3实数

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荥阳市五中八年级数学上册第3章实数3.3实数第1课时实数的概念教案新版湘教版

3.3实数第1课时实数的概念【知识与技能】从感性上认可无理数的存在，并通过探索说出无理数的特征，弄清有理数与无理数的本质区别，了解并掌握无理数、实数的概念以及实数的分类，知道实数与数轴上的点的一一对应关系. 【过程与方法】让学生经历数系扩展的过程，体会数系的扩展源于社会实际，又为社会实际服务的辩证关系 . 【情感态度】培养学生勇于发现真理的科学精神，渗透“数形结合”及分类的思想和对立统一、矛盾转化的辨证唯物主义观点. 【教学重点】无理数、实数的概念和实数的分类. 【教学难点】无理数与有理数的本质区别，实数与数轴上的点的一一对应关系.一、情景导入，初步认知我们在前面学过无理数，什么样的数是无理数呢？举例说明？【教学说明】复习相关内容，为本节课的教学作准备. 二、思考探究，获取新知1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？2、0、1、414、9、π、-32、32、0.1010010001… （相邻两个1之间逐次增加一个0）【教学说明】学生自己回忆有理数、无理数的分类，为引入实数的概念及分类作好铺垫．【归纳结论】有理数和无理数统称为实数.2.根据实数的概念，你能对实数分类吗？【归纳结论】实数以概念可分为：【教学说明】通过对实数进行分类，让学生进一步领会分类的思想，培养学生从多角度思考问题，为他们以后更好地学习新知识作准备.同时也能使学生加深对无理数和实数的理解.3.任何有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，那么无理数是否可以用数轴上的点来表示呢？思考：如何用数轴上的点表示无理数8和-8？我们已经知道，一个面积为8的正方形的边长是8，因此我们以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与正半轴的交点M就表示8，与负半轴的交点N就表示-8，如图所示：这样，我们就分别用数轴上唯一的一个点表示出了无理数8和-8.事实上，每一个无理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示.【归纳结论】每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示.反过来，数轴上每一个点都表示唯一的一个实数.即：实数和数轴上的点一一对应.4.实数从正负性又如何分类呢？【归纳结论】实数分为正实数、零、负实数.5.有理数中有互为相反数的两个有理数，那么实数中有没有互为相反数的两个实数呢？举例说明.6.对于实数a的绝对值，又是什么样的呢？【归纳结论】设a表示一个实数，则：【教学说明】使学生通过类比的方式得到实数的相关知识，加深对实数的理解. 三、运用新知，深化理解1.教材P118例1.2.判断下列说法是否正确 (1)无限小数都是无理数 (2)有理数都是有限小数 (3)无理数都是无限小数 (4)带根号的数都是无理数答案：四个全是错的.3.实数x 满足x+x 2=0,则x 是( C ) A.非零实数 B.非负数 C.零和负数 D.负数 4.当x 时，式子102+x 有意义. 答案：≥-55.如图，在数轴上表示实数14的点可能是( C )A.点MB.点NC.点PD.点Q 6.下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ π、-3.1415926、113355、39、321、38、0、27、3π、0.5、3.14159、-0.020*******、13、22、3625、0.10010001…答案：略.7.求-364 、3-π的相反数和绝对值解：-364的相反数是364，绝对值是364；3-π的相反数是π-3，绝对值是π-3.【教学说明】巩固提高. 四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题3.3”中第1、2 题.本次教学，我坚持从兴趣入手，从差异入手，做到了在细致处求真、求创意，真正地使学生表明自己的看法，阐述自己的观点，大胆表现自我，张扬个性，体现出他们这个年龄应有的特点，因此，我认为这节课不仅很好地实现了知识与技能目标，对于过程与方法和情感态度与价值观两个目标的实现也非常到位，是比较成功的.15.3分式方程第2课时用分式方程解决实际问题一、新课导入1.导入课题：分式方程在实际生活、生产实践中有着广泛的应用，今天我们来学习列分式方程解决实际问题.2.学习目标：（1）会找出实际问题中的等量关系，熟练地列出相应的方程.（2）会解含字母系数的分式方程.（3）知道列方程解应用题为什么必须验根，掌握解题的基本步骤和要求.3.学习重、难点：重点：根据条件恰当设未知数列方程和解方程.难点：会从实际问题中获取有用的信息，准确找出相应的数量关系和等量关系.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第152页例3.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真阅读课本例题，按课本例题分析的思路填空，体会列方程每一步的依据.（4）自学参考提纲：①工程问题中，工作总量＝工作效率×工作时间.在没有具体的工作量时，常把总工程量看作1.②请认真读题，分析题意，完成课本分析中的填空.③问题中是用哪个等量关系来列方程的？甲队单独施工一个月完成的工程+甲乙两队共同工作半个月完成的工程=1④在例3的解答过程中的每一步骤后面标出步骤名称.2.自学：同学们结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生自学中存在的问题.②差异指导：对学生学习中存在的问题进行启发诱导.（2）生助生：将本题的分析过程讲给同桌听，帮助抓住问题关键条件.4.强化：（1）认真读题，找出相关的数量关系和等量关系，是解应用题的关键.（2）练习：某工厂准备加工600个零件，在加工了100个零件后，采取了新技术，使每天加工的效率是原来的2倍，结果共用了7天完成了任务，求该厂原来每天加工多少个零件？解：设该厂原来每天加工x个零件，则采用新技术后，每天加工2x个零件，去分母，得200+500=14x，系数化为1，x=50.检验：x=50时，2x≠0.所以x=50是原方程的根答：该厂原来每天加工50个零件.1.自学指导：(1)自学内容：教材第153页例4.（2）自学时间：5分钟.(3)自学方法：对照自学提纲，结合例3的解题经验，总结解答列分式方程解应用题的方法与步骤.(4)自学参考提纲：①这是一类分式方程的应用，有速度、路程、时间等三个量，它们之间的关系是路程=速度×时间.②题中的v、s是已知量还是未知量？未知量是什么？v、s是已知量.未知量是提速前列车的平均速度.③认真学习例题中的分析和解答过程，字母一定是表达未知量吗？不一定，需根据具体题目来分析确定.④按例题格式完成教材第154页“练习”的分析与解答.2.自学：同学们结合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生是否读懂例题的分析解答过程和归纳解题步骤是否完整.②差异指导：关注两个方面：a.等量关系；b.解字母系数的分式方程时,已知量可以是字母.（2）生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：(1)含字母系数的分式方程，分清已知量和未知量.（2）列方程解应用题的一般步骤：①分析题意，找出相等的数量关系；②设未知数，并用未知数表示相关的量；③列出方程；④解方程；⑤验根：Ⅰ.求得的解是不是原方程的解；Ⅱ.求得的解符不符合该实际问题；⑥作答.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获和学后体验.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：对学生的学习热情、态度、方法、成果、不足进行归纳点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本课时教学除了在一般意义上让学生经历“提出问题——构建模型——解决问题”的过程，还应让学生特别注意分式方程根的“检验”.一、基础巩固（每题10分，共50分）1.学校用420元钱购买“84”消毒液，经过讨价还价，每瓶比原价便宜了0.5元，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出的方程是（B）2.甲、乙两人同时从A地出发，骑自行车行30km到B地，甲比乙每小时少骑3km，结果乙早到40分钟，若设乙每小时走xkm,则可列方程（D）3.甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加入此项工作，且甲、乙两人的工作效率相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（A）A.8B.7C.6D.54.甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时甲追上乙.那么甲的速度是乙的速度的b ab a+-倍.5.一个分数的分母比它的分子大5，如果这个分数的分子加上14，分母减去1，所得的分数是原分数的倒数，求这个分数.解：设分子为x，则分母为x+5,所以根据倒数关系列方程为：解得：x=4检验，x=4时，(x+5)(x+14)≠0，所以，x=4是原分式方程的根.所以这个分数为49.二、综合应用（20分）6.为了支持爱心捐款活动，某校师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款的人数比第一天捐款的人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？人均捐款多少元？解：设第一天参加捐款的人数为x人，则可列方程为解得x=200（人）,检验：当x=200时，x(x+50)≠0,所以，原分式方程的解为x=200.两天共捐款人数为200+250=450（人），人均捐款为4800÷200=24（元）.答：两天共参加捐款的人数为450人，人均捐款24元.三、拓展延伸（30分）7.在某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成.（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？解：（1）解：设乙队单独完成这项工程需要x天，则根据题意可列方程为解得x=90.经检验:x=90时原方程的根.所以，乙队单独完成这项工程需要90天.（2）甲队单独做工程款：60×3.5=210(万元).乙队单独做需要90天，超过了70天.甲乙合作工程款：36×(3.5+2）=198（万元）∴甲、乙合作完该工程最省钱.抽样调查1．为了完成下列任务，你认为可采用什么调查方式？（1）了解全国八年级学生的体重，掌握学生的身体发育情况；（2）考察一批炮弹的杀伤半径；（3）了解本班同学每周的睡眠时间；（4）为了体现公平的体育精神，关爱运动员的身心健康，国际奥委会明令禁止运动员服用违禁药物．为了了解奥运会上运动员的执行情况，对运动员进行的尿样检查．2．小明、小亮和小丽想要了解他们所生活的小区里小朋友的年龄情况，小明调查了当天在院子里玩耍的小朋友，情况如图1；小亮调查了他所居住的二单元的小朋友，情况如图2；图1图2小丽调查了每个单元一楼的两家住户家中小朋友的年龄，数据（单位：岁）如下：3，16，14，15，17，8，4，6，9，7，17，12，2，13，6，5，12，14，3，15，5，16，1，1．这个小区中小朋友的年龄情况到底如何？你认为的调查方式好一些？为什么？如果你去调查的话，你有没有更好的方式？3．（1）调查全班近视同学所戴眼镜的度数，将统计的数据用适当的图表表示出来，并计算出它们的平均数、中位数和众数；（2）你认为你所做的调查能反映全国八年级学生的视力情况吗？你能用什么办法来改进这次调查的结果吗？4．同学们，相信大家在暑假一定过得很快乐，那么在假期中你最喜欢什么电视节目呢？你能对此进行一次调查吗？你打算怎样收集数据呢？请将你收集的数据进行统计（最好绘制成统计图），最后谈谈你对某些电视节目的看法．5．给别人起外号是一种不礼貌的行为，现在请同学们在全班开展一次调查，看看班里有多少学生有外号，从而估计全校百分之几的学生有外号，这些有外号的同学，他们自己是一种什么态度呢？6．就“父母回家后，你会主动倒一杯水吗？”这一问题调查全班同学，填写下表，并谈谈你对调查结果的看法．参考答案1．（1）抽样调查；（2）抽样调查；（3）普查；（4）普查．2．小明调查了当天在院子里玩耍的小朋友，一般不具有代表性；小亮调查了他所居住的二单元的小朋友，调查对象较少，不具有广泛性；一般可认为小丽的调查效果较好．3．（1）略；（2）相对全国八年级学生而言，全班同学的人数较少，且分布地区较狭窄．因而，一般认为对全班同学所做的调查不能反映全国八年级学生的视力情况，需要再进行更广泛更随机的抽样调查．4、5、6 略。

