辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(文科)
2025届辽宁省沈阳市第31中学高考数学一模试卷含解析
2025届辽宁省沈阳市第31中学高考数学一模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()32f x x x x =-+的图象在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．22．已知函数()222ln 02x x e f x e x x e⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ） A ．1eB ．1eC ．12eD ．21e3．如图，四边形ABCD 为正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，点P 在线段CD 上运动.设AP x AB y AE =+，则x y +的取值范围是（ ）A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]2,44．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 5．已知函数()[]010x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩，，＜（[]x 表示不超过x 的最大整数），若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．40322017B ．20152016C ．20162017D ．201510087．函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,28．若AB 为过椭圆22116925x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ）A ．20B ．30C ．50D ．609．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-=B ．2nn a =C ．21nn S =-D ．121n n S -=-10．设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若1243F F =，则12PF PF +=（ ） A ．4B ．8C ．42D ．4711．函数()()()sin 0,02g x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图所示，已知()5036g g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，函数()y f x =的图象可由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 2f x x =B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()2sin f x x =- D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭12．已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【2020年高考必备】辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(文科)及解析
辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的1. （5 分）若集合 A={x|x 2- 2x -3V 0}，集合 B={x|x v 1}，则 A H B 等于（ ）A. （1, 3）B. （-^，- 1）C. （- 1,1）D . （- 3, 1）2. （5分）已知i 为虚数单位，复数「’的共扼复数在复平面内对应的点位于 l+2i（ ） A •第一象限B.第二象限C 第三象限D .第四象限3. （5分）已知平面向量〔一，；，；•— 一，且 -:■，则实数x 的 值为（）A . 二B .二C.；二D . 二 4. （5分）已知tan 9 =2则，:J ':：•:的值为（sin v 17 105. （5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为 0时，输入的x 的值为（）A. - 3 B . - 3 或 9 C. 3 或-9D. - 9 或-36 . （5分）某四棱锥的三视图如图所示，贝U 该四棱锥的侧面积是（A .A . — -B .】二-：C.「- D .37. (5分)在等差数列｛a n ｝中，若S n 为前n 项和，2为=&+5,则S i 的值是()A. 55B. 11C. 50 D .60 8. (5分)甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知： 丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况， 下列判断正确的是()A. 甲是教师，乙是医生，丙是记者B. 甲是医生，乙是记者，丙是教师C. 甲是医生，乙是教师，丙是记者D. 甲是记者，乙是医生，丙是教师 9.(5分)已知函数以下命题中假命题是()A .函数f (x )的图象关于直线打二对称 B^ 是函数f (x )的一个零点6JTC.函数f (x )的图象可由g (x ) =sin2x 的图象向左平移 个单位得到D. 函数f (x )在」〕一I 上是增函数10. (5 分)设函数 f (x ) =xe <+1，则( )A . x=1为f (x )的极大值点 B. x=1为f (x )的极小值点C. x=- 1为f (x )的极大值点11. (5分)已知双曲线：—a止(主鴻ff! 蝴左)视Ifi 備按圏D. x=- 1为f (x)的极小值点2'■ I，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A,若讣厂二，则双6曲线C的离心率为（）A. 2B. 「C. -D.二312. （5分）设函数f （x）是定义在R上的偶函数，且f （x+2）=f （2-x）,当x€ [ - 2,0]时, ；---i，则在区间（-2, 6）内关于x的方程f （x）-2log8 （x+2）=0解的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）Qx13. ______________________________________________________________（5 分）设变量x, y满足约束条件：,则z=x- 3y的最小值为___________________ . 14 . （5分）已知抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以P （1,1）为中点，则弦AB所在直线方程是 _______ .15 . （5 分）在数列｛a n｝中，a1=1, a2=2, a n+1 =3a n —2a n-1 （n》2）,则a n= .16. （5分）已知正四棱锥S- ABCD中，」二「定，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 ________ .三、解答题（本大题共5小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 .（12分）在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且满足工J _ 一,2 5AB-AC=3.（1）求厶ABC的面积；（2）若b+c=6,求a的值.18 . （12分）高中生在被问及家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55 人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占朋友聚集的地方占'、个人空间占'.美国高中生答题情5 10 10况是：朋友聚集的地方占「、家占「个人空间占I •555(I)请根据以上调查结果将下面 2X2列联表补充完整；并判断能否有 95%的 把握认为恋家(在家里感到最幸福)”与国别有关；步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在 个人空间 感到幸福的学生的概率.CD=3 M 为 PC 上一点，且 PM=2MC. (1) 求证：BM //平面PAD(2) 若AD=2, PD=3, .si!——，求三棱锥P-ADM 的体积.2 220. (12分)已知椭圆的左、右焦点分别为 Fi 、F2，点a b M j 在椭圆上，且有■- I II--<.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 过F2的直线I 与椭圆交于A 、B 两点，求△ AOB 面积的最大值.21. (12 分)已知函数 f (x ) = (x+1) 2 - 3alnx ，a € R .附_ - ' I ■' (a+b) (c+d) (a+c) (b+ d)'其中 n=a+b+c+d . 19. (12分)如图，在四棱锥 P- ABCD 中，PD 丄底面 ABCD AB// CD, AB=2,(1)求函数f ( X)图象经过的定点坐标；(2)当a=1时，求曲线f (X)在点(1, f (1))处的切线方程及函数f (X)单调区间；(3)若对任意x€ ［1, e］, f (x)<4恒成立，求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.［选修4-4 :坐标系与参数方程］22. (10分)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为"(t(y=l+sint为参数)，曲线C2的直角坐标方程为x2+ (y- 2) 2=4.以直角坐标原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线I的极坐标方程为9 =a (O v av n)(1)求曲线G、C2的极坐标方程；(2)设点A、B为射线I与曲线G、C2除原点之外的交点，求|AB|的最大值.［选修4-5:不等式选讲］23. 已知函数f (x) =| x- a|+ 3x，其中a€ R.(1)当a=1时，求不等式f (x)> 3x+|2x+1|的解集；(2)若不等式f (x)< 0的解集为｛x|x<- 1｝，求a的值.2018年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的■1. （5 分）若集合A={x|x2- 2x-3V 0}，集合B={x|x v 1}，则A H B 等于（）A. （1, 3）B. （-^，- 1）C. （- 1,1）D. （- 3, 1）【解答】解：A={x| x2- 2x- 3v 0}={x| —1v x v 3}，集合B={x| x< 1}，则A H B={x| - 1<x< 1}= （- 1，1），故选：C2. （5分）已知i为虚数单位'复数占的共扼复数在复平面内对应的点位于A•第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【解答】解.… I j = _，. 一，一.【解答】解：•..=「.「.,，「.复数「的共扼复数为，在复平面内对应的点的坐标为（==），位于第二象限.故选：B.3. （5分）已知平面向量.,且：2-：I 7,则实数x的值为（）A. 二B. 二C. ；UD. 二【解答】解：根据题意，向量...；，’「「L，-,则-=（-3, X- ,又由（a~b）_L b,贝U （吕-b） ?b=（— 3）X 1+ （x-J^）X馅=0, 解可得x=2二，故选：B.4. （5分）已知tan 9 =2则'' :.的值为（）sin HA.匕B.上C.D. 15 5 10 10■-I _【解答】解：：tan 9 =2 则" .■ J =1+ 1 + :::'sin0 +Sin ° tanB=1+丨+ —」+丄；2 ta n2e+i 2 4+1 105故选：C.5. （5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为（）A.- 3B.- 3 或9C. 3 或-9D.- 9 或-3【解答】解：输出才结果为零，有y=0由程序框图可知，当：y= （TT） X- 8=0时，解得选x=- 3；当y=2 - log3X=0,解得x=9.综上，有x=- 3,或者9.故选：B.6. （5分）某四棱锥的三视图如图所示，贝U该四棱锥的侧面积是（A. — -B.：宀=匚C. 「-D.3【解答】解：由四棱锥的三视图得到该四棱锥是P-ABCD其中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC丄平面ABCD如图,止（主）規阳蝴左）视IfiPB=PD=[—壬=2 二，•••该四棱锥的侧面积是：S=S PBC+S\PDC+S\PAB+S PCD= '■：-：l77 ■■ ■. -■：I T7 ■■■.=4+4 ■:.故选：A.7. （5分）在等差数列｛a n｝中，若S n为前n项和，2內=宪+5,则S i的值是（）A. 55B. 11C. 50D. 60【解答】解：设等差数列｛a n｝的公差为d，v 2巾=88+5,二2a i+12d=d+7d+5,• a i+5d=5=a s，11（玄]+ “1）则Si i= =11a s=55.故选：A .8. (5分)甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知: 丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况, 下列判断正确的是( )A. 甲是教师，乙是医生，丙是记者B. 甲是医生，乙是记者，丙是教师C. 甲是医生，乙是教师，丙是记者D. 甲是记者，乙是医生，丙是教师【解答】解：由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者， 从而排除B 和D ;由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是教师，甲是医生. 故选：C.9. (5分)已知函数：，：匚，以下命题中假命题是( )A. 函数f (x )的图象关于直线严二对称B.——是函数f (x )的一个零点C.函数f (x )的图象可由g (x ) =sin2x 的图象向左平移 个单位得到D. 函数f (x )在」〕一I 上是增函数【解答】解：对于A ，当x= 时，函数f (x ) =sin (2X +) =1为最大值,丄乙丄£ J••• f (x )的图象关于直线.， 对称，A 正确；丄£TT TT 7T对于 B ，当 x=- 时，函数 f (x ) =sin (- 2 X +) =0,66 3••• x=- 一是函数f (x )的一个零点，B 正确; 6其图象可由g (x ) =sin2x 的图象向左平移一个单位得到,对于 C ,函数 f (x ) =sin (2x+C 错误;)=sin2 (对于D, x€ [0, 一]时，2x+_ € [三，—],12 3 3 2•••函数f (x) =sin (2x+…)在「.…一上是增函数，D正确.3 12故选：C.10. (5 分)设函数f (x) =xe x+1，则( )A. x=1为f (x)的极大值点B. x=1为f (x)的极小值点C. x=- 1为f (x)的极大值点D. x=- 1为f (x)的极小值点【解答】解：由于f (x) =xe x，可得f'(x) = (x+1) e x，令f'( x) = (x+1) e x=0 可得x=- 1，令f' (x) = (x+1) e x>0可得x>- 1，即函数在(-1，+x)上是增函数令f' (x) = (x+1) e x v0可得x v- 1，即函数在(-x，- 1)上是减函数所以x=- 1为f (x)的极小值点.故选：D.2 211. (5分)已知双曲线：'■- ，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点人，若•…，则双6曲线C的离心率为( )A. 2B.「C. "■D.亠【解答】解：由直径所对的圆周角为直角，可得/ OAF=90,在△ OAF中，亠_匚订、一'6可得AF=OFcos30= - c,2由AF为焦点(c，0)到渐近线bx- ay=0的距离，即为' ==b，Vb2+a2 c即有b=^c.故选A.12. (5分)设函数f (x)是定义在R上的偶函数，且f (x+2) =f (2-x),当x € [ - 2,0]时, ；---i，则在区间(-2, 6)内关于x的方程f (x)-2log8 (x+2) =0解的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【解答】解：对于任意的x€ R,都有f (2+x) =f (2-x),••• f (x+4) =f[2+ (x+2) ] =f[ (x+2)- 2] =f (x),•••函数f (x)是一个周期函数，且T=4.又‘当x e [ -2, 0]时，f(x)=(二)x- 1，且函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f (6) =1,则函数y=f (x)与y=log 8 (x+2)在区间(-2, 6)上的图象如下图所示：根据图象可得y=f (x)与y=log 8 (x+2)在区间(-2, 6) 上有3个不同的交点. 故选：C.、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13. (5分)设变量x, y满足约束条件：*时y< 2,则z=x- 3y的最小值为_10 .【解答】解：画出约束条件：，时y<2可行域如下图，由z=x- 3y 得y= x-；3 3平移直线y-x—,3 3由图象可知当直线经过点B时，直线y= x--匚的截距最大，此时z最小，33由丫：解得，h+y=2B (- 1, 3);故此时z=- 1 - 3X3=- 10;14. (5分)已知抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线方程是2x- y - 1=0 .【解答】解：设A (为，yd, B (X2, y2),代入抛物线方程得y12=4x1，①，y22=4x2，②，yi-y?a①-②整理得k= = =2,H 严2 V] +^2则弦AB所在直线方程为y-仁2 (x- 1),即为2x- y-仁0.故答案为：2x- y -仁0.15. (5 分)在数列｛a n ｝中，a i =1, a 2=2, a n +i =3a n — 2a n -1 (n 》2),贝U a n = 2 (n € N *).【解答】解：t an +i =3a n - 2a n -i (n >2), --a n +i — a n =2a n — 2a n -1=2 (a n — a n -1) (n 》2), 可得：a 3 - a 2=2 (a 2 - a i )a 4 -出=2 (a 3 - 02) a n +1 - a n =2 ( a n - a n -1)相加可得：a n +i - a 2=2 (a n - a i ),可得：a n +i - 2=2 (a n - 1),即：a n +i =2a n , •••数列｛a n ｝是等比数列，n € N *, • 一【厂.故答案为：2n -1 (n € N *).16. (5分)已知正四棱锥S- ABCD 中，：「•二「门，那么当该棱锥的体积最大时, 它的高为 6【解答】解：设正四棱锥S - ABCD 的底面边长为a ,则高设 y=108a 4- - a 6,2则 y ' =432- 3a 5,由 y ' =432-3a 5=0,解得 a=0或 a=12, •••当a=12时，体积最大， 此时[ “工=6, 故答案为：6.三、解答题（本大题共5小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.）体积V= a 2h= |10817. （12分）在厶ABC中，角A，B, C所对的边分别为a, b, c,且满足:.'--2 5AB*AC=3.（1）求厶ABC的面积；（2）若b+c=6,求 a 的值.【解答】解：（1）因为:-'--,2 5所以il li ]',二丄丄「又由「・得bccosA=3,所以bc=5（2）由（1）知,bc=5,又b+c=6,由余弦定理，得-1' _ ' ! - ' -—- ，所以-=-'打18. （12分）高中生在被问及家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占朋友聚集的地方占、个人空间占.美国高中生答题情5 10 10况是：朋友聚集的地方占「、家占：、个人空间占I .5 5 b（I）请根据以上调查结果将下面2X2列联表补充完整；并判断能否有95%的把握认为恋家（在家里感到最幸福）”与国别有关；从被调查的不 恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出 4人接受进步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在 个人空间”【解答】解：由已知得,•••有95%的把握认为 恋家”与否与国别有关；(U)用分层抽样的方法抽出4人，其中在 朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人, 在个人空间”感到幸福的有1人，分别设为a i , a 2, a 3, b ；T (a i , a 2), (a i ,氏)，(a i , b ), (a 2, a 3), (a 2, b ), (a 3, b ) } , • n=6；设含有在个人空间”感到幸福的学生”为事件A , A={ (a i , b ), (a 2, b ) (a 3, b ) } , • m=3; 则所求的概率为-i :.n 62i9. (i2分)如图，在四棱锥 P- ABCD 中，PD 丄底面 ABCD AB// CD, AB=2, CD=3 M 为 PC 上一点，且 PM=2MC. (1) 求证：BM //平面PAD (2)若AD=2, PD=3, ,|，求三棱锥P-ADM 的体积.附其中 n =a+b+c+d -感到幸福的学生的概率.n(adHoc) 2【解答】（1）证明：法一、过M 作MN //CD 交PD 于点N ,连接AN .又I .'-一八.，且 AB//CD,••• AB// MN , AB=MN,则四边形ABMN 为平行四边形， ••• BM // AN.又••• BM?平面 PAD, AN?平面 PAD, ••• BM // 平面 PAD.法二、过点M 作MN 丄CD 于点N , N 为垂足，连接BN. 由题意，PM=2MC,贝U DN=2NG又••• DC=3 DN=2,「. AB=DN, AB// DN , •••四边形ABND 为平行四边形,贝U BN// AD . ••• PD 丄平面 ABCD DC?平面 ABCD , /• PD 丄 DC. 又 MN 丄 DC,二 PD// MN .又••• BN?平面 MBN , MN?平面 MBN , BNP MN=N ; ••• AD?平面 PAD PD?平面 PAD AD P PD=D •••平面MBN //平面PAD.••• BM?平面 MBN ,二 BM // 平面 PAD (2)解：过B 作AD 的垂线,垂足为E.••• PD 丄平面 ABCD BE?平面 ABCD /• PD 丄 BE 又••• AD?平面 PAD PD?平面 PAD, AD P PD=D. ••• BE!平面 PAD 由(1)知,BM //平面PAD,••• M 到平面PAD 的距离等于B 到平面PAD 的距离，即BE•••PM=2MC,在厶ABC中，AB=AD=2 BEf/瓦31^+；，得(m 2+2) y 2+2my - 1=0, + +2y —2 -2ID 珥+y 于-n/ + 2，mm +12 _(m^+1) +2(n^+l) +1---- <V2>< 9 -- .— -------- 2 〔『+1)1座7^ T 2 ，(w 2+l)―—+2当且仅当-.-一，即m=0时，等号成立.ID‘ + 1•••△ AOB 面积的最大值为匸.221. (12 分)已知函数 f (x ) = (x+1) 2 - 3alnx ，a € R . (1) 求函数f (x )图象经过的定点坐标； (2)当a=1时，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程及函数f (x )单 调区间；(3) 若对任意x € [1，e]，f (x )<4恒成立，求实数a 的取值范围. 【解答】解：(1)当x=1时，In 仁0，所以f (1) =4， 所以函数f (x )的图象无论a 为何值都经过定点(1, 4).(2)当 a=1 时，f (x ) = (x+1) 2 - 3Inx . f (1) =4，F t 厂.，f (1) =1,x则切线方程为 y -4=1 x(x - 1)，即 y=x+3. 在 x €(0，+x )时，如果:• J ，.：, I : ：. I ，x即:时，函数f (x )单调递增； 如果 L 'J ' . j I ■■ ■'，即一一;时，函数f ( X )单调递减.2(3)'', x >0.当 a <0 时，f (x )>0, f (x )在［1, e ］上单调递增.f (X )min =f (1) =4, f (x ) < 4不恒联立*由韦达定理，得* ¥ m +2ID 十 J成立.当a>0 时，设g (x) =2X2+2X-3a, x>0.•••g (x)的对称轴为、,g (0) =- 3a v0,2••• g (乂)在(0, +x)上单调递增，且存在唯一x°€( 0, +x),使得g (X0)=0.•••当x€(0, X。
辽宁省沈阳市数学高三文数第一次模拟考试试卷
辽宁省沈阳市数学高三文数第一次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·长春月考) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·湖北模拟) 若复数z=1+i，为z的共轭复数，则z• =（）A . 0B . 2C .D . 2i3. （2分）下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是：（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二上·杭州期中) 设，满足约束条件，则的最小值是（）A . 1B .C .D .5. （2分）(2018·广安模拟) 若双曲线的一条渐近线为，则实数（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一下·枣庄期末) 下面的茎叶图表示的是甲、乙两人在次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·保定期末) 若等比数列{an}的前n项和Sn=3n﹣1，则其公比为（）A . ﹣3B . 3C . ﹣1D . 18. （2分） (2015高二下·忻州期中) 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A .B .C .D .9. （2分）函数的零点个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 310. （2分）异面直线l与m成60°，异面直线l与n成45°，则异面直线m与n成角范围是（）A . [15°，90°]B . [60°，90°]C . [15°，105°]D . [30°，105°]11. （2分）若f（x）=2cos（2x+φ）（φ＞0）的图象关于直线x= 对称，且当φ取最小值时，∃x0∈（0，），使得f（x0）=a，则a的取值范围是（）A . （﹣1，2]B . [﹣2，﹣1）C . （﹣1，1）D . [﹣2，1）12. （2分）若过点A(0，－1)的直线l与圆x2＋(y－3)2＝4的圆心的距离为d ，则d的取值范围为（）A . [0,4]B . [0,3]C . [0,2]D . [0,1]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·蚌埠期中) ﹣ =________．14. （1分）(2018·河北模拟) 已知是等差数列，是其数列的前项和，且，，则 ________．（n+1）*1=3（n*1），则2*1=________；（2）15. （1分）定义一种新运算“*”，对自然数n满足以下等式：（1）1*1=1；n*1=________．16. （1分）棱长为1的正方体的8个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2017·扬州模拟) 已知α，β都是锐角，且sinα= ，tan（α﹣β）=﹣．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．18. （10分） (2017高三上·长沙开学考) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA=BC=5，AC=8，D为线段AC 的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥A1D；（Ⅱ）若直线A1D与平面BC1D所成角的正弦值为，求AA1的长．19. （10分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.优秀非优秀总计甲班10乙班30总计105已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为 .参考公式：P(K2≥k0)0.100.050.0250.010k0 2.706 3.841 5.024 6.635（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？20. （10分） (2018高二上·如东月考) 已知椭圆C：，圆Q（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1.l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M 为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．21. （10分） (2016高三上·虎林期中) 设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在P（1，﹣2）处的切线方程；（2）若f（x）无零点，求实数a的取值范围；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：x1•x2＞e2．22. （10分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（1）求椭圆C的离心率；（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．23. （10分）(2016·浦城模拟) 设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＞1解集；（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2020年沈阳市大东区高考数学一模试卷(文科)含答案解析
2020年辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（∁R N）=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．13．已知向量，，则3|=（）A．83 B．63 C．57 D．234．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1=2a8﹣3a4，则=（）A．B．C．D．5．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值6．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是（）A．等边三角形B．直角三角形C．两腰长都为的等腰三角形D．两腰长都为的等腰三角形7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3）B．[﹣11，3]C．（﹣11，3）D．（﹣11，3]8．已知x、y取值如表：x 0 1 4 5 6 8y 1 3 5 6 7 8从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，则b=（）A．0.95 B．1.00 C．1.10 D．1.159．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1] 10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）A．B．C．D．111．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）12．已知F1、F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．13．过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0引切线，则切线方程为．14．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为．15．若，则=．16．已知{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）=在区间上的值域．18．某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．19．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．20．椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值．21．已知函数，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．2020年辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（∁R N）=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合M，根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}={x|x＞2或x＜1}，∴∁R N={x|1≤x≤2}，M∩（∁R N）={1，2}，故选：D．2．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】根据复数的运算法则，我们易将化为m+ni（m，n∈R）的形式，再根据|m+ni|=，我们易构造一个关于a的方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：∵=1﹣ai∴||=|1﹣ai|==2即a2=3由a为正实数解得a=故选B3．已知向量，，则3|=（）A．83 B．63 C．57 D．23【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直接利用数量积的坐标运算得答案．【解答】解：∵，，∴，，∴．故选：A．4．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1=2a8﹣3a4，则=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】根据a1=2a8﹣3a4，求出等差数列的首项与公差的关系，再利用等差数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：设等差数列的公差为d，则∵a1=2a8﹣3a4，∴a1=2（a1+7d）﹣3（a1+3d），∴a1=，∴===．故选A．5．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解．【解答】解：由秦九韶算法，S=a0+x0（a1+x0（a2+a3x0）），故选：C．6．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是（）A．等边三角形B．直角三角形C．两腰长都为的等腰三角形D．两腰长都为的等腰三角形【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三棱锥的俯视图确定三棱锥的主视图，根据主视图的结构计算腰长即可．【解答】解：由俯视图可知，平面C′BD⊥平面ABD，则其主视图如图所示，则为等腰三角形．其腰长为=，故选：C．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3）B．[﹣11，3]C．（﹣11，3）D．（﹣11，3]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，从而得出目标函数z=3x﹣4y的取值范围．【解答】解：∵变量x，y满足约束条件，目标函数为：z=3x﹣4y，直线x﹣y+2=0与x+y﹣8=0交于点A（3，5），直线x+y﹣8=0与x﹣5y+10=0交于点B（5，3），分析可知z在点A处取得最小值，z min=﹣11，z在点B处取得最大值，z max=15﹣12=3，∴﹣11≤z＜3，故选：A．8．已知x、y取值如表：x 0 1 4 5 6 8y 1 3 5 6 7 8从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，则b=（）A．0.95 B．1.00 C．1.10 D．