2017_2018学年高中数学第二章算法初步疑难规律方法学案北师大版必修3(含答案)

第二章算法初步
1 算法概念的诠释
同学们也许对算法这个概念很陌生，但其实大家在日常生活中已经接触过很多算法了，广义地说，算法就是做某一件事情的步骤或程序．菜谱是做菜肴的“算法”，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的“算法”．每个算法都闪耀着人类的智慧，阅读和学习这些东西会给我们带来一种难以用语言表达的满足感和快感．在以后的学习和工作中我们会不断从实际应用中了解和领会算法是如何解决各个领域的实际问题，推动人类文明的发展的．
一、算法的特征
1．确定性
算法中的每条运算规则必须是明确定义的、可行的，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，运行终止应得到问题的解答或指出问题没有解答．
2．有限性
一个算法必须保证在执行有限步后结束，至少不能出现无限循环或死循环．在此基础上越简洁越快越好．越简洁，占用内存越少，对设备的要求越基本；越快，这个意义就不用说了吧．比如一个计算对方导弹轨迹的算法，如果等你算出来，那边导弹已经落地了，那还有什么意义？
二、算法的思想
专业的事交给专业的人去做．普通人只要按专业人士给出的步骤一步一步地去完成，这就是算法的思想，即程序思想，你也可以理解为傻瓜化思想．另外，算法强调的是通性通法，即给出一个算法，实际上是给出了一种解决一类问题的方法．比如你给出一个计算圆的面积的算法，它应该能计算各种半径的圆的面积，而不是只适用于半径为某一具体数的圆．
三、特别提示
1．算法中的每一步应该是确定的并且能够有效地执行且得到确定的结果，而不应当模棱两可，如求的近似值却没有要求近似的精确度，则该问题不能求解．
2．现代算法主要是面向计算机的，如果算法中没有输出，程序也能运行，但是运行结果无法输出．如果想要得到结果，那就要有输出．
3．只要有公式可以利用，利用公式解决问题是最理想、最简便的方法，比如在写解方程x2－3x－4＝0的算法时，用求根公式来做，步骤则较为简洁．
4．求解某一个问题的算法一般不是唯一的，我们通常选择较为简单的算法．
四、典例分析
例1 已知一个等边三角形的周长为a，求这个三角形的面积，设计一个算法解决这个问题．分析对于已知等边三角形的边长求面积的题目同学们已经很熟悉，回顾其中的解题过程不难得到这个问题的算法步骤．但学会清晰条理地表达自己的想法，也是一个基本的要求．
解 算法步骤如下：
第一步，输入a 的值．
第二步，计算l ＝a 3
的值． 第三步，计算S ＝34×l 2的值． 第四步，输出S 的值．
例2 下面给出了一个问题的算法：
第一步，输入x .
第二步，若x ≥4，则执行第三步，否则执行第四步．
第三步，输出2x －1.
第四步，输出x 2－2x ＋3.
这个算法解决的问题是什么？
分析 依据题目给出的算法步骤依次执行，是读懂算法的一个重要而基本的办法．
解 这个算法先是输入一个变量x ，当x ≥4时输出2x －1，当x <4时输出x 2－2x ＋3，不难
发现这个算法解决的问题是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x <4的函数值.
2 典型算法举例
1．解方程(方程组)、不等式的算法
例1 用自然语言描述求一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0的根的算法．
思维切入 对于求方程的根，解方程组这样的数值型的问题，我们都有具体的计算方法，只要我们把平时的计算方法严格地按步骤描述出来即可．因此我们很容易得到下面的算法． 解 用自然语言来描述算法，
第一步，计算Δ＝b 2－4ac ；
第二步，如果Δ<0，则原方程无实数解，输出“无实数解”；否则(Δ≥0)x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a
，x 2＝－b －b 2－4ac 2a
，输出x 1，x 2的值． 点评 第二步中包含了一个判断Δ＝b 2－4ac 是否小于零的条件，并根据判断结果进行不同的处理．算法是否“健壮”，也是衡量算法优劣的重要指标．如果思维不严谨，比如这个算法忘记考虑Δ＝b 2－4ac 小于零的情形，实际运算一旦遇到，则会导致不是出错就是死机，那这个算法就是不“健壮”的．
例2 写出解x 2－4x ＋3<0的算法．
思维切入 只要把平时的固定解法有条理地写出来，即为解不等式的算法．
解 第一步，求出对应方程的根x 1＝1，x 2＝3；
第二步，确定根的大小x 1<x 2；
第三步，写出解集{x |1<x <3}．
2．套用公式求值的算法
例3 已知摄氏温度C 与华氏温度F 的关系是F ＝C ×95
＋32，写出由摄氏温度求华氏温度的算法．
思维切入 这是一个函数求值问题，给C 赋值再代入解析式求F .
