中考圆的考点

八、圆【课标要求】1.了解圆及其有关概念2.了解弧、弦、圆心角之间的关系3.了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系4.掌握圆周角与圆心角的关系以及直径所对圆周角的特征5.了解三角形的内心和外心6.了解切线的概念7.掌握切线与过切点的半径之间的关系8.掌握判定一条直线是否为圆的切线以及会过圆上一点画圆的切线9.掌握切线长定理10.掌握计算弧长及扇形的面积以及计算圆锥的侧面积和全面积【知识回顾】 1.知识脉络2.基础知识(1)圆的认识①圆可由圆心与半径确定.圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都与自身重合，其旋转对称中心为圆心．圆还是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.①弦是连接圆上任意两点的线段.经过圆心的弦叫做直径，它是圆中最长的弦.①弧是圆上任意两点间的部分.圆上直径两端点之间的部分叫做半圆.大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧.如果两段(圆)弧能够完全重合，则称它们为等弧.①圆心角是顶点在圆心的角.圆周角是顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角.(2)与圆有关的位置关系①点与圆有三种位置关系：点在圆外；点在圆上；点在圆内.设点与圆心的距离为d ，圆的半径为r ，则三种位置关系的判断方法为：点在圆外d r ⇔>；点在圆上d r ⇔=；点在圆内d r ⇔<．弧、弦与圆心角的关系 推论 圆 弧、弦与圆心角 切线长 切线 圆与圆的位置关系 圆的切线 直线与圆的 位置关系 点与圆的位置关系 与圆有关的位置关系 圆周角、同弧或等弧所对圆周角的关系圆基本性质 圆的对称性 与圆有关 的计算 弧长和扇形的面积 圆柱、圆锥的侧面积和全面积 圆内接四边形性质 垂径定理及其推论 圆的认识经过三角形的三个顶点的圆叫三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．①直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离．如果一条直线与一个圆有且只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切．如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交．设圆心与直线l 间的距离为d ，圆的半径为r ，则直线和圆的三种位置关系的判断方法为：直线与圆相离d r ⇔>；直线与圆相切d r ⇔=；直线与圆相交d r ⇔<．圆的切线上的某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．①圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含．设两圆圆心的距离为d ，两圆的半径为R r 、，那么两圆外离d R r ⇔>+；两圆外切d R r ⇔=+；两圆相交()R r d R r R r ⇔-<<+≥；两圆内切()d R r R r ⇔=->；两圆内含()d R r R r ⇔<->．两个圆构成轴对称图形，连心线(经过两圆圆心的直线)是对称轴.由对称性知，当两圆相切，连心线经过切点；当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦.(3)与圆有关的定理①“弧、弦、圆心角的关系”定理：在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弦、两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余两组量也分别对应相等.①垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论:①．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．①．弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．①．平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．①圆周角定理及其推论：①.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．①.90°的圆周角所对的弦是圆的直径．①.半圆或直径所对的圆周角都相等，等于90°(直角)．①圆内接四边形的性质定理:圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.①过不在同一直线上的三点有且只有一个圆．一个三角形有且只有一个外接圆．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． ①圆的切线的性质:①．与圆只有一个公共点；①．圆心到切线的距离等于半径；①．圆的切线垂直于过切点的半径．①切线的判定:如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线；到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ①从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．①三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．三角形的内心到三角形三边的距离相等．①相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.