初中数学教材理解资料

合集下载

初中数学人教版9年级上册教材全解

第二十一章一元二次方程【抛砖引玉】韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，常常也称作韦达定理，这是因为该定理是16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的.韦达的小传韦达1540年出生在法国东部的普瓦图的韦特奈.他早年学习法律，曾以律师身份在法国议会里工作，韦达不是专职数学爱，但他非常喜欢在政治生涯的间隙和工作余暇研究数学，并做出了很多重要贡献，成为那个时代最伟大的数学家.韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进.他在1591年所写的《分析术引论》是最早的符号代数著作.是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用.因此，他获得了“代数学之父”之称.他还写下了《数学典则》（1579年）、《应用于三角形的数学定律》（1579年）等不少数学论著.韦达的著作，以独特形式包含了文艺复兴时期的全部数学内容.只可惜韦达著作的文字比较晦涩难懂，在当时不能得到广泛传播.在他逝世后，才由别人汇集整理并编成《韦达文集》于1646年出版.韦达1603年卒于巴黎，享年63岁.下面是关于韦达的一则趣事：韦达的“魔法”在法国和西班牙的战争中，法国人对于西班牙的军事动态总是了如指掌，在军事上总能先发制人，因而不到两年功夫就打败了西班牙。

可怜西班牙的国王对法国人在战争中的“未卜先知”十分脑火又无法理解，认为是法国人使用了“魔法”.原来，是韦达利用自己精湛的数学方法，成功地破译了西班牙的军事密码，为他的祖国赢得了战争的主动权.另外，韦达还设计并改进了历法.所有这些都体现了韦达作为大数学家的深厚功底.【先睹为快】本章主要包括一元二次方程及其相关概念、一元二次方程的解法及一元二次方程的实际应用三个知识点.主要学习用配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，根的判别式以及根与系数的关系，用一元二次方程来解决实际问题.【众说纷纭】老师：怎样才能学好一元二次方程？学生1:我认为，一元二次方程与前面学过的一元一次方程、二元一次方程组很类似，几元就是指几个未知数，几次就是指未知数的次数是几.只要前面这两种方程学好了，学一元二次方程就简单了.学生2:你们知道什么是方程根吗?告诉大家，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根.一元二次方程的根就是使这个一元二次方程左右边相等的未知数的值.学生3:那一元二次方程根的情况是有时有两个根，有时没有实数根吧?老师：你们理解的对.但是我们要注意一点，一元二次方程必须满足三个条件：一是只含有一个未知数，二是未知数的最高次数是2，三是整式方程.学生1:知道怎么解一元二次方程吗？有三种方法哦，一是配方法、二是公式法，三是因式分解法.学生2:是啊，是啊，三种方法还适合不同的方程形式，有时运用因式分解法好，有时运用配方法好，这一章要学习的内容还挺有意思的，我们共同来期待吧!21.1 一元二次方程【解读课标】1.理解一元二次方程的概念及一般形式，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念.2.了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的根. 【洞悉课本】知识点1 一元二次方程（重点）一元二次方程的定义：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.友情所示：从一元二次方程的定义可知,一元二次方程需具备以下三个条件:(1)只含有一个未知数,即未知数有且只有一个.如果方程中未知数的个数多于1个,那么它就不是一元二次方程.(2)未知数的最高次数是2,即未知数的最高次数不能低于2,也不能高于2.但方程中是否存在一次项或常数项,并没有提出要求.因此,可将方程进行降幂排列,观察未知数的最高次数是否为2.(3)方程的两边是整式.整式是单项式和多项式的统称.说明分母不能含有未知数,被开数不能含有未知数.只要某个方程不符合以上三条中的一条,那它就不是一元二次方程.反之，是一元二次方程，那么它就一定满足以上三个条件.例1 下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）.A.2210x x +=B.20ax bx c ++= C.(1)(2)1x x -+=D.223250x xy y --=【解题思路】根据一元二次方程的定义, 把一个整式方程经化简后含一个未知数且未知数的最高次数为2就是一元二次方程.A 项分母中含有未知数；B 项中未强调a ≠0；D 项中含有两个未知数；把C 项展开整理为x 2-x-3=0，符合一元二次方程的概念.【答案】C. 【方法归纳】判断一个方程是否为一元二次方程，首先要将方程化简，使方程右边为0，然后观察它是否具备一元二次方程的三个条件：（1）只含有一个末知数，（2）末知数的最高次数是2，（3）整式方程，这三个条件缺一不可. 【举一反三】1.(★)下列方程中，关于x 的一元二次方程是( ). A.3(x +1)2=2(x +1) B.2112x x+-=0 C.（a -1）x 2+bx +c =0 D.x 2+2x =x 2-1 2. (★★) 方程(m +2)x |m |+3mx +1=0是关于x 的一元二次方程，则( ).A.m =±2B.m =2C.m =-2D.m ≠±2 知识点2 一元二次方程的一般形式（重点）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，可以化为ax 2+bx +c =0(a ≠0)，这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 【友情提示】一元二次方程的一般形式是将方程变形和整理后的一种很有规律的表达形式，它的左边是未知数的二次三项式，且其中a 通常写成大于0的形式，而右边是0.一元二次方程的一般形式是用配方法或公式法求一元二次方程根的基础.例2 把下列方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项.（1）x（x+6）=5；（2）（x+1）（x-4）=-4；（3）（2x+1）2=4x．【解题思路】首先对三个方程进行适当的整理，化为一般形式，再指出二次项系数、一次项系数和常数项.【解】（1）x（x+6）=5，去括号，得x2+6x=5，移项，得x2+6x-5=0．其中二次项系数为1，一次项系数6，常数项-5.（2）（x+1）（x-3）=-4，去括号，得x2-4x+x-4=-4，移项，合并同类项，得x2-3x=0.其中二次项系数为1，一次项系数-3，常数项0.（3）（2x+1）2=-7，去括号，得4x2+4x+1=4x，移项，合并同类项，得4x2+1=0．其中二次项系数为4，一次项系数0，常数项1.【方法归纳】一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b=0；若没有出现常数项c，则c=0.【举一反三】3.(★) 一元二次方程3x2+2x－5=0的一次项系数是．4.(★★)把方程5x（x+1）=2（x+5）2+x2-3化成一般形式，并指出二次项系数，一次项系数及常数项．小强的解题过程如下：解：去括号，得5x2+5x=2（x2+25）+x2-3，移项，得5x2+5x-2x2-50-x2+3=0，合并，得2x2+5x-47=0．所以二次项系数是2，一次项系数是5，常数项是-47．小强的解题过程有错误吗？若有，请指出错在什么地方，并给出正确的解题过程．知识点3 一元二次方程的解（根）（难点）一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.判定一个数是不是一元二次方程解的方法是：将此数代入这个一元二次方程，若能使等式成立，则这个数是一元二次方程的解；反之，它就不是一元二次方程的解.友情所示：一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则m必然满足该方程，将m代入该方程，便有am2+bm+c＝0（a≠0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m能使am2+bm+c＝0（a≠0）成立，则m 一定是ax2+bx+c＝0的根.例3 已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）.A.1B.﹣1C.0D.无法确定【解题思路】根据一元二次方程根的定义，只要将方程中的未知数换成相应的根，就可以使问题得到解决.据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1.