高中数学关于绝对值得教学目标

人教版高中数学含绝对值的不等式教案

人教版高中数学含绝对值的不等式教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解绝对值不等式的概念；（2）掌握绝对值不等式的解法；（3）能够运用绝对值不等式解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生认识绝对值不等式；（2）利用数轴分析绝对值不等式的解集；（3）运用转化思想解决含绝对值的不等式问题。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣；（2）培养学生勇于探索、积极思考的科学精神；（3）提高学生解决实际问题的能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）绝对值不等式的概念；（2）绝对值不等式的解法；（3）含绝对值的不等式在实际问题中的应用。

2. 教学难点：（1）绝对值不等式的转化；（2）含绝对值的不等式求解过程中的分类讨论。

三、教学过程1. 导入：（1）利用实例引入绝对值不等式的概念；（2）引导学生思考绝对值不等式与普通不等式的区别。

2. 新课讲解：（1）讲解绝对值不等式的定义；（2）通过数轴分析绝对值不等式的解集；（3）介绍绝对值不等式的解法。

3. 案例分析：（1）分析实际问题中的绝对值不等式；（2）引导学生运用转化思想解决含绝对值的不等式问题。

四、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记；2. 完成课后练习，巩固知识点；3. 挑选几个实际问题，尝试运用绝对值不等式解决。

五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 课后作业：检查学生的作业完成情况，评估学生对知识的掌握程度；3. 单元测试：进行单元测试，了解学生对含绝对值的不等式知识的运用能力。

六、教学内容与方法1. 教学内容：（1）进一步探究绝对值不等式的性质；（2）学习绝对值不等式的证明方法；（3）解决生活中的实际问题，运用绝对值不等式。

2. 教学方法：（1）采用案例分析法，让学生通过具体例子理解绝对值不等式的性质；（2）运用数形结合法，引导学生利用数轴分析绝对值不等式的解集；（3）采用问题驱动法，激发学生思考，培养学生解决实际问题的能力。

高中数学教学目标

高中数学教学目标高中数学教学目标：1. 确保学生对数学概念和原理的理解：数学是一门基础学科，学生必须理解和熟悉数学的概念和原理。

教师应着重解释和阐述数学中的重要概念，确保学生对这些概念的理解和掌握。

2. 培养学生的数学思维能力：数学思维是一种能够分析和解决问题的能力。

教师应通过分析和解决实际问题的训练，培养学生的数学思维能力。

这包括培养学生的逻辑思维、推理思维和创新思维能力。

3. 培养学生的数学推理能力：数学推理是数学思维的重要方面。

教师应通过数学证明和推理的训练，培养学生的数学推理能力。

这包括培养学生的演绎推理和归纳推理能力。

4. 培养学生的问题解决能力：数学是一门解决问题的学科。

教师应通过提供不同难度的问题，培养学生的问题解决能力。

这包括培养学生的问题分析和解题方法选择能力。

5. 培养学生的数学沟通能力：数学沟通是数学学习的重要方面。

教师应通过课堂讨论、小组讨论和报告的形式，培养学生的数学沟通能力。

这包括培养学生的口头表达和书面表达能力。

6. 培养学生的数学兴趣和学习动力：数学学习需要学生具备兴趣和动力。

教师应通过生动有趣的教学内容和方法，培养学生的数学兴趣和学习动力。

这包括引导学生进行数学实验和数学探究活动，激发学生的学习激情。

7. 培养学生的团队合作精神：数学学习往往需要学生进行团队合作。

教师应通过小组讨论和项目合作的形式，培养学生的团队合作精神。

这包括培养学生的团队合作能力和解决团队冲突的能力。

8. 培养学生的数学应用能力：数学是一门应用学科，学生必须能够将所学的数学知识应用到实际问题中。

教师应通过实际问题解决和建模的训练，培养学生的数学应用能力。

通过以上教学目标，可以帮助高中学生建立扎实的数学基础，提高他们的数学思维能力和问题解决能力，培养他们的数学沟通能力和团队合作精神，激发他们对数学的兴趣和学习动力，为他们未来的学习和工作打下坚实基础。

绝对值概念在高中数学教学中的地位

绝对值概念在高中数学教学中的地位摘要：绝对值概念的学习是学生在高中数学学习中的一个重点，在高考的数学题目出，绝对值的相关问题在试卷上出现的频率很高。

因此绝对值概念的学习对于高中生数学科目的学习来说，是具有重要的意义的。

在实际教学中，教师要把握绝对值概念的教学方式，减轻学生的学习压力。

关键词：绝对值概念；高中数学；教学中；地位前言：绝对值概念是学生从初中开始就在接触的数学知识内容，到了高中阶段，学习的难度加大，因此要求学生对于绝对值概念有着更加深入的理解。

