直角三角形等腰直角三角形斜边直线专题

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等腰直角三角形斜边计算公式

等腰直角三角形斜边计算公式
等腰直角三角形斜边计算公式是指用来计算等腰直角三角形斜边的数学表达式。

三角形是一种多边形，它一般由三条线段组成，经常用来作图形分割或者构建几何形状。

等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它有两个相等的直角角度，另外一个角度为90度，并且这两个相等的角度都是小于90度的，而且它们的斜边长度也是相等的。

在数学中，等腰直角三角形斜边计算公式是：斜边长度=根号（2*底边长度*底边长度）。

可以看出，等腰直角三角形斜边计算公式是一个很简单的数学表达式，它只需要知道三角形的底边长度，就可以计算出斜边长度了。

等腰直角三角形斜边计算公式的主要思想是利用勾股定理计算出斜边长度，该定理是由古希腊数学家勾股提出的，它认为在一个三角形中，两边长度的平方加起来等于斜边的平方，这也就是为什么等腰直角三角形斜边计算公式才会是根号（2*底边长度*底边长度）。

因此，当我们要计算等腰直角三角形的斜边长度时，可以使用等腰直角三角形斜边计算公式，这样就能轻松地计算出斜边长度了。

在计算时，只需要将等腰直角三角形的底边长度代入公式中，就可以得到斜边长度的值了。

这种斜边计算公式在学校数学课上经常会讲解，因为它非常容易理解，而且也能快速地计算出斜边长度。

同时，这种斜边计算公式也在工程计算中有很多应用，可以用来计算几何形状的斜边长度，例如房屋的屋顶斜边长度等。

综上所述，等腰直角三角形斜边计算公式是一种简单且实用的数学表达式，它不仅能用于学校数学课上的讲解，而且也能用于工程计算中的实际应用，大大提高了计算效率，是一种非常实用的计算方法。

直角三角形与等腰三角形

直角三角形与等腰三角形三角形是几何形状中最基本的一种。

根据其边和角的属性，可以将三角形分为各种类型，其中直角三角形和等腰三角形是两个非常重要的特殊类型。

本文将介绍直角三角形和等腰三角形的定义、性质和应用。

一、直角三角形直角三角形是一种具有一个角为90度的三角形。

在直角三角形中，直角是其最大的角，另外的两个角是锐角或钝角。

直角三角形的性质如下：1. 边的关系：在直角三角形中，边与角有着密切的关系。

根据毕达哥拉斯定理，直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和。

即c² = a² + b²。

2. 特殊比例：由于边的关系，直角三角形可以形成一些特殊的比例关系。

例如，边长为3和4的直角三角形，其斜边长为5。

这种比例关系可以用于解决各类实际问题。

3. 角的关系：在直角三角形中，由于一个角为90度，其余两个角的和为90度。

这一特性可以用于计算角度的大小。

直角三角形在日常生活中有着广泛的应用，如建筑、工程、地理测量等领域。

二、等腰三角形等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形。

在等腰三角形中，两个相等的边叫做腰，另外一条边叫做底边。

等腰三角形的性质如下：1. 角的关系：在等腰三角形中，底边上的角相等。

这是由于两条腰的长度相等，所以两个顶角也相等。

2. 高的关系：等腰三角形的高是从顶点到底边的垂直距离，等于两边长度差的一半。

3. 面积的计算：等腰三角形的面积可以通过底边长度和高的关系来计算，即等于底边乘以高再除以2。

等腰三角形在数学中有许多应用，如解决等腰三角形的性质问题、计算等腰三角形的面积等。

三、直角三角形与等腰三角形的关系直角三角形和等腰三角形之间存在一定的关系。

在一个直角三角形中，当两个直角边的长度相等时，即为一个等腰直角三角形。

这是因为直角三角形中的直角边可以看作是等腰三角形的腰。

等腰直角三角形具有一些特殊的性质。

例如，等腰直角三角形中的两个锐角的度数必然相等，且每个角都是45度。

中考数学专题复习之等腰三角形与直角三角形

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图形性质判定面积计算公式
等腰三角形
等腰三角形与直角三角形
直角三角形
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第19课时等腰三角形与直角三角形
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考点 1 等腰三角形的性质及判定
1．等腰三角形
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性质判定面积
(1)两腰相等，两底角___相__等___(简写成“等边对等角”)；(2) 顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(简写成“三线合一”)；(3)是轴对称图形，有___1___条对称轴
(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；(2)有两个角相等
的三角形是等腰三角形
S＝
1 2
ah(其中a是底边长，h是底边上的高)
第分要点】等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．一般情况下，在同一个三角形中，欲证边相等，先证角相等，欲证角相等，先证边相等．
第1题图
第19课时等腰三角形与直角三角形
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∵
证明：如解图，取BC的中点D，连接AD，在△ABD和△ACD中，
AB=AC AD=AD BD=CD ∴△ABD≌△ACD(SSS)．
第1题解图
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝90°. ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC. ∴AD为∠BAC的平分线，边BC上的中线和高线．即等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高“三线合一”．
第19课时等腰三角形与直角三角形
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判定面积
(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；(2)有两个角互余的三角形是直角三角形；(3)勾股定理逆定理：若a2＋b2＝c2，则以a、b、c为三边的三角形是直角三角形；【提分要点】勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的重要方法，应用时先确定最大边，然后验证两条短边的平方和是否等于最大边的平方．(4)一条边的中线等

等腰直角三角形斜边和直角边

等腰直角三角形斜边和直角边
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它的两条腰的长度相等，并且其中一条腰与另一条腰所夹的角度为90度。

本文将探讨等腰直角三角形中的斜边和直角边的关系。

首先，让我们定义等腰直角三角形的斜边、直角边和腰。

斜边是连接直角边的那条边，直角边是与直角相邻的两条边，而腰是与直角边不相邻的那条边。

在等腰直角三角形中，斜边是最长的边。

这是因为根据勾股定理，斜边的平方等于直角边的平方和直角边的平方。

由于直角边长度相等，所以斜边的平方等于2倍直角边的平方。

因此，斜边的长度是直角边长度的开方再乘以√2。

举个例子来说明。

假设直角边的长度为a，那么斜边的长度就是a 乘以√2。

换句话说，等腰直角三角形中，斜边的长度是直角边长度的√2倍。

除此之外，直角边的长度也有一定的关系。

由于等腰直角三角形的两条直角边相等，所以它们的长度是一样的。

假设直角边的长度为a，那么另一条直角边的长度也是a。

综上所述，等腰直角三角形中，斜边的长度是直角边长度的√2倍，而直角边的长度是相等的。

这个关系可以用下面的公式总结：
斜边=直角边×√2
直角边1=直角边2
通过这些关系，我们可以利用已知条件来求解等腰直角三角形的边长。

例如，如果我们知道直角边的长度，就可以通过斜边=直角边×√2来计算斜边的长度。

总之，等腰直角三角形中的斜边和直角边之间有着特定的关系。

通过理解和应用这些关系，我们可以更好地理解和解决与等腰直角三角形相关的问题。

等腰直角三角形斜边中线的一类问题

等腰直角三角形是一种特殊的三角形，其中两条腰相等，且有一个角为直角。在等腰直角三角形中，斜边是连接两个非直角顶点的边，具有特殊的性质。根据勾股定理，斜边的平方等于两腰的平方和。此外，斜边上的中线也有重要性质：它等于斜边的一半。这一性质在解决等腰直角三角形相关问题时非常有用。然而，本文档主要关应用以及与其他几何元素的关系。通过深入理解和应用这些性质，可以更好地解决等腰直角三角形斜边中线相关的数学问题。