【答案】 B【方法归纳】在已知方程的根时，通常需要将方程的根代入原方程，根据要求的结果，进行转化，可通过分解因式，或者整体代入等方法实现要求解的问题. 【举一反三】5.(★) 已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是___________（只需写出一个方程）6.(★★) 已知a 是方程012=-+x x 的一个根，则aa a ---22112的值为（）. AB ．251±- C ．－1D ．1【走出误区】易错点1一元二次方程的概念理解不透彻例1方程（m +2）x |m |+3mx +1=0是关于x 的一元二次方程，则（）. A ．m =±2 B ．m =2 C ．m =-2 D ．m ≠±2【解题思路】因为方程（m +2）x |m |+3mx +1=0是关于x 的一元二次方程，所以220.m m ⎧=⎪⎨+≠⎪⎩，解得m =2．故选B ．【答案】B【误区分析】错解原因误认为未知数x 的次数是2就可以，忽视了二次项系数m +2≠0这一隐含条件．易错点2 不能准确确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项例2 写出方程3x 2+2x=5二次项系数、一次项系数及常数项. 【解题思路】求一元二次方程的项及各项的系数时，应先把方程化为一般形式后再确定，并注意要带上符号.【解】把3x 2+2x=5化为一般形式为3x 2+2x-5=0，其中二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是-5.【误区分析】错解的原因在于未将原方程化为一般形式，忽略了项的系数符号以及混淆了项与项的系数的概念. 【对接中考】【考点透视】中考对这部分内容的考查，主要以一元二次方程的判别、一元二次方程的根以及根的应用为主，试题难度不大，属于简单题，且试题的类型通常以选择题、填空题为主. 【中考典例】例（2016·宜宾）已知2=x 是一元二次方程022=++mx x 的一个解，则m 的值是 ( ).A ．-3B ．3C ． 0D ．0或3【解题思路】把2=x 代入原方程可得到一个关于m 的一元一次方程，再求解，应选A. 【答案】A ．【方法归纳】本题考查了一元一次方程的解法及方程解的定义，解题时遇到方程的解可把解代入原方程，这是常用方法. 【真题演练】1．（2016•牡丹江★★）若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a ﹣b 的值是（）.A.2018B.2008C.2014D.20122．（2016贵州省黔西南州★★）已知x=1是一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根，则代数式a 2+b 2+2ab 的值是．【小试身手】1. (★)下列方程中，关于x 的一元二次方程的是（）. A.02112=-+x xB.()()12132+=+x x C.02=++c bx ax D.122-=+x x x2. (★★)已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a (a ≠0)，则a －b 的值为（）.A ．﹣1B ．0C ．1D ．23. (★)方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．4. (★)请你写出一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为-3，这个一元二次方程是 .5. (★★)已知x = 1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则222n mn m ++的值为．6. (★★)当m 为何值时，关于x 的方程22(9)(3)20m x m x m -+-+=（1）是一元一次方程？（2）是一元二次方程？7. (★★)教材或资料会出现这样的题目：把方程2122x x -=化为一元二次方程的一般形式，并写出他的二次项系数、一次项系数和常数项. 现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答. （1）下列式子中，有哪几个是方程2122x x -=所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号） . ①21202x x --= ②21202x x -++= ③224x x -= ④2240x x -++= 2323430x x --= （2）方程2122x x -=化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？【教材习题解答】P （4）1.（1）3x 2-6x+1=0，二次项系数为3，一次项系数为-6，常数项为1. 解析: 直接把一次项6x 移到左边即可.（2）4x 2+5x-81=0，二次项系数为4，一次项系数为5，常数项为-81. 解析:直接把常数项81移到左边即可.（3）x 2+5x=0，二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为0. 解析:直接把x(x+5)去括号即可.（4）2x 2-4x+2=0，二次项系数为2，一次项系数为-4，常数项为2. 解析:根据多项式乘以多项式的法则把左边展开：(2x-2)(x-1)=0，得2x 2-4x+2=0.（5）x 2+10=0，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为10. 解析:把左边去括号，同时右边的5x-10移到左边，合并同类项即可.（6）x 2+2x-2=0，二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-2. 解析:左、右两边分别去括号，再把右边的移到左边.(3x-2)(x+1)=x(2x-1)，去括号得3x 2+3x-2x-2=2x 2-x ，移项、合并同类项得x 2+2x-2=0.2.（1）设这个圆的半径为Rm ，由圆的面积公式得3.14R 2=6.28，所以3.14R 2-6.28=0 解析:根据圆的面积公式得到方程.（2）设这个直角三角形较长的直角边为xcm ，由三角形的面积公式得21x(x-3)=9，整理得21x 2-23x-9=0. 解析：直接根据三角形的面积公式构造方程. 3.-4，3 解析: 分别把-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4代入到方程x 2+x-12=0的左边，看是否与右边相等，如果相等，则是原方程的根；若不相等，则它不是原方程的根.4.解析：设长方形的宽为xcm ，则长方形的长是(x+1)cm ，由题意得x(x+1) =132，即x 2+x-132=0.5.解析：设长方形的长为xcm ，则长方形的宽是(0.5-x)cm ，由长方形的面积公式x(0.5-x)=0.06，整理得x 2-0.5x+0.06=0.6.解析:设有x 人参加聚会，根据题意可知(x-1)+(x-2)+…+2+1=10，即102)1(=-x x ，整理得010222=--xx . 7.解析:由题意可知，22-c=0，所以c=4，所以原方程x 2-4=0，所以x=±2，即这个方程的另一个根是-2.21.2 降次----解一元二次方程【解读课标】1.理解并掌握一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、因式分解法，会选择适当的方法解一元二次方程；2.会用b 2-4ac 判断一元二次方程根的情况； 3.理解一元二次方程的根与系数的关系；4.通过对一元二次方程解法的探索，体会“降次”的基本思想. 【洞悉课本】知识点1 配方法解一元二次方程（难点）配方法就是通过将原方程配成完全平方式来解一元二次方程的方法.配方法的理论依据是完全平方公式.配方法的步骤是：1. 移项：使含未知数的项在左边，常数项在右边；2. 化二次项系数为1：两边同除以二次项系数；3.配方：方程两边都加上一次项系数的一半，写成2()x m n +=的形式；4.求解：利用平方根定义直接开平方（n ＜0无解）.友情所示：（1）配方法是一种很重要的数学方法，但使用起来较复杂，故没有特别说明，一般不使用.但此方法非常重要，以后有着广泛的应用，必须掌握它.（2）运用上面的步骤时，一定要注意先化二次项系数为1，配方时，要注意方程两边都加上一次项系数的一半，不能只加一边.例1 解方程：22520x x -+=．【解题思路】根据配方法解题的一般步骤，按照解题步骤一步步来，就可以顺利解出来.【解】移项，得2x 2-5x=2，二次项系数化为1，得2512x x -=-，配方，得2225551244x x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即259()416x -=，5344x -=±．解得12122x x ==，．【方法归纳】配方法是一种重要的解题方法，在应用它时主要是依据一般步骤，只要注意一次项的符号，选准和（或差）的平方，就可以得到正确答案. 