学好绝对值概念是对于学生能够掌握其他知识的基础。

所以，在教学中，教师一定要注重这部分的内容，不能因为觉得学生初中学过就一带而过，为后面内容的学习带来障碍，从而影响学生高中数学的学习。

一、绝对值概念学习中存在的问题绝对值概念在实际的学习中，存在一些问题，这些问题对于教师和学生来说都是学习的不利因素，需要找到问题的源头，由教师和学生共同努力去解决问题。

从而使学生能够更好的掌握绝对值概念，并运用到学习中。

①在高中阶段学生进行绝对值概念应用时，通常会产生一些错误的概念，这是由于初中阶段对于绝对值的学习内容还比较浅，而到了高中，学习的难度骤然增大，因此学生容易被绝对值本身的迷思概念所困难，从而不能更好的掌握内容，以至于做题时容易出错。

②由于学生没有养成良好的数学思维，所以在本就需要逻辑思考的绝对值概念题目练习中，经常会出现对于逻辑联结词的理解错误，这一点小小的错误就会导致学生做出的答案是错的，让学生会感到绝对值概念学习困难，并且也找不到原因出在哪里，长此以往会打击学生的学习积极性，对于高中数学学习是十分不利的。

③学生，随着学龄增长，方程式的题目越来越难，所以在运用绝对值学习不等式时，学生就会出现理解问题。

总是习惯用方程式的方式去进行绝对值不等式的解题中。

将方程跟不等式不恰当的类比。

由于学生从小学开始就一直在进行方程式的学习当发现方程式无解时，就会想当然的认为绝对值不等式也是无解的，虽然方程等式是绝对值不等式的原型，但是如果错误的利用就会造成题目的结果出现错误，对于学生在这一阶段的学习形成了阻碍。

高中高一数学教案设计：含绝对值的不等式

高中高一数学教案设计：含绝对值的不等式一、教学目标1.理解含绝对值不等式的概念，掌握含绝对值不等式的解法。

2.能够运用含绝对值不等式解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。

二、教学重点与难点1.重点：含绝对值不等式的解法。

2.难点：含绝对值不等式的应用。

三、教学过程1.导入新课（1）引导学生回顾初中阶段学过的绝对值的概念和性质。

（2）提出问题：如何解含绝对值的不等式？2.授课（1）介绍含绝对值不等式的概念含绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式，如|ax+b|>c、|x-a|<b等。

（2）讲解含绝对值不等式的解法a.ax+b>cb.ax+b<-c分别求解这两个不等式，得到解集。

a.ax+b<cb.ax+b>-c分别求解这两个不等式，得到解集的交集。

（3）举例讲解1.解不等式：|2x-3|>1a.2x-3>1b.2x-3<-1解得：x>2或x<12.解不等式：|x-2|<3a.x-2<3b.x-2>-3解得：-1<x<53.练习与讨论1.解不等式：|3x+1|>42.解不等式：|2x-5|<1（2）学生展示讨论成果，教师点评并给出正确答案。

4.含绝对值不等式的应用（1）讲解例题：例：已知函数f(x)=|x-2|+|x+3|，求函数的最小值。

解：当x<-3时，f(x)=-2x-1；当-3≤x<2时，f(x)=5；当x≥2时，f(x)=2x+1。

因此，函数f(x)的最小值为5。

（2）学生练习：1.已知函数g(x)=|2x-1|+|x+2|，求函数的最小值。

2.已知函数h(x)=|x-3|+|x+4|，求函数的最小值。

5.课堂小结本节课我们学习了含绝对值不等式的概念和解法，以及含绝对值不等式在实际问题中的应用。

希望大家能够掌握这些知识，并在实际问题中灵活运用。

高中数学第二册(上)6.5 含有绝对值的不等式(1)

一．课题：含有绝对值的不等式二．教学目标：1.要求学生掌握绝对值不等式的性质定理及其证明； 2.能熟练运用绝对值不等式的性质定理求解和证明含绝对值的不等式问题.三．教学重、难点：绝对值不等式的性质定理的证明及其运用；四．教学过程：（一）复习：绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法. 1.当0a >时，||||x a a x ax a x a x a≤⇔-≤≤≥⇔≥≤-或；2.对一切实数x ，都有||||x x x -≤≤. （二）新课讲解：定理：||||||||||b a b a b a +≤+≤-. 证明：∵|||||)||(|||||||||b a b a b a b b b a a a +≤+≤+-⇒⎭⎬⎫≤≤-≤≤-||||||b a b a +≤+⇒ ①又∵a a b b =+-，||||b b -=，所以由①得：||||||||a a b b a b b =+-≤++-，即||||||a b a b -≤+ ② 综合①②得：||||||||||b a b a b a +≤+≤-.说明：①左边可以“加强”，不等式同样成立，即||||||||||a b a b a b -≤+≤+；②这个不等式俗称“三角形不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.【思考1】在上面的定理中，,a b 满足什么条件时，右边取“=”？,a b 满足什么条件时，左边取“=”？结论：在定理中，当0ab ≥时右边取“=”；当0ab ≤，且||||a b ≥时左边取“=”；在定理的“加强”中，当0ab ≥时右边取“=”；当0ab ≤时左边取“=”.【思考2】上面的定理能否推广到三个字母或三个字母以上？推论1：123||a a a ++≤123||||||a a a ++；||21n a a a +++ ≤||||||21n a a a +++ .【思考3】将定理中的||a b +改成||a b -，定理是否还成立？证明你的结论。

