高考数学知识点：空间点、直线、平面的位置关系
人教B版高考总复习一轮数学精品课件 第8章立体几何与空间向量 第2节空间点、直线、平面之间的位置关系
.
解析 在图①中,MG∥HN且MG=NH,则四边形MGHN是平行四边形,有
HG∥MN,不是异面直线;在图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此GH
与MN异面;在图③中,M,G分别是所在棱的中点,所以GM∥HN且GM≠HN,故
HG,NM必相交,不是异面直线;在图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此
于C,当圆上两点为一直径的两个端点时,它们与圆心三点共线不能确定平
面,故C不正确;对于D,梯形的两个底边所在直线平行,可确定一个平面,故D
正确.
6.(人教A版必修第二册习题8.4第2(2)题)若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则
下列结论成立的是( B )
A.α内的所有直线与a是异面直线
B.α内不存在与a平行的直线
BCC1B1内,直线MB1与平面BCC1B1相交于点B1,点B1不在直线BN上,所以直
线BN与直线MB1是异面直线,故C正确;对于D,因为点M与DD1都在平面
C1D1DC内,点A在平面C1D1DC外,DD1不过点M,所以AM与DD1是异面直线,
故D正确.故选CD.
考点三 正方体中的切割(截面)问题
题组三连线高考
8.(2006·上海,文15)若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这
两条直线没有公共点”的( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若“这两条直线为异面直线”,则“这两条直线没有公共点”;若“这两条
直线没有公共点”,则“这两条直线可能异面,也可能平行”.
9.(2021·全国乙,理5)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线
高中数学总复习：空间点、直线、平面之间的位置关系
练后悟通
共面、共线、共点问题的证明方法
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空间两条直线的位置关系
考向1 空间两条直线位置关系的判断
【例1】 （1）已知α，β，γ是三个平面，α∩β＝ a ，α∩γ＝ b ，β∩γ
＝ c ，且 a ∩ b ＝ O ，则下列结论正确的是（
）
A. 直线 b 与直线 c 可能是异面直线
1， F 四点共面.
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（2） CE ， D 1 F ， DA 三线共点；
证明：∵ EF ∥ CD 1， EF ＜ CD 1，
∴ CE 与 D 1 F 必相交，
设交点为 P ，如图所示.
则由 P ∈ CE ， CE ⊂平面 ABCD ，
得 P ∈平面 ABCD .
同理 P ∈平面 ADD 1 A 1.
D. 没有公共点
解析： 直线 m 与平面α平行，且直线 a ⊂α，则直线 m 和直线 a 的
位置关系可能平行，可能异面，即没有公共点，但不可能相交，故
选C.
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2. 如果直线 a ⊂平面α，直线 b ⊂平面β，且α∥β，则 a 与 b （
）
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2. 在三棱锥 A - BCD 的边 AB ， BC ， CD ， DA 上分别取 E ， F ， G ， H
四点，如果 EF ∩ HG ＝ P ，则点 P （
）
A. 一定在直线 BD 上
B. 一定在直线 AC 上
C. 在直线 AC 或 BD 上
D. 不在直线 AC 上，也不在直线 BD 上
）
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2020届江苏高考数学(理)总复习讲义：点、线、面之间的位置关系
••＞必过数材美1. 平面的基本性质(1) 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.(2) 公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.(3) 公理3:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.2. 空间中两直线的位置关系(1) 空间中两直线的位置关系共面直线.异面直线：不同在任何一个平面内(2) 异面直线所成的角①定义：设a, b是两条异面直线，经过空间任一点0,作直线a'// a, b'// b,把a' 与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角.②范围：0, n.(3) 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.(4) 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.［小题体验］1. _________________________________________________ "点P在直线m 上, m在平面a内”可表示为 ____________________________________________________ .解析：点在直线上用，直线在平面上用“？”.答案：P€ m, m? a2.平面aA 3= l，点A € a,点B € a,且C? l, C € 3,又AB A l= R,如图所示，过A,B, C三点确定的平面为Y贝U 3A = _________ .解析：由已知条件可知，C € Y AB n 1= R, AB? Y所以R€ Y又因为C, R€ ®故阳丫 =CR.答案：CR3•以下四个命题中，正确命题的个数是_____________ .①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A, B, C, D共面，点A, B, C, E共面，则A, B, C, D, E共面；③若直线a, b共面，直线a, c共面，则直线b, c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.解析：①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A, B, C三点共线，则A, B, C, D , E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图，显然b, c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面•故正确的个数为1.答案：11 •异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交.2 •直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.3•不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.［小题纠偏］1 • （2019南京名校联考）已知直线a和平面a , an 3=l, a? a, a? 且a在a, B内的射影分别为直线b和c ,则直线b和c的位置关系是 ____________ •解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.答案：相交、平行或异面2. ___________________________________________ 在下列四个命题中，正确命题的个数为•① a , b是异面直线，则存在分别过 a , b的平面a, B,使a// B；② a , b是异面直线，则存在分别过 a , b的平面a, B,使a丄B；③ a , b是异面直线，若直线 c , d分别与a , b都相交，则c, d也是异面直线；④ a , b是异面直线，则存在平面a过a且与b垂直.解析：因为a , b是异面直线，所以可以作出两个平面a, B分别过a , b,并使a// B,所以①正确；因为 a , b是异面直线,所以存在两个互相垂直的平面分别过 a , b,所以②正确；因为a , b是异面直线，若直线c , d与a , b分别都相交，则c , d相交或异面，所以③ 不正确；因为a , b是异面直线，若 a , b垂直，则存在平面a过a且与b垂直，若a , b不垂直，则不存在平面a 过a且与b垂直，④不正确.答案：23•四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有______________ 个.解析：首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定4个平面.答案：4考点一平面的基本性质及应用基础送分型考点——自主练透［题组练透］1如图所示，在正方体ABCD-A i B i C i D i中，E, F分别是AB，AA i的中点•求证:⑴E, C, D i, F四点共面；(2)CE , D i F , DA 三线共点.证明：(i)如图，连结EF , A i B, CD i.因为E, F分别是AB, AA i的中点，所以EF // A i B.又A i B / CD i,所以EF // CD i,所以E, C, D i, F四点共面.(2)因为EF // CD i, EF V CD i,所以CE与D i F必相交，设交点为P,则由P€ CE , CE?平面ABCD , 得P €平面ABCD .同理P€平面ADD i A i.又平面ABCD门平面ADD i A i= DA ,所以P€直线DA.所以CE , D i F , DA三线共点.2.如图，在四边形ABCD中，已知AB // CD,直线AB , BC , AD , DC分别与平面a相交于点E , G , H, F ,求证：E , F , G , H 四点必定共线.