛顿其次定律F ＝mω2r 甲、F ＝2mω2r 乙，可得r 甲＝F mω2、r 乙＝F2mω2，结合r 甲＋r 乙＝L ，综合解得F ＝23mω2L ，故D 正确．5．答案：B解析：物块在最高点受重力和支持力两个力作用，靠两个力的合力供应向心力，故A 错误；物块做匀速圆周运动，靠合外力供应向心力，可知合外力始终指向圆心，故B 正确；在最高点和最低点，摩擦力为零，靠重力和支持力的合力供应向心力，在位置c ，依据牛顿其次定律得mg －F N c ＝m v 2R ，所以F N c <mg ，在位置d ，依据牛顿其次定律得F N d －mg ＝m v 2R ，所以F N d >mg ，在a 、b 两位置，重力和支持力平衡，靠静摩擦力供应向心力，故C 、D 错误．6．答案：ABD解析：当B 所受摩擦力恰为零时，物块B 和球心连线与竖直方向的夹角为β，受力如图所示，依据牛顿其次定律得mg tan β＝mrω2B ，r ＝R sin β，解得ωB ＝ g R cos β，选项A 正确；同理可知，若A 不受摩擦力，则整体转动的角速度为ωA ＝gR cos α，选项B 正确；由A 、B 选项分析可知，ωA 和ωB 不行能相等，即A 、B 受到的摩擦力不行能同时为零，选项C 错误；若ω缓慢增大，则A 、B 受到的摩擦力方向可能会发生改变，当A 、B 所受的摩擦力都沿切线向下时，随着ω增加，摩擦力都会增大，选项D 正确．。

圆周运动的动力学问题

课题：圆周运动的动力学问题教学目1。

理解掌握向心力的来源及圆周运动的动力学问题是牛顿定律的具体应用2•掌握圆周运动的动力学问题处理方法。

重点、难点：圆周运动的动力学问题的处理方法教学方法：讲练结合教学过程一、描述匀速圆周运动线速度方向改变快慢的物理量 42r方向：总是指向圆心，时刻在变化（a 是一个变加速度）注意：a 与r 是成正比还是反比，要看前提条件，若3相同，a 与r 成正比；若 v 相同，a 与r 成反比。

二、质点做匀速圆周运动的条件：质点具有初速度，并且始终受到跟线速度方向垂直，时刻指向圆心，大小恒定的合外力（即向心力）的作用。

广2大小：F mJ m 2r mar向心力方向：总是指向圆心，时刻在变化（F 是一个变力）-作用：产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小，因此向心力对做圆周运动的物体不做功。

注意：（1）由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故仅存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力。

（2）一个物体不论在哪个平面内做匀速圆周运动，其合外力在任何时刻必指向圆心，且大小不变。

（3）向心力不是和重力、弹力、摩擦力相并列的一种类型的力，是根据力的效果命名的在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力摩擦力、万有引力）以外再添加一个向心力。

二、一般的圆周运动（非匀速圆周运动）速度的大小有变化，向心力和向心加速度的大小也随着变化，禾I 」用公式求圆周上某一点或某一时刻的向心力和向心加速度的大小，必须用该点的瞬时速度值。

重点分析：1、力的合力或分力都可以作为向心力，如下表所示：向心力不是一种特殊的力，重力（引力）、弹力、摩擦力等每种力以及这些匀速圆周运动实例 T向心力厂 2y 大小：a — 2r 4 2] r向心加速度l2、Fn=man仅是牛顿第二定律在匀速圆周运动中的应用，也就是说，匀速圆周运动同样遵循牛顿运动定律，匀速圆周运动的瞬时特性可以与一个匀加速直线运动相对应，如下表所示：【例1】在一个水平转台上放有A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同，A的质量为2m，B、C各为m， A、B离转轴均为r、c为2r，贝UA、若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大B、若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B把受的摩擦力最小(2)C 、当转台转速增加时，C 最先发生滑动D 、当转台转速继续增加时，A 比B 先滑动【解析】A 、B 、C 三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转台的角速度，设为3,根据向心加速度的公式a 2r 已知r A =r B <r c ，把以三物体向心加速度的大小关系为a A =a B <s c ， A 错。

