2015年-2016八年级数学奥赛拔高【第2讲】平行四边形
初中数学奥赛专题复习知识梳理+例题精讲第八讲平行四边形
平行四边形【知识梳理】1、平行四边形：平行四边形的定义决定了它有以下几个根本性质：〔1〕平行四边形对角相等；〔2〕平行四边形对边相等；〔3〕平行四边形对角线互相平分。
除了定义以外，平行四边形还有以下几种断定方法：〔1〕两组对角分别相等的四边形是平行四边形；〔2〕两组对边分别相等的四边形是平行四边形；〔3〕对角线互相平分的四边形是平行四边形；〔4〕一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2、特殊平行四边形：一、矩形〔1〕有一角是直角的平行四边形是矩形〔2〕矩形的四个角都是直角；〔3〕矩形的对角线相等。
〔4〕矩形断定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形〔5〕矩形断定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形二、菱形〔1〕把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.〔2〕定理1:菱形的四条边都相等〔3〕菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.〔4〕菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2〔5〕菱形断定定理1：四边都相等的四边形是菱形〔6〕菱形断定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
三、正方形〔1〕有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形〔2〕性质：①四个角都是直角，四条边相等②对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角〔3〕断定：①一组邻边相等的矩形是正方形②有一个角是直角的菱形是正方形【例题精讲】【例1】填空题：【稳固】1、以下说法中错误的选项是．．．．．．〔〕A.四个角相等的四边形是矩形B.四条边相等的四边形是正方形2、假如一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是 ( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.菱形、矩形或者正方形3、下面结论中，正确的选项是〔 〕4、如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．以下四种说法：①四边形AEDF 是平行四边形；②假如90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形； ③假如AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形； ④假如AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形. 其中，正确的有 .〔只填写上序号〕【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点. 求证：四边形BFDE 是平行四边形.Ａ ＦＣＤ Ｂ Ｅ【稳固】，如图9，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF ＝CE ，DF ＝BE ，DF ∥BE ．四边形ABCD 是平行四边形吗？请说明理由．【例3】如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于点E ．求证：四边形AECD 是菱形．【例4】如图，在等边△ABC 中，点D 是BC 边的中点，以AD 为边作等边△ADE ． 〔1〕求∠CAE 的度数；〔2〕取AB 边的中点F ，连结CF 、CE ，试证明四边形AFCE 是矩形．F EDCBAEFDABCABC DE【稳固】如图，O 为矩形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ． 〔1〕试判断四边形OCED 的形状，并说明理由； 〔2〕假设AB ＝6，BC ＝8，求四边形OCED 的面积．【例5】如下图，在△ABC 中，分别以AB 、AC 、BC 为边在BC 的同侧作等边△ABD 、等边△ACE 、等边△BCF .〔1〕求证：四边形DAEF 是平行四边形；〔2〕探究以下问题：〔只填满足的条件，不需证明〕①当△ABC 满足_________________________条件时，四边形DAEF 是矩形；CBA DFEDCBAOE②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足_________________________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
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目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。
注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在中考中难以上题、奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。
本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。
另外在本次培训中，内容的编排大多大于120分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况和层次，由任课教师适当的调整顺序和选择内容（如专题复习可以提前上）。
注：有(*) 标注的为选做内容。
