湖南省衡阳市高三数学上学期期末考试试题 文(扫描版)
2019年湖南省衡阳市庙前中学高三数学文上学期期末试题含解析
2019年湖南省衡阳市庙前中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是( )A．B．C．D．参考答案：2. 已知函数（为自然对数的底数）在(0,+∞)上有两个零点，则m的范围是（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用参数分离法进行转化，，设（且），构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．【详解】解：由得，当时，方程不成立，即，则，设（且），则，∵且，∴由得，当时，，函数为增函数，当且时，，函数为减函数，则当时函数取得极小值，极小值为，当时，，且单调递减，作出函数的图象如图：要使有两个不同的根，则即可，即实数的取值范围是.方法2：由得，设，，，当时，，则为增函数，设与，相切时的切点为，切线斜率，则切线方程为，当切线过时，，即，即，得或（舍），则切线斜率，要使与在上有两个不同的交点，则，即实数的取值范围是.故选：D．【点睛】本题主要考查函数极值的应用，利用数形结合以及参数分离法进行转化，求函数的导数研究函数的单调性极值，利用数形结合是解决本题的关键．3. 设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是()A．直线l过点B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同参考答案：A略4. 过点P（4，8）且被圆x2+y2=25截得的弦长为6的直线方程是（）A．3x﹣4y+20=0 B．3x﹣4y+20=0或x=4C．4x﹣3y+8=0 D．4x﹣3y+8=0或x=4参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程，可知圆心（0，0），r=5，圆心到弦的距离为4，若直线斜率不存在，则垂直x轴x=4，成立；若斜率存在，由圆心到直线距离d==4，即可求得直线斜率，求得直线方程．【解答】解：圆心（0，0），r=5，圆心到弦的距离为4，若直线斜率不存在，则垂直x轴x=4，圆心到直线距离=|0﹣4|=4，成立；若斜率存在y﹣8=k（x﹣4）即：kx﹣y﹣4k+8=0则圆心到直线距离d==4，解得k=，综上：x=4和3x﹣4y+20=0，故选B．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了圆心距，弦半距及半径构成的直角三角形，直线的方程形式及其性质，属于中档题．5. 已知集合，，则A∩B=（）A．B．C．D．参考答案：D由题意得：，∴故选：D6. 设是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：①若，则②若，则③若，则④若，则其中，真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：A7. 已知双曲线的右顶点到渐近线的距离等于虚轴长的则双曲线的离心率是（）A．B． C. D．3参考答案：A由题意知，，渐近线方程为，则右顶点到渐近线的距离，即.故选A.8. 若集合则等于（）参考答案：A9. 设S n是数列{a n}的前n项和，若，，则（）A．B．C．D．参考答案：D当时，，则，即，则，从而，故.10. 已知点F双曲线右焦点，直线与双曲C交于A，B两点，且，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：A设右焦点F（c，0），将直线方程y＝2b代入双曲线方程可得x＝±，可得A（，2b），B（a，2b），由＝90°，即有（c，2b）?（c，2b）＝0，化简为﹣5a2+c2+4b2＝0，可得5c2＝9a2，∴e=二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数则 .参考答案：4.12. 若直线是曲线的切线，则a的值是_____．参考答案：-1设切点的横坐标为，，则有，令，则在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以，故答案为．13. 函数上的最大值为参考答案：14. 若函数在内有极小值，则实数的取值范围是.参考答案：略15. 当0<x≤时，4x<log a x，则a的取值范围是_____▲____参考答案：略16. 若函数f(x)=(3－a)x与g(x)=log a x的增减性相同，则实数a的取值范围是_________．参考答案：略17. 的值域为；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
湖南省衡阳市外国语学校2020年高三数学文上学期期末试题含解析
湖南省衡阳市外国语学校2020年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数值域为R的是A. B.C. D.参考答案：B2. 下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为（）A． y= B. y= C. y=xe x D.参考答案：【知识点】正弦函数的定义域和值域；函数的定义域及其求法． B1【答案解析】D 解析：∵函数y=的定义域为{x∈R|x≠0}，∴对于A，其定义域为{x|x≠kπ}（k∈Z），故A不满足；对于B，其定义域为{x|x＞0}，故B不满足；对于C，其定义域为{x|x∈R}，故C不满足；对于D，其定义域为{x|x≠0}，故D满足；综上所述，与函数y=定义域相同的函数为：y=．故选D．【思路点拨】由函数y=的意义可求得其定义域为{x∈R|x≠0}，于是对A，B，C，D逐一判断即可得答案．3. 已知集合,则（）A. B. C. D.参考答案：B略4. 顶点在同一球面上的正四棱柱中，，面距离为(A) (B) (C) (D)参考答案：B5. 复数z满足（3﹣2i）?z=4+3i，则复平面内表示复数z的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：A【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】由（3﹣2i）?z=4+3i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由（3﹣2i）?z=4+3i，得，则z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．6. 若非零向量，满足，向量与垂直，则与的夹角为（）A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°参考答案：B∵，且与垂直，∴，即，∴，∴，∴与的夹角为．故选．7. 已知函数的导函数的图象如下图所示，那么函数的图象最有可能的是( )参考答案：A8. 为了解一批数据在各个范围内所占比例的大小，将这批数据分组，落在各个小组的个数叫做（）A、频数B、样本容量C、频率D、累计频数参考答案：A9. 已知命题:存在∈(1,2)使得,若是真命题，则实数的取值范围为（）A. (-∞,)B. (-∞, ]C. (,+∞)D. [,+∞)参考答案：D因为是真命题，所以，为假命题，所以，，有，即，又在（1,2）上的最大值为，所以。
2019年湖南省衡阳市石门中学高三数学文上学期期末试卷含解析
2019年湖南省衡阳市石门中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图像可能是参考答案：B2. 已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，若＞x，则下列不等关系成立的是（）A．f（2）＜2f（1）B．3f（2）＞2f（3）C．ef（e）＜f（e2） D．ef（e2）＞f（e3）参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=，求导g′（x）=，从而可判断函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，从而得到答案．【解答】解：令g（x）=，故g′（x）=，∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，∴f′（x）＜0，∵＞x，∴xf′（x）﹣f（x）＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故＞＞，＞＞，故2f（3）＞3f（2），f（2）＞2f（1），f（e3）＞ef（e2），ef（e）＜f（e2）；故选C．3.一动圆过点A (0，)，圆心在抛物线y =x2上，且恒与定直线l相切，则直线l的方程为（）A．x = B．x = C．y =－D．y =－参考答案：答案：D4. 若的展开式中的系数为，则常数（）A．1 B．3 C．4 D．9参考答案：C略5. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是A.平行B.相交C.异面但不垂直D. 异面且垂直参考答案：D6. 曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1参考答案：C【考点】导数的几何意义．【专题】导数的概念及应用．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解：函数的导数为f′（x）=e x﹣1+xe x﹣1=（1+x）e x﹣1，当x=1时，f′（1）=2，即曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，故选：C．【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．7. 若曲线在点（0,处的切线方程是，则A． B. C. D.参考答案：A8. 若定义在R上的函数满足，且当时，，则函数在区间上的零点个数为（）A．4 B．6 C．8 D．10参考答案：C略9. 若函数在(1,2)上为增函数，则a的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：B10. 下列说法正确的是（）A．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关B．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知是一个公差大于0的等差数列，且满足，令，记数列的前n项和为，对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值是__________。
2022年湖南省衡阳市 县库宗中学高三数学文上学期期末试卷含解析
