经济数学教案(下)

咸宁职业技术学院教案2013～ 2014 学年第二学期系 ( 部 ) 机电工程系教研室(实验室) 高数教研室课程名称高等数学授课班级 13级物流1、2、3、4班主讲教师汪慧玲职称讲师使用教材应用高等数学咸宁职业技术学院教务处制应用高等数学（授课人：汪慧玲）第一章数学基础知识及其应用【课题】 1.1初等函数【教学目标】知识目标：1.理解函数、分段函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值2.了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性及反函数的定义能力目标：进一步提高学生捕捉某一变化过程中变量与变量之间关系的能力，并能运用所学知识分析相关性态【授课内容】函数、反函数、分段函数、复合函数的概念及函数的几种特性【教学重点】1、难点内容：函数概念和性质，复合函数的概念及分解方法2、突出重点的方法：复习巩固，温故知新，例题配合、突出重点【教学难点】1、难点内容：复合函数的分解方法2、突破难点的方法：先引导学生弄清楚运算顺序、然后正确分析函数结构、从而准确定位函数分解过程【教时安排】2课时【教学方式方法】讲授【教学手段】黑板演示【使用教具】三角板【使用教材】《应用高等数学》韩飞陈大桥柳明珠主编【参考资料】《经济数学》郭欣红、姜晓艳主编人民邮电出版社《应用数学基础》（理工类）邢春峰主编人民邮电出版社《工程应用数学》龚友运主编华中科技大学出版社【教学过程】一、复习导入（5分钟）：在自然界中，某一现象中的各种变量之间，通常并不都是独立变化的，它们之间存在着依赖关系，我们观察下面几个例子：例如：某种商品的销售单价为p元，则其销售额L与销售量x之间存在这样的依赖关系：L=px二、讲授内容（80分钟）A、函数概念及表示法（15分钟）1、函数的概念2、函数两要素：对应法则、定义域（有的可直接看出，有的需计算），而函数的值域一般称为派生要素。

从导入实例出发，引出函数关系，再给出函数定义，并通过比较两函数是否相等给出函数的两个要素。

例1、求函数)1ln(2x y -=的定义域？ 例2、下列各题中的函数是否相等？为什么？ （1）~（4）3、函数图象的表示法：解析法、图示法、表格法（说明各种类型的优劣） B 、函数的几种特性：（20分钟） 单调性、周期性、奇偶性和有界性引导学生回忆高中的知识，并通过图形使学生从直观上理解函数的性质 例3、判断xy 1=的奇偶性 C 、分段函数（10分钟）1、分段函数的概念：对于定义域内不同区间上用不同的解析式表示的函数2、例4，设⎩⎨⎧>≤≤+==)2()20(2)(2x x x x x f y . 求它的定义域和)1(f ，)3(f ，)1(-x f .D 、反函数的概念（10分钟）给出反函数的概念，并通过举例总结求反函数的步骤E 、复合函数的定义及复合函数的复合与分解（15分钟）通过一个复合函数的例子引出复合函数的定义，补充有关复合函数分解的例题和练习定义：如果y 是u 的函数)(u f y =，而u 又是x 的函数)(x u ϕ=，且)(x ϕ的值域与)(x f y =的定义域的交非空. 那么，y 通过中间变量u 的联系成为x 的函数，把这个函数称为是由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的复合函数例5、（1）已知2,ln x u u y ==，试把y 表示为x 的函数． （2）设 2,tan ,2xv v u u y ===，试把y 表示为x 的函数． 例6、（1）函数e y x sin =是由哪些简单函数复合而成的？（2）函数)1ln 2(tan 2+=x y 是由哪些简单函数复合而成的？ F 、基本初等函数与初等函数（10分钟） 1、基本初等函数：幂函数μx y = 指数函数)1,0(≠>=a a a y x 对数函数x y a log = 三角函数：正弦函数：),(sin +∞-∞∈=x x y 余弦函数：),(cos +∞-∞∈=x xy正切函数： ,2,1,02tan ±±=+≠=n n x x y ππ余切函数： ,2,1,0cot ±±=≠=n n x xy π正割xx y cos 1sec == 余割x x y sin 1csc ==反三角函数：反正弦函数：]1,1[arcsin -∈=x xy ，]2,2[ππ-∈y反余弦函数：]1,1[arccos -∈=x x y ，],0[π∈y反正切函数：),(arctan +∞-∞∈=x x y ，)2,2(ππ-∈y反余切函数：),(cot +∞-∞∈=x xarc y ，),0(π∈y2、举例判断一个函数是否为初等函数（适当举例强调定义中的四则运算和复合步骤所得到的函数形式，并突出是由一个式子表示的）G 、课堂小结（3分钟）H 