1.15【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，即可求解b．【解答】解：由题意知，，，从而代入回归方程有b=1.10，故选C．9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1]【考点】函数的值域．【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性进行求解即可．【解答】解：当x＞2时，函数f（x）=2x+a为增函数，则f（x）＞f（2）=4+a，当x≤2时，函数f（x）=log（﹣x）+a2为增函数，则f（x）≤f（2）=log（﹣2）+a2=log+a2=2+a2，要使函数f（x）的值域为R，则4+a≤2+a2，即a2﹣a﹣2≥0，则a≥2或a≤﹣1，故选：A．10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）A．B．C．D．1【考点】球内接多面体．【分析】设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=4≥2ah，可得正四棱柱的侧面积最大值，即可求出正四棱柱的底面边长．【解答】解：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=4≥2ah，∴ah≤，当且仅当h=a=时取等号，∴正四棱柱的侧面积S=4ah≤4，∴该正四棱柱的侧面积最大时，h=，a=1，故选：D．11．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）【考点】函数单调性的性质．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围，即可得到正确答案．【解答】解：∵y=e x和y=x﹣2是关于x的单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象如右图所示，∴f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，又∵f（a）=0，∴0＜a＜1，同理，g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=+（）2﹣3=＞0，又∵g（b）=0，∴1，∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，∴g（a）＜0＜f（b）．故选：D．12．已知F1、F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|F1P|=m，运用双曲线的定义和等差数列的中项的性质可得|F2P|=m+2a，|F1Q|=4a+m，|PQ|=4a，由条件可得△QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得c=a，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设|F1P|=m，由双曲线的定义可得|F2P|=|F1P|+2a=m+2a，由|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，可得2|F2P|=|F1P|+|F1Q|，即有|F1Q|=2（2a+m）﹣m=4a+m，可得|PQ|=4a，由双曲线的定义，可得|F2Q|=|F1Q|﹣2a=m+2a，由∠F1PF2=120°，可得∠QPF2=60°，即有△QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos120°，即为4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•（﹣），即有4c2=28a2，即c=a，可得e==．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．13．过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0引切线，则切线方程为或x=0．【考点】圆的切线方程．【分析】求出圆的标准方程，求出圆心和半径，根据直线和圆相切的等价条件进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，则圆心为（1，2），半径R=1，若切线斜率k不存在，即x=0时，满足条件．若切线斜率k存在，则设切线方程为y=kx，即kx﹣y=0，圆心到直线的距离d==1，得|k﹣2|=，平方得k2﹣4k+4=1+k2，即k=，此时切线方程为，综上切线方程为：或x=0，故答案为：或x=0．14．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的长度，根据几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：若线段AM的长度不小于，则M在线段BE，BF，CG，CD上，其中AE=AE=，∵AH=，∴FH===1，则FG=2，三角形的周长l=4+4+6=14，则BE+BF+CG+CD=14﹣﹣﹣2=12﹣4，则线段AM的长度不小于的概率P==，故答案为：15．若，则=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据诱导公式以及二倍角公式化简计算即可．【解答】解：，则=cos（2α+）=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=，故答案为：．16．已知{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20=45．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，可得：S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15，成等比数列，即可解出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵S5=3，S15=21，∴S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15，成等比数列，∴，=（S10﹣S5）（S20﹣S15），∴，解得S10=9，∴（21﹣9）2=（9﹣3）×（S20﹣21），解得S20=45．故答案为：45．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）=在区间上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据余弦定理求出C的值即可；（Ⅱ）求出f（x）的解析式，并将函数f（x）化简，结合x的范围，求出f（x）的值域即可．【解答】解：（Ⅰ）由（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，得：a2+b2﹣c2=ab，∴，∴在△ABC中，；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∴===，∵，∴，∴，∴，∴函数f（x）的值域为．18．某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高．（Ⅱ）由已知先求出平均数，由此能求出甲班的样本方差．（Ⅲ）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm．利用列举法能求出身高176cm的同学被抽中的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高．…（Ⅱ）cm …甲班的样本方差为：s2=+2+2+2+2]=57.2…（Ⅲ）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm．取出两人的基本事件空间为：Ω={，，，，，，，，，}，共10种情况．…身高176cm同学被抽到的事件空间为：{，，，}，共4中情况．∴所求事件的概率为．…19．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，由三角形的中位线定理可得OF∥DE，然后利用线面平行的判定得答案；（Ⅱ）由EC⊥底面ABCD，得EC⊥BD，再由BD⊥AC，由线面垂直的判定得BD⊥平面ACE，进一步得到CG⊥BD，在正方形ABCD中，由线段间的长度关系得到CG⊥EO，再由线面垂直的判定得答案；（Ⅲ）由AB=1，求得，进一步得到EC⊥底面ABCD，然后利用等积法求得三棱锥F﹣ACE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则O为BD的中点，又∵F是EB中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF∥DE，∵DE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，∴DE∥平面ACF；（Ⅱ）∵EC⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴EC⊥BD，∵BD⊥AC，且AC∩CE=C，∴BD⊥平面ACE，∵CG⊂平面ACE，∴CG⊥BD，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，且，∴，在△OCE中，G是EO中点，∴CG⊥EO，∵EO∩BD=E，∴CG⊥平面BDE；解：（Ⅲ）∵AB=1，∴，∵F是EB中点，且EC⊥底面ABCD，∴．20．椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，则F2（c，0），由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）知F2（1，0），设直线l：y=k（x﹣2），与椭圆联立，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值0．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，则F2（c，0）且a2=b2+c2，由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，得|PF2|=|F1F2|，则，解得c=1，…又∵，∴，所以b=1，∴所求椭圆C的方程为．…证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知F2（1，0），由题意可设直线l：y=k（x﹣2）与椭圆的交点D（x1，y1）、E（x2，y2）…由，得，整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，则，且，…==…∵2x1x2﹣3（x1+x2）+4==…∴，即直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值0．…21．已知函数，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f'（4）=e2，又f（4）=e2，则函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；（Ⅱ）求出原函数的导函数，根据a的取值对函数的单调性加以判断，当a=1时，g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，对任意x∈（0，+∞），不等式g （x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，从而求出实数a的取值的集合M；（Ⅲ）把a的值代入函数解析式，然后求函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号求出原函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴f'（4）=e2，又∵f（4）=e2，∴函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；…（Ⅱ）由g（1）=0及题设可知，对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）恒成立，∴函数g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）必在x=1处取得极小值，即g'（1）=0，…∵g'（x）=lnx+1﹣a，∴g'（1）=1﹣a=0，即a=1，…当a=1时，g'（x）=lnx，∴x∈（0，1），g'（x）＜0；x∈（1，+∞），g'（x）＞0，∴g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，则g（x）min=g（1）=0…∴对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，∴M={1}；…（Ⅲ）由（Ⅱ）a=1，∴函数，其定义域为（0，+∞），求得，…令m（x）=h'（x），为区间（0，+∞）上的增函数，…设x0为函数m'（x）的零点，即，则，∵当0＜x＜x0时，m'（x）＜0；当x＞x0时，m'（x）＞0，∴函数m（x）=h'（x）在区间（0，x0）上为减函数，在区间（x0，+∞）上为增函数，∴，∴函数h（x）在区间（0，+∞）上为增函数．…[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）根据BE为圆O的切线，证明∠EBD=∠BAD，AD平分∠BAC，证明∠BAD=∠CAD，即可证明∠EBD=∠CBD（Ⅱ）证明△EBD∽△EAB，可得AB•BE=AE•BD，利用AD平分∠BAC，即可证明AB•BE=AE•DC．【解答】证明：（Ⅰ）∵BE为圆O的切线，∴∠EBD=∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EBD=∠CAD，∵∠CBD=∠CAD，∴∠EBD=∠CBD；（Ⅱ）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB，∴△EBD∽△EAB，∴，∴AB•BE=AE•BD，∵AD平分∠BAC，∴BD=DC，∴AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出曲线C的直角坐标方程；直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数0．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程可得，可得点M到A，B两点的距离之积|MA|•|MB|=|t1||t2|=|t1•t2|．【解答】解：（Ⅰ）x=ρcosθ，y=ρsinθ，由ρsin2θ﹣cosθ=0得ρ2sin2θ=ρcosθ．∴y2=x即为曲线C的直角坐标方程；点M的直角坐标为（0，1），直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数）．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程得，即，，设A、B对应的参数分别为t1、t2，则，又直线l经过点M，故由t的几何意义得点M到A，B两点的距离之积|MA|•|MB|=|t1||t2|=|t1•t2|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）依题意知，a=3时，f（x）=，通过对x范围的分类讨论，解不等式f（x）＞0即可；（2）利用等价转化的思想，通过分离参数a，可知当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2或a＞x+2恒成立，从而可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=，…当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈∅；当≤x≤2时，5﹣3x＞0，即x＜，解得≤x＜；当x＜时，x﹣1＞0，即x＞1，解得1＜x＜；综上所述，不等式的解集为{x|1＜x＜}．…（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立⇔2﹣x﹣|2x﹣a|＜0⇔2﹣x＜|2x﹣a|恒成立⇔2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立⇔x＞或x＜a﹣2恒成立，∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①或a＞x+2②恒成立，解①，a不存在；解②得：a≥4．综上知，a≥4．…2020年7月29日第21页（共21页）。
辽宁省沈阳市高三第一次模拟考试数学(文)试题含答案
高三第一次模拟考试（文科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合}2,1,0,1{-=A ，}032{2<-+=x x x B ，则=B A （ ） A ．}1{-B ．}0,1{-C ．}1,0,1{-D ．}0,1,2{--2.已知R y x ∈,，i 为虚数单位，若i y xi 3)2(1--=+，则=+yi x （ ） A ．2B ．5C ．3D ．103.下列函数的图像关于y 轴对称的是（ ）A ．x x y +=2B ．x y 1-=C ．x x y --=22D ．x x y -+=22 4.已知平面向量),1(m a = ，)1,3(-=b 且b b a//)2(+，则实数m 的值为（ ）A ．31B ．31-C ．32D ．32- 5.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =A ．60B ．75 C.90 D ．1056.在抛物线px y 22=上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为A.21B.1C.2D.4 7.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 A.83 B.43C.248+D.246+ 8.设点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥03,02,0y x y x x 表示的平面区域上，则22)1(y x z +-=的最小值为A ．1B ．55 C. 2 D ．552 9.若函数()()2log =+f x x a 与()()21=-+g x x a x ()45-+a 存在相同的零点，则a 的值为 A ．4或52-B ．4或2-C ．5或2-D ．6或52- 22俯视图侧视图结束)10(≤≤x x 任意输入)10(≤≤y y 任意输入是否输出“恭喜中奖！”输出“谢谢参与！”y x≤10.若将函数x x f 2cos 21)(=的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ） A ．)0,12(πB ．)0,6(πC ．)0,3(πD ．)0,2(π11.“1=a ”是“1-=x 是函数1)(223-+--=x a ax x x f 的极小值点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12.已知函数()21sin 21x x f x x x -=+++，若正实数b a ,满()()490f a f b +-=，则11a b +的最小值是A.1B.29C.9D.18二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.在如右图所示程序框图中，任意输入一次)10(≤≤x x 与)10(≤≤y y ，则能输出“恭喜中奖！”的概率为 .14.已知方程1)2(22=-+y m mx 表示双曲线，则m 的取值范围是 .15. 已知函数()sin xf x e x =，则)(x f 在0=x 处的切线方程为 .16. 若31)6sin(=+πx ，则=-)267sin(x π. 三.解答题：共70分。
辽宁省沈阳市高三数学一模试卷 文(含解析)
2015年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•沈阳一模）若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合（∁U M）∩N等于（）A． {2，3} B． {2，3，5，6} C． {1，4} D． {1，4，5，6}【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：集合．【分析】：根据集合的基本运算即可得到结论．【解析】：解：由补集的定义可得∁U N={2，3，5}，则（∁U N）∩M={2，3}，故选：A【点评】：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）（2015•沈阳一模）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（） A．﹣1+i B．﹣1﹣i C． 1+i D． 1﹣i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：计算题．【分析】：根据所给的等式两边同时除以1﹣i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．【解析】：解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i，∴z==﹣1+i故选A．【点评】：本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．3．（5分）（2014•安徽）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】：充要条件．【专题】：计算题；简易逻辑．【分析】：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解析】：解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）（2015•沈阳一模）抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是（）A．（0，a） B．（a，0） C．（0，） D．（，0）【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先将抛物线的方程化为标准式，再求出抛物线的焦点坐标．【解析】：解：由题意知，y=4ax2（a≠0），则x2=，所以抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是（0，），故选：C．【点评】：本题考查抛物线的标准方程、焦点坐标，属于基础题．5．（5分）（2015•沈阳一模）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=（）A． 5 B． 6 C． 7 D． 8【考点】：等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由S n+2﹣S n=36，得a n+1+a n+2=36，代入等差数列的通项公式求解n．【解析】：解：由S n+2﹣S n=36，得：a n+1+a n+2=36，即a1+nd+a1+（n+1）d=36，又a1=1，d=2，∴2+2n+2（n+1）=36．解得：n=8．故选：D．【点评】：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题．6．（5分）（2015•沈阳一模）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A． B． C． 2cm3 D． 4cm3【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解．【解析】：解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，如图，故，故选B．【点评】：本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够由三视图还原得到原几何体是解答该题的关键，是基础题．7．（5分）（2015•沈阳一模）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（） A． 3 B．﹣3 C． 1 D．【考点】：简单线性规划．【专题】：计算题．【分析】：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解析】：解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选A．【点评】：本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8．（5分）（2015•沈阳一模）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A． 4 B． 5 C． 6 D． 7【考点】：程序框图．【专题】：计算题；规律型；算法和程序框图．【分析】：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．【解析】：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．第一次运行：满足条件，s=1，k=1；第二次运行：满足条件，s=3，k=2；第三次运行：满足条件，s=11＜100，k=3；满足判断框的条件，继续运行，第四次运行：s=1+2+8+211＞100，k=4，不满足判断框的条件，退出循环．故最后输出k的值为4．故选：A．【点评】：本题考查根据流程图（或伪代码）输出程序的运行结果．这是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．（5分）（2015•沈阳一模）已知函数，若，则f（﹣a）=（） A． B． C． D．【考点】：函数的值．【专题】：计算题．【分析】：利用f（x）=1+，f（x）+f（﹣x）=2即可求得答案．【解析】：解：∵f（x）==1+，∴f（﹣x）=1﹣，∴f（x）+f（﹣x）=2；∵f（a）=，∴f（﹣a）=2﹣f（a）=2﹣=．故选C．【点评】：本题考查函数的值，求得f（x）+f（﹣x）=2是关键，属于中档题．10．（5分）（2015•沈阳一模）在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A． B． C． D．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：计算题；平面向量及应用．【分析】：运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．【解析】：解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）•（+）=（）•（）=（+）•（+）=++=×（1+4）+0=．故选B．【点评】：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题．11．（5分）（2015•沈阳一模）函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 8【考点】：奇偶函数图象的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【专题】：压轴题；数形结合．【分析】：的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．【解析】：解：函数，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在和上是减函数；在和上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：x A+x H=x B+x G═x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8故选D【点评】：发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．12．（5分）（2015•广西校级一模）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）【考点】：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【专题】：导数的综合应用．【分析】：构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解析】：解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．【点评】：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．（5分）（2015•沈阳一模）若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是y=x ．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求出双曲线的a，b，再由渐近线方程y=x，即可得到所求方程．【解析】：解：双曲线E的标准方程是，则a=2，b=1，即有渐近线方程为y=x，即为y=x．故答案为：y=x．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．14．（5分）（2015•沈阳一模）已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1= ．【考点】：数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】：计算题．【分析】：首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，根据等比数列求和公式可得出答案．【解析】：解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故答案为．【点评】：本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．15．（5分）（2015•沈阳一模）若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l 在x轴和y轴的截距之和的最小值是3+2．【考点】：直线的截距式方程．【专题】：直线与圆．【分析】：把点（1，1）代入直线方程，得到=1，然后利用a+b=（a+b）（），展开后利用基本不等式求最值．【解析】：解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）∴=1，∴a+b=（a+b）（）=3+≥3+2，当且仅当b=a时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．【点评】：本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题．16．（5分）（2015•沈阳一模）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A=，AC=4，AA1=4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值．【考点】：异面直线及其所成的角．【专题】：空间角．【分析】：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PQ与AC所成角的正弦值．【解析】：解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意得A（0，4，0），C（0，0，0），B（4，0，0），M（0，4，2），A1（0，4，4），P（2，2，1），==（0，4，4）=（0，1，1），∴Q（0，1，1），=（0，﹣4，0），=（﹣2，﹣1，0），设异面直线PQ与AC所成角为θ，cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．故答案为：．【点评】：本题考查异面直线PQ与AC所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．（12分）（2015•沈阳一模）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】：（I）先化简求得解析式f（x）=sin（2x﹣）+，从而可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）先求2x﹣的范围，可得sin（2x﹣）的范围，从而可求函数f（x）的值域．【解析】：解：（I）f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x …（2分）=sin（2x﹣）+．…（4分）函数f（x）的最小正周期为T=π．…（6分）因为﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，．…（8分）（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]sin（2x﹣）∈[﹣，1]，…（10分）所以函数f（x）的值域为f（x）∈[0，1+]．…（12分）【点评】：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．18．（12分）（2015•沈阳一模）某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如表所示参加社团活动不参加社团活动合计学习积极性高 17 8 25学习积极性一般 5 20 25合计 22 28 50（Ⅰ）如果随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是多少？抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法【分析】：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由．x2=．P（x2≥k） 0.05 0.01 0.001K 3.841 6.635 10.828【考点】：独立性检验的应用．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：（Ⅰ）求出积极参加社团活动的学生有22人，总人数为50人，得到概率，不参加社团活动且学习积极性一般的学生为20人，得到概率．（Ⅱ）根据条件中所给的数据，代入求这组数据的观测值的公式，求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系．【解析】：解：（Ⅰ）积极参加社团活动的学生有22人，总人数为50人，所以随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是=；抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生为20人，所以其概率为=；（Ⅱ）x2=≈11.7∵x2＞10.828，∴有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系．【点评】：本题考查独立性检验的意义，是一个基础题，题目一般给出公式，只要我们代入数据进行运算就可以，注意数字的运算不要出错．19．（12分）（2015•沈阳一模）如图，设四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE=．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（I）取AB的中点O，连结EO、CO，由已知得△ABC是等边三角形，由此能证明平面EAB⊥平面ABCD．（II）V E﹣ABCD=，由此能求出四棱锥E﹣ABCD的体积．【解析】：（I）证明：取AB的中点O，连结EO、CO．由AE=BE=，知△AEB为等腰直角三角形．故EO⊥AB，EO=1，又AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是等边三角形，从而CO=．又因为EC=2，所以EC2=EO2+CO2，所以EO⊥CO．又EO⊥AB，CO∩AB=O，因此EO⊥平面ABCD．又EO⊂平面EAB，故平面EAB⊥平面ABCD．…（8分）（II）解：V E﹣ABCD===．…（12分）【点评】：本题考查平面与平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）（2015•沈阳一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），e=，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为，且=λ（其中λ＞1）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（I）由条件可知c=1，a=2，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）由，可知A，B，F三点共线，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB⊥x轴，则x1=x2=1，不合意题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x﹣1）．