高考总复习数学(理科)第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性

2．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ 3－x2＋ x2－3； (2)f(x)＝lg|（x－1－2|－x22）； (3)f(x)＝x－2＋x2x＋，xx，＜x0＞，0. 解：(1)由3x－ 2－x32≥ ≥00， ，得 x2＝3，解得 x＝± 3， 即函数 f(x)的定义域为{－ 3， 3}， 从而 f(x)＝ 3－x2＋ x2－3＝0.
1．判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必 不充分条件，所以首先考虑定义域． (2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系． 2．已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法 解，根据 f(x)±f(－x)＝0 得到关于待求参数的恒等式，由 数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
2．若 f(x＋a)＝－f(x)(a 是常数，且 a≠0)，则 2a 函数 f(x)的一个周期．第(2)题法二是利用周期性构造一 特殊函数，优化了解题过程．
考点 3 函数性质的综合应用(多维探究)
角度 函数的单调性与奇偶性
【例 1】 (2019·石家庄一模)设 f(x)是定义在[－2b
3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则 f(x－
解析：(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故 ＝x2 在(0，＋∞)上不是偶函数，(1)错．
(2)由奇函数定义可知，若 f(x)为奇函数，其在 x＝ 处有意义时才满足 f(0)＝0，(2)错．
(3)由周期函数的定义，(3)正确． (4)由于 y＝f(x＋b)的图象关于(0，0)对称，根据图象 平移变换，知 y＝f(x)的图象关于(b，0)对称．正确． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
(2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－ ＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称．
(3)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)关于 点(b，0)中心对称．
1．概念思辨 判 断 下 列 说 法 的 正 误 ( 正 确 的 打 “ √ ”， 错 误 的 “×”)． (1)函数 y＝x2 在 x∈(0，＋∞)时是偶函数．( ) (2)若函数 f(x)为奇函数，则一定有 f(0)＝0.( ) (3)若 T 是函数的一个周期，则 nT(n∈Z，n≠0)也 函数的周期．( ) (4)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)的 象关于点(b，0)中心对称．( )
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数 f(x)的定义域内任 关于_y_轴___对
偶函数 意一个 x，都有_f_(_－__x_)＝__f_(_x_)_，那 称
么函数 f(x)是偶函数
如果对于函数 f(x)的定义域内任 关于_原__点__对
奇函数 意一个 x，都有_f(_－__x_)_＝__－__f_(x_)_， 称
对于 C 选项，函数的定义域是 R，是偶函数，且当
∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增
(2)因为 x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，且 f(x)在
上为奇函数．
所以 f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.
(3)由函数
f(x)是周期为
2
的奇函数，得
2．教材衍化
(1)(人 A 必修 1·P35 例 5 改编)下列函数中为偶函数的
是( )
A．y＝x2sin x
B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x|
D．y＝2－x
(2)(人 A 必修 4·P46A 组 T10 改编)f(x)是定义在 R 上
的 周 期 为 2 的 函 数 ， 当 x ∈ [ － 1 ， 1) 时 ， f(x) ＝
________．
(3)(2019·揭阳模拟)已知函数 f(x)是周期为 2 的奇函
数，当
x∈[0，1)时，f(x)＝lg(x＋1)，则 f
2

