噶米高等数学方明亮版课件111微分方程的基本概念

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微分方程—微分方程的基本概念(高等数学课件)

2

2
把 2 、x的表达式代入方程后成为一个恒等式，

这说明： = 1 + 2 ,是微分方程的解，并且是通解.
课程小结
微分方程的定义
微分方程的阶
（常微分方程，偏
微分方程）
微分方程的解
（通解，特解，
定解条件）
= −0.2 2 + 20.
微分方程的阶，解
例1：验证函数 = 1 +
2
2 ,是微分方程 2

+ 2 = 0的解.
解：求出所给函数的导数

= −1 + 2 ,

2
2
2
=
−

−
2
1
其中，−1 ⋯ ，1 ， ()，是关于的函数.
微分方程的阶，解
微分方程的阶：方程中所含有未知函数导数（或微分）的最高阶数.
一般的，n阶微分方程的形式：
, , ′ ， ⋯ () = 0, 或 () = , , ′ , ⋯ (−1) .
等式，那么函数 = 是微分方程的解.
例：
通解：

2
= −0.4
2
= 3,
=
3 2

2
3
+ ，
3
2
特解： = 2 + 2 .
= −0.2 2 + 1 + 2 ，
= −0.2 2 + 20.
微分方程的阶，解
通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意的常数的个数
等于该方程的阶数.
特解：当通解中各任意常数都取定值时所得的解.

高等数学同济件微分方程总结PPT课件

2.求微分方程 y 4 y 3 y 0 的积分曲线方程, 使其在点(0,2)与直线x-y+2=0相切.
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四、设f(x)是二阶可微函数，且 f ( x) f ( x) f ( x) 0
证明若f(x)在某不同两点处的函数值为0，则f(x)在该两点之间恒为零。
设x1, x2使f ( x1 ) f ( x2 ) 0
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y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y 0
(1)
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f ( x) (2)
定理3 设y*是非齐次线性方程(2)的特解， Y是齐次线性方程(1)的通解, 则 y=Y+y* 是非齐次线性方程(2)的通解。
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定理2：若 y1( x)与 y2( x)是方程
y p( x) yq( x) y 0 (1)的两个线性无关
的特解, 则 y C1 y1 C2 y2就是方程(1)的通解. 五、二阶常系数线性微分方程的解法
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一、填空题
综合练习
1.曲线族 y Cx2 所满足的一阶微分方程是_x_y__ 2 y
f ( x) f ( x) f ( x) 0 ( x1 x x2 )
r2 r 1 0
r1,2
1 (1 2
5)
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故f ( x) C1er1x C2er2x f ( x1) f ( x2 ) 0 C1er1x1 C2er2x1 0
C1er1x2 C2er2x2 0 C1 C2 பைடு நூலகம் 故f(x)=0
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y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) (3) y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f2( x) (4) 定理4 设 y1* , y2* 分别是方程(3)与(4)的特解, 则 y1* y2* 是方程 y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) f2( x) 的特解。

高等数学第七章第一节微分方程的基本概念课件.ppt

解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
即 yy 2x 0
y P
Qo xx
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
例1. 验证函数是微分方程
(C1 , C2为常数 )
的解, 并求满足初始条件
x
t0
A, dx
dt
t00
的特解 .
解:
k 2 (C1 sin kt C2 cos kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos k t
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
微分方程的基本概念
含未内容)
分类偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y,, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.

高等数学第十一章课件.ppt

这类方程的特点是经过适当的变换，可以将方程
右边分解成只含 x 的函数与只含 y 的函数的乘积，而左边是关于 y 的一阶导数.具体解法如下：
(1) 分离变量将方程写成 1 dy f (x)dx 的形式
g( y)
(2) 两端积分
1 g( y)
dy
f
(x)dx
设积分后得
G( y) F(x) C ；则 G( y) F(x) C 称为隐式通解，隐式解有时可以
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xerx ,
得齐次方程的通解为 y (C1 C2x)erx;
3.有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i , r2 i ,
y1 e( i ) x , y2 e( i )x ,
重新组合
1
y1
( 2
y1
y2 )
ex cos x,
y py qy f1(x) f2 (x)
的特解．
定理 4 若 Y 是线性齐次方程 y py qy 0 的
通解， y 是线性非齐次方程 y py qy f (x) 的一个
解，则Y y 是 y py qy f (x) 的通解．
设非齐方程特解为
代入原方程
综上讨论
注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.
第二节一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程二、齐次方程三、一阶线性微分方程四、伯努利方程
一、可分离变量的微分方程
一阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y) 0 或 dy f (x, y) dx
形如
dy f (x)g( y)(g( y) 0) dx
的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程．