证明：因为AB// CD,所以AB , CD确定一个平面3 又因为AB A a= E , AB? 3,所以 E € a, E € B,即E为平面a与B的一个公共点.同理可证F, G, H均为平面a与B的公共点，因为两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线, 所以E，F，G，H四点必定共线.［谨记通法］1.证明点共线问题的常用方法公理法先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理这些点都在交线上3证明同一法选择其中两点确疋一条直线，然后证明其余点也在该直线上2. 证明线共点问题的常用方法先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点.3. 证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余兀素确定平面面a, B重合B,最后证明平考点二空间两直线的位置关系重点保分型考点一一师生共研［典例引领］如图，在正方体ABCD -A i B i C i D i中，M , N分别为棱CQ i, C i C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC i是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB i是异面直线；④直线AM与DD i是异面直线.其中正确的结论的序号为 _________ .解析：直线AM与CC i是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误.点B, B i, N 在平面BB i C i C中，点M在此平面外，所以BN , MB i是异面直线•同理AM , DD i也是异面直线.1.上面例题中正方体 ABCD-A i B i C i D i 的棱所在直线中与直线________ 条.解析：与AB 异面的有4条：CC i , DD i , A 1D 1, B i C i .答案：42.在图中，G , N , M , H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ,解析：图①中，直线 GH // MN ;图②中，G , H , N 三点共面，但 M ?平面GHN ，因 此直线GH 与MN 异面；图③中，连结MG , GM // HN ,因此GH 与MN 共面；图④中，G , M , N 共面，但 H ?平面GMN ，因此 GH 与MN 异面.所以在图②④中， GH 与MN 异面.答案：②④考点三异面直线的证明重点保分型考点一一师生共研［典例引领］如图，已知不共面的三条直线 a , b , c 相交于点P , A € a , B € a , C € b, D € c ,求证:AD 与BC 是异面直线.证明：法一：（反证法）假设AD 和BC 共面，所确定的平面为 a,那么点P , A , B , C , D 都在平面a 内，答案：③④空间两直线位置关系可构 造几 何模AB 是异面直线的有［由题悟法］方法" ［即时应用］所以直线a, b, c都在平面a内，与已知条件a, b, c不共面矛盾，假设不成立,所以AD和BC是异面直线.法二：(直接证法)因为a n c= P, 所以它们确定一个平面，设为a由已知C?平面a B €平面a, 则BC ?平面a,又AD ?平面a, B?AD ,所以AD和BC是异面直线.［由题悟法］证明直线异面通常用反证法，证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面, 从而可得两直线异面.有时也可以用直接法证明.［即时应用］如图所示，正方体ABCD-A I B I C I D I中，M ,的中点.问：(1) AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2) D i B和CC i是否是异面直线？说明理由.解：(1)AM与CN不是异面直线.理由如下：连结MN , A1C1, AC.因为M , N分别是A1B1, B1C1的中点，所以MN // A1C1.又因为A1A // C1C, A1A= C1C,所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1// AC,所以MN // AC,A B所以A, M , N , C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线.⑵D1B与CC1是异面直线•证明如下：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以B, C, C1, D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面a,使D1B ?平面a, CC1?平面a ,所以D1 , B , C , C1 € a,与ABCD-A1B1 G|D 1是正方体矛盾.所以假设不成立，即D1B与CC1是异面直线.一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1.设P 表示一个点，a , b 表示两条直线，其中正确命题的序号是.① P € a , P € a ? a ? a ； ②a n b = P , b ? 3? a ? 3； ③a // b , a ? a, P € b , P € a ? b ? ④ an 3= b , P € a, P € 3? P € b.答案：③④2. （2018高邮期中）给出以下说法： ① 不共面的四点中，任意三点不共线； ② 有三个不同公共点的两个平面重合； ③ 没有公共点的两条直线是异面直线；④ 分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；⑤ 一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面. 其中正确结论的序号是 __________ .解析：在①中，不共面的四点中，任意三点不共线是正确命题，可以用反证法证明： 若其中任意三点共线，则四点必共面，故①正确；在②中，有三个不同公共点的两个平面重合或相交，故②错误； 在③中，没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线，故③错误； 在④中，分别和两条异面直线都相交的两条直线异面或共面，故④错误；在⑤中，一条直线和两条异面直线都相交，则由两条相交线能确定一个平面得它们可 以确定两个平面，故⑤正确.答案：①⑤3. _________________________________________________________________________ 若平面a B 相交，在a, B 内各取两点，这四点都不在交线上， 这四点能确定 ___________________ 个平面.解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三 点可确定一个平面，所以可确定四个.答案：1或4 4.如图，平行六面体 ABCD -A i B i C i D i 中，既与AB 共面又与CC i '共面的棱有 _________ 条.“伤CZI 0 □ 1=1欝雇窗月空躡宓购懺尿鎚a, B 表示两个平面，给出下列四个命题,冲B解析：依题意，与AB和CC i都相交的棱有BC;与AB相交且与CC i平行有棱AA i,BB仁与AB平行且与CC i相交的棱有CD, C1D1.故符合条件的有5 条.答案：55.设a, b, c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若 a // b, b// c,贝U a// c;②若a丄b, b±c,贝U a// c;③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a?平面a, b?平面3,则a, b 一定是异面直线.上述命题中正确的命题是 _____ （写出所有正确命题的序号）.解析：由公理4知①正确；当a丄b, b丄c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a 与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a? a, b? 3并不能说明a与b "不同在任何一个平面内”，故④错.答案：①二保咼考，全练题型做到咼考达标1.已知A, B, C, D是空间四点，命题甲：A, B, C, D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的________ 条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）.解析：若A, B, C, D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交;若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A, B, C, D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件.答案：充分不必要2. （2019常州一中检测）如图，在长方体ABCD -A i B i C i D i中，点E , F分别为B i O和C i O的中点，长方体的各棱中，与EF平行的有______ 条.解析：•/ EF是厶OB i C i的中位线，••• EF // B i C i.••• B i C i / BC // AD // A i D i,二与EF 平行的棱共有4 条.答案：43. ___________________________________ 下列命题中，真命题的个数为.①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M € a, M € 3 aA 3= l，贝U M € l.