高等数学教学价值目标(完整版)

高等数学教学价值目标(完整版)高等数学教学价值目标高等数学教学的价值目标主要体现在以下几个方面：1.培养学生的理性思维能力和严谨的逻辑推理能力。

高等数学作为一门基础学科，其知识体系中蕴含着丰富的数学思想、方法和技巧，通过学习高等数学，学生可以逐渐形成理性思维，提高逻辑推理能力，为日后的学习和工作打下坚实的基础。

2.提高学生的数学素养和科学素养。

高等数学作为高等教育的基础课程之一，其教学内容涵盖了微积分、线性代数、概率论与数理统计等多个领域，通过学习这些内容，学生可以获得全面的数学素养和科学素养，从而更好地理解和应用其他学科的知识。

3.为学生未来的学习和职业发展提供支持。

高等数学作为一门重要的基础课程，其教学内容和思维方式对于其他学科的学习和职业发展都有着重要的影响。

通过学习高等数学，学生可以掌握数学建模、数据分析、科学计算等技能，为日后的学习和职业发展提供支持。

4.培养学生的创新精神和解决问题的能力。

高等数学的教学内容和方法注重培养学生的创新精神和解决问题的能力，通过学习高等数学，学生可以逐渐形成独立思考、勇于探索的精神，提高解决问题的能力，为日后的学习和工作打下坚实的基础。

高等数学教学目标设计原则高等数学教学目标设计原则如下：1.科学性与教育性统一的原则：这是数学教学的一条基本原则。

所谓科学性，是指数学教学内容必须准确地反映数学所揭示的客观世界的规律，严格遵循数学本身的逻辑体系。

2.基础性与实用性结合的原则：教学目标的确立和达成，要充分考虑学生已有的知识结构和心理结构，从学生的实际出发，使教学目标建立在学生能够达到的基础之上。

3.层次性与连续性结合的原则：在制定教学目标时，必须把全体学生置于主体地位，承认学生间的差异，区别对待，分类推进，让每一个学生都能在自己的基础上不断取得进步。

4.灵活性与创造性结合的原则：教学目标的灵活性，主要指对同一教学内容，针对不同能力水平的学生，在教法上应区分对待。

高中数学有几个教学目标(具体)

高中数学有几个教学目标(具体)高中数学有几个教学目标高中数学的教学目标有以下几点：1.获得必要的数学基础知识，理解基本的数学概念、数学结论的形成过程，了解概念、结论等产生的背景，应用与结论，以及它们与其他概念、结论之间的关系。

2.提高基本运算和基本操作的能力，掌握基本数学思想方法，理解基本的数学概念、数学结论的形成过程，掌握必要的数学基础知识。

3.初步了解数学的广泛应用，进一步树立数学为生产生活服务的思想。

4.具备一定的创造性思维和实践能力，发展探究性学习的能力。

5.初步具备勤奋好学、勇于探索的精神和小组合作的精神。

6.获得数学学习的方法，树立正确的学习习惯和良好的学习责任感。

总体来说，这些目标突出了学生在高中数学学习中的主体性，旨在帮助学生形成正确的学习习惯、学习责任感和创造性思维，为学生未来的数学学习和生活打下坚实的基础。

高中数学数与代数教学目标高中数学数与代数的教学目标可以包括以下几点：1.了解数的意义，能够运用数进行计算，并能够解决实际问题。

2.掌握代数运算的方法和步骤，包括加法、减法、乘法、除法、乘方和开方等运算，并能够灵活运用。

3.理解代数式和方程的概念，掌握一元一次方程、一元二次方程、指数方程、对数方程、不等式等方程和不等式的解法。

4.了解集合的概念，掌握集合的表示方法，并能够进行集合的运算。

5.理解函数的概念，掌握函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，并能够运用函数解决实际问题。

