2014长春市高中毕业班第三次调研测试数学数学(理)Word版全解全析

数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150分，考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题—24题为选考题，其它题为必考题。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1．复数z 满足(1i)2i z +=，则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合}421{，，＝A ,集合},,|{A b A a b a x xB ∈∈+=＝，则集合B 中有___个元素 A ．4B ．5C ．6D ． 73．下列函数中，在(0,)+∞上单调递减，并且是偶函数的是 A ．2y x =B ．3y x =-C ．lg ||y x =-D ．2x y =4．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x y ，之间关系最强的是A ．B ．C ．D ． 5．如图所示的程序框图，该算法的功能是A ．计算012(12)(22)(32)++++++…(12)nn +++的值 B ．计算123(12)(22)(32)++++++…(2)nn ++的值C ．计算(123+++...)n +012(222++++ (1)2)n -+的值D ．计算[123+++…(1)]n +-012(222++++…2)n+的值 第5题图6．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距离为2c，则双曲线C 的离心率为 A ．2BC．2D．37．△ABC 各角的对应边分别为c b a ,,，满足 b c a c a b +++1，则角A 的范围是 A ．(0,]3πB ．(0,]6πC ．[,)3ππD ．[,)6ππ8．函数)2|)(|2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向左平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在[0,]2π上的最小值为A．2-B ．12-C ．12D．29．已知实数,x y 满足：210210x y x x y -+ ⎧⎪<⎨⎪+- ⎩，221z x y =--，则z 的取值范围是A ．5[,5]3B ．[]0,5C ．[)0,5D ．5[,5)310．若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为 ABCD11．已知函数2()f x x =的图象在点11(,())A x f x 与点22(,())B x f x 处的切线互相垂直，并交于点P ，则点P 的坐标可能是A ．3(,3)2-B ． (0,4)-C ．(2,3)D ．1(1,)4-12．P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为 A ．1325B ．35C ．1325πD ．35π第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作 答。

第22题~24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.≥≥ ≥13．若21)23sin()sin(=+++x x ππ，则=x 2sin ． 14．已知函数2()sin 21xf x x =++，则(2)(1)(0)(1)(2)f f f f f -+-+++= ． 15．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为 ．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足(1)()A P O A λλ=-∈R ，且72OA OP ⋅= ，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为 ．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和12n n S +=，数列{}n b 满足21(1)log n nb n n a =++．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）低碳生活，从“衣食住行”开始．在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的二氧化碳排放量（千克）＝耗电度数0.785⨯，家用天然气的二氧化碳排放量（千克）＝天然气使用立方数0.19⨯等．某校开展“节能减排，保护环境，从我做起！”的活动，该校高一、六班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了逐户的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查．生活习惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”，否则称为“非低碳家庭”．