【举一反三】1.(★) 用配方法解一元二次方程245x x -=时，此方程可变形为（）. A.()221x += B.()221x -= C.()229x += D.()229x -= 2. (★★) 配方法解方程x 2－4x ＋1=0知识点2 一元二次方程根的判别式（难点）一般地，式子b 2-4ac 叫做方程20ax bx c ++=(a ≠0)根的判别式，通常用希腊字母△来表示，即△=b 2-4ac.用根的判别式可不用解方程直接判断一元二次方程的根的情况.一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的情况可由b 2－4ac 的符号来判定：（1）当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b 2－4ac =0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根.友情所示：①应用根的判别式要准确确定a 、b 、c 的值；②根的判别式只适用于一元二次方程.例2 不解方程，判断下列方程根的情况.（1）3x 2+8x=3 （2）x 2+4=4x （3）t 2-t+2=0【解题思路】确定各方程中a 、b 、c 的值，将它们代入△=b 2-4ac.由△的符号确定方程根的情况.【解】(1)原方程可化为3x 2+8x-3=0.∵△=b 2-4ac=82-4×3×（-3）=100＞0，∴原方程有两个不相等的实数根.（2）原方程可化为x 2-4x+4=0.∵△=b 2-4ac=（-4）2-4×1×4=0，∴原方程有两个相等的实数根.（3）∵△=b 2-4ac=（-1）2-4×1×2=-7＜0，∴原方程没有实数根. 【方法归纳】根的判别式是用来判断一元二次方程根的情况的，再应用它来解题时要把方程化为一般形式，再确定a 、b 、c 的值，最后计算出b 2－4ac 的值. 【举一反三】3.(★)一元二次方程0412=++x x 的根的情况是（）. A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定4. (★★)已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是( ).A.a ＜2B.a ＞2C.a ＜2且a ≠1D.a ＜－2 5.(★★)若方程2x kx 9=0++有两个相等的实数根，则k= .知识点3 公式法解一元二次方程（难点）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b-4ac ≥0时，方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的实数根可以写为方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）推导过程如下：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a+（2b a ）2 即（x+2b a）2=2244b aca -∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0直接开平方，得：x+2b a =±2a ，即x=2b a-∴x 1=2b a -，x 2=2b a-【友情提示】公式法是在配方法的基础上推理得到的方法，公式法使解方程的过程简单化，体现了优化思想.公式法可以称为“解一元二次方程的万能公式”. 例3 用公式法解方程：2314x x -=．【解题思路】将方程整理成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，将它们代入△=b 2-4ac 计算出数值，当b 2-4ac ≥0时，直接代入公式求解.【解】原方程可化为23410x x --=．因为341a b c ==-=-，，．241612280b ac -=+=>，所以x ==12x x ==．【方法归纳】公式法是解一元二次方程最常用的方法，它的一般步骤是：（1）把方程化成一元二次方程的一般形式，（2）写出方程各项的系数，（3）计算出b 2-4ac 的值，看b 2-4ac 的值与0的关系，若b 2-4ac ＜0，则此方程没有实数根，当b 2-4ac ≥0时，代入求根公式计算出方程的根.【举一反三】6.(★) 方程2x 2＋5x －3＝0的解是 .7.(★★)解下列方程:（1）x 2+2x-35=0 （2）2x 2-4x-1=0 （3）2314x x -=．知识点4 因式分解法解一元二次方程（重点）通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.友情所示：分解因式法是解一元二次方程较简洁的方法，关键是化方程右边为0，左边能分解因式.但使用起来有一定的局限性，一般方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) ，当c=0时用因式分解法比较简单.例4 解方程：（1）x 2-12x=-36 （2）)32(4)32(2+=+x x【解题思路】 (1)移项后用完全平方公式分解因式；（2）先把方程右边的代数式移到左边，使右边为0，再把左边进行因式分解.【解】（1）移项，得x 2-12x+36=0，所以（x-6）2=0，即x 1=x 2=6. （2）移项，得0)32(4)32(2=+-+x x ，因式分解，得 0)432)(32(=-++x x . 于是0)432(0)32(=-+=+x x 或，所以21,2321=-x x 【方法归纳】因式分解法是最简单的解一元二次方程的方法，它的一般步骤是：（1）移项，使方程的右边为0；（2）利用提取公因式法，平方差公式，完全平方公式等对左边进行因式分解；（3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.【举一反三】8.(★) 方程x （x-2）+x-2=0的解是（）. A.2 B.-2，1 C.－1 D.2，－19.(★★) 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个．．，并选择你认为适当的方法解这个方程． ①2310x x -+=；②2(1)3x -=；③230x x -=；④224x x -=．知识点5 一元二次方程根与系数的关系（选学）探索一元二次方程根与系数的关系我们知道方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，b 2-4ac ≥0）的两根是：x 1=，x 2=2b a-则x 1+x 2=2b a -+2b a-=-22bb a a =-，x 1·x 2=2b a -·2b a-22244b b ac ca a -+==. 规律：x 1+x 2=b a -，x 1·x 2=ca称为一元二次方程根与系数. 有关根与系数的关系的两个重要推论：（1）以x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）的是x 2-（x 1+x 2）x+x 1·x 2=0.（2）如果方程x 2-px+q=0的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2=-p ，x 1·x 2=q. 友情所示：只有在方程有根即△= b 2-4ac ≥0的前提下，才有x 1+x 2=b a -，x 1·x 2=c a. 例5已知关于x 的一元二次方程x 2﹣bx+c=0的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2，则b 与c 的值分别为（）.A.b=﹣1，c=2B.b=1，c=﹣2C.b=1，c=2D.b=﹣1，c=﹣2【解题思路】根据根与系数的关系，由方程的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2，即可求得b 与c 的值．【解】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣bx+c=0的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2，∴x 1+x 2=b=1+（﹣2）=﹣1，x 1•x 2=c=1×（﹣2）=﹣2，∴b=﹣1，c=﹣2．故选D ．【方法归纳】若x 1，x 2是方程x 2+px+q=0的两根时，则x 1+x 2=-p ，x 1·x 2=q ；本题也可以利用根的定义，把x 1，x 2分别代入方程，得到b 、c 的方程组进行求解. 【举一反三】 10.(★) 若x 1，x 2是一元二次方程2x 2-7x +4=0的两根，则x 1+x 2与x 1·x 2的值分别是（）. A ．-72，-2 B ． -72，2 C ．72，2 D ．72，-2 11.(★★) 已知1x 、2x 是方程2630x x ++=的两个实数根，则2112x x x x +的值等于（）. A ． 6 B ．－6 C ．10 D ．－1012.