直角三角形等腰直角三角形斜边直线专题

直角三角形、斜边中线、等腰直角三角形专题一、直角三角形的性质1．一块直角三角板放在两平行直线上，如图，∠1+∠2=度．2．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG 平分∠DAC，求证：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③AG⊥EF．3．如图所示，在△ABC中，CD，BE是两条高，那么图中与∠A相等的角有4．如图，已知△ABC中，AB＞AC，BE、CF都是△ABC的高，P是BE上一点且BP=AC，Q是CF延长线上一点且CQ=AB，连接AP、AQ、QP，求证：△APQ是等腰直角三角形．二、含30°角的直角三角形的性质5．在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E 两点．若BD=2，求AD的长6．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC=6，求PD的长7．如图所示，矩形ABCD中，AB=AD，E为BC上的一点，且AE=AD，求∠EDC的度数8．如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的中点，DF⊥AB于点F，点E 在BA的延长线上，且ED=EC，若AE=2，求AF的长9．如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，求CD的长10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：（1）CD=DE；（2）AC=BE；（3）BD=2CD；三、直角三角形斜边中线问题11．如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，求证：△PMN为等边三角形；12．已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM，EM．（1）若DE=3，BC=8，求△DME的周长；（2）若∠A=60°，求证：∠DME=60°；（3）若BC2=2DE2，求∠A的度数．13．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF=2，求AC的长14．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°，D在BC上，AD=BD，E为AB的中点，AD、CE相交于点F，求∠DFE等于多少16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，求∠ACB′=．17．如图，△ABC中，AB=AC，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC，若DE=5，AE=8，求BC的长度．18．如图，在平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°．求证：AC=BD．19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB边的中点，CH⊥AB 于点H，CD平分∠ACB．（1）求证：∠1=∠2．（2）过点M作AB的垂线交CD延长线于E，求证：CM=EM；（3）△AEB是什么三角形？证明你的猜想．20．如图，已知在△ABC中，延长CA到D，使BA=BD，延长BA到E，使CA=CE，设P、M、N分别是BC、AD、AE的中点．求证：△PMN是等腰三角形．四、等腰直角三角形问题21．如图，△ACB、△CDE为等腰直角三角形，∠CAB=∠CDE=90°，F为BE的中点，求证：AF⊥DF，AF=DF．22．已知等腰直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，AE平分∠CAB交CD 于E，在DB上取点F，使DF=DE，求证：CF平分∠DCB．23．如图，△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∠ODB=∠OCA=90°．M是线段AB中点，连接DM、CM、CD．若C在直线OB上，试判断△CDM的形状．24．如图①，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点．（1）求证：△BMD为等腰直角三角形；（2）将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图②所示，则（1）题中的结论“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．25．已知：如图△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，E，F分别在线段AB，AC上，且∠EDF=90°（1）求证：△DEF为等腰直角三角形；=S△BDE+S△CDF；（2）求证：S四边形AEDF（3）如果点E运动到AB的延长线上，F在射线CA上且保持∠EDF=90°，△DEF 还仍然是等腰直角三角形吗？请画图说明理由．26．△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．（1）如图1，作∠ADB的角平分线DF交BE于点F，连接AF．求证：∠FAB=∠FBA；（2）如图2，连接DE，点G与点D关于直线AC对称，连接DG、EG①依据题意补全图形；②用等式表示线段AE、BE、DG之间的数量关系，并加以证明．27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF、AF、AD，AD与CF交于点G．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）AD与CF的关系是；（3）求证：△ACF是等腰三角形；（4）△ACF可能是等边三角形吗？（填“可能”或“不可能”）．直角三角形斜边中线等腰直角三角形专题参考答案与试题解析1．【解答】解：如图，∠1=∠3，∠2=∠4（对顶角相等），∵∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°．故答案为：90．【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，对顶角相等，熟记性质是解题的关键．2．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG 平分∠DAC，给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③∠EBC=∠C；④AG⊥EF．其中正确的结论是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③【分析】根据同角的余角相等求出∠BAD=∠C，再根据等角的余角相等可以求出∠AEF=∠AFE；根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF．【解答】解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠C+∠ABC=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠BAD=∠C，故①正确；∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠CBE，∵∠ABE+∠AEF=90°，∠CBE+∠BFD=90°，∴∠AEF=∠BFD，又∵∠AFE=∠BFD（对顶角相等），∴∠AEF=∠AFE，故②正确；∵∠ABE=∠CBE，∴只有∠C=30°时∠EBC=∠C，故③错误；∵∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∵AG平分∠DAC，∴AG⊥EF，故④正确．综上所述，正确的结论是①②④．故选C．【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．3．如图所示，在△ABC中，CD，BE是两条高，那么图中与∠A相等的角的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据已知条件CD，BE是两条高可知：∠A+∠DCA=90°，∠ABE+∠BHD=90°，∠A+∠ABE=90°，∠CHE+∠HCE=90°，再根据同角的余角相等即可得到答案．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠BDH=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∠ABE+∠BHD=90°，∵BE⊥AC，∴∠A+∠ABE=90°，∠CHE+∠HCE=90°，∴∠A=∠BHD=∠CHE，故选：B．【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是根据垂直得到有哪些角互余．4．如图，已知△ABC中，AB＞AC，BE、CF都是△ABC的高，P是BE上一点且BP=AC，Q是CF延长线上一点且CQ=AB，连接AP、AQ、QP，判断△APQ的形状．【分析】利用BE、CF都是△ABC的高，求证∠1=∠2，然后求证△ACQ≌△PBA，利用AQ=AP，AQ⊥AP，即可证明△APQ是等腰直角三角形．【解答】解：△APQ是等腰直角三角形．∵BE、CF都是△ABC的高，∴∠1+∠BAE=90°，∠2+∠CAF=90°（同角（可等角）的余角相等）∴∠1=∠2又∵AC=BP，CQ=AB，在△ACQ和△PBA中，∴△ACQ≌△PBA∴AQ=AP，∴∠CAQ=∠BPA=∠3+90°∴∠QAP=∠CAQ﹣∠3=90°∴AQ⊥AP∴△APQ是等腰直角三角形【点评】此题考查学生对全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的理解和掌握，难度不大，属于基础题．5．（2016秋•泰山区期中）在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AD的长是（）A．3 B．4 C．5 D．4.5【分析】根据直角三角形的性质求出∠A的度数，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，解答即可．【解答】解：∵∠ACB=60°，∠B=90°，∴∠A=30°，∵DE是斜边AC的中垂线，∴DA=DC，∴∠ACD=∠A=30°，∵BD=2，∴AD=4，故选B【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．6．（2016秋•大丰市月考）如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC=6，则PD等于（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOP=∠COP，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PCE=∠AOB=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP=∠COP，∴∠PCE=∠BOP+∠COP=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°，又∵PC=6，∴PE=PC=3，∵AOP=∠BOP，PD⊥OA，∴PD=PE=3，故选B．【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及平行线的性质，作辅助线构造出含30°的直角三角形是解题的关键．7．（2015春•兰溪市期末）如图所示，矩形ABCD中，AB=AD，E为BC上的一点，且AE=AD，则∠EDC的度数是（）A．30°B．75°C．45°D．15°【分析】根据矩形性质得出∠C=∠ABC=90°，AB=CD，DC∥AB，推出AE=2AB，得出∠AEB=30°=∠DAE，求出∠EDC的度数，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠ABC=90°，AB=CD，DC∥AB，∵AB=AD，E为BC上的一点，且AE=AD，∴AE=2AB，∴∠AEB=30°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE=30°，∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣∠EAD）=75°，∵∠ADC=90°，∴∠EDC=90°﹣75°=15°，故选D．【点评】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠ABC和∠EBA的度数，题目比较好，是一道综合性比较强的题目．8．（2013春•重庆校级期末）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的中点，DF⊥AB于点F，点E在BA的延长线上，且ED=EC，若AE=2，则AF的长为（）A．B．2 C．+1 D．3【分析】过点E作EH∥AC交BC的延长线于H，证明△ABH是等边三角形，求出CH，得到BD的长，根据直角三角形的性质求出BF，计算即可．【解答】解：过点E作EH∥AC交BC的延长线于H，∴∠H=∠ACB=60°，又∠B=60°，∴△EBH是等边三角形，∴EB=EH=BH，∴CH=AE=2，∵ED=EC，∴∠EDC=∠ECD，又∠B=∠H，∴∠BED=∠HEC，在△BED和△HEC中，，∴△BED≌△HEC，∴BD=CH=2，∴BA=BC=4，BF=BD=1，∴AF=3．故选：D．【点评】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形的三个角都是60°是解题的关键．9．（2012春•古冶区校级期中）如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，那么CD的长是（）A．2 B．3 C．1 D．1.5【分析】在Rt△AEC中，由于=，可以得到∠1=∠2=30°，又AD=BD=4，得到∠B=∠2=30°，从而求出∠ACD=90°，然后由直角三角形的性质求出CD．【解答】解：在Rt△AEC中，∵=，∴∠1=∠2=30°，∵AD=BD=4，∴∠B=∠2=30°，∴∠ACD=180°﹣30°×3=90°，∴CD=AD=2．故选A．【点评】本题利用了：（1）直角三角形的性质；（2）三角形内角和定理；（3）等边对等角的性质．10．（2012秋•包河区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，以下结论（1）CD=DE；（2）AC=BE；（3）BD=2CD；（4）DE=AC中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据角平分线的性质可得CD=DE，AC=BE，结合含30°角的直角三角形的性质可得BD=2CD，而AC和BD不一定相等，所以可得出答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DC=DE，∠ADC=∠ADE=60°，∴AD平分∠CDE，∴AC=AE，在Rt△BDE中，∠B=30°，∴BD=2DE=2CD，在Rt△ADE中，DE=AE=AC，∴正确的有（1）、（2）、（3），故选C．【点评】本题主要考查角平分线的性质及含30°角的直角三角形的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．11．（2015秋•江阴市期中）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②△PMN 为等边三角形；下面判断正确是（）A．①正确B．②正确C．①②都正确D．①②都不正确【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断②正确．【解答】解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，∴PM=BC，PN=BC，∴PM=PN，正确；②∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∴∠ABM=∠ACN=30°，在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM=PN=PB=PC，∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等边三角形，正确；所以①②都正确．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键．12．已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM，EM．（1）若DE=3，BC=8，求△DME的周长；（2）若∠A=60°，求证：∠DME=60°；（3）若BC2=2DE2，求∠A的度数．【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线性质求出DM=BC=4，EM=BC=4，即可求出答案；（2）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DM=BM，EM=CM，推出∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，根据三角形内角和定理求出即可；（3）求出EM=EN，解直角三角形求出∠EMD度数，根据三角形的内角和定理求出即可．【解答】解：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠BDC=∠BEC=90°，∵M是线段BC的中点，BC=8，∴DM=BC=4，EM=BC=4，∴△DME的周长是DE+EM+DM=3+4+4=11；（2）证明：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵∠BDC=∠BEC=90°，M是线段BC的中点，∴DM=BM，EM=CM，∴∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，∴∠EMC+∠DMB=∠ABC+∠ACB=120°，∴∠DME=180°﹣120°=60°；（3）解：过M作MN⊥DE于N，∵DM=EM，∴EN=DN=DE，∠ENM=90°，∵EM=DM=BC，DN=EN=DE，BC2=2DE2，∴（2EM）2=2（2EN）2，∴EM=EN，∴sin∠EMN==，∴∠EMN=45°，同理∠DMN=45°，∴∠DME=90°，∴∠DMB+∠EMC=180°﹣90°=90°，∵∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，∴∠ABC+∠ACB=（180°﹣∠DMB+180°﹣∠EMC）=135°，∴∠BAC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=45°．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，本题综合性比较强，有一定的难度，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．13．（2014春•永川区校级期中）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF=2，则AC的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】连结AF．由AB=AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC=2EF=4．【解答】解：如图，连结AF．∵AB=AD，F是BD的中点，∴AF⊥BD．∵在Rt△ACF中，∠AFC=90°，E是AC的中点，EF=2，∴AC=2EF=4．故选B．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD是解题的关键．14．（2011秋•姜堰市期末）如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC 上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．2 B．2.4 C．2.6 D．3【分析】先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用相似三角形对应边成比例即可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长．【解答】解：连结AP，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，∴∠BAC=90°，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP．∵M是EF的中点，∴AM=AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，∴当AP⊥BC时，△ABP∽△CBA，∴=，∴=，∴AP最短时，AP=4.8∴当AM最短时，AM==2.4．故选B．【点评】此题主要考查学生对相似三角形判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定的拔高难度，属于中档题．15．（2010•武隆县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°，D在BC上，AD=BD，E为AB的中点，AD、CE相交于点F，∠DFE等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据已知得，∠BAC=70°，∠BAD=∠B，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出∠ECB=∠B，从而得出∠ACE，再由三角形的内角和定理得∠AFC，根据对顶角相等求出答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=20°，∴∠BAC=70°，∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=20°，∴∠DAC=50°，∵E为AB的中点，∴BE=CE，∴∠ECB=∠B=20°，∴∠ACE=70°，在△ACF中，∠ACF+∠AFC+∠FAC=180°，∴∠AFC=60°，∵∠DFE=∠AFC=60°（对顶角相等），故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是基础知识要熟练掌握．16．（2016•江岸区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，则∠ACB′=10°．【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的度数，根据直角三角形的性质分别求出∠BCD、∠DCA的度数，根据翻折变换的性质求出∠B′CD的度数，计算即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=40°，∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，∴CD=BD，CD=AD，∴∠BCD=∠B=50°，∠DCA=∠A=40°，由翻折变换的性质可知，∠B′CD=∠BCD=50°，∴∠ACB′=∠B′CD﹣∠DCA=10°，故答案为：10°．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、翻折变换的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．17．（2016秋•嵊州市期末）如图，△ABC中，AB=AC，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC，若DE=5，AE=8，则BC的长度为2．【分析】由BE⊥AC，D为AB中点，DE=5，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得AB的长，然后由勾股定理求得BC的长．【解答】解：∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵D为AB中点，∴AB=2DE=2×5=10，∵AE=8，∴BE==6．∴BC===2，故答案为：2．【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理．注意掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半定理的应用是解此题的关键．18．如图，在平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°．求证：AC=BD．【分析】连接EO，首先根据平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，即O为BD 和AC的中点，在Rt△AEC中EO=AC，在Rt△EBD中，EO=BD，进而得到AC=BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可证出结论．【解答】证明：连接EO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，在Rt△EBD中，∵O为BD中点，∴EO=BD，在Rt△AEC中，∵O为AC中点，∴EO=AC，∴AC=BD．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB边的中点，CH⊥AB 于点H，CD平分∠ACB．（1）求证：∠1=∠2．（2）过点M作AB的垂线交CD延长线于E，求证：CM=EM；（3）△AEB是什么三角形？证明你的猜想．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AM=CM=BM，由等腰三角形到性质得到∠CAB=∠ACM，由余角的性质得到∠CAB=∠BCH，等量代换得到∠BCH=∠ACM，根据角平分线的性质得到∠ACD=∠BCD，即可得到结论；（2）根据EM⊥AB，CH⊥AB，得到EM∥AB，由平行线的性质得到∠HCD=∠MED，由于∠HCD=∠MCD，于是得到∠MCD=∠MED，即可得到结论；（3）根据CM=EM AM=CM=BM，于是得到EM=AM=BM，推出△AEB是直角三角形，由于EM垂直平分AB，得到EA=EB于是得到结论．【解答】证明：（1）Rt△ABC中，∠ACB=90°，∵M是AB边的中点，∴AM=CM=BM，∴∠CAB=∠ACM，∴∠CAB=90﹣∠ABC，∵CH⊥AB，∴∠BCH=90﹣∠ABC，∴∠CAB=∠BCH，∴∠BCH=∠ACM，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ACD﹣∠ACM=∠BCD﹣∠BCH，即∠1=∠2；（2）∵EM⊥AB，CH⊥AB，∴EM∥CH，∴∠HCD=∠MED，∵∠HCD=∠MCD，∴∠MCD=∠MED，∴CM=EM；（3）△AEB是等腰直角三角形，∵CM=EM AM=CM=BM，∴EM=AM=BM，∴△AEB是直角三角形，∵EM垂直平分AB，∴EA=EB，∴△AEB是等腰三角形，∴△AEB是等腰直角三角形．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．20．如图，已知在△ABC中，延长CA到D，使BA=BD，延长BA到E，使CA=CE，设P、M、N分别是BC、AD、AE的中点．求证：△PMN是等腰三角形．【分析】连接BM、CN，根据等腰三角形三线合一得到∠BMC=90°，根据直角三角形的性质得到MP=BC，同理NP=BC，得到答案．【解答】证明：连接BM、CN，∵BA=BD，DM=MA，∴BM⊥AD，∴∠BMC=90°，又BP=PC，∴MP=BC，同理，NP=BC，∴MP=NP，∴△PMN是等腰三角形．【点评】本题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形三线合一是解题的关键．21．如图，△ACB、△CDE为等腰直角三角形，∠CAB=∠CDE=90°，F为BE的中点，求证：AF⊥DF，AF=DF．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF=BF=AE，DF=BF=AE，再根据等边对等角可得∠ABF=∠BAF，∠DBF=∠BDF，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AFD=2∠ABC，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．【解答】证明：∵∠CAB=∠CDE=90°，F为BE的中点，∴AF=BF=AE，DF=BF=AE，∴AF=DF，∴∠ABF=∠BAF，∠DBF=∠BDF，由三角形的外角性质得，∠AFD=∠ABF+∠BAF+∠DBF+∠BDF=2∠ABC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∴∠AFD=90°，∴AF⊥DF，综上所述，AF⊥DF，AF=DF．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．22．已知等腰直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，AE平分∠CAB交CD 于E，在DB上取点F，使DF=DE，求证：CF平分∠DCB．【分析】延长FE交AC于点G，利用角平分线的性质可知EG=ED，然后证明△CEG ≌△FED，得出CE=FE，利用等腰三角形的性质，平行线的性质即可求出∠ECF=∠BCF．【解答】解：延长FE交AC于点G，∵DE=DF，CD是斜边AB上的高，∴∠DEF=45°，∵∠DCB=45°，∴EF∥BC，∴∠EFC=∠FCB，∠CGF=90°，∵AE平分∠CAB，∠CGF=∠BDC=90°，∴GE=DE，在△CGE与△FDE中，，∴△CGE≌△FDE（ASA），∴CE=FE，∴∠ECF=∠EFC，∴∠ECF=∠BCF，∴CF平分∠DCB．【点评】本题考查等腰三角形的性质，涉及全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，平行线的判定与性质等知识点，综合程度较高．23．如图，△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∠ODB=∠OCA=90°．M是线段AB中点，连接DM、CM、CD．若C在直线OB上，试判断△CDM的形状．【分析】由△OBD和△OCA是等腰直角三角形得到∠ACB=∠ADB=90°，∠OBD=45°，由M为AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得到DM=AM=BM，CM=AM=BM，则CM=DM，∠MBD=∠MDB，∠MCB=∠MBC，理由三角形外角性质得∠AMD=2∠MBD，∠AMC=2∠MBC，则∠AMD﹣∠AMC=2（∠MBD﹣∠MBC）=2∠OBD=90°，于是可得到△CDM为等腰直角三角形．【解答】解：△CDM为等腰直角三角形．理由如下：∵△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ADB=90°，∠OBD=45°，而M为AB的中点，∴DM=AM=BM，CM=AM=BM，∴CM=DM，∠MBD=∠MDB，∠MCB=∠MBC，∴∠AMD=2∠MBD，∠AMC=2∠MBC，∴∠AMD﹣∠AMC=2（∠MBD﹣∠MBC）=2∠OBD=90°，即∠CMD=90°，∵CM=DM，∴△CDM为等腰直角三角形．同理可得：第2个图中△CDM为等腰直角三角形．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质、三角形外角的性质，灵活利用直角三角形的斜边上的中线的性质是关键．24．（2010•渝中区模拟）如图①，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点．（1）求证：△BMD为等腰直角三角形；（2）将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图②所示，则（1）题中的结论“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出BM=EN=MC，DM=EM=MC，然后根据等边对等角的性质可以证明∠BMD=90°，所以△BMD为等腰直角三角形；（2）延长DM交BC于N，先根据∠EDB=∠ABC=90°证明ED∥BC，然后根据两直线平行，内错角相等求出∠DEM=∠MCN，从而证明△EDM与△MNC全等，根据全等三角形对应边相等可得DM=MN，然后即可证明BM⊥DM，且BM=DM．【解答】（1）证明：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM=EC=MC，∴∠MBC=∠MCB．∴∠BME=2∠BCM．（2分）同理可证：DM=EC=MC，∠EMD=2∠MCD．∴∠BMD=2∠BCA=90°，（4分）∴BM=DM．∴△BMD是等腰直角三角形．（5分）（2）（1）题中的结论仍然成立．理由：延长DM与BC交于点N，（6分）∵DE⊥AB，CB⊥AB，∴∠EDB=∠CBD=90°，∴DE∥BC．∴∠DEM=∠MCN．又∵∠EMD=∠NMC，EM=MC，∴△EDM≌△MNC．（8分）∴DM=MN．DE=NC=AD．又AB=BC，∴AB﹣AD=BC﹣CN，∴BD=BN．∴BM⊥DM．即∠BMD=90°．（9分）∵∠ABC=90°，∴BM=DN=DM．∴△BMD是等腰直角三角形．（10分）【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握判定定理及性质并灵活运用是解题的关键，难度中等．25．（2011秋•昌平区校级期中）已知：如图△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，E，F分别在线段AB，AC上，且∠EDF=90°（1）求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）求证：S=S△BDE+S△CDF；四边形AEDF（3）如果点E运动到AB的延长线上，F在射线CA上且保持∠EDF=90°，△DEF 还仍然是等腰直角三角形吗？请画图说明理由．【分析】（1）连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，从而得到∠1=∠B，再根据同角的余角相等求出∠2=∠4，然后利用“AAS”证明△BDE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，从而得证；（2）同理求出△ADE和△CDF全等，根据全等三角形的面积相等即可得证；（3）依然成立，连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，∠CAD=45°，再根据等角的补角相等求出∠DAF=∠DBE，然后利用“AAS”证明△BDE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，从而得证．【解答】（1）证明：如图，连接AD，∵∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，∴AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，∴∠1=∠B=45°，∵∠EDF=90°，∴∠2+∠3=90°，又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴DE=DF，又∵∠EDF=90°，∴△DEF为等腰直角三角形；（2）解：同理可证，△ADE≌△CDF，所以，S=S△ADF+S△ADE=S△BDE+S△CDF，四边形AEDF=S△BDE+S△CDF；即S四边形AEDF（3）解：仍然成立．如图，连接AD，∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，∴AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，∵∠DAF=180°﹣∠1=180°﹣45°=135°，∠DBE=180°﹣∠ABC=180°﹣45°=135°，∴∠DAF=∠DBE，∵∠EDF=90°，∴∠3+∠4=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠2=∠4，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴DE=DF，又∵∠EDF=90°，∴△DEF为等腰直角三角形．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．26．（2016•汕头校级自主招生）△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．（1）如图1，作∠ADB的角平分线DF交BE于点F，连接AF．求证：∠FAB=∠FBA；（2）如图2，连接DE，点G与点D关于直线AC对称，连接DG、EG①依据题意补全图形；②用等式表示线段AE、BE、DG之间的数量关系，并加以证明．【分析】（1）欲证明∠FAB=∠FBA，由△ADF≌△BDF推出AF=BF即可解决问题．（2）①根据条件画出图形即可．②数量关系是：GD+AE=BE．过点D作DH⊥DE交BE于点H，先证明△ADE≌△BDH，再证明四边形GEHD是平行四边形即可解决问题．【解答】证明：（1）如图1中，∵AD⊥BC，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°，∴AD=BD，∵DF平分∠ADB，∴∠1=∠2，在△ADF和△BDF中，，∴△ADF≌△BDF．∴AF=BF，∴∠FAB=∠FBA．（2）补全图形如图2中所示，数量关系是：GD+AE=BE．理由：过点D作DH⊥DE交BE于点H∴∠ADE+∠ADH=90°，∵AD⊥BC，∴∠BDH+∠ADH=90°，∴∠ADE=∠BDH，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∠AKE=∠BKD，∴∠DAE=∠DBH，在△ADE和△BDH中，，∴△ADE≌△BDH．∴DE=DH，AE=BH，∵DH⊥DE，∴∠DEH=∠DHE=45°，∵BE⊥AC，∴∠DEC=45°，∵点G与点D关于直线AC对称，∴AC垂直平分GD，∴GD∥BE，∠GEC=∠DEC=45°，∴∠GED=∠EDH=90°，∴GE∥DH，∴四边形GEHD是平行四边形∴GD=EH，∴GD+AE=BE．【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练正确全等三角形判定方法，学会添加常用辅助线，构造全等三角形以及特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．27．（2016春•东港市期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF、AF、AD，AD与CF交于点G．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）AD与CF的关系是AD=CF；（3）求证：△ACF是等腰三角形；（4）△ACF可能是等边三角形吗？不可能（填“可能”或“不可能”）．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠CBA=∠CAB=45°，根据平行线的性质得到∠FBE=∠CAB=45°，根据全等三角形的判定定理证明即可；（2）根据全等三角形的性质定理得到答案；（3）根据线段垂直平分线的性质得到AD=AF，等量代换即可；（4）根据直角三角形的直角边小于斜边解答．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵BF∥AC，∴∠FBE=∠CAB=45°，∴∠CBF=90°，又DE⊥AB，∴∠FDB=45°，∴∠DFB=45°，∴BD=BF，又D为BC中点，∴CD=BF，在△ACD和△CBF中，，∴△ACD≌△CBF；（2）∵△ACD≌△CBF，∴AD=CF，故答案为：AC=BF；（3）连接AF，∵DF⊥AE，DE=EF，∴AD=AF，∵AD=CF，∴AF=CF，∴△ACF是等腰三角形；（4）在Rt△ACF中，AC＜AD，∴AC＜AF，∴△ACF不可能是等边三角形，故答案为：不可能．【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定以及等边三角形的判定，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．。