经统计，这两类家庭是“低碳家庭”的概率；（2）该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要意义，每周“非低碳家庭”中有20%的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中．宣传两周后随机地从东城小区中任选5个家庭，记ξ表示5个家庭中“低碳家庭”的个数，求E ξ和D ξ．19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111A B C A B C-中，AC AB ⊥ ，12AB AA =，M 是AB 的中点，△11A MC 是等腰三角形，D 为1CC 的中点，E 为BC 上一点．（1）若DE∥平面11A MC ，求CEEB； （2）求直线BC 和平面11A MC 所成角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线1C ：24y x =和2C ：22x py =(0)p >的焦点分别为12,F F ，12,C C 交于,O A 两点（O 为坐标原点），且12F F OA ⊥.（1）求抛物线2C 的方程；（2）过点O 的直线交1C 的下半部分于点M ，交2C 的左半部分于点N ，点P 坐标为第19题图(1,1)--，求△PMN 面积的最小值.21．（本小题满分12分）已知函数2()2()3x f x e x a =--+，a ∈R ．（1）若函数()y f x =的图象在0x =处的切线与x 轴平行，求a 的值； （2）若x 0，()f x 0恒成立，求a 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4─1：几何证明选讲．如图，圆M 与圆N 交于,A B 两点，以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于,C D 两点，延长DB 交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F ．已知5,10BC DB ==． （1）求AB 的长； （2）求CFDE． 23．（本小题满分10分）选修4─4：坐标系与参数方程选讲．已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换1312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C '．（1）求曲线C '的普通方程；（2）若点A 在曲线C '上，点B (3,0)，当点A 在曲线C '上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程．24．（本小题满分10已知函数()f x = （1）求()f x f 的解集；（2）设函数()(3),g x k x =-k ∈R ，若()()f x g x >对任意的x ∈R 都成立，求k 的取值范围．第22题图≥ ≥ ≥长春三模理科数学参考答案及评分参考1．【答案】A【解析】由(1i)2i z +=得，2i 2i(1i)2i+21i 1i (1i)(1i)2z -====+++-，则复数z 在复平 面内对应的点为(1,1)Z ，该点在第一象限，故选A ．2．【答案】C【解析】∵,,a A b B x a b ∈∈=+，所以2,3,4,5,6,8x =，∴B 中有6个元素，故 选C ．3．【答案】C【解析】四个函数中，是偶函数的有A C ，，又2y x =在(0,)+∞内单调递增，故选C ． 4．【答案】D【解析】在频率等高条形图中，aa b +与c c d+相差很大时，我们认为两个分类变量 有关系，四个选项中，即等高的条形图中12,x x 所占比例相差越大，则分类变量,x y 关系越强，故选D ．5．【答案】C【解析】初始值1,0k S ==，第1次进入循环体：012S =+，2k =；当第2次进入循环体时：011222S =+++，3k =，…，给定正整数n ，当k n =时， 最后一次进入循环体，则有：011222S =++++…12n n -++，1k n =+， 退出循环体，输出S =(123+++…)n +012(222++++…12)n -+，故选C ．6．【答案】D【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为2c ，即2cb =，又222bc a =-，代入得2243a c =，解得243e =，即3e =，故选D ． 7．【答案】A 【解析】由1b ca c a b+≥++得：()()()()b a b c a c a c a b +++≥++，化简得： 222b c a bc +-≥，同除以2bc 得，222122b c a bc +-≥，即 1cos 2A ≥(0)A π<<，所以03A π<≤，故选A ．8．【答案】A【解析】函数()sin(2)f x x ϕ=+向左平移6π个单位得 sin[2()]sin(2)63y x x ππϕϕ=++=++，又其为奇函数，故则3k πϕπ+=，Z k ∈，解得=3k πϕπ-，又||2πϕ<，令0k =，得3πϕ=-，∴()sin(2)3f x x π=-，又∵[0,]2x π∈，∴ sin(2)[3x π-∈，即当0x =时，min ()f x =，故选A ． 