由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出实数λ的值．【解析】：解：（I）由条件可知c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，椭圆的标准方程是．…（4分）（Ⅱ）由，可知A，B，F三点共线，设A（x1，y1），B（x2，y2），若直线AB⊥x轴，则x1=x2=1，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x﹣1）．由，消去y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．①由①的判别式△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=144（k2+1）＞0．因为，…（6分）所以=，所以．…（8分）将代入方程①，得4x2﹣2x﹣11=0，解得x=．…（10分）又因为=（1﹣x1，﹣y1），=（x2﹣1，y2），，，解得．…（12分）【点评】：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的实数的值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21．（12分）（2015•沈阳一模）已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值；（Ⅱ）构造函数，利用导数证明不等式即可；（Ⅲ）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论．【解析】：【解析】：（I）函数的f（x）的导数f′（x）=，∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2，∴f′（2）==2，解得a=4．…（2分）（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）；则函数的导数g′（x）=a（）．…（4分）令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1，∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．∴g（x）最小值为g（1）=0，故f（x）≥a（1﹣）成立．…（6分）（Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，则h′（x）=﹣1，令h′（x）＞0，解得x＜a．…（8分）当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．…（9分）当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…（10分）当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，∵h（e）=a+1﹣e＜0不合题意．…（11分）综上，a≥e﹣1…（12分）【点评】：本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，函数单调性最值和导数之间的关系，考查学生的综合应用能力．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015•沈阳一模）如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE ⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：计算题．【分析】：（I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论．（II）由已知及（I）的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论．【解析】：解：（I）∵CF=FG∴∠CGF=∠FCG∴AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA=∠ACE∵∠CGF=∠DGA∴∴∠CAB=∠DAC∴C为劣弧BD的中点（5分）（II）∵∴∠GBC=∠FCB∴CF=FB同理可证：CF=GF∴BF=FG（10分）【点评】：本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根据AB 是圆O的直径，CE⊥AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2015•沈阳一模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α=．（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．【考点】：参数方程化成普通方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：（Ⅰ）利用同角的三角函数的平方关系消去θ，得到圆的普通方程，再由直线过定点和倾斜角确定直线的参数方程；（Ⅱ）把直线方程代入圆的方程，得到关于t的方程，利用根与系数的关系得到所求．【解析】：解：（I）消去θ，得圆的标准方程为2+y2=16．…（2分）直线l的参数方程为，即（t为参数）…（5分）（Ⅱ）把直线的方程代入x2+y2=16，得（1+t）2+（2+t）2=16，即t2+（2+）t﹣11=0，…（8分）所以t1t2=﹣11，即|PA|•|PB|=11．…（10分）【点评】：本题考查了圆的参数方程化为普通方程、直线的参数方程以及直线与圆的位置关系问题，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．（2015•沈阳一模）设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．【考点】：绝对值不等式的解法；函数最值的应用．【专题】：计算题；压轴题；分类讨论．【分析】：（1）分类讨论，当x≥4时，当时，当时，分别求出不等式的解集，再把解集取交集．（2）利用绝对值的性质，求出f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．【解析】：解：（1）当x≥4时f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0得 x＞﹣5，所以，x≥4时，不等式成立．当时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成立．当时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以，x＜﹣5成立综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当，所以，f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故 m＜9．【点评】：本题考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值的方法，绝对值不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想．。
2019年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(文科)(解析版)
2019年辽宁省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P2．复数，且A+B=0，则m的值是（）A．B．C．﹣D．23．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a （a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a4．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（）A．18 B．24 C．60 D．905．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．在△ABC中，O为其内部一点，且满足，则△AOB 和△AOC的面积比是（）A．3：4 B．3：2 C．1：1 D．1：37．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是（）A．18 B．C．D．8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π9．若变量x，y满足，则x2+2x+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．16 D．1810．设a=log23，，c=log34，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a11．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（）A．（1+）米B．2米C．（1+）米D．（2+）米12．已知椭圆的左焦点为F1，有一小球A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．等比数列{a n}的公比q＞0．已知a2=1，a n+2+a n+1=6a n，则{a n}的前4项和S4=．14．如图所示，输出的x的值为．15．方程|cos（x+）|=|log18x|的解的个数为．（用数值作答）16．已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球半径为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f （x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．18．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科80 30 20研究生x 20 y（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为10的样本，将该样本看成一个总体，从中任取3人，求至少有1人的学历为研究生的概率；（Ⅱ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x、y的值．19．如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且FD=EA=1．（Ⅰ）求多面体EABCDF的体积；（Ⅱ）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；（Ⅲ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2是椭圆的左、右焦点，过F2作直线l交椭圆于A、B两点，若△F1AB的周长为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l的斜率为0，且它的中垂线与y轴交于Q，求Q的纵坐标的范围；（Ⅲ）是否在x轴上存在点M（m，0），使得x轴平分∠AMB？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．21．已知方程x3+ax2+bx+c=0（a，b，c∈R）．（1）设a=b=4，方程有三个不同实根，求c的取值范围；（2）求证：a2﹣3b＞0是方程有三个不同实根的必要不充分条件．选修4-4：坐标系与参数方程22．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．选修4-5：不等式选讲23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P【考点】子集与真子集．【分析】此题只要求出x2＜4的解集{x|﹣2＜x＜2}，画数轴即可求出．【解答】解：P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，如图所示，可知Q⊆P，故选：B．2．复数，且A+B=0，则m的值是（）A．B．C．﹣D．2【考点】复数相等的充要条件．【分析】复数方程两边同乘1+2i，利用复数相等求出A、B，利用A+B=0，求出m的值．【解答】解：因为，所以2﹣mi=（A+Bi）（1+2i），可得A﹣2B=2，2A+B=m 解得5（A+B）=﹣3m﹣2=0所以m=故选C．3．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a （a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．【解答】解：方法1：∵y i=x i+a，∴E（y i）=E（x i）+E（a）=1+a，方差D（y i）=D（x i）+E（a）=4．方法2：由题意知y i=x i+a，则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，方差s2= [（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4．故选：A．4．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（）A．18 B．24 C．60 D．90【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】由等比中项的定义可得a42=a3a7，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出a1和d，进而求出s10．【解答】解：∵a4是a3与a7的等比中项，∴a42=a3a7，即（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+6d），整理得2a1+3d=0，①又∵，整理得2a1+7d=8，②由①②联立，解得d=2，a1=﹣3，∴，故选：C．5．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|=，由F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点可知|F1P|==2c，由此可求出b==a，进而得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|=，∵F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点，∴=2c，∴c2+4b2=4c2，∴c2+4（c2﹣a2）=4c2，∴c2=4a2，即c=2a，b==a，∴双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：B．6．在△ABC中，O为其内部一点，且满足，则△AOB 和△AOC的面积比是（）A．3：4 B．3：2 C．1：1 D．1：3【考点】向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则．【分析】设M为AC的中点，则由向量加法的平行四边形法则可得+=2，结合题意可得2=﹣3，由数乘向量的性质可得B，O，M三点共线，且2OM=3BO；进而可得==，而又由S△AOB+S△=S△ABC，分析可得S△AOB=S△ABC，结合题意计算可得△AOB和△AOC BOC的面积比，即可得答案．【解答】解：根据题意，如图：在△ABC中，M为AC的中点，则+=2，又由，则有2=﹣3，从而可得B，O，M三点共线，且2OM=3BO；由2OM=3BO可得，==，S△AOB+S△BOC=S△ABC，又由S△AOB=S△BOC，则S△AOB=S△ABC，则=；故选：D．7．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是（）A．18 B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离分别是：d+r，d﹣r，其两者之差即为圆的直径，进而可得答案．【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0，∴（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，∴圆半径r=3．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离分别是：d+r，d﹣r，其两者之差即为圆的直径，故圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是，故选：B8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选B．9．若变量x，y满足，则x2+2x+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．16 D．18【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由x2+2x+y2=（x+1）2+y2﹣1=，其几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）距离的平方减1求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵x2+2x+y2=（x+1）2+y2﹣1=，其几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）距离的平方减1，联立，解得A（3，﹣1），而|PA|2=（﹣1﹣3）2+（0+1）2=17，∴x2+2x+y2的最大值是16．故选：C．10．设a=log23，，c=log34，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=log23＞==b，=＞log34=c，∴a，b，c的大小关系为c＜b＜a．故选：D．11．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（）A．（1+）米B．2米C．（1+）米D．（2+）米【考点】余弦定理；基本不等式．【分析】设BC的长度为x米，AC的长度为y米，依据题意可表示出AB的长度，然后代入到余弦定理中求得x和y的关系式，利用基本不等式求得y的最小值，并求得取等号时x的值．【解答】解：设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y﹣0.5）米，在△ABC中，依余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB，即（y﹣0.5）2=y2+x2﹣2yx×，化简，得y（x﹣1）=x2﹣，∵x＞1，∴x﹣1＞0，因此y=，y=（x﹣1）++2≥+2，当且仅当x﹣1=时，取“=”号，即x=1+时，y有最小值2+．故选：D．12．已知椭圆的左焦点为F1，有一小球A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得a+c=5（a﹣c），由此即可求得椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆上的点到左焦点距离最小的点是左顶点，距离最大的点是右顶点，∴由题意可得a+c=5（a﹣c），即4a=6c，得．∴椭圆的离心率为．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．等比数列{a n}的公比q＞0．已知a2=1，a n+2+a n+1=6a n，则{a n}的前4项和S4=．【考点】等比数列的前n项和．【分析】先根据：{a n}是等比数列把a n+2+a n+1=6a n整成理q2+q﹣6=0求得q，进而根据a2求得a1，最后跟等比数列前n项的和求得S4．【解答】解：∵{a n}是等比数列，∴a n+2+a n+1=6a n可化为a1q n+1+a1q n=6a1q n﹣1，∴q2+q﹣6=0．∵q＞0，∴q=2．a2=a1q=1，∴a1=．∴S4===．故答案为14．如图所示，输出的x的值为17．【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的x的值，当a=b=17时满足条件a=b，输出x的值为17．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=51，b=221不满足条件a=b，满足b＞a，b=221﹣51=170，不满足条件a=b，满足b＞a，b=170﹣51=119，不满足条件a=b，满足b＞a，b=119﹣51=68，不满足条件a=b，满足b＞a，b=68﹣51=17，不满足条件a=b，满足a＞b，a=51﹣17=34，不满足条件a=b，满足a＞b，a=34﹣17=17，满足条件a=b，x=17，输出x的值为17．故答案为：17．15．方程|cos（x+）|=|log18x|的解的个数为12．（用数值作答）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出y=|sinx|与y=|log18x|的函数图象，根据图象的交点个数得出答案．【解答】解：∵|cos（x+）|=|log18x|，∴|sinx|=|log18x|，作出y=|sinx|与y=|log18x|在（0，+∞）上的函数图象如图所示：由图象可知y=|sinx|与y=|log18x|有12个交点，∴方程|cos（x+）|=|log18x|有12个解．故答案为：12．16．已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球半径为2．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】作出图形，利用勾股定理，求出四面体外接球半径．【解答】解：如图所示，O′为△ACD的外心，O为球心，BE⊥平面ACD，BF⊥AC，则EF⊥AC，∴AF=2，AE=2，BE==2．设该四面体外接球半径为R，OO′=d，则2+（2+d）2=d2+（3）2，∴d=，CD=6，∴R==2，故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f （x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）化简可得f（x）=2sin（2x+）+a+1，由题意易得﹣1+a+1=2，解方程可得a值，解不等式2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得单调区间；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，可得sin（4x﹣）=，解方程可得x=或x=，相加即可．【解答】解：（1）化简可得f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a=cos2x+1+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）的最小值为﹣1+a+1=2，解得a=2，∴f（x）=2sin（2x+）+3，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，由g（x）=4可得sin（4x﹣）=，∴4x﹣=2kπ+或4x﹣=2kπ+，解得x=+或x=+，（k∈Z），∵x∈[0，]，∴x=或x=，∴所有根之和为+=．18．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科80 30 20研究生x 20 y（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为10的样本，将该样本看成一个总体，从中任取3人，求至少有1人的学历为研究生的概率；（Ⅱ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x、y的值．【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）设抽取学历为本科的人数为m，由题意可得，由此解得m=6，可得抽取了学历为研究生4人，学历为本科6人，故从中任取3人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为．（Ⅱ）依题意得：，解得N的值，可得35～50岁中被抽取的人数，再根据分层抽样的定义和性质列出比例式，求得、xy的值．【解答】（Ⅰ）解：设抽取学历为本科的人数为m，由题意可得，解得m=6．∴抽取了学历为研究生4人，学历为本科6人，∴从中任取3人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为=．（Ⅱ）解：依题意得：，解得N=78．∴35～50岁中被抽取的人数为78﹣48﹣10=20．∴，解得x=40，y=5．19．如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且FD=EA=1．（Ⅰ）求多面体EABCDF的体积；（Ⅱ）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；（Ⅲ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）连接ED，多面体EABCDF的体积V=V E﹣FCD+V E﹣ABCD ，只有分别求解两个棱锥的体积即可；（Ⅱ）以点A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，求出平面ECF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；（Ⅲ）取线段CD的中点Q；连接KQ，直线KQ即为所求．【解答】解：（Ⅰ）连接ED，∵EA⊥底面ABCD，FD∥EA，∴FD⊥底面ABCD，∴FD⊥AD，FD∩AD=D，∴AD⊥平面FDC，V E﹣FCD=AD•S△FDC=××1×2×2=，V E﹣ABCD=EA•S正方形ABCD=×2×2×2=，∴多面体EABCDF的体积V=V E﹣FCD+V E﹣ABCD =+=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）以点A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A（0，0，0），E（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），F（0，2，1），∴=（2，2，﹣2），=（2，0，﹣2），=（0，2，﹣1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣设平面ECF的法向量为=（x，y，z），得：取y=1，得平面ECF的一个法向量为=（1，1，2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣设直线EB与平面ECF所成角为θ，∴sinθ=|cos＜，＞|==﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）取线段CD的中点Q；连接KQ，直线KQ即为所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣如图所示…20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2是椭圆的左、右焦点，过F2作直线l交椭圆于A、B两点，若△F1AB的周长为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l的斜率为0，且它的中垂线与y轴交于Q，求Q的纵坐标的范围；（Ⅲ）是否在x轴上存在点M（m，0），使得x轴平分∠AMB？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的性质可知：2a=8，e==及b2=a2﹣c2，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程；（Ⅱ）当k不存在时，Q为原点，y0=0，当k存在时，将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得x1+x2及x1•x2，根据中点坐标公式，求得P点坐标，求得直线PQ方程，令x=0，y Q=∈[﹣，0）∪（0，]，即可求得Q的纵坐标的范围；（Ⅲ）假设存在m，由x轴平分∠AMB可得， +=0，由（Ⅱ）可知，代入即可求得m的值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的性质可知：4a=8，a=2，e==，c=1，b2=a2﹣c2=4﹣1=3，b=，∴椭圆的方程；（Ⅱ）当k不存在时，Q为原点，y0=0，当k存在时，由，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=1，∴x1+x2=，x1•x2=，设弦AB的中点为P（x P，y P），则x P=，y P=k（x P﹣1）=，则l PQ：（y+）=﹣（x﹣），令x=0，有y Q=∈[﹣，0）∪（0，]，∴综上所述，Q的纵坐标的范围[﹣，]；（Ⅲ）存在m=4，假设存在m，由x轴平分∠AMB可得，k MA+k MB=0，即+=0，k（x1﹣1）（x2﹣m）+k（x2﹣1）（x1﹣m）=0，∴2x1•x2﹣（m+1）（x1+x2）+2m=0，∴8k2﹣24﹣8k2m﹣8k2+6m+8mk2=0，解得：m=4．21．已知方程x3+ax2+bx+c=0（a，b，c∈R）．（1）设a=b=4，方程有三个不同实根，求c的取值范围；（2）求证：a2﹣3b＞0是方程有三个不同实根的必要不充分条件．【考点】利用导数研究函数的单调性；必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当a=b=4时，方程x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根，等价于函数f（x）=x3+4x2+4x+c=0有三个不同零点，由f（x）的单调性知，当且仅当时，函数f（x）=x3+4x2+4x+c有三个不同零点，可得结论；（2）若函数f（x）有三个不同零点，则必有△=4a2﹣12b＞0，故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要条件，再证明充分性即可．【解答】解：设f（x）=x3+ax2+bx+c．（1）当a=b=4时，方程x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根，等价于函数f（x）=x3+4x2+4x+c=0有三个不同零点，f'（x）=3x3+8x+4，令f'（x）=0得x1=﹣2或，f（x）与f'（x）的区间（﹣∞，+∞）上情况如下：x （﹣∞，﹣2）﹣2 （﹣2，﹣）﹣（﹣，+∞）f（x）+0 ﹣0 +f'（x） c c﹣所以，当c＞0时且时，存在x1∈（﹣4，﹣2），，，使得f（x1）=f（x2）=f（x3）=0．由f（x）的单调性知，当且仅当时，函数f（x）=x3+4x2+4x+c 有三个不同零点．即方程x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根．（2）当△=4a2﹣12b＜0时，f'（x）=3x2+2ax+b＞0，x∈（﹣∞，+∞），此时函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增，所以f（x）不可能有三个不同零点．当△=4a2﹣12b＜0时，f'（x）=3x2+2ax+b只有一个零点，记作x0，当x∈（﹣∞，x0）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递增；当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（x0，+∞）上单调递增．所以f（x）不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f（x）有三个不同零点，则必有△=4a2﹣12b＞0．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要条件．当a=b=4，c=0时，a2﹣3b＞0，f（x）=x3+4x2+4x=x（x+2）2只有两个不同零点，所以a2﹣3b＞0不是f（x）有三个不同零点的充分条件．因此a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．即a2﹣3b＞0是方程x3+ax2+bx+c=0有三个不同实根的必要而不充分条件．选修4-4：坐标系与参数方程22．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D 的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]选修4-5：不等式选讲23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|＜；（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．【解答】解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=．…（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…。
2023-2024学年辽宁省沈阳市东北高考数学质量检测模拟试题(一模)含答案