直角三角形等腰直角三角形斜边直线专题

直角三角形、斜边中线、等腰直角三角形专题一、直角三角形的性质1．一块直角三角板放在两平行直线上，如图，∠1+∠2=度．2．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG 平分∠DAC，求证：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③AG⊥EF．3．如图所示，在△ABC中，CD，BE是两条高，那么图中及∠A相等的角有4．如图，已知△ABC中，AB＞AC，BE、CF都是△ABC的高，P是BE上一点且BP=AC，Q是CF延长线上一点且CQ=AB，连接AP、AQ、QP，求证：△APQ是等腰直角三角形．二、含30°角的直角三角形的性质5．在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E 两点．若BD=2，求AD的长6．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC=6，求PD的长7．如图所示，矩形ABCD中，AB=AD，E为BC上的一点，且AE=AD，求∠EDC的度数8．如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的中点，DF⊥AB于点F，点E 在BA的延长线上，且ED=EC，若AE=2，求AF的长9．如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，求CD的长10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：（1）CD=DE；（2）AC=BE；（3）BD=2CD；三、直角三角形斜边中线问题11．如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，求证：△PMN为等边三角形；12．已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM，EM．（1）若DE=3，BC=8，求△DME的周长；（2）若∠A=60°，求证：∠DME=60°；（3）若BC2=2DE2，求∠A的度数．13．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF=2，求AC的长14．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°，D在BC上，AD=BD，E为AB的中点，AD、CE相交于点F，求∠DFE等于多少16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，求∠ACB′=．17．如图，△ABC中，AB=AC，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC，若DE=5，AE=8，求BC的长度．18．如图，在平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°．求证：AC=BD．19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB边的中点，CH⊥AB 于点H，CD平分∠ACB．（1）求证：∠1=∠2．（2）过点M作AB的垂线交CD延长线于E，求证：CM=EM；（3）△AEB是什么三角形？证明你的猜想．20．如图，已知在△ABC中，延长CA到D，使BA=BD，延长BA到E，使CA=CE，设P、M、N分别是BC、AD、AE的中点．求证：△PMN是等腰三角形．四、等腰直角三角形问题21．如图，△ACB、△CDE为等腰直角三角形，∠CAB=∠CDE=90°，F为BE的中点，求证：AF⊥DF，AF=DF．22．已知等腰直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，AE平分∠CAB交CD 于E，在DB上取点F，使DF=DE，求证：CF平分∠DCB．23．如图，△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∠ODB=∠OCA=90°．M是线段AB中点，连接DM、CM、CD．若C在直线OB上，试判断△CDM的形状．24．如图①，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点．（1）求证：△BMD为等腰直角三角形；（2）将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图②所示，则（1）题中的结论“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．25．已知：如图△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，E，F分别在线段AB，AC上，且∠EDF=90°（1）求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）求证：S四边形AEDF =S△BDE+S△CDF；（3）如果点E运动到AB的延长线上，F在射线CA上且保持∠EDF=90°，△DEF 还仍然是等腰直角三角形吗？请画图说明理由．26．△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．（1）如图1，作∠ADB的角平分线DF交BE于点F，连接AF．求证：∠FAB=∠FBA；（2）如图2，连接DE，点G及点D关于直线AC对称，连接DG、EG①依据题意补全图形；②用等式表示线段AE、BE、DG之间的数量关系，并加以证明．27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF、AF、AD，AD及CF交于点G．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）AD及CF的关系是；（3）求证：△ACF是等腰三角形；（4）△ACF可能是等边三角形吗？（填“可能”或“不可能”）．直角三角形斜边中线等腰直角三角形专题参考答案及试题解析1．【解答】解：如图，∠1=∠3，∠2=∠4（对顶角相等），∵∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°．故答案为：90．【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，对顶角相等，熟记性质是解题的关键．2．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG 平分∠DAC，给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③∠EBC=∠C；④AG⊥EF．其中正确的结论是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③【分析】根据同角的余角相等求出∠BAD=∠C，再根据等角的余角相等可以求出∠AEF=∠AFE；根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF．【解答】解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠C+∠ABC=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠BAD=∠C，故①正确；∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠CBE，∵∠ABE+∠AEF=90°，∠CBE+∠BFD=90°，∴∠AEF=∠BFD，又∵∠AFE=∠BFD（对顶角相等），∴∠AEF=∠AFE，故②正确；∵∠ABE=∠CBE，∴只有∠C=30°时∠EBC=∠C，故③错误；∵∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∵AG平分∠DAC，∴AG⊥EF，故④正确．综上所述，正确的结论是①②④．故选C．【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．3．如图所示，在△ABC中，CD，BE是两条高，那么图中及∠A相等的角的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据已知条件CD，BE是两条高可知：∠A+∠DCA=90°，∠ABE+∠BHD=90°，∠A+∠ABE=90°，∠CHE+∠HCE=90°，再根据同角的余角相等即可得到答案．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠BDH=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∠ABE+∠BHD=90°，∵BE⊥AC，∴∠A+∠ABE=90°，∠CHE+∠HCE=90°，∴∠A=∠BHD=∠CHE，故选：B．【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是根据垂直得到有哪些角互余．4．如图，已知△ABC中，AB＞AC，BE、CF都是△ABC的高，P是BE上一点且BP=AC，Q是CF延长线上一点且CQ=AB，连接AP、AQ、QP，判断△APQ的形状．【分析】利用BE、CF都是△ABC的高，求证∠1=∠2，然后求证△ACQ≌△PBA，利用AQ=AP，AQ⊥AP，即可证明△APQ是等腰直角三角形．【解答】解：△APQ是等腰直角三角形．∵BE、CF都是△ABC的高，∴∠1+∠BAE=90°，∠2+∠CAF=90°（同角（可等角）的余角相等）∴∠1=∠2又∵AC=BP，CQ=AB，在△ACQ和△PBA中，∴△ACQ≌△PBA∴AQ=AP，∴∠CAQ=∠BPA=∠3+90°∴∠QAP=∠CAQ﹣∠3=90°∴AQ⊥AP∴△APQ是等腰直角三角形【点评】此题考查学生对全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的理解和掌握，难度不大，属于基础题．5．（2016秋•泰山区期中）在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AD的长是（）A．3 B．4 C．5 D．4.5【分析】根据直角三角形的性质求出∠A的度数，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，解答即可．【解答】解：∵∠ACB=60°，∠B=90°，∴∠A=30°，∵DE是斜边AC的中垂线，∴DA=DC，∴∠ACD=∠A=30°，∵BD=2，∴AD=4，故选B【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．6．（2016秋•大丰市月考）如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC=6，则PD等于（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOP=∠COP，然后利用三角形的一个外角等于及它不相邻的两个内角的和求出∠PCE=∠AOB=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP=∠COP，∴∠PCE=∠BOP+∠COP=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°，又∵PC=6，∴PE=PC=3，∵AOP=∠BOP，PD⊥OA，∴PD=PE=3，故选B．【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，三角形的一个外角等于及它不相邻的两个内角的和的性质，以及平行线的性质，作辅助线构造出含30°的直角三角形是解题的关键．7．（2015春•兰溪市期末）如图所示，矩形ABCD中，AB=AD，E为BC上的一点，且AE=AD，则∠EDC的度数是（）A．30°B．75°C．45°D．15°【分析】根据矩形性质得出∠C=∠ABC=90°，AB=CD，DC∥AB，推出AE=2AB，得出∠AEB=30°=∠DAE，求出∠EDC的度数，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠ABC=90°，AB=CD，DC∥AB，∵AB=AD，E为BC上的一点，且AE=AD，∴AE=2AB，∴∠AEB=30°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE=30°，∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣∠EAD）=75°，∵∠ADC=90°，∴∠EDC=90°﹣75°=15°，故选D．【点评】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠ABC和∠EBA的度数，题目比较好，是一道综合性比较强的题目．8．（2013春•重庆校级期末）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的中点，DF⊥AB于点F，点E在BA的延长线上，且ED=EC，若AE=2，则AF的长为（）A．B．2 C．+1 D．3【分析】过点E作EH∥AC交BC的延长线于H，证明△ABH是等边三角形，求出CH，得到BD的长，根据直角三角形的性质求出BF，计算即可．【解答】解：过点E作EH∥AC交BC的延长线于H，∴∠H=∠ACB=60°，又∠B=60°，∴△EBH是等边三角形，∴EB=EH=BH，∴CH=AE=2，∵ED=EC，∴∠EDC=∠ECD，又∠B=∠H，∴∠BED=∠HEC，在△BED和△HEC中，，∴△BED≌△HEC，∴BD=CH=2，∴BA=BC=4，BF=BD=1，∴AF=3．故选：D．【点评】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形的三个角都是60°是解题的关键．9．（2012春•古冶区校级期中）如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，那么CD的长是（）A．2 B．3 C．1 D．1.5【分析】在Rt△AEC中，由于=，可以得到∠1=∠2=30°，又AD=BD=4，得到∠B=∠2=30°，从而求出∠ACD=90°，然后由直角三角形的性质求出CD．【解答】解：在Rt△AEC中，∵=，∴∠1=∠2=30°，∵AD=BD=4，∴∠B=∠2=30°，∴∠ACD=180°﹣30°×3=90°，∴CD=AD=2．故选A．【点评】本题利用了：（1）直角三角形的性质；（2）三角形内角和定理；（3）等边对等角的性质．10．（2012秋•包河区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，以下结论（1）CD=DE；（2）AC=BE；（3）BD=2CD；（4）DE=AC中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据角平分线的性质可得CD=DE，AC=BE，结合含30°角的直角三角形的性质可得BD=2CD，而AC和BD不一定相等，所以可得出答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DC=DE，∠ADC=∠ADE=60°，∴AD平分∠CDE，∴AC=AE，在Rt△BDE中，∠B=30°，∴BD=2DE=2CD，在Rt△ADE中，DE=AE=AC，∴正确的有（1）、（2）、（3），故选C．【点评】本题主要考查角平分线的性质及含30°角的直角三角形的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．11．（2015秋•江阴市期中）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②△PMN 为等边三角形；下面判断正确是（）A．①正确B．②正确C．①②都正确D．①②都不正确【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于及它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断②正确．【解答】解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，∴PM=BC，PN=BC，∴PM=PN，正确；②∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∴∠ABM=∠ACN=30°，在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM=PN=PB=PC，∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等边三角形，正确；所以①②都正确．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握性质是解题的关键．12．已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM，EM．（1）若DE=3，BC=8，求△DME的周长；（2）若∠A=60°，求证：∠DME=60°；（3）若BC2=2DE2，求∠A的度数．【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线性质求出DM=BC=4，EM=BC=4，即可求出答案；（2）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DM=BM，EM=CM，推出∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，根据三角形内角和定理求出即可；（3）求出EM=EN，解直角三角形求出∠EMD度数，根据三角形的内角和定理求出即可．【解答】解：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠BDC=∠BEC=90°，∵M是线段BC的中点，BC=8，∴DM=BC=4，EM=BC=4，∴△DME的周长是DE+EM+DM=3+4+4=11；（2）证明：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵∠BDC=∠BEC=90°，M是线段BC的中点，∴DM=BM，EM=CM，∴∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，∴∠EMC+∠DMB=∠ABC+∠ACB=120°，∴∠DME=180°﹣120°=60°；（3）解：过M作MN⊥DE于N，∵DM=EM，∴EN=DN=DE，∠ENM=90°，∵EM=DM=BC，DN=EN=DE，BC2=2DE2，∴（2EM）2=2（2EN）2，∴EM=EN，∴sin∠EMN==，∴∠EMN=45°，同理∠DMN=45°，∴∠DME=90°，∴∠DMB+∠EMC=180°﹣90°=90°，∵∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，∴∠ABC+∠ACB=（180°﹣∠DMB+180°﹣∠EMC）=135°，∴∠BAC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=45°．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，本题综合性比较强，有一定的难度，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．13．（2014春•永川区校级期中）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF=2，则AC的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】连结AF．由AB=AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC=2EF=4．【解答】解：如图，连结AF．∵AB=AD，F是BD的中点，∴AF⊥BD．∵在Rt△ACF中，∠AFC=90°，E是AC的中点，EF=2，∴AC=2EF=4．故选B．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD是解题的关键．14．（2011秋•姜堰市期末）如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC 上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．2 B．2.4 C．2.6 D．