2024年高考物理一轮复习(新人教版) 第4章第3讲圆周运动

g lcos
θ＝
gh，所以小球 A、B 的角速度相等，
线速度大小不相等，故 A 正确，B 错误；
对题图乙中 C、D 分析，设绳与竖直方向的夹角为 θ，小球的质量为 m，绳上拉力为 FT，则有 mgtan θ＝man，FTcos θ＝mg，得 an＝gtan θ，FT ＝cmosgθ，所以小球 C、D 所需的向心加速度大小相等，小球 C、D 受到绳的拉力大小也相等，故 C、D 正确.
当转速较大，FN指向转轴时，则FTcos θ＋FN′＝mω′2r 即FN′＝mω′2r－FTcos θ 因ω′>ω，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的压力不一定变大，C错误；根据F合＝mω2r可知，因角速度变大，则小球所受合外力变大，D正确.
例5 (2022·全国甲卷·14)北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图
例7 如图所示，质量相等的甲、乙两个小球，在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀速圆周运动，甲在乙的上方.则 A.球甲的角速度一定大于球乙的角速度
√B.球甲的线速度一定大于球乙的线速度
C.球甲的运动周期一定小于球乙的运动周期 D.甲对内壁的压力一定大于乙对内壁的压力
对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，
√B.弹簧弹力的大小一定不变
C.小球对杆压力的大小一定变大
√D.小球所受合外力的大小一定变大
对小球受力分析，设弹簧弹力为FT，弹簧与水平方向的夹角为θ，则对小球竖直方向有 FTsin θ＝mg，而 FT＝kcMosPθ－l0 可知θ为定值，FT不变，则当转速增大后，小球的高度不变，弹簧的弹力不变，A错误，B正确；水平方向当转速较小，杆对小球的弹力FN背离转轴时，则FTcos θ－ FN＝mω2r 即FN＝FTcos θ－mω2r

【高考物理】圆周运动的动力学临界问题

圆周运动的动力学临界问题圆周运动动力学的临界问题——比如小球过竖直平面内圆周轨道最高点、物块随水平桌面转动而不外滑等，很多同学在最初接触这个问题时，都感觉很难理解，各种情形下的结论也常常混淆，究其根本，问题还是出在对圆周运动的径向动力学的理解不深入，对圆周运动动力学临界问题的类型和分析技巧不熟悉。

一、圆周运动的动力学之供需关系问题圆周运动的临界问题的正确分析，需要从供需匹配角度深入理解圆周运动的径向动力学——供需匹配，物体就做圆周运动，供需不匹配，物体就要离开圆周轨道做离心、近心运动。

我们以一个具体的例子来说明这个问题。

如图2-12-1所示，光滑水平桌面上，用一根细绳拴着一个小球绕O 点做圆周运动，则由圆周运动动力学可知，小球所受径向合力，即绳中拉力满足rv m F 2=。

现若将绳从O 点完全松开，绳中张力变为0，即0=F ，则小球将由于惯性而沿原圆周轨道切线方向做直线运动离开圆周轨道；若并不是完全放松，而只是适当的减小一些绳中拉力，即rv m F 2<，则绳中拉力虽然没能够将小球拉回原来的圆周轨道，但也将小球的轨迹拉弯了——夹在沿切线的直线和原圆周轨道之间，做离心运动；若不仅没松开绳，而且还用更大的力拉绳，即rv m F 2>，则小球将被绳拉到原圆周轨道内侧来，做近心运动。

圆周运动径向动力学的供需匹配问题，可以从上述例子中总结出来：1、径向合力为零：0n =F ，物体沿切线方向做直线运动。

2、径向合力不为零：0n ≠F ，物体偏离切线方向向径向合力一侧做曲线运动。

（1）径向合力小于所需的向心力：r m rv m F 22n ω=<，物体相对原圆周轨道做离心运动；（2）径向合力等于所需的向心力：r m rv m F 22n ω==，物体沿原圆周轨道继续做圆周运动；（3）径向合力大于所需的向心力：r m rv m F 22n ω=>，物体相对原圆周轨道做近心运动。

进一步可以这样理解：物体由于惯性，总有沿着切线做离心运动的趋势；物体转动的线速度、角速度越大，离心运动的趋势越大，越有可能做离心运动；线速度、角速度越小，离心运动的趋势越小，越有可能被径向合力拉近圆心而做近心运动；只有径向合力正好等于所需向心力大小时，径向合力刚好抵消物体的离心运动趋势，物体才能沿固定半径轨道做圆周运动。