解析：根据公理3,可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面（如墙角），故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题.综上，真命题的个数为 2.答案：24. 已知I, m, n为两两垂直的三条异面直线，过I作平面a与直线m垂直，则直线n与平面a的关系是__________ .解析：因为I? a,且I与n异面，所以n?a,又因为m丄a, n丄m,所以n // a. 答案：n// a5. 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E , H分别是边AB ,CF CG 2 …AD的中点，点F , G分别是边BC , CD上的点，且—=—=§,则下列说法正确的是_______ （填序号）.①EF与GH平行；②EF与GH异面;③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC 上;④EF与GH的交点M —定在直线AC 上.解析：连结EH , FG ,如图所示. 依题意，可得EH // BD, FG// BD , 故EH // FG,所以E, F , G, H共面.1 2因为EH = 2BD , FG = 3BD, 故EH 工FG ,所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上, 故点M在平面ACB上.同理，点M在平面ACD上, 所以点M是平面ACB与平面ACD 的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M —定在直线AC 上.答案：④6. 如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB,CD , EF , GH在原正方体中互为异面直线的对数为___________ 对.解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB , CD , EF和GH在原正方体中，显然AB与CD, EF与GH ,AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行.故互为异面的直线有且只有3对.答案：37. 如图是正四面体的平面展开图，G , H , M , N分别为DE ,B H E N CBE , EF , EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是___________ .解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN 成60°角，DE丄MN .答案：②③④8. （2019通州月考）如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E,F , G, H分别是棱CC1, C1D1, D1D , CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足______________ 时，有MN//平面B1BDD1.解析：•/ HN // DB , FH // D1D,•••平面FHN //平面B1BDD1.•••点M在四边形EFGH及其内部运动，故M € FH .答案：M在线段FH上9. （2018南师附中检测）如图，E, F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A, C1C的中点•求证：四边形B1EDF是平行四边形.A R证明：设Q是DD1的中点，连结E Q, Q C1,如图.因为E是AA1的中点，Q是DD1的中点，所以E Q綊A1D1.又A1D1 綊B1C1，所以E Q綊B1C1,所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E綊6Q又Q, F分别是D1D，C1C的中点，所以Q D綊C1F，所以四边形D Q C1F为平行四边形，所以C1Q綊DF.故B i E 綊DF ，所以四边形 B i EDF 是平行四边形. 10.如图所示，四边形 ABEF 和四边形 ABCD 都是直角梯形, 1 1 / BAD =Z FAB = 90 ° BC // AD , BC = Q AD , BE // FA , BE = ~FA , G , H 分别为FA , FD 的中点. (1) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2) C , D , F , E 四点是否共面？为什么？说明理由. 解：⑴证明：因为 G , H 分别为FA , FD 的中点， 1 所以 GH // AD , GH = 2AD. 1 又 BC // AD , BC = Q AD , 所以GH 綊BC ,所以四边形 BCHG 为平行四边形. 1 ⑵四点共面，理由如下：由 BE // FA , BE = Q FA , G 为FA 的中点知，BE // FG , BE =FG , 所以四边形BEFG 为平行四边形，所以 EF // BG. 由(1)知BG // CH ，所以EF // CH ，所以EF 与CH 共面. 又D € FH ，所以C , D , F , E 四点共面. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校时，EH // FG 且EH = FG .当 将□时，EH // FG ,但EH 工FG ,所以①②③正确，只有④错 误. 答案：①②③ 2. 在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中，E , F 分别为棱 AA Q , CC i 的中点，则在空间中与三 条直线A i D i , EF , CD 都相交的直线有 ___________ 条.1.如图所示，设 E , F , G , H 依次是空间四边形 ABCD 边AB , AE AH BC , CD , DA 上除端点外的点， —=A D =人CB CD 论中正确的是 (填序号). ①当 入= 卩时, 四边形 EFG H ②当 卩时, 四边形 EFG H ③当 卩时, 四边形 EFG H ④当 入= 卩时， 四边形 EFG H 由AB = AD =入得EH // BD ，且BD =入同理得FG / BD 且BD D 是平行四边形; 是梯形; 定不是平行四边形; 是梯形.解析:CF CG 卩，则下列结解析：如图，在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面a,因为CD与平面a不平行，所以它们相交，设aP CD = Q连结P Q则P Q与EF必然相交, 即P Q为所求直线.由点P的任意性，知有无数条直线与A1D1, EF , CD都相交.答案：无数3•如图所示，三棱柱ABC -A1B1C1,底面是边长为2的正三角形，侧棱A I A丄底面ABC，点E, F分别是棱CC i, BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC = 2FB = 2.(1)当点M在何位置时，BM //平面AEF?⑵若BM //平面AEF ,判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值.解：⑴法一：如图所示，取AE的中点0,连结OF，过点0作0M丄AC于点M.因为侧棱A I A丄底面ABC ,所以侧面A1ACC1X底面ABC.又因为EC = 2FB = 2,1所以0M // FB // EC 且0M = 2EC = FB ,所以四边形0MBF为矩形，BM // 0F.因为0F ?平面AEF , BM ?平面AEF ,故BM //平面AEF，此时点M为AC的中点.如图所示，取EC的中点P, AC的中点Q,连结P Q, PB, BQ155 -因为EC = 2FB = 2，所以PE綊BF ,所以P Q// AE, PB // EF ,所以P Q//平面AFE , PB //平面AEF , 因为PB P P Q= P, PB, P Q ?平面PB Q 所以平面PBQ//平面AEF .又因为B Q?平面PB Q所以B Q//平面AEF.故点Q即为所求的点M,此时点M为AC的中点.(2)由(1)知，BM与EF异面，/ 0FE (或/ MBP )就是异面直线BM与EF所成的角或其补角.易求AF = EF = 5 , MB = 0F = 3 , 0F 丄AE , 所以cos/ 0FE = 0F=^3=书，所以BM与EF所成的角的余弦值为155 -。
高考数学(理科)一轮复习：单元八 立体几何 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
正确;命题④中没有说清三个点是否共线,∴④不正确.
2
解析
关闭
答案
第八章
考点1 考点2 考点3
8.3
空间点、直线、平面之间的位置关系
关键能力
必备知识
-11-
考点 1
平面的基本性质及应用
例1
(1)如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD= 1 1 ∠FAB=90°,BC= 2AD,BE= FA ,G,H分别为FA,FD的中点. 2 ①四边形BCHG的形状是 ; ②点C,D,E,F,G中,能共面的四点是 . (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点 O,AC与BD交于点M,则点O与直线C1M的关系是 . 答案: (1)①平行四边形 ②C,D,E,F
关闭
只有B1C1与EF在同一平面内,是相交的.选项A,B,C中直线与EF都是异面 直线,故选D.
关闭
D
解析 答案
第八章
知识梳理 考点自测
8.3
空间点、直线、平面之间的位置关系
关键能力
必备知识
-8-
1
2
3
4
5
3.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,则c与b ( A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
)
关闭
由已知得,直线c与b可能为异面直线,也可能为相交直线,但不可能为平行 直线,若b∥c,则a∥b,与已知a,b为异面直线相矛盾.