①割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(4)与圆有关的计算①由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． 弧长公式：180n r l π=；扇形面积公式：2360n r S π=扇形=lr 21．其中为n 圆心角的度数，r 为半径．①圆柱的侧面展开图是矩形，圆柱的侧面可以看成是由一个矩形围成的．圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边所在的直线为轴旋转而形成的几何体．圆柱的侧面积=底面周长×高；圆柱的全面积=侧面积＋２×底面积．①圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高．圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的侧面可以看成是由一个扇形围成的．圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转而形成的几何体．圆锥的侧面积=12×底面周长×母线；圆锥的全面积=侧面积＋底面积． 1. （2015年广东梅州10分）如图，已知直线3:34l y x =-+分别与x 、y 轴交于点A 和B . （1）求点A 、B 的坐标；（2）求原点O 到直线的距离； （3）若圆M 的半径为2，圆心M 在y 轴上，当圆M 与直线相切时，求点M 的坐标.【答案】（1）∵当x =0时，y =3 ，∴B 点坐标（0，3） .∵当y =0时，有3034x =-+，解得x =4. ∴A 点坐标为（4，0）. （2）如答图1，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则OC 长为原点O 到直线l 的距离.在Rt △BOA 中，OA =4，0B =3，由勾股定理可得AB =5，∵1122BOA SOB OA AB OC =⋅⋅=⋅⋅，∴125OB OA OC AB ⋅==. ∴原点O 到直线l 的距离为125. （3）如答图2，3，过点M 作MD ⊥AB 交AB 于点D ，则当圆M 与直线l 相切时，MD =2，在△BOA 和△BDM 中，∵∠OBA =∠DBM ，∠BOA =∠BDM ，∴△B OA ∽△BDM .∴AB OAMB DM=，即542MB=，解得52MB=.∴1–2OM OB BM==或112OM OB BM=+=.∴点M的坐标为M（0，12）或M（0，112）.【考点】一次函数综合题；直线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；三角形面积公式的应用；相似三角形的判定和性质；直线与圆的位置关系；分类思想的应用.【分析】（1）根据点在直线上点的坐标满足方程的关系，将y=0和x=0分别代入334y x=-+即可求得点A、B的坐标..（2）作辅助线：过点O作OC⊥AB于点C，则OC长为原点O到直线l的距离，由勾股定理求得AB的长，从而根据三角形面积公式1122BOAS OB OA AB OC=⋅⋅=⋅⋅求得OC的长，即原点O到直线l的距离.（3）作辅助线：过点M作MD⊥AB交AB于点D，则当圆M与直线l相切时，MD=2，根据△B OA∽△BDM列式求得52MB=，分点M在直线AB的上、下方两种情况讨论即可.2.（2015年广东佛山8分）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、F.（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小.【答案】解：（1）证明：∵,ADC E DCE ABC E BCF ∠=∠+∠∠=∠+∠ ，又∵,E F DCE BCF ∠=∠∠=∠ ，∴ADC ABC ∠=∠.（2）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴180ADC ABC ∠+∠=︒.由（1）ADC ABC ∠=∠，得90ADC ABC ∠=∠=︒.又∵42E F ∠=∠=︒，∴904248A ∠=︒-︒=︒.（3）∵180,180A E ABE A F ADF ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒ ，∴两式相加，得2360A E F ABE ADF ∠+∠+∠+∠+∠=︒.∵180E F ADC ABC αβ∠=∠=∠+∠=︒，，，∴2180360A αβ∠+++︒=︒.∴902A αβ+∠=︒-.【考点】圆内接四边形的性质；三角形内角和外角性质.【分析】（1）一方面，由三角形外角性质，有,ADC E DCE ABC E BCF ∠=∠+∠∠=∠+∠ ，另一方面，由已知和对顶角的性质，有,E F DCE BCF ∠=∠∠=∠ ，从而得到结论.（2）一方面，由（1）有ADC ABC ∠=∠，另一方面，由圆内接四边形对角互补的性质，有180ADC ABC ∠+∠=︒，从而得到90ADC ABC ∠=∠=︒，进而求得∠A 的度数.（3）由180,180A E ABE A F ADF ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒ 两式相加，根据圆内接四边形对角互补的性质，即可得出结果.3. （2015年广东广州10分）如图，AC 是⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，∠ACB =30°.（1）利用尺规作∠ABC 的平分线BD ，交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，连接CD （保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求ABE ∆与CDE ∆的面积之比.