9．【答案】C【解析】画出,x y 约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令221u x y =--，则12u y x +=-， 先画出直线y x =，再平移直线y x =，当经 过点(2,1)A -，12(,)33B 时，代入u ，可知553u -≤<，∴||[0,5)z u =∈，故选C ． 10．【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则22r h h rπ=，则2h =S 侧=2r h π⋅4r π=S 全242r r ππ=，故圆柱的侧面积与=，故选B ． 11．【答案】D【解析】由题，221122(,),(,)A x x B x x ，()2f x x '=，则过,A B 两点的切线斜率112k x =，222k x =，又切线互相垂直，所以121k k =-，即1214x x =-.两条切线方程分别为22111222:2,:2l y x x x l y x x x =-=-，联立得1212()[2()]0x x x x x --+=，∵12x x ≠，∴122x x x +=，代入1l ，解得 1214y x x ==-，故选D ．12．【答案】B【解析1】设00(,)Q x y ，中点(,)M x y ，则00(2,2)P x x y y --代入229x y +=，得20(2)x x -+20(2)9y y -=，化简得：22009()()224x y x y -+-=，又220025x y += 表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M轨迹是在以0022x y （,）为圆心以32为半径的圆 绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上， 即应有222(14)x y r r +=≤≤，那么在2C 内部任取一点落在M 内的概率 为163255πππ-=，故选B ．【解析2】设(3cos ,3sin )P θθ，(5cos ,5sin )Q ϕϕ，(,)M x y ，则23cos 5cos x θϕ=+，①23sin 5sin y θϕ=+，②，①2+②2得： 221715cos()22x y θϕ+=+-2r =，所以M 的轨迹是以原点为圆心， 以(14)r r ≤≤为半径的圆环，那么在2C 内部任取一点落在M 内的概率 为163255πππ-=，故选B ．13．【答案】34-【解析】31sin()sin()sin cos 22x x x x ππ+++=--=,∴1sin cos 2x x +=-，平方 得：11sin 24x +=，∴3sin 24x =-．14．【答案】5【解析】∵()()f x f x +-=12222sin sin 221212112x x x x xx x +-++-=+=++++，且 (0)1f =，∴(2)(1)(0)(1)(2)5f f f f f -+-+++=．15．【答案】3π【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC 及其内切圆1O 和外切圆2O ，且两圆同圆心，即△ABC 的内心与外心重合，易得△ABC 为正三角形，由题意1O 的半径为1r =，∴△ABC 的边长为 高为3，∴13333V ππ=⨯⨯⨯=． 16．【答案】15【解析】(1)AP OP OA OA λ=-=-，即OP OA λ= ，则,,O P A 三点共线，72OA OP ⋅= ，所以OA 与OP同向，∴||||72OA OP = ，设OP 与x 轴夹角为θ，设A 点坐标为(,)x y ，B 为点A 在x 轴的投影， 则OP 在x 轴上的投影长度为||cos OP θ⋅ =2||72||||||||OB OB OP OA OA ⋅=222||||1727272161699||2525||x x x y x x x =⋅=⋅=⋅+++7215≤=.当且仅当15||4x =时等号成立．则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15．17．【解析】（1）当1n =时，114a S == ………………………2分由12n n S +=，得12n n S -=(2)n ³，∴11222n n n n n n a S S +-=-=-=(2)n ³∴4,12,2n nn a n ì=ïï=íï³ïî………………………6分 （2）当1n =时，121512log 44b =+=，∴154T = …………………7分当2n ³时，21111(1)log 2(1)1n nb n n n n n n n n =+=+=-++++ ……9分 5111111(4233445n T =+-+-+-+…+11)(2341n n -+++++…)n +1111111(4233445=+-+-+-+…+11)(12341n n -++++++…)n +31(1)412n n n +=-++ ………11分上式对于1n =也成立，所以31(1)412n n n T n +=-++． ………12分18．