高一下学期期末考试数学模拟(理科)
2021-2022学年内蒙古赤峰市高一下学期期末考试数学(理)试题【含答案】
m n (2, 1) (4,1) 17
2
2 ，故选 D.
a2 a1 3．已知 2, a1, a2 , 8 成等差数列， 2,b1,b2 ,b3, 8 成等比数列，则 b2 等于
1 A． 4
1
B． 2
1 C． 2
1 1 D． 2 或 2
B
8 2
【详解】试题分析：因为 2, a1, a2 , 8 成等差数列，所以 a2 a1
1 3
Sh
1(1 32
4 4) 4
32 3
；
V 64 2 32 128
所以该几何体体积为.
33
故选 A.
8．如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，E 为 AO 的中点，若
ED
x
AB
y
AD
x,
y
R
，则
x
y
等于（
）
A．1 B
B． 1
1
C． 2
1 D． 2
【分析】根据向量的加减法运算及平面向量基本定理求解即可.
A．2023
B．2024
C．3033
D．3034
A
【分析】根据函数的性质由 f 1 x f 1 x， f x f x 2 可得
f (x) f (x 1) f (x 2) f (x 3) 4
【详解】因为 f x f x 2 ， f 1 2 ，所以 f (1) 0 ， f (0) 1
ex2
e ex1 x2 1 )( e ex1 x2 )
，
又因为 0 x1 x2 ，所以 ex1 ex2 0 ， ex1ex2 0, ex1ex2 1 0
所以 f x1 f x2 0 ， f x为增函数，所以选项 C 正确；
高一下学期期末模块模拟考试(数学)
高一第二学期数学模拟试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的。
1、从2004名学生中选取50名组成观光团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004名人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率A、不全相等B、均不相等C、都相等且为{ EMBED Equation.KSEE3 \*MERGEFORMAT |251002D、都相等且为2、200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如右图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为A、65辆B、76辆C、88辆D、95辆3、在长为10cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25与49之间的概率为A、B、C、 D 、4、已知非空集合A、B满足,给出以下四个命题若任取，则是必然事件若任取，则是不可能事件若任取，则是随机事件若任取，则是必然事件其中正确的个数是A、1B、2C、3D、45、某高校研究小组对本地区2006年至2008年快餐公司发展情况进行了调查，制定了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭A、82万盒B、83万盒C、84万盒D、85万盒6、某校有学生4500人，其中高三1500人。
为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本，则样本中高三学生的人数为A、50B、100C、150D、207、甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格概率为，丙及格概率为，则三人中至少有一个人及格的概率为A、B、C、 D 、8、如图：矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，从此实验数据为依据可以估计椭圆的面积约为A、7.68B、16.32C、17.32D、8.689、已知样本容量为30，在样本频率直方图1中，各小长方形的高的比从左到右依次为2：4：3：1，则第2组的频率和频数分别为A、0.4，12B、0.6,16C、0.4,16D、0.6，1210、方程有实根的概率A、B、C、 D 、11、连掷两次骰子得到点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为，则的概率是A、B、C、 D 、12、为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题。
广东省深圳市盐田高级中学2023-2024学年高一下学期期末模拟数学试卷(含解析)
深圳市盐田高级中学2023-2024学年第二学期高一下期末考试数学模拟试卷一、单选题（每题5分，共40分）1．设全集，集合M 满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列函数中，满足“”的单调递增函数是A ．B ．C ．D ．3．若古典概型的样本空间，事件，事件，相互独立，则事件可以是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知向量，则在方向上的投影向量为（ ）A．B ．C ．D ．5．设是两个平面，是两条直线，且.下列四个命题：①若，则或 ②若，则③若，且，则 ④若与和所成的角相等，则其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④6．函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）A ．B ．C ．1D ．28．一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知．则该五面体的体积为（ ）{1,2,3,4,5}U ={1,3}U M =ð2M ∈3M ∈4M ∉5M∉()()()f x y f x f y +=()12f x x =()3f x x=()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()3x f x ={}Ω1,2,3,4={}1,2A =A B B {}1,3{}1,2,3{}3,4{}2,3,4(2,a b =-= b a 14a 14a - b - bαβ、m n 、m αβ= //m n //n α//n βm n ⊥,n n αβ⊥⊥//n α//n β//m n n αβm n⊥()y f x =πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6()y f x =1122y x =-2()(1)1f x a x =+-()cos 2g x x ax =+(1,1)x ∈-()y f x =()y g x ==a 1-12ABC DEF -AD BE CF ∥∥123AD BE CF ===，，ABB ．CD二、多选题（每题6分，共18分）9．复数，其共轭复数为，则下列叙述正确的是（ ）A ．对应的点在复平面的第四象限B ．是一个纯虚数C ．D ．10．下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．的最小值为2C ．D的最小值为211．已知函数，则下列说法正确的有（）A ．若，则在上的最小值为0B ．若，则点是函数的图象的一个对称中心C ．若函数在上单调递减，则满足条件的值有3个D ．若对任意实数，方程在区间内的解的个数恒大于4且小于10，则满足条件的值有11个三、填空题（每题5分，共15分）12．已知向量与的夹角为，且，.13．已知，则 ．14．如图所示，由到的电路中有4个元件，分别为，，，．若，，，能正常工作的概率都是，记事件“到的电路是通路”，则 ．四、解答题15．（13分）记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知．12+12-1i z =-z z z 2z z ⋅=i z z =-22ac bc >a b>b a a b +,0,b b m a b m a a m +∀>><+()2()cos cos f x nx nx nx n ++∈N 1n =()f x π[0,]22n =5π(,0)24()f x ()f x ππ[,]43n 0x 3()4f x =00π(,6x x +n a b 60 ()2,6a =-- b = ⋅= a b 2log 5,85b a ==ab =X Y A B C D A B C D 23N =X Y ()P N =ABC ()()sin sin sin sin C A B B C A -=-(1)若，求C ；(2)证明：16．（15分）如图，在四棱锥中，，，，E 为棱的中点，平面.(1)求证：平面平面；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.17．（15分）现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．(1)设第一次接球人为，第二次接球人为，通过次传接球后，列举出的所有可能的结果；(2)完成第三次传接球后，计算球正好在乙处的概率．18．（17分）已知函数．(1)求的最小正周期和单调递增区间；(2)若，且，求的值；(3)若函数在区间上恰有4个不同的零点，求的取值范围．2A B =2222a b c =+P ABCD -//AD BC AD DC ⊥112BC CD AD ===AD PA ⊥ABCD PAB ⊥PBD P CD A --45︒PA PBD x y2(),x y ()π4sin cos 16f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()f x π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭122f α⎛⎫= ⎪⎝⎭cos α()()()π2236g x f x a f x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭π11π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦a19．（17分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e 是自然对数的底数，）.(1)计算的值；(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明；(3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围.深圳市盐田高级中学2023-2024学年第二学期高一下期末考试数学模拟试卷参考答案1．A2．D3．A【分析】根据与是否相等判断事件是否独立，得到答案.【详解】由题意得，A 选项，，，故，所以，故事件相互独立，A 正确；4．A 【详解】由，得，所以在方向上的投影向量为.5．A6．C【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特()e e sinh 2x x x --=()e e cosh 2x xx -+=e 2.71828= ()()2cosh 22cosh 1-()cosh x y +=[]0,ln 2t ∈x ()()sinh cosh t x a +=a ()P A B ⋂()()P A P B ()2142P A ==()2142P B =={}1A B ⋂=()14P A B = ()()()P A B P A P B ⋂=,A B (2,a b =-= ||4,214a a b ==⋅=-⨯+= b a 224144||a b a a a a ⋅== ()sin 2f x x =-()f x 1122y x =-殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，考虑，即处与的大小关系，当时，，；当时，，；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为.7．D 【详解】解法一：令，即，可得，令，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，注意到均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得，即，解得，若，令，可得因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，()f x 1122y x =-πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()sin 2f x x =-1122y x =-10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,0()f x 1122y x =-3π3π7π2,2,2222x x x =-==3π3π7π,,444x x x =-==()f x 1122y x =-3π4x =-3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭3π4x =3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭13π13π412428y -=⨯-=<7π4x =7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭17π17π412428y -=⨯-=>()f x 1122y x =-3()()f x g x =2(1)1cos 2a x x ax +-=+21cos a x ax -=+()()21,cos F x ax a G x x =+-=(1,1)x ∈-()y F x =()y G x =()(),F x G x ()()00F G =11a -=2a =2a =()()F x G x =221cos 0x x +-=()1,1x ∈-220,1cos 0x x ≥-≥0x =221cos 0x x +-≥0x =221cos 0x x +-=()y F x =()y G x =所以符合题意；综上所述：.解法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为，则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意；8．C【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合，因为，且两两之间距离为1．，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为，.故选：C.9．BC10．AD2a =2a =()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-()h x ()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=()h x ()h x ()020h a =-=2a =2a =()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-220,1cos 0x x ≥-≥0x =()0h x ≥0x =()h x 2a =HIJ LMN -ABC DEF -,D N ,E M ,F L AD BE CF ∥∥1,2,3AD BE CF ===1322314+=+=+=212111142ABC DEF ABC HIJ V V --==⨯⨯⨯=【分析】利用不等式的性质及基本不等式，以此判断选项即可.【详解】对于A ，若，则，A 正确;对于B，或，因为不知道和的大小关系，B 错误；对于C ，若，则，而，但是与的大小不能确定，故C 错误；对于D，即取等号，11．ACD【详解】，对于A ，当时，，A 正确；对于B ，函数图象的对称中心的纵坐标应为，B 错误；对于C ，，由，，解得，因此，C 正确；对于D ，方程等价于，函数的图象和直线的交点，如图，函数的最小正周期，设，（其中)，显然，由下图可知，因为在区间内的解的个数，所以区间长度应满足：22ac bc >a b >2b a a b +≥2b a a b+≤-b a 0,0a b m >>()()()()()b a m a b m m b a b b m a a m a a m a a m +-+-+-==+++()0m b a -<()a a m +02≥=sin 0x =211π1()cos cos 2cos 2sin(2)2262f x nx nx nx nx nx nx =+=++=++π[0,]2x ∈min ππ7ππ12[,)[,1],()066662x x f x +∈+∈-=()f x 12πππ2ππ2[,]62636n n nx +∈++πππ2π2262ππ3π2π362n k n k ⎧+≤+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩Z k ∈214[,2][,5]33n ∈ 1,2,5n =3()4f x =π1sin(2)64nx +=π()sin(2)6g x nx =+14y =()g x 13||T A A =1223,A A dT A A DT ==1D d =-1π0sin 46<<112,26364323d D d D <<<<<<<<00π(,6x x +[5,9]m ∈π6，由，则，化简得，所以，正整数的值有11个，故选：ACD12．1013．3【详解】由，得，所以.14．【详解】设“正常工作”，“没有正常工作，正常工作，且中至少有一个正常工作”由于“到的电路是通路”等价于“正常工作”或“没有正常工作，正常工作，且中至少有一个正常工作”，即，由于事件互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得.故答案为：15．(1)；(2)证明见解析．【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根据余弦定理可知，，化简得：，故原等式成立．16．(1)证明见解析【详解】（1）由平面，平面，得，连接，由且，所以四边形为平行四边形，又，所以平行四边形为正方形，所以，又由且，所以四边形为平行四边形，π(2)(4)6D T d T +<≤+πT n =πππ(2)(4)6D d n n+<≤+126246D n d +<≤+[16,26]n ∈n 85b =5log 8b =2525log 5log 83log 5log 23ab =⋅=⋅=70811N =D 2N =D A ,B C X Y D D A ,B C 12N N N =⋃()123P N =()222111611333381P N ⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12,N N ()()121670381812P N P N N =⋃=+=70815π82A B =()()sin sin sin sin C A B B C A -=-()sin sin sin sin C B B C A =-π02B <<()sin 0,1B ∈()sin sin 0C C A =->0π,0πC C A <<<-<C C A ≠-πC C A +-=2A B =πA B C ++=5π8C =()()sin sin sin sin C A B B C A -=-()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-()()()()22222222222211112222a cb bc a b c a a b c +--+-=+--+-2222a b c =+PA ⊥ABCD BD ⊂ABCD PA BD ⊥BE //BC DE BC DE =BCDE ,1DE CD BC CD ⊥==BCDE BD EC ⊥//BC AE BC AE =BCEA则，所以， 又 平面，所以平面，由平面，所以平面平面；（2）由平面，平面，所以，又， 平面，所以平面，又平面，所以，故为二面角的平面角，即，在中，，作，垂足为M ，由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，则为直线在平面上的投影，所以为直线与平面所成的角，在中，在中，与平面17．(1)答案见解析(2)【详解】（1）通过次传接球后，的结果：（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙）；（2）三次传接球，接球的结果：（乙，甲，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），（乙，丙，乙），（丙，甲，乙），（丙，甲，丙），（丙，乙，甲），（丙，乙，丙），共8种，它们是等可能的，其中球正好在乙处的结果有：（乙，甲，乙），（乙，丙，乙），（丙，甲，乙），共3种，所以第3次传接球后，球正好在乙处的概率为//AB EC BD AB ⊥,PA AB A ⋂=,PA AB ⊂PAB BD ⊥PAB BD ⊂PBD PBD ⊥PAB PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥CD AD ⊥,PA AD A = ,PA AD ⊂PAD CD ⊥PAD PD ⊂PAD CD PD ⊥PDA ∠P CD A --45PDA ︒∠=Rt PAD △2PA AD ==AM PB ⊥PBD ⊥PAB PBD PAB PB =AM ⊂PAB AM ⊥PBD PM AP PBD APM ∠AP PBD Rt PAB 2,AB CE PA PB ====PA AB AM PB ⋅===Rt AMP sin AM APM AP ∠===AP PBD 382(),x y 3818．(1)，(3)【详解】（1），所以的最小正周期．令，解得，所以的单调递增区间为．（2）由题意知，所以，又．所以，则故（3），所以，当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，要使函数在区间上恰有4个不同的零点，令，则关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且两根均在内，因为，所以．解得，即的取值范围是．19．(1)(2)，证明见解析πT =()πππ,π36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭()π14sin cos 14cos cos 162f x x x x x x ⎫⎛⎫=+-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭2πcos 2cos 1cos22sin 26x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭()f x 2ππ2T ==πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ,36k x k k -+≤≤+∈Z ()f x ()πππ,π36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z π12sin 262f αα⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1sin 64α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ,636α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭πcos 6α⎛⎫+== ⎪⎝⎭ππππππ11cos cos cos cos sin sin 66666642αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ22sin 222sin 46666f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()22ππππ2sin 222cos 224sin 2226266x x x f x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()()()()()2π223216g x f x a f x f x a f x ⎛⎫=-+-+=+-+ ⎪⎝⎭π11π,612x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ2,2π62x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π11π,312⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()()π2236g x f x a f x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭π11π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x t =t ()2210t a t +-+=(]2,0-()202010a +-⨯+>22Δ(2)402202(2)2(2)10a a a ⎧=-->⎪-⎪-<-<⎨⎪---+>⎪⎩102a -<<a 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭1-()()()()cosh cosh sinh sinh x y x y +(3)【详解】（1）由已知可得，，，所以，，所以，.（2）.证明如下：左边，右边.所以，左边=右边，所以，.（3）原题可转化为方程有解，即有解.令，，，因为在上单调递增，，，所以，.又，当且仅当，即时等号成立，所以，即有最大值，又当，则要使有解，应有，即，所以.【点睛】思路点睛：小问3，由已知得出有解，构造函数，，，74a ≥()22e e cosh 22-+=()1e e cosh 12-+=()21222e e e e cosh 1242--⎛⎫++==⎪⎝+ ⎭()()2cosh 22cosh 1-2222e e e e 21224--⎛⎫++=-⨯=- ⎪⎝⎭+()cosh x y +=()()()()cosh cosh sinh sinh x y x y +()()e e cosh 2x y x y x y -+++=+=()()()()cosh cosh sinh sinh x y x y =+e e e e e e e e 2222y y y x x x x y ----++--=⋅+⋅e e e e e e e e 44x y x y x y x y x y x y x y x y +--+--+--+--+++--+=+()e e 2x y x y -+++=()cosh x y +=()()()()cosh cosh sinh sinh x y x y +()()sinh cosh t a x =-e e e e 22+x t xt a ---=-()e e 2t t f t --=[]0,ln 2t ∈()e 2+e x xg x a -=-()e e 2t t f t --=[]0,ln 2()00f =()ln 2ln 2e e 3ln 224f --==()304f t ≤≤e e 12+x x -≥=e e =x x -0x =()e e 1+2xx g x a a -=-≤-()g x ()max 1g x a =-(),x g x →+∞→-∞()()f t g x =()()max max 34g x f t ≥=314a -≥74a ≥e e e e 22+x t x t a ---=-()e e 2tt f t --=[]0,ln 2t ∈，然后分别求出的值域，即可得出关系式.()e 2+e x xg x a -=-()(),f t g x。
2013-2014年度高一下学期期末考试数学试题(理科)