6.了解数列的概念，掌握等差数列、等比数列等数列的性质，并能够运用数列解决实际问题。

7.了解逻辑的概念，掌握命题、推理等概念，并能够运用逻辑符号进行推理。

8.了解概率的概念，掌握概率的计算公式，并能够运用概率解决实际问题。

9.了解随机数的概念，掌握随机抽样的方法，并能够运用随机数进行试验和模拟。

10.了解统计的概念，掌握数据的收集、整理、分析和检验等方法，并能够运用统计解决实际问题。

浙江高中数学课本教学目标浙江高中数学课本的教学目标主要包括以下几个方面：1.了解数学的价值，追求真理的热情，并逐渐形成勇于质疑和善于反思的习惯。

绝对值教学设计

1.指导思想与理论依据
新课标指出：学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者、引导者、合作者。数学教学活动一定要在学生的认知发展水平和已有的知识经验的基础上实施。教师应尊重学生的个体差异性。基于这样的理论，根据七年级学生的心理发展规律，联系实际安排教学内容。教师提出问题，引导学生思考、讨论。在此基础上理解绝对值的定义。教师在提出问题时一定要注重学生的认知发展水平和已有的知识经验的基础。在采用问答法时，特别注重不同难度的问题，提问不同层次的学生，面向全体，使基础差的学生也能有表现的机会，培养其自信心，激发其学习热情，力求使每个学生都能在原有的基础上得到发展。
归结出代数定义后提出问题： a 为任意有理数（1）a 的绝对值如何表示？（2）a 是正数如何表示？（3）a 是负数如何表示？（4）a 的相反数如何表示？强调绝对值的非负性以及分类讨论的数学思想。
讨论总结：
a(a 0) a 0(a 0) a (a 0)
或
a(a 0) a a(a 0)
五、
出示习题：
通过做检测题，检测这节课学生的学习效果。 1、考察绝对值的代数定义； 2、考察绝对值的几何定义； 3、考察绝对值定义的逆向应用。
反馈 1、│－3│=
矫正 2、-5 的绝对值是在数轴上__ , ___ 到
的距离，-5
注重的绝对值是________. 参与 3、绝对值等于 2 的数是 4、│a－2│+│b－3│+│c－4│=0,则 a+2b+3c= 5、（选做）已知│a│=3，│b│=5，a 与 b 异号，求│a－b│的值。
学情分析：我们班的学生刚从小学升入初中，他们表现力强，活泼好动、爱发表见解，希望得到老师的表扬，知识上，刚学习有理数和相反数，具备基础的计算能力，但是总结归纳能力较为薄弱，对抽象概念化的知识难以理解。

高中数学绝对值课

高中数学绝对值课一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是向高中学生传授数学中绝对值的概念、性质和应用。

绝对值是数学中的一个基本概念，它在数轴上的表示、不等式的解法等方面具有重要的作用。

通过本节课的学习，学生应能够理解绝对值的定义，掌握绝对值的性质，并能够运用绝对值的概念解决实际问题。

具体来说，教学任务包括：- 引导学生理解绝对值的定义，即一个数的绝对值是它到0点的距离。

- 深入探讨绝对值的性质，如非负性、对称性等。

- 通过示例和练习，使学生掌握绝对值的计算方法。

- 培养学生运用绝对值解决实际问题的能力。

2、教学对象本节课的教学对象为高中学生，他们已经具备了一定的数学基础，如实数的概念、数轴的认识等。

然而，绝对值作为一个新的概念，对学生来说可能存在一定的理解难度。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，采用适当的教学策略，帮助他们顺利掌握绝对值的有关知识。

在教学过程中，应考虑以下方面：- 学生对数轴的理解程度，以便更好地引入绝对值的概念。

- 学生在解决含有绝对值的不等式时的思维习惯，培养他们正确的解题思路。

- 学生的学习兴趣和动机，激发他们对数学学习的热情，提高学习效果。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解绝对值的定义，掌握绝对值符号的表示方法，能够准确地表示和计算实数的绝对值。

（2）掌握绝对值的性质，如非负性、对称性、去绝对值法则等，并能够运用这些性质解决相关问题。

（3）能够将绝对值概念应用于解决实际问题，如求距离、解绝对值不等式等。

（4）学会运用数轴辅助解题，通过数轴直观地分析绝对值问题，提高解题效率。

2、过程与方法（1）通过实例引入，让学生自主探究绝对值的概念，培养学生的发现问题和解决问题的能力。

（2）采用直观演示、举例说明等方法，帮助学生理解绝对值的性质，提高他们的抽象思维能力。

（3）引导学生通过小组讨论、合作学习等方式，共同探讨绝对值在实际问题中的应用，培养学生的合作意识和团队精神。

教学研究：高中数学教育的重点和目标

教学研究：高中数学教育的重点和目标高中数学教育的重点和目标数学是一门重要的科学，也是一门重要的工具学科。

它不仅在各个领域有广泛的应用，还能够培养人的逻辑思维能力和数学素养。

高中数学教育是培养学生数学素养的重要阶段，为了让学生更好地掌握数学知识和数学思维能力，现阐述高中数学教育的重点和目标。

一、高中数学教育的目标1.培养数学思维能力数学是一门严谨的学科，它包含了很多的推理和证明，因此在高中数学教育中，培养学生的数学思维能力是非常重要的一个目标。

数学思维能力主要包括逻辑思维能力、创造性思维能力和推理能力等方面，这些能力不仅能够帮助学生更好地掌握和理解数学知识，还能够使学生在日常生活中更好地运用数学知识解决实际问题。