3【分析】先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用相似三角形对应边成比例即可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长．【解答】解：连结AP，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，∴∠BAC=90°，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP．∵M是EF的中点，∴AM=AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，∴当AP⊥BC时，△ABP∽△CBA，∴=，∴=，∴AP最短时，AP=4.8∴当AM最短时，AM==2.4．故选B．【点评】此题主要考查学生对相似三角形判定及性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定的拔高难度，属于中档题．15．（2010•武隆县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°，D在BC上，AD=BD，E为AB的中点，AD、CE相交于点F，∠DFE等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据已知得，∠BAC=70°，∠BAD=∠B，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出∠ECB=∠B，从而得出∠ACE，再由三角形的内角和定理得∠AFC，根据对顶角相等求出答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=20°，∴∠BAC=70°，∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=20°，∴∠DAC=50°，∵E为AB的中点，∴BE=CE，∴∠ECB=∠B=20°，∴∠ACE=70°，在△ACF中，∠ACF+∠AFC+∠FAC=180°，∴∠AFC=60°，∵∠DFE=∠AFC=60°（对顶角相等），故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是基础知识要熟练掌握．16．（2016•江岸区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，则∠ACB′=10°．【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的度数，根据直角三角形的性质分别求出∠BCD、∠DCA的度数，根据翻折变换的性质求出∠B′CD的度数，计算即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=40°，∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，∴CD=BD，CD=AD，∴∠BCD=∠B=50°，∠DCA=∠A=40°，由翻折变换的性质可知，∠B′CD=∠BCD=50°，∴∠ACB′=∠B′CD﹣∠DCA=10°，故答案为：10°．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、翻折变换的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．17．（2016秋•嵊州市期末）如图，△ABC中，AB=AC，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC，若DE=5，AE=8，则BC的长度为2．【分析】由BE⊥AC，D为AB中点，DE=5，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得AB的长，然后由勾股定理求得BC的长．【解答】解：∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵D为AB中点，∴AB=2DE=2×5=10，∵AE=8，∴BE==6．∴BC===2，故答案为：2．【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理．注意掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半定理的应用是解此题的关键．18．如图，在平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°．求证：AC=BD．【分析】连接EO，首先根据平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，即O为BD 和AC的中点，在Rt△AEC中EO=AC，在Rt△EBD中，EO=BD，进而得到AC=BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可证出结论．【解答】证明：连接EO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，在Rt△EBD中，∵O为BD中点，∴EO=BD，在Rt△AEC中，∵O为AC中点，∴EO=AC，∴AC=BD．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB边的中点，CH⊥AB 于点H，CD平分∠ACB．（1）求证：∠1=∠2．（2）过点M作AB的垂线交CD延长线于E，求证：CM=EM；（3）△AEB是什么三角形？证明你的猜想．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AM=CM=BM，由等腰三角形到性质得到∠CAB=∠ACM，由余角的性质得到∠CAB=∠BCH，等量代换得到∠BCH=∠ACM，根据角平分线的性质得到∠ACD=∠BCD，即可得到结论；（2）根据EM⊥AB，CH⊥AB，得到EM∥AB，由平行线的性质得到∠HCD=∠MED，由于∠HCD=∠MCD，于是得到∠MCD=∠MED，即可得到结论；（3）根据CM=EM AM=CM=BM，于是得到EM=AM=BM，推出△AEB是直角三角形，由于EM垂直平分AB，得到EA=EB于是得到结论．【解答】证明：（1）Rt△ABC中，∠ACB=90°，∵M是AB边的中点，∴AM=CM=BM，∴∠CAB=∠ACM，∴∠CAB=90﹣∠ABC，∵CH⊥AB，∴∠BCH=90﹣∠ABC，∴∠CAB=∠BCH，∴∠BCH=∠ACM，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ACD﹣∠ACM=∠BCD﹣∠BCH，即∠1=∠2；（2）∵EM⊥AB，CH⊥AB，∴EM∥CH，∴∠HCD=∠MED，∵∠HCD=∠MCD，∴∠MCD=∠MED，∴CM=EM；（3）△AEB是等腰直角三角形，∵CM=EM AM=CM=BM，∴EM=AM=BM，∴△AEB是直角三角形，∵EM垂直平分AB，∴EA=EB，∴△AEB是等腰三角形，∴△AEB是等腰直角三角形．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．20．如图，已知在△ABC中，延长CA到D，使BA=BD，延长BA到E，使CA=CE，设P、M、N分别是BC、AD、AE的中点．求证：△PMN是等腰三角形．【分析】连接BM、CN，根据等腰三角形三线合一得到∠BMC=90°，根据直角三角形的性质得到MP=BC，同理NP=BC，得到答案．【解答】证明：连接BM、CN，∵BA=BD，DM=MA，∴BM⊥AD，∴∠BMC=90°，又BP=PC，∴MP=BC，同理，NP=BC，∴MP=NP，∴△PMN是等腰三角形．【点评】本题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形三线合一是解题的关键．21．如图，△ACB、△CDE为等腰直角三角形，∠CAB=∠CDE=90°，F为BE的中点，求证：AF⊥DF，AF=DF．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF=BF=AE，DF=BF=AE，再根据等边对等角可得∠ABF=∠BAF，∠DBF=∠BDF，然后根据三角形的一个外角等于及它不相邻的两个内角的和求出∠AFD=2∠ABC，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．【解答】证明：∵∠CAB=∠CDE=90°，F为BE的中点，∴AF=BF=AE，DF=BF=AE，∴AF=DF，∴∠ABF=∠BAF，∠DBF=∠BDF，由三角形的外角性质得，∠AFD=∠ABF+∠BAF+∠DBF+∠BDF=2∠ABC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∴∠AFD=90°，∴AF⊥DF，综上所述，AF⊥DF，AF=DF．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的一个外角等于及它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．22．已知等腰直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，AE平分∠CAB交CD 于E，在DB上取点F，使DF=DE，求证：CF平分∠DCB．【分析】延长FE交AC于点G，利用角平分线的性质可知EG=ED，然后证明△CEG ≌△FED，得出CE=FE，利用等腰三角形的性质，平行线的性质即可求出∠ECF=∠BCF．【解答】解：延长FE交AC于点G，∵DE=DF，CD是斜边AB上的高，∴∠DEF=45°，∵∠DCB=45°，∴EF∥BC，∴∠EFC=∠FCB，∠CGF=90°，∵AE平分∠CAB，∠CGF=∠BDC=90°，∴GE=DE，在△CGE及△FDE中，，∴△CGE≌△FDE（ASA），∴CE=FE，∴∠ECF=∠EFC，∴∠ECF=∠BCF，∴CF平分∠DCB．【点评】本题考查等腰三角形的性质，涉及全等三角形的性质及判定，等腰直角三角形的性质，平行线的判定及性质等知识点，综合程度较高．23．如图，△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∠ODB=∠OCA=90°．M是线段AB中点，连接DM、CM、CD．若C在直线OB上，试判断△CDM的形状．【分析】由△OBD和△OCA是等腰直角三角形得到∠ACB=∠ADB=90°，∠OBD=45°，由M为AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得到DM=AM=BM，CM=AM=BM，则CM=DM，∠MBD=∠MDB，∠MCB=∠MBC，理由三角形外角性质得∠AMD=2∠MBD，∠AMC=2∠MBC，则∠AMD﹣∠AMC=2（∠MBD﹣∠MBC）=2∠OBD=90°，于是可得到△CDM为等腰直角三角形．【解答】解：△CDM为等腰直角三角形．理由如下：∵△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ADB=90°，∠OBD=45°，而M为AB的中点，∴DM=AM=BM，CM=AM=BM，∴CM=DM，∠MBD=∠MDB，∠MCB=∠MBC，∴∠AMD=2∠MBD，∠AMC=2∠MBC，∴∠AMD﹣∠AMC=2（∠MBD﹣∠MBC）=2∠OBD=90°，即∠CMD=90°，∵CM=DM，∴△CDM为等腰直角三角形．同理可得：第2个图中△CDM为等腰直角三角形．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质、三角形外角的性质，灵活利用直角三角形的斜边上的中线的性质是关键．24．（2010•渝中区模拟）如图①，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点．（1）求证：△BMD为等腰直角三角形；（2）将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图②所示，则（1）题中的结论“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出BM=EN=MC，DM=EM=MC，然后根据等边对等角的性质可以证明∠BMD=90°，所以△BMD为等腰直角三角形；（2）延长DM交BC于N，先根据∠EDB=∠ABC=90°证明ED∥BC，然后根据两直线平行，内错角相等求出∠DEM=∠MCN，从而证明△EDM及△MNC全等，根据全等三角形对应边相等可得DM=MN，然后即可证明BM⊥DM，且BM=DM．【解答】（1）证明：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM=EC=MC，∴∠MBC=∠MCB．∴∠BME=2∠BCM．（2分）同理可证：DM=EC=MC，∠EMD=2∠MCD．∴∠BMD=2∠BCA=90°，（4分）∴BM=DM．∴△BMD是等腰直角三角形．（5分）（2）（1）题中的结论仍然成立．理由：延长DM及BC交于点N，（6分）∵DE⊥AB，CB⊥AB，∴∠EDB=∠CBD=90°，∴DE∥BC．∴∠DEM=∠MCN．又∵∠EMD=∠NMC，EM=MC，∴△EDM≌△MNC．（8分）∴DM=MN．DE=NC=AD．又AB=BC，∴AB﹣AD=BC﹣CN，∴BD=BN．∴BM⊥DM．即∠BMD=90°．（9分）∵∠ABC=90°，∴BM=DN=DM．∴△BMD是等腰直角三角形．（10分）【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握判定定理及性质并灵活运用是解题的关键，难度中等．25．（2011秋•昌平区校级期中）已知：如图△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，E，F分别在线段AB，AC上，且∠EDF=90°（1）求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）求证：S四边形AEDF =S△BDE+S△CDF；（3）如果点E运动到AB的延长线上，F在射线CA上且保持∠EDF=90°，△DEF 还仍然是等腰直角三角形吗？请画图说明理由．【分析】（1）连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，从而得到∠1=∠B，再根据同角的余角相等求出∠2=∠4，然后利用“AAS”证明△BDE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，从而得证；（2）同理求出△ADE和△CDF全等，根据全等三角形的面积相等即可得证；（3）依然成立，连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，∠CAD=45°，再根据等角的补角相等求出∠DAF=∠DBE，然后利用“AAS”证明△BDE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，从而得证．【解答】（1）证明：如图，连接AD，∵∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，∴AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，∴∠1=∠B=45°，∵∠EDF=90°，∴∠2+∠3=90°，又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴DE=DF，又∵∠EDF=90°，∴△DEF为等腰直角三角形；（2）解：同理可证，△ADE≌△CDF，所以，S四边形AEDF =S△ADF+S△ADE=S△BDE+S△CDF，即S四边形AEDF =S△BDE+S△CDF；（3）解：仍然成立．如图，连接AD，∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，∴AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，∵∠DAF=180°﹣∠1=180°﹣45°=135°，∠DBE=180°﹣∠ABC=180°﹣45°=135°，∴∠DAF=∠DBE，∵∠EDF=90°，∴∠3+∠4=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠2=∠4，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴DE=DF，又∵∠EDF=90°，∴△DEF为等腰直角三角形．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形判定及性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．26．（2016•汕头校级自主招生）△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．（1）如图1，作∠ADB的角平分线DF交BE于点F，连接AF．求证：∠FAB=∠FBA；（2）如图2，连接DE，点G及点D关于直线AC对称，连接DG、EG①依据题意补全图形；②用等式表示线段AE、BE、DG之间的数量关系，并加以证明．【分析】（1）欲证明∠FAB=∠FBA，由△ADF≌△BDF推出AF=BF即可解决问题．（2）①根据条件画出图形即可．②数量关系是：GD+AE=BE．过点D作DH⊥DE交BE于点H，先证明△ADE≌△BDH，再证明四边形GEHD是平行四边形即可解决问题．【解答】证明：（1）如图1中，∵AD⊥BC，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°，∴AD=BD，∵DF平分∠ADB，∴∠1=∠2，在△ADF和△BDF中，，∴△ADF≌△BDF．∴AF=BF，∴∠FAB=∠FBA．（2）补全图形如图2中所示，数量关系是：GD+AE=BE．理由：过点D作DH⊥DE交BE于点H ∴∠ADE+∠ADH=90°，∵AD⊥BC，∴∠BDH+∠ADH=90°，∴∠ADE=∠BDH，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∠AKE=∠BKD，∴∠DAE=∠DBH，在△ADE和△BDH中，，∴△ADE≌△BDH．∴DE=DH，AE=BH，∵DH⊥DE，∴∠DEH=∠DHE=45°，∵BE⊥AC，∴∠DEC=45°，∵点G及点D关于直线AC对称，∴AC垂直平分GD，∴GD∥BE，∠GEC=∠DEC=45°，∴∠GED=∠EDH=90°，∴GE∥DH，∴四边形GEHD是平行四边形∴GD=EH，∴GD+AE=BE．【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练正确全等三角形判定方法，学会添加常用辅助线，构造全等三角形以及特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．27．（2016春•东港市期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF、AF、AD，AD及CF交于点G．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）AD及CF的关系是AD=CF；（3）求证：△ACF是等腰三角形；（4）△ACF可能是等边三角形吗？不可能（填“可能”或“不可能”）．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠CBA=∠CAB=45°，根据平行线的性质得到∠FBE=∠CAB=45°，根据全等三角形的判定定理证明即可；（2）根据全等三角形的性质定理得到答案；（3）根据线段垂直平分线的性质得到AD=AF，等量代换即可；（4）根据直角三角形的直角边小于斜边解答．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵BF∥AC，∴∠FBE=∠CAB=45°，∴∠CBF=90°，又DE⊥AB，∴∠FDB=45°，∴∠DFB=45°，∴BD=BF，又D为BC中点，∴CD=BF，在△ACD和△CBF中，，∴△ACD≌△CBF；（2）∵△ACD≌△CBF，∴AD=CF，故答案为：AC=BF；（3）连接AF，∵DF⊥AE，DE=EF，∴AD=AF，∵AD=CF，∴AF=CF，∴△ACF是等腰三角形；（4）在Rt△ACF中，AC＜AD，∴AC＜AF，∴△ACF不可能是等边三角形，故答案为：不可能．【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定以及等边三角形的判定，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．。