本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲如何做几何证明题第二讲平行四边形（一）第三讲平行四边形（二）第四讲梯形第五讲中位线及其应用第六讲一元二次方程的解法第七讲一元二次方程的判别式第八讲一元二次方程的根与系数的关系第九讲一元二次方程的应用第十讲专题复习一：因式分解、二次根式、分式第十一讲专题复习二：代数式的恒等变形第十二讲专题复习三：相似三角形第十三讲结业考试（未装订在内，另发）第十四讲试卷讲评第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。
几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
人教版八年级下册数学平行四边形第2课时平行四边形的对角线性质 同步练习
18.1 平行四边形第2课时平行四边形的对角线性质基础训练知识点1 平行四边形的性质——对角线互相平分1.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列说法一定正确的是( )A.AO=ODB.AO⊥ODC.AO=OCD.AO⊥AB2.如图,在平行四边形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,对角线AC,BD相交于点O,则OA的取值范围是( )A.2 cm<OA<5 cmB.2 cm<OA<8 cmC.1 cm<OA<4 cmD.3 cm<OA<8 cm3.(2016·丽水)如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC的周长为( )A.13B.17C.20D.264.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=4,AC=6,则BD的长是( )A.8B.9C.10D.115.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,则图中全等的三角形共有( )A.7对B.6对C.5对D.4对6.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于O,OE⊥BD于O交BC于E,连接DE,若△CED的周长是21 cm,则▱ABCD的周长是.知识点2 平行四边形的面积7.将一张平行四边形的纸片折一次,使得折痕平分这个平行四边形的面积.则这样的折纸方法共有( )A.1种B.2种C.4种D.无数种8.如图,在平行四边形ABCD中,点A1,A2,A3,A4和C1,C2,C3,C4分别是AB和CD的五等分点,点B1,B2和D1,D2分别是BC和DA的三等分点,已知四边形A4B2C4D2的面积为1,则平行四边形ABCD的面积为( )A.2B.错误!未找到引用源。
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D.159.如图,过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH,那么图中的▱AEMG的面积S1与▱HCFM的面积S2的大小关系是( )A.S1>S2B.S1<S2C.S1=S2D.2S1=S210.如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD为对角线,BC=6,BC边上的高为4,则图中阴影部分的面积为( )A.3B.6C.12D.24易错点容易把未知条件当作已知条件使用11.如图,在平行四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,OE⊥AD于点E,OF⊥BC于点F.试说明:OE=OF.提升训练考查角度1 利用平行四边形的对角线性质证明线段相等(构造法)12.如图,已知▱ABCD和▱EBFD的顶点A,E,F,C在一条直线上,求证:AE=CF.考察角度2 利用平行四边形对角线性质解坐标问题13.如图,已知点A(-4,2),B(-1,-2),▱ABCD的对角线交于坐标原点O.(1)请直接写出点C,D的坐标;(2)写出从线段AB到线段DC的变换过程;(3)直接写出▱ABCD的面积.探究培优拔尖角度1 利用平行四边形平行性质求面积14.(2016·永州)如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.(1)求证:BE=CD;(2)连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求▱ABCD的面积.拔尖角度2 利用平行四边形对角线性质探究面积15.探究:如图①,▱ABCD中,AC,BD交于点O,过点O的直线交AD于E,交BC于F.(1)求证:四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等.(2)直线EF是否将▱ABCD的面积分成二等份?试说明理由.应用:张大爷家有一块平行四边形的菜园,园中有一口水井P,如图②所示,张大爷计划把菜园平均分成两块分别种植西红柿和茄子,且使两块地共用这口水井,请你帮助张大爷把地分开.参考答案1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】C解：在▱ABCD中,OA=OC,OB=OD,所以AO=错误!未找到引用源。
八年级数学平行四边形的性质和判定拔高教案
名思教育个性化辅导教案学生: 学科: 教师: 班主任: 日期: 时段: 课题教学目标重难点透视知识点剖析序号知识点预估时间掌握情况123教学内容第一部分：知识点梳理一、平行四边形的定义1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2、表示方法：平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．3、平行四边形的基本元素：边、角、对角线．4、平行四边形的定义的作用：平行四边形的定义既是性质，又是判定方法．（1）由定义可知平行四边形的两组对边分别平行；（2）由定义可知只要四边形中有两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形．【例1】对于平行四边形ABCD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是( )．A．平行四边形ABCD表示为“ACDB”B．平行四边形ABCD表示为“ABCD”C．AD∥BC，AB∥CDD．对角线为AC，BO二、平行四边形的性质1、（边）平行四边形的对边平行且相等．例如：如图①所示，在ABCD中，AB CD，AD BC.