2.培养数学素养数学素养是指学生对于数学的基本概念、基本原理以及解决实际问题的能力。

高中数学教育中，我们应该培养学生较好地掌握数学基本概念，深入理解数学知识，能够运用数学方法解决实际问题，并在学习中逐步学会发现数学问题，提出并实现自己的解法，培养自主学习和独立思考的能力。

3.培养自信和探索精神高中数学教育中还应该培养学生的自信和探索精神。

数学是一门和实际问题密切相关的学科，由于学生在数学学习过程中经常遇到困难和疑惑，如果这时缺乏自信和探索精神，学生就可能很快失去兴趣。

因此，高中数学教育中应该培养学生在学习中勇于探索，积极参与，勇于尝试解决问题，从而提高学生对数学学科的兴趣和信心。

二、高中数学教育的重点1.巩固和加强基本功高中数学教育的第一重点是巩固和加强学生的数学基本功。

高中数学学科是建立在初中数学知识基础上的学科，因此如果学生在初中数学基础上建立不稳，就会影响他们在高中数学学习过程中的发展。

在高中数学教育过程中，我们应该重视学生数学基础能力的培养，不断巩固和加强初中数学学科的基本知识和技能。

2.拓宽学生数学视野高中数学教育的第二重点是要拓宽学生对数学的视野。

在学习高中数学学科的过程中，学生应该学会拓宽自己的数学视野，积累更广泛的数学知识和技能。

高中数学 6.5含绝对值的不等式(第二课时) 大纲人教版必修

高中数学 6.5含绝对值的不等式（第二课时）大纲人教版必修●教学目标（一）教学知识点1.含有绝对值不等式的性质定理及其推论.2.含有绝对值不等式的证明(或解法).(二)能力训练要求通过例题及练习进一步掌握含有绝对值不等式的定理和推论,并能应用这些性质解决有关问题.进一步提高综合运用数学知识的能力.(三)德育渗透目标1.培养学生的化归(或转化)的数学思想.2.提高分析问题和解决问题以及综合运用数学知识的能力.3.培养创新意识,提高学生的数学素质.●教学重点1.掌握一些含绝对值不等式的证明方法和解法.2.解含绝对值的不等式的主要方法是将不等式中的绝对值符号化去.它运用学过的含绝对值不等式的性质:|x|>a(a>0)⇔x>a或x<-a;|x|<a(a>0) ⇔-a<x<a.而含绝对值不等式的证明,可以利用定理|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,还可以利用两边同时平方的方法等,如|x|>|y|⇔x2>y2.●教学难点含绝对值的不等式,在解它或证它时,关键是运用转化思想,依照基本方法步骤化简,要特别注意保证变形过程中的等价性.●教学方法讲练结合法即通过例题讲解,强化学生训练,加深学生对含有绝对值不等式知识的理解,进一步提高学生综合应用数学知识的能力.●教具准备幻灯片一张记作§6.5.2 AⅠ.课题导入上一节课,我们学习了含有绝对值的不等式的性质定理及其推论的简单应用.(学生回顾叙述,教师板书定理及其推论内容,即:（1)|a |-|b |≤|a +b |≤|a |+|b |;（2)|a 1+a 2+a 3|≤|a 1|+|a 2|+|a 3|;（3)|a |-|b |≤|a -b |≤|a |+|b |.今天,我们进一步巩固掌握上述性质,并能应用这些性质完成含有绝对值不等式的证明(或解法),提高大家分析问题、解决问题以及综合运用数学知识的能力.Ⅱ.讲授新课我们来看下面的例子.［例1］已知|x -a |<a 2ε,0<|y -b |<a2ε,0<y <A,求证|xy -ab |<ε. 分析:本题的关键在于根据结论左边如何“拼凑”出(x -a )与(y -b ),再运用和差的绝对值与绝对值的和差间的关系.即创设利用已知条件或已知定理的机会.证明:|xy -ab |=|xy -ya +ya -ab |=|y (x -a )+a (y -b )|≤|y |·|x -a |+|a |·|y -b |<a ·A2ε+|a |·a 2ε=ε, 即|xy -ab |<ε.［师生共析］本题是为将来学习极限证明作的准备.本题在证明过程中运用了凑的技巧,望注意体会.在今后的学习过程当中,要习惯用“拼凑”的方法,要很好掌握.［例2］已知|a |<1,|b |<1,求证:|abb a ++1|<1. 