、作业布置（2分钟）作业题：习题1.1 3、5、6 附：【板书设计】应用高等数学（授课人：汪慧玲）【课题】1.2向量及其应用【教学目标】1、知识目标：熟悉向量及其相关定义，掌握向量的几何运算和坐标运算2、能力目标：提高学生的计算能力及分析能力【授课内容】向量的概念，向量的几何运算，向量的交角，向量的坐标表示及运算，向量积的概念及运算；【教学重点】1、重点内容；向量的运算2、突出重点的方法：精讲多练【教学难点】1、难点内容：向量夹角的求法2、突破难点的方法：在复习巩固反余弦定义的基础上，再利用新的知识正确求出夹角的余弦，从而得到夹角的值【教时安排】2课时【教学方式方法】讲授【教学手段】黑板演示【使用教具】三角板【使用教材】《应用高等数学》韩飞陈大桥柳明珠主编【参考资料】《经济数学》郭欣红、姜晓艳主编人民邮电出版社《应用数学基础》（理工类）邢春峰主编人民邮电出版社《工程应用数学》龚友运主编华中科技大学出版社【教学过程】一、复习导入（3钟）：在实践中，经常会遇到这样一些量，它们既有大小又有方向，例如，物理学中物体运动的速度、加速度、位移等，数学中把这一类量统称为向量二、讲授内容（80分钟）A、向量的概念（10分钟）在实践中，经常遇到这样一些量，它们既有大小又有方向，例如，物理学中物体运动的速度、加速度、位移等，数学中把这一类量统称为向量（或矢量）.以A为起点，B为终点的有向线段表示的向量，记为，如图1-2所示，有时也用拉丁字母上方加箭头的形式来表示（如、、、…），或用黑斜体小写字母表示（如a、b、i、j…）.向量a的大小称为向量的模，记作a；模是1的向量称为单位向量，与向量a 同向的单位向量记为0a ；模为0的向量称为零向量，记作0.零向量的方向可以看作是任意的.当两向量a 、b 的模相等且方向相同时，称它们相等，记为b a =.允许平移的向量称为自由向量，本书所讨论的向量都为自由向量.两个非零向量a 、b 正向之间不超过︒180的夹角定义为a 、b 的夹角，记作(a Λ,b ),如图1-3所示.ABBAa图1—2 图1—3当(a Λ,b )=0或π时（即向量a 、b 的方向相同或相反），称向量a 、b 平行，记作b a //.当(a Λ,b )=2π时，称它们垂直，记作b a ⊥.因为零向量方向不定，所以零向量与任一向量既平行也垂直.与向量a 大小相等，方向相反的向量称为a 的负向量，记作-a . B 、向量的运算（50分钟） 1. 向量的加法设a 、b 为两个非零向量，以a 、b 为邻边的平行四边形的对角线所表示的向量称为两向量之和，记作b a +.这就是向量加法的平行四边形法则，如图1-4所示.类似还有三角形法则，即将a 、b 首尾相连，则由起点到终点相连的有向“折线段”也是b a +，如图1-5所示.一般地，多个向量相加时，将它们平移成首尾相接状态，则相连的有向“折线段”的起点到终点向量就是多个向量的和.如图1-6所示，B P P P P P AP AB 332211+++=.图1—4图1—5图1—62. 向量的减法 向量的减法是向量加法的逆运算.根据两向量的加法，规定：)(a b a b -+=-. 具体画法如图1-7、图1-8所示.图1—7 图1—83. 向量与数的乘法实数λ与向量a 相乘仍为一个向量，记作a λ（简称向量的数乘运算）.且a λ的方向为0>λ时，与a 的方向相同；当0<λ时，与a 的方向相反；0=λ时，0=a λ.a λ的模为a λ=a ⋅λ.由向量数乘的规定容易看出：aa的模等于1，且与a 同向，所以有 aa a =0. 因此任一非零向量a 都可以表示为a a =0a . 数乘向量满足：（1） 结合律a a )()(λμμλ=； （2） 分配律b a b a λλλ+=+)(； （3） 分配律a a a μλμλ+=+)(. 其中λ、μ都是实数.例1 如图1-9所示，在ABC ∆中，a AB =，b AC =，试利用a 、b 表示BC 边上中线向量.解 )(2121++=+=+=图1—9)(21)(21b a b a a -=+-+=.4. 向量的数量积向量a 与向量b 的模的乘积再乘以它们之间夹角的余弦叫做向量a 与向量b 的数量积，记作b a ⋅.即b a ⋅=a b θcos . 向量的数量积满足： （1） 交换律b a ⋅=a b ⋅；（2） 结合律b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅)(； （3） 分配律c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(； （4） 2a a a =⋅；（5） 设a 、b 是两个向量，则b a ⊥⇔0=⋅b a .从而，0=⋅=⋅=⋅i k k j j i . 例2 设2=a ，4=b ，(a Λ,b )=3π，求：向量a b c 2-=的模. 