二、见直角三角形斜边中点与等腰三角形底边中点作中线

⼆、见直⾓三⾓形斜边中点与等腰三⾓形底边中点作中线⼆、见直⾓三⾓形斜边中点与等腰三⾓形底边中点作中线1、连结直⾓三⾓形斜边上的中线后，得两个等腰三⾓形、三条等线段，并且三顶点共圆；2、特别地，等腰直⾓三⾓形斜边上中线把它分为两全等的等腰直⾓三⾓形，出现4个45°⾓、2组等边、2组长度为1：2的边；3、逆⽤可以判定⼀个三⾓形是直⾓三⾓形.解法归⼀：见直⾓三⾓形斜边上的中点和等腰三⾓形底边的中点，连中线，找边、⾓、线段的相等关系，或借助三点共圆进⾏⾓转化.例3-2-1如图3-2-1，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，MN⊥BD于N点，求证：BN=DN．图3-2-1交流分享：连结MB、MD的⼀个等腰三⾓形.例3-2-2 如图3-2-2，在Rt△POQ中，OP=OQ=4.把三⾓尺的直⾓顶点放在斜边PQ中点M处，以M为旋转中⼼旋转三⾓尺，三⾓尺的两直⾓边与△POQ的两直⾓边分别交于点A、B．（1）求证：MA=MB；（2）连接AB.探究：在旋转三⾓尺的过程中，△AOB的周长是否存在最⼩值.若存在，求出最⼩值；若不存在，请说明理由．图3-2-2交流分享：（1）连结MO，即见斜边的中点，作斜边上的中线；（2）见含⼆次整式的最值，⽤⼆次函数性质，或⽤完全平⽅公式配⽅.例3-2-3 如图3-2-3，△ABC与△DEF都是等腰直⾓三⾓形，∠ACB=∠EDF=90°，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD，求证：BF=CD.图3-2-3体验与感悟03-21、如图3-2-4，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则BC=.图3-2-4 图 3-2-52、如图 3-2-5，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，BC=7，则梯形的⾯积是（）A．25 B.50 C.3、如图 3-2-6，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°.（1）若AB=5，BC=8，则EF的长为___________；（2）若∠ABC=52°，则∠FAD=°.4、如图3-2-7，有两个互相垂直的滑槽，⼀根没有弹性的⽊棒的两端A、B能在滑槽内⾃由滑动（滑槽及⽊棒的宽度忽略不计），当点A从上向下⾄O的滑动过程中，⽊棒中点P⾛过的轨迹是.5、如图3-2-8，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC= .6、如图3-2-9，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD 于点E，过点A作BD的平⾏线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF.若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为.图3-2-97、（1）问题探究如图1，M为△ABC的BC边中点，且2MA=BC，求证：∠BAC=90°.同学们经过思考、讨论、交流得到以下证明思路：思路⼀直接利⽤等腰三⾓形性质和三⾓形内⾓和定理…思路⼆延长AM到D使DM=MA，连接DB，DC，利⽤矩形的知识…思路三以BC为直径作圆，利⽤圆的知识…思路四…请选择⼀种⽅法写出完整的证明过程；（2）结论应⽤要求直接运⽤（1）中命题的结论完成以下两道题：①如图2，线段AB经过圆⼼O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O 上，且∠DAB=30°，OA=a，OB=2a，求证：直线BD是⊙0的切线；②如图3，△ABC中，M为BC的中点，BD⊥AC于D，E在AB边上，且EM=DM，连接DE，CE，如果∠A=60°，请求出△ADE 与△ABC⾯积的⽐值．8、在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点.（1）如图3-2-11①，当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停⽌；设△DEF的⾯积为y，F点运动的时间为x（x>0），求y与x的函数关系式；（2）如图3-2-11②在（1）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．9、如图3-2-12，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对⾓线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．。

等腰直角三角形斜边和直角边关系

等腰直角三角形斜边和直角边关系大家好，我是一名行业专家，今天我们来探讨一下等腰直角三角形的斜边和直角边之间的关系。

我们要明确什么是等腰直角三角形，它的定义是两条直角边的长度相等的直角三角形。

这个三角形有一个特点，就是它的两个锐角都是45度，而且它的两条直角边和斜边的长度之间有一定的关系。

那么，这个关系究竟是什么呢？接下来，我将从三个方面来详细阐述这个问题。

一、等腰直角三角形的性质在讨论等腰直角三角形的斜边和直角边之间的关系之前，我们首先要了解它的一些基本性质。

我们知道等腰直角三角形的两条直角边的长度相等，设这两条直角边的长度分别为a和a(a≠0)。

我们知道等腰直角三角形的两个锐角都是45度。

我们知道等腰直角三角形的斜边的长度等于两条直角边的长度之和的平方根，即c=√(a2+a2)。

二、等腰直角三角形斜边和直角边的关系现在我们已经知道了等腰直角三角形的一些基本性质，接下来我们就要探讨它的斜边和直角边之间的关系了。

根据上面的性质，我们可以得到一个关于斜边和直角边之间关系的公式：c=(√2)/2 * a。

这个公式告诉我们，等腰直角三角形的斜边的长度是其两条直角边长度之和的一半。

换句话说，如果我们知道了等腰直角三角形的一条直角边的长度，那么我们就可以求出另一条直角边的长度以及斜边的长度。

三、实例分析下面我们通过一个实例来具体说明等腰直角三角形斜边和直角边之间的关系。

假设我们有一个等腰直角三角形，其中一条直角边的长度为3cm,那么根据上面的公式，我们可以求出另一条直角边的长度以及斜边的长度。

我们可以将已知的一条直角边的长度代入公式c=√(a2+a2),得到c=√(32+32)=√18=3√2cm。

然后，我们可以求出另一条直角边的长度为6cm。

这样一来，我们就得到了这个等腰直角三角形的所有三条边的长度分别是3cm、6cm和3√2cm。

通过这个实例，我们可以看到等腰直角三角形斜边和直角边之间的关系是非常明显的。

等腰直角三角形斜边和直角边关系

等腰直角三角形斜边和直角边关系1. 了解等腰直角三角形嘿，大家好！今天咱们聊聊等腰直角三角形，听起来是不是有点“数学大咖”的感觉？其实它没那么复杂，我们从最基础的知识开始说起。

等腰直角三角形，顾名思义，就是一个直角三角形，其中的两个直角边长度相等。

也就是说，你在画这个三角形的时候，两个短边是“孪生兄弟”，长边就叫斜边了。

2. 等腰直角三角形的基本特性2.1 斜边的长度好啦，我们先来看看等腰直角三角形的斜边。

假如你手头上有一把尺子，量一下这个三角形的直角边，比如都是5厘米。

你会发现斜边的长度是不是有点小惊喜呢？根据几何学的公式，等腰直角三角形的斜边长度可以通过直角边的长度来计算。

具体来说，如果直角边的长度是 ( a )，那么斜边的长度就是 ( asqrt{2} )。

就是这么简单，记住了哈，斜边等于直角边长度乘以根号2。

比如你手上的直角边是5厘米，那么斜边的长度就是( 5 times sqrt{2} approx 7.07 ) 厘米，听起来是不是有点酷？2.2 直角边的关系说到这儿，你可能会想，为什么会有这样一个关系呢？其实，等腰直角三角形有点像是数学中的“老朋友”，它的斜边和直角边的关系就是通过一个叫做毕达哥拉斯定理的东西来的。

在这个三角形里，斜边的平方等于两个直角边的平方和。

而因为两个直角边长度相同，所以公式就变成了斜边的平方= 2 × 直角边的平方。

这就是我们刚刚说的( asqrt{2} ) 的由来。

是不是很神奇？3. 实际应用中的小窍门3.1 生活中的应用在生活中，我们常常会遇到等腰直角三角形的场景，比如搭帐篷的时候，帐篷的两边撑起来的角就是直角边，而帐篷的对角线就是斜边。