用相对速度解决圆心是动点的圆周运动的动力学问题

用相对速度解决圆心是动点的圆周运动的动力学问题
圆周运动是一种常见的运动，其显著的特点是物体沿着一定速度外发指向一个圆弧形路径旋转。

针对圆心是动点的圆周运动的动力学问题，可以采用相对速度的方法来解决。

首先，需要确定相对于重力中心的速度，也就是物体的两个运动状态：直线运动和圆心运动。

需要分析两个运动状态的不同来确定相对于重力中心的速度关系，而这可以采用力学推导确定，即利用它们之间的受力修正值来解决。

接下来，利用受力修正值对圆心运动进行改正，由此得出该系统的“重力中心差分”，即相对于重力中心的相对速度差异。

通过改变重力中心差分值，可以得出与其它物体的相对速度，最后得出圆心是动点的圆周运动的动力学解。

上述说明的方法是解决圆周运动的一种较为常见的方法，即采用相对速度的方法。

这种方法可以确定物体圆心运动的速度，使该运动的普遍性和可操作性得到了进一步的改善和提高，为解决圆周运动的动力学问题提供了一种新的方法。

专题四高一圆周运动的动力学问题

专题四：圆周运动的动力学问题1．如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台缓慢加速转动，当转速达到某一数值时,物块恰好滑离转台开始做平抛运动。

现测得转台半径R＝1。

0 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0。

8 m.设物体所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10 m/s2。

求:(1）物块做平抛运动的初速度大小v；（2)物块与转台间的动摩擦因数μ。

2．如图一辆质量为500kg的汽车静止在一座半径为50m的圆弧形拱桥顶部．(取g＝10m/s2)⑴此时汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？⑵如果汽车以6m/s的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？⑶汽车以多大速度通过拱桥的顶部时，汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零？3．如图所示，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。

已知水平地面上的C点位于O点正下方，且到O点的距离为1.9L。

不计空气阻力。

求：（1）小球通过最高点A时的速度v A(2）小球通过最低点B时，细线对小球的拉力T（3）若小球运动到最低点B时细线恰好断裂,小球落地点到C点的距离。

4．绳子系着装有水的小水桶,在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0。

5Ｋg，绳长1m，若不考虑桶的尺寸，求：①桶通过最高点时至少要有多大的速度水才不会流出？②若水在最高点速度为V＝5m/s，水对桶的压力是多少?（g=10m/s2）15．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置。

两个质量均为m的小球a、b以不同的速度进入管内，a通过最高点A时，对管壁上部的压力为3mg,b通过最高点A时,对管壁下部的压力为0。

75mg，求a、b两球落地点间的距离。

6．如图，光滑水平桌面上,弹簧一端固定在O点，另一端系一质量的小球，使小球绕O 点做匀速圆周运动。

已知弹簧原长，劲度系数，小球做圆周运动的角速度，求小球做匀速圆周运动时弹簧长度。

从动力学角度分析匀速圆周运动

从动力学角度分析匀速圆周运动根据牛顿第二定律，物体的加速度方向和大小都由物体所受到的合外力来决定。

我们来看一个具体的例子。

细绳拴着一个小球在光滑水平面上做匀速圆周运动。

分析小球的受力。

由于竖直方向上小球始终静止，处于平衡状态，因此重力和支持力合力为0。

小球受到的合外力就等于绳子的拉力，沿着绳子指向圆心，由牛顿第二定律可知向心加速度的方向也是指向圆心。

从这个例子，我们看出做匀速圆运动的物体受到的合外力一定是沿着半径指向圆心的，因此称为向心力。

1.向心力：做匀速圆周运动的物体受到的合外力又称为向心力。

以前，我们经常是对物体受力分析，得到合外力的方向，进而确定加速度的方向。

现在，对于做圆周运动的物体，我们更经常的是反过来。

如果已经知道一个物体在做匀速圆周运动，那么，那么它的加速度一定是指向圆心的，因此合外力的方向（对匀速圆周运动来说也就是向心力的方向）也就是指向圆心的。

需要注意的是，虽然我们从向心加速度反推物体合外力的方向，但是要清楚：力是产生加速度的原因，力决定了加速度的方向，而不是加速度决定了力的方向。

2.向心力的大小：根据牛顿第二定律，3.向心力是效果力受力分析时不应画在受力图示中。

受力图中出现的应该是性质力。

【引入】：小球在光滑的圆锥桶内做匀速圆周运动，分析其受力情况。

【提问】：下图中的受力分析正确吗？从上面向心力的定义知道，向心力是做匀速圆周运动的物体受到的各个外力的合力，因此在上面受力分析图中不应该与重力、支持力同时画在一起。

