高考数学三轮复习:(文数)“5+2选1”解答题限时练(一)

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新高考高三数学滚动测试卷

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考试时间:120分钟满分:100分一、选择题(本大题共20小题,每小题5分,共100分)1. 已知函数 \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4 \),则 \( f'(x) \) 的零点为:A. \( x = 0 \)B. \( x = 1 \)C. \( x = 2 \)D. \( x = 3 \)2. 若 \( \sin A = \frac{3}{5} \),且 \( A \) 在第二象限,则 \( \cos A \) 的值为:A. \( -\frac{4}{5} \)B. \( \frac{4}{5} \)C. \( -\frac{3}{5} \)D. \( \frac{3}{5} \)3. 在等差数列 \(\{a_n\}\) 中,已知 \( a_1 = 3 \),\( a_5 = 15 \),则该数列的公差 \( d \) 为:A. 3B. 4C. 5D. 64. 若 \( \overrightarrow{a} = (1, 2) \),\( \overrightarrow{b} = (2, -1) \),则 \( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \) 的值为:A. 5B. -5C. 35. 在直角坐标系中,点 \( P(2, 3) \) 关于直线 \( y = x \) 的对称点为:A. \( (2, 3) \)B. \( (3, 2) \)C. \( (-2, -3) \)D. \( (-3, -2) \)6. 若 \( a^2 + b^2 = 10 \),\( ab = 2 \),则 \( a^2 - b^2 \) 的值为:A. 6B. 8C. 10D. 127. 在三角形 \( ABC \) 中,若 \( \angle A = 60^\circ \),\( \angle B = 45^\circ \),则 \( \angle C \) 的度数为:A. 75^\circB. 105^\circC. 135^\circD. 165^\circ8. 已知函数 \( y = x^3 - 6x^2 + 9x \),则该函数的极值点为:A. \( x = 0 \)B. \( x = 1 \)C. \( x = 2 \)D. \( x = 3 \)9. 若 \( \log_2 x + \log_2 y = 3 \),则 \( xy \) 的值为:A. 8C. 32D. 6410. 在等比数列 \(\{a_n\}\) 中,已知 \( a_1 = 2 \),\( a_4 = 16 \),则该数列的公比 \( q \) 为:A. 2B. 4C. 8D. 1611. 若 \( \sin \theta = \frac{1}{2} \),且 \( \theta \) 在第三象限,则\( \tan \theta \) 的值为:A. \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \)B. \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)C. \( -\sqrt{3} \)D. \( \sqrt{3} \)12. 在直角坐标系中,点 \( P(-2, 3) \) 关于原点的对称点为:A. \( (-2, 3) \)B. \( (2, -3) \)C. \( (-2, -3) \)D. \( (2, 3) \)13. 若 \( a^2 + b^2 = 25 \),\( ab = 5 \),则 \( a^4 + b^4 \) 的值为:A. 50B. 75C. 10014. 在三角形 \( ABC \) 中,若 \( \angle A = 30^\circ \),\( \angle B = 75^\circ \),则 \( \angle C \) 的度数为:A. 45^\circB. 60^\circC. 75^\circD. 90^\circ15. 已知函数 \( y = x^3 - 9x^2 + 24x \),则该函数的拐点为:A. \( x = 0 \)B. \( x = 1 \)C. \( x = 2 \)D. \( x = 3 \)16. 若 \( \log_3 x + \log_3 y = 2 \),则 \( xy \) 的值为:A. 9B. 27C. 81D. 24317. 在等比数列 \(\{a_n\}\) 中,已知 \( a_1 = 3 \),\( a_5 = 243 \),则该数列的公比 \( q \) 为:A. 3B. 9C. 27D. 8118. 若 \( \sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \),且 \( \theta \) 在第二象限,则 \( \tan \theta \) 的值为:A. \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \)B. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)C. \( -\sqrt{2} \)D. \( \sqrt{2} \)19. 在直角坐标系中,点 \( P(3, 4) \) 关于直线 \( y = -x \) 的对称点为:A. \( (3, 4) \)B. \( (-3, -4) \)C. \( (4, -3) \)D. \( (-4, 3) \)20. 若 \( a^2 + b^2 = 50 \),\( ab = 10 \),则 \( a^4 + b^4 \) 的值为:A. 100B. 150C. 200D. 250二、解答题(本大题共4小题,每小题20分,共80分)21. 已知函数 \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4 \),求 \( f'(x) \) 并求 \( f(x) \) 的单调区间。

高考数学试题2024新高考新题型考前必刷卷01(参考答案)

高考数学试题2024新高考新题型考前必刷卷01(参考答案)

2024年高考考前信息必刷卷(新题型地区专用)01数学·答案及评分标准(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第I 卷(选择题)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。

12345678DDBDADAA二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。

91011ADABCAC第II 卷(非选择题)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

12.513.①④14.①③四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)【解析】(1)当1a =时,函数31()ln 222f x x x x x =--+的定义域为(0,)+∞,求导得21()ln 212f x x x '=+-,(2分)令21()ln ,0212g x x x x =+->,求导得233111()x g x x x x-'=-=,(4分)当01x <<时,()0g x '<,当1x >时,()0g x '>,则函数()g x 在(0,1)上递减,在(1,)+∞上递增,()(1)0g x g ≥=,即(0,)∀∈+∞x ,()0f x '≥,当且仅当1x =时取等号,所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增,即函数()f x 的递增区间为(0,)+∞.(6分)(2)依题意,5(2)2ln 204f a =->,则0a >,(7分)由(1)知,当1x ≥时,31ln 2022x x x x--+≥恒成立,当1a ≥时,[1,)x ∀∈+∞,ln 0x x ≥,则3131()ln 2ln 202222f x ax x x x x x x x=--+≥--+≥,因此1a ≥;(9分)当01a <<时,求导得231()(1ln )22f x a x x '=+-+,令231()(1ln )22h x a x x =+-+,(11分)求导得()23311a ax h x x x x -=-=',当1x <<时,()0h x '<,则函数()h x ,即()f x '在上单调递减,当x ∈时,()(1)10f x f a ''<=-<,因此函数()f x 在上单调递减,当x ∈时,()(1)0f x f <=,不符合题意,所以a 的取值范围是[1,)+∞.(13分)16.(15分)【解析】(1)由题意得584018x =-=,422220y =-=;(4分)(2)由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,得22100(40221820) 4.625 3.84158426040χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,∴有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”.(8分)(3)抽取6名育龄妇女,来自一线城市的人数为20624020⨯=+,记为1,2,来自非一线城市的人数为40644020⨯=+,(10分)记为a ,b ,c ,d ,选设事件A 为“取两名参加育儿知识讲座,求至少有一名来自一线城市”,基本事件为:(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,),(2,),(2,),(,),(,)a b c d a b c d a b a c ,(,),(,),(,),(,)a d b c b d c d ,事件(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,)(2,),(2,)A a b c d a b c d 共有9个,(13分)93()155P A ==或63()1155P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭(15分)17.(15分)【解析】(1)因为//AD BC ,且22BC AD AB AB BC ===⊥,可得AD AB ==2BD ==,(2分)又因为45DBC ADB ∠=∠=︒,可得2CD ==,所以222BD DC BC +=,则CD BD ⊥,(4分)因为平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD ⋂平面BCD BD =,且CD ⊂平面BCD ,所以CD ⊥平面ABD ,又因为AB ⊂平面ABD ,所以CD AB ⊥;(6分)(2)因为CD ⊥平面ABD ,且BD ⊂平面ABD ,所以CD BD ⊥,(7分)如图所示,以点D 为原点,建立空间直角坐标系,可得()1,0,1A ,()2,0,0B ,()0,2,0C ,()0,0,0D ,(9分)所以()0,2,0CD =- ,()1,0,1AD =--.设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ,则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩,令1x =,可得0,1y z ==-,所以()1,0,1n =-,(11分)假设存在点N ,使得AN 与平面ACD 所成角为60 ,(12分)设BN BC λ=uuu r uu u r,(其中01λ≤≤),则()22,2,0N λλ-,()12,2,1AN λλ=-- ,所以sin 60n ANn AN⋅︒==(13分)整理得28210λλ+-=,解得14λ=或12λ=-(舍去),所以在线段BC 上存在点N ,使得AN与平面ACD 所成角为60︒,此时14=BN BC .(15分)18.(17分)【解析】(1)由已知得()11,0F -,22220000313434x y x y +=⇒=-(2分)则10122PF x ==+.所以当012x =时,194PF =;(5分)(2)设(),0M m ,在12F PF △中,PM 是12F PF ∠的角平分线,所以1122PF MF PF MF =,(6分)由(1)知10122PF x =+,同理20122PF x =-,(8分)即0012121122x m m x ++=--,解得014m x =,所以01,04M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,过P 作PH x ⊥轴于H .所以34PM MH PNOH ==.(10分)(3)记1F N P 面积的面积为S ,由(1)可得,(100001114423612S F M y y x x =⋅+=+=+()()02,00,2x ∈-⋃,则)20022S xx =+'-,(12分)当()()02,00,1x ∈-⋃时,0,S S '>单调递增;当)01,2x ∈时,0,S S '<单调递减.(16分)所以当01x =-时,S 最大.(17分)19.(17分)【解析】(1)由题意得124n a a a +++= ,则1124++=或134+=,故所有4的1减数列有数列1,2,1和数列3,1.(4分)(2)因为对于1i j n ≤<≤,使得i j a a >的正整数对(),i j 有k 个,且存在m 的6减数列,所以2C 6n ≥,得4n ≥.(6分)①当4n =时,因为存在m 的6减数列,所以数列中各项均不相同,所以1234106m ≥+++=>.(7分)②当5n =时,因为存在m 的6减数列,所以数列各项中必有不同的项,所以6m ≥.(8分)若6m =,满足要求的数列中有四项为1,一项为2,所以4k ≤,不符合题意,所以6m >.(9分)③当6n ≥时,因为存在m 的6减数列,所以数列各项中必有不同的项,所以6m >.综上所述,若存在m 的6减数列,则6m >.(10分)(3)若数列中的每一项都相等,则0k =,若0k ≠,所以数列A 存在大于1的项,若末项1n a ≠,将n a 拆分成n a 个1后k 变大,所以此时k 不是最大值,所以1n a =.(12分)当1,2,,1i n =- 时,若1i i a a +<,交换1,i i a a +的顺序后k 变为1k +,所以此时k 不是最大值,所以1i i a a +≥.若{}10,1i i a a +-∉,所以12i i a a +≥+,所以将i a 改为1i a -,并在数列末尾添加一项1,所以k 变大,所以此时k 不是最大值,所以{}10,1i i a a +-∈.(14分)若数列A 中存在相邻的两项13,2i i a a +≥=,设此时A 中有x 项为2,将i a 改为2,并在数列末尾添加2i a -项1后,k 的值至少变为11k x x k ++-=+,所以此时k 不是最大值,所以数列A 的各项只能为2或1,所以数列A 为2,2,,2,1,1,,1 的形式.设其中有x 项为2,有y 项为1,因为存在2024的k 减数列,所以22024x y +=,所以()2220242220242(506)512072k xy x x x x x ==-=-+=--+,(16分)所以,当且仅当506,1012x y ==时,k 取最大值为512072.所以,若存在2024的k 减数列,k 的最大值为512072.(17分)。

2024-2025学年高三一轮复习联考(三)_全国卷文数(含答案)

2024-2025学年高三一轮复习联考(三)_全国卷文数(含答案)