由上述性质可得，夹在两条平行线间的平行线段相等．如图2，直线l1∥l2.AB，CD是夹在直线l1，l2间的平行线段，则四边形ABCD是平行四边形，故AB CD.2、（角）平行四边形的对角相等，邻角互补．例如：如图①所示，在ABCD 中，∠ABC＝∠CDA，∠BAD＝∠BCD.∠ABC＋∠BAD＝180°，∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BCD＋∠CDA＝180°，∠BAD＋∠CDA＝180°.3、（对角线）平行四边形的对角线互相平分．例如：如图①所示，在ABCD 中，OA＝OC，OB＝OD.图①图②图③4、经过平行四边形对角线的交点的直线被对边截得的两条线段相等，并且该直线平分平行四边形的面积．例如：如图③所示，在ABCD中，EF经过对角线的交点O，与AD和BC分别交于点E，F，则OE＝OF，且S四边形ABFE＝S四边形EFCD【例2】ABCD的周长为30 cm，它的对角线AC和BD交于O，且△AOB的周长比△BOC的周长大5 cm，求AB，AD的长．三、平行四边形的判定1、方法一（边）：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2、方法二（边）：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．3、方法三（边）：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、方法四（角）：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．5、方法五（对角线）：对角线互相平分的四边形是平行四边形．6、注意：(1)判定方法可作为“画平行四边形”的依据；(2)一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．【例3】已知，如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO＝CO.四边形ABCD是平行四边形，请说明理由．四、三角形的中位线1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．2、性质：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半．3、注意：(1)一个三角形有三条中位线，每条中位线与第三边都有相应的位置关系和数量关系；(2)三角形的中位线不同于三角形的中线，三角形的中位线是连接两边中点的线段，而三角形的中线是连接三角形一边的中点和这边所对顶点的线段．【例4】如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若△ABC 的周长为10 cm，则△DEF的周长是__________cm.五、两条平行线间的距离1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．如图所示，a∥b，点A在直线a上，过A点作AC⊥b，垂足为C，则线段AC的长是点A到直线b的距离，也是两条平行线a，b之间的距离．2、规律：(1)如图，过直线a上点B作BD⊥b，垂足为D，则线段BD的长也是两条平行线a，b之间的距离．于是由平行四边形的性质可知平行线的又一个性质：平行线间的距离处处相等．(2)两条平行线之间的距离是指垂线段的长度，当两条平行线的位置确定时，它们之间的距离也随之确定，它不随垂线段的位置的改变而改变，是一个定值．【例5】如图所示，如果l1∥l2，那么△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？由此你还能得出哪些结论？六、平行四边形性质的应用平行四边形性质的应用非常广泛，可以利用它说明线段相等、证明线段平行、求角的度数、求线段的长度、求图形的周长、求图形的面积等．【例6】如图，ABCD的对角线相交于点O，过O作直线EF，并与线段AB，CD 的反向延长线交于E，F，OE与OF是否相等，阐述你的理由．七、平行四边形的判定的应用1、判定平行四边形的一般思路：①考虑对边关系：证明两组对边分别平行；或两组对边分别相等；或一组对边平行且相等；②考虑对角关系：证明两组对角分别相等；③考虑对角线关系：证明两条对角线互相平分．【例7】如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明．(写出一种即可)关系：①AD∥BC，②AB＝CD，③∠A＝∠C，④∠B＋∠C＝180°.已知：在四边形ABCD中，_______，_______；求证：四边形ABCD是平行四边形．八、平行四边形的性质和判定的综合应用1、平行四边形的性质和判定的应用主要有以下几种情况：(1)直接运用平行四边形的性质解决某些问题，如求角的度数、线段的长、证明角相等或互补、证明线段相等或倍分关系；(2)判定一个四边形为平行四边形，从而得到两角相等、两直线平行等；(3)综合运用：先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些问题；或先运用平行四边形的性质得到线段平行、角相等等，再判定一个四边形是平行四边形．【例8】如图所示，在ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且AE＝CF，AF 与BE交于G，DF与CE交于H，连接EF，GH，试问EF与GH是否互相平分？为什么？九、三角形的中位线性质的应用1、常见三角形的中位线的性质的应用：①线段间的位置关系②线段间的数量关系③几何求值(计算角度、求线段的长度)④证明(证明线段相等或不等、证明线段的倍分关系、证明两角相等)⑤作图，且能解决生活实际问题．2、解题技巧：应用三角形中位线定理解决问题时，已知条件中往往给出两个中点，若已知条件只给出一个中点，必须要证明另一个点也是中点，才能运用此定理．【例9】在△ABC中，AB＝12，AC＝10，BC＝9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为( )．A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5十、平行四边形的性质探究题1、解题技巧：平行四边形的探究型问题，关键是根据平行四边形的性质和判定，构造出平行四边形．