2022年湖南省衡阳市县库宗中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. i是虚数单位，复数=（）．(A)0 (B)2(C) -4i (D) 4i参考答案：D2. 等比数列中，，，，为函数的导函数，则( )A．0 B． C． D．参考答案：D略3. 把函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到的图像所表示的函数为（）A． B．C． D．参考答案：B略4. 设集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=( )A．（﹣1，1] B．（﹣1，1）C．[﹣1，2） D．（﹣1，2）参考答案：A【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算进行求解．【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜2}，又B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，所以A∩B={x|﹣1＜x＜2}∩{x|﹣1≤x≤1}=（﹣1，1]．故选A．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础的运算题．5. 已知直线与平面平行，则下列结论错误的是A．直线与平面没有公共点B．存在经过直线的平面与平面平行C．直线与平面内的任意一条直线平行D．直线上所有的点到平面的距离都相等参考答案：C6. 将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．故选：D．7. 已知随机变量ξ服从正态分布N（1，1），若P（ξ＜3）=0.977，则P（﹣1＜ξ＜3）=（）A．0.683 B．0.853 C．0.954 D．0.977参考答案：C【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是x=1，且P（ξ＞3）=0.023，依据正态分布对称性，即可求得答案．【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（1，1），∴曲线关于x=1对称，∵P（ξ＜3）=0.977，∴P（ξ＞3）=0.023，∴P（﹣1≤ξ≤3）=1﹣2P（ξ＞3）=1﹣0.046=0.954．故选：C．8. 函数的零点所在的区间是（）A． B．C． D．参考答案：C略9. 已知O为正三角形ABC内一点，且满足，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为（）A．B．1 C．2 D．3参考答案：A【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；压轴题．【分析】如图D，E分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到①；由于正三角形ABC，结合题目中的面积关系得到=，②．由①②可得O分DE所成的比，从而得出λ的值．【解答】解：，变为．如图，D，E分别是对应边的中点，由平行四边形法则知故①在正三角形ABC中，∵==，且三角形AOC与三角形ADC同底边AC，故O点到底边AC的距离等于D到底边AC的距离的三分之一，故=，?=﹣②由①②得λ=．故选A．【点评】本小题主要考查向量的加法与减法，及向量共线的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．10. 若函数f （x ）＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间（k －1，k ＋1）内不是单调函数，则实数k 的取值范围是A ．[1，＋∞）B ．[1，）C ．[1,2）D ．[，2） 参考答案： B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 计算：参考答案：略12. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视 图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则这个几何体的体积为 .参考答案：13. 设等差数列{a n }前n 项和为S n ，若S m －1＝－1，S m ＝0，S m ＋1＝2，则m ＝________.参考答案：3解法1：∵等差数列{a n }前n 项和为S n ，满足S m －1＝－1，S m ＝0，S m ＋1＝2， ∴解得m ＝3.解法2：a m ＝S m －S m －1＝1，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝2，d ＝a m ＋1－a m ＝1， a m ＝a 1＋(m －1)d ＝a 1＋m －1＝1，∴a 1＝2－m ，∴S m ＝ma 1＋d ＝m(2－m)＋＝0，∴m＝3.14. 命题1）若是偶函数，其定义域是，则在区间是减函数。
2019年湖南省衡阳市 县第三中学高三数学文上学期期末试题
2019年湖南省衡阳市县第三中学高三数学文上学期期末试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 数列中，已知对任意正整数，，则等于（）A．(2n－1)2 B．(2n－1) C．(4n－1) D．4n－1参考答案：C略2. 正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 平行四边形D. 梯形参考答案：A【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后确定截面的形状即可.【详解】如图所示，由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥所得的几何体，很明显三棱锥的两条侧棱相等，故截面是等腰三角形.故选：A.3. 已知是双曲线的左、右焦点,点在的渐近线上, 且与轴垂直, ,则的离心率为（）A．B． C. D．参考答案：D4. 设集合，则等于（）A. B. C. D.参考答案：A5. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）参考答案：C, , ,所以选C.6. 有四个关于三角函数的命题：或；；；.其中真命题是（）A． B． C．D．参考答案：D考点：命题真假7. 已知等比数列的前项和，则的值为....参考答案：A试题分析：根据题意有，结合等比数列的性质，可知，解得，故选A.考点：等比数列的性质.8.化简复数A. B. C. D.参考答案：B9. 函数y=﹣的图象按向量=（1，0）平移之后得到的函数图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的橫坐标之和等于( )A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：D考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：压轴题；数形结合．分析：y1=的图象由奇函数y=﹣的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．解答：解：函数y=﹣的图象按向量=（1，0）平移之后得到函数y1=，y2=2sinπx 的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图：当1＜x≤4时，y1＜0，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H，相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D，且：x A+x H=x B+x G═x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8，故选：D．点评：发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．10. 已知抛物线C:的焦点为F，过F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，若AF，BF的中点在y轴上的射影分别为M，N，且，则p的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 6参考答案：D【分析】通过，可知，假设直线代入，整理出韦达定理的形式，从而构造出关于的方程，求得结果.【详解】有题意知：设直线方程为：，即代入抛物线方程可得：设，，则，由可得：即：解得：本题正确选项：【点睛】本题考查直线与抛物线的问题，关键是能够利用韦达定理表示出线段长度，从而构造出方程，使问题得以求解.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知双曲线的渐近线过点，则该双曲线的离心率为 .参考答案：12. 已知函数时，，时，，则函数的零点个数有▲个.参考答案：3略13. 已知数列{}的通项公式为其前项的和为,则= .参考答案：14. 己知抛物线的参数方程为（t为参数）．焦点为F．准线为,直线的参数方程为(m为参数)．若直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，是，垂足为M，则△AMF的面积是________．参考答案：15. 规定矩阵A3=A?A?A，若矩阵，则x的值是．参考答案：【考点】二阶行列式的定义．【专题】计算题．【分析】按照规定的矩阵运算，进行化简，利用矩阵相等的概念，列出关于x的方程，并解出x即可．【解答】解：==，∴3x=1，x=故答案为：【点评】本题考查矩阵的运算，方程思想，属于基础题．16. 已知角的终边经过点，则的值是___________．参考答案：略17. 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_____ __.(用数字作答)参考答案：1.2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年湖南省衡阳市 县长安中学高三数学文上学期期末试题含解析
2020年湖南省衡阳市县长安中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，函数,若在上是单调减函数，则的取值范围是A．B．C．D．参考答案：C2. 已知集合，，则A∩B=（）A. (2,4)B. (－2,4)C. (－2,2)D. (－2,2]参考答案：C【分析】解分式不等式求得集合，然后求两个集合的交集.【详解】由，解得，故，故选C.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念及运算，考查分式不等式的解法，属于基础题.3. 已知集合,,则(A) (B) (C) (D)参考答案：C4. 已知椭圆的离心率为，椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为（）.A. 8B. 6C. 5D. 4 参考答案：A【分析】利用椭圆定义以及离心率，求出，然后求解椭圆短轴长即可．【详解】椭圆的离心率：椭圆上一点到两焦点距离之和为，即：可得：，则椭圆短轴长：本题正确选项：【点睛】本题考查椭圆的定义、简单几何性质的应用，属于基础题．5. 已知集合M={x|－3 <x≤5}，N={x|x<-5或x>5}，则M N=A．{x|x<-5或x> -3} B．{x| -5 <x <5}C．{x|-3 <x <5} D．{x|x< -3或x>5}参考答案：A因为集合M={x|－3 <x≤5}，N={x|x<-5或x>5}，所以M N={x|x<-5或x> -3}。