分析:初看此题,无法下手,因为题目中含有绝对值符号,不妨运用平方法先去掉绝对值符号,再加以证明,即运用“|x |<a (a >0)⇔x 2<a 2”,尝试分析法证明.证明：1)1()(1122<++⇔<++ab b a ab b a ⇔a 2+2ab +b 2<1+2ab +a 2b 2⇔1-a 2-b 2+a 2b 2>0⇔(1-a 2)(1-b 2)>0由|a |<1,|b |<1,可知a 2<1,b 2<1,显然（1-a 2）(1-b 2)>0.即|abb a ++1|<1成立. ［师生共析］用分析法证不等式，有时变形的每一步都是充要条件，这实际是先寻找原不等式成立的必要条件，再证明不等式.［例3］设a ,b ∈R ,且a ≠b ,求证: |2211b a +-+|<|a -b |.分析:本题既含绝对值又含根式,直接入手证明比较困难,考虑运用分析法;本题含有根式,考虑其根式的特殊性(有理化因式的灵活应用),也可采用放缩法证明.证法一:欲证|2211b a +-+|<|a -b |成立,只需证明(2211b a +-+)2<(a -b )2, 即:1+a 2-2)1)(1(22b a ++ +1+b 2<a 2-2ab +b 2∴1+ab <)1)(1(22b a ++.只需证:(1+ab )2<(1+a 2)(1+b 2)即:1+2ab +a 2b 2<1+a 2+b 2+a 2b 2即:a 2+b 2>2ab .∵a ,b ∈R 且a ≠b ,显然a 2+b 2>2ab 成立.故原不等式成立.证法二:| 2211b a +-+| =|222211b a b a +++-|b a ba b a b a b a b a b a b a b a -=++⋅-≤++⋅-<+++-=222211 (注意:a ,b ∈R 且a ≠b )故|2211b a +-+|<|a -b |.［师生共析］有关含有绝对值不等式的证明,常用分析法,因为这样可在命题的转化过程中,“脱去”绝对值符号,为运算及推理创造了条件.对于证法二,本题用了放缩法,其证明过程技巧性较强、难度较大,并且在上述证明过程中用到了两次放缩,即(1)21a + >|a |,ba b a b b +<+++⇒>+11111222;(2)若a ≠b ,则|a |+|b |>|a +b |ba b a +<+⇒11. ［例4］已知sin α+sin β=1,求证:|cos α+cos β|≤3.分析:本题直接证明困难,考虑运用反证法.证明:假设|cos α+cos β|>3成立,则:两边同时平方得:cos 2α+cos 2β+2cos α·cos β >3 ①由已知得:sin 2α+sin 2β+2sin αsin β=1 ②由①+②得:2+2cos （α-β)>4∴cos （α-β)>1,这与cos （α-β)≤1矛盾.故假设不成立,原不等式成立.［师生共析］对直接证明较困难的题目,若运用反证法,则相当于增加了一个“条件”(即假设),因而降低了对命题推理的难度.本例中当增加的“条件”|cos α+cos β|>3(即假设后)结合已知条件sin α+sin β=1及正、余弦之间的关系式,使证题思路豁然开朗.Ⅲ.课堂练习［打出幻灯片§6.5.2 A,根据学生情况及特点,分成若干个小组进行练习,选出有代表性的学生答案(让学生最好写在幻灯片上),教师利用幻灯仪作概括总结,以提高学生分析问题和解决问题的能力.］附习题和答案:1.求证:(1)|x +1|+|x -1|≥2;(2)|x +2|+|x +1|+|x -1|+|x -2|≥6;(3)2|x +2|+|x +1|≥1(当且仅当x =-2时,“=”号成立).证明:(1)|x +1|+|x -1|≥|(x +1)-(x -1)|=2.(2)|x +1|+|x -1|≥|(x +1)-(x -1)|=2.当且仅当(x +1)(x -1)≤0,即-1≤x ≤1时“=”成立;又|x +2|+|x -2|≥|(x +2)-(x -2)|=4,当且仅当(x +2)(x -2)≤0,即-2≤x ≤2时“=”号成立.∴|x +2|+|x +1|+|x -1|+|x -2|≥6,当且仅当⎩⎨⎧≤≤-≤≤-2211x x 即-1≤x ≤1时“=”号成立.