《微分方程》课件

总结词
需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时，需要选择合适的代换变量，使得微分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换，简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换，将微分方程转化为更简单的形式，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程，通过引入新的变量代换，可以将高阶微分方程转化为更简单的形式，从而简化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性求解方法。
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特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a（常数）时，方程简化为 y'' + ay = f(x)，其解法与二阶线性微分方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性微分方程。
《微分方程》PPT课件
目录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间动态关系的方程，通过微分来描述函数的变化率。

第一节微分方程的基本概念

过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
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例一曲线通过点 (1,2),且在该曲线上任一点 M (x,y) 处的切线的斜率为 2x,求这曲线的方程 .
解设所求曲y线 y为 (x)
d y 2 x ， y(1)2, dx
yxy, 一阶
y2y3yex, 二阶
(t2x)dtxdx0, 一阶
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定义使方程成为恒等式的函数称微分方程的解. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
例yy, 通解 yCex; yy0, 通 y 解 C 1six n C 2co xs
本章还要学习一阶常系数线性差分方程的解法.
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定义含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程. 定义出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或微分的阶数，称为微分方程的阶.
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.在本书中只讨论常微分方程，如下例：
(2)特解: 不含任意常数的解.
定解条件: 用来确定任意常数的条件.
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初始条件: 规定微分方程中的未知函数及其若干阶导数在某一点处的取值。
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶:
y f (x, y)

y
x
x0

y0
过定点的积分曲线;
二阶:
yf(x,y,y) yxx0 y0,yxx0 y0

高等数学微分方程的基本概念教学ppt讲解

(9)
2
这就是初速度为0的物体垂直下落时距离
s与时间t之间的函数关系．
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第六章常微分方程
二、微分方程的定义
第一节微分方程的基本概念
微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x , (t 2 x)dt xdx 0,
分类1:按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程.
如果其中的未知函数只与一个自变量有关，就称为常微分方程。
如 y′= x2 , y′+ xy2 = 0 , 都是常微分方程；
y(4) 4 y ' 4 y xex
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第六章常微分方程
第一节微分方程的基本概念
如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数
如
2u x2

2u y2

2u z2

0
就是偏微分方程；
本章我们只介绍常微分方程。
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第六章常微分方程
第一节微分方程的基本概念
第六章常微分方程
第一节微分方程的基本概念第二节一阶微分方程第三节可降阶的高阶微分方程第四节二阶线性微分方程解的结构第五节二阶常系数线性齐次微分方程
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微积分课件(微分方程简介)

n阶微分方程(9.8)的常见定解条件是
y ( x0 ) y0 , y' ( x0 ) y1 ,, y
( n1)
( x0 ) yn1
(9.12)
称(9.12)为初始条件,其中x0,y0,y1,…, yn为n+1个给
定的常数.
求微分方程满足某个定解条件或初始条件的特解问题,称为微分方程的定解问题或初值问题. 例如,初值问题:
dy dt ay (t ),
a为常数
(9.1)
(9.2)
y' P( x) y Q( x)
y'' xy' x y e
2
x
(9.3) (9.4)
( y' ) 1 y
2
2
都是常微分方程.而方程
u
2
t
2
2

u
2
x
2
2
f (t , x)
u
2
(9.5)
a1 ( x) y
( n 1)
an1 ( x) y' an ( x) y f ( x) (9.9)
其中a1(x),…an(x)和f(x)均为x的已知函数.
不是线性微分方程的微分方程,统称为非线
性微分方程.
二、微分方程的解定义9.3 如果将已知函数 y ( x) 代入方程(9.8)后, 能使其成为恒等式,则称函数y ( x)为方程(9.8) 的解;如果由关系式Φ(x,y)=0确定的隐函数 y ( x) 是方程(9.8)的解,则称Φ(x,y)=0为方程(9.8)的隐式解. 例如,y=eat,y=Ceat(C为常数)都是方程(9.1)的解;而x2+y2=1是方程(9.4)的隐式解.