2013-2014年度高一下学期期末考试数学试题（理科） 一、选择题：（每小题4分 满分48分）1．若()1,1=→a ，()()x c b ,3,5,2==→→，满足308=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→→c b a ，则=x （ ）A .3B .4C .5D .62．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A .3B .23C .33D .433．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别 为c b a ,,，若3,6==b a ，且角 45=A ，则角=C （ ）A .75B .75或15C . 60D . 60或1204．在坐标平面内不等式组⎩⎨⎧+≤-≥112x y x y 所表示的平面区域的面积为（ ）A .2B .38C .322 D .15．→→b a ,是非零向量且满足,2→→→⊥⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b a ,2→→→⊥⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b 则→a 与→b 的夹角是（ ）A .6πB .3πC .32πD .65π6．设函数()x x x f 22+=，则数列()()*∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛N n n f ,1的前10项的和为（ ）A .2411B .2217C .264175D .2651777．已知向量()()3,1,cos ,sin -==→→b a θθ，则→→-ba 2的最大、最小值分别为 （ ） A .0,24B .2,4C .0,16D .0,48．已知O 为坐标原点，B A ,两点的坐标均满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≤+-0103013x y x y x ，则A OB ∠t a n 的最大值为 （ ）A .21B .43C .74D .499．圆0204222=-+-+y x y x 截直线0125=+-C y x 所得弦长为8，则C 的值为（ ）A .10B .10或68-C .5或34-D .68-10．设O 是ABC ∆的内切圆的圆心，5=AB ，4=BC ，3=CA ，则下列结论正确的是（ ）A . <⋅→→OB OA <⋅→→OC OB →→⋅OC OA B . >⋅→→OB OA >⋅→→OC OB →→⋅OC OAC . =⋅→→OB OA =⋅→→OC OB →→⋅OC OAD . <⋅→→OB OA =⋅→→OC OB →→⋅OC OA11．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，平面ABCD ，⊥NB 平面ABCD ，==BN MD G 为MC 的中点，则下列结论中不正确的是 （ A .AN MC ⊥ B .GB ∥平面AMNC .面⊥CMN 面AMND .面DCM ∥面ABN12.已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，23=OK ，且圆O与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60，则球O 的表面积等于（ ）A .π12B .π16C .π9D .π24二、填空题:（每小题4分 满分16分）13．已知直线07125=-+y x 和01210=++my x 互相平行，则它们之间的距离等于 ．14．在ABC ∆中，14,10,6===c b a ，则ABC ∆的面积为 ．15．已知→a,3=5=→b ，且向量→a 在向量→b 方向上的投影是512，则→→⋅b a = ．16．已知数列{}n a 中，,3619,6521==a a 且数列{}nb 是公差为1-的等差数列，其中.3log 12⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n a a b 数列{}n c 是公比为31的等比数列，其中21nn n a a c -=+，则数列{}n a 的通项公式为=n a三、解答题:（本题满分66分,解答题写出必要的解题步骤和文字说明.） 17.已知等差数列{}n a 中，.3,131-==a a 数列{}n a 的前n 项和n S ．（1）求数列{}n a 的通项公式（4分）（2）若35-=k S ，求k 的值．（4分）18.在直四棱柱1111D C B A ABCD -中31=AA ,2==DC AD ,1=AB ,DC AD ⊥,AB ∥CD ．（1）设E 为DC 的中点，求证：E D 1∥平面BD A 1；（5分） （2）求二面角11C BD A --的余弦值．（5分）19.已知圆C ：1622=+y x ，点P ()7,3． （1）求以点P ()7,3为切点的圆C 的切线所在的直线方程；（6分）（2）求经过点P ()7,3且被圆C :1622=+y x 截得的弦长为72的直线方程（6分） 20．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.（1）若,cos 26sin A A =⎪⎭⎫ ⎝⎛+π求A 的值；（6分）（2）若,3,31cos c b A ==求C sin 的值．（6分）21．等比数列{}n a 中，321,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某个数，且321,,a a a 中的求数列{}n a 的通项公式；（6分） 若数列{}n b 满足：,23log 9n n n a a b +=求{}n b 的前n 项的和．（6分）22.已知过点)0,1(-A 的动直线l 与圆C：4)3(22=-+y x 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：063=++y x相交于N .（１）当l 与m 垂直时，求直线l 的方程；（3分） （２）当22=PQ 时，求直线l 的方程；（4分） （３）探索AN AM ⋅是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明是什么关系？．（5分）第22题。
河北省衡水市高一数学下学期期末试卷 理(含解析)-人教版高一全册数学试题
2016-2017学年某某省某某市高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．）1．下列数列中不是等差数列的为（）A．6，6，6，6，6 B．﹣2，﹣1，0，1，2 C．5，8，11，14 D．0，1，3，6，10．2．已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）A．2 B．3 C．6 D．93．在△A BC中内角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2=b2+c2﹣bc，则角A=（）A．60° B．120°C．30° D．150°4．已知等差数列{a n}中，a2=2，d=2，则S10=（）A．200 B．100 C．90 D．805．已知{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，则S3=（）A．12 B．16 C．18 D．246．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（）A．180 B．200 C．128 D．1627．定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”．若已知正数数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又b n=，则+++…+=（）A．B．C．D．8．在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，则•=（）A．B．﹣ C．3 D．﹣39．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（）海里．A．10B．20C．10D．2010．数列{a n}满足，则a n=（）A．B．C．D．11．在△ABC中，若sin（A+B﹣C）=sin（A﹣B+C），则△ABC必是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形12．△ABC外接圆半径为R，且2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，则角C=（）A．30° B．45° C．60° D．90°二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分．）13．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为．14．若数列{a n}满足，则a2017=．15．已知正项等比数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n（n∈N*），且，则S4=．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．三、解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤）17．在△ABC中，a，b，c分别为A、B、C的对边，且满足2（a2﹣b2）=2accosB+bc（1）求A（2）D为边BC上一点，CD=3BD，∠DAC=90°，求tanB．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣3n（n∈N+）．（1）求a1，a2，a3的值；（2）是否存在常数λ，使得{a n+λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n，若不存在，请说明理由．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1=1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．20．在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．21．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设=a n+b n，求数列{}的前n项和．22．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c=2，求a的取值X围．2016-2017学年某某省某某市安平中学高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．）1．下列数列中不是等差数列的为（）A．6，6，6，6，6 B．﹣2，﹣1，0，1，2 C．5，8，11，14 D．0，1，3，6，10．【考点】83：等差数列．【分析】根据等差数列的定义，对所给的各个数列进行判断，从而得出结论．【解答】解：A，6，6，6，6，6常数列，公差为0；B，﹣2，﹣1，0，1，2公差为1；C，5，8，11，14公差为3；D，数列0，1，3，6，10的第二项减去第一项等于1，第三项减去第二项等于2，故此数列不是等差数列．故选：D．2．已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）A．2 B．3 C．6 D．9【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由等差中项的性质，利用已知条件，能求出m，n，由此能求出m和n的等差中项．【解答】解：∵m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，∴，解得m=4，n=2，∴m和n的等差中项===3．故选：B．3．在△A BC中内角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2=b2+c2﹣bc，则角A=（）A．60° B．120°C．30° D．150°【考点】HR：余弦定理．【分析】由已知及余弦定理可求cosA的值，结合X围A∈（0°，180°），利用特殊角的三角函数值即可得解A的值．【解答】解：在△A BC中，∵a2=b2+c2﹣bc，∴可得：b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，∵A∈（0°，180°），故选：A．4．已知等差数列{a n}中，a2=2，d=2，则S10=（）A．200 B．100 C．90 D．80【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的通项公式，可得首项，再由等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：等差数列{a n}中，a2=2，d=2，a1+d=2，解得a1=0，则S10=10a1+×10×9d=0+45×2=90．故选：C．5．已知{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，则S3=（）A．12 B．16 C．18 D．24【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】推导出a3，a4是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根，|a3|＞|a4|，解方程，得a3=4，a4=﹣2，由等比数列通项公式列出方程组，求出，由此能求出S3．【解答】解：∵{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，∴a3a4=a2a5=﹣8，∴a3，a4是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根，|a3|＞|a4|，解方程，得a3=4，a4=﹣2，∴，解得，∴S3===12．6．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（）A．180 B．200 C．128 D．162【考点】81：数列的概念及简单表示法．【分析】0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n=2n2．即可得出．【解答】解：由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n=2n2．则此数列第20项=2×102=200．故选：B．7．定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”．若已知正数数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又b n=，则+++…+=（）A．B．C．D．【考点】8E：数列的求和．【分析】直接利用给出的定义得到=，整理得到S n=2n2+n．分n=1和n ≥2求出数列{a n}的通项，验证n=1时满足，所以数列{a n}的通项公式可求；再利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：由已知定义，得到=，∴a1+a2+…+a n=n（2n+1）=S n，即S n=2n2+n．当n=1时，a1=S1=3．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n2+n）﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）]=4n﹣1．当n=1时也成立，∴a n=4n﹣1；∵b n==n，∴==﹣，∴+++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∴+++…+=，故选：C8．在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，则•=（）A．B．﹣ C．3 D．﹣3【考点】HR：余弦定理；9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，把已知等式及cosB的值代入求出ac的值，原式利用平面向量的数量积运算法则变形，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，∴由余弦定理得：cosB=====，即ac=2，则•=﹣cacosB=﹣．故选：B．9．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（）海里．A．10B．20C．10D．20【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】根据题意画出图象确定∠BAC、∠ABC的值，进而可得到∠ACB的值，根据正弦定理可得到BC的值．【解答】解：如图，由已知可得，∠BAC=30°，∠ABC=105°，AB=20，从而∠ACB=45°．在△ABC中，由正弦定理可得BC=×sin30°=10．故选：A．10．数列{a n}满足，则a n=（）A．B．C．D．【考点】8H：数列递推式．【分析】利用数列递推关系即可得出．【解答】解：∵，∴n≥2时，a1+3a2+…+3n﹣2a n﹣1=，∴3n﹣1a n=，可得a n=．n=1时，a1=，上式也成立．则a n=．故选：B．11．在△ABC中，若sin（A+B﹣C）=sin（A﹣B+C），则△ABC必是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【考点】HX：解三角形．【分析】结合三角形的内角和公式可得A+B=π﹣C，A+C=π﹣B，代入已知sin（A+B﹣C）=sin （A﹣B+C）化简可得，sin2C=sin2B，由于0＜2B＜π，0＜2C＜π从而可得2B=2C或2B+2C=π，从而可求【解答】解：∵A+B=π﹣C，A+C=π﹣B，∴sin（A+B﹣C）=sin（π﹣2C）=sin2Csin（A﹣B+C）=sin（π﹣2B）=sin2B，则sin2B=sin2C，B=C或2B=π﹣2C，即．所以△ABC为等腰或直角三角形．故选C12．△ABC外接圆半径为R，且2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，则角C=（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】HR：余弦定理．【分析】先根据正弦定理把2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB中的角转换成边可得a，b和c的关系式，再代入余弦定理求得cosC的值，进而可得C的值．【解答】解：△ABC中，由2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，根据正弦定理得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2，∴cosC==，∴角C的大小为30°，故选A．二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分．）13．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为120°．【考点】HR：余弦定理．【分析】直接利用余弦定理求出7所对的角的余弦值，求出角的大小，利用三角形的内角和，求解最大角与最小角之和．【解答】解：根据三角形中大角对大边，小角对小边的原则，所以由余弦定理可知cosθ==，所以7所对的角为60°．所以三角形的最大角与最小角之和为：120°．故答案为：120°．14．若数列{a n}满足，则a2017= 2 ．【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}满足a1=2，a n=1﹣，可得a n+3=a n，利用周期性即可得出．【解答】解：数列{a n}满足a1=2，a n=1﹣，可得a2=1﹣=，a3=1﹣2=﹣1，a4=1﹣（﹣1）=2a5=1﹣=，…，∴a n+3=a n，数列的周期为3．∴a2017=a672×3+1=a1=2．故答案为：215．已知正项等比数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n（n∈N*），且，则S4= 15 ．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由题意先求出公比，再根据前n项和公式计算即可．【解答】解：正项等比数列{a n}中，a1=1，且，∴1﹣=，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），∴S4==15，故答案为：15．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．【考点】HX：解三角形．【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．三、解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤）17．在△ABC中，a，b，c分别为A、B、C的对边，且满足2（a2﹣b2）=2accosB+bc （1）求A（2）D为边BC上一点，CD=3BD，∠DAC=90°，求tanB．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）将2（a2﹣b2）=2accosB+bc化解结合余弦定理可得答案．（2）因为∠DAC=，所以AD=CD•sinC，∠DAB=．利用正弦定理即可求解．【解答】解：（1）由题意2accosB=a2+c2﹣b2，∴2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．整理得a2=b2+c2+bc，由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA可得：bc=﹣2bccosA∴cosA=﹣，∵0＜A＜π∴A=．（Ⅱ）∵∠DAC=，∴AD=CD•sinC，∠DAB=．在△ABD中，有，又∵CD=3BD，∴3sinC=2sinB，由C=﹣B，得cosB﹣sinB=2sinB，整理得：tanB=．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣3n（n∈N+）．（1）求a1，a2，a3的值；（2）是否存在常数λ，使得{a n+λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n，若不存在，请说明理由．【考点】8D：等比关系的确定；81：数列的概念及简单表示法．【分析】（1）分别令n=1，2，3，依次计算a1，a2，a3的值；（2）假设存在常数λ，使得{a n+λ}为等比数列，则（a2+λ）2=（a1+λ）（a3+λ），从而可求得λ，根据等比数列的通项公式得出a n+λ，从而得出a n．【解答】解：（1）当n=1时，S1=a1=2a1﹣3，解得a1=3，当n=2时，S2=a1+a2=2a2﹣6，解得a2=9，当n=3时，S3=a1+a2+a3=2a3﹣9，解得a3=21．（2）假设{a n+λ}是等比数列，则（a2+λ）2=（a1+λ）（a3+λ），即（9+λ）2=（3+λ）（21+λ），解得λ=3．∴{a n+3}的首项为a1+3=6，公比为=2．∴a n+3=6×2n﹣1，∴a n=6×2n﹣1﹣3．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1=1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）由已知数列递推式可得a n+1=2a n，再由数列{a n}是等比数列求得首项，并求出数列通项公式；（2）把数列{a n}的通项公式代入数列，可得数列是递减数列，可知当n=9时，数列的项为正数，n=10时，数列的项为负数，则答案可求．【解答】解：（1）由a n+1=1+S n得：当n≥2时，a n=1+S n﹣1，两式相减得：a n+1=2a n，∵数列{a n}是等比数列，∴a2=2a1，又∵a2=1+S1=1+a1，解得：a1=1．得：；（2），可知数列是一个递减数列，∴，由此可知当n=9时，数列的前项和T n取最大值．20．在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【考点】HX：解三角形；HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角，∴sinA=，∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．21．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设=a n+b n，求数列{}的前n项和．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；（2）求得=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．22．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c=2，求a的取值X围．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得，由0＜B+C＜π，可求，进而可求A的值．（Ⅱ）根据余弦定理，得a2=（b﹣1）2+3，又b+c=2，可求X围0＜b＜2，进而可求a的取值X围．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得，化简得，整理得，即，由于0＜B+C＜π，则，所以．（Ⅱ）根据余弦定理，得=b2+c2+bc=b2+（2﹣b）2+b（2﹣b）=b2﹣2b+4=（b﹣1）2+3．又由b+c=2，知0＜b＜2，可得3≤a2＜4，所以a的取值X围是．。
福建省福州市部分学校教学联盟2023-2024学年高一下学期期末模拟考试数学试题
福建省福州市部分学校教学联盟2023-2024学年高一下学期期末模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．已知ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,则下列命题正确的是（ ）A ．若sin sin a A b B =,则ABC V 一定为等腰三角形B ．若A B >,则cos cos A B>C ．若::3:5:7a b c =,则ABC V 的最大内角为120o D ．若ABC V 为锐角三角形,则sin cos A B>10．在图示正方体中，O 为BD 中点，直线1A C I 平面1C BD M =，下列说法正确的是（ ）．A ．A ，C ，1C ，1A 四点共面B ．1C ，M ，O 三点共线C ．M Î平面11BBD DD ．1AC 与BD 异面11．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别是棱AD ，1DD ，CD 的中点，则下列说法正确的有（ ）14．中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条111ABC A B C -中，AA 积之比是 .四、解答题15．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为(1)求A ；(2)若ABC V 的面积为3,BC 边上的高为16．如图1，在边长为4的正方形球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱111ABC A B C -的高．【详解】由正方体性质，11//AA CC ，所以A ，C ，1C ，1A 四点共面，A 正确；直线1AC 交平面1C BD 于点M ，M \Î平面1C BD ，M Î直线1AC ，又1AC Ì平面11ACC A ，M \Î平面11ACC A ，O Q 为DB 的中点，BD Ì平面1C BD ，底面ABCD 为正方形，所以O 为AC 的中点，O \Î平面1C BD ，且O Î平面11ACC A ，又1C Î平面1C BD ，且1C Î平面11ACC A ，面1C BD 与面11ACC A 相交，则1C ，M ，O 在交线上，即三点共线，故选项B 正确；平面11BB D D Ç平面1C BD BD =，M Î平面1C BD ，但M BD Ï，所以M Ï平面11BB D D ，C 错误；1A C I 平面ABCD C =，BD Ì面ABCD ，C BD Ï，所以1AC 与BD 为异面直线，D 正确.故选：ABD 11．ABC【分析】对于A 项，通过证明11EG A C ∥,说明直线11,AG C E共面；对于B 项，三棱锥的体积问题，大都是通过等体积转化，使其易于求解即可；对于C ：作出二面角11D AC B --的平面角，计算其余弦值，可判断C ；对于D 项，关键是寻找到经过三点的正方体的截面，然后求其面积即可.【详解】。