【答案】解：（1）作图如下：（2）如答图2，过点B 作BM AC ⊥于点M ，过点C 作AN BD ⊥于点N ，设AB a =，∵AC 是⊙O 的直径，∴90ABC ∠=︒.∵∠ACB =30°，∴33,2BC a BM a == . ∵BD 是∠ABC 的平分线，∴45ABD CBD ∠=∠=︒.∴62CN a =.∴312622a BM CN a ==. 又∵,BAE CDE ABE DCE ∠=∠∠=∠ ，∴ABE CDE ∆∆∽.∴221122ABE CDE S BM S CN ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【考点】尺规作图；圆周角定理；解直角三角形的应用；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质.【分析】（1）按角平分线的基本作法作图即可.（2）要求ABE ∆与CDE ∆的面积之比，考虑到两三角形相似，只要求出其相似比即可，结合已知条件作辅助线“过点B 作BM AC ⊥于点M ，过点C 作AN BD ⊥于点N ”得到两三角形对应边上的高BM 和CN ，设AB a =，通过解直角三角形，把BM 和CN 用a 的代数式表示，求比，问题即可得到解决.4. （2015年广东深圳9分）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB 和量角器的直径DE 在一条直线上，,3,6cm OD cm BC AB ===开始的时候BD =1cm ，现在三角板以2cm/s 的速度向右移动.（1）当B 与O 重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC 与半圆相切时，求AD ；（3）如图3，当AB 和DE 重合时，求证：2CF CG CE =⋅.【答案】解：（1）∵开始时，4BO cm =，三角板以2cm/s 的速度向右移动，∴当B 与O 重合的时候，三角板运动的时间为422/cm s cm s=. （2）如答图1，设AC 与半圆相切于点H ，连接OH ，则OH AC ⊥.∵0,90AB BC ABC =∠= ，∴045A ∠=.又∵3OH OD cm ==，∴232AO OH ==.∴()323AD AO DO cm =-=-.（3）如答图2，连接EF ，∵OD OF =，∴ODF OFD ∠=∠.∵DF 是直径，∴090DFE ∠=. ∴090ODF DEF ∠+∠=.又∵090DEC DEF CEF ∠=∠+∠=.∴ODF CEF ∠=∠.∴CFG OFD ODF CEF ∠=∠=∠=∠.又∵FCG ECF ∠=∠，∴CFG CEF ∆∆∽.∴CF CE CG CF=，即2CF CG CE =⋅. 【考点】面动平移问题；等腰（直角）三角形的判定和性质；圆周角定理；相似三角形的判定和性质.【分析】（1）直接根据“=路程时间速度”计算即可. （2）作辅助线“连接O 与切点H ”，构成等腰直角三角形求出AO 的长，从而由AO DO -求出AD 的长.（3）作辅助线“连接EF ”，构成相似三角形CFG CEF ∆∆∽,得比例式即可得解.5.（2015年广东9分）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过BC的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，P B.（1）如题图1；若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；（2）如题图2，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；（3）如题图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH ⊥A B.【答案】解：（1）∵AB为⊙O直径，点P是BC的中点，∴PG⊥BC，即∠ODB=90°.∵D为OP的中点，∴OD=1122=OP OB.∴cos∠BOD=12=ODOB. ∴∠BOD=60°.∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°. ∴∠ACB=∠ODB.∴AC∥PG. ∴∠BAC=∠BOD=60°.（2）证明：由（1）知，CD=BD，∵∠BDP=∠CDK，DK=DP，∴△PDB≌△CDK（SAS）.∴CK=BP，∠OPB=∠CKD.∵∠AOG=∠BOP，∴AG=BP. ∴AG=CK.∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP.又∵∠G=∠OBP，∴AG∥CK.∴四边形AGCK是平行四边形.（3）证明：∵CE=PE，CD=BD，∴DE∥PB，即DH∥PB.∵∠G=∠OPB，∴PB∥AG. ∴DH∥AG. ∴∠OAG=∠OHD.∵OA=OG，∴∠OAG=∠G. ∴∠ODH=∠OHD. ∴OD=OH.又∵∠ODB=∠HOP，OB=OP，∴△OBD≌△HOP（SAS）.∴∠OHP=∠ODB=90°. ∴PH⊥A B.【考点】圆的综合题；圆周角定理；垂径定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；平行的判定和性质；全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定. 【分析】（1）一方面，由锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求出∠BOD=60°；另一方面，由证明∠ACB=∠ODB=90°得到AC∥PG，根据平行线的同位角相等的性质得到∠BAC=∠BOD=60°.（2）一方面，证明通过证明全等并等腰三角形的性质得到AG=CK；另一方面，证明AG∥CK，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定而得证.