【解析】（1）设事件“4个家庭中恰好有两个家庭是‘低碳家庭’”为A ， ………1分则有以下三种情况：“低碳家庭”均来自东城小区，“低碳家庭”分别来自 东城、西城两个小区，“低碳家庭”均来自西城小区．∴100335454212151542121451512121)(=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=A P ．…6分 （2）因为东城小区每周有20%的人加入“低碳家庭”行列，经过两周后，两类家庭占东城小区总家庭数的比例如下：………8分 由题意，两周后东城小区5个家庭中的“低碳家庭”的个数ξ服从二项分布，即17(5,)25B ξ ………10分 ∴17175255E ξ=⨯= ， ………11分 17813652525125D ξ=⨯⨯=． ………12分19．【解析】『法一』(1)取BC 中点为N ，连结1,MN C N ，………1分 ∵,M N 分别为,AB CB 中点 ∴MN ∥AC ∥11AC ，∴11,,,A M N C 四点共面， ………3分 且平面11BCC B I 平面11A MNC 1C N = 又DE Ì平面11BCC B ， 且DE ∥平面11A MC ∴DE ∥1C N∵D 为1CC 的中点，∴E 是CN 的中点， ………5分 ∴13CE EB =． ………6分 （2）连结1B M ， ………7分因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA ^平面ABC ∴1AA AB ^，即四边形11ABB A 为矩形，且12AB AA = ∵M 是AB 的中点，∴11B M A M ^， 又11AC ^平面11ABB A ，∴111AC B M ^，从而1B M ^平面11A MC ………9分 ∴1MC 是11B C 在平面11A MC 内的射影 ∴11B C 与平面11A MC 所成的角为∠11B C M 又11B C ∥BC ，∴直线BC 和平面11A MC 所成的角即11B C 与平面11A MC 所成的角…10分 设122AB AA ==，且三角形11A MC 是等腰三角形∴111AM AC ==，则12MC =，11B C =∴11111cos 3MC B C MB C ?=∴直线BC 和平面11A MC所成的角的余弦值为3………12分 『法二』（1）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA ^平面ABC ，又AC AB ⊥ ∴以A 为坐标原点，分别以1,,AB AA AC 所在直线为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系. ………1分 设122AB AA ==，又三角形11A MC 是等腰三角形，所以111AM AC ==易得1(0,1,0)A ，(1,0,0)M，1(0,1C ， 所以有1(1,1,0)A M =-uuuu r，11AC =uuu u r设平面11A MC 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则有11100n A M n AC ìï?ïíï?ïïîr uuuu r r uuu u r ，即00x y ì-=ïïíï=ïî，令1x =，有(1,1,0)n =r ………4分 （也可直接证明1B M 为平面11A MC 法向量） 设CE EB λ=，2(,0,)11E λλλ++，又1(0,2D ，∴21(,,121DE λλλ=-++ 若DE ∥平面11A MC ，则n r ^DE uuu r ，所以有21012λλ-=+， 解得13λ=，∴13CE EB = ………6分 （2）由（1）可知平面11A MC 的一个法向量是(1,1,0)n =r ，(2,0,0)B，C，求得(BC =-设直线BC 和平面11A MC 所成的角为θ，[0,]2πθ∈，则||sin ||||n BC n BC θ⋅===⋅ ， ………11分所以cos q = ∴直线BC 和平面11A MC所成的角的余弦值为3 ………12分 20．【解析】（1）由已知得：1(1,0)F ，2(0,)2p F ，∴12(1,)2p F F =- ………1分 联立2242y x x py ⎧=⎨=⎩解得00x y =⎧⎨=⎩或x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0,0)O，A ，∴OA = ………3分∵12F F OA ⊥，∴12F F 0OA ⋅= ，即=，解得2p =，∴2C 的方程为24x y =． ………5分『法二』设111(,)(0)A x y x >，有21121142y x x py ⎧=⎨=⎩①，由题意知，1(1,0)F ，2(0,)2p F ，∴12(1,)2p F F =- ………1分 ∵12F F OA ⊥，∴12F F 0OA ⋅= ，有1102p x y -+=， 解得112py x =， ………3分 将其代入①式解得114,4x y ==，从而求得2p =，所以2C 的方程为24x y =． ………5分（2）设过O 的直线方程为y kx =(0)k <联立24y kx y x =⎧⎨=⎩得244(,)M k k ，联立24y kx y x=⎧⎨=⎩得2(4,4)N k k ………7分 (1,1)P --在直线y x =上，设点M 到直线y x =的距离为1d ，点N 到直线y