从另外一个角度看，上面受力分析图中，重力的施力物体是地球，支持力的施力物体是圆锥桶壁，那么所画的向心力的施力物体是谁呢？不能明确的说出来。

受力分析时，找不出明确的施力物体的那个力，是不存在的，不应该出现在受力分析图中。

其实，像重力、支持力、摩擦力等，是按照力的性质来命名的，称为性质力。

像在光滑斜面上的物体，我们所说的下滑力是按照作用效果——使物体沿斜面下滑，来命名的，其实它是重力沿斜面的分力，在受力分析图中不应该单独出现。

圆周运动(二)圆周运动中的动力学问题

2.“飞车走壁”是一种传统的杂技艺术，演员骑车在倾角很大的桶面上做圆周运动而不掉下来。如图所示，已知桶壁的倾角为θ，车和人的总质量为m，做圆周运动的半径为r，若使演员骑车做圆周运动时不受桶壁的摩擦力，求1)．人和车的速度； 2)．桶面对车的弹力.
解析：对人和车进行受力分析如图所示，根据直角三角形的边角关系和向心力公式可列方程：mgtan θ＝mv2/r，FNcos θ＝mg，解得v＝ √grtan θ ， FN＝mg/cos θ 。
FT
解析指导
（1）小球离开锥面：支持力为零
2 FT sin m0 r
mg
考点定位
圆周运动的临界问题
r l sin FT cos mg
g 5 0 2 rad/s l cos 2
（2）当细线与竖直方向成60°角时
解题技巧
找到临界状态
FT sin 600 m 2 r r l sin 600 0 FT cos60 mg
学科素养培养二．用极限法分析圆周运动的临界问题
1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．
2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态．
3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界状态．
图5
FN
60°
mg
解析 (1)对小物块受力分析
FNcos 60° ＝mg FNsin 60° ＝mR′ω2 0
(1)若 ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零， R′＝Rsin 60° 求 ω0； (2)若 ω＝(1± k)ω0，且 0＜k≪1，求小物块受到的摩擦力大小和方向．

圆周运动(二)圆周运动中的动力学问题

【例1】如图7所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为 m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT.(g取10 m/s2，结果可用根式表示)求： (1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？ (2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
3．质量为m的飞机以恒定速率v在空中水平盘旋，如图所示，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为 g，则此时空气对飞机的作用力大小为
析飞机在空中水平盘旋时在水平面内做匀速圆周运动，受到重力和空气的作用力两个力的作用，其合力提供向心力F向＝mv2/R. 飞机受力情况示意图如图所示，根据勾股定理得： F＝m √ (g2+ v4/R2).
例题 1．有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为 L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为 r 的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω 匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
圆周运动（二）圆周运动中的动力学分析
1．向心力的来源：向心力是依据力的作用效果命名的，它可以是重力、弹力或摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．如图甲所示的圆锥摆和火车以规定速率拐弯时．向心力由重力和弹力的合力提供；图乙中随圆盘一起转动的物体和汽车在水平路面上转弯则是由静摩擦力提供向心力． 2．向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置． (2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．

圆周运动中的动力学问题

│ 要点探究
有一种杂技表演叫“飞车走壁”．由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁，做匀速圆周运动．图4中粗线圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h.下列说法中正确的是( D ) A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大 B．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大 C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越小 D．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
B
1．如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m 的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C处后又正好落回A点，求：（1）推力对小球做了多少功? (用题中所给的量表示) （2）x取何值时，完成上述运动所做的功最少?最小功为多少? （3）x取何值时，完成上述运动所用的力最小?最小力为多少?
例4.一根轻绳一端系一小球，另一端固定在O点，在O点有一个能测量绳的拉力大小的力传感器，让小球绕O点在竖直平面内做圆周运动，由传感器测出拉力F随时间t变化图像如图所示，已知小球在最低点A的速度vA＝6m/s，求：（1）小球做圆周运动的周期T；（2）小球的质量m；（3）轻绳的长度L；（4）小球在最高点的动能Ek．
竖直平面内圆周运动绳球模型和杆球模型在最高点和最低点问题及临界问题如图所示abc和def是在同一竖直平面内的两条光滑轨道其中abc的末端水平def是半径为r04m的半圆形轨道其直径df沿竖直方向cd可看作重合
曲线运动第3讲圆周运动中动力学问题
问题1.物体做圆周运动需要外界提供向心力，向心力是怎样的一种力？来源有哪些？
[解析] 设转盘转动的角速度为 ω 时，钢绳与竖直方向的夹角为 θ. 座椅到中心轴的距离：R＝r＋Lsinθ 对座椅分析有：F 向＝Ｍgtanθ＝ＭRω2 gtanθ 联立两式得 ω＝ r＋Lsinθ 设钢绳上的弹力大小为Ｔ,由竖直方向的受力平衡方程Ｔcosθ=Ｍg 得Ｔ=Ｍg/cosθ