2023-2024学年辽宁省沈阳市东北高考数学模拟试题（一模）一、单选题1．已知P ，Q 为R 的两个非空真子集，若R Q ðP R ð，则下列结论正确的是（）A ．x Q ∀∈，x P ∈B ．0R x P ∃∈ð，0R x Q ∈ðC ．0x Q ∃∉，0x P ∈D ．R x P ∀∈ð，R x Q∈ð【正确答案】B【分析】根据条件画出Venn 图，根据图形，判断选项.【详解】因为R QðR P ð，所以PQ ，如图，对于选项A ：由题意知P 是Q 的真子集，故∃∈x Q ，x P ∉，故不正确，对于选项B ：由R Q ð是R P ð的真子集且R Q ð，R P ð都不是空集知，0R x P ∃∈ð，0R x Q ∈ð，故正确.对于选项C ：由R Q ð是R P ð的真子集知，x Q ∀∉，x P ∉，故不正确，对于选项D ：Q 是R P ð的真子集，故R x P ∃∈ð，R x Q ∉ð，故不正确，故选：B2．已知复数z 满足()202312i i z +=，则z =（）A ．15B C ．35D 【正确答案】B【分析】方法一：先化简复数，求出z ，在写出它的共轭复数z ，最后利用公式计算即可；方法二：先化简复数，利用=z z 即可.【详解】方法一：因为4i 1n =，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，所以2023450533i i i i ⨯+===-，所以()2023i 2112i ii 12i 55z z +=⇒=-=--+，所以21i 55z =-+，所以z =．方法二：由()2023i 2112i ii 12i 55z z +=⇒=-=--+，所以z z ==故选：B ．3．已知随机变量,X Y 分别满足(8,)X B p ~，()2,Y N μσ ，且期望()()E X Y E =，又1(3)2P Y ≥=，则p =（）A ．18B ．14C ．38D ．58【正确答案】C【分析】利用正态分布的对称性可求得μ，根据二项分布以及正态分布的均值，结合题意列方程，可求得答案.【详解】由题意知(8,)X B p ~，()2,Y N μσ ，()()E X Y E =，故8p μ=，由1(3)2P Y ≥=，知3μ=，故383,8p p =∴=，故选：C4．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，123BB AB =，D 是棱BC 的中点，E 在棱1CC 上，且13CC CE =，则异面直线1A D 与1B E 所成角的余弦值是（）A ．6B ．4C ．3D ．2【正确答案】B【分析】取棱1BB 靠近点B 的三等分点F ，取棱11B C 的中点H ，取1B F 的中点G ，连接1A H ，DH ，1A F ，DF ．证明1//DF B E ，得1A DF ∠是异面直线1A D 与1B E 所成的角（或补角）．设4AB =，用余弦定理计算出余弦值．【详解】取棱1BB 靠近点B 的三等分点F ，取棱11B C 的中点H ，取1B F 的中点G ，连接1A H ，DH ，1A F ，DF ．由已知1111133CE CC BB B G ===，又1//CE B G ，所以1CEB G 是平行四边形，1//B E CG ，同时可得F 是BG 中点，而D 是BC 中点，所以//DF CG ．所以1//DF B E ，则1A DF ∠是异面直线1A D 与1B E 所成的角（或补角）．又1//DH CC ，1CC ⊥平面111A B C ，则DH ⊥平面111A B C ，1A H ⊂平面111A B C ，则1DH A H ⊥，设4AB =，则16BB =，从而1A H =6DH =，2BD =，2BF =，1114B F A B ==，故1A F =1A D =，DF =．在1A DF 中，由余弦定理可得2221111cos 2A D DF A F A DF A D DF +-∠=⋅．所以异面直线1A D 与1B E所成的角的余弦值为4．故选：B．5．若等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（）A ．AB C+=B ．2B AC=C ．()22A B C A B +=+D ．()()A C AB B A -=-【正确答案】D【分析】利用等比数列的性质可得2322,n n n n n nn n n S S S S q q S S S --==-，所以B A C B A B A--=-，进行整理可得答案．【详解】有题意可知：23,,n n n A S B S C S ===,由等比数列的性质可得：2n n n nS S q S -=，322n n n n n S Sq S S -=-，所以B AC BA B A--=-，整理可得：22()A B A B C +=+．进而得()()A C A B B A -=-故选：D6．设函数()()2cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有4个零点，则下列说法错误的是（）A ．ω的取值范围是1925,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()y f x =的图象与直线1y =在()0,π上的交点恰有2个C ．()y f x =的图象与直线1y =-在()0,π上的交点可能有2个D ．()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【正确答案】D【分析】由[]0,x π∈可求得23x πω-的取值范围，结合已知条件可得出关于ω的不等式组，解出ω的取值范围，可判断A 选项；在()0,x π∈时，由()1f x =可得出23x πω-的值，可判断B 选项；取27332ππππω<-<，由()1f x =-可得出23x πω-的可能取值，可判断C 选项；利用余弦型函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为0ω>，当[]0,x π∈时，222333x πππωπω-≤-≤-，因为函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,π上有且仅有4个零点，所以，527232πππωπ≤-<，解得192566ω≤<，A 对；对于B 选项，当()0,x π∈时，222333x πππωπω-<-<-且527232πππωπ≤-<，由()2cos 13f x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭可得203x πω-=或2π，故()y f x =的图象与直线1y =在()0,π上的交点恰有2个，B 对；对于C 选项，若27332ππππω<-<，即当112536ω<<时，由()2cos 13f x x πω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，可得23x πωπ-=或3π，所以，()y f x =的图象与直线1y =-在()0,π上的交点可能有2个，C 对；对于D 选项，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22243323x πωπππωπω-<-<-，因为192566ω≤<，则238438ππωππ≤-<，11217122312ππωππ≤-<，所以，函数()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭不一定单调递减，D 错.故选：D.7．已知函数()f x 的定义域为R ，若()211f x +-为奇函数，322f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，()03f =，则下列结论一定正确的是（）A ．函数()f x 的周期为3B ．()11f -=-C ．()20230f =D ．()20221f =-【正确答案】D【分析】由条件结合奇函数和偶函数的性质可得()()22f x f x =--，()()4f x f x =-，由此可得()()22f x x f -+=，再证明()f x 为周期为4的函数，通过赋值可得()11f -=，()21f =-，由此判断B ，结合周期函数定义判断A ，根据周期函数性质判断CD .【详解】因为()211f x +-为奇函数，所以()()211211f x f x -+-=-++，将x 代换为12x-可得，()()22f x f x =--，取1x =可得，()11f =，取2x =可得，()()220f f =-，又()03f =，所以()21f =-，因为322f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将x 代换为423x-可得，()()4f x f x =-，又()()22f x f x =--所以()()242x f x f --=-，将x 代换为2x -可得，()()22f x x f -+=，所以()()()422f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 为周期函数，周期为4，由()()22f x x f -+=取=1x -可得()()211f f --=，又()11f =，所以()11f -=，B 错误；()()()20234506111f f f =⨯-=-=，C 错误；()()()20225054221f f f =⨯+==-，D 正确；因为()21f =-，()11f -=，所以函数()f x 不是周期为3的函数，A 错误；故选：D.8．已知圆()()2221:37C x y a a ++=>和()222:31C x y -+=，动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，P 是12MC C △的内心，且12123PMC PMC PC C S S S +=△△△，则a 的值为（）A ．9B ．11C ．17或19D ．19【正确答案】C【分析】由两圆方程得圆2C 内含于圆1C ，由P 是12MC C △的内心，且12123PMC PMC PC C S S S +=△△△得12123C M C M C C +=，动圆M 内切于圆1C ，分别讨论圆2C 内切、外切于动圆M ，由圆心距得121C M C M a +=±，即可求解【详解】根据题意：圆()()2221:37C x y a a ++=>，其圆心()13,0C -，半径1R a =，圆()222:31C x y -+=，其圆心()23,0C ，半径21R =，又因为7a >，所以圆心距121261C C R R a =<+=+，所以圆2C 内含于圆1C ，因为P 为12MC C △的内心，设内切圆的半径为0r ，又由12123PMC PMC PC C S S S +=△△△，则有10201201113222C M r C M r C C r ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯，得12123C M C M C C +=，因为动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，设圆M 的半径为r ，（1）当动圆M 内切于圆1C ，与圆2C 外切（r a <），则有11C M R r a r =-=-，221C M R r r =+=+，所以121C M C M a +=+，所以123181C C a ==+，得a ＝17；（2）当动圆M 内切于圆1C ，圆2C 内切于动圆M ，则有11C M R r a r =-=-，221C M r R r =-=-，所以121C M C M a +=-，所以123181C C a ==-，得a ＝19.综上可得：a ＝17或19；故选：C ．二、多选题9．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，sin 2sin sin A B C =，下列说法正确的是（）A ．若1a =，则34ABC S =B ．ABC 外接圆的半径为bc aC ．c b b c+取得最小值时，π3A =D ．π4A =时，c b b c+取得最大值为【正确答案】BD【分析】对A ，由正弦定理化简sin 2sin sin A B C =可得1sin 2C b=，再根据三角形面积公式判断即可；对B ，根据2sin a b C =结合正弦定理判断即可；对C ，根据正弦定理与余弦定理化简sin 2sin sin A B C =可得π4b c A c b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式与三角函数性质判断即可；对D ，根据三角函数值域求解即可.【详解】对A ，由正弦定理sin 2sin sin A B C =即2sin a b C =，又1a =，故1sin 2C b=，故三角形面积为1111sin 12224S ab C b b ==⨯⨯⨯=，故A 错误；对B ，2sin a b C =，则sin 2a C b =，设ABC 外接圆的半径为R ，则2sin c R C=，故22c bcR a a b==⨯，故B 正确；对C ，由sin 2sin sin A B C =及正弦定理可得22sin a bc A =，由余弦定理222sin 2cos b c c A b bc A =+-，即()222sin cos bc A A b c +=+，化简可得π4b c A c b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由基本不等式，2b c c b +≥=，当且仅当b c =时取等号，此时πsin 4A ⎛⎫+=⎪⎝⎭，故当π2A =，π4B C ==时，b cc b+取得最小值2，故C 错误；对D ，由C，π4b c A c b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当π4A =时，b c c b +取得最大值D 正确；故选：BD10．在正方体ABCD A B C D -''''中，,,E F G 分别为棱BB '，DD '，CC '上的一点，且D F B E CGD D B B C Cλ'=''='='，H 是B C ''的中点，I 是棱C D ''上的动点，则（）A ．当13λ=时，∈G 平面AEFB ．当12λ=时，AC '⊂平面AEF C ．当01λ<<时，存在点I ，使,,,A F H I 四点共面D ．当01λ<<时，存在点I ，使FI ，EH ，CC '三条直线交于同一点【正确答案】BCD【分析】利用图形，根据空间中点线面的位置关系逐一对各项进行判断即可得出结果.【详解】对于A ，当13λ=时，如图1，在CC '取点M ，使13MC MC '=,取CD 中点N ,易知////GN MD EA ，GN Ë平面AEF ，故G ∉平面AEF ，所以选项A 错误；对于B ，如图2，当12λ=时，,,E F G 分别为BB '，DD '，CC '的中点，连接BG ，FC '，EC '，GF ，易知四边形BGC E '与ABGF 均为平行四边形，则//BG AF ，//BG EC '，所以//AF EC '，则A ，F ，E ，C 四点共面，AC '⊂平面AEF ，所以选项B 正确；对于C ，如图3，延长AF 与A D ''的延长线交于点M ，连接MH 与C D ''的交点即为点I ，则A ，F ，H ，I 四点共面，所以选项C正确；对于D ，如图4，连接EH 并延长与CC '的延长线交于点N ，连接FN 与C D ''的交点即为点I ，则存在点I ，使FI ，EH ，CC '三条直线交于同一点N ，所以选项D 正确.故选：BCD.11．已知1a >，1b >，21a aa =-，2log 1b b b =-，则以下结论正确的是（）A ．22log aa b b+=+B ．21112log ab+=C ．2a b -<-D ．4a b +>【正确答案】ABD【分析】先根据题意将条件转化为a ，b 是函数1()111x h x x x ==+--分别与函数()2x f x =，2()log g x x =图象交点的横坐标．从而得到两交点关于直线y x =对称，进而即可判断A ；结合选项A 整理得到111a b+=，进而即可判断B ；再结合选项A ，构造函数2()log b b b ϕ=-，根据导函数性质即可判断C ；结合选项B 即基本不等式(注意：a b ¹，即不等式取不到等号)即可判断D ．【详解】对于A ，由题意知，a ，b 是函数1()111x h x x x ==+--分别与函数()2x f x =，2()log g x x =图象交点的横坐标，由1y x=的图象关于y x =对称，则其向上，向右都平移一个单位后的解析式为1()11h x x =+-，所以()h x 的图象也关于y x =对称，又()f x ，()g x 两个函数的图象关于直线y x =对称，故两交点(),2aa ，()2,logb b 关于直线y x =对称，所以2log a b =，2a b =，故A 正确；对于B ，结合选项A 得21a ab a ==-，则ab a b =+，即111a b+=，即21112log a b +=成立，故B 正确；对于C ，结合选项A 得2log (24)a b b b b -=-<<，令2()log b b b ϕ=-，则1()10ln 2b b ϕ'=-<，所以2()log b b b ϕ=-在(2,4)上单调递减，则2()log 442b ϕ>-=-，故C 错误；对于D ，结合选项B 得11()24b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++> ⎪⎝⎭(a b ¹，即不等式取不到等号)，故D正确．故选：ABD．12．已知双曲线()222:0x y a a Γ-=>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线l 与双曲线Γ的右支交于点B 、C ，与双曲线Γ的渐近线交于点A 、D （A 、B 在第一象限，C 、D 在第四象限），O 为坐标原点，则下列结论正确的是（）A ．若BC x ⊥轴，则1BCF △的周长为6aB ．若直线OB 交双曲线Γ的左支于点E ，则1//BC EF C ．AOD △面积的最小值为24aD ．1AB BF +的取值范围为()3,a +∞【正确答案】BD【分析】利用双曲线的定义可判断A 选项；利用平行四边形的几何性质可判断B 选项；设直线l 的方程为x my =+，求出OA 、OD ，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可判断C 选项；由双曲线的定义122AB BF AF a +=+，求出22AF a +关于m 的函数关系式，利用函数的单调性可求得1AB BF +的取值范围，可判断D 选项.【详解】双曲线Γ的标准方程为22221x y a a-=，则c ==，易知点()1,0F 、)2,0F ，双曲线Γ的渐近线方程为y x =±.对于A 选项，当BC x ⊥轴，直线BC 的方程为x =，联立222x x y a⎧=⎪⎨-=⎪⎩，可得x y a ⎧=⎪⎨=±⎪⎩，此时，2BC a =，则()()11222246BF CF BF a CF a BC a a +=+++=+=，此时，1BCF △的周长为118BC BF CF a ++=，A 错；对于B 选项，因为双曲线Γ关于原点对称，则点B 关于原点O 的对称点也在双曲线Γ上，因为若直线OB 交双曲线Γ的左支于点E ，则点B 、E 关于原点对称，即BE 、12F F 的中点均为原点，故四边形12BF EF 为平行四边形，所以，12//EF BF ，即1//EF BC ，B 对；对于C 选项，易知OA 的方程为y x =，OD 的方程为y x =-，所以，OA OD ⊥，因为直线l 与双曲线Γ的右支交于点B 、C ，则直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为x my =+，设点()11,B x y 、()22,C x y ，联立222x my x y a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可得()22210m y a -++=，则()()222222210Δ841410m m a m a a m ⎧-≠⎪⎨=--=+>⎪⎩，解得1m ≠±，由韦达定理可得1221y y m +=--，212201a y y m =<-，可得11m -<<，联立x my y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得1x y m ==-，即点A ⎝⎭，联立x my y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得21a x m =+，1a y m =-+，即点,11D m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，所以，21A a OA x m =-，21D a OD x m=+，所以，222221222211AODa a S OA OD a mm =⋅==≥--△，当且仅当0m =时，等号成立，C 错；对于D 选项，12222221a AB BF AB BF a AF a a a m +=++=+⋅++-22a a ++，当0m =时，12AB BF a +=，当01m <<时，122AB BF a a+==⋅，因为函数12y m m=+-在()0,1上单调递减，此时()122,AB BF a a +=⋅∈++∞，当10m -<<时，因为函数12y m m =+-在()1,0-上单调递减，此时()123,2AB BF a a a +=⋅∈+，综上所述，1AB BF +的取值范围是()3,a +∞，D 对.故选：BD.方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围三、填空题13．已知()π10,π,sin 63αα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，则πcos 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为___________.【正确答案】【分析】根据同角的基本关系可得6πcos α⎛⎫- ⎪⎝⎭，再根据正弦的二倍角公式，可得πsin26α⎛⎫- ⎪⎝⎭，再根据诱导公式可得πcos 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由此即可求出结果.【详解】因为π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,πα∈，ππ5π,666α⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,又因为π15π1sin sin6362α⎛⎫-=<= ⎪⎝⎭，所以ππ0,,62α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭所以63πcos α⎛⎫-== ⎪⎝⎭,所以πππsin 2=2sin cos =666ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππππcos 2cos 2cos 2sin 2=6326269αααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭.故答案为.9-14．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是______．【正确答案】12/0.5【分析】用A 1，A 2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B 表示是女生的事件，由题可知P (B |A 1)＝35，P (B |A 2)＝13，由全概率公式即得.【详解】如果用A 1，A 2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B 表示是女生的事件，则Ω＝A 1∪A 2，且A 1，A 2互斥，B ⊆Ω，由题意可知，P (A 1)＝58，P (A 2)＝38，且P (B |A 1)＝35，P (B |A 2)＝13.由全概率公式可知P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＝58×35＋38×13＝12，即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为12.故1215．已知平面向量a ，b ，且满足||||2⋅===a b a b ，若e 为平面单位向量，则⋅+⋅ a e b e 的最大值________【正确答案】【分析】先根据平面向量的数量积公式求出a →与b →的夹角，根据条件，可设()(2,0,a b →→==，再设()cos ,sin e αα→=，根据平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质得出π3a e b e α⎛⎫⋅+⋅=+ ⎪⎝⎭ ，即可求出结果.【详解】解：2a a b b →→→→⋅=== ，设a →与b →的夹角为θ，cos 22cos 2b a a b θθ→→→→∴⋅=⋅⋅=⨯⨯=，1cos 2θ∴=，又[]0,πθ∈，则π3θ=，不妨设()(2,0,a b →→==，再设()cos ,sin e αα→=，则(()cos ,sin a e b e a b e αα→→→→→→→⎛⎫⋅+⋅=+⋅=⋅ ⎪⎝⎭π3cos 223ααα⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭即a e b e →→→→⋅+⋅≤，所以a e b e →→→→⋅+⋅的最大值为故答案为.16．设n ∈N *，an 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，1222...555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()()222n n t b t -+-+(t ∈R )的最小值为____.【正确答案】12【分析】根据展开式求出系数和得52nnn a =-，求出22n n n b -=，将()()222n n t b t -+-+转化为点2,2n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭到(),2t t -的距离的平方，结合几何意义即可得解.【详解】an 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，即52n n n a =-，522155nn n n-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，考虑()20,,2255nf n n n N n n *⎛⎫=>∈+< ⎪⎝⎭，()()()()12112151525n nn f n n f n nn +⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==<⎛⎫⎪⎝⎭，所以()20,5nf n n n N *⎛⎫=>∈ ⎪⎝⎭递减，所以()220,55nf n n ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以2155n n n na n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，212...12n n n b n -=+++-=，()()()22222222n n n n t b t n t t ⎛⎫--+-+=-+-+ ⎪⎝⎭，可以看成点2,2n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭到(),2t t -的距离的平方，即求点2,2n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线2y x =-的距离最小值的平方，由图可得即求点()1,0或()2,1到直线20x y +-=的距离的平方，即2212122+-=故12此题考查求二项式系数，数列增减性与求和，通过几何意义转化求解代数式的最值，涉及转化与化归思想和数形结合思想.四、解答题17．已知函数()()221cos sin ,0,2f x x x x π=-+∈．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC 为锐角三角形，角A 所对边19a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC 的面积．【正确答案】（1）,2p p 轹÷ê÷÷êøë；（21534【分析】（1）利用降次公式化简()f x ，然后利用三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递增区间.（2）由()0f A =求得A ，用余弦定理求得c ，由此求得三角形ABC 的面积.【详解】（1）依题意()()2211()cos sin cos 20,π22f x x x x x =-+=+Î，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2p p 轹÷ê÷÷êøë.（2）由于a b <，所以A 为锐角，即π02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，222cos 02a c b B ac +-==<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC的面积为11sin 5322bc A =⨯⨯=本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.18．已知数列{}n a 满足()1122n n n a a n a *+=∈+N ，11a =．(1)证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若记n b 为满足不等式()11122nn k a n -*⎛⎫⎛⎫<≤∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N 的正整数k 的个数，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求关于n 的不等式2023n S <的最大正整数解．【正确答案】(1)证明见解析，21n a n =+(2)7【分析】（1）在等式1122n n n a a a +=+两边取倒数，结合等差数列的定义可证得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的公差，可求得数列{}n a 的通项公式；（2）解不等式()11122nn k a n -*⎛⎫⎛⎫<≤∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N 可得到满足条件的正整数k 的个数，可得出{}nb 的通项公式，利用错位相减法可求得n S ，再利用数列的单调性可求得满足题意的最大正整数n 的值.【详解】（1）解：由1122n n n a a a +=+取倒数得11221112nn n n n a a a a a +++=⇔=+，即11112n n a a +-=，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为公差为12的等差数列，则1111122n n n a a -+=+=，所以，21n a n =+.（2）解：当11122n n k a -⎛⎫⎛⎫<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，1112221212n nn n k k -++≤<⇔-≤<-，所以，满足条件的整数k 的个数为()()121212n n n +---=，即2nn b =，所以，()1012n nnb n a -=+⋅>，故数列{}n S 单调递增，所以，()012122324212n n S n -=⨯+⨯+⨯+++⨯ ，则()12122232212n nn S n n -=⨯+⨯++⨯++⨯ ，上式-下式得()()()()112121222221221212n n n nn S n n ----=++++-+⨯=+-+⨯- 2n n =-⨯，所以，2nn S n =⋅，因为7772896S =⨯=，88822048S =⨯=，则782023S S <<，因此，满足2023n S <的最大正整数n 的值为7.19．如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD ．E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.【正确答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）13.【分析】试题分析：本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.【详解】：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行.延长AB ，DC ，相交于点M （M ∈平面PAB ），点M 即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA AD=A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.所以∠APH是PA与平面PCE所成的角.在Rt△AEH中，∠AEH=45°，AE=1，所以AH=2 2 .在Rt △PAH 中，=，所以sin ∠APH=AH PH=13.方法二：由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA AD=A ，所以CD ⊥平面PAD.于是CD ⊥PD.从而∠PDA 是二面角P-CD-A 的平面角.所以∠PDA=45°.由PA ⊥AB ，可得PA ⊥平面ABCD.设BC=1，则在Rt △PAD 中，PA=AD=2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD ,AP的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则A （0,0,0），P （0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以PE=（1,0,-2），EC =（1,1,0），AP =（0,0,2）设平面PCE 的法向量为n=(x,y,z)，由0,{0,n PE n EC ⋅=⋅=得20,{0,x z x y -=+=设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA 与平面PCE 所成角为α，则sinα=||n AP n AP ⋅⋅13=.所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13.线线平行、线面平行、向量法.20．近年来随着新能源汽车的逐渐普及，传统燃油车市场的竞争也愈发激烈.近日，各地燃油车市场出现史诗级大降价的现象，引起了广泛关注.2023年3月以来，各地政府和车企打出了汽车降价促销“组合拳”，被誉为“史上最卷”的汽车降价促销潮从南到北，不断在全国各地蔓延，据不完全统计，十几家车企的近40个传统燃油车品牌参与了此次降价，从几千元到几万元助力汽车消费复苏.记发放的补贴额度为x （千元），带动的销量为y （千辆）.某省随机抽查的一些城市的数据如下表所示.x33455668y1012131819212427(1)根据表中数据，求出y 关于x 的线性回归方程.(2)（i ）若该省A 城市在2023年4月份准备发放额度为1万元的补贴消费券，利用（1）中求得的线性回归方程，预计可以带动多少销量？（ii ）当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10%时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的.若该省A 城市4月份发放额度为1万元的消费补贴券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为3万辆，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.参考公式.()()()()()()()11222111ˆˆˆ,nniiiii i nnnii i i i i x x y y x x y y r b a y bxx x x x y y =====----===----∑∑∑∑∑参考数据.()()()8821169,20i i i i i x x y y x x ==--=-=∑∑【正确答案】(1)ˆ 3.450.75yx =+；(2)（i ）3.525万辆；（ii ）答案见解析.【分析】（1）根据给定的数表，求出,x y ，再利用最小二乘法公式求解作答.（2）利用（1）的回归方程，计算10x =的估计值，再求出比值并判断作答.【详解】（1）依题意，3345566810121318192124275,1888x y ++++++++++++++====，于是()()()8182169ˆˆˆ3.45,18 3.4550.7520iii i i x x y y ba y bxx x ==--===-=-⨯=-∑∑，所以所求线性回归方程为ˆ 3.450.75yx =+.（2）（i ）由（1）知，当10x =时，ˆ 3.45100.7535.25y=⨯+=，所以预计能带动的消费达3.525万辆.（ii ）因为3035.2510%35.25->，所以发放的该轮消费补贴助力消费复苏不是理想的.发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，比如：A 城市经济发展水平不高，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平；A 城市人口数量有限、商品价格水平、消费者偏好、消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量.年轻人开始更加注重出行的舒适性和环保性，而传统燃油车的排放和能耗等问题也逐渐成为了消费者们考虑的重点.（只要写出一个原因即可）.21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，(1,0)D ，点P 是在第一象限内C 上的一个动点，当DP 与x 轴垂直时，5||4PF =，过点P 作与C 相切的直线l 交y 轴于点M ，过点M 作直线l 的垂线交抛物线C 于A ，B两点．(1)求C 的方程；(2)如图，连接PD 并延长，交抛物线C 于点Q ．①设直线AB ，OQ （其中O 为坐标原点）的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 为定值；②求OPQ ABDS S △△的最小值．【正确答案】(1)2y x =(2).【分析】（1）利用抛物线定义列出方程求解结果；（2）①设()00,P x y ，表示直线PM 的斜率，求解11PM k k -=；将直线PD的方程01)y x =-与2y x =联立，由韦达定理表示Q y ，求解2Q Qy k x =得出结果；②求解01212Q OPQ ABDA B OD y y S S ND y y -=-△△并化简，结合基本不等式进行求解.【详解】（1）因为当DP 与x 轴垂直时，5||4PF =，根据抛物线定义得5124p +=，解得12p =，所以2:C y x =．（2）①证明：设()00,P x y，则0y =，由2y x =，得当0y >时y =y '=所以直线PM)00:PM y y x x --，即0:PM y y =，y =+M ⎛ ⎝⎭．又因为11PM k k -=，PM k1k =-．将直线PD的方程01)y x =-与2y x =联立并化简，得210y -=，易得0∆>，设(),Q Q Q x y ，则01Q y y =-，所以01Q y y =-=．把点Q的坐标代入01)y x =-，得01Q x x =，所以2Q Qy k x ==．所以122k k =，为定值．②由①得0Q y y ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，直线:AB y =-．将y =-与2y x =联立并化简，得2104y +-=，易得0∆>，则A B y y +=，14A B y y =-，所以A B y y -．在直线AB的方程y =-中，令0y =，得14x =，设直线AB 与x 轴的交点为N ，则N 的坐标1,04⎛⎫⎪⎝⎭．因为||1OD =，所以3||4ND =，则122132Q OPQ ABDA B OD y y S S ND y y -⎡⎤+++==-△△23⎫=≥，012x =时等号成立，所以OPQ ABDS S△△22．已知函数()cos f x x x =，()sin g x a x =．(1)若1a =，证明：当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()()x g x f x >>；(2)当ππ,00,22x ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()()sin f x x g x x <，求a 的取值范围．【正确答案】(1)证明见解析(2)()[),01,-∞⋃+∞．【分析】（1）令()sin h x x x =-，对()h x 求导，得到()h x 的单调性可证得sin x x >，令()sin cos k x x x x =-，对()k x 求导，可得()k x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，即可证得sin cos x x x >，即可证得()()x g x f x >>；（2）由题意分析可得要使()()sin f x x g x x <恒成立即π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 0sin x x x F x x a x =->恒成立，通过放缩变形证明()0F x >恒成立，即可求出a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()sin g x x =，所以即证：sin cos x x x x >>，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，先证左边：sin x x >，令()sin h x x x =-，()1cos 0h x x '=->，()h x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，∴()()00h x h >=，即sin x x >．再证右边：sin cos x x x >，令()sin cos k x x x x =-，()cos cos sin sin 0k x x x x x x x =-+=>'，∴()k x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()()00k x k >=，即sin cos x x x >，∴π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()x g x f x >>．（2）()()sin sin cos sin f x x x x xx g x x a x-=-，令()sin cos sin x x x F x x a x =-，ππ,00,22x ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()F x F x -=，所以题设等价于()0F x >在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，由（1）知，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos x x x >>，于是：①当0a <时，()0F x >恒成立；②当0a >时，()0F x >等价于22sin cos 0a x x x ->，（i ）当01a <<时，22sin cos a x x x -()222cos cos ax x x x a x <-=-，令()cos p x a x =-，因为()cos p x a x =-在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递增，且()π010,02p a p a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以存在π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()0p β=，所以当0x β<<，()0p x <，即()2cos 0x a x -<，不合题意；(ii)当1a ≥时，2222sin cos sin cos a x x x x x x -≥-令()22sin cos r x x x x =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()222sin cos 2cos sin 2sin cos 2sin sin r x x x x x x x x x x x x =-+>-'+，()2222221cos sin 4sin sin 4sin sin 0222x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=--=-=->⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()r x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()()00r x r >=，所以22sin cos 0a x x x ->，所以()0F x >.综上：a 的取值范围为()[),01,-∞⋃+∞．方法点睛：利用导数证明不等式或在不等式中求参数的取值范围的问题，常见的几种方法有：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >转化为证明()()0f x g x ->，进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。