四川省广安市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学(含解析)
秘密★启用前广安市2023—2024学年度下期期末教学质量检测高一数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5.考试结束后，只将答题卡交回.第I 卷（选择题，共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数所表示的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.从小到大排列的数据的第三四分位数为（）A.B.9C.D.103.复数满足，则（ ）A. B.C.D.4.如图，在梯形中，在上，且，设，则（）A. B.C. D.()3i 1i -1,2,3,7,8,9,10,11172192z 1i22iz z +-=+z =31i 515--31i 515-+11i 155-11i 155+ABCD 2,AB DC E =BC 12CE EB =,AB a AD b == DE =1233a b + 1233a b - 2133a b + 2133a b -5.已知表示两条不同直线，表示平面，则（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则6.一艘船向正北航行，在处看灯塔在船的北偏东方向上，航行后到处，看到灯塔在船的北偏东的方向上，此时船距灯塔的距离（即的长）为（）B. C. D.7.在复平面内，满足的复数对应的点为，复数对应的点为，则的值不可能为（ ）A.3B.4C.5D.68.已知下面给出的四个图都是正方体，为顶点，分别是所在棱的中点.则满足直线的图形的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.为普及居民的消防安全知识，某社区开展了消防安全专题讲座.为了解讲座效果，随机抽取14位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份消防安全知识问卷，这14位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的得分如图所示，下列说法正确的是（）,m n α,m n α⊥∥αm n ⊥m ∥,n α∥αm ∥n ,m m n α⊥⊥n ∥αm ∥,m n α⊥n α⊥A S 30 10nmile B S 75 S BS 5i11iz --=-z Z 1i --0Z 0Z Z ,A B ,E F AB EF ⊥A.讲座前问卷答题得分的中位数小于70B.讲座后问卷答题得分的众数为90C.讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差D.讲座前问卷答题得分的极差大于讲座后得分的极差10.若平面向量满足.则（ ）A.B.向量与的夹角为C. D.在上的投影向量为11.如图，在棱长为1的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点.且平面，则（）A.在侧面B.异面直线与所成角的最大值为C.三棱锥的体积为定值D.直线与平面所成角的正切值的取值范围是第II 卷（非选择题，共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某学校高中二年级有男生600人，女生400人，为了解学生的身高情况，现按性别分层，采用比例分配,a b2a b a b ==+= 2a b ⋅=-aa b -π3a b -= a b - a 32a1111ABCD A B C D -M 11A B P 11CDD C MP ∥1AB C P 11CDD C AB MP π21A PB C -124MP 11ABB A ⎡⎣的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，则所抽取的男生人数为__________.13.已知的内角的对边分別为，且边上的高为则__________.14.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体.如图是以一个正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有8个面为正三角形，6个面为正方形的“阿基米德多面体”，包括在内的各个顶点都在球的球面上.若为球上的动点，记三棱锥体积的最大值为，球的体积为.则__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知复数（其中.（1）若为实数，求的值；（2）当时，复数是方程的一个根，求实数的值.16.（15分）已知向量.（1）若与垂直，求实数的值；（2）已知为平面内四点，且.若三点共线，求实数的值.17.（15分）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：），将全部数据按区间分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.ABC V ,,A B C ,,a b c ()πsin π,6,2A A b BC ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭c =,,A B C O P O P ABC -1V O V 1V V=122i,i z m z m =-=-)m ∈R 12z z m 1m =12z z ⋅220x px q ++=,p q ()()1,2,3,2a b =-=2ka b - 2a b + k ,,,O A B C ()2,3,3,2OA a b OB a b OC m m =+=+=-,,A B C m kg [)[)[]50,60,60,70,,90,100（1）求图中的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果？18.（17分）从①；②；③.这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题记的内角的对边分别为，已知__________.（1）求角的大小；（2）若点在上，平分.求的长；（3的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.19.（17分）我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”.现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，为线段的中点，为线段上的动点.（1）平面与平面是否垂直？若垂直，请证明，若不垂直，请说明理由；（2）求二面角的大小；（3）若直线平面，求直线与平面所成角的正弦值.a 85%()cos sin a a C B C +=+πsin 62a b c B +⎛⎫+= ⎪⎝⎭()sin sin sin B A C A -=-ABC V ,,A B C ,,a b c C D AB CD ,2,ACB a c ∠==CD a ABCD PA ⊥,ABCD PA AB =E PB F BC AEF PBC B PC D --PC ∥AEF AB AEF数学试题参考答案及评分标准一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.【命题意图】本小题主要考查复数的代数运算及其几何意义，考查化归与转化等数学思想，考查数学抽象､数学运算等数学核心素养.【答案】C【解析】，故所表示的点位于第三象限.2.【命题意图】本小题主要考查四分位数等基础知识，考查数学抽象等数学核心素养.【答案】C【解析】由于，该组数据的第三四分位数为9和10的平均数.3.【命题意图】本小题主要考查复数的代数运算､共轭复数等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学运算等数学核心素养.【答案】B【解析】设，则，即，所以且，即，所以.4.【命题意图】本小题主要考查平面向量的线性运算的几何意义等基础知识，考查数学抽象､直观想象､数学运算等数学核心素养.【答案】D【解析】依题意，.5.【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面等基础知识，考查化归与转化､数形结合等数学思想，考查推理论证､空间想象､运算求解等数学能力.【答案】A【解析】若，则，故A 正确；若，则相交或平行或异面，故B 错误；若，则或，故C 错误；若，则或或()343i 1i i i 1i -=-+=--()3i 1i -875%6⨯=192()i ,z a b a b =+∈R ()()1i 2i 31i 22i i 555a b a b +-+-+==+313i i 55a b -+=+35a -=135b =31,515a b =-=31i 515z =-+23DE AE AD AB BE AD AB BC AD=-=+-=+-()()2233AB AC AB AD AB AD DC AB AD=+--=++-- 212121323333AB AD AB AB AD AB AD a b ⎛⎫=++--=-=- ⎪⎝⎭,m n α⊥∥αm n ⊥m ∥,n α∥α,m n ,m m n α⊥⊥n ∥αn α⊂m ∥,m n α⊥n ∥αn α⊂或与相交，故D 错误.6.【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理的应用等基础知识，考查化归与转化､数形结合等数学思想，考查数学抽象､运算求解等数学核心素养.【答案】B【解析】在中，，依据正弦定理，，则.7.【命题意图】本小题主要考查复数运算的几何意义，复数与向量的关系等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学抽象､逻辑推理､数学运算等数学核心素养.本小题根据习题7.2第8题内容创编.【答案】A 【解析】依题意，，点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，故只需求和之间距离的取值范围即可，点，则，故的值不可能等于3.8.【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面位置关系等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查空间想象等数学能力.本小题根据第8.6节例2､习题8.6第11题等题创编.【答案】D【解析】对于图①和图②，分别取如图所示的棱中点，易证平面，则，故图①和图②均符合题意；对于图③，连接，易证平面，则，图③符合题意；对于图④，取如图所示的棱的中点，易证，于是平面，所以，故图④符合题意.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.【命题意图】本小题主要考查统计图的识别､统计量的意义等基础知识，考查了数学抽象､数据处理等数学核心素养.【答案】ACD【解析】由图可知，讲座前问卷答题的得分的中位数应该小于，A 正确；讲座后问卷答题的得分的众n α⊥n αABS V 45ASB ∠= sin sin30AB BSASB ∠=10sin30sin45BS ==()()5i 1i 5i 32i 1i 2-+-==+-Z ()3,20Z Z 0Z 5=046Z Z……0Z ZG AB ⊥EFG AB EF ⊥AC EF ⊥ABC AB EF ⊥G ,AB EG AB FG ⊥⊥AB ⊥EFG AB EF ⊥70数为95，B 错误；讲座前问卷答题得分比讲座后波动大，故讲座前问卷答题的得分的方差大于讲座后得分的方差，C 正确；由图可知，讲座前问卷答题的得分的极差大于讲座后得分的极差，D 正确.10.【命题意图】本小题主要考查平面向量的线性运算及其几何意义，平面向量的数量积等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学抽象､数学运算､直观想象等素养.【答案】AD【解析】方法1：由于，则，得正确；，则，C 错误；又，所以，则向量与的夹角为，B 错误；在上的投影向量为正确.方法2：根据向量加法的平行四边形法则，满足条件的向量构成如图所示的平行四边形，且，则，A 正确；向量与的夹角为错误；C 错误；在上的投影向量为，D 正确.11.【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和相关计算，考查推理论证､空间想象､运算求解等数学能力.【答案】ABD【解析】如图，取的中点，取的中点，取的中点，依题意，，易证，则，可知，四点共面，又平面平面，所以平面，同理，平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面，于是，在侧面的轨迹即为线段，由，得，则A 正确；当在处时，此时直线，即异面直线与所成角的最大值为，B 正确；由上可2a b a b ==+= 222||2824a b a b a b a b +=++⋅=+⋅= 2,A a b ⋅=-()222||282212a b a b a b -=+-⋅=-⨯-= a b -= ()26a a b a a b ⋅-=-⋅= ()cos ,a a b a a b a a b ⋅--===⋅- a a b -π6a b - a ()2423,D 222a ab a a a b a a a a a a a ⋅--⋅+⋅=⋅=⋅=,a b2π,3a b = 2πcos23a b a b ⋅=⋅=- a a b - π,B 6a b -= a b- a 32a 1CC R CD N 11B C H 1B C ∥HR MN ∥1B C MN ∥HR ,,M N R H HR ⊄11,AB C B C ⊂1AB C HR ∥1AB C MH ∥1AB C ,,HR MH H HR MH ⋂=⊂MNRH MNRH ∥1AB C MP ⊂MNRH MP ∥1AB C P 11CDD C NR 1AB =NR ==P N AB MP ⊥AB MP π2知，平面，则线段上的点到平面的距离为定值的面积也为定值，则（定值），C 错误；由于平面平面，故直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，取的中点，连接，则平面，故是直线与平面所成的角，且，则，D 正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计抽样问题，主要考查分层抽样方法相关知识；考查运算求解能力，抽象概括能力.本小题源于教材必修第二册“巩固复习”第5题.【答案】30【解析】该学校高二年级学生中，男生占比为，则所抽取的男生人数为.13.【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查化归与转化等数学思想，考查推理论证､运算求解等数学能力.【答案】3【解析】依题意得，则，因为，所以的面积，即，根据余弦定理，得，则有，解得.14.【命题意图】本小题主要考查几何体中的相关运算，体积公式等知识，考查化归与转化等数学思想，考查空间想象､运算求解等数学能力.NR ∥1AB C NR 1AB C 01,hAB C V 111111111132212A PBC P AB C N AB C B ANC V V V V ----⎛⎫====⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭11ABB A ∥11CDD C MP 11ABB A MP 11CDD C 11C D Q PQ MQ ⊥11CDD C MPQ ∠MP 11CDD C 1tan MQ MPQ PQ PQ ∠==1PQ …1tan MPQ ∠……188P 60036004005=+350305⨯=sin A A -=tan A =()0,πA ∈2π.3A ABC =V 112π6sin223ABC S c ==⨯V a =22366a c c =++260c c --=3c =【解析】根据图形可知，该阿基米德多面体是由一个正方体切去八个角得到的，该多面体的外接球球心与正方体的外接球球心相同，设该多面体的棱长为1，可知球的半径为1为如图正方体中与点等距的一个顶点，设三棱锥的高为，由，得，球心到平面距离为，三棱锥，故其体积的最大值，所以四､解答题：本题共5小题，共77分.15.（13分）【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查复数的概念及代数运算等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学抽象､数学运算等数学核心素养.【解析】（1），因为为实数，所以，解得.故为实数时，的值为.（2）当时，，O Q A B C ､､Q ABC -h Q ABC A QBC V V --=21111332h ⎛⨯=⨯ ⎝h =O ABC 122-=P ABC -11113V ⎫=+=⎪⎪⎭14π3V V ==()()()2122232i2i i 2i i 11m m m m z m z m m m+--+-===-++12z z 220m -=m =12z z m 1m =122i,1i z z =-=-则复数，因为是方程的一个根，所以，化简得，由解得16.（15分）【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查平面向量线性运算､数量积､共线向量及其坐标运算等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学抽象､数学运算等数学核心素养.【解析】（1），则，因为与垂直，所以，解得.（2），，，，因为三点共线，所以.所以，解得.17.（15分）【命题意图】本小题设置生活实践情景，设计水果进货规划问题，考查平均数､百分位数等统计量的计算，样本估计总体，决策等相关知识；考查统计概率思想；运算求解能力和应用能力.本小题源于教材必修第二册P 223复习参考题“综合运用”第9题编制.【解析】（1）由直方图可得，样本落在的频率分别为，由()()122i 1i 13i z z ⋅=--=-13i -220x px q ++=()22(13i)13i 0p q -+-+=()16123i 0p q p +--+=()160,1230,p q p +-=⎧⎨-+=⎩4,20.p q =-⎧⎨=⎩()()()21,223,26,42ka b k k k -=--=--- ()()()221,23,25,2a b +=-+=- 2ka b - 2a b +()()562420k k ----=229k =()()()21,223,27,2OA a b =+=-+= ()()()331,23,26,4OB a b =+=-+=- ()()()6,47,21,6AB OB OA =-=--=-- ()()()3,27,237,22AC OC OA m m m m =-=--=--- ,,A B C AB ∥AC()()22637m m ---=-⨯-2m =[)[)[]50,60,60,70,,90,100 10,10,0.2,0.4,0.3a a，解得.则样本落在频率分别为，所以，该苹果日销售量的平均值为.（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数.方法1：依题意，日销售量不超过90kg 的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，设为，则，解得.所以，每天应该进95kg 苹果.方法2：依题意，日销售量不超过90kg 的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，所以日销售量的分位数为.所以，每天应该进95kg 苹果.18.（17分）【命题意图】本小题主要考查正弦定和余弦定理等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查推理论证､运算求解等数学能力.【解析】（1）若选条件①，依题意，得，根据正弦定理得，因为，所以，则，，所以.又，则，所以.若选条件②.由正弦定理得，10100.20.40.31a a ++++=0.005a =[)[)[]50,60,60,70,,90,100 0.05,0.05,0.2,0.4,0.3()5060607070808090901000.050.050.20.40.383.5kg 22222+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=85%85%10.03100.7-⨯=85%[]90,100()kg x ()0.031000.15x ⨯-=()95kg x =10.03100.7-⨯=85%[]90,10085%()0.850.7901095kg 10.7-+⨯=-cos sin a a C A +=sin sin cos sin A A C C A +=π02A <<sin 0A >1cos C C +=cos 1C C -=11cos 22C C -=π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πC <<ππ66C -=π3C =πsin sin sin sin 62A B C B +⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以，，，即.因为，所以，所以.若选条件③在中，因为，所以，即，化简得.又，则，故.因为，所以.（2）依题意，，即，则在中，根据余弦定理，有，即，解得或（舍去），所以（3）依题意，的面积，所以.又为锐角三角形，且，则，所以.()sin sin 1sin sin sin cos 222B C B A B C B B ⎫++++==⎪⎪⎭sin cos cos sin sin 2B C B C B ++=sin sin cos sin cos cos sin sin C B C B B C B C B +=++sin sin cos sin C B B C B =+cos 1C C -=π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()0,πC ∈ππ66C -=π3C =ABC V ()sin sin sin ,πB A C A A B C -=-++=()()sin sin sin C A A C A +-=-sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A C A A C A C A +-=-sin 2cos sin A C A =()0,πA ∈sin 0A ≠1cos 2C =0πC <<π3C =1π1π1πsin sin sin 262623a CDb CD ab ⋅⋅+⋅⋅=⋅()a b CD +⋅=CD =ABC V 22222π2cos 3c a b ab a b ab =+-=+-2742b b =+-3b =1a =-CD ==ABC V 11sin 22ABC S ab C ab ===V 4ab =ABC V π3C =2ππ0,32A B ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭π2π63B <<又，则，所以.由正弦定理，得，所以，所以，所以的取值范围为.19.（17分）【命题意图】本小题设置探索创新情境，设计空间直线､平面的位置关系问题，主要考查直线与平面的位置关系､直线与平面所成角､二面角等基础知识；考查直观想象､逻辑推理､数学运算等数学核心素养.本小题源于教材必修第二册P 164习题8.6“拓展探索”第21题.【解析】（1）平面平面.理由如下：因为平面平面，所以，因为，又.所以平面，故.在中，为的中点，所以.因为平面平面，所以平面.又平面，所以平面平面.π02B <<ππ62B <<tan B >sin sin a b A B =sin sin b A a B =22πsin 3sin ab B a B⎛⎫- ⎪⎝⎭=14sin 222sin B B B ⎫+⎪⎝⎭==+228a <<a <<a AEF ⊥PBC PA ⊥,ABCD BC ⊂ABCD PA BC ⊥BC AB ⊥PA AB A ⋂=BC ⊥PAB BC AE ⊥PAB V ,PA AB E =PB AE PB ⊥PB ⊂,PBC BC ⊂,PBC PB BC B ⋂=AE ⊥PBC AE ⊂AEF AEF ⊥PBC（2）不妨设，计算可得又，所以，则，作于，连结，又，可知，所以，所以是二面角的平面角在中，由，，则，连结，知，在中，根据余弦定理，得，所以.（3）因为直线平面平面，平面平面，所以直线直线.又为线段的中点，所以为线段上的中点.由（2）知，所以.设与交点为，连结，由（1）知，平面平面，平面平面，所以平面.所以直线与平面所成角为.又由为上的中点，可得为的中点，1AB =PB PD PC ====,,PB PD BC DC PC PC ===PBC PDC ≅V V PCB PCD ∠∠=BG PC ⊥G DG ,BC DCCG CG ==GBC GDC ≅V V 90DGC BGC ∠∠== BGD ∠B PC D --Rt PBC V PC BG PB BC ⋅=⋅1=BG DG ==BD BD =GBD V 222cos 2BG DG BD BGD BG DG∠+-=⋅12==-120BGD ∠= PC ∥,AEF PC ⊂PBC PBC ⋂AEF EF =PC ∥EF E PB F BC BG PC ⊥BG EF ⊥BG EF H AH AEF ⊥PBC AEF ⋂PBC EF =BH ⊥AEF AB AEF BAH ∠PC ∥,EF F BC H BG可知，，又，所以直线与平面.12BH BG ===1AB =sin BH BAH AB ∠==AB AEF。
四川省泸州市古蔺县蔺阳中学校2023-2024学年高一下学期期末模拟考试(一)数学试题