（3）通过应用SAS证明△OBD≌△HOP而得到∠OHP=∠ODB=90°，即PH⊥A B. 十：圆计算与证明1，如图AB是①O的直径，PA，PC与①O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE①PO交PO的延长线于点E．（1）求证：①EPD=①EDO；（2）若PC=6，tan①PDA=，求OE的长．2，如图，①ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE、AC、AE．（1）求证：①AED①①DCA；（2）若DE平分①ADC且与①A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积．3，如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2．（1）求线段EC的长；（2）求图中阴影部分的面积．4，如图，①OAB中，OA=OB=10，①AOB=80°，以点O为圆心，6为半径的优弧分别交OA，OB于点M，N．（1）点P在右半弧上（①BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′．求证：AP=BP′；（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；（3）设点Q在优弧上，当①AOQ的面积最大时，直接写出①BOQ的度数．5，如图，AB为①O的直径，C为①O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分①DAB．（1）求证：DC为①O的切线；（2）若①O的半径为3，AD=4，求AC的长．十：圆计算与证明1考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．分析（1）根据切线长定理和切线的性质即可证明：①EPD=①EDO；（2）连接OC，利用tan①PDA=，可求出CD=4，再证明①OED①①DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长．（1）证明：PA，PC与①O分别相切于点A，C，①①APO=①EPD且PA①AO，①①PAO=90°，①①AOP=①EOD，①PAO=①E=90°，①①APO=①EDO，①①EPD=①EDO；（2）解：连接OC，①PA=PC=6，①tan①PDA=，①在Rt①PAD中，AD=8，PD=10，①CD=4，①tan①PDA=，①在Rt①OCD中，OC=OA=3，OD=5，①①EPD=①ODE，①①OED①①DEP，①===2，在Rt①OED中，OE2+DE2=52，①OE=．2考点切线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；扇形面积的计算．分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，AB=AE，易证得四边形AECD是等腰梯形，即可得AC=DE，然后由SSS，即可证得：①AED①①DCA；（2）由DE平分①ADC且与①A相切于点E，可求得①EAD的度数，继而求得①BAE的度数，然后由扇形的面积公式求得阴影部分（扇形）的面积．（1）证明：①四边形ABCD是平行四边形，①AB=CD，AD①BC，①四边形AECD是梯形，①AB=AE，①AE=CD，①四边形AECD是等腰梯形，①AC=DE，在①AED和①DCA中，，①①AED①①DCA（SSS）；（2）解：①DE平分①ADC，①①ADC=2①ADE，①四边形AECD是等腰梯形，①①DAE=①ADC=2①ADE，①DE与①A相切于点E，①AE①DE，即①AED=90°，①①ADE=30°，①①DAE=60°，①①DCE=①AEC=180°﹣①DAE=120°，①四边形ACD是平行四边形，①①BAD=①DCE=120°，①①BAE=①BAD﹣①EAD=60°，①S阴影=×π×22=π．3考点：扇形面积的计算；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质．分析：（1）根据扇形的性质得出AB=AE=4，进而利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案；（2）利用锐角三角函数关系得出①DEA=30°，进而求出图中阴影部分的面积为：S扇形FAB﹣S①DAE﹣S扇形EAB求出即可．解；（1）①在矩形ABCD中，AB=2DA，DA=2，①AB=AE=4，①DE==2，①EC=CD﹣DE=4﹣2；（2）①sin①DEA==，①①DEA=30°，①①EAB=30°，①图中阴影部分的面积为：S扇形FAB﹣S①DAE﹣S扇形EAB=﹣×2×2﹣=﹣2．4，考点：圆的综合题．分析：（1）首先根据已知得出①AOP=①BOP′，进而得出①AOP①①BOP′，即可得出答案；（2）利用切线的性质得出①ATO=90°，再利用勾股定理求出AT的长，进而得出TH的长即可得出答案；（3）当OQ①OA时，①AOQ面积最大，且左右两半弧上各存在一点分别求出即可．（1）证明：如图1，①①AOP=①AOB+①BOP=80°+①BOP，①BOP′=①POP′+①BOP=80°+①BOP，①①AOP=①BOP′，①在①AOP和①BOP′中①①AOP①①BOP′（SAS），①AP=BP′；（2）解：如图1，连接OT，过点T作TH①OA于点H，①AT与相切，①①ATO=90°，①AT===8，①×OA×TH=×A T×OT，即×10×TH=×8×6，解得：TH=，即点T到OA的距离为；（3）解：如图2，当OQ①OA时，①AOQ的面积最大；理由：①OQ①OA，①QO是①AOQ中最长的高，则①AOQ的面积最大，①①BOQ=①AOQ+①AOB=90°+80°=170°，当Q点在优弧右侧上，①OQ①OA，①QO是①AOQ中最长的高，则①AOQ的面积最大，①①BOQ=①AOQ﹣①AOB=90°﹣80°=10°，综上所述：当①BOQ的度数为10°或170°时，①AOQ的面积最大．