解 a a b a b b a b a b c ⋅+⋅-⋅=-⋅-=44)2()2(4),(cos 422a b a b a b +-=Λ42421424422=⨯+⨯⨯⨯-= C 、向量的坐标表示（10分钟）本书所研究的向量均为自由向量，与始点所在位置无关.为了讨论方便，一般将它们的始点放在坐标原点，此时向量就完全由终点唯一确定.从而向量与坐标系内的点也构成了一一对应的关系.一般规定：平面直角坐标系内，与x 轴正半轴同向，模为1个单位的向量叫做x 轴的单位向量，记为i ；同样y 轴的单位向量记为j ，如图1-10所示.图1-10由图1-10可知，),(y x P 在x 轴上投影点x P 的坐标是)0,(x ，在y 轴上的投影点y P 的坐标是),0(y .显然xi OP x =，yj OP y =.由向量加法得yj xi OP OP y x +=+=.向量也可写成),(y x ，这就是向量的坐标表示，其中的两个坐标分别称为向量的x 、y 坐标.另外由图1-10可以得到向量OP22y x +=.有了向量的坐标表示，向量的加、减和数乘运算就容易了.例3 设a ，b 的直角坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，求b a +，b a -和a λ. 解 因为j y i x a 11+=，j y i x b 22+=，所以j y y i x x j y i x j y i x b a )()(21212211+++=+++=+；j y y i x x j y i x j y i x b a )()()(21212211-+-=+-+=-； j y i x j y i x a 1111)(λλλλ+=+=.由例3可知，两个向量的加（或减）就是这两个向量对应坐标的加（或减）.而数乘向量则是用数乘以向量的每个坐标. D 、向量的坐标运算(10分钟)设向量j y i x b 22+=，则其数量积为：)()(2211j y i x j y i x b a +⋅+=⋅j j y y i j x y j i y x i i x x ⋅+⋅+⋅+⋅=21212121 因为1=⋅=⋅j j i i ，0=⋅=⋅i j j i ，所以两个向量的数量积为 2121y y x x b a +=⋅. 由数量积的定义可知，向量a 和b 的夹角θ的余弦为 222221212121cos yx yx y y x x ba b a +++=⋅=θ.例4 已知j i a +=3，i b 3=，求(a Λ,b ). 解 因为233230)3(1)3(0133),cos(2222==++⋅+⋅=Λb a ， 所以(a Λ,b )6π=.H 、 课堂小结（5分钟）I 、作业布置（2分钟） 习题1.2 2、4、5附：【板书设计】E 、复数的概念及运算（15分钟）1、复数的概念：形如),(R b a bi a ∈+的数，叫做复数.a 叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.2、复数的运算（1）复数的加法与减法.)()()()(i d b c a di c bi a ±+±=+±+满足的运算律：交换律 1221z z z z +=+；结合律 ）（321321)(z z z z z z ++=++.（2）复数的乘法与除法例5 计算:（1）)43()2()65(i i i +---+- ； （2）)52()1(3i i i +---+.（3）)211)(43)(21(i i i ++-. （4）25i ，39iF 、复数的几何表示（5分钟）1、复平面2、用向量表示复数例6设i z 2321+-=，求z 及z z •. G 、复数的三角形式（20分钟）1、)sin (cos θθi r +=. 其中22b a r +=，r a =θcos ，rb =θsin . 例7求下列复数的三角形式： （1）i z +=11；（2）i z 23212+-= 2、复数三角形式的乘法运算：两个复数相乘，就是把模相乘，辐角相加.3、复数三角形式的除法运算：两个复数相除，就是把模相除，辐角相减. 例8 计算：（1）)6sin 6(cos 3)12sin 12(cos 2ππππi i +⨯+. （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+÷+)65sin 65(cos 2)34sin 34(cos 4ππππi i . 附：【板书设计】应用高等数学（授课人：汪慧玲）【课题】1.3复数及其应用【教学目标】1、知识目标：熟悉复数及其相关定义，掌握复数的代数运算和三角运算以及指数形式的运算2、能力目标：提高学生的计算能力及分析能力【授课内容】复数的数念，复数的代数运算，复数的三角形式及运算。