x =的距离为2d 则121()2PMN S OP d d =⋅⋅+ ………8分2244||12-= 22112(||||)k k k k=-+- 22112()k k k k =--++………10分8≥= 当且仅当1k =-时，“=”成立，即当过原点直线为y x =-时，…11分△PMN 面积取得最小值8． ………12分『法二』联立24y kx y x=⎧⎨=⎩得244(,)M k k ， 联立24y kx y x=⎧⎨=⎩得2(4,4)(0)N k k k <， ………7分从而2244||4|(4)MN k k k k=-=-，点(1,1)P --到直线MN 的距离d =，进而214(4)2PMN S k k∆=- ………9分 32222(1)(1)2(1)(1)1122(2)(1)k k k k k k k k k k k---++===+-++令1(2)t k t k=+≤-，有2(2)(1)PMN S t t ∆=-+， ………11分 当2t =-，即1k =-时，即当过原点直线为y x =-时，△PMN 面积取得最小值8． ………12分21．【解析】（1）()2()x f x e x a '=-+ ………2分因为()y f x =在0x =处切线与x 轴平行，即在0x =切线斜率为0即(0)2(1)0f a '=+=，∴1a =-． ………5分（2）()2()x f x e x a '=-+， 令()2()x g x e x a =-+，则()2(1)0xg x e '=-≥， 所以()2()x g x e x a =-+在[)0,+∞内单调递增，(0)2(1)g a =+（i ）当2(1)0a +≥即1a ≥-时，()2()(0)0x f x e x a f ''=-+≥≥，()f x 在 [)0,+∞内单调递增，要想()0f x ≥只需要2(0)50f a =-≥，解得a ≤1a -≤≤ ………8分 （ii ）当2(1)0a +<即1a <-时，由()2()x g x e x a =-+在[)0,+∞内单调递增知，存在唯一0x 使得000()2()0x g x e x a =-+=，有00x e x a =-，令()0f x '>解 得0x x >，令()0f x '<解得00x x ≤<，从而对于()f x 在0x x =处取最小值， 0200()2()3x f x e x a =--+，又00x x e a =+0()f x 000022()3(1)(3)x x x x e e e e =-+=-+-，从而应有0()0f x ≥，即030x e -≤，解得00ln3x <≤，由00x e x a =-可得00x a x e =-，有ln 331a -≤<-，综上所述，ln33a -≤≤ ………12分22．【解析】（1）根据弦切角定理，知BAC BDA ∠=∠，ACB DAB ∠=∠，∴△ABC ∽△DBA ，则AB BC DB BA=，故250,AB BC BD AB =⋅==…5分 （2）根据切割线定理，知2CA CB CF =⋅， 2DA DB DE =⋅，两式相除，得22CA CB CF DA DB DE=⋅（*）. 由△ABC ∽△DBA ，得102AC AB DA DB ===，2212CA DA =，又51102CB DB ==，由（*） 得1CF DE=． ………10分 23. 【解析】（1）将3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ 代入1312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ ，得C '的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩ ∴曲线C '的普通方程为221x y +=． ………5分（2）设(,)P x y ，00(,)A x y ，又(3,0)B ，且AB 中点为P所以有：00232x x y y =-⎧⎨=⎩ 又点A 在曲线C '上，∴代入C '的普通方程22001x y +=得22(23)(2)1x y -+= ∴动点P 的轨迹方程为2231()24x y -+=． ………10分 24.【解析】（1）()f x =|3||4|x x ==-++∴()(4)f x f ≥即|3||4|x x -++9≥∴4349x x x ≤-⎧⎨---≥⎩① 或43349x x x -<<⎧⎨-++≥⎩② 或3349x x x ≥⎧⎨-++≥⎩③ 解得不等式①：5x ≤-；②：无解 ③：4x ≥所以()(4)f x f ≥的解集为{|5x x ≤-或4}x ≥． ………5分（2）()()f x g x >即()|3||4|f x x x =-++的图象恒在()(3)g x k x =-图象的上方21,4()|3||4|7,4321,3x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩()(3)g x k x =-图象为恒过定点P (3,0)，且斜率k 变化的一条直线作函数(),()y f x y g x ==图象如图,其中2PB k =，(4,7)A -，∴1PA k =-由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方∴实数k 的取值范围为12k -<≤． ………10分。