(3)|x +2|+|x +1|≥|(x +2)-(x +1)|=1,当且仅当(x +2)(x +1)≤0,即-2≤x ≤-1时“=”号成立;又|x +2|≥0,当且仅当x =-2时，“=”号成立,∴2|x +2|+|x +1|≥1,当x =-2时，“=”号成立.2.已知f (x )=21x +,当|a |≠|b |时,求证:(1)|a +b |<|f (a )+f (b )|;(2)|a -b |>|f (a )-f (b )|.证明:(1)| a +b |≤|a |+|b |<2211b a +++=|f (a )+f (b )|.(2)由(1)得:|a +b |<2211b a +++,∴|a -b |=ba b a b a b a +-=+-2222 )()(1111)1()1(112222222222b f a f b a b a b a b a b a -=+-+=++++-+=+++->3.求证:a b a 22-≥|a |-|b |(a ≠b )证明:当|a |≤|b |时,即|a |-|b |≤0,而a b a 22-≥0,显然有: a b a 22-≥|a |-|b |;当|a |>|b |时,又a ≠0,从而|a |>0,有 |a b |<1⇒-|ab |>-1⇒-a b 2≥-|b | ∵(|b |≥0) ∴a b a 22-≥a b a 22-=|a |-a b 2≥|a |-|b |.综上所述有:a b a 22-≥|a |-|b |(a ≠b ).4.若|x |<1,|y |<1,|z |<1,求证： |zxyz xy xyz z y x ++++++1|<1. 证明：所证不等式⇔|x +y +z +xyz |<|1+xy +yz +zx | ⇔(x +y +z +xyz )2<(1+xy +yz +zx )2 ⇔(xyz +xy +yz +zx +x +y +z +1)(xyz -xy -yz -zx +x +y +z -1)<0 ⇔［(x +1)(y +1)(z +1)］·［(x -1)(y -1)(z -1)］<0⇔ (x 2-1)(y 2-1)(z 2-1)<0由于|x |<1,|y |<1,|z |<1从而x 2<1,y 2<1,z 2<1,于是(x 2-1)(y 2-1)(z 2-1)<0成立,所以原不等式成立.5.已知a ,b ∈R ,求证:b ba ab a ba +++≤+++111.证明:原不等式⇔|a +b |(1+|a |)(1+|b |)≤|a |(1+|a +b |)(1+|b |)+|b |(1+|a +b |)(1+|a |)⇔|a +b |(1+|b |)+|a +b |·|a |(1+|b |)≤|a |(1+|b |)+|a |·(1+|b |)·|a +b |+|b |(1+|a |)+|b |·|a +b |(1+|a |)⇔|a +b |+|a +b |·|b |≤|a |+2|ab |+|b |+|b |·|a +b |+|ab |·|a +b |⇔|a +b |≤|a |+|b |+2|ab |+|ab |·|a +b |.由于|a +b |≤|a |+|b |成立,显然最后一个不等式成立,从而原不等式成立.以上证明是最基本的方法,但过程繁琐冗长,利用放大技巧证明要简捷得多,证明如下: ∵|a +b |≤|a |+|b |⇒|a |+|b |-|a +b |≥0,.111:.11111)(1)(1b ba aba ba bba ab a b b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a +++≤++++++≤+++++=+++=+-+++++-+++≤+++∴即 Ⅳ.课时小结本节是在绝对值的基本概念和基础知识的基础上,学习关于和差的绝对值与绝对值的和差的性质(即定理及其推论1,推论2),进一步学习含有绝对值的不等式的解法及其证明方法.其学习重点是定理性质及其应用,难点是定理的证明及应用.解含绝对值的不等式的关键是要掌握将含有绝对值的不等式等价地转化为不含绝对值的不等式,其转化方法主要有定义法、公式法、平方法.证明含有绝对值的不等式的关键是灵活运用定理及其推论和有关性质以及证明不等式的基本方法.Ⅴ.课后作业(一)课本P 22习题6.5 4、5(二)1.复习回顾本章基本内容.2.对本章各部分内容进行总结.●板书设计。