点评：此题主要考查了圆的综合应用以及切线的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，根据数形结合进行分类讨论得出是解题关键．5，考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．分析：（1）连接OC，由OA=OC可以得到①OAC=①OCA，然后利用角平分线的性质可以证明①DAC=①OCA，接着利用平行线的判定即可得到OC①AD，然后就得到OC①CD，由此即可证明直线CD与①O相切于C点；（2）连接BC，根据圆周角定理的推理得到①ACB=90°，又①DAC=①OAC，由此可以得到①ADC①①ACB，然后利用相似三角形的性质即可解决问题．（1）证明：连接OC①OA=OC①①OAC=①OCA①AC平分①DAB①①DAC=①OAC①①DAC=①OCA①OC①AD①AD①CD①OC①CD①直线CD与①O相切于点C；（2）解：连接BC，则①ACB=90°．①①DAC=①OAC，①ADC=①ACB=90°，①①ADC①①ACB，①，①AC2=AD•AB，①①O的半径为3，AD=4，①AB=6，①AC=2．点评：此题主要考查了切线的性质与判定，解题时首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的想这已知条件证明三角形相似即可解决问题．八、圆【知识回顾】 1.知识脉络2.基础知识(1)圆的认识①圆可由圆心与半径确定.圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都与自身重合，其旋转对称中心为圆心．圆还是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.①弦是连接圆上任意两点的线段.经过圆心的弦叫做直径，它是圆中最长的弦.①弧是圆上任意两点间的部分.圆上直径两端点之间的部分叫做半圆.大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧.如果两段(圆)弧能够完全重合，则称它们为等弧.①圆心角是顶点在圆心的角.圆周角是顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角.(2)与圆有关的位置关系①点与圆有三种位置关系：点在圆外；点在圆上；点在圆内.设点与圆心的距离为d ，圆的半径为r ，则三种位置关系的判断方法为：点在圆外d r ⇔>；点在圆上d r ⇔=；点在圆内d r ⇔<．经过三角形的三个顶点的圆叫三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．①直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离．如果一条直线与一个圆有且只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切． 如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交．设圆心与直线l 间的距离为d ，圆的半径为r ，则直线和圆的三种位置关系的判断方法为：直线与圆相离d r ⇔>；直线与圆相切d r ⇔=；直线与圆相交d r ⇔<．圆的切线上的某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．弧、弦与圆心角的关系 推论 圆 弧、弦与圆心角 切线长 切线 圆与圆的位置关系 圆的切线 直线与圆的 位置关系 点与圆的位置关系 与圆有关的位置关系 圆周角、同弧或等弧所对圆周角的关系圆基本性质 圆的对称性 与圆有关 的计算 弧长和扇形的面积 圆柱、圆锥的侧面积和全面积 圆内接四边形性质 垂径定理及其推论 圆的认识①圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含．设两圆圆心的距离为d ，两圆的半径为R r 、，那么两圆外离d R r ⇔>+；两圆外切d R r ⇔=+；两圆相交()R r d R r R r ⇔-<<+≥；两圆内切()d R r R r ⇔=->；两圆内含()d R r R r ⇔<->．两个圆构成轴对称图形，连心线(经过两圆圆心的直线)是对称轴.由对称性知，当两圆相切，连心线经过切点；当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦.(3)与圆有关的定理①“弧、弦、圆心角的关系”定理：在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弦、两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余两组量也分别对应相等.①垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论:①．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．①．弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．①．平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．①圆周角定理及其推论：①.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．①.90°的圆周角所对的弦是圆的直径．①.半圆或直径所对的圆周角都相等，等于90°(直角)．①圆内接四边形的性质定理:圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.