上海高中数学三角函数大题压轴题练习

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上海高考数学函数压轴题解析详解

代入③，得
，
化简得．
当时，上式恒成立．
因此，在轴上存在定点，使．（12分）
9．(本小题满分14分)
已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有（为大于1的常数），记．
(1)求；
(2)试比较与的大小（）；
(3)求证：，（）．
解：(1)∵ ，①
∴ ．②
②－①，得
，
即．（3分）
∴ ．（当且仅当时取等号）．
综上所述，，（）．（14分）
在①中令，可得．
∴ 是首项为，公比为的等比数列，．（4分）
(2)由(1)可得．
．
∴ ，（5分）
．
而，且，
∴ ，．
∴ ，（）．（8分）
(3)由(2)知，，（）．
∴当时，．
∴
，（10分）
（当且仅当时取等号）．
另一方面，当，时，
．
∵ ，∴ ．
∴ ，（当且仅当时取等号）．（13分）
又MN⊥MQ，所以
直线QN的方程为，又直线PT的方程为 ……10分
从而得所以
代入（1）可得此即为所求的轨迹方程.………………13分
6．（本小题满分12分）
过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知点F（0，1），是否存在实数使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
40若u[0，1]，v[–1，0],同理可证满足题设条件.
综合上述得g(x)满足条件.
3. (本小题满分14分)
已知点P( t , y )在函数f ( x ) = (x –1)的图象上，且有t2– c2at + 4c2= 0 ( c 0 ).

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完整)上海高中数学三角函数大题压轴题练习三角函数大题压轴题练1.已知函数$f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\sin(x-\frac{\pi}{4})\sin(x+\frac{\pi}{4})$。

Ⅰ）求函数$f(x)$的最小正周期和图象的对称轴方程。

解：（1）$f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\sin(x-\frac{\pi}{4})\sin(x+\frac{\pi}{4})$frac{1}{3}\cos(2x-\frac{\pi}{3})+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{3}(\cos^2x-\sin^2x-\frac{1}{2})+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{6}(3\cos2x-1)+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{6}(3\cos2x+2\sin x\cos x-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(3\cos2x+\sin(2x-\frac{\pi}{3})-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(3\cos2x+\sin2x\cos\frac{\pi}{3}-\cos2x\sin\frac{\pi}{3}-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(2\cos2x+\sqrt{3}\sin2x-\frac{2}{3})$frac{1}{3}(\cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x)-\frac{1}{3}$frac{2}{3}\sin(2x+\frac{\pi}{3})-\frac{1}{3}$所以，函数$f(x)$的最小正周期为$\pi$，图象的对称轴方程为$x=k\pi+\frac{\pi}{3}$（$k\in Z$）。

2）在区间$[-\frac{5\pi}{6},\frac{\pi}{2}]$上，$f(x)$单调递增，而在区间$[\frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{6}]$上单调递减。

上海重点高中三角函数汇编

1、（2017华二高一下期末3）函数1arcsin (22y x x =≤≤的值域为 ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、（2018建平高一下期末2）函数3sin(2)3y x π=+的最小正周期T = π3、（2018建平高一下期末3）判断函数2arctan y x x =+的奇偶性为函数奇4、（2018建平高一下期末4）函数()3cos sin 1f x x b x =++的最大值为6，则b = 4±5、（2019交大附中高一下期末3）已知4cos()5πα-=，且α为第三象限角，则tan α的值等于 346、（2016交大附中高一下期末2）函数y =的定义域是 [1,2]7、（2016交大附中高一下期末4）函数()tan cot f x x x =+的最小正周期为 π8、（2019控江高一下期末1）函数arcsin(2)y x =-的定义域 [1,3]9、（2019控江高一下期末2）函数2tan()13y x ππ=++的最小正周期为 1T =10、（2019控江高一下期末4）已知tan 3α=，则226cos 3sin cos 3sin cos 2sin αααααα-=- 1311、（2016七宝高一下期末1）方程cos sin6x π=的解为x = 23k ππ±()k Z ∈12、（2016七宝高一下期末3）求值：2sin[arccos()]3-= 313、（2016七宝高一下期末4）函数arccos(sin )y x =在2(,)33x ππ∈-上的值域为 5[0,)6π14、（2016七宝高一下期末7）若()2sin 1f x x =-在区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）上至少含有30个零点，则b a -的最小值为863π15、（2016七宝高一下期末12）关于x 的方程224arctan(cos )0x x a π-+⋅=只有一个实数根，则实数a =1±16、（2018七宝高一下期末7）已知函数()arcsin(2)2f x x π=+，则1()3f π-=17、（2016交大附中高一下期末8）函数()arcsin(cos )f x x =，5[,]46x ππ∈的值域为 [,]34ππ-18、（2018七宝高一下期末5）函数arccos y x =在1[1,]2x ∈-的值域是 19、（2018七宝高一下期末9）若3x π=是方程2cos()1x α+=的解，其中(0,2)απ∈，则α=20、（2019控江高一下期末6）在△ABC 中，角A 所对的边为a ，若2a =，且△ABC 的外接圆半径为2，则A =6π或56π21、（2016交大附中高一下期末7）在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若23a =，2c =，120A ︒=，则ABC S ∆=322、（2017华二高一下期末5）在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 所对应的边，1tan 3A =，1tan 2B =，如果1a =，则b =2 23、（2019控江高一下期末5）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若4a =，6b =，9c =，则角C = 29arccos48π- 24、（2016七宝高一下期末11）在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是 (0,]3π25、（2019交大附中高一下期末5）已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，222a b c bc =+-，4bc =，则△ABC 的面积为 326、（2019交大附中高一下期末7）三角方程sin2cos x x =在[0,]π内的解集合为 5{}626πππ，，27、（2016交大附中高一下期末10）设[]x 表示不超过x 的最大整数，则[sin1][sin 2][sin3][sin10]+++⋅⋅⋅+= 4-28、（2016交大附中高一下期末11）已知225sinsin 240αα+-=，α为第二象限角，则cos2α=3529、（2019交大附中高一下期末9）已知()sin(2)3f x x π=+，若对任意x ∈R ，均有()()()f a f x f b ≤≤，则||a b -的最小值为 2π30、（2019交大附中高一下期末11）如图△ABC 中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，1BC =，M 为AB 边上的动点，MD AC ⊥，D 为垂足，则MD MC +的最小值为 3231、（2019交大附中高一下期末15）下列四个函数中，与函数()tan f x x =完全相同的是（）CA. 22tan21tan 2xy x =- B. 1cot y x = C. sin 21cos2x y x =+ D. 1cos2sin 2x y x -= 32、（2017华二高一下期末11）方程tan 2x =的解集为（）CA. {|2arctan 2,}x x k k π=+∈ZB. {|2arctan 2,}x x k k π=±∈ZC. {|arctan 2,}x x k k π=+∈ZD. {|(1)arctan 2,}kx x k k π=+-∈Z 33、（2018建平高一下期末13）要得到函数2sin()3y x π=-的图像，只需将函数2sin y x =的图像（）BA. 向左平移3π个单位B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位D. 向右平移6π个单位34、（2016交大附中高一下期末16）若函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)A ωϕπ>>≤ 局部图像如图所示，则函数()y f x =的解析式为（）DA. 3sin(2)26y x π=+B. 3sin(2)26y x π=- C. 3sin(2)23y x π=+ D. 3sin(2)23y x π=- 35、（2019控江高一下期末13）已知ϕ是常数，那么“tan 2ϕ=”是“sin 2cos )x x x ϕ+=+”等式对任意x ∈R 恒成立”的（）CA. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件36、（2019控江高一下期末14）已知ϕ是常数，如果函数5cos(2)y x ϕ=-+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么||ϕ的最小值为（）C A.3π B. 4π C. 6π D. 2π 37、（2016七宝高一下期末17）函数sin(2)y x ϕ=+(0)2πϕ<<图像的一条对称轴在(,)63ππ内，则满足此条件的一个ϕ值为（）D A.56π B. 6π C. 3π D. 12π38、（2018七宝高一下期末13）在 ABC 中，“A B >”是“cos cos A B <”的（）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要39、（2019七宝高一下期末9）在△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若2222019a b c +=，则cot cot cot CA B=+ 100940、（2019七宝高一下期末15）对任意的锐角α、β，下列不等关系中正确的是（）C A. cos()sin sin αβαβ+<+ B. sin()cos cos αβαβ+>+ C. cos()cos cos αβαβ+<+ D. sin()sin sin αβαβ+>+ 41、（2017华二高一下期末16）已知函数2()cos ()3sin()cos()(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π. （1）求ω的值和函数()f x 的值域；（2）求函数()f x 的单调递增区间及其图像的对称轴方程. （1）1ω=，113()sin 2,6222f x x π⎛⎫⎡⎤=++∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）单调递增区间为,()36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，对称轴方程为()26k x k ππ=+∈Z . 42、（2016交大附中高一下期末19）已知函数()cos 23sin 22f x a x a x a b =--++(0)a ≠，[0,]2x π∈，值域为[5,1]-，求常数a 、b 的值；2a =，5b =-；或2a =-，1b =；43、（2019交大附中高一下期末19）函数2()6cos 3sin()32xf x x ωω=+-（0ω>）在一个周期内的图像如图所示，A 为图像的最高点，B 、C 为图像与x 轴的交点，且为△ABC 正三角形. （1）求ω的值及函数()f x 的值域；（2）若083()5f x =，且0102(,)33x ∈-，求0(1)f x +的值.（1）4πω=；（2）()[23,23]f x ∈-.44、（2019控江高一下期末18）设函数22()2cos(2)4sin 3f x x x π=-+，定义域为R . （1）求函数()f x 的最小正周期，并求出其单调递减区间；（2）求关于x 的方程()23f x =-的解集. （1）T π=，单调递减区间为511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z ；（2）(1)()2126k k x πππ=+-⋅-+，k ∈Z . 45、（2019控江高一下期末21）已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的最小正周期为π，且直线2x π=-是其图像的一条对称轴. （1）求函数()f x 的解析式；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A B C <<，cos a B =，若C 角满足()1f C =-，求a b c ++的取值范围；（3）将函数()y f x =的图像向右平移4π个单位，再将所得的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图像对应的函数记作()y g x =，已知常数λ∈R ，n *∈N ，且函数()()()F x f x g x λ=+在(0,)n π内恰有2021个零点，求常数λ与n 的值.（1）()cos2f x x =；（2）(2,21)+；（3）1λ=-，1347n =.46、（2018七宝高一下期末18）已知()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,0||)2πωϕ><<，(0)0f =，且函数()f x 图像上的任意两条对称轴之间距离的最小值是2π. （1）求()8f π的值；（2）将函数()y f x =的图像向右平移6π个单位后，得到函数()y g x =的图像，求函数()g x 在[,]62ππ上的最值，并求取得最值时的x 的值.47、（2019七宝高一下期末17）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的部分图像，5(,2)12M π，2(,0)3N π. （1）求ω、A 、ϕ；（2）7[,]26x ππ∈时，求()f x 的值域和单调减区间.（1）2ω=，2A =，3πϕ=-；（2）[2,3]-，11[,]212ππ.48、（2016七宝高一下期末20）已知函数22()cos 3sin cos 2f x x x x x =⋅++-，x R ∈；（1）求函数()f x 在(0,)π上的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，若()2f A =，4C π=，2c =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值；（1）()2sin(2)6f x x π=-，(0,]3π和5[,)6ππ；（2）3A π=，S =；49、（2016七宝高一下期末21）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>；（1）令1ω=，判定函数()()()2F x f x f x π=++的奇偶性，并说明理由；（2）令2ω=，将函数()y f x =图像向右平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，对任意a R ∈，求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值；（1）非奇非偶；（2）()2sin(2)13g x x π=-+，零点个数可能值集合为{20,21}；。

高中数学三角函数多选压轴小题(有答案)

三角函数多选压轴小题一.图像类1．函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><图象与y 轴交于点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且π,13⎛⎫⎪⎝⎭为该图像最高点，则（）A ．()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的一个对称中心为π,012⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数()f x 图像向右平移π6个单位可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象D ．7π12x =是函数()f x 的一条对称轴2．函数()()sin (0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象如图所示，则（）A ．2ω=B ．6πϕ=C ．f （x ）的一条对称轴为6x π=-D ．f （x ）的图像向左平移6π个单位可得到()cos2g x x =的图像二.平移类3．已知函数()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（）A ．()g x 的图象关于y 轴对称B ．()g x 的最小正周期是πC ．()g x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．()g x 在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减4．已知函数()πsin 223f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的图像可以由()sin 22g x x =+的图像向右平移π3个单位得到B ．函数()f x 的一条对称轴是5π12x =C ．函数()f x 的对称中心是()ππ,0Z 62k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭D ．函数()f x 的单调递增区间是()π5ππ,πZ 1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭三.零点相关5．已知函数()2sin 03y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，则ω的取值可以为（）A ．14B ．23C ．1D ．26．已知函数()sin()3f x x πω=+，ω>0．若函数()f x 在[0,2]π上恰有2个零点，则ω的可能值是（） A ．12 B ．1C ．56D ．87四.最值类7．若函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,12πθ⎡⎫⎪⎢⎣⎭内不存在最小值，则θ的值可以是（）A ．πB ．56π C ．3π D ．6π8．函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在[]0,1上恰有两个最大值点，则ω可能为（）A ．2πB ．136π C ．3π D ．256π五.实际应用型9．衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O 距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P 从水中浮现时（图中0P ）开始计时，则（）A ．点P 第一次达到最高点，需要20秒B ．当水轮转动155秒时，点P 距离水面2米C ．在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P 距水面超过2米D ．点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的函数解析式为ππ4sin 2306h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭10．水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．如图，某水车轮的半径为6米，圆心距水面的高度为4米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动2圈，当其中的一个水斗A 到达最高点时开始计时，设水车转动t （分钟）时水斗A 距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为()f t （米），下列选项正确的是（）A ．()()6cos4π40f t t t =+≥B ．()()π6sin π402f t t t ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭C ．若水车的转速减半，则其周期变为原来的12 D ．在旋转一周的过程中，水斗A 距离水面高度不低于7米的时间为10秒六.奇偶性相关11．已知函数()1tan tan f x x x=+，则（） A ．函数()f x 的最小正周期是π B ．函数()f x 的最小值是2 C ．函数()f x 是奇函数D ．函数()f x 在(π2-，π2)上单调递增12．已知函数()f x =()y f x =说法正确的是（） A ．函数()f x 为偶函数B ．函数()f x 的定义域为[)0,∞+C ．函数()f x 的值域为⎡⎣D ．函数()f x 为周期函数七.交点个数类13．函数()214f x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，对于任意的[)0,1a ∈，方程()()10f x a x m -=≤≤仅有一个实数根，则m 的取值可以为（） A ．8πB ．58π C ．38π D ．34π14．函数[]()()cos()2|sin()|,0,22f x x x x πππ=-++∈的图像与直线y k =有且只有两个不同的交点，则k 的取值不可能是（） A ．1 B ．2C ．3D ．-1八.含绝对值型15．已知函数()sin cos f x x x =⋅，则有（） A ．()2,0π是()f x 的一个对称中心 B ．()f x 的最小正周期为2π C ．()f x 的图像关于直线4x π=对称D ．在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减16．已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =+-，则下列说法正确的是（） A ．()f x 是以π2为周期的周期函数B ．()f x 在5π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．()f x 的值域为[]0,1D ．存在两个不同的实数()0,3a ∈，使得()f x a +为偶函数答案1．函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><图象与y 轴交于点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且π,13⎛⎫⎪⎝⎭为该图像最高点，则（）A ．()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的一个对称中心为π,012⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数()f x 图像向右平移π6个单位可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象D ．7π12x =是函数()f x 的一条对称轴2．函数()()sin (0,||)2f x x ωϕωϕ=+><的图象如图所示，则（）A ．2ω=B ．6πϕ=C ．f （x ）的一条对称轴为6x π=-D ．f （x ）的图像向左平移6π个单位可得到()cos2g x x =的图像确故选：ABD3．已知函数()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（）A ．()g x 的图象关于y 轴对称B ．()g x 的最小正周期是πC ．()g x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．()g x 在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减4．已知函数()sin 223f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的图像可以由()sin 22g x x =+的图像向右平移π3个单位得到B ．函数()f x 的一条对称轴是5π12x =C ．函数()f x 的对称中心是()ππ,0Z 62k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭D ．函数()f x 的单调递增区间是()π5ππ,πZ 1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】BD5．已知函数()2sin 03y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间,3π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，则ω的取值可以为（）A ．14B ．23C ．1D ．26．已知函数()sin()3f x x ω=+，ω>0．若函数()f x 在[0,2]π上恰有2个零点，则ω的可能值是（） A ．12 B ．1C ．56D ．877．若函数()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,12θ⎡⎫⎪⎢⎣⎭内不存在最小值，则θ的值可以是（）A ．πB ．56π C ．3π D ．6π8．函数()()2sin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在[]0,1上恰有两个最大值点，则ω可能为（）A ．2πB ．136π C ．3π D ．256π[]0,1x ∈又函数在∴52πω≤+故选：BC 9．衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O 距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P 从水中浮现时（图中0P ）开始计时，则（）A ．点P 第一次达到最高点，需要20秒B ．当水轮转动155秒时，点P 距离水面2米C ．在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P 距水面超过2米D ．点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的函数解析式为ππ4sin 2306h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭故答案为：ABD现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．如图，某水车轮的半径为6米，圆心距水面的高度为4米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动2圈，当其中的一个水斗A 到达最高点时开始计时，设水车转动t （分钟）时水斗A 距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为()f t （米），下列选项正确的是（）A ．()()6cos4π40f t t t =+≥B ．()()π6sin π402f t t t ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭C ．若水车的转速减半，则其周期变为原来的12 D ．在旋转一周的过程中，水斗A 距离水面高度不低于7米的时间为10秒11．已知函数()1tan tan f x x x=+，则（） A ．函数()f x 的最小正周期是π B ．函数()f x 的最小值是2 C ．函数()f x 是奇函数D ．函数()f x 在(π2-，π2)上单调递增A ．函数()f x 为偶函数B ．函数()f x 的定义域为[)0,∞+C ．函数()f x 的值域为⎡⎣D ．函数()f x 为周期函数13．函数()214f x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，对于任意的[)0,1a ∈，方程()()10f x a x m -=≤≤仅有一个实数根，则m 的取值可以为（） A ．8πB ．58π C ．38π D ．34π14．函数[]()()cos()2|sin()|,0,22f x x x x ππ=-++∈的图像与直线y k =有且只有两个不同的交点，则k 的取值不可能是（） A ．1 B ．2C ．3D ．-1()f x y k =, (1,3)k ∈. A ．()2,0π是()f x 的一个对称中心B ．()f x 的最小正周期为2π C ．()f x 的图像关于直线4x π=对称D ．在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减A ．()f x 是以π2为周期的周期函数B ．()f x 在5π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．()f x 的值域为[]0,1D ．存在两个不同的实数()0,3a ∈，使得()f x a +为偶函数。

2023-2024学年上海市高中数学人教B版必修三第七章-三角函数专项提升-5-含解析

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年上海市高中数学人教B 版必修三第七章-三角函数专项提升(5)姓名：____________班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 已知α为第二象限角，且，则（）A.B. C.D.2. 已知，，，则（）．A. B. C. D. 3. 定义行列式运算.将函数的图象向左平移个单位得函数的图象，则的图象的一个对称中心为（）A. B.C. D.41﹣24. 已知满足，则g （x ）=2cos （ωx+φ）在区间 [0，] 上的最大值为（）A. B. C. D. 5. 设平面向量的一个法向量，点在平面内，点在平面外，设直线与平面所成角为，则的取值范围是（）A. B. C. D.6. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则角C 的值为或或A. B. C. D.若，且是第一象限角，则若，则若由，组成的集合中有且仅有一个元素，则方程的根所在的区间是7. 下列说法正确的是（）A.B.C.D.8. 如图点是角的终边与单位圆的交点，则点一定在下列哪个函数图象上（）A. B. C. D.32659. 已知函数f（x）=sinωx+ cosωx（ω＞0），f（）+f（）=0，且f（x）在区间（，）上递减，则ω=（）A. B. C. D.10. 若，则（）A. B. C. D.①①②②③①②③11. 已知函数.给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度后，再向上平移个单位长度，可得到的图象.其中所有正确结论的序号是（）A. B. C. D.先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度12. 已知曲线，，为了得到曲线，则对曲线的变换正确的是（）A.先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度B. C. D. 13. 给出下列命题：①函数不是周期函数；②函数在定义域内为增函数；③函数的最小正周期为；④函数，的一个对称中心为 .其中正确命题的序号是 .14. 已知，则； .15. 若sinα=2cosα，函数f （x ）=2x ﹣tanα，则f （0）= ．16. 已知sinαcosα= ，且＜α＜，则cosα﹣sinα的值是．17. 已知向量，，函数在内单调递增．(1) 求实数m 的取值范围；(2) 如图，某小区要建一个四边形ABCD 花圃，其中AB ＝4，AD ＝2，∠A 是实数m 的最大值，，求四边形ABCD 花圃周长的最大值．18. 已知函数的部分图象如图所示.(1) 求的解析式；(2) 设，若关于的不等式恒成立，求的取值范围.19. 已知函数（A＞0，＞0，＜π）的一段图象如图所示．(1) 求函数的单调增区间；(2) 若，，求函数的值域．20. 在“①；②，， ”这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.问题：在中，，，分别是三内角，，的对边，已知，是边上的点，且，，若 ▲ ，求的长度.21.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求函数f（x+1）的单调递增区间．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.21.。

沪教版数学高一第二学期三角部分(三角比、三角函数)练习题卷(二)

高一第二学期三角部分练习卷（二）一．填空题（本大题每题5分，共40分）1. 半径为1的圆上长度为2的弧所对的圆心角的弧度是____________.2. 设角α的终边过点()3,4P -，则()()()()cos 5tan 3sin cot 2απαππαπα--=+-_________.3. 若3cos 5α=，且0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cot 2α=________. 4. 函数cos 12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为_______________.5. 已知1cos ,03x x π=-<<，则角x 的值为___________. 6. 给出下列命题：○1 sin y x =在第一象限是增函数；○2 α是锐角，则sin 4y πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域是[]1,1-； ○3 22sin cos y x x =-的最小值是1-；○4 方程2cos xx =只有1个实数根. 其中正确命题的序号是______________.7. 把sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移8π个单位，再把所得图像上各点的横坐标压缩成原来的12，所得图像的函数解析式为()f x ，则()f x 的奇偶性为______________. 8. 如图，一艘轮船在海中A 处遇难，当时航向为北偏东30°，航速为每小时60海里，后因故于某未知地点B 改向朝正东方向行驶，航速不变，直至在另一未知地点C 失去联系，从A 至C 共行驶了半个小时，则A 、C 两地距离的最小值是__________海里.二．解答题（本大题共60分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 9. （本题满分10分）在等腰直角三角形ABC 中，∠C = 90°，点D 、 E 分别是BC 的三等分点. （1）求tan α、()tan αβ+的值；（2）求tan β、tan γ的值.10. （本题满分10分）（1）已知,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求tan x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求函数212tan 1cos y x x=++的最小值及相应的x 的值.11. （本题满分12分）在△ABC 中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =. （1）求角C 的大小；（2）若角6A π=，求△ABC 的面积.12. （本题满分14分）若函数()()sin cos 0f x A x B x ωωω=+>的最小正周期为2，并当13x =时，()f x 取得最大值2. （1）求函数()f x 的表达式；（2）在闭区间2123,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是否存在()f x 的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；若不存在，说明理由.13. （本题满分14分）已知函数4sin cos ,2sin 2c 0,2os 1x x y x x x π⎛⎫∈ ⎪⎝++⎭=，（1）令sin cos t x x =+，可将已知三角函数关系()y f x =转换成代数函数关系()y g t =，试写出函数()y g t =的表达式及定义域；（2）求函数()y f x =的最大值；（3）函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内是单调函数吗？请说明理由.参考答案：一．填空题（本大题每题5分，共40分）1. 半径为1的圆上长度为2的弧所对的圆心角的弧度是____________. 22. 设角α的终边过点()3,4P -，则()()()()cos 5tan 3sin cot 2απαππαπα--=+-_________.433. 若3cos 5α=，且0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cot 2α=________. 2 4. 函数cos 12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为_______________.()112,21212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 5. 已知1cos ,03x x π=-<<，则角x 的值为___________. 1arccos 3- 6. 给出下列命题：○1 sin y x =在第一象限是增函数；○2 α是锐角，则sin 4y πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域是[]1,1-； ○3 22sin cos y x x =-的最小值是1-；○4 方程2cos xx =只有1个实数根. 其中正确命题的序号是______________. ○3○4 7. 把sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移8π个单位，再把所得图像上各点的横坐标压缩成原来的12，所得图像的函数解析式为()f x ，则()f x 的奇偶性为______________.偶函数 8. 如图，一艘轮船在海中A 处遇难，当时航向为北偏东30°，航速为每小时60海里，后因故于某未知地点B 改向朝正东方向行驶，航速不变，直至在另一未知地点C 失去联系，从A 至C 共行驶了半个小时，则A 、C 两地距离的最小值是__________海里. 153二．解答题（本大题共60分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 9. （本题满分10分）在等腰直角三角形ABC 中，∠C = 90°，点D 、 E 分别是BC 的三等分点. （1）求tan α、()tan αβ+的值；（2）求tan β、tan γ的值.10. （本题满分10分）（1）已知,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求tan x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求函数212tan 1cos y x x=++的最小值及相应的x 的值. 2tan 2tan 2,tan 3,1y x x x ⎡⎤=++∈-⎣⎦，当4x π=-时，min 1y = 11. （本题满分12分）在△ABC 中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =. （1）求角C 的大小；3C π= （2）若角6A π=，求△ABC 的面积. 23S = 12. （本题满分14分）若函数()()sin cos 0f x A x B x ωωω=+>的最小正周期为2，并当13x =时，()f x 取得最大值2. （1）求函数()f x 的表达式；（2）在闭区间2123,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是否存在()f x 的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；若不存在，说明理由.13. （本题满分14分）已知函数4sin cos ,2sin 2c 0,2os 1x x y x x x π⎛⎫∈ ⎪⎝++⎭=，（1）令sin cos t x x =+，可将已知三角函数关系()y f x =转换成代数函数关系()y g t =，试写出函数()y g t =的表达式及定义域；（2）求函数()y f x =的最大值；（3）函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内是单调函数吗？请说明理由.。

上海高中数学三角函数大题压轴题练习

三角函数大题压轴题练习1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =++-+221cos 22sin cos 22x x x x =++-1cos 22cos 22x x x =- sin(2)6x π=-2T 2ππ==周期∴ 由2(),()6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3x k k Z ππ=+∈（2）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以当3x π=时，()f x 取最大值 1又1()()1222f f ππ-=<=，当12x π=-时，()f x 取最小值-所以函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[2．已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．解：（Ⅰ）1cos 2()222x f x x ωω-=+112cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.解：（Ⅰ）由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 12sin()1,sin().662A A ππ-=-= 由A 为锐角得 ,663A A πππ-==（Ⅱ）由（Ⅰ）知1cos ,2A =所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x s x =+=-+=--+因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值32.当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，4.已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．【解析】（1）依题意有1A =，则()s i n ()f x x ϕ=+，将点1(,)32M π代入得1sin()32πϕ+=，而0ϕπ<<，536πϕπ∴+=，2πϕ∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=；（2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2παβ∈，45sin ,sin 513αβ∴====，3124556()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=。

第7章三角函数(章节压轴题专练)高一数学(沪教版2020必修第二册)