6. 函数的图像是（）参考答案：B7. 设满足约束条件则的最大值为A．B．C．D．参考答案：B考点：线性规划作可行域：A(1，2),B(,C(4，2)．所以则的最大值为5．故答案为：B8. 平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．B．C．D．参考答案：A因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，，所以球的半径为：．所以球的体积为：故选A．9. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 2参考答案：D∵抛物线的焦点坐标，，∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴，，∵设，由抛物线定义知：，∴，∴点的坐标为，∴，解得：，，则双曲线的离心率为2，故选D.10. 某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为，则的值为（）A．1 B．2 C. D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数的定义域为R，且对任意，都有。
湖南省衡阳市高三上学期期末联考数学试题 文(扫描版)
湖南省衡阳市2015届高三上学期期末联考数学试题文（扫描版）2015届高中毕业班联考试卷(一)数学(文科)参考答案及评分标准1. D. 解析： 将各选择项待入检验,便知选D.2. D 解析： 若函数f (x )有意义，则log 2x －1＞0，∴log 2x ＞1，∴x ＞2. 故选D.3. C 解析：含量词的命题的否定，先改变量词的形式，再对命题的结论进行否定．故选C.4. C 解析：函数y ＝cos |2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cosx 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝sin |x | 不是周期函数，④不正确．5. A 解析： 由已知得|a ＋b |2＝10，|a －b |2＝6，两式相减，得a ·b ＝1.6. B 解析：作出散点图如下：由图像不难得出，回归直线y ^＝bx ＋a 的斜率b <0，截距a >0，所以a >0，b <0.故选B.7. A.解析：根据三视图可知，几何体为圆锥的一部分，其底面为圆面的三分之一，所以其体积是圆锥体积的三分之一，易得体积是169π，故选A 。
8. D 解析： ∵0<k <5，∴5－k >0，16－k >0.对于双曲线：x 216－y 25－k＝1，其焦距是25－k ＋16＝221－k ；对于双曲线：x 216－k －y 25＝1，其焦距是216－k ＋5＝221－k .故焦距相等．故选D.9. B 解析：由题意，运用数型结合可知，当目标函数所在直线与AC 重合时满足要求，从而可得a ＝21，故选B.10. B 解析：⎪⎩⎪⎨⎧<<--=>-=)10(,ln 1)1(,0)1(,ln 1)(22x x x x x x f ，1>x 时，0ln 1)(2=-=x x f ，解得e x =；当1=x 时，0)(=x f ；当10<<x 时，0ln 1)(2=--=x x f ，即1ln 2-=x 无解．故函数)(x f 的零点有2个．故选B ．15. （1）. 6（n -1）,（2）8.解析：观察图形，可以看出，第一层是1个点，其余各层的点数都是6的倍数且倍数比层数少1，所以：（1）第n 层的点数为()61(2)n n -≥；（2）n 层六边形点阵的总点数为()16121n +⨯++⋅⋅⋅+-=()131n n +-令()131169n n +-=解得7n =-（舍去）或8n = 所以8n =16.解: （1）6条道路的平均得分为5.7)1098765(61=+++++.-----------------3分 ∴该市的总体交通状况等级为合格. -----------------5分（2）设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过5.0”. ---------6分从6条道路中抽取2条的得分组成的所有基本事件为：)6,5(，)7,5(，)8,5(，)9,5(，)10,5(，)7,6(，)8,6(，)9,6(，)10,6(，)8,7(，)9,7(，)10,7(，)9,8(，)10,8(，)10,9(，共15个基本事件． ---------------9分 事件A 包括)9,5(，)10,5(，)8,6(，)9,6(，)10,6(，)8,7(，)9,7(共7个基本事件， ∴157)(=A P ． 答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过5.0的概率为157.-----------------12分17.解：（1）ABC ∆中，∵A C a c b cos cos 2=--，由正弦定理，得：AC A C B cos cos sin sin sin 2=--，…………………………………………………….2分 即C A A C A B cos sin cos sin cos sin 2=--，故B C A A B s i n )s i n (c o s s i n 2=+=-……………………………………………………4分32,21cos π=-=∴A A …………………………………………………….6分 （2）32π=A ，且3sin 21==A bc S ，4=∴bc …………………………………………8分 由余弦定理，得1232cos 222222==+≥++=-+=bc bc bc bc c b A bc c b a 32≥∴a ，又42=≥+bc c b ，………………………………………………10分 当且仅当2==c b 时，a 的最小值为32，c b +的最小值为4，所以周长c b a ++的最小值为324+.…………………………………………………….12分18.解: ⑴取CE 中点P ，连结BP FP , ∵F 为CD 的中点，2分∴ABPF 为平行四边形，∴BP AF // …………………….4又∵AF ⊄平面BP BCE ,⊂平面BCE ， ∴AF //平面BCE . …………………….5分⑵3=ABED S ，，2=∆CDE S ，1=∆ABC S ，…………………………………….9分…………………………………………………….11分 …………………………………………………….12分(2)因为 13221111++++n n a a a a a a )421221(21)8161(21)6141(21+-+++-+-=n n …………………………………9分)]421221()8161()6141[(21+-+++-+-=n n 111()2424n =-+1184(2)n =-+. ………………………………………….12分因为*N n ∈ 所以 8111113221<++++n n a a a a a a ……………………………………….13分20. 解：（1）当1a =时，()ln f x x x =+，1'()1(0)f x x x =+>，(1)1f =，'(1)2f = … 2分所以切线方程为210x y --= ………………………… 4分（ 2 ）'()(0)x a f x x x+=> ……………………………5分 当0a ≥时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x >，所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞； ……6分当0a <()f x '()f x 此时， ()f x 的单调增区间是(,)a -+∞ ， 单调减区间是(0,)a - ……………8分21. 解：（1）由抛物线的焦点可得：12(1,0),(1,0)F F -，……………………………………………1分点1(1,0)F 关于直线y x =的对称点为),13,3(1+-'F …………………………………2分故12122PF PF FF a '+≥==， …………………………………………………….4分因此,1,1a b c ===，椭圆方程为2212x y += …………………………………6分。
2024学年衡阳市重点中学数学高三第一学期期末检测试题含解析
2024学年衡阳市重点中学数学高三第一学期期末检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( ) A ．51-B ．512- C ．51+D ．512+ 2．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]3．ABC ∆ 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b A +=，则角B 的大小为（ ） A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 4．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．5．将函数2()322cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭π C ．3,08⎛⎫-⎪⎝⎭π D ．3,18⎛⎫-⎪⎝⎭π6．若,x y 满足320020x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，且目标函数2(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则416a b +的最小值为( )A ．8B ．4C．D ．67．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫⎪⎝⎭，C ．11e ⎛⎫⎪⎝⎭，D ．（0，1）8．设10(){2,0xx f x x ≥=<，则((2))f f -=（ ）A ．1-B ．14C ．12D ．329．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ） A ．84B ．54C ．42D ．1810．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18 B ．14 C ．16D ．1211．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B的距离之比为2，当P ，A ，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是（ ）A．BC．3D．312．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022年湖南省衡阳市县山水中学高三数学文上学期期末试题含解析
2022年湖南省衡阳市县山水中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：C2. 已知点在上，. 则向量等于A．B．C． D．参考答案：B3. 已知，且，则（）A B C D参考答案：答案：D4. 已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是( )A． 0 B． C． 1 D．参考答案：A5. 函数f（x）=1+log2（﹣x）与g（x）=2x﹣1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】函数的图象．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由条件利用函数的定义域和单调性，结合函数的图象特征，得出结论．【解答】解：函数f（x）=1+log2（﹣x）的定义域为（﹣∞，0），且单调递减；g（x）=2x﹣1 的定义域为R，且单调递增，故选：A．【点评】本题主要考查函数的定义域和单调性，函数的图象特征，属于基础题．6. 复数满足，则（A）（B）（C）（D）参考答案：7. 设全集，则（） A． B．{4，5} C．{1，2，3，6，7，8}D．U参考答案：D略8. 在等比数列中，若公比，且，，则（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D9. 下列函数是增函数的是A. B.C. D..参考答案：【知识点】函数的单调性B3【答案解析】B y=tanx在给定的两个区间上式增函数，但在整个上不是增函数。