2024届高三一轮复习联考(三)全国卷文科数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回,考试时间为120分钟,满分150分一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}212,1A xx B x x =<<=∣∣,则A B ⋃=()A.[)1,2-B.(),2∞-C.[)1,3- D.[]1,2-2.命题2:,220p x R x x ∀∈+-<的否定p ⌝为()A.2000,220x R x x ∃∈+->B.2,220x R x x ∀∈+-C.2,220x R x x ∀∈+->D.2000,220x R x x ∃∈+-3.3.已知复数2(1i)z =+(i 为虚数单位),则复数z 的虚部为()A.2B.2- C.2iD.2i-4.若函数()222,0,log ,0,x x x f x x x ⎧-=⎨>⎩则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦()A.2- B.2 C.3- D.35.已知1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭()A.14-B.14C.12-D.126.函数()21x xe ef x x --=+在[]3,3-上的大致图象为()A.B.C. D.7.函数2sin cos21y x x=-+的最小值是()A.3-B.1-C.32- D.12-8.已知数列{}n a的前n项和22nS n n m=-++,且对任意*1,0n nn N a a+∈-<,则实数m 的取值范为是()A.()2,∞-+ B.(),2∞--C.()2,∞+ D.(),2∞-9.已知等比数列()*a满足4221,m nq a a a≠=,(其中,*m n N∈),则91m n+的最小值为()A.6 B.16 C.32 D.210.已知函数()cos3f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭,若()f x在[]0,a上的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则实数a的取值范为()A.40,3π⎛⎤⎥⎝⎦B.24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2,3π∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ D.25,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.设4sin1,3sin2,2sin3a b c===,则()A.a b c<< B.c b a<<C.c a b<< D.a c b<<12.已矨,,A B C均在球O的球面上运动,且满足3AOBπ∠=,若三棱锥O ABC-体积的最大值为6,则球O的体积为()A.12πB.48πC.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知()(1,,a k b==,若a b⊥,则k=__________.14.已知{}n a是各项不全为零的等差数列,前n项和是n S,且2024S S=,若()2626nS S m=≠,则正整数m=__________.15.设,m n为不重合的直线,,,αβγ为不重合的平面,下列是αβ∥成立的充分条件的有()(只填序号).①,m a m β⊂∥②,,m n n m αβ⊂⊥⊥③,αγβγ⊥⊥④,m m αβ⊥⊥16.已知函数()14sin ,01,2,1,x x x f x x x π-<⎧=⎨+>⎩若关于x 的方程()()()2[]210f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解,则实数m 的取值集合为__________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:60分.17.(12分)已知数列{}n a 满足12122,log log 1n n a a a +==+,(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求(){}32nn a -的前n 项和nS.18.(12分)已知ABC 中,三个内角,,A B C 的对边分别为,,,,cos cos 2cos 4a b c C a A c C b B π=+=.(1)求tan A ;(2)若c =,求ABC 的面积.19.(12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,O 是BC 的中点,PB PC ==,22PD BC AB ===.(1)求证:平而PBC ⊥平面ABCD ;(2)求点A 到平面PCD 的距离.20.(12分)已知数列()n a 满足()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ .(1)求{}n a 的通项公式;(2)若2n an n b a =+,求数列n b 的前n 项和T .21.(12分)已知函数()ln x af x ex x -=-+.(1)当1a =时,求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程,(2)当0a 时,证明,()2f x x >+.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系,xOy 中,直线l的参数方程为2,21,2x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+.(1)求直线l 和曲线C 的直角坐标方程;(2)若曲线C 经过伸缩变换,2,x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'得到曲线C ',若直线l 与曲线C '有公共点,试求a 的取值范围.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数()22(0)f x x x t t =++->,若函数()f x 的最小值为5.(1)求t 的值;(2)若,,a b c 均为正实数,且2a b c t ++=,求1412a b c++的最小值.2024届高三一轮复习联考(三)全国卷文科数学参考答案及评分意见1.A【解析】由21x ,即()()110x x -+,解得11x -,所以{}11B xx =-∣,所以{12}A B xx ⋃=-<∣.故选A .2.D 【解析】2,220x x x ∀∈+-<R 的否定为:2000,220x x x ∃∈+-R ,故选D.3.A 【解析】2(1i)2i z =+=,即复数z 的虚部为2,故选A .4.D【解析】()()()222(2)228,8log 83f f -=--⨯-===,故选D.5.C 【解析】因为1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以2211cos 2cos 2cos 22sin 11366622ππππααπαα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故选C.6.A 【解析】()()2e e 1x xf x f x x ---==-+,所以函数()y f x =是奇函数,排除B 选项,又()22e e 215f --=>,排除C ,D 选项,故选A.7.D 【解析】由题意,函数22sin cos212sin 2sin y x x x x =-+=+,令[]sin 1,1t x =∈-,可得221122222y t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭,当12t =-,即1sin 2x =-时,函数取得最小值,最小值为12-.故选D.8.A【解析】因为10n n a a +-<,所以数列{}n a 为递减数列,当2n 时,()2212(1)2123n n n a S S n n m n n m n -⎡⎤=-=-++---+-+=-+⎣⎦,故可知当2n 时,{}n a 单调递减,故{}n a 为递减数列,只需满足21a a <,即112m m-+⇒-.故选A .9.D【解析】由等比数列的性质,可得()911911918,10102888m n m n m n m n m n n m ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝,当且仅当6,2m n ==时,等号成立,因此,91m n +的最小值为2.故选D.10.B 【解析】()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,结合图象,()f x 的值域是11,,0,2333x a x a πππ⎡⎤-++⎢⎣⎦,于是533a πππ+,解得2433aππ,所以实数a 的取值范围为24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选B.11.B 【解析】设()()2sin cos sin ,x x x xf x f x x x -==',令()()cos sin ,sing x x x x g x x x =-'=-,当()0,x π∈时,()0g x '<,故()g x 在()0,π上递减,()()()00,0g x g f x <=∴<',故()sin xf x x=在()0,π上递减,023π<<< .()()sin3sin232,,2sin33sin232f f ∴<<<,故c b <,()()()sin 2012,sin1,sin22sin1,3sin232sin14sin12ππππππ-<<-<<<-<-<-,故b a <,故c b a <<,故选B.12.C 【解析】如图所示,当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时,三棱锥O ABC -的体积最大,设球O 的半径为R ,此时231133632212O ABC C AOB V V R R --==⨯⨯⨯==,故3R =O 的体积为343R V π==,故选C.13.3-【解析】0a b a b ⊥⇔⋅=,所以()(1,10,3k k ⋅=+==-.14.18【解析】设等差数列{}n a 的首项和公差分别为1,a d ,则2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,所以n S 可看成关于n 的二次函数,由二次函数的对称性及202426,m S S S S ==,可得20242622m++=,解得18m =.15.④【解析】根据线面的位置关系易知,①②③中面α和面β可能相交也可能平行,④:若m α⊥且m β⊥,根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行,故④正确.16.()3,1--【解析】作出函数()f x 的大致图象,如图所示,令()t f x =,则()()()2[]210f x m f x m --+-=可化为()()()221110t m t m t m t --+-=-+-=,则11t =或21t m =-,则关于x 的方程()()()2[]210f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解等价于()t f x =的图象与直线12,t t t t ==的交点个数之和为5个,由图可得函数()t f x =的图象与直线1t t =的交点个数为2,所以()t f x =的图象与直线2t t =的交点个数为3个,即此时214m <-<,解得31m -<<-.17.【解析】(1)在数列{}n a 中,已知12122log log log 1n n n na a a a ++-==,所以12n na a +=,.即{}n a 是首项为12a =,公比为2的等比数列,所以()1*222n n n a n -=⨯=∈N .(2)由()()32322nn n a n -=-⨯,故()()231124272352322n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ,所以()()23412124272352322nn n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ,则()23123222322n n n S n +⎡⎤-=+⨯+++--⨯⎣⎦,()()()11212433221053212n n n n n ++-=-+⨯--⨯=-+-⋅-,故()110352n n S n +=+-⋅.18.【解析】(1)解法一:由题,cos cos 2cos a A c C b B +=,由正弦定理得,sin2sin cos sin cos B A A C C =+,.3,,sin2sin 2sin 2cos2422C A B C B A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=++==-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以1cos2sin cos 2A A A -=+,221sin cos sin cos 2A A A A --=22tan 1tan 1tan 12A A A --=+,化简得2tan 2tan 30A A --=,解得tan 3A =或tan 1A =-(舍去).解法二:由题,cos cos 2cos a A c C b B +=,由正弦定理得,2sin2sin2sin2B A C =+,即()()()()2sin2sin sin B A C A C A C A C ⎡⎤⎡⎤=++-++--⎣⎦⎣⎦,即()()sin2sin cos B A C A C =+-,又A B C π++=,故()sin sin A C B +=,所以()2sin cos sin cos B B B A C =-,又0B π<<,故sin 0B ≠,所以()2cos cos B A C =-,又A B C π++=,故()cos cos B A C =-+,化简得sin sin 3cos cos A C A C =,因此tan tan 3A C =且tan 1C =,所以tan 3A =.(2)由(1)知tan 3A =,因此()tan tan tan tan 21tan tan A CB AC A C+=-+=-=-,.所以sin 10A =,sin 5B =2sin 2C =,因为,6sin sin a c a A C==,.所以1125sin 612225ABC S ac B ==⨯⨯= .19.【解析】(1)因为,PB PC O =是BC 的中点,所以PO BC ⊥,在直角POC 中,1PC OC ==,所以PO =,在矩形ABCD 中,1,2AB BC ==,所以DO =,又因为2PD =,所以在POD 中,222PD PO OD =+,即PO OD ⊥.而,,BC OD O BC OD ⋂=⊂平面ABCD ,所以PO ⊥平面ABCD ,而PO ⊂平面PBC ,所以平面PBC ⊥平面ABCD .'(2)由(1)平面PBC ⊥平面ABCD ,且DC BC ⊥,所以DC ⊥平面PBC ,所以DC PC ⊥,即PCD 是直角三角形,因为1PC CD ==,所以13122PDC S =⨯=,又知11212ACD S =⨯⨯= ,PO ⊥平面ABCD ,设点A 到平面PCD 的距离为d ,则A PCD P ACD V V --=,即1133PCD ACD S d S PO ⨯⨯=⨯⨯ ,即1311323d ⨯⨯=⨯⨯所以263d =,所以点A 到平面PCD 的距离为3..20.【解析】(1)由题当1n =时,()111223262a +=-⋅+=,即11a =.()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ ①当2n 时,()211212222526n n n a a a n --+++=-⋅+ ②.①-②得()()()1223262526212nn n n n a n n n +=-⋅+--⋅-=-⋅,所以21n a n =-..(2)由(1)知,212221n an n n b a n -=+=+-,则()()()()3521212325221n n T n -=++++++++- ()()3521222213521n n -=+++++++++-⋅()()212214121232..1423nn n n n +⨯-+-+-=+=-21.【解析】(1)当1a =时,()()111e ln ,e 1x xf x x x f x x--=-+=-+',所以()()12,11f f '==,.则切线方程为()211y x -=⨯-,.即10x y -+=曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为10x y -+=.(2)证明:要证()2f x x >+,即证e ln 2x a x -->,设()eln ,0x aF x x x -=->,即证()2F x >,当0a 时,()()1e 1e ln ,ex a x ax ax F x x F x x x----=-=-='在()0,∞+上为增函数,且()e1x ah x x -=-中,()()0100e 110,1e 1e 10a a h h --=⨯-=-=-->.故()0F x '=在()0,∞+上有唯一实数根0x ,且()00,1x ∈..当()00,x x ∈时,()0F x '<,当()0,x x ∞∈+时,()0F x '>,从而当0x x =时,()F x 取得最小值.由()00F x '=,得001ex ax -=,故()()000001eln 2x aF x F x x x a a x -=-=+->.综上,当0a 时,()2F x >即()2f x x >+.22.【解析】(1)由题2,21,2x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),消去参数t得直线:20l x a -=,.22413sin ρθ=+,即2224cos 4sin ρθθ=+,即曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.(2)由,2,x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'得2,,x x y y =⎧⎨=''⎩又2214x y +=,所以()()22214x y +'=',即'2'21x y +=,所以曲线C '的方程是221x y +=,.由1d =得11a -.所以a 的取值范围是[]1,1-.23.【解析】(1)()222f x x x t x x t x t =++-=++-+-,()2222y x x tx x t t t =++-+--=+=+,当2x t -时等号成立,.⋅又知当x t =时,x t -取得最小值,所以当x t =时,()f x 有最小值,此时()min ()25f x f t t ==+=,所以3t =..(2)由(1)知,23a b c ++=,()22141114111162(121)232333a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++=++= ⎪⎝⎭,当且仅当333,,824a b c ===时取等号,所以1412a b c ++的最小值为163.。

新课标高考数学一轮复习限时训练1(含答案)

新课标高考数学一轮复习限时训练1(含答案)

高三数学(理科) 1 / 5限时训练(一)1、已知集合{}21A x x x =><-或,{}B x a x b =≤≤。

A B R = ,A B = {}24x x <≤,则b a 的值为.2、下列命题: ①2log log 22x x +≥成立的充要条件是1x >;②“若0a b >>且0c <,则c c a b>”的逆否命题是真命题; ③命题“x R ∀∈,n N *∃∈,使得2n x < 不成立”的否定形式是“x R ∃∈,n N *∀∈,使得2n x ≥成立”;④若[]1,1x ∀∈-,不等式212x x x m -+>+均成立,则(),1m ∈-∞-;若[]1,1x ∃∈-,使得不等式212x x x m -+>+成立,则(),5m ∈-∞。

其中真命题是 。

3、已知函数()()35121a x x f x a x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩。

①当4a =时,求解不等式()1f x >;②若()f x 在R 上单调递减,求实数a 的取值范围4、已知函数()1f x +为偶函数,当(),1x ∈-∞时,函数()f x 单调递减,设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()1b f =-,()2c f =,则a 、b 、c 大小关系为。

高三数学(理科) 2 / 55、定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上单增,则方程()()23f x f x =-的所有实数根的和为 。

6、已知()f x 是定义在R 上的奇函数,对任意实数x 都有()()2f x f x +=-,当[]0,2x ∈时()22f x x x =-,则()()()()()0+12+32018f f f f f +++= 。