第7章三角函数章节压轴题专练一、单选题 1．（2020·上海市青浦高级中学高一期末）设函数()cos()cos()f x m x n x αβ=+++，其中m 、n 、α、β为已知实常数，x ∈R ，有下列四个命题：（1）若(0)02f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭π，则()0f x =对任意实数x 恒成立；（2）若(0)0f =，则函数()f x 为奇函数；（3）若02f ⎛⎫=⎪⎝⎭π，则函数()f x 为偶函数；（4）当22(0)02f f ⎛⎫=≠⎪⎝⎭π时，若12()()0f x f x ==，则122x x k π-=（k Z ∈）；则上述命题中，正确的个数是（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】利用两角和的余弦公式化简()f x 表达式. 对于命题（1），将(0)0,02f f π⎛⎫== ⎪⎝⎭化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出（1）选项的真假；对于命题（2）选项，将(0)0f =化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出()f x 为奇函数，由此判断出（2）选项的真假；对于命题（3）选项，将()02f π=化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出()f x 为偶函数，由此判断出（3）选项的真假；对于命题（4）选项，根据22(0)02f f π⎛⎫+≠⎪⎝⎭、()()120f x f x ==，求得()f x 的零点的表达式，进而判断出（4）选项的真假.【详解】()(cos cos sin sin )(cos cos sin sin )f x m x x n x x ααββ=-+-(cos cos )cos (sin sin )sin m n x m n x αβαβ=+-+不妨设 ()()11221122()cos cos cos sin sin sin f x k k x k k x αααα=+-+．1212,,,k k αα为已知实常数.若(0)0f =，则得 1122cos cos 0k k αα+=；若()02f π=，则得1122sin sin 0k k αα+=．于是当(0)02f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭π时，()0f x =对任意实数x 恒成立，即命题（1）是真命题；当(0)0f =时，()1122()sin sin sin f x k k x αα=-+，它为奇函数，即命题（2）是真命题；当()02f π=时，()1122()cos cos cos f x k k x αα=+，它为偶函数，即命题（3）是真命题；当22(0)02f f π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭时，令()0f x =，则()()11221122cos cos cos sin sin sin 0k k x k k x αααα+-+=，上述方程中，若cos 0x =，则sin 0x =，这与22cos sin 1x x +=矛盾，所以cos 0x ≠．将该方程的两边同除以cos x 得11221122cos cos tan sin sin k k x k k αααα+=+，令11221122cos cos sin sin k k t k k αααα+=+ （0t ≠），则 tan x t =，解得 arctan x k t π=+ （k Z ∈）．不妨取 11arctan x k t π=+，22arctan x k t π=+ （1k Z ∈且2k Z ∈），则()1212x x k k π-=-，即12x x k π-= （k Z ∈），所以命题（4）是假命题．故选：C【点睛】本题考查两角和差公式，三角函数零点，三角函数性质，重点考查读题，理解题和推理变形的能力，属于中档题型.2．（2017·上海嘉定区·高一期末）设函数()cos()cos()f x m x n x αβ=+++，其中,,,m n αβ为已知实常数，x ∈R ，则下列命题中错误的是（） A ．若(0)()02f f π==，则()0f x =对任意实数x 恒成立；B ．若(0)0f =，则函数()f x 为奇函数；C ．若()02f π=，则函数()f x 为偶函数；D ．当22(0)()02f f π+≠时，若12()()0f x f x ==，则122x x k π-= （k ∈Z ）．【答案】D【分析】利用两角和的余弦公式化简()f x 表达式.对于A 选项，将(0)0,()02f f π==化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出A 选项为真命题.对于B 选项，将(0)0f =化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出()f x 为奇函数，由此判断出B 选项为真命题.对于C 选项，将()02f π=化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出()f x 为偶函数，由此判断出C 选项为真命题.对于D 选项，根据22(0)()02f f π+≠、12()()0f x f x ==，求得()f x 的零点的表达式，由此求得12x x k π-= （k Z ∈），进而判断出D 选项为假命题. 【详解】()()()cos cos sin sin cos cos sin sin f x m x x n x x ααββ=-+-()()cos cos cos sin sin sin m n x m n x αβαβ=+-+.不妨设 11221122()(cos cos )cos (sin sin )sin f x k k x k k x αααα=+-+．1212,,,k k αα为已知实常数.若(0)0f =，则得 1122cos cos 0k k αα+=；若()02f π=，则得1122sin sin 0k k αα+=．于是当(0)()02f f π==时，()0f x =对任意实数x 恒成立，即命题A 是真命题；当(0)0f =时，1122()(sin sin )sin f x k k x αα=-+，它为奇函数，即命题B 是真命题；当()02f π=时，1122()(cos cos )cos f x k k x αα=+，它为偶函数，即命题C 是真命题；当22(0)()02f f π+≠时，令()0f x =，则11221122(cos cos )cos (sin sin )sin 0k k x k k x αααα+-+=，上述方程中，若cos 0x =，则sin 0x =，这与22cos sin 1x x +=矛盾，所以cos 0x ≠．将该方程的两边同除以cos x 得11221122cos cos tan sin sin k k x k k αααα+=+，令11221122cos cos sin sin k k t k k αααα+=+ （0t ≠），则 tan x t =，解得 arctan x k t π=+ （k Z ∈）．不妨取 11arctan x k t π=+，22arctan x k t π=+ （1k Z ∈且2k Z ∈），则1212()x x k k π-=-，即12x x k π-= （k Z ∈），所以命题D 是假命题．故选：D【点睛】本小题主要考查两角和的余弦公式，考查三角函数的奇偶性，考查三角函数零点有关问题的求解，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.3．（2019·上海复旦附中高一期中）若函数()()2221sin 1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 3g x M m x M m x π⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦图像的对称中心不可能是_______A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．28,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．416,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】设()()2h x f x =-，可得()h x 为奇函数，进而得到4M m +=，从而得到()g x 解析式；根据()4sin 4s x x x =+的对称中心，平移可得()g x 对称中心的坐标；再分别对应四个选项，当k 不是整数时，则不可能为对称中心，由此可得选项. 【详解】设()()24sin 21x x h x f x x +=-=+，则()()24sin 1x xh x h x x ---==-+ 即()h x 为奇函数 ()()224M m h x h x ∴+=++-+=()4sin 44sin 43333g x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()4sin 4s x x x =+ 则()()4sin 44sin 24222k k s x s x x x x k x k ππππ⎛⎫⎛⎫+-=++-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k Z ∈ 可知()4sin 4s x x x =+的对称中心为(),4k k k Z ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭将()4sin 4s x x x =+的图象向右平移12π个单位，再向上平移3π个单位得()g x 的图象 ()g x ∴的对称中心为(),4123k k k Z ππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭ 当24123k πππ+=时，73k =，不合题意，可知不可能为C又当1,0,5k =时分别对应选项,,A B D ，可知,,A B D 均为()g x 的对称中心本题正确选项：C【点睛】本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到利用奇偶性求解最值、与三角函数有关的对称中心的求解、函数图象平移变换问题，对于学生函数性质的掌握要求较高，属于偏难题. 二、填空题4．（2017·上海市七宝中学高一期中）已知02πθ<<，若2cos 2sin 220m m θθ+--<对任意实数θ恒成立，则实数m 应满足的条件是__________. 【答案】12m ≥-【分析】不等式2cos 2sin 220m m θθ+--<变形为2sin 2sin 210m m θθ-+--<令()sin 01x x θ=<<，即上式变形为关于x 的一元二次不等式22210x mx m -+--<，对应的二次函数为2()21f x x m =-+-，根据题意，若满足02πθ<<时不等式2cos 2sin 220m m θθ+--<恒成立，则需01x <<时，()0f x <恒成立，分类讨论，当0x m =≤或01x m <=<或1x m =≥时，判断函数单调性，解不等式，求解即可.【详解】2cos 2sin 220m m θθ+--<221sin 2sin 22sin 2sin 210m m m m θθθθ∴-+--=-+--<.设()sin 01x x θ=<<，2()221f x x mx m =-+--. 由题意可知，01x <<时，()0f x <恒成立. 当对称轴0x m =≤时()f x 在(0,1)x ∈上单调递减，则()(0)210f x f m <=--≤，即102m -≤≤ 当对称轴01x m <=<时，222()()221210f x f m m m m m m ≤=-+--=--<解得11m <<01m <<当对称轴1x m =≥时()f x 在(0,1)x ∈上单调递增，则()(1)122120f x f m m <=-+--=-<，即m 1≥ 综上所述：12m ≥- 故答案为：12m ≥-【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，同时也考查同角三角函数基本关系，属于难题.5．（2018·宝山区·上海交大附中高一期中）设函数f(x)=a 1⋅sin (x +α1)+a 2⋅sin (x +α2)+⋯+a n ⋅sin (x +αn )，其中a i 、αi (i =1,2,⋯,n,n ∈N ∗,n ≥2)为已知实常数，x ∈R . 下列所有正确命题的序号是____________．①若f(0)=f(π2)=0，则f(x)=0对任意实数x 恒成立；②若f(0)=0，则函数f(x)为奇函数；③若f(π2)=0，则函数f(x)为偶函数；④当f2(0)+f2(π2)≠0时，若f(x1)=f(x2)=0，则x1−x2=kπ(k∈Z).【答案】①②③④.【分析】对于①，由f(0)=f(π2)=0，证明函数f(x)既是奇函数又是偶函数即可得出f(0)=0；对于②，根据奇函数的定义可得出结论；对于③，根据偶函数的定义进行判断即可得出结论；对于④，根据f(x1)=f(x2)=0得(sin x1−sin x2)(a1cosα1+a2cosα2+⋯+a n cosαn)+(cos x1−cos x2)(a1sinα1+a2sinα2+⋯+a n sinαn)=0，于此得出结论.【详解】对于命题①，若f(0)=0，则f(0)=a1sinα1+a2sinα2+⋯+a n sinαn=0，则f(−x)+f(x)=a1sin(−x+α1)+a2sin(−x+α2)+⋯+a n sin(−x+αn)+a1sin(x+α1)+a2sin(x+α2)+⋯+a n sin(x+αn)=cos x⋅(a1sinα1+a2sinα2+a n sinαn)=0，∴函数f(x)为奇函数，若f(π2)=0，则f(π2)=a1sin(π2+α1)+a2sin(π2+α2)+⋯+a n sin(π2+αn)=−a1cosα1−a2cosα2−⋯−a n cosαn=0，∴f(−x)−f(x)=a1sin(−x+α1)+a2sin(−x+α2)+⋯+a n sin(−x+αn)−a1sin(x+α1)−a2sin(x+α2)−⋯−a n sin(x+αn)=sin x⋅(a1cosα1+a2cosα2+⋯+a n cosαn)=0，∴函数f(x)为偶函数，若f(0)=f(π2)=0，则函数f(x)既是奇函数，又是偶函数，即f(x)=0，命题①正确；对于命题②，由①的证明过程可知，当f(0)=0时，函数f(x)为奇函数，命题①正确；对于命题③，由①的证明过程可知，当f(π2)=0时，函数f(x)为偶函数，命题②正确；对于命题④，当f2(0)+f2(π2)≠0时，∵f(x)=a1⋅sin(x+α1)+a2⋅sin(x+α2)+⋯+a n⋅sin(x+αn)=(a1cosα1+a2cosα2+⋯+a n cosαn)sin x+(a1sinα1+a2sinα2+a n sinαn)cos x，令a=a1cosα1+a2cosα2+⋯+a n cosαn=f(π2)，b =a 1sin α1+a 2sin α2+a n sin αn =f(0)，则a 2+b 2=f 2(0)+f 2(π2)≠0，由辅助角公式得f (x )=a sin x +b cos x =√a 2+b 2sin (x +φ)，其中cos φ=√，sin φ=，∵f (x 1)=f (x 2)=0，则(x 1,0)、(x 2,0)是函数y =f (x )的两个对称中心点，函数y =f (x )的最小正周期为2π，该函数的两个相邻对称中心之间的距离为周期的一半，因此，x 1−x 2=kπ (k ∈Z )，命题④正确. 故答案为①②③④.【点睛】本题的考点是三角形与数列的综合，主要考查三角函数的化简，考查新定义与三角函数性质的判断，解题的关键就是利用三角函数基本性质的定义来进行计算，从而判断结论的正误，运算量较大，综合性较强，属于难题.三、解答题6．（2020·徐汇区·上海中学高一期中）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB 与底面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在的平面与道路走向垂直，路灯C 采用锥形灯罩，射出的管线与平面ABC 部分截面如图中阴影所示，2,,33ABC ACD ππ∠=∠=路宽AD =24米，设.126BAC ππθθ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭（1）求灯柱AB 的高h （用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制作路灯灯柱AB 和灯杆BC 所用材料的总长度最小？最小值为多少？【答案】(1)32sin θsin θ36h ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭126ππθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭；(2) 12πθ=时，所用材料的总长度最小，最小值为8+【分析】(1)分别在△ABC 和△ACD 中，利用正弦定理即可解出答案；(2)在△ABC 中，利用正弦定理求出BC ，再利用(1)的结果和三角函数的和差公式即可求得答案. 【详解】(1)由题意可得∠ADC=π-∠CAD -∠ACD =(θ)θ236ππππ---=+，∠BCA=θ3π-，在△ACD 中，由正弦定理可得：AD ACsin ACD sin ADC∠∠=，则AC=AD sin ADC θsin ACD 6π∠∠⎛⎫⨯=+ ⎪⎝⎭，在△ABC 中，由正弦定理可得：AB ACsin BCA sin ABC∠∠=，则AB=AC sin BCA sin BCA sin ABC 3∠∠∠⨯=⨯32sin θsin θ36ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭126ππθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭.即得32sin θsin θ36h ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭126ππθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭.(2)由(1)得AC=θ6π⎛⎫+⎪⎝⎭，AB=32sin θsin θ36ππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在△ABC 中，由正弦定理可得：AC BCsin ABC sin BAC∠∠=，则AC BC sin BAC 32sin θsin θsin ABC 6π∠∠⎛⎫=⨯=+ ⎪⎝⎭，所以AB BC 32sin θsin θ32sin θsin θ16sin 2366πππθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由126ππθ≤≤可得263ππθ≤≤，可得当26πθ=，即12πθ=时()AB BC 8min +=+即当公司设置θ的值为12π时，灯柱AB 和灯杆BC 所用材料的总长度最小，最小值为8+【点睛】本题借助实际应用考查了利用正弦定理解三角形，考查了三角函数的和差公式及其应用，属于中档题.7．（2018·上海长宁区·高一期末）已知函数()()()1122()sin sin sin (0)n n n f x a x a x a x ωϕωϕωϕω=++++++>，其中数列{}n a 是公比为2的等比数列，数列{}n ϕ是公差为2π的等差数列．（1）若11a =，12ϕπ=，分别写出数列{}n a 和数列{}n ϕ的通项公式；（2）若2()f x 是奇函数，且1(0,)ϕ∈π，求1ϕ；（3）若函数()n f x 的图像关于点(,0)2π对称，且当x π=时，函数()n f x 取得最小值，求ω的最小值．【答案】（1）12n na ，2n n ϕπ=；（2）1arctan 2ϕ=π-；（3）1 【分析】(1)根据等差数列、等比数列的通项公式111,(1)n n n a a q b b n d -==+-即可求解；(2)根据奇函数的定义得出22()()0f x f x -+=，化简得1111sin 2cos 0a a ϕϕ+=，解方程可得1arctan 2ϕ=π-(3)将()n f x 化成()sin cos )n m x n x f x x ωωωϕ=+=+的形式，依题意有()02n f π=，从而得到11,2k k ωϕπ+=π∈Z ，因为当x π=时，函数()n f x 取得最小值，所以222,2k k ωϕ3ππ+=π+∈Z ，两式相减即可求解. 【详解】（1）由等差数列、等比数列的通项公式111,(1)n n n a a q b b n d -==+-可得12n n a ，2n n ϕπ=；（2）()()211221122()cos cos sin sin sin cos f x a a x a a x ϕϕωϕϕω=+++ 因为22()()0f x f x -+=，所以1122sin sin 0a a ϕϕ+= 即1111sin 2cos 0a a ϕϕ+=，所以1tan 2ϕ=- 又由1(0,)ϕ∈π，得1arctan 2ϕ=π-（3）()()()1122()sin sin sin n n n f x a x a x a x ωϕωϕωϕ=++++⋅⋅⋅++()()11221122cos cos cos sin sin sin sin cos n n n n a a a x a a a x ϕϕϕωϕϕϕω=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+记1122cos cos cos n n a a a m ϕϕϕ++⋅⋅⋅+=，1122sin sin sin n n a a a n ϕϕϕ++⋅⋅⋅+=则()sin cos )n m x n x f x x ωωωϕ=+=+，其中220m n +≠；因为()n f x 的图像关于点(,0)2π对称，所以11,2k k ωϕπ+=π∈Z ①因为当x π=时，函数()n f x 取得最小值，所以222,2k k ωϕ3ππ+=π+∈Z ② ②-①得21423k k ω=-+，因为12,k k Z ∈，0>ω 当20k =，11k =时，ω取得最小值为10【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式的求法、三角函数的化简以及正弦型函数图像的性质，考查较全面，属于难题.8．（2019·上海市向明中学高一期中）如图，点A ，B 单位圆O 上的两点，点C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，将锐角α的终边OA 按逆时针方向旋转3π到OB .（1）若点A 的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，求1sin 21cos 2αα++的值；（2）若ABC ∆α的大小；（3）用锐角α表示BC ，并求BC 的取值范围. 【答案】（1）4918；（2）3π；（3）⎛ ⎝⎭. 【分析】（1）由三角函数的定义，得sin cos αα，的值，再对原式化简计算即可；（2）考虑将ABC ∆进行分割，再用三角形面积公式in 12s S ab C =求解；（3）先用余弦定理写出BC 关于α的表达式，再求BC 的取值范围. 【详解】（1）因为锐角α的终边OA ，点A 的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以434355sin cos 1515αα====,，所以224324347sin 22cos 255255525αα⎛⎫⎛⎫=⋅⋅==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,，所以2411sin 2492571cos 218125αα++==+-. （2）所以11sin sin 22344παα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，所以sin sin 3παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为α是锐角，所以3πααπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以3πα=.（3）在OBC ∆中，222=2cos BC OB OC OB OC BOC +-⋅⋅∠，所以222=11211cos 22cos 33BC ππαα⎛⎫⎛⎫+-⋅⋅⋅+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为α是锐角，所以02πα<<，所以5336πππα，所以1cos 32πα⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，所以212BC <<+，所以BC ⎛∈ ⎝⎭. 【点睛】本题考查三角函数的定义、三角形的面积公式、求三角函数值域，将三角函数的性质与解三角形结合，综合性较强，同时考查学生的推理和计算能力，属于难题. 9．（2018·上海普陀区·曹杨二中高一期中）已知函数()cos sin .333x x x f x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭(1)将()f x 化为()sin 0022A x H A ππωφωφ⎛⎫⎛⎫++∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞，＞，，的形式,并写出其最小正周期和图象对称轴方程,并判断函数的奇偶性(不需证明)； (2)若三角形三边a b c 、、满足2b ac b =，所对为B ，求B 的范围； (3)在(2)的条件下，求()f B 的取值范围. 【答案】（1）()23332f x sin x T ππ⎛⎫=++=⎪⎝⎭，对称轴方程为()342x k k Z ππ=+∈，非奇非偶；（2）(0,]3π；（3）12⎤+⎥⎦. 【分析】（1）根据三角恒等变换化简，由正弦型函数的图象与性质求解（2）利用余弦定理及均值不等式求解（3）由（1）（2）及正弦函数的性质可求出.【详解】（1）()212cos sin sin 333233x x x x f x x ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭1222sin (1cos )sin()2323332x x x π=+=+++, 所以2323T ππ==，由2,332x k k Z πππ+=+∈，知对称轴方程为()342x k k Z ππ=+∈，函数是非奇非偶函数.（2）由余弦定理得222221211cos 222222a cb ac ac B ac ac ac +-+==-≥-=，当且仅当a c =时取等号，因为0B π<<，所以03B π<≤.（3）由()23,332f x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭03B π<≤，所以()233f B sin B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭03B π<≤，因为253339B πππ<+≤，2133sin B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭()1f B <≤+，所以()f B 的取值范围为12⎤+⎥⎦. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，正弦型函数的图象与性质，余弦定理，均值不等式，由角的范围求函数值域，属于中档题.10．（2018·上海普陀区·曹杨二中高一期中）已知函数()sin 210.3f x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，＞ (1)当12ω=时,求函数()f x 的单调递减区间； (2)对于(]x a a a π∈+，，为任意实数，关于x 的方程()1f x =-恰好有两个不等实根，求实数ω的值；(3)在(2)的条件下,若不等式()1f x t +＜在03x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，内恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）72,2()66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）1；（3） (0,1). 【分析】（1）当12ω=时,写出函数解析式，由正弦型函数性质可求解（2）由题意可知sin 203x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭在(]x a a a π∈+，，为任意实数，有两不等实根，知其周期为π，即可求解（3）求出()f x 的值域，原不等式可转化为1()1t f x t --<<-恒成立，()f x 的值域是(1,1)t t ---的子集即可.【详解】（1）当12ω=时，()sin 13f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令322232k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，解得722,66k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递减区间为72,2()66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为对于(]x a a a π∈+，，为任意实数，关于x 的方程()1f x =-恰好有两个不等实根，所以sin 203x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭在(]x a a a π∈+，，为任意实数，有两不等实根，所以22T ππω==,即1ω=. （3）因为()sin 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，03x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以233x πππ≤+≤，0sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故1()0f x -≤≤，又因为()1f x t +＜恒成立，所以1()1t f x t --<<-恒成立，所以1110t t --<-⎧⎨->⎩，解得01t <<.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的单调性，周期，值域，绝对值不等式恒成立，属于难题.11．（2019·上海杨浦区·复旦附中高一期末）设函数()5sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，(0,)2πϕ∈.（1）设2ω=，若函数()f x 的图象的一条对称轴为直线35x π=，求ϕ的值；（2）若将()f x 的图象向左平移2π个单位，或者向右平移π个单位得到的图象都过坐标原点，求所有满足条件的ω和ϕ的值；（3）设4ω=，6π=ϕ，已知函数()()3F x f x =-在区间[0,6]π上的所有零点依次为123,,,,n x x x x ，且1231n n x x x x x -<<<<<，*n N ∈，求123212222n n n x x x x x x --+++++的值.【答案】（1）310π；（2）643n ω+=，13ϕπ=；（3）3913π 【分析】（1）根据对称轴对应三角函数最值以及(0,)2πϕ∈计算ϕ的值；（2）根据条件列出等式求解ω和ϕ的值；（3）根据图象利用对称性分析待求式子的特点，然后求值. 【详解】（1）()5sin(2)f x x ϕ=+，因为35x π=是一条对称轴，36()2sin()55f ππϕ=+对应()f x 最值；又因为(0,)2πϕ∈，所以6617()(,)5510πππϕ+∈，所以63()52πϕπ+=，则310πϕ=；（2）由条件知：5sin((0))025sin((0))0πωϕωπϕ⎧++=⎪⎨⎪-+=⎩ ，可得1122,2,k k Z k k Zπωϕππωϕπ⎧+=∈⎪⎨⎪-+=∈⎩，则1212(2)(,)3k k k k Z πϕ+=∈，又因为(0,)2πϕ∈，所以3πϕ=，则1122,23,3k k Z k k Zππωπππωπ⎧+=∈⎪⎪⎨⎪-+=∈⎪⎩，故有：112262,313,3k k Z k k Z ωω-⎧=∈⎪⎪⎨-⎪=∈⎪⎩，当2k 为奇数时，令221()k m m Z =-∈，所以 13(21)46,33m mm Z ω---==∈，当2k 为偶数时，令22()k m m Z =∈，所以13(2)16,33m m m Z ω--==∈，当11k m +=-时，1116(1)26446(,)333k k m m k Z +-+-==∈，又因为0>ω，所以64()3n n N ω+=∈；（3）分别作出()f x （部分图像）与35y =图象如下：因为242T ππ==，故[0,6]π共有12个T ；记()f x 对称轴为(1,2,3...,23)i x a i ==，据图有：1212x x a +=，2322x x a +=，3432x x a +=，......，232423x x a +=，则12321122322222(...)n n n x x x x x x a a a --+++++=+++，令4,62x k k Z πππ+=+∈，则,412k x k Z ππ=+∈，又因为[0,6]x π∈，所以[0,23]k ∈，由于()f x 与35y =仅在前半个周期内有交点，所以max 22k =，则1232101221139122222(...)223444123n n n x x x x x x πππ--+++++=++++⋅⋅=.【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合运用，难度较难.对于三角函数零点个数问题，可将其转化为函数图象的交点个数问题，通过数形结合去解决问题会更方便.12．（2019·上海中学高一期中）已知函数()()()sin 20f x x φφπ=+＜＜，其图像的一个对称中心是012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，，将()f x 的图像向左平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图像．(1)求函数()g x 的解析式；(2)若对任意[]120x x t ∈，，，当12x x ＜时，都有()()()()1212f x f x g x g x --＜，求实数t 的最大值；(3)若对任意实数()()0a y g x ωω=，＞在4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，上与直线12y 的交点个数不少于6个且不多于10个，求正实数ω的取值范围．【答案】（1）()5sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）4π；（3）[)12,20. 【分析】（1）由图像的一个对称中心是012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，列方程012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭即可求得6π=ϕ，即可求得()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用平移规律得()3g x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，问题得解．（2）由题可得()()f x g x -在[]0,t 上单调递增，求得()()f x g x -的增区间为(),44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，利用[]()0,,44t k k k Z ππππ⎡⎤⊆-+∈⎢⎥⎣⎦即可求得0,4t π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，问题得解．（3）()y g x ω=的最小正周期为T πω=，由题可得：4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，的区间长度满足3454T T ππ⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解不等式即可．【详解】（1）由题意，得sin 0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得()6k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，∴6π=ϕ， ∴()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，从而()3g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5sin 2sin 2366x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2）对任意[]12,0,x x t ∈，且12x x <，()()()()()()()()12121122f x f x g x g x f x g x f x g x -<-⇒-<-，即()()f x g x -在[]0,t 上单调递增，()()5sin 2sin 266f x g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易得其单调增区间为(),44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，由于[]()0,,44t k k k Z ππππ⎡⎤⊆-+∈⎢⎥⎣⎦，∴当0k =时，[]0,,44t ππ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦，从而0,4t π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∴实数t 的最大值为4π；（3）()5sin 26y g x x πωω⎛⎫==+⎪⎝⎭，其最小正周期为22T ππωω==，而区间,4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的长度为4π，要满足题意，则3454T T ππ⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，∴2012T πππω<=≤，解得[)12,20ω∈. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象特点及函数图象平移规律，还考查了函数单调性概念及求三角函数的增区间知识，考查复合函数的单调性规律，属于难题． 13．（2017·上海松江区·高一期末）若函数()f x 满足()32f x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭且()44f x f x x R ππ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则称函数()f x 为“M 函数”．（1）试判断()4sin3f x x =是否为“M 函数”，并说明理由；（2）函数()f x 为“M 函数”，且当,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，求()y f x =的解析式，并写出在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（3）在(2)的条件下，当()3,22k x k N πππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()(f x a a =为常数)有解，记该方程所有解的和为()S k ，求()S k ．【答案】（1）不是“M 函数”；（2）,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）()()()()222341,(01)223341,423411k k a a S k k k a k k a πππ⎧++≤<=⎪⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪++<<⎪⎪⎩.【分析】()1由不满足()44f x f x x R ππ⎛⎫⎛⎫+≠-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得()4sin 3f x x =不是“M 函数”，()2可得函数()f x 的周期32T π=，()()2f x f x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭， ①当33,242x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()33sin 22f x f x k x k ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ②当33,2224x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时，()33cos 222f x f x k x k πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间：,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()3由()2可得函数()f x 在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，根据图象可得：①当02a ≤<或1时，()(f x a a =为常数)有2个解，其和为2π②当2a =时，()(f x a a =为常数)有3个解，其和为34π．③1a <<时，()(f x a a =为常数)有4个解，其和为π 即可得当()3,22k x k N πππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时，记关于x 的方程()(f x a a =为常数)所有解的和为()S k ，【详解】()()41sin3f x x =不是“M 函数”． 44sin sin 43433f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，44sin sin 43433f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()44f x f x x R ππ⎛⎫⎛⎫∴+≠-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()4sin3f x x ∴=不是“M 函数”． ()2函数()f x 满足()32f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的周期32T π=()44f x f x x R ππ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2f x f x x R π⎛⎫∴=-∈ ⎪⎝⎭， ①当33,242x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()33sin 22f x f x k x k ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②当33,2224x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时，()33cos 222f x f x k x k πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()333,22224333,2242cos x k k x k f x sin x k k x k ππππππππππ⎧⎛⎫⎛⎫--≤≤+ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴=⎨⎛⎫⎛⎫⎪-+≤≤+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间：,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ()3由()2可得函数()f x 在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象为：①当0a ≤<或1时，()(f x a a =为常数)有2个解，其和为2π.②当2a =时，()(f x a a =为常数)有3个解，其和为34π．③当12a <<时，()(f x a a =为常数)有4个解，其和为π ∴当()3,22k x k N πππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时，记关于x 的方程()(f x a a =为常数)所有解的和为()S k ，则()()()()222341,(01)223341,43411k k a a S k k k a k k a πππ⎧++≤<=⎪⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪++<<⎪⎪⎩．【点睛】本题考查了三角函数的图象、性质，考查了三角恒等变形，及三角函数型方程问题，属于难题．14．（2015·上海金山区·高一期中）某种波的传播是由曲线()sin()(0)f x A x A ωϕ=+>来实现的，我们把函数解析式()sin()f x A x ωϕ=+称为“波”，把振幅都是A 的波称为“ A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波11()sin()f x x ϕ=+与22()sin()f x x ϕ=+叠加后仍是“1类波”，求12ϕϕ-的值；（2）在“A 类波“中有一个波是，从A 类波中再找出两个不同的波（每两个波的初相ϕ都不同），使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后是0y =，并说明理由．【答案】（1）1222,3k k Z πϕϕπ-=±∈（2）2324()sin(),()sin(),33f x A x f x A x ππ=+=+ 试题分析：（1）将两函数式相加化简找到最大值为1，建立关于12,ϕϕ的关系式，进而求得角12ϕϕ-的大小；（2）中首先设出所找的波，采用待定系数法，将三个不同的波叠加化简后与0y =对比，找到满足的条件，求出对应的ϕ值，从而确定所求的波试题解析：（1）1212()()sin()sin()f x f x x x ϕϕ+=+++1212(cos cos )sin (sin sin )cos x x ϕϕϕϕ=+++=1=，即121cos(),2ϕϕ-=-所以1222,3k k Z πϕϕπ-=±∈ （2）设2132()sin(),()sin(),f x A x f x A x ϕϕ=+=+则12312()()()sin sin()sin()f x f x f x A x A x A x ϕϕ++=++++ =1212sin (1cos cos )cos (sin sin )0A x A x ϕϕϕϕ++++=恒成立则12121cos cos 0{sin sin 0ϕϕϕϕ++=+=，消去2ϕ可得11cos 2ϕ=-若取12,3πϕ=可取243πϕ=（或223πϕ=-等）此时12312()()()sin sin()sin()0f x f x f x A x A x A x ϕϕ++=++++=是平波考点：1．三角函数式的化简；2．三角函数求最值15．（2019·上海市实验学校高一期末）已知对任意x R ∈，cos cos210a x b x ++≥恒成立（其中0b >），求的最大值.【答案】+a b 的最大值为2.试题分析：利用二倍角公式2cos 22cos 1x x =-，利用换元法()cos 11t x t =-≤≤，将原不等式转化为二次不等式2210bt at b ++-≥在区间[]1,1-上恒成立，利用二次函数的零点分布进行讨论，从而得出+a b 的最大值，但是在对01b <≤时的情况下，主要对二次函数的对称轴4at b=-是否在区间[]1,1-进行分类讨论，再将问题转化为2288a b b ≤-的条件下，求+a b 的最大值，试题解析：由题意知，令cos x t =，[]1,1t ∈-，则当()2210f t bt at b =++-≥，[]1,1t ∈-恒成立，开口向上，①当1b >时，()010f b =-<，不满足()2210f t bt at b =++-≥，[]1,1t ∈-恒成立，②当01b <≤时，则必有()()()1101{{11101f a b a b a b f b a a b =++≥≥-+⇒⇒≤+-=-+≥≤+（1）当对称轴[]1,14at b=-∉-时，即14a b ≥，也即4a b ≥时，有41b a b ≤≤+，则13b ≤，413a b ≤+≤，则53a b +≤，当43a =，13b =时，()max 53a b +=. 当对称轴[]1,14at b=-∈-时，即14a b ≤，也即4a b ≤时，则必有()2810a b b ∆=--≤，即()228188a b b b b ≤-=-，又由（1）知()221a b ≤+，则由于()()()2222188961310b b b b b b +--=-+=-≥，故只需2288a b b ≤-成立即可，问题转化为2288a b b ≤-的条件下，求+a b 的最大值，然后利用代数式的结构特点或从题干中的式子出发，分别利用三角换元法、导数法以及柯西不等式法来求+a b 的最大值.法一：（三角换元）把条件配方得：2214122a b ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，()cos {011sin 2a r r b θθ=≤≤+=，所以()sin 13131cos sin 2222222r a b r r θθθϕ+=++=++≤+≤， ()max 2a b ∴+=；法二：（导数）令则即求函数的导数,椭圆的上半部分；法三：（柯西不等式）由柯西不等式可知：，当且仅当,即及时等号成立.即当时，+a b 最大值为2.综上可知.考点：1.二倍角；2.换元法；3.二次不等式的恒成立问题；4.导数；5.柯西不等式 16．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且直线2x π=-是其图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A B C <<，cos a B =，若C 角满足()1f C =-，求a b c ++的取值范围；（3）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数R λ∈，*n N ∈，且函数()()()F x f x g x λ=+在(0,)n π内恰有2021个零点，求常数λ与n 的值．【答案】（1）()cos2f x x =；（2）()1；（3）1λ=-，1347n =. 【分析】（1）由函数的周期公式可求出ω的值，求出函数()y f x =的对称轴方程，结合直线2x π=-为一条对称轴结合ϕ的范围可得出ϕ的值，于此得出函数()y f x =的解析式；（2）由()1f C =-得出2C π=，再由cos a B =结合锐角三角函数得出1c =，利用正弦定理以及内角和定理得出14a b c A π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，由条件得出04A π<<，于此可计算出a b c ++的取值范围；（3）令()0F x =，得22sin sin 10x x λ--=，换元得出[]sin 1,1t x =∈-，得出方程2210t t λ--=，设该方程的两根为1t 、2t ，由韦达定理得出1212t t =-，分（ii ）101t <<、202t <<；（ii ）11t =，2102t -<<；（iii ）11t =-，2102t <<三种情况讨论，计算出关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在一个周期区间()0,2π上的实根个数，结合已知条件得出λ与n 的值. 【详解】（1）由三角函数的周期公式可得22πωπ==，()()sin 2f x x ϕ∴=+，令()22x k k Z πϕπ+=+∈，得()422k x k Z πϕπ=-+∈，由于直线2x π=-为函数()y f x =的一条对称轴，所以，()2422k k Z ππϕπ-=-+∈，得()32k k Z πϕπ=+∈，由于0ϕπ<<，1k ∴=-，则2ϕπ=，因此，()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；（2）A B C <<，由三角形的内角和定理得3A B C C π=++<，3C ππ∴<<.()cos21f C C ==-，且2223C ππ<<，2C π∴=，2C π∴=. cos cos sin 2B A A π⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，由cos a B =，得sin a A =，由锐角三角函数的定义得sin a A c =，1sin ac A∴==，由正弦定理得1sin sin b a B A ==，sin sin cos 2b B A A π⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，sin cos 114a b c A A A π⎛⎫∴++=++=++ ⎪⎝⎭，2C π=，且22A B A π+=>，04A π∴<<，442A πππ∴<+<，sin 124A π⎛⎫∴<+< ⎪⎝⎭.21a b c ∴<++<，因此，a b c ++的取值范围是()1；（3）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到函数cos 2cos 2sin 242y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为()sin g x x =，()()()2cos2sin 2sin sin 1F x f x g x x x x x λλλ=+=+=-++，令()0F x =，可得22sin sin 10x x λ--=，令[]sin 1,1t x =∈-，得2210t t λ--=，280λ∆=+>，则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根1t 、2t ，则1212t t =-，则1t 、2t 异号，（i ）当101t <<且201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()()0,n n N π*∈均有偶数个根，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()0,n n N π*∈也有偶数个根，不合乎题意；（ii ）当11t =，则2102t -<<，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1367ππ上只有一个根，在区间()1367,1368ππ上无实解，方程2sin x t =在区间()1346,1367ππ上无实数解，在区间()1367,1368ππ上有两个根，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2020个根，在区间()0,1348π上有2022个根，不合乎题意；（iii ）当11t =-时，则2102t <<，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1367ππ上无实数根，在区间()1367,1368ππ上只有一个实数根，方程2sin x t =在区间()1346,1367ππ上有两个实数解，在区间()1367,1368ππ上无实数解，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2021个根，在区间()0,1348π上有2022个根，此时，()()2211110λλ⨯--⨯--=+=，得1λ=-.综上所述：1λ=-，1347n =.【点睛】本题考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式，以及三角形中的取值范围问题，以及三角函数零点个数问题，同时也涉及了复合函数方程解的个数问题，考查分类讨论思想的应用，综合性较强，属于难题.17．（2017·上海市实验学校高一期中）已知函数()()sin2R x x f xπ=∈，任取t R ∈，若函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，记()()()g t M t m t =-. （1）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当[]2,0t ∈-时，求函数()g t 的解析式；（3）设函数()2x kh x -=，()28H x x x k k =-+-，其中k 为参数，且满足关于t的不等式()40g t -≤有解，若对任意[)14,x ∈+∞，存在(]2,4x ∈-∞，使得()()21h x H x =成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）4T =，21x k =+(k Z ∈)；（2）()[]3sin 1,2,223cos 1,,122cos sin ,1,022t t g t t t t t t ππππ⎧⎡⎫+∈--⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎫=+∈--⎨⎪⎢⎣⎭⎪⎪-∈-⎪⎩. （3）7,2k ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.【分析】(1)根据正弦型函数()f x 的解析式求出它的最小正周期和对称轴方程；(2)分类讨论32,2t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭、3,12t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭、[]1,0t ∈-时，求出对应函数()g t 的解析式；(3)根据()f x 的最小正周期求出函数()g t 的最小正周期，研究函数()g t 在一个周期内的性质，求出()g t 的解析式，画出()g t()40g t -≤求出k 的取值范围，再把“若对任意[)14,x ∈+∞，存在(]2,4x ∈-∞，使得()()21h x H x =成立”转化为“()H x 在[)4,+∞上的值域是()h x 在(],4-∞上的值域的子集”，从而求出k 的取值范围. 【详解】(1)函数()f x 的最小正周期为242T ππ==，令()22x k k Z πππ=+∈，解得对称轴为21()x k k Z =+∈；(2)①当3[2,)2t ∈--时，在区间[],1t t +上，()()sin2M t f t t π==，()(1)1m t f =-=-，所以()()()1sin2g t M t m t t π=-=+②当3[,1)2t ∈--时，在区间[],1t t +上，()(1)sin[(1)]cos22M t f t t t ππ=+=+=，()(1)1m t f =-=-，所以()()()1cos2g t M t m t t π=-=+，③当[1,0]t ∈-时，在区间[],1t t +上，()(1)sin[(1)]cos22M t f t t t ππ=+=+=，()()sin2m t f t t π==，所以()()()cossin22g t M t m t t t ππ=-=-，所以当[]2,0t ∈-时，()[]3sin 1,2,223cos 1,,122cos sin ,1,022t t g t t t t t t ππππ⎧⎡⎫+∈--⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎫=+∈--⎨⎪⎢⎣⎭⎪⎪-∈-⎪⎩；(3)因为函数()f x 的最小正周期为4，所以()4(),(4)()M t M t m t m t +=+=，所以(4)(4)(4)()()()g t M t m t M t m t g t +=+-+=-=即函数()g t 的周期为4，由(2)可得3sin1,2,223cos1,,122cos sin,[1,0)22()11sin,[0,)2211cos,[,1)22sin cos,[1,2]22t tt tt t tg tt tt tt t tππππππππ⎧⎡⎫+∈--⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎫+∈--⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪-∈-⎪=⎨⎪-∈⎪⎪⎪-∈⎪⎪⎪-∈⎩，画出函数()g t的部分图像如图所示，函数()g t的值域为[12-，()40g t-≤max4()g t≤=，则4k≤，若对任意[)14,x∈+∞，存在(]2,4x∈-∞，使得()()21h x H x=成立，则()H x在[)4,+∞上的值域是()h x在(],4-∞上的值域的子集，()2,22,x kx kk xx kh xx k---⎧≥==⎨<⎩，当4k≤时，()h x在(,)k-∞上单调递减，在(,4]k上单调递增，所以min()()1h x h k==，因为()28H x x x k k=-+-在[)4,+∞上单调递增，所以min()(4)82H x H k==-，所以821k-≥，即72k≤.【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，涉及周期性、对称性与单调性，考查不等式恒成立问题，分段函数的单调性与值域，属于难题.。