【例10】如图，已知等边△ABC的边长为a，P是△ABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，点D，E，F分别在AC，AB，BC上，试探索PD＋PE＋PF与a的关系．十一、平行四边形的判定的探究题1、运动型问题的解题技巧：运动变化题，这类题的解决技巧是把“运动”的“静止”下来，以静制动，同时注意不同的情况．【例11】如图所示，已知在四边形ABCD中，AD∥BC(AD＞BC)，BC＝6 cm，点P从A点以1 cm/s的速度向D点出发，同时点Q从C点以2 cm/s的速度向B点出发，设运动时间为t 秒，问t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？平行四边形性质和判定练习题1、如图， AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE、CF交于BD．求证：四边形ABCD是平行四边形．2、如图，四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．3、已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF 是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．课堂总结课后作业：校长签字： ___________。
初二数学奥赛学案(基础篇)：第八讲 平行四边形(知识梳理+例题精讲)
第八讲：平行四边形（基础篇）【知识梳理】1、平行四边形：平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：（1）平行四边形对角相等；（2）平行四边形对边相等；（3）平行四边形对角线互相平分。
除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：（1）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2、特殊平行四边形：一、矩形（1）有一角是直角的平行四边形是矩形（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等。
（4）矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（5）矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形二、菱形（1）把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.（2）定理1:菱形的四条边都相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.（4）菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2（5）菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形（6）菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
三、正方形（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（2）性质：①四个角都是直角，四条边相等②对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角（3）判定：①一组邻边相等的矩形是正方形②有一个角是直角的菱形是正方形【例题精讲】 【例1】填空题：【巩固】1、下列说法中错误．．的是（ ） A.四个角相等的四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是正方形 C.对角线相等的菱形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 2、如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是 ( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.菱形、矩形或正方形 3、下面结论中，正确的是（ ）A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形4、如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四种说法：①四边形AEDF 是平行四边形；②如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形； ③如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形； ④如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形. 其中，正确的有 .（只填写序号）Ａ ＦＣＤＢＥ【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点. 求证：四边形BFDE 是平行四边形.【巩固】已知，如图9，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF ＝CE ，DF ＝BE ，DF ∥BE ．四边形ABCD 是平行四边形吗？请说明理由．【例3】如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于点E ．求证：四边形AECD 是菱形．AEDCFBF EDCBAABCD E【例4】如图，在等边△ABC 中，点D 是BC 边的中点，以AD 为边作等边△ADE ． （1）求∠CAE 的度数；（2）取AB 边的中点F ，连结CF 、CE ，试证明四边形AFCE 是矩形．【巩固】如图，O 为矩形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ． （1）试判断四边形OCED 的形状，并说明理由； （2）若AB ＝6，BC ＝8，求四边形OCED 的面积．DCBAOE【例5】如图所示，在△ABC 中，分别以AB 、AC 、BC 为边在BC 的同侧作等边△ABD 、等边△ACE 、等边△BCF .（1）求证：四边形DAEF 是平行四边形；（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）①当△ABC 满足_________________________条件时，四边形DAEF 是矩形； ②当△ABC 满足_________________________条件时，四边形DAEF 是菱形；③当△ABC 满足_________________________条件时，以D 、A 、E 、F 为顶点的四边形不存在.ADFE。