关闭
C
解析 答案
第八章
知识梳理 考点自测
8.3
空间点、直线、平面之间的位置关系
关键能力
必备知识
-9-
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高三数学一轮复习精品教案2：空间点、直线、平面之间的位置关系教学设计
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系考纲传真1.理解空间直线，平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理． 2．能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行 关系图形 语言符号 语言 a ∥ba ∥αα∥β相交 关系图形 语言符号 语言 a ∩b ＝Aa ∩α＝Aα∩β＝l 独有关系 图形 语言符号 语言a ，b 是异面直线a ⊂α3.异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．(2)范围：(0，π2』．4．平行公理平行于同一条直线的两条直线平行． 5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．1．(人教A 版教材习题改编)下列命题正确的个数为( )①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A ．0B ．1C ．2D ．3『解析』 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．『答案』 C2．已知a 、b 是异面直线，直线c ∥直线a ，那么c 与b ( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线『解析』 若c ∥b ，∵c ∥a ，∴a ∥b ，与a ，b 异面矛盾． ∴c ，b 不可能是平行直线． 『答案』 C3．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6『解析』 与AB 平行，CC 1相交的直线是CD 、C 1D 1；与CC 1平行、AB 相交的直线是BB 1，AA 1；与AB 、CC 1都相交的直线是BC ，故选C.『答案』 C4．(2013·宁波模拟)若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内的所有直线与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交『解析』 由题意知，直线l 与平面α相交，则直线l 与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B 是正确的．『答案』 B图7－3－15．(2012·四川高考)如图7－3－1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．『解析』 如图，取CN 的中点K ，连接MK ，则MK 为△CDN 的中位线，所以MK ∥DN .所以∠A 1MK 为异面直线A 1M 与DN 所成的角．连接A 1C 1，AM .设正方体棱长为4，则A 1K ＝（42）2＋32＝41，MK ＝12DN ＝1242＋22＝5，A 1M ＝42＋42＋22＝6，∴A 1M 2＋MK 2＝A 1K 2，∴∠A 1MK ＝90°. 『答案』 90°平面的基本性质图7－3－2如图7－3－2所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ 『思路点拨』 (1)证明GH 綊BC 即可． (2)法一 证明D 点在EF 、CH 确定的平面内．法二 延长FE 、DC 分别与AB 交于M ，M ′，可证M 与M ′重合，从而FE 与DC 相交证得四点共面．『尝试解答』 (1)由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 是平行四边形． (2)法一 由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知BE 綊GF ， ∴四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ， ∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．法二 如图所示，延长FE ，DC 分别与AB 交于点M ，M ′， ∵BE 綊12AF ，∴B 为MA 中点， ∵BC 綊12AD ，∴B 为M ′A 中点，∴M 与M ′重合，即FE 与DC 交于点M (M ′)， ∴C 、D 、F 、E 四点共面．,1．解答本题的关键是平行四边形、中位线性质的应用．2．证明共面问题的依据是公理2及其推论，包括线共面，点共面两种情况，常用方法有：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．图7－3－3已知：空间四边形ABCD (如图7－3－3所示)，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面；(2)三直线FH 、EG 、AC 共点．『证明』 (1)连接EF 、GH ， ∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点， ∴EF ∥BD .又∵CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，∴GH ∥BD ， ∴EF ∥GH ，∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)易知FH 与直线AC 不平行，但共面， ∴设FH ∩AC ＝M ，∴M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC . 又∵平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ， ∴M ∈EG ，∴FH 、EG 、AC 共点.空间两条直线的位置关系图7－3－4(1)如图7－3－4，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与A 1B 1平行(2)在图中，G 、N 、M 、H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)图7－3－5『思路点拨』(1)连接B1C，则点M是B1C的中点，根据三角形的中位线，证明MN ∥B1D1.(2)先判断直线GH、MN是否共面，若不共面再利用异面直线的判定定理判定．『尝试解答』(1)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D.(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．『答案』(1)D(2)②④,1．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2．对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．3．画出图形进行判断，可化抽象为直观．图7－3－6如图7－3－6所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．『解析』 由图可知AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线．因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°.『答案』 ③④异面直线所成的角图7－3－7(2012·上海高考改编题)如图7－3－7，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P —ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．『思路点拨』 (1)直接根据锥体的体积公式求解．(2)取PB 的中点，利用三角形的中位线平移BC 得到异面直线所成的角．(或其补角) 『尝试解答』 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ABC 的体积为 V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.,1．求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． 2．求异面直线所成的角的三步曲为：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角形问题，进而求解．3．异面直线所成的角范围是(0，π2』．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°『解析』 分别取AB 、AA 1、A 1C 1的中点D 、E 、F ，则BA 1∥DE ，AC 1∥EF . 所以异面直线BA 1与AC 1所成的角为∠DEF (或其补角)， 设AB ＝AC ＝AA 1＝2，则DE ＝EF ＝2，DF ＝6，由余弦定理得，∠DEF ＝120°. 『答案』 C两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面．三个作用1.公理1的作用：(1)检验平面；(2)判断直线在平面内；(3)由直线在平面内判断直线上的点在平面内；(4)由直线的直刻画平面的平．2．公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．3．公理3的作用：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线；(3)证明多点共线．空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础，高考常设置选择题或填空题，考查直线、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法．在判断线、面位置关系时，有时可以借助常见的几何体做出判断.思想方法之十三借助正方体判定线面位置关系(2012·四川高考)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行『解析』如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1D与D1A和平面ABCD所成的角都是45°，但A1D与D1A不平行，故A错；在平面ABB1A1内，直线A1B1上有无数个点到平面ABCD的距离相等，但平面ABB1A1与平面ABCD不平行，故B错；平面ADD1A1与平面DCC1D1和平面ABCD都垂直，但两个平面相交，故D错，从而C正确．『答案』C易错提示：(1)盲目和平面内平行线的判定定理类比，从而误选A.(2)不会利用正方体作出判断，考虑问题不全面，从而误选B或D.防范措施：(1)对公理、定理的条件与结论要真正搞清楚，以便做到准确应用，类比得到的结论不一定正确，要想应用，必须证明．(2)点、线、面之间的位置关系可借助长方体为模型，以长方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．1．(2013·济南模拟)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面『解析』如图长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD但有AB∥CD，因此A不正确；又AB∥DC∥A1B1，但三线不共面，因此C不正确；又从A出发的三条棱不共面，所以D不正确；因此B正确，且由线线平行和垂直的定义易知B正确．『答案』B2．(2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．『解析』连接DF，则AE∥DF，∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．设正方体棱长为a ， 则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝（52a ）2＋（52a ）2－a 22·52a ·52a ＝35. 『答案』 35。
人教a版高考数学(理)一轮课件：8.3空间点、直线、平面间的位置关系
空间点、直线、平面间的 位置关系
考纲展示
理解空间直线、平面位置关系的定义 , 并了 解以下可以作为推理依据的公理和定理. 公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面 内, 那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理 2:过不在同一条直线上的三点,有且只 有一个平面. 公理 3 : 如果两个不重合的平面有一个公共 点 ,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线. 公理 4: 平行于同一条直线的两条直线平行. 定理 : 空间中如果一个角的两边与另一个角 的两边分别平行, 那么这两个角相等或互补.