专题12 三角函数(全题型压轴题)-2024年高考数学压轴专题复习(学生版)

.
6．（2023 春·上海普陀·高一上海市宜川中学校考期中）将函数 y 3sin 2x+ 0 π 的图像向左平移 π 个
6
单位后得到函数 y g x ，若函数 y g x 是 R 上的偶函数，则
．
③三角函数零点问题（解答题）
1．（2023 春·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知函数
4．（2023 春·四川成都·高一统考期末）已知函数 f x 3 sin x cos x 1 sin 4 x cos4 x 1 x R ，函数 2
y f x 的图象向左平移 π 个单位，再向上平移 1 个单位得到 y g x 的图象，
6
h x cos x cos x 3m mmR .
3
sin
x
π 6
0
的图象上相邻两个最高点
的距离为 π ．
(1)求函数 f x 的图象的对称轴；
(2)若函数
y
f
x
m
在
0,
π 2
内有两个零点
x1
,
x2
，求
m
的取值范围及 cos x1
x2
的值．
7．（2023
春·江西·高一统考期末）已知函数
f
x 2cos2xcos cos
2sinxcosxsin
B．
π 2
,
17π 24
C．
7π 24
,
19π 24
D．
7π 24
,
17π 24
5．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知定义在
R
上的奇函数
f
(x)
与偶函数
g(x)
满足
f
(x)

上海高中数学三角函数大题压轴题练习

三角函数大题压轴题练习1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =++-+221cos 22sin cos 22x x x x =++-1cos 22cos 222x x x =+- sin(2)6x π=-2T 2ππ==周期∴ 由2(),()6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3x k k Z ππ=+∈（2）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以当3x π=时，()f x 取最大值 1又1()()12222f f ππ-=-<=，当12x π=-时，()f x 取最小值2-所以函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[2．已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．解：（Ⅰ）1cos 2()sin 222x f x x ωω-=+11sin 2cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解：（Ⅰ）由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 12sin()1,sin().662A A ππ-=-=由A 为锐角得 ,663A A πππ-==（Ⅱ）由（Ⅰ）知1cos ,2A =所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x s x =+=-+=--+因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值32.当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，4.已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．【解析】（1）依题意有1A =，则()s i n ()f x x ϕ=+，将点1(,)32M π代入得1sin()32πϕ+=，而0ϕπ<<，536πϕπ∴+=，2πϕ∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=；（2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2παβ∈，45sin ,sin 513αβ∴====，3124556()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=。