姓名： 班级： .高2023级高一下期期末模拟考试（一）数学试题第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、单选题.1．已知集合{}{}2230,1525x A x x x B x =--<=<<∣∣，则A B =（ ）A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,2)2．若圆锥的母线长为2，且母线与底面所成角为π4，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．B ．2πC ．D ．4π3．已知向量()2a x =，，()36b x =，，则“2x =”是“//a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =，4b =，1sin 2A =，则c =（ ） A ．4B ．C ．3D ．5．若π2cos 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．79- B ．19- C ．19 D ．796．设α，β是两个平面，,m n 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A ．若αβ⊥，//m α，//n β，则m n ⊥ B ．若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβ C ．若m αβ=，//n α，//n β，则//m n D ．若m α⊥，n β⊥，//m n ，则αβ⊥7．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()π2sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()f x 在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 的图象向右平移π4个单位长度后得到的函数是奇函数 D ．()f x 在[]π,π-上的零点有4个8．已知函数()cos f x x x ωω=-，若关于x 的方程()10f x -=在区间(]0,2π上有且只有四个不相等的实数根，则正数ω的取值范围是（ ）A ．37,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．325,26⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．313,26⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．313,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多选题.9．z 、z 互为共轭复数，(1i)2z +=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A ．1i z =+B ．z 在复平面内对应的点在第二象限C ．z 的虚部为i - D．||z =10．设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的有（） A ．2c cd < B ．a c b d -<- C ．ac bd < D ．0c d a b -> 11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AB 上的动点，DF ⊥平面1,D EC F 为垂足，下列结论正确的是（ ）A ．1FD FC =B ．三棱锥1C DED -的体积为定值C ．11ED A D ⊥D ．1BC 与AC 所成的角为45︒第П卷（非选择题 共92分）三、填空题.12．若角α满足tan 2α=，则()()3πsin πcos 2πsin cos π2αααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫---- ⎪⎝⎭13．已知()1,1a =-，()2,0b =，则b 在a 方向上的投影的坐标为 . 25．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，若点O 是线段AC 的中点，则三棱锥1O AA D -的外接球的表面积为 .四、解答题.15．已知向量a 与b 的夹角为π3，且2,3a b ==. (1)求32a b -的值；(2)若()a kb a +⊥，求实数k 的值.姓名： 班级： .16．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足cos cos 2cos b a C c A B +=. (1)求角B 的大小；(2)若cos 3A =，求sin(2)AB +的值；(3)若ABC 的面积为3，3b =，求ABC 的周长.17．已知向量()()()sin ,3sin π,cos ,sin a x x b x x =+=-，函数()3f x a b =⋅-. (1)求()f x 的最小正周期及()f x 图象的对称轴方程；(2)先将()f x 的图象上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移π3个单位长度得到函数()g x 的图象.若函数()2y g x m =-在区间π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围.18．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AB ==，点M 是棱PC 的中点.(1)求证：平面BDM ⊥平面ABCD ；(2)求三棱锥P BDM -的体积.19．已知函数2()(22)log a f x a a x =--是对数函数． （1）若函数()log (1)log (3)a a g x x x =++-，讨论函数()g x 的单调性；（2）在（1）的条件下，若1[,2]3x ∈，不等式()30g x m -+≤的解集非空，求实数m 的取值范围．。
河北省唐山市2023-2024学年高一下学期期末模拟考试数学试卷
河北省唐山市2023-2024学年高一下学期期末模拟考试一、单选题1．已知复数z 满足i 43i z +=，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知a ，b 为单位向量，且0a b ⋅= ，若2c a = ，且a 与c的夹角为θ，则cos θ=（）A ．12B C ．23D ．133．树人中学国旗班共有50名学生，其中男女比例3:2，平均身高174cm ，用等比例分层随机抽样的方法，从中抽取一个容量为20的样本，若样本中男生的平均身高为178cm ，样本中女生人数与女生平均身高的估计值分别为()A ．8人168cmB ．8人170cmC ．12人168cmD ．12人170cm4．已知两条不同直线,m n 与三个不同平面,,αβγ，则下列命题正确的个数是（）.①若αβ⊥，m α⊥，//n β，则m n ⊥②若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ③若αβ⊥，m β⊥，则//m α④若//m α，m n ⊥，则n α⊥A ．0B ．1C ．2D ．35．ABC ∆的内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，已知4b =，c =2sin 3B =，则sin A 的值为A ．6B ．4C D 6．如图所示，点E 为ABC 的边AC 的中点，F 为线段BE 上靠近点B 的四等分点，则AF=（）A ．3588BA BC+B ．5344BA BC+C ．8718BA BC-+D ．3144BA BC-+7．银行定期储蓄存单的密码由6个数字组成，每个数字均是0~9中的一个，小王去银行取一笔到期的存款时，忘记了密码中某一位上的数字，他决定不重复地随机进行尝试，则不超过2次就按对密码的概率为（）A ．9100B ．320C ．19100D ．158．在三棱锥S ABC -中，底面ABC 是边长为3的等边三角形，SA =SB =，若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S AB C --的余弦值为（）A ．12-B ．12C ．13-D ．13二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的第60百分位数是6B ．已知一组数据2、3、5、x 、8的平均数为5，则这组数据的方差是5.2C ．用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D ．若1x 、2x 、L 、10x 的标准差为2，则131x +、231x +、L 、1031x +的标准差是610．对于ABC 有如下命题，其中正确的是（）A ．若222sin sin cos 1ABC ++<，则ABC 为钝角三角形B ．若π3B =，a =，且ABC 有两解，则b 的取值范围是C ．在锐角ABC 中，不等式sin cos A B >恒成立D ．在ABC 中，若60B =︒，2b ac =，则ABC 必是等边三角形11．已知四棱锥S ABCD -的底面是边长为3的正方形，SD ⊥平面,ABCD SAD 为等腰三角形，E 为棱SD 上靠近D 的三等分点，点P 在棱SB 上运动，则（）A ．//SB 平面AECB ．直线CE 与平面SBC C ．AP CP +≥D ．点E 到平面SAC三、填空题12．已知()3,1a =- ，()1,2b =-r，若()()//a b a kb -++ ，则实数k 的值是．13．已知圆柱的两个底面的圆周在体积为323π的球O 的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为．14．已知甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，甲和乙是否命中目标互不影响，且各次射击是否命中目标也互不影响.若按甲､乙､甲､乙…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲､乙共射击了四次的概率是.四、解答题15．设ABC 三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()22cos sin sin sin b A C c B C b +=+.(1)求A 的值；(2)设c ABC = 为锐角三角形，D 是边AC 的中点，求DB AC ⋅的取值范围.16．在直三棱柱111A B C ABC -中，点D ，E 分别为棱AB ，1BB 的中点，点F 在棱1CC 上.(1)试确定点F 的位置，使得平面1//AB F 平面CDE ，并证明；(2)若多面体1DCE AFB -的体积为直三棱柱体积的512，求1C F FC .17．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)40,50，[)[]50,60,,90,100 ，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在[)50,60的平均成绩是54，方差是7，落在[)60,70的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.18．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m 人，按年龄分成5组，其中第一组[)20,25，第二组[)25,30，第三组[)30,35，第四组[)35,40，第五组[]40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．(1)根据频率分布直方图，估计这m 人的平均年龄；现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．(2)若有甲（年龄38)，乙（年龄40)两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；(3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m 人中35~45岁所有人的年龄的方差．19．由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：2n e f -+=，其中n 为顶点数，e 为棱数，f 为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点､棱､面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，12,6e f ==，可以得到顶点数8n =.(1)已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；(2)证明：n 个顶点的凸多面体，至多有36n -条棱；(3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值.答案1．A 2．C 3．A 4．A 5．A 6．C 7．D 8．A 9．BD 10．ACD 11．BC 12．1-13．8π14．110015．（1）因为2(2cos sin )sin sin b A C c B C b +=+，所以利用正弦定理可得2sin (2cos sin )sin sin sin sin B A C C B C B +=+，又B 为三角形内角，sin 0B >，所以22cos sin sin sin 1A C C C +=+，可得1cos 2A =，因为(0,π)A ∈，所以π3A =；（2）c =π3A =；sin sin a b A B=，则1πsin 233sin sin sin 2tan 2C C C B b C C C C ⎫⎛⎫+⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭====+，又ABC 为锐角三角形，则π022ππ032C B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，得ππ62C <<，则tan 3C >，故32tan b C =∈,,211π()||||cos223DB AC CA AB AC AC AB AC ⋅=+⋅=-+⋅2211|22AC AC b =-+=-+ ，即()212f b b =-，二次函数的开口向下，对称轴为2b =，()f b在(2，单调递减，故DB AC ⋅ 的取值范围(f ,f ，即3(3,)8-．16．（1）证明：当点F 为棱1CC 的中点时，平面1//AB F 平面CDE ，证明如下：由点,D E 分别为1,AB BB 的中点，可得1//DE AB ，因为1AB ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，可得1AB //平面CDE ，又因为11,//CF B E CF B E =，可得四边形1CFB E 是平行四边形，可得1//B F CE ，因为1FB ⊄平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，可得1//FB 平面CDE ，又因为111AB FB B = ，且11,AB FB ⊂1AB F ，所以平面1//AB F 平面CDE .（2）解：设ABC 的面积为S ，1AA h =，可得直三棱柱111A B C ABC -的体积为Sh ，多面体1DCE AFB -的体积为直三棱柱体积的512，即为512Sh ，由三棱锥E CDB -的体积为111132212S h Sh ⨯⨯=，可得四棱锥111B AA C F -的体积为15112122Sh Sh Sh Sh --=，设1,C F x AC b ==，点B 到侧面11AAC C 的距离为d ，则1111()3222d x h b h b d ⨯+⋅=⋅⋅⋅，解得12x h =，则11C F FC =.17．（1）因为每组小矩形的面积之和为1，所以()0.0050.0100.0200.0250.010101a +++++´=，则0.030a =.（2）成绩落在[)40,80内的频率为()0.0050.0100.0200.030100.65+++⨯=，落在[)40,90内的频率为()0.0050.0100.0200.0300.025100.9++++⨯=，设第75百分位数为m ，由()0.65800.0250.75m +-⨯=，得84m =，故第75百分位数为84.（3）由图可知，成绩在[)50,60的市民人数为1000.110⨯=，成绩在[)60,70的市民人数为1000.220⨯=，故这两组成绩的总平均数为21054662061020⨯=++⨯，由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：2221020s 7(5462)4(6662)373030⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦.18．（1）解：设这m 人的平均年龄为x ，则22.50.127.50.3532.50.2537.50.242.50.131.75x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（岁)；（2）由频率分布直方图可知各组的频率之比为2:7:5:4:2，第四组应抽取420427542⨯=++++人，记为A ，B ，C ，甲，第五组抽取220227542⨯=++++人，记为D ，乙，对应的样本空间为{(,)A B Ω=，(A,C)，(A ，甲），(A ，乙），(,)A D ，(,)B C ，(B ，甲），(B ，乙），(,)B D ，(C ，甲）(C ，乙），(,)C D ，（甲，乙），（甲，)D ，（乙，)}D ，共15个样本点．分设事件M =“甲、乙两人至少一人被选上”，则{(M A =，甲），(A ，乙），(B ，甲），(B ，乙），(C ，甲），(C ，乙），（甲，乙），（甲，)D ，（乙，)}D ，共有9个样本点，所以()93()()155n M P M n ===Ω；（3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4x ，5x ，方差分别为24s ，25s ，则436x =，542x =，2452s =，251s =，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z ，方差为2s ；则45424362423866x x z ±⨯+⨯===，()][(){}()][()22222224455115424363821423810662s s x z s x z ⎧⎫⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⨯+-+⨯+-=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭，因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此可估计这m 人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为1019．（1）设足球有m 个正五边形，则有32m -个正六边形，足球的顶点()56323m m n +-=，棱数()56322m m e +-=，由欧拉公式得()()5632563232232m m m m +-+--+=，解得12m =，即此足球中有12个面为正五边形，所以此足球的棱数()5632902m m e +-==.（2）由n 个顶点的凸多面体，其面数尽可能多，那么相当于每一个面尽可能均为三角形，当棱数最多时，该凸多面体每一个面均为三角形，此时32f e =，即23f e =，又2n e f -+=，即223e n e -+=，解得36e n =-，故n 个顶点的凸多面体，至多有36n -条棱.（3）设正多面体每个顶点有p 条棱，每个面都是正q 边形，则此多面体棱数22qf pne ==，,3p q ≥，即pn f q =，由欧拉公式2n e f -+=，得422qn q p qp=+-，所以220q p qp +->，即1112q p +>，即1111112236p q >-≥-=，所以6p <，当3p =时，6q <，所以3,4,5q =，4,8,20n =，6,12,30e =；当4p =时，4q <，所以3q =，6n =，12e =；当5p =时，103q <，所以3q =，12n =，30e =；综上：棱数可能为6,12,30.。
【数学】甘肃省张掖市2022-2023学年高一下学期期末考试试卷(理科) (解析版)
甘肃省张掖市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题（理科）一，单选题（共12小题,每小题5分,共60分）.1．已知α是锐角,＝（﹣1,1）,＝（cos α,sin α）,且⊥,则α为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．30°或60°2．现要完成下面3项抽样调查：①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查。
②从2000名学生中抽取100名进行课后阅读情况调查。
③从某社区100户高收入家庭,270户中等收入家庭,80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查．较为正确地抽样方式是（ ）A ．①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样B ．①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样C ．①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样D ．①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样3．如图记录了某校高一年级6月第一周星期一至星期五参加乒乓球训练地学生人数．通过图中地数据计算这五天参加乒乓球训练地学生地平均数和中位数后,教练发现图中星期五地数据有误,实际有21人参加训练．则实际地平均数和中位数与由图中数据星期得到地平均数和中位数相比,下面描述正确地是（ ）A ．平均数增加1,中位数没有变化B ．平均数增加1,中位数有变化C ．平均数增加5,中位数没有变化D ．平均数增加5,中位数有变化4．已知,且,那么sinα＝（ ）A．B．C．D．5．将标有数字3,4,5地三张扑克牌随机分给甲，乙，丙三人,每人一张,事件A：“甲得到地扑克牌数字小于乙得到地扑克牌数字”与事件B：“乙得到地扑克牌数字为3”是（ ）A．互斥但不对立事件B．对立事件C．既不互斥又不对立事件D．以上都不对6．已知向量＝（2,3）,＝（4,2）,那么向量﹣与地位置关系是（ ）A．平行B．垂直C．夹角是锐角D．夹角是钝角7．如图,在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,终边分别是射线OA和射线OB,且射线OA和射线OB有关x轴对称,射线OA与单位圆地交点为A（﹣,）,则cos（β﹣α）地值是（ ）A．﹣B．C．D．﹣8．如图是函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0,|φ|＜）在一个周期内地图象,则其思路式是（ ）A．f（x）＝3sin（x+）B．f（x）＝3sin（2x+）C．f（x）＝3sin（2x﹣）D．f（x）＝3sin（2x+）9．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0,0＜φ＜）地部分图象如图所示,则下面叙述正确地是（ ）A．函数f（x）地图象可由y＝A sinωx地图象向左平移个单位得到B．函数f（x）地图象有关直线x＝对称C．函数f（x）图象地对称中心为（﹣,0）（k∈Z）D．函数f（x）在区间[﹣,]上单调递增10．如图是用模拟方式估计圆周率π地程序框图,P表示估计结果,则图中空白框内应填入（ ）A．B．C．D．11．有下面命题：①若向量与同向,且,则。
2021-2022学年河南省许昌市高一下学期期末考试数学试题(理科)(解析版)
河南省许昌市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若(1)1i z -=，则(z z += ) A ．2-B ．1-C ．1D ．2〖解 析〗由(1)1i z -=，得211iz i i i--===--，1z i ∴=+，则1z i =-，∴112z z i i +=++-=．〖答 案〗D2．已知平面向量(3,1)a =，(,2)b x =-，且a b ⊥，则(x = ) A ．1B ．1-C ．23D ．23-〖解 析〗(3,1)a =，(,2)b x =-，a b ⊥，∴320a b x ⋅=-=，∴23x =． 〖答 案〗C3．某学校计划从3名男生和4名女生中任选4名参加七一征文比赛，记事件M 为“至少3名女生参加”，则下列事件与事件M 对立的是( ) A ．恰有1名女生参加 B ．至多有2名男生参加C ．至少有2名男生参加D ．恰有2名女生参加〖解 析〗至少3名女生的对立面是至多两名女生，总共选4名，也即为至少2名男生． 〖答 案〗C ．4．已知向量a ，b ，且||9a =，||12b =，a 与b 的夹角为4π，则(a b ⋅= )A ．36B ．C ．54D ．〖解 析〗因为||9a =，||12b =，a 与b 的夹角为4π，所以||||cos ,912cos 4a b a b a b π⋅=<>=⨯⨯=〖答 案〗D5．已知P 在ABC ∆所在平面内，满足||||||PA PB PC ==，则P 是ABC ∆的( )A．外心B．内心C．垂心D．重心〖解析〗||||||==表示P到A，B，C三点距离相等，P为外心．PA PB PC〖答案〗A6．下列四个命题中不正确的是()A．平行线段在直观图中仍然平行B．相等的角在直观图中仍然相等C．直线与平面相交有且只有一个公共点D．垂直于同一个平面的两条直线平行〖解析〗逐一考查所给的选项：A．平行线段在直观图中仍然平行，A说法正确；B．相等的角在直观图中不一定相等，B说法错误；C．直线与平面相交有且只有一个公共点，C说法正确；D．由面面垂直的性质可知垂直于同一个平面的两条直线平行，D说法正确．〖答案〗B7．对于任意两个向量a和b，下列命题中正确的是()A．若a，b满足||||>a b>，且a与b同向，则a bB．||||||++a b a bC．||||||⋅⋅a b a bD．||||||--a b a b〖解析〗A中，向量既有方向，又有大小，所以向量不能比较大小，所以A不正确；B中，因为22222+=+=++<>++=+，a b a b a b a b a b a b a b a b||()2||||cos,2||||||||当且仅当//a b且同方向时，取等号，所以B正确；C中，|||||||cosa b时取等号，所以C不正确；>⋅，当且仅当//b a b⋅=⋅⋅<，|||||a b a b aD中，22222||()2||||cos,2|||||||| -=-=+-⋅<>+-=-，当a b a b a b a b a b a b a b a b且仅当a，b同方向时确定等号，所以D不正确．〖答案〗B8．某校开展“正心立德，劳动树人”主题教育活动，对参赛的100名学生的劳动作品的得分情况进行统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，图中信息，下列结论错误的 是( )A ．图中的x 值为0.020B ．得分在80分及以上的人数为40C ．这组数据平均数的估计值为77D ．这组数据第80百分位数的估计值为85〖解 析〗由频率之和为1得：10(0.0050.0350.0300.010)1x ++++=， 解得：0.020x =，A 说法正确；得分在80分及以上的人数为(0.0300.010)1010040+⨯⨯=，B 说法正确；因为10(550.005650.020750.035850.030950.010)77⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，C 说法正确；0.005100.020100.035100.60.8⨯+⨯+⨯=<，0.005100.020100.035100.030100.90.8⨯+⨯+⨯+⨯=>，所以这组数据第80百分位数的估计值落在区间[80，90)内，0.80.626080100.90.63-+⨯=-，故这组数据第80百分位数的估计值不为85，D 说法错误． 〖答 案〗D9．已知a ，b 是两个不共线向量，向量b ta -，1322a b -共线，则实数(t = )A ．13-B ．13C ．34-D ．34〖解 析〗由向量b ta -与1322a b -共线，得11322t -=-，解得：13t =．〖答 案〗B10．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．给出下列命题： ①若αβ⊥，a αβ=，a b ⊥，则b α⊥或b β⊥；②若//αβ，a αγ=，b βγ=，则//a b ；③若a αβ=，b αγ=，//a b ，则//βγ；④“若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥”是随机事件；⑤若a ，b 是异面直线，则存在平面α过直线a 且垂直于直线b ． 其中正确的命题是( ) A ．①③B ．②⑤C ．③④D ．②④〖解 析〗若αβ⊥，a αβ=，a b ⊥，b 与α，β可能垂直也可能不垂直，①错；由面面平行的性质定理知②正确；三棱柱的两个侧面与第三个侧面的交线相互平行，但这两个侧面相交，③错；若αγ⊥，βγ⊥，则α与β可能垂直也可能不垂直，“若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥”是随机事件，④正确；若存在平面α过直线a 且垂直于直线b ，则a b ⊥，但已知中a ，b 不一定垂直，⑤错误． 〖答 案〗D11．已知对任意平面向量(,)AB x y =，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到点P ．已知平面内点(1,2)A ，点(2,3)B ，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转116π得到点P ，则点P 的坐标为( )A ．33(22--+B ．11(22-C ．15(22--+D ．15(22+〖解 析〗平面内点(1,2)A ，点(2,3)B ，所以(1,1)AB =， 把点B 绕点A 顺时针旋转116π后得到点P ， 即把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转6π得到点P ，则(cos sin AP x y θθ=-，sin cos )(cos sin66x y ππθθ+=-，1sincos )662ππ+=-，12，设(,)P a b ，则(1AP a =-，2)(b -=12-，12+，解得12a =+，52b =+．所以点P 的坐标为12+，52+． 〖答 案〗D12．在三棱锥A BCD -中，所有的棱长都相等，E 为AB 中点，F 对AC 上一动点，若DF FE +的最小值为( )A ．B ．C ．D ．〖解 析〗如图，三棱锥A BCD -各棱相等，H 是底面BCD ∆中心，则AH ⊥平面ABC ，显然有AH 与底面上的直线BH 垂直，O 是其外接球球心，设三棱锥棱长为a ，外接球半径为R ，则BH =，AH =，由222BO BH OH =+得222))R R =+-，R ， 把ABC ∆和ACD ∆沿AC 摊平，如图，则DE ==，因为DF FE +的最小值为=，4a =，所以4R ==334433V R ππ==⨯=． 〖答 案〗A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在ABC ∆中，已知6b =，45A =︒，75C =︒，则c = ． 〖解 析〗由180A B C ++=︒，45A =︒，75C =︒，60B ∴=︒，sin sin b c B C =即6sin 60sin 75c=︒︒，∴=，c ∴=．〖答案〗14．某学校共有学生2000名，各年级的男生、女生人数如表：已知从全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的可能性是0.19．现用分层随机抽样的方法，从全校学生中抽取64名，则应在三年级抽取的学生人数为 名． 〖解 析〗由已知抽取的64名学生中一、二年级的学生数为377373370(0.19)64482000+++⨯=，所以三年级的学生数为644816-=． 〖答 案〗1615．在2022年新冠肺炎疫情期间，长葛市组织市民进行核酸检测，某个检测点派出了3名医生，6名护士．把这9名医护人员分成三组，每组1名医生2名护士，则医生甲与护士乙分在一组的概率为 ．〖解 析〗某个检测点派出了3名医生，6名护士， 把这9名医护人员分成三组，每组1名医生2名护士，基本事件总数111222321642540n C C C C C C ==， 医生甲与护士乙分在一组包含的基本事件个数12112223252242180m C C C C C C C ==， ∴医生甲与护士乙分在一组的概率为18015403m P n ===． 〖答 案〗1316．19世纪，美国天文学家西蒙⋅纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值19的3倍，并提出本福特定律，即在大量b 进制随机数据中，以n 开头的数出现的概率为1()log ()b b n P n n+=，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，若1012()3ni P i =∑，则n 的最大值为 ． 〖解 析〗由1()log ()b b n P n n +=可得，10101()log ()(1)i P i lg i lgi i+==+-， 所以101()(1)ni P i lg n ==+∑，又1012()3ni P i =∑，所以，2(1)3lg n +，即3(1)100n +， 所以，1n =，2，3，则n 的最大值为3． 〖答 案〗3三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