7、已知()f x 为定义在R 上的偶函数,且在区间(),0-∞上单调递增。

若实数a 满足()(12a f f ->,试求实数a 的取值范围。

2025年高考数学一轮复习讲义之滚动测试卷01(新高考专用)解析版

2025年高考数学一轮复习讲义之滚动测试卷01(新高考专用)解析版

2025年高考数学一轮复习讲义之滚动测试卷01(新高考专用)测试范围:集合与常用逻辑用语、不等式、函数与基本初等函数一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2024·全国·高考真题)集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==,则()A A B ⋂=ð()A .{}1,4,9B .{}3,4,9C .{}1,2,3D .{}2,3,52.(2024·江苏南通·三模)已知z 为复数,则“z z =”是“22z z =”的()A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .非充分非必要条件3.(2024·重庆·模拟预测)已知函数()(22)x x f x x -=-,则(2)(21)f x f x ->+的解集为()A .(,3)-∞-B .()3,3-C .13,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D .(3,)-+∞4.(2024·全国·高考真题)已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩,在R 上单调递增,则a 取值的范围是()A .(,0]-∞B .[1,0]-C .[1,1]-D .[0,)+∞5.(2024·安徽合肥·模拟预测)函数()()2e cos 2e e 1x xx f x =-(e 为自然函数的底数)的图像大致为()A .B .C .D .6.(2024·福建福州·模拟预测)当药品A 注射到人体内,它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少,另一种药物B 注射到人体内,它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.现同时给两位患者分别注射800mg 药品A 和500mg 药品B ,当两位患者体内药品的残余量恰好相等时,所经过的时间约为()(参考数据:lg20.301,lg30.477≈≈)A .0.57hB .1.36hC .2.58hD .3.26h7.(2024·北京·高考真题)已知()11,x y ,()22,x y 是函数2x y =图象上不同的两点,则下列正确的是()A .12122log 22y y x x ++>B .12122log 22y y x x ++<C .12212log 2y y x x +>+D .12212log 2y y x x +<+8.(2024·北京·三模)2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口,创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术,设计了如下实验:目标P 在地面轨道上做匀速直线运动;在地面上相距7m 的A ,B 两点各放置一个传感器,分别实时记录A ,B 两点与物体P 的距离.科技小组的同学根据传感器的数据,绘制了“距离-时间”函数图像,分别如曲线a ,b 所示.1t 和2t 分别是两个函数的极小值点.曲线a 经过()()0110,,,r t r 和()20,t r ,曲线b 经过()22,t r .已知211212,4m,4s rt r t r t ===,并且从0=t 时刻到2=t t 时刻P 的运动轨迹与线段AB 相交.分析曲线数据可知,P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值以及P 的速度大小分别为()A .6m /s74B .6m /s72C .2m /s7D .2/s7二、多选题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.(2024·河南·三模)已知函数()()lg 1f x x =-,则()A .()f x 的定义域为(),1-∞B .()f x 的值域为RC .()()141f f -+-=D .()2y f x =的单调递增区间为()0,110.(2024·江苏苏州·模拟预测)已知函数()1f x x =+,设1()()g x f x =,()()*1()()1,N n n g x f g x n n -=>∈.且关于x 的函数()2*1()N ni i y x g x n ==+∈∑.则()A .()n g x x n =+或()1n g x nx =+B .22242n n n y x +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C .当2n ≤时,存在关于x 的函数y 在区间(,1]-∞-上的最小值为6,0n =D .当2n >时,存在关于x 的函数y 在区间(,1]-∞-上的最小值为6,4n =11.(2024·湖北·模拟预测)设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '.若()()42f x g x +=-+,()()2g x f x ='+',且()2f x +为奇函数,则下列说法正确的是()A .函数()f x 的图象关于直线1x =对称B .()()202320252g g +=-C .()202310k f k ==∑D .()20231k g k ==∑三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分,把答案填在题中的横线上)12.(2024·山东济宁·三模)已知函数410()2log 0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩,,,则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13.(2024·重庆·模拟预测)已知()22ln f x x x x=-+,若实数m ,n 满足()210f m f n⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则214m n +的最小值为14.(2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测)牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示:设r 是函数()y f x =的一个零点,任意选取0x 作为r 的初始近似值,在点()()00,x f x 作曲线()y f x =的切线1l ,设与1l 轴x 交点的横坐标为1x ,并称1x 为r 的1次近似值;在点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线2l ,设与2l 轴x 交点的横坐标为2x ,称2x 为r 的2次近似值.一般地,在点()()(),N n n x f x n ∈作曲线()y f x =的切线1n l +,记1n l +与x 轴交点的横坐标为1n x +,并称1n x +为r 的1n +次近似值.设()()330f x x x x =+-≥的零点为r ,取00x =,则r 的1次近似值为;若nx 为r 的n 次近似值,设33323n nn n x x a x +=+,N n *∈,数列{}n a 的前n 项积为n T .若任意N n *∈,n T λ>恒成立,则整数λ的最大值为.四、解答题(本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.(13分)(22-23高一上·山东济南·期末)已知集合{A x x a =<或}2x a >+,{}139x B x -=≥.(1)当2a =时,求A B ⋃;(2)若“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件,求a 的取值范围.16.(15分)(23-24高三上·山东威海·期末)在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为a b c ,,,记ABC 的面积为S 2AB AC S ⋅=.(1)求角A 的大小;(2)若a =,求22b c +的最大值.17.(15分)(23-24高一下·广东汕头·期中)已知函数()212x x f x a+=+为奇函数.(1)求实数a 的值;(2)判断函数()f x 的单调性(不用证明);(3)设函数22()log log 24x xg x m =⋅+,若对任意的1[2,8]x ∈,总存在2(0,1]x ∈,使得()()12g x f x =成立,求实数m 的取值范围.18.(17分)(2024·湖南长沙·模拟预测)设n 次多项式()121210()0n n n n n n P t a t a t a t a t a a --=+++++≠ ,若其满足(cos )cos n P x nx =,则称这些多项式()n P t 为切比雪夫多项式.例如:由cos cos θθ=可得切比雪夫多项式1()P x x =,由2cos 22cos 1θθ=-可得切比雪夫多项式22()21P x x =-.(1)若切比雪夫多项式323()P x ax bx cx d =+++,求实数a ,b ,c ,d 的值;(2)对于正整数3n 时,是否有()()()122n n n P x x P x P x --=⋅-成立?(3)已知函数3()861f x x x =--在区间()1,1-上有3个不同的零点,分别记为123,,x x x ,证明:1230x x x ++=.19.(17分)(2024·山东·模拟预测)法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系,将其推广到高次方程,并在其著作《论方程的识别与订正》中正式发表,后来人们把这个关系称为韦达定理,即如果()123,,,,2n x x x x n ⋅⋅⋅≥是关于x 的实系数一元n 次方程()111000n n n n n a x a x a x a a --++⋅⋅⋅++=≠在复数集C 内的n 个根,则()123121311231242101231,2,3,,1.n n nn n n n n n n n n n n n a x x x x a a x x x x x x a a x x x x x x x x x a a x x x x a ----⎧+++⋅⋅⋅+=-⎪⎪⎪-++⋅⋅⋅+=⎪⎪⎪-⎨++⋅⋅⋅+=-⎪⎪⎪⎪⎪⋅⋅⋅⋅⋅=-⋅⎪⎩试运用韦达定理解决下列问题:(1)已知,,R a b c ∈,1a b c ++=,0ab bc ca ++=,求333a b c ++的最小值;(2)已知,R a b ∈,关于x 的方程()()32200x a x bx a a +-+-=>有三个实数根,其中至少有一个实效根在区间()0,a 内,求2a b -的最大值.参考答案:1.D【分析】由集合B 的定义求出B ,结合交集与补集运算即可求解.【详解】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==,所以{}1,4,9,16,25,81B =,则{}1,4,9A B = ,(){}2,3,5A A B = ð故选:D 2.A【分析】正向可得R z ∈,则正向成立,反向利用待定系数法计算即可得0a =或0b =,则必要性不成立.【详解】若z z =,则R z ∈,则2z z =,故充分性成立;若22z z =,设i,,R z a b a b =+∈,则2222i z a ab b =+-,222i z a ab b =--,则20ab =,0a =或0,b z =∴与z 不一定相等,则必要性不成立,则“z z =”是“22z z =”的充分非必要条件,故选:A 3.C【分析】根据奇偶性定义得出()f x 为R 上偶函数,当0x >时,得出()0f x '>,即可得出()f x 的单调性,将(2)(21)f x f x ->+转化为22(2)(21)x x ->+,求解即可.【详解】()f x 定义域为R ,(22)(22)()()x x x x f x x x f x ---=--=-=,故()f x 为R 上偶函数,当0x >时,221()22(22)ln 2ln 2(22)2x xxxxx x xf x x x ----'=-++=++,因为2221,210,20x x x ->->>,所以()0f x '>,所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,在(,0)-∞上单调递减,所以22(2)(21)|2||21|(2)(21)f x f x x x x x ->+⇔->+⇔->+,整理得,(3)(31)0x x +-<,解得1(3,)3x ∈-,故选:C .4.B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组,解出即可.【详解】因为()f x 在R 上单调递增,且0x ≥时,()()e ln 1xf x x =++单调递增,则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩,解得10a -≤≤,即a 的范围是[1,0]-.故选:B.5.A【分析】由函数的奇偶性可排除B ,C ;再由x 趋近0+,()0f x >,排除D ,即可得出答案.【详解】()()2e cos 2e e 1x xx f x =-的定义域为{}0x x ≠,()()()()2222e cos 2e e e cos2e 1e e 1e x x x x x xx x f x f x --⎡⎤-⋅⎣⎦-===---⋅,所以()f x 为奇函数,故排除B ,C ;当x 趋近0+,2e 1x >,所以2e 10x ->,()e >1,cos 2e 0xx >,所以()0f x >,故排除D.故选:A.6.C【分析】设经过t 小时后两位患者体内药品的残条量恰好相等,根据题意列方程,再由对数的运算性质计算可得.【详解】设经过t 小时后两位患者体内药品的残条量恰好相等,由题意得:()()800125%500110%tt⨯-=⨯-,整理得:5568t⎛⎫= ⎪⎝⎭,两边取常用对数得:55lg lg 68t =,即()lg5lg 6lg5lg8t -=-,即(12lg 2lg 3)14lg 2t --=-,所以14lg 212lg 2lg 3t -=--,即140.3012.58120.3010.477t -⨯≈≈-⨯-,所以大约经过2.58h 时,两位患者体内药品的残余量恰好相等.故选:C .7.A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB ;举例判断CD 即可.【详解】由题意不妨设12x x <,因为函数2x y =是增函数,所以12022x x <<,即120y y <<,对于选项AB :可得121222222x xx x ++>=,即12122202x x y y ++>>,根据函数2log y x =是增函数,所以121212222log log 222x x y y x x +++>=,故A 正确,B 错误;对于选项C :例如120,1x x ==21,2y y ==,可得()12223log log 0,122y y +=∈,即12212log 12y y x x +<=+,故C 错误;对于选项D :例如121,2x x =-=-,则1211,24y y ==,可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--,即12212log 32y y x x +>-=+,故D 错误,故选:A.8.B【分析】建系,设点,作相应的辅助线,分析可知6m,2m AC BC v ==,结合7m AB =分析求解即可.【详解】如图,建立平面直角坐标系,设动点P 的轨迹与y 轴重合,其在120,,t t t =时刻对应的点分别为O (坐标原点),,D E ,P 的速度为m /s,0v v >,因为1122112,4m,2s,4s rt r t r t t ====,可得22m r =,由题意可知:,AD BE 均与y 轴垂直,且4m,2m,2m AD BE OD DE v ====,作BC AD ⊥垂足为C ,则6m,2m AC BC v ==,因为222AC BC AB +=,即236449v +=,解得2v =;又因为BC ∥y 轴,可知P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角即为ABC ∠,所以P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值为6sin 7AC ABC AB∠==.故选:B.【点睛】关键点点睛:建系,设动点P 的轨迹与y 轴重合,以坐标系为依托,把对应的量转化为相应的长度,进而分析求解.9.ABC【分析】根据函数的解析式,求出函数的定义域值域即可判断A 、B ,求出()()14f f -+-利用对数运算法则即可求解C ,根据复合函数的单调性即可判断D.【详解】对AB ,由10x ->,得1x <,则()f x 的定义域为(),1∞-,值域为R ,A ,B 均正确;对C ,()()14lg2lg5lg101f f -+-=+==,C 正确;对D ,因为()()22lg 1f x x =-,所以lg y u =,外层函数为增函数,21u x =-,令210x ->,所以函数定义域为()1,1-,内层函数21u x =-,在()1,0-上单调递增,()0,1上单调递减,所以()2y f x =的单调递增区间为()1,0-不是()0,1,D 错误.故选:ABC 10.ABD【分析】根据新定义,归纳推理即可判断A ,根据A 及求和公式化简即可判断B ,根据二次函数的对称轴分别求出函数最小值,建立方程求解正整数n 可判断CD.【详解】因为1()()1g x f x x ==+,()1()()n n g x f g x -=,所以2()(1)2g x f x x =+=+,3()(2)3g x f x x =+=+,依次类推,可得()n g x x n =+,故A 正确;由A 选项知,()22222112()(12)242ni i n nn n n y x g x x x x x n x nx x =+⋅+⎛⎫=+=+++++⋯++=++=++ ⎪⎝⎭∑,故B 正确;当2n ≤时,22242n n n y x +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的对称轴12n x =-≥-,所以y 在区间(,1]-∞-上单调递减,故当=1x -时,22min 2242642n n n n y -+-+===,方程无整数解,故C错误;当2n >时,22242n n n y x +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的对称轴1(,1]2n x =-<-∈-∞-,所以当2n x =-时,2min 264n ny +==,解得4n =,故D 正确.故选:ABD 11.AC【分析】对于A :由()()2g x f x ''=-可设()()2g x f x a =-+,根据题意分析可得2a =-,()()2f x f x =-,即可得结果;对于C :结合奇偶性可得函数()f x 的周期4T =,结合周期性分析求解;对于B :分析可知()()2g x f x =--,根据周期性分析求解;对于D :结合选项BC 中的结论运算求解.【详解】对于选项A :因为()()2g x f x ''=-,则()()2g x f x a =-+,可得()()42g x f x a -=-+,又因为()()42f x g x --=,可得()()22f x f x a =-++.令1x =,可得()()112f f a =++,解得2a =-,可得()()2f x f x =-,所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称,A 正确;对于选项C :因为()2f x +为奇函数,可知()y f x =的图象关于点()2,0对称,且()()220f x f x ++-=,令0x =,可得()220f =,即()20f =;令1x =,可得()()130f f +=;令1x =,可得()()400f f +=;由函数()f x 的图象关于直线1x =对称,可得()00f =;所以()40f =,又因为()()()22f x f x f x +=--+=-,则()()()24f x f x f x =-+=+,可知函数()f x 的周期4T =,所以()()()()()()()()2023150512341230k f k f f f f f f f =⎡⎤=⨯++++++=⎣⎦∑,故C 正确;对于选项B :由AC 可知()()()()22222g x f x f x f x =--=+-=--,可得()()()20232021212g f f =-=-,()()()20252023232g f f =-=-,所以()()()()2023202512324g g f f +=-+-=-,故B 错误;对于选项D :可得()()()2023202320231112220234046k k k g k f k f k ===⎡⎤=--=--⨯=-⎣⎦∑∑∑,故D 错误.故选:AC.【点睛】方法点睛:函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性,在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系,推证函数的性质,根据函数的性质解决问题.12【分析】利用已知的分段函数,可先求11()22f =-,再求1122f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【详解】因为410()2log 0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩,,,,所以44111log =log 2222f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.所以11221112222f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-===⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.13.4【分析】利用导数求解函数单调性,由()10f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得21mn =,即可利用不等式求解最值.【详解】由()()22ln 0f x x x x x =-+>可得()22120f x x x '=++>,故()22ln f x x x x =-+在()0,∞+单调递增,而()12212ln2ln 0f x f x x x x x xx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+,故()210f m f n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得21m n =,22211444m n n n ++≥==,当且仅当2214n n =,即212n =时取等号,故答案为:414.31【分析】利用给定定义,整理出3122331n n n x x x ++=+,求值解决第一空即可,利用33323n nn n x x a x +=+求出1n n n x x a +=,进而得到n T ,再确定λ的最大值即可.【详解】易知()231f x x ='+,设切点为()3,3n n n x x x +-,由切线几何意义得斜率为231n x +,故切线方程为2331)()3n n n n y x x x x x =(+-++-,由给定定义知1(,0)n x +在该直线上,代入直线得331223233131n n n n n n n x x x x x x x ++-+=-+=++,当00x =时,易知13x =,故r 的1次近似值为3,由33323n nn n x x a x +=+得,331323n n n n n x x x x a x ++==+,121223113n n n n n x x x T a a a x x x x ++=⋅=⨯⨯⨯= ,而函数()()330f x x x x =+-≥的零点为r ,且()2310f x x '=+>,故()f x 在(0,)+∞上单调递增,且()10f <,()20f >,故()()21f f ⋅<0,由零点存在性定理得(1,2)r ∈,由题意得1333(,3)2n xr +→∈,故32λ<,而λ是整数,故m 1ax λ=,故答案为:3;1【点睛】关键点点睛:本题考查数列和导数新定义,解题关键是利用给定定义,然后表示出1n nn x x a +=,求出n T ,得到所要求的参数最值即可.15.(1){2x x <或}3x ≥;(2)1a <.【分析】(1)化简B ,根据并集的概念可求出结果;(2)转化为B 是A 的真子集,再根据真子集关系列式可求出结果.【详解】(1)当2a =时,{2A x x =<或}4x >,由139x -≥,得3x ≥,所以{}3B x x =≥,所以{2A B x x ⋃=<或}3x ≥.(2)若“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件,则B 是A 的真子集,故23a +<,解得1a <.16.(1)π3A =(2)24【分析】(1)根据向量数量积公式及面积公式求出角A 即可;(2)应用余弦定理结合基本不等式求出最值即得解.【详解】(12AC S ⋅=cos sin A bc A =,可得tan A =因为0πA <<,所以π3A =.(2)由余弦定理可知222π2cos3a b c bc =+-,即2212b c bc =+-,因为222b c bc +≥,所以222b c bc +≤,所以2222122b c bc b c +=+-≤,可得2224b c +≤,当且仅当b c ==22b c +的最大值为24.17.(1)1a =-(2)()f x 在()0,∞+,(),0∞-上单调递减.(3)13,4m ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭【分析】(1)考虑0a ≥和a<0两种情况,根据奇函数性质计算得到答案.(2)确定定义域,设()12,0,x x ∞∀∈+,且12x x <,计算()()120f x f x ->,得到单调性.(3)根据单调性确定(]0,1x ∈时()f x 的值域[)3,A ∞=+,设[]2log ,1,3t x t =∈,换元得到二次函数,计算()g x 最大值和最小值,根据值域的包含关系得到答案.【详解】(1)由已知函数需满足20x a +≠,当0a ≥时,函数的定义域为R ,函数()212x x f x a+=+为奇函数,所以()()f x f x -=-,即212122x x x xa a--++=-++在R 上恒成立,即()()1210x a ++=,1a =-(舍),当a<0时,()2log x a ≠-,函数的定义域为()()()()22,log log ,a a ∞∞--⋃-+,又函数()212x x f x a +=+为奇函数,所以()2log 0,1a a -==-,此时()2121x x f x +=-,函数定义域为()(),00,∞∞-⋃+,()()21212121x x x x f x f x --++-===---+,函数为奇函数,满足,综上所述:1a =-;(2)()f x 在(),0∞-和()0,∞+上单调递减,证明如下:()21212121x x xf x +==+--,定义域为()(),00,∞∞-⋃+,设()12,0,x x ∞∀∈+,且12x x <,则()()()()()21121212222221121212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=+-+=⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭因为()12,0,x x ∞∈+,且12x x <,所以21121120,20,220x x x x --->>>,所以()()12f x f x >,所以()f x 在()0,∞+上单调递减,同理可证,所以()f x 在(),0∞-上单调递减;所以()f x 在()0,∞+,(),0∞-上单调递减.(3)函数()f x 在(),0∞-和()0,∞+上单调递减,且当(),0x ∞∈-时,()0f x <,当()0,x ∞∈+时,()0f x >,(]20,1x ∈时,()()13f x f ≥=,所以当(]0,1x ∈时()f x 的值域[)3,A ∞=+,又()()()[]2222log log log 1log 2,2,824x xg x m x x m x =⋅+=--+∈,设[]2log ,1,3t x t =∈,则()()21232y t t m t t m =--+=-++,当32t =时,取最小值为14m -+,当3x =时,取最大值为2m +,即()g x 在[]2,8x ∈上的值域1,24B m m ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦,又对任意的[]12,8x ∈,总存在(]20,1x ∈,使得()()12g x f x =成立,即B A ⊆,所以134m -+≥,解得134m ≥,即13,4m ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭.18.(1)4,0,3a b d c ====-(2)()()()112n n n P x x P x P x +-=⋅-成立(3)证明见解析【分析】(1)利用()()3cos cos3cos 2P θθθθ==+展开计算,根据切比雪夫多项式可求得,,,a b d c ;(2)要证原等式成立,只需证明()()cos 1cos 12cos cos n n n θθθθ++-=⋅成立即可,利用两角和与差的余弦公式可证结论成立;(3)由已知可得方程31432x x -=在区间()1,1-上有3个不同的实根,令()cos ,0,πx θθ=∈,结合(1)可是1cos32θ=,可得123π5π7πcos ,cos ,cos 999x x x ===,计算可得结论.【详解】(1)依题意,()()()223cos cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos P θθθθθθθθθθθθ==+=-=--()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-,因此()3343P x x x =-,即32343ax bx cx d x x +++=-,则4,0,3a b d c ====-,(2)()()()112n n n P x x P x P x +-=⋅-成立.这个性质是容易证明的,只需考虑和差化积式()()cos 1cos 12cos cos n n n θθθθ++-=⋅.首先有如下两个式子:()()1cos cos cos cos sin sin n P n n n θθθθθθθ+=+=-,()()1cos cos cos cos sin sin n P n n n θθθθθθθ-=-=+,两式相加得,()()()11cos cos 2cos cos 2cos cos n n n P P n P θθθθθθ-++==,将cos θ替换为x ,所以()()()112n n n P x x P x P x +-=⋅-.所以对于正整数3n ≥时,有()()()122n n n P x x P x P x --=⋅-成立.(3)函数()3861f x x x =--在区间()1,1-上有3个不同的零点123,,x x x ,即方程31432x x -=在区间()1,1-上有3个不同的实根,令()cos ,0,πx θθ=∈,由()1知1cos32θ=,而()30,3πθ∈,则π33θ=或5π33θ=或7π33θ=,于是123π5π7πcos ,cos ,cos 999x x x ===,则123π5π7ππ4π2πcos cos cos cos cos cos 999999x x x ⎛⎫++=++=-+ ⎪⎝⎭,而4π2π3ππ3πππππcoscos cos cos 2cos cos cos 999999399⎛⎫⎛⎫+=+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以1230x x x ++=.19.(1)59(2)4【分析】(1)构造函数()32,f x x x abc --=求导()232f x x x '=-,根据函数的单调性求解极值,即可得4027abc -<<,进而可求解,(2)根据韦达定理可得2m n k a mn mk nk b nmk a++=-⎧⎪++=⎨⎪=⎩,即可表达出24k m n k ++≥,进而化简可得a b mk nk k =++,即可根据()()()211222k a b m n k kk -⎛⎫--++-+ ⎪⎝⎭=,利用不等式求解.【详解】(1)根据韦达定理可设,,a b c 是320x x abc --=的三个实数根,令()()322,32f x x x abc f x x x '---==,当2,03x x ><时,()0f x ¢>,此时()f x 单调递增,当203x <<时,()0f x '<,此时()f x 单调递减,故()f x 的极大值为()0,f abc -=极小值为24,327f abc ⎛⎫- ⎪⎝⎭=由于,,a b c 不可能相等,否则13a b c ===,与0ab bc ca ++=矛盾,故()32f x x x abc --=有两个或者三个零点,则240327f abc ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭=且()00f abc -≥=,故4027abc -<<,由()()22222a b c ab bc ca a b c ++-++=++,结合1a b c ++=,0ab bc ca ++=,所以2221a b c =++由()()2223333a b c a b c ab bc ca a b c abc ⎡⎤++-++=-⎣⎦++++,所以33331a b c abc -++=,则333453131279a b c abc ⎛⎫=≥⨯+= ⎪⎝⎭+++-,故333a b c ++的最小值为59,(2)设方程的三个实数根分别为,,m n k ,其中0k a <<,由韦达定理可得2m n k a mn mk nk b nmk a ++=-⎧⎪++=⎨⎪=⎩,由()24m n mn +≥和0k >,得()240k m n mnk +-≥,当且仅当m n =时等号成立,又22m n k a mnk ++=-=-,故()()2420k m n m n k +-+++≥,()()()24480k m n m n k +-+-+≥,即()()()()2240240m n mk nk k a k mk nk k +++--≥⇒-+--≥,由0k a <<,得240mk nk k +--≥,因此24k m n k++≥,当且仅当m n =时等号成立,由mn mk nk b ++=和nmk a =可得ab mk nk k=++,结合2n m k a ++=-可得()()()()()()21111222222k a b a m n k m n k m n k m n k k k kk -⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+-+++-+=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==,由于()210k k--≤以及24k m n k++≥,故()()()2221224122244k k k a b k kkk k --+⎛⎫-≤-⋅+-++≤ ⎪⎝⎭=-,当2k =时,且22k m n k+===时等号成立,此时8,12a b ==,符合0k a <<,综上可知2a b -的最大值为4,【点睛】方法点睛:处理多变量函数最值问题的方法有:(1)消元法:把多变量问题转化单变量问题,消元时可以用等量消元,也可以用不等量消元.(2)基本不等式:即给出的条件是和为定值或积为定值等,此时可以利用基本不等式来处理,用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.(3)线性规划:如果题设给出的是二元一次不等式组,而目标函数也是二次一次的,那么我们可以用线性规划来处理.。