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【典型例题】【例1】求值：（1）32的五次方根（2）-32的五次方根（3）16的四次方根（4）64的六次方根（4）0.000064的六次方根（6）32243-的五次方根【分析】运用乘方运算求方根的值是常用的方法,对于正数的偶次方根有两个,它们互为相反数要充分理解,求n 次方根的值必须考虑指数的奇、偶性,增强分类的意识,学会正确的语言表述是很重要的,给书写也带来简便.【解答】（1）5232=∴32的五次方根5322==（2）()5232-=-∴-32的五次方根5322=-=-（3）()4216±=∴16的四次方根6642=±=±（4）()6264±= ∴64的六次方根6642=±=±（5）()60.20.000064±=∴0.000064的六次方根60.0000640.2=±=± （6）52323243⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ∴32243-的五次方根53222433=-=-【例2】选择题：1.下列语句中,正确的是（）（A ）正数a 的n 次方根记作n a（B ）如果n 是偶数,当且仅当a 是非负实数时,则n a 有意义（C ）零的n 次方根无意义（D ）任何实数都能开方2.5x -在实数范围内能开偶次方根的条件是（）（A ）x 为任意实数（B ）5x ≥ （C ）5x ≤ （D ）0x ≤【分析】理解立方根和开立方的概念【解答】1.（B ）当n 是奇数时,正数a 的n 次方根记作“n a ”, 当n 是偶数时,正数a 的n 次方根记作“n a ±”,故（A ）错.当a 为非负实数时,a 有偶次方根,所以n a （n 是偶数）有意义,故（B ）对.零的n 次方为零,故（C ）错.负数没有偶次方根,任何实数不一定都能开方,故（D ）错.2.（C ）由被开方数50x -≥解得5x ≤,故选（C ）.【例3】求适合下列等式中的x .（1）3910x -= （2）4810x =【分析】理解开n 次方与n 次乘方互为逆运算的关系【解答】（1）x 是910-的立方根,因为3391010--=（）,所以310-是910-的立方根,因此310x -= ,即0.001x =.（2）由已知可知,x 是810的四次方根,由于248(10)10±=,所以210±是810的四次方根,因此210x =±,即100x =±.【基础训练】 1.132-的五次方根是（） 2.81的四次方根是（） 3. 423⎛⎫- ⎪⎝⎭的四次方根是（） 4. 5(5)-的五次方根是（）5.如果(0,)n x a a n =≥是偶数,那么x =6.下列式子中,正确的是54444()11()11()(1)1()11A B C D ±=±=±-=---= 7.用符号表示下列各方根,并求出各方根的值. (1) 12-的三次方的三次方根（2）164的六次方根（3）—8平方的六次方根8.计算：43343(56)⋅【能力提高】1.下列各式不正确的是4343()82()(6)6()1255()()n n A B C D a a n -=--=--=-=是奇数 2. ()(0)x y zy z z x x y xyz xyz x y z+++++≠= 3.计算：20072007333(21)(421)-++4.已知n 是自然数, a 是实数且()n n nn a a =成立.试讨论n 及a 的取值范围.第3讲实数的运算（1）用数轴上的点表示实数【知识要点】知识点1 用数轴上的点表示无理数方法一：用画图的方法找到数轴上的一个点来表示它.例如：边长为1的正方形,对角线长为2（这在学习了直角三角形中勾股定理后很容易知道,现在暂不作介绍）,我们可以在数轴上以一个单位长为边长作一个2-B O2正方形,以原点O为圆心,正方形对角线为半径作弧,与数轴正(2)半轴交于点A就表示无理数2,与数轴负半轴交于点B就表示图1 -.无理数2方法二：用无限不循环小数点的近似值来确定这个点的位置.例如：π可以精确到百分位的近似数3.14来确定数轴上表示π这个点的位置.π-01233.144x1知识点2 数轴上的点和实数成一一对应每一个有理数和无理数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来数轴上的每一个点都可以用一个有理数或无理数表示.为有理数和无聊隶属统称为实数,因此,全体实数所对应的点布满了整个数轴,数轴上的点和实数成一一对应.知识点3 实数的相反数和绝对值一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离,叫做这个数的绝对值,实数a的绝对值记作a∣∣ ,a当0a>时a=时a∣∣=0当0-当0aa<时绝对值相等,符号相反的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零,非零实数a的相反数-.是a知识点4 两个实数大小的比较两个实数可以比较大小,其大小顺序的规定同有理数一样,负数小于零,零小于正数,两个正数,绝对值大的数较大;两个负数,绝对值大的反而小,从数轴上看,右边的点所表示的数总比左边的点索表示的数大.知识点5 同一数轴上,两点间的距离在数轴上,如果点A 、点B 索对应的数分别是a b 、,那么A B 、两点的距离AB a b ∣∣=∣-∣.方法与技能：当有理数系扩展到实数后,有理数的绝对值、相反数、大小比较法则都自然延伸到实数系.有关概念、性质仍然正确,特别是数形结合思想仍然是研究的重要方法.了解了数学系扩大的原则,大大的提高了学习的效率.【学习目标】1.会用数轴上的点表示实数;2.理解在实数范围内绝对值、相反数的概念,会比较实数的大小;【典型例题】【例1】写出下列各数的相反数与绝对值：0.5,12-,7-,0,5π-,37- 【分析】与有理数一样,实数(0)a a ≠的相反数是a -;实数a 的绝对值的为(0)a a ≥或(0)a a -<.【解答】 0.5的相反数是0.5-,绝对值是0.5;12-的相反数是21-,绝对值是21-;7-的相反数是7,绝对值是7;0的相反数是0,绝对值是0;5π-的相反数是5π,绝对值是5π; 37-的相反数是37--,绝对值是37-【例2】比较53-与13-的大小.【分析】 5 2.236,53 2.23630.764≈-≈-≈- 3 1.732,131 1.7320.732≈-≈-≈-∴可以先将无理数用近似的有限小数表示,转化为有理数后再进行比较.【解答】 53 2.23630.764-≈-≈- 131 1.7320.732-≈-≈-0.7640.732-<-5313∴-<-【例3】如图2,在数轴上,如果点A 、点B 所对应的数分别为6和3-,求A B 、两点间的距离.B A 3 1- 0 1 26 3 图2【解答】 6(3)6363AB ∣∣=∣--∣=∣+∣=+【注】也可以这样计算： 3636)[(36)]36AB ∣∣=∣--∣=∣-(+∣=--+=+【例4】已知a b c 、、在数轴上的位置如图3所示,则22()a a b a c b c -∣+∣+-+∣+∣的值等于（）（A ）2c a - （B ）2a b -（C ）a - （D ）bb a 0 c图 3【解答】如图12-5所示,知b a c -<-<.22,,(),()a a a b a b a c c a b c b c ∴=-∣+∣=---=-∣+∣=-+∴原式a a b c a b c a =-+++---=-.选（C ）.【例5】当1x <-是,2(2)21x x x ---∣-∣=（）（A ）0 （B ）44x - （C ）44x - （D ）44x +【解答】 21,20,(2)2,11,x x x x x x <-∴->-=-∣-∣=- ∴原式22(1)44x x x x =-+--=-,选（B ）.。

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第四章一实数l、a的平方根是，（其中a）4、公式：（需）=,（其中a)2、平方根的性质：,（其中a)正数有个平方根，它们5、a的M方根是,（其中a)0有有个平方根，是（的立方根是它本身）负数6、公式：（的平方根是它本身）鯨=，（其中a)3、a的算术平方根是，（其中a）\ /（的算术平方根是它本身）（其中a)例1：（1） 169的平方根是__ , 196的算术平方根是 ____ , 125的立方根是 _____ （2）丿帀的平方根是 ___ , 师的平方根是_______ , 届的立方根是 _____ .例2：化简：7（164 =例3：如果一个正数的平方根是a+3与2a—15,求这个正数.例4：己知2a~ \的平方根是土3, 3a+b~ 1的立方根是3,求a+2b的平方根.例5:(1)若& + y — l +(y + 3『=0,则x—y= __________(2)已^11 y = V3x-2 + \j2-3x + 2 , 则x= ____ , y= ______例6：求下列各式中的九(1) 4?-3 = 22 (2) (4x-1)2 = 289 (4) (—2)3 + 729 = 0例7： (1)后二牢(2)736-^27 (3)J1 ——V 25(4)例&已知数a在数轴上对应的位置如图所示，化简&2二1『+卜+ 1| +疗・7、 __________ 和 __________ 统称为实数•实数与 _______________ 一_对应. 无理数的三种形式：(1) ________________________(2) _______________________ (3) _____________________例1：把下列各数填入相应的集合内，4?, -V9, 3.1415, V10 , 0.6, 0,劲-125 ,337.303003例2：在数轴上找出表示■厉的点.1I 11I1 I例3： (1)指出下列各数在哪两个相邻整数Z 间①—< V27 < ____ ；② __ <3+ 历 < ___ ；③ —< A /27 _ 2<—；④—<7 -历 < ________ (2) 历的整数部分是 _________ ,小数部分是 _______ • (3) 满足-41<x<^的整数是 ________________________ (4) 绝对值小于V?的整数是 _______________例4： (1)(匚匚的倒数是 ________ ,相反数是 ______ ,绝对值是 _______ .V 27(2) 2-75的相反数是—，绝对值是 ________ .血・1的相反数是 _______ ,绝对值是 ____ (3) 仪网二 _________ ,卜岡二 _________ , |3_龙|= ______ , 逅的对应点分别为A 、B,点B 关于点A 的对称点为C,则例7：计算:(1)有理数集合：｛(3)正实数集合：・・・｝(2)无理数集合：｛ …}…}点C 表示的实数为(A. V2 — 1B. 1 — V20 CAB C ・ 2-V2 D ・ V2 -2例5：如图,数轴上表示1,0.010010001000018、近似数例1：小明的体重约为51.51kg,若精确到10 kg,其结杲为 _______ ；若梢确到1 kg,其结果为 ______ : 若粘•确到0.lkg,其结果为 ______例2：近似数1.8x10'精确到 ______相关练习选做:1、已知下列各数：13,龙，0, — 4, (一 3尸, 数是A. 2 个B. 3 个C.2、如果3V^?4=4,那么(a —67f 的值为A. 64B. 一 27C.3、下列说法中不正确的是()• A.10的平方根是±価6、已知a 是小于3+亦的整数，且|2-国=。