沈阳市数学高考摸底试卷(文科)(I)卷
沈阳市数学高考摸底试卷（文科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高三上·巴彦期中) 若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（）A . {1，4}B . {﹣1，﹣4}C . {0}D . ∅2. （2分）(2017·东北三省模拟) 复数z满足（z﹣i）（5﹣i）=26，则z的共轭复数为（）A . ﹣5﹣2iB . ﹣5+2iC . 5﹣2iD . 5+2i3. （2分）执行如图所示的程序框图．则输出的所有点（x，y）（）A . 都在函数y=x+1的图象上B . 都在函数y=2x的图象上C . 都在函数y=的图象上D . 都在函数y=2x﹣1的图象上4. （2分） (2016高二上·南宁期中) 设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A . 5B . 3C . 7D . ﹣85. （2分） (2015高二下·太平期中) 已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣1在x=2处取得极值，则实数a等于（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分） (2017高三上·山西开学考) 设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A . +B . +C . ﹣D . ﹣7. （2分）设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上，恒成立，则称函数在上为“凸函数”.已知当时，在上是“凸函数”，则在上（）A . 既没有最大值，也没有最小值B . 既有最大值，也有最小值C . 有最大值，没有最小值D . 没有最大值，有最小值8. （2分）如图为一个几何体的三视图正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .9. （2分）(2018·朝阳模拟) 已知函数，，且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·秀山期中) 给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β，其中为真命题的是（）A . ①③④B . ②③④C . ①②④D . ①②③11. （2分）在中，，则角的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数y=x2的图象在点（x0 ， x02）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x0必满足（）A . 0＜x0＜B . ＜x0＜1C . ＜x0＜D . ＜x0＜二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）已知函数，则f'（1）=________．14. （1分） (2020高二上·榆树期末) 对于曲线C：，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②当1<k<4时，曲线C是椭圆；③若曲线C表示双曲线，则k<1或k>4；④若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则；其中正确命题的序号为________．15. （2分） (2017高三上·朝阳期末) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ．若a1=2，S2=a3 ，则a2=________，S10=________．16. （1分） (2018高一下·雅安期中) 在矩形中，，．边上（包含、）上的动点与延长线上（包含点）的动点满足，则的最小值为________．三、解答题 (共5题；共50分)17. （15分） (2016高二下·衡水期中) 已知函数，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．（1）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（2）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（3）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．18. （10分） (2016高一下·鞍山期中) 为了研究某种细菌在特定条件下随时间变化的繁殖情况，得到如表格所示实验数据，若t与y线性相关．天数t（天）34567繁殖个数y（千个）568912（1）求y关于t的回归直线方程；（2）预测t=8时细菌繁殖的个数．（回归方程= x+ 中：= ，=217，其中=217，=135）19. （10分）(2020·海安模拟) 在棱长为的正方体中，O是AC的中点，E是线段D1O 上一点，且D1E＝λEO.（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值;（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.20. （5分）(2017·合肥模拟) 已知抛物线x2=4y，直线l的方程y=﹣2，动点P在直线l上，过P点作抛物线的切线，切点分别为A，B，线段A，B的中点为Q（Ⅰ）求证：直线AB恒过定点；（Ⅱ）求Q点轨迹方程．21. （10分）(2017·山南模拟) 已知函数．（1）若曲线y=f（x）在P（1，y0）处的切线平行于直线y=﹣x+1，求函数y=f（x）的单调区间；（2）若a＞0，且对x∈（0，2e]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．四、选做题 (共1题；共10分)22. （10分）已知直线l的参数方程是为参数），曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于A、B零点，与y轴交于点P．（1）求曲线C的参数方程；（2）过曲线C上任意一点P作与直线l夹角为30°的直线，角l于点A，求|PA|的最大值与最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共50分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、四、选做题 (共1题；共10分) 22-1、22-2、。
一模高三数学文科答案
最新年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学（文科）参考答案与评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13 9014328π-16①③④ 三、解答题：本大题共70分17 解：Ⅰ2cos 3sin )(+-=x x x f =2)3sin(2+π-x --------3分∈x ]34,32[ππ，],3[3ππ∈π-∴x ---------------4分 ∴)(x f 的最大值是4，最小值是2 ---------------6分Ⅱπ=β2 ---------7分31sin =∴α ---------------9分α-αβ+α-α∴sin cos )(2sin cos 22=α-αα-αsin cos 2sin cos 22=αcos 2=α-2sin 12=324 --------12分 此处涉及三个三角公式，请各位阅卷老师酌情处理18解：（Ⅰ）由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，拳击社被抽出了6人∴2=m -----------6分（Ⅱ）设=A “这两名同学是一名男生和一名女生” 53106)(==∴A P ---------------12分 19解：Ⅰ连结BD 交AC 于点E ，连结EF由于底面ABCD 为平行四边形E ∴为BD 的中点 ------------------2分在BSD ∆中，F 为SB 的中点∴SD EF //------------------4分 又因为⊂EF 面CFA ，⊄SD 面CFA ，∴//SD 平面CFA ------------------6分（Ⅱ）取BC 中点O ，连结AO ，SO∴BC SO ⊥------------------7分45=∠ABC ，22=BC ，2=AB ∴2AC =∴ABC ∆是等腰直角三角形 ------------------9分又点O 是BC 的中点BC OA ⊥∴------------------10分⊥∴BC 平面AOS ∴BC SA ⊥-------------12分20解：（Ⅰ）由于)(x f 与)(x g 在1=x 处相切 且x x f 1)(='a f 211)1(=='∴得：2=a ------------------2分 又b a g +==210)1(∴1-=b ∴1)(-=x x g ------------------3分（Ⅱ）(1)()()1m x x f x x ϕ-=-+=(1)ln 1m x x x --+在),1[+∞上是减函数， 0)1(1)22()(22≤+--+-=ϕ'∴x x x m x x 在),1[+∞上恒成立------------------5分即01)22(2≥+--x m x 在),1[+∞上恒成立，由xx m 122+≤-，),1[+∞∈x 又),2[1+∞∈+xx 222≤-∴m 得2≤m ------------------7分 （Ⅲ由（Ⅱ）可得：当2=m 时：)(x ϕ=x x x ln 1)1(2-+-在),1[+∞上是减函数 ∴当1>x 时：0)1()(=ϕ<ϕx 即x x x ln 1)1(2-+-0< 所以1)1(2ln +->x x x 从而得到：1121ln 1-+⋅<x x x ------------------10分 当2=x 时：13212ln 1⋅< 当3=x 时：24213ln 1⋅< 当4=x 时：35214ln 1⋅< 当1+=n x 时：nn n 221)1ln(1+⋅<+，2,≥∈+n N nE上述不等式相加得：即)1ln(14ln 13ln 12ln 1+++++n nn 1312112+++++< （2,≥∈+n N n ） ------------------12分21解答：（Ⅰ）设点),(y x M ，43-=BM AM K K 3224y y x x ∴⋅=-+-----------2分 整理得点M 所在的曲线C 的方程：22143x y +=（2x ≠±）-----------------3分 （Ⅱ）由题意可得点P （31,2） -----------------4分因为圆()2221x y r -+=的圆心为（1，0），所以直线PE 与直线PF 的斜率互为相反数----------5分 设直线PE 的方程为3(1)2y k x =-+， 与椭圆方程联立消去y ，得：()2222(43)(128)41230k x k k x k k ++-+--=， -------------6分由于x =1是方程的一个解，所以方程的另一解为22412343Q k k x k --=+ ------------7分同理22412343R k k x k +-=+------------8分 故直线RQ 的斜率为33(1)(1)22R Q R Q RQR Q R Q k x k x y y k x x x x --+----==--=22286(2)14324243k k k k k ---+=+------------9分把直线RQ 的方程12y x b =+代入椭圆方程，消去y 整理得2230x bx b ++-= 所以()22224311514212b b RQ b --⎛⎫=+⋅=-⎪⎝⎭------------10分 原点O 到直线RQ 的距离为25b d =------------11分---------------------12分22 解：（Ⅰ）连结PC ，P A ，PB ，BO 2，A BAC 是圆O 1的直径∴ 90=∠APC------------2分连结O 1O 2必过点PAB 是两圆的外公切线，B A ,为切点由于AB B O AB A O ⊥⊥21,∴α-π=∠22P BO ∴α=∠BP O 2又因为 902=∠+∠BP O ABP ∴ 90=∠+∠BAP ABP ∴B P C ,,三点共线------5分 （温馨提示：本题还可以利用作出内公切线等方法证明出结论，请判卷老师酌情给分！） （Ⅱ）CD 切圆O 2于点D ∴CB CP CD ⋅=2 ------------7分在ABC ∆中， 90=∠CAB ，又BC AP ⊥ ∴CB CP CA ⋅=2故CA CD = ------------10分 23 解：（Ⅰ）由⎪⎩⎪⎨⎧π=θ=θρ682cos 2得：83cos 2=πρ162=ρ∴，即4±=ρ ------------3分 所以A 、B 两点的极坐标为：)6,4(),6,4(π-πB A 或)67,4(πB ------------5分（Ⅱ）由曲线1C 的极坐标方程得其普通方程为228x y -= ------------6分 将直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 21231代入228x y -=，整理得014322=-+t t ------------8分 所以1721)14(4)32(||2=-⨯-=MN -----------10分24 解：（Ⅰ）由|32||22|)(-++=x x x f =|)23||1(|2-++x x 5≤ -----------3分 ∴使得不等式m x f <)(成立的m 的取值范围是5>m -----------5分（Ⅱ）由|32||22|)(-++=x x x f |3222|-++≥x x =|14|-x -----------7分 所以|22||23|x x ++-=|41|x -，当且仅当0)32)(22(≥-+x x 时取等--------9分 所以x 的取值范围是)23[]1,(∞+--∞ -----------10分。
2020届沈阳市大东区高考数学一模试卷(文科)(有答案)(已审阅)
辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（∁R N）=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．13．已知向量，，则3|=（）A．83 B．63 C．57 D．234．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1=2a8﹣3a4，则=（）A．B．C．D．5．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值6．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是（）A．等边三角形B．直角三角形C．两腰长都为的等腰三角形D．两腰长都为的等腰三角形7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3）B．[﹣11，3]C．（﹣11，3）D．（﹣11，3]8．已知x、y取值如表：x 0 1 4 5 6 8y 1 3 5 6 7 8从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，则b=（）A．0.95 B．1.00 C．1.10 D．1.159．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1]10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）A．B．C．D．111．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）12．已知F1、F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C 的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．13．过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0引切线，则切线方程为．14．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为．15．若，则=．16．已知{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）=在区间上的值域．18．某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．19．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．20．椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值．21．已知函数，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（∁R N）=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合M，根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}={x|x＞2或x＜1}，∴∁R N={x|1≤x≤2}，M∩（∁R N）={1，2}，故选：D．2．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】根据复数的运算法则，我们易将化为m+ni（m，n∈R）的形式，再根据|m+ni|=，我们易构造一个关于a的方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：∵=1﹣ai∴||=|1﹣ai|==2即a2=3由a为正实数解得a=故选B3．已知向量，，则3|=（）A．83 B．63 C．57 D．23【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直接利用数量积的坐标运算得答案．【解答】解：∵，，∴，，∴．故选：A．4．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1=2a8﹣3a4，则=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】根据a1=2a8﹣3a4，求出等差数列的首项与公差的关系，再利用等差数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：设等差数列的公差为d，则∵a1=2a8﹣3a4，∴a1=2（a1+7d）﹣3（a1+3d），∴a1=，∴===．故选A．5．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解．【解答】解：由秦九韶算法，S=a0+x0（a1+x0（a2+a3x0）），故选：C．6．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是（）A．等边三角形B．直角三角形C．两腰长都为的等腰三角形D．两腰长都为的等腰三角形【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三棱锥的俯视图确定三棱锥的主视图，根据主视图的结构计算腰长即可．【解答】解：由俯视图可知，平面C′BD⊥平面ABD，则其主视图如图所示，则为等腰三角形．其腰长为=，故选：C．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3）B．[﹣11，3]C．（﹣11，3）D．（﹣11，3]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，从而得出目标函数z=3x﹣4y的取值范围．【解答】解：∵变量x，y满足约束条件，目标函数为：z=3x﹣4y，直线x﹣y+2=0与x+y﹣8=0交于点A（3，5），直线x+y﹣8=0与x﹣5y+10=0交于点B（5，3），分析可知z在点A处取得最小值，z min=﹣11，z在点B处取得最大值，z max=15﹣12=3，∴﹣11≤z＜3，故选：A．8．已知x、y取值如表：x 0 1 4 5 6 8y 1 3 5 6 7 8从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，则b=（）A．0.95 B．1.00 C．1.10 D．1.15【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，即可求解b．【解答】解：由题意知，，，从而代入回归方程有b=1.10，故选C．9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1]【考点】函数的值域．【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性进行求解即可．【解答】解：当x＞2时，函数f（x）=2x+a为增函数，则f（x）＞f（2）=4+a，当x≤2时，函数f（x）=log（﹣x）+a2为增函数，则f（x）≤f（2）=log（﹣2）+a2=log+a2=2+a2，要使函数f（x）的值域为R，则4+a≤2+a2，即a2﹣a﹣2≥0，则a≥2或a≤﹣1，故选：A．10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）A．B．C．D．1【考点】球内接多面体．【分析】设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=4≥2ah，可得正四棱柱的侧面积最大值，即可求出正四棱柱的底面边长．【解答】解：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=4≥2ah，∴ah≤，当且仅当h=a=时取等号，∴正四棱柱的侧面积S=4ah≤4，∴该正四棱柱的侧面积最大时，h=，a=1，故选：D．11．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）【考点】函数单调性的性质．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围，即可得到正确答案．【解答】解：∵y=e x和y=x﹣2是关于x的单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象如右图所示，∴f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，又∵f（a）=0，∴0＜a＜1，同理，g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=+（）2﹣3=＞0，又∵g（b）=0，∴1，∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，∴g（a）＜0＜f（b）．故选：D．12．已知F1、F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C 的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|F1P|=m，运用双曲线的定义和等差数列的中项的性质可得|F2P|=m+2a，|F1Q|=4a+m，|PQ|=4a，由条件可得△QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得c=a，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设|F1P|=m，由双曲线的定义可得|F2P|=|F1P|+2a=m+2a，由|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，可得2|F2P|=|F1P|+|F1Q|，即有|F1Q|=2（2a+m）﹣m=4a+m，可得|PQ|=4a，由双曲线的定义，可得|F2Q|=|F1Q|﹣2a=m+2a，由∠F1PF2=120°，可得∠QPF2=60°，即有△QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos120°，即为4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•（﹣），即有4c2=28a2，即c=a，可得e==．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．13．过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0引切线，则切线方程为或x=0．【考点】圆的切线方程．【分析】求出圆的标准方程，求出圆心和半径，根据直线和圆相切的等价条件进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，则圆心为（1，2），半径R=1，若切线斜率k不存在，即x=0时，满足条件．若切线斜率k存在，则设切线方程为y=kx，即kx﹣y=0，圆心到直线的距离d==1，得|k﹣2|=，平方得k2﹣4k+4=1+k2，即k=，此时切线方程为，综上切线方程为：或x=0，故答案为：或x=0．14．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的长度，根据几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：若线段AM的长度不小于，则M在线段BE，BF，CG，CD上，其中AE=AE=，∵AH=，∴FH===1，则FG=2，三角形的周长l=4+4+6=14，则BE+BF+CG+CD=14﹣﹣﹣2=12﹣4，则线段AM的长度不小于的概率P==，故答案为：15．若，则=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据诱导公式以及二倍角公式化简计算即可．【解答】解：，则=cos（2α+）=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=，故答案为：．16．已知{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20=45．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，可得：S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15，成等比数列，即可解出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵S5=3，S15=21，∴S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15，成等比数列，∴，=（S10﹣S5）（S20﹣S15），∴，解得S10=9，∴（21﹣9）2=（9﹣3）×（S20﹣21），解得S20=45．故答案为：45．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）=在区间上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据余弦定理求出C的值即可；（Ⅱ）求出f（x）的解析式，并将函数f（x）化简，结合x的范围，求出f（x）的值域即可．【解答】解：（Ⅰ）由（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，得：a2+b2﹣c2=ab，∴，∴在△ABC中，；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∴===，∵，∴，∴，∴，∴函数f（x）的值域为．18．某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高．（Ⅱ）由已知先求出平均数，由此能求出甲班的样本方差．（Ⅲ）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm．利用列举法能求出身高176cm的同学被抽中的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高．…（Ⅱ）cm …甲班的样本方差为：s2=+2+2+2+2]=57.2…（Ⅲ）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm．取出两人的基本事件空间为：Ω={，，，，，，，，，}，共10种情况．…身高176cm同学被抽到的事件空间为：{，，，}，共4中情况．∴所求事件的概率为．…19．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，由三角形的中位线定理可得OF∥DE，然后利用线面平行的判定得答案；（Ⅱ）由EC⊥底面ABCD，得EC⊥BD，再由BD⊥AC，由线面垂直的判定得BD⊥平面ACE，进一步得到CG⊥BD，在正方形ABCD中，由线段间的长度关系得到CG⊥EO，再由线面垂直的判定得答案；（Ⅲ）由AB=1，求得，进一步得到EC⊥底面ABCD，然后利用等积法求得三棱锥F﹣ACE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则O为BD的中点，又∵F是EB中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF∥DE，∵DE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，∴DE∥平面ACF；（Ⅱ）∵EC⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴EC⊥BD，∵BD⊥AC，且AC∩CE=C，∴BD⊥平面ACE，∵CG⊂平面ACE，∴CG⊥BD，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，且，∴，在△OCE中，G是EO中点，∴CG⊥EO，∵EO∩BD=E，∴CG⊥平面BDE；解：（Ⅲ）∵AB=1，∴，∵F是EB中点，且EC⊥底面ABCD，∴．20．椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，则F2（c，0），由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）知F2（1，0），设直线l：y=k（x﹣2），与椭圆联立，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值0．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，则F2（c，0）且a2=b2+c2，由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，得|PF2|=|F1F2|，则，解得c=1，…又∵，∴，所以b=1，∴所求椭圆C的方程为．…证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知F2（1，0），由题意可设直线l：y=k（x﹣2）与椭圆的交点D（x1，y1）、E（x2，y2）…由，得，整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，则，且，…==…∵2x1x2﹣3（x1+x2）+4==…∴，即直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值0．…21．已知函数，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f'（4）=e2，又f（4）=e2，则函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；（Ⅱ）求出原函数的导函数，根据a的取值对函数的单调性加以判断，当a=1时，g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，从而求出实数a的取值的集合M；（Ⅲ）把a的值代入函数解析式，然后求函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号求出原函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴f'（4）=e2，又∵f（4）=e2，∴函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；…（Ⅱ）由g（1）=0及题设可知，对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）恒成立，∴函数g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）必在x=1处取得极小值，即g'（1）=0，…∵g'（x）=lnx+1﹣a，∴g'（1）=1﹣a=0，即a=1，…当a=1时，g'（x）=lnx，∴x∈（0，1），g'（x）＜0；x∈（1，+∞），g'（x）＞0，∴g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，则g（x）min=g（1）=0…∴对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，∴M={1}；…（Ⅲ）由（Ⅱ）a=1，∴函数，其定义域为（0，+∞），求得，…令m（x）=h'（x），为区间（0，+∞）上的增函数，…设x0为函数m'（x）的零点，即，则，∵当0＜x＜x0时，m'（x）＜0；当x＞x0时，m'（x）＞0，∴函数m（x）=h'（x）在区间（0，x0）上为减函数，在区间（x0，+∞）上为增函数，∴，∴函数h（x）在区间（0，+∞）上为增函数．…[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）根据BE为圆O的切线，证明∠EBD=∠BAD，AD平分∠BAC，证明∠BAD=∠CAD，即可证明∠EBD=∠CBD（Ⅱ）证明△EBD∽△EAB，可得AB•BE=AE•BD，利用AD平分∠BAC，即可证明AB•BE=AE•DC．【解答】证明：（Ⅰ）∵BE为圆O的切线，∴∠EBD=∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EBD=∠CAD，∵∠CBD=∠CAD，∴∠EBD=∠CBD；（Ⅱ）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB，∴△EBD∽△EAB，∴，∴AB•BE=AE•BD，∵AD平分∠BAC，∴BD=DC，∴AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出曲线C的直角坐标方程；直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数0．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程可得，可得点M到A，B两点的距离之积|MA|•|MB|=|t1||t2|=|t1•t2|．【解答】解：（Ⅰ）x=ρcosθ，y=ρsinθ，由ρsin2θ﹣cosθ=0得ρ2sin2θ=ρcosθ．∴y2=x即为曲线C的直角坐标方程；点M的直角坐标为（0，1），直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数）．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程得，即，，设A、B对应的参数分别为t1、t2，则，又直线l经过点M，故由t的几何意义得点M到A，B两点的距离之积|MA|•|MB|=|t1||t2|=|t1•t2|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）依题意知，a=3时，f（x）=，通过对x范围的分类讨论，解不等式f（x）＞0即可；（2）利用等价转化的思想，通过分离参数a，可知当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2或a＞x+2恒成立，从而可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=，…当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈∅；当≤x≤2时，5﹣3x＞0，即x＜，解得≤x＜；当x＜时，x﹣1＞0，即x＞1，解得1＜x＜；综上所述，不等式的解集为{x|1＜x＜}．…（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立⇔2﹣x﹣|2x﹣a|＜0 ⇔2﹣x＜|2x﹣a|恒成立⇔2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立⇔x＞或x＜a﹣2恒成立，∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①或a＞x+2②恒成立，解①，a不存在；解②得：a≥4．综上知，a≥4．…。