)
A.空间中不同三点确定一个平面 B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C.一条直线和一个点能确定一个平面 D.梯形一定是平面图形 【答案】D 【解析】空间中不共线的三点确定一个平面,A 错;空间中两两相交于不同 点的三条直线确定一个平面,B 错;经过直线和直线外一点确定一个平面,C 错;D 正确.
∵ E,F 分别是 AB,AA1 的中点,∴ EF∥BA1. 又 A1B∥D1C,∴ EF∥CD1.故 E,C,D1,F 四点共面. (2)∵ EF∥CD1,EF<CD1,∴ CE 与 D1F 必相交,设交点为 P,则由 P∈CE, CE⊂ 平面 ABCD,得 P∈平面 ABCD.同理 P∈平面 ADD1A1.又平面 ABCD∩ 平面 ADD1A1=DA,∴ P∈直线 DA.故 CE,D1F,DA 三线共点.
(填序号).
①没有公共点的两条直线是异面直线; ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面; ③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行; ④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面. 【答案】①② 【解析】没有公共点的两条直线平行或异面,故命题①错;命题②错,此时两 直线有可能相交;命题③正确,因为若直线 a 和 b 异面,c∥a,则 c 与 b 不可能 平行,用反证法证明如下:若 c∥b,又 c∥a,则 a∥b,这与 a,b 异面矛盾,故 c b; 命题④也正确,若 c 与两异面直线 a,b 都相交,由公理 3 可知,a,c 可以确定一 个平面,b,c 也能确定一个平面,这样,a,b,c 共可确定两个平面.
高考数学(理)之立体几何与空间向量 专题03 空间点、线、面的位置关系(解析版)
立体几何与空间向量03 空间点、线、面的位置关系一、具体目标：1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.二、知识概述：1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2. 空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3.异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：.4.异面直线的判定方法： ]2,0(π【考点讲解】判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．5.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．【温馨提示】平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型除了选择题或填空题外，往往在大题中结合平行关系、垂直关系或角的计算间接考查．1.【2019年高考全国Ⅲ卷】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【解析】本题主要考查的空间两条直线的位置关系问题，要求会构造三角形，讨论两直线是否共面，并通过相应的计算确定两条直线的大小关系.如图所示，作EO CD⊥于O，连接ON，BD，易得直线BM，EN是三角形EBD的中线，是相交直线.过M作MF OD⊥于F，连接BF，Q平面CDE⊥平面ABCD，,EO CD EO⊥⊂平面CDE，EO∴⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，MFB∴△与EON△均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN===,，5,2MF BF BM==∴=，BM EN∴≠，故选B．] 2 ,0(π【真题分析】【答案】B2.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为（ ）A ．15 BCD【解析】方法一：用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则11B P AD ∥，连接DP ，易求得1DB DP =，12B P =，则1DB P ∠是异面直线1AD 与1DB 所成的角，由余弦定理可得22211111cos 2DB B P DP DB P DB PB +-∠===⋅.故选C.方法二：以D 为坐标原点，DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则()()((110,0,0,1,0,0,,D A B D ,所以((11,AD DB =-=u u u u r u u u u r ,因为111111cos ,5AD DB AD DB AD DB ⋅===u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ， 所以异面直线1AD 与1DB所成角的余弦值为5，故选C. 【答案】C3. 【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（ ）A．2 BCD【解析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，CD AB ∥，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠，设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以BE =，则tan BE EAB AB ∠===．故选C ．【答案】C4.【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A．2 B．5 C．5D．3 【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -，则所求角为1111,BC D BC BD C D AB ∠=====Q易得22211C D BD BC =+，因此111cos 5BC BC D C D ∠===，故选C ． 【答案】C5.【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ）A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【解析】根据三垂线定理的逆定理，可知平面内的线垂直于平面的斜线，则也垂直于斜线在平面内的射影.A.若11A E DC ⊥，那么11D E DC ⊥，很显然不成立；B.若1A E BD ⊥，那么BD AE ⊥，显然不成立；C.若11A E BC ⊥，那么11BC B C ⊥，成立，反过来11BC B C ⊥时，也能推出11BC A E ⊥,所以C 成立；D.若1A E AC ⊥，则AE AC ⊥，显然不成立，故选C.【答案】C6.【2019年高考北京卷理数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ； ②m ∥α； ③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，不正确，有可能m 在平面α内；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α，不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.故答案为：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m.【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .7.【2017年高考全国Ⅲ卷理数】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°. 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【解析】设1AC BC ==.由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥，又AC ⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B ，作BD a ∥，交底面圆C 于点D ，如图所示，连接DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴∥，连接AD ，等腰ABD △中，AB AD ==当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠=o ，故BD =Rt BDE △中，2,BE DE =∴=B 作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连接AF ，由圆的对称性可知BF DE ==ABF ∴△为等边三角形，60ABF ∴∠=o ，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，则直线AB 与a 所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.【答案】②③8.【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，ADADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD '，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是______．【解析】设直线AC 与'BD 所成角为θ．设O 是AC 中点，由已知得AC =如图，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由(0,2A，(2B，(0,2C -，作DH AC ⊥于H ，翻折过程中，'D H 始终与AC 垂直，26CD CH CA ===，则3OH =，DH =='(,sin )636D αα-，则'sin )6236BD αα=--uuu r ，与CA uu r 平行的单位向量为(0,1,0)n =r ， 所以cos cos ',BD n θ=<>uuu r r ''BD n BD n⋅=uuu r r uuu r rcos 1α=时，cos θ取最大值9．9.【2017天津，文17】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =.（I ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；（II ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.