(★★)（1）新人教版初中数学教材中我们学习了：若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，则1212,b cx x x x a a+=-⋅=．根据这一性质，我们可以求出已知方程关于12,x x 的代数式的值．例如：已知12,x x 为方程2210x x --=的两根，则12x x += ，12x x ⋅= ．那么()2221212122x x x x x x +=+-= ．请你完成以上的填空．．．．．．．．．．（2）阅读材料：已知2210,10m m n n --=+-=，且1mn ≠．求1mn n+的值．解：由210n n +-=可知0n ≠．∴21110n n +-=．∴21110n n--= 又210,m m --=且1mn ≠，即1m n≠．∴1,m n是方程210x x --=的两根．∴11m n +=．∴1mn n+=1．（3）根据阅读材料所提供的的方法及（1）的方法完成下题的解答．已知222310,320m m n n --=+-=，且1mn ≠．求221m n +的值．【走出误区】易错点1 配方法时出错例1用配方法解方程x 2-2x-8=0【解题思路】配方法通常将一元二次方程ax 2+bx+c=0，化为02=++acx a b x 后，再进行配方．要注意是方程的两边．．．．．同时加上一次项系数一半的平方，最后化成n m x =+2)(的形式，求出解即可.【答案】移项，得x 2-2x=8，x 2-2x+1=8+1 即(x-1)2=9,两边开平方，得x-1=±3 ∴x 1=4，x 2=-2．【误区分析】错解的原因在于只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而方程的右边忘了加.易错点2 用公式法时出错例2用公式法解方程4722=+x x ．【解题思路】运用公式法解一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式，计算出“△”的值，最后代入公式即可.【答案】移项，得：04722=-+x x ，因为a=2,b=7,c=-4 所以b 2-4ac=49-4×2×(-4)=81，所以794x -±==．即12142x x =-=，．【误区分析】错解的原因在于没有将方程化成一般形式，造成系数中常数项c 的错误．易错点3 解方程时约分造成失根致错例3 解方程（2x-3）2=3（2x-3）.【解题思路】本题方程的两边都含有（2x-3）这个相同的因式，两边不能直接除以（2x-3），要通过移项，借助因式分解来解决.【答案】移项，得：（2x-3）2-3（2x-3）=0，因式分解，得：（2x-3）（2x-3-3）=0，所以2x-3=0或2x-6=0，即12332x x ==，．【误区分析】错误的原因是变形不属于同解变形，方程两边都除以)32(-x 时，没有考虑)32(-x 也可以为0，从而丢掉了23=x 这个根．易错点4 忽视根的情况致错例4 当a 取何值时，关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211？【解题思路】求关于方程两根的问题时，借助于根与系数的关系，并要考虑二次项的系数不等于零，且根的判别式大于或等于零.本题是有两个不相等的实根1x 、2x ，故△＞0，同时注意二次项系数不能为0.【答案】因为方程有两个不等的实根，所以a ≠0，且)1(24)]13([2+⨯⨯-+-=∆a a a =2)1(-a ≥0，所以a ≠1，因为两实根为1x 、2x ，所以aa x x a a x x )1(2,132121+=⋅+=+，所以a aa a a -=+-+1)1(213，解得1±=a ，因为a ≠1，所以1-=a ．【误区分析】忽视题目中的两个不相等实根的条件，其实1-=a 时方程有两个相等的实数根．【对接中考】【考点透视】中考对这部分内容的考查，主要以一元二次方程的解法、一元二次方程根的情况以及根的判别式的应用为主，同时有根与系数的关系的简单应用，试题难度中等，属于中等难度题，且试题的类型通常以选择题、填空题、解答题为主. 【中考典例】例1（2013白银）现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a★b=a 2﹣3a+b ，如：3★5=32-3×3+5，若x★2=6，则实数x 的值是．【解题思路】根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x 的值.根据题中的新定义将x ★2=6变形得：x 2﹣3x+2=6，即x 2-3x-4=0，因式分解得：（x-4）（x+1）=0，解得：x 1=4，x 2=-1，则实数x 的值是-1或4．【答案】-1或4．【方法归纳】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边变为积的形式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．例2(2013贵州省六盘水）已知关于x的一元二次方程（k -1）x 2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）.A.k ＜﹣2B.k ＜2C.k ＞2D.k ＜2且k≠1【解题思路】根据题意得：△=b 2-4ac=4-4（k-1）=8-4k ＞0，且k-1≠0，解得：k ＜2，且k≠1．【答案】D【方法归纳】求一元二次方程方程中字母的取值范围内，要根据方程根的情况，借助根的判别式的值，列出关于所求字母的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的字母的取值范围．例3 （2013湖北省鄂州市）已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2-3x+a=0的两个解，若（m-1）（n-1）=-6，则a 的值为（）. A.-10 B.4 C.-4 D.10【解题思路】利用根与系数的关系表示出m+n 与mn ，已知等式左边利用多项式乘多项式法则变形，将m+n 与mn 的值代入即可求出a 的值.根据题意得：m+n=3，mn=a ，∵（m-1）（n-1）=mn-（m+n ）+1=-6，∴a-3+1=-6，解得：a=-4．【答案】C.【方法归纳】此类题目需先求出两根之和，两根之积，然后代入所给式子求出字母的值.熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键.例4（2013四川省乐山）已知关于x 的一元二次方程x 2-（2k+1）x+k 2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根．第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．【解题思路】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k ，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k ，AC=k+1，当AB=BC 或AC=BC 时△ABC 为等腰三角形，然后求出k 的值.（1）【证明】∵△=（2k+1）2﹣4（k 2+k ）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根；（2）【解】一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+k=0的解为x=2112k +±，即x 1=k ，x 2=k+1，当AB=k ，AC=k+1，且AB=BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k=5；当AB=k ，AC=k+1，且AC=BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，所以k 的值为5或4．【方法归纳】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．【真题演练】1．（2013四川省成都★）一元二次方程220x x +-=的根的情况是（）.A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根 2．（2013湖北天门、潜江★）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x ﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（）. A.-1 B.9 C.23 D.27 3．（2013•四川绵阳★★）已知整数k ＜5，若△ABC 的边长均满足关于x 的方程280x -+=，则△ABC 的周长是 .【小试身手】1. (★) 一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（）.。