江苏省高三下学期模拟考试(理科)数学试卷-附带答案解析
江苏省高三下学期模拟考试(理科)数学试卷-附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}22,0,1,2,3A x x x B =-≥=，则()RBA =（ ）A ．{0}B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,22．设复数z 的共轭复数为z ，若()()1i i z z -=∈C ，则z 对应的点位于复平面内的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．在ABC ∆中点N 满足2AN NC =，记BN a =，NC b =那么BA =（ ） A ．2a b -B ．2a b +C ．a b -D ．a b +4．将正弦曲线向右平移π4个单位长度，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到下列哪个函数的图象（ ） A ．π2sin()4x + B ．π2sin()4y x =- C ．1πsin()24y x =+D ．1πsin()24y x =-5．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，若28793a a a --=，则158S a -的值为（ ）A ．3B ．14C ．28D ．426．如图，一个底面半径为2a 的圆锥，其内部有一个底面半径为a 的内接圆柱，3a ，则该圆锥的体积为（ ）.A 3a B 3a C ．3a D ．3a7．已知函数f (x )满足f (2x )＝log 2x ，则f (16)＝（ ） A ．﹣1 B ．1C ．2D ．48．记i A d 为点i A 到平面α的距离，给定四面体1234A A A A -，则满足()122,3,4i A A d d i ==的平面α的个数为（ ） A ．1B ．2C ．5D ．8二、多选题9．已知正四棱锥的侧面积为 ）A B ．侧棱与底面所成的角为60︒ C ．棱锥的每一个侧面都是等边三角形D ．棱锥的内切球的表面积为(8π- 10．已知,,0x y x y ∈<<R 且，则（ ） A ．sin sin x y <B <C ．21x y -<D ．11x y x y <++ 11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，左，右焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆上一点（异于左，右顶点），且12PF F △的周长为6，则下列结论正确的是（ ）A ．椭圆C 的焦距为1B ．椭圆C 的短轴长为C ．12PF F △D ．椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=12．以下命题正确的是（ ）A ．设()f x 与()g x 是定义在R 上的两个函数，若()()()()1212f x f x g x g x +≥+恒成立，且()f x 为奇函数，则()g x 也是奇函数B ．若对任意1x ，2x ∈R 都有()()()()1212f x f x g x g x ->-成立，且函数()f x 在R 上单调递增，则()()f xg x +在R 上也单调递增C ．已知0a >，1a ≠函数(),1,,1,x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩若函数()f x 在[]0,2上的最大值比最小值多52，则实数a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭三、填空题13．若(6x 的展开式中4x 的系数为30，则=a ______.14．点P 为抛物线y 2＝x 上的动点，过点P 作圆M ：(x －3) 2＋y 2＝1的一条切线，切点为A ，则PA ·PM 的最小值为________．15．若直线y x m =+与曲线2y ax =和ln y x =均相切，则=a __________.16．设点O 是面积为4的ABC 内部一点，且有340OA OB OC ++=，则BOC 的面积为__________.四、解答题17．在凸四边形ABCD 中(1)若=45ABC ∠︒，求CD ；(2)若BCD ∠的角平分线交对角线BD 于点E ，求BC CE CD ++的最大值． 18．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中(1)求证：平面1A BC ⊥平面11ABB A ； (2)若AC 与平面1A BC 所成的角为π6，点E 为线段1A C 的中点，求平面AEB 与平面CEB 夹角的大小． 19．古人云:“腹有诗书气自华.”现在校园读书活动热潮正在兴起，某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取200名学生，获得了他们一周课外读书时间（单位:h ）的数据如表所示:(1)求,a b 的值;如果按读书时间0,6],6,12],1(((2,18]分组，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取20人，再从这20人中随机选取3人，求恰有2人一周课外读书时间在(12,18]内的概率.(2)若将样本频率视为概率，从该校学生中随机选取3人，记X 为一周课外读书时间在(12,18]内的人数，求X 的分布列和数学期望，并估计该校一周人均课外读书的时间. 20．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n b a a +=-，其中*N n ∈.(1)若12a =和2nn b =.①求证：{}n a 为等比数列； ②试求数列{}n n a ⋅的前n 项和.(2)若2n n b a +=，数列{}n a 的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？ 21．已知点A 是抛物线x 2＝2py （p ＞0）上的动点，过点M （－1，2）的直线AM 与抛物线交于另一点B ． (1)当A 的坐标为（－2，1）时，求点B 的坐标；(2)已知点P （0，2），若M 为线段AB 的中点，求PAB 面积的最大值．22．记()f x '，()g x '分别为函数()f x ，()g x 的导函数．若存在0x R ∈，满足()()00f x g x =，且()()00f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．已知()ln f x x ax =+和()2g x bx =．(1)若1b =，()f x 和()g x 存在“S 点”，求a 的值；(2)对任意0a >，是否存在实数0b >，使得()ln f x x ax =+，()2g x bx =存在“S 点”？请说明理由．参考答案与解析1．B【分析】求出A 及其补集，通过交集运算求得结果.【详解】集合{}{221A x x x x x =-≥=≤-或2}x ≥R {|12}A x x ∴=-<<又{}0,1,2,3B = 所以()RBA ={}0,1故选：B ． 2．C【分析】利用复数除法运算求得z ，从而求得z ，进而确定正确答案. 【详解】依题意()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z +-+====-+--+ 所以11i 22z =--，对应点为11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在第三象限.故选：C 3．A【分析】根据向量的线性运算将BA 分解为BA BN NA =+，再转化为a ，b 表示即可. 【详解】22BA BN NA BN NC a b =+=-=-. 故选：A. 4．B【解析】左右平移变换是横坐标x 改变，原则简记为 “左加右减”；伸缩变换是相应变量乘以对应倍数即可.【详解】sin y x =向右平移π4个单位长度得sin(4)πy x =-，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得π2sin()4y x =-. 故选：B.【点睛】本题考查图象的平移和伸缩变化，要牢记每一种变换对解析式系数的影响，方可解决此类题. 5．D【分析】根据等差数列的性质得7982a a a +=，则可由已知等式求8a 的值，从而利用求和公式和等差数列性质求158S a -得值.【详解】解：正项等差数列{}n a ，则0n a >若28793a a a --=，则28798323a a a a =++=+，解得83a =或81a =-（舍）则()115815888815215144222a a a S a aa a +⨯⨯-=-=-==. 故选：D. 6．B【分析】作出该几何体的轴截面，求出内接圆柱的高，利用三角形相似求出圆锥的高，即可求的其体积. 【详解】作出该几何体的轴截面如图示：AB 为圆锥的高设内接圆柱的高为h ，而2,BC a BD r a ===3a ，即23πa h a =则h =由于AB ED ∥,故CAB CED △∽△，则h DCAB BC=即22a aa-=，故AB =所以圆锥体积为231π(2)3V a a =⨯⨯=故选：B 7．C【分析】根据16＝24，代入求解即可．【详解】∵函数f (x )满足f (2x )＝log 2x ，且f (16)＝f (24) ∴f (16)＝f (24)＝log 24＝2 故选：C ． 8．D【分析】分类讨论，当平面α与平面234A A A 平行时，分析可得2个，当平面α经过234A A A △的中位线时分析可得6个，从而得解．【详解】到点23,A A 和4A 的距离相等的平面α有两种类型，与平面234A A A 平行或者经过234A A A △的某一条中位线．当平面α与平面234A A A 平行时，如下图1设121314,,A A A A A A 的三等分点分别为234,B B B ,（靠近1A ） 对于平面234B B B ，利用三角形相似可知1212222A A d A B d A B ==，平面234B B B 符合题意． 在线段1i A A 的延长线上取i C 使得()12,3,4i i i A A AC i == 对于平面234C C C ，利用三角形相似可知1212222A A d AC d A C ==，平面234C C C 符合题意 即平面α与平面234A A A 平行时，满足条件的平面有2个； 设232434,,A A A A A A 的中点分别为,,E F G 当平面α经过234A A A △的中位线EF 时 如下图2：对于平面2B EF ，2B 在线段12A A 上且12222A B A B =利用三角形相似可知1212222AAd A Bd A B==又34//EF A A，EF⊂平面2B EF，34A A⊄平面2B EF，可得34A A//平面2B EF且E、F分别为2324,A A A A的中点则到平面2B EF的距离相等因此平面2B EF符合题意．如下图3：对于平面34B B FE，3B在线段13A A上，4B在线段41A A上且131433442A B A BA B A B==，利用三角形相似可知1313332AAd A Bd A B==又34//EF A A，EF⊂平面34B B FE，34A A⊄平面34B B FE，可得34A A∥平面34B B FE且E、F分别为2324,A A A A的中点则到平面34B B FE的距离相等因此平面34B B FE符合题意．对于中位线EG GF、，也有类似结论,即平面α经过234A A A△的某条中位线时，满足条件的平面有6个综上所述，符合题意的平面共有8个． 故选：D ．【点睛】难点点睛：本题判断满足条件的平面的个数时，难点在于要发挥空间想象能力，明确满足条件的平面的位置，作图分析，说明平面所处的位置是怎样的，加以说明，解决问题. 9．ACD【分析】设底面边长为2a ，侧棱长为b ，求出棱锥体积，通过构造函数，求导可知当1a =，及2b =时棱锥体积最大，然后再逐项判断即可.【详解】设底面边长为2a ，侧棱长为b ，则14242a S =⨯⨯=侧面即=而21(2)3V a =⨯=故243a V ==设26()3(0f a a a a =-<<，则()()()542666161(1)()'1a a a a a f a a a a =-=-=++-易知函数()f a 在()0,1单调递增，在单调递减∴当1a =时，()f a 取得最大值，此时棱锥的体积最大，且2b = ∴底面边长为2，侧棱长为A 正确；侧棱与底面所成的角为PBO ∠，而sin OP PBO PB ∠=45PBO ∠=︒，选项B 错误； 由于底面边长与侧棱长均为2，故侧面为等边三角形，选项C 正确；设内切球的半径为r ，由于P ABCD V -=1442242S ⎛=+⨯⨯⨯=+ ⎝⎭表∴3V r S ===表∴4(8S ππ==-内，选项D 正确.故选：ACD .10．BCD【分析】取特殊值可说明A 错；根据指数函数以及幂函数的单调性，可判断B,C 的对错；利用作差法可判断D 的对错.【详解】对于A ，取2,33x y ππ==满足,,0x y x y ∈<<R 且，但sin sin x y =，故A 错；对于B ，12y x =是定义域上的增函数，故,,0x y x y ∈<<R 且B 正确； 对于C, 0x y -<,故0221x y -<=，故C 正确； 对于D ，011(1)(1)x y x y x y x y --=<++++故11x y x y <++，故D 正确 故选：BCD. 11．BC 【分析】根据12e =，226a c +=解得,,a b c 可判断AB ；设()00,P x y ，由1212012PF F S F F y =知当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C ；假设椭圆C 上存在点P ，设12,PF m PF n ==，求出m n +、mn ，,m n 可看作方程2460x x -+=，求出判别式∆可判断D. 【详解】由已知得12c e a ==，226a c +=解得2,1a c == 2223b a c =-= 对于A ，椭圆C 的焦距为22c =，故A 错误；对于B ，椭圆C 的短轴长为2b =B 正确； 对于C ，设()00,P x y ，12120012==PF F SF F y c y 当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时0==y b 12PF F △C 正确；对于D ，假设椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=，设12,PF m PF n == 所以24m n a +==，22216244m n mn c +=-==和6mn =所以,m n 是方程2460x x -+=，其判别式16240∆=-<，所以方程无解，故假设不成立，故D 错误. 故选：BC. 12．ABD【分析】A 选项，利用赋值法及()f x 的奇偶性推导出()g x 的奇偶性；B 选项，利用定义法和()f x 在R 上单调递增证明出结论；C 选项，对a 分类讨论，由单调性求出最值，列出方程，求出a 的值；D 选项，由函数的对称性求解.【详解】令21x x =-，则()()()()1111f x f x g x g x +-≥+-，因为()f x 为奇函数，所以()()()()1111f x f x g x g x -≥+-恒成立，即()()110g x g x ≥+-，所以()()110g x g x +-=，即()()11g x g x -=-，所以则()g x 也是奇函数，A 正确；设12x x <，因为()f x 在R 上单调递增，所以()()12f x f x <，因为()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，所以()()()()()()121221f x f x g x g x f x f x -<-<-，从而()()()()11220f x g x f x g x +-+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 令()()()h x f x g x =+，则()()()()()()1211220h x h x f x g x f x g x -=+--<，所以()()12h x h x <，故()()()h x f x g x =+在R 上也单调递增，B 正确；当1a >时，(),1,,1,x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩在[]0,2上的最大值为()1f a =，最小值为()01f =或()22f a =-，当512a -=时，解得：72a =此时()3212f =>，满足题意；当()522a a --=时，522=无解，舍去； 当01a <<时，在[]0,1x ∈上，()xf x a =是减函数，(]1,2x ∈上，()f x x a =-+是减函数，因为()011f a =>-+，所以函数最大值为()01f =，而()()2211f a a f =-+<-+=，所以函数的最小值为()22f a =-+，因此()5122a --+=，解得：()10,12a =∈符合题意； 综上：实数a 的取值集合为1,272⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C 错误；由()()2f x f x -+=可得：()f x 关于()0,1中心对称，()1x g x x+=也关于()0,1中心对称，从而()f x 与()g x 的图象的交点关于()0,1中心对称，从而1280x x x ++⋅⋅+=⋅与128248y y y ++⋅⋅⋅+=⨯=，D 正确. 故选：ABD【点睛】抽象函数的对称性有以下结论：若()()f a x f b x c -++=，则()f x 关于,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称； 若()()f a x f b x -=+，则()f x 关于2a bx +=对称.13．2【分析】利用二项展开式的通项公式，列式求a .【详解】二项展开式的通项公式616rr rr T C x-+=⋅⋅当2r =时，4x 的系数是2630C a ⋅=解得：2a = 故答案为：214．74【分析】求出22||||1PA PM PA PM ⋅==-，设点2(,)P y y ，化简表达式，利用二次函数的性质，求解最小值即可．【详解】解：由已知易得22||||1PA PM PA PM ⋅==-设点2(,)P y y ，则()22224222577||13158()244PM y y y y y -=-+-=-+=-+当252y =时，2||1PA PM PM ⋅=-取得最小值74． 故答案为：7415．14##0.25【分析】先根据直线和ln y x =相切求出m ，再利用直线和2y ax =相切求出a . 【详解】设直线y x m =+与ln y x =相切于点()00,ln x x 1y x'= 因为直线y x m =+与ln y x =相切，所以011x =，且00ln x x m =+； 解得01,1x m ==-；因为直线1y x =-与曲线2y ax =相切联立得210ax x -+=，0a ≠且140a ∆=-=，即14a =. 故答案为：1416．12##0.5【分析】根据340OA OB OC ++=确定点O 的位置，然后将面积比转化为边长比即可.【详解】340OA OB OC ++= 371747OA OB OC ∴=-+；设17OA OD -=；则：3477OD OB OC =+,即B,C,D 三点共线；所以||18||BOC ABCS OD AD S==； 11482BOCS∴=⨯=；故答案为：12 17．； ．【分析】（1）运用差角公式求得sin DBC ∠，再运用正弦定理求得CD 即可.（2）运用余弦定理及基本不等式求得BC CD +的范围，由等面积法求得CE ，将问题转化为求关于BC CD +的二次型函数在区间上的最值. 【详解】（1）连接BD ，如图所以35,sin5BD ABD=∠=4cos5ABD∠=所以43sin sin(45)()55DBC ABD∠=︒-∠-BCD△中sin sinCD BDDBC DCB=∠∠；∴sinsinBDCD DBCDCB=⋅∠==∠（2）BCD△中2222cos120BD BC CD BC CD=+-⋅⋅︒∴2222()325()()()44BC CDBC CD BC CD BC CD BC CD+=+-⋅≥+-=+，当且仅当BC CD=时取等号∴2100()3BC CD+≤，即：0BC CD<+∵BCD BCE CDES S S=+△△△∴111sin120sin60sin60222BC CD BC CE CD CE⋅⋅︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒∴BC CD BC CE CD CE⋅=⋅+⋅∴2()25BC CD BC CDCEBC CD BC CD⋅+-==++∴2()25BC CDCE CD BC BC CDBC CD+-++=+++令t BC CD=+∴225252tCE CD BC t tt t-++=+=-0t<∵252y tt=-在（上单调递增∴当t y取得最大值为2.∴BC CE CD++.18．(1)证明见解析；(2)π3.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面11ABB A ，再由面面垂直的判定定理得证； （2）利用线面角求出边长，再建立空间直角坐标系，利用向量法求夹角. 【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C 中1A A BC ⊥ 又AB BC ⊥，1A AAB A =和1,A A AB ⊂平面11ABB A所以BC ⊥平面11ABB A ，又BC ⊂平面1A BC 所以平面1A BC ⊥平面11ABB A . （2）设11A BAB M =，连接CM ，如图则1A B 中点为M ，且1AM A B ⊥∵平面1A BC ⊥平面11ABB A 且交线为1A B ，AM ⊂平面11ABB A ∴AM ⊥平面1A BC所以直线AC 与平面1A BC 所成的角为π6ACM ∠=又12AA AB ==，则2AM AC BC = 以B 为原点，1,,BA BC BB 分别为x ，y ，z 轴正方向建立坐标系 则(2,0,0),(0,2,0),(1,1,1)A C E 设平面AEB 的法向量为(,,)n x y z =20n BA x n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1y =，则0,1x z ==-，故(0,1,1)n =- 设平面CEB 的法向量为()111,,m x y z =111120m BC y m BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令11x =，则10y =，11z =-故(1,0,1)m =- 设平面AEB 与平面CEB 的夹角为θ ∴1cos 2||||n m n m θ⋅==⋅，又π02θ<≤ π3θ∴=.19．(1)1224，a b ==；读书时间在(12,18]内的概率为91190； (2)分布列见解析，()E X =3920；该校一周人均课外读书的时间为12.32h.【分析】（1）由频数÷总数=频率可得,a b 的值；由分层抽样可知20人中在]((0,6],6,12中的有7人，在(12,18]中的有13人，据此可得答案；（2）由题可得X 的可能取值为0，1，2，3，且13~3,20X B ⎛⎫⎪⎝⎭，由此可得分布列及期望；结合表格数据可估计该校一周人均课外读书的时间.【详解】（1）由频数÷总数=频率可得2000.0612,2000.1224a b =⨯==⨯=. 由题意知，从样本中抽取20人，抽取比例为110，所以从(](](]0,6,6,12,12,18三组中抽取的人数分别为2，5，13，从这20人中随机抽取3人，恰有2人一周课外读书时间在(]12,18内的概率12713320C C 91C 190P ==.（2）由题意得，总人数为200，一周课外读书时间在(]12,18内的人数为130，因此从该校任取1人，一周课外读书时间落在区间(]12,18内的概率是1320. X 的可能取值为0，1，2，3，且13~3,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以33137()C (0,1,2,3)2020kkk P X k k -⎛⎫⎛⋅⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以X 的分布列为数学期望1339()32020E X =⨯=. 