上海市2024年高考二模分类汇编：三角函数

三角函数汇编一、题型一：三角函数1．（2024·上海徐汇·二模）已知函数()y f x =，其中()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，实数0ω>，下列选项中正确的是（）A ．若2ω=，函数()y f x =关于直线5π12x =对称B ．若12ω=，函数()y f x =在[]0,π上是增函数C ．若函数()y f x =在[]π,0-上最大值为1，则43ω≤D ．若1ω=，则函数()y f x =的最小正周期是2π2．（2024·上海奉贤·二模）已知函数()y f x =，其中21y x =+，()y g x =，其中()4sin g x x =，则图象如图所示的函数可能是（）．A ．()()g x y f x =B ．()()f x yg x =C ．()()1y f x g x =+-D ．()()1y f x g x =--3．（2024·上海闵行·二模）已知()sin f x x =，集合[,]22D ππ=-，()()()Γ{,|20,,}x y f x f y x y D =+=∈，()()()Ω{,|20,,}x y f x f y x y D =+≥∈.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）命题①：集合Γ表示的平面图形是中心对称图形；命题②：集合Ω表示的平面图形的面积不大于2512π.A ．①真命题；②假命题B ．①假命题；②真命题C ．①真命题；②真命题D ．①假命题；②假命题4．（2024·上海嘉定·二模）已知函数()()y f x x =∈R 的最小正周期是1T ，函数()()y g x x =∈R 的最小正周期是2T ，且()121T kT k =>，对于命题甲：函数()()()y f x g x x =+∈R 可能不是周期函数；命题乙：若函数()()()y f x g x x =+∈R 的最小正周期是3T ，则31T T ≥．下列选项正确的是（）A ．甲和乙均为真命题B ．甲和乙均为假命题C ．甲为真命题且乙为假命题D ．甲为假命题且乙为真命题5．（2024·上海松江·二模）已知点A 的坐标为12⎛ ⎝⎭，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π2至OP ，则点P 的坐标为.6．（2024·上海崇明·二模）已知实数1212,,,x x y y 满足：2222112212121,1,1x y x y x y y x +=+=-=，则112222x y x y +-++-的最大值是．7．（2024·上海奉贤·二模）函数sin()y wx ϕ=+π0,2w ϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图像记为曲线F ，如图所示.A ，B ，C 是曲线F 与坐标轴相交的三个点，直线BC 与曲线F 的图像交于点M ，若直线AM 的斜率为1k ，直线BM 的斜率为2k ，212k k ≠，则直线AB 的斜率为.(用1k ，2k 表示)8．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段,CE DF 与分别以,OC OD 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点,C D 是线段AB 上的动点，点O 为线段,AB CD 的中点，点,E F 在以AB 为直径的半圆弧上，且,OCE ∠ODF ∠均为直角.若1AB =百米，则此步道的最大长度为百米.9．（2024·上海闵行·二模）始边与x 轴的正半轴重合的角α的终边过点(3,4)-，则sin(π)α+=.10．（2024·上海虹口·二模）已知集合{}2|tan 0,0x A x x B x x ⎧⎫-=<=≤⎨⎬⎩⎭，则A B = .11．（2024·上海黄浦·二模）若(3cos ,sin )a θθ= ，(cos ,3sin )b θθ= ，其中R θ∈，则a b ⋅=.12．（2024·上海青浦·二模）已知向量()1,1a =- ，()3,4b = ，则,a b <>=．13．（2024·上海闵行·二模）已知定义在0+∞（,）上的函数()y f x =的表达式为()sin cos f x x x x =-，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列{}n x （1,N n n ≥∈）.(1)求函数()y f x =在区间()0,π上的值域；(2)求证：函数()y f x =在区间()()π,1πn n +（1,N n n ≥∈）上有且仅有一个零点；(3)求证：()11ππn n n x x n++<-<.14．（2024·上海金山·二模）已知函数()y f x =，记()()sin f x x ωϕ=+，0ω>，0πϕ<<，x ∈R .(1)若函数()y f x =的最小正周期为π，当(1π6f =时，求ω和ϕ的值；(2)若1ω=，π6ϕ=，函数2()2()y f x f x a =--有零点，求实数a 的取值范围.15．（2024·上海青浦·二模）若无穷数列{}n a 满足：存在正整数T ，使得n T n a a +=对一切正整数n 成立，则称{}n a 是周期为T 的周期数列．(1)若ππsin 3n n a m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中正整数m 为常数，N,1n n ∈≥），判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(2)若1sin (N,1)n n n a a a n n +=+∈≥，判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(3)设{}n b 是无穷数列，已知1sin (N,1)n n n a b a n n +=+∈≥．求证：“存在1a ，使得{}n a 是周期数列”的充要条件是“{}n b 是周期数列”．二、题型二：三角恒等变换16．（2024·上海虹口·二模）设()sin23cos2f x x x =，将函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数()y g x =的图像，则（）A ．函数()y g x =是偶函数B ．函数()y g x =的图像关于直线π2x =对称C ．函数()y g x =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格增函数D ．函数()y g x =在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,2⎡⎤-⎣⎦17．（2024·上海静安·二模）函数2sin cos (R)y x x x =-∈的最小正周期为（）A ．2πB ．πC ．3π2D ．π218．（2024·上海长宁·二模）直线230x y --=与直线350x y --=的夹角大小为．19．（2024·上海嘉定·二模）已知()22sin cos f x x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的最小值为．20．（2024·上海崇明·二模）已知A 、B 、C 是半径为1的圆上的三个不同的点，且AB = ，则AB AC ⋅的最小值是．21．（2024·上海奉贤·二模）已知[]0,πα∈，且2cos 23cos 5αα-=，则α=．22．（2024·上海杨浦·二模）已知实数a 满足：①[0,2π)a ∈；②存在实数,(2π)b c a b c <<<，使得a ，b ，c 是等差数列，cos b ，cos a ，cos c 也是等差数列.则实数a 的取值范围是.23．（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程(e e )2xx ccc y -+=，其中c 为参数.当1c =时，就是双曲余弦函数()e e ch 2x xx -+=，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：22sin cos 1x x +=；②两角和公式：()cos cos cos sin sin x y x y x y +=-，③导数：(sin )cos ,(cos )sin ,x x x x =⎧⎨=-''⎩定义双曲正弦函数()e e sh 2x xx --=．(1)直接写出()sh x ，()ch x 具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；(2)当0x >时，双曲正弦函数()y x =sh 的图像总在直线y kx =的上方，求直线斜率k 的取值范围；(3)无穷数列{}n a 满足1a a =，2121n n a a +=-，是否存在实数a ，使得202454a =？若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.24．（2024·上海长宁·二模）某同学用“五点法”画函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx∆π65π122π311π12()sin x ωϕ+01∆1-0(1)请在答题卷上将上表Δ处的数据补充完整，并直接写出函数()y f x =的解析式；(2)设()()()2ππ1,0,0,22g x f x f x f x x ωϕ⎛⎫⎛⎫⎡⎤===+-∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，求函数()y g x =的值域；25．（2024·上海青浦·二模）对于函数()y f x =，其中()22sin cos f x x x x =+-x ∈R ．(1)求函数()y f x =的单调增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，若()1f A =，2AB AC ⋅=，求ABC 的面积．26．（2024·上海嘉定·二模）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，221cos sin 2B B -=-．(1)求角B ，并计算πsin 6B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)若3b =ABC 是锐角三角形，求2a c +的最大值．27．（2024·上海静安·二模）在 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3a =，5b =，7c =．(1)求角C 的大小；(2)求sin()A C +的值．28．（2024·上海闵行·二模）在锐角ABC 中，角、、A B C 所对边的边长分别为a b c 、、，且2sin 30b A a =.(1)求角B ；(2)求sin sin A C +的取值范围.29．（2024·上海松江·二模）设2()sin3sin(0)222f x x x x ωωωω=>，函数()y f x =图象的两条相邻对称轴之间的距离为π．(1)求函数()y f x =的解析式；(2)在ABC 中，设角A 、B 及C 所对边的边长分别为a 、b 及c ，若3a =2b =，3()2f A =，求角C ．三、题型三：解三角形30．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻t ，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻t 最可能为（）太阳高度角时间太阳高度角时间43.13°08:3068.53°10:3049.53°09:0074.49°11:0055.93°09:3079.60°11:3062.29°10:0082.00°12:00A ．09:00B ．10:00C ．11:00D ．12:0031．（2024·上海嘉定·二模）已知()11,OA x y =，()22,OB x y =，且OA 、OB 不共线，则OAB 的面积为（）A ．121212x x y y -B ．122112x y x y -C ．121212x x y y +D ．122112x y x y +32．（2024·上海虹口·二模）已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，则这个三角形外接圆的直径为.33．（2024·上海徐汇·二模）如图所示，已知ABC 满足8,3BC AC AB ==，P 为ABC 所在平面内一点.定义点集13,3D P AP AB λλλ⎧⎫-==+∈⎨⎬⎩⎭R .若存在点0P D ∈，使得对任意P D ∈，满足0||||AP AP ≥ 恒成立，则0||AP的最大值为.34．（2024·上海徐汇·二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道12,l l 相交于点O ，一根长度为8的直杆AB 的两端点,A B 分别在12,l l 上滑动（,A B 两点不与O 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点P 满足OP AB ⊥，则OAP △面积的取值范围是.35．（2024·上海徐汇·二模）在ABC 中，1AC =，2π3C ∠=，π6A ∠=，则ABC 的外接圆半径为.36．（2024·上海闵行·二模）双曲线22:16y x Γ-=的左右焦点分别为12F F 、，过坐标原点的直线与Γ相交于A B 、两点，若112F B F A =，则22F A F B ⋅=.37．（2024·上海虹口·二模）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，且60BAD ∠= .若12AB AA ==，点M 为棱1CC 的中点，点P 在1A B 上，则线段,PA PM 的长度和的最小值为.38．（2024·上海黄浦·二模）在ABC 中，3cos 5A =-，1AB =，5AC =，则BC =.39．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段BC 、CD 是救生栈道的一部分，其中300BC m =，800CD m =，B 在A 的北偏东30︒方向，C 在A 的正北方向，D 在A 的北偏西80︒方向，且90B Ð=°．若救生艇在A 处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道B C D --，则最短距离为m ．(结果精确到1m)40．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点分别为1F 、2F ，M 为双曲线上一点，若122π3F MF ∠=，213OM =，则双曲线的离心率为.41．（2024·上海普陀·二模）设函数()sin()f x x ωϕ=+，0ω>，0πϕ<<，它的最小正周期为π.(1)若函数π12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数，求ϕ的值；(2)在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2a =，π6A =，324B f c ϕ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，求b 的值.42．（2024·上海杨浦·二模）已知()sin (0)f x x ωω=>.(1)若()y f x =的最小正周期为2π，判断函数)()()π(2F x f x f x =++的奇偶性，并说明理由；(2)已知2ω=，ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若π()03f A +=，2a =，3b =，求c 的值.参考答案一、题型一：三角函数1．（2024·上海徐汇·二模）已知函数()y f x =，其中()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，实数0ω>，下列选项中正确的是（）A ．若2ω=，函数()y f x =关于直线5π12x =对称B ．若12ω=，函数()y f x =在[]0,π上是增函数C ．若函数()y f x =在[]π,0-上最大值为1，则43ω≤D ．若1ω=，则函数()y f x =的最小正周期是2π2．（2024·上海奉贤·二模）已知函数()y f x =，其中21y x =+，()y g x =，其中()4sin g x x =，则图象如图所示的函数可能是（）．A ．()()g x y f x =B ．()()f x yg x =C ．()()1y f x g x =+-D ．()()1y f x g x =--【答案】A【分析】根据函数图象和()(),f x g x 的奇偶性判断.【详解】易知()21f x x =+是偶函数，()4sin g x x =是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数，A.()()()24sin 1g x xy h x f x x ==+=，定义域为R ，又()()()()224si 11n 4sin x xh x h x x x =+--+-=-=-，所以()h x 是奇函数，符合题意，故正确；B.()()24n 1si f x y g x x x+==，π,Z x k k ≠∈，不符合图象，故错误；C.()()()2214sin 14si1n y h x f x g x x x x x ++==+-=-=+，定义域为R ，但()()()(),h x h x h x h x -≠-≠-，故函数是非奇非偶函数，故错误；D.()()()2214sin 14si 1n y h x f x g x x xx x +-==--=-=-，定义域为R ，但()()()(),h x h x h x h x -≠-≠-，故函数是非奇非偶函数，故错误，故选：A3．（2024·上海闵行·二模）已知()sin f x x =，集合[,]22D =-，()()()Γ{,|20,,}x y f x f y x y D =+=∈，()()()Ω{,|20,,}x y f x f y x y D =+≥∈.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）命题①：集合Γ表示的平面图形是中心对称图形；命题②：集合Ω表示的平面图形的面积不大于2512π.A ．①真命题；②假命题B ．①假命题；②真命题C ．①真命题；②真命题D ．①假命题；②假命题代入点,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭可得2sin sin 2π+面积为正方形面积的一半，即集合故选：A.【点睛】方法点睛：确定不等式表示的区域范围第一步：得到等式对应的曲线；第二步：任选一个不在曲线上的点，若原点不在曲线上，一般选择原点，检验它的坐标是否符合不等式；第三步：如果符合，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的区域；若不符合，则另一侧区域为不等式所表示的区域.4．（2024·上海嘉定·二模）已知函数()()y f x x =∈R 的最小正周期是1T ，函数()()y g x x =∈R 的最小正周期是2T ，且()121T kT k =>，对于命题甲：函数()()()y f x g x x =+∈R 可能不是周期函数；命题乙：若函数()()()y f x g x x =+∈R 的最小正周期是3T ，则31T T ≥．下列选项正确的是（）A ．甲和乙均为真命题B ．甲和乙均为假命题C ．甲为真命题且乙为假命题D ．甲为假命题且乙为真命题【答案】C【分析】利用三角函数的周期性，选用特殊函数验证两个命题.【详解】函数()()y f x x =∈R 的最小正周期是1T ，函数()()y g x x =∈R 的最小正周期是2T ，且()121T kT k =>当()sin f x x =时，12πT =，()sin πg x x =时，22T =，满足条件，但函数()()sin sin πy f x g x x x =+=+就不是周期函数，命题甲正确；当()cos 2cos3f x x x =+时，12πT =，()cos 2g x x =-时，2πT =，满足条件，函数()()cos3y f x g x x =+=，32π3T =，有31T T <，命题乙错误.故选：C5．（2024·上海松江·二模）已知点A 的坐标为1322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π2至OP ，则点P 的坐标为.【答案】3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由题意可求π3xOA ∠=，5π326ππxOP ∠=+=，利用任意角的三角函数的定义即可求解．【详解】因为点A 的坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，可得π3xOA ∠=，6．（2024·上海崇明·二模）已知实数1212,,,x x y y 满足：2222112212121,1,1x y x y x y y x +=+=-=，则112222x y x y +-++-的最大值是．【答案】6【分析】根据已知条件及三角换元，利用三角方程的解法及三角函数的性质即可求解7．（2024·上海奉贤·二模）函数sin()y wx ϕ=+π0,2w ϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图像记为曲线F ，如图所示.A ，B ，C 是曲线F 与坐标轴相交的三个点，直线BC 与曲线F 的图像交于点M ，若直线AM 的斜率为1k ，直线BM 的斜率为2k ，212k k ≠，则直线AB 的斜率为.(用1k ，2k 表示)【答案】12122k k k k -【分析】根据正弦函数的图象与性质写出,,,A B C M 的坐标，求出12,,k k k ，然后确定它们的关系．【详解】由题意2π,Z C wx k k ϕ+=∈，2πC k x w ϕ-=，则2ππ,Z A wx k k ϕ+=+∈，2ππA k x wϕ+-=，(0,sin )B ϕ，由π2ϕ<得π02ϕ<<，则2(2π)(,sin )k M wϕϕ--，1sin 2ππw k k ϕϕ=-+，2sin 2πw k k ϕϕ=-，sin 2ππAB w k k ϕϕ=--，所以21211AB k k k -=，又212k k ≠，所以12122AB k k k k k =-，故答案为：12122k k k k -．8．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段,CE DF 与分别以,OC OD 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点,C D 是线段AB 上的动点，点O 为线段,AB CD 的中点，点,E F 在以AB 为直径的半圆弧上，且,OCE ∠ODF ∠均为直角.若1AB =百米，则此步道的最大长度为百米.【答案】2π42+【分析】设半圆步道直径为x 百米，连接,AE BE ，借助相似三角形性质用x 表示CE ，结合对称性求出步道长度关于x 的函数关系，利用导数求出最大值即得.【详解】设半圆步道直径为x 百米，连接,AE BE ，显然90AEB ∠= ，由点O 为线段,AB CD 的中点，得两个半圆步道及直道,CE DF 都关于过点O 垂直于AB 的直线对称，则11,22AC x BC x =-=+，又CE AB ⊥，则Rt ACE ∽Rt ECB V ，有2CE AC BC =⋅，即有214DF CE x ==-，因此步道长221()2π14π4f x x x x x =-+=-+，102x <<，求导得24()π14x f x x '=-+-，由()0f x '=，得2π2π4x =+，29．（2024·上海闵行·二模）始边与x 轴的正半轴重合的角α的终边过点(3,4)-，则sin(π)α+=.【答案】45/0.8【分析】结合三角函数的诱导公式，以及任意角的三角函数的定义，即可求解．10．（2024·上海虹口·二模）已知集合{}2|tan 0,0x A x x B x x ⎧⎫-=<=≤⎨⎬⎩⎭，则A B = .故答案为：π22x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.11．（2024·上海黄浦·二模）若(3cos ,sin )a θθ=，(cos ,3sin )b θθ=，其中R θ∈，则a b ⋅=.【答案】3【分析】利用平面向量数量积的坐标表示公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】223cos 3sin 3a b θθ⋅=+=，故答案为：312．（2024·上海青浦·二模）已知向量()1,1a =-，()3,4b = ，则,a b <>=．【答案】2arccos10【分析】由向量的数量积公式求两个向量的夹角即可.【详解】由向量的夹角公式得342cos ,1025a b a b a b⋅-+<>===⨯ ，又因为[],0,πa b <>∈ ，所以2,arccos 10a b <>= .故答案为：2arccos10.13．（2024·上海闵行·二模）已知定义在0+∞（,）上的函数()y f x =的表达式为()sin cos f x x x x =-，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列{}n x （1,N n n ≥∈）.(1)求函数()y f x =在区间()0,π上的值域；(2)求证：函数()y f x =在区间()()π,1πn n +（1,N n n ≥∈）上有且仅有一个零点；(3)求证：()11ππn n n x x n++<-<.【答案】(1)()0,π(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求得()f x 的导数，判断()f x 的单调性，可得所求值域；（2）讨论n 为奇数，或偶数时，()f x 的单调性，结合函数零点存在定理，可得证明；（3）由（2）可知函数()f x 在()()π,1πn n +（1,N n n ≥∈）上且仅有一个零点n x ，再由零点存在定理、以②因为()()112222133ππ3π22tan π1π2πn n n n n n n x x x x x x x n n n +++--+=<<=<+⋅由（1）可知，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan x x<故()()()11ππtan πn n n n x x x x n ++-+<-+<，所以1ππn n x x n+-<+；由①②可知()11ππn n n x x n++<-<.【点睛】关键点点睛：本题第三问，借助()f x 在()()π,1πn n +（1,N n n ≥∈）上且仅有一个零点n x ，利用正切函数的性质和不等式的性质求解.14．（2024·上海金山·二模）已知函数()y f x =，记()()sin f x x ωϕ=+，0ω>，0πϕ<<，x ∈R .(1)若函数()y f x =的最小正周期为π，当(1π6f =时，求ω和ϕ的值；(2)若1ω=，π6ϕ=，函数2()2()y f x f x a =--有零点，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2ω=，π6ϕ=(2)[1,3]a ∈-【分析】（1）利用三角函数的周期公式求得ω，再利用三角函数的值域与周期性求得ϕ，从而得解；（2）根据题意，利用换元法将问题转化为220t t a --=在[1,1]x ∈-有解，从而利用参变分离法或二次函数根的布分即可得解.【详解】（1）因为函数()y f x =的最小正周期2ππω=，所以2ω=，则当π6x =时，sin 13πϕ⎫⎛+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π(Z)32k k ϕ+=+∈，得π2π(Z)6k k ϕ=+∈，因为0πϕ<<，所以取0k =得π6ϕ=，（2）解法一：当1ω=，π6ϕ=时，()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，设()πsin [1,1]6t f x x ⎛⎫==+∈- ⎪⎝⎭，由题意得，220t t a --=在[1,1]x ∈-有解，化简得22a t t =-，又()22()211g t t t t =-=--在[1,1]t ∈-上单调递减，15．（2024·上海青浦·二模）若无穷数列{}n a 满足：存在正整数T ，使得n T n a a +=对一切正整数n 成立，则称{}n a 是周期为T 的周期数列．(1)若ππsin 3n n a m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中正整数m 为常数，N,1n n ∈≥），判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(2)若1sin (N,1)n n n a a a n n +=+∈≥，判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(3)设{}n b 是无穷数列，已知1sin (N,1)n n n a b a n n +=+∈≥．求证：“存在1a ，使得{}n a 是周期数列”的充要条件是“{}n b 是周期数列”．所以当()1πZ a k k =∈时，{}n a 是周期为1的周期数列，②当()1πZ a k k ≠∈时，记()sin f x x x =+，则1()n n a f a +=，()1cos 0f x x '=+≥，当且仅当()()1121πZ x k k =+∈时等号成立，即()1cos 0f x x =+>'，所以()f x 在R 上严格增，若12a a <，则12()()f a f a <，即23a a <，进而可得1234a a a a <<<< ，即{}n a 是严格增数列，不是周期数列；同理，若12a a >，可得{}n a 是严格减数列，不是周期数列．综上，当1π()a k k =∈Z 时，{}n a 是周期为1的周期数列；当1π()a k k ≠∈Z 时，{}n a 不是周期数列．（3）必要性：若存在1a ，使得{}n a 是周期数列，设{}n a 的周期为0T ，则00011sin sin n T n T n T n n n b a a a a b +++++=-=-=，所以{}n b 是周期为0T 的周期数列，充分性：若{}n b 是周期数列，设它的周期为T ，记1a x =，则10()a f x x==211()sin a f x b x ==+，是关于x 的连续函数；3221()sin ()a f x b f x ==+，是关于x 的连续函数；…1()T T a f x -=，是关于x 的连续函数；11sin ()T T T a b f x +-=+，令1()sin ()T T g x x b f x -=--，则()g x 是连续函数，且1(2)2sin ()0T T g b f x -+=->，1(2)2sin ()0T T g b f x --=--<，所以()g x 存在零点c ，于是1sin ()0T T c b f c ---=，取1a c =，则111sin ()T T T a b f c c a +-=+==，从而211112sin sin T T T a b a b a a +++=+=+=，322223sin sin T T T a b a b a a +++=+=+=，……一般地，n T n a a +=对任何正整数n 都成立，即{}n a 是周期为T 的周期数列．（说明：关于函数连续性的说明不作要求）【点睛】方法点晴：对于数列的新定义问题，解决问题的关键在于准确理解定义，并结合定义进行判断或转化条件.二、题型二：三角恒等变换16．（2024·上海虹口·二模）设()sin2f x x x =，将函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数()y g x =的图像，则（）A ．函数()y g x =是偶函数B ．函数()y g x =的图像关于直线π2x =对称C ．函数()y g x =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格增函数D ．函数()y g x =在π2,6π3⎡⎤⎢⎥上的值域为⎡⎤⎣⎦则()3,2g x ⎡⎤∈-⎣⎦，即函数()y g x =在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,2⎡⎤-⎣⎦，故D 正确.故选：D17．（2024·上海静安·二模）函数2sin cos (R)y x x x =-∈的最小正周期为（）A ．2πB ．πC ．3π2D ．π2【答案】A【分析】利用辅助角公式将函数化成()sin y A ωx φ=+的形式，代入周期公式可得结论.【详解】易知()2sin cos 5sin y x x x ϕ=-=+，其中1tan 2ϕ=-，由周期公式可得其最小正周期为2π2πT ω==.故选：A18．（2024·上海长宁·二模）直线230x y --=与直线350x y --=的夹角大小为．【答案】4π/45︒【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果.【详解】设直线230x y --=与直线350x y --=的倾斜角分别为,αβ，则1tan 2,tan 3αβ==，且[),0,παβ∈，所以αβ>，因为()12tan tan 3tan 121tan tan 13αβαβαβ---===++，所以π4αβ-=，即两条直线的夹角为π4，故答案为：π4.19．（2024·上海嘉定·二模）已知()sin cos f x x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪，则函数()y f x =的最小值为．【答案】42【分析】令πsin cos 2sin()4t x x x =+=+，可求t 的范围，利用同角的基本关系对已知函数化简计算，结合函数的单调性即可求解.【详解】由题意知，222(sin cos )()sin cos sin cos x x f x x x x x+=+=，20．（2024·上海崇明·二模）已知A、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且AB=，则AB AC⋅的最小值是．所以πcos 32sin cos 3AB AC bc A A A⎛⎫⋅==⨯-⨯ ⎪⎝⎭3123cos sin cos 22A A A ⎛⎫=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭23cos 3sin cos A A A=-()31cos 23sin 222A A+=-π33sin 232A ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππ2,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则AB AC ⋅无最值；综上所述，AB AC ⋅ 的最小值是332-故答案为：332-21．（2024·上海奉贤·二模）已知[]0,πα∈，且2cos 23cos 5αα-=，则α=．【答案】π【分析】由倍角公式化简方程，解出cos α，得α的值.【详解】已知2cos 23cos 5αα-=，由倍角公式得()()24cos 3cos 74cos 7cos 10αααα--=-+=，由[]0,πα∈，[]cos 1,1α∈-，解得cos 1α=-，则πα=.故答案为：π.22．（2024·上海杨浦·二模）已知实数a 满足：①[0,2π)a ∈；②存在实数,(2π)b c a b c <<<，使得a ，b ，c 是等差数列，cos b ，cos a ，cos c 也是等差数列.则实数a 的取值范围是.【答案】1(arccos ,π)8【分析】设等差数列,,a b c 的公差为m ，根据给定条件，结合三角恒等变换化简得tan 3tan 2mb =，由正切函数性质可得m 随b 增大而增大，再由c 的临界值点得π2ab =+，代入利用二倍角的余弦求解即得.【详解】设等差数列,,a b c 的公差为m ，,a b m c b m =-=+，依题意，cos cos cos cos a b c a -=-，于是cos()cos cos()cos()b m b b m b m --=+--，整理得22sin sin 2sin sin 22b m mb m ---=-，即sin()sin sin sin 2sin sin cos 2222m m m m b b m b -==，因此sin cos cos sin 2sin cos 222m m mb b b -=，即有tan3tan 2mb =，则m 随b 增大而增大，而0m >当(0,π)a ∈，3(π,π)2b ∈时，c 到达2π时是临界值点，此时π2ab =+，23．（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程(e e )2xx ccc y -+=，其中c 为参数.当1c =时，就是双曲余弦函数()e e ch 2x xx -+=，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：22sin cos 1x x +=；②两角和公式：()cos cos cos sin sin x y x y x y +=-，③导数：(sin )cos ,(cos )sin ,x x x x =⎧⎨=-''⎩定义双曲正弦函数()e e sh 2x xx --=．(1)直接写出()sh x ，()ch x 具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；(2)当0x >时，双曲正弦函数()y x =sh 的图像总在直线y kx =的上方，求直线斜率k 的取值范围；(3)无穷数列{}n a 满足1a a =，2121n n a a +=-，是否存在实数a ，使得202454a =？若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.【详解】（1）平方关系：()()22chsh 1x x -=；和角公式：()()()()()ch ch ch sh sh x y x y x y +=+；导数：()()sh()ch()ch()sh()x x x x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩．理由如下：平方关系，()()2222e e e e ch sh 22x x x x x x --⎛⎫⎛⎫+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222e e e e 12244x x x x --++=--=+；和角公式：()e e ch 2x y x yx y +--++=，()()()()e e e e e e e e ch ch sh sh 2222x x y y x yy x x y x y ----++--+=⋅+⋅e e e e e e e e 44x y x y x y x y x y x y x y x y+--+--+--+--+++--+=+e e 2x y x y+--+=故()()()()()ch ch ch sh sh x y x y x y +=+；导数：()()e e ee sh()ch 22x xxx x x ----+'===，()e e ch()sh 2x x x x --'==；（2）构造函数()()sh F x x kx =-，[)0,x ∈+∞，由（1）可知()()ch F x x k '=-，①当1k ≤时，由e e ch()e e 12x xx x x --+=≥⋅=，又因为0x >，故e e x x -≠，等号不成立，所以()()ch 0F x x k '=->，故()F x 为严格增函数，此时()(0)0F x F >=，故对任意0x >，()x kx >sh 恒成立，满足题意；②当1k >时，令()()(),0,G x F x x '=∈+∞，则()()sh 0G x x =>'，可知()G x 是严格增函数，由(0)10G k =-<与1(ln 2)04G k k=>可知，存在唯一0(0,ln 2)x k ∈，使得0()0G x =，故当0(0,)x x ∈时，0()()()0F x G x G x =<='，则()F x 在0(0,)x 上为严格减函数，故对任意0(0,)x x ∈，()()00F F x <=，即()x kx >sh ，矛盾；（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.24．（2024·上海长宁·二模）某同学用“五点法”画函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx∆π65π122π311π12()sin x ωϕ+01∆1-0(1)请在答题卷上将上表Δ处的数据补充完整，并直接写出函数()y f x =的解析式；(2)设()()()2ππ1,0,0,22g x f x f x f x x ωϕ⎛⎫⎛⎫⎡⎤===+-∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，求函数()y g x =的值域；【答案】(1)补充表格见解析，()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)210,2⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由表得ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解方程组即可得,ωϕ，进一步可据此完成表格；（2）由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简()g x 的表达式，进一步通过整体换元法即可求解.【详解】（1）由题意ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解得π2,6ωϕ==，所以函数()y f x =的解析式为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π206x +=时，解得π12x =-，当5π12x =时，ππ2π,sin 2066x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，将表中Δ处的数据补充完整如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ12-π65π122π311π12()sin x ωϕ+011-025．（2024·上海青浦·二模）对于函数()y f x =，其中()22sin cos f x x x x =+-x ∈R ．(1)求函数()y f x =的单调增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，若()1f A =，AB AC ⋅=，求ABC 的面积．所以函数()f x 的单调增区间是()5πππ,π+,Z 1212k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦．（2）（2）由已知π()2sin 213f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以π1sin 232A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π02A <<，所以ππ4π2333A <+<，即π5π236A +=，所以π4A =，又cos 2AB AC AB AC A ⋅=⋅=，所以2AB AC ⋅=，所以ABC 的面积1122sin 22222S AB AC A =⋅=⨯⨯=．26．（2024·上海嘉定·二模）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，221cos sin 2B B -=-．(1)求角B ，并计算πsin 6B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)若3b =ABC 是锐角三角形，求2a c +的最大值．【答案】(1)π3或2π3；当π3B =时，πsin 16B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当2π3B =时，π1sin 62B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(2)27【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系可得cos 21B =±，求出B ，进而求出πsin()6B +即可；（2）由题意可得π3B =，求出C 的范围，根据正弦定理可得2sin ,2sin a A c C ==，利用三角恒等变换化简计算得227sin()a c C ϕ+=+（3tan 5ϕ=），结合ϕ的范围和正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）由2222cos sin 11cos sin 2B B B B ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，得21cos 4B =，则cos 21B =±，又0πB <<，所以π3B =或2π3.当π3B =时，ππsin()sin 162B +==；当2π3B =时，π5π1sin()sin 662B +==.（2）若ABC 为锐角三角形，则π3B =，有π022ππ032C A C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，解得ππ62C <<.由正弦定理，得32sin sin sin 32a c bA C B====，则2sin ,2sin a A c C ==，27．（2024·上海静安·二模）在 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3a =，5b =，7c =．(1)求角C 的大小；(2)求sin()A C +的值．28．（2024·上海闵行·二模）在锐角ABC 中，角、、A B C 所对边的边长分别为a b c 、、，且2sin 0b A =.(1)求角B ；(2)求sin sin A C +的取值范围.【答案】(1)π3(2)3(,3]2.【分析】（1）由已知结合正弦定理可得结果；（2）根据ABC 为锐角三角形求出ππ(,)62A ∈，利用两角差的正弦公式及辅助角公式化简2πsin sin sin sin()3A C A A +=+-，根据正弦函数性质可得结果.【详解】（1）2sin 30b A a -= ，2sin sin 3sin 0A B A ∴-=，又 π0,,sin 02A A ⎛⎫∈∴≠ ⎪⎝⎭，3πsin ,0,22B B ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，∴π3B =.（2）由（1）可知，π3B =，且ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032A C A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，A ∴ππ(,)62∈，则2πsin sin sin sin()3A C A A +=+-33sin cos 22A A =+π3sin()6A =+，因为ππ2π363A <+<，sin sin A C ∴+3(,3]2∈.29．（2024·上海松江·二模）设2()sin 3sin (0)222f x x x x ωωωω=>，函数()y f x =图象的两条相邻对称轴之间的距离为π．(1)求函数()y f x =的解析式；(2)在ABC 中，设角A 、B 及C 所对边的边长分别为a 、b 及c ，若3a =2b =，3()2f A =，求角C ．【答案】(1)π1()sin()62f x x =-+(2)π12【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简()f x ，再根据()y f x =图象的两条相邻对称轴三、题型三：解三角形30．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻t，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻t最可能为（）太阳高度角时间太阳高度角时间43.13°08:3068.53°10:3049.53°09:0074.49°11:0055.93°09:3079.60°11:3062.29°10:0082.00°12:00A ．09:00B ．10:00C ．11:00D ．12:00【答案】B【分析】作出示意图形，在四边形ABCD 中利用正弦定理与余弦定理，算出四边形ABCD 的外接圆直径大小，然后在Rt BDE △中利用锐角三角函数定义，算出DBE ∠的大小，即可得到本题的答案.【详解】如图所示，设两竖直墙面的交线为DE ，点E 被太阳光照射在地面上的影子为点B ，点,A C 分别是点B 在两条墙脚线上的射影，连接AC ，BD ，BE ，由题意可知DBE ∠就是太阳高度角.∵四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=o ，120ADC ∠= ，∴()36060ABC BAD BCD ADC ∠=-∠+∠+∠= ，∴ABC 中，2222212cos60 1.5121.51 1.752AC AB BC AB BC =+-⋅=+-⨯⨯⨯= ，可得 1.75 1.32AC =≈，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，BD 是其外接圆直径，31．（2024·上海嘉定·二模）已知()11,OA x y =，()22,OB x y =，且OA 、OB 不共线，则OAB 的面积为（）A ．121212x x y y -B ．122112x y x y -C ．121212x x y y +D ．122112x y x y +32．（2024·上海虹口·二模）已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，则这个三角形外接圆的直径为.即这个三角形外接圆的直径为161515.故答案为：16151533．（2024·上海徐汇·二模）如图所示，已知ABC 满足8,3BC AC AB ==，P 为ABC 所在平面内一点.定义点集13,3D P AP AB λλλ⎧⎫-==+∈⎨⎬⎩⎭R .若存在点0P D ∈，使得对任意P D ∈，满足0||||AP AP ≥ 恒成立，则0||AP 的最大值为.【答案】3【分析】延长AB 到M 满足3AM AB = ，取AC 的靠近A 的三等分点N ，连接MN ，由向量共线定理得,,P M N 三点共线，从而0AP 表示AMN 的边MN 上的高，利用正弦定理求得AMN 的面积的最大值，从而可得结论．【详解】延长AB 到M 满足3AM AB = ，取AC 的靠近A 的三等分点N ，连接MN ，如图，3(1)133(1)3AC AP AB AC AB AM AN λλλλλλ=⋅+-++--== ，所以,,P M N 三点共线，又存在点0P D ∈，使得对任意P D ∈，满足0||||AP AP ≥ 恒成立，则0AP 的长表示A 到直线MN 的距离，即AMN 的边MN 上的高，设0AP h =，由3AC AB =得AC AM =，AB AN =，A ∠公用，因此ABC ANM ≅ ，所以8MN BC ==，AMN 中，设ANM θ∠=，由正弦定理得sin sin sin AM AN MN M Aθ==，MAN ∠记为角A ，所以sin 3sin M θ=，8sin sin AM A θ=，8sin sin M AN A =，所以2132sin sin 96sin sin 2sin sin()ABC AMN M M S S AM AN A A M θθ====+ 2296sin 96sin sin cos cos sin sin cos 3cos sin M M M M M M M θθθ==++96sin cos 3cos M Mθ=+，若θ不是钝角，则222296sin 96sin 1sin 31sin 19sin 99sin ABC MMS M M M θ==-+--+-!，【点睛】方法点睛：本题考查向量的线性运算，考查三角形的面积，解题方法其一是根据向量共线定理得出P点在一条直线，问题转化为求三角形高的最大值，从而求三角形面积的最大值，解题方法其二是利用正弦定理求三角形的面积，本题中注意在用平方关系转化时，34．（2024·上海徐汇·二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道12,l l相交于点O，一根长度为8的直杆AB的两端点,A B 分别在12,l l 上滑动（,A B 两点不与O 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点P 满足OP AB ⊥，则OAP △面积的取值范围是.【答案】(0,63]【分析】令π(0)2OAB x x ∠=<<，利用直角三角形边角关系及三角形面积公式求出OAP △的面积函数，再利用导数求出值域即得.【详解】依题意，设π(0)2OAB x x ∠=<<，则2cos 8cos ,cos 8cos OA AB x x AP OA x x ====，因此OAP △的面积31()sin 32sin cos 2f x OA AP x x x =⋅=，π02x <<，求导得42242()32(cos 3sin cos )32cos (13tan )f x x x x x x '=-=-，当π06x <<时，()0f x '>，当ππ62x <<时，()0f x '<，即函数()f x 在(0,)6π上递增，在ππ(,)62上递减，因此3max π31()()32()63622f x f ==⨯⨯=，而π(0)()02f f ==，则0()63f x <≤，所以OAP △面积的取值范围是(0,63].故答案为：(0,63]35．（2024·上海徐汇·二模）在ABC 中，1AC =，2π3C ∠=，π6A ∠=，则ABC 的外接圆半径为.【答案】1【分析】由正弦定理求解．【详解】由已知π6B ∠=，设三角形外接圆半径为R ，则122πsin sin 6AC R B ===，所以1R =．故答案为：1.36．（2024·上海闵行·二模）双曲线2:16x Γ-=的左右焦点分别为12F F 、，过坐标原点的直线与Γ相交于A B 、两点，若112F B F A =，则22F A F B ⋅= .【答案】4。