九年级上册冀教版数学中学教材全解

九年级上册冀教版数学中学教材全解一、教材概述九上数学教材全解是针对九年级数学教材的全面解读，涵盖了整个九年级数学课程的知识点，从代数到几何，从基础到进阶，详细解析了每一个重要的数学概念和公式。

二、知识点梳理1、代数部分(1)一元二次方程及其解法：包括配方法、公式法和因式分解法等。

(2)二次函数及其性质：包括二次函数的图像和性质，以及二次函数与一元二次方程的关系。

(3)分式及其运算：包括分式的通分、约分和分式的加减乘除等运算。

(4)根式及其运算：包括根式的化简、求值和根式与分式的互化等。

2、几何部分(1)圆的性质及定理：包括圆的基本性质、圆周角定理、圆内接四边形等。

(2)三角形及多边形的性质与定理：包括三角形的内角和定理、多边形的内角和定理等。

(3)相似图形及比例线段：包括相似三角形的判定、比例线段等。

3、统计与概率部分(1)数据的收集与整理：包括数据的收集方法、数据的整理方法等。

(2)数据的分析：包括数据的集中趋势、离散程度等。

(3)概率初步知识：包括概率的基本概念、事件的概率等。

三、学习方法建议1、重视基础知识的学习：九年级数学课程是初中数学学习的重点，需要重视基础知识的学习和掌握。

只有基础扎实，才能更好地理解和掌握进阶的数学知识。

2、多做练习题：数学是一门需要大量练习的学科，通过大量的练习可以加深对知识点的理解和掌握。

同时，练习也可以提高解题的速度和准确率。

3、善于归纳总结：学习数学需要善于归纳总结，将知识点进行分类整理，形成自己的知识体系。

这样可以更好地记忆和理解数学知识。

4、积极思考问题：学习数学需要积极思考问题，善于发现问题和解决问题。

只有通过思考和实践，才能真正理解和掌握数学知识。

5、认真参加课外辅导：九年级数学课程难度较大，需要认真参加课外辅导。

通过课外辅导，可以更好地理解和掌握数学知识，提高学习效果。

四、考试指南1、熟悉考试题型：九年级数学考试题型一般包括选择题、填空题和解答题等。

初中数学教学内容课标解读与教材分析——北师大版七年级下册

2．理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，探索并掌握三角形的内角和、外角和及三角形三边之间的关系，了解三角形的稳定性。
3．了解图形的全等，理解全等三角形的概念，经历探索三角形全等的过程，掌握两个三角形全等的条件，能应用三角形的全等解决一些实际问题。
4．在分别给出两角一夹边、两边一夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形。 5．尝试用多种方式表达自己的想法，表述问题解决的理由，发展初步的演绎推理能力和有条理表达的能力。 6．感受数学与现实世界的密切联系。
第五章：生活中的轴对称
• （1）通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。
• （2）能画出简单平面图形（点，线段，直线，三角形等）关于给定对称轴的对称图形。
• （3）了解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质。
三
三角形的高、中线、角平分线
角
形丰
三角形全等的表示及特征
富
三角形的全等探索三角形全等的条件
的情
三角形全等的应用
尺规作三角形解决实际问题
景
图
形图形全等的概念
的图形全等特征
全图形全等应用图案设计等
（三）本章主要教学目标
1．在探索图形性质的过程中，经历观察、操作（包括折、拼、画）、想象、推理、交流等活动，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和推理能力（合情推理能力和演绎推理能力）。
2. 通过丰富的生活实例认识轴对称，探索它的性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。
3. 探索并了解基本图形（线段、角、等腰三角形）的轴对称性及相关行性质。 4. 能够按要求作出简单平面图形经过轴对称的图形，探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴。 5. 欣赏轴对称图形，在探索轴对称和利用轴对称进行设计的过程，进一步体会轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值，增强数学学习的兴趣。

人教版数学初中好的教辅

人教版数学初中好的教辅人教版数学初中好的教辅书籍有很多，下面我将介绍几本较为优秀的教辅书籍，包括他们的特点以及适用的年级范围。

这些书籍既可以作为教师备课的参考资料，也可以作为学生自主学习的辅助材料。

1. 《人教版初中数学（七年级）下册教材配套例题解析与技巧训练》该教辅书的作者是人民教育出版社，针对人教版七年级下册的教材内容编写。

它详细解析了教材中的每一个例题，并提供了技巧训练，帮助学生理解和掌握数学知识。

该书还附带了大量的习题，供学习者进行巩固和复习。

2. 《人教版初中数学（七年级）上、下册习题解析与技巧训练》此教辅书是人民教育出版社编写的七年级上、下册的数学题解析与技巧训练。

它全面介绍了七年级数学各个章节的知识点和解题方法，并配有大量的习题和解析，帮助学生巩固数学基础和提高解题能力。

3. 《人教版初中数学（八年级）下册课后单元习题解析与提高训练》该教辅书主要针对人教版初中八年级下册的数学教材编写。

它提供了大量的课后习题解析和进一步提高的训练，帮助学生巩固知识、拓宽思路、提高解题能力。

4. 《人教版初中数学（九年级）上、下册技巧提高及考点梳理》这本教辅书主要面向九年级上、下册的数学学习。

它结合教材内容，梳理数学知识点和解题方法，并重点归纳考点，帮助学生更好地备考。

此外，该书还提供了大量的技巧提高训练和模拟试题，以帮助学生全面、系统地复习。

以上是几本人教版初中数学的优秀教辅书籍，它们都具备以下几个特点：1.循序渐进：这些教辅书的编写都符合初中数学的知识体系，按照教材内容循序渐进地展开，有助于学生逐步掌握各个知识点。