为减函数，为减函数，故选B【思路点拨】分别确定各个区间上的单调性，找出答案。
2019年湖南省衡阳市高湖中学高三数学文上学期期末试题含解析
2019年湖南省衡阳市高湖中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图所示为某旅游区各景点的分布图，图中—支箭发表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H有几条不同的旅游路线可走( )A．15 B．16C．17 D．18参考答案：C略2. 已知其中是实数，是虚数单位则( )A. B. i C.D.参考答案：【知识点】复数的运算 L4Ｃ由已知可得，因为是实数，所以，即，故选择Ｃ.【思路点拨】将已知化简可得，利用复数相等实部等于实部，虚部等于虚部，可得，故可得答案.3. 已知双曲线的右焦点F，直线与其渐近线交于A，B两点，且△为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是A. （） B. （1，）C. （） D. （1，）参考答案：D略4. 已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B5. 已知实数x，y分别满足：（x﹣3）3+2016（x﹣3）=a，（2y﹣3）3+2016（2y﹣3）=﹣a，则x2+4y2+4x的最小值是( )A．0 B．26 C．28 D．30参考答案：C【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】构造函数f（x）=x3+2016x，判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性的性质建立方程关系，可得x+2y﹣6=0，把2y=6﹣x代入z=x2+4y2+4x再利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：设f（x）=x3+2016x，则f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）是奇函数，且函数为增函数，∵（x﹣3）3+2014（x﹣3）=a，（2y﹣3）3+2014（2y﹣3）=﹣a，∴（x﹣3）3+2014（x﹣3）=﹣[（2y﹣3）3+2014（2y﹣3）]，即f（x﹣3）=﹣f（2y﹣3），即f（x﹣3）=f（3﹣2y），∵f（x）=x3+2016x为增函数，∴x﹣3=3﹣2y，即x+2y﹣6=0，把2y=6﹣x代入z=x2+4y2+4x得到z=x2+（6﹣x）2+4x=2x2﹣8x+36=2（x﹣2）2+28≥28，当且仅当x=2，y=2时取得最小值．故选：C．【点评】本题考查了函数奇偶性和二次函数的单调性的应用，根据条件构造函数f（x）=x3+2016x，判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．6. 我校高三文科班共有220名学生，其中男生60人，现用分层抽样的方法从中抽取了32名女生，则从中抽取男生应为（）人．A．8 B．10 C．12 D．14参考答案：C略7. 设复数z1＝1－i，z2＝＋i，其中i为虚数单位，则的虚部为A． B．C． D．参考答案：D8. 已知函数是定义在实数集上的以2为周期的偶函数，当时，.若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是( )A．或； B．0；C．0或； D．0或.参考答案：D9. 若函数，则的最小值是A.1B.C.D.参考答案：B10. 已知点在抛物线上，且点到的准线的距离与点到轴的距离相等，则的值为（）．A．B．C．D．参考答案：B根据题意可知，∵，∴，解得．故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知f(3x)＝4x log23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于________．参考答案：192812. （文科）若，则的值为；参考答案：13. 右图是一个几何体的三视图，则该几何体体积为______参考答案：1514. 已知随机变量服从正态分布，若，则．参考答案：试题分析：根据正态分布的特定，可知，而.考点：正态分布.15. 已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=2，则三棱锥A﹣BCD的外接球体积为．参考答案：4【考点】球内接多面体．【分析】取AD的中点O，连结OB、OC．由线面垂直的判定与性质，证出AB⊥BD且AC⊥CD，得到△ABD与△ACD是具有公共斜边的直角三角形，从而得出OA=OB=OC=OD=AD，所以A、B、C、D四点在以O为球心的球面上，再根据题中的数据利用勾股定理算出AD长，即可得到三棱锥A﹣BCD外接球的半径大小．【解答】解：取AD的中点O，连结OB、OC∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD，又∵BC⊥CD，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，∵AC?平面ABC，∴CD⊥AC，∵OC是Rt△ADC的斜边上的中线，OC=AD．同理可得：Rt△ABD中，OB=AD，∴OA=OB=OC=OD=AD，可得A、B、C、D四点在以O为球心的球面上．Rt△ABD中，AB=2且BD=2，可得AD==2，由此可得球O的半径R=AD=，∴三棱锥A﹣BCD的外接球体积为=4π．故答案为：4π．16. 设M是△ABC内一点，·，定义其中分别是△MBC，△MAC，△MAB的面积，若，则的取值范围是．参考答案：17. 已知函数为偶函数，则m﹣n= ．参考答案：4【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵函数的偶函数，∴当x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=f（x），即log2017x﹣nx3=mlog2017x+3x3，即m=1，﹣n=3，则n=﹣3，则m﹣n=1﹣（﹣3）=4，故答案为：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。
湖南省衡阳市市中学2018-2019学年高三数学文上学期期末试题含解析
湖南省衡阳市市中学2018-2019学年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，若关于的方程恰有一个实根，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：B2. （文科）若函数（< ）的图象（部分）则的解析式是A B.C. D.参考答案：A3. 已知O为四边形ABCD所在的平面内的一点，且向量，，，满足等式，若点E为AC的中点，则（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由可得，再由平行四边形数形结合求解即可.【详解】∵向量，，，满足等式，∴，即，则四边形为平行四边形，∵为的中点，∴为对角线与的交点，则，则，故选：B．【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算及数形结合的能力，属于中档题.4. 某程序框图如图所示，若程序运行后，输出S的结果是(A)246(B)286(C)329(D)375参考答案：B5. 在同一坐标系中画出函数，，的图象，可能正确的是( )参考答案：D6. 将函数的图像向左平移单位，得到函数的图像，则下列关于函数的结论，错误的是(A)函数的最小正周期为 (B)函数是奇函数(C)函数在区间上是减函数 (D)函数的图像关于直线对称参考答案：D略7. 函数的零点一定位于下列哪个区间（）A.B. C.D.参考答案：B8. （5分）（2015?陕西一模）如图，给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤2021 B．i≤2019 C．i≤2017 D．i≤2015参考答案：【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：根据流程图写出每次循环i，S的值，和比较即可确定退出循环的条件，得到答案．解：根据流程图，可知第1次循环：i=2，S=；第2次循环：i=4，S=；第3次循环：i=6，S=……第1008次循环：i=2016，S=；此时，设置条件退出循环，输出S的值．故判断框内可填入i≤2016．对比选项，故选：C．【点评】：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．9. 已知角2α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（），且2α∈[0，2π），则tanα等于（）A．﹣B．C．﹣D．参考答案：B考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据题意求出2α=，可得α=，由此求得tanα 的值．解答：解：由角2α的终边经过点（），且2α∈[0，2π），可得2α=，故α=，可得tanα=tan=，故选B．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，求出2α=，是解题的关键，属于基础题．本题从角的角度求解，比较简练10. （双曲线）已知双曲线的一条渐近线为y=2x,并且过定点（2，2），求双曲线的焦点到渐近线的距离（）A．2 B．3 C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设，定义为的导数，即，N，若的内角满足，则的值是 .参考答案：12. 已知圆的极坐标方程为，则该圆的半径是______________．参考答案：1略13. 若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为. 已知数列满足，现给出以下命题：①若，则可以取3个不同的值②若，则数列是周期为的数列③且，存在，是周期为的数列④且，数列是周期数列。
湖南省衡阳市 市实验中学2019年高三数学文上学期期末试题含解析