浙教版七年级上数学第三章实数复习教案

浙教版七年级上数学第三章实数复习教案一、教学内容1. 实数的概念与分类2. 实数的运算规则3. 实数与数轴的关系4. 实数在实际问题中的应用二、教学目标1. 理解实数的概念，掌握实数的分类及性质。

2. 掌握实数的运算规则，能够正确进行实数的加减乘除运算。

3. 能够运用实数知识解决实际问题，提高数学应用能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：实数的概念及分类，实数的运算规则。

2. 教学重点：实数的性质，实数与数轴的关系，实数在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，实数教学挂图。

2. 学具：学生每人准备一张数轴图纸，直尺，计算器。

五、教学过程1. 导入：通过一个实践情景引入实数概念，例如气温变化、身高测量等，让学生感受实数在实际生活中的应用。

2. 新课讲解：（2）讲解实数的运算规则，通过例题讲解，让学生掌握实数的加减乘除运算。

（3）分析实数与数轴的关系，让学生能够在数轴上表示实数。

3. 随堂练习：（1）完成教材第3.1节的练习题，巩固实数的概念与分类。

（2）完成教材第3.2节的练习题，提高实数运算能力。

六、板书设计1. 实数的概念与分类2. 实数的运算规则3. 实数与数轴的关系4. 实数在实际问题中的应用七、作业设计1. 作业题目：2. 答案：（1）实数：2，3/4，√2，5.5。

（2）运算结果：5.2，3.8，2，4。

（3）见数轴图。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：通过本节课的学习，学生是否掌握了实数的概念、分类、运算规则及其与数轴的关系？针对学生的掌握情况，调整教学方法，提高教学效果。

2. 拓展延伸：引入无理数的概念，让学生了解无理数与有理数的区别，为后续学习打下基础。

同时，鼓励学生探索实数在生活中的应用，提高数学素养。

重点和难点解析1. 实数的概念与分类2. 实数的运算规则3. 实数与数轴的关系4. 实数在实际问题中的应用5. 教学过程中的实践情景引入6. 作业设计中的题目和答案一、实数的概念与分类重点和难点解析：实数的概念是本章的核心，学生需要理解实数包括有理数和无理数两部分。

专题3 实数的运算(考点讲练)(解析版)

专题3 实数的运算考点一：实数的大小比较1．（2022·四川成都·中考模拟）在实数 3.14−，－3，3−，π−中，最小的数是（） A ． 3.14− B ．－3C ．3−D ．π−【答案】D【分析】根据实数的比较大小的规则比较即可．【详解】解：∵ 3.14 3.14−=， ∴33 3.14p --<-<-＜，在实数 3.14−，－3，3−，π−中，最小的数是：π− ；故选：D ．【点睛】本题主要考查实数的比较大小，关键在于绝对值符号的去掉，根据负数绝对值越大，反而越小．2．（2022·湖南益阳·21，2，3中，比0小的数是（）A 2B ．1C ．2D ．13【答案】A【分析】利用零大于一切负数来比较即可．【详解】解：根据负数都小于零可得，﹣2＜0，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题考查了实数的大小比较，解答此题关键要明确：正实数＞零＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．是（）A ．0a >B ．a b <C ．10b −<D ．0ab >【答案】B【分析】观察数轴得：2123a b −<<−<<<，再逐项判断即可求解．【详解】解：观察数轴得：2123a b −<<−<<<，故A 错误，不符合题意；B 正确，符合题意；∴10b−>，故C错误，不符合题意；∴0ab<，故D错误，不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的大小比较，利用数形结合思想解答是解题的关键．4．（2022·广东深圳·中考二模）下列数中，大于－1且小于0的是（）A．3B．32−C．23−D．23【答案】C【分析】根据各数的取值范围，即可一一判定．【详解】解：132<<Q，31∴−<−，故A不符合题意；312−<−，故B不符合题意；2103−<−<，故C符合题意；203>，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握和运用实数大小的比较方法是解决本题的关键．5．（2022·天津红桥·中考三模）估计17−的值在（）．A．5−和4−之间B．4−和3−之间C．3−和2−之间D．2−和1−之间【答案】A【分析】先估算4175<<，再由几个负数比较大小，绝对值越小的数越大．【详解】解：161725<<Q4175∴<<4175∴−>−>−故选：A．【点睛】本题考查无理数的估算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．6．（2022·山东临沂·中考真题）比较大小：2______3（填写“>”或“<”或“＝”）．【答案】＞【分析】比较两者平方后的值即可．【详解】解：221()22=Q ，231()33=，1123>Q ， ∴2323>．故答案为：>．【点睛】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是灵活变通，比较两者平方后的结果． 7．（2022·海南·中考真题）写出一个比3大且比10小的整数是___________．【答案】2或3【分析】先估算出3、10的大小，然后确定范围在其中的整数即可．【详解】∵32< ，310< ∴32310<<<即比3大且比10小的整数为2或3，故答案为：2或3【点睛】本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键．考点二：实数的基本运算A ．1﹣2B ．﹣π＋3C ．（﹣3）×（﹣5）2D ．|5【答案】D【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【详解】A 、原式=﹣1，不符合题意； B 、原式＜0，不符合题意；C 、原式=﹣3×25＝﹣75，不符合题意；D 、原式=55，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了实数，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． A ．1332B 342=C 8220=D 2632=【答案】C【分析】根据实数的运算法则即可求解；【详解】解：A.1234332÷=≠，故错误； B.342≠，故错误；C.8220−=，故正确；D.262332⨯=≠，故错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查实数的计算，掌握实数计算的相关法则是解题的关键． A 31− B ．12−C 32D ．32【答案】B【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【详解】解：sin30°−tan45° ＝12−1 ＝−12，故选：B ．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 11．（2022·重庆中考二模）计算：122⎛⎫−+= ⎪⎝⎭（）A ．0B ．4C ．-2D ．32【答案】B【分析】先求绝对值，负整指数幂，再进行实数的加法运算．【详解】解：1122242−⎛⎫−+=+= ⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题考查了实数的运算，正确理解实数的运算法则是解本题的关键．12．（2022·广东深圳·中考模拟预测）计算021(12)−+−的结果是（）A ．1B 2C ．22D ．221【答案】B【分析】原式利用绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值．【详解】解：原式2112=−+=，故选B ．【点睛】此题考查了实数的运算、去绝对值、零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（2022·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y 的值是2，则输入x 的值是 _____．【答案】1【分析】根据程序分析即可求解．【详解】解：∵输出y 的值是2， ∴上一步计算为121x=+或221x =− 解得1x =（经检验，1x =是原方程的解），或32x = 当10x =>符合程序判断条件，302x =>不符合程序判断条件故答案为：1【点睛】本题考查了解分式方程，理解题意是解题的关键． 14．（2022·陕西·中考真题）计算：325−=______．【答案】2−【分析】先计算25=5，再计算3-5即可得到答案．【详解】解：325352−=−=−．故答案为：-2．【点睛】本题主要考查了实数的运算，化简25=5是解答本题的关键． 15．（2022·四川攀枝花·中考真题）038(1)=−−−__________．【答案】3−【分析】根据立方根的定义，零指数次幂的定义以及有理数减法法则，进行计算即可．【详解】解：原式213=−−=−．故答案为：3−．【点睛】本题考查了立方根的定义，零指数次幂的定义以及有理数减法法则，正确进行计算是解题的关键．16．（2022·辽宁阜新·中考真题）计算：224−−=______．【答案】74−【分析】先计算22−、4，再算减法．【详解】解：原式17244=−=−．故答案为：74−．【点睛】本题考查了实数的计算，掌握负整数指数幂、二次根式的化简是解决本题的关键． 17．（2022·广东肇庆·中考二模）计算：31008÷=______________．【答案】5【分析】根据算术平方根的定义及立方根的定义化简，再计算除法．【详解】解：31008÷=5210=÷，故答案为：5．【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确掌握算术平方根的定义及立方根的定义是解题的关键．18．（2022·湖北黄石·中考真题）计算：20(2)(20223)−−−=____________．【答案】3【分析】根据有理数的乘法与零次幂进行计算即可求解．【详解】解：原式＝413−=．故答案为：3．【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂以及有理数的乘方运算是解题的关键．考点三：实数的混合运算19．（2022·广东·佛山市中考模拟）计算0312(2017)()2π−−−−+的结果为（）A ．3−B ．3C ．6D ．9【答案】D【分析】先化简绝对值，计算零次幂与负整数指数幂，再化简即可．【详解】解：031|2|(2017)()2π−−−−+218=−+189=+=故选D【点睛】本题考查的是化简绝对值，零次幂，负整数指数幂的含义，掌握“零次幂与负整数指数幂：()()0110,0ppa a a a a −=≠=≠”是解本题的关键． 20．（2022·山东威海·中考模拟）计算3024(1)(1)2π−+−−−−的结果是（）A ．74B ．34C ．14D ．14−【答案】D【分析】根据二次根式的性质，零指数幂、负整数指数幂、乘方的运算法则先进行化简，然后再计算即可．【详解】解：原式()12114=+−−−12114=−−−14=−故选：D ．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握二次根式的性质，零指数幂、负整数指数幂、乘方的运算法则，是解题的关键． 21．（2022·江苏南京·中考模拟）计算2323的结果是（）A 23B ．23C ．23−D 23【答案】A【分析】把较高次幂拆分后逆用积的乘方法则，进行运算即可得解．【详解】解：()()202120202323+− = ()()20202020=(23)2323++−()()2020=(23)[2323]++−222020=(23)[(2)(3)]+− 2020=(23)(1)+⨯−=23+故选：A【点睛】本题考查了二次根式的运算，平方差公式，积的乘方的逆运算等知识，熟练掌握相关运算法则是关键．22．（2022·广东·东莞市中考三模）计算：|2|3sin 302(2022)−+−−−︒等于（） A ．2−B ．12−C ．2D ．0【答案】C【分析】先化简绝对值，求解特殊角的三角函数，负整数指数幂，零次幂，再进行加减运算即可．【详解】解：10|2|3sin 302(2022)π−−+−−−︒1123122=+?- 312122=+−− =2，故选C ．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数，零次幂，负整数指数幂的含义，绝对值的含义，实数的混合运算，掌握“实数的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．23．（2022·广东惠州·中考二模）01tan60|3|(3)122π︒⎛⎫−−−−+−= ⎪⎝⎭__________．【答案】-1【分析】根据负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的性质化简等计算法则求解即可．【详解】解：101tan60|3|(3)122π−⎛⎫−−−−+−⎪︒+ ⎝⎭=233123−−−++=1−故答案为：-1．【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的性质化简，熟知相关计算法则是解题的关键．24．（2022·山东泰安·中考三模）()02281212cos 45π−−+−−++−︒=________．【答案】74【分析】根据负整指数幂，二次根式的性质，化简绝对值，零次幂，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．【详解】解：原式＝()1222211242−+−−+−⨯1114=−++7=4故答案为：74【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握负整指数幂，二次根式的性质，化简绝对值，零次幂，特殊角的三角函数值是解题的关键．25．（2022·重庆长寿·中考模拟）计算：201131216012π12tan −−−+−︒+⋅−=−（）（）__________．【答案】-4【分析】根据有理娄数的乘方、负整数指数幂、特殊三角函数值、二次根式的化简、零指数幂、绝对值的概念计算即可．【详解】解：1213121tan 601212π−︒⎛⎫−⎛⎫−+−+⋅− ⎪ ⎪⎪−⎝⎭⎝⎭=241312331−+−+⨯−−=()()()231431233131+−+−+−−+=4313123−+−++− =-4【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握有关运算法则．26．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）计算：0312cos30(3π)82︒⎛⎫−++−− ⎪⎝⎭．【答案】31+【分析】根据负整数指数幂、30°角的余弦值、零次幂以及开立方的知识计算每一项，再进行实数的混合运算即可．【详解】原式1321(2)122=+⨯+−−−2312=−+++31=+．【点睛】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，牢记30°角的余弦值是解答本题的基础．27．（2022·湖南·中考真题）计算：012cos 45( 3.14)12()2π−︒+−++．【答案】222+【分析】先将各项化简，再算乘法，最后从左往右计算即可得【详解】解：原式2212122=⨯++−+ 222=+．【点晴】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂，解题的关键是掌握特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质． 28．（2022·湖南郴州·中考真题）计算：()2022112cos30133⎛⎫−−︒++ ⎪⎝⎭．【答案】3【分析】根据特殊角的三角函数值、绝对值的意义和负整数指数幂的计算方法计算即可．【详解】解：原式()3123132=−⨯+−+13313=−+−+ =3．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、绝对值的意义和负整数指数幂的运算法则等知识，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．29．（2022·广东中考三模）计算：()0120222sin 6032123π⎛⎫+−+︒ ⎪⎝⎭【答案】1223−【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简各数，然后即可求解．【详解】解：原式＝391223232++⨯+−− 9132323=+++−− 1223=−．【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，掌握二次根式的性质是解题的关键． 30．（2022·湖南·0332cos60820222π+︒．【答案】13−【分析】根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值及二次根式的运算法则进行计算，再相加减可得结果．【详解】解：原式=33−+211822⨯−⨯−1=33−+1﹣2﹣1 =13−．【点睛】本题考查实数的综合运算能力，熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值及二次根式的运算是解决本题的关键．31．（2022·四川德阳·中考真题）计算：()()0212 3.143tan 60132π−+−−︒+−+−．【答案】14【分析】根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算．【详解】解：0212 3.143tan 6013())2(π−+−−︒+−+−123133314=+−+−+ 14=．【点睛】此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则是解题的关键．。

