奥数四年级--容斥问题(二)

练 1.有30名运动员，其中18人会三级跳，16人 习 会撑杆跳高，10人三级跳远、撑杆跳高均不
会。既会三级跳远又会撑杆跳高的运动员有 多少名？
14名
练 2、操场上的学生排成10路纵队做操，毎路 习 纵队人数同样多，小明站在第四纵队，从排
头数他是第13个，从后往前数他是第8人。 操场上有多少人在做操？
200人
练 3、一个年级有120人爱好数学，100人爱好 习 语文，85人爱好美术，30人既爱好数学又爱
好语文，20人既爱好语文又爱好美术，35人 既爱好美术又爱好数学，有18人三门学科都 爱好。请问:这个年级中数学、语文、美术 三门学科中至少爱好一门学科的学生有多少 人？
238人
练 4、某班全体学生进行了数学、语文、英语 习 三个科目的测试，有8名学生在这三个科目
球、蓝球的学生人数分别为10人，10人，6 人，其中手中既有红球又有黄球的有3人， 既有黄球又有蓝球的有2人，既有蓝球又有 红球的有4人。已知全队每人手中都至少有 一种颜色的球，那么，手中三种颜色的球都 有的多少人？
3人
练 6、某班50名同学全部参加数学、语文、美 习 术三个课外兴趣小组，参加数学小组的有29
17人
18人
15人
求全班人数。
这道题目条件比较复杂，可以根据 题意画出示意图，以便形象直观地 显示他们之间的关系。 全班人数=至少有一个项目达到优 秀的人数+三个项目上都没有达到 优秀的人数
篮球15人 6人 短跑 17人
篮球 游泳 短跑 2人
6人 游泳 18人
6人
经 典 题 型
运用容斥定理 至少有一个项目达到优秀的人数=（短跑达 到优秀人数+游泳达到优秀人数+篮球达到 优秀人数）-（短跑、游泳达到优秀人数+ 游泳、篮球达到优秀人数+篮球、短跑达到 优秀人数）+短跑、游泳、篮球都达到优秀 的人数
上都没有达到优秀，其余每人至少有一个科 目达到优秀，这部分学生达到优秀的科目和 人数如下表：
数学 20人 语文 16人 英语 16人 数学， 语文， 英语， 数学，语 语文 英语 数学 文，英语 4人 4人 5人 3人
问：全班一共有多少名学生？
50名
练 5、第三小队的学生有20人，手中分别有红、 习 黄、蓝三种颜色的球，已知手中有红球、黄
（1）7人；（2）3人；（3）27人
练 10、某班50名同学中，参加体育队的有20人， 习 参加文艺队的有26人，既没有参加体育组也
没有参加文艺队的有12人，那么参加体育队 且没有参加文艺队的有多少人？既参加体育 队又参加文艺队有多少人?
12人，8人
Na
Nac
Nabc
Nab
画圈圈图： 分析包含和排除关系，是解决这类问题的捷径 ！
NC
Nbc
Nb
经 典 题 型
例1、五（1）班的全体学生进行了短跑，游泳，篮球三个项目的 测试，有四名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至 少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目和人数如下 表。
短跑 游泳 篮球 游泳 6人 6人 6人 2人
5名
练 9、四(1)班有55名学生参加音乐，美术，体 习 育兴趣小组。有22人既参加美术组，有21人
参加音乐课，其中15人既参加音乐组又参加 美术组，3人既参加音乐组又参加体育组， 但没有一人既参加美术组又参加体育组。 问：（1）只参加美术组的多少人？ （2）只参加音乐组的多少人？ （3）只参加体育组的多少人？
篮球15人 6人 短跑 17人
篮球 游泳 短跑 2人
6人 游泳 18人
6人
为什么呢？
因为三个项目都达到优秀的人数在前面的算式中 加了三次，又减了三次。如果不加上去，就少算 了短跑、游泳、篮球都达到优秀的人数。
解：(17+18+15)-(6+6+6)+2 = 50-18+2 = 34（人） 34+4=38（人） 答：全班一共有38人
人，参加语文小组的有21人，参加美术小组 的有25人；有17人既参加数学小组又参加美 术小组，有15人既参加数学小组又参加语文 小组，有10人既参加语文小组又参加美术小 组。三个小组都参加的有多少人？
17人
练 7、有30名学生，他们中有部分学生参加了 习 乒乓球、羽毛球、排球三个训练小组，各组