2025年上海市数学高考一轮复习重难点 专题1集合与逻辑(考点练+模拟练)含详解

2025年上海市数学高考一轮复习重难点 专题1集合与逻辑(考点练+模拟练)含详解

专题01集合与逻辑(考点练+模拟练)一、填空题1.(23-24高三上·上海·期中)已如全集U =R ,集合10,x A x x x ⎧⎫-=≥∈⎨⎬⎩⎭R ,则A =.2.(23-24高三上·上海黄浦·开学考试)“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的条件.3.(2023·上海普陀·模拟预测)已知命题p :任意正数x ,恒有()1e 1xx +>,则命题p 的否定为.4.(23-24高三上·上海·期中)已知集合()2,1A =-,()()4,11,2B =-- ,则A B =.5.(22-23高一上·上海复旦附中分校·阶段练习)已知全集U =R ,集合{|1},{|2}A x x B x x =≤=≥,则A B =.6.(23-24高三上·上海奉贤·阶段练习)已知集合{}ln M x y x ==,集合11N y y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭,则M N ⋂=.7.(23-24高三上·上海松江·期中)已知2:280,:123p x x q a x a --<-<<-,且p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是.8.(23-24高三上·上海静安·开学考试)集合{}1,2,A a =,{}21,2B a =-,若集合A B ⋃中有三个元素,则实数=a .9.(23-24高一上·河北邯郸·阶段练习)若集合{}N |12A x x =∈-<≤,{},,B x x ab a b A ==∈,则集合B 的非空真子集的个数为.10.(20-21高三上·上海崇明·阶段练习)已知:31x m α<-或x m >-,:2x β<或4x ≥,若α是β的必要条件,则实数m 的取值范围是.11.(20-21高一上·上海闵行·期中)已知集合M =25|0ax x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭,若3,5M M ∈∉,则实数a 的取值范围是.12.(23-24高三上·上海浦东新·期中)M 是正整数集的子集,满足:1,2022,2023M M M ∈∈∉,并有如下性质:若a 、b M ∈,则222a b M ⎤+∈⎥⎥⎦,其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数,则M 的非空子集个数为.二、单选题13.(23-24高三上·上海浦东新·阶段练习)已知集合π,2m A x x m ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ,集合π,4n B x x n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ,则A B = ()A .∅B .AC .BD .{}π,x x k k =∈Z 14.(16-17高一上·上海浦东新·期中)已知集合A ,B ,若A 不是B 的子集,则下列命题中正确的是()A .对任意的a A ∈,都有aB ∉B .对任意的a B ∈,都有a A ∈C .存在0a ,满足0a A ∈,且0a B∉D .存在0a ,满足0a A ∈,且0a B∈15.(21-22高三上·上海浦东新·阶段练习)集合,A B 各有8个元素,A B ⋂有6个元素,若集合C 满足:()()A B C A B ⊆⊆ ,则满足条件的集合C 共有()A .32个B .16个C .8个D .4个16.(20-21高三上·浙江·开学考试)设集合,S T 中至少两个元素,且,S T 满足:①对任意,x y S ∈,若x y ≠,则x y T +∈,②对任意,x y T ∈,若x y ≠,则x y S -∈,下列说法正确的是()A .若S 有2个元素,则S T 有3个元素B .若S 有2个元素,则S T 有4个元素C .存在3个元素的集合S ,满足S T 有5个元素D .存在3个元素的集合S ,满足S T 有4个元素三、解答题17.(23-24高三上·上海静安·阶段练习)设全集()(){}4230,0A x ax x a a =+-+>>,B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩.(1)若2a =,求A B ⋂,A B ;(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.18.(22-23高三上·上海青浦·期中)已知集合{}(2)(3)0A x x x =--≤,{}3B x a x a =<<,且0a >.(1)若x A ∈是x B ∈的充分条件,求实数a 的取值范围;(2)若命题“A B ⋂=∅”为假命题,求实数a 的取值范围.19.(22-23高三上·上海崇明·阶段练习)已知R 为全集,集合R 21|1,1x A x x x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭,集合{}1,R B x x a x =-≤∈.(1)求集合A ;(2)若B A B ⋂=,求实数a 的取值范围.20.(22-23高三上·上海浦东新·阶段练习)设全集U 为R ,集合{}11A x x =-<,{}2320B x x x =--≥.(1)求A B ;(2)若{}22430C x x ax a A B =-+≥⊇⋃,求a 的取值范围.21.(23-24高一上·上海·期中)集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅是由()3n n >个正整数组成的集合,如果任意去掉其中一个元素()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,就称集合A 为“可分集合”.(1)判断集合{}1,2,3,4、{}1,3,5,7,9,11,13是否为“可分集合”(不用说明理由);(2)求证:五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”;(3)若集合{}12,,,n A a a a = 是“可分集合”,证明n 是奇数.一、填空题1.(2022·上海·模拟预测)已知集合{}2=|40,A x x x x N *-<∈,则用列举法表示集合A =2.(2022·上海浦东新·模拟预测)已知集合()0,2A =,()1,3B =,则A B ⋃=.3.(2024·上海·三模)已知集合{}0,1,2A =,{}331B x x x =-≤,则A B =4.(2024·上海·三模)已知集合{}1,3,4A =,{},1B a a =+,若A B B = ,则=a .5.(2024·上海·三模)已知集合{}11A x x =-<,11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭,则A B =.6.(2023·上海静安·二模)若集合{}22,log A a =,{},B a b =,且{}0A B ⋂=,则A B ⋃=.7.(2023·上海青浦·二模)已知集合(){}{}|ln 3,|A x y x B x x a ==-=>,若A B ⋂=∅,则实数a 的取值范围为.8.(2024·上海宝山·二模)已知集合{}2,1,3A a a =++,且1A ∈,则实数a 的值为.9.(2017·上海奉贤·一模)已知互异实数0mn ≠,集合{}{}22,,m n m n =,则m n +=.10.(2023·上海金山·一模)若集合()(){}2,20A x y x y x y =+++-≤,()()(){}222,211B x y x a y a a =-+--≤-,且A B ⋂≠∅,则实数a 的取值范围是.11.(2022·上海青浦·二模)已知集合1,[,1]6A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,其中1A ∉且16s t +<,函数()1xf x x =-,且对任意a A ∈,都有()f a A ∈,则t 的值是.12.(2022·上海普陀·一模)设非空集合Q M ⊆,当Q 中所有元素和为偶数时(集合为单元素时和为元素本身),称Q 是M 的偶子集,若集合{}1,2,3,4,5,6,7=M ,则其偶子集Q 的个数为.二、单选题13.(2022·上海·模拟预测)已知集合(){},2A x y x y =+=,(){},24B x y x y =-=-,则A B = ()A .{}0,2B .()0,2C .∅D .(){}0,214.(2023·上海普陀·二模)设,a b 为实数,则“0a b >>”的一个充分非必要条件是()A>B .22a b >C .11b a>D .a b b a->-15.(2023·上海普陀·一模)设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合,且17A A ⋂=∅,()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ,记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ,则B 中元素个数的最小值是()A .5B .6C .7D .816.(2021·上海青浦·一模)设函数,()1,x x P f x x Mx-∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩,其中,P M 是实数集R 的两个非空子集,又规定()(){},A P y y f x x P ==∈,()(){},A M y y f x x M ==∈,则下列说法:(1)一定有()()A P A M ⋂=∅;(2)若P M R ⋃≠,则()()A P A M R ⋃≠;(3)一定有P M ⋂=∅;(4)若P M R ⋃=,则()()A P A M R ⋃=.其中正确的个数是()A .1B .2C .3D .4三、解答题17.(2017·上海浦东新·三模)数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a ⋅⋅⋅()*N n ∈组成集合{}12,,,n n A a a a =⋅⋅⋅,从集合n A 中任取(1,2,3,,)k k n =⋅⋅⋅个数,其所有可能的k 个数的乘积的和为k T (若只取一个数,规定乘积为此数本身),例如:对于数列{21}n -,当1n =时,1{1},A =11;T =2n =时,2{1,3},A =113,T =+213T =⋅;(1)若集合{1,3,5,,21}n A n =⋅⋅⋅-,求当3n =时,1,T 2,T 3T 的值;(2)若集合{}1,3,7,,21nn A =⋅⋅⋅-,证明:n k =时集合k A 的m T 与1n k =+时集合1k A +的m T (为了以示区别,用m T '表示)有关系式()1121k m m m T T T +-'=-+,其中*,N ,m k ∈2m k ≤≤;(3)对于(2)中集合n A .定义12=+++…n n S T T T ,求n S (用n 表示).专题01集合与逻辑(考点练+模拟练)一、填空题1.(23-24高三上·上海·期中)已如全集U =R ,集合10,x A x x x ⎧⎫-=≥∈⎨⎬⎩⎭R ,则A =.【答案】{}01x x ≤<【分析】解出集合A ,利用补集的定义可求得集合A .【解析】由10x x -≥可得()100x x x ⎧-≥⎨≠⎩,解得0x <或1x ≥,则{0A x x =<或}1x ≥,又因为全集U =R ,则{}01A x x =≤<.故答案为:{}01x x ≤<.2.(23-24高三上·上海黄浦·开学考试)“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的条件.【答案】充要【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【解析】命题“若0x ≠或0y ≠,则220x y +≠”是真命题,命题“若220x y +≠,则0x ≠或0y ≠”是真命题,所以“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的充要条件.故答案为:充要3.(2023·上海普陀·模拟预测)已知命题p :任意正数x ,恒有()1e 1xx +>,则命题p 的否定为.【答案】存在正数0x ,使()001e 1xx +≤【分析】含有全称量词的否定,改成特称量词即可.【解析】由全称命题的否定为特称命题知:存在正数0x ,使()001e 1xx +≤.故答案为:存在正数0x ,使()001e 1xx +≤4.(23-24高三上·上海·期中)已知集合()2,1A =-,()()4,11,2B =-- ,则A B = .【答案】()2,1--【分析】直接由交集的概念、区间的表示即可得解.【解析】因为()2,1A =-,()()4,11,2B =-- ,所以()2,1A B ⋂=--.故答案为:()2,1--.5.(22-23高一上·上海复旦附中分校·阶段练习)已知全集U =R ,集合{|1},{|2}A x x B x x =≤=≥,则A B =.6.(23-24高三上·上海奉贤·阶段练习)已知集合{}ln M x y x ==,集合11N y y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭,则M N ⋂=.【答案】()0,∞+【分析】根据函数的定义域及值域结合交集的运算求值即可.【解析】由题意可知()()()0,,,00,M N ∞∞∞=+=-⋃+,所以()0,M N ∞⋂=+.故答案为:()0,∞+7.(23-24高三上·上海松江·期中)已知2:280,:123p x x q a x a --<-<<-,且p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是.8.(23-24高三上·上海静安·开学考试)集合{}1,2,A a =,{}21,2B a =-,若集合A B ⋃中有三个元素,则实数=a .【答案】2-或1-【分析】集合A B ⋃中有三个元素,则222a -=或22a a -=,解方程并检验即可.【解析】集合{}1,2,A a =,{}21,2B a =-,若集合A B ⋃中有三个元素,则222a -=或22a a -=,若222a -=,解得2a =±,其中2a =与元素互异性矛盾舍去,2a =-满足题意;若22a a -=,解得2a =或1a =-,2a =舍去,1a =-满足题意,所以2a =-或1a =-.故答案为:2-或1-9.(23-24高一上·河北邯郸·阶段练习)若集合{}N |12A x x =∈-<≤,{},,B x x ab a b A ==∈,则集合B 的非空真子集的个数为.10.(20-21高三上·上海崇明·阶段练习)已知:31x m α<-或x m >-,:2x β<或4x ≥,若α是β的必要条件,则实数m 的取值范围是.11.(20-21高一上·上海闵行·期中)已知集合M =2|0x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭,若3,5M M ∈∉,则实数a 的取值范围是.12.(23-24高三上·上海浦东新·期中)M 是正整数集的子集,满足:1,2022,2023M M M ∈∈∉,并有如下性质:若a 、b M ∈,则M ∈,其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数,则M 的非空子集个数为.二、单选题13.(23-24高三上·上海浦东新·阶段练习)已知集合π,2m A x x m ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ,集合π,4n B x x n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ,则A B = ()A .∅B .AC .BD .{}π,x x k k =∈Z14.(16-17高一上·上海浦东新·期中)已知集合A ,B ,若A 不是B 的子集,则下列命题中正确的是()A .对任意的a A ∈,都有aB ∉B .对任意的a B ∈,都有a A ∈C .存在0a ,满足0a A ∈,且0a B∉D .存在0a ,满足0a A ∈,且0a B∈【答案】C【分析】根据子集关系结合元素与集合的关系逐项分析判断.【解析】对于选项A 、B :例如{}{}1,2,2,3A B ==,满足A 不是B 的子集,但2,2A B ∈∈,故A 错误;3,3A B ∉∈,故B 错误;对于选项C :对任意的a A ∈,都有a B ∈,则A B ⊆,若A 不是B 的子集,则存在0a ,满足0a A ∈,且0a B ∉,故C 正确;对于选项D :例如{}{}1,2A B ==,满足A 不是B 的子集,但不存在0a ,满足0a A ∈,且0a B ∈,故D 错误;故选:C.15.(21-22高三上·上海浦东新·阶段练习)集合,A B 各有8个元素,A B ⋂有6个元素,若集合C 满足:()()A B C A B ⊆⊆ ,则满足条件的集合C 共有()A .32个B .16个C .8个D .4个【答案】B【分析】根据题意设出集合,A B ,根据()()A B C A B ⊆⊆ 判断集合C 中元素的构成情况,根据子集和集合中元素的个数关系即可得出结果.【解析】解:由题知,A B 各有8个元素,且A B ⋂有6个元素,设{}123456,,,,,c c c c A c c B = ,且{}12123456,,,,,,,,a a c c c c c c A ={}12123456,,,,,,,b bc c c c c B c =,则画Venn 图如下:因为()()A B C A B ⊆⊆ ,所以{}{}1234561212123456,,,,,,,,,,,,,,,c c c c c c C a a b b c c c c c c ⊆⊆所以集合C 中至少有123456,,,,,c c c c c c ,6个元素,最多有1212123456,,,,,,,,,a a b b c c c c c c ,10个元素,只需求出{}1212,,,a a b b 的子集,在每个子集中加入123456,,,,,c c c c c c 6个元素,即可得集合C ,所以集合C 的个数,即是{}1212,,,a a b b 的子集的个数4216=个.故选:B16.(20-21高三上·浙江·开学考试)设集合,S T 中至少两个元素,且,S T 满足:①对任意,x y S ∈,若x y ≠,则x y T +∈,②对任意,x y T ∈,若x y ≠,则x y S -∈,下列说法正确的是()A .若S 有2个元素,则S T 有3个元素B .若S 有2个元素,则S T 有4个元素C .存在3个元素的集合S ,满足S T 有5个元素D .存在3个元素的集合S ,满足S T 有4个元素【答案】A【解析】不妨设{,}S a b =,由②知集合S 中的两个元素必为相反数,设{,}S a a =-,由①得0T ∈,由于集合T 中至少两个元素,得到至少还有另外一个元素m T ∈,分集合T 有2个元素和多于2个元素分类讨论,即可求解.【解析】若S 有2个元素,不妨设{,}S a b =,以为T 中至少有两个元素,不妨设{},x y T ⊆,由②知,x y S y x S -∈-∈,因此集合S 中的两个元素必为相反数,故可设{,}S a a =-,由①得0T ∈,由于集合T 中至少两个元素,故至少还有另外一个元素m T ∈,当集合T 有2个元素时,由②得:m S -∈,则,{0,}m a T a =±=-或{0,}T a =.当集合T 有多于2个元素时,不妨设{0,,}T m n =,其中,,,,,m n m n m n n m S ----∈,由于,0,0m n m n ≠≠≠,所以,m m n n ≠-≠-,若m n =-,则n m =-,但此时2,2m n m m m n n n -=≠-=-≠,即集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素,若m n ≠-,则集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素,这都与集合S 中只有2个运算矛盾,综上,{0,,}S T a a =- ,故A 正确;当集合S 有3个元素,不妨设{,,}S a b c =,其中a b c <<,则{,,}a b b c c a T +++⊆,所以,,,,,c a c b b a a c b c a b S ------∈,集合S 中至少两个不同正数,两个不同负数,即集合S 中至少4个元素,与{,,}S a b c =矛盾,排除C ,D.故选:A.【点睛】解题技巧:解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点:1、紧扣新定义,首先分析新定义的特点,把心定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程中;2、用好集合的性质,解题时要善于从试卷中发现可以使用的集合的性质的一些因素.三、解答题17.(23-24高三上·上海静安·阶段练习)设全集()(){}4230,0A x ax x a a =+-+>>,B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩.(1)若2a =,求A B ⋂,A B ;(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.18.(22-23高三上·上海青浦·期中)已知集合{}(2)(3)0A x x x =--≤,{}3B x a x a =<<,且0a >.(1)若x A ∈是x B ∈的充分条件,求实数a 的取值范围;(2)若命题“A B ⋂=∅”为假命题,求实数a 的取值范围.19.(22-23高三上·上海崇明·阶段练习)已知R 为全集,集合R |1,1A x x x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭,集合{}1,R B x x a x =-≤∈.(1)求集合A ;(2)若B A B ⋂=,求实数a 的取值范围.20.(22-23高三上·上海浦东新·阶段练习)设全集U 为R ,集合11A x x =-<,{}2320B x x x =--≥.(1)求A B ;(2)若{}22430C x x ax a A B =-+≥⊇⋃,求a 的取值范围.21.(23-24高一上·上海·期中)集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅是由()3n n >个正整数组成的集合,如果任意去掉其中一个元素()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,就称集合A 为“可分集合”.(1)判断集合{}1,2,3,4、{}1,3,5,7,9,11,13是否为“可分集合”(不用说明理由);(2)求证:五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”;(3)若集合{}12,,,n A a a a = 是“可分集合”,证明n 是奇数.【答案】(1){}1,2,3,4不是“可分集合”,{}1,3,5,7,9,11,13为“可分集合”(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)由“可分集合”的定义判断;(2)不妨设12345a a a a a <<<<,讨论当在集合{}12345,,,,a a a a a 中去掉元素1a 、2a 后,将剩余元素构成的集合,结合“可分集合”的定义进行分拆,得出等式,推出矛盾,即可证得结论成立;(3)根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明.【解析】(1)解:对于{}1,2,3,4,去掉3后,{}1,2,4不满足题中条件,故{}1,2,3,4不是“可分集合”,对于{}1,3,5,7,9,11,13,集合{}1,3,5,7,9,11,13所有元素之和为49.当去掉元素1时,剩下的元素之和为48,剩下元素可以组合{}3,5,7,9、{}11,13这两个集合,显然符合题意;当去掉元素3时,剩下的元素之和为46,剩下元素可以组合{}1,9,13、{}5,7,11这两个集合,显然符合题意;当去掉元素5时,剩下的元素之和为44,剩下元素可以组合{}1,3,7,11、{}9,13这两个集合,显然符合题意;当去掉元素7时,剩下的元素之和为42,剩下元素可以组合{}1,9,11、{}3,5,13这两个集合,显然符合题意;当去掉元素9时,剩下的元素之和为40,剩下元素可以组合{}1,3,5,11、{}7,13这两个集合,显然符合题意;当去掉元素11时,剩下的元素之和为38,剩下元素可以组合{}3,7,9、{}1,5,13这两个集合,显然符合题意;当去掉元素13时,剩下的元素之和为36,剩下元素可以组合{}1,3,5,9、{}7,11这两个集合,显然符合题意.综上所述,集合{}1,3,5,7,9,11,13是“可分集合”.(2)证明:不妨设123450a a a a a <<<<<,一、填空题1.(2022·上海·模拟预测)已知集合{}2=|40,A x x x x N *-<∈,则用列举法表示集合A =【答案】{}1,2,3【分析】根据不等式的解法,求得04x <<,进而利用列举法,即可求解.【解析】由不等式240x x -<,可得()40x x -<,解得04x <<,即集合{|04A x x =<<且}{1,2,3}x N *∈=.故答案为:{}1,2,3.2.(2022·上海浦东新·模拟预测)已知集合()0,2A =,()1,3B =,则A B ⋃=.【答案】()0,3【分析】直接根据并集定义求解即可.【解析】因为()0,2A =,()1,3B =,所以()0,3A B ⋃=,故答案为:()0,33.(2024·上海·三模)已知集合{}0,1,2A =,{}331B x x x =-≤,则A B =【答案】{}0,1【分析】把集合中的元素代入不等式331x x -≤检验可求得{0,1}A B = .【解析】当0x =时,303001-⨯=≤,所以0B ∈,当1x =时,313121-⨯=-≤,所以1B ∈,当2x =时,323221-⨯=>,所以2∉B ,所以{0,1}A B = .故答案为:{0,1}.4.(2024·上海·三模)已知集合{}1,3,4A =,{},1B a a =+,若A B B = ,则=a .【答案】3【分析】根据给定条件,利用交集的结果直接列式计算即得.【解析】集合{}1,3,4A =,{},1B a a =+,由A B B = ,得B A ⊆,又11a a +-=,因此143a a +=⎧⎨=⎩,所以3a =.故答案为:35.(2024·上海·三模)已知集合{}11A x x =-<,11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭,则A B =.6.(2023·上海静安·二模)若集合{}22,log A a =,{},B a b =,且{}0A B ⋂=,则A B ⋃=.【答案】{}0,1,2【分析】依题意可得0A ∈且0B ∈,即可求出a 、b 的值,从而求出集合A 、B ,再根据并集的定义计算可得.【解析】因为{}22,log A a =,{},B a b =,且{}0A B ⋂=,所以0A ∈且0B ∈,显然0a >,所以2log 0a =且0b =,所以1a =,所以{}2,0A =,{}1,0B =,所以{}0,1,2A B = .故答案为:{}0,1,27.(2023·上海青浦·二模)已知集合(){}{}|ln 3,|A x y x B x x a ==-=>,若A B ⋂=∅,则实数a 的取值范围为.【答案】[)3,+∞【分析】求函数的定义域求得集合A ,根据A B ⋂=∅求得a 的取值范围.【解析】由30x ->解得3x <,所以(),3A =-∞,由于A B ⋂=∅,所以3a ≥,所以a 的取值范围是[)3,+∞.故答案为:[)3,+∞8.(2024·上海宝山·二模)已知集合{}2,1,3A a a =++,且1A ∈,则实数a 的值为.9.(2017·上海奉贤·一模)已知互异实数0mn ≠,集合{}{}22,,m n m n =,则m n +=.【答案】-1【分析】分情况讨论2m m =,2n n =,或2n m =,2m n =再计算即可.【解析】互异实数m n ≠,集合{}{}22,,m n m n =,∴2m m =,2n n =,或2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠.由2m m =,2n n =,0mn ≠,m n ≠,无解.由2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠.可得22n m m n -=-,解得1m n +=-.故答案为:1-.【点睛】本题主要考查了根据集合的互异性与集合相等求参数的问题,属于基础题型.10.(2023·上海金山·一模)若集合()(){}2,20A x y x y x y =+++-≤,()()(){}222,211B x y x a y a a =-+--≤-,且A B ⋂≠∅,则实数a 的取值范围是.B 其中()()2221x a y a -+--当1a =±时,B 表示点(1,3)当1a ≠±时,B 表示以(M 其圆心在直线21y x =+上,依题意A B ⋂≠∅,即表示圆当1a =-时,显然满足题意,当当1a <-时,因为A B ⋂≠所以d r ≤,即222a a +++所以()()17110a a ++≤,所以1117a -≤<-;当1a >时,因为A B ⋂≠∅11.(2022·上海青浦·二模)已知集合,[,1]6A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ ,其中1A ∉且6s t +<,函数()1xf x x =-,且对任意a A ∈,都有()f a A ∈,则t 的值是.12.(2022·上海普陀·一模)设非空集合Q M ⊆,当Q 中所有元素和为偶数时(集合为单元素时和为元素本身),称Q 是M 的偶子集,若集合{}1,2,3,4,5,6,7=M ,则其偶子集Q 的个数为.【答案】63【分析】对集合Q 中奇数和偶数的个数进行分类讨论,确定每种情况下集合Q 的个数,综合可得结果.【解析】集合Q 中只有2个奇数时,则集合Q 的可能情况为:{}1,3、{}1,5、{}1,7、{}3,5、{}3,7、{}5,7,共6种,若集合Q 中只有4个奇数时,则集合{}1,3,5,7Q =,只有一种情况,若集合Q 中只含1个偶数,共3种情况;若集合Q 中只含2个偶数,则集合Q 可能的情况为{}2,4、{}2,6、{}4,6,共3种情况;若集合Q 中只含3个偶数,则集合{}2,4,6Q =,只有1种情况.因为Q 是M 的偶子集,分以下几种情况讨论:若集合Q 中的元素全为偶数,则满足条件的集合Q 的个数为7;若集合Q 中的元素全为奇数,则奇数的个数为偶数,共7种;若集合Q 中的元素是2个奇数1个偶数,共6318⨯=种;若集合Q 中的元素为2个奇数2个偶数,共6318⨯=种;若集合Q 中的元素为2个奇数3个偶数,共616⨯=种;若集合Q 中的元素为4个奇数1个偶数,共133⨯=种;若集合Q 中的元素为4个奇数2个偶数,共133⨯=种;若集合Q 中的元素为4个奇数3个偶数,共1种.综上所述,满足条件的集合Q 的个数为771818633163+++++++=.故答案为:63.二、单选题13.(2022·上海·模拟预测)已知集合(){},2A x y x y =+=,(){},24B x y x y =-=-,则A B = ()A .{}0,2B .()0,2C .∅D .(){}0,214.(2023·上海普陀·二模)设,a b 为实数,则“0a b >>”的一个充分非必要条件是()A >B .22a b >C .11b a >D .a b b a->-15.(2023·上海普陀·一模)设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合,且17A A ⋂=∅,()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ,记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ,则B 中元素个数的最小值是()A .5B .6C .7D .8【答案】A 【分析】设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素,分析可知4n ≥,然后对n 的取值由小到大进行分析,验证题中的条件是否满足,即可得解.【解析】解:设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素,若3n =,则12A A ⋂≠∅,不合乎题意.①假设集合B 中含有4个元素,可设{}112,A x x =,则{}24634,A A A x x ===,{}35712,A A A x x ===,这与17A A ⋂=∅矛盾;②假设集合B 中含有5个元素,可设{}1612,A A x x ==,{}2734,A A x x ==,{}351,A x x =,{}423,A x x =,{}545,A x x =,满足题意.综上所述,集合B 中元素个数最少为5.故选:A.【点睛】关键点点睛:本题考查集合元素个数的最值的求解,解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类,对集合中的元素进行分析,验证题中条件是否成立即可.16.(2021·上海青浦·一模)设函数,()1,x x P f x x M x -∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩,其中,P M 是实数集R 的两个非空子集,又规定()(){},A P y y f x x P ==∈,()(){},A M y y f x x M ==∈,则下列说法:(1)一定有()()A P A M ⋂=∅;(2)若P M R ⋃≠,则()()A P A M R ⋃≠;(3)一定有P M ⋂=∅;(4)若P M R ⋃=,则()()A P A M R ⋃=.其中正确的个数是()A .1B .2C .3D .4【答案】B【解析】根据分段函数的定义、一次函数和反比例函数的性质,结合集合交集、并集的运算定义进行判断即可.【解析】函数()f x 是分段函数,故P M ⋂=∅一定成立,因此说法(3)正确;对于(1):当{}{}1,1P M =-=时,根据已知的规定,有{}{}()1,()1A P A M ==,显然()(){}1A P A M ⋂=≠∅,因此说法(1)不正确;对于(4):当(,1),[1,)P M =-∞=+∞时,显然满足P M R ⋃=成立,根据已知的规定,有()(1,),()(0,1]A P A M =-+∞=,显然()()(1,)(0,1]A P A M R ⋃=-+∞⋃≠,因此说法(4)不正确;对于(2)来说,当P M R ⋃=时,()()A P A M R ⋃=不一定成立,故当P M R ⋃≠时,显然()()A P A M R ⋃≠一定成立,因此说法(2)正确,所以只有(2)(3)说法正确.故选:B三、解答题17.(2017·上海浦东新·三模)数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a ⋅⋅⋅()*N n ∈组成集合{}12,,,n n A a a a =⋅⋅⋅,从集合n A 中任取(1,2,3,,)k k n =⋅⋅⋅个数,其所有可能的k 个数的乘积的和为k T (若只取一个数,规定乘积为此数本身),例如:对于数列{21}n -,当1n =时,1{1},A =11;T =2n =时,2{1,3},A =113,T =+213T =⋅;(1)若集合{1,3,5,,21}n A n =⋅⋅⋅-,求当3n =时,1,T 2,T 3T 的值;(2)若集合{}1,3,7,,21n n A =⋅⋅⋅-,证明:n k =时集合k A 的m T 与1n k =+时集合1k A +的m T (为了以示区别,用m T '表示)有关系式()1121k m m m T T T +-'=-+,其中*,N ,m k ∈2m k ≤≤;(3)对于(2)中集合n A .定义12=+++…n n S T T T ,求n S (用n 表示).。