该校一周人均课外读书时间的估计值为10.0230.0350.0570.0690.07110.1213⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.25150.23170.1712.32(h)+⨯+⨯=.20．(1)①证明见解析；②1(1)22+=-⋅+n n S n(2)20241849=T【分析】（1）①，利用累加法求解n a 即可；②由①得2n n a =,令2nn n c na n ==⋅，{}n c 的前n 项和为n S ,利用错位相减法求解数列的和即可；（2）推出数列{}n a 是一个周期为6的周期数列,然后求解数列{}n a 的任意连续6项之和为0，然后利用其周期和相关值求出12,a a ，则得到答案.【详解】（1）①证明：12nn n a a +-=，当2n ≥时累加得()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+1212222n n --=++++()12122212n n --=+=-11222n n n n a a ++∴== ()2n ≥ 又211212,2,4,2a a b a a ===∴=所以{}n a 为首项为2，公比为2的等比数列.②由①得2n n a =，令2nn n c na n ==⋅，{}n c 的前n 项和为n S则2311231122232(1)22n nn n n S c c c c c n n --=+++⋯++=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅，A23412122232(1)22n n n S n n +=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅，BA B -得23122222n n n S n +-=+++⋯+-⋅()211121222(1)2212n n n n n -++-=+-⋅=-⋅--1(1)22n n S n +∴=-⋅+（2）若21n n n n b a a a ++==-，则32163n n n n n n n a a a a a a a +++++=-=-⇒=-= 所以数列{}n a 是周期为6的周期数列，设1a m = 2a t =1234560a a a a a a ∴+++++=设数列{}n a 的前n 项和为n T ，则60n T =. 所以629110486332221926963T T T a a ⨯+====⇒= 7712655377T T T a ⨯+====，所以123886a a a =-=所以2024337622128869631849T T T a a ⨯+===+=+=. 21．(1)()6,9 (2)2【分析】（1）将A 的坐标代入抛物线方程可得抛物线的方程为：24x y = 再根据直线AM 的方程，联立抛物线方程可得B 的坐标；（2）设直线AB 的方程：()21y k x -=+ 联立抛物线的方程，结合韦达定理与M 为线段AB 的中点可得1pk =-再代入PAB 的面积可得S =进而根据二次函数的最值求解即可 (1)当A 的坐标为()2,1-时，则2221p =⋅，所以24p = 所以抛物线的方程为：24x y = 由题意可得直线AM 的方程为：()211212y x --=+-+，即3y x代入抛物线的方程可得24120x x --=解得2x =-（舍）或6 所以，B 的坐标为()6,9 (2)法一：设直线AB 的方程：()21y k x -=+ 即2y kx k =++设直线AB 与y 轴的交点为Q ，()11,A x y 和()22,B x y由222y kx k x py=++⎧⎨=⎩ 可得22240x pkx pk p ---=，122x x pk +=和1224x x pk p =-- 因为M 为线段AB 的中点，所以1212x x pk +==- 令0x =，2y k =+即()0,2Q k +，所以PQ k = 则PAB 的面积12111222S PQ x x k k =⋅-=⋅=⋅12k =⋅把1pk =-代入上式，S当2k =时，则max 2S =，所以PAB 的面积的最大值为2．（2）法二：222y kx k x py =++⎧⎨=⎩可得22240x pkx pk p ---=，122x x pk +=，1224x x pk p =-- 因为M 为线段AB 的中点，所以1212x x pk +==- 设点P 到直线AB 的距离为d，则d =AB ==1122S AB d k =⋅=⋅把1pk =-代入上式 S所以，当2k =时，ABC 的面积的最大值为2 22．(1)1(2)存在，理由见解析【分析】（1）设“S 点”为0x ，然后可得200000ln 12x ax x a x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，然后解出即可；（2）假设对任意0a >，存在实数0b >，使得()y f x =与()y g x =有“S 点”， 设为1x ，然后可得2111ln x ax bx +=，1112a bx x +=，消去b 得1112ln 0x ax -=>，然后可得10x <消去a 得1211ln x b x -=，然后证明对任意0a >，方程1112ln x ax -=在(有解即可. 【详解】所以200000ln 12x ax x a x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去a 得200ln 1x x +=记()2ln h x x x =+，显然()h x 在()0,+∞上是增函数，而()11h =因此200ln 1x x +=只有一个解01x =，所以211a =-=．（2）假设对任意0a >，存在实数0b >，使得()y f x =与()y g x =有“S 点” 设为1x ()2g x bx '= 所以2111ln x ax bx +=①，1112a bx x +=②，由②得21112ax bx +=③ ①③消去b 得1112ln 0x ax -=>，11ln 2x <和10x < ①③消去a 得1211ln x b x -=，在10x <<1211ln 0x b x -=> 下面证明对任意0a >，方程1112ln x ax -=在(有解设()(0l 1n 2x H x ax x =--<<，函数()H x在定义域(上是减函数0x →时 ()H x →+∞0H=-<，图像连续不断，所以存在10x <使得()10H x =．综上，任意0a >，存在实数1211ln 0x b x -=>，使得()y f x =与()y g x =有“S 点”。
辽宁省大连市第二十高级中学高一数学下学期期末考试试题理
辽宁省大连市第二十高级中学高一数学下学期期末考试试题理高一数学（理科）试卷考试时间：120分钟 试题分数：150分卷Ⅰ一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知0cos ,0sin <>αα，则α的终边落在（A ）第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限2.已知向量)1,2(),2,1(-==b a ，则=+b a 2（A ）)5,0((B))1,5(-(C))3,1(-(D))4,3(-3.已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（A ）4-(B)6-(C)8-(D)10-4已知31sin =α，则=+)23cos(πα（A ）322(B)322-(C)31(D)31-5.tan105=（A ）23--(B)13--(C)333--(D)23-+6.若等比数列前n 项和为n S ，且满足369S S S +=，则公比q 等于（A ）1(B)1-(C)1±(D)不存在7．在ABC ∆中，角C B A 、、对边分别为c b a 、、，且，，o A b a 303,1===则B =（A ）o 60或o 120(B)o 60(C)o 120(D)o 30或o 1508．已知点)1,3(--和)6,4(-在直线023=--a y x 的两侧，则实数a 的取值范围为（A ）)7,24(-（B ）),24()7,(+∞--∞（C ）)24,7(-（D ）),7()24,(+∞--∞9.在等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（A ）9(B)12(C)16(D)1710. 在ABC ∆中，角C B A 、、对边分别为c b a 、、，60 1A ,b ==，这个三角形的面积为3，则ABC ∆外接圆的直径是 （A ）39（B ）339（C ）639(D)2393 11.已知)2,0(πα∈，则αα22cos 2sin 1+的最小值为 (A)24 （B ）6(C)223+(D)320 12.关于x 的方程2(2)310x a b x a b +++++=的两个实根分别在区间(1,0)-和(0,1)上，则a b +的取值范围为(A ）31(,)55-(B)21(,)55- (C)32(,)55--(D)11(,)55- 卷Ⅱ二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知非零向量b a ,满足|b a +|=|b a -|，则<b a ,>=．14.在ABC ∆中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =________.15.已知数列{}n a 前n 项的和为21n -)(*∈N n ，则数列{}2n a 前n 项的和为_____. 16.已知数列{}n a 满足n a a a n n =-=+11,33（n *∈N ），则n a n取最小值时=n . 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)(Ⅰ)关于x 的不等式2(3)(3)10m x m x +-+-<的解集为R ，求实数m 的取值范围； (Ⅱ) 关于x 的不等式042>++ax x 的解集为}|{b x x ≠，求b a ,的值.18.(本小题满分12分)已知51cos sin ),,0(=+∈ααπα. (Ⅰ)求ααcos sin -的值；(Ⅱ) 求)32sin(πα+的值.19．(本小题满分12分)某厂生产甲产品每吨需用原料A 和原料B 分别为2吨和3吨，生产乙产品每吨需用原料A 和原料B 分别为2吨和1吨.甲、乙产品每吨可获利润分别为3千元和2千元.现有12吨原料A ，8吨原料B.问计划生产甲产品和乙产品各多少吨才能使利润总额达到最大.20. (本小题满分12分)已知ABC ∆中，1,2,120===∠AC AB BAC .AD是BAC ∠的角平分线，交BC 于D .(Ⅰ)求DC BD :的值；(Ⅱ)求AD 的长．21. (本小题满分12分)已知数列}{n a 满足)(121*+∈-=N n a a n n ，21=a . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)求数列}{n na 的前n 项和n S )(*∈N n .22. (本小题满分12分) 已知向量b a ,满足a ))sin (cos 3,sin 2(x x x +-=，b )sin cos ,(cos x x x -=，函数=)(x f b a ⋅()x R ∈．(Ⅰ)求()f x 在]0,2[π-∈x 时的值域； (Ⅱ)已知数列211()(*)224n n a n f n N ππ=-∈，求{}n a 的前2n 项和2n S ． 2014-2015学年度下学期期末考试高一数学（理科）参考答案一．选择题 BDBCA CACAD CA二．填空题 900120314-n 8 三．解答题17. (Ⅰ)关于x 的不等式2(3)(3)10m x m x +-+-<的解集为R ，所以（1）300m +<⎧⎨∆<⎩解得73m -<<- ，（2）3m =-时符合题意. DC A所以73m -<≤-…………………………………5分(Ⅱ) 关于x 的不等式042>++ax x 的解集为}|{b x x ≠，所以 22)2(4±=++x ax x ，所以2,4-==b a ,或2,4=-=b a …………………………………10分18.解：(Ⅰ)21(0,),(sin cos )25απαα∈+=，所以242sin cos 25αα=-，………………… 2分 所以(,)2παπ∈，所以249(sin cos )25αα-=，所以7sin cos 5αα-=.…………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知24sin 225α=-，7cos 225α=-…………………………………9分所以12sin(2)325πα+=-12分 19.解：计划生产甲产品和乙产品分别为,x y 吨，则,x y 满足的约束条件为为,221238x N y N x y x y ∈∈⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，总利润32z x y =+.…………………………………4分约束条件如图所示，…………………………………8分 恰好在点(1,5)A 处32z x y =+取得最大值，即计划生产甲产品和乙产品分别为1吨和5吨能使得总利润最大. …………………………………12分20.解：(Ⅰ)在ABD ∆中，sin sin AB BD ADB BAD =∠∠，在ACD ∆中，sin sin AC CD ADC CAD=∠∠ 因为AD 是BAC ∠的角平分线，所以::2:1BD DC AB AC ==……………………………6分 (Ⅱ)法一：由题知1233AD AB AC =+，………………………………9分 所以221244414()()21()3399929AD AB AC =+=++⨯⨯⨯-=，所以23AD =.…………12分法二：1121(21)22ABC ABD ACD S S S AD ∆∆∆=⨯⨯==+=⨯+ 所以23AD =.…………………………………12分其它方法略.21.解：(Ⅰ) )(121*+∈-=N n a a n n 可得112(1)()n n a a n N *+-=-∈，又111a -=，所以数列}1{-n a 为公比为2的等比数列，………………………………… 2分所以112n n a --=，即121n n a -=+)(*∈N n …………………………………4分(Ⅱ) 12n n na n n -=+，设01221122232(1)22n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯则12312122232(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯所以12211(2222)2n n n n T n --=--++⋅⋅⋅+++⨯221(1)21n n n n n =⨯-+=-⨯+……………10分 所以(1)(1)212n n n n S n +=-++)(*∈N n …………………………………12分 22解(Ⅰ)2()sin 23cos 22sin(2)3f x a b x x x π=⋅=-+=+ 当]0,2[π-∈x 时， ]22,3[322πππ-∈+x ，所以]2,3[)322sin(2-∈+πx ………………………………………………………4分(Ⅱ))4sin(2)24112(22ππππ-=-=n n n f n a n ……………………………………6分 所以])2()12(4321[22222222n n S n --+⋅⋅⋅+-+-=………………………………8分 又14)2()12(22+-=--n n n …10分，所以)2(22)143(222n n n n S n --=+--⨯=12分。
2021-2022学年四川省广安市高一下学期期末考试数学试题(理科)(解析版)
四川省广安市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1．已知0b a <<，则下列不等式正确的是( ) A ．22b a <B ．11b a< C ．b a -<- D ．a b a b -<+〖解 析〗当2a =，3b =-时，满足0b a <<，但22b a >，b a ->-，a b a b ->+，A ∴，C ，D 错误，0b a <<，∴10b<，10a >，∴11b a <，B ∴正确．〖答 案〗B2．cos40sin70sin 40sin160(︒︒-︒︒= )A ．12-B ．12C ．D 〖解 析〗cos40sin70sin40sin160cos40sin70sin40cos70︒︒-︒︒=︒︒-︒︒ 1sin(4070)sin(30)2=-︒-︒=--︒=． 〖答 案〗B3．设m ，n 是不同的直线，α是平面，则下列说法正确的是( ) A ．若//m α，//m n ，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m n C ．若m α⊥，n m ⊥，则//n αD ．若m α⊥，n α⊥，则//m n〖解 析〗如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中：对于A 选项，取m 为直线11A D ，α为平面ABCD ，n 为直线AD ， 满足//m α，//m n ，但是不满足//n α，选项A 错误；对于B 选项，取m 为直线11A D ，α为平面ABCD ，n 为直线11A B ， 满足//m α，//n α，但是不满足//m n ，选项B 错误；对于C 选项，取m 为直线1AA ，α为平面ABCD ，n 为直线AD ， 满足m α⊥，n m ⊥，但是不满足//n α，选项C 错误；对于D 选项，由面面垂直性质定理的推论可知选项D 的结论成立． 〖答 案〗D4．2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫，倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、小雪、霜降三个节气的日影长之和为34.5寸，冬至到秋分等七个节气的日影长之和为73.5寸，问立秋的日影长为( ) A ．1.5寸B ．2.5寸C ．3.5寸D ．4.5寸〖解 析〗因为从冬至到夏至的日影长等量减少，所以日影长可构成等差数列{}n a ， 由题意可知13534.5a a a ++=，则3334.5a =，故311.5a =， 又71747()773.52S a a a =+==，解得410.5a =，所以数列的公差为431d a a =-=-，14310.5313.5a a d =-=+=， 所以立秋的日影长为101913.59 4.5a a d =+=-=． 〖答 案〗D5．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为( )A ．相交B ．平行C ．异面并且垂直D ．异面但不垂直〖解 析〗将展开图还原成正方体，由下图可知，直线AB 与CD 的位置关系是：异面．连接BE ，则//BE DC ，EBA ∠或其补角即为直线AB 与CD 的夹角，60EBA ∠=︒，所以直线AB 与CD 不垂直． 〖答 案〗D6．若(4πα∈，)π，cos2sin()04παα--=，则sin 2α的值为( )A ．12B C ．D ．12-〖解 析〗(4πα∈，)π，cos2sin()04παα--=，即22cos sin sin()4πααααα-=-=，又(4πα∈，)π，则cos sin 0αα-≠，即cos sin αα+=故112sin cos 2αα+=；即1sin 22α=-．〖答 案〗D7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为BC ，1CC 的中点，过点A ，E ，F 作一截面，该截面将正方体分成上下两部分，则下部分几何体的正视图为( )A ．B ．C ．D ．〖解 析〗由题意可知，几何体的图形如图，几何体的正视图为平面1DCFD ．〖答 案〗A8．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且cos cos a C b A b +=，则ABC ∆是( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形〖解 析〗由cos cos a C b A b +=及正弦定理得，sin cos sin cos sin sin()sin cos sin cos A C B A B A C A C C A +==+=+，所以sin cos sin cos B A C A =，所以sin sin B C =或cos 0A =， 所以B C =或90A =︒，故ABC ∆是等腰三角形或直角三角形． 〖答 案〗D9．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67︒，30︒，此时气球的高是92m ，则河流的宽度BC 约等于( )m ．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin670.92︒≈，cos670.39︒≈，sin370.60︒≈，cos370.80︒≈ 1.73)A ．120mB ．10mC ．60mD ．50m〖解 析〗如图所示，AD CB ⊥，垂足为D ，在Rt ABD ∆中，67ABD ∠=︒，92AD =，所以92sin sin67AD AB ABD ==∠︒， 在ABC ∆中，673037BAC ∠=︒-︒=︒，30ACB ∠=︒， 根据正弦定理sin sin BC ABBAC ACB=∠∠，得9292sin 370.60sin sin 670.92120()1sin sin 302AB BAC BC m ACB ⨯︒⨯⋅∠︒====∠︒，所以河流的宽度BC 约等于120m ． 〖答 案〗A10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <，公差为d ，9100a a +<，100a >．则下列结论不正确的是( ) A ．0d >B ．当9n =时，n S 取得最小值C ．45180a a a ++<D ．使得0n S <成立的最大自然是n 是17〖解 析〗对于A ，因为等差数列{}n a 中，9100a a +<，100a >， 所以90a <，100a >，所以公差1090d a a =->，所以A 正确；对于B ，由于90a <，100a >，0d >，10a <，所以前9项均为负数，所以当9n =时，n S 取得最小值，所以B 正确；对于C ，45181111934173(8)30a a a a d a d a d a d a ++=+++++=+=<，所以C 正确； 对于D ，因为90a <，100a >， 所以1171189101791817()18()18()170,0222a a a a a a S a S +++==<==<，11910191019()192190,022a a a S a d +⨯===>>，所以使得0n S <成立的最大自然是n 是18，所以D 错误． 〖答 案〗D11．若正三棱柱111ABC A B C -既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的内切球和外接球的半径分别为1R 、2R ，则12(R R = ) AB ．5CD〖解 析〗由于三棱柱的外接球和内切球的球心相同，所以设内切球的半径为r ，如图所示：设内切球的半径为r ，即BD r =，故12AD R =，所以外接球的半径21R =，所以12R R ． 〖答 案〗A12．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且23a =，525S =，若2cos 3n n n b a π=，则数列{}n b 的前30项和30(T = ) A ．60B ．30C ．60-D ．30-〖解 析〗设数列{}n a 的公差为d ，因为23a =，525S =，所以113545252a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得11a =，2d =， 所以1(1)221n a n n =+-⨯=-，所以22cos (21)cos33n n n n b a n ππ==-， 对于2cos 3n π，它是这样的一些数：2cos 3π，4cos 3π，6cos 3π，8cos 3π，10cos 3π，12cos 3π，⋯⋯，即12-，12-，1，12-，12-，1，⋯⋯，以3为周期循环，所以3011111()3()5155()57()5912222T =⨯-+⨯-+⨯+⋯+⨯-+⨯-+⨯1()(13795557)511592=-⨯++++⋯+++++⋯+1()(41628112)(51159)2=-⨯+++⋯++++⋯+1(4112)10(559)10()222+⨯+⨯=-⨯+29032030=-+=．〖答 案〗B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x ，y 满足约束条件2402030x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+⎩，则z x y =+的最大值为 ．〖解 析〗由约束条件作出可行域如图，联立2240x x y =⎧⎨-+=⎩，解得(2,8)A ，由z x y =+，得y x z =-+，由图可知，当直线y x z =-+过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为10． 〖答 案〗1014．在等比数列{}n a 中，34564a a a =，58a =，则2a = ． 〖解 析〗设等比数列{}n a 的公比为q ，由3345464a a a a ==，得44a =， 又58a =，得54824a q a ===，所以422414a a q ===． 〖答 案〗115．已知正实数m ，n 满足21m n +=，则42n m n++的最小值为 ． 〖解 析〗正实数m ，n 满足21m n +=， 则4242428281()(2)199217n n m n m n m n m n m n m n m ++=++=+++=+++， 当且仅当122m n ==时，取等号． 则42n m n++的最小值为 17． 〖答 案〗1716．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若8ac =，sin sin20a B c A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．〖解 析〗由正弦定理及sin sin20a B c A +=，知sin sin sin sin20A B C A +=，又sin22sin cos A A A =，且sin 0A >，所以sin 2sin cos 0B C A +=，即sin()2sin cos 0A C C A ++=，所以sin cos cos sin 2sin cos 0A C A C C A ++=，即sin cos 3sin cos 0A C C A +=， 由正弦定理，可得cos 3cos 0a C c A +=，再由余弦定理，可得2222223022a b c b c a a c ab bc+-+-⋅+⋅=，化简得，2222b a c =-，由余弦定理知，2222222221()3232cos 2244a c a c a c b a c ac B ac ac acac +--+-+==== 当且仅当a =时，等号成立，此时3cos 2B ， 所以1sin 2B B， 所以ABC ∆面积111sin 82222S ac B =⨯⨯=，即ABC ∆面积的最大值为2． 〖答 案〗2三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算过程． 17．（10分）已知不等式2(1)460a x x +--<的解集是{|13}x x -<<． （1）求常数a 的值；（2）若关于x 的不等式240ax mx ++的解集为R ，求m 的取值范围． 解：（1）不等式2(1)460a x x +--<的解集是{|13}x x -<<，1∴-和3是方程2(1)460a x x +--=的解，∴421631a a ⎧=⎪⎪+⎨⎪-=-⎪+⎩，解得，1a =； （2）由1a =不等式240ax mx ++化为240x mx ++，∴不等式240x mx ++的解集为R ， 则△2160m =-，44m ∴-， m ∴的取值范围是[4-，4]．