8年级数学竞赛专题辅导之平行四边形
18年级数学竞赛专题辅导平行四边形题型一：平行四边形的判定与性质的应用 1.如图，已知平行四边形ABCD ，以对角线AC 为边在两侧各作一个正三角形ACP 、ACQ ，求证：四边形BPDQ 为平行四边形.2.如图，在ABC ∆中，oBAC 90=∠，BC AD ⊥，BE 、AF 分别是ABC ∠、DAC ∠的平分线，且相交于点O ，BE 交AD 于G ，求证：GF//AC.题型二：矩形的判定与性质的应用3.如图，在矩形ABCD 中，已知AD=12，AB=5，P 是AD 边上任一点，BD PE ⊥于E ，AC PF ⊥于F ，则PE+PF 的值为________.4.已知凸八边形ABCDEFGH 的八个内角都相等，各边长如图所示，求该八边形的周长.题型三：菱形的判定与性质的应用5.如图，在菱形ABCD 中，AB=a 4，E 是BC 边上一点，且BE=a 2，o BAD 120=∠，P 是BD 上一个动点，当点P 运动到何位置时，PE+PC 最小？最小值是多少？6.如图，在菱形ABCD 中，正AEF ∆的顶点E 、F 分别边BC 、CD 上，且AB=AE ，则B ∠的度数为________.题型四：综合应用7.如图①，在菱形ABCD 中和菱形BEFG 中，点A 、B 、E 在同一直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG 、PC ，若oBEF ABC 60=∠=∠. （1）探究PG 与PC 的位置关系，及PCPG的值； （2）将图①中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一直线上，其他条件不变（如图②），在（1）中得到的结论是否还成立？并加以证明.CABEF C DPDA图① 图②2专题演练一、选择题1.周长为68的长方形ABCD 被分成7个全等的长方形，如图所示，则长方形ABCD 的面积为（ ）A. 98B. 196C. 280D. 2842.如图，菱形花坛ABCD 的边长为6m ，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（ ）A.12mB.20mC.22m D24m 二、填空题3.如图，矩形ABCD中，AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD ，交BC 于E ，若∠EAO=15°，则∠BOE 的度数为________.4.如图，以△ABC 的三边为边在BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD 、△BCE 、△ACF. （1）四边形ADEF 的形状是________； （2）当△ABC 满足条件 ________时，四边形ADEF 为菱形；（3）当△ABC 满足条件________时，四边形ADEF不存在.三、解答题5.如图，在锐角△ABC 中，AD 、CE 分别是BC 、AB边上的高，AD 、CE 相交于F ，BF 的中点为P ，AC 的中点为Q ，连接PQ 、DE.（1）求证：直线PQ 是线段DE 的垂直平分线； （2）如果△ABC 是钝角三角形，∠BAC ＞90°，那么上述结论是否成立？并加以证明.6.在矩形纸片ABCD 中，AB=a ，BC=ka ，将纸片折叠一次，使顶点A 与C 重合，如果纸片中不重合部分的面积为23a ，求k 的值.。
八年级奥林匹克竞赛讲义 第03讲：平行四边形(二)
第三讲：平行四边形（二）【知识梳理】由平行四边形的结构知，平行四边形可以分解为一些全等的三角形，并且包含着平行线的有关性质，因此，平行四边形是全等三角形知识和平行线性质的有机结合，平行四边形包括矩形、菱形、正方形。
另一方面，平行四边形有许多很好的性质，使得构造平行四边形成为解几何题的有力工具。
【例题精讲】【例1】四边形四条边的长分别为q p n m 、、、，且满足pq mn q p n m 222222+=+++，则这个四边形是（ ）A .平行四边形B .对角线互相垂直的四边形C .平行四边形或对角线互相垂直的四边形D .对角线相等的四边形【例2】如图①，四边形ABCD 是正方形， 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F .(1) 求证：DE －BF ＝ EF ．(2) 当点G 为BC 边中点时， 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系， 并说明理由．(3) 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．【巩固】如图1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =.（1）求EC ∶CF 的值； （2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图13－2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；（3）在图2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【例3】如图，在矩形ABCD 中，已知AD ＝12，AB ＝5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，求PE ＋PF 的值。
【例4】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，BE 、AF 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，BE 和AD 交于G ，求证：GF ∥AC 。