2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第1章 必刷小题1 集合、常用逻辑用语、不等式(1)

2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第1章 必刷小题1 集合、常用逻辑用语、不等式(1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
由xx+ +32≤0,得xx++23≠0x+,2≤0, 解得-3≤x<-2, 即q:B={x|-3≤x<-2}, 因为a<0,由(x-3a)(x-a)<0,得3a<x<a, 即p:A={x|3a<x<a}, 若p是q的必要条件,则q⇒p,所以B⊆A, 所以3aa≥<--23,, 即-2≤a<-1.
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
必刷小题1 集合、常用 逻辑用语、 不等式
一、单项选择题
1.(2023·咸阳模拟)已知集合A={-1,0,1,2,3},B={x|2x2-5x-3<0},那么
集合A∩B等于
A.{-1,0,1,2}
B.{0,1,2,3}
√C.{0,1,2}
D.{-1,0,1,2,3}
因为 B={x|2x2-5x-3<0}={x|(2x+1)(x-3)<0}=x-12<x<3

故A∩B={0,1,2}.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.设集合A={x∈Z|(x-1)(x-5)≤0},则集合A的子集个数为
A.16
√B.32
C.15
D.31
三、填空题 13.已知集合A={x|-2≤x≤2},若集合B={x|x≤a}满足A⊆B,则实数a 的取值范围为__[_2_,__+__∞__)_.
∵A={x|-2≤x≤2}≠∅,A⊆B, ∴A与B的关系如图, ∴a≥2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
x+3 14.设p:实数x满足(x-3a)(x-a)<0,q:实数x满足 x+2 ≤0.当a<0时,若 p是q的必要条件,则实数a的取值范围是__[_-__2_,__-__1_)_.