2.解析详细：这些教辅书对于教材中的例题和习题都给出了详细的解析，包括解题思路、步骤和方法，帮助学生理解和掌握解题的思想和方法。

3.强调技巧训练：这些教辅书除了提供题目的解析外，还给出了大量的技巧训练题，帮助学生熟悉常用的解题技巧，并能够灵活运用到实际题目中去。

4.涵盖全面：这些教辅书覆盖了初中数学各个年级的教材内容，从七年级到九年级的上、下册都有对应的教辅书籍，学生可以根据自己的年级选择合适的教辅材料进行学习。

初中教辅资料难度排行榜数学

初中教辅资料难度排行榜数学初中数学教辅资料是学生们在学习数学过程中不可或缺的辅助材料。

好的教辅资料应该能够深入浅出地讲解数学知识，以及提供大量的练习题和解析，帮助学生巩固预习课上所学的知识，并进一步提高他们的学习成绩。

下面将为大家介绍几本较为优秀且适合初中生使用的数学教辅资料，并给出它们的难度排行榜。

第一名：《新版人教版数学八年级上册教材同步练习题及答案》这本教辅资料以人教版八年级上册教材为基础，结合学生的学习情况编写而成。

它提供了大量的练习题和解析，覆盖了教材中的所有知识点，并结合了一些常见考点的拓展题。

题目难度适中，对于初中生来说是一个很好的辅助练习资料。

第二名：《错题集：初中数学》这是一本专门收集了初中数学常见错题的辅导资料。

书中所选的题目都是学生经常容易犯错的题目，通过分析和解析这些错题，帮助学生找出错误的原因，并纠正自己的错误。

这本书对于提高学生的解题能力和改善解题思路非常有帮助。

第三名：《新版人教版数学七年级下册教材同步练习题及答案》这本教辅资料以人教版七年级下册教材为基础，同样提供了大量的练习题和解析。

题目难度适中，覆盖了教材中的所有知识点，并提供了一些拓展题目。

这本书是初中数学学习的良好辅助资料，可以帮助学生巩固和提高自己的数学水平。

第四名：《初中数学作业精典800例》这本教辅资料为学生提供了800道精选的数学题目和详细解析。

题目包含了初中数学各个知识点，覆盖了不同难度的题型。

这本书的题目设计合理，帮助学生充分巩固所学知识，并提高解题能力。

第五名：《新版人教版数学九年级上册教材同步练习题及答案》这本教辅资料以人教版九年级上册教材为基础，同样提供了大量的练习题和解析。

题目难度适中，覆盖了教材中的所有知识点，并提供了一些拓展题目。

这本书能够帮助学生全面复习和巩固初中数学的知识。

通过以上排行榜，我们可以看出这几本教辅资料的难度适中、覆盖面广，对学生来说是非常有益的辅助学习资料。

当然，在选择教辅资料时，要根据自己的实际情况选择适合自己的资料。

数与代数、空间与图形资料

（1）梯形的中位线没有要求；（2）平行线等分线段没有要求。
5．四边形要求加强的方面：（1）新增多边形内角和与外角和公式的探索；（2）
重视四边形的不稳定性；（3）重视平行四边形有关性质、四边形是平行四边形
条件的探索；（4）重视矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形有关
（分式不超过2个）；（2）没有高次方程、根式方程、二元二次方程组；（3）没有韦达定理；（4）没有用求根法分解二次三项式。
9．不等式与不等式组要求加强的方面：
（1）重视对不等式意义的理解——根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义；
（2）重视不等式基本性质的探索过程；（3）重视用数轴确定解集。要求降低的方面：
（1）一元一次不等式组限2个不等式；（2）对不等式的整数解没有明确要求，但解决
实际问题中要用到。
10．函数
要求加强的方面：
Hale Waihona Puke 1）重视举出函数的实例；（2）重视理解和运用图象分析实际问题中的函数关系；
（3）强调对数量关系和变化规律的探索；
（4）重视用适当的函数表示法刻画实际问题中变量之间的关系；
重视对乘法公式几何背景的了解和公式推导。
要求降低的方面：
（1）整数指数幂的性质只要求了解，没有要求字母指数幂的运算；
（2）多项式相乘仅指一次式相乘；（3）乘法公式只限两个——平方差公式、完全
平方公式；
（4）整式除法标准未列，但多数教材中有。
6．因式分解要求降低的方面：
（二）初中数与代数课程内容的主要特点
1．重视数字的现实意义以及对数字的感受，体会数字用来表示和交流的作用。
2．通过探索丰富的问题情景，通过数学活动、数学实验，使学生获得数感、符号感，体会数字和符号用来进行表示及交流的作用，并感受数学与现实世界、数学与自然和人类社会的密切联系。

初中《数学专业知识》教资备考资料

初中《数学专业知识》教资备考资料第一章：初中数学专业知识概述1.1初中数学教材体系初中数学教材体系包括数学知识、数学技能、数学思想方法和数学应用四个方面。

其中，数学知识包括数学事实、数学概念、数学性质、数学原理和数学公式等；数学技能包括运算技能、推理技能、空间想象技能和问题解决技能等；数学思想方法包括数学思维方法、数学逻辑方法和数学模型方法等；数学应用包括数学在实际生活中的应用和数学在其他学科中的应用。

1.2初中数学教学目标初中数学教学目标主要包括以下几个方面：（1）掌握数学基础知识，形成数学基本技能；（2）培养数学思维能力，提高数学思维品质；（3）培养数学问题解决能力，提高数学应用意识；（4）培养数学交流能力，提高数学素养；（5）培养数学兴趣，激发数学潜能。

1.3初中数学教学方法初中数学教学方法主要包括以下几个方面：（1）启发式教学：激发学生的思维，引导学生主动探究；（2）问题驱动教学：以问题为导向，培养学生的解决问题的能力；（3）案例教学：通过典型案例，帮助学生理解数学知识；（4）探究式教学：鼓励学生自主探究，培养学生的创新意识；（5）合作学习：培养学生的团队协作能力和交流能力。

第二章：初中数学专业知识考试内容2.1数与代数数与代数部分主要考查学生对数的概念、数的运算、代数式的理解和运用能力。

具体内容包括：（1）有理数的概念、性质和运算；（2）实数的概念、性质和运算；（3）代数式的概念、性质和运算；（4）方程的概念、解法和应用；（5）不等式的概念、解法和应用；（6）函数的概念、性质和应用。

2.2图形与几何图形与几何部分主要考查学生对图形的概念、性质、图形的变换和图形的测量的理解和运用能力。

具体内容包括：（1）平面几何的基本概念和性质；（2）平面几何的图形和变换；（3）平面几何的测量；（4）立体几何的基本概念和性质；（5）立体几何的图形和变换；（6）立体几何的测量。