【分析】（Ⅰ）异面直线所成的角一般都转化为相交线所成的角，//AD BC ，所以PAD ∠即为所求，根据余弦定理求得，但本题可证明AD PD ⊥，所以cosAD PAD AP ∠=；（Ⅱ）要证明线面垂直，根据判断定理，证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线与面垂直，即证明,PD BC PD PB ⊥⊥；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，做//DF AB ，连结PF ,DFP ∠即为所求【解析】（Ⅰ）解：如图，由已知AD //BC ，故DAP ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角.因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD .在Rt △PDA 中，由已知，得225AP AD PD =+=，故5cos AD DAP AP ∠==. 所以，异面直线AP 与BC C（Ⅱ）证明：因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD .又因为BC //AD ，所以PD ⊥BC ，又PD ⊥PB ，所以PD ⊥平面PB C.10.【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.【解析】方法一：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ．又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ．又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ．所以BC ⊥平面A 1EF ．因此EF ⊥BC ．（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形．由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形．由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1，所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上．连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）．不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E ，EG O 为A 1G 的中点，故12A G EO OG ===， 所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35． 方法二：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．不妨设AC =4，则A 1（0，0，B 1，0），1B ，3,2F ，C (0，2，0)．因此，3,2EF =u u u r ，(BC =u u u r ．由0EF BC ⋅=u u u r u u u r 得EF BC ⊥． （2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ．由（1）可得1=(310)=(0223)BC A C --u u u r u u u u r ，，，，，．设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，，由100BC A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r n n，得00y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 取n (11)=，故||4sin |cos |=5|||EF EF EF θ⋅==⋅u u u r u u u r u u u r ，n n n |， 因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35．2.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） A ． B ．C ．D ．【解析】本题考点是线面平行的判断问题，由题意可知：第二个选项中AB ∥MQ ，在直线AB ∥平面MNQ ，第三个选项同样可得AB ∥MQ ，直线AB ∥平面MNQ ，第四个选项有AB ∥NQ ，直线AB ∥平面MNQ ，只有选项A 不符合要求【答案】A2．空间中，可以确定一个平面的条件是（ ）A ．两条直线B ．一点和一条直线C ．一个三角形D ．三个点【解析】不共线的三点确定一个平面，C 正确；A 选项，只有这两条直线相交或平行才能确定一个平面；B 选项，一条直线和直线外一点才能确定一个平面；D 选项，不共线的三点确定一个平面.【答案】C3.在三棱锥A －BCD 的棱AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ∩HG ＝P ，则点P （ ）A .一定在直线BD 上B .一定在直线AC 上 【模拟考场】C .在直线AC 或BD 上 D .不在直线AC 上，也不在直线BD 上【解析】如图所示，∵EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ACD ，EF ∩HG ＝P ，∴P ∈平面ABC ，P ∈平面ACD .又∵平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴P ∈AC ，故选B .【答案】B4.已知平面α和直线l ，则在平面α内至少有一条直线与直线l ( )A.平行B.垂直C.相交D.以上都有可能【解析】本题的考点是直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，若直线l 与平面α相交，则在平面α内不存在直线与直线l 平行，故A 错误；若直线l ∥平面α，则在平面α内不存在直线与l 相交，故C 错误；对于直线l 与平面α相交，直线l 与平面α平行，直线l 在平面α内三种位置关系，在平面α内至少有一条直线与直线l 垂直，故选B.【答案】B5.如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=︒，2BC AD =，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为（ ）A ．90︒B ．75︒C ．60︒D ．45︒【解析】设1AD =，则2BC =，过A 作//AE CD 交BC 于E ，则AD CE =，过E 作//EF PB 交PC于F ，则AEF ∠即为为所求，如图所示，过F 作//FG CD 交PD 于G ，连接AG ，则四边形AEFG 是梯形，其中//FG AE ，12EF =G 作//GH EF 交AE 于H ，则GHA AEF ∠=∠，在GHA ∆中，1,,222GH EF AH AE FG AG ===-===则 222AG GH AH =+，所以90AEF ∠=︒，故选A.【答案】A6.不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，给出以下三个命题：①△ABC 中至少 有一条边平行于α；②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.【解析】直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，如图，三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.【答案】①7.已知A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．【解析】本题考点反证法证明异面直线，异面直线所成的角.(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以直线EF 与EG 所成的角即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，可得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.8.如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3，M ，N 分别是棱AA 1，AB 上的点，且AM ＝AN ＝1.（1）证明：M ，N ，C ，D 1四点共面；（2）平面MNCD 1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比.【解析】本题考点是多点共面的证明，平面分几何体的体积之比.（1）证明：连接A 1B ，在四边形A 1BCD 1中，A 1D 1∥BC 且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形.所以A 1B ∥D 1C. 在△ABA 1中，AM ＝AN ＝1，AA 1＝AB ＝3，所以1AM AN AA AB， 所以MN ∥A 1B ，所以MN ∥D 1C.所以M ，N ，C ，D 1四点共面.（2）记平面MNCD 1将正方体分成两部分的下部分体积为V 1，上部分体积为V 2，连接D 1A ，D 1N ，DN ，则几何体D 1－AMN ，D 1－ADN ，D 1－CDN 均为三棱锥，所以V 1＝111D AMN D ADN D CDN V V V ---++＝13S △AMN ·D 1A 1＋13S △ADN ·D 1D ＋13S △CDN ·D 1D ＝13×12×3＋13×32×3＋13×92×3＝132. 从而V 2＝1111ABCD A B C D V -－V 1＝27－132＝412，所以121341V V =， 所以平面MNCD 1分此正方体的两部分体积的比为1341.。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解52---空间点、直线、平面之间的位置关系