高等数学PPT课件(共13章)第6章微分方程

(2)按实际问题写出初始条件; ．
(3)求微分方程的通解;
(4)由初始条件确定所求的特解.
第六章微分方程
例6-2 【刹车制动问题】列车在直线轨道上以20m/s的
速度行驶,制动时列车的加速度为 -0.4m/s2,问制动后多长时
间列车才能停下? 这段时间内列车行驶了多少米?
解设列车制动后t秒行驶了s米.由题意知,初始条件
例6-6-【电容器充电规律】如图6-1所示的RC 电路,已知
在开关S合上前电容C 上没有电荷,电容C 两端的电压为零,
电源电压为E.把开关合上后,电源对电容充电,电容 C 上的电
压uC 逐渐升高,求电压uC 随时间t变化的规律.
图6-1
第六章微分方程
第六章微分方程
第六章微分方程
图6-2
=α+iβ,r2 =α-iβ (其中α 与β是实数,且β≠0).容易验证,
y1=eαxcosβx、y2=eαxsinβx 是方程(6-30)的两个线性无关的特
解,故齐次方程(6-30)的通解为
第六章微分方程
求二阶常系数齐次线性微分方程y″+py'+qy=0的通解的
步骤如下:
第一步,写出微分方程的特征方程r2 +pr+q=0;
第六章微分方程
定理6-1 若y1、y2 是二阶常系数齐次线性微分方程(6-30)
的两个解,则y=C1y1+ C2y2 也是方程(6-30)的解;如果y1与y2 线
性无关,则y=C1y1+C2y2 是方程(6-30)的通解.
证明
第六章微分方程
所以y=C1y1+ C2y2 是方程(6-30)的解.由于y1 与y2 线性无

高等数学方明亮版课件111微分方程的基本概念

由于通解含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一种客观事物的规律性．因此，必须根据问题的实际情况提出某些特定的条件，即当自变量取特定值时，未知函数或其导数对应的确定值，这种定解的条件称为初始条件（或初值条件）．
定义 6 确定了通解中的任意常数后的解叫做微分方程的特解．
定义 7 求微分方程的解的过程叫做解微分方程．
本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的解法．
2019/10/9
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定义 1 含有自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的
等式就叫做微分方程．
例如，（1）
dy dx

P( x) y

Q(x) ，
（2）
d2 y dx2

m2
y

A sin x
，
（3）
d2 y dx2
定义 4 满足微分方程的函数称为微分方程的解．
例 1 验证：函数
y C1 e1x C2 e2x （其中， C1 ， C2 ， 1 ， 2 为常数）
是微分方程
的解．
y (1 2 ) y 12 y 0
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证：对 y C1 e1x C2 e2x 两边分别取一阶导数和二阶导数，得
12 (C1 e1x C2 e2x ) 0 右边．所以函数 y 是该方程的解．
注意到，本例中的函数 y C1 e1x C2 e2x 中有两个常数 C1 ， C2 ，它们可以取不同的实数，从而可得到微分方程
y (1 2 ) y 12 y 0 的无穷多个解．一般地，我们有以