2025年高考数学一轮复习课时作业-函数的单调性与最值【含解析】

2025年高考数学一轮复习课时作业-函数的单调性与最值【含解析】

2025年高考数学一轮复习课时作业-函数的单调性与最值【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)(多选题)下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是()A.y=|x|B.y=x+3C.y=1D.y=-x2+42.(5分)函数f(x)=lg(x2-4)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)3.(5分)函数f(x)=1 2+1在区间[1,2]上的最大值与最小值分别是()A.12,15B.5,2C.2,1D.1,124.(5分)函数f(x)=2- +1,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是()A.(1,2)B.(-1,2)C.[1,2)D.[-1,2)5.(5分)已知定义在R上的函数f(x),对任意x∈(0,π),有f(x)-f(-x)=0,且x1,x2>0时,有 ( 1)- ( 2)1- 2>0,设a=f(2),b=f(-2),c=f(3),则()A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<b<a6.(5分)(多选题)关于函数y=4-( +1)2,下列说法正确的是()A.在区间[-1,0]上单调递减B.单调递增区间为[-3,-1]C.最大值为2D.没有最小值7.(5分)函数y=-x2+2|x|+1的单调递增区间为,单调递减区间为.8.(5分)函数f(x)=-x+1 在[-2,-13]上的最大值是.9.(5分)函数y=2x+ -1的最小值为.10.(10分)已知函数f(x)= +2 .(1)写出函数f(x)的定义域和值域;(2)证明:函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,并求f(x)在x∈[2,8]上的最大值11.(10分)已知f(x)= 2+2 + ,x∈[1,+∞).(1)当a=12时,求函数f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.【能力提升练】12.(5分)(多选题)下列函数有最小值的是()A.f(x)=x2+1 2B.f(x)=2x+2C.f(x)= -1 +1D.f(x)=lg( +1)13.(5分)已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x1,x2且x1≠x2,都有 ( 1)- ( 2)1- 2>-1,则下列说法正确的是()A.y=f(x)+x是增函数B.y=f(x)+x是减函数C.y=f(x)是增函数D.y=f(x)是减函数14.(10分)设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),F(x)= ( ), ≥0,- ( ), <0.(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的解析式;(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.2025年高考数学一轮复习课时作业-函数的单调性与最值【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)(多选题)下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是()A.y=|x|B.y=x+3C.y=1D.y=-x2+4【解析】选AB.函数y=1 与y=-x2+4在(0,1)上都是减函数.2.(5分)函数f(x)=lg(x2-4)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)【解析】选C.由复合函数的单调性知,要使f(x)单调递增,需 2-4>0,>0,解得x>2.3.(5分)函数f(x)=1 2+1在区间[1,2]上的最大值与最小值分别是()A.12,15B.5,2C.2,1D.1,12【解析】选A.因为y=x2+1在(0,+∞)上单调递增,且y>1,所以f(x)=1 2+1在区间[1,2]上单调递减,所以函数f(x)=1 2+1在区间[1,2]上的最大值与最小值分别是f(1)=112+1=12,f(2)=122+1=15.4.(5分)函数f(x)=2- +1,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是()A.(1,2)B.(-1,2)C.[1,2)D.[-1,2)【解析】选D.因为f(x)=2- +1=-1+3 +1在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递减,且当x∈(m,n]时最小值为0,即f(n)=0,n=2,所以m<n=2.又函数f(x)的定义域分为两段,x=2在(-1,+∞)上,故m≥-1,综上,-1≤m<2.5.(5分)已知定义在R上的函数f(x),对任意x∈(0,π),有f(x)-f(-x)=0,且x1,x2>0时,有 ( 1)- ( 2)1- 2>0,设a=f(2),b=f(-2),c=f(3),则()A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<b<a【解析】选A.因为对任意x∈(0,π),f(x)-f(-x)=0,所以f(-2)=f(2),因为x1,x2>0时,有 ( 1)- ( 2)1- 2>0,所以函数f(x)在区间(0,π)上单调递增,因为2<2<3,所以f(2)<f(2)<f(3),即f(2)<f(-2)<f(3),所以a<b<c.6.(5分)(多选题)关于函数y=4-( +1)2,下列说法正确的是()A.在区间[-1,0]上单调递减B.单调递增区间为[-3,-1]C.最大值为2D.没有最小值【解题指南】先求出函数定义域,令t=4-(x+1)2,根据二次函数的性质,由已知解析式,逐项判断,即可得出结果.【解析】选ABC.由4-(x+1)2≥0得-3≤x≤1,即函数y=4-( +1)2的定义域为[-3,1].令t=4-(x+1)2,则t=4-(x+1)2的图象是开口向下、对称轴为x=-1的抛物线,所以函数t=4-(x+1)2在[-3,-1]上单调递增,在[-1,1]上单调递减.又y= 单调递增,所以y=4-( +1)2在[-3,-1]上单调递增,在[-1,1]上单调递减,故A,B正确;y max=4-(-1+1)2=2,当x=-3时,y=4-(-3+1)2=0,当x=1时,y=4-(1+1)2=0,则y min=0,故C正确,D错误.7.(5分)函数y=-x2+2|x|+1的单调递增区间为,单调递减区间为.【解析】y=- 2+2 +1, ≥0,- 2-2 +1, <0,即y=-( -1)2+2, ≥0,-( +1)2+2, <0.画出函数图象如图所示,则其单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).答案:(-∞,-1]和[0,1][-1,0]和[1,+∞)8.(5分)函数f(x)=-x+1 在[-2,-13]上的最大值是.【解析】易知f(x)在[-2,-13]上单调递减,即f(-2)为最大值,为2-12=32.答案:329.(5分)函数y=2x+ -1的最小值为.【解析】方法1(单调性法):函数y=2x+ -1的定义域为[1,+∞),因为函数y=2x与y= -1在定义域[1,+∞)上均单调递增,故y=2x+ -1在[1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,y min=2+1-1=2,即函数y=2x+ -1的最小值为2.方法2(换元法):令 -1=t,则t≥0,x=t2+1,所以原函数转化为f(t)=2t2+t+2=2(t+14)2+158,易知在t∈[0,+∞)时,函数f(t)单调递增,所以当t=0时,f(t)min=2,故函数y=2x+ -1的最小值为2.答案:210.(10分)已知函数f(x)= +2 .(1)写出函数f(x)的定义域和值域;【解析】(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.又f(x)=1+2 ,所以函数f(x)的值域为{y|y≠1}.(2)证明:函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,并求f(x)在x∈[2,8]上的最大值和最小值.【解析】(2)由题意可设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(1+2 1)-(1+2 2)=2 1-2 2=2( 2- 1) 1 2.又0<x1<x2,所以x1x2>0,x2-x1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.在x∈[2,8]上,f(x)的最大值为f(2)=2,最小值为f(8)=54.11.(10分)已知f(x)= 2+2 + ,x∈[1,+∞).(1)当a=12时,求函数f(x)的最小值;【解析】(1)当a=12时,f(x)=x+12 +2,任取1≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(12 1-12 2)=( 1- 2)(2 1 2-1)2 1 2.因为1≤x1<x2,所以x1x2>1,所以2x1x2-1>0.又x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在[1,+∞)上单调递增.所以f(x)在[1,+∞)上的最小值为f(1)=72.(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.【解析】(2)在区间[1,+∞)上,f(x)= 2+2 + >0恒成立⇔x2+2x+a>0恒成立.设g(x)=x2+2x+a(x≥1),则g(x)min>0.又g(x)=(x+1)2+a-1,其图象的对称轴为x=-1,且开口向上,所以g(x)在[1,+∞)上单调递增,所以g(x)在[1,+∞)上的最小值为g(1)=3+a.由3+a>0,得a>-3,所以a的取值范围是(-3,+∞).【能力提升练】12.(5分)(多选题)下列函数有最小值的是()A.f(x)=x2+1 2B.f(x)=2x+2C.f(x)= -1 +1D.f(x)=lg( +1)【解析】选AD.对于A,f(x)=x2+1 2≥2,当且仅当x2=1 2,即x=±1时等号成立,故f(x)min=2,A正确.对于B,当x>0时,f(x)=2x+2 ≥2当且仅当2x=2 ,即x=1时等号成立;当x<0时,-f(x)=2(-x)+2- 当且仅当2(-x)=2- ,即x=-1时等号成立,故f(x)≤-4.所以f(x)=2x+2 的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞),无最小值,B错误.对于C,f(x)= -1 +1=1-2 +1的值域为{y|y≠1},无最小值,C错误.对于D,由题意可得 ≥0 +1>0,解得x≥0,故f(x)=lg( +1)的定义域为[0,+∞).因为y=lg u在定义域内单调递增,u= +1在定义域[0,+∞)上单调递增,所以f(x)=lg( +1)在定义域[0,+∞)上单调递增,则f(x)=lg( +1)≥f(0)=0,故f(x)=lg( +1)有最小值0,D正确.13.(5分)已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x1,x2且x1≠x2,都有 ( 1)- ( 2)1- 2>-1,则下列说法正确的是()A.y=f(x)+x是增函数B.y=f(x)+x是减函数C.y=f(x)是增函数D.y=f(x)是减函数【解析】选A.不妨令x1<x2,所以x1-x2<0,因为 ( 1)- ( 2)1- 2>-1⇔f(x1)-f(x2)<-(x1-x2)⇔f(x1)+x1<f(x2)+x2,令g(x)=f(x)+x,所以g(x1)<g(x2),又x1<x2,所以g(x)=f(x)+x是增函数.14.(10分)设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),F(x)= ( ), ≥0,- ( ), <0.(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的解析式;【解析】(1)因为f(-1)=0,所以b=a+1.由f(x)≥0恒成立,知a>0且在方程ax2+bx+1=0中,Δ=b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0,所以a=1,b=2,从而f(x)=x2+2x+1.所以F(x)=( +1)2, ≥0,-( +1)2, <0.(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.【解析】(2)由(1)可知f(x)=x2+2x+1,所以g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1,由g(x)在[-2,2]上是单调函数,知-2- 2≤-2或-2- 2≥2,得k≤-2或k≥6.即实数k的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).。