第3讲实数(教案)

突破方法：总结混合运算的步骤和技巧，如先算乘方再算乘除，最后算加减，并在实践中反复练习。
（3）实数与数轴的结合：学生可能难以将实数与数轴上的点对应起来。
突破方法：通过数轴上的实际操作，让学生直观地感受实数与数轴的关系，并在解题过程中强化这一联系。
（4）运算的准确性：实数的运算涉及较多细节，学生容易出错。
（5）实数与数轴：理解实数在数轴上的表示，掌握数轴上的点与实数的对应关系。
举例：在数轴上表示无理数，如π和√2的位置。
2.教学难点
（1）无理数的理解：无理数的概念较为抽象，学生难以理解。
突破方法：通过实际例子（如圆的周长与直径比）和图形演示，帮助学生理解无理数的含义。
（2）实数的混合运算：学生容易在运算过程中混淆运算顺序和规则。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解实数的基本概念。实数包括有理数和无理数，它们构成了完整的数系。实数在解决实际问题中具有重要作用，如在科学计算和工程技术中的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算圆的周长与直径的比值，引出无理数π的概念，并探讨其在实际中的应用。
其次，实数的四则运算和混合运算部分，我在课堂上进行了详细的讲解和示范，但学生在实际操作过程中还是会出现错误。我想，这可能是因为我在讲解时没有让学生充分参与到运算过程中来，今后我需要引导他们更多地参与，提高他们的运算能力。
在实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作表现得还不错，能够将所学的实数知识运用到实际问题中。但我也注意到，有些小组在讨论过程中，个别成员参与度不高，可能是我没有给他们足够的引导和鼓励。下次我会尽量让每个学生都能积极参与进来，提高他们的团队协作能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。

实数(3)导学案

收获整理
2 ；⑵ 3 3 2 3 .
四、小结五、拓展训练
7．已知 2 ＝1.414， 20 ＝4.472，则 2000 等于（ A．14.14 B．141.4 C．44.72 D．447.2
3 2
8．1－ 2 的相反数是______，绝对值是_______． 9．把 2a 写成一个数的平方的形式是_______. 10．若一个数的平方根是 2 m 4 和 2 5m ，则它的立方根是______. 11．计算下列各式的值： (1) 5 3 5 (2) 3 7 15 7
㈠、实数范围内的相反数和绝对值意义填空： 2 的相反数是， 2 的相反数是，0 的相反数是， = ，0=
3
三、课堂训练 1．实数分为（， . . ）
的相反数是 2 = ，3 2 =
3
A．整数和分数 B.有理数和无理数 C．正数和负数 D.无限循环小数和无限不循环小数 2．与数轴上的点一一对应的是（ A．整数）
例 1 ⑴ 分别写出 6 ， 3.14 的相反数； ⑵ 指出 5 ， 1 3 各是什么数的相反数； ⑶ 求 64 的绝对值；
3
B．有理数 C．无理数 D．实数） C． 2 ） D． 2 或 2
3．在数轴上到原点距离为 2 的点表示的数是（ A．±2 B． 2
⑷ 已知一个数的绝对值是 3 ，求这个数.
襄阳市樊城区第
上课时间：
=+中七年级数学学科课堂设计活页
年月日星期：
第
周
第
蹲点领导签字：
课时
备课组长签字：
课题：
实数第三课时
课型：
新授课
设计人：
复备人：

3实数的概念和运算(提高)知识讲解

实数的概念和运算（提高）责编：康红梅【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算在实数范围内仍适用.【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，要点二、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较正实数大于0，负实数小于0.两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小.从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.要点五、近似数及有效数字1.近似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.2.精确度：近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似程度的要求叫做精确度. 要点诠释：精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．3.有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2，0，8．【典型例题】类型一、实数概念 1、把下列各数分别填入相应的集合内： 32，14，7，π，52-，2，203，5-，38-，49，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）【答案与解析】有理数有：14， 52-，38-，49，0，无理数有：32，7，π， 2，203，5-， 0.3737737773…… 【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如32，7， 2，203，5-. 举一反三：【变式】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.(1)无理数都是开方开不尽的数.( )(2)无理数都是无限小数.( )(3)无限小数都是无理数.( )(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( )(5)不带根号的数都是有理数.( )(6)带根号的数都是无理数.( )(7)有理数都是有限小数.( )(8)实数包括有限小数和无限小数.( )【答案】(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有π，1.020 020 002…这类的数也是无理数.(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.(4)(×)0是有理数.(5)(×)如π，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.(6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数. … 有理数集合 … 无理数集合(7)(×)有理数还包括无限循环小数.(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有限小数和无限小数表示.类型二、实数大小的比较2、比较20101-与19491+的大小．【思路点拨】根据a b <，b c <，则a c <来比较两个实数的大小．【答案与解析】解：因为201012025145144-<-=-=，194911849143144+>+=+=．所以20101-＜19491+【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等.举一反三：【变式】（2015•自贡）若两个连续整数x 、y 满足x ＜+1＜y ，则x+y 的值是．【答案】7．解：∵，∴，∵x ＜+1＜y ，∴x=3，y=4，∴x+y=3+4=7．类型三、实数的运算3323m m【答案与解析】解：（1）当m ≥02m m =33m m =，3232m m m m m =+=．（2）当m ＜02m m =-33m m =，3230m m m m =-+=．323m m 0或2m ．【总结升华】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本题需要分类讨论．要注意对m 的讨论，而开立方不需要讨论符号．举一反三：【变式】若a 的两个平方根是方程322x y +=的一组解．（1）求a 的值；（2）求2a 的算术平方根．【答案】解：（1）∵ a 的平方根是322x y +=的一组解，则设a 的平方根为1a ，2a ，则根据题意得：1212322,0,a a a a +=⎧⎨+=⎩解得122,2.a a =⎧⎨=-⎩∴ a 为2(2)4±=．（2）∵ 22416a ==．∴ 2a 的算术平方根为4．类型四、实数的综合运用4、（2015•资阳）已知：（a+6）2+=0，则2b 2﹣4b ﹣a 的值为．【答案】12．【解析】解：∵（a+6）2+=0， ∴a+6=0，b 2﹣2b ﹣3=0，解得，a=﹣6，b 2﹣2b=3，可得2b 2﹣4b=6，则2b 2﹣4b ﹣a=6﹣（﹣6）=12，故答案为：12．【总结升华】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．举一反三：23|9|0x y x -+-=，求x y 的值．【答案】解：知条件得2309030x y x x -=⎧⎪-=⎨⎪+≠⎩①②③，由②得29x =，3x =±，∵ 30x +≠，∴ 3x ≠-，则3x =．把3x =代入①得330y -=，y ＝1． ∴ 331x y ==．类型五、近似数和有效数字5、下列由四舍五入得到的近似数，它们精确到哪一位，各有几个有效数字.（1）1.20 （3）1.49亿；（4）50.3010-⨯【答案与解析】解：（1）1.20精确到百分位，有三个有效数字1, 2，0；（2）1.49亿精确到百万位，有三个有效数字1,4,9；（3）50.3010-⨯精确到千位，有两个有效数字3,0；【总结升华】一般的近似数，四舍五入到哪一位就说它精确到哪一位，例：1.20精确到百分位，则百分位就是精确度；若是汉字单位“万、千、百”类近似数，精确度是由其最后一位数所在的数位确定的，但必须先把该数写成单位为“个”位的数再确定其精确度；用形如10n a ⨯的数，其精确度看a 中最后一位数在原数中的数位.。