湖南省衡阳市市实验中学2019年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列有关命题的说法正确的是 ( )A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．B．“”是“”的必要不充分条件．C．命题“使得”的否定是：“对均有”．D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．参考答案：DD2. 对于定义域为[0,1]的函数，如果同时满足以下三个条件：①对任意的，总有②③若，，都有成立；则称函数为理想函数. 下面有三个命题：（1）若函数为理想函数，则；（2）函数是理想函数；（3）若函数是理想函数，假定存在，使得，且，则；其中正确的命题个数有A．3个 B．2个 C．1个 D．0个参考答案：【知识点】命题的真假判断与应用．A2【答案解析】A 解析：（1）取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），可得f （0）≥f（0）+f（0）即f（0）≤0，由已知?x∈[0，1]，总有f（x）≥0可得f（0）≥0，∴f（0）=0（2）显然f（x）=2x﹣1在[0，1]上满足f（x）≥0；②f（1）=1．若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=2x1+x2﹣1﹣[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）]=（2x2﹣1）（2x1﹣1）≥0，故f（x）=2x﹣1满足条件①②③，所以f（x）=2x﹣1为理想函数．（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，∴f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．若f（x0）＞x0，则f（x0）≤f[f（x0）]=x0，前后矛盾；若：f（x0）＜x0，则f（x0）≥f[f（x0）]=x0，前后矛盾．故f（x0）=x0．∴三个命题都正确，故选D．【思路点拨】（1）首先，根据理想函数的概念，可以采用赋值法，可考虑取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），可得f（0）≥f（0）+f（0），由已知f（0）≥0，可得f（0）=0；（2）要判断函数g（x）=2x﹣1，（x∈[0，1]）在区间[0，1]上是否为“理想函数，只要检验函数g（x）=2x﹣1，是否满足理想函数的三个条件即可；（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，f（n）=f （n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x0）=x0．，根据f[f（x0）]=x0，则f（x0）=x0．3. 角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则tan2θ=（）A．2 B．﹣4 C．D．参考答案：D【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用直线斜率的定义、二倍角的正切公式，进行计算即可．【解答】解：∵角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=2x上，∴tanθ=2；∴tan2θ==﹣，故选D．4. 给出下列三个等式：，，，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．B．C．D．参考答案：D5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）参考答案：6. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1相交于点E，则点E为△A1BC1的（）A．垂心B．内心C．外心D．重心参考答案：D7. 《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2 kA各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的总数是A. 216B. 420C. 720D. 1080参考答案：D略8.在的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：答案：B9. 执行如图所示的程序框图，输出的结果的值为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C10. 已知函数，若在区间内有零点，则的取值范围是A. B.C. D.参考答案：D将化简可得，由得，当时，，由题意知存在，，即，所以，由知，当时，，，，…，所以选D.点睛：本题主要考查了三角函数的化简，考查了三角函数的零点问题以及学生计算能力，难度一般；考查其性质时，首先应将其化为三角函数的一般形式，在化简过程中应注意降幂公式及辅助角公式的熟练运用，易得，由的范围，可得，即的取值范围，解出，根据可得结果.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S=（b2+c2﹣a2），则∠A=．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】根据三角形的面积公式S=bcsinA，而已知S=（b2+c2﹣a2），两者相等得到一个关系式，利用此关系式表示出sinA，根据余弦定理表示出cosA，发现两关系式相等，得到sinA等于cosA，即tanA等于1，根据A的范围利用特殊角的三角函数值即可得到A 的度数．【解答】解：由已知得：S=bcsinA=（b2+c2﹣a2）变形为： =sinA，由余弦定理可得：cosA=，所以cosA=sinA即tanA=1，又A∈（0，π），则A=．故答案为：12. 已知向量，，若与垂直，则______.参考答案：【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0，列出方程，即可得解【详解】依题意，，，向量与垂直，故，即，解得．【点睛】解决与向量垂直有关的问题，常利用向量垂直的充要条件：数量积为0进行解决．或者利用数形结合可得.13. 已知向量夹角为45°，且，则=．3【考点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：314. 双曲线C：的离心率为2，其渐近线与圆相切，则该双曲线的方程为．参考答案：由题意知，，即，则，由圆的方程可知，其圆心坐标为，半径，不妨取双曲线渐近线，则，即，所以，则，故所求双曲线的方程为.15. 已知不等式组表示的平面区域为D，若存在x∈D，使得y=x+，则实数m的取值范围是．[﹣2，2）【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，分类化简y=x+，然后分x＞0和x＜0两类求出m的取值范围，取并集得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，当x＞0时，y=x+=x+m；当x＜0时，y=x+=x﹣m．作出直线y=x，由图可知，当x＞0时，平移y=x至A，此时y=x+m的截距m最小为﹣2，向上平移y=x，可得y=x+m的截距m＜2；当x＜0时，直线y=x+m的纵截距m∈（﹣1，2）．∴若存在x∈D，使得y=x+，则实数m的取值范围是[﹣2，2）．故答案为：[﹣2，2）．16. 已知是偶函数，且 .参考答案：3略17. 已知函数（e是自然对数的底）.若函数的最小值是4，则实数a的取值范围为．参考答案：当时，（当且仅当时取等号），当时，，因此三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年湖南省衡阳市 县第四中学高三数学文上学期期末试卷含解析
2020年湖南省衡阳市县第四中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某算法的程序框图如右图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为( ) A．B．C．D．参考答案：C考点：程序框图2. 如图，过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．参考答案：C3. 已知数列{}是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为（）A．B．C．2 D．3参考答案：D略4. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．2 D．2参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】确定抛物线的焦点坐标，利用双曲线的性质，可得几何量的关系，从而可得双曲线的离心率．【解答】解：抛物线的焦点坐标为．双曲线的右焦点为（c，0），则．渐近线为，因为一条渐近线的斜率为，所以，即，所以b2=2a2=c2﹣a2，即c2=3a2，即，故选B．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查双曲线的几何性质，确定几何量之间的关系是关键．5. 已知各项不为0的等差数列{a n}，满足a72﹣a3﹣a11=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b6b8=（）A．2 B．4 C．8 D．16参考答案：B【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列的性质化简已知条件，得到关于a7的方程，求出方程的解得到a7的值，即得到b7的值，把所求的式子利用等比数列的性质化简，将b7的值代入求出值．【解答】解：根据等差数列的性质得：a3+a11=2a7，a72﹣a3﹣a11=0变为：a72=2a7，解得a7=2，a7=0（舍去），所以b7=a7=2，因为数列{b n}是等比数列，所以b6b8=a72=4，故选：B．6. 双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为（）A． B． C． D．参考答案：答案：A7. 已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断一定正确的是（）A．B．C．D．参考答案：C略8. 已知函数则不等式的解集是（）A． B． C． D．参考答案：A9. 设函数f(x)＝|sin x|·cos x，下列四个结论：①f(x)的最小正周期为2π②f(x)在单调递减③y＝f(x)图像的对称轴方程为x＝kπ(k∈Z) ④f(x)在有且仅有2个极小值点其中正确结论的个数是A.1B.2C.3D.4参考答案：C10. 设z∈C且z≠0，“z是纯虚数”是“z2∈R”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】z∈C且z≠0，“z是纯虚数”?“z2∈R”，反之不成立，例如取z=2．即可判断出结论．【解答】解：∵z∈C且z≠0，“z是纯虚数”?“z2∈R”，反之不成立，例如取z=2．∴“z是纯虚数”是“z2∈R”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算法则、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知i是虚数单位，复数z满足，则z= ．参考答案：由题意可得：，则：.12. 已知函数,若函数的图像经过点（3，），则___;若函数是上的增函数，那么实数a的取值范围是参考答案：2；若函数的图像经过点（3，），则，解得。
湖南省衡阳市高三(上)期末数学试卷(理科)