高考数学一轮复习多选题专项训练练习题含答案

高考数学一轮复习多选题专项训练练习题含答案

高考数学一轮复习多选题专项训练练习题含答案一、数列多选题1.已知数列{}n a :1,1,2,3,5,…其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68S a = B .733S =C .135********a a a a a ++++= D .2222123202020202021a a a a a a ++++=答案:BCD 【分析】根据题意写出,,,从而判断A ,B 的正误;写出递推关系,对递推关系进行适当的变形,利用累加法即可判断C ,D 的正误. 【详解】对A ,,,故A 不正确; 对B ,,故B 正确; 对C ,由,,解析:BCD 【分析】根据题意写出8a ,6S ,7S ,从而判断A ,B 的正误;写出递推关系,对递推关系进行适当的变形,利用累加法即可判断C ,D 的正误. 【详解】对A ,821a =,620S =,故A 不正确; 对B ,761333S S =+=,故B 正确;对C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,…,202120222020a a a =-,可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=,故C 正确;对D ,该数列总有21n n n a a a ++=+,2121a a a =,则()222312321a a a a a a a a =-=-,()233423423a a a a a a a a =-=-,…,()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-, 22019a =2019202020192018a a a a -,220202020202120202019a a a a a =-,故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=,故D 正确. 故选:BCD 【点睛】关键点睛:解答本题的关键是对CD 的判断,即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形.2.已知数列{}n a 中,11a =,1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈,不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立,则实数a 可能为( ) A .-4B .-2C .0D .2答案:AB 【分析】由题意可得,利用裂项相相消法求和求出,只需对于任意的恒成立,转化为对于任意的恒成立,然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】 ,, 则,,,,上述式子累加可得:,, 对于任意的恒成立解析:AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++,利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<,只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立,转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立,然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=,11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++,则11111n n a a n n n n --=---,12111221n n a a n n n n ---=-----,,2111122a a -=-, 上述式子累加可得:111n a a n n -=-,122n a n n∴=-<, ()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立,整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立, 对A ,当4a =-时,不等式()()2540t t +-≤,解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,包含[]1,2,故A 正确; 对B ,当2a =-时,不等式()()2320t t +-≤,解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,包含[]1,2,故B 正确; 对C ,当0a =时,不等式()210t t +≤,解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,不包含[]1,2,故C 错误; 对D ,当2a =时,不等式()()2120t t -+≤,解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,不包含[]1,2,故D 错误,故选:AB.本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立,考查了转化与划归的思想,属于中档题.3.已知数列{}n a 的前4项为2,0,2,0,则该数列的通项公式可能为( ) A .0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B .1(1)1n n a -=-+C .2sin2n n a π= D .cos(1)1n a n π=-+答案:BD 【分析】根据选项求出数列的前项,逐一判断即可. 【详解】解:因为数列的前4项为2,0,2,0, 选项A :不符合题设; 选项B : ,符合题设; 选项C :, 不符合题设; 选项D : ,符合题设解析:BD 【分析】根据选项求出数列的前4项,逐一判断即可. 【详解】解:因为数列{}n a 的前4项为2,0,2,0, 选项A :不符合题设;选项B :01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=,符合题设;选项C :,12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin22a π==-不符合题设; 选项D :1cos012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos212,a π=+=4cos310a π=+=,符合题设.故选:BD.本题考查数列的通项公式的问题,考查了基本运算求解能力,属于基础题.4.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,….,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68a =B .733S =C .135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D .22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 答案:ABCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系,对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ,写出数列的前6项为,故A 正确; 对B ,,故B 正确; 对C ,由,,,……,,可得:.故是斐波那契数列中的第解析:ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥,对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ,写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8,故A 正确; 对B ,71123581333S =++++++=,故B 正确;对C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,……,201920202018a a a =-, 可得:135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ,斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+,则2121a a a =,()222312321a a a a a a a a =-=-,()233423423a a a a a a a a =-=-,……,()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-,220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=,故D 正确;故选:ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景,考查数列的递推关系及性质,考查方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意递推关系的灵活转换.5.已知数列{}n a 是等差数列,前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是( ) A .7S 最小B .130S =C .49S S =D .70a =答案:BCD 【分析】由是等差数列及,求出与的关系,结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】设等差数列数列的公差为. 由有,即所以,则选项D 正确.选项A. ,无法判断其是否有最小解析:BCD 【分析】由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=,求出1a 与d 的关系,结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】设等差数列数列{}n a 的公差为d .由13522,a a S +=有()1112542252a a a d d ⨯+=++,即160a d += 所以70a =,则选项D 正确. 选项A. ()71176773212S a d a d d ⨯=+=+=-,无法判断其是否有最小值,故A 错误. 选项B. 113137131302a S a a +=⨯==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =,故C 正确. 故选:BCD 【点睛】关键点睛:本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用,解答本题的关键是由条件13522,a a S +=得到160a d +=,即70a =,然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,属于中档题.6.(多选)在数列{}n a 中,若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .(){}1n- 是等方差数列C .{}2n是等方差数列.D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列答案:BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ,若是等差数列,如,则不是常数,故不是等方差数列,故A 错误; 对于B ,数列中,是常数,是等方差数列,故解析:BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ,若{}n a 是等差数列,如n a n =,则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数,故{}na 不是等方差数列,故A 错误;对于B ,数列(){}1n-中,222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数,{(1)}n ∴-是等方差数列,故B 正确; 对于C ,数列{}2n中,()()22221112234n n n n n aa ----=-=⨯不是常数,{}2n∴不是等方差数列,故C 错误; 对于D ,{}n a 是等差数列,1n n a a d -∴-=,则设n a dn m =+,{}n a 是等方差数列,()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数,故220d =,故0d =,所以(2)0m d d +=,2210n n a a --=是常数,故D 正确.故选:BD. 【点睛】关键点睛:本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义,解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义,利用定义进行判断.7.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1385a a S +=,则下列结论一定正确的是( ) A .100a = B .911a a = C .当9n =或10时,n S 取得最大值D .613S S =答案:ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得,结合等差数列的性质,逐一判断即可得出结论. 【详解】∵等差数列的前项和为,, ∴,解得, 故,故A 正确;∵,,故有,故B 正确; 该数解析:ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-,结合等差数列的性质,逐一判断即可得出结论. 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1385a a S +=, ∴()111875282a a d a d ⨯++=+,解得19a d =-, 故10190a a d =+=,故A 正确;∵918a a d d d =+=-=,11110a a d d =+=,故有911a a =,故B 正确; 该数列的前n 项和()21119222n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ,它的最值,还跟d 的值有关,故C 错误; 由于61656392S a d d ⨯=+=-,131131213392S a d d ⨯=+=-,故613S S =,故D 正确, 故选:ABD. 【点睛】思路点睛:利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简,直接根据性质判断结果. 8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则( )A .80a <B .当且仅当n = 7时,n S 取得最大值C .49S S =D .满足0n S >的n 的最大值为12答案:ACD 【分析】由题可得,,,求出可判断A ;利用二次函数的性质可判断B ;求出可判断C ;令,解出即可判断D. 【详解】设等差数列的公差为,则,解得, ,,且,对于A ,,故A 正确; 对于B ,的对称解析:ACD 【分析】由题可得16a d =-,0d <,21322n d d S n n =-,求出80a d =<可判断A ;利用二次函数的性质可判断B ;求出49,S S 可判断C ;令213022n d dS n n =->,解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则()5111122+4++100a a a d a d +==,解得16a d =-,10a >,0d ∴<,且()21113+222n n n d d S na d n n -==-, 对于A ,81+7670a a d d d d ==-+=<,故A 正确;对于B ,21322n d d S n n =-的对称轴为132n =,开口向下,故6n =或7时,n S 取得最大值,故B 错误; 对于C ,4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-,9138191822d d S d =⨯-⨯=-,故49S S =,故C 正确;对于D ,令213022n d dS n n =->,解得013n <<,故n 的最大值为12,故D 正确. 故选:ACD. 【点睛】方法点睛:由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值.9.已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,67S S <,且78S S >,则( ) A .在数列{}n a 中,1a 最大 B .在数列{}n a 中,3a 或4a 最大 C .310S S =D .当8n ≥时,0n a <答案:AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求,,即可求公差,然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】因为,所以 , 因为,所以, 所以等差数列公差, 所以是递减数列, 故最大,选项A解析:AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >,80a <,即可求公差0d <,然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】因为67S S <,所以7670S S a -=> , 因为78S S >,所以8780S S a -=<, 所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<, 所以{}n a 是递减数列,故1a 最大,选项A 正确;选项B 不正确;10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>,所以310S S ≠,故选项C 不正确;当8n ≥时,80n a a ≤<,即0n a <,故选项D 正确; 故选:AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ,属于基础题.10.等差数列{}n a 的首项10a >,设其前n 项和为{}n S ,且611S S =,则( ) A .0d > B .0d <C .80a =D .n S 的最大值是8S 或者9S答案:BD 【分析】由,即,进而可得答案. 【详解】 解:, 因为所以,,最大, 故选:. 【点睛】本题考查等差数列的性质,解题关键是等差数列性质的应用,属于中档题.解析:BD 【分析】由6111160S S S S =⇒-=,即950a =,进而可得答案. 【详解】解:1167891011950S S a a a a a a -=++++==, 因为10a >所以90a =,0d <,89S S =最大, 故选:BD . 【点睛】本题考查等差数列的性质,解题关键是等差数列性质的应用,属于中档题. 11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d .已知312a =,120S >,70a <则( ) A .60a > B .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C .0nS <时,n 的最小值为13D .数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 答案:ACD 【分析】由已知得,又,所以,可判断A ;由已知得出,且,得出时,,时,,又,可得出在上单调递增,在上单调递增,可判断B ;由,可判断C ;判断 ,的符号, 的单调性可判断D ; 【详解】 由已知解析:ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>,又70a <,所以6>0a ,可判断A ;由已知得出2437d -<<-,且()12+3n a n d =-,得出[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,又()1112+3n a n d =-,可得出1na 在1,6n nN上单调递增,1na 在7nnN,上单调递增,可判断B ;由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=,可判断C ;判断 n a ,n S 的符号, n a 的单调性可判断D ; 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-,()()612112712+12+220a a a a S ==>,又70a <,所以6>0a ,故A 正确;由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩,解得2437d -<<-,又()()3+312+3n a n d n d a =-=-,当[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,又()1112+3n a n d=-,所以[]1,6n ∈时,1>0na ,7n ≥时,10n a <,所以1na 在1,6n n N上单调递增,1na 在7n n N,上单调递增,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列,故B 不正确; 由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=,而120S >,所以0n S <时,n 的最小值为13,故C 选项正确 ;当[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,当[]1,12n ∈时,>0n S ,13n ≥时,0n S <,所以当[]7,12n ∈时,0n a <,>0n S ,0nnS a <,[]712n ∈,时,n a 为递增数列,n S 为正数且为递减数列,所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项,故D 正确; 【点睛】本题考查等差数列的公差,项的符号,数列的单调性,数列的最值项,属于较难题. 12.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题,其中的真命题为( ). A .数列{}n a 是递增数列 B .数列{}n na 是递增数列 C .数列{}na n是递增数列 D .数列{}3n a nd +是递增数列答案:AD 【分析】根据等差数列的性质,对四个选项逐一判断,即可得正确选项. 【详解】, ,所以是递增数列,故①正确, ,当时,数列不是递增数列,故②不正确, ,当时,不是递增数列,故③不正确, ,因解析:AD 【分析】根据等差数列的性质,对四个选项逐一判断,即可得正确选项. 【详解】0d >,10n n a a d +-=> ,所以{}n a 是递增数列,故①正确,()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦,当12d a n d-<时,数列{}n na 不是递增数列,故②不正确,1n a a d d n n -=+,当10a d -<时,{}n a n不是递增数列,故③不正确, 134n a nd nd a d +=+-,因为0d >,所以{}3n a nd +是递增数列,故④正确,故选:AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质,属于基础题.二、等差数列多选题13.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,前n 项和为n S ,若612S S =,则下列结论中正确的有( ) A .1:17:2a d =-B .180S =C .当0d >时,6140a a +>D .当0d <时,614a a >解析:ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列,由612S S =可得9100a a +=,利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ;利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ;利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ;由0d <可得6140a a d +=<且60a >,140a <即可判断选项D ,进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列,前n 项和为n S ,由612S S =得:1267891011120S S a a a a a a -=+++++=,即()91030a a +=,即9100a a +=,对于选项A :由9100a a +=得12170a d +=,可得1:17:2a d =-,故选项A 正确;对于选项B :()()118910181818022a a a a S ++===,故选项B 正确;对于选项C :911691014a a a a a a d d =+=++=+,若0d >,则6140a a d +=>,故选项C 正确;对于选项D :当0d <时,6140a a d +=<,则614a a <-,因为0d <,所以60a >,140a <,所以614a a <,故选项D 不正确, 故选:ABC 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=,熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式,灵活运用等差数列的性质即可.14.已知数列{}n a 满足:12a =,当2n ≥时,)212n a =-,则关于数列{}n a 的说法正确的是 ( )A .27a =B .数列{}n a 为递增数列C .221n a n n =+- D .数列{}n a 为周期数列解析:ABC 【分析】由)212n a =-1=,再利用等差数列的定义求得n a ,然后逐项判断. 【详解】当2n ≥时,由)212n a =-,得)221n a +=,1=,又12a =,所以是以2为首项,以1为公差的等差数列,2(1)11n n =+-⨯=+, 即221n a n n =+-,故C 正确; 所以27a =,故A 正确;()212n a n =+-,所以{}n a 为递增数列,故正确;数列{}n a 不具有周期性,故D 错误; 故选:ABC 15.题目文件丢失!16.题目文件丢失!17.设数列{}n a 满足1102a <<,()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立,则下列说法正确的是( ) A .2112a << B .{}n a 是递增数列 C .2020312a << D .2020314a << 解析:ABD 【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-,再利用导数判断出函数的单调性,利用单调性即可求解. 【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-,1102a << 设()()ln 2f x x x =+-, 则()11122xf x x x-'=-=--, 所以当01x <<时,0f x ,即()f x 在0,1上为单调递增函数, 所以函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭为单调递增函数, 即()()102f f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,即()131ln 2ln 1222f x <<<+<+, 所以()112f x << , 即11(2)2n a n <<≥, 所以2112a <<,2020112a <<,故A 正确;C 不正确; 由()f x 在0,1上为单调递增函数,112n a <<,所以{}n a 是递增数列,故B 正确; 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>,故D 正确故选:ABD 【点睛】本题考查了数列性质的综合应用,属于难题. 18.已知数列{}n a 满足112a =-,111n na a +=-,则下列各数是{}n a 的项的有( )A .2-B .23 C .32D .3解析:BD 【分析】根据递推关系式找出规律,可得数列是周期为3的周期数列,从而可求解结论. 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-,111n n a a +=-,212131()2a ∴==--;32131a a ==-; 4131112a a a ==-=-; ∴数列{}n a 是周期为3的数列,且前3项为12-,23,3; 故选:BD . 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用,考查数列的周期性,解题的关键在于求出数列的规律,属于基础题.19.等差数列{}n a 中,n S 为其前n 项和,151115,a S S ==,则以下正确的是( )A .1d =-B .413a a =C .n S 的最大值为8SD .使得0n S >的最大整数15n = 解析:BCD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩,再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,由题意,1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩,所以1215d a =-⎧⎨=⎩,故A 错误; 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-,所以413a a =,故B 正确; 因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+,所以当且仅当8n =时,n S 取最大值,故C 正确; 要使()28640n S n =--+>,则16n <且n N +∈, 所以使得0n S >的最大整数15n =,故D 正确. 故选:BCD.20.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,且56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d > B .70a =C .95S S >D .6S 与7S 均为n S 的最大值解析:BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意,设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项:{}n a 是等差数列,若67S S =,则7670S S a -==,故B 正确;又由56S S <得6560S S a -=>,则有760d a a =-<,故A 错误; 而C 选项,95S S >,即67890a a a a +++>,可得()7820a a +>, 又由70a =且0d <,则80a <,必有780a a +<,显然C 选项是错误的. ∵56S S <,678S S S =>,∴6S 与7S 均为n S 的最大值,故D 正确; 故选:BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质,需熟记公式,属于基础题.21.(多选题)在数列{}n a 中,若221n n a a p --=,(2n ≥,*n N ∈,p 为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( )A .若{}n a 是等差数列,则{}2n a 是等方差数列B .(){}1n-是等方差数列C .若{}n a 是等方差数列,则{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方差数列D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列 解析:BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项,取n a n =,则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数,则{}2n a 不是等方差数列,A 选项中的结论错误;对于B 选项,()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数,则(){}1n-是等方差数列,B 选项中的结论正确;对于C 选项,若{}n a 是等方差数列,则存在常数p R ∈,使得221n n a a p +-=,则数列{}2na 为等差数列,所以()221kn k n a a kp +-=,则数列{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方差数列,C 选项中的结论正确;对于D 选项,若数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,则存在m R ∈,使得n a dn m =+,则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++,由于数列{}n a 也为等方差数列,所以,存在实数p ,使得221n n a a p +-=,则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立,则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,得0p d ==,此时,数列{}n a 为常数列,D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义,解题时要充分利用题中的定义进行判断,也可以结合特殊数列来判断命题不成立,考查逻辑推理能力,属于中等题.22.已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,67S S <,且78S S >,则( ) A .在数列{}n a 中,1a 最大 B .在数列{}n a 中,3a 或4a 最大 C .310S S =D .当8n ≥时,0n a <解析:AD 【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=,可知不一定成立,从而判定C 错误. 【详解】由已知得:780,0a a ><,结合等差数列的性质可知,0d <,该等差数列是单调递减的数列, ∴A 正确,B 错误,D 正确,310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=,即160a d +=,这在已知条件中是没有的,故C 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和,属基础题,关键在于掌握和与项的关系. 23.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题,其中的真命题为( ). A .数列{}n a 是递增数列 B .数列{}n na 是递增数列 C .数列{}na n是递增数列 D .数列{}3n a nd +是递增数列 解析:AD 【分析】根据等差数列的性质,对四个选项逐一判断,即可得正确选项. 【详解】0d >,10n n a a d +-=> ,所以{}n a 是递增数列,故①正确,()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦,当12d a n d-<时,数列{}n na 不是递增数列,故②不正确,1n a a d d n n -=+,当10a d -<时,{}n a n不是递增数列,故③不正确, 134n a nd nd a d +=+-,因为0d >,所以{}3n a nd +是递增数列,故④正确,故选:AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质,属于基础题.24.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d ,且满足10a >,1118S S =,则对n S 描述正确的有( ) A .14S 是唯一最小值 B .15S 是最小值 C .290S = D .15S 是最大值解析:CD 【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <,再根据二次函数的性质可知15S 是最大值,同时可得150a =,进而得到290S =,即可得答案;1118S S =,∴0d <,设2n S An Bn =+,则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上, 抛物线的开口向下,对称轴为14.5x =,∴1514S S =且为n S 的最大值,1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=,∴129291529()2902a a S a +===, 故选:CD. 【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、等比数列多选题25.题目文件丢失!26.在数列{}n a 中,如果对任意*n N ∈都有211n n n na a k a a +++-=-(k 为常数),则称{}n a 为等差比数列,k 称为公差比.下列说法正确的是( ) A .等差数列一定是等差比数列 B .等差比数列的公差比一定不为0C .若32nn a =-+,则数列{}n a 是等差比数列D .若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比 解析:BCD 【分析】考虑常数列可以判定A 错误,利用反证法判定B 正确,代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】对于数列{}n a ,考虑121,1,1n n n a a a ++===,211n n n na a a a +++--无意义,所以A 选项错误;若等差比数列的公差比为0,212110,0n n n n n na a a a a a +++++---==,则1n n a a +-与题目矛盾,所以B 选项说法正确; 若32nn a =-+,2113n n n na a a a +++-=-,数列{}n a 是等差比数列,所以C 选项正确;若等比数列是等差比数列,则11,1n n qa a q -=≠,()()11211111111111n n nn n n n n n n a q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---,所以D 选项正确. 故选:BCD易错点睛:此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意: (1)常数列作为特殊的等差数列公差为0; (2)非零常数列作为特殊等比数列公比为1.27.一个弹性小球从100m 高处自由落下,每次着地后又跳回原来高度的23再落下.设它第n 次着地时,经过的总路程记为n S ,则当2n ≥时,下面说法正确的是( ) A .500n S < B .500n S ≤C .n S 的最小值为7003D .n S 的最大值为400解析:AC 【分析】由运动轨迹分析列出总路程n S 关于n 的表达式,再由表达式分析数值特征即可 【详解】由题可知,第一次着地时,1100S =;第二次着地时,221002003S =+⨯;第三次着地时,232210020020033S ⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭;……第n 次着地后,21222100200200200333n n S -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则211222210020010040013333n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,显然500n S <,又n S 是关于n 的增函数,2n ≥,故当2n =时,n S 的最小值为40070010033+=; 综上所述,AC 正确 故选:AC28.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若31a =,135111214a a a ++=,则( ) A .{}n a 必是递减数列 B .5314S = C .公比4q =或14D .14a =或14解析:BD 【分析】设设等比数列{}n a 的公比为q ,则0q >,由已知得1112114a a ++=,解方程计算即可得答案. 【详解】解:设等比数列{}n a 的公比为q ,则0q >,因为21531a a a ==,2311a a q == ,所以51115135151511111112111114a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=+++=,解得1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩或1142.a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩, 当14a =,12q =时,551413121412S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-,数列{}n a 是递减数列; 当114a =,2q 时,5314S =,数列{}n a 是递增数列; 综上,5314S =. 故选:BD. 【点睛】本题考查数列的等比数列的性质,等比数列的基本量计算,考查运算能力.解题的关键在于结合等比数列的性质将已知条件转化为1112114a a ++=,进而解方程计算. 29.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列,4n n b a =+,若数列{}n b 有连续4项在集合{-50,-20,22,40,85}中,则公比q 的值可以是( ) A .34-B .23-C .43-D .32-解析:BD 【分析】先分析得到数列{}n a 有连续四项在集合{54-,24-,18,36,81}中,再求等比数列的公比. 【详解】 4n n b a =+ 4n n a b ∴=-数列{}n b 有连续四项在集合{-50,-20,22,40,85}中∴数列{}n a 有连续四项在集合{54-,24-,18,36,81}中又数列{}n a 是公比为q 的等比数列,∴在集合{54-,24-,18,36,81}中,数列{}n a 的连续四项只能是:24-,36,54-,81或81,54-,36,24-. ∴363242q ==--或243236q -==-. 故选:BD30.记单调递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若2410a a +=,23464a a a =,则A .112n n n S S ++-=B .12n naC .21nn S =- D .121n n S -=-解析:BC 【分析】根据数列的增减性由所给等式求出1a d 、,写出数列的通项公式及前n 项和公式,即可进行判断. 【详解】数列{a n }为单调递增的等比数列,且24100a a +=>,0n a ∴>23464a a a =,2364a ∴=,解得34a =,2410a a +=,4410q q∴+=即22520q q -+=,解得2q或12, 又数列{a n }为单调递增的等比数列,取2q,312414a a q ===, 12n na ,212121n n n S -==--,()1121212n n nn n S S ++-=---=.故选:BC 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的求解、等比数列的增减性、等比数列求和公式,属于基础题.31.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件11a >,781a a ⋅>,87101a a -<-,则下列结论正确的是( ) A .01q << B .791a a ⋅> C .n S 的最大值为9S D .n T 的最大值为7T解析:AD 【分析】根据题意71a >,81a <,再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】因为11a >,781a a ⋅>,87101a a -<-, 所以71a >,81a <,所以01q <<,故A 正确.27981a a a =<⋅,故B 错误;因为11a >,01q <<,所以数列{}n a 为递减数列,所以n S 无最大值,故C 错误; 又71a >,81a <,所以n T 的最大值为7T ,故D 正确.【点睛】本题考查了等比数列的性质、定义,考查了基本知识的掌握情况,属于基础题.32.在《增删算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.”则下列说法正确的是( ) A .此人第二天走了九十六里路B .此人第三天走的路程站全程的18C .此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D .此人后三天共走了42里路解析:ACD 【分析】若设此人第n 天走n a 里路,则数列{}n a 是首项为1a ,公比为12q =的等比数列,由6378S =求得首项,然后分析4个选项可得答案.【详解】解:设此人第n 天走n a 里路,则数列{}n a 是首项为1a ,公比为12q =的等比数列, 因为6378S =,所以1661(1)2=378112a S -=-,解得1192a =,对于A ,由于21192962a =⨯=,所以此人第二天走了九十六里路,所以A 正确; 对于B ,由于 3148119248,43788a =⨯=>,所以B 不正确; 对于C ,由于378192186,1921866-=-=,所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里,所以C 正确;对于D ,由于4561111924281632a a a ⎛⎫++=⨯++= ⎪⎝⎭,所以D 正确, 故选:ACD 【点睛】此题考查等比数的性质,等比数数的前项n 的和,属于基础题. 33.已知等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和0n S >,设2132n n n b a a ++=-,记{}n b 的前n 项和为n T ,则下列判断正确的是( ) A .若1q =,则n n T S = B .若2q >,则n n T S > C .若14q =-,则n n T S > D .若34q =-,则n n T S > 解析:BD 【分析】先求得q 的取值范围,根据q 的取值范围进行分类讨论,利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】由于{}n a 是等比数列,0n S >,所以110,0a S q =>≠, 当1q =时,10n S na =>,符合题意; 当1q ≠时,()1101n n a q S q-=>-,即101nq q ->-,上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①,由于n 可能是奇数,也可能是偶数,所以()()1,00,1q ∈-.综上所述,q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而0n S >,且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以,当112q -<<-,或2q >时,0n n T S ->,即n n T S >,故BD 选项正确,C 选项错误. 当12(0)2q q -<<≠时,0n n T S -<,即n n T S <. 当12q =-或2q 时,0,n n n n T S T S -==,A 选项错误.综上所述,正确的选项为BD. 故选:BD 【点睛】本小题主要考查等比数列的前n 项和公式,考查差比较法比较大小,考查化归与转化的数学思想方法,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.34.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中,n S 是数列{}n a 的前n 项和,若 1418a a +=, 2312a a +=,则下列说法正确的是( )A .2qB .数列{}2n S +是等比数列C .8510S =D .数列{}lg n a 是公差为2的等差数列解析:ABC 【分析】由1418a a +=,2312a a +=,31118a a q +=,21112a q a q +=,公比q 为整数,解得1a ,q ,可得n a ,n S ,进而判断出结论.【详解】∵1418a a +=,2312a a +=且公比q 为整数,∴31118a a q +=,21112a q a q +=, ∴12a =,2q或12q =(舍去)故A 正确, ()12122212n n n S +-==--,∴8510S =,故C 正确;∴122n n S ++=,故数列{}2n S +是等比数列,故B 正确;而lg lg 2lg 2nn a n ==,故数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列,故D 错误. 故选:ABC . 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式以及综合运用,属于中档题.35.等比数列{}n a 中,公比为q ,其前n 项积为n T ,并且满足11a >.99100·10a a ->,99100101a a -<-,下列选项中,正确的结论有( ) A .01q << B .9910110a a -< C .100T 的值是n T 中最大的D .使1n T >成立的最大自然数n 等于198 解析:ABD 【分析】由已知9910010a a ->,得0q >,再由99100101a a -<-得到1q <说明A 正确;再由等比数列的性质结合1001a <说明B 正确;由10099100·T T a =,而10001a <<,求得10099T T <,说明C 错误;分别求得1981T >,1991T <说明D 正确.【详解】 对于A ,9910010a a ->,21971·1a q ∴>,()2981··1a q q ∴>.11a >,0q ∴>.又99100101a a -<-,991a ∴>,且1001a <. 01q ∴<<,故A 正确;对于B ,299101100100·01a a a a ⎧=⎨<<⎩,991010?1a a ∴<<,即99101·10a a -<,故B 正确;对于C ,由于10099100·T T a =,而10001a <<,故有10099T T <,故C 错误; 对于D ,()()()()19812198119821979910099100·····991T a a a a a a a a a a a =⋯=⋯=⨯>, ()()()199121991199219899101100·····1T a a a a a a a a a a =⋯=⋯<,故D 正确.∴不正确的是C .故选:ABD . 【点睛】本题考查等比数列的综合应用,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.36.等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,当首项1a 和d 变化时,3813++a a a 是一个定值,则下列各数也为定值的有( ) A .7a B .8aC .15SD .16S解析:BC 【分析】根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果. 【详解】由等差中项的性质可得381383a a a a ++=为定值,则8a 为定值,()11515815152a a S a +==为定值,但()()11616891682a a S a a +==+不是定值.故选:BC. 【点睛】本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用,考查计算能力,属于基础题.四、平面向量多选题37.下列说法中正确的是( )A .对于向量,,a b c ,有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅B .向量()11,2e =-,()25,7e =能作为所在平面内的一组基底C .设m ,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的充分而不必要条件D .在ABC 中,设D 是BC 边上一点,且满足2CD DB =,CD AB AC λμ=+,则0λμ+=答案:BCD 【分析】.向量数量积不满足结合律进行判断 .判断两个向量是否共线即可 .结合向量数量积与夹角关系进行判断 .根据向量线性运算进行判断。