浙教版数学七年级上册第三章《实数》复习教学设计

浙教版数学七年级上册第三章《实数》复习教学设计一. 教材分析浙教版数学七年级上册第三章《实数》是学生在初中阶段首次接触实数的概念。

本章主要内容包括实数的定义、分类、运算以及实数与数轴的关系。

本章内容是后续学习代数和几何知识的基础，因此，对于学生的理解和掌握至关重要。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于数学符号和运算规则有一定的了解。

但实数概念较为抽象，学生可能难以理解。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生从具体实例中抽象出实数的概念，并理解实数与数轴的关系。

三. 教学目标1.理解实数的定义和分类，掌握实数的运算规则。

2.理解实数与数轴的关系，能够利用数轴解释和解决实数问题。

3.培养学生的抽象思维能力，提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.实数的定义和分类。

2.实数的运算规则。

3.实数与数轴的关系。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从具体实例中抽象出实数的概念。

2.利用数轴辅助教学，帮助学生理解实数与数轴的关系。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中巩固实数的运算规则。

六. 教学准备1.准备相关实数的教学案例和实例。

2.制作数轴教具，用于教学演示。

3.准备实数运算的练习题，用于巩固练习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾已学的有理数知识，如整数和分数的关系，有理数的运算规则等。

为学生引入实数的概念做铺垫。

2.呈现（15分钟）呈现实数的定义和分类，让学生从具体实例中抽象出实数的概念。

通过讲解和示例，让学生理解实数与数轴的关系。

3.操练（15分钟）让学生进行实数运算的练习，巩固学生对实数运算规则的理解。

教师可提供解答过程，让学生跟随讲解，逐步掌握实数的运算方法。

4.巩固（10分钟）采用小组合作学习的方式，让学生在小组内讨论实数运算问题，共同解决难题。

教师可适时给予指导，帮助学生巩固实数的运算规则。

5.拓展（10分钟）让学生利用数轴解释和解决实数问题，如判断实数的大小关系、求解实数的相反数等。

人教版数学七年级下册6.3《实数》教学设计3

人教版数学七年级下册6.3《实数》教学设计3一. 教材分析人教版数学七年级下册 6.3《实数》是学生在学习了有理数和无理数的基础上，进一步对实数进行系统地认识和理解。

本节课的主要内容是实数的分类，实数与数轴的关系，以及实数的运算性质。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握实数的概念，提高学生的数学思维能力。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对有理数和无理数有了初步的认识。

但是，对于实数的系统理解和运用，还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，循序渐进地引导学生理解和掌握实数的概念和性质。

三. 教学目标1.了解实数的概念，掌握实数的分类和实数与数轴的关系。

2.掌握实数的运算性质，能够熟练地进行实数的运算。

3.培养学生的数学思维能力，提高学生解决问题的能力。

四. 教学重难点1.实数的分类和实数与数轴的关系。

2.实数的运算性质。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究实数的概念和性质。

2.利用数轴辅助教学，帮助学生直观地理解实数与数轴的关系。

3.运用例题和练习题，巩固学生对实数的理解和运用。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，包括实数的分类、实数与数轴的关系、实数的运算性质等内容。

2.练习题：准备一些有关实数的练习题，用于巩固学生的学习成果。

3.数轴：准备数轴教具，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用数轴教具，引导学生回顾有理数和无理数的概念，引出实数的概念。

2.呈现（15分钟）呈现实数的分类，讲解实数与数轴的关系，以及实数的运算性质。

通过例题和练习题，让学生直观地理解实数的概念和性质。

3.操练（15分钟）让学生在课堂上进行实数的运算练习，巩固学生对实数的理解和运用。

4.巩固（10分钟）通过练习题，巩固学生对实数的理解和运用。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

5.拓展（10分钟）引导学生运用实数的概念和性质解决实际问题，提高学生解决问题的能力。

七年级下- 3实数(解析版)