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第52讲空间点、直线、平面之间的位置关系考向预测核心素养考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的直观想象和逻辑推理等核心素养，主要为中低档题．直观想象、逻辑推理、数学抽象、数学运算一、知识梳理1．平面(1)四个基本事实基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．(2)“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．空间中直线与直线的位置关系(1)位置关系{共面直线{相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2．[注意]两直线垂直有两种情况——异面垂直和相交垂直．(3)空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线、平面的位置关系位置关系符号直线和平面直线在平面内a ⊂α 直线在平面外直线与平面相交 a ∩α＝A 直线与平面平行 a ∥α 平面和平面两平面平行 α∥β 两平面相交α∩β＝l常用结论 1．异面直线的判定过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 2．几个唯一性结论(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直； (3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 二、教材衍化1．(多选)(人A 必修第二册P 128练习T 2改编)下列命题是假命题的是( ) A ．空间任意三个点确定一个平面 B ．一个点和一条直线确定一个平面 C ．两两相交的三条直线确定一个平面 D ．两两平行的三条直线确定三个平面 答案：ABCD 2．(多选)(人A必修第二册P132习题8.4T9改编)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是( )A．AB与CD是异面直线B．GH与CD相交C．EF∥CDD．EF与AB异面解析：选ABC.把展开图还原成正方体，如图所示．还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知ABC正确，EF与AB相交，故D错误，选ABC.3．(人A必修第二册P132习题8.4T5改编)三个平面最多能把空间分为________部分，最少能把空间分成________部分．解析：三个平面可将空间分成4，6，7，8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分．答案：8 4一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若P∈α∩β且l是α，β的交线，则P∈l.( )(2)若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面．( )(3)若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α.( )(4)分别在两个平面内的两条直线是异面直线．( )答案：(1)√(2)√(3)√(4)×二、易错纠偏1．(多选)(线面关系概念不清致误)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )A．b⊂α B.b∥αC．b与α相交 D.以上都不对答案：ABC2．(对于直线与直线的位置关系考虑不全面致误)若a∥α，b∥β，α∥β，则a，b的位置关系是( )A．平行 B.异面C．相交 D.平行或异面或相交解析：选D.如图①②③所示，a，b的关系分别是平行、异面、相交．3.(异面直线所成的角概念理解不清致误)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( )A．30° B.45°C．60° D.90°解析：选C.连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C或其补角为所求的角．又B 1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.考点一基本事实的应用(综合研析) 复习指导：理解四个基本事实的作用．(2022·上海市南洋模范中学月考)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，BD1与平面ACB1交于点P，设BD与AC相交于点O.求证：O.P∈直线B1【证明】因为BD1⊂平面BDD1B1，且BD1与平面ACB1交于点P，所以点P是平面BDD1B1与平面ACB1的公共点，因为平面BDD1B1∩平面ACB1＝B1O，所以P∈直线B1O.共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．②证两平面重合．(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．|跟踪训练|1.(多选)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是( )解析：选ABC.对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．2.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )A．直线AC B.直线ABC．直线CD D.直线BC解析：选C.由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.考点二空间位置关系的判断(自主练透)复习指导：认识和理解空间点、线、面的位置关系．1．若平面α和直线a，b满足a∩α＝A，b⊂α，则a与b的位置关系是( ) A．相交 B.平行C．异面 D.相交或异面解析：选D.若A∈b，则a与b相交，若A∉b，则a与b异面，故选D.2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是( )A．直线AA1 B.直线A1B1C．直线A1D1 D.直线B1C1解析：选 D.根据异面直线的概念可知直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线．因为直线B1C1和EF在同一平面内，且这两条直线不平行，所以直线B1C1和直线EF 相交．3.(多选)(链接常用结论1)(2022·广州六校联考)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是( )A．AP与CM是异面直线B．AP，CM，DD1相交于一点C．MN∥BD1D．MN∥平面BB1D1D解析：选BD.连接MP，AC(图略)，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线，又面A1ADD1∩面C1CDD1＝DD1，所以AP，CM，DD1相交于一点，则A不正确，B正确．令AC∩BD＝O，连接OD1，ON.因为M，N分别是C1D1，BC的中点，所以ON∥D1M∥CD，ON＝D1M＝12 CD，则四边形MNOD1为平行四边形，所以MN∥OD1，因为MN⊄平面BD1D，OD1⊂平面BD1D，所以MN∥平面BD1D，C不正确，D正确．4．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为________．①若a平行于α内的无数条直线，则a∥α；②若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若α∥β，a⊂α，则a∥β；④若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．解析：①忽略了a在α内这一情况，故①错误；②直线a与b没有交点，所以直线a与b可能异面也可能平行，故②错误；③直线a与平面β没有公共点，所以a∥β，故③正确；④直线a与平面β可能相交也可能平行，故④错误．答案：③点、线、面位置关系的判定(1)点、线、面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．(2)两条直线异面的判定：反证法或利用异面直线的判定定理．考点三 异面直线所成的角(综合研析)复习指导：求异面直线所成的角关键是转化为平面角，常利用平移法解决．(1)(2021·高考全国卷乙)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( )A.π2B.π3 C .π4D.π6(2)(2022·衡水检测)如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE ＝14SB ，则异面直线SC 与OE 所成角的正切值为( )A.222B.53C.1316D.113【解析】(1)如图，连接C 1P ，因为ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，且P 为B 1D 1的中点，所以C 1P ⊥B 1D 1，又C 1P ⊥BB 1，BB 1∩B 1D 1＝B 1，BB 1，B 1D 1⊂平面B 1BP ，所以C 1P ⊥平面B 1BP .又BP ⊂平面B 1BP ，所以C 1P ⊥BP .连接BC 1，则AD 1∥BC 1，所以∠PBC 1为直线PB 与AD 1所成的角．设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则在直角三角形C 1PB 中，C 1P ＝12B 1D 1＝2，BC 1＝22，sin ∠PBC 1＝PC 1BC 1＝12，所以∠PBC 1＝π6，故选D.(2)如图，过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，连接CF ，则∠CSF (或其补角)为异面直线SC 与OE 所成的角．因为SE ＝14SB ，所以SE ＝13BE .又OB ＝3，所以OF ＝13OB ＝1.因为SO ⊥OC ，SO ＝OC ＝3，所以SC ＝3 2. 因为SO ⊥OF ，所以SF ＝ SO 2＋OF 2＝10. 因为OC ⊥OF ，所以CF ＝10. 所以在等腰三角形SCF 中，tan ∠CSF ＝()102－⎝⎛⎭⎪⎫3222322＝113.【答案】 (1)D (2)D平移法求异面直线所成角的步骤|跟踪训练|(2022·西安质检)将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，则直线AB与CD所成的角为( )A．90° B.60°C.45°D.30°解析：选B.如图，取AC，BD，AD的中点，分别为O，M，N，连接ON，OM，MN，则ON∥CD，MN∥AB，且ON＝12CD，MN＝12AB，所以∠ONM或其补角即为所求的角．因为平面ABC垂直于平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，BO⊥AC，AC⊂平面ACD，所以BO⊥平面ACD，因为DO⊂平面ACD，所以BO⊥OD.设正方形边长为2，则OB＝OD＝2，所以BD＝2，则OM＝12BD＝1.所以ON＝MN＝OM＝1.所以△OMN是等边三角形，∠ONM＝60°.所以直线AB与CD所成的角为60°.故选B.[A 基础达标]1．(2022·遂宁市射洪中学月考)下列命题中正确的是( )A．经过三点确定一个平面B．经过两条平行直线确定一个平面C．经过一条直线和一个点确定一个平面D．四边形确定一个平面解析：选B.对于选项A：经过不共线的三点确定一个平面，故选项A错误，对于选项B：两条平行直线唯一确定一个平面，故选项B正确，对于选项C：经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故选项C错误，对于选项D：因为空间四边形不在一个平面内，故选项D错误．故选B.2．