2.3统计与概率统计与概率部分主要考查学生对数据的收集、整理、描述和分析的能力，以及对概率的基本概念、计算方法和应用的理解。

苏教版初一数学教材中的常见难点剖析

苏教版初一数学教材中的常见难点剖析数学作为一门学科，常常给学生带来挑战和困惑。

在初一的学习阶段中，苏教版数学教材中存在一些难以理解的难点。

本文将对苏教版初一数学教材中的常见难点进行剖析和解答，以帮助学生更好地掌握数学知识。

第一章：整式与方程1.1 阶乘在初一数学教材中，阶乘是一个常见的难点。

阶乘常常出现在排列组合、概率等章节中。

学生容易将阶乘的概念和运算混淆，导致计算错误。

正确掌握阶乘的概念和运算法则，可以通过解题经验和实例来加深理解。

1.2 一元一次方程一元一次方程是数学学习的一项重点内容。

学生在解一元一次方程时，常常出现未知数项系数简单或系数为1的情况。

容易产生混淆和计算错误。

要特别注意方程两边同时加减同一个数值或变量时等式依然成立的原则。

第二章：图形与几何2.1 三角形的性质在三角形的性质中，学生常常混淆三边的关系以及角度与边长之间的关系。

理解和掌握三角形的角度和边长的对应关系，可以通过练习题目，多进行理性思考和解答。

2.2 平行线与垂直线平行线与垂直线的概念和性质是初中数学的基础内容。

学生容易将平行线的特点与垂直线的特点混淆，导致在证明过程中出错。

正确理解平行线和垂直线的定义和证明方法，可以通过画图辅助和实例分析来提升理解能力。

第三章：数据与统计3.1 平均数平均数是数据处理和统计学中的重要概念。

学生在计算平均数时，经常出现数据丢失或者计算错误的情况。

正确理解平均数的定义和计算方法，可以通过练习题目和实际生活中的例子来加深理解。

3.2 概率概率作为一个抽象的数学概念，常常给学生带来困惑。

在计算概率时，学生容易迷失在复杂的题目中，难以抓住核心思想。

正确理解概率的概念和计算方法，可以通过实际问题的分析和解答来提高计算能力。

第四章：函数4.1 函数与方程函数与方程是初中数学中的重要内容。

学生容易将函数与方程的概念混淆，导致在解题过程中出现错误。

要正确理解函数和方程的定义和性质，可以通过练习题目和实例分析来加深理解。

初中数学教材教法知识及考试复习资料

初中数学教材教法知识及考试复习资料
本文档旨在提供初中数学教材教法知识以及考试复资料。

以下
是一些主要内容的简要介绍：
教材教法知识
1. 教学理念：介绍初中数学教学的基本理念和目标，如培养学
生的数学思维能力、提高解决问题的能力等。

2. 教学方法：列举适用于初中数学教学的常用方法，如讲授法、探究法、合作研究等，每种方法的优缺点和适用场景。

3. 教学内容：概述初中数学教学的主要内容，包括数与代数、
函数与方程、几何与测量等，每个内容的教学重点和难点。

4. 教学资源：介绍可以用于初中数学教学的各种资源，如教辅
书籍、电子研究资料、教学软件等，以及如何合理利用这些资源。

考试复资料
1. 考试大纲：列出初中数学考试的大纲，包括考试的内容范围、考题类型和分值等，帮助学生了解考试要求和重点。

2. 复方法：提供一些有效的复方法和技巧，如制定复计划、分
析错题、做模拟试题等，帮助学生高效备考。

3. 复重点：总结每个教学内容的重点知识点和考点，帮助学生
有针对性地进行复和巩固。

4. 题集：提供一些常见的题和考试样题，帮助学生进行练和检
测自己的研究水平。

以上仅为初中数学教材教法知识及考试复习资料的简要内容介绍，详细内容可根据实际需求进行补充和拓展。

希望本文档能够对
教师和学生在初中数学教学和考试复习方面提供一定的帮助。

初中数学教材理解的视角分析———从两节新手课说起

初中数学教材理解的视角分析———从两节新手课说起作者：孙凯，耿恒考来源：《江苏教育·中学教学》 2020年第3期孙凯，耿恒考【摘要】数学教材是学生数学学习活动的载体，理解教材是教师上好课的前提。

新入职教师表现出“不读”和“浅读”教材的现象，导致课堂教学“低效”。

基于理解教材的视角评析“有理数加法”同课异构活动，提出从整体布局、内容设置、联系发展、隐性知识、方法策略等视角理解教材，提升教学水平，促进新入职教师的专业发展。

【关键词】专业发展；理解教材；有理数的加法；对比评析【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2020）19-0036-05【作者简介】1.孙凯，江苏省苏州市阳山实验初级中学校（江苏苏州，215151）教师，高级教师；2.耿恒考，江苏省苏州中学园区校（江苏苏州，215000）教师，正高级教师，江苏省特级教师。

《中共中央国务院关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》指出：充分发挥教师主导作用，引导教师深入理解学科特点、知识结构、思想方法，科学把握学生认知规律，上好每一堂课。

理解教材是教师上好课的先决条件。

就数学学科而言，深入理解学科特点、知识结构、思想方法就是理解教材、理解数学。

数学教材是编写者基于数学课程标准的深刻理解，遵循学生心理特点和认知规律，为实现数学课程目标而编写的教学资源，它凝聚着编写者的心血和智慧，是学生数学学习活动的载体，教师能否正确理解教材并领会教材编写者的意图，是发挥教师主导作用，实现数学课程目标和落实立德树人根本任务的关键。

新手教师对教材的研读往往还停留在学生的视角，面对教材上的“试一试”“做一做”“数学实验室”“议一议”等教学内容时往往只看到表面现象，常常表现出“不读”和“浅读”的异化现象［1］，在设计意图的把握以及教学价值的挖掘等方面存在明显不足，教学中往往按部就班、照本宣科地实施教学，导致课堂教学“低效”甚至“无效”。

七年级上册数学教材全解

七年级上册数学教材全解
本学期，刚刚步入初中的学生开始深入学习代数、几何等更为复杂的数学知识。

为了更好地帮助学生理解和掌握这些数学知识，《七年级上册数学教材全解》是一本优秀的教辅资料。

《七年级上册数学教材全解》深入浅出地讲解了教材中的每一个知识点，无论是基础的理论还是复杂的公式，都给出了详尽的解释和示例。

对于那些在学习中感到困惑不解的问题，它都能给出清晰的解答，让学生真正做到知其然，更知其所以然。

《七年级上册数学教材全解》注重培养学生的实际应用能力。

它通过丰富的实例和练习题，引导学生将数学知识应用到日常生活和其他学科中，从而加深对数学的理解和喜爱。

《七年级上册数学教材全解》注重培养学生的思维能力。

它不仅教给学生如何解决问题，而且教给学生如何发现问题、提出问题，从而培养他们的创新能力和批判性思维。

总的来说，《七年级上册数学教材全解》是一本内容全面、讲解深入、应用性强的学习指南。

它不仅能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，更能培养他们的思维能力，为未来的学习和生活打下坚实的基础。