七年级下册数学《第六章实数》6.3实数◆1、无理数：无限不循环小数又叫做无理数.◆2、常见的无理数的三种形式：(1)圆周率π以及一些含π的数，2π﹣3，�2；(2)开方开不尽的数，如：2，33等；(3)有规律但不循环的数，如1.01001000100001…等.◆1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数.◆2、实数的分类：（1）按定义分类．（2）按性质分类.◆1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.◆2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.◆3、实数的大小比较①正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数；②两个正实数，绝对值大的数较大；③两个负实数，绝对值大的数反而小.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．◆1、数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.◆2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即设a表示任意一个实数，则|a|=�(�＞0)0(�=0)−�(�＜0)◆1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.◆2、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘方、开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.◆3、实数的运算律.①加法交换律：a＋b＝b＋a；②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)③乘法交换律：ab＝ba；④乘法结合律：(ab)c＝a(bc)⑤分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.【例题1】（2022秋•皇姑区校级期末）下列各数中，无理数是（）A．�2B．16C．0.25D．0.1010010001【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．【解答】解：A．�2是无理数，故此选项符合题意；B．16=4，4是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；C．0.25是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；D．0.1010010001是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查了无理数的定义，掌握带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数是解题的关键．【变式1-1】（2022秋•碑林区校级期末）在实数﹣2，11，9，3−27，11中的无理数7是．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【解答】解：﹣2，9=3，3−27=−3，是整数，属于有理数；11是分数，属于有理数；7无理数是11．故答案为：11．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．【变式1-2】下列实数中，不是无理数的是（）A．2B．πC．33D．﹣2【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A.2是无理数；B．π是无理数；C.33是无理数；D．﹣2是整数，属于有理数．故选：D．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．【变式1-3】下列说法错误的有（）①无限小数是无理数；②无理数都是带根号的数；③只有正数才有平方根；④3的平方根是3；⑤﹣2是（﹣2）2的平方根．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得无理数，可判断①②；根据平方根，可判断③④⑤．【解答】解：①无限循环小数是有理数，故①错误；②无限不循环小数是无理数，故②错误；③0的平方根是0，故③错误；④3的平方根是±3，故④错误；⑤±(−2)2=±2，故⑤正确，故选：D．【点评】本题考查了无理数，注意无理数是无限不循环小数．【变式1-4】（2022春•杜尔伯特县期中）下列语句正确的是（）A．3.78788788878888是无理数B．无理数分正无理数、零、负无理数C．无限小数不能化成分数D．无限不循环小数是无理数【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、3.78788788878888是有限小数，是有理数，故选项错误；B、0是整数，是有理数，故选项错误；C、无限小数中的循环小数是分数，是有理数，无限不循环小数是无理数，不能写成分数，故选项错误；D、正确．故选：D．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．【变式1-5】（2022秋•高邮市期中）下列一组数：﹣8，2.7，237，�2，0.66666…，0，2，0.080080008…，其中是无理数的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：�2，0.080080008…是无理数，故选：C ．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．【例题2】（2022秋•丽水期中）把下列各数的序号填在相应的横线上：①﹣3.14，②2π，③−13，④0.618，⑤−16，⑥0，⑦﹣1，⑧+3，⑨227，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1）．整数集合：{……}；分数集合：{……}；无理数集合：{……}．【分析】利用整数、分数、无理数的定义分类填空．【解答】解：整数有：⑤−16=−4，⑥0，⑦﹣1，⑧+3；分数有：①﹣3.14，③−13，④0.618，⑨227；无理数有：②2π，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1），故答案为：⑤⑥⑦⑧；①③④⑨；②2⑩．【点评】本题考查了实数的定义，解题的关键是掌握整数、分数、无理数的定义．【变式2-1】（2021秋•社旗县期末）实数−13，−6，0，﹣1中，为负整数的是（）A．﹣1B．−6C．0D．−13【分析】根据实数的分类进行解答即可．【解答】解：这一组数中的负整数是﹣1．故选：A．【点评】本题考查的是实数，熟知实数的分类是解题的关键．【变式2-2】（2022秋•宁波期中）下列实数：2，39，1，�2，−73，0.3⋅，分数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】根据实数的分类及分数的定义进行解答即可．−73，0.3⋅共3个．故选：B ．【点评】本题考查的是实数，熟知所有的分数都是有理数是解题的关键．【变式2-3】（2022春•宜秀区校级月考）下列说法正确的是（）A ．实数包括有理数、无理数和零B ．有理数包括正有理数和负有理数C ．无限不循环小数和无限循环小数都是无理数D ．无论是有理数还是无理数都是实数【分析】灵活掌握实数分类以及有理数和无理数概念，注意容易混淆的知识点．【解答】解：有理数和无理数统称为实数，0属于有理数，故A 错误，有理数包括正有理数、负无理数和0，0既不是正数也不是负数，故B 错误，无限不循环的小数是无理数，故C 错误，实数分为有理数和无理数，故D 正确．故选：D ．【点评】考查了实数的概念，以及有理数和无理数概念及分类．【变式2-4】（2022春•夏津县期末）下列说法中错误的是（）A ．3−27是整数B ．−1713是有理数C．33是分数D．9的立方根是无理数【分析】根据立方根，算术平方根，有理数，无理数的意义，即可解答．【解答】解：A、∵3−27=−3，∴3−27是整数，故A不符合题意；B、−1713是有理数，故B不符合题意；C、33是无理数，不是分数，故C符合题意；D、∵9=3，3的立方根是33，33是无理数，∴9的立方根是无理数，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了实数，熟练掌握有理数，无理数的意义是解题的关键．【变式2-5】（2022秋•黑山县期中）把下列各数分别填入相应的集合内：33，−4，−34，0，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）【分析】根据无理数以及正实数的定义，在给定实数中分别挑出无理数以及正实数，此题得解．【解答】解：如图所示：【点评】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．【变式2-6】（2021春•个旧市校级期中）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．−15，39，�2，3.14．−327，0，﹣5.123456…，0.25，−32（1）有理数集合：{…}；（2）无理数集合：{…}；（3）正实数集合：{…}；（4）负实数集合：{…}；【分析】根据实数的分类法填写即可．【解答】解：（1）有理数为：3.14，−327，0，−15，0.25；故答案为：3.14，−327，0，−15，0.25；（2）无理数为：39，�2，﹣5.123456…，−32；故答案为：39，�2，﹣5.123456…，−32；（3）正实数为：39，�2，3.14，327，0.25；故答案为：39，�2，3.14，0.25；（4）负实数为：−15，−327，﹣5.123456…，−32；故答案为：−15，−327，﹣5.123456…，−32．【点评】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类方法是解本题的关键．【例题3】（2022•海淀区校级模拟）实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＜0B．a＜b C．b+5＞0D．|a|＞|b|【分析】根据数轴可以发现b＜a，且，由此即可判断以上选项正确与否．【解答】解：A．∵2＜a＜3，a＞0，答案A不符合题意；B．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴a＞b，∴答案B不符合题意；C．∵﹣4＜b＜﹣3，∴b+5＞0，∴答案C符合题意；D．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴|a|＜b|，∴答案D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．（2021春•南岸区期中）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b 满足a＜b＜2，则b的值可以是（）A．﹣2B．﹣1C．2D．3【分析】先判断b的范围，再确定符合条件的数即可．【解答】解：∵1＜a＜2，∴﹣2＜﹣a＜﹣1，∵﹣a＜b＜a，∴b只能是﹣1．故选：B．【点评】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系，解决本题的关键是根据数轴上的点确定数的范围．【点评】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．【变式3-2】（2022春•鼓楼区期中）若将三个数−2，5，10表示在如图所示的数轴上，则被墨迹覆盖的数是三个数中的．【分析】依据表示三个数−2，5，10的点在数轴上的位置，即可得到被墨迹覆盖的数．【解答】解：∵﹣2＜−2＜−1，2＜5＜3，3＜10＜4，∴被墨迹覆盖的数是三个数中的5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了实数与数轴，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．【变式3-3】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：3，﹣（﹣1），﹣1.5，0，﹣|﹣4|，2．【分析】先计算﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣4|＝﹣4，再利用数轴表示数的方法表示所给的6个数，然后写出它们的大小关系．【解答】解：﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣4|＝﹣4，用数轴表示为：，它们的大小关系为﹣|﹣4|＜﹣1.5＜0＜﹣（﹣1）＜2＜3．【变式3-4】（2022春•海安市校级月考）7、如图：数轴上表示1、5的对应点分别为A、B ，且点A 为线段BC 的中点，则点C 表示的数是（）A ．5−1B ．1−5C ．5−2D ．2−5【分析】设C 点表示的数为x ，再根据中点坐标公式求出x 的值即可．【解答】解：设C 点表示的数为x ，则�+52=1，解得x ＝2−5．故选：D ．【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．【变式3-5】（2022秋•邢台期中）如图，有一个半径为12个单位长度的圆，将圆上的点A放在原点，并把圆沿数轴逆时针方向滚动一周，点A 到达点A '的位置，则点A '表示的数；若点B 表示的数是−10，则点B 在点A '的（填“左边”、“右边”）．【分析】因为圆从原点沿数轴向左滚动一周，可知OA ′＝π，再根据数轴的特点及π的值即可解答；比较﹣π与−10的大小即可求解．【解答】解：∵圆的周长为π×2×12=π，∴OA ′＝π，故A′点表示的数是﹣π，∵（﹣π）2≈9.8282，（−10）2＝10，∴﹣π＞−10，∴点B在点A′的左边．故答案为：﹣π；左边．【点评】本题考查的是实数与数轴的特点，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键．【变式3-6】（2022秋•宁波期中）如图，数轴上点A到点B的距离与点B到点C的距离相等，若点B表示1，点C表示7，则点A表示的数是．【分析】设点A表示的数是x，根据数轴上两点间的距离的表示列出方程求解即可．【解答】解：设点A表示的数是x，由题意得，1﹣x=7−1，解得x＝2−7．故答案为：2−7．【点评】本题考查了实数与数轴，主要利用了数轴上两点间的距离的表示，是基础题．【变式3-7】（2022秋•西安月考）如图，已知实数−5，﹣1，5，3，其在数轴上所对应的点分别为点A，B，C，D．（1）求点C与点D之间的距离；（2）记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a﹣b的值．【分析】（1）根据数轴上两点间距离的计算方法进行计算即可得出答案；（2）先根据数轴上两点间距离的计算方法计算出a的值，再求a﹣b即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可得，点C与点D之间的距离为3−5；（2）根据题意可得，a＝|﹣1+5|=5−1，b＝3−5，a﹣b=5−1﹣（3−5）＝25−4．【点评】本题主要考查了实数与数轴及数轴上两点间距离，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及数轴上两点间距离的计算方法进行求解是解决本题的关键．【例题4】在﹣1，0，π，3这四个数中，最大的数是（）A．﹣1B．0C．πD．3【分析】实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣1＜0＜3＜π，∴在这四个数中，最大的数是π．故选：C．【点评】此题考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．（2022•沂源县一模）在3，−3，0，2这四个数中，最小的一个数是（）A．3B．−3C．0D．2【分析】根据实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小即可求解．【解答】解：在3，−3，0，2这四个数中，最小的一个数是−3．故选：B．【点评】此题考查了实数大小比较，可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．【变式4-2】三个数﹣π，﹣3，−3的大小顺序是（）A．﹣3＜﹣π＜−3B．﹣π＜﹣3＜−3C．﹣π＜−3＜−3D．﹣3＜−3＜−π【分析】先对无理数进行估算，再比较大小即可．【解答】解：﹣π≈﹣3.14，−3≈−1.732，因为3.14＞3＞1.732．所以﹣π＜﹣3＜−3．故选：B．【点评】本题考查了同学们对无理数大小的估算能力及比较两个负数大小的方法，即两个负数相比较，绝对值大的反而小．【变式4-3】设a为实数且0＜a＜1，则在a2，a，�，1�这四个数中（）1�＞�＞�＞�2B．�2＞�＞�＞1�C．�＞�＞1�＞�2D．1�＞�＞�＞�2 A．【分析】根据正数比较大小的法则进行解答即可．【解答】解：∵0＜a＜1，1�＞1，∴0＜a2＜a＜�＜1，1�＞�＞a＞a2．∴故选：D．【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．【变式4-4】比较2，5，37的大小，正确的是（）A．2＜5＜37B．2＜37＜5C．5＜37＜2D．37＜2＜5【分析】把2转化为4，38，即可比较大小．【解答】解：∵2=4，∴5＞2，∵2=38，∴2＞37，∴5＞2＞37，即37＜2＜5，故选：D．【点评】本题考查了实数大小的比较，解决本题的关键是把2转化为4，38．【变式4-5】比较大小：− 1.5．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：(−3)2=3，（﹣1.5）2＝2.25，∵3＞2.25，∴−3＜−1.5．故答案为：＜．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小，两个负数平方大的反而小．【变式4-6】比较大小：5．【分析】首先将根号外的因式移到根号内部，进而利用实数比较大小方法得出即可．【解答】解：∵211=44，35=45，∴211＜35．故答案为：＜．【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确将根号内的数字移到根号内部是解题关键．【变式4-7】（2021秋•新津县校级月考）比较大小：3−1212，3．【分析】（1）比较出两个数的差的正负，即可判断出它们的大小关系．（2）首先比较出两个数的平方的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个数也大，判断出原来的两个数的大小关系即可．【解答】解：（1）∵3−12−12=32−1＜0，∴3−12＜12．（2）(32)2=18，(23)2=12，∵18＞12，∴32＞23．故答案为：＜、＞．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个正实数，平方大的，这个数也大．【例题5】实数−3的绝对值是（）A．3B．−33C．−3D．3 3【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．【解答】解：实数−3的绝对值是：3．故选：A．【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．【变式5-1】2的相反数是（）A．−2B．2CD．2【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：根据相反数的含义，可得2的相反数是：−2．故选：A．【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．【变式5-2】|−2|的平方是（）A．−2B．2C．﹣2D．2【分析】运用平方运算的法则运算即可．【解答】解：|−2|的平方是2，故选：D．【点评】本题主要考查了平方运算的法则，熟练掌握法则是解答此题的关键．【变式5-3】填空：（1）5的相反数是，绝对值是；（2）3−1的相反数是，绝对值是；（3）若|x|=3，则x＝．【分析】根据相反数和绝对值的定义即可得出答案．【解答】解：（1）5的相反数是−5，绝对值是5；（2）3−1的相反数是1−3，绝对值是3−1；（3）∵|x|=3，∴x=±3．故答案为：（1）−5，5；（2）1−3，3−1；（3）±3．【点评】本题考查了实数的性质，算术平方根，掌握绝对值等于3的数有2个是解题的关键．【变式5-4】（2022秋•辉县市校级月考）5−2的相反数是；81的平方根是．【分析】根据算术平方根，平方根，相反数的定义求解即可．【解答】解：5−2的相反数是2−5；81=9的平方根是±3．故答案为：2−5；±3．【点评】本题考查了实数的性质，算术平方根，平方根，相反数，先求出81的值，再求它的平方根是解题的关键．【变式5-5】（2021•市南区模拟）下列各组数中互为相反数的是（）A．﹣2与(−2)2B．﹣2与3−8C．2与（−2）2D．|−2|与2【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：A、只有符号不同的两个数互为相反数，故A正确；B、是同一个数，故B错误；C、是同一个数，故C错误；D、是同一个数，故D错误；故选：A．【点评】本题考查了实数的性质，利用了只有符号不同的两个数互为相反数．【变式5-6】（2021秋•莲湖区校级月考）已知31−3�与32�+1互为相反数，求3﹣6a+9b 的平方根．【分析】根据立方根和相反数的意义先求出﹣2a与3b的关系，再整体代入求出3﹣6a+9b 的平方根．【解答】解：∵31−3�与32�+1互为相反数，∴31−3�+32�+1=0．∴31−3�=−32�+1．∴1﹣3b＝﹣（2a+1）．∴﹣2a+3b＝2．∴3﹣6a+9b＝3+3（﹣2a+3b）＝3+3×2＝9．∵9的平方根是±3，∴3﹣6a+9b的平方根是±3．【点评】本题考查了平方根的计算，掌握相反数的意义、立方根的性质是解决本题的关键．【变式5-7】（2022春•如皋市校级月考）已知|x|=5，y是11的平方根，且x＞y，求x+y的值．【分析】直接利用绝对值的性质以及平方根的性质分类讨论得出答案．【解答】解：∵|x|=5，∴x＝±5，∵y是11的平方根，∴y＝±11，∵x＞y，∴当x=5，则y=−11，故x+y=5−11，当x=−5，则y=−11，故x+y=−5−11，综上所述：x+y的值为5−11或−5−11．【点评】此题主要考查了实数的性质，正确分类讨论是解题关键．【例题6】（2022秋•大竹县校级期末）实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则|a﹣b|−�2的结果是（）A．2a﹣b B．b﹣2a C．b D．﹣b【分析】首先由数轴可得a＜b＜0，然后利用算术平方根与绝对值的性质，即可求得答案．【解答】解：根据题意得：a＜b＜0，∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|−�2=|a﹣b|﹣|a|＝（b﹣a）﹣（﹣a）＝b﹣a+a＝b．故选：C．【点评】此题考查了数轴、算术平方根与绝对值的性质．此题难度适中，注意�2=|a|．值．【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案．【解答】解：由数轴可得：a＜−3，0＜b＜3，故|3−b|+|a+3|+�2=3−b﹣（a+3）﹣a=3−b﹣a−3−a＝﹣2a﹣b．故答案为：﹣2a﹣b．【点评】此题主要考查了实数的运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．【变式6-2】实数a、b、c在数轴上的位置如图，化简(�−�)2−|a+c|+(�−�)2−|b|【分析】利用数轴首先得出各式的符号，进而化简得出答案．【解答】解：如图所示：a﹣b＜0，a+c＜0，c﹣b＜0，b＞0，则原式＝b﹣a+a+c+b﹣c﹣b＝b．【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确判断出各式的符号是解题关键．【变式6-3】（2021春•南通期末）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：�2+|a+b|+3(�+�)3−|b﹣c|．【分析】直接利用数轴得出c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，再化简求解．【解答】解：由数轴可得：c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，原式＝c﹣a﹣b+（a+b）+（b﹣c）＝b．【点评】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．【变式6-4】实数a，b，c表示在数轴上如图所示，完成下列问题，试化简：(�−�)2−|�−�|+3(�−�)3．【分析】根据题意可得：b＜0＜a＜c，从而可得a﹣c＜0，b﹣a＜0，然后利用二次根式的性质，绝对值，立方根的意义进行化简计算，即可解答．【解答】解：由题意得：b＜0＜a＜c，∴a﹣c＜0，b﹣a＜0，∴(�−�)2−|�−�|+3(�−�)3＝c﹣a﹣（a﹣b）+b﹣c＝c﹣a﹣a+b+b﹣c＝2b﹣2a．【点评】本题考查了整式的加减，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式6-5】（2022秋•保定月考）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示3，设点A所表示的数为m．（1）实数m的值是；（2）求（m+2）2+|m+1|的值．【分析】（1）根据实数与数轴上的点是一一对应关系进行计算即可得出答案；（2）把（1）中m的值代入进行计算即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可得，m=3−2；故答案为：3−2；（2）m+1=3−2+1=3−1，∵1＜3＜2，∴0＜3−1＜1，（m+2）2+|m+1|＝（3−2+2）2+|3−1|＝（3）2+3−1＝3+3−1＝2+3．故答案为：2+3．【点评】本题主要考查了实数与数轴及绝对值，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及绝对值的性质进行求解是解决本题的关键．【例题7】（2022春•涧西区期中）已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|+5−�=0．（1）求实数a，b，c的值；（2）求�−3�+�的平方根．【分析】（1）直接利用非负数的性质结合偶次方的性质、绝对值的性质、算术平方根的性质得出a，b，c的值；（2）直接利用平方根定义得出答案．【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+|2b+6|+5−�=0，∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，解得：a ＝2，b ＝﹣3，c ＝5；（2）由（1）知a ＝2，b ＝﹣3，c ＝5，则�−3�+�=2−3×(−3)+5＝4，故�−3�+�的平方根为：±2．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握相关性质得出a ，b ，c 的值是解题关键．【分析】根据算术平方根与绝对值的和为0可得算术平方根与绝对值同时为0，可得答案．【解答】由题意得：2m +1＝0，3n ﹣2＝0，∴m =−12，n =23，∴m 2+n 2＝（−12）2+（23）2=14+49=2536，∴m 2+n 2的平方根是±56．【点评】本题考查非负数的性质，根据算术平方根与绝对值的和为0可得算术平方根与绝对值同时为0．【变式7-2】已知|a +1|+3�−2�−1=0，求4a +5b 2的算术平方根．【分析】根据平方与绝对值的和为零，可得平方与绝对值同时为零，可得a 、b 的值；将a和b 的值代入待求式，求值，并求其算术平方根即可．【解答】解：∵|a +1|+3�−2�−1=0，∴a +1＝0，3a ﹣2b ﹣1＝0，∴a ＝﹣1，b ＝﹣2，∴4a +5b 2＝4×（﹣1）+5×4＝16，∴4a +5b 2的算术平方根为4．【点评】本题考查了算术平方根，利用了平方与绝对值的和为零，得出平方与绝对值同时为零是解题关键．【变式7-3】（2022秋•|b 3﹣8|＝0，求14(−3��2)2的值．【分析】直接利用绝对值和算术平方根的非负数性质得出a ，b 的值，进而得出答案．|b 3﹣8|＝0，∴�−12�=0�3−8=0，解得�=1�=2，∴14(−3��2)2=14×(−3×1×22)2=14×(−12)2=36．【点评】此题主要考查了非负数性质，正确得出a ，b 的值是解题关键．【变式7-4】（2021秋•抚州期末）已知|a |+a ＝0，且|a 2﹣1|+（b ﹣2）2+3−�=0，求a﹣b +4c 的平方根．【分析】根据非负数的性质求出a、b、c的值，代入a﹣b+4c计算求出的值，最后根据平方根的定义得出答案．【解答】解：∵|a2﹣1|+（b﹣2）2+3−�=0，∴a2﹣1＝0，b﹣2＝0，3﹣c＝0，解得a＝±1，b＝2，c＝3，∴2A﹣B又∵|a|+a＝0，∴a＝﹣1，∴a﹣b+4c＝﹣1﹣2+4×3＝9，∴a﹣b+4c的平方根是±3．【点评】此题主要考查了非负数的性质和平方根的的定义，解答此题的关键是能够根据非负数的性质正确求出a、b、c的值．【变式7-5】（2022春•孟村县期中）已知|2a+b|与3�+12互为相反数．（1）求2a﹣3b的平方根；（2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0．【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再求得2a﹣3b的值，最后依据平方根的定义求解即可；（2）将a、b的值代入得到关于x的方程，然后解方程即可．【解答】解：由题意，得2a+b＝0，3b+12＝0，解得b＝﹣4，a＝2．（1）∵2a﹣3b＝2×2﹣3×（﹣4）＝16，∴2a﹣3b的平方根为±4．（2）把b＝﹣4，a＝2代入方程，得2x2+4×（﹣4）﹣2＝0，即x2＝9，解得x＝±3．【点评】本题主要考查的是平方根的定义、非负数的性质，熟练掌握平方根的定义、非负数的性质是解题的关键．【例题8】（2022春•海淀区校级月考）计算：（1）|10−3|+|10−4|+3−27；（2）|3−2|+3−8×12+(−3)2．【分析】（1）先化简绝对值，并化简立方根，加减计算出结果；（2）先化简绝对值，化简立方根和算术平方根，和乘方，再计算乘法，最后再加减计算出结果．【解答】解：（1）原式=10−3+4−10+(−3)＝1﹣3＝﹣2；（2）原式=2−3−1+3=4−3．【点评】本题考查绝对值化简，开方运算，乘方运算，乘法运算，能够掌握运算顺序是解决本题的关键．计算|327|+|−16|+4−38的值是（）A ．1B ．±1C ．2D ．7【分析】原式利用立方根，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式＝3+4+2﹣2＝7．故选：D ．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式8-2】计算：﹣12+352+102−−|−14|．【分析】直接利用平方运算，算术平方根和立方根的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣1+325+100−14＝﹣1+5−74−14＝2．【点评】本题主要考查了平方、立方根、算术平方根、绝对值、实数运算，正确掌握相关性质和运算法则是解题关键．【变式8-3】计算：﹣22+36−3−64−|5−2|．【分析】分别按照乘方、求平方根、求立方根及绝对值的化简法则化简，再合并同类项及同类二次根式即可．【解答】解：﹣22+36−3−64−|5−2|＝﹣4+6+4−5+2＝8−5．【点评】本题考查了乘方、求平方根、求立方根及绝对值的化简等实数运算，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．【变式8-4】（2022秋•江都区月考）计算：（1）(1−2)2+3(−2)3+（2）|1−3|+（﹣2）2−3．【分析】（1）利用算术平方根的定义，立方根的定义计算；（2）利用绝对值的定义，乘方运算计算．【解答】解：（1）(1−2)2+3(−2)3+＝1+（﹣2）+4 3＝1﹣2+4 3=13；（2）|1−3|+（﹣2）2−3=3−1+4−3＝3．【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握算术平方根的定义，立方根的定义，。