明白了斜边和直角边的关系后，你就能更好地计算材料的长度了。

比如说，你想要搭一个高5米的帐篷，斜边的长度大概就是5 × √2 ≈ 7.07 米。

这样你就能更精准地去准备材料，避免了那种“哎呀，材料不够了”的尴尬。

直角三角形等腰直角三角形斜边直线专题

一、直角三角形的性质1．一块直角三角板放在两平行直线上，如图，∠1+∠2= 度．2．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG 平分∠DAC，求证：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③AG⊥EF．3．如图所示，在△ABC中，CD，BE是两条高，那么图中与∠A相等的角有4．如图，已知△ABC中，AB＞AC，BE、CF都是△ABC的高，P是BE上一点且BP=AC，Q是CF延长线上一点且CQ=AB，连接AP、AQ、QP，求证：△APQ是等腰直角三角形．二、含30°角的直角三角形的性质5．在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E 两点．若BD=2，求AD的长6．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC=6，求PD的长7．如图所示，矩形ABCD中，AB=AD，E为BC上的一点，且AE=AD，求∠EDC的度数8．如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的中点，DF⊥AB于点F，点E 在BA的延长线上，且ED=EC，若AE=2，求AF的长9．如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，求CD的长10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：（1）CD=DE；（2）AC=BE；（3）BD=2CD；三、直角三角形斜边中线问题11．如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，求证：△PMN为等边三角形；12．已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM，EM．（1）若DE=3，BC=8，求△DME的周长；（2）若∠A=60°，求证：∠DME=60°；（3）若BC2=2DE2，求∠A的度数．13．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF=2，求AC的长14．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°，D在BC上，AD=BD，E为AB 的中点，AD、CE相交于点F，求∠DFE等于多少16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，求∠ACB′=．17．如图，△ABC中，AB=AC，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC，若DE=5，AE=8，求BC的长度．18．如图，在平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°．求证：AC=BD．19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB边的中点，CH⊥AB于点H，CD平分∠ACB．（1）求证：∠1=∠2．（2）过点M作AB的垂线交CD延长线于E，求证：CM=EM；（3）△AEB是什么三角形证明你的猜想．20．如图，已知在△ABC中，延长CA到D，使BA=BD，延长BA到E，使CA=CE，设P、M、N分别是BC、AD、AE的中点．求证：△PMN是等腰三角形．四、等腰直角三角形问题21．如图，△ACB、△CDE为等腰直角三角形，∠CAB=∠CDE=90°，F为BE的中点，求证：AF⊥DF，AF=DF．22．已知等腰直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，AE平分∠CAB交CD于E，在DB上取点F，使DF=DE，求证：CF平分∠DCB．23．如图，△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∠ODB=∠OCA=90°．M是线段AB 中点，连接DM、CM、CD．若C在直线OB上，试判断△CDM的形状．24．如图①，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点．（1）求证：△BMD为等腰直角三角形；（2）将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图②所示，则（1）题中的结论“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立请说明理由．25．已知：如图△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，E，F分别在线段AB，AC上，且∠EDF=90°（1）求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）求证：S四边形AEDF =S△BDE+S△CDF；（3）如果点E运动到AB的延长线上，F在射线CA上且保持∠EDF=90°，△DEF 还仍然是等腰直角三角形吗请画图说明理由．26．△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．（1）如图1，作∠ADB的角平分线DF交BE于点F，连接AF．求证：∠FAB=∠FBA；（2）如图2，连接DE，点G与点D关于直线AC对称，连接DG、EG①依据题意补全图形；②用等式表示线段AE、BE、DG之间的数量关系，并加以证明．27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF、AF、AD，AD与CF交于点G．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）AD与CF的关系是；（3）求证：△ACF是等腰三角形；（4）△ACF可能是等边三角形吗（填“可能”或“不可能”）．直角三角形斜边中线等腰直角三角形专题参考答案与试题解析1．【解答】解：如图，∠1=∠3，∠2=∠4（对顶角相等），∵∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°．故答案为：90．【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，对顶角相等，熟记性质是解题的关键．2．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG 平分∠DAC，给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③∠EBC=∠C；④AG ⊥EF．其中正确的结论是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③【分析】根据同角的余角相等求出∠BAD=∠C，再根据等角的余角相等可以求出∠AEF=∠AFE；根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF．【解答】解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠C+∠ABC=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠BAD=∠C，故①正确；∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠CBE，∵∠ABE+∠AEF=90°，∠CBE+∠BFD=90°，∴∠AEF=∠BFD，又∵∠AFE=∠BFD（对顶角相等），∴∠AEF=∠AFE，故②正确；∵∠ABE=∠CBE，∴只有∠C=30°时∠EBC=∠C，故③错误；∵∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∵AG平分∠DAC，∴AG⊥EF，故④正确．综上所述，正确的结论是①②④．故选C．【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．3．如图所示，在△ABC中，CD，BE是两条高，那么图中与∠A相等的角的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据已知条件CD，BE是两条高可知：∠A+∠DCA=90°，∠ABE+∠BHD=90°，∠A+∠ABE=90°，∠CHE+∠HCE=90°，再根据同角的余角相等即可得到答案．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠BDH=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∠ABE+∠BHD=90°，∵BE⊥AC，∴∠A+∠ABE=90°，∠CHE+∠HCE=90°，∴∠A=∠BHD=∠CHE，故选：B．【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是根据垂直得到有哪些角互余．4．如图，已知△ABC中，AB＞AC，BE、CF都是△ABC的高，P是BE上一点且BP=AC，Q是CF延长线上一点且CQ=AB，连接AP、AQ、QP，判断△APQ的形状．【分析】利用BE、CF都是△ABC的高，求证∠1=∠2，然后求证△ACQ≌△PBA，利用AQ=AP，AQ⊥AP，即可证明△APQ是等腰直角三角形．【解答】解：△APQ是等腰直角三角形．∵BE、CF都是△ABC的高，∴∠1+∠BAE=90°，∠2+∠CAF=90°（同角（可等角）的余角相等）∴∠1=∠2又∵AC=BP，CQ=AB，在△ACQ和△PBA中，∴△ACQ≌△PBA∴AQ=AP，∴∠CAQ=∠BPA=∠3+90°∴∠QAP=∠CAQ﹣∠3=90°∴AQ⊥AP∴△APQ是等腰直角三角形【点评】此题考查学生对全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的理解和掌握，难度不大，属于基础题．5．（2016秋•泰山区期中）在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AD的长是（）A．3 B．4 C．5 D．【分析】根据直角三角形的性质求出∠A的度数，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，解答即可．【解答】解：∵∠ACB=60°，∠B=90°，∴∠A=30°，∵DE是斜边AC的中垂线，∴DA=DC，∴∠ACD=∠A=30°，∵BD=2，∴AD=4，故选B【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．6．（2016秋•大丰市月考）如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC=6，则PD等于（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOP=∠COP，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PCE=∠AOB=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP=∠COP，∴∠PCE=∠BOP+∠COP=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°，又∵PC=6，∴PE=PC=3，∵AOP=∠BOP，PD⊥OA，∴PD=PE=3，故选B．【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及平行线的性质，作辅助线构造出含30°的直角三角形是解题的关键．7．（2015春•兰溪市期末）如图所示，矩形ABCD中，AB=AD，E为BC上的一点，且AE=AD，则∠EDC的度数是（）A．30°B．75°C．45°D．15°【分析】根据矩形性质得出∠C=∠ABC=90°，AB=CD，DC∥AB，推出AE=2AB，得出∠AEB=30°=∠DAE，求出∠EDC的度数，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠ABC=90°，AB=CD，DC∥AB，∵AB=AD，E为BC上的一点，且AE=AD，∴AE=2AB，∴∠AEB=30°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE=30°，∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣∠EAD）=75°，∵∠ADC=90°，∴∠EDC=90°﹣75°=15°，故选D．【点评】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠ABC和∠EBA的度数，题目比较好，是一道综合性比较强的题目．8．（2013春•重庆校级期末）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的中点，DF⊥AB于点F，点E在BA的延长线上，且ED=EC，若AE=2，则AF的长为（）A．B．2 C．+1 D．3【分析】过点E作EH∥AC交BC的延长线于H，证明△ABH是等边三角形，求出CH，得到BD的长，根据直角三角形的性质求出BF，计算即可．【解答】解：过点E作EH∥AC交BC的延长线于H，∴∠H=∠ACB=60°，又∠B=60°，∴△EBH是等边三角形，∴EB=EH=BH，∴CH=AE=2，∵ED=EC，∴∠EDC=∠ECD，又∠B=∠H，∴∠BED=∠HEC，在△BED和△HEC中，，∴△BED≌△HEC，∴BD=CH=2，∴BA=BC=4，BF=BD=1，∴AF=3．故选：D．【点评】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形的三个角都是60°是解题的关键．9．（2012春•古冶区校级期中）如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，那么CD的长是（）A．2 B．3 C．1 D．【分析】在Rt△AEC中，由于=，可以得到∠1=∠2=30°，又AD=BD=4，得到∠B=∠2=30°，从而求出∠ACD=90°，然后由直角三角形的性质求出CD．【解答】解：在Rt△AEC中，∵=，∴∠1=∠2=30°，∵AD=BD=4，∴∠B=∠2=30°，∴∠ACD=180°﹣30°×3=90°，∴CD=AD=2．故选A．【点评】本题利用了：（1）直角三角形的性质；（2）三角形内角和定理；（3）等边对等角的性质．10．（2012秋•包河区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB于E，以下结论（1）CD=DE；（2）AC=BE；（3）BD=2CD；（4）DE=AC中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据角平分线的性质可得CD=DE，AC=BE，结合含30°角的直角三角形的性质可得BD=2CD，而AC和BD不一定相等，所以可得出答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DC=DE，∠ADC=∠ADE=60°，∴AD平分∠CDE，∴AC=AE，在Rt△BDE中，∠B=30°，∴BD=2DE=2CD，在Rt△ADE中，DE=AE=AC，∴正确的有（1）、（2）、（3），故选C．【点评】本题主要考查角平分线的性质及含30°角的直角三角形的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．11．（2015秋•江阴市期中）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②△PMN为等边三角形；下面判断正确是（）A．①正确B．②正确C．①②都正确 D．①②都不正确【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断②正确．【解答】解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，∴PM=BC，PN=BC，∴PM=PN，正确；②∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∴∠ABM=∠ACN=30°，在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM=PN=PB=PC，∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等边三角形，正确；所以①②都正确．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键．12．已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM，EM．（1）若DE=3，BC=8，求△DME的周长；（2）若∠A=60°，求证：∠DME=60°；（3）若BC2=2DE2，求∠A的度数．【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线性质求出DM=BC=4，EM=BC=4，即可求出答案；（2）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DM=BM，EM=CM，推出∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，根据三角形内角和定理求出即可；（3）求出EM=EN，解直角三角形求出∠EMD度数，根据三角形的内角和定理求出即可．【解答】解：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠BDC=∠BEC=90°，∵M是线段BC的中点，BC=8，∴DM=BC=4，EM=BC=4，∴△DME的周长是DE+EM+DM=3+4+4=11；（2）证明：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵∠BDC=∠BEC=90°，M是线段BC的中点，∴DM=BM，EM=CM，∴∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，∴∠EMC+∠DMB=∠ABC+∠ACB=120°，∴∠DME=180°﹣120°=60°；（3）解：过M作MN⊥DE于N，∵DM=EM，∴EN=DN=DE，∠ENM=90°，∵EM=DM=BC，DN=EN=DE，BC2=2DE2，∴（2EM）2=2（2EN）2，∴EM=EN，∴sin∠EMN==，∴∠EMN=45°，同理∠DMN=45°，∴∠DM E=90°，∴∠DMB+∠EMC=180°﹣90°=90°，∵∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，∴∠ABC+∠ACB=（180°﹣∠DMB+180°﹣∠EMC）=135°，∴∠BAC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=45°．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，本题综合性比较强，有一定的难度，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．13．（2014春•永川区校级期中）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF=2，则AC的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】连结AF．由AB=AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC=2EF=4．【解答】解：如图，连结AF．∵AB=AD，F是BD的中点，∴AF⊥BD．∵在Rt△ACF中，∠AFC=90°，E是AC的中点，EF=2，∴AC=2EF=4．故选B．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD是解题的关键．14．（2011秋•姜堰市期末）如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC 上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．2 B．C．D．