高考数学集合总复习-数系的扩充与复数的引入

数系的扩充与复数的引入
导学目标： 1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
自主梳理
1．数系的扩充
数系扩充的脉络是：________→________→________，用集合符号表示为________⊆________⊆________，实际上前者是后者的真子集．
2．复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的________和________．若________，则a ＋b i 为实数，若________，则a ＋b i 为虚数，若________________，则a ＋b i 为纯虚数．
(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．
(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．
(4)复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．______叫做实轴，______叫做虚轴．实轴上的点表示________；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示____________．
复数集C 和复平面内________组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以________为起点的向量组成的集合也是一一对应的．
(5)复数的模
向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作______或________，即|z |＝|a ＋b i|＝____________.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则
①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝______________；
②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝________________；
③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝________________；
④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )
＝________________________(c ＋d i ≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝________，(z 1＋z 2)＋z 3＝______________________.
自我检测
1．(2011·山东)复数z ＝2－i 2＋i
(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．(2011·广东)设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，则z 等于( )
A ．1＋i
B ．1－i
C ．2＋2i
D ．2－2i 3．(2011·大纲全国)复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1等于( )
A ．－2i
B ．－i
C ．i
D ．2i
4．(2011·重庆)复数i 2＋i 3＋i 4
1－i
等于( ) A ．－12－12
i B ．－12＋12i C.12－12i D.12＋12
i 5．(2011·江苏)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________.
探究点一 复数的基本概念
例1 设m ∈R ，复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)．
(1)若z 为实数，则m ＝________；
(2)若z 为纯虚数，则m ＝________.
变式迁移1 已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1
＋(a 2－5a －6)i (a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
探究点二 复数的四则运算
例2 (2010·全国Ⅱ)复数⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i
1＋i 2等于( )
A ．－3－4i
B ．－3＋4i
C ．3－4i
D ．3＋4i
变式迁移2 计算：
(1)(－1＋i )(2＋i )
i 3；
(2)(1＋2i )2＋3(1－i )
2＋i ；
(3)1－3i
(3＋i )2.
例3 (2011·唐山模拟)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋(4－8i )2－(－4＋8i )2
11－7i
.
变式迁移3 (1)(2010·四川)i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3等于( )
A ．－1
B ．1
C ．－i
D ．i
(2)(2010·福建)i 是虚数单位，(1＋i 1－i
)4等于( ) A ．i B ．－i C ．1 D ．－1
(3)i 是虚数单位，1＋i (1－i )2＋1－i (1＋i )2
等于( ) A ．i B ．－i C ．1 D ．－1
探究点三 复数的点坐标表示
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·江西)若z ＝1＋2i i
，则复数z 等于( ) A ．－2－i
B ．－2＋i
C ．2－i
D ．2＋i
2．(2010·北京)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )
A ．－4＋8i
B ．8＋2i
C ．2＋4i
D ．4＋i
3．(2011·平顶山调研)若θ∈(3π4，5π4
)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内
所对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．(2011·课标全国)复数2＋i 1－2i
的共轭复数是( ) A ．－35
i B.35i C ．－i D ．i
5．下面四个命题：
①0比－i 大；
②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；
③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；
④如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．
其中正确命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－3i ，则复数i ＋z 2z 1
的虚部为______． 7．已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2
为实数，则实数m ＝________. 8．(2011·上海九校联考)复数z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )满足|z －1|＝x ，则复数z 对应的点Z (x ，y )的轨迹方程为__________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知|z |－z ＝1－2i ，求复数z .
10．(12分)(2011·上海)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.
11．(14分)已知m ∈R ，复数z ＝m (m －2)m －1
＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ；(2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点位于复平面第二象限；(4)z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上．。