三实数的概念与运算

三实数的概念与运算一、整体动向：实数的概念与运算是“数与代数”的基础内容，也是中考的必考内容之一，命题形式多为填空题或选择题，复习时应重点把握其基础知识与基本技能，同时注重新课程评价标准对知识在不同情境下的创新考查．二、重点、难点（一）基本概念（1）在实数范围内，_______数都能开立方，只有______数才能开平方；因此，对于3a ，a 为_____，当______时，a 有意义．（2）无理数是_____________．（3）______和______统称为实数．（二）基本运算（1）实数的运算要注意：有理数的运算种类、各种运算法则、运算律、运算顺序、科学记数法、近似数与有效数字、计算器功能键及应用．（2）实数的运算律：有理数的运算律在实数范围内仍然适用．三、典例剖析例1 （2006年威海市）写出一个-6～-5之间的无理数：_________．解：符合题意的无理数有无数多个，如30-，3200-等．说明：这类题的特点是满足题意的条件不明朗，且不惟一，具有开放性．例2 （2006年山西省）估计512-与0.5的大小关系是：512-______0.5．（填“＞”“＜”“＝”）说明：本题主要考查估算能力，也可以借助于计算器计算，答案为：＞．例3 （2006年荆州市）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x 为64时，输出的y 是（）A ．8B ．22C ．23D ．32析解：本题通过数值转换器所给的计算程序来考查算术平方根、无理数的概念，答案为B ．例4 （2006年杭州市）在图2的两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出2个有理数和两个无理数，再用“+、-、×、÷”中的3种符号将选出的4个数进行3次运算，使得运算的结果是一个正整数．分析：本题是一道答案不惟一的开放型创新设计题，只要按照实数的运算和题目的要求来设计计算方案就可以了．例如：33(6)12⎛⎫--+π⨯= ⎪π⎝⎭，等等．说明：本题考查综合创新能力，它的设计方案很多，只要符合要求即可．例5 （2006年无锡市）在实数的原有运算法则中我们补充定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，2a b b ⊕=；当a ＜b 时，a b a ⊕=．则当x ＝2时，(1)(3)x x x ⊕-⊕ 的值为_____（“·”和“－”仍为实数运算中的乘号和减号）．说明：本题是一道“定义新运算”的题目，只要搞清运算规则就可以了，答案为：－2．跟踪练习三：1．大家知道5是一个无理数，那么51-在哪两个整数之间（）A ．1与2B ．2与3C ．3与4D ．4与5２．12-的绝对值等于（） A ．2 B ．2- C ．22 D ．22- 3．若0＜x ＜1，则x 、x 2、x 3的大小关系是（） A ．x ＜x 2＜x 3 B ．x ＜x 3＜x 2 C ．x 3＜x 2＜xD ．x 2＜x 3＜x 4．若35.25 1.738=，30.5250.8067= ，则3525=________．5．64-的立方根是_______．6．如图3，数轴上表示3的点是______．7．已知21x =+，21y =-则2256x xy y -++=____．8．计算：20138(1)19-+-π-+-+．参考答案：1．A 2．C 3．C4．8.067 5．2-6．B 7．7 8．22。