八年级奥数：平行四边形
八年级奥数：平行四边形
1平行四边形
平行四边形是一类特殊的四边形，它的特殊性体现在边、角、对角线上，矩形、菱形是特殊的平行四边形，矩形的特殊性体现在有一个角是直角，菱形的特殊性体现在邻边相等，所以，它们既有平行四边形的性质，又有各自特殊的性质．
对角线是解决四边形问题的常用线段，对角线本身的特征又可以决定四边形的形状、大小，连对角线后，平行四边形就产生特殊三角形，因此解平行四边形相关问题时，既用到全等三角形法，特殊三角形性质，又要善于在乎行四边形的背景下探索问题，利用平行四边形丰富的性质为解题服务．
熟悉以下基本图形、基本结论：
2例题解析
解法一：
解法二：还可以这样构造平行四边形
解法一：
解法二：
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2015年-2016八年级数学奥赛拔高平行四边形（一）【知识梳理】
1、平行四边形：
平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：
（1）平行四边形对角相等；
（2）平行四边形对边相等；
（3）平行四边形对角线互相平分。
除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：
（1）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2、特殊平行四边形：
一、矩形
（1）有一角是直角的平行四边形是矩形
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线相等。
（4）矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（5）矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
二、菱形
（1）把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
（2）定理1:菱形的四条边都相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
（4）菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2
（5）菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形
（6）菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
三、正方形
（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
（2）性质：①四个角都是直角，四条边相等
②对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角（3）判定：①一组邻边相等的矩形是正方形
②有一个角是直角的菱形是正方形
【例题精讲】
【例1】填空题：
【巩固】
1、下列说法中错误．．
的是（ ） A .四个角相等的四边形是矩形 B .四条边相等的四边形是正方形 C .对角线相等的菱形是正方形 D .对角线互相垂直的矩形是正方形
2、如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是 ( ) A .矩形 B .菱形 C .正方形 D .菱形、矩形或正方形
3、下面结论中，正确的是（ ）
A .对角线相等的四边形是矩形
B .对角线互相平分的四边形是平行四边形
C .对角线互相垂直的四边形是菱形
D .对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4、如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下
列四种说法：
①四边形AEDF 是平行四边形；
②如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形；
③如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形；
④如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形. 其中，正确的有 .（只填写序号）
【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点. 求证：四边形BFDE 是平行四边形.
A E D
C
F
B Ａ Ｆ Ｃ Ｄ
ＢＥ
【巩固】已知，如图9，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF ＝CE ，DF ＝BE ，DF ∥BE ．
四边形ABCD 是平行四边形吗？请说明理由．
【例3】如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于点E ．
求证：四边形AECD 是菱形．
【例4】如图，在等边△ABC 中，点D 是BC 边的中点，以AD 为边作等边△ADE ． （1）求∠CAE 的度数；
（2）取AB 边的中点F ，连结CF 、CE ，试证明四边形AFCE 是矩形．
【巩固】如图，O 为矩形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ． （1）试判断四边形OCED 的形状，并说明理由； （2）若AB ＝6，BC ＝8，求四边形OCED 的面积．
F E
D C
B
A
A
B
C D E
D
A
O
E
【例5】如图所示，在△ABC 中，分别以AB 、AC 、BC 为边在BC 的同侧作等边△ABD 、等边△ACE 、等边△BCF .
（1）求证：四边形DAEF 是平行四边形；
（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明） ①当△ABC 满足_________________________条件时，四边形DAEF 是矩形； ②当△ABC 满足_________________________条件时，四边形DAEF 是菱形；
③当△ABC 满足_________________________条件时，以D 、A 、E 、F 为顶点的四边形不存在.
A
D
F
E。