2024年上海数学高考一轮复习必刷大题专题1 解三角形大题综合含详解

专题01解三角形大题综合一、解答题1．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知()2sin cos c 2πos 6f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求方程()0f x =的解集；(2)求函数()y f x =在[]0,π上的单调增区间.2．（2023·上海闵行·统考二模）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A B =，4a =，6b =．(1)求cos B 的值；(2)求ABC 的面积．3．（2023·上海宝山·统考二模）已知函数()23sin cos 32f x x x x =-+．(1)求函数()y f x =的最小正周期和单调区间；(2)若关于x 的方程()0f x m -=在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．4．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）在ABC 中，a b c ､､分别是角A B C ､､的对边.设()()2,,cos ,cos m a c b n B C =+= ，已知0m n ⋅=r r (1)求角B 的大小；(2)设()()2π2cos sin 2sin sin 2sin cos cos 3f x x x x B x x A C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，求函数()y f x =的最小值.5．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）如图，P 是边长为2的正三角形ABC 所在平面上一点（点A 、B 、C 、P 逆时针排列），且满足CP CA =，记θ∠=CAP .(1)若π3θ=，求PB 的长；(2)用θ表示PAB 的面积S ，并求S 的取值范围.6．（2023·上海松江·校考模拟预测）已知向量())2sin ,cos2,3cos ,1m x x n x ωωω==，其中0ω>，若函数()f x m n=⋅的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调增区间；(2)在ABC 中，若()2,f B BC B A =-==，求BA BC ⋅的值.7．（2023·上海奉贤·上海市奉贤中学校考三模）已知扇形OAB 的半径为1，π3AOB ∠=，P 是圆弧上一点（不与A ，B 重合），过P 作,PM OA PN OB ⊥⊥，M ，N为垂足．(1)若12PM =，求PN 的长；(2)设AOP x ∠=，PM ，PN 的线段之和为y ，求y 的取值范围．8．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()π4cos sin(6f x x x =-的最大值为()f A .(1)求角A ；(2)当a =2b =时，求ABC 的面积.9．（2023·上海·高三专题练习）在ABC 中，点D 在边AC 上，且2,AD CD BD AC ==．(1)若BD 平分ABC ∠，求sin sin ABDBDC∠∠的值；(2)若,,AB AC BC成递增的等比数列，AC =ABC 的面积．10．（2023·上海·高三专题练习）已知向量,2sin 22x x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，cos ,cos 22x x n ⎛⎫= ⎝⎭ ，函数()y f x m n ==⋅ .(1)设ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且()1f θ=，求θ的值；(2)在ABC 中，1AB =，()1f C =，且ABC的面积为2，求sin sin A B +的值.11．（2023春·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示.(1)求()f x 的解析式及对称中心；(2)先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12，再向左平移π6个单位后得到()g x 的图像，求方程()12g x =在[]π,π-的解集.12．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数()221cos sin 2f x x x =-+.(1)求()f x 的单调增区间；(2)设ABC 为锐角三角形，角A B C ､､所对的边分别是,,,5a b c a b ==，若()0f A =，求ABC 的面积.13．（2023·上海嘉定·统考二模）已知向量()sin ,1cos 2a x x =+ ，1cos ,2b x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()f x a b =⋅ ．(1)求函数()y f x =的最大值及相应x 的值；(2)在ABC 中，角A 为锐角，且7π12A B +=，()1f A =，2BC =，求边AC 的长．14．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）在ABCcos cos C A =，6B π=，BC边中线AM (1)求A 的值；(2)求ABC 的面积．15．（2023·上海金山·统考二模）在ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c，已知a =45C =︒.(1)若sin A B =，求c ；(2)若15B A -=︒，求ABC 的面积.16．（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知函数25π()sin 2cos 16f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小值和单调增区间；(2)设角A B 、、C 为ABC 的三个内角，若1cos 3B =，124C f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求sin A ．17．（2023·上海黄浦·统考二模）在ABC 中，53cos ,cos 135A B =-=．(1)求sin C 的值；(2)若4AB =，求ABC 的周长和面积．18．（2023·上海浦东新·统考三模）已知向量),cos a x x =，πsin ,cos 2b x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设()f x a b =⋅ .(1)求函数()y f x =的最小正周期；(2)在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若()1f A =，4b =，三角形ABC的面积为a 的长.19．（2023·上海奉贤·校考模拟预测）已知函数()ππsin 2cos sin 122f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(1)求函数()f x 的最值；(2)设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2f A =，2b =，且2sin sin B C A +=，求ABC 的面积．20．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）已知函数21()2cos 2f x x x =--，x R ∈.(1)求函数()y f x =在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；(2)设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且c =()0f C =，若sin 2sin B A =，求ABC S .21．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）设函数()2cos 2f x x x ωω=+，其中02ω<<.(1)若()f x 的最小正周期为π，求()f x 的单调增区间；(2)若函数()f x 图像在π0,3⎛⎤⎥⎝⎦上存在对称轴，求ω的取值范围.22．（2023·上海徐汇·统考三模）如图，ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .(1)若33cos a c b C -=，求角B 的大小；(2)已知3b =、π3B =，若D 为ABC 外接圆劣弧AC 上一点，求ADC △周长的最大值.23．（2023·上海长宁·统考二模）（1）求简谐振动sin cos y x x =+的振幅、周期和初相位([0,2π))ϕϕ∈；（2）若函数11sincos 22y x x =+在区间(0,)m 上有唯一的极大值点，求实数m 的取值范围；（3）设0a >，()sin sin f x ax a x =-，若函数()y f x =在区间(0,π)上是严格增函数，求实数a 的取值范围．xπ0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭π3π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭π5ππ,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5π35π,3π3⎛⎫ ⎪⎝⎭y '+0-0+0-y极大值极小值极大值专题01解三角形大题综合一、解答题1．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知()2sin cos c 2πos 6f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求方程()0f x =的解集；(2)求函数()y f x =在[]0,π上的单调增区间.【答案】(1)ππ,Z 26k x x k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭(2)π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）化简得到()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，取π2π,Z 3x k k +=∈，解得答案.（2）取πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，解不等式，取0k =和1k =得到单调增区间.【详解】（1）()312sin cos cos 2sin 2cos 2si 2622πn f x x x x x x x ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭13sin 2222πsin 23x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=，取()πsin 203f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则π2π,Z 3x k k +=∈，解得ππ,Z 26k x k =-∈.故方程()0f x =的解集为ππ,Z 26k x x k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭.（2）取πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，解得5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈，当0k =时，π0,12⎡⎤⎢⎣⎦满足条件；当1k =时，7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦满足条件；综上所述：单调增区间是π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．（2023·上海闵行·统考二模）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A B =，4a =，6b =．(1)求cos B 的值；(2)求ABC 的面积．【答案】(1)1cos 3B =(2)82【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角公式可得解.（2）根据余弦定理可得c ，由cos B 可得sin B ，进而可得面积.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，又sin sin 22sin cos A B B B ==，所以2sin cos sin a b B B B=，即462sin cos sin B B B =，解得1cos 3B =；（2）由（1）得1cos 3B =，则sin 3B =，又由余弦定理222222461cos 2243a cbc B ac c +-+-===⨯，0c >，解得6c =，所以11sin 4622S ac B ==⨯⨯=3．（2023·上海宝山·统考二模）已知函数()2sin cos 2f x x x x =-+．(1)求函数()y f x =的最小正周期和单调区间；(2)若关于x 的方程()0f x m -=在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【答案】(1)最小正周期πT =；单调递增区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间为()5π11π,πZ 2211k k k π⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.(2)2⎫⎪⎪⎣⎭【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，用周期公式求周期，整体代入法求函数单调区间；（2）由区间内函数的单调性和函数值的变化范围求解实数m 的取值范围．【详解】（1）()21πsin cos cos sin 2cos 2sin 22223f x x x x x x x ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的最小正周期2ππ2T ==；令()πππ2π22πZ 232k x k k -≤-≤+∈，解得()π5πππZ 1122k x k k -≤≤+∈，可得函数()y f x =的单调递增区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦·令()ππ3π2π22πZ 232k x k k +≤-≤+∈，解得()5π11ππZ 1122k x k k π+≤≤+∈，可得因数()y f x =的单调递减区间为()5π11π,πZ 2211k k k π⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）由（1）可知，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()y f x =在5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当5π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πππ2,332x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，()f x 由增大到1，当5ππ212,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ2π2,323x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()f x 由1若关于x 的方程()0f x m -=在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，则实数m 的取值范围为⎫⎪⎪⎣⎭4．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）在ABC 中，a b c ､､分别是角A B C ､､的对边.设()()2,,cos ,cos m a c b n B C =+= ，已知0m n ⋅=r r(1)求角B 的大小；(2)设()()2π2cos sin 2sin sin 2sin cos cos 3f x x x x B x x A C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，求函数()y f x =的最小值.【答案】(1)2π3B =(2)最小值2-【分析】（1）利用向量的坐标运算和正弦定理即可求解；（2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的x 值.【详解】（1）由题意可得：()2cos cos 0m n a c B b C ⋅=++=，由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos 0A C B B C ++=，则()2sin cos sin cos sin cos 2sin cos sin 0A B C B B C A B B C ++=++=，可得2sin cos sin 0A B A +=，因为()0,πA ∈，则sin 0A ≠，可得2cos 10B +=，即1cos 2B =-，又因为()0,πB ∈，所以2π3B =.（2）由（1）可得2π3B =，则ππ3A CB +=-=，由题意可得：()2ππ2cos sin 2sin sin 2sin cos cos33f x x x x B x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭212cos sin sin cos 2x x x x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭222sin cos x x x x=πsin22sin 23x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，因为2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则π2π5π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得π22sin 23x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以当π3π232x +=，即7π12x =时，()f x 有最小值2-.5．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）如图，P 是边长为2的正三角形ABC 所在平面上一点（点A 、B 、C 、P 逆时针排列），且满足CP CA =，记θ∠=CAP .(1)若π3θ=，求PB 的长；(2)用θ表示PAB 的面积S ，并求S 的取值范围.【答案】(1)(2)(π2sin 20,23S θ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭【分析】（1）由余弦定理直接计算即可；（2）由正弦定理求出AP ，然后代入三角形面积公式，结合辅助角公式及三角函数值域求出面积范围.【详解】（1）由π3θ=，且ABC 是边长为2的正三角形，则2π3PAB ∠=，且2PA CP CA ===，所以在PAB 中，由余弦定理得22212cos 448122PB PA AB PA AB PAB ∠⎛⎫=+-⋅⋅=+-⨯-= ⎪⎝⎭，所以PB =；（2）由CP CA =，则CAP CPA θ∠=∠=，则π2PCA θ∠=-，在PAC △中，由正弦定理有()2sin π2sin sin AP BC θθθ==-，得()2sin π24cos sin AP θθθ-==，所以1ππsin 4cos sin 233S PA AB θθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π2sin cos 2sin 22sin 23θθθθθθ⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭，又0πθ<<，且0π2πθ<-<，则π02θ<<，所以ππ4π2333θ<+<，所以πsin 23θ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，则(π2sin 20,23θ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，故S 的取值范围为(0,2⎤+⎦.6．（2023·上海松江·校考模拟预测）已知向量())2sin ,cos2,,1m x x n x ωωω==，其中0ω>，若函数()f x m n=⋅的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调增区间；(2)在ABC 中，若()2,f B BC B A =-==，求BA BC ⋅的值.【答案】(1)πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z (2)32-【分析】（1）根据题意，由辅助角公式将函数()f x 化简，再由函数周期即可求得ω，再根据正弦型函数的单调区间即可得到结果；（2）根据题意，由（1）中函数()f x 的解析式可得2π3B =，再由正弦定理可得a c =，再结合平面向量数量积的定义代入计算，即可得到结果.【详解】（1）()πcos22sin 26f x m n x x x ωωω⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭ ()f x 的最小正周期为2ππ,π,12T ωω∴==∴=.故()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π262k x k -≤+≤+，解得,3πππ6πk x k k -≤≤+∈Z ，故函数()f x 的单调增区间为πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦Z （2）设ABC 中角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .()π2,2sin 226f B B ⎛⎫=-∴+=- ⎪⎝⎭ ，即πsin 216B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得2π3B =.1sin ,,3,sin2BC a B A b b A ∴==∴=∴== ，πππ0,,,366A A C a c <<∴==∴== 13cos 322BA BC c a B ⎛⎫∴⋅=⋅⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭.7．（2023·上海奉贤·上海市奉贤中学校考三模）已知扇形OAB 的半径为1，π3AOB ∠=，P 是圆弧上一点（不与A ，B 重合），过P 作,PM OA PN OB ⊥⊥，M ，N 为垂足．(1)若12PM =，求PN 的长；(2)设AOP x ∠=，PM ，PN 的线段之和为y ，求y 的取值范围．【答案】(1)12；(2)2.【分析】（1）在直角POM 与直角PON △中，利用锐角三角函数的定义求解作答.（2）由（1）中信息，把y 用x 的函数表示出，再借助正弦函数的性质求解作答.【详解】（1）在POM 中，PM OA ⊥，则1sin 2PM POM OP ∠==，显然π(0,3POM ∠∈，则π6POM ∠=，从而πππ366PON AOB POM ∠=∠-∠=-=，在PON △中，PN OB ⊥，所以π1sin 1sin 62PN OP PON =∠=⨯=.（2）依题意，ππ,(0,33PON AOB POM x x ∠=∠-∠=-∈πsin sin ,sin sin()3PM OP POM x PN OP PON x =∠==∠=-，因此π11πsin sin()sin sin sin sin()3223y x x x x x x x x =+-=+-=+=+，显然ππ2π(,)333x +∈，于是πsin()3x +∈，所以y 的取值范围是.8．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()π4cos sin(6f x x x =-的最大值为()f A .(1)求角A ；(2)当a =2b =时，求ABC 的面积.【答案】(1)π3；(2)2.【分析】（1）根据给定条件，利用三角恒等变换化简()f x ，再利用正弦函数性质求出角A 作答.（2）利用余弦定理求出c ，再利用三角形面积公式求解作答.【详解】（1）依题意，2ππ()4cos (sin cos cos sin )sin 2cos 66f x x x x x x x =-=-π2cos 212sin(216x x x =--=--，因为()0,πA ∈，则ππ11π2(,666A -∈-，又π()2sin(2)16f A A =--是()f x 的最大值，所以ππ262A -=，即π3A =.（2）在ABC 中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π222cos 3c c =+-⨯，即2230c c --=，解得3c =，所以ABC 的面积11πsin 23sin223ABC S bc A ==⨯⨯⨯ .9．（2023·上海·高三专题练习）在ABC 中，点D 在边AC 上，且2,AD CD BD AC ==．(1)若BD 平分ABC ∠，求sin sin ABDBDC∠∠的值；(2)若,,AB AC BC成递增的等比数列，AC =ABC 的面积．【答案】(1)11(2)4【分析】（1）运用余弦定理求出,CD BC 的关系，再运用正弦定理求解；（2）运用余弦定理求出AB ，BC 的值，再求出sin B ∠，用面积公式计算即可.【详解】（1）设CD m =，则2,3AD m BD AC m ===，因为BD 平分ABC ∠，所以2AB ADBC CD==，设BC n =，则2AB n =，在ABC 中，2222239cos 212AB AC BC n m A AB AC mn +-+==⋅，在ABD △中，2222245cos 28AB AD BD n m A AB AD mn+--==⋅，由22223945128n m n m nm mn+-=，得22112n m =，sin sinsin sin ABD CBD CD m BDC BDC BC n ∠∠====∠∠；（2）因为,,AB AC BC 成递增的等比数列，AC =26AB BC AC ⋅==，在ABD △中，2222263cos 28AB AD BD AB ADB AD BD -+-∠==⋅，在BCD △中，2222203cos 24BC BD CD BC BDC BD CD -+-∠==⋅，因为cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，所以22262033084AB BC --+=，整理得22222AB BC +=，又6AB BC ⋅=，所以2236222BC BC+=，解得BC =3BC =，若BC =AB BC =>，不符合题意，若3BC =，则2AB =，符合题意，此时2227cos 212AB BC AC ABC AB BC +-∠==⋅，则sin ABC ABC ∠=△的面积1sin 2S AB BC ABC =⋅∠=10．（2023·上海·高三专题练习）已知向量,2sin 22x x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，cos ,cos 22x x n ⎛⎫= ⎝⎭，函数()y f x m n ==⋅ .(1)设ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且()1f θ=，求θ的值；(2)在ABC 中，1AB =，()1f C =，且ABC的面积为2，求sin sin A B +的值.【答案】(1)π2-或π6(2)1+【分析】（1）化简得到s π()2co 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1cos 62πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得到2π(Z)63ππk k θ+=±∈，根据范围得到答案.（2）确定π6C =，根据面积公式得到=ab 227a b +=，得到2+=a b ，再根据正弦定理得到答案.【详解】（1）2π()cos2sin cos cos )sin 2cos 2226x x x f x x x x ⎛⎫=-+-=+ ⎪⎝⎭()π2cos 16f θθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得1cos 62πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故2π(Z)63ππk k θ+=±∈，ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故π2θ=-或π6.（2）(0,π)C ∈，由（1）知π6C =，在ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是,a b，则1s n πi 26S ab ==，故=ab 由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，故227a b +=.解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩或2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是2+=a b 由正弦定理得sin sin sin 112===A B C a b，故1sin sin ()12+=+=+A B a b 11．（2023春·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示.(1)求()f x 的解析式及对称中心；(2)先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12，再向左平移π6个单位后得到()g x 的图像，求方程()12g x =在[]π,π-的解集.【答案】(1)()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；对称中心为ππ,026k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，Z k ∈；(2)π5π11π7π,,,12121212⎧⎫⎨⎬⎩⎭--.【分析】（1）结合函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像特征可求()f x 的解析式及对称中心；（2）根据图象变换可得()g x 的解析式，从而方程可求.【详解】（1）根据函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像，可得32π5ππ2,4123A ω=⋅=+，∴2ω=.再根据五点法作图，5ππ2122ϕ⨯+=，∴π3ϕ=-，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令π2π,Z 3x k k -=∈，解得ππ,Z 62k x k =+∈，此时0y =.所以函数()f x 的对称中心为ππ,026k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，Z k ∈.（2）先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12，可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再向左平移π6个单位，得到ππsin 2sin 632y x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像，令1sin 22x =，[][]π,π,22π,2πx x ∈-∴∈- 所以π5π11π7π2,,,6666x =--，解得π5π11π7π,,,12121212x =--故方程()12g x =在[]π,π-的解集为π5π11π7π,,12121212⎧⎫⎨⎬⎩⎭--.12．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数()221cos sin 2f x x x =-+.(1)求()f x 的单调增区间；(2)设ABC 为锐角三角形，角A B C ､､所对的边分别是,,,5a b c a b ==，若()0f A =，求ABC 的面积.【答案】(1)ππ,π,Z2k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)4【分析】（1）利用二倍角的余弦公式及三角函数的性质即可求解；（2）根据已知条件及余弦定理，利用余弦定理的推论及三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）()2211cos sin cos 222f x x x x =-+=+由π2π22π,Z k x k k -+≤≤∈，得πππ,Z 2k x k k -+≤≤∈，所以()f x 的单调增区间为ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）知，()1cos 22f x x =+，因为()0f A =，所以()1cos 202f A A =+=,即1cos 22A =-，因为π02A <<，所以02πA <<,所以2π23A =，即π3A =.由余弦定理可知，2222cos a b c bc A =+-，将5a b ==代入并整理得2560c c -+=，解得2c =或3c =.又因为ABC 为锐角三角形，所以222cos 0,02a c b B c ac+-=>>，即219250c +->，解得c 所以3c =.所以ABC的面积为11sin 5322ABC S bc A ==⨯⨯⨯△.13．（2023·上海嘉定·统考二模）已知向量()sin ,1cos 2a x x =+ ，1cos ,2b x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()f x a b =⋅ ．(1)求函数()y f x =的最大值及相应x 的值；(2)在ABC 中，角A 为锐角，且7π12A B +=，()1f A =，2BC =，求边AC 的长．【答案】(1)ππ8x k =+，k ∈Z ；(2)AC =【分析】（1）利用向量数量积坐标运算、二倍角公式以及辅助角公式求得函数()y f x =的解析式，再由正弦函数的性质求解；（2）由（1）求出角A 的值，再利用正弦定理求出AC 边的长作答.【详解】（1）依题意，cos 2111π1()cos sin (sin 2cos 2))22242x f x x x x x x +=+=++=++当ππ22π42x k +=+，即ππ,Z 8x k k =+∈时，()y f x =取最大值12.（2）由（1）及()1f A =π12142A ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即πsin 24A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因π02A <<，则ππ5π2444A <+<，因此，324ππ4A +=，则π4A =，而7π12A B +=，有π3B =，在ABC 中，由正弦定理sin sin BC AC A B =得，π2sinsin 3πsin sin 4BC B AC A ==所以边AC.14．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）在ABCcos cos C A =，6B π=，BC边中线AM (1)求A 的值；(2)求ABC 的面积．【答案】(1)π6【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换得出A 的值；（2）由余弦定理得出2b =，最后由面积公式得出ABC 的面积．【详解】（1cos cos C A =cos cos CA=2sin cos cos sin cos sin()sin B A A C C A A C B+因为sin 0B ≠，所以cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以π6A =.（2）因为6B π=，23C A B ππ=--=，可知ABC 为等腰三角形.在AMC 中，由余弦定理可得2222cos120AM AC MC AC MC =+-⋅︒即227(2cos12022b b b b =+-⨯⨯⨯︒，解得2b =.所以ABC的面积为2211sin 222S b C ==⨯=.15．（2023·上海金山·统考二模）在ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c，已知a =45C =︒.(1)若sin A B =，求c ；(2)若15B A -=︒，求ABC 的面积.【答案】(1)2c =(2)2+3【分析】(1)根据正弦定理求边长后再应用余弦定理求解即可.(2)先求出角，再求出边长，最后应用面积公式求解可得.【详解】（1）由sin A B =,应用正弦定理得a ==2b ∴=,2842242c ∴=+-⨯⨯,即得2c =.（2）因为15135B A B A -=︒⎧⎨+=︒⎩则7560B A =︒⎧⎨=︒⎩,c ==111sin =222ABC S ac B ==⨯⨯ 16．（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知函数25π()sin 2cos 16f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小值和单调增区间；(2)设角A B 、、C 为ABC 的三个内角，若1cos 3B =，124C f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求sin A ．【答案】(1)()min 12f x =，单调递增区间()π3ππ,πZ 44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)6【分析】（1）由三角恒等变换得1()222f x x =-，结合正弦函数的性质求解即可；（2）由1cos 3B =，可得sin B =且β为锐角，60B >︒，由124C f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得60C =︒，再由()sin sin A B C =+求解即可.【详解】（1）解：由题意可得()2225ππππsin 2cos 1=sin 2++1cos =cos 2n 33si 62f x x x x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ1cos 21cos 2cos sin 2sin 23322x x x x -=-+=-，所以当π2=2π+,Z 2x k k ∈，即ππ,Z 4x k k =+∈时，函数()f x 由π3π2π+22π+,Z 22k x k k ≤≤∈，解得π3ππ+π+,Z 44k x k k ≤≤∈，所以()f x 的单调递增区间()π3ππ,πZ 44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；综上所述：()min π1π42f x f k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，单调递增区间()π3ππ,πZ 44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）解：因为112224C f C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，sin C ∴=()0,πC ∈ ，60C ∴=︒或120︒，1cos sin 33662B B =⇒==>=Q ，且β为锐角，所以60B >︒，∴角C 只能为锐角60C =︒，()sin sin A B C ∴=+sin cos cos sin 6B C B C =+=.17．（2023·上海黄浦·统考二模）在ABC 中，53cos ,cos 135A B =-=．(1)求sin C 的值；(2)若4AB =，求ABC 的周长和面积．【答案】(1)1665；(2)周长32，面积24.【分析】（1）利用两角和的正弦公式即可求得sin C 的值；（2）先利用正弦定理求得ABC 的,a b 的长，进而求得ABC 的周长和面积．【详解】（1）在ABC 中，53cos ,cos 135A B =-=，又(),0,πA B ∈，则124sin ,sin 135A B ==，则1235416sin sin()sin cos cos sin 13513565C A B A B A B ⎛⎫=+=+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭.（2）4c AB ==，又124sin ,sin 135A B ==，16sin 65C =，则由正弦定理得124sin sin 135415,4131616sin sin 6565A Ba cbc C C =====⨯=，则ABC 的周长为1513432++=ABC 的面积为1116sin 1513242265ab C =⨯⨯⨯=．18．（2023·上海浦东新·统考三模）已知向量),cos a x x =，πsin ,cos 2b x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设()f x a b =⋅ .(1)求函数()y f x =的最小正周期；(2)在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若()1f A =，4b =，三角形ABC的面积为a 的长.【答案】(1)π(2)【分析】（1）利用数量积的坐标公式及二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用最小正周期公式求解即可；（2）根据()1f A =求出角A ，结合条件及三角形面积公式求出c ，利用余弦定理即可求解a .【详解】（1）由题意，()f x a b =⋅=2πsin cos 2x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭2cos cos x x x =+112cos 222x x =++π1sin 262x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因此函数()y f x =的最小正周期为2ππ2T ==；（2）由()1f A =得π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ7π2,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，解得π3A =，因为11sin 422ABC S bc A c ==⨯=V 2c =,由余弦定理解得2222212cos 42242122a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=,所以a =.19．（2023·上海奉贤·校考模拟预测）已知函数()ππsin 2cos sin 122f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(1)求函数()f x 的最值；(2)设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2f A =，2b =，且2sin sin B C A +=，求ABC 的面积．【答案】(1)最大值为2，最小值为2-(2)2或3【分析】(1)把()f x 化为“一角一函数”的形式：先用诱导公式把角化为x ，再用二倍角公式把二次项化为一次项，同时把角化为2x ，最后用辅助角公式把函数名化为正弦，即可求出函数的最值；(2)先求出角A ，由余弦定理得到关于,a c 的方程，再由正弦定理把已知的方程化简为含,a c 的方程，联立方程组即可解出,a c 的值，再代入三角形的面积公式即可.【详解】（1）因为()sin 2cos sin 122f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 12cos 2x x x x x=-+=-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最大值为2，最小值为2-．（2）结合(1)可知()2sin 226f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．因为()0,A π∈，所以112666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则2,623A A πππ-==．由余弦定理得2222241cos 242b c a c a A bc c +-+-===，化简得2224a c c =-+①．又2sin sin B C A +=，由正弦定理可得2b c +=，即4c +=②．结合①②得3a c ==或23a c ==．3c =时，1sin 22ABCS bc A ==；23c =时，1sin 23ABC S bc A ==△．综上，ABC 的面积为2或3．20．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）已知函数21()2cos 2f x x x =--，x R ∈.(1)求函数()y f x =在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；(2)设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且c =()0f C =，若sin 2sin B A =，求ABC S .【答案】(1)max 0y =，min 22y +=-；(2)2.【分析】（1）利用辅助角公式将函数()f x 化简可得π()sin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性得到()f x 在ππ,123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递增，在π5π,312⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，进而求出最值；（2）根据题意得到π3C =，然后利用正弦定理得到2b a =，再结合余弦定理和三角形面积公式即可求解.【详解】（1）()1cos 21π2sin 21226x f x x x +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，由ππ3π2π22π262k x k +≤-≤+，Z k ∈，得()f x 的单调递减区间为π5ππ,π36k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，故()f x 在ππ,123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递增，在π5π,312⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，故max π03y f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，min π5πmin ,1212y ff ⎧⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎨⎬ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎩⎭（2）π()sin 2106f C C ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则πsin 2106C ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，0πC <<，022πC <<，所以ππ11π2666C -<-<，所以ππ262C -=，π3C =，因为sin 2sin B A =，所以由正弦定理得2b a =，①由余弦定理得222π2cos3=+-c a b ab ，即2223c a b ab =+-=，②由①②解得：1a =，2b =.故1sin 2ABC S ab C ==△.21．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）设函数()2cos 2f x x x ωω=+，其中02ω<<.(1)若()f x 的最小正周期为π，求()f x 的单调增区间；(2)若函数()f x 图像在π0,3⎛⎤⎥⎝⎦上存在对称轴，求ω的取值范围.【答案】(1)πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z(2)122ω≤<【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数表达式，然后根据最小正周期公式算出ω，然后利用正弦函数的单调性求解；（2）利用正弦函数sin y x =的对称轴公式求参数的范围.【详解】（1）由题意，()21π1sin2cos sin2(cos 21)sin 222262f x x x x x x ωωωωω⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，又02ω<<，于是2ππ2ω=，则1ω=，则()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调递增区间，令πππ22π,2π,622x k k k ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，解得πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ,即为()f x 的单调递增区间.（2）当π0,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，ππ2ππ2,6636x ωω⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，注意到题干02ω<<，则2πππ3π,3662ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，根据正弦函数sin y x =的对称轴ππ,2x k k =+∈Z ，显然只有0k =时一条对称轴32π2ππ,6x =∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是2πππ362ω+≥，解得12ω≥，结合02ω<<可得122ω≤<22．（2023·上海徐汇·统考三模）如图，ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .(1)若33cos a c b C -=，求角B 的大小；(2)已知3b =、π3B =，若D 为ABC 外接圆劣弧AC 上一点，求ADC △周长的最大值.【答案】(1)1arccos 3B =；(2)3+【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再结合和角的正弦求解作答.（2）由（1）及给定条件，求出ADC ∠，再利用余弦定理结合均值不等式求解作答.【详解】（1）在ABC 中，由33cos a c b C -=及正弦定理，得3sin sin 3sin cos A C B C -=，即3sin()sin 3sin cos B C C B C +-=，则3(sin cos sin cos )sin 3sin cos B C C B C B C +-=，整理得sin (3cos 1)0C B -=，而sin 0C ≠，即1cos 3B =，又因为0B π<<，所以1arccos 3B =.（2）在ADC △中，2π,33ADC AC ∠==，由余弦定理得2222π2cos3AC AD DC AD DC =+-⋅，于是22()()994AD DC AD DC AD DC ++=+⋅≤+，解得AD DC +≤当且仅当AD DC ==所以当AD DC ==ADC △周长取得最大值3+23．（2023·上海长宁·统考二模）（1）求简谐振动sin cos y x x =+的振幅、周期和初相位([0,2π))ϕϕ∈；（2）若函数11sin cos 22y x x =+在区间(0,)m 上有唯一的极大值点，求实数m 的取值范围；（3）设0a >，()sin sin f x ax a x =-，若函数()y f x =在区间(0,π)上是严格增函数，求实数a 的取值范围．【答案】（12π2π1T ==，初相位π4ϕ=；（2）π5π,33⎛⎤ ⎥⎝⎦；（3）()0,1；【分析】（1）利用辅助角公式化简，即可得到振幅、周期和初相位；（2）求导，令0y '=，求出导函数的零点，利用三角函数的单调性判断导函数的正负，进而分析出()y f x =的单调，列表分析出有唯一的极大值点的情况，即可得到实数m 的取值范围；（3）求导，并对a 分类讨论，利用余弦函数的单调性分析导函数在区间(0,π)的正负，即可判断()y f x =是否为严格增函数，进而得到实数a 的取值范围.【详解】解：（1）πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，2π2π1T ==，初相位π4ϕ=；（2）111111cos sin cos sin 222222y x x x '⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令0y '=，得1cos 02x =,11sin 22x =，列表，x π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭π3π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭π5ππ,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5π35π,3π3⎛⎫ ⎪⎝⎭y '+0-0+0-y 极大值极小值极大值函数11sin cos 22y x x =+在区间(0,)m 上有唯一的极大值点时，π5π33m <≤，即实数m 的取值范围为π5π,33⎛⎤ ⎥⎝⎦.（3）()cos cos f x a ax a x '=-，当01a <<时，因为0πx <<，所以0πax x <<<，进而cos cos ax x >，()(cos cos )0f x a ax x '=->此时，()y f x =在区间(0,π)上是严格增函数；当1a =时，()0f x =，()y f x =不是严格增函数；当1a >时，设π0,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0πx ax <<<，进而cos cos x ax >，()0f x '<，此时，()y f x =在区间π0,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是严格减函数；综上，若函数()y f x =在区间(0,π)上是严格增函数，则01a <<，即实数a 的取值范围()0,1.【点睛】思路点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.。

压轴题03 三角函数压轴题(原卷版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)