湖南省衡阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z=，其中i 为虚数单位，则z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|log x＞﹣1}，B=|x|2x＞|，则A∪B=（）A．（，2）B．（，+∞）C．（0，+∞）D．（0，2）3．执行如图所救援程序框图，输出s的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣1 D．﹣14．投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A={两次的点数均为奇数}，B={两次的点数之和为4}，则P（B|A）=（）A．B．C．D．5．若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则它的侧视图的面积为（）A．B．C．D．6．设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．函数f（x）=sinx•ln（x2+1）的部分图象可能是（）A．B．C．D．8．过抛物线y2=4x的焦点的直线与圆x2+y2﹣4x﹣2y=0相交，截得弦长最长时的直线方程为（）A．x﹣y﹣1=0 B．x+y﹣1=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y+1=09．在Rt△AOB中，•=0，||=，||=2，AB边上的高为OD，D在AB上，点E位于线段OD上，若•=，则向量在向量上的投影为（）A．或B．1 C．1或D．10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C． D．11．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为（，﹣），∠AOC=α，若|BC|=1，则cos2﹣sin cos﹣的值为（）A．B．C．﹣ D．﹣12．设函数f（x）=﹣x，若不等式f（x）≤0在[﹣2，+∞）上有解，则实数a的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．三位女同学两位男同学站成一排，男同学不站两端的排法总数为．（用数字寺写答案）14．已知实数x，y满足，则的取值范围是．15．在△ABC中，已知角A的正切值为函数y=lnx﹣在x=1处切线的斜率，且a=，b=2，则sinB=．16．表面积为20π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是边长为2的等边三角形，若平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC体积的最大值是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且n，a n，S n成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）记b n=a n•log2（a n+1），求数列{b n}的前n项和T n．18．酒后违法驾驶机动车危害巨大，假设驾驶人员血液中的酒精含量为Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车．如图为某市交管部门在一次夜间行动中依法查出的60名饮酒后违法驾驶机动车者抽血检测后所得频率分布直方图（其中120≤Q＜140人数包含Q≥140）．（I）求查获的醉酒驾车的人数；（II）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD．中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E 是PB的中点．（Ⅰ）求证；平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（，）是椭圆C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F2．（1）求椭圆C的方程；（2）设F1为椭圆C的左焦点，过右焦点F2的直线l与椭圆C交于不同两点M、N，记△F1MN的内切圆的面积为S，求当S取最大值时直线l的方程，并求出最大值．21．已知f（x）=asinx，g（x）=lnx，其中a∈R，y=g﹣1（x）是y=g（x）的反函数．（1）若0＜a≤1，证明：函数G（x）=f（1﹣x）+g（x）在区间（0，1）上是增函数；（2）证明：sin＜ln2；（3）设F（x）=g﹣1（x）﹣mx2﹣2（x+1）+b，若对任意的x＞0，m＜0有F（x）＞0恒成立，求满足条件的最小整数b的值．[选修题]：[选修4－4：坐标与参数方程]（请考生在22、23两题中任选一题作答，注意，只能做所选定题目，如果多做则按第一个计分。
2023届湖南省衡阳市高三期末联考数学试题【含答案】
2023届湖南省衡阳市高三期末联考数学试题一、单选题1．已知集合，则（ ）32x A x x ⎧⎫-=≥⎨⎬⎩⎭R A = A ．B ．或{}1x x >{0x x ≤}1x >C ．D ．或{}01x x <<{0x x <}1x >【答案】B【分析】先解不等式求出集合，从而可求出.A R A 【详解】解不等式，，解得，32x x -≥330x x -≥01x <≤所以，则或．{01}A x x =<≤R A = {0x x ≤}1x >故选：B2．在复平面内，复数对应的点分别是，则复数的虚部为（ ）12,z z (2,1),(0,5)-21z z A ．2B ．C ．D ．2-2i-2i【答案】A【分析】根据复数的几何意义和复数的除法计算法则即得.【详解】由题可知，122i,5i z z =-=则，()()()2i 5i 5i12i 2i 2i 2i z +⋅===-+--+所以复数的虚部为2．21z z 故选：A.3．函数的部分图象大致为（ ）2cos2()sin xf x x +=A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性以及特殊点即可排除选项求解.【详解】的定义域为，关于原点对称，()f x {}π,Z x x k k ≠∈因为，所以为奇函数，故排除C,D ,2cos(2)2cos2()()sin()sin x xf x f x x x +-+-==-=--()f x 又，所以排除B,π102f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭故选：A4．过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（ ）(1,2)24y x =A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】B【分析】分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，将直线与方程联立，分析即k 得解；【详解】当直线的斜率不存在时，直线，代入抛物线方程可，故直线与抛物线有1x =2y =±1x =两个交点．不满足要求，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，()21y k x -=-由，消得，，224y kx k y x =-+⎧⎨=⎩x 24480ky y k --+=当时，解得，直线与抛物线有且只有一个交点，符合题意；0k =1,2x y ==2y =当时，由，可得，0k ≠()()244840k k ∆=---=1k =即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有2条．1k =故选：B.5．已知为球球面上的三个点，若，球的表面积为，则三棱锥,,A B C O 3AB BC AC ===O 36π的体积为（ ）O ABC -ABCD【答案】C【分析】利用球的表面积求出球的半径，由三角形的正弦定理求出三角形外接圆的半径，然后利用勾股定理求出三棱锥的高，最后利用椎体体积公式计算即可.O ABC -【详解】设球的半径为，则由球的表面积为，O R 24π36πR =所以3,R =设外接圆的半径为，圆心为，ABC r 1O 由，3AB BC AC ===所以为等边三角形，ABC 所以，22sin 60AB r r r =⇔=⇒= 所以点O 到平面ABC=所以三棱锥的体积为：O ABC -111133sin 60332ABC V S OO =⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 故选：C.6．“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a （亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S （亿吨）与时间t （年）满足函数关系式，若经过4年，该地区二氧化碳的排放量为（亿吨）．已知该tS ab =34a地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要实3a现“碳中和”，至少需要经过（ ）（参考数据：）lg 20.30,lg 30.48≈≈A ．13年B ．14年C ．15年D ．16年【答案】D【分析】由条件列式先确定参数，再结合对数运算解方程.434aab =3ta ab =【详解】由题意，，即，所以434aS ab ==434b =b =令，即，故，即，3t a ab =13t b =13t=1lg 3t =可得，即．1(lg32lg 2)lg34t -=-4lg3162lg 2lg3t =≈-故选：D7．2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17日在卡塔尔举行．现要安排甲、乙等5名志愿者去A ，B ，C 三个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人都只能去一个足球场，则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为（ ）A ．12B ．18C ．36D ．48【答案】C【分析】先按3，1，1或2，2，1分组，再安排到球场.【详解】将5人按3，1，1分成三组，且甲、乙在同一组的安排方法有种，13C 将5人按2，2，1分成三组，且甲、乙在同一组的安排方法有种，23C 则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为．()123333CC A 36+=故选：C 8．已知，则（ ）()()π0,cos 2cos 212cos cos 2αβαβαβαβ<<<++=-++A ．B ．π6αβ+=π3αβ+=C ．D ．π6βα-=π3βα-=【答案】D【分析】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据，的范围即可求出结果.αβ【详解】由已知可将，，()()2ααβαβ=++-2()()βαβαβ=+--则，cos[()()]cos[()()]12cos()cos()αβαβαβαβαβαβ++-++--+=-++，2cos()cos()2cos()cos()10αβαβαβαβ+----++=，即或．[cos()1][2cos()1]0αβαβ+---=cos()1αβ+=1cos()2αβ-=又，所以，π02αβ<<<π0π,02αβαβ<+<-<-<所以，所以选项A ，B 错误，cos()1αβ+≠即，则，所以．