高中物理必修二第二章专题强化4 圆周运动的动力学问题圆锥摆模型

在最低点时受到的摩擦力为
A.μmg
√C.μm(g＋vR2)
μmv2 B. R D.μm(g－vR2)
在最低点由牛顿第二定律得：FN－mg＝mvR2，得 FN＝mg＋mvR2，又由滑动摩擦力公式有 f＝μFN＝μ(mg＋mvR2)＝μm(g＋vR2)，C 选项正确.
针对训练1
(多选)(2021·黑河市高一期中)如图所示，A、B两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳连接，当该装置绕竖直轴OO′匀速转动时，两球在杆上恰好不发生滑动.若两球质量之比mA∶mB＝2∶1，那么关于A、B两球的下列说法中正确的是 A.A、B两球受到的向心力之比为2∶1
3.动力学方程及线速度、角速度与绳长的关系
如图所示，设小球的质量为m，绳与竖直方向的夹角为θ，绳长为l，则
小球做圆周运动的半径为r＝lsin θ，重力加速度为g.由牛顿第二定律得 mgtan θ＝m v2 或mgtan θ＝mω2r.
r 所以 v＝ grtan θ＝ glsin θ·tan θ.
ω＝
(5)解方程求出待求物理量. 注意：向心力是根据力的效果命名的.在分析做圆周运动的物体受力情况时，切不可在物体的相互作用力(重力、弹力、摩擦力等)以外再添加一个向心力.
例1 一质量为m的物体，沿半径为R的向下凹的半圆形轨道滑行，如图所
示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，则它
例3 如图所示，竖直固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相
等的小球A和B，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动.以下关于A、B
两球做圆周运动时的线速度(vA、vB)、角速度(ωA、ωB)、加速度(aA、aB)和对内壁的压力(FNA、FNB)的关系正确的是
√A.vA>vB

高考物理考点18 向心加速度与向心力Word版含解析

一、圆周运动中的动力学分析1．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量。

公式：r Tv r v r a n 22224πωω====。

2．向心力：作用效果产生向心加速度，F n ＝ma n 。

3．向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。

4．向心力的确定（1）确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。

（2）分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。

解决圆周运动问题的主要步骤（1）审清题意，确定研究对象；（2）分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；（3）分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；（4）根据牛顿运动定律及向心力公式列方程。

二、竖直平面内圆周运动的绳模型与杆模型问题1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等），称为“绳（环）约束模型”，二是有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等），称为“杆（管道）约束模型”。

2．绳、杆模型涉及的临界问题3．竖直面内圆周运动的求解思路（1）定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同。

（2）确定临界点：gr v =临，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是F N表现为支持力还是拉力的临界点。

（3）研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。

（4）受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F 合=F 向。

（5）过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。

（2018·四川省攀枝花市第十二中学）甲、乙两质点做匀速圆周运动，甲的质量与转动半径都分别是乙的一半，当甲转动60圈时，乙正好转45圈，则甲与乙的向心力之比为A．4:9 B．4:3 C．3:4 D．9:4【参考答案】A1．如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，盘面上有一个小物体在随圆盘一起做匀速圆周运动。