压轴题03三角函数压轴题题型/考向一：三角函数的图像与性质题型/考向二：三角恒等变换题型/考向三：三角函数综合应用一、三角函数的图像与性质热点一三角函数图象的变换1.沿x轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移.沿y轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移.2.沿x轴伸缩：若ω>0，A>0，由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍.沿y轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍.热点二三角函数的图象与解析式已知图象求函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A，B；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.热点三三角函数的性质1.单调性：由－π2＋2kπ≤ωx＋φ≤π2＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间；由π2＋2kπ≤ωx＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递减区间.2.对称性：由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )可得对称中心；由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )可得对称轴.3.奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数.二、三角恒等变换热点一化简与求值(角)1.同角三角函数的基本关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan ≠π2＋k π，k ∈2.诱导公式的记忆口诀：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.3.熟记三角函数公式的两类变形：(1)和差角公式的变形；(2)倍角公式的变形.热点二三角函数恒等式的证明三角恒等式常从复杂一边向简单的一边转化，或者两边同时推出一个相同式子，有时要证等式先进行等价交换，进而证明其等价命题.○热○点○题○型一三角函数的图像与性质一、单选题1．将函数()sin cos f x x x =-的图象向左平移7π12个单位长度，得到函数()y g x =的图象，关于函数()y g x =的下列说法中错误的是（）A ．周期是2πB ．非奇非偶函数C ．图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增2．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（）A ．11sin sin 2sin 323=++y x x xB ．11sin sin 2sin 323y x x x=--C ．11sin cos 2cos323y x x x=++D ．11cos cos 2cos323y x x x=++3．将函数()2sin 21f x x =-图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，并沿x 轴向左平移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数()g x 的图象．若对于任意的1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在2π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则ϕ的值可能是（）A ．π6B ．5π24C ．π4D ．2π34．函数e sin xy x =在区间[]2,2ππ-上的图象大致是（）A．B．C．D．5．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则满足()()5π605π12f x f f x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭>⎛⎫- ⎪⎝⎭的正整数x 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题6．已知函数2π()cos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则（）A ．()f x 以2π为周期B ．()f x 的图象关于直线2π3x =对称C ．将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后对应的函数为偶函数D ．函数9()10y f x =+在[0,π]上有两个零点7．已知函数()()()sin 0,0π,f x A x b A b ωϕϕ=++><<∈R 的部分图像如图，则（）A ．5πb ωϕ=B ．π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．将曲线()y f x =向右平移π9个单位长度得到曲线4cos 32y x =-+D ．点11π,218⎛⎫- ⎪⎝⎭为曲线()y f x =的一个对称中心8．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，对任意的(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0f x >，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()00f =C ．当A ，B 是锐角ABC 的内角时，()()cos sin f B f A <D ．当0n x >，且21112n n n x x x ++=，112x =时，()12n n f x -=9．已知某游乐场循环观光车路线近似为一个半径为1km 的圆，观光车从起始站点P 出发，沿图中顺时针方向行驶，记观光者从某次出发开始，行驶的时间为t 小时.A ，B 是沿途两个站点，C 是终点站，D 是该游乐场的观景点之一.已知该观光车绕行一圈的时间是固定的，且π,,6BOA OA OC OA OD ∠=⊥⊥.若要求起始站点P 无论位于站台B ，C 之间的任何位置（异于B ，C ），观光车在ππ,124t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的时间内，都要至少经过两次终点站C ，则下列说法正确的是（）A ．该观光车绕行一周的时间小于π6B ．该观光车在π0,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内不一定会经过终点站CC ．该观光车的行驶速度一定大于52km /h 3D ．该观光车在π0,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内一定会经过一次观景点D10．如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在()s t 时刻相对于平衡位置的高度()cm h 可以田ππ2sin 24h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭确定，则下列说法正确的是（）A．小球运动的最高点与最低点的距离为2cm B．小球经过4s往复运动一次C．()3,5t∈时小球是自下往上运动D．当 6.5t=时，小球到达最低点○热○点○题○型二三角恒等变换一、单选题1．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos22sin21αα+=，则sinα=（）A．15B C．45D2．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus，大约公元前417年—公元前369年）通过下图来…，记BACα∠=，DACβ∠=，则()cosαβ+=（）A．46B．36-C．36+D．463．若π2α<<，π02β-<<，π1cos43α⎛⎫+=⎪⎝⎭，π3cos423β⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin2βα⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．9-B．9C．539D．94．人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点()()1122,,,A x yB x y，O为坐标原点，余弦相似度similarity为向量,OA OB夹角的余弦值，记作()cos,A B，余弦距离为()1cos,A B-.已知()sin,cosPαα，()sin,cosQββ，()sin,cosRαα-，若P，Q的余弦距离为13，Q，R的余弦距离为12，则tan tanαβ⋅=（）A ．7B ．17C ．4D ．145．已知函数()()*sin cos n n n f x x x n =+∈N ，函数()4324y f x =-在3π0,8⎡⎤⎢⎣⎦上的零点的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知函数())2sin 02f x x x ωωω⎛⎫=->⎪⎝⎭的图像如图所示，则ω的值为（）A ．13B ．43C ．16D ．76二、多选题7．已知函数2()sin cos 2f x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．π()sin(2)3f x x =-B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的对称轴方程为()5ππZ 12x k k =+∈D ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到8．黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比12=）.在顶角为BAC ∠的黄金ABC 中，D 为BC 边上的中点，则（）A ．cos 342AD AC︒=B ．cos 27sin 27cos 27sin 27AD CD ︒+︒=︒-︒C ．AB 在AC 251AC+D ．cos BAC ∠是方程324231x x x +-=的一个实根9．已知()cos 4cos3f θθθ=+，且1θ，2θ，3θ是()f θ在()0,π内的三个不同零点，则（）A ．{}123π,,7∈θθθB ．123π++=θθθC ．1231cos cos cos 8θθθ=-D ．1231cos cos cos 2θθθ++=10．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD ，其中2π3COD ∠=，33OC OA ==，动点P 在 CD 上（含端点），连结OP 交扇形OAB 的弧 AB于点Q ，且OQ xOC yOD =+，则下列说法正确的是（）A ．若y x =，则23x y +=B ．若2y x =，则0OA OP ⋅=C ．2AB PQ ⋅≥-D ．112PA PB ⋅≥○热○点○题○型三三角函数综合应用一、解答题1．已知函数2()23cos 2cos 1f x x x x =-+.(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数()f x 在区间5ππ[,]126-的值域；2．已知)213,1,cos ,cos 2m x n x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，设函数()f x m n =⋅ ．(1)当π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，分别求函数()f x 取得最大值和最小值时x 的值；(2)设ABC 的内角,,A B C 的对应边分别是,,,a b c 且23a =，6,12A b f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，求c 的值．3．已知函数()()213cos cos 02f x x x x ωωωω=+->.(1)若1ω=，求函数()f x 的最小正周期；(2)若()y f x =图象在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一条对称轴，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围.4．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式，并求()f x 的单调递增区间；(2)若对任意π,3x t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()π116f x fx ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，求实数t 的取值范围.5．若实数x ，[0,2]y π∈，且满足cos()cos cos x y x y +=+，则称x ､y 是“余弦相关”的.(1)若2x π=，求出所有与之“余弦相关”的实数y ；(2)若实数x ､y 是“余弦相关”的，求x 的取值范围；(3)若不相等的两个实数x ､y 是“余弦相关”的，求证：存在实数z ，使得x ､z 为“余弦相关”的，y ､z 也为“余弦相关”的.。

上海各高中历年学校学生练习卷及期中期末试卷三角函数题目汇总

【题目】若 sin

2

5 12 , cos ，则角的终边在__________________ 13 2 13
A. 第一象限 C. 第三象限
B. 第二象限 D. 第四象限
【题目】已知扇形半径为 2，圆心角为
，则扇形的面积为_____________ 3
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2、诱导公式
1 【题目】若 sin ，则 cos _________________ 2 4
5 / 28
【题目】已知 ,2 ，则
A. sin
1 1 cos ______________________ 2 2

2
B. sin

2
C. cos

2
D. cos

2
3 5 【题目】 ABC 中， cos A ,cos B 则 sin C ______________ 5 13
4 【题目】已知 sin ，是第三象限角，则 sin 2 __________ 5
【题目】若 cos
1 2 3 则 sin __________________ 3 2【题目】若 sin 2
4 ，则 cos4 ______________________ 5
三角函数题目汇总知识点分布： 1、角度制与弧度制 3、同角的三角变换 5、正余弦定理与解三角形 6、三角函数 6.0 定义域与值域 6.2 解析式 6.4 奇偶性 6.6 周期性 6.8 凹凸性 6.10 三角不等式 6.12 函数性质综合题目文档结尾题目分类汇编：返回首页 1、角度制与弧度制【题目】一个扇形的半径是 1，圆心角为 4 弧度，则此扇形的面积为_______________ 6.1 图像 6.3 单调性 6.5 对称性 6.7 有界性 6.9 三角方程 6.11 反三角函数 2、诱导公式 4、三角变换

2023-2024学年上海市高一上学期数学人教A版-三角函数-强化训练-1-含解析

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年上海市高一上学期数学人教A 版-三角函数-强化训练(1)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）y=sinx y=sin （4x+）y=sin （4x ﹣）y=sin （x+）1. 将函数f （x ）=sin （2x﹣）的图象左移，再将图象上各点横坐标压缩到原来的，则所得到的图象的解析式为（）A. B. C. D. 2. 已知扇形的周长为，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积（）A. B. C.D.向左平移个单位长度向右平移个单位长度向左平移个单位长度向右平移个单位长度3. 为了得到函数y=cos （2x- ）的图象，只需将函数y=cos2x 的图象（）A. B. C. D. 4. 如果的终边过点，那么（）A. B. C. D.15. 若点在角的终边上，则的值为（）A. B. C. D.6. 设角的终边经过点，那么（）A. B. C. D.7. 已知角的终边过点，则的值为（）A. B. C. D.141或42或48. 已知扇形的周长为6cm ，面积为2cm 2 ，则扇形的圆心角的弧度数为（）A. B. C. D. 或9. 已知均为锐角，，则（）A. B. C. D.向左平移个单位长度向左平移个单位长度向右平移个单位长度向右平移个单位长度10. 为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x 的图象（）A. B. C. D. 11. 使成立的的一个变化区间是（）A. B. C. D.12. 已知扇形的半径为，面积为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（）A. B. C. D.13..14. 写出一个最小正周期为的奇函数： .15. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是 .16. 已知，则．17. 已知，求的值.18. 函数的部分图象如图所示.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 当x∈[-2，2]时，求f(x)的值域.19. 已知函数 .(1) 求的最小正周期；(2) 当时，(ⅰ)求函数的单调递减区间；(ⅱ)求函数的最大值､最小值，并分别求出使该函数取得最大值､最小值时的自变量的值.20. 已知函数的两个相邻零点之间的距离为.已知下列条件：①函数的图象关于直线对称②函数为奇函数.请从条件①，条件②中选择一个作为已知条件作答.(1) 求函数的解析式；(2) 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当，，且，恒有，求实数的取值范围.（注：如果选择条件①，条件②分别解答，则按第一个解答计分）21. 已知，(1) 求的值；(2) 若是第三象限角，求的值.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)(1)(2)。

(压轴题)高中数学必修四第一章《三角函数》测试(含答案解析)

一、选择题1．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移ϕ(02πϕ<≤)个单位，得到函数()g x 的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则ϕ=（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 2．函数()()12cos 20211f x x x π=++⎡⎤⎣⎦-在区间[]3,5-上所有零点的和等于（） A ．2B ．4C ．6D ．83．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O 的半径为4米，盛水筒M 从点0P 处开始运动，0OP 与水平面的所成角为30，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M 距离水面的高度H （单位；m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系式的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4．下列结论正确的是（） A ．sin1cos1< B ．2317cos cos 54ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()tan 52tan 47->-D ．sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x 的值为A ．3310- B ．3310+ C ．3310D ．43310- 6．已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C7．已知函数y =f (x )的部分图象如图所示，则其解析式可能是（）A ．()sin 2f x x x =B ．()||sin 2f x x x =C ．()cos 2f x x x =D ．()||cos2f x x x =8．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术日：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积12=(弦×矢+矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)及圆弧两端点的弦(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到孤田弦的距离之差，现有一弧田，其矢长等于8米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为128平方米，则其弧田弧所对圆心角的正弦值为（） A ．60169B ．120169C ．119169D ．591699．设函数()()sin 16f x x N πωω*⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在55,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则下述结论： ①()f x 关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；②()f x 关于直线23x π=轴对称；③()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④方程()1f x =在[]0,2π有4个不相同的根. 其中正确结论的编号是（） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④10．设函数()tan 3f x x π=-，()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是（） A ．4B ．5C ．12D ．1311．已知函数11()sin sin sin sin f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，现有命题：①()f x 的最大值为0； ②()f x 是偶函数； ③()f x 的周期为π； ④()f x 的图象关于直线2x π=对称.其中真命题的个数是（） A ．4B ．3C ．2D ．112．若函数()22()sin 23cos sin f x x x x =+-的图像为E ，则下列结论正确的是（） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．对任意的x ∈R ，都有()()3f x f x π=-C ．()f x 在7(,)1212ππ上是减函数 D ．由2sin 2y x =的图像向左平移3π个单位长度可以得到图像E 二、填空题13．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为603米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米.14．设函数()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为C ，给出下列命题：①图象C 关于直线1112π=x 对称；②函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数；③函数()f x 是奇函数；④图象C 关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称.其中，错误命题的是______.15．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是－2，则ω的最小值等于__________.16．已知M 是函数()()238sin f x x x x R π=--∈的所有零点之和.则M 的值为_____. 17．给出下列4个命题：①函数2cos 32y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数；②函数y =sin (2x +3π)的图象关于点(12π，0)成中心对称； ③x =8π是函数y =sin (2x +54π)的一条对称轴方程；④存在实数α，使得32sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.把你认为正确命题的序号都填在横线上____. 18．关于函数()4sin(2)(),3f x x x R π=+∈有下列命题：①由12()()0f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍；②()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称；③()y f x =的表达式可改写为4cos(2);6y x π=-④()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确命题的序号是_________.19．已知将函数()sin()(06,)22f x x ππωθωθ=+<<-<<的图象向右平移3π个单位长度得到画()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ωθ⋅=________.20．函数()()0,0,2(f x Asin x A πωϕωϕ=+>><)的部分图像如图所示.则()f x 的解析式是_____.三、解答题21．已知函数()()2sin 0,22x f x ωϕωπϕ=≥<⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度得到()g x 的图像， ()g x 图像关于原点对称，()f x 的相邻两条对称轴的距离是2π. （1）求()f x 在[]0,π上的增区间; （2）若()230f x m -=+在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解，求实数m 的取值范围.22．已知函数2()3sin cos cos (0)f x x x x ωωωω=->周期是2π. （1）求()f x 的解析式，并求()f x 的单调递增区间；（2）将()f x 图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移6π个单位，最后将整个函数图像向上平移32个单位后得到函数()g x 的图像，若263x ππ≤≤时，()2g x m -<恒成立，求m 得取值范围.23．如图所示，摩天轮的半径为50m ，最高点距离地面高度为110m ，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min .甲，乙两游客分别坐在P ，Q 两个座舱里，且他们之间间隔2个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点).（1）求劣弧PQ 的弧长l (单位：m )；（2）设游客丙从最低点M 处进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，求在转动一周的过程中，H 关于时间t 的函数解析式；（3）若游客在距离地面至少85m 的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.24．游客乘坐位于长沙贺龙体育场的摩天轮可近观长沙中心城区城市美景，远眺岳麓山，俯瞰橘子洲，饱览湘江风光.据工作人员介绍，该摩天轮直径约100米，摩天轮的最低处P 与地面的距离为20米，设有60个座舱，游客先乘坐直升电梯到入口(人口在摩天轮距地面的最低处)处等待，当座舱到达最低处P 时有序进入座舱，摩天轮逆时针方向匀速运行一周约需20分钟.以摩天轮的圆心为坐标原点，水平线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系.（1）试将游客甲离地面的距离()h t (单位：米)表示为其坐上摩天轮的时间t (单位：分钟)的函数；（2）若游客乙在甲后的5分钟也在点P 处坐上摩天轮，求在乙坐上摩天轮后的多少分钟时甲乙的离地面距离之差首次达到最大.25．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为()g x ，若不等式()0g x m -≤在[]0,6x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.26．己知函数()sin 3cos (0, 0 )f x A x A x A ωωω=+>>，其部分图象如图所示．（1）求A 和ω的值；（2）求函数()y f x =在[]0,π的单调增区间．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由图可知，172482g f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数图象的平移变化法则可知()()sin 2x g x ϕ=-，于是推出1717sin 224242g ππϕ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1722124k ππϕπ-=+或324k ππ+，k Z ∈，再结合02πϕ<≤，解之即可得ϕ的值.【详解】由图可知，17sin 224882g f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()f x 的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()g x 的图象，所以()()sin 2x g x ϕ=-，所以171717sin 2sin 22424122g πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1722124k ππϕπ-=+或17322124k ππϕπ-=+，k Z ∈，解得712k πϕπ=-或3k πϕπ=-，k Z ∈，因为02πϕ<≤，所以3πϕ=.故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.2．D解析：D 【分析】由图可得函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，画出函数图象，可得出()f x 在[]3,5-有8个零点，且关于1x =对称，即可求出.【详解】()()112cos 20212cos 11f x x x x x ππ=++=-⎡⎤⎣⎦--，令()0f x =，则12cos 1x x π=-，则函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，可得11y x =-和2cos y x π=的函数图象都关于1x =对称，则交点也关于1x =对称，画出两个函数的图象，观察图象可知，11y x =-和2cos y x π=在[]3,5-有8个交点，即()f x 有8个零点，且关于1x =对称，故所有零点的和为428⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查求函数的零点之和，解题的关键是将题目化为找11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，从而通过函数图象求解.3．D解析：D 【分析】先根据题意建立坐标系，写出盛水筒M 距离水面的高度H 与时间t 之间的函数关系式，再根据关系式即可判断. 【详解】解：以O 为圆心，过点O 的水平直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：0306xOP π∠==，OP ∴在()t s 内转过的角为：26030t t ππ=， ∴以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角为：306t ππ-，P ∴点的纵坐标为：4sin 306t ππ⎛⎫-⎪⎝⎭， H ∴与t 之间的函数关系式为：4sin 2306H t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，当sin 1306t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，max 426H =+=，当sin 1306t ππ⎛⎫-=-⎪⎝⎭时，max 422H =-+=-，对A ，B ，由图像易知max min H H =-，故A ，B 错误；对C ，max min H H <-，故C 错误；对D ，max min H H >-，故D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解题意，根据题意写出H 与t 之间的函数关系式.4．D解析：D 【分析】利用正弦函数的单调性可判断AD 选项的正误；利用正切函数的单调性可判断C 选项的正误；利用余弦函数的单调性可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，因为正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且01122ππ<-<<，则sin1sin 1cos12π⎛⎫>-=⎪⎝⎭，A 选项错误；对于B 选项，因为余弦函数cos y x =在()0,π上为减函数，23233cos cos cos 555πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，1717cos cos cos 444πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 3045πππ<<<，则3cos cos 54ππ<，即2317cos cos 54ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 选项错误；对于C 选项，当900x -<<时，正切函数tan y x =单调递增，因为9052470-<-<-<，所以，()()tan 52tan 47-<-，C 选项错误；对于D 选项，因为正弦函数sin y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，因为021018πππ-<-<-<，所以，sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 选项正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.5．A解析：A 【分析】由题意根据三角函数定义可知0x cos α=，先根据角α的取值范围求出6πα⎛⎫+⎪⎝⎭的取值范围继而求出4cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再通过凑角求cos α. 【详解】5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则26ππαπ<+<,则由3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得4cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.由点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，则0x cos α=. 又cos αcos 66ππα⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos sin 6666cos sin ππππαα⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭431552=-+⨯310-=故0x =.选A. 【点睛】本题考查三角函数定义及三角恒等变换的简单应用.解题中注意所求角的取值范围.由配凑法根据已知角构造所求角进行求解是三角恒等变换中常用的解题技巧.6．C解析：C 【分析】由题意利用诱导公式得1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】已知曲线1sin cos :2C y x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，2cos 23:C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移 12π个单位长度，得到曲线2cos 2cos 263:2C x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选C ．【点睛】本题主要考查函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．7．B解析：B 【分析】利用函数()0f π=排除两个选项，再由奇偶性排除一个后可得正确选项．【详解】由图象知()0f π=，经验证只有AB 满足，C 中()cos 2f ππππ==，D 中()f ππ=，排除CD ，A 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--==为偶函数，B 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-为奇函数，而图象关于原点对称，函数为奇函数，排除A ，选B ．故选：B ．【点睛】思路点睛：由函数图象选择解析式可从以下方面入手：(1)从图象的左右位置，观察函数的定义域；从图象的上下位置，观察函数的值域； (2)从图象的变化趋势观察函数的单调性； (3)从图象的对称性观察函数的奇偶性； (4)从图象的特殊点，排除不合要求的解析式．.8．B解析：B 【分析】求出弦长，再求出圆的半径，然后利用三角形面积求解．【详解】如图，由题意8CD =，弓琖ACB 的面积为128，1(8)81282AB ⨯+⨯=，24AB =，设所在圆半径为R ，即OA OB R ==，则22224(8)2R R ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得13R =， 5OD =，由211sin 22AB OD OA AOB ⨯=∠得 2245120sin 13169AOB ⨯∠==．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查扇形与弓形的的有关计算问题，解题关键是读懂题意，在读懂题意基础上求出弦长AB ，然后求得半径R ，从而可解决扇形中的所有问题．9．D解析：D 【分析】利用题干中的已知条件求得2ω=，可得出()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的对称性可判断①②的正误，利用正弦型函数的值域可判断③的正误，求出方程()1f x =在[]0,2π上的解，可判断④的正误. 【详解】N ω*∈，由55,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得55126666x πωπππωπω-≤-≤-，由于函数()()sin 16f x x N πωω*⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在55,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以，()553,2,21266622k k k Z πωππωπππππ⎡⎤⎡⎤--⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以，521262532662k k ωππππωππππ⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，解得()248121055k k k Z ω++≤≤∈，由248121055k k ++≤，解得16k ≤，N ω*∈且k Z ∈，0k ∴=，可得825ω≤≤，2ω∴=，则()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.对于①，sin 2sin 00126ππ⎛⎫⨯-==⎪⎝⎭，所以，112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，①错误；对于②，271sin 2sin 13662πππ⎛⎫⨯-==-≠± ⎪⎝⎭，②错误；对于③，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5112,666x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则11sin 262x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以，()302f x ≤≤，即()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，③正确；对于④，当[]0,2x π∈时，232,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令()1f x =，可得sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，206x π∴-=或26x ππ-=或226x ππ-=或236x ππ-=.所以，方程()1f x =在[]0,2π有4个不相同的根，④正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.10．A解析：A 【分析】由题意知函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数，作出两个函数图象，数形结合即可求解. 【详解】令()()()0h x f x g x =-=可得()()f x g x =，所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数. 分别作出()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象，由图知两个函数图象在区间[]2,2ππ-上有4个交点，所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是4，故选：A 【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接法：令()0f x =，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，并且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据()()()0f x h x g x =⇔=，则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.11．A解析：A 【分析】先求函数的定义域，再根据函数奇偶性定义，周期函数的定义可判断②③的正误，再根据函数解析的特征可判断④的正误，最后利用换元法可求判断①的正误. 【详解】22111()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由sin 0x ≠可得,x k k Z π≠∈，故函数的定义域为{}|,x x k k Z π≠∈，所以函数的定义域关于原点对称.又()()()222211()sin sin sin sin f x x x f x x x-=--=-=-，故()f x 为偶函数，故②正确.又()()()221()sin sin f x x f x x πππ+=+-=+，故()f x 是周期函数且周期为π，故③正确. 又()()()221()sin sin f x x f x x πππ-=--=-，故()f x 的图象关于直线2x π=对称，故④正确.令2sin t x =，则(]0,1t ∈且()1f x t t=-，因为1y t t=-为(]0,1上的增函数，故()max 0f x =，故①正确. 故选：A. 【点睛】思路点睛：对于复杂函数的性质的研究，注意先研究函数的定义域，再研究函数的奇偶性或周期性，最后再研究函数的单调性，讨论函数图象的对称性，注意根据()()f a x f x -=来讨论. 12．C解析：C 【分析】利用二倍角和辅助角公式化简函数为()2sin(2+)3f x x π=；根据正弦型函数的性质验证选项得解【详解】()sin 222sin(2+)3f x x x x π==()f x 最小正周期22T ππ==，A 错误； ()2sin[2()+]2sin(2)2sin 2333f x x x x ππππ-=-=-=，B 错误；当7(,)1212x ππ∈时，32(,)322x πππ+∈ ()f x ∴在7(,)1212ππ上是减函数，C 正确；将2sin 2y x =向左平移3π个单位长度得到22sin[2()]2sin(2)33y x x ππ=-=-，D 错误. 故选：C 【点睛】本题考查正弦型函数性质的相关命题的辨析，涉及到二倍角和辅助角公式化简三角函数、正弦型函数的周期性、对称性和单调区间的求解、三角函数平移变换的应用等知识；关键是能够熟练掌握整体对应的方法，通过代入检验，结合正弦函数图象可确定正弦型函数的性质.二、填空题13．【分析】如图作出月牙湖的示意图由题意可得可求的值进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解【详解】如图是月牙湖的示意图是的中点连结可得由条件可知所以所以所以月牙泉的周长故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的解析：(40303)π+【分析】如图，作出月牙湖的示意图，由题意可得3sin QPO ∠=，可求,QPO QPT ∠∠的值，进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解. 【详解】如图，是月牙湖的示意图，O 是QT 的中点，连结PO ，可得PO QT ⊥，由条件可知603QT =，60PQ = 所以3sin 2QPO ∠=，所以3QPO π∠=，23QPT π∠=，所以月牙泉的周长(260303403033l πππ=⨯+⨯=+.故答案为：(40π+ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据实际问题抽象出图象，再根据数形结合分析问题.14．②③④【分析】根据函数的图象与性质分析函数的对称性奇偶性与单调性即可得出结论【详解】解：①由得令直线为函数图象的对称轴故图象C 关于直线对称故①正确；由得令得函数在区间内是增函数故②错误；故函数不是奇解析：②③④ 【分析】根据函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象与性质，分析函数的对称性，奇偶性与单调性，即可得出结论. 【详解】解：①由232x k πππ-=+，Z k ∈，得25121x k ππ=+，Z k ∈，令1k =，直线1112π=x 为函数图象的对称轴，故图象C 关于直线1112π=x 对称，故①正确；由222232k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，得5,1212x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，令0k =，得函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数，故②错误； ()00f ≠，故函数()f x 不是奇函数，故③错误；由23x k ππ-=，k Z ∈，得612x k ππ=+，k Z ∈，图象C 不关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故④错误.故答案为：②③④. 【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15．【分析】先根据函数在区间上的最小值是确定的取值范围进而可得到或求出的范围得到答案【详解】函数在区间上的最小值是则的取值范围是当时函数有最小值或或的最小值等于故答案为：【点睛】本题主要考查正弦函数的最解析：32【分析】先根据函数在区间[,]34ππ-上的最小值是2-确定x ω的取值范围，进而可得到32ωππ--或342ωππ，求出ω的范围得到答案．【详解】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则x ω的取值范围是[,]34ωπωπ-，当22x k πωπ=-+，k Z ∈时，函数有最小值2-，32ωππ∴--，或342ωππ，k Z ∈， ∴32ω≥，或6ω，k Z ∈， 0ω>，ω∴的最小值等于32．故答案为：32．【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用．考查基础知识的运用能力．三角函数式高考的重要考点，一定要强化复习．16．【分析】根据和的函数图像的对称点和交点个数得出答案【详解】令可得作出和的函数图像如图所示：由图像可知两函数图像有个交点又两函数图像均关于直线对称的个零点之和为故答案为：【点睛】本题考查了函数零点之和解析：12【分析】根据8sin y x π=和23y x =-的函数图像的对称点和交点个数得出答案. 【详解】令()0f x =可得8sin 23x x π=-，作出8sin y x π=和23y x =-的函数图像如图所示：由图像可知两函数图像有8个交点，又两函数图像均关于直线32x =对称， ∴()f x 的8个零点之和为324122⨯⨯=.故答案为：12 【点睛】本题考查了函数零点之和，考查了转化与化归、数形结合的思想，属于基础题.17．①③【分析】根据三角函数的奇偶性对称中心对称轴和最值对四个命题逐一分析由此确定正确命题的序号【详解】①为奇函数所以①正确②由于所以②错误③由于所以③正确④由于的最大值为所以④错误故答案为：①③【点睛解析：①③ 【分析】根据三角函数的奇偶性、对称中心、对称轴和最值对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号. 【详解】①，22cos sin 323y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭为奇函数，所以①正确.②，由于sin 2sin 11232πππ⎛⎫⨯+== ⎪⎝⎭，所以②错误. ③，由于53sin 2sin 1842πππ⎛⎫⨯+==- ⎪⎝⎭，所以③正确. ④24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭2322<，所以④错误.故答案为：①③ 【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、对称性、最值以及诱导公式，属于中档题.18．②③【分析】根据三角函数的零点性质三角函数对称和三角函数诱导公式依次判断每个选项得到答案【详解】①中是的两个零点即是的整数倍①错误；②中②正确；故④错误；③中③正确；所以正确命题序号是②③故答案为：解析：②③ 【分析】根据三角函数的零点性质，三角函数对称和三角函数诱导公式依次判断每个选项得到答案. 【详解】①中12,x x 是()f x 的两个零点，即12x x -是2π的整数倍，①错误； ②中06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，②正确；故④错误； ③中4sin 24cos 2cos 23236y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③正确；所以正确命题序号是②③. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查了三角函数的对称，零点，诱导公式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19．【分析】和的图象都关于对称所以①②由①②结合即可得到答案【详解】由题意因为和的图象都关于对称所以①②由①②得又所以将代入①得注意到所以所以故答案为：【点睛】本题考查正弦型函数的性质涉及到函数图象的平解析：34π-【分析】()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，所以11,42k k Z ππωθπ+=+∈①，22,432k k Z πππωωθπ-+=+∈②，由①②结合06,22ππωθ<<-<<即可得到答案.【详解】由题意，()()sin()33g x f x x ππωωθ=-=-+，因为()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，所以11,42k k Z ππωθπ+=+∈①，22,432k k Z πππωωθπ-+=+∈②，由①②，得12123(),,k k k k Z ω=-∈，又06ω<<，所以3ω=，将3ω=代入①，得11,4k k Z πθπ=-∈，注意到22ππθ-<<，所以4πθ=-，所以34ωθπ⋅=-.故答案为：34π- 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到函数图象的平移、函数的对称性，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.20．【分析】由图像对应横坐标可求再将代入可进一步求解由图像过点可求进而求解【详解】由解得又函数过所以解得又图像过可得解得故故答案为：【点睛】本题考查由三角函数图像求解析式属于中档题解析：()2sin 26f x πx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭【分析】由34T 图像对应横坐标可求ω，再将6x π=代入可进一步求解ϕ，由图像过()0,1点可求A ，进而求解【详解】由1132312644T πππω-==⋅，解得2ω=，又函数过()max ,6f x π⎛⎫⎪⎝⎭，所以63A f Asin ππϕ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎝⎭+⎭=，解得6π=ϕ，又图像过()0,1可得()106f Asin π==，解得2A =，故()2sin 26f x πx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭故答案为：()2sin 26f x πx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭【点睛】本题考查由三角函数图像求解析式，属于中档题三、解答题21．（1）70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（2）12⎛ ⎝⎦. 【分析】（1）由()f x 的相邻两条对称轴的距离是2π，可得函数的周期，从而得出ω的值，由平移得出()g x 的解析式，根据()g x 图像关于原点对称，可求出ϕ的值，从而可求()f x 单调增区间,得出答案.（2）令23t x π=+则4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[2s n 2]i t ∈，根据()230f x m -=+有两解，即2sin 32t m =-有两解，从而可得答案. 【详解】解:由()f x 的相邻两条对称轴的距离是2π，则22T ππω==，1,ω∴= ()()2sin 2f x x ϕ∴=+()2sin 2sin 2326x g x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎛⎫==-+ ⎪⎝⎥⎝⎣⎦⎭⎭函数()g x 的图像关于原点对称，3k πϕπ-+=，,2πϕ<所以3πϕ=()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭（1）由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 令0k =得51212x ππ-≤≤ 1k =得7131212x ππ≤≤ ()f x ∴在[]0,π增区间是70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()2令23t x π=+，0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则4,33t ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦所以[2s n 2]i t ∈若()230f x m -=+有两解，即2sin 32t m =-在4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解，由2sin y t =322m -<，即123m <≤12m ∴<≤m ∴的取值范围是12⎛ ⎝⎦【点睛】关键点睛：本题考查求正弦型函数的单调增区间和根据方程的解个数求参数的范围问题，解答本题的关键是设23t x π=+，由0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以[2s n ,2]i 3t ∈-若()230f x m -=+有两解，即2sin 32t m =-在4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解，然后数形结合求解，属于中档题.22．（1）1()sin 462f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，单调递增区间为,21226k k ππππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）()0,2. 【分析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式化简可得1()sin 262f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由222T ππω==，解得2ω=，带入正弦函数的递增区间242262k x k πππππ-≤-≤+，化简即可得解；（2）根据三角函数的平移和伸缩变换可得()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据题意只需要max min [()2][()2]g x m g x -<<+，分别在263x ππ≤≤范围内求出()g x 的最值即可得解. 【详解】（1）2()3cos cos f x x x x ωωω=-312(cos 21)22x x ωω=-+ 1sin 262x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由222T ππω==，解得2ω=所以，1()sin 462f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ∵242262k x k πππππ-≤-≤+∴224233k x k ππππ-≤≤+∴21226k k x ππππ-≤≤+ ∴()f x 的单调递增区间为,21226k k ππππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ （2）依题意得()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为|()|2g x m -<，所以()2()2g x m g x -<<+因为当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2()2g x m g x -<<+恒成立所以只需max min [()2][()2]g x m g x -<<+转化为求()g x 的最大值与最小值当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()y g x =为单调减函数所以max ()1126g x g π⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，()min21103g x g π⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭，从而max [()2]0g x -=，min [()2]2g x +=，即02m <<所以m 的取值范围是()0,2. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性和最值，考查了三角函数的辅助角公式和平移伸缩变换，有一定的计算量，属于中档题.本题关键点有：（1）三角函数基本量的理解应用；（2）三角函数图像平移伸缩变换的方法；（3）恒成立思想的理解及转化. 23．（1）252m π；（2）50sin()6062H x ππ=-+，其中012t ≤≤；（3）5min 2. 【分析】（1）根据弧长的计算公式可求PQ 的长度.（2）建立如图所示的平面直角坐标系，利用三角函数的定义可求H 关于时间t 的函数解析式.（3）利用（2）中所得的解析式并令85H ≥，求出不等式的解后可得甲，乙两位游客都有最佳视觉效果的时间长度. 【详解】（1）因为摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为22412ππ=，故25350122lm ππ. （2）建立如图所示的平面直角坐标系，设sin()H A wx B ϕ=++，由题意知，12T =，所以26w T ππ==，又由50,1105060A r B ===-=，所以50sin()606H x πϕ=++，当0x =时，可得sin 1ϕ=-，所以2πϕ=-，故H 关于时间t 的函数解析式为50sin()6062H x ππ=-+，其中012t ≤≤.（3）令50sin()608562H x ππ=-+≥，即1sin()622x ππ-≥，令522,6626k x k k Z ππππππ+≤-≤+∈，解得412812,k x k k Z +≤≤+∈，因为甲乙两人相差3312min 242⨯=，又由354min 22-=，所以有5min 2甲乙都有最佳视觉效果. 【点睛】三角函数实际应用问题的处理策略： 1、已知函数模型求解数学问题；2、把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题；3、根据实际问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质. 24．（1）()50sin 707050cos ,010210h t t t t πππ⎛⎫=-+=-≥ ⎪⎝⎭；（2）52分钟. 【分析】（1）根据题意分析游客甲绕原点作匀速圆周运动，根据三角函数定义可把他离地面的距离()h t 表示出来；（2）先求出游客乙离地面距离的函数()g t ，则()()h h t g t =-△即为甲乙的离地面距离之差，利用函数求最值. 【详解】（1）法1：据题意，游客甲绕原点按逆时针方向作角速度为22010ππ=弧度/分钟的匀速圆周运动，设经过t 分钟后甲到达Q ，则以OP 为始边，OQ 为终边的角的大小是10t π，因为圆的半径为50r =米，由三角函数定义知点Q 的纵坐标为50sin 102y t ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则其离地面的距离为：()()205050sin 7050cos 010210h t t t t πππ⎛⎫=++-=-≥⎪⎝⎭. 法2：因为摩天轮是作匀速圆周运动，故可设()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>，据题意有12050,2070,A b A A b b ⎧+==⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩又周期20T =，所以10πω=，由在最低点入舱得01022πππϕϕ⋅+=-⇒=-，故得()50sin 707050cos ,010210h t t t t πππ⎛⎫=-+=-≥ ⎪⎝⎭. （2）由（1）可知游客乙离地面的距离：()()7050cos 57050sin 1010g t t t ππ⎡⎤=--=-⎢⎥⎣⎦，其中时间t 表示游客甲坐上摩天轮的时间，则甲乙的离地面距离之差为：()()50sin cos 1010104h h t g t t t t ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，当()21042t k k ππππ-=+∈Z ，即()15202t k k =+∈Z 时，甲乙离地面距离之差达到最大，所以152t =，即游客乙坐上摩天轮552t -=分钟后，甲乙的离地面距离之差首次达到最大. 【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；。