则C 错，D 对，1cos()2αβ-=π3αβ-=-π3βα-=故选：D二、多选题9．将的图象向右平移个单位长度得到的图象，则（ ）2sin 2y x =π6()f x A ．B ．的图象关于直线对称π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x π12x =C ．的图象关于点对称D ．在内是增函数()f x π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】AC【分析】根据三角函数图象变换的知识求得的解析式，利用代入验证法判断BC 选项的正确()f x 性，根据三角函数单调性判断D 选项的正确性.【详解】将的图象向右平移个单位长度得到，A 正确.2sin 2y x =π6ππ()2sin 22sin 263f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为，所以的图象不关于直线对称，B 错误；πππ2sin 11263f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x π12x =因为，所以的图象关于点对称，C 正确；πππ2sin 0633f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭因为，所以函数在内不是增函数，D 错误．ππ2π2,33π,30,2x x ⎛⎫∈ ⎛⎪⎫-∈- ⎪⎝⎭⎭⎝()f x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：AC10．为了解某班学生每周课外活动的时间，甲同学调查了10名男生，其平均数为9，方差为11；乙同学调查了10名女生，其平均数为7，方差为8．若将甲、乙两名同学调查的学生合在一起组成一个容量为20的样本，则该样本数据的（ ）A ．平均数为8.5B ．平均数为8C ．方差为10.5D ．方差为10【答案】BC【分析】根据平均数和方差的定义计算求解即可.【详解】由题意，该样本数据的平均数，10910781010a ⨯+⨯==+方差．222101011(98)8(78)10.52020s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦故选：BC11．已知定义在上的奇函数，且当时，，R (),,(0,),()()()f x m n f mn f m f n ∀∈+∞=+1x >()0f x <则（ ）A ．B ．有三个零点(1)0f =(2)f x -C ．在上为减函数D ．不等式的解集是()f x (,0)-∞(2)0xf x -<(,1)(3,)-∞+∞ 【答案】ABC【分析】令求解判断A ；由题得在上是减函数，进而结合奇函数性质，结合函1m n ==()f x (0,)+∞数图像平移变换判断BC ；令，进而得，函数在()(2)f x g x -=()()()1320g g g ===()g x 均为单调递减函数，再分，，，，五种情况讨论()(),2,2,-∞+∞0x <01x <<12x <<23x <<3x >求解即可.【详解】解：令，得，所以，选项A 正确．1m n ==(1)(1)(1)f f f =+(1)0f =，且，则，，12,(0,)x x ∀∈+∞12x x <211x x >210x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭所以，，()()()212111x f x f x f x f x x ⎛⎫-=-⨯= ⎪⎝⎭()()2211110x x f x f f x f x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=->⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以在上是减函数，()()12,()f x f x f x >(0,)+∞又为上的奇函数，，()f x R (1)0,(0)0f f -==所以有三个零点，将的图像向右平移2个单位长度得到的图像，()f x ()f x (2)f x -所以有三个零点，选项B 正确．(2)f x -由于为奇函数，所以在上也是减函数，选项C 正确．()f x ()f x (,0)-∞由于的图像向右平移2个单位长度得到的图像，即，()f x (2)f x -()(2)f x g x -=则，函数在均为单调递减函数，()()130g g ==()g x ()(),2,2,-∞+∞所以，当时，；时，；1x <()0g x >12x <<()0g x <当时，；时，；23x <<()0g x >3x >()0g x <所以，()(2)00xf x xg x -<⇔<所以，当时，；时，；时，；0x <()0xg x <01x <<()0xg x >12x <<()0xg x <当时，；时，.23x <<()0xg x >3x >()0xg x <所以，不等式的解集是，故D 错误.(2)0xf x -<()()(),01,23,-∞+∞ 故选：ABC ．12．如图，在棱长为的正方体中，是线段的中点，点，满足21111ABCD A B C D -E 1AD M N ，其中，则（ ）11111,A M AC B N B C λμ== ,(0,1)λμ∈A ．存在，使得平面平面(0,1)λ∈1AD M ⊥1AB C B ．存在，使得平面平面,(0,1)λμ∈MEN 1AB C C ．对任意,(0,1),MN λμ∈D ．当时，过，，12,23λμ==E M N 【答案】ACD 【分析】证明平面可判断A ；由平面平面，可判断和的重合点，进1D M ⊥1AB C 11A DC 1AB C M N 而可判断选项B ；找出最小时的位置，进而判断选项C ；利用构造平形四边的方法，找到截面，MN 进而求解判断选项D.【详解】对于A ，由正方体中，，又平面，1AC BD AC DD ⊥⎧⎨⊥⎩BD ⊂1BDD 平面，，可证平面,1DD ⊂1BDD 1BD DD D = AC ⊥1BDD 可得,又，平面，1AC D B ⊥11111B C BC B C C D ⊥⎧⎨⊥⎩1BC ⊂11BC D 平面，，可证平面，11C D ⊂11BC D 1111BC C D C = 1B C ⊥11BC D 可得，所以由，平面，11B C D B ⊥111D B ACD B B C ⊥⎧⎨⊥⎩AC ⊂1AB C平面，，可得平面，1B C ⊂1AB C 1AC B C C ⋂=1D B ⊥1AB C 所以当时，平面，12λ=1D M ⊥1AB C 即平面平面，故A 项正确；1AD M ⊥1AB C 对于B ，平面平面，又因为平面，11A DC 1AB C E ∈11A DC 所以与重合，与重合，M 1A N 1C 此时，不符合题意，故B 项错误；0,1λμ==对于C ，当时，，12λμ==111,MN B C MN AC ⊥⊥此时最小，最小值为，故C 项正确；MN 12对于D ，当时，12,23λμ==在上取靠近点的三等分点，11A D 1D G 连接并延长交于点，GE AD H 易得点是上靠近点的三等分点，H AD A 在上取靠近点的三等分点，如下图：BC B P 则，且GN HP AB ∥∥GN HP AB==又因为平面，所以，AB ⊥11AA D D AB GH ⊥即，则四边形为矩形，HP GH ⊥GHPN 又，NP ==2HP AB ==则矩形的面积为GHPN 2HP NP ⨯=，故D 项正确．=故选：ACD ．三、填空题13．已知向量，若，则__________．(,2),(1,3)a m b =-=()a b b -⊥ m =【答案】16【分析】根据向量垂直列方程，由此求得的值.m 【详解】由，得，即，则．()a b b -⊥ ()0a b b -⋅= 2,610a b b m ⋅=-= 16m =故答案为：1614．已知集合，函数满足不等式的解集为P ，则函数(0,1)(1,2)P = ()f x ()ln 0f x x ⋅>__________．（写出一个符合条件的即可）()f x =【答案】（答案不唯一）232x x -+-【分析】根据二次函数的图象与性质以及对数函数的图象与性质，可得答案.【详解】令，则的解集为P ．2()32f x x x =-+-()ln (1)(2)ln 0f x x x x x ⋅=--->故答案为：.232x x -+-15．双曲线的左、右顶点分别为A ，B ，P 为C 上一点，若点P 的纵坐标为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>1，，则C 的离心率为__________．|||2PA PB ==【分析】根据双曲线上的点与双曲线顶点连线斜率的关系，结合双曲线离心率公式进行求解即可.【详解】根据双曲线的对称性，由，不妨设点P 在第一象限，||||PA PB >设，即，，0(,1)P x 22200222111(1x x a a b b -=⇒=+(,0),(,0)A a B a -，222222000211111(1)PA PBb k k x a x a x a a a a b ⋅=⋅===+--+-，即，所以C22b a =2216b a ==【点睛】关键点睛：利用双曲线上的点与双曲线顶点连线斜率的关系是解题的关键.16．已知是函数的一个零点，且，则的最小值为0x 2()2e xf x b =-01,e 4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦22a b +__________．【答案】##.34e 4341e 4【分析】由题意得，设直线，则点是直线02012e0,,e 4x b x ⎡⎤+-=∈⎢⎥⎣⎦02:e 0x l y +-=(,)A a b l 上的一点，然后求出原点O 到直线l 的距离，构造函数，利用导数求出其e 1(),,e 414x g x x x ⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦最小值即可.【详解】由已知可得．02012e0,,e 4x b x ⎡⎤-=∈⎢⎥⎣⎦不妨设直线，则点是直线l 上的一点，2:e 0x l y +-=(,)A a b 原点O到直线l 的距离d==则||OA d =≥=设，2e 1e (43)(),,e ,()414(41)x x x g x x g x x x -⎡⎤=∈=⎢⎥'++⎣⎦在上递减，在递增e ()41xg x x =+13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦可得，34min 3e()44g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭所以的最小值为．22a b +34e4故答案为：34e4【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查函数与方程的应用，解题的关键是设直线，则点是直线l 上的一点，然后将问题转化为则大于等02:e 0x l y +-=(,)A a b ||OA =于原点O 到直线l 的距离，求出其最小值即可，d =e 1(),,e 414x g x x x ⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.四、解答题17．在数列中，．{}n a 23122341n a a a a n n n ++++=++ (1)求的通项公式；{}n a (2)证明：．