①过不在同一直线上的三点有且只有一个圆．一个三角形有且只有一个外接圆．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． ①圆的切线的性质:①．与圆只有一个公共点；①．圆心到切线的距离等于半径；①．圆的切线垂直于过切点的半径．①切线的判定:如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线；到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ①从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．①三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．三角形的内心到三角形三边的距离相等． ①相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.①割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(4)与圆有关的计算①由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． 弧长公式：180n r l π=；扇形面积公式：2360n r S π=扇形=lr 21．其中为n 圆心角的度数，r 为半径．①圆柱的侧面展开图是矩形，圆柱的侧面可以看成是由一个矩形围成的．圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边所在的直线为轴旋转而形成的几何体．圆柱的侧面积=底面周长×高；圆柱的全面积=侧面积＋２×底面积．①圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高．圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的侧面可以看成是由一个扇形围成的．圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转而形成的几何体．圆锥的侧面积=12×底面周长×母线；圆锥的全面积=侧面积＋底面积．1.（2015年广东梅州10分）如图，已知直线3:34l y x=-+分别与x、y轴交于点A和B.（1）求点A、B的坐标；（2）求原点O到直线的距离；（3）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线相切时，求点M的坐标.2. （2015年广东佛山8分）如图，⊙O 的内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E 、F .（1）若∠E =∠F 时，求证：∠ADC =∠ABC ；（2）若∠E =∠F =42°时，求∠A 的度数；（3）若∠E =α，∠F =β，且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A 的大小.3. （2015年广东广州10分）如图，AC 是⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，∠ACB =30°.（1）利用尺规作∠ABC 的平分线BD ，交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，连接CD （保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求ABE ∆与CDE ∆的面积之比.4. （2015年广东深圳9分）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB 和量角器的直径DE 在一条直线上，,3,6cm OD cm BC AB ===开始的时候BD =1cm ，现在三角板以2cm/s 的速度向右移动.（1）当B 与O 重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC 与半圆相切时，求AD ；（3）如图3，当AB 和DE 重合时，求证：2CF CG CE =⋅.5.（2015年广东9分）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过BC的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，P B.（1）如题图1；若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；（2）如题图2，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；（3）如题图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH ⊥A B.十：圆计算与证明1，如图AB是①O的直径，PA，PC与①O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE①PO交PO的延长线于点E．（1）求证：①EPD=①EDO；（2）若PC=6，tan①PDA=，求OE的长．2，如图，①ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE、AC、AE．（1）求证：①AED①①DCA；（2）若DE平分①ADC且与①A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积．3，如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2．（1）求线段EC的长；（2）求图中阴影部分的面积．。