上海备战中考数学—锐角三角函数的综合压轴题专题复习

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．【解析】试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．试题解析：（1）AE=CE．理由：连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB 的延长线于切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AC∥EF，证明见解析；（3）FG= ．【解析】试题分析：（1）如图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；（2）AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF；（3）如图3所示，连接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度．试题解析：（1）如图1，连接OG．∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又∵OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．（2）AC∥EF，理由为连接GD，如图2所示．∵KG2=KD•GE，即，∴，又∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK，∴∠E=∠AGD，又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠C，∴AC∥EF；（3）连接OG，OC，如图3所示，∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又∵OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．∵sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK-CH=t．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（2）2，解得t=．设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r-3t）2+（4t）2=r2，解得r= t=．∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH=，∴FG=【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．3．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D．(1)求证：PA是☉O的切线；(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.【解析】试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，∴AE=2OA=4，OB=OA=2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.易证，所以,解得，则，在中，.考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．4．如图，已知正方形在直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，点在坐标原点.等腰直角三角板的直角顶点在原点，分别在上，且将三角板绕点逆时针旋转至的位置，连结（1）求证：（2）若三角板绕点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，或【解析】（1）证明：∵四边形为正方形，∴∵三角板是等腰直角三角形，∴又三角板绕点逆时针旋转至的位置时，∴···························· 3分（2）存在.································· 4分∵∴过点与平行的直线有且只有一条，并与垂直，又当三角板绕点逆时针旋转一周时，则点在以为圆心，以为半径的圆上，························ 5分∴过点与垂直的直线必是圆的切线，又点是圆外一点，过点与圆相切的直线有且只有2条，不妨设为和此时，点分别在点和点，满足·························· 7分当切点在第二象限时，点在第一象限，在直角三角形中，∴∴∴点的横坐标为：点的纵坐标为：∴点的坐标为··························· 9分当切点在第一象限时，点在第四象限，同理可求：点的坐标为综上所述，三角板绕点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得此时点的坐标为或································ 11分（1）根据旋转的性质找到相等的线段，根据SAS定理证明；（2）由于△OEF是等腰Rt△，若OE∥CF，那么CF必与OF垂直；在旋转过程中，E、F的轨迹是以O为圆心，OE（或OF）长为半径的圆，若CF⊥OF，那么CF必为⊙O的切线，且切点为F；可过C作⊙O的切线，那么这两个切点都符合F点的要求，因此对应的E点也有两个；在Rt△OFC中，OF=2，OC=OA=4，可证得∠FCO=30°，即∠EOC=30°，已知了OE 的长，通过解直角三角形，不难得到E点的坐标，由此得解．5．如图1，以点M（－1，0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y＝－x－与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值；（3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT 交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）OE=5，r=2，CH=2（2）；（3）a=4【解析】【分析】（1）在直线y＝－x－中，令y=0，可求得E的坐标，即可得到OE的长为5；连接MH，根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2；再由EC=MC=2，∠EHM=90°，可知CH 是RT△EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长；（2）连接DQ、CQ．根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QPD，从而求得DQ的长，在直角三角形CDQ中，即可求得∠D的余弦值，即为cos∠QHC的值；（3）连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，由圆周角定理可知，∠GTA=90°，∠3=∠4，故∠AKC=∠MAN，再由△AMK∽△NMA即可得出结论．【详解】（1）OE=5，r=2，CH=2（2）如图1，连接QC、QD，则∠CQD =90°，∠QHC =∠QDC，易知△CHP∽△DQP，故，得DQ=3，由于CD=4，；（3）如图2，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则，由于，故，；而，故在和中，；故△AMK ∽△NMA;即：故存在常数，始终满足常数a="4"解法二：连结BM ，证明∽得6．阅读下面材料：观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，过A 作AD ⊥BC 于D （如图），则sin B ＝AD c ，sin C ＝ADb，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即sin sin b c B C = ．同理有：sin sin c aC A=，sin sin a b A B=，所以sin sin sin a b cA B C ==．即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．（1）如图，△ABC 中，∠B ＝75°，∠C ＝45°，BC ＝60，则AB ＝；（2）如图，一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西75°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A 的距离AB ．（3）在（2）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）【答案】（1）6；（2）6海里；（3）6+24. 【解析】【分析】（1）根据材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，写出比例关系，代入数值即可求得AB 的值.（2）此题可先由速度和时间求出BC的距离，再由各方向角得出∠A的角度，过B作BM⊥AC于M，求出∠MBC=30°，求出MC，由勾股定理求出BM，求出AM、BM的长，由勾股定理求出AB即可；（3）在三角形ABC中，∠A=45，∠ABC=75，∠ACB=60，过点C作AC的垂线BD，构造直角三角形ABD，BCD，在直角三角形ABD中可求出AD的长，进而可求出sin75°的值．【详解】解：（1）在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°，BC=60，则∠A=60°，∵ABsinC =sinBCA，∴45ABsin=60sin60，即2 =3，解得：AB=206.（2）如图，依题意：BC=60×0.5=30（海里）∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE=180°∵∠DCB=30°，∴∠CBE=150°∵∠ABE=75°．∴∠ABC=75°，∴∠A=45°，在△ABC中，sinABACB∠=BCsin A∠即60?ABsin=3045?sin，解之得：6．答：货轮距灯塔的距离6海里．（3）过点B作AC的垂线BM，垂足为M.在直角三角形ABM中，∠A=45°，AB=156，所以AM=153，在直角三角形BDC中，∠BCM=60°，BC=30°，可求得CM=15，所以AC=153+15，由题意得，1531575sin＝15660，sin75°=6+2．【点睛】本题考查方向角的含义，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题关键是熟练掌握解直角三角形方法．7．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并直接写出∠FCN的度数（不要写出解答过程）（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请求出tan∠FCN的值．若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．【答案】（1）见解析；（2）∠FCN＝45°，理由见解析；（3）当点E由B向C运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN＝43．理由见解析. 【解析】【分析】（1）根据三角形判定方法进行证明即可．（2）作FH ⊥MN 于H ．先证△ABE ≌△EHF ，得到对应边相等，从而推出△CHF 是等腰直角三角形，∠FCH 的度数就可以求得了．（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形， ∴AB ＝AD ，AE ＝AG ＝EF ，∠BAD ＝∠EAG ＝∠ADC ＝90°， ∴∠BAE +∠EAD ＝∠DAG +∠EAD ，∠ADG ＝90°＝∠ABE ， ∴∠BAE ＝∠DAG ，在△ADG 和△ABE 中，ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADG ≌△ABE （AAS ）．（2）解：∠FCN ＝45°，理由如下：作FH ⊥MN 于H ，如图1所示：则∠EHF ＝90°＝∠ABE ， ∵∠AEF ＝∠ABE ＝90°，∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠FEH +∠AEB ＝90°， ∴∠FEH ＝∠BAE ，在△EFH 和△ABE 中，EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EFH ≌△ABE （AAS ）， ∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ， ∴CH ＝BE ＝FH ， ∵∠FHC ＝90°，∴∠FCN＝45°．（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，理由如下：作FH⊥MN于H，如图2所示：由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90°，结合（1）（2）得：△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，∴EH＝AD＝BC＝8，∴CH＝BE，∴EH FH FHAB BE CH==；在Rt△FEH中，tan∠FCN＝8463 FH EHCH AB===，∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝43．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．8．如图，△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝35，点P是AC边上一动点（不与点A、C重合），以PA长为半径的⊙P与边AB的另一个交点为D，过点D作DE⊥CB于点E．（1）当⊙P与边BC相切时，求⊙P的半径．（2）连接BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．（3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.【答案】（1）409R=;（2）25880320xy x xx=-++;（3）50105-.【解析】【分析】（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC＝35，则sinC＝45，sinC＝HPCP＝10RR-＝45，即可求解；（2）首先证明PD∥BE，则EB BFPD PF=，即：2024588x yxxxy-+--=，即可求解；（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG＝EP＝BD，即：AB＝DB+AD＝AG+AD＝45，即可求解．【详解】（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC＝35，则sinC＝45，sinC＝HPCP＝10RR-＝45，解得：R＝409；（2）在△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝35，设AP＝PD＝x，∠A＝∠ABC＝β，过点B作BH⊥AC，则BH ＝ACsinC ＝8，同理可得：CH ＝6，HA ＝4，AB ＝45，则：tan ∠CAB ＝2， BP ＝228+(4)x -＝2880x x -+，DA ＝25x ，则BD ＝45﹣25x ，如下图所示，PA ＝PD ，∴∠PAD ＝∠CAB ＝∠CBA ＝β，tanβ＝2，则cosβ5，sinβ5， EB ＝BDcosβ＝（525x ）5＝4﹣25x ，∴PD ∥BE ，∴EB BFPD PF=，即：2024588x y x xx -+--=，整理得：y 25xx 8x 803x 20-++（3）以EP 为直径作圆Q 如下图所示，两个圆交于点G，则PG＝PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，∵点Q是弧GD的中点，∴DG⊥EP，∵AG是圆P的直径，∴∠GDA＝90°，∴EP∥BD，由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形，∴AG＝EP＝BD，∴AB＝DB+AD＝AG+AD＝5设圆的半径为r，在△ADG中，AD＝2rcosβ5DG5AG＝2r，5＝52r51，则：DG550﹣5相交所得的公共弦的长为50﹣5【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．9．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．【答案】拦截点D处到公路的距离是(500＋500)米．【解析】试题分析：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF．解Rt△BCE，求出BE=BC=×1000=500米；解Rt△CDF，求出CF=CD=500米，则DA=BE+CF=（500+500）米．试题解析：如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF．在Rt△BCE中，∵∠E=90°，∠CBE=60°，∴∠BCE=30°，∴BE=BC=×1000=500米；在Rt△CDF中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=BC=1000米，∴CF=CD=500米，∴DA=BE+CF=（500+500）米，故拦截点D处到公路的距离是（500+500）米．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．10．如图，正方形ABCD2+1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F，（1）求证：△ABF∽△ACE；（2）求tan∠BAE的值；（3）在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB＝2﹣1；（3）PE+PF的最小值为．22【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图1中，作EH⊥AC于H．首先证明BE=EH=HC，设BE=EH=HC=x，构建方程求出x 即可解决问题；（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH的长；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACE＝∠ABF＝∠CAB＝45°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠BAF＝22.5°，∴△ABF∽△ACE．（2）解：如图1中，作EH⊥AC于H．∵EA平分∠CAB，EH⊥AC，EB⊥AB，∴BE＝EB，∵∠HCE＝45°，∠CHE＝90°，∴∠HCE＝∠HEC＝45°，∴HC＝EH，∴BE＝EH＝HC，设BE＝HE＝HC＝x，则EC2，∵BC2+1，∴x+x2+1，∴x＝1，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝90°，∴tan ∠EAB ＝221BE AB ＝＝+﹣1．（3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．作EM ⊥BD 于M ．BM ＝EM ＝22， ∵AC 22AB BC +2， ∴OA ＝OC ＝OB ＝12AC 22+ ， ∴OH ＝OF ＝OA•tan ∠OAF ＝OA•tan ∠EAB ＝222+ •2﹣1）＝22， ∴HM ＝OH+OM ＝222+，在Rt △EHM 中，EH 2222222EM HM 22⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝22+．． ∴PE+PF 22+ 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．。

专题2 三角函数压轴小题(解析版)