牛顿定律在圆周运动中的应用

牛顿定律在圆周运动中的应用牛顿定律是经典力学的基础，描述了物体运动的规律。

在圆周运动中，牛顿定律同样适用，并且为我们解释了许多关于圆周运动的现象和问题。

本文将探讨牛顿定律在圆周运动中的应用。

一、牛顿第一定律在圆周运动中的应用牛顿第一定律也被称为惯性定律，它指出如果一个物体受到的合力为零，物体将保持静止或匀速直线运动。

在圆周运动中，当物体处于匀速圆周运动状态时，也满足牛顿第一定律。

这是因为在匀速圆周运动中，物体所受的合力指向圆心，并且大小等于所受的向心力。

由于向心力与离心力大小相等，方向相反，所以物体的合力为零，从而满足牛顿第一定律。

二、牛顿第二定律在圆周运动中的应用牛顿第二定律给出了物体加速度的定义，即物体的加速度与作用在物体上的合力成正比。

在圆周运动中，物体的加速度指向圆心方向，并称为向心加速度。

根据牛顿第二定律，向心加速度与物体所受的向心力成正比。

这一定律告诉我们，物体在圆周运动中所受的向心力越大，向心加速度也就越大。

三、牛顿第三定律在圆周运动中的应用牛顿第三定律给出了力的作用和反作用的关系，即任何一个力的作用都会有另一个大小相等、方向相反的力作用在另一个物体上。

在圆周运动中，当一个物体对另一个物体施加向心力时，根据牛顿第三定律，另一个物体同时对第一个物体施加大小相等、方向相反的向外的离心力。

这两个力构成了物体间的作用力对，使得两个物体在圆周运动中保持相对平衡。

四、圆周运动中的动力学方程在圆周运动中，我们可以利用牛顿定律推导出动力学方程。

设一个物体质量为m，作用在其上的向心力为F，向心加速度为a。

根据牛顿第二定律，可以得到如下动力学方程：F = m * a进一步观察圆周运动，可以知道向心力与物体的质量、角速度和半径之间的关系。

所以可以将方程改写为：F = m * v² / r其中，v表示物体的线速度，r表示物体所绕圆周的半径。

这个方程说明了在圆周运动中，向心力与线速度的平方成正比，与半径的倒数成反比。

四圆周运动动力学问题

四、圆周运动的动力学问题1、水平面内圆周运动例1、一圆盘可绕通过圆盘中心且垂直于盘面的竖直轴OO′转动，如图所示。

在圆盘上放置一木块，当木块随圆盘一起匀速转动时，关于木块的受力情况，以下说法中正确的是（）A ．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的运动方向相反B ．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心C ．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指向圆盘中心D ．木块与圆盘间没有摩擦力作用，木块受到向心力作用考点：向心力、牛顿第二定律【名师点睛】物体做圆周运动，一定要有力来提供向心力，一定要对物体进行受力分析。

例2、如图所示，质量不计的轻质弹性杆P 插入桌面上的小孔中，杆的另一端固定一质量为m 的小球，今使小球在水平面内做半径为R 的匀速圆周运动，角速度为ω，则下列说法正确的是（重力加速度为g ）（）A ．球所受的合外力大小为242R g m ω- B ．球所受的合外力大小为242R g m ω+ C ．球对杆作用力的大小为242R g m ω-D ．球对杆作用力的大小为224g R m +ω例3、如图所示，品质相等的A 、B 两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起以相同的角速度做匀速圆周运动，则下列关系中正确的是（）考点：线速度、角速度和周期、转速A ．线速度v A >v BB ．运动周期T A >T BC ．它们受到的摩擦力F A >F BD ．筒壁对它们的弹力N A >N B例4、如图所示，细绳一端系着品质m=0．1kg 的小物块A ，置于光滑水平台面上；另一端通过光滑小孔O 与质量M=0．5kg 的物体B 相连，B 静止于水平地面上（g=10m/s 2）（1）当A 以O 为圆心做半径r=0．2m 的匀速圆周运动时，地面对B 的支持力F N =3．0N ，求物块A 的速度和角速度的大小（2）当A 球的角速度为多大时，B 物体将要离开地面？例5、[2014•全国卷Ⅰ] 如图所示,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上,a与转轴OO'的距离为L,b与转轴的距离为2L.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g,若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度.下列说法正确的是( )A、b一定比a先开始滑动B、a、b所受的摩擦力始终相等C、ω=√(kg/2L)是b开始滑动的临界角速度D、当ω=√(2kg/3L)时,a所受摩擦力的大小为kmg拔高练习1、如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向放置以细线相连的质量均为m的A、B两个小物块，A离轴心r1＝20 cm，B离轴心r2＝30 cm，A、B与盘面间相互作用的最大静摩擦力为其重力的0.4倍．求：(1)、若细在线没有张力，圆盘转动的角速度ω应满足什么条件？(2)、欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则盘转动的最大角速度多大？(3)、当圆盘转速达到A、B刚好不滑动时，烧断细绳，则A、B将怎样运动？(g取10 m/s2)拔高练习2、如图所示,两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上,并用不可伸长的轻绳连接,整个装置能绕过CD中点的轴转动.已知两物块质量相等,杆CD对物块A、B的最大静摩擦力相等,开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力),物块B到轴的距离为物块A到轴的距离的两倍.现让该装置从静止开始转动,使转速逐渐增大,在从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中,下列说法正确的是（）A、A受到的静摩擦力一直增大B、B受到的静摩擦力先增大后保持大小不变C、A受到的静摩擦力先增大后减小再增大D、B受到的合外力先增大后保持大小不变2、圆锥摆类问题————【核心】什么力提供向心力，受力分析是重中之重。