3【分析】先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用相似三角形对应边成比例即可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长．【解答】解：连结AP，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，∴∠BAC=90°，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP．∵M是EF的中点，∴AM=AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，∴当AP⊥BC时，△ABP∽△CBA，∴=，∴=，∴AP最短时，AP=∴当AM最短时，AM==．故选B．【点评】此题主要考查学生对相似三角形判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定的拔高难度，属于中档题．15．（2010•武隆县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°，D在BC 上，AD=BD，E为AB的中点，AD、CE相交于点F，∠DFE等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据已知得，∠BAC=70°，∠BAD=∠B，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出∠ECB=∠B，从而得出∠ACE，再由三角形的内角和定理得∠AFC，根据对顶角相等求出答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=20°，∴∠BAC=70°，∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=20°，∴∠DAC=50°，∵E为AB的中点，∴BE=CE，∴∠ECB=∠B=20°，∴∠ACE=70°，在△ACF中，∠ACF+∠AFC+∠FAC=180°，∴∠AFC=60°，∵∠DFE=∠AFC=60°（对顶角相等），故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是基础知识要熟练掌握．16．（2016•江岸区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，则∠ACB′=10°．【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的度数，根据直角三角形的性质分别求出∠BCD、∠DCA的度数，根据翻折变换的性质求出∠B′CD的度数，计算即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=40°，∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，∴CD=BD，CD=AD，∴∠BCD=∠B=50°，∠DCA=∠A=40°，由翻折变换的性质可知，∠B′CD=∠BCD=50°，∴∠ACB′=∠B′CD﹣∠DCA=10°，故答案为：10°．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、翻折变换的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．17．（2016秋•嵊州市期末）如图，△ABC中，AB=AC，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC，若DE=5，AE=8，则BC的长度为 2 ．【分析】由BE⊥AC，D为AB中点，DE=5，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得AB的长，然后由勾股定理求得BC的长．【解答】解：∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵D为AB中点，∴AB=2DE=2×5=10，∵AE=8，∴BE==6．∴BC===2，故答案为：2．【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理．注意掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半定理的应用是解此题的关键．18．如图，在平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°．求证：AC=BD．【分析】连接EO，首先根据平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，即O为BD 和AC的中点，在Rt△AEC中EO=AC，在Rt△EBD中，EO=BD，进而得到AC=BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可证出结论．【解答】证明：连接EO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，在Rt△EBD中，∵O为BD中点，∴EO=BD，在Rt△AEC中，∵O为AC中点，∴EO=AC，∴AC=BD．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB边的中点，CH⊥AB于点H，CD平分∠ACB．（1）求证：∠1=∠2．（2）过点M作AB的垂线交CD延长线于E，求证：CM=EM；（3）△AEB是什么三角形证明你的猜想．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AM=CM=BM，由等腰三角形到性质得到∠CAB=∠ACM，由余角的性质得到∠CAB=∠BCH，等量代换得到∠BCH=∠ACM，根据角平分线的性质得到∠ACD=∠BCD，即可得到结论；（2）根据EM⊥AB，CH⊥AB，得到EM∥AB，由平行线的性质得到∠HCD=∠MED，由于∠HCD=∠MCD，于是得到∠MCD=∠MED，即可得到结论；（3）根据 CM=EM AM=CM=BM，于是得到EM=AM=BM，推出△AEB是直角三角形，由于 EM垂直平分AB，得到EA=EB于是得到结论．【解答】证明：（1）Rt△ABC中，∠ACB=90°，∵M是AB边的中点，∴AM=CM=BM，∴∠CAB=∠ACM，∴∠CAB=90﹣∠ABC，∵CH⊥AB，∴∠BCH=90﹣∠ABC，∴∠CAB=∠BCH，∴∠BCH=∠ACM，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ACD﹣∠ACM=∠BCD﹣∠BCH，即∠1=∠2；（2）∵EM⊥AB，CH⊥AB，∴EM∥CH，∴∠HCD=∠MED，∵∠HCD=∠MCD，∴∠MCD=∠MED，∴CM=EM；（3）△AEB是等腰直角三角形，∵CM=EM AM=CM=BM，∴EM=AM=BM，∴△AEB是直角三角形，∵EM垂直平分AB，∴EA=EB，∴△AEB是等腰三角形，∴△AEB是等腰直角三角形．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．20．如图，已知在△ABC中，延长CA到D，使BA=BD，延长BA到E，使CA=CE，设P、M、N分别是BC、AD、AE的中点．求证：△PMN是等腰三角形．【分析】连接BM、CN，根据等腰三角形三线合一得到∠BMC=90°，根据直角三角形的性质得到MP=BC，同理NP=BC，得到答案．【解答】证明：连接BM、CN，∵BA=BD，DM=MA，∴BM⊥AD，∴∠BMC=90°，又BP=PC，∴MP=BC，同理，NP=BC，∴MP=NP，∴△PMN是等腰三角形．【点评】本题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形三线合一是解题的关键．21．如图，△ACB、△CDE为等腰直角三角形，∠CAB=∠CDE=90°，F为BE的中点，求证：AF⊥DF，AF=DF．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF=BF=AE，DF=BF=AE，再根据等边对等角可得∠ABF=∠BAF，∠DBF=∠BDF，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AFD=2∠ABC，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．【解答】证明：∵∠CAB=∠CDE=90°，F为BE的中点，∴AF=BF=AE，DF=BF=AE，∴AF=DF，∴∠ABF=∠BAF，∠DBF=∠BDF，由三角形的外角性质得，∠AFD=∠ABF+∠BAF+∠DBF+∠BDF=2∠ABC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∴∠AFD=90°，∴AF⊥DF，综上所述，AF⊥DF，AF=DF．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．22．已知等腰直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，AE平分∠CAB交CD于E，在DB上取点F，使DF=DE，求证：CF平分∠DCB．【分析】延长FE交AC于点G，利用角平分线的性质可知EG=ED，然后证明△CEG ≌△FED，得出CE=FE，利用等腰三角形的性质，平行线的性质即可求出∠ECF=∠BCF．【解答】解：延长FE交AC于点G，∵DE=DF，CD是斜边AB上的高，∴∠DEF=45°，∵∠DCB=45°，∴EF∥BC，∴∠EFC=∠FCB，∠CGF=90°，∵AE平分∠CAB，∠CGF=∠BDC=90°，∴GE=DE，在△CGE与△FDE中，，∴△CGE≌△FDE（ASA），∴CE=FE，∴∠ECF=∠EFC，∴∠ECF=∠BCF，∴CF平分∠DCB．【点评】本题考查等腰三角形的性质，涉及全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，平行线的判定与性质等知识点，综合程度较高．23．如图，△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∠ODB=∠OCA=90°．M是线段AB 中点，连接DM、CM、CD．若C在直线OB上，试判断△CDM的形状．【分析】由△OBD和△OCA是等腰直角三角形得到∠ACB=∠ADB=90°，∠OBD=45°，由M为AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得到DM=AM=BM，CM=AM=BM，则CM=DM，∠MBD=∠MDB，∠MCB=∠MBC，理由三角形外角性质得∠AMD=2∠MBD，∠AMC=2∠MBC，则∠AMD﹣∠AMC=2（∠MBD﹣∠MBC）=2∠OBD=90°，于是可得到△CDM为等腰直角三角形．【解答】解：△CDM为等腰直角三角形．理由如下：∵△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ADB=90°，∠OBD=45°，而M为AB的中点，∴DM=AM=BM，CM=AM=BM，∴CM=DM，∠MBD=∠MDB，∠MCB=∠MBC，∴∠AMD=2∠MBD，∠AMC=2∠MBC，∴∠AMD﹣∠AMC=2（∠MBD﹣∠MBC）=2∠OBD=90°，即∠CMD=90°，∵CM=DM，∴△CDM为等腰直角三角形．同理可得：第2个图中△CDM为等腰直角三角形．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质、三角形外角的性质，灵活利用直角三角形的斜边上的中线的性质是关键．24．（2010•渝中区模拟）如图①，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点．（1）求证：△BMD为等腰直角三角形；（2）将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图②所示，则（1）题中的结论“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立请说明理由．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出BM=EN=MC，DM=EM=MC，然后根据等边对等角的性质可以证明∠BMD=90°，所以△BMD为等腰直角三角形；（2）延长DM交BC于N，先根据∠EDB=∠ABC=90°证明ED∥BC，然后根据两直线平行，内错角相等求出∠DEM=∠MCN，从而证明△EDM与△MNC全等，根据全等三角形对应边相等可得DM=MN，然后即可证明BM⊥DM，且BM=DM．【解答】（1）证明：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM=EC=MC，∴∠MBC=∠MCB．∴∠BME=2∠BCM．（2分）同理可证：DM=EC=MC，∠EMD=2∠MCD．∴∠BMD=2∠BCA=90°，（4分）∴BM=DM．∴△BMD是等腰直角三角形．（5分）（2）（1）题中的结论仍然成立．理由：延长DM与BC交于点N，（6分）∵DE⊥AB，CB⊥AB，∴∠EDB=∠CBD=90°，∴DE∥BC．∴∠DEM=∠MCN．又∵∠EMD=∠NMC，EM=MC，∴△EDM≌△MNC．（8分）∴DM=MN．DE=NC=AD．又AB=BC，∴AB﹣AD=BC﹣CN，∴BD=BN．∴BM⊥DM．即∠BMD=90°．（9分）∵∠ABC=90°，∴BM=DN=DM．∴△BMD是等腰直角三角形．（10分）【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握判定定理及性质并灵活运用是解题的关键，难度中等．25．（2011秋•昌平区校级期中）已知：如图△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，E，F分别在线段AB，AC上，且∠EDF=90°（1）求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）求证：S四边形AEDF =S△BDE+S△CDF；（3）如果点E运动到AB的延长线上，F在射线CA上且保持∠EDF=90°，△DEF 还仍然是等腰直角三角形吗请画图说明理由．【分析】（1）连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，从而得到∠1=∠B，再根据同角的余角相等求出∠2=∠4，然后利用“AAS”证明△BDE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，从而得证；（2）同理求出△ADE和△CDF全等，根据全等三角形的面积相等即可得证；（3）依然成立，连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，∠CAD=45°，再根据等角的补角相等求出∠DAF=∠DBE，然后利用“AAS”证明△BDE和△ADF 全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，从而得证．【解答】（1）证明：如图，连接AD，∵∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，∴AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，∴∠1=∠B=45°，∵∠EDF=90°，∴∠2+∠3=90°，又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴DE=DF，又∵∠EDF=90°，∴△DEF为等腰直角三角形；（2）解：同理可证，△ADE≌△CDF，所以，S四边形AEDF =S△ADF+S△ADE=S△BDE+S△CDF，即S四边形AEDF =S△BDE+S△CDF；（3）解：仍然成立．如图，连接AD，∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，∴AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，∵∠DAF=180°﹣∠1=180°﹣45°=135°，∠DBE=180°﹣∠ABC=180°﹣45°=135°，∴∠DAF=∠DBE，∵∠EDF=90°，∴∠3+∠4=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠2=∠4，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴DE=DF，又∵∠EDF=90°，∴△DEF为等腰直角三角形．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．26．（2016•汕头校级自主招生）△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．（1）如图1，作∠ADB的角平分线DF交BE于点F，连接AF．求证：∠FAB=∠FBA；（2）如图2，连接DE，点G与点D关于直线AC对称，连接DG、EG①依据题意补全图形；②用等式表示线段AE、BE、DG之间的数量关系，并加以证明．【分析】（1）欲证明∠FAB=∠FBA，由△ADF≌△BDF推出AF=BF即可解决问题．（2）①根据条件画出图形即可．②数量关系是：GD+AE=BE．过点D作DH⊥DE交BE于点H，先证明△ADE≌△BDH，再证明四边形GEHD是平行四边形即可解决问题．【解答】证明：（1）如图1中，∵AD⊥BC，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°，∴AD=BD，∵DF平分∠ADB，∴∠1=∠2，在△ADF和△BDF中，，∴△ADF≌△BDF．∴AF=BF，∴∠FAB=∠FBA．（2）补全图形如图2中所示，数量关系是：GD+AE=BE．理由：过点D作DH⊥DE交BE于点H∴∠ADE+∠A DH=90°，∵AD⊥BC，∴∠BDH+∠ADH=90°，∴∠ADE=∠BDH，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∠AKE=∠BKD，∴∠DAE=∠DBH，在△ADE和△BDH中，，∴△ADE≌△BDH．∴DE=DH，AE=BH，∵DH⊥DE，∴∠DEH=∠DHE=45°，∵BE⊥AC，∴∠DEC=45°，∵点G与点D关于直线AC对称，∴AC垂直平分GD，∴GD∥BE，∠GEC=∠DEC=45°，∴∠GED=∠EDH=90°，∴GE∥DH，∴四边形GEHD是平行四边形∴GD=EH，∴GD+AE=BE．【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练正确全等三角形判定方法，学会添加常用辅助线，构造全等三角形以及特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．27．（2016春•东港市期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC 中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF、AF、AD，AD与CF交于点G．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）AD与CF的关系是AD=CF ；（3）求证：△ACF是等腰三角形；（4）△ACF可能是等边三角形吗不可能（填“可能”或“不可能”）．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠CBA=∠CAB=45°，根据平行线的性质得到∠FBE=∠CAB=45°，根据全等三角形的判定定理证明即可；（2）根据全等三角形的性质定理得到答案；（3）根据线段垂直平分线的性质得到AD=AF，等量代换即可；（4）根据直角三角形的直角边小于斜边解答．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵BF∥AC，∴∠FBE=∠CAB=45°，∴∠CBF=90°，又DE⊥AB，∴∠FDB=45°，∴∠DFB=45°，∴BD=BF，又D为BC中点，∴CD=BF，在△ACD和△CBF中，，∴△ACD≌△CBF；（2）∵△ACD≌△CBF，∴AD=CF，故答案为：AC=BF；（3）连接AF，∵DF⊥AE，DE=EF，∴AD=AF，∵AD=CF，∴AF=CF，∴△ACF是等腰三角形；（4）在Rt△ACF中，AC＜AD，∴AC＜AF，∴△ACF不可能是等边三角形，故答案为：不可能．【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定以及等边三角形的判定，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．。