解 第一步，输入摄氏温度C ；
第二步，代入F ＝C ×95
＋32； 第三步，输出华氏温度F .
点评 平时计算我们只注重第二步，其他步骤往往忽略了，算法却讲究“按部就班”，这类问题的算法一般分为三步：第一步输入值，第二步套用公式，第三步输出结果．
3．判断性质型问题的算法
例4 试描述判断圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2和直线Ax ＋By ＋C ＝0位置关系的算法．
思维切入 直线与圆的关系有三种：相离、相切、相交，如果圆心到直线的距离d >r ，则直线与圆相离，d ＝r 则直线与圆相切，d <r 则直线与圆相交．因此我们可以先求出圆心到直线的距离d ，然后再和r 比较．
解 第一步，输入圆心的坐标、直线方程的系数和半径r ；
第二步，计算z 1＝Ax 0＋By 0＋C ；
第三步，计算z 2＝A 2＋B 2；
第四步，计算d ＝|z 1|z 2
； 第五步，如果d >r 则相离，如果d ＝r 则相切，如果d <r 则相交．
点评 算法要求分解成简单计算，不要直接计算d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2
.一个比较大的程序，会分成若干模块，一个模块出了问题只需要修改这一个模块，而不需要全盘翻工．
4．累加、累乘问题的算法
例5 用自然语言描述求解mul ＝1×2×3×4×5×6问题的算法．
思维切入 根据算法的特点，我们学过的加、减、乘、除运算法则都是算法，只要按照具体的规则有步骤地描述过程，便有了该题的算法．
解 第一步，计算1×2，得2；
第二步，将第一步中的运算结果2与3相乘得6；
第三步，将第二步中的运算结果6与4相乘得24；
第四步，将第三步中的运算结果24与5相乘得120；
第五步，将第四步中的运算结果120与6相乘得720.
点评如果让人一步一步地做，太枯燥了．但这恰好是计算机的优势．所以算法好不好，还分让谁来执行，对人来讲是奇笨无比的办法，对计算机却可能是一个好办法．
思维拓展该算法包含一个重复操作的过程是循环结构，我们可将算法改造得更为简练、科学．
解第一步，设i＝1，P＝1；
第二步，如果i≤6执行第三步，否则执行第五步；
第三步，计算P×i并将结果代替P；
第四步，将i＋1代替i，转去执行第二步；
第五步，输出P.
点评i称为计数变量，每一次循环它的值增加1，由1变到6，P是一个累乘变量，每一次循环得到一个新的结果，然后新的结果代替原值.
3 算法框图画法全知晓
一、画算法框图的基本步骤
第一步，设计算法，因为算法的设计是画算法框图的基础，所以画算法框图前，首先写出相应的算法步骤，并分析算法需要用哪种基本逻辑结构(顺序结构、选择结构、循环结构)完成．第二步，把算法步骤转化为对应的算法框图，在这种转化过程中往往需要考虑很多细节，是一个将算法“细化”的过程．
第三步，将所有步骤的算法框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到整个表示算法的算法框图．
二、画算法框图的规则
1．使用标准的框图符号．
2．框图一般按从上到下、从左到右的方向来画．
3．除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是唯一具有超过一个退出点的符号．
4．在图形符号内描述的语言要简练清楚．
三、典例分析
1．顺序结构
顺序结构是最简单的算法结构，是任何一个算法都离不开的结构．若一个算法由若干个依次执行的步骤组成，则在画算法框图时，可直接由顺序结构完成．因为在其他的结构中都会涉
及到顺序结构，所以关于顺序结构的画法，在此不再单独叙述．
2．选择结构
设计算法框图时，若是分段函数或执行时需要先判断才能执行的问题，则需要用到判断框，引入选择结构．
例1 如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着BCDA 的方向由点B 向点A 运动，设点P 运动的路程为x (0<x <12)，△APB 的面积为y ，画出y 关于x 的关系式的算法框图．
分析 随着点P 的位置不同，△APB 的面积与路程x 有不同的对应关系，所以需要先判断点P 的位置，这就需要用到选择结构，先根据题意写出算法，再根据算法画出算法框图．即 第一步，按照题意，y 与x 的关系满足分段函数：
y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0<x ≤4，8，4<x ≤8，
2 12－x ，8<x <12.
第二步，用合适的含选择结构的算法框图表示该分段函数．
解 算法框图如图所示．
点评 该题中的分段函数是分三段的函数，需引入两个判断框．至于判断框的内容是没有顺序的，但与下一图形的内容或操作必须相互对应．同时，在画算法框图时，要特别注意图形符号的规范性．
3．循环结构
如果问题中进行了重复的运算，且有相同的规律，就可根据需要引入相关变量，利用这些规律组成一个循环体，用循环结构来解决．。