圆周运动的动力学问题2

高三物理一轮复习课时20 圆周运动的动
物体被绳固定，在光滑桌面上做圆周运动
月亮绕地球转动
下列物体做圆周运动，说出它们的向心力的来源
汽车通过拱桥顶部时
球摆到最低点时
质量为m的汽车过拱桥，在桥顶时速度为v，桥半径为R，求此时桥对车的支持力。
质量为m的摆球，运动到最低点时，绳子的拉力为 1.5mg，已知绳子长度为L，球在最低点速度多大？
圆锥摆
θ L
飞车走避
已知摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ，求圆锥摆的周期。
上、下两车哪速度大？
如图所示，长为L=0.8m的轻杆，两端各连接一个质量都是m=0.1kg的小球，处于轻杆中点的转轴O带动杆在竖直平面内做匀速圆周运动，小球速度v=3m/s，则它们通过竖直位置时，转轴O对杆的作用力多大？
O
如图，位于竖直平面上的1/4圆轨道，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，最后落在地面上C点处，不计空气阻力，求：
（1）小球运动到B点时，对轨道的压力多大？（2）小球落地点C与B点水平距离S为多少？（3）若R可以改变，则R多大可使S最远？
A
O
R
B H
S
C
O’

圆周运动的动力学向心力与速度半径的关系

圆周运动的动力学向心力与速度半径的关系圆周运动是物体在一个固定轨道上做匀速运动的过程。

在进行圆周运动时，物体所受到的向心力与其速度半径有密切的关系。

本文将探讨向心力与速度半径之间的关系，并进一步解释该关系对圆周运动的影响。

动力学向心力定义为物体在圆周运动中所受到的力，总是指向圆心。

由于向心力的方向指向圆心，因此它被称为向心力。

向心力的大小与速度半径有密切的关系。

根据牛顿第二定律，物体受到的合力将导致其发生加速度。

在圆周运动中，物体的加速度指向圆心，由此可知物体在圆周运动中所受到的合力指向圆心。

这个合力就是向心力。

向心力的大小可以使用以下公式计算：F = m * a_c其中，F代表向心力，m代表物体的质量，a_c代表物体的向心加速度。

向心加速度可以通过下式计算得到：a_c = v^2 / r其中，v代表物体的速度，r代表速度的半径。

通过将向心加速度代入向心力的公式中，我们可以得到：F = m * v^2 / r由此可见，向心力与速度的平方成正比，与速度半径的倒数成正比。

若速度增大，向心力也会增大，反之亦然。

这是因为速度增大意味着物体具有更高的动能，需要更大的向心力来保持它在圆轨道上。

另外，速度半径增大也会导致向心力减小，因为增大的速度半径意味着物体离圆心更远，因此它所需的向心力更小。

向心力与速度半径之间的关系在圆周运动中起着重要的作用。

它决定了物体在特定速度和半径下所需的向心力大小。

当向心力不足以提供所需的向心加速度时，物体将无法保持在圆周运动中，而是脱离轨道。

因此，了解向心力与速度半径之间的关系对于圆周运动的分析和解释是至关重要的。

总结起来，圆周运动的动力学向心力与速度半径之间存在着密切的关系。

向心力与速度的平方成正比，与速度半径的倒数成正比。

对于特定的速度和半径，向心力决定了物体是否能够保持圆周运动。

进一步地，理解这种关系对于圆周运动的研究和应用具有重要意义。

高考总复习圆周运动

(1)过最高点时， v≥ gr ，半径背离圆心 2 v2 v 讨 F＋ mg＝ m ，绳、轨道对 (2)当 0<v< gr 时，－ F ＋ mg＝ m ， F N N r r 论球产生弹力 F 背离圆心并随v的增大而减小分 (2)v< gr 不能过最高点， (3)当 v＝ gr 时 FN＝ 0 析在到达最高点前小球已经 v2 (4)当 v> gr 时， FN＋ mg＝ m ， FN指向 r 脱离了圆轨道圆心并随 v的增大而增大 (1)绳模型和杆模型过最高点的临界条件不同，其原因是绳不能有支撑说力，而杆可有支撑力．明 (2)对于杆模型，在最高点时，如果不知是支撑力还是拉力，此时可假设，然后根据其方向再确定 .