2022年辽宁省沈阳市高考数学质检试卷(一)(一模)+答案解析(附后)
2022年辽宁省沈阳市高考数学质检试卷（一）（一模）1. 集合，，则( )A.B.C. D.2. 已知i 为虚数单位，若复数，则( )A. 1B. 2C.D.3.关于双曲线：与：，下列说法中错误的是( )A. 它们的焦距相等B. 它们的顶点相同C. 它们的离心率相等D. 它们的渐近线相同4. 夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为( )A.B.C. D.5. 已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列，则的前n 项和( )A.B.C.D.6. 如图，在直角梯形ABCD 中，，，，，P 是线段AB 上的动点，则的最小值为( )A. B. 6C. D. 47. 已知，，，则( )A. B.C. D.8. 若函数，则是在有两个不同零点的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 某团队共有20人，他们的年龄分布如表所示，年龄28293032364045人数1335431有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有( )A. 众数是32B. 众数是5C. 极差是17D. 分位数是3010. 已知函数，则( )A. 的最小值为0B. 的最小正周期为C. 的图像关于点中心对称D. 的图像关于直线轴对称11. 已知圆O：，直线l：，P为直线l上一动点，过点P作圆O的两条切线PA，PB，A，B为切点，则( )A. 点P到圆心的最小距离为B. 线段PA长度的最小值为C. 的最小值为3D. 存在点P，使得的面积为312. 若，，则下列不等关系正确的有( )A. B. C. D.13. 函数的最大值为______.14. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______用数字作答15. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3，其中甲班中女生占，乙班中女生占则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是______.16. 已知三棱柱中，，，，，则四面体的体积为______.17. 从①，②这两个条件中任选一个，补充到下面已知条件中进行解答．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____填写①或②，只可以选择一个标号，并依此条件进行解答．求B；若，的面积为，求18.等差数列和等比数列满足，，，且求数列的通项公式；已知：①；②，使设S为数列中同时满足条件①和②的所有的项的和，求S的值．19. 现有一种需要两人参与的棋类游戏，规定在双方对局时，二人交替行棋．一部分该棋类游戏参与者认为，在对局中“先手”即：先走第一步棋具有优势，容易赢棋，而“后手”即：对方走完第一步棋之后，本方再走第一步棋不具有优势，容易输棋．对某位该棋类游戏参与者的100场对局的输赢结果按照是否先手局进行统计，分数据如表所示．请将表格补充完整，并判断是否有的把握认为赢棋与“先手局”有关？先手局后手局合计赢棋45输棋45合计25100现有甲乙两人进行该棋类游戏的比赛，采用三局两胜制即：比赛中任何一方赢得两局就获胜，同时比赛结束，比赛至多进行三局在甲先手局中，甲赢棋的概率为，乙赢棋的概率为；在乙先手局中，甲赢棋的概率为，乙赢棋的概率为若比赛中“先手局”的顺序依次为：甲、乙、乙，设比赛共进行X局，求X的分布列和数学期望．附：，k20. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，，，求证：平面PAC；求二面角的余弦值．21. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为，点A是椭圆的左顶点，点E坐标为，经过点E的直线l交椭圆于M，N两点，直线l斜率存在且不为求椭圆C的方程；设直线AM，AN分别交直线于点P，Q，线段PQ的中点为G，设直线l与直线EG的斜率分别为k，，求证：为定值．22. 已知求证：对于，恒成立；若对于，有恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：，，故选：进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数的四则运算及复数模的求法，属于基础题．直接利用商的模等于模的商求解．【解答】解：由，得故选：3.【答案】B【解析】解：双曲线：焦距4，顶点坐标，离心率，渐近线方程，双曲线：焦距4，顶点坐标，离心率，渐近线方程，故选：求出双曲线焦距，顶点坐标，离心率，渐近线方程，即可判断选项．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．4.【答案】C【解析】解：记事件A为甲地下雨，事件B为乙下雨，，，，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为：故选：记事件A为甲地下雨，事件B为乙下雨，根据条件概率的公式能求出在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率．本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：等差数列的公差为2，且，，成等比数列，则，即，解得的前n项和故选：由已知列式求得，进一步求得首项，再由等差数列的前n项和公式求解．本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查等比数列的性质，是基础题．6.【答案】B【解析】解：以B为原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设，，，所以，，所以，所以，当，即时，取得最小值，为故选：以B为原点建立平面直角坐标系，设，，，结合平面向量的坐标运算推出，故当时，得解．本题考查平面向量的混合运算，遇到规则图形，建立坐标系将问题转化为平面向量的坐标运算可简化试题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：，，所以，，故故选：结合对数的运算性质及对数函数的单调性即可比较大小．本题主要考查了对数值大小的比较，对数的运算性质及对数函数的单调性的应用是求解问题的关键，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：，令，则²，令²，则可得³²²，解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，又当时，，所以最小值为，在上有两个不同零点的充要条件为函数与的图象在第一象限有2个交点，所以，即有2个零点的充要条件为，又是充分不必要条件，所以是在有两个不同零点的充分不必要条件，故选：将问题转化为²，令²，利用导数讨论的单调性，求出的最小值，由在上有两个不同零点的充要条件为，进而得到答案．本题考查有函数零点个数求参数范围，涉及导数判断函数单调性，由导数求函数最值，属于中档题．9.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查了众数、极差和百分位数的应用问题，是基础题．根据表中数据，分别计算这组数据的众数、极差和百分位数即可．【解答】解：根据表中数据知，这20个人年龄的众数是32，选项A正确、B错误；极差是，选项C正确；因为，所以分位数是30，选项D正确．故选：10.【答案】BD【解析】解：函数，故它的最小值为，故A错误；它的最小正周期为，故B正确；令，求得，可得的图像关于点中心对称，故C错误；令，求得，为最小值，可得的图像关于直线轴对称，故D 正确；故选：由题意，利用三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：点P到圆心的最小距离为圆心到直线的距离，故A正确；由平面几何知识知线段PA长度的最小值为，故B错误；由向量运算可知的最小值为PA长度的最小同时最大时，所以时，，所以，故C正确；由平面几何知识知线段PA长度的最小时，的面积最小值为，所以存在点P，使得的面积为故D正确；故选：利用圆的有关性质，可求得P到圆心的最小距离，可判断A；同时可求PA长度的最小值，可判断B；同时可求的最小值，可判断C；求出的面积的最小值可判断本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆相切的性质以及应用，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：由，，得，，所以，故选项A正确；由，得，又，，，所以，故选项B正确；由选项B可知，故选项C错误；由换底公式得，，所以，由，，且，得，又，所以，故选项D正确．故选：由题意可知，，作商可判断选项A；由可得，结合基本不等式可判断选项BC；利用换底公式并结合基本不等式的应用即可判断选项本题主要考查对数的运算，涉及基本不等式的应用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：，设，，则，当时，，函数的最大值为，故答案为：利用换元法，通过三角函数的有界性，转化函数为二次函数，求出值域即可．本题考查三角函数的有界性，二次函数的最值，属于中档题．14.【答案】【解析】解：由已知可得，则，所以二项式的展开式的通项公式为，令，解得，则的系数为，故答案为：由已知求出n，然后再求出展开式的通项公式，令x的指数为3，由此即可求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：记A与分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B表示是女生，由题意可得，，，，，由全概率公式可得，，故该社区居民遇到的一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为，故答案为：根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．本题主要考查了全概率公式，熟练掌握公式是关键，属于中档题．16.【答案】【解析】解：如图，设在底面ABC上的射影为O，，在的角平分线上，过O作，垂足为E，连接，则，在中，，，，，在中，，，可得，，，且到平面ABC的距离等于B到平面的距离，即四面体的体积为故答案为：由题意画出图形，求出棱柱的高，再由等体积法求四面体的体积．本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．17.【答案】解：选择条件①：由正弦定理及，知，因为，所以，所以，因为，所以选择条件②：由余弦定理知，，所以因为的面积，所以，由知，，所以，即，化简得，解得，又，所以【解析】选择条件①：利用正弦定理化边为角，再结合同角三角函数的商数关系，得解；选择条件②：利用余弦定理，求出的值，即可；由，可得，再结合余弦定理，得解．本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理、余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：设等差数列的公差为d和等比数列的公比为q，，由，，，可得，，解得，，则，；①，即，解得，2，3，，10；②，使，即，可得，；，；，；，；，所以【解析】由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；先由①可得n的取值；再由②通过列举法可得满足题意的n的值和的值，计算可得所求本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19.【答案】解：列联表如下：先手局后手局合计赢棋 45 10 55输棋 30 15 45合计 75 25100，有的把握认为赢棋与“先手局”有关．由题意可得，X所有可能取值为2，3，，，故X的分布列为：X 2 3P故【解析】根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．由题意可得，X所有可能取值为2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望与独立性检验公式，属于中档题．20.【答案】证明：平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，，，又，、AD、AP两两互相垂直，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，因为，，则，，，，，，，，因为，，所以，，即，，又因为，平面PAC，平面PAC，所以平面解：设平面PCD的法向量为，平面PBC的法向量，由，，，得，，令，得，；令，解得，，所以，，则，所以二面角的余弦值为【解析】以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由，即可证明；求平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用数量积公式可得答案．本题主要考查线面垂直的证明，二面角的计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题．21.【答案】解：由题意可知，，即，离心率，则，，所以椭圆C的方程：；证明：设，，直线l的方程，由，消去y，整理得，所以，，又，所以直线AM的方程为：，其与直线的交点为，同理，所以PQ的中点为，所以GE的斜率为，所以【解析】根据题意可得，及椭圆的离心率公式，即可求得a的值，再得到椭圆的方程；设直线l的方程，代入椭圆方程，表示出直线AM的方程，即可求得P和Q点坐标，求得G点坐标，即可求得GE的斜率，结合韦达定理即可求得本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式等，考查转化思想，计算能力，属于难题．22.【答案】解：证明：由，得，，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，对于，恒成立．，，，即，令，则，当时，，函数单调递减，当时，，函九单调递增，，即，，即对恒成立，令，则，，若，，在上单调递增，，，符合题意，若，令，得，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，，不符合，综上，，的取值范围是【解析】求出函数的导数，令，求出，进而求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，由此能证明对于，恒成立．将不等式转化为，令，则对恒成立，构造新函数，利用导数讨论函数的单调性，求出最小值即可．本题考查不等式恒成立问题证明，考查实数取值范围的求法，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数性质求解，考查函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(文科)
年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共个小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.．（分）（•沈阳一模）设全集{，，，，}，集合{，}，{，，}，则（∁）∪（）．{，} ．{，，} ．{，，，} ．{，，，}．（分）（•沈阳一模）若复数满足（﹣），则的虚部为（）．．．．﹣﹣．（分）（•沈阳一模）设向量，，若满足，则（）．．．．．（分）（•沈阳一模）设∈，则“﹣＞”是“＞”的（）．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件．（分）（•沈阳一模）在等比数列{}中，若，是方程﹣的两根，则的值是（）．．．．±．（分）（•沈阳一模）在满足不等式组的平面点集中随机取一点（，），设事件“＜0”，那么事件发生的概率是（）．．．．．（分）（•沈阳一模）某大学对名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图（如图），则这名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于分的学生数是（）．．．．．（分）（•沈阳一模）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的离心率为（）．．．．．（分）（•沈阳一模）有如图所示的程序框图，则该程序框图表示的算法的功能是（）．输出使×××…×≥成立的最小整数．输出使×××…×≥成立的最大整数．输出使×××…×≥成立的最大整数．输出使×××…×≥成立的最小整数．（分）（•沈阳一模）已知直线﹣（、＞）经过圆﹣﹣的圆心，则的最小值是（）．．．．．（分）（•沈阳一模）已知四面体﹣的四个顶点都在球的球面上，若⊥平面，⊥，且，，则球的表面积为（）．π．π．π．π．（分）（•沈阳一模）已知函数（）是上的可导函数，当≠时，有，则函数的零点个数是（）．．．．二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在答题纸上）．（分）（•沈阳一模）某一容器的三视图如图所示，则该几何体的体积为．．（分）（•沈阳一模）已知△的三个内角∠，∠，∠所对的边分别为，，，且，则角的大小为．．（分）（•沈阳一模）定义运算：，例如：∇，（﹣）∇，则函数（）∇（﹣）的最大值为．．（分）（•沈阳一模）已知（）为定义在上的偶函数，当≥时，有（）﹣（），且当∈[，）时，（）（），给出下列命题：①（）（﹣）的值为；②函数（）在定义域上为周期是的周期函数；③直线与函数（）的图象有个交点；④函数（）的值域为（﹣，）．其中正确的命题序号有．三、解答题（本大题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）．（分）（•沈阳一模）已知函数，记函数（）的最小正周期为β，向量，（），且．（Ⅰ）求（）在区间上的最值；（Ⅱ）求的值．．（分）（•沈阳一模）某学校的三个学生社团的人数分布如下表（每名学生只能参加一个社团）：围棋社舞蹈社拳击社男生女生学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取人，结果拳击社被抽出了人．（Ⅰ）求拳击社团被抽出的人中有人是男生的概率；（Ⅱ）设拳击社团有名女生被抽出，求的分布列及数学期望（）．．（分）（•沈阳一模）四棱锥﹣，底面为平行四边形，侧面⊥底面．已知∠°，，，为线段的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求面与面所成二面角大小．．（分）（•沈阳一模）已知函数（），．（Ⅰ）若（）与（）在处相切，试求（）的表达式；（Ⅱ）若在[，∞）上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：．．（分）（•沈阳一模）已知两点（﹣，），（，），直线、相交于点，且这两条直线的斜率之积为．（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）记点的轨迹为曲线，曲线上在第一象限的点的横坐标为，直线、与圆（﹣）（）相切于点、，又、与曲线的另一交点分别为、．求△的面积的最大值（其中点为坐标原点）．请考生在第、、题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.选修：几何证明选讲（共小题，满分分）．（分）（•沈阳一模）如图，已知圆与圆外切于点，直线是两圆的外公切线，分别与两圆相切于、两点，是圆的直径，过作圆的切线，切点为．（Ⅰ）求证：，，三点共线；（Ⅱ）求证：．选修：极坐标与参数方程．（•沈阳一模）已知曲线的极坐标方程为ρθ，曲线的极坐标方程为，曲线、相交于、两点．（∈）（Ⅰ）求、两点的极坐标；（Ⅱ）曲线与直线（为参数）分别相交于，两点，求线段的长度．选修：不等式选讲．（•沈阳一模）已知函数（）﹣．（Ⅰ）若∃∈，使得不等式（）＜成立，求的取值范围；（Ⅱ）求使得等式（）≤﹣成立的的取值范围．年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共个小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.．（分）（•沈阳一模）设全集{，，，，}，集合{，}，{，，}，则（∁）∪（）．{，} ．{，，} ．{，，，} ．{，，，}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据全集及，求出的补集，找出补集与的并集即可．解答：解：∵全集{，，，，}，集合{，}，{，，}，∴∁{，，}，则（∁）∪{，，，}．故选点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．．（分）（•沈阳一模）若复数满足（﹣），则的虚部为（）．．﹣．．﹣考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出．解答：解：设复数（，∈），∵复数满足（﹣），∴（﹣）（）（），∴（）（）（），∴，∴复数的虚部．故选：．点评：本题考查了复数的运算法则和虚部的定义，属于基础题．．（分）（•沈阳一模）设向量，，若满足，则（）．．．．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：不等式的解法及应用．分析：利用两个向量共线的性质，由两个向量共线时，它们的坐标对应成比例，建立等式，解方程求出实数的值．解答：解：∵∥，（≠），∴存在唯一实数λ使得λ，∵，，∴（，）λ（，﹣）（λ，﹣λ），即，解得：﹣．故选：．点评：本题考查两个向量共线的性质，两个向量、（≠）共线时，存在唯一实数λ使得λ．属于基础题．．（分）（•沈阳一模）设∈，则“﹣＞”是“＞”的（）．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：解不等式可得＜或＞，由集合{＞}是集合{＜或＞}的真子集可得答案．解答：解：由﹣＞可解得＜或＞，因为集合{＞}是集合{＜或＞}的真子集，故“﹣＞”是“＞”的必要不充分条件，故选点评：本题考查充要条件的判断，转化为集合与集合的关系是解决问题的关键，属基础题．．（分）（•沈阳一模）在等比数列{}中，若，是方程﹣的两根，则的值是（）．．．．±考点：等比数列的通项公式；函数的零点．专题：等差数列与等比数列．分析：利用根与系数的关系可得4a，再利用等比数列的性质即可得出．解答：解：∵，是方程﹣的两根，∴4a，＞．∴＞，＞．由等比数列{}，，∴．由等比数列的性质可得：，，同号．∴．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等比数列的性质，属于基础题．．（分）（•沈阳一模）在满足不等式组的平面点集中随机取一点（，），设事件“＜0”，那么事件发生的概率是（）．．．．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：确定不等式组表示的区域，求出面积，求出满足＜的区域的面积，利用几何概型概率公式，可得结论．解答：解：作出不等式组的平面区域即△，其面积为，且事件“＜0”表示的区域为△，其面积为，∴事件发生的概率是．故选．点评：本题考查几何概型，考查不等式组表示的平面区域，确定以面积为测度，正确计算面积是关键，属于中档题．．（分）（•沈阳一模）某大学对名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图（如图），则这名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于分的学生数是（）．．．．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图，算出成绩不低于分的个组的面积之和为，从而得到成绩不低于分的学生的频率为，由此即可得到这名学生在该次自主招生水平测试中不低于分的学生数．解答：解：根据频率分布直方图，可得成绩在﹣的小组的小矩形面积为×；在﹣的小组的小矩形面积为×在﹣的小组的小矩形面积为×∴成绩不低于分的学生所在组的面积之和为即成绩不低于分的学生的频率为，由此可得这名学生在该次自主招生水平测试中不低于分的学生数是×故选：．点评：本题给出频率分布直方图，求名学生在该次自主招生水平测试中不低于分的学生数．着重考查了频率分布直方图的理解和频数的求法等知识，属于基础题．．（分）（•沈阳一模）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的离心率为（）．．．．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出抛物线的焦点坐标，由此得到双曲线的一个焦点，从而求出的值，进而得到该双曲线的离心率．解答：解：∵抛物线的焦点是（，），∴，﹣，∴．故选：．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解．．（分）（•沈阳一模）有如图所示的程序框图，则该程序框图表示的算法的功能是（）．输出使×××…×≥成立的最小整数．输出使×××…×≥成立的最大整数．输出使×××…×≥成立的最大整数．输出使×××…×≥成立的最小整数考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：写出经过几次循环得到的结果，得到求的的形式，并分析累乘的最后一个数与循环变量值的关系，进而判断出框图的功能．解答：解：经过第一次循环得到×，经过第二次循环得到××，经过第三次循环得到×××，…经过第次循环得到××××…×＞，该程序框图表示算法的功能是求计算并输出比使××××…×＞成立的最小整数大的数，即故选点评：本题考查程序框图，考查了循环体以及循环次数两个具体问题，常采用写出前几次循环的结果，找规律．属于基础题．．（分）（•沈阳一模）已知直线﹣（、＞）经过圆﹣﹣的圆心，则的最小值是（）．．．．考点：基本不等式；圆的一般方程．专题：计算题；直线与圆．分析：将圆化成标准方程可得圆心为（，），代入题中的直线方程算出，从而化简得，再根据基本不等式加以计算，可得当且时，的最小值为．解答：解：圆﹣﹣化成标准方程，得（﹣），∴圆﹣﹣的圆心为（，），半径．∵直线﹣经过圆心，∴××﹣，即，因此，（）（），∵、＞，∴≥，当且仅当时等号成立．由此可得当2c，即且时，的最小值为．故选：点评：本题给出已知圆的圆心在直线﹣上，在、＞的情况下求的最小值．着重考查了直线与圆的位置关系、圆的标准方程和基本不等式等知识，属于中档题．．（分）（•沈阳一模）已知四面体﹣的四个顶点都在球的球面上，若⊥平面，⊥，且，，则球的表面积为（）．π．π．π．π考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据条件，根据四面体﹣构造长方体，然后根据长方体和球的直径之间的关系，即可求出球的半径．解答：解：∵⊥平面，⊥，且，，∴构造长方体，则长方体的外接球和四面体的外接球是相同的，则长方体的体对角线等于球的直径，则，∴，则球的表面积为ππ，故选：．点评：本题主要考查空间几何体的位置关系，利用四面体构造长方体是解决本题的关键，利用长方体的体对角线等于球的直径是本题的突破点．．（分）（•沈阳一模）已知函数（）是上的可导函数，当≠时，有，则函数的零点个数是（）．．．．考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：将函数，转化为（）﹣，然后利用函数和导数之间的关系研究函数（）（）的单调性和取值范围，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由，得（）﹣，设（）（），则'（）（）'（），∵≠时，有，∴≠时，，即当＞时，'（）（）'（）＞，此时函数（）单调递增，此时（）＞（），当＜时，'（）（）'（）＜，此时函数（）单调递减，此时（）＜（），作出函数（）和函数﹣的图象，（直线只代表单调性和取值范围），由图象可知函数的零点个数为个．故选：．点评：本题主要考查方程根的个数的应用，利用方程和函数之间的关系，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在答题纸上）．（分）（•沈阳一模）某一容器的三视图如图所示，则该几何体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图判断几何体为正方体挖去一个圆锥，且圆锥与圆柱底面相同，将三视图的数据代入圆柱与圆锥的体积公式，可求得体积．解答：解：由三视图知几何体为正方体挖去一个圆锥，且圆锥与圆柱底面相同，由三视图的数据可得，底面圆的半径为，高为，∴圆柱π××π；×π××，圆锥∴几何体的体积π﹣，故答案是．点评：本题考查了由三视图求体积，解答的关键是判断几何体的形状及正确运用三视图的数据．．（分）（•沈阳一模）已知△的三个内角∠，∠，∠所对的边分别为，，，且，则角的大小为．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简题中的等式得﹣（），再利用三角函数的诱导公式算出（）＞，从而得出﹣，结合∈（，π）可得的大小．解答：解：∵，∴根据正弦定理，得，即﹣，整理得﹣（），∵在△中，（）（π﹣）＞，∴﹣，约去得﹣．又∵∈（，π），∴．故答案为：点评：本题给出三角形满足的边角关系式，求角的大小．着重考查了两角和的正弦公式、特殊角的三角函数值与正余弦定理等知识，属于中档题．．（分）（•沈阳一模）定义运算：，例如：∇，（﹣）∇，则函数（）∇（﹣）的最大值为．考点：二次函数的性质．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：根据新定义，求出（）的表达式，然后利用数形结合求出函数（）的最大值即可．解答：解：由﹣，得，解得或，由﹣≥，得≤≤，由﹣＜，得＜或＞，∴由（﹣）≥时，解得≤≤，由（﹣）＜解得＜或＞，即当≤≤时，（），当＜或＞时，（）﹣．作出对应的函数图象∴图象可知当时，函数（）取得最大值（）．故答案为：．点评：本题主要考查函数的图象和性质，根据新定义求出函数的表达式是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的突破点．．（分）（•沈阳一模）已知（）为定义在上的偶函数，当≥时，有（）﹣（），且当∈[，）时，（）（），给出下列命题：①（）（﹣）的值为；②函数（）在定义域上为周期是的周期函数；③直线与函数（）的图象有个交点；④函数（）的值域为（﹣，）．其中正确的命题序号有①③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中函数的奇偶性，及当≥时，有（）﹣（），且当∈[，）时，（）（），画出函数的图象，逐一分析四个结论的真假，可得答案．解答：解：∵（）为定义在上的偶函数，且当≥时，有（）﹣（），且当∈[，）时，（）（），故函数（）的图象如下图所示：由图可得：（）（﹣），故①正确；函数（）在定义域上不是周期函数，故②错误； 直线与函数（）的图象有个交点，故③正确； 函数（）的值域为（﹣，），故④正确； 故正确的命题序号有：①③④ 故答案为：①③④点评： 本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的图象和性质，其中根据已知画出满足条件的函数图象是解答的关键．三、解答题（本大题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ．（分）（•沈阳一模）已知函数，记函数（）的最小正周期为β，向量，（），且．（Ⅰ）求（）在区间上的最值；（Ⅱ）求的值．考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算；三角函数的化简求值． 专题： 计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 分析：（）根据辅助角公式化简，可得（）．再由∈，利用正弦函数的图象与性质加以计算，可得（）的最小值与最大值；（）根据三角函数周期公式得βπ，利用向量的数量积公式与正弦的诱导公式算出，解得α，从而得出α．再利用三角函数的诱导公式化简，可得原式α．解答：解：（Ⅰ）根据题意，可得 ．∵∈，可得，∴∈[，]，当时，（）的最小值是；当时，（）的最大值是． （Ⅱ）∵（）的周期π，∴βπ，由此可得，解之得．∴α，∵，可得α，∴α．点评：本题将一个三角函数式化简，求函数在闭区间上的最值，并且在已知向量数量积的情况下，求三角函数分式的值．着重考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质、同角三角函数的基本关系与诱导公式等知识，属于中档题． ．（分）（•沈阳一模）某学校的三个学生社团的人数分布如下表（每名学生只能参加一个社团）： 围棋社 舞蹈社 拳击社 男生 女生学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取人，结果拳击社被抽出了人．（Ⅰ）求拳击社团被抽出的人中有人是男生的概率；（Ⅱ）设拳击社团有名女生被抽出，求的分布列及数学期望（）．考点： 离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差． 专题： 概率与统计．分析： （Ⅰ）先根据分层抽样的特点求出的值，然后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可；（Ⅱ）由题意可知：，，，然后根据古典概型及其概率计算公式分别求出相应的概率，写出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．解答： 解：（Ⅰ）由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取人，拳击社被抽出了人，∴，∴，设“拳击社团被抽出的人中有人是男生”， ∴；（Ⅱ）由题意可知：，，， （），（）（），∴．点评： 本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，以及离散型随机变量及其分布列和期望，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．．