18．（12分）已知α，(0,)2πβ∈，3sin()45πα-=，1tan 2β=．（1）求sin α的值；（2）求tan()αβ+的值． 解：（1）(0,)2πα∈，∴(,)444πππα-∈-，∴4cos()45πα-==，∴34sin sin[()]sin()cos cos()sin 44444455ππππππαααα=-+=-+-=+=． （2）由（1）知，sin α=(0,)2πα∈，∴cos 10α，tan 7α∴=，1tan 2β=，∴17tan tan 2tan()311tan tan 172αβαβαβ+++===---⨯． 19．（12分）已知数列{}n a 满足13a =，184(2)n n a a n n --=-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．解：（1）当2n 时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+ 2[(84)12](1)(84)(812)1233412n n n n n -+-=-+-+⋯++=+=-，当1n =时，13a =，符合241n a n =-，所以2*41()n a n n N =-∈． （2）211111()4122121n a n n n ==---+， 所以111111111()(1)21335212122121n nT n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=-+++． 20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，1PA AB ==，AD =，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．（1）当点E 为BC 的中点时，求异面直线PD 和EF 所成的角的正切值； （2）求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE AF ⊥．（1）解：因为E 为BC 的中点，F 是PB 的中点，所以//EF PC ，DPC ∴∠为异面直线PD 和EF 所成的角或其补角由题意可知2,1,PD DC PC ===，故222cos2PD PC DC DPC PD PC +-∠===⨯∴sin DPC ∠=，∴1tan 2DPC ∠= 所以异面直线PD 和EF 所成的角的正切值为12； （2）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA DA ⊥， 又DA AB ⊥，PAAB A =，所以DA ⊥平面PAB ，又//DA BC ，所以BC ⊥平面PAB ， 而AF ⊂平面PAB ，所以FA BC ⊥， 又在等腰三角形PAB 中，中线FA PB ⊥，PB BC B =，所以AF ⊥平面PBC ，而PE ⊂平面PBC ， 所以无论点E 在BC 边的何处，都有PE AF ⊥21．（12分）ABC ∆内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(cos cos )b c a B C +=+． （1）求A ∠；（2）若a ，b ，c 成等差数列，求sin sin B C +．解：（1）由正弦定理及(cos cos )b c a B C +=+，得sin sin sin (cos cos )B C A B C +=+， 所以sin()sin()sin cos sin cos A C A B A B A C +++=+，即sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos A C A C A B A B A B A C +++=+， 所以cos sin cos sin 0A C A B +=，即cos (sin sin )0A C B +=， 因为sin 0B >，sin 0C >，所以cos 0A =，即2A π=．（2）因为2A π=，所以sin b B a =，sin cC a=，因为a ，b ，c 成等差数列，所以2a c b +=，即21c b a a +=①， 在Rt ABC ∆中，有222b c a +=，即22()()1b c a a+=②， 联立①②得，45b a =，35c a =，所以7sin sin 5B C +=． 22．（12分）已知数列{}n a 中，11a =，1(1)(3)4n n a a +-⋅+=-．（1）证明数列1{}1n a +为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若212(1)n n n b n a -=⋅⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）若存在*n N ∈，使得2123(3)(3)(3)(3)n a a a a kn +⋅+⋅+⋯⋯+成立，求实数k 的取值范围．（1）证明：由1(1)(3)4n n a a +-⋅+=-．得11(1)(1)2(1)(1)0n n n n a a a a +++⋅+-+++=． 1221011n n a a +∴-+=++，∴1111112n n a a +-=++， ∴数列1{}1n a +是以11112=+为首项，12为公差的等差数列，∴111(1)1222n n n a =+-⋅=+， 21n a n∴=-； （2）解：2112(1)2n n n n b n a n --=⋅⋅+=⋅，01211222322n n T n -∴=⋅+⋅+⋅++⋅， 12321222322n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅，01211(12)121212122221212n n nn n n n T n n n --∴-=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅=-⋅=--⋅-， (1)21n n T n ∴=-⋅+； （3）解：21322n n a n n++=+=⋅， 1232341(3)(3)(3)(3)22222(1)123n n n a a a a n n+∴+⋅+⋅+⋯⋯+=⋅⨯⋅⨯⋅⨯⋯⋯⨯⋅=+， 存在*n N ∈，使得2123(3)(3)(3)(3)n a a a a kn +⋅+⋅+⋯⋯+成立，∴存在*n N ∈，使得22(1)n n kn +成立，212n n k n +∴⨯， 又当4n 时，22n n 恒成立，当2n =时，2123n n n +⨯=，当1n =时，2124n n n +⨯=，当3n =时，213229n n n +⨯=，当4n =时，2125n n n +⨯=， 当3k 时，存在*n N ∈，使得2123(3)(3)(3)(3)n a a a a kn +⋅+⋅+⋯⋯+成立， ∴实数k 的取值范围为[3，)+∞．。
吉林油田高级中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学(理)试卷
吉林油田高级中学第二学期期末考试高一数学试题（理科）（考试时间：120分钟，满分：150分 ）（可能用到的公式:22221=()=)3V h r Rr R S r R Rl rl ππ+++++圆台圆台，（,232214=,=,=,=33V r h V r V r h S r rl πππππ+圆锥球圆柱圆锥表面积，2=22S rl r ππ+圆柱表面积）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 集合，则 （ ）A. B. C. D. 2. 直线0tan 0x =的倾斜角为（ ）A.0oB.45oC.90oD.不存在 3. 在ABC ∆中，已知cos cos a B b A =，那么ABC ∆一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形4. 已知00sin 60,cos 60a b ==，A 是,a b 的等差中项，正数G 是,a b 的等比中项，那么,,,a b A G 从小到大的顺序关系是 （ ）A ．b A G a <<<B ．b G A a <<<C ．b a A G <<<D ．b a G A <<< 5. 以下命题正确的是 （ ）A ．两个平面可以只有一个交点B ．一条直线与一个平面最多有一个公共点C ．两个平面有一个公共点，它们可能相交D ．两个平面有三个公共点，它们一定重合6. 直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是（ ） A. 3+2-10x y = B. 3+270x y += C.2350x y -+=D. 2380x y -+=7. 已知点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域内运动，则z x y =- 的{|21},{|0}A x x B x x =-<<=≥AB ={}|2x x >-{}|0x x ≥{|01}x x ≤<{|21}x x -<<取值范围是 （ ）A ．[－2，－1]B ．[－2,1]C ．[－1,2]D ．[1,2]8. 已知一圆的圆心为点(1,1)-,一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上,则此圆的方程是（ ）A. 22(1)(1)8x y -++=B. 22(1)(1)8x y ++-= C. 22(1)(1)2x y ++-= D .22(1)(1)2x y -++= 9. 某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A.283πB.163πC.483π+D.12π10. 已知正数,x y 满足118=+y x ，则2x y +最小值为 （ ）A. 16B.17 C ．18 D.1911. 直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A,B 两点,则弦AB 的长等于（ ） A. 1B.3C. 32D. 3312. 若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于 （ ）A.6B.7C.8D.9第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．在中,,,,,A B C a b c 的对边分别为 若,则的外接圆的面积为 .14.若空间两条直线,a b 没有公共点，则直线,a b 的位置关系为 .15. 二次方程22(1)20x a x a +++-= 有一个根比1大，另一个根比1小,则a 的取值范围是 .(用集合或区间表示)16. 已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=交于P ，Q 两点，O 为坐标原点， 若OP OQ ⊥， 则实数m = .三.解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)ABC ∆21cos ,3-==A a ABC ∆已知直线l ：240x y -+=在x 轴上的截距为m ，在y 轴上的截距为n . （1）求实数m ，n 的值； （2）求点(),m n 到直线l 的距离.18. （本题满分12分） 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前 n项和为nS ．（1）求na 和nS ；（2）令*24()1n n b n N a =∈-，求数列{}n b 的前 n 项和n T ．19. （本题满分12分）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a ,b ,c ，若21sin sin cos cos =-C B C B ．（1）求角A 的大小；（2）若a =求ABC ∆的面积的最大值．20. （本题满分12分）已知梯形，按照斜二测画法画出它的直观图，如图所示，其中,,， 求：(1)梯形ABCD 的面积（2）梯形ABCD 以为旋转轴旋转一周形成的几何体的表面积和体积ABCD ''''A B C D ''2A D =''4B C =''1A B =BC已知，圆C ：228120x y y +-+=，直线l ：20ax y a ++=.（1）当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；（2）当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =l 的方程.22. （本题满分12分）已知在等比数列{}n a 中，213121,1a a a a =+-=，数列{}n b 满足321()23n n bb b b a n n *+++⋅⋅⋅+=∈N .（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，若*n ∈N 任意，n n S a λ>恒成立，求λ的取值范围.答案二.填空题答案13. 12π 14. 平行或异面 15. -1<a<0 16. 3 17. （1）在方程240x y -+=中，令0y =，得2x =-，所以2m =-； 令0x =，得4y =，所以4n =． （2）由（1）得点(),m n 即为()2,4-，所以点(),m n 到直线l的距离为d ==.18. （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由37a =，5726a a +=，得：112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：13,2a d ==，∴32(1)n a n =+-，即21n a n =+，∴21()(321)222n n n a a n n S n n +++===+，即22n S n n =+． ...............6分 （Ⅱ）22441111(21)1(1)1n n b a n n n n n ====--+-++， ∴11111111223111n nT n n n n =-+-++-=-=+++19. （1）23A π=（2）20. 解：(1)6（2）由斜二测画法可知AB=2，BC=4，AD=2进而DC=，旋转后形成的几何体的表面积283V π=21. 将圆C 的方程228120x y y +-+=配方得标准方程为()2244x y +-=， 则此圆的圆心为()0,4，半径为2. （1）若直线l 与圆C 2=，化简得43a =-，34a =-. 222212221222222(122S AB AB AD AB CD πππππππ=+⨯+⨯⨯=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+（2）当直线l 与圆C 相交于A 、B两点，AB = 圆的半径为2，=，整理得2870a a ++=解得：7a =-或1a =-，∴直线l 的方程是7140x y -+=和20x y -+=.22. (Ⅰ)设公比为q ，则21222n n q q q a -=⇒=⇒=.111b a ==.……………………………………………………………………………………2分2n ≥时，122212222n n n n nn n n b a a b n n -----=-=-=⇒=⋅.∴21,12,2n n n b n n -=⎧=⎨⋅⎩≥………………………………………………………………………5分（Ⅱ）012122322n n S n -=+⋅+⋅++⋅，1212222322n n S n -=+⋅+⋅++⋅，两式相减得：1221112222(1)21n n n n S n n ---=-----+⋅=-⋅+.∴1n =时，11S =；2n ≥时，012122322n n S n -=+⋅+⋅++⋅，1212222322n n S n -=+⋅+⋅++⋅，两式相减得：1221112222(1)21n n n n S n n ---=-----+⋅=-⋅+.∴*n ∀∈N ,有1(1)21n n S n -=-⋅+.……………………………………………………………7分 nn n nS S a a λλ>⇒<,记nn nS c a =，则111(1)211122n n n n n c n ----⋅+==-+， ∴11111(1)10222n n n n n c c n n +--=+---=->，∴数列{}n c 递增，其最小值为11c =.故1λ<.…………………………………………………………………12分。
河北省优质高中2024年高一下学期期末质量检测数学试卷(解析版)
2023-2024学年河北省优质高中高一下学期期末质量检测数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{}2,4UM = ，则（）A.1M ⊆B.4M⊆ C.5M∈ D.3M∉【答案】C 【解析】【分析】由补集运算得出集合M ，再由元素与集合的关系判断．【详解】因为全集{}{}1,2,3,4,5,2,4U U M == ，所以{1,3,5}M =， 根据元素与集合的关系可知，ABD 错误，C 正确． 故选：C ．2.已知0,R a b >∈，则“||||a b >”是“a b >”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】因为0a >，所以||a a =，所以||||||a b a b >⇔>，而||b b ≥， 当||||a b >，则a b >；当a b >时，若1,2a b ==−，则||||a b >不成立， 故“||||a b >”是“a b >”的充分而不必要条件． 故选：A ．3.为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，乡政府采用按比例分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村的人数之比是9:5，被抽到的参与环保调研的村民中，甲村的人数比乙村多8人，则参加调研的总人数是（ ） A.28 B.42C.56D.70【答案】A 【解析】【分析】根据分层抽样的要求计算即可．【详解】设被抽取参与调研的乙村村民有x 人，则根据分层抽样按两村人口比例，甲村被抽取参与调研的有9x 人，乙村为5x ，所以958x x −=，即2x =，所以参加调研的总人数9528x x += 故选：A ．4. 已知21,e e 是夹角为34π的单位向量，则1e 在2e 方向上的投影向量为（ ）A. 1B. 2C. 2D. 1e【答案】B 【解析】【分析】直接利用投影向量定义及数量积的几何意义进行求解即可．【详解】因为21221122222cos ,e e e e e e e e e e ⋅⋅=⋅=． 故选：B ．5. 下列结论正确的是（ ） A. 空间三点可以唯一确定一个平面B. 如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行C. 若平面α⊥平面β，且l αβ= ，则平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线 D 已知平面α和直线m ，则α内至少有一条直线与m 垂直 【答案】D 【解析】【分析】根据空间中的共面问题、空间中直线与平面的位置关系和空间中平面与平面的位置关系逐一判定即可．【详解】解：对于A ，要求三点不共线才可以唯一确定一个平面，故A 错误; 对于B ，显然对于两个相交平面，其中一个平面内有无数条直线与交线平行， 则由线面平行的判定定理易知该平面内有无数条直线与另一个平面平行， 但这两个平面不平行，故B 错误;对于C ，在平面α内取平行于交线的直线时，该直线不满足C 选项的说法，故C 错误;对于D ，已知平面α和直线m ，无论m 与α是何种位置关系，α内都有无数条直线与m 垂直，故D 正确． 故选：D.6. 已知π35π12π3ππcos ,sin ,,,0,45413444αβαβ−=+=−∈∈，则cos()αβ+=（ ）A 3365−B.3365C. 6365−D.6365【答案】A 【解析】【分析】先求出πsin 4α −和5πcos 4+ β的值，利用cos()cos()+=−++αβπαβ5ππcos 44=−+−− βα，即可求出cos()αβ+的值．【详解】π35π12π3ππcos ,sin ,,,0,45413444−=+=−∈∈αβαβππ5π5π3π0,24442∴−<−<<+<αβ， π45π5sin ,cos 45413 ∴−=−+=−αβ，5ππcos()cos(π)cos 44∴+=−++=−+−− αβαββα5ππ5ππcos cos sin sin 4444=−+−−+−βαβα531243313513565=−−×−−×−=−故选：A.7. 下列说法正确的是（ ）A. 互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B. 若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件 C. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为25D. 事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率不一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大 【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件和古典概型及其计算逐一判定即可．.【详解】对于A ，由互斥事件和对立事件的关系可判断，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A 错误;对于B ，由()()1P A P B +=，并不能得出A 与B 是对立事件， 举例说明：现从a ，b ，c ，d 四个小球中选取一个小球，已知选中每个小球的概率是相同的， 设事件A 表示选中a 球或b 球，则1()2P A =，事件B 表示选中b 球或c 球，则1()2P B =，所以()()1P A P B +=，但A ，B 不是对立事件，故B 错误; 对于C ，该试验的样本空间可表示为：{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9)(5,7,9)}Ω=，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个，故所求概率310P =，故C 错误; 对于D ，若A ，B 是互斥事件，事件A ，B 中至少有一个发生的概率等于A ，B 中恰有一个发生的概率，故D 正确． 故选：D.8. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．其答案如下：当三角形的三个角均小于120 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成120 角;当三角形有一内角大于或等于120 时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且22()6,sin sin 2B Ca b c b a B +−−==，若P 为ABC 的费马点，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=（ ） A. 3− B. 2−C. 6−D. 32−【答案】A 【解析】【分析】根据正弦定理求出A ，结合题设易知点P 一定在ABC 的内部，再利用余弦定理、向量的数量积求出结果． 【详解】由sinsin 2B C b a B +=，及正弦定理得sin sin sin sin 2B CB A B +=，因为0πB <<，所以sin 0B >，消去sin B 得sinsin 2B CA +=． 因为0π,0π2+<<<<B C A ，故2B CA +=或π2BC A ++=， 而根据题意πA B C ++=，故π2B C A ++=不成立， 所以2B C A +=，又因为πA B C ++=，代入得3πA =，所以π3A =． 由三角形内角和性质可知，ABC 的三个内角均小于120 ， 结合题设易知点P 一定在ABC 的内部．由余弦定理可得22222()22(1cos )6a b c a b c bc bc A bc −−=−−+=−==，解得12π12π12π||||sin ||||sin ||||sin 232323△=⋅+⋅+⋅⋅ ABC S PA PB PB PC PA PC1sin 2bc A=， 所以||||||||||||6PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=，所以PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅2π2π2π||||cos ||||cos ||||cos 333=⋅+⋅+⋅ PA PB PB PC PA PC(2πcos 33PA PB PB PC PA PC =⋅+⋅+⋅=− ．故选：A .【点睛】思路点睛：解题的思路是由正弦定理求出A ，结合题设易知点P 一定在ABC 的内部，再利用余弦定理、向量的数量积求出答案．二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 若复数z 满足(2i)43i z +=−（其中i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A. z 在复平面内对应的点位于第四象限B. 5z z ⋅=（z 是z 的共轭复数）C. 254i z =−D. 若12z =，则1z z −的最大值为2+ 【答案】ABD 【解析】【分析】先化简得出z ，再逐一判断选项即可． 【详解】43i (43i)(2i)510i12i 2i (2i)(2i)5z −−−−====−++−， 在复平面内所z 对应的点坐标为(1,2)−，在第四象限，故A 正确；(12i)(12i)145z z ⋅=−⋅+=+=，故B 正确；22(12i)144i 34i z =−=−−=−−，故C 错误；对于D ，12z =，则表示复数1z 的点P 的集合是以(0,0)为圆心，2为半径的圆， 而11(12i)z z z −=−−，即为点P 到点(1,2)M −之间的距离， 所以1z z −的最大值为22+=，故D 正确．故选：ABD .10. 如图，在ABC 中，,30,4AB AC C AB ⊥∠=°=，D 为线段AC 的中点，DM BC ⊥，F 为线段AB 的中点，E 为线段DM 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A. 若E 为线段DM 的中点，则1122EF DA MB =+B. 若E 为线段DM 的中点，则9||2EF =C. 16FM FD ⋅=D. EF AB ⋅取值范围为[2,8] 【答案】ACD 【解析】【分析】结合向量的加减与数乘混合运算，向量的数量积的概念及其运算等知识，逐一分析可得出结果． 【详解】对于A，由题易知：8,BC AD CD ===的所以3,CM DM ==则5,,30,,150BM BC CM DA MB ED AB =−=<>=°<°>= ．EF ED DA AF=++ ，且EF EM MB BF =++， 因为F 为线段AB 的中点，所以两式相加得1122EF DA MB =+，故A 正确． 对于B ，由题意可知DM BC ⊥，则CD CM CB CA =，解得：3CD CA CM CB ⋅==，所以5BM =，所以由A可知：||EF =B 错误； 对于C ，设G 为线段DM的中点，则12GMDM ==， 则()()()()FM FD FG GM FG GD FG GM FG GM ⋅=+⋅+=+⋅−222216FG GM =−=−= ，故C 正确; 对于D ，()EF AB ED DA AF AB ED AB DA AB AF AB ⋅=++⋅=⋅+⋅+⋅210||4cos150088||2ED AB AB ED ED =⋅++=⋅°++=−，又||ED ∈，所以[2,8]EF AB ⋅∈，故D 正确．【点睛】本题考查了向量的加减与数乘混合运算，向量的数量积的概念及其运算，属于中档题．11. 六氟化硫，化学式为6SF ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）．如图所示，正八面体E ABCD F −−的棱长为a ，则下列说法中正确的是（ ）A. 此八面体的表面积为2B. 异面直线AE 与BF 所成的角为45C. 