人数分别为14人，12人，10人，其中既参加 羽毛球又参加排球小组的有4人，既参加羽 毛球小组又参加乒乓球小组的有6人，既参 加乒乓球小组又参加排球小组的有5人，三 个小组都参加的有1人。这些学生中这三个 小组都没有参加的有多少人？
由于没有一个人参加数学竞赛又参加美术竞赛，所以表示数学竞赛又参加美术 竞赛，所以表示数学竞赛和美术竞赛的两个圈圈不能重叠 数学21人 从右图可以看出只参加数学人数=参加数学 人数-既参加数学又参加作文 7人 同理：只参加作文人数=参加作文竞赛-既参 作文 15人 加数学又参加作文-及参加作文又参加美术 3人 题目已知数量： 美术 参加美术人数=总人数-参加数学竞 赛-参加作文竞赛+既参加作文竞赛 又参加数学竞赛人数 解: (1)只参加数学竞赛：21-7=14人 (2)只参加作文竞赛：15-7-3=5人 (3)只参加美术竞赛的：45-21-15+7=16人
容斥问题(二)
容斥问题就是包含与排除原理。当两个计数 部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们 的和中排除重复部分。 这一讲我们先介绍容斥原理2： n个事物，如果采用三种不同的分类标准：按性质 a分类，性质b分类与性质c分类（如下图），那 么具有性质a或性质b或性质c的事物的总数= （ Na+Nb+Nc）—（ Nab+Nbc+Nca ）+Nabc
先画图，从图中看出，三个均参加 的学生人数，就是图中中间部分。
乒乓球36人 16人 羽毛 球32 人 ？人 10人 12人 足球 38人
运用容斥定理2，Nabc=既有性质a或者b或c事物的个 数—（ Na+Nb+Nc）＋（ Nab+Nbc+Nca ）
三个均参加 =总人数 —（参加乒乓球 + 参加羽毛球+参加足球） ＋（既参加羽毛球和乒乓球+既参加羽毛球和足球+既参加乒乓球和足 球) 解：70-（36+32+38）＋（16+12+10) =70-106+38 =2（人）
经 典 题 型
例2、某班有70名学生参加乒乓球、羽毛球和足球三个兴趣小组， 参加乒乓球兴趣小组的有36人，参加羽毛球兴趣小组的有32人， 参加足球兴趣小组的人有38人，有16人既参加乒乓球兴趣小组又 参加羽毛球兴趣小组，有12人既参加乒乓球兴趣小组又参加足球 兴趣小组，有10人既参加羽毛球兴趣小组又参加足球兴趣小组。 已知全班每人都至少参加了以上三个小组中的一个，那么，三个 兴趣小组都参加的学生有多少人？
8人
练 习
8、一个体育锻炼小组有35名男生，规定他们至 少要参加篮球，排球，足球三个球队中的一支。 结果参加篮球队的有16人，参加排球队的有11 人，参加足球队的有20人，其中有4人既参加了 排球队又参加了篮球队，有3人既参加了排球队 又参加了足球队，没有人三个球队均参加，既 参加篮球队又参加足球队有多少名学生？
依题意，画圈框图。
英语20人
5人 ?人 2 人
解：（20+12+18）-5-2-40 =50-5-2-40 =3(人) 答：既学英语又学德语的有3人
日 语 12 人
德 语 18 人
分析搞清类别关系，是解决数学问题的不二法门。
经 典 题 型
例4、松山小学45名学生参加数学、作文、美术竞赛。有21人参 加数学竞赛，15人参加作文竞赛，其中7人既参加作文竞赛又参 加数学竞赛，3人既参加作文竞赛又参加美术竞赛，但没有一人 既参加你数学竞赛又参加美术竞赛。求： （1）只参加数学竞赛的多少人？ （2）只参加作文竞赛的多少人？ 注意，这种复杂关系的题目 （3）只参加美术竞赛的多少人? 还是要先画图。
分析搞清数量关系，是解决数学问题的不二法门。
经 典 题 型
例3、某外语学习班有40人，规定他们至少学习一种语言。学习 英语的20人，学习日语的12人，学习德语的18人，其中有5人既 学英语又学日语，有2人既学日语又学德语，无人同时学三种语 言，那么，既学英语又学德语的多少人？
分析：与例一例二不同，三种均学的人数为0 这道题目中，具有性质a或b或c的人数（外语班总人数 =Na+Nb+Nc-（ Nab+Nbc+Nca ） 运用容斥定理，可求出既学英语又学德语人数= （学英语+学日语+学德语）-既学英语又学日语既学英语又学德语-总人数