（分）（•沈阳一模）四棱锥﹣，底面为平行四边形，侧面⊥底面．已知∠°，，，为线段的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求面与面所成二面角大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）连结交于点，连结，由已知条件推导出∥，由此能够证明∥平面．（Ⅱ）以的中点为坐标原点，分别以，，为，，轴空间直角坐标系，利用向量法能求出面与面所成二面角大小．解答：解：（Ⅰ）连结交于点，连结，∵底面为平行四边形，∴为的中点．（分）在△中，∵为的中点，∴∥，（分）又∵⊂面，⊄面，∴∥平面．（分）（Ⅱ）以的中点为坐标原点，分别以，，为，，轴，建立如图所示的坐标系．∵∠°，，，为线段的中点，∴，，，，∴，，，，（分）设平面的一个法向量为由，得，令得：，﹣，∴．（分）同理设平面的一个法向量为由，得，令得：﹣，，∴．（分）设面与面所成二面角为θ∴，∴．（分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．．（分）（•沈阳一模）已知函数（），．（Ⅰ）若（）与（）在处相切，试求（）的表达式；（Ⅱ）若在[，∞）上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：．考点：不等式的证明；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求导数，利用（）与（）在处相切，可求（）的表达式；（Ⅱ）在[，∞）上是减函数，可得导函数小于等于在[，∞）上恒成立，分离参数，利用基本不等式，可求实数的取值范围；（Ⅲ）当≥时，证明，当＞时，证明，利用叠加法，即可得到结论．解答：（Ⅰ）解：∵（），∴，∴，得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（分）又∵，∴﹣，∴（）﹣；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（分）（Ⅱ）解：∵在[，∞）上是减函数，∴在[，∞）上恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（分）即﹣（2m﹣）≥在[，∞）上恒成立，由，∈[，∞），∵，∴2m﹣≤得≤；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（分）（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可得：当≥时，，∴得：，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（分）∴当时，；当时，；当时，，…，当时，，∈，≥上述不等式相加得：即：①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（分）由（Ⅱ）可得：当时，ϕ（）在[，∞）上是减函数，∴当＞时，ϕ（）＜ϕ（），即＜，所以，从而得到．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（分）当时，；当时，；当时，，…，当时，，∈，≥上述不等式相加得：即②综上：（∈，≥）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（分）点评：本题考查不等式的证明，考查导数知识的运用，考查基本不等式的运用，考查叠加法，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．．（分）（•沈阳一模）已知两点（﹣，），（，），直线、相交于点，且这两条直线的斜率之积为．（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）记点的轨迹为曲线，曲线上在第一象限的点的横坐标为，直线、与圆（﹣）（）相切于点、，又、与曲线的另一交点分别为、．求△的面积的最大值（其中点为坐标原点）．考点：直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设点（，），由题意可得，利用斜率计算公式即可得出．化简即可．（）把代入曲线的方程，可得点（）．由于圆（﹣）的圆心为（，），利用对称性可知直线与直线的斜率互为相反数．设直线的方程为，与椭圆的方程联立可得（）（﹣）（﹣﹣），由于是方程的一个解，可得方程的另一解为．同理．可得直线的斜率为．把直线的方程代入椭圆方程，消去整理得﹣．利用弦长公式可得．再利用点到直线的距离公式可得：原点到直线的距离为．利用和基本不等式即可得出．解答：解：（Ⅰ）设点（，），，∴．整理得点所在的曲线的方程：（≠±）．（Ⅱ）把代入曲线的方程，可得，∵＞，解得，∴点（）．∵圆（﹣）的圆心为（，），∴直线与直线的斜率互为相反数．设直线的方程为，联立，化为（）（﹣）（﹣﹣），由于是方程的一个解，∴方程的另一解为．同理．故直线的斜率为．把直线的方程代入椭圆方程，消去整理得﹣．∴．原点到直线的距离为．∴．当且仅当时取等号．∴△的面积的最大值为．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、斜率计算公式、圆的标准方程及其切线性质、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．请考生在第、、题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.选修：几何证明选讲（共小题，满分分）．（分）（•沈阳一模）如图，已知圆与圆外切于点，直线是两圆的外公切线，分别与两圆相切于、两点，是圆的直径，过作圆的切线，切点为．（Ⅰ）求证：，，三点共线；（Ⅱ）求证：．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（）连接，，，由于是圆的直径，可得∠°．作⊙与⊙的内公切线交与点．利用切线的性质可得：∠∠，∠∠，再利用三角形的内角和定理可得∠∠∠°，进而证明上的共线．（）由切线的性质可得∠°，利用射影定理可得•．再利用切割线定理可得•，即可证明．解答：解：（Ⅰ）连接，，，∵是圆的直径，∴∠°，作⊙与⊙的内公切线交与点．又∵是两圆的外公切线，，为切点，∴∠∠，∠∠，∵∠∠∠°，∴∠∠∠°，∴∠°．∴，，三点共线．（Ⅱ）∵切圆于点，∴•．在△中，∠°，又∵⊥，∴•．故．点评：本题综合考查了外切两圆的公切线的性质、射影定理和切割线定理，考查了推理能力和夹角问题的能力，属于中档题．选修：极坐标与参数方程．（•沈阳一模）已知曲线的极坐标方程为ρθ，曲线的极坐标方程为，曲线、相交于、两点．（∈）（Ⅰ）求、两点的极坐标；（Ⅱ）曲线与直线（为参数）分别相交于，两点，求线段的长度．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（）由得：，即可得到ρ．进而得到点，的极坐标．（）由曲线的极坐标方程ρθ化为ρ（θ﹣θ），即可得到普通方程为﹣．将直线代入﹣，整理得．进而得到．解答：解：（Ⅰ）由得：，∴ρ，即ρ±．∴、两点的极坐标为：或．（Ⅱ）由曲线的极坐标方程ρθ化为ρ（θ﹣θ），得到普通方程为﹣．将直线代入﹣，整理得．∴．点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式、此时方程化为普通方程、弦长公式等基础知识与基本技能方法．选修：不等式选讲．（•沈阳一模）已知函数（）﹣．（Ⅰ）若∃∈，使得不等式（）＜成立，求的取值范围；（Ⅱ）求使得等式（）≤﹣成立的的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）根据（）﹣≥，从而求得得不等式（）＜成立的的取值范围．（Ⅱ）由（）﹣≥﹣，可得不等式即﹣﹣，此时（）（﹣）≥，由此求得的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵（）﹣≥（）﹣（﹣），∴使得不等式（）＜成立的的取值范围是（，∞）．（Ⅱ）由（）﹣≥﹣﹣，∴不等式（）≤﹣即﹣﹣，当且仅当（）（﹣）≥时取等号，即当≤﹣，或≥时，﹣﹣，∴的取值范围是．点评：本题主要考查绝对值不等式的性质，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：孙佑中；；；；清风慕竹；俞文刚；；翔宇老师；；刘长柏；；（排名不分先后）菁优网年月日。
辽宁省高考数学一模试卷(文科)
高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|-1≤log2x≤0}，B={x|2-3x≤0}，则∁U（A∩B）=（）A. （-∞，）∪（1，+∞）B. （-∞，]∪[1，+∞）C. （-∞，）D. （1，+∞）2.已知0＜α＜π，则“α=”是“sinα=”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数f（x）=+ln（2x+1）的定义域为（）A. [-]B. [）C. （]D. （）4.等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n与T n，对一切自然数n，都有=，则等于（）A. B. C. D.5.函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象在[0，]内有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范围是（）A. （1，5）B. （1，+∞）C. [1，5）D. [1，+∞）6.已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），在其定义域上单调，则ab的值不可能的是（）A. -1B. 1C. -2D. 27.△ABC中A为其内角，设，，且，则sin A+cos A=（）A. B. C. D. 28.若α，β均为锐角且cos，cos（α+β）=-，则sin（）=（）A. B. C. D.9.已知平面向量，，满足||=||=||=1，若•=，则（2+）（-）的最小值为（）A. -2B. -C. -1D. 010.定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+1）＝﹣f（x），且f（x）在[﹣3，﹣2]为减函数，则在锐角△ABC中有（）A. f（sin A）＞f（cos B）B. f（sin A）＜f（cos B）C. f（sin A）＞f（sin B）D. f（cos A）＜f（cos B）11.△ABC中，AB=5，AC=4，（0＜λ＜1），且，则的最小值等于（）A. B. C. D. -2112.已知f（x）＝x|ln x|，若关于x的方程[f（x）]2﹣（2m﹣1）f（x）+m2﹣m＝0恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A. B. （e﹣1，e） C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若复数，则|z|=______．14.已知实数x，y满足，则z=x2+y2的最小值为______．15.如下分组的正整数对：第1组为{（1，2），（2，1）}，第2组为{（1，3），（3，1）}，第3组为{（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}，第4组为{（1，5），（2，4），（4，2），（5，1）}，…，则第40组第21个数对为______．16.已知实数若x，y满足x＞y＞0且x+y=2，则的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.m∈R，求f（x）=的最大值．18.已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且△ABC 的面积为，求a，b的值．19.已知等差数列{a n}的公差不为零，a1＝2且a2，a4，a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n）的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n＝•，b n的前n项和为T n，求T n．20.已知函数f（x）=ae x-b ln x在点（1，f（1））处的切线方程为y=（e-1）x+1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求证：f（x）＞2．21.已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）若不等式f（x）≤kx对任意x＞0恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）求证：．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（Ⅰ）直线l的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（其中ρ≥0，0≤θ≤2π）．23.已知f（x）=|ax-1|（a∈R），g（x）=1-|x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤1；（2）若关于x的不等式f（x）≥g（x）的解集为R，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：全集U=R，集合A={x|-1≤log2x≤0}={x|≤x≤1}，B={x|2-3x≤0}={x|x≥}，则A∩B={x|≤x≤1}，∴∁U（A∩B）={x|x＜或x＞1}=（-∞，）∪（1，+∞）．故选：A．化简集合A、B，根据交集和补集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查充分条件、必要条件、充要条件、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．0＜α＜π，则“α=”⇒“sinα=”，“sinα=”“α=或α=”．【解答】解：∵0＜α＜π，则“α=”⇒“sinα=”，“sinα=”“α=或α=”，∴0＜α＜π，则“α=”是“sinα=”的充分不必要条件．故选：A．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．【解答】解：由，得-＜x＜2．∴函数f（x）=+ln（2x+1）的定义域为（）．故选：D．4.【答案】D【解析】解：∵{a n}和{b n}均为等差数列，且前n项和分别为S n与T n，=，∴==．故选：D．利用等差数列的性质把转化为求解．本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和，是基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查正弦函数的对称性，判断当x=0时，可得sin（）=，不是对称轴，即可知道≤ω+，是解题关键，属于中档题．根据正弦函数的对称轴性质，可得≤ω+，即可求解实数ω的取值范围．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象在[0，]内有且仅有一条对称轴，当x=0时，可得sin（）=，不是对称轴．根据正弦函数的对称轴性质，可得≤ω+，解得：1≤ω＜5．故选C．6.【答案】D【解析】解：由于函数f（x）在R上单调，当x＞1时，函数f（x）=-log2（x+1）单调递减，则当x≤1时，函数f（x）=a x-1-b单调递减，所以0＜a＜1，且a1-1-b≥-log2（1+1），即1-b≥-1，解得b≤2．当0＜b≤2时，0＜ab＜2；当b≤0时，则ab≤0．因此，ab≠2，故选：D．利用分段函数得到函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，从而得函数f（x）在（-∞，1]上单调递减以及在R上单调递减，得到a1-1-b≥-log2（1+1），以及实数a的取值范围，进而得到ab的取值范围，从而选出错误答案．本题考察分段函数的单调性，把握分段函数的每支都单调以及断点出函数值的大小是本题的关键，属于中等题．7.【答案】B【解析】解：∵△ABC中A为其内角，，，且，∴=，∴sin A cosA=，∴（sin A+cos A）2=1+2sin A cosA=1+1=2，∴sin A+cos A=．故选：B．由，得到sin A cosA=，从而（sin A+cos A）2=1+2sin A cosA=2，再由A是三角形内角，能求出sin A+cos A．本题考查三角函数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.【答案】B【解析】解：∵α，β均为锐角，且cos，cos（α+β）=-，∴sinα==，sin（α+β）==∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=+=，可得：sinβ==，∴sin（）=-cos2β=sin2β-cos2β=-=．故选：B．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，sin（α+β）的值，进而由cosβ=cos[（α+β）-α]，利用两角差的余弦函数公式可求cosβ的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinβ的值，根据诱导公式，二倍角公式即可得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：∵平面向量，，满足||=||=||=1，•=，∴cos＜＞===，∴＜＞=60°，∴设==（1，0），==（），=（x，y），则x2+y2=1，∴（2+）（-）=（2+x，y）（，-y）=（2+x）（）+（-y）y=y-=-=sin（θ+150°），∴（2+）（-）的最小值为-．故选：B．推导出＜＞=60°，设==（1，0），==（），=（x，y），则x2+y2=1，则（2+）（-）=（2+x，y）（，-y）=y-=-=sin（θ+150°），由此能求出（2+）（-）的最小值．本题考查向量的数量积的最小值的求法，考查考查向量向量的数量积、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．10.【答案】A【解析】分析：根据条件判断函数的周期性是2，利用函数周期性和单调性的关系进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的大小比较，根据条件判断函数的周期性，以及将利用函数周期性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．解：∵f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，∵f（x）在[-3，-2]为减函数，∴f（x）在[-1，0]为减函数，∵f（x）是偶函数，∴f（x）在[0，1]上为增函数，在锐角△ABC中，有A+B=π-C，即A-B＞0，在（0，）上，sin A＞sin（-B）=cos B，则f（sin A）＞f（cos B），故选：A．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，属于中档题．可得△ABC是以C为直角的直角三角形，以D为原点建立平面直角坐标系，设A（x，4），则B（x-3，0），则=x（x-3），即可得最小值.【解答】解：（0＜λ＜1），则,∴点D在边BC上，∵，∴||•||cos∠DAC=16，∴||cos∠DAC=4=AC，∴BC⊥AC，△ABC时以C为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设A（x，4），则B（x-3，0），则=x（x-3），（0＜x＜3），当x=时，则最小，最小值为-．故选：C．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，利用换元法转化为一元二次方程，是解决本题的关键．求函数的导数，判断函数的取值情况，设t=f（x），利用换元法，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．【解答】解：令t=f（x），则方程t2-（2m-1）t+m2-m=0有两个根t1=m或t2=m-1，x≥1时，f（x）=x lnx，f′（x）=1+ln x，当x≥1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜1时，f（x）=-x lnx，f′（x）=-1-ln x，f′（x）=0，可得x=，可得f（x）在（0，1）取得极大值，f（x）在（0，）递增，在（，1）上单调递减，在（1，+∞）单调递增；作出函数f（x）的草图如图：关于x的方程[f（x）]2-（2m-1）f（x）+m2-m=0恰好有4个不相等的实数根，转化为t1=f（x）有一个，t2=f（x）有3个，则m＞且0＜m-1＜，可得1＜m＜1+．故选：D．13.【答案】1【解析】解：由，的z=，∴|z|=1．故答案为：1．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．14.【答案】【解析】【分析】本题考查了简单线性规划问题；利用了数形结合的思想；关键是明确目标函数的几何意义．首先画出可行域，利用z的几何意义表示的是区域内的点与原点距离的平方，从而求得最小值．【分析】解：由已知得到可行域如图：由目标函数z=x2+y2的几何意义表示区域上的点到原点距离的平方，由图可知原点到直线x-y+1=0距离最小，最小为：=，则z=x2+y2的最小值为．故答案为：．15.【答案】（22，20）【解析】解：由题意可得第一组的各个数和为3，第二组各个数和为4，第三组各个数和为5，第四组各个数和为6，…，第n组各个数和为n+2，且各个数对无重复数字，可得第40组各个数和为42，则第40组第21个数对为（22，20）．故答案为：（22，20）．由题意可得第n组各个数和为n+2，且各个数对无重复数字，按照顺序排列，即可得到所求数对．本题考查归纳推理的应用，注意总结各组数对的特点，考查简单的归纳推等基础知识，考查判断能力、推理能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，是基础题．16.【答案】【解析】【分析】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是对的变形，属于基础题．根据题意，分析可得=[（x+3y）+（x-y）]（）=（5++），结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，实数满足x＞y＞0且x+y=2，则=×（）=[（x+3y）+（x-y）]（）=（5++）≥×（5+4）=，当且仅当（x+3y）=2（x-y）即x=，y=时等号成立，则的最小值是；故答案为：．17.【答案】解：由f（x）==+m sin x=-sin2x+m sin x+1=-（sin x-）2+∵sin x∈[-1，1]∴①当，即m≤-2时，则sin x=-1时，f（x）取得最大值为-m；②当，即-2＜m＜2时，则sin x=时，f（x）取得最大值为；③当，即m≥2时，则sin x=1时，f（x）取得最大值为m；故得f（x）=的最大值为：f（x）max=．【解析】利用三角函数的公式化简转化为二次函数讨论最大值即可；本题考查了三角函数的有界限的最值讨论和二次函数的结合问题．属于中档题18.【答案】解：（Ⅰ）∵=，∴f（x）的最小正周期T=π；由，得，k∈Z．∴函数f（x）的增区间为；（Ⅱ）由，得，∴，∵0＜C＜π，∴，则，即，由，得ab=2，①由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C，∴=a2+b2-ab，②由①②解得或．【解析】（Ⅰ）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，则函数周期可求，再由复合函数的单调性求函数的单调增区间；（Ⅱ）由求得角C，结合已知三角形面积，由正弦定理及余弦定理列方程组求解a，b的值．本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查y=A sin（ωx+φ）的图象和性质，考查三角形的解法，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d不为零，a1=2且a2，a4，a8成等比数列，可得a42=a2a8，即（2+3d）2=（2+d）（2+7d），解得d=2（0舍去），则a n=2+2（n-1）=2n；（Ⅱ）b n=•=n•4n，T n=1•4+2•42+3•43+…+n•4n，4T n=1•4+2•42+3•43+…+n•4n+1，相减可得-3T n=4+42+43+…+4n-n•4n+1=-n•4n+1，化简可得T n=．【解析】（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d不为零，由等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得d，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）求得b n=•=n•4n，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=ae x-b ln x的导数为f′（x）=ae x-，函数f（x）=ae x-b ln x在点（1，f（1））处的切线斜率为k=ae-b，由切线方程y=（e-1）x+1，可得ae-b=e-1，e=ae，解得a=1，b=1；（Ⅱ）证明：f（x）=e x-ln x，导数为f′（x）=e x-，x＞0，由y=e x和y=的图象可得它们只有一个交点，设横坐标为m，即e m=，且x＞m时，f′（x）＞0，f（x）递增；0＜x＜m时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得x=m处f（x）取得最小值f（m）=e m-ln m=+m＞2，可得f（x）＞2成立．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得a，b的值；（Ⅱ）求得f（x）的导数，设出极值点m，求得最小值，运用基本不等式即可得证．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）定义域为（0，+∞），.，令，得x=e．由上图表知：（）的单调递增区间为（，），单调递减区间为（，）．f（x）的极大值为，无极小值．（Ⅱ）∵，∴，令，又，令h'（x）=0解得，当x在（0，+∞）内变化时，h'（x），h（x）变化如下表：由表知，当时函数h（x）有最大值，且最大值为，所以．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，∴，∴，又=，∴，即．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，可得极值；（Ⅱ）运用参数分离和构造函数法，运用导数求得单调性和最值，可得k的范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，可得，再由放缩法和裂项相消求和即可得证．本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查不等式的证明，注意运用放缩法和裂项相消求和，以及不等式的性质，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程（t为参数），∴消去参数t，得直线l的普通方程为=0，∴直线l的极坐标方程为=0．（Ⅱ）∵曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0，联立，得x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3，∴直线l与曲线C交点的直角坐标为（1，-），（3，），∴直线l与曲线C交点的极坐标为（2，），（2，）．【解析】（Ⅰ）消去参数t，求出直线l的普通方程，由此能求出直线l的极坐标方程．（Ⅱ）求出曲线C的直角坐标方程，从而求出直线l与曲线C交点的直角坐标，由此能求出直线l与曲线C交点的极坐标．本题考查直线的极坐标方程的求法，考查直线与曲线交点的极坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用．23.【答案】解：（1）a=2时，f（x）=|2x-1|，不等式f（x）≤1，即|2x-1|≤1，化为：-1≤2x-1≤1，解得：0≤x≤1．∴不等式的解集为：{x|0≤x≤1}．（2）不等式f（x）≥g（x）即|ax-1|≥1-|x|，y=|ax-1|经过定点（0，1）．对a分类讨论：a=0时，化为：|x|≥0，满足题意．a≠0时，关于x的不等式|ax-1|≥1-|x|的解集为R，则≥1，或≤-1．解得-1≤a≤1，且a≠0．综上可得a的取值范围是[-1，1]．【解析】本题考查了绝对值不等式的解法、数形结合方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（1）a=2时，f（x）=|2x-1|，不等式f（x）≤1，即|2x-1|≤1，化为：-1≤2x-1≤1，解得不等式的解集．（2）不等式f（x）≥g（x）即|ax-1|≥1-|x|，y=|ax-1|经过定点（0，1）．对a分类讨论：a=0时，a≠0时，数形结合方法即可得出．。
辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(文科)
高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x-a≤0}，B={1，2，3}，若A∩B≠∅，则a的取值范围为（）A. （-∞，1]B. [1，+∞）C. （-∞，3]D. [3，+∞）2.设a为i-1的虚部，b为（1+i）2的实部，则a+b=（）A. -1B. -2C. -3D. 03.执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x）=2x；②f（x）=-2x；③f（x）=x+x-1；④f（x）=x-x-1．则输出函数的序号个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 14.函数的图象大致是（）A. B.C. D.5.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A. B. C. D.6.若sin（）=，则cos（）=（）A. B. C. D.7.已知双曲线的一条渐近线与圆（x-4）2+y2=4相切，则该双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.8.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，中等级中的五等人与六等人所得黄金数（）A. B. C. D.9.已知向量，向量，函数，则下列说法正确的是（）A. f（x）是奇函数B. f（x）的一条对称轴为直线C. f（x）的最小正周期为2πD. f（x）在上为减函数10.将正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD与BC所成角为（）A. B. C. D.11.若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（）A. B. C. 8 D. 4812.设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=（）x-1，若关于x的方程f（x）-1og a（x+2）=0（a＞1）在区间（-2，6]内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是（）A. （，）B. （，2）C. （，2]D. （，2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y最小值为______．14.如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（a，b），=（sin A，cos B），且∥，若点D是△ABC外接圆O的劣弧上的点，AB=3，BC=2，AD=1，则四边形ABCD的面积为______．15.若直线y=2x-1是曲线y=ax+ln x的切线，则实数a的值为______．16.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为（x0，y0），若l1⊥l2，则下列结论序号正确的有______．①+＜1②+＞1③+＜1 ④4x02+3y02＞1三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且1，a n，S n成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足a n•b n=1+2na n，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．（1）证明：BD⊥PC；（2）若AD=4，BC=2，设AC∩BD=O，且∠PDO=60°，求四棱锥P-ABCD的体积．19.某省的一个气象站观测点在连续4天里记录的AQI指数M与当天的空气水平可见度y（单位：cm）的情况如表1：（1）设，若x与y之间是线性关系，试根据表1的数据求出y关于x的线性回归方程；（2）小李在该市开了一家洗车店，洗车店每天的平均收入与AQI指数存在相关关系如表3：根据表估计小李的洗车店年月份每天的平均收入．附参考公式：=x+，其中=，=-．20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，直线被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（4，0）的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ=|MA|•|MB|，求λ的取值范围．21.已知：函数（其中常数a＜0）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域及单调区间；（Ⅱ）若存在实数x∈（a，0]，使得不等式成立，求a的取值范围．22.已知平面直角坐标系xOy中，过点P（-1，-2）的直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ•sinθ•tanθ=2a（a＞0），直线l与曲线C相交于不同的两点M、N．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|PM|=|MN|，求实数a的值．23.已知函数f（x）=|x+m|-|2x-2m|（m＞0）．（1）当时，求不等式的解集；（2）对于任意的实数x，存在实数t，使得不等式f（x）+|t-3|＜|t+4|成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|x-a≤0}={x|x≤a}，B={1，2，3}，A∩B≠∅，∴a≥1，∴a的取值范围为[1，+∞）．故选：B．求出集合A={x|x≤a}，B={1，2，3}，由A∩B=∅，能求出a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：i-1==-i，则a=-1．（1+i）2=1-1+2i=2i．∴b=0，则a+b=-1+0=-1．故选：A．利用复数的运算法则、有关概念即可得出．本题考查了复数的运算法则、有关概念，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：①f（x）=2x＞0恒成立，不存在零点，②f（x）=-2x＜0恒成立，不存在零点，③f（x）=x+x-1=x+=不存在零点，④f（x）=x-x-1=x-=，当x=1或x=-1时，满足f（x）=0，即存在零点，故只有④满足条件．故选：D．根据条件分别判断四个函数是否存在零点即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件判断函数是否存在零点是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的图象的识别，掌握函数的定义域，属于基础题．先求出函数的定义域，结合函数在不同范围的正负值，即可判断．【解答】解：由1-x2≠0，解得x≠±1，排除C，∵函数，当时，，排除D，当时，，排除A，故选：B．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查古典概型概率的求法，属于基础题，先写出所有的可能事件，再找出满足要求的事件即可．【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数为（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4），共6个.两卡片和为奇数的有（1,2），（1,4），（2,3），（3,4），∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．故选：C．6.【答案】C【解析】解：∵sin（）==cos（+x），则cos（）=2-1=2×-1=-，故选：C．利用诱导公式求得cos（+x）的值，再利用二倍角公式求得cos（）的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属基础题.求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，列出方程，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线y=与圆（x-4）2+y2=4相切，可得：=2，可得：2b=c，即4b2=c2，所以4c2-4a2=c2，解得e==．