[答案]
B
题型三
水平面上圆周运动的临界问题
建议在有临界问题存在的或不知是否出现临界问题时，先假定物体以较小的转速运动，分析各力的变化，或在已知速度如何变化 (确定需要的向心力如何变化 )的同时，分析外界实际提供的向心力如何变化 . 通过分析即可确定临界条件．总之，在分析圆周运动问题时，一边考虑提供的向心力如何变，一边考虑需要的向心力如何变化 . 把思维的关注点放在“变化”二字上.
要点三
生活中的圆周运动
1．火车转弯问题在平直轨道上匀速行驶的火车，所受合力为零，在火车转弯时，什么力提供向心力呢？在火车转弯处，让外轨高于内轨，如右图所示，转弯时所需向心力由重力和弹力的合力提供 . 若轨道水平，转弯时所需向心力应由外轨对车轮的挤压力提供，而这样对车轨会造成损坏 . 车速质量为M的火车运行时应当有多大的速度？
[解析]
设杆转到最高点球恰好对杆的作用力为零时，球的速度为
v2 v，则有 mg＝ m ，其中 R＝ 0.50 m，则 v＝ gR ＝ 5 m/s，因为 5 R v2 m/s>2 m/s，所以杆受到压力作用．对小球有 mg－ FN＝ m ，所以 FN＝ R v2 2.02 mg－ m ＝3.0×10 N－ 3.0× N＝ 6 N．故选项 B正确． 0.5 R

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专题五圆周运动中的动力学学科素养部分一.核心素养聚焦考点一物理观念水平面内圆周运动与相互作用的观念例题1．质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，且角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到球对其作用力的大小为()A．mω2R B．m g2－ω4R2C．m g2＋ω4R2D．不能确定【答案】C【解析】对小球进行受力分析，小球受两个力：一个是重力mg，另一个是杆对小球的作用力F，两个力的合力充当向心力．由平行四边形定则可得：F＝m g2＋ω4R2，再根据牛顿第三定律，可知杆受到球对其作用力的大小为F＝m g2＋ω4R2.故选项C正确．考点二.科学思维圆周运动中临界问题例题２．如图所示，置于圆形水平转台上的小物块随转台转动．若转台以角速度ω0=2rad/s．转动时，物块恰好与平台发生相对滑动．现测得小物块与转轴间的距离l1=0.50m，设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2．则( AC )A.小物块与转台间的摩擦因数为μ=0.2B.若小物块与转轴间距离变为l2=1.0m，则水平转台转动的角速度最大为1rad/s．C.若小物块与转轴间距离变为l2=1.0m，则水平转台转动的角速度最大为2rad/s．D. 若小物块质量变为原来2倍，则水平转台转动的角速度最大为2rad/s【答案】AC【解析】物块恰好与平台发生相对滑动时摩擦力恰好等于最大静摩擦力．由于物块在水平面内做圆周运动，向心力只能由摩擦力提供，故有21ωμml mg =，解得2.0201==gl ωμ，A 正确。

若22m ml mg ωμ=，可知最大角速度s rad l gm /22==μω，B 错误C 正确。

若小物块质量变为原来2倍，虽然物块所受静摩擦力的最大值变为原来的2倍，但同样角速度的情况下物体所需向心力也是原来的2倍，故不发生相对滑动的最大角速度与原来相同，或直接由lgm μω=可以看出故不发生相对滑动的最大角速度与物块的质量无关，D 错误。

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