【高三】2021年5月高考理科数学三轮考试题(带答案福建师大附中)

【高三】2021年5月高考理科数学三轮考试题(带答案福建师大附中)

【高三】2021年5月高考理科数学三轮考试题(带答案福建师大附中)福建省福建师大附中2021届5月高考三轮模拟试卷数学科学试题注意事项:1.本科考试分为试卷和答卷。

考生必须在答题纸上作答。

答题前,请在答题纸的密封行填写学校、班级、入学证号码和姓名;2.本试卷分为第ⅰ卷()和第ⅱ卷(非)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟.参考公式:第ⅰ卷(选择题共50分)一、多项选择题(本主题共有10个子题,每个子题得5分,共50分。

如果每个子题中给出的四个选项中只有一个符合问题的要求,请在答题表的相应位置填写答案。

)1.复数(是虚数单位)在复平面内对应的点是位于()a、第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设,则“”是“直线与直线平行”的()a、充分和不必要的条件B.必要和不充分的条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件3.已知集合、和,然后()a.4b.5c.6d.74.设z=x+y,其中x和y满足当z的最大值为6时,的值为()a.3b.4c.5d.65.按照下面的程序框图运行相应的程序。

如果输入,输出值为()a.12b.6c.3d.06.如果三个内角的对应边按等差顺序排列,则该角度等于()a.b.c、 d。

7.设,则二项式展开式中的项的系数为()a、 b.20c.d.1608.如下图所示,如果在边长为2(包括立方体表面)的立方体中取任意点,则概率()a.b.c.d.9.给定平面上的线段和点,在任意点取一点,线段长度的最小值称为点到线段的距离,记录为。

设其为长度为2的线段,点集表示的图形面积为()a.b.c.d.10.如下图所示,有三个针和一个金属片套在一个针上。

按照以下规则将所有金属片从一根针移动到另一根针。

(1)每次只能移动一个金属片;(2)在每次移动过程中,每个针上较大的金属片不能放在较小的金属片上。

若将个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为,则=()a、 33b。

31c。

高考数学二轮复习“52选1”解答题限时练一文

高考数学二轮复习“52选1”解答题限时练一文

“5+2选1”解答题限时练(一)1.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,满足2a sin A =(2sin B -3sin C )b +(2sin C -3sin B )c .(1)求角A 的大小;(2)若a =2,b =23,求△ABC 的面积.2.从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试,测试成绩(单位:分)数据的茎叶图如图1所示:(1)分别求出甲、乙两组数据的中位数,并比较两组数据的分散程度(只需给出结论); (2)甲组数据频率分布直方图如图2所示,求a 、b 、c 的值;(3)从甲、乙两组数据中各任取一个,求所取两数之差的绝对值大于20的概率.3.已知长方形ABCD 中,AB =3,AD =4.现将长方形沿对角线BD 折起,使AC =a ,得到一个四面体A ­BCD ,如图所示.(1)试问:在折叠的过程中,直线AB 与CD 能否垂直?若能,求出相应a 的值;若不能,请说明理由.(2)求四面体A ­BCD 体积的最大值.4.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,且离心率为12,点P 为椭圆上一动点,△F 1PF 2面积的最大值为 3.(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆的左顶点为A 1,过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ,B 两点,连接A 1A ,A 1B 并延长分别交直线x =4于R ,Q 两点,问是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.5.已知直线y =x +1与函数f (x )=a e x+b 的图象相切,且f ′(1)=e. (1)求实数a ,b 的值;(2)若存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,32,使得2mf (x -1)+nf (x )=mx (m ≠0)成立,求n m 的取值范围.6.[二选一](选修4-4)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =sin α+cos α,y =1+sin 2α(α为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=2,曲线C 2的极坐标方程为ρ=22a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-3π4(a >0).(1)求直线l 与曲线C 1的交点的极坐标(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π); (2)若直线l 与C 2相切,求a 值.(选修4-5)设函数f (x )=|x -a |,a ∈R . (1)若a =1,解不等式f (x )≥12(x +1);(2)记函数g (x )=f (x )-|x -2|的值域为A ,若A ⊆[-1,3],求a 的取值范围.答 案1.解:(1)由已知及正弦定理可得 2a 2=(2b -3c )b +(2c -3b )c ,整理得b 2+c 2-a 2=3bc ,所以cos A =32. 又A ∈(0,π),故A =π6.(2)由正弦定理a sin A =b sin B ,a =2,b =23,A =π6,得sin B =32.又B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,5π6,故B =π3或2π3. 若B =π3,则C =π2,于是S △ABC =12ab =23;若B =2π3,则C =π6,于是S △ABC =12ab sin C = 3.2.解:(1)甲组数据的中位数为78+792=78.5,乙组数据的中位数为75+822=78.5.从茎叶图可以看出,甲组数据比较集中,乙组数据比较分散. (2)由图易知a =0.05,b =0.02,c =0.01.(3)从甲、乙两组数据中各任取一个,得到的所有基本事件共有100个,其中满足“两数之差的绝对值大于20”的基本事件有16个,故所求概率P =16100=425.3.解:(1)直线AB 与CD 能够垂直. 因为AB ⊥AD ,若AB ⊥CD ,AD ∩CD =D , 则有AB ⊥平面ACD , 从而AB ⊥AC .此时,a =BC 2-AB 2=16-9=7, 即当a =7时, 有AB ⊥CD .(2)由于△BCD 面积为定值,所以当点A 到平面BCD 的距离最大,即当平面ABD ⊥平面BCD 时,该四面体的体积最大,此时,过点A 在平面ABD 内作AH ⊥BD ,垂足为H ,则有AH ⊥平面BCD ,AH 就是该四面体的高. 在△ABD 中,AH =AB ·AD BD =125, S △BCD =12×3×4=6,此时V A ­BCD =13S △BCD ·AH =245,即为该四面体体积的最大值.4.解:(1)已知椭圆的离心率为12,不妨设c =t ,a =2t ,则b =3t ,其中t >0,当△F 1PF 2面积取最大值3时,点P 为短轴端点,因此12·2t ·3t =3,解得t =1,则椭圆的方程为x 24+y 23=1. (2)设直线AB 的方程为x =my +1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧x =my +1,x 24+y 23=1,可得(3m 2+4)y 2+6my -9=0,则y 1+y 2=-6m 4+3m 2,y 1y 2=-94+3m 2,直线AA 1的方程为y =y 1x 1+2(x +2), 直线BA 1的方程为y =y 2x 2+2(x +2),则R ⎝⎛⎭⎪⎫4,6y 1x 1+2,Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫4,6y 2x 2+2,=⎝⎛⎭⎪⎫3,6y 1x 1+2,=⎝⎛⎭⎪⎫3,6y 2x 2+2, 则=9+6y 1x 1+2·6y 2x 2+2=36y 1y 2m 2y 1y 2+3m (y 1+y 2)+9+9=0,即为定值0.5.解:(1)设直线y =x +1与函数f (x )=a e x+b 图象的切点为(x 0,f (x 0)). 由f (x )=a e x+b 可得f ′(x )=a e x.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a e x 0=1,x 0+1=a e x 0+b ,a e =e ,解得a =1,b =0.(2)由(1)可知f (x )=e x,则存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,32,使2mf (x -1)+nf (x )=mx (m ≠0)成立,等价于存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,32,使2m e x -1+n e x=mx 成立.∴n m =x -2e x -1e x ,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,32. 设g (x )=x -2e x -1ex,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,32,则g ′(x )=1-x e x ,当x ∈(0,1)时,g ′(x )>0,g (x )在(0,1)上单调递增,当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32时,g ′(x )<0,g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1,32上单调递减.∴g (x )max =-1e ,g (0)=-2e ,g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=32e 32-2e ,g (0)-g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=-32e 32<0. ∴n m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤-2e ,-1e .6.[二选一](选修4-4)解:(1)曲线C 1的普通方程为y =x 2,x ∈[-2, 2 ],直线l 的直角坐标方程为x +y=2,联立⎩⎪⎨⎪⎧y =x 2,x +y =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =1或⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =4(舍去), 故直线l 与曲线C 1的交点的直角坐标为(1,1),其极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2,π4.(2)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2+2ax -2ay =0,即(x +a )2+(y -a )2=2a 2(a >0). 由直线l 与C 2相切,得|-a +a -2|2=2a ,故a =1.(选修4-5)解:(1)由于a =1,故f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1-x ,x <1,x -1,x ≥1.当x <1时,由f (x )≥12(x +1),得1-x ≥12(x +1),解得x ≤13;当x ≥1时,f (x )≥12(x +1),得x -1≥12(x +1),解得x ≥3.综上,不等式f (x )≥12(x +1)的解集为⎝⎛⎦⎥⎤-∞,13∪[3,+∞). (2)当a <2时,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a -2,x ≤a ,2x -2-a ,a <x <2,2-a ,x ≥2,g (x )的值域A =[a -2,2-a ],由A ⊆[-1,3],得⎩⎪⎨⎪⎧a -2≥-1,2-a ≤3,解得a ≥1,又a <2,故1≤a <2;当a ≥2时,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a -2,x ≤2,-2x +2+a ,2<x <a ,2-a ,x ≥a ,g (x )的值域A =[2-a ,a -2],由A ⊆[-1,3],得⎩⎪⎨⎪⎧2-a ≥-1,a -2≤3,解得a ≤3,又a ≥2,故2≤a ≤3. 综上,a 的取值范围为[1,3].。

连云港市2017届高三数学(文)教师用书:组合练节奏 “5+2选1”解答题限时练(二)

连云港市2017届高三数学(文)教师用书:组合练节奏 “5+2选1”解答题限时练(二)

“5+2选1”解答题限时练(二)1.已知等比数列{a n }的各项均为正数,a 1=1,公比为q ;等差数列{b n }中,b 1=3,且{b n }的前n 项和为S n ,a 3+S 3=27,q =S 2a 2.(1)求{a n }与{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }满足c n =32S n ,求{c n }的前n 项和T n .解:(1)设数列{b n }的公差为d ,∵a 3+S 3=27,q =S 2a 2,∴q 2+3d =18,6+d =q 2,联立方程可得q =3,d =3, ∴a n =3n -1,b n =3n .(2)由(1)知S n =n (3+3n )2,c n =32S n =32·23·1n (n +1)=1n -1n +1,∴T n =1-12+12-13+13-14+…+1n -1n +1=1-1n +1=nn +1.2.如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1⊥平面ABC ,∠BAC =90°,AB =AC =2,AA 1=3.(1)过BC 的截面交A 1A 于P 点,若△PBC 为等边三角形,求出点P 的位置;(2)在(1)条件下,求四棱锥P -BCC 1B 1与三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积比. 解:(1)由题意可得PC =PB =BC =22,在三棱柱中,由AA 1⊥平面ABC 且AB =AC =2,可得P A =2, 故点P 的位置为AA 1的三等分点,且靠近点A 1处. (2)由(1)可知,VABC -A 1B 1C 1=12×2×2×3=6,VP -A 1B 1C 1=13×12×2×2×1=23,V P -ABC =13×12×2×2×2=43, 所以VP -BCC 1B 1=6-43-23=4,所以所求两个几何体的体积比为23.3.为考查某种疫苗预防疾病的效果,进行动物实验,得到统计数据如下:现从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物的概率为25.(1)求2×2列联表中的数据x ,y ,A ,B 的值; (2)绘制发病率的条形统计图,并判断疫苗是否有效?(3)能够有多大把握认为疫苗有效?附:K 2=n (ad -bc )2(a +b )(a +c )(c +d )(b +d ),n =a +b +c +d解:(1)设“从所有试验动物中任取一只,取到‘注射疫苗’动物”为事件A , 由已知得P (A )=y +30100=25,所以y =10,B =40,x =40,A =60.(2)未注射疫苗发病率为4060=23,注射疫苗发病率为1040=14.发病率的条形统计图如图所示,由图可以看出疫苗影响到了发病率,可以判断疫苗有效.(3)由数据计算得,K 2=100×(20×10-30×40)250×50×40×60=503≈16.67>10.828.所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效.4.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,且经过点P ⎝⎛⎭⎫1,32,左、右焦点分别为F 1,F 2.(1)求椭圆C 的方程;(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,若△AF 2B 的内切圆半径为327,求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程.解:(1)由c a =12,得a =2c ,所以a 2=4c 2,b 2=3c 2,将点P ⎝⎛⎭⎫1,32的坐标代入椭圆方程得c 2=1, 故所求椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)设直线l 的方程为x =ty -1,代入椭圆方程得(4+3t 2)y 2-6ty -9=0,显然判别式大于0恒成立,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),△AF 2B 的内切圆半径为r 0,则有y 1+y 2=6t4+3t 2,y 1y 2=-94+3t 2,r 0=327,所以S △AF 2B =S △AF 1F 2+S △BF 1F 2 =12|F 1F 2|·|y 1-y 2| =12|F 1F 2|·(y 1+y 2)2-4y 1y 2 =12t 2+14+3t 2.而S △AF 2B =12|AB |r 0+12|BF 2|r 0+12|AF 2|r 0=12r 0(|AB |+|BF 2|+|AF 2|) =12r 0(|AF 1|+|BF 1|+|BF 2|+|AF 2|) =12r 0·4a=12×8×327=1227, 所以12t 2+14+3t 2=1227,解得t 2=1, 因为所求圆与直线l 相切,所以半径r =2t 2+1=2,所以所求圆的方程为(x -1)2+y 2=2. 5.已知函数f (x )=a 2x+a ln x .(1)当a >0时,若曲线f (x )在点(2a ,f (2a ))处的切线过原点,求a 的值; (2)若函数f (x )在其定义域上不是单调函数,求a 的取值范围; (3)求证:当a =1时,