故选：B．8.【答案】C【解析】解：设十等人，将每等人按顺序排成一排，构成等差数列a1，a2…a9，a10，由已知有a1+a2+a3=4，a8+a9+a10=3，由等差数列的性质有a5+a6=a1+a10=a2+a9=a3+a8=，故选：C．由等差数列的性质及简单的合情推理得：将每等人按顺序排成一排，构成等差数列a1，a2…a9，a10，由已知有a1+a2+a3=4，a8+a9+a10=3，则a5+a6=a1+a10=a2+a9=a3+a8=，得解．本题考查了等差数列的性质及简单的合情推理，属中档题．9.【答案】D【解析】解：向量，向量，函数=sin4+cos4=（sin2+cos2）2-2sin2cos2=1-（2sin cos）2=1-sin2x=1-•（1-cos2x）=（3+cos2x），由f（-x）=（3+cos（-2x））=（3+cos2x）=f（x），可得f（x）为偶函数，则A错；由2x=kπ，可得x=kπ（k∈Z），则B错；f（x）的最小正周期为T==π，则C错；由x∈（，）可得2x∈（，π），则f（x）在上为减函数，D正确．故选：D．运用向量数量积的坐标表示，以及二倍角的正弦公式、余弦公式，化简函数f（x），再由奇偶性和对称轴、周期性和单调性，计算可得所求结论．本题考查向量数量积的坐标表示和二倍角的正弦公式、余弦公式的运用，考查余弦函数的图象和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：设O是正方形对角线AC、BD的交点，将正方形ABCD沿对角线AC折起，可得当BO⊥平面ADC时，点B到平面ACD的距离等于BO，而当BO与平面ADC不垂直时，点B到平面ACD的距离为d，且d＜BO由此可得当三棱锥B-ACD体积最大时，BO⊥平面ADC．设B'是B折叠前的位置，连接B′B，∵AD∥B′C，∴∠BCB′就是直线AD与BC所成角设正方形ABCD的边长为a∵BO⊥平面ADC，OB'⊂平面ACD∴BO⊥OB'，∵BO'=BO=AC=a，∴BB′=BC=B′C=a，得△BB′C是等边三角形，∠BCB′=60°所以直线AD与BC所成角为60°故选：C．将正方形ABCD沿对角线AC折起，可得当三棱锥B-ACD体积最大时，BO⊥平面ADC．设B′是B折叠前的位置，连接B′B，可得∠BCB′就是直线AD与BC所成角，算出△BB′C的各边长，得△BB′C是等边三角形，从而得出直线AD与BC所成角的大小．本题将正方形折叠，求所得锥体体积最大时异面直线所成的角，着重考查了线面垂直的性质和异面直线所成角求法等知识，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：由||=|3|=2，得9+6•+=4，∴9×4+6•+=4，∴•=--；显然||＞0，否则|3+|=2不成立；则在方向上的投影为：=--≤-×2=-，当且仅当||=4时取等号；所以在方向上投影的最大值为-．故选：A．由题意用||、||表示出•，计算在方向上的投影，利用基本不等式求出它的最大值．本题考查了平面向量的数量积与投影的计算问题，是中档题．12.【答案】B【解析】解：∵对于任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（）x-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=log a（x+2）在区间（-2，6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f（-2）=f（2）=3，则有log a（2+2）＜3，且log a（6+2）＞3，解得：＜a＜2，故选：B．由已知中可以得到函数f（x）的图象关于直线x=2对称，结合函数是偶函数，及x∈[-2，0]时的解析式，可画出函数的图象，将方程f（x）-log a x+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=log a x+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．13.【答案】-2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-经过点B时，直线y=-的截距最小，此时z最小．由，解得B（-，1），代入目标函数得z=2×（-）+1=-2．即z=2x+y的最小值为-2．故答案为：-2．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14.【答案】2【解析】解：∵向量=（a，b），=（sin A，cos B），且∥，∴=，即，即tan B=，得B=60°，∵ABCD四点共圆．∴∠ADC=120°，∵AB=3，BC=2，∴由余弦定理得AC2=32+22-2×=9+4-6=7，∵AD=1，∴设CD=x，在△ACD中，AC2=AD2+CD2-2AD•CD cos120°=1+x2+x=7，即x2+x-6=0，得x=2或x=-3（舍）则四边形ABCD的面积S=S△ABC+S△ACD=AB•BC sin60°+AD•CD sin120°=+==2，故答案为：2根据向量共线结合正弦定理求出B的大小，结合余弦定理以及三角形的面积公式进行转化求解即可．本题主要考查解三角形的应用，结合向量共线的坐标公式求出B的大小，结合正弦定理余弦定理即三角形的面积公式进行求解是解决本题的关键．15.【答案】1【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的斜率，正确求导是解题的关键，考查方程思想和运算能力，属于中档题．设切点为（m，n），求得函数y=ax+ln x的导数，可得切线的斜率，由已知切线的方程可得m，n的方程组，解方程可得a的值．【解答】解：设切点为（m，n），y=ax+ln x的导数为y′=a+，可得切线的斜率为a+=2，又2m-1=n=am+ln m，解得m=a=1，故答案为：1．16.【答案】①③④【解析】解：由椭圆=1，可得：a=2，b=，c=1．∴左、右焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），设A（0，），则tan∠AF1F2=，可得：∠AF1F2=，∴∠F1AF2=．∵l1⊥l2，∴直线l1与直线l2交点M在椭圆的内部．∴①+＜1正确；②+＞1不正确；③直线=1与椭圆=1联立，可得：7y2-24y+27=0无解，因此直线=1与椭圆=1无交点．而点M在椭圆的内部，在直线的左下方，∴满足+＜1，正确．④∵+=1，0≤≤1，∴4x02+3y02=4（1-）+3=4-＞1，因此正确．综上可得：正确的序号为：①③④．故答案为：①③④．由椭圆=1，可得：左、右焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），设A（0，），可得∠F1AF2=．由l1⊥l2，可得直线l1与直线l2交点M在椭圆的内部．进而判断出①正确；②不正确；③直线=1与椭圆=1联立，可得直线=1与椭圆=1无交点．而点M在椭圆的内部，在直线的左下方，即可判断出正误．④根据+=1，0≤≤1，代入化简即可判断出正误．本题考查了椭圆与圆的标准方程位置关系及其性质、方程与不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）由已知1，a n，S n成等差数列得2a n=1+S n①当n=1时，2a1=1+S1=1+a1，∴a1=1，当n≥2时，2a n-1=1+S n-1②①─②得2a n-2a n-1=a n，∴，∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴．（2）由a n•b n=1+2na n得，∴==．【解析】（1）利用数列的递推关系式推出数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用拆项求和求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，求出通项公式以及数列求和，考查计算能力．18.【答案】（本题满分（12分）证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，所以BD⊥平面PAC．而PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC．…………（4分）解：（2）设AC和BD相交于点O，连结PO，由（1）知，BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC知，BD⊥PO．在Rt△POD中，因为∠PDO=60°，所以∠DPO=30°，得PD=2OD．、（6分）又因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均为等腰直角三角形．从而梯形ABCD的高为AD+BC=×（4+2）=3，于是梯形ABCD的面积S=×（4+2）×3=9．（9分）在等腰直角三角形AOD中，OD=AD=2，所以PD=2OD=4，PA==4．故四棱锥P-ABCD的体积为V=×S×PA=×9×4=12．…………（12分）【解析】（1）推导出PA⊥BD．AC⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC，从而BD⊥PC．（2）设AC和BD相交于点O，连结PO，推导出BD⊥平面PAC，BD⊥PO．推导出AC⊥BD，从而△AOD，△BOC均为等腰直角三角形．进而梯形ABCD的高为AD+BC=3，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）根据表中数据，计算，，00，=92+72+32+12=140；∴，，∴y关于x的线性回归方程为；（2）根据表3可知，该月30天中有3天每天亏损2000元，有6天每天亏损1000元，有12天每天收入2000元，有6天每天收入6000元，有3天每天收入8000元，估计小李洗车店2017年11月份每天的平均收入为8000×3）=2400（元）．【解析】（1）根据表中数据计算平均数与回归系数，写出线性回归方程；（2）根据表3，计算洗车店2017年11月份每天的平均收入即可．本题考查了线性回归方程与加权平均数的计算问题，是基础题．20.【答案】解：（1）原点到直线的距离为d==，所以（b＞0），解得b=1，又，得a=2，所以椭圆C的方程为；（2）当直线l的斜率为0时，直线l：y=0即x轴，λ=|MA|•|MB|=12；当直线l的斜率不为0时，设直线l：x=my+4，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，得（m2+4）y2+8my+12=0，由△=64m2-48（m2+4）＞0，得m2＞12，所以，λ=|MA|•|MB|=•|y1|••|y2|==12（1-），由m2＞12，得，所以．综上可得：，即．【解析】（1）求得原点到直线的距离，运用弦长公式可得b，再由椭圆的离心率公式可得a，进而得到所求椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率为0，求得|MA|，|MB|，可得λ；当直线l的斜率不为0时，设直线l：x=my+4，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，结合不等式的性质，即可得到所求范围．本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，考查方程思想，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x≠a}．（1分）．（3分）由f'（x）＞0，解得x＞a+1．由f'（x）＜0，解得x＜a+1且x≠a．∴f（x）的单调递增区间为（a+1，+∞），单调递减区间为（-∞，a），（a，a+1）；（6分）（Ⅱ）由题意可知，a＜0，且在（a，0]上的最小值小于等于时，存在实数x∈（a，0]，使得不等式成立．（7分）若a+1＜0即a＜-1时，∴f（x）在（a，0]上的最小值为f（a+1）=e a+1．则，得．（10分）若a+1≥0即a≥-1时，f（x）在（a，0]上单调递减，则f（x）在（a，0]上的最小值为．由得a≤-2（舍）．（12分）综上所述，．则a的取值范围是（-∞，-ln2-1]【解析】（1）分式函数使分母不为零即{x|x≠a}，先求导数fˊ（x），然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；确定出单调区间．（2）转化成在（a，0]上的最小值小于等于，利用导数求出函数在（a，0]上的最小值，注意讨论．本题考查了函数的定义域、单调性以及利用导数求解恒成立问题，是高考中的热点问题．22.【答案】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的普通方程：x-y-1=0，∵曲线C的极坐标方程为ρsinθtanθ=2a（a＞0），∴ρ2sin2θ=2aρcosθ（a＞0），∴曲线C的普通方程：y2=2ax；（2）∵y2=2ax；∴x≥0，设直线l上点M、N对应的参数分别为t1，t2，（t1＞0，t2＞0），则|PM|=t1，|PN|=t2，∵|PM|=|MN|，∴|PM|=|PN|，∴t2=2t1，将（t为参数），代入y2=2ax得t2-2（a+2）t+4（a+2）=0，∴t1+t2=2（a+2），t1t2=4（a+2），∵t2=2t1，∴a=．【解析】本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识．（1）利用同角的平方关系以及极坐标方程和直角坐标的互化公式求解；（2）结合直线的参数方程中参数的几何意义和二次方程的韦达定理，求解即可．23.【答案】解：因为m＞0，所以．……………………1分（1）当时，…………………………………………………………2分所以由，可得或或，…………………………3分解得或，………………………………………………………………………………4分故原不等式的解集为．………………………………………………………………………5分（2）因为f（x）+|t-3|＜|t+4|⇔f（x）≤|t+4|-|t-3|，令g（t）=|t+4|-|t-3|，则由题设可得f（x）max≤g（t）max． (6)分由，得f（x）max=f（m）=2m． (7)分因为||t+4|-|t-3||≤|（t+4）-（t-3）|=7，所以-7≤g（t）≤7． (8)分故g（t）max=7，从而2m＜7，即，………………………………………………………………9分又已知m＞0，故实数m的取值范围是．…………………………………………………………10分【解析】（1）代入m的值，求出f（x）的分段函数，得到关于x的不等式组，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为f（x）max≤g（t）max，分别求出f（x）和g（t）的最大值，得到关于m 的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道综合题．。
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2018年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|x＜1}，则A∩B等于（）A．（1，3） B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣3，1）2．（5分）已知i为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知平面向量，，且，则实数x的值为（）A．B．C．D．4．（5分）已知tanθ=2，则的值为（）A．B．C．D．5．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为（）A．﹣3 B．﹣3或9 C．3或﹣9 D．﹣9或﹣36．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．B．C．D．7．（5分）在等差数列{a n}中，若S n为前n项和，2a7=a8+5，则S11的值是（）A．55 B．11 C．50 D．608．（5分）甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生．已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（）A．甲是教师，乙是医生，丙是记者B．甲是医生，乙是记者，丙是教师C．甲是医生，乙是教师，丙是记者D．甲是记者，乙是医生，丙是教师9．（5分）已知函数，以下命题中假命题是（）A．函数f（x）的图象关于直线对称B．是函数f（x）的一个零点C．函数f（x）的图象可由g（x）=sin2x的图象向左平移个单位得到D．函数f（x）在上是增函数10．（5分）设函数f（x）=xe x+1，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点11．（5分）已知双曲线，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A，若，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．12．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（2﹣x），当x ∈[﹣2，0]时，，则在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log8（x+2）=0解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值为．14．（5分）已知抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以P（1，1）为中点，则弦AB 所在直线方程是．15．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a2=2，a n+1=3a n﹣2a n﹣1（n≥2），则a n=．16．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．（1）求△ABC的面积；（2）若b+c=6，求a的值．18．（12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题．中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占．美国高中生答题情况是：朋友聚集的地方占、家占、个人空间占．（Ⅰ）请根据以上调查结果将下面2×2列联表补充完整；并判断能否有95%的把握认为“恋家（在家里感到最幸福）”与国别有关；在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生美国高中生合计（Ⅱ）从被调查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率．附：，其中n=a+b+c+d．P（k2≥k0）0.0500.0250.0100.001 k0 3.841 5.024 6.63510.828 19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB=2，CD=3，M为PC上一点，且PM=2MC．（1）求证：BM∥平面PAD；（2）若AD=2，PD=3，，求三棱锥P﹣ADM的体积．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点在椭圆上，且有．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）2﹣3alnx，a∈R．（1）求函数f（x）图象经过的定点坐标；（2）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程及函数f（x）单调区间；（3）若对任意x∈[1，e]，f（x）≤4恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t 为参数），曲线C2的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4．以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α，（0＜α＜π）（1）求曲线C1、C2的极坐标方程；（2）设点A、B为射线l与曲线C1、C2除原点之外的交点，求|AB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a∈R．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+|2x+1|的解集；（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．2018年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|x＜1}，则A∩B等于（）A．（1，3） B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣3，1）【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|x＜1}，则A∩B={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），故选：C2．（5分）已知i为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴复数的共扼复数为，在复平面内对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．3．（5分）已知平面向量，，且，则实数x的值为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，向量，，则﹣=（﹣3，x﹣），又由，则（﹣）•=（﹣3）×1+（x﹣）×=0，解可得x=2，故选：B．4．（5分）已知tanθ=2，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵tanθ=2，则=1++=1++=+=，故选：C．5．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为（）A．﹣3 B．﹣3或9 C．3或﹣9 D．﹣9或﹣3【解答】解：输出才结果为零，有y=0由程序框图可知，当：y=（）x﹣8=0时，解得选x=﹣3；当y=2﹣log3x=0，解得x=9．综上，有x=﹣3，或者9．故选：B．6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．B．C．D．【解答】解：由四棱锥的三视图得到该四棱锥是P﹣ABCD，其中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥平面ABCD，如图，PB=PD==2，∴该四棱锥的侧面积是：S=S△PBC+S△PDC+S△PAB+S△PCD==4+4．故选：A．7．（5分）在等差数列{a n}中，若S n为前n项和，2a7=a8+5，则S11的值是（）A．55 B．11 C．50 D．60【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵2a7=a8+5，∴2a1+12d=a1+7d+5，∴a1+5d=5=a6，则S11==11a6=55．故选：A．8．（5分）甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生．已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（）A．甲是教师，乙是医生，丙是记者B．甲是医生，乙是记者，丙是教师C．甲是医生，乙是教师，丙是记者D．甲是记者，乙是医生，丙是教师【解答】解：由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，从而排除B和D；由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是教师，甲是医生．故选：C．9．（5分）已知函数，以下命题中假命题是（）A．函数f（x）的图象关于直线对称B．是函数f（x）的一个零点C．函数f（x）的图象可由g（x）=sin2x的图象向左平移个单位得到D．函数f（x）在上是增函数【解答】解：对于A，当x=时，函数f（x）=sin（2×+）=1为最大值，∴f（x）的图象关于直线对称，A正确；对于B，当x=﹣时，函数f（x）=sin（﹣2×+）=0，∴x=﹣是函数f（x）的一个零点，B正确；对于C，函数f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），其图象可由g（x）=sin2x的图象向左平移个单位得到，∴C错误；对于D，x∈[0，]时，2x+∈[，]，∴函数f（x）=sin（2x+）在上是增函数，D正确．故选：C．10．（5分）设函数f（x）=xe x+1，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点【解答】解：由于f（x）=xe x，可得f′（x）=（x+1）e x，令f′（x）=（x+1）e x=0可得x=﹣1，令f′（x）=（x+1）e x＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数令f′（x）=（x+1）e x＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数所以x=﹣1为f（x）的极小值点．故选：D．11．（5分）已知双曲线，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A，若，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：由直径所对的圆周角为直角，可得∠OAF=90°，在△OAF中，，可得AF=OFcos30°=c，由AF为焦点（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离，即为==b，即有b=c，e====2，故选A．12．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（2﹣x），当x ∈[﹣2，0]时，，则在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log8（x+2）=0解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于任意的x∈R，都有f（2+x）=f（2﹣x），∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）﹣2]=f（x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（6）=1，则函数y=f（x）与y=log 8（x+2）在区间（﹣2，6）上的图象如下图所示：根据图象可得y=f（x）与y=log 8（x+2）在区间（﹣2，6）上有3个不同的交点．故选：C．．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值为﹣10．【解答】解：画出约束条件：可行域如下图，由z=x﹣3y得y=x﹣；平移直线y=x﹣，由图象可知当直线经过点B时，直线y=x﹣的截距最大，此时z最小，由解得，B（﹣1，3）；故此时z=﹣1﹣3×3=﹣10；故答案为：﹣1014．（5分）已知抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以P（1，1）为中点，则弦AB 所在直线方程是2x﹣y﹣1=0．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程得y12=4x1，①，y22=4x2，②，①﹣②整理得k===2，则弦AB所在直线方程为y﹣1=2（x﹣1），即为2x﹣y﹣1=0．故答案为：2x﹣y﹣1=0．15．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a2=2，a n+1=3a n﹣2a n﹣1（n≥2），则a n=2n﹣1（n∈N*）．=3a n﹣2a n﹣1（n≥2），【解答】解：∵a n+1﹣a n=2a n﹣2a n﹣1=2（a n﹣a n﹣1）（n≥2），∴a n+1可得：a3﹣a2=2（a2﹣a1）a4﹣a3=2（a3﹣a2）…a n+1﹣a n=2（a n﹣a n﹣1）相加可得：a n﹣a2=2（a n﹣a1），可得：a n+1﹣2=2（a n﹣1），即：a n+1=2a n，+1∴数列{a n}是等比数列，n∈N*，∴．故答案为：2n﹣1（n∈N*）．16．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为6．【解答】解：设正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为a，则高h==，∴体积V=a2h=，设y=108a4﹣a6，则y′=432a3﹣3a5，由y′=432a3﹣3a5=0，解得a=0或a=12，∴当a=12时，体积最大，此时h==6，故答案为：6．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．（1）求△ABC的面积；（2）若b+c=6，求a的值．【解答】解：（1）因为，所以，．又由得bccosA=3，所以bc=5因此．（2）由（1）知，bc=5，又b+c=6，由余弦定理，得，所以18．（12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题．中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占．美国高中生答题情况是：朋友聚集的地方占、家占、个人空间占．（Ⅰ）请根据以上调查结果将下面2×2列联表补充完整；并判断能否有95%的把握认为“恋家（在家里感到最幸福）”与国别有关；在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生美国高中生合计（Ⅱ）从被调查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率．附：，其中n=a+b+c+d．P（k2≥k0）0.0500.0250.0100.001 k0 3.841 5.024 6.63510.828【解答】解：（Ⅰ）由已知得，在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生223355美国高中生93645合计3169100∴=，∴有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；（Ⅱ）用分层抽样的方法抽出4人，其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人，在“个人空间”感到幸福的有1人，分别设为a1，a2，a3，b；∵Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a1，b），（a2，a3），（a2，b），（a3，b）}，∴n=6；设“含有在“个人空间”感到幸福的学生”为事件A，A={（a1，b），（a2，b），（a3，b）}，∴m=3；则所求的概率为．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB=2，CD=3，M为PC上一点，且PM=2MC．（1）求证：BM∥平面PAD；（2）若AD=2，PD=3，，求三棱锥P﹣ADM的体积．【解答】（1）证明：法一、过M作MN∥CD交PD于点N，连接AN．∵PM=2MC，∴．又∵，且AB∥CD，∴AB∥MN，AB=MN，则四边形ABMN为平行四边形，∴BM∥AN．又∵BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，∴BM∥平面PAD．法二、过点M作MN⊥CD于点N，N为垂足，连接BN．由题意，PM=2MC，则DN=2NC，又∵DC=3，DN=2，∴AB=DN，AB∥DN，∴四边形ABND为平行四边形，则BN∥AD．∵PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC．又MN⊥DC，∴PD∥MN．又∵BN⊂平面MBN，MN⊂平面MBN，BN∩MN=N；∵AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，AD∩PD=D；∴平面MBN∥平面PAD．∵BM⊂平面MBN，∴BM∥平面PAD；（2）解：过B作AD的垂线，垂足为E．∵PD⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴PD⊥BE．又∵AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，AD∩PD=D．∴BE⊥平面PAD．由（1）知，BM∥平面PAD，∴M到平面PAD的距离等于B到平面PAD的距离，即BE．在△ABC中，AB=AD=2，，∴．∴．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点在椭圆上，且有．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．【解答】解：（1）由，得，∴．将代入，得b2=1．∴椭圆C的方程为；（2）由已知，直线l的斜率为零时，不合题意；设直线方程为x﹣1=my，点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（m2+2）y2+2my﹣1=0，由韦达定理，得，∴=====，当且仅当，即m=0时，等号成立．∴△AOB面积的最大值为．21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）2﹣3alnx，a∈R．（1）求函数f（x）图象经过的定点坐标；（2）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程及函数f（x）单调区间；（3）若对任意x∈[1，e]，f（x）≤4恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当x=1时，ln1=0，所以f（1）=4，所以函数f（x）的图象无论a为何值都经过定点（1，4）．（2）当a=1时，f（x）=（x+1）2﹣3lnx．f（1）=4，，f'（1）=1，则切线方程为y﹣4=1×（x﹣1），即y=x+3．在x∈（0，+∞）时，如果，即时，函数f（x）单调递增；如果，即时，函数f（x）单调递减．（3），x＞0．当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增．f（x）min=f（1）=4，f（x）≤4不恒成立．当a＞0时，设g（x）=2x2+2x﹣3a，x＞0．∵g（x）的对称轴为，g（0）=﹣3a＜0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，且存在唯一x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0．∴当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）在（0，x0）上单调递减；∴当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在（x0，+∞）上单调递增．∴f（x）在[1，e]上的最大值f（x）max=max{f（1），f（e）}．∴，得（e+1）2﹣3a≤4，解得．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t 为参数），曲线C2的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4．以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α，（0＜α＜π）（1）求曲线C1、C2的极坐标方程；（2）设点A、B为射线l与曲线C1、C2除原点之外的交点，求|AB|的最大值．【解答】解（1）由曲线C1的参数方程（t为参数）消去参数t得x2+（y﹣1）2=1，即x2+y2﹣2y=0，∴曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ．由曲线C2的直角坐标方程x2+（y﹣2）2=4，得x2+y2﹣4y=0，∴曲线C2的极坐标方程ρ=4sinθ．（2）联立，得A（2sinα，α），∴|OA|=2sinα，联立，得B（4sinα，α），∴|OB|=4sinα．∴|AB|=|OB|﹣|OA|=2sinα．∵0＜α＜π，∴当时，|AB|有最大值2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a∈R．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+|2x+1|的解集；（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=|x﹣1|+3x由f（x）≥|2x+1|+3x，得|x﹣1|﹣|2x+1|≥0，故|x﹣1|≥|2x+1|，解得：﹣2≤x≤0，∴不等式的解集为{x|﹣2≤x≤0}．（2）由|x﹣a|+3x≤0，可得，或．即，或．①当a＞0时，不等式的解集为．由，得a=2．②当a=0时，解集为{0}，不合题意．③当a＜0时，不等式的解集为．由，得a=﹣4．综上，a=2，或a=﹣4．。