专题2三角函数压轴小题一、单选题 1．（2021·上海市吴淞中学高三期中）如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线12,l l 之间，12l l //，l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于点E 、D ，设弧FG 的长为x (0)x π<<，y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数()y f x =的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】根据给定条件求出函数()y f x =的解析式，再借助函数性质即可判断作答. 【详解】依题意，正ABC 的高为1，则其边长BC =如图，连接OF ，OG ，过O 作ON ⊥l 1于N ，交l 于点M ，过E 作EH ⊥l 1于H ，因OF =1，弧FG 的长为x (0)x π<<，则FOG x ∠=，又12////l l l ，即有1122FON FOG x ∠=∠=，于是得cos cos 2x OM OF FON =⋅∠=，1cos 2x EH MN ON OM ==-=-，2cos )sin 6032EH xEB ==-，因此，2cos )22x xy EB BC CD EB BC =++=+=-=，即()2xf x =，0πx <<，显然()f x 在(0,)π上单调递增，且图象是曲线，排除选项A ，B ，而2312432fππ+⎛⎫==<=⎪⎝⎭⎭，C选项不满足，D选项符合要求，所以函数()y f x=的图像大致是选项D.故选：D【点睛】方法点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．2．（2021·上海市晋元高级中学高三期中）已知(){}|sin,A y y n n Zωϕ==+∈，若存在ϕ使得集合A中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（）A．27πB．25πC．2πD．23π【答案】A【分析】利用赋值法逐项写出一个周期中的元素，再结合三角函数诱导公式判断是否存在ϕ符合题意即可.【详解】解：对A，当2=7πω，27siny nϕπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，函数的周期为22727Tπππω===在一个周期内，对n赋值当0n=时，sinyϕ=；当1n=时，27sinyπϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭；当2n=时，47sinyπϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭；当3n=时，67sinyπϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭；当4n=时，867s n si7i nyϕππϕ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-；当5n=时，10s4n7i n7siyππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪-⎪⎝⎭⎝⎭；当6n=时，12s2n7i n7siyππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪-⎪⎝⎭⎝⎭；令2ϕπ=时，sin sin12πϕ==sin sin cos27722227πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin cos47724247πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin cos 67726267πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以存在ϕ使得1n =时的y 值等于6n =时的y 值，2n =时的y 值等于5n =时的y 值，3n =时的y 值等于4n =时的y 值.但是当n 等于0、1、2、3时，不存在ϕ使得这个y 值中的任何两个相等所以当2=7πω时，集合A 中至少有四个元素，不符合题意，故A 错误；对B ，当2=5πω，25sin y n ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数的周期为22525T πππω=== 在一个周期内，对n 赋值当0n =时，sin y ϕ=；当1n =时，25sin y πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；当2n =时，45sin y πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；当3n =时，645s n si 5i n y ϕππϕ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-；当4n =时，825s n si 5i n y ϕππϕ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-；令2ϕπ=，sin 12π= sin sin cos 25522225πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin cos 45524245πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当2=5πω时，符合题意，故B 正确；对C ，当=2πω，2sin y n πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数的周期为2242T πππω=== 在一个周期内，对n 赋值当0n =时，sin y ϕ=；当1n =时，sin cos 2y πϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；当2n =时，()sin sin y ϕπϕ=+=-；当3n =时，sin os 3c 2y πϕϕ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭；令0ϕ=，则sin0sin00=-=，cos01=，cos01-=- 所以当=2πω时，符合题意，故C 正确；对D ，当32=πω，23sin y n ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数的周期为22323T πππω=== 在一个周期内，对n 赋值当0n =时，sin y ϕ=；当1n =时，23sin y πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；当2n =时，43sin y πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；令0ϕ=，sin00=，2sin 3π=4sin 3π= 所以当32=πω时，符合题意，故D 正确. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题一共有三个变量：ω，n ，ϕ.属于多变量题目，对于该题，要先确定一个变量，再对第二个变量赋值，然后再对第三个变量赋值，以此分类讨论即可.3．（2021·广西南宁·高三月考（文））已知函数f (xx +4cos x )+2sin x ，则f (x )的最大值为（） A ．B ．172C ．6D ．【答案】B 【分析】先将sin 2x 展开，提公因式并结合拼凑法可得())()21sin 24f x x x =++-，结合22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭放缩，联立辅助角公式化简，即可求解. 【详解】()))sin 24cos 2sin 2sin cos 4cos 2sin f x x x x x x x x ++++()())()sin 22sin 2421sin 24x x x x x =+++-=++-，由sin 20x +>可知，要求()f x最大值，只需10x +>即可，结合基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可得())()222sin 3321sin 242442x f x x x π⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++-≤⋅-=-⎝⎭172≤，当且仅当1sin 2sin 13x x x π+=+⎨⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎩，即62,x k k Z ππ=+∈时等号成立，因此当62,x k k Z ππ=+∈时()f x的最大值为172. 故选：B4．（2021·江苏扬州·高三月考）已知△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若sin sin 2B Cb a B +=，且△ABC 内切圆面积为9π，则△ABC 面积的最小值为（）AB ．C ．D ．【答案】D 【分析】根据已知条件及正弦定理可得3A π=，由内切圆的面积可得内切圆半径3r =，最后根据()1sin 22ABCr a b c Sbc A ++==及余弦定理，并结合基本不等式求bc 的范围，进而求△ABC 面积的最小值. 【详解】由题设，sin sin sin sin 2B C B A B +=，而sin 0B ≠且222B C Aπ+=-， ∴cos sin 2sin cos 222A A A A ==，022A π<<，则1sin 22A =，∴3A π=，由题设△ABC 内切圆半径3r =，又()1sin 22ABCr a b c Sbc A ++==，∴)a b c bc ++=，而222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥，即a ≥∴bc ≥108bc ≥，当且仅当a b c ===.∴1sin 2ABCSbc A =≥ 故选：D5．（2021·四川绵阳·高三月考（理））函数()()3sin x x f ωϕ=+（0>ω，2πϕ<），已知||33f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且对于任意的R x ∈都有066f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（）A ．11B ．9C ．7D ．5【答案】D 【分析】结合正弦函数的最值，对称性求ϕ的值，再结合单调性确定ω的最大值. 【详解】∵ ||33f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()3sin x x f ωϕ=+，∴32k ππωϕπ+=+，k Z ∈，又对于任意的R x ∈都有066f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ 6m πωϕπ-+=，m Z ∈，∴ 3(2)2k m πϕπ=++，又2πϕ<，∴ 6π=ϕ或6πϕ=-，当6π=ϕ时， 31w k =+，k Z ∈且61w m =-+，当7w =时，()3sin 76f x x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭+，若52,369x，则4131736618x πππ≤+≤， ∴()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，C 错误，当6πϕ=-时， 32w k =+，k Z ∈且61w m =--，当11w =时，()3sin 116f x x π⎛⎫ ⎪⎝-⎭=，若52,369x，则49411136618x πππ≤-≤， ∴()f x 在52,369ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，A 错误，当5w =时，()3sin 56f x x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-，若52,369x，则1917536618x πππ≤-≤， ∴()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，D 正确，故选：D. 【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质求函数解析式的关键在于转化为正弦函数的问题.6．（2021·河北·邯郸市肥乡区第一中学高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A ．⎝B ．32⎛ ⎝C ．⎣D ．32⎡⎢⎣【答案】A 【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C b c C⎛⎫++= ⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案. 【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π= ∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos B C b c +=由正弦定理化简得∴cos cos c B b C ⋅+⋅==∴sin cos cos sin C B C B +∴sin()sin B C A +==∴b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin )326a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+203A π<<∴5666A πππ<+<∴)6A π<+≤a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边： ①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r= ②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7．（2021·四川·绵阳中学实验学校模拟预测）某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰PMN 的顶点P 在半径为20m 的大⊙O 上，点M ，N 在半径为10m 的小⊙O 上，点O ，点P 在弦MN 的同侧.设2(0)2MON παα=<<∠，当PMN 的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时cos α=（）A ．12B C D 【答案】C 【分析】用α表示出PMN 的面积为()S α，求导()S α'，令()0S α'=求得极值点，从而求得PMN 面积最大时对应的cos α值. 【详解】如图所示，等腰PMN 中，2(0)2MON παα=<<∠设PMN 的面积为()S α，则()2OPN OMNS SSα=⨯+1122010sin()1010sin 222παα⎡⎤=⨯⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦200sin 50sin 2,(0)2πααα=+<<求导()200cos 250cos 2200cos 100cos 2S ααααα'=+⨯=+22200cos 100(2cos 1)100(2cos 2cos 1)αααα=+-=+-令()0S α'=，即22cos 2cos 10αα+-=，解得：1cos 2α=-记01cos 2α=-， 00,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当()00,αα∈，()0S α'>，函数单调递增；当 0,2παα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0S α'<，函数单调递减；故当0αα=时，即1cos 2α=-， ()S α取得极大值，即最大值.故选：C8．（2021·北京八中高三月考）已知()()3sin 2f x x ϕ=+（ϕ∈R ）既不是奇函数也不是偶函数，若()y f x m =+的图像关于原点对称，()y f x n =+的图像关于y 轴对称，则m n +的最小值为（） A ．π B ．2π C ．4π D ．8π 【答案】C 【分析】结合五点作图法及函数图象进行计算求解即可. 【详解】可设0ϕ满足00,22ππϕπ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，, 且02t ϕπϕ=+（t Z ∈）,则()()03sin 2f x x ϕ=+,注意到五点作图法的最左边端点为0,02ϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭,而22T π=,44T π=,故有0000min ,min ,2222m ϕπϕϕπϕ--⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭,002244n ϕππϕ-=-+=, 当002πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，02m ϕ=，024n πϕ-=，此时4m n π+=；当0,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，02m πϕ-=，024n ϕπ-=，此时002244m n πϕϕππ--+=+=, 故选：C ．9．（2021·吉林·梅河口市第五中学高三月考（理））已知点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()cos f x x ωϕ=+（0>ω且，*ω∈N ，0ϕπ<<）的图像上，直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴.若()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ϕ=（） A ．6πB ．4πC ．3π D ．23π【答案】C 【分析】由()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调求出ω的范围，先由函数零点与对称轴之间的关系求出周期，进而求得ω，利用对称轴即可求出ϕ. 【详解】∵()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，3662T πππ∴-=≤，得1226ππω⨯≥，所以06ω<≤ ∵24x π=是函数()()cos f x x ωϕ=+的零点，直线6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴，∴6248πππ-=，若84T π=，则2T π=，此时22ππω=，得4ω=，满足条件，若384T π=，则6T π=，此时26ππω=，得12ω=，不满足条件，综上可知，函数()()cos 4f x x ϕ=+， ∵6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴，∴4,6k k Z πϕπ⨯+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈， ∵0ϕπ<<，∴3πϕ=，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数性质的应用，结合的单调区间以及对称轴对称中心之间的关系求出周期和ω是解决本题的关键，属于一般题.10．（2021·浙江·高三专题练习）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小，若15,25,30AB cm AC cm BCM ==∠=︒，则tan θ的最大值是（）.（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角）A B C D 【答案】D 【分析】由题可得，20BC =，过P 作PP BC '⊥，交BC 于P '，连接'AP ，则tan PP AP θ'='，设(0)BP x x '=>，分类讨论，若P '在线段BC 上，则20CP x '=-，可求出PP '和'AP ，从而可得出220tan 225x x θ-=+利用函数的单调性，可得出0x =时，取得最大值；若P '在CB 的延长线上，同理求出PP '和'AP ，可得出220tan 225x x θ++，可得当454x =时，函数取得最大值；结合两种情况的结果，即可得出结论．【详解】解：15,25AB cm AC cm ==，AB BC ⊥，由勾股定理知，20BC =，过点P 作PP BC '⊥交BC 于P '，连结'AP ，则tan PP AP θ'='，设(0)BP x x '=>，若P '在线段BC 上，则20CP x '=-，由30BCM ∠=︒，得tan30)PP CP x ''=︒-，在直角ABP '△中，AP '2320tan 225x x θ-∴=+令y ，则函数在[0x ∈，20]单调递减，0x ∴=若P '在CB 的延长线上，tan30)PP CP x ''=︒+，在直角ABP '△中，AP '2320tan 225x x θ+∴=+令22(20)225x y x +=+，则0y '=可得454x =.．11．（2021·全国·高三专题练习）设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan 2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（）． A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【分析】若三角形各边长为a 、b 、c 且内切圆半径为r ，法一：由内切圆的性质有tan2A a b c =+、tan 2B ba c=+，根据边角关系可得a b =或222+=a b c ，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；法二：由半角正切公式、正弦定理可得A B =或π2A B +=，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状. 【详解】设()12P a b c =++，△ABC 的内切圆半径为r ，如图所示，法一： ∴tan2A r a p a b c ==-+①；tan 2B r b p b a c==-+②. ①÷②，得：p b a a cp a b c b -+=⋅-+，即()()()()22p b a a c p a b b c -+=-+．于是()()()()b b c c a b a a c b c a ++-=++-，232232ab b bc a b a ac -+=-+，()()2220a b a b c -+-=，从而得a b =或222+=a b c ，∴A B ∠=∠或90C ∠=︒．故△ABC 为等腰三角形或直角三角形，（1）当a b =时，内心I 在等腰三角形CAB 的底边上的高CD 上，12ABCS AB CD c =⋅△，从而得2S r a b c ==++．又()1122p a b c a c -=+-=()22a abc a ca c c ==+++⋅a a c=+，上式两边同时平方，得：()2222a c a a c a c -=++，化简2220c a -=，即c ．即△ABC 直角三角形， ∴△ABC 为等腰直角三角形．（2）当222+=a b c 时，易得()12r a b c =+-．代入②式，得()()1212a b c b a c a c b +-=++-，此式恒成立，综上，△ABC 为直角三角形．法二：利用sin tan21cos A A A =+，sin tan 21cos B B B =+及正弦定理和题设条件，得sin sin 1cos sin sin A A A B C=++①，sin sin 1cos sin sin B B B A C=++②.∴1cos sin sin A B C +=+③；1cos sin sin B A C +=+④.由③和④得：1cos sin 1cos sin A B B A +-=+-，即sin cos sin cos A A B B +=+，ππsin sin 44A B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为,A B 为三角形内角， ∴ππ44A B +=+或πππ44A B +=--，即A B =或π2A B+=．（1）若A B =，代入③得：1cos sin sin A B C +=+⑤又ππ2C A B A =--=-，将其代入⑤，得：1cos sin sin 2A A A +=+．变形得()()2sin cos sin cos 0A A A A ---=，即()()sin cos sin cos 10A A A A ---=⑥，由A B =知A 为锐角，从而知sin cos 10A A --≠． ∴由⑥，得：sin cos 0A A -=，即π4A =，从而π4B =，π2C =．因此，△ABC 为等腰直角三角形．（2）若π2A B +=，即π2C =，此时③④恒成立，综上，△ABC 为直角三角形．故选：B12．（2021·河北·石家庄一中高三月考）在锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a c bc -=，则113sin tan tan A C A-+的取值范围为（）A ．)+∞B ．C ．(6D ．)6【答案】C 【分析】根据余弦定理以及正弦定理化简条件得A 、C 关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围．【详解】∵22a c bc -=，∴所以22cos 2cos sin 2sin cos sin ,b bc A bc b c A c B C A C -=∴-=∴-=sin()2sin cos sin ,sin()sin ,2A C C A C A C C A C C A C +-=∴-=∴-==因此22111111tan 1tan 3sin =3sin 3sin 3sin tan tan tan tan 2tan 2tan 2tan C CA A A A C A C C C C C-+-+-+=-+=+ 113sin 3sin 2sin cos sin A A C C A=+=+设sin A t =，∵ABC 是锐角三角形，∴(0,),(0,),(0,)22222A A A C B A ππππ∈=∈=--∈，∴(,)32A ππ∈∴sin A t =∈，1+3t t 在t ∈上单调递增，∴1113sin +34)tan tan A t C A t -+=∈，故选：C13．（2021·贵州遵义·高三月考（文））已知函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到曲线()y g x =，若关于x 的方程()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是（）A ．[]0,3B ．[)0,3C ．[)2,3D ．)1,3【答案】C 【分析】本题首先可根据函数()f x 是偶函数得出33f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过计算得出1a =-，然后通过转化得出()2sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，通过图像变换得出()2sin 213g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最后根据正弦函数对称性得出52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦且232x ππ-≠，通过求出此时()g x 的值域即可得出结果. 【详解】因为函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数，所以33f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22cos 00cos 33a a ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1322a a =--，解得1a =-，()cos 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()1cos 2cos 33323f x x x x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 32sin 62x x πππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，则()22sin 22y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，向左平移12π个单位长度后，得到2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，向上平移1个单位长度，得到()2sin 213y g x x π⎛⎫- ⎝=+⎪⎭=，当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数对称性易知，()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦且232x ππ-≠，此时()[)2,3g x ∈，实数m 的取值范围是[)2,3，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图像变换、正弦函数性质、偶函数的性质的应用以及两角差的正弦公式，能够根据偶函数的性质求出1a =-是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.14．（2021·全国·高三专题练习（文））在ABC 中，()sin sin sin A B B C -+=，点D 在边BC 上，且22CD BD ==，设sin sin ABDk BAD∠=∠，则当k 取最大值时，sin ACD ∠=（）A ．14BCD【答案】B 【分析】根据()sin sin sin A B B C -+=，利用两角和与差的正弦公式化简得到sin 2cos sin B A B =，进而求得A ，根据点D 在边BC 上，且2CD BD =，得到sin 3sin ABD AD AD k BAD BD BC∠===∠，再由余弦定理结合2133AD AB AC =+两边平方，得到2222242421c b c b bc b c k c b c b bc b c ++++==+-+-，令c t b =，得到()222142421111t t t t k f t t t t t ++++===-++-，用基本不等式法或者导数法求得最大值时a ，b ，c 的关系，再利用正弦定理求解. 【详解】因为()sin sin sin A B B C -+=，所以()()sin sin sin A B B A B -+=+，即sin 2cos sin B A B =，因为()0,B π∈，所以sin 0B ≠，1cos 2A =，因为()0,A π∈，所以3A π=，因为点D 在边BC 上，且2CD BD =，所以sin 3sin ABD AD ADk BAD BD BC∠===∠，设,,AB c AC b BC a ===，则13AD ak =，在ABC 中，由余弦定理得222222cos a c b bc A c b bc =+-=+-，()121333AD AB BD AB BA AC AB AC =+=++=+，所以222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即22221414cos 9999a k c b bc BAC =++∠，即222242a k c b bc =++，所以222222224242421c bc b bc c b bc b c k c b a c b bc b c++++++===+-+-，令c t b =，得()222142421111t t t t k f t t t t t ++++===-++-，下面采用基本不等式和导数两种方法求解：方法一：利用基本不等式求解：222211426()4212411311()24t t t t t k t t t t t ++-++===+-++--+，要使k 最大，需2k 最大，当2k 取最大值时，必有102t ->，2216()6244441313()()12424()2t k t t t -=+=+≤+=+-+-+-当且仅当13124()2t t -==-t所以t 2224211t t k t t ++=-+有最大值4+k的最大值为1c b =所以)1b c =，解得a ==，在ABC 中，由正弦定理得sin sin a cA C=，解得sin sin c A C a ==，即sin ACD ∠=下面采用导数的方法求解：求导得()()2226631t t f t tt -++'=-+，令()0f t '=，解得t =，当0t <<()0f t '>，当t >()0f t '<，所以当t =时，()f t 取得最大值，此时c b =，所以)1b c =，解得a ==，在ABC 中，由正弦定理得sin sin a cA C=，解得sin sin c A C a ==，即sin ACD ∠= 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用正弦定理得到sin 3sin ABD AD ADk BAD BD BC∠===∠，然后利用余弦定理表示BC ，利用平面向量表示AD 而得解.15．（2021·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知函数()()sin 02f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移3ωπ个单位得到函数()g x 的图象，点A ，B ，C 是()f x 与()g x 图象的连续相邻的三个交点，若ABC 是钝角三角形，则ω的取值范围是（）A ．,⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．,⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【分析】由函数图象的平移可得()πcos 3g x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，作出函数的图象，结合三角函数的图象与性质、平面几何的知1<，即可得解. 【详解】由条件可得，()πcos 3g x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，作出两个函数图象，如图：A ，B ，C 为连续三交点，(不妨设B 在x 轴下方)，D 为AC 的中点，.由对称性可得ABC 是以B 为顶角的等腰三角形，2π2AC T CD ω===，由πcos cos 3x x ωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理得cos x x ωω=，得cos x ω=，则C B y y =-=2B BD y = 要使ABC 为钝角三角形，只需π4ACB ∠<即可，由tan 1BD ACB DC ∠==<，所以0ω<<.故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质，合理转化条件，得到关于ω的不等式，运算即可.16．（2021·全国·高三专题练习（理））已知2()2sin 1(0)3f x x πωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，给出下列结论：①若f (x 1)=1，f (x 2)=﹣1，且|x 1﹣x 2|min =π，则ω=1；②存在ω∈(0，2)，使得f (x )的图象向左平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若f (x )在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④若f (x )在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤⎥⎝⎦.其中，所有正确结论的编号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④【答案】D 【分析】对函数()f x 化简可得()sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】∵22()2sin 1cos 2sin 2336f x x x x πππωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为22ππωω=. 对于① ：因为f (x 1)=1，f (x 2)=﹣1，且|x 1﹣x 2|min =π，所以()f x 的最小正周期为T =2π，122ππωω∴=⇒=. 故① 错误；对于② ：图象变换后所得函数为sin 236y x ωππω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，若其图象关于y 轴对称，则362k ωππππ+=+，k ∈Z ，解得ω=1+3k ，k ∈Z ，当k =0时，1(0,2)ω=∈.故② 正确；对于③ ：设26t x πω=+，当[]0,2x π∈时，2,4666t x πππωωπ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦. ()f x 在[0,2]π上有7个零点，即sin y t =在,466t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上有7个零点.则7486ππωππ≤+<，解得41472424ω≤<. 故③错误；对于④ ：由222,262k x k k Z ππππωπ-+++∈，得,,36k k xk Z ππππωωωω-++∈，取k =0，可得36x ππωω-，若f (x )在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则3664ππωππω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得203ω<.故④ 正确. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的恒等变形和正弦函数的单调性、周期性、奇偶性、零点等知识，解答③的关键是先化简函数不等式得()sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设26t x πω=+，当[]0,2x π∈时，2,4666t x πππωωπ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，将问题转化为sin y t =在,466t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上有7个零点.17．（2021·浙江·高三专题练习）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【分析】利用基本不等式或排序不等式得3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结合特例可得三式中大于12的个数的最大值. 【详解】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<，由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C. 【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.视频18．（2021·天津市天津中学高三月考）函数()()2sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图，把函数()f x 的图象上所有的点向右平移6π个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，下列结论中： ①3πϕ=；②函数()g x 的最小正周期为π；③函数()g x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；④函数()g x 关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称其中正确结论的个数是（）．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【分析】对①，先根据图象分析出ω的取值范围，然后根据()0f ϕ的可取值，然后分类讨论ϕ的可取值是否成立，由此确定出,ωϕ的取值；对②，根据图象平移确定出()g x 的解析式，利用最小正周期的计算公式即可判断；对③，先求解出()g x 的单调递增区间，然后根据k 的取值确定出,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是否为单调递增区间；对④，根据3g π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是否为0,即可判断.【详解】解：由图可知： 1112113124T T ππ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，11211129πππω∴<<，即18241111ω<<，又()02sin f ϕ==0ϕπ<<，由图可知：23ϕπ=，又11112sin 21212f ππωϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 112,122k k Z ππωϕπ∴+=+∈，且113,2122ππωπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 113,3122ππωϕπ⎛⎫⎛⎫∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1k =，当23ϕπ=时，1111126πωπ=，解得：2ω=，满足条件， ()22sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，故()22sin 22sin 2633g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对①，由上述可知①错误；对②，()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()g x ∴的最小正周期为2=2ππ，故②正确；对③，令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =，此时单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，且5,,3121212ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故③正确；对④，2sin 20333g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,03π⎛⎫∴- ⎪⎝⎭不是对称中心，故④错误；故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数()()sin g x A x ωϕ=+()0ω>，若求函数()g x 的单调递增区间，则令ππ2π2π22k x k ωϕ-<+<+，Z k ∈；若求函数()g x 的单调递减区间，则令π3π2π2π22k x k ωϕ+<+<+，Z k ∈；若求函数()g x 图象的对称轴，则令ππ2x k ωϕ+=+，Z k ∈；若求函数()g x 图象的对称中心或零点，则令πx k ωϕ+=，Z k ∈．19．（2021·山西太原·三模（理））在ABC 中，()sin sin sin A B B C -+=，点D 在边BC 上，且2CD BD =，设sin sin ABDk BAD∠=∠，则当k 取最大值时，sin ACD ∠=（）A ．14BCD．(36【答案】B 【分析】根据()sin sin sin A B B C -+=，利用两角和与差的正弦公式化简得到sin 2cos sin B A B =，进而求得A ，根据点D 在边BC 上，且2CD BD =，得到sin 3sin ABD AD AD k BAD BD BC∠===∠，再由余弦定理结合2133AD AB AC =+两边平方，得到2222242421c b c b bc b c k c b c b bc b c ++++==+-+-，令c t b =，得到()222142421111t t t t k f t t t t t ++++===-++-，用导数法求得最大值时a ，b ，c 的关系，再利用正弦定理求解. 【详解】因为()sin sin sin A B B C -+=，所以()()sin sin sin A B B A B -+=+，即sin 2cos sin B A B =，因为()0,B π∈，所以sin 0B ≠，1cos 2A =，因为()0,A π∈，所以3A π=，因为点D 在边BC 上，且2CD BD =，所以sin 3sin ABD AD ADk BAD BD BC∠===∠，设,,AB c AC b BC a ===，则13AD ak =，在ABC 中，由余弦定理得222222cos a c b bc A c b bc =+-=+-，()121333AD AB BD AB BA AC AB AC =+=++=+，所以222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即22221414cos 9999a k c b bc BAC =++∠，即222242a k c b bc =++，所以222222224242421c bc b bc c b bc b c k c b a c b bc b c++++++===+-+-，令c t b =，得()222142421111t t t t k f t t t t t ++++===-++-，则()()2226631t t f t tt -++'=-+，令()0f t '=，解得t当0t <<()0f t '>，当t >()0f t '<，所以当t =时，()f t取得最大值，此时c b =，所以)1b c =，解得a ==，在ABC 中，由正弦定理得sin sin a c A C =，解得sin sin c A C a ==即sin ACD ∠= 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用正弦定理得到sin 3sin ABD AD ADk BAD BD BC∠===∠，然后利用余弦定理表示BC ，利用平面向量表示AD 而得解.20．（2021·山西太原·一模（理））已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于3x π=-对称，且06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f x 在11,324ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的所有取值的个数是（） A ．3 B ．4 C ．1 D ．2【答案】D 【分析】直接利用正弦型函数的性质对称性和单调性的应用求出结果. 【详解】由于函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于3x π=-对称，则：132k ππωϕπ-+=+，()1k ∈Z ①，由于06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2()6k k πωϕπ+=∈Z ②，-②①得：()2122k k ππωπ=--，所以()()211221k k k k ω=---∈Z ，故ω为奇数，且()f x 在11,324ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以112243T πππω=≥-，解得08ω<≤．当211,2,3,4k k -=，故ω的取值为：1，3，5，7，当1ω=时，可以求得()sin()6f x x π=-，11,324x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，7[,][,]662422x πππππ-∈⊆-，满足条件；当3ω=时，因为2πϕ<，所以不满足条件；当5ω=时，()sin(5)6f x x π=+，11,324x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1159355[,][,]662422x πππππ+∈⊆，满足条件；当7ω=时，()sin(7)6f x x π=-，13737[,]6624x πππ-∈，既有增区间，又有减区间，所以不满足条件；所以满足条件的ω的所有取值的个数是2，故选：D ．【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关正弦型函数的性质，正确解题的关键是要明确正弦型函数的对称性与单调性.21．（2021·江西鹰潭·一模（理））函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为（） A ．125 B ．85C ．165D ．185【答案】A 【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到131264T kT ππ+=+或133,1264T kT k ππ+=+∈Z ，由() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可以得到191312122Tππ-≤，算出ω的大致范围，验证即可. 【详解】由题意知：131264T kT ππ+=+或133,1264TkT k ππ+=+∈Z ∴51244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭或53244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭ ∴2(14)5k ω=+或2(34),5k k Z ω=+∈∵()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴191312122T ππ-≤ ∴12222ππωω≤⋅⇒≤①当2(14)5k ω=+时，取0k =知25ω=此时2()sin 515f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，27,515210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴25ω=符合取1k =时，2ω=，此时()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，572,322x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴2ω=符合当1k ≤-时，0ω<，舍去，当2k ≥时，2ω>也舍去②当2(34)5k ω=+时，取0k =知65ω=此时6()sin 55f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，6321,55210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，舍去当1k ≤-时，0ω<，舍去，当1k 时，2ω>也舍去综上：25ω=或2，212255S =+=.故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.22．（2021·山东·模拟预测）函数()sin 24cos f x x x =-的最大值为（）A B ．C D 【答案】A 【分析】根据周期性只需考虑[]0,2x π∈函数最值，结合()()sin 24cos 2cos sin 2f x x x x x =-=-得3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时函数取得最大值，利用导函数分析单调性，结合隐零点求解最值. 【详解】由题()()sin 24cos 2f x x x f x π=-=+，只需考虑[]0,2x π∈函数最值即可，()()sin 24cos 2cos sin 2f x x x x x =-=-，所以当sin 0,cos 0x x <<即3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时函数取得最大值， ()()222cos 24sin 212sin 4sin 4sin 4sin 2f x x x x x x x '=+=-+=-++，考虑函数()()2442,1,0h t t t t =-++∈-，()()10,00h h -<>，所以必存在唯一零点0t ，()2000210,2t h t t +==，且()01,t t ∈-()2442h t t t =-++递减，()0,0t t ∈()2442h t t t =-++递增，记00sin t x =，由正弦函数单调性可得：()0,x x π∈函数()f x 递增，03,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭函数()f x 递减，所以函数()()()000max 2cos sin 2f x f x x x ==-2002sin 1sin 2x x +=，解得00sin x x ==所以()()()000max 2cos sin 222f x f x x x ⎛⎫ ==-=⨯=⎪⎪ ⎝⎭⎝ 故选：A 【点睛】此题考查求函数的最值，关键在于准确分析函数的周期性和单调性，结合导函数解决隐零点问题求解最值，属于难题.二、多选题23．（2021·全国·模拟预测）已知函数()44sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=+-⎭+在区间(),88t t t R ππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，令()()()h t M t m t =-，则下列结论中正确的是（）A ．2h π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()h tC ．()h t 的最小值为1D ．当()1h t =时，()5Z 6t k k ππ=+∈ 【答案】AB【分析】应用同角平方关系、二倍角余弦公式得()sin(2)6f x x π=-，A 将2t π=代入求区间，根据正弦型函数的性质即可求2h π⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 、C 讨论(),88t t t R ππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦与()f x 的递增区间的关系，结合已知区间的长度为4T ，分析不同情况下的()h t 的取值范围，进而确定最大、小值，D 由题设知()1M t =，()0m t =或()0M t =，()1m t =-，结合区间长度即可求t . 【详解】()4422sin cos sin cos cos 266663f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．A ：当2t π=时，由,88x t t ππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，得35,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时7132,61212x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴()7sin 12M t π=，()13sin 12m t π=，于是()()()713sin sin cos sin 12121212124h t M t m t ππππππ⎛⎫=-=-=++ ⎪⎝⎭3π==由()222262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈可得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．当()6883k t t k k Z ππππππ-≤-<+≤+∈，即()52424k t k k Z ππππ-≤≤+∈时，则有()()()88h t M t m t f t f t ππ⎛⎫⎛⎫=-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2sin 28686t t ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+---- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦5sin 2sin 2sin 2121212t t t πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos 22123t t ππ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而()3222434k t k k Z πππππ+≤+≤+∈，23t π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，即()h t ⎡∈⎣．当()8823t t k k Z ππππ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+∈，即()3t k k Z ππ=+∈时，()()()5324h t M t m t f k f k ππππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5sin 2sin 21362462k k ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦． ∵函数()f x 的最小正周期T π=，而区间,88t t ππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦的长度为4π，即4T ，。

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三角函数大题压轴题练习1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =++-+221cos 22sin cos 22x x x x =++-1cos 22cos 222x x x =+- s i n (2)6x π=- 2T 2ππ==周期∴ 由2(),()6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3x k k Z ππ=+∈（2）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以当3x π=时，()f x 取最大值 1又1()()12222f f ππ-=-<=，当12x π=-时，()f x 取最小值2-所以函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[2．已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．解：（Ⅰ）1cos 2()sin 222x f x x ωω-=+11sin 2cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解：（Ⅰ）由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 12sin()1,sin().662A A ππ-=-=由A 为锐角得 ,663A A πππ-==（Ⅱ）由（Ⅰ）知1cos ,2A =所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x s x =+=-+=--+因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值32.当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，4.已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．【解析】（1）依题意有1A =，则()s i n ()f x x ϕ=+，将点1(,)32M π代入得1sin()32πϕ+=，而0ϕπ<<，536πϕπ∴+=，2πϕ∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=；（2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2παβ∈，45sin ,sin 513αβ∴====，3124556()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=。

5.已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12f tg x x f x x f x x ππ==⋅+⋅∈ （Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ωϕ++（0A >，0ω>，[0,2)ϕπ∈）的形式；（Ⅱ）求函数()g x 的值域.解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ）1sin 1cos ()cos sin 1sin 1cos xxg x xxx x--=+++2222(1sin )(1cos )cos sin cos sin x x xxx x--=+1sin 1cos cos sin .cos sin x xxx x x--=+17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π⎛⎤∈π∴=-=- ⎥⎝⎦1sin 1cos ()cos sin cos sin x xg x xx x x--∴=+--sin cos 2x x =+-2.4x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭（Ⅱ）由1712x ππ≤＜，得55.443x πππ+≤＜ sin t 在53,42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在35,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦上为增函数，又5535sinsin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦），即1sin()2)23424x x ππ-≤+-≤+--＜，＜，故g (x )的值域为)2,3.⎡-⎣6．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c，a =tantan 4,22A B C++= 2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c解：由tantan 422A B C ++=得cot tan 422C C+= ∴cos sin224sin cos22C C C C+= ∴14sin cos 22C C = ∴1sin 2C =，又(0,)C π∈∴566C C ππ==，或由2sin cos sin B C A =得 2sin cos sin()B B B C =+ 即sin()0B C -= ∴B C =6B C π==2()3A B C ππ=-+=由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==得1sin 2sin Bb c a A ====7.在ABC △中,内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c .已知2,3c C π==.⑴若ABC △求,a b ;⑵若sin sin()2sin 2C B A A +-=,求ABC △的面积.说明：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．解析：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=，又因为ABC △1sin 2ab C =4ab =． ························ 4分联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． ·············································· 6分（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =， ········································································· 8分当cos 0A =时，2A π=，6B π=，a =b =，当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得3a =3b =．所以ABC △的面积1sin 23S ab C ==． ····················································· 12分 1.已知函数()sin()sin()cos (,)66f x x x x a a R a ππ=++-++∈为常数. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；(Ⅱ)若函数()f x 在[-2π，2π]上的最大值与最小值之和为3，求实数a 的值. 解：（Ⅰ）∵()2sin cos cos 6f x x x a π=++cos x x a =++2sin 6x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭……………………5分∴函数()f x 的最小正周期2T π=………………………7分(Ⅱ)∵,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴2363x πππ-≤+≤()min 2f x f a π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭……9分()max 23f x f a π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭……11分由题意，有()(2)a a ++=∴1a =……12分2.（本小题12分）已知函数.21)4(,23)0(,23cos sin cos 2)(2==-+=πf f x x b x a x f 且（1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 的单调增区间；解：（1）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==21)4(23)0(πf f 得⎪⎩⎪⎨⎧==123b a …………3分)32sin(2sin 212cos 2323cos sin cos 3)(2π+=+=-+=x x x x x x x f ……6分故最小正周期π=T （2）由)(223222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ得 )(12125Z k k x k ∈+≤≤-ππππ 故)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ …………12分3．已知x x a x x f cos sin 34cos 4)(2+-=，将)(x f 的图象按向量)2,4(π-=→b 平移后，图象关于直线12π=x 对称．（Ⅰ）求实数a 的值，并求)(x f 取得最大值时x 的集合；（Ⅱ）求)(x f 的单调递增区间．解：（Ⅰ）22cos 22sin 32)(--=x x a x f ，将)(x f 的图象按向量)2,4(π-=→b 平移后的解析式为2)4()(++=πx f x g x a x 2cos 322sin 2+=．……………………………3分)(x g 的图象关于直线12π=x 对称，∴有)6()0(πg g =，即a a 3332+=，解得1=a ． ……………………………5分则2)62sin(422cos 22sin 32)(--=--=πx x x x f ．……………………………6分当2262πππ+=-k x ，即3ππ+=k x 时，)(x f 取得最大值2．………………………7分因此，)(x f 取得最大值时x 的集合是},3{Z k k x x ∈+=ππ．…………………………8分（Ⅱ）由226222πππππ+≤-≤-k x k ，解得36ππππ+≤≤-k x k ．因此，)(x f 的单调递增区间是]3,6[ππππ+-k k )(Z k ∈．……………………………12分4.已知向量= (θθsin ,cos ) 和=(θθcos ,sin 2-)，θ∈［π，2π］．(1) 求||+的最大值；(2)当||+=528时，求cos 28θπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．4．解：(1) ()cos sin sin m n θθθθ+=-++ (2分)(cos m n +=(4分)∵θ∈［π，2π］，∴49445ππθπ≤+≤，∴)4cos(πθ+≤1 ||n m +max =22． (6分)(2) 由已知825m n +=,得7cos 425πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (8分) 又2cos 2cos ()1428πθπθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ∴216cos ()2825θπ+= (10分) ∵θ∈［π，2π］∴898285ππθπ≤+≤，∴4cos 285θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． (12分) 。

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