数学中考考点专题复习训练及答案解析15：等腰三角形与直角三角形

考点15 等腰三角形与直角三角形一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．考向一等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．学-科网3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒．典例1 等腰三角形的一个内角为70°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是 A ．35°B ．20°C ．35°或20°D ．无法确定【答案】C【解析】70°是顶角，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是35°，70°是底角，顶角是40°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是20°，故选C ．典例2 如图，等腰三角形ABC 中，∠BAC =90°，在底边BC 上截取BD =AB ，过D 作DE ⊥BC 交AC 于E ，连接AD ，则图中等腰三角形的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【名师点睛】此题考查了等腰三角形的性质和判定以及三角形的内角和定理，由已知的条件利用相关的性质，求得各个角的度数是正确解题的关键.1．等腰三角形的周长为15 cm，其中一边长为3 cm．则该等腰三角形的腰长为A．3 cm B．6 cm C．3 cm或6 cm D．3 cm或9 cm考向二等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．学_科网【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状．考向三等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．典例4 如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD=AP，且∠APD=70°，∠PAB的度数是A．10°B．15°C．20°D．25°【答案】C【解析】因为AD=AP，所以∠APD=∠ADP，因为∠APD=70°，所以∠ADP=70°，所以∠PAD=180°-70°-70°=40°，因为∠BAC=60°，所以∠PAB=60°-40°=20°，故选C．3．如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC等于A．20°B．30°C．35°D．40°考向四等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例5 下列推理中，错误的是A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形【答案】B4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．考向五直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．典例6 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD的长为__________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=12AD=3，故答案为：3．5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．考向六勾股定理1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例7 下列几组数：①6，8，10；②7，24，25；③9，12，15；④n2-1，2n，n2+1（n）（n是大于1的整数），其中是勾股数的有A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】D【解析】①∵62+82=100=102，∴6、8、10是勾股数；②∵72+242=252，∴7，24，25是勾股数；③∵92+122=152，∴9，12，15是勾股数；④∵（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴n2-1，2n，n2+1（n）（n是大于1的整数）是勾股数，故选D．【名师点睛】本题考查了勾股数的判断，解题的关键是根据勾股数的定义分别对每一组数进行分析．6．如图，一圆柱高8 cm，底面半径为6πcm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm1．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2-c2，则此三角形是A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于A．30°B．40°C．45°D．36°3．下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是A．3，4，5B．6，7，8C．12，25，27 D．23，25，424．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD=4，则BC的长为A．8 B．4 C．12 D．65．已知△ABC的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是A．a2+b2=c2 B．∠A+∠B=90°C．a=3，b=4，c=5 D．∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶56．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A．22 B．17 C．17或22 D．267．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为A．6 B．5 C．4 D．38．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有A．8个B．9个C．10个D．11个9．如图，Rt△ABC中，∠B=90〬，AB=9，BC=6，，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长等于A．5 B．6 C．4 D．310．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为A．6 B．32C．42D．6211．等腰三角形的一腰的中线把三角形的周长分成16 cm和12 cm，则等腰三角形的底边长为______．12．如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为__________．学科_网13．如图，在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，垂足为点E，△BDE是等边三角形，若AD=4，则线段BE 的长为__________．14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为__________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上一点，且AD AE =，12EDC ∠=︒，则BAD ∠=__________．16．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B ，C ，D ，E 在同一直线上，且CG =CD ，DF =DE ，则∠EFD =__________°．17．如图，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =7，点E 是AD 上的一个动点，把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠，当点A 的对应点A 1恰好落在∠BCD 的平分线上时，CA 1的长为__________．18．如图，在等腰三角形ABC 中，AC =BC ，分别以BC 和AC 为直角边向上作等腰直角三角形△BCD 和△ACE ，AE 与BD 相交于点F ，连接CF 并延长交AB 于点G ．求证：CG 垂直平分AB ．19．如图，一架2.5 m长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B距底端O为0.7 m．（1）求OA的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，AE=BD，连接DE，过点E作EF⊥DE，交线段BC的延长线于点F．（1）求证：CE=CF；（2）若BD=12CE，AB=9，求线段DF的长．21．已知：如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB=10米，CA⊥AB，且CA=6米，拉动绳子将船从点B沿BA方向行驶到点D后，绳长CD=62米．（1）试判定△ACD的形状，并说明理由；（2）求船体移动距离BD的长度．1．（2018·南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 A ．3，4，5 B ．2，3，4 C ．4，6，7D ．5，11，122．（2018·滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为 A ．5 B ．6 C ．7D ．83．（2018·湖州）如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若AB =AC ，∠CAD =20°，则 ∠ACE 的度数是A ．20°B ．35°C ．40°D ．70°4．（2018·宿迁）若实数m 、n 满足|2|40m n -+-=，且m 、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是 A ．12 B ．10 C ．8D ．65．（2018·绥化）已知等腰三角形的一个外角为130︒，则它的顶角的度数为__________．6．（2018·青海）如图，将Rt ABC △绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到DEC △，连接AD ，若∠BAC =25°，则∠BAD =__________．7．（2018·甘孜州）直线上依次有A ，B ，C ，D 四个点，AD =7，AB =2，若AB ，BC ，CD 可构成以BC 为腰的等腰三角形，则BC 的长为__________．8．（2018·桂林）如图，在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，则图中等腰三角形的个数是__________．9．（2018·襄阳）已知CD 是△ABC 的边AB 上的高，若CD =3，AD =1，AB =2AC ，则BC 的长为__________． 10．（2018·嘉兴）已知，在ABC △中，AB AC =，D 为AC 的中点，DE AB ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为点E F ，，且DE DF =．求证：ABC △是等边三角形．11．（2018·广安）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．（4）画一个边长为22，面积为6的等腰三角形．1．【答案】B【解析】当3 cm 是底时，则腰长是（15-3）÷2=6（cm ），此时能够组成三角形；当3 cm 是腰时，则底是15-3×2=9（cm ），此时3+3<9，不能组成三角形，应舍去，故选B ． 2．【解析】（1）由题意得：5−2<AB <5+2，即：3<AB <7，∵AB 为奇数，∴AB =5， ∴△ABC 的周长为5+5+2=12．（2）∵AB =AC =5， ∴△ABC 是等腰三角形． 3．【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是正方形，△PAD 是等边三角形， ∴9060150BAP BAD PAB ∠=∠+∠=︒+︒=︒． ∵PA =AD ，AB =AD ，∴PA =AB ， ∴180150152ABP ︒-︒∠==︒，∴901575PBC ABC ABP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，同理：75PCB ∠=︒，∴180757530BPC ∠=︒-︒-︒=︒．故选B ． 4．【答案】5【解析】已知∠AON =60°，当OP =OA =5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP 为等边三角形．故答案为：5． 5．【答案】6或6.5【解析】分两种情况：①5和12是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为13，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5；②5是直角边，12为斜边，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6，故答案为：6或6.5． 6．【答案】B【解析】如图，底面圆周长为2πr ，底面半圆弧长为πr ，即半圆弧长为：12×2π×6π=6（cm ），展开得：变式拓展∵BC=8 cm，AC=6 cm，根据勾股定理得：AB=2268+=10（cm），故选B．1．【答案】C【解析】∵原式可化为a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形，故选C．2．【答案】D【解析】∵AD=BD，∴∠A=∠ABD，∴∠BDC=2∠A．∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2∠A．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2∠A，由三角形内角和定理，得∠A+2∠A+2∠A=180°，即∠A=36°．故选D．4．【答案】C【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵AB⊥AD，∴BD=2AD=2×4=8，∠B+∠ADB=90°，∴∠ADB=60°，∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°，∴∠DAC=30°，∴∠DAC=∠C，∴DC=AD=4，∴BC=BD+DC=8+4=12，故选C．5．【答案】D【解析】A．a2=b2+c2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；B．∠A+∠B=∠C，此时∠C是直角，能够判定△ABC是直角三角形，不符合题意；C．52=32+42，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；D．∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，那么∠A=45°、∠B=60°、∠C=75°，△ABC不是直角三角形．故选D．6．【答案】A【解析】分两种情况：①当腰为4时，4+4<9，所以不能构成三角形；②当腰为9时，9+9>4，9-9<4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．故选A．7．【答案】C【解析】∵AB=AC=5，AD平分∠BAC，BC=6，∴BD=CD=3，∠ADB=90°，∴AD22AB BD-=4．故选C．考点冲关8．【答案】B【解析】如图，①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选B．9．【答案】A【解析】设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9-x．∵D是BC的中点，∴BD=1632⨯=．在Rt△BDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故选A．10．【答案】D【解析】如图，作AH⊥CH，在Rt△ACH中，∵AH=3，∠AHC=90°，∠ACH=30°，∴AC=2AH=6，在Rt△ABC中，AB22226662AC BC+=+=D．11．【答案】203cm或12 cm【解析】设等腰三角形的腰长是x，底边是y，根据题意得162122xxxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩或122162xxxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得323203xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或812xy=⎧⎨=⎩，经检验，均符合三角形的三边关系．因此三角形的底边是203cm或12 cm．故答案为：203cm或12 cm．12．【答案】60°【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，∵DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，∴∠BDE=∠AFD=90°．∵∠AED是△BDE的外角，∴∠AED=∠B+∠BDE=60°+90°=150°，∴∠EDF=360°−∠A−∠AED−∠AFD=360°−60°−150°−90°=60°，故答案为：60°．13．【答案】4【解析】∵△BDE是正三角形，∴∠DBE=60°．∵在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，∴∠C=∠ABC=∠ABE+∠EBC，则∠EBC=∠ABC-60°=∠C-60°，∠BEC=90°，∴∠EBC+∠C=90°，即∠C-60°+∠C=90°，解得∠C=75°，∴∠ABC=75°，∴∠A=30°，∵∠AED=90°-∠DEB=30°，∴∠A=∠AED，∴DE=AD=4，∴BE=DE=4，故答案为：4．14．【答案】10【解析】①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14>6+6，所以不能构成三角形；②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10，因为6-6<10<6+6，所以能构成三角形，故腰长为10．故答案为：10．16．【答案】15【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为：15．17．【答案】32或42【解析】如图，过点A1作A1M⊥BC于点M．∵点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上，∠BCD=90°，∴∠A1CM=45°，即△AMC是等腰直角三角形，∴设CM=A1M=x，则BM=7-x．又由折叠的性质知AB=A1B=5，∴在直角△A1MB中，由勾股定理得A1M2=A1B2-BM2=25-（7-x）2，∴25-（7-x）2=x2，解得x1=3，x2=4，∵在等腰Rt△A1CM中，CA1A1M，∴CA118．【解析】∵CA=CB，∴∠CAB=∠CBA，∵△AEC和△BCD为等腰直角三角形，∴∠CAE=∠CBD=45°，∠FAG=∠FBG，∴∠FAB=∠FBA，∴AF=BF，在三角形ACF和△BCF中，AF BF AC BC CF CF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△BCF（SSS），∴∠ACF=∠BCF，∴AG=BG，CG⊥AB（三线合一），即CG垂直平分AB．19．【解析】在直角△ABO中，已知AB=2.5 m，BO=0.7 m，则AO，∵AO=AA′+OA′，∴OA′=2 m，∵在直角△A′B′O中，AB=A′B′，且A′B′为斜边，∴OB′=1.5 m，∴BB′=OB′-OB=1.5 m-0.7 m=0.8 m．答：梯足向外移动了0.8 m．20．【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AE=BD，∴AC-AE=BC-BD，∴CE=CD，且∠ACB=60°，∴△CDE是等边三角形，∴∠ECD=∠DEC=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠CEF=30°，∵∠DCE=∠CEF+∠CFE=60°，∴∠CEF=∠CFE=30°，∴CE=CF．（2）∵BD=12 CE，CE=CD，∴BD=12CD，∵AB=9，∴BC=9，∴BD=3，CD=6，∵CE=CF=CD，∴CF=6，∴DF=DC+CF=12．21．【解析】（1）由题意可得：AC=6 m，DC=62m，∠CAD=90°，可得AD=22CD AC-=6（m），故△ACD是等腰直角三角形．（2）∵AC=6 m，BC=10 m，∠CAD=90°，∴AB=22BC AC-=8（m），则BD=AB-AD=8-6=2（m）．答：船体移动距离BD的长度为2 m．1．【答案】A【解析】A、∵32+42＝52，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；C、∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误．故选A．直通中考4．【答案】B【解析】由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，①若腰为2，底为4，此时不能构成三角形，舍去；②若腰为4，底为2，则周长为：4+4+2=10，故选B．5．【答案】50︒或80︒【解析】∵等腰三角形的一个外角为130︒，∴与130°相邻的内角为50°，当50︒为顶角时，其他两角都为65︒，65︒；当50︒为底角时，其他两角为50︒，80︒，所以等腰三角形的顶角为50︒或80︒，故答案为：50︒或80︒．6．【答案】70°【解析】∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，∴AC=CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°，则∠BAD=∠BAC+∠CAD=25°+45°=70°，故答案为：70°．7．【答案】2或2.5【解析】如图，∵AB=2，AD=7，∴BD=BC+CD=AD-AB=5，∵AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，∴BC=AB 或BC=CD，∴BC=2或BC=2.5，故答案为：2或2.5．8．【答案】3【解析】∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．∵BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△BDC是等腰三角形．∴共有3个等腰三角形．故答案为：3．9．【答案】2327△是锐角三角形，如图1，【解析】分两种情况：①当ABC∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∵CD=3，AD=1，∴AC=2，∵AB=2AC，∴AB=4，∴BD=4-1=3，∴BC2222CD BD+=+=；3(3)23②当ABC△是钝角三角形，如图2，同理得：AC=2，AB=4，∴BC=2222CD BD+=+=．综上所述，BC的长为23或27，(3)527故答案为：23或27．10．【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA=∠DFC=90°．∵D为的AC中点，∴DA=DC．又∵DE=DF，∴RtΔAED≌RtΔCDF（HL），∴∠A=∠C，∴∠A=∠B=∠C，∴ΔABC是等边三角形．11．【解析】如图所示：。

中考数学专题特训等腰三角形与直角三角形(含详细参考答案)

中考数学专题复习等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【赵老师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证讨论角时应主要底角只被围角】4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【赵老师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在角的平分线：1、性质：角平分线上的点到得距离相等2、判定：到角两边距离相等的【赵老师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的2、要移用作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【赵老师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它就对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法：⑴有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角是的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【赵老师提醒：直角三角形的有关性质在边形，中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：等腰三角形性质的运用例 1 （2012•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．分析：此题需先根据题意画出当AB=AC时，当AB=BC时，当AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可．解：（1）当AB=AC时，∵∠A=30°，∴CD=12AC=12×8=4；（2）当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°，∴∠ACD=60°，∴∠BCD=30°，∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°×8=43；（3）当AC=BC时，则AD=4，∴CD=tan∠A•AD=tan30°•4=433；故答案为：433或43或4。

直角等腰三角形斜边计算公式例题

直角等腰三角形斜边计算公式例题示例文章篇一：《神奇的直角等腰三角形》嘿！同学们，你们知道直角等腰三角形吗？今天我就来和你们讲讲直角等腰三角形斜边的计算公式，这可有趣啦！老师在课堂上给我们讲这个的时候，我一开始还觉得挺难理解的。

我就想啊，这三角形怎么这么复杂呢？但后来仔细一听，发现其实也没那么难嘛！比如说，有一个直角等腰三角形，两条直角边的长度都是5 厘米。

那斜边怎么算呢？这时候就得用到那个神奇的公式啦！斜边的长度就等于直角边长度乘以根号2 。

我当时就在心里嘀咕：“这根号2 是啥呀？”老师好像看出了我们的疑惑，就说：“同学们，别着急，咱们慢慢来。

”然后老师就给我们一步一步地解释，还在黑板上画图。

我同桌小明忍不住说：“老师，这也太复杂了吧！”老师笑着回答：“不复杂不复杂，多做几道题就会啦！”我跟着老师的思路，自己在本子上算了算。

哎呀！原来这么简单，斜边的长度就是5 乘以根号2 ，约等于7.07 厘米。

我高兴地对旁边的小红说：“你看，我算出来啦！”小红说：“真厉害，我还有点迷糊呢，你再给我讲讲呗。

”于是我就又给小红讲了一遍。

咱们再举个例子，假如直角边是8 厘米，那斜边不就是8 乘以根号2 ，约等于11.31 厘米嘛。

这就像我们走路，知道了起点和方向，就能算出终点在哪里。

通过学习这个计算公式，我发现数学可真是个神奇的世界，到处都充满了惊喜和挑战。

虽然有时候会遇到难题，但是只要我们不放弃，多思考，总能找到解决的办法。

你们说，数学是不是很有趣呢？反正我觉得数学就像一个大宝藏，等着我们去挖掘里面的宝贝！我的观点就是：直角等腰三角形斜边的计算公式虽然一开始让人觉得有点头疼，但只要我们认真学，多练习，就能掌握它，还能在数学的世界里畅游！示例文章篇二：哎呀，同学们，你们知道直角等腰三角形吗？今天我就来跟大家好好聊聊直角等腰三角形斜边的计算公式！就好像我们玩游戏需要知道规则一样，要解决直角等腰三角形斜边的问题，就得先清楚它的特点。

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二、见直角三角形斜边中点与等腰三角形底边中点作中线

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