完整版)新浙教版七年级上册数学第三章《实数》知识点及典型例题

完整版)新浙教版七年级上册数学第三章《实数》知识点及典型例题实数是数学中一个重要的概念，它包括有理数和无理数两种。

其中，一个数的平方等于a时，这个数就叫做a的平方根。

一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数。

需要注意的是，零的平方根是零，而负数没有平方根。

另外，一个正数a的平方根表示成±a（读做“正、负根号a”），其中a叫做被开方数。

例如，3的平方根是±3，4的平方根是±2.类似地，一个数a的立方等于a时，这个数就叫做a的立方根。

一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，它们互为相反数。

需要注意的是，立方根等于它本身的数是1和-1.一个数a的立方根表示成3a，其中a叫做被开方数。

例如，3的立方根是33，-8的立方根是-2.实数可以分为有理数和无理数两种。

有理数包括正有理数、负有理数和零，它们可以用分数表示，而无理数则不能用分数表示。

有限小数或无限循环小数都是有理数，而无限不循环小数是无理数。

实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数一样，有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然适用。

最后需要注意的是，在求一个数的平方根时，我们可以使用开平方运算，它可以用平方运算来计算。

例如，一个数的正平方根称为算术平方根，它可以表示为M/N的形式（M、N 均为整数，且N≠0）。

81的平方根是±9.1的立方根是±1.1=±1.-5是5的平方根的相反数。

一个自然数的算术平方根为a，则与之相邻的前一个自然数是a-1.考点三、计算类型题1、设26=a，则下列结论正确的是（）A.4.5<a<5.0B.5.0<a<5.5C.5.5<a<6.0D.6.0<a<6.5答案：B4、对于有理数x，2013-x+（3π-9）^2/4=（3π-10）/2，求x的值。

答案：x=2014-3π考点四、数形结合1.点A在数轴上表示的数为35，点B在数轴上表示的数为-5，则A，B两点的距离为40.2、如图，数轴上表示1，2的对应点分别为A，B，点B 关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）A．2－1 B．1－2C．2－2D．2－2答案：B考点五、实数绝对值的应用1、|3-22|+|3+2|-|2-3|=2考点六、实数非负性的应用1．已知：x²-2x-3≥0，求x的取值范围。

中考数学3实数——实在的数

实数
第三节：实数
一、总结第一、第二内容：
以上两节内容辨析了两个概念。

至此，在引入无理数后便可以解决如下的问题：
比如在度量长度的过程中只用有理数是表示不了√2，√5，√8，√33，√63，√93，0.123456789101112……这一类真实存在的长度的。

引入无理数后，√2，√5，√8，√33，√63，√93
，0.123456789101112……这一类真实存在的长度，直至数轴上所有的点（用方向和距离原点长度表示）都可以用无理数或者有理数来表示了，所以我们完全可以把无理数和有理数理解为“实在的数”。

二、有理数和无理数统称为“实数”
1、可以这样理解“实数”：比如上边长度测量中实实在在存在的长度（√
2、1
7之类）表示的数，而这些数可分为两类：一类为有理数、一类为无理数，它们共同构成了实数的集合。

2、数轴上的点和实数存在一一对应关系（数轴上能找到表示实数的对应点，数轴上的点同样能对应一个实数）——即实数占满了数轴。

三、学习中要注意的一点：
与物理、化学等其它需要试验支持结论的学科不同（实验中的数据处理往往
取尽可能准确的近似值），数学是经过严密的论证，和精确的求解得到的结果，所以在解答题目的时候常常用如√2，√33，π或者有理数当中的13，27这样的准确数值，而不用近似的小数值（除非题目本身有要求取近似值）。

八年级数学上册第3章实数3.3实数实数的概念

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内容(nèiróng)总结
实数的概念。下列各数中个，哪些是有理数，哪些是无理数。B。[教材P108 做一做图]。如果两个只有符号不同，那么其中的一
个数叫作另一个数的相反数。0的相反数是0。3.判断(pànduàn)（正确的画“√”，错误的画“×”）。[选自教材P118 练习第3题]。（）。
（）√ （）× （）×
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2.求下列(xiàliè)各数的相反数和绝对值： [选自教材(jiàocái)P118 练习第2题]
3 .1 4， ﹣ 7 ， ﹣ π ， 2
π－3.15.
相反数： ﹣3 .1 4，
7，
π， 2
3.15－π.
绝对值： 3 . 1 4 ，
求相反数：添“﹣”号。
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绝对值
一个(yī ɡè)数到到原点的距离离((jjùùllíí))
2
2
a 的绝对值
﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 a 3 4
﹣2
2
0 =0
（a﹢，）a＞0
设a表示2一=个2实数，则 a =？（00，） a=0
﹣2 =2
25， 36
7 ， ﹣ 1 6，
﹣3 .1 4，1 .7 3 2， 0 ，
3 10
，
1
8， 2
···3
5 6
，﹣
1 6，
有理数
﹣ ，﹣ 3 ， 7 ，
··· 无理数
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3.实数与数轴上点的关系：
如何(rúhé)用数轴上的点表示无理数 8和﹣ 8 ?

成华区第一中学八年级数学上册第2章三角形章末复习三实数课件新版湘教版

x＋y＝500，
x＝300，
依题意得25x＋35y＝14500，解得y＝200.
答：购进甲矿泉水 300 箱，购进乙矿泉水 200 箱
(2)(35－25)×300＋(48－35)×200＝5600(元). 答：该商场售完这 500 箱矿泉水，可获利 5600 元
11．(2019·呼和浩特)滴滴快车是一种便捷的出行工具 , 计价规那么如下表 :
3x＋y＝17， 6．(2019·铁岭)若 x，y 满足方程组x－y＝3，
则__x_＋__y_＝___7__．
7．解下列方程组： 2x＋5＝y，
(1)3x＋y＝10；解：xy＝＝17
3x－4y＝4， (2)3x－2y＝8；解：xy＝＝42
(3)4x＋y2＝4， 3x－2y＝16；
x＝8 解：(3)y＝4
mx＋y＝n，
x＝0，
3．(2019·朝阳)关于 x，y 的二元一次方程组x－ny＝2m 的解是y＝2，
则 m＋n 的值为( D )
A．4 B．2 C．1 D．0
4．已知方程 3x＋y＝12 有很多解， x＝6
请你写出互为相反数的一组解是___y_＝__－__6___．
3x－2y＝1， 5．(2019·荆门)已知实数 x，y 满足方程组x＋y＝2，则 x2－2y2 的值为( A ) A．－1 B．1 C．3 D．－3
解 : 原式＝4－(－3)－5＝2
(2)2 7 －53 2 －(3 2 －3 7 ). 解：原式＝2 7 －53 2 －3 2 ＋3 7 ＝5 7 －63 2
【核心素养】 11．(数形结合)如图，一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右爬了 2 个单位长度到达点 B，点 A 表示－ 2 ，设点 B 所表示的数为 m. (1)实数 m 的值是________； (2)求|m＋1|＋|m－1|的值； (3)在数轴上还有 C，D 两点分别表示实数 c 和 d，且有|2c＋d|与 d2－16 互为相反数，求 2c－3d 的平方根．

3实数的绝对值

《数学思维与能力训练》辅导讲义姓名辅导时间实数的绝对值【知识要点】1、实数的绝对值与有理数一样，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即：(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ 所以实数去绝对值，必须对绝对值里的代数式的正负进行讨论2、在初中数学竞赛中，还将用到以下的绝对值的基本性质(1) | a | ≥ 0(2)||a = (3) | a 2 | = | a | 2 = a 2 (4) ||||||||,||(0)||a a ab a b b b b ⋅=⋅=≠ (5) 若 | a | = | b |，则a = b 或a = – b 或a = b = 0(6) 若a > 0，| x |≤a ，则 – a ≤ x ≤ a ；若 a > 0，| x |≥0，则 x ≥ a 或 x ≤– a(7) | a | – | b | ≤ | a ± b | ≤ | a | + | b |【夯实基础】［例题1］化简：|1|2|++〖小试牛刀〗1、化简： =2、若x > 1，化简 1 – 2x – | x – 1 | 的结果是 ( )A 、2 – 3xB 、0C 、– 3xD 、23、如果表示a 、b 两个实数的点在数轴上的位置如图，那么计算||a b -的结果等于 ( )A 、2aB 、2bC 、– 2aD 、– 2b4、当0 ≤ a ≤ 1时，化简：(1) | a | + | a – 1 | (2) | a – | a – 1 | |［例题2］若 | a | = 5，| b | = 4，| a – b | = b – a ，求代数式 a + b 的值。

［例题3］求代数式||||||a b ab a b ab ++ 的所有可能的值〖小试牛刀〗1、已知 ||||a b == | a – b | = b – a ，求a + b 的值2、若 | a | = 57=，且 | a + b | = a + b ，求 a – b 的值3、若 | a | = 3，2=，且ab < 0，求a – b 的值【拓展探究】1、若x > 0，化简| x – 1 |≥，求| 2x – 1 | – | x + 2 | 的最小值2、已知实数x23、已知| x | ≤1，| y | ≤1，求| x + y | + | y + 1 | + | 2y – x – 4 | 的最大值与最小值的和4、已知a、b为实数，且| a | = b，| ab | + ab = 0，求证：| b | + | – 2b | – | 3b – 2a | = 2a。