对于那些希望在数学学科上有所突破的学生来说，这本书无疑是一本不可或缺的宝典。

初中教材全解教案

初中教材全解教案课时安排：2课时（90分钟）教学目标：1. 通过对教材的全面解读，帮助学生深入理解初中数学的基本概念、定理和公式。

2. 培养学生解决数学问题的能力，提高学生的数学思维水平。

3. 引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的应用能力。

教学内容：1. 教材全解：对初中数学教材进行全面、深入的解读，包括概念、定理、公式、例题等。

2. 课后精练：提供相应的练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。

教学过程：第一课时：一、导入（10分钟）1. 引导学生回顾上一节课所学内容，为新课的学习做好铺垫。

2. 激发学生对数学学科的兴趣，引导学生积极参与课堂讨论。

二、教材全解（45分钟）1. 对教材中的重点概念、定理和公式进行解读，让学生充分理解其含义和应用。

2. 通过典型例题的讲解，引导学生掌握解题思路和方法，提高学生的解题能力。

3. 针对教材中的难点和疑点，进行深入分析，帮助学生解决问题。

三、课堂练习（20分钟）1. 根据教材内容，设计相应的练习题，让学生在课堂上进行练习。

2. 引导学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的应用能力。

第二课时：一、复习导入（10分钟）1. 对上一节课所学内容进行复习，巩固学生的记忆。

2. 引导学生提出自己在学习过程中遇到的问题，为新课的学习做好铺垫。

二、课后精练（45分钟）1. 根据教材内容，设计相应的课后练习题，让学生进行练习。

2. 对学生的练习情况进行讲解和指导，帮助学生提高解题能力。

三、总结与拓展（20分钟）1. 对本节课所学内容进行总结，让学生明确学习目标。

2. 引导学生进行拓展学习，提高学生的数学思维水平。

教学评价：1. 通过课堂表现、练习情况和课后作业，评价学生对教材内容的理解和掌握程度。

2. 结合学生的学习反馈，调整教学方法和策略，提高教学质量。

教学资源：1. 教材全解：提供全面、详细的教材解读，帮助学生理解数学知识。

2. 课后精练：提供相应的练习题，帮助学生巩固所学知识。

初中数学竞赛讲解教材第五讲三角形的五心

第五讲三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP =NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点N 是△P ′PC 的外心.有 ∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ， ∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC . ∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ，∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△A B C P P M N 'A B C QK P O O O ....S 123O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3.∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2) =21∠PO 1S =∠A ；同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC .二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△P AD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克) 分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB ，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′.易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′， ∴EE ′=DD ′+FF ′.有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △P AD +S △PCF .例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .(1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′.若△ABC 为正三角形，易证△∽△′.不妨设a ≥b ≥c ，有CF =2222221c b a -+， BE =2222221b a c -+， A A 'F F 'G E E 'D 'C 'P C B DAD =2222221a c b -+. 将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23 =a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列.当△中a ≥b ≥c 时，△′中CF ≥BE ≥AD .∵△∽△′，∴∆∆S S '＝(a CF )2. 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43. ∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2 ⇒a 2+c 2=2b 2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利. 例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛) 分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知 .O A A A A 1234H H 1213212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4；由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2.易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2，故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称.同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2.求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2 =AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABHAH ∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A , Aa sin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有∥=∥=H H H M A B B A A B C C C F 12111222DEA 21A =r 2+bc a c b 2222-+·bc -(4R 2-a 2) =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2， 21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 故有AA 1=BB 1=CC 1.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之，点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取 △DAB ，△ABC ，△BCD ，△CDA 的内心O 1， O 2，O 3， O 4.求证：O 1O 2O 3O 4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF 中点P 是△ABC 之内心.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC .当AB ≠AC ，怎样证明呢？如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ =αsin r . ∵QK ·AQ =MQ ·QN ， ∴QK =AQQN MQ ⋅ =αsin /)2(r r r R ⋅-=)2(sin r R -⋅α. 由Rt △EPQ 知PQ =r ⋅αsin . A B CD O O O 234O 1A ααMB C KN ER O Q F r P∴PK =PQ +QK =r ⋅αsin +)2(sin r R -⋅α=R 2sin ⋅α. ∴PK =BK .α利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心.五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p .式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )=21(a +b +c )·21(a +b -c ) =41[(a +b )2-c 2] =21ab ； (p -a )(p -b )=21(-a +b +c )·21(a -b +c ) =41[c 2-(a -b )2]=21ab . ∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ① 观察图形，可得r a =AF -AC =p -b ，r b =BG -BC =p -a ，r c =CK =p .而r =21(a +b -c ) =p -c .∴r +r a +r b +r c=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p=4p -(a +b +c )=2p .由①及图形易证.K r r r r O O O 213A OE C B a b c例10．M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r =q r . (IMO -12)分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知OD =OA ′·2'sin A =A ′B ′·'''sin 2'sin B O A B ∠·2'sin A =A ′B ′·2''sin 2'sin 2'sin B A B A +⋅， O ′E = A ′B ′·2''sin 2'cos 2'cos B A B A +. ∴2'2''B tg A tg E O OD =. 亦即有 11q r ·22q r =2222B tg CNB tg CMA tg A tg ∠∠ =22B tg A tg =qr . 六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =F A .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；(2)AB +BC +CD +DE +EF +F A ≥AK +BE +CF . (1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACEA ...'B 'C 'O O 'E D的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心.从而有ID =CD =DE ， IF =EF =F A ，IB =AB =BC .再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用不等式有： BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ).不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS . ∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC .∴AB +BC +CD +DE +EF +F A =2(BI +DI +FI ) ≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI ) =AD +BE +CF .I 就是一点两心.例12．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD的重心.证明OE 丄CD .(加拿大数学奥林匹克训练题)分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证： DG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1. ∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF .∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE .但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE之垂心.易证OE 丄CD .例13．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .(1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB . 利用内心张角公式，有∠AIB =90°+21∠C =105°， Erdos ..I P A B C D E F Q SA B C D E F O K G O A BC D E F I K 30°∴∠DIE =360°-105°×3=45°.∵∠AKB =30°+21∠DAO =30°+21(∠BAC -∠BAO ) =30°+21(∠BAC -60°) =21∠BAC =∠BAI =∠BEI . ∴AK ∥IE .由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高.同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE .由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .例14．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂.求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重. 分析：这里用三角法.设△ABC 外接圆半径为1，三个内角记为A ，B ， C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3 =cos A +co sB +cos C ，∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ①∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ，同样可得BH 2·CH 3.∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ②∴BCHBH sin =2， ∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C .同样可得HH 2，HH 3.∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③欲证结论，观察①、②、③，须证(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B )+( cos A + cos B + cos C )=sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B .即可.B C O IAO G H O G H G O G H 123112233练习题1.I 为△ABC 之内心，射线AI ，BI ，CI 交△ABC 外接圆于A ′， B ′，C ′.则AA ′+BB ′+CC ′＞△ABC 周长.(1982，澳大利亚数学奥林匹克)2.△T ′的三边分别等于△T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)3.I 为△ABC 的内心.取△IBC ，△ICA ，△IAB 的外心O 1，O 2，O 3.求证：△O 1O 2O 3与△ABC 有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)4.AD 为△ABC 内角平分线.取△ABC ，△ABD ，△ADC 的外心O ，O 1，O 2.则△OO 1O 2是等腰三角形.5.△ABC 中∠C ＜90°，从AB 上M 点作CA ，CB 的垂线MP ，MQ .H 是△CPQ 的垂心.当M 是AB 上动点时，求H 的轨迹.(IMO -7)6.△ABC 的边BC =21(AB +AC )，取AB ，AC 中点M ，N ，G 为重心，I 为内心.试证：过A ，M ，N 三点的圆与直线GI 相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)7.锐角△ABC 的垂心关于三边的对称点分别是H 1，H 2，H 3.已知：H 1，H 2，H 3，求作△ABC .(第7届莫斯科数学奥林匹克)8.已知△ABC 的三个旁心为I 1，I 2，I 3.求证：△I 1I 2I 3是锐角三角形.9.AB ，AC 切⊙O 于B ，C ，过OA 与BC 的交点M 任作⊙O 的弦EF .求证：(1)△AEF 与△ABC 有公共的内心；(2)△AEF 与△ABC 有一个旁心重合.。

初中数学基础知识(太全了)

初中数学基础知识(太全了)
初中数学是数学研究的基础阶段，掌握好初中数学基础知识对于进一步研究高中、大学以及日常生活都非常重要。

以下是初中数学的一些基础知识点的简要介绍。

整数
整数是由整数集合{…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…}中的元素组成的。

整数包括正整数、负整数和零。

在初中数学中，我们会研究整数的四则运算、整数的比较和整数之间的关系等内容。

小数和分数
小数是有限位或无限循环位的十进制数，而分数是用一个整数除以另一个非零整数所得到的数。

在初中数学中，我们会研究小数的四则运算、小数与分数的相互转换以及分数的运算等内容。

代数
代数是数学中的一个重要分支，它研究数与数之间的关系和运算。

在初中数学中，我们会研究代数字母的概念、代数式的拆分与合并、代数方程的解法等内容。

几何
几何是研究空间和形状的数学分支，它涉及点、线、面等概念以及它们之间的关系和性质。

在初中数学中，我们会研究几何中的基本概念、几何图形的构造和性质、几何变换等内容。

数据与概率
数据与概率是研究收集、整理、分析和解释数据的方法以及事件发生的可能性的数学分支。

在初中数学中，我们会研究数据的表示与分析、统计图表的制作和解读、概率的计算等内容。

等等
以上只是初中数学基础知识的一部分简要介绍，初中数学还包括其他重要的知识点，如三角函数、平面坐标系等。

通过扎实研究初中数学基础知识，我们能够建立坚实的数学基础，为进一步深入研究高中数学打下基础。

参考资料：。