已知α，β，γ是平面，a，b，c是直线，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∩b＝P，则( )A．P∈c B.P∉cC．c∩a＝∅ D.c∩β＝∅解析：选A.因为α∩β＝a，β∩γ＝b，所以a⊂α，b⊂γ，由a∩b＝P，可得P∈a且P∈b，所以P∈α且P∈γ，因为γ∩α＝c，所以P∈c，故选项A正确，选项B不正确；因为P∈c，P∈a，所以c，a有公共点P，故选项C不正确；因为P∈b，b⊂β，所以P∈β，因为P∈c，所以c与β有公共点P，故选项D不正确；故选A.3．在三棱锥ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG＝P，则点P( )A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上解析：选B.如图，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.故选B.4．(2020·高考浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的( )A．充分不必要条件 B.必要不充分条件C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选B.由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内，故选B.5.(多选)如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则( )A．GH＝2EFB．GH≠2EFC．直线EF，GH是异面直线D．直线EF，GH是相交直线解析：选BD.如图，取棱CC1的中点N，A1D1的中点M，连接EM，MH，HN，NG，FG，AC，A 1C1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为MH∥A1C1∥AC∥FG，所以M，H，F，G四点共面，同理可得E，M，G，N四点共面，E，F，H，N四点共面，所以E，M，H，N，G，F六点共面，均在平面EFGNHM内，因为EF∥HN，HN∩HG＝H，HN，HG，EF⊂平面EFGNHM，所以EF与GH是相交直线．由正方体的结构特征及中位线定理可得EF＝HN＝NG＝FG ＝EM＝MH，所以3EF＝GH，即GH≠2EF.故选BD.6．已知在棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．解析：如图，由题意可知MN∥AC.又因为AC∥A′C′，所以MN∥A′C′.答案：平行7．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．解析：如图，将原图补成正方体ABCD QGHP ，连接AG ，GP ，则GP ∥BD ，所以∠APG 或其补角为异面直线AP 与BD 所成的角，在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ， 所以∠APG ＝π3. 答案：π38.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1，H ，O 三点共线．证明：如图，连接BD ，B 1D 1，则BD ∩AC ＝O ， 因为BB 1綉DD 1，所以四边形BB 1D 1D 为平行四边形， 又H ∈B 1D ，B 1D ⊂平面BB 1D 1D ，则H∈平面BB1D1D，因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.即D1，H，O三点共线．9.如图，已知在空间四边形ABCD中，AD＝BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC 与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角．解：如图，连接BD，并取其中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其补角)为BC与MN所成的角，∠MEN(或其补角)为BC与AD所成的角．由AD＝BC，知ME＝EN，所以∠EMN＝∠ENM＝30°，所以∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC与AD所成的角为60°.[B 综合应用]10．(多选)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有( )解析：选BD.A中GH∥MN；B中，G，H，N三点共面，但M∉平面GMN，因此GH，MN 是异面直线；C中连接GM，GM∥HN且GM≠HN，所以直线GH与MN必相交；D中，G，M，N 三点共面，但H∉平面GMN，因此GH，MN是异面直线．11．(多选)(2022·潍坊模拟)已知平面α∩平面β＝直线l，点A，C∈平面α，点B，D∈平面β，且A，B，C，D∉l，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法错误的是( )A ．当CD ＝2AB 时，M ，N 不可能重合B ．M ，N 可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交 C ．当直线AB ，CD 相交，且AC ∥l 时，BD 可与l 相交 D ．当直线AB ，CD 异面时，MN 可能与l 平行解析：选ACD.A 选项，当CD ＝2AB 时，若A ，B ，C ，D 四点共面且AC ∥BD 时，M ，N 两点能重合，可知A 错误；B 选项，若M ，N 重合，则AC ∥BD ，则AC ∥平面β，故AC ∥l ，此时直线AC 与直线l 不可能相交，可知B 正确；C 选项，当AB 与CD 相交，且AC ∥l 时，直线BD 与l 平行，可知C 错误；D 选项，当AB 与CD 是异面直线时，MN 不可能与l 平行，可知D 错误．故选ACD.12.(多选) (2022·潍坊质检)如图，已知二面角A BD C 的大小为π3，G ，H 分别是BC ，CD 的中点，E ，F 分别在AD ，AB 上，AE AD ＝AF AB ＝13，且AC ⊥平面BCD ，则以下说法正确的是( )A ．E ，F ，G ，H 四点共面B ．FG ∥平面ADCC ．若直线FG ，HE 交于点P ，则P ，A ，C 三点共线D ．若△ABD 的面积为6，则△BCD 的面积为3解析：选ACD.由AE AD ＝AF AB ＝13知EF ∥BD .又GH ∥BD ，所以EF ∥GH ， 因此E ，F ，G ，H 共面，A 项正确； 假设FG ∥平面ADC 成立， 因为平面ABC ∩平面DAC ＝AC ，所以FG ∥AC ，又G 是BC 的中点，所以F 是AB 的中点，与AF AB ＝13矛盾，B 项不正确；因为FG⊂平面ABC，P∈FG，所以P∈平面ABC，同理P∈平面ADC，因为平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线，因此C正确；易知S△BCD＝cos π3·S△ABD＝12×6＝3，D正确．13.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上结论中，正确结论是________．(填序号)解析：由平面展开图可得原正方体如图所示：由图可得，BM，ED为异面直线，CN与BE不是异面直线，DM，BN是异面直线，故①②错误，④正确．连接AN，AC，DM，BN，BE，则△ANC为等边三角形，而BM∥AN，故∠ANC或其补角为CN与BM所成的角，因为∠ANC＝60°，故CN与BM所成的角为60°，故③正确．综上，正确命题的序号为③④.答案：③④[C 素养提升]14．平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( )A.32B.22C.33D.13解析：选A.如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，因为α∥平面CB1D1，则m1∥m，又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥m1，所以B1D1∥m，同理可得CD1∥n.故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小．又因为B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)，所以∠CD1B1＝π3，得sin∠CD1B1＝32，故选A.15．在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求四棱锥OABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．解：(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，所以四棱锥OABCD的体积V＝13×4×2＝83.(2)如图，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE ，又M 为OA 中点，所以ME ∥OC ，则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5，因为()22＋()32＝()52，即DE 2＋EM 2＝MD 2， 所以△DEM 为直角三角形，且∠DEM ＝90°，所以tan ∠EMD ＝DE EM ＝23＝63.所以异面直线OC 与MD 所成角的正切值为63.。
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高考数学知识点：空间点、直线、平面的位置关
系
1、平面
(1)平面概念的理解
直观的理解：桌面、黑板面、平静的水面等等都给人以平面的直观的印象，但它们都不是平面，而仅仅是平面的一部分．抽象的理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄．
(2)平面的表示法
①图形表示法：通常用平行四边形来表示平面，有时根据实际需要，也用其他的平面图形来表示平面．
②字母表示：常用等希腊字母表示平面．
(3)涉及本部分内容的符号表示有：
①点A在直线l内，记作；②点A不在直线l内，记作；
③点A在平面内，记作；④点A不在平面内，记作；
⑤直线l在平面内，记作；⑥直线l不在平面内，记作；
注意：符号的使用与集合中这四个符号的使用的区别与联系．
(4)平面的基本性质
公理1：如果一条直线的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．
符号表示为：．
注意：如果直线上所有的点都在一个平面内，我们也说这条直线在这个平面内，或者称平面经过这条直线．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
符号表示为：直线AB存在唯一的平面，使得．
注意：“有且只有”的含义是：“有”表示存在，“只有”表示唯一，不能用“只有”来代替．此公理又可表示为：不共线的三点确定一个平面．。