0516＋lg
1
＝________．
解析：(1)对于 A 选项，函数定义域是(0，＋∞)，故
是非奇非偶函数．
显然 B 项中，y＝x3 为奇函数，不正确．
故 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f ＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.
答案：C
3．(2019·上海崇明二模)设 f(x)是定义在 R 上以 2 为 周期的偶函数，当 x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则当 ∈[1，2]时，f(x)＝________．
)
A．－34
B．－14
1 C.4
3 D.4
解析：因为 f(x)是周期为 4 的奇函数，
所以 f
－92＝－f
92＝－f
1 2.
又 0≤x≤1 时，f(x)＝x(1＋x)，
故 f －92＝－f 12＝－121＋12＝－34. 答案：A
2．[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)已知 f(x)是定义域为
(－∞，＋∞)的奇函数，满足 f(1－x)＝f(1＋x)．若 f(1)＝
2，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50
B．0
C．2
D．50
解析：法一 f(x)在 R 上是奇函数，且 f(1－x)＝f(1
＋x)．
所以 f(x＋1)＝－f(x－1)，即 f(x＋2)＝－f(x)．
那么函数 f(x)是奇函数
2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非 常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都 _f_(x_＋__T_)_＝__f_(x_)__，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期 存__在__一__个__最__小__的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x) _最__小__正周期．
即 bx－log2(4x＋1)＝b(－x)－log2(4－x＋1)，
可得 b＝1. 则 ab＝－1，f(ab)＝f(－1)＝2－1－21－1＝－32. 答案：D
考点 2 函数的周期性及其应用(自主演练)
1．(2019·南充二模)设 f(x)是周期为 4 的奇函数，当
≤x≤1 时，f(x)＝x(1＋x)，则 f －92＝(
因此 f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)， 所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)由1|x－－x22|＞≠02，，得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于 原点对称． 所以 x－2＜0，所以|x－2|－2＝－x， 所以 f(x)＝lg（1－－xx2）. 又因为 f(－x)＝lg[1－（x－x）2]＝－lg（1－－xx2）＝－ 所以函数 f(x)为奇函数．
[变式训练]
1．若函数 f(x)与函数 g(x)的奇偶性相同，则称 g(x
为 f(x)的同心函数．那么，在下列给出的函数中，为函数
f(x)＝x2－x 1的同心函数的是(
)
A．g(x)＝x＋1
B．g(x)＝2x
C．g(x)＝x2
D．g(x)＝ln x
解析：易知 f(x)＝x2－x 1是奇函数．对于 A，g(x)＝ ＋1 是非奇非偶函数，对于 C，g(x)＝x2 是偶函数，对于 D，g(x)＝ln x 是非奇非偶函数，对于 B，g(x)＝2x 是奇 函数．
解析：当 x∈[1，2]时，x－2∈[－1，0]，2－x∈[0， 又 f(x)在 R 上是以 2 为周期的偶函数． 所以 f(x)＝f(x－2)＝f(2－x)＝log2(2－x＋1)＝ log2(3－x)． 答案：log2(3－x)
1．根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函 值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间 化到已知区间．
答案：B
2．(2019·佛山一模)已知 f(x)＝2x＋2ax为奇函数，g(
＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，则 f(ab)＝( )
17 A. 4
5 B.2
C．－145
D．－32
解析：由 f(x)＝2x＋2ax为奇函数，得 f(－x)＋f(x)＝0
即2x＋2ax＋2－x＋2a－x＝0，可得 a＝－1. 由 g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，得 g(x)＝g(－x
因此 f(x＋4)＝f(x)，则函数 f(x)是周期为 4 的函数．
由于 f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令 x＝1，得 f(0)＝f(2)＝0，
令 x＝2，得 f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2， 令 x＝3，得 f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0， 故 f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0， 所以 f(1)＋f(3)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2 ＝2. 法二 取一个符合题意的函数 f(x)＝2sin π2x，则结合 该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以 4 为周期的周期 数列．
f
2

0516＝
65＝f
－45＝－f
45＝－lg
95＝lg
5 9.
故f
2

0516＋lg
.
答案：(1)C (2)12 (3)1
考点 1 函数的奇偶性(讲练互动) [典例体验] 1．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)＝ln( 1＋x2－x)＋ 1，f(a)＝4，则 f(－a)＝________． 解 析 ： 因 为 f(x) ＋ f( － x) ＝ ln( 1＋x2 － x) ＋ 1 ＋ ln( 1＋x2＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2， 所以 f(a)＋f(－a)＝2，所以 f(－a)＝－2. 答案：－2
－ x，4x02≤＋x2＜，1－，1≤x＜0，则 f32＝________．
解析：(1)A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选 项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇 函数，也不是偶函数．