最新01第一节微分方程的基本概念

01第一节微分方程的基本概念第八章常微分方程与差分方程对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.-------傅里叶微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具.如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论.第一节微分方程的基本概念分布图示★引言★微分方程的概念★例1★例2★例3★例4★微分方程解的概念★例5★例6★内容小结★课堂练习★习题8-1内容要点：一、微分方程的概念我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程，本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是:«Skip Record If...» (1.5)其中«Skip Record If...»为自变量，«Skip Record If...»是未知函数.如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程«Skip Record If...» (1.6)以后我们讨论的微分方程组主要是形如(1.6)的微分方程，并且假设(1.6)式右端的函数«Skip Record If...»在所讨论的范围内连续.如果方程(1.6)可表为如下形式:«Skip Record If...» (1.7)则称方程(1.7)为«Skip Record If...»阶线性微分方程. 其中«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»和«Skip Record If...»均为自变量«Skip Record If...»的已知函数.不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性方程.在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解. 更确切地说，设函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上有«Skip Record If...»阶连续导数，如果在区间«Skip Record If...»上，有«Skip Record If...»则称函数«Skip Record If...»为微分方程(1.5)在区间«Skip Record If...»上的解.二、微分方程的解微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 所谓通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解（至多有个别例外）.注：这里所说的相互独立的任意常数，是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少.许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件. 例如，条件(1.2)和(1.4)分别是微分方程(1.1)和(1.3)的初始条件.带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题.微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线.例题选讲：微分方程的概念例1 (E01) 设一物体的温度为100℃, 将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律:物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比, 设物体的温度«Skip Record If...»与时间«Skip Record If...»的函数关系为«Skip Record If...»则可建立起函数«Skip Record If...»满足的微分方程«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型.根据题意, «Skip Record If...»还需满足条件 «Skip Record If...»例2（E02）设一质量为«Skip Record If...»的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力«Skip Record If...»等于物体的质量«Skip Record If...»与物体运动的加速度«Skip Record If...»成正比，即«Skip Record If...»，若取物体降落的铅垂线为«Skip Record If...»轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是«Skip Record If...»，物体下落的距离«Skip Record If...»与时间«Skip Record If...»的函数关系为«Skip Record If...»，则可建立起函数«Skip Record If...»满足的微分方程«Skip Record If...» (1.1)其中«Skip Record If...»为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型.根据题意，«Skip Record If...»还需满足条件«Skip Record If...» (1.2)例3（E03）如果设某商品在时刻t的售价为P, 社会对该商品的需求量和供给量分别是P的函数«Skip Record If...»则在时刻t的价格«Skip Record If...»对于时间t的变化率可认为与该商品在同时刻的超额需求量«Skip Record If...»成正比, 即有微分方程«Skip Record If...» (1.3)在«Skip Record If...»和«Skip Record If...»确定情况下, 可解出价格与t的函数关系.例4（E04）试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数.«Skip Record If...»解(1)是一阶线性微分方程，因方程中含有的«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都是一次.(2)是一阶非线性微分方程，因方程中含有的«Skip Record If...»的平方项.(3)是二阶非线性微分方程，因方程中含有的«Skip Record If...»的三次方.(4)是二阶非线性微分方程，因方程中含有非线性函数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»微分方程的解例5求曲线族«Skip Record If...»满足的微分方程，其中«Skip Record If...»为任意常数.解求曲线族所满足的方程，就是求一微分方程,使所给的曲线族正好是该微分方程的积分曲线族.因此所求的微分方程的阶数应与已知曲线族中的任意常数的个数相等.这里,我们通过消去任意常数的方法来得到所求的微分方程.在等式«Skip Record If...»两端对«Skip Record If...»求导,得«Skip Record If...»再从«Skip Record If...»解出«Skip Record If...»代入上式得«Skip Record If...»化简即得到所求的微分方程 «Skip Record If...»例6（E05）验证函数«Skip Record If...»(C为任意常数)是方程«Skip Record If...»的通解, 并求满足初始条件«Skip Record If...»的特解.解要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将«Skip Record If...»求一阶导数,得«Skip Record If...»«Skip Record If...»把«Skip Record If...»和«Skip Record If...»代入方程左边得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»因方程两边恒等,且«Skip Record If...»中含有一个任意常数,故«Skip Record If...»是题设方程的通解.将初始条件«Skip Record If...»代入通解«Skip Record If...»中，得«Skip Record If...»从而所求特解为 «Skip Record If...»课堂练习1．验证函数«Skip Record If...»是微分方程«Skip Record If...»的解. 并求满足初始条件«Skip Record If...»的特解.。