12111134(2)8n a a n a +++<+ 【答案】(1)222n a n n =+(2)证明见解析【分析】（1）令可求得的值，令，由可得1n =1a 2n ≥23122341n a a a a n nn ++++=++ ，两式作差可得出的表达式，再验证的值是否满足的21231234n a a a an n n -++++=- n a 1a ()2n a n ≥表达式，综合可得出数列的通项公式；{}n a （2）计算得出，利用裂项相消法求出数列的前()()()()111411122n n n n a n n ⎡⎤-⎢++=++⎣⎦()12n n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭项和，即可证得结论成立.n 【详解】（1）解：因为，①23122341n a a a a n nn ++++=++ 则当时，，即，1n =122a =14a =当时，，②2n ≥21231234n a a a an nn -++++=- ①②得，所以，-21na n n =+()21n a n n =+也满足，故对任意的，.14a =()21n a n n =+N n *∈()21n a n n =+（2）证明：()()()()()()11111112212212412n n a n n n n n n n n n ⎛⎫==⋅=⋅-⎪+++++++⎝⎭，()()()1114112n n n n ⎡⎤=-⎢+++⎣⎦所以()()()()121111111111342412232334112n a a n a n n n n ⎡⎤+++=-+-++-⎢⎥+⨯⨯⨯⨯+++⎣⎦ ．()()111142128n n ⎡⎤=-<⎢⎥++⎣⎦18．某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．(1)求甲获得奖金的期望；(2)已知甲和乙最后所得奖金之和为900元，求甲获得一等奖的概率．【答案】(1)52.5(2)12【分析】（1）由题知甲获得的奖金可能的取值为0，200，700，进而依次计算对应的概率，求解期望即可；（2）根据条件概率的计算公式求解即可.【详解】（1）解：（1）设甲获得的奖金为元，则可能的取值为0，200，700．X X ，(200)0.70.50.50.80.14P X ==⨯⨯⨯=，(700)0.70.50.50.20.035P X ==⨯⨯⨯=，(0)10.140.0350.825P X ==--=所以，甲获得的奖金的概率分布列为：X0200700P0.8250.0350.14所以．()0.82500.142000.03570052.5E X =⨯+⨯+⨯=（2）解：由（1）可知，获得二等奖的概率为0.14，获得一等奖的概率为0.035．设事件A ：甲和乙最后所得奖金之和为900元，设事件B ：甲选手获得一等奖，由（1）知获得二等奖的概率为，获得一等奖的概率为，0.140.035所以，()0.140.03520.0098P A =⨯⨯=()0.140.0350.0049P AB =⨯=所以，所求的概率．()()()0.0350.1410.0350.1422P AB P B A P A ⨯===⨯⨯19．在中，角、、所对的边分别为、、，，．ABC A B C a b c 1c =cos cos 1b C B -=(1)证明：．2B C =(2)若为锐角三角形，求的取值范围．ABC a 【答案】(1)证明见解析(2)()1,2【分析】（1）由已知可得出，利用正弦定理化简得出，求出cos cos b C c B c -=()sin sin B C C-=的取值范围，讨论与的关系，可证得结论成立；B C -B C -C （2）由为锐角三角形求出的取值范围，利用正弦定理化简得出关于的函数关系式，ABC C a C 结合余弦函数的基本性质可求得的取值范围.a 【详解】（1）解：由，可得，cos cos 1b C B -=cos cos b Cc B c -=所以，则．sin cos sin cos sin B C C B C -=()sin sin B C C-=因为，，所以，，0πB <<0πC <<ππB C -<-<因为，则.()sin sin 0B C C -=>0πB C <-<所以，或（舍去），即．B C C -=πB C C -+=2B C =（2）解：由为锐角三角形，可得，即，ABC π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩π0π32π022π02C C C ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩解得，所以，，则，ππ64C <<ππ232C <<10cos 22C <<由正弦定理可得，sin sin a cA C =则()sin sin sin cos cos sin sin 2cos cos 2sin sin sin sin sin B C A B C B C C C C Ca C C C C+++====.()222sin cos cos 2sin 2cos cos 22cos 211,2sin C C C C C C C C +==+=+∈故的取值范围是.a ()1,220．在三棱柱中，，O 为的中点．111ABC A B C -1112,A B AC AA AB AC ===⊥BC(1)证明：平面．1A O ⊥ABC (2)已知，在线段上（不含端点）是否存在点Q ，使得二面角的余弦值2AB AC ==11B C 11Q AC B --Q 的位置，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，11134B Q B C = 【分析】（1）根据边相等可证明三角形全等，进而可证线线垂直，进而可证线面垂直，（2）建立空间直角坐标系，根据向量共线以及法向量的夹角即可求解【详解】（1）证明：连接，因为，O 为的中点，所以．AO AB AC ⊥BC OA OB OC ==因为，所以，111A B AC AA ==111A OA A OB A OC ≅≅ 所以．111AOA AOB AOC ∠=∠=∠又，所以，即，．11πA OB A OC ∠+∠=11π2A OB A OC ∠=∠=1A O BC ⊥1A O AO ⊥因为，平面，所以平面．BC AO O ⋂=,BC AO ⊂ABC 1A O ⊥ABC（2）如图所示，分别以所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则1,,OA OB OA ，设，1(0,A C A B1111,((0,B Q B C AB AC λ===,()0,BC =-．11111111(,0)AQ A B B Q A B B C AB BC λλ=+=+=+= 设平面的法向量为，由 得 11A B C (,,)m x y z =10,0,m AB m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0,0,⎧=⎪⎨=⎪⎩令，得，即．1y =1,1x z ==-(1,1,1)m =-设平面的法向量为，由 得1AQC (,,)u a b c = 110,0,u A Q u A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩)0,0,b ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩令，得，即．1b =12,1a c λ=-=-(12,1,1)u λ=--，cos ,u 34λ=即当时，二面角11134B Q B C = 11Q AC B --21．已知，曲线在处的切线方程为．0ab ≠23()xf x a x =-1x =630x by +-=(1)求a ，b 的值；(2)证明：当时，．(0,1]x ∈()tan f x x <【答案】(1)3,2a b ==-(2)证明见解析【分析】（1）根据切点和斜率求得.,a b（2）化简，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.()tan f x x <【详解】（1）由题可知，即．33(1)1f a b -==-1b a =-又，所以，()()()22222223633()a x x a x f x a x a x -++==--'2336(1)(1)a f a b +==-'-解得，即．32a b =⎧⎨=-⎩3,2a b ==-（2），，23()3xf x x =-(0,1]x ∈要证，，()tan f x x <23sin 3cos x xxx <-只需证，23sin 3cos sin 0x x x x x -->令，2()3sin 3cos sin g x x x x x x =--则，2()3cos 3cos 3sin 2sin cos (sin cos )g x x x x x x x x x x x x x =-+--=-'令，则，()sin cos ,(0,1]h x x x x x =-∈()cos cos sin sin 0h x x x x x x x '=-+=>所以在上单调递增，所以，即，()h x (0,1]()(0)0h x h >=()0g x '>所以在上单调递增，则，即当时，．()g x (0,1]()(0)0g x g >=(0,1]x ∈()tan f x x <22．已知O 为坐标原点，M 是椭圆上的一个动点，点N 满足，设点N 221:14x C y +=ON = 的轨迹为曲线．2C (1)求曲线的方程．2C (2)若点A ，B ，C ，D 在椭圆上，且与交于点P ，点P 在上．证明：1C 2,CD AB AC =BD 2C 的面积为定值．PCD 【答案】(1)；221123x y +=(2)证明见解析.【分析】（1）利用相关点法即得；（2）由题可得A ，B 分别为的中点，进而可得C ，D 都在直线上，然后利用,PC PD 0040x x y y +=弦长公式及三角形面积公式结合条件即得.【详解】（1）设，则，(,),(,)N x y M m n2214m n +=因为，ON =所以，,x y ==所以，221123x y +=即曲线的方程为；2C 221123x y +=（2）设，则，()()()112200,,,,,C x y D x y P x y 22001123x y +=由，可知A ，B 分别为的中点，2CD AB = ,PC PD 所以，10102020,,,2222x x y y x x y y A B ++++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，作差可得．2211210210142142x y x x y y ⎧+=⎪⎪⎪⎨+⎛⎫⎪⎪+⎛⎫⎝⎭⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩2200100123042x x x y y y +++-=因为，22001123x y +=所以，010140x x y y +=同理，020240x x y y +=所以C ，D 都在直线上，0040x x y y +=联立，可得，00224014x x y y xy +=⎧⎪⎨+=⎪⎩222220002200,4141212x xx y x x y⎛⎫===- ⎪+⎝⎭即||CD ==点P 到直线的距离，CDd ===所以的面积为，PCD 11||22d CD ⋅==即的面积为定值．PCD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.。