若点P 为棱EB 上的动点，则AP CP +D. 此八面体的外接球与内切球的体积之比为【答案】ACD 【解析】【分析】求解此八面体的表面积可判断A ；根据异面直线所成的角可判断B ；展开平面BEC 与平面ABE 在一个平面上时，再连接AC 可判断C ；分别求得外接球与内切球体积判断D ． 【详解】对于A ，由正八面体，则EF 与AC 垂直相交，且长度相等，设交点为O ， 则O 即为正方形ABCD 的中心，由正八面体棱长为a a 的正三角形，则此八面体的表面积为2182a ××，故A 正确； 对于B ，由EF 与AC 垂直相交，且长度相等，则四边形AECF 为正方形，//AE FC ， 则直线AE 与BF 所成的角，即为BF 与CF 所成的角，正BCF △中60BFC ∠= ，故异面直线AE 与BF 所成的角为60 ，故B 错误；对于C ，展开平面BEC 与平面ABE 在一个平面上时，再连接AC ，此时点P 为EB 中点时，AP CP +取得最小值为2，故C 正确；对于D ，由O，则O 为外接球球心，外接球半径为R =，则外接球体积为34π3 ×， 由题意可知O 到各面的距离相等，设为h ， 由E ABCD O ABE O BCE O CDE O ADE V V V V V −−−−−=+++，可得2211433a h ×=×，解得h =， 则O为内切球球心，内切球半径为r =，则内切球体积为34π3×，=，故D 正确；故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：展开平面BEC 与平面ABE 在一个平面上时，再连接AC 是解答C 选项的关键点．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数0,()ln(),0,x f x x x ≥=−<则()()2e f f −=__________．【解析】【分析】利用分段函数0x <的解析式求出()2e 2f −=，所以()()()2e 2f f f −==【详解】因为函数0,()ln(),0,x f x x x ≥=−< ，则()22e ln e 2f −==，所以()()2e (2)f f f −==.13. 已知0,0a b >>，且9a b ab +=，则4a b +的最小值为__________． 【答案】49 【解析】【分析】由9a b ab +=可得191a b +=，即有1949(4)37b a a b a b a b++=++，再由基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件.【详解】因为0,0a b >>且9a b ab +=，所以191a b+=，所以19494(4)136********b a a b a b a b a b+=++=+++≥+=+=，当且仅当49b aa b=即217,2a b ==时取等号，所以4a b +最小值为49. 故答案为：49．14. 我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是“函数()y f x a b =+−为奇函数”．易知21()21x x f x -=+为奇函数，则12()221x g x −=−+的图象的对称中心为__________；()2(2)2g xg x +−<的解集为__________．【答案】 ①. (1,1) ②. {01}xx <<∣ 【解析】【分析】由题意，可得()(1)1f x g x =+−为奇函数，进一步即可求出()g x 的图象的对称中心；()2(2)2g x g x +−<可化为()22(2)g x g x <−−即()2()g x g x <，从而求解可得．【详解】因为212()12121x x xf x −==−++为奇函数，而12()221x g x −=−+，即()(1)1f x g x =+−为奇函数，由题意知，()g x 的图象的对称中心是(1,1)； 所以2()(2)g x g x =+−，从而()2(2)2g x g x +−<可化为()22(2)g x g x <−−，即()2()g x g x <，由1221x y −=+为R 上单调递减函数，所以为R 上单调递增函数，所以2x x <，即01x <<． 故()2(2)2g xg x +−<的解集为{01}xx <<∣． 故答案为：①(1,1)；②{01}xx <<∣. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =−−． （1）求()f x 的最小正周期;（2）当π0,2x∈时，求()f x 的值域．【答案】（1）πT =（2）[ 【解析】【分析】（1）利用平方差公式、倍角公式的逆用、辅助角公式将()f x 化成单角单函数，再利用2πTω=得到()f x 的最小正周期；（2）当π0,2x∈ 时，ππ5π2,444x +∈，利用余弦函数的图象，求得函数()f x 的值域．【小问1详解】()()422224cos sin 2sin s ()cos sin co sin 2sin cos cos f xx x x x x x x x x x −+−−=−=πcos 2sin 224x x x=−=+，所以2ππ2T ==． 【小问2详解】π0,2x∈ ，所以ππ5π2,444x +∈，所以πcos 24x +∈− ，所以()[f x ∈.所以函数()f x的值域为[．16.已知向量3(2,0),2ab = ．（1）若()()a b a b λ+⊥−，求实数λ的值;（2）若ka b + 与2a b −的夹角为钝角，求实数k 的取值范围．【答案】（1）76λ= （2）{35k k <−且2k ≠−} 【解析】【分析】（1）由已知()()0a b a b λ+⋅−=，代入坐标表示，可得所求；（2）由已知可得()(2)0ka b a b +⋅−< ，且ka b + 与2a b −不共线，代入坐标表示，可得所求．【小问1详解】因为()()a b a b λ+⊥−，所以()()0a b a b λ+⋅−= ．因为3(2,0),2ab =，所以73,2,22a b a b λλ +=−=−， 所以()()760a b a b λλ+⋅−=−= ，解得76λ=．【小问2详解】由已知可得()(2)0ka b a b +⋅−< ，且ka b + 与2a b −不共线，因为352,2,22ka b k a b +=+−=， 由()(2)0ka b a b +⋅−<，可得352022k+×+< ，解得35k <−． 若ka b + 与2a b −共线，则可得35222k+×=，解得2k =−，所以由ka b + 与2a b −不共线可得2k ≠−，所以k 的取值范围为35k k <−且}2k ≠−． 17. 2023年以来，河北省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长的同时，也使“这么近，那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．现为进一步发展河北文旅，提升河北经济，在5月份对来冀旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中4b a =．（1）求图中a 的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若有超过60%的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．河北省5月份文旅成绩合格了吗?（3）河北文旅6知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 【答案】（1）0.01a =，79.5（2）合格 （3）总样本平均值为86，总样本方差为96 【解析】【分析】（1）利用频率和为1，即可求出a 值，再求平均值即可；（2）超过60%的人满意度在75分及以上，即为40%分位数大于等于75，求估计40%分位数为540757>，即可判断；（3）根据题意结合总样本的平均数、方差公式，即可求出． 【小问1详解】由题意知40.050.1a a ++=，解得0.01a =． 估计满意度得分的平均值为650.15750.35850.4950.179.5x=×+×+×+×=．的【小问2详解】超过60%的人满意度在75分及以上，即为40%分位数大于等于75，以为满意度在[60,70)的频率为0.150.4<，满意度在[60,80)的频率为0.50.4>， 可知40%分位数位于[70,80)． 则0.40.1554070100.50.157−+×=−，可以估计40%分位数为540757>，所以有超过60%的人满意度在75分及以上，河北省5月份文旅成绩合格了． 【小问3详解】把6月1日-6月15日的样本记为1240000,,,x x x ，其平均数记为x ，方差记为2x s ， 把6月16日-6月30日的样本记为1260000,,,y y y ，其平均数记为y ，方差记为2y s ， 则总样本平均数464680908610101010z x y =×+×=×+×=， 则总样本方差()()()(){}4000060000222222211114610000010i i x y i i s x z y z s x z s y z == =−+−=×+−++−∑∑ {}221475(8086)670(9086)9610=××+−+×+−= ， 所以总样本平均值为86，总样本方差为96．18. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P ABCD −中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且2PD CD ==，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE ．（1）证明：//PA 平面BDE ；（2）证明：DE ⊥平面PBC ．试判断四面体E BCD −是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由;（3）若二面角E BD C −−为π3，求点A 到平面EBD 的的距离 【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析 （3）1． 【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理，即可得； （2）证明BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体E BCD −的四个面都是直角三角形，即可得出结论；（3）取DC 的中点F ，连接EF ，过F 作FG BD ⊥，连接EG ．然后通过线面垂直可得点A 到平面EBD 的距离=点C 到平面EBD 的距离=点F 到平面EBD 的距离的2倍，进而求出结果． 【小问1详解】如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，则点O 为AC 的中点，又因为E 为PC 的中点，所以PA OE ∥， 又PA ⊂平面,BDE OE ⊂平面BDE ， 所以//PA 平面BDE【小问2详解】因为PD ⊥底面ABCD ， 所以PD BC ⊥， 因为ABCD 为长方形， 所以BC CD ⊥， 因为PD CD D ∩=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC⊥平面PCD ，因为DE ⊂平面PCD ， 所以BC DE ⊥，因为PD CD =，点E 是PC 的中点， 所以DE PC ⊥， 因为PC BC C ∩=， 故可得,PC BC ⊂平面PBC ， 所以DE ⊥平面PBC ， 由BC⊥平面,PCD DE ⊥平面PBC ，可知四面体E BCD −的四个面都是直角三角形，即四面体E BCD −是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠； 【小问3详解】如图，取DC 的中点F ，连接EF ，过F 作FG BD ⊥，连接EG ． 因为,E F 分别是,PC DC 的中点，所以EF PD ， 所以EF ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以EF BD ⊥，又因为,,,FG BD EF FG F EF FG ⊥=⊂ 平面EFG ， 所以BD ⊥平面EFG ，所以EGF ∠就是二面角E BD C −−的平面角，即π3EGF ∠=，所以tan EGF ∠1EF =，得FG =过F 作FH EG ⊥，因为BD ⊥平面,EFG FH ⊂平面EFG ，所以BD FH ⊥，又因,,BD EG G BD EG =⊂ 平面EBD ，所以FH ⊥平面EBD ， 在Rt EFG △中，1,EF FG==12FH =．因为,AC BD 互相平分，F 是DC 的中点，所以点A 到平面EBD 的距离=点C 到平面EBD 的距离=点F 到平面EBD 的距离的2倍1=， 即点A 到平面EBD 的距离为1．为19. 定义：双曲余弦函数e e cosh()2x x x −+=，双曲正弦函数e e sinh()2x xx −−=．（1）求函数cosh(2)sinh()yx x +的最小值;（2）若关于x 的不等式()()22222(1)ln cosh sinh x a xa x −>+ 的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围; （3）若3π,42πx∈，试比较cosh(sin )x 与sinh(cos )x 的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（1）78（2）3423a −<≤−或4332a ≤<（3）cosh(sin )sinh(cos )x x >，证明见解析 【解析】【分析】（1）利用新定义得出()()211cosh(2)sinh()e e e e 122x x x xy x x −−=+=−+−+，令e e x x t −=−，得出2211117122228y t t t =++=++ ，结合二次函数的性质，即可求出结果；（2）根据新定义，不等式化为222(1)x a x −>，根据题意，结合零点存在定理得出2(3)010,(2)0h a h −≤ −<−>，由此即可求出结果； （3）得出结论：π3π,,cosh(sin )sinh(cos )42x x x ∀∈> ，利用作差法，分π5π,44x ∈和5π3π,42x∈讨论，即可证出结果． 【小问1详解】依题意有()()222e e e e 11cosh(2)sinh()e e e e 12222x x x x x x x xy x x −−−−+−=+=+=−+−+，令e e x x t −=−，则2211117122228y t t t =++=++ ，因为函数e ,e x x y y −==−在R 上单调递增， 所以e e x x t −=−在R 上单调递增， 因为x ∈R ，所以R t ∈， 所以当12t =−，即e x =x =时， 函数cosh(2)sinh()yx x +有最小值78；【小问2详解】 因为()()22222222ln cosh sinh ln e a x a xa x a x +==， 所以原不等式可化为222(1)x a x −> 即()221210ax x −−+>，为满足题意，必有210a −<，即1a <−或1a >①， 令()22()121h x axx =−−+，由于2(0)10,(1)h h a =>=−，结合①可得(1)0 h <，所以()h x 的一个零点在区间()0,1上，另一个零点在区间[3,2)−−上，从而(3)0(2)0h h −≤ −> ，即()()22221(3)2(3)101(2)2(2)10a a −×−−×−+≤ −×−−×−+> ，② 由①②可得3423a −<≤−或4332a ≤<； 【小问3详解】π3π,,cosh(sin )sinh(cos )42x x x∀∈>，依题意，sin sin cos cos π3πe e e e ,,cosh(sin )sinh(cos )4222x x x x x x x −−+−∈−=− ()sin cos sin cos 1e e e e 2x x x x−−=−++，当π5π,44x∈时，[]ππ0,π,sin cos 044x x x x−∈−=−≥，即sin cos x x ≥，于是sin cos 0e e x x −≥， 而sin cos 0e e x x −−+>，因此cosh(sin )sinh(cos )0x x −>， 当5π3π,42x∈时，cos 0x ≤，则cos cos x x −≥， 所以cos cos e e x x −≥，即cos cos e e 0x x −−≥， 而sin sin 0e e x x −+>，因此cosh(sin )sinh(cos )0x x −>， 于是π3π,,cosh(sin )sinh(cos )042x x x∀∈−>， 所以cosh(sin )sinh(cos )x x >．【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
O O OO 绝密★启用前江西省抚州市2012~2013学年度高一下学期期末考试理 科 数 学 模 拟 试 题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 2. 有下列四个命题：（1）过三点确定一个平面；（2）矩形是平面图形；（3）三条直线两两相交则确定一个平面；（4）两个相交平面把空间分成四个区域其中错误命题的序号是（ ）A ．（1）和（2）B ．（1）和（3）C ．（2）和（4）D ．（2）和（3） 3. ,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖ 4. 不等式2360x y +-≤表示的平面区域是（ ）A ．B ．C ．D ．5. 如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d =f (l )的图像大致是（ ）6. 一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是（ ）A ．4B ．5C ．1D ．7. 圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半，则此截面分圆锥的高为上、下两段的比为（ ）A ．1:1)B ．1:2C ．D ．1:48. (2013·江西高考数学·理)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB //CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ,EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m +n =（ ）A.8B.9C.10D.119. 设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ,b ]上的两个函数，若对任意x ∈[a ,b ]，都有| f (x )-g (x )|≤1成立，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“紧密函数”．若f (x )=x 2-3x +2与g (x )=mx -1在[1,2]上是“紧密函数”，则m 的取值范围是（）A ．[0,1]B ．[2,3]C ．[1,2]D ．[1,3]210．关于函数R x x x f ∈-=),42sin()(π，下列四个命题：（1）y =f (x )的图象可以通过函数y =sin 2x 的图象向右平移4π得到； （2）函数f (x )在区间)89,87(ππ内是增函数；（3）由0)()(21==x f x f ，可得21x x -必是π的整数倍； （4）存在),0(πα∈，使)3()(αα+=+x f x f 成立. 其中正确的命题个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0第Ⅱ卷（非选择题 共100分）11．角α的终边过点（－1,2），则αcos ＝______.12．已知R a ∈，函数)( ,sin )(R x a x x f ∈+= 是奇函数，则=a13．如图为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A 、B 望对岸的标志物C ，测得,120,75,30m AB CBA CAB ==∠=∠ 则这条河的宽度为 m.14．△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a ,b ,c ，重心为G ，若c b a =++ 33，则∠A ＝______.三．选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做按其中一题评阅计分。
本题共5分。
15．（1）已知函数,)0(,cos 2)0(,)21()(⎪⎩⎪⎨⎧<<≤=πx x x x f x若,2)]([= x f f 则= x . （2）对于函数()2cos ,[0,]f x x x π=-∈与函数21()ln 2g x x x =+有下列命题： ①无论函数()f x 的图像通过怎样的平移所得的图像对应的函数都不会是奇函数； ②函数()f x 的图像与两坐标轴及其直线x π=所围成的封闭图形的面积为4； ③方程()0g x =有两个根；④函数()g x 图像上存在一点处的切线斜率小于0；⑤若函数()f x 在点P 处的切线平行于函数()g x 在点Q 处的切线，则直线PQ 的斜率为12π-， 其中正确的命题是________。
（把所有正确命题的序号都填上）四．解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、（本小题满分12分）已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题．求c 的取值范围．17、（本小题满分12分）已知函数R x x x x f ∈+=x ,1cos 2cos sin 32)(2 － （1）求函数)(x f 在区间]2,0[π上的最小值，及此时相应的x 的值；（2）把)(x f 的图象向右平移)0(>m m 个单位后，所得的图象关于y 轴对称，求m 的最小值.18、（本小题满分12分）如下的三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它 的主视图和左视图在右面画出（单位：cm ）.（1）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（2）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG 。
19、（本题满分12分）已知三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ，AB =BC ，D 、F 分别为AC 、PC 的中点，DE⊥AP 于E 。
（1）求证：AP ⊥平面BDE ； （2）若AE ：EP =1：2，求截面BEF 分三棱锥P —ABCA420、（本题满分13分）现已知若集合A 具有以下性质：①0,1;A A ∈∈②若,x y A ∈，则x y A -∈，且时，1A x∈.则称集合A 是“好集”.（Ⅰ）分别判断集合{}1,0,1B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由； （Ⅱ）设集合A 是“好集”，求证：若,x y A ∈，则x y A +∈； （Ⅲ）对任意的一个“好集”A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由.命题p ：若,x y A ∈，则必有x ·y ∈A ；命题q ：若,x y A ∈，且x ≠0，则必有yA x∈； 21、（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，11a =，()*1122(...)n n na a a a n N +=+++∈．（1）求234,,a a a ；（2）求数列{}n a 的通项n a ； （3）设数列{}n b 满足21111,2n n n kb b b b a +==+，求证：1()n b n k <≤CDEFGA'B'C'D'绝密★启用前江西省抚州市2012~2013学年度高一下学期期末考试理科数学模拟试题（参考答案）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1~5 CBDDC6~10 AAAAB二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
11．55-12．013．6014．6π三．选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做按其中一题评阅计分。
本题共5分。
15．（1）π32（2）②⑤四．解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、解：由命题p知：0＜c＜1.由命题q知：2≤x＋1x≤52要使此式恒成立，则2＞1c，即c＞12.又由p或q为真，p 且q为假知，p、q必有一真一假，当p为真，q为假时，c的取值范围为0＜c≤12. 当p为假，q为真时，c≥1. 综上，c的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫c⎪⎪0＜c≤12或c≥1.17、解：（1）)62sin(2)(π+=xxf当ππ6762=+x即2π=x时，1)(min-=xf……………6分（2）)(xf的图象向右平移)0(>mm个单位后得]6)(2sin[2π+-=mxy的图象则)622sin(2π+-=mxy为偶函数262πππ+=+-∴km Zk∈即62ππ-=km Zk∈3m i nπ=∴m……………12分18、解：（1）所求多面体体积V V V=-长方体正三棱锥………………………………………2分1144622232⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⎪⎝⎭)(32843cm=………………………………………5分（2）证明：在长方体ABCD A B C D''''-中，连结AD'，则AD BC''∥．…………………………7分因为E G，分别为AA'，A D''中点，所以AD EG'∥，……………………………………10分从而EG BC'∥．又BC'⊄平面EFG，所以BC'∥面EFG．………………………………………………………………12分19、解：（1）证明：⊥PC平面ABC，,ABCBD平面⊂BDPC⊥∴…………3分由AB=BC，D为AC的中点，得,ACBD⊥又,,PACBDCACPC平面⊥∴=⋂………………6分又.,PABDPACPA⊥∴⊂平面由已知,,DBDDEPADE=⋂⊥AP∴⊥（2）设点E和点A到平面PBC的距离分别为,21hh和则,3:2::21==APEPhhA6.31232313121=⋅=⋅⋅==∴∆∆----PBC PBF PBC A PBF E ABC P EBF P S h Sh V V V V 故截面BEF 分三棱锥P —ABC 所成上、下两部分体积的比为1：2。
…………12分 20、解：（Ⅰ）集合B 不是“好集”. 理由是：假设集合B 是“好集”.因为-1∈B ，1∈B ，所以-1-1=-2∈B . 这与-2∉B 矛盾.……………………2分有理数集Q 是“好集”. 因为0∈Q ，1∈Q ,对任意的x ,y ∈Q ，有x -y ∈Q ，且x ≠0时，1Q x∈.所以有理数集Q 是“好集”. ………………………………4分（Ⅱ）因为集合A 是“好集”，所以0∈A .若x ,y ∈A ，则0-y ∈A ，即-y ∈A .所以x -(- y )∈A ，即x +y ∈A . ………………………………………6分 （Ⅲ）命题p ,q 均为真命题. 理由如下： ………………………………………7分对任意一个“好集”A ，任取x ,y ∈A ， 若x ,y 中有0或1时，显然xy ∈A . 下设x ,y 均不为0，1. 由定义可知：111,,1x A x x-∈-.所以111A x x-∈-，即()11A x x ∈-.所以x (x -1)∈A . 由（Ⅱ）可得：x (x -1)+x ∈A ，即x 2∈A . 同理可得y 2∈A . 若x+y =0或x+y =1，则显然(x +y )2∈A .若x +y ≠0且x +y ≠1，则(x +y )2∈A . 所以2xy =(x +y )2-x 2-y 2∈A . 所以 12A xy∈。