人教版高中数学必修1含绝对值的不等式解法(2)教案

一集合（§1.4.2 含绝对值的不等式解法）教学时间 : 第二课时课题: §1.4.2 含绝对值的不等式解法教学目标:1．使学生熟练掌握含绝对值不等式的解法2．注意对含绝对值的不等式的讨论方法3．对含绝对值的不等式中的简单的参数问题加以讨论教学重点:对含绝对值的不等式的讨论方法教学难点:简单的参数问题教学过程:一、复习旧知识1．)0(><a a x 的解集为a x a <<-；2．)0(>>a a x 的解集为a x a x -<>或3．)0(><+c c b ax 化为{}c b ax c x <+<-|来解；)0(>>+c c b ax 化为{}c b ax c b ax x -<+>+或|来解.4．课堂练习：课本P 16 习题1.4： 1(1)(2)、2(1)(2)、3(3)(4)(5)(6)二、新课例1.解不等式 7522≤-<x分析：一可根据绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号；二可先将不等式转化为与这等价的不等式组，进而再利用|ax+b|>c(c>0)或|ax+b|<c(c>0)型不等式的解法逐一求解。

解法一：根据绝对值定义，有2x-5（当x ≥5/2时）|2x-5|=-（2x-5）（当x<5/2时）∴①当x ≥5/2时，原不等式可化为2<2x-5≤7∴7/2＜x ≤6此时，得{x|x ≥5/2}∩{x|7/2<x ≤6}={x|7/2<x ≤6}②当x<5/2时，原不等式可化为2<-(2x-5)≤7∴-7≤2x-5<-2 则-1≤x<3/2此时，得{x| x<5/2}∩{x|-1≤x<3/2}={x|-1≤x<3/2}将①②结果求并集，则得原不等式的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤-627231|x x x 或解法二：原不等式可化为|2x-5|≤7 ①|2x-5|>2 ②解①得 -7≤2x-5≤7 即-1≤x ≤6解②得 2x-5>2 或2x-5<-2 即 x>7/2或 x<3/2∴原不等式的解集为：{x|-1≤x ≤6}∩{x|x>7/2或 x<3/2}=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤-627231|x x x 或例2．解不等式 1122+<-x x 解：由1122+<-x x 得：所以1122+<-x x 的解集是{x|x ≠0}例3．已知不等式)0(2><-a a x 的解集为{}c x x <<-1|，求c a 2+的值. 解：由)0(2><-a a x 得：-a<x-a<a 即2-a<x<2+a∴2-a=-1, a=32+a=c, c=5则a+2c=13例4.解关于x 的不等式)(132R a a x ∈<-+.略解:⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<+-->∅-≤2224|11a x a x a a 时解集为；时解集为.例5.解不等式112+>+x x分析:(一)对12+x 的正负情况进行分析,得两个不等式组,解得:⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<032|x x x 或. （二）把原不等式转化为)1(12112+-<++>+x x x x 或来解亦可.例5.解关于x 的不等式x x x 2522>+--.分析:分别对222525>≤≤--<x x x 、、进行讨论得到⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<53|x x . 例6.不等式|x+1|+|x-1|≤1的解集为分析: 可运用数形结合求解.[我们将式子看成数轴上一点到-1及1的距离和小于等于1，这也是式子本身几何意义，但我们从上图可知，不存在这样的点，那么问题1的解集就是ø]例7.|x-5|-|2x+3|<1的解集是分析:借助于分段讨论求解,[该问题的求解，需要借助于分段讨论，主要在于如何去掉绝对值，实现转化是关键] :分别对x<-3/2,-3/2≤x ≤5,x>5进行讨论即得.下面给出解答过程.（投影片c ）3三、课堂练习１．解关于x 的不等式：（1）已知{}{}∅=⋂>-=><-=B A x x B c c x x A 且,43|,0,1|，求c 的取值范围. 略解:易得B A ,的解集,由提意207111≤<⇒⎩⎨⎧≤+-≥-c c c . (2)312≤-++x x ({}12|≤≤-x x四、小结注意:1.对含有绝对值的不等式的解法,通过上面的例子我们可以看到,其关键就在于去掉绝对值,而去掉绝对值,则需要对绝对值中的零点进行讨论,一般来说一个零点分两个范围,两个零点分三个零点,依次类推.2.对于含有绝对值的不等式,如果其中含有字母参数,则根据基本的绝对值不等式的解法进行分类讨论,讨论时,不重复,也不要遗漏. 五、作业1. 课本P 16习题1.4 42. 若{}{},5|,107|B B A k x x B x x A =⋂<-=>+=且求k 的取值范围.。

绝对值教案

绝对值第一课时一、教材分析：1.教材的地位和作用绝对值是人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级上册第一章第二节绝对值第一课时的教学内容。

绝对值是有理数的重要概念之一，学习绝对值的概念和意义,不仅可以加深学生对数轴、相反数的认识和运用,也为后面学习两个负数的比较大小及有理数运算作好铺垫，因此起着承上启下的作用.同时通过本节课的学习，可以培养学生数形结合、分类讨论的思想方法，对发展学生数学观察、归纳、探究的能力起着积极有效的作用。

2.教学目标分析新课标指出，教学目标应包括知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度这四个方面，而这些目标又应是紧密联系的一个有机整体，学生学会知识与技能的过程同时成为学会学习，形成正确价值观的过程.这告诉我们，在教学中应以知识与技能为主线，渗透情感态度价值观，并把前面两者充分体现在数学思考与解决问题的过程中。

教学目标：①理解绝对值的概念；了解绝对值的意义；运用绝对值的相关知识解决问题；②经历绝对值概念及意义的探究过程，使学生感受分类讨论思想，增强学生的符号意识；③初步形成反思意识，通过多种学习形式使学生学会合作，并能与他人交流解决绝对值相关问题过程的思维和结果；④通过探究的过程,让学生获得数学活动的经验,并在用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信。

3.教学重难点：根据以上对教材的地位和作用，以及目标分析，结合新课标对本节课的要求，本节课的重点：绝对值的概念及意义的探究过程；难点：利用绝对值的概念及意义解决实际问题。

二、学情分析：1.认知基础分析：学生在小学已初步形成对数的基本认识，再加上之前学习了数轴、相反数的相关知识,对两点之间距离的概念也有所理解，共同为新课学习奠定了必要的基础.心理及能力分析：学生已初步具备一定的观察、分析、概括的思维能力,但思维的严密性仍相对薄弱。

并且他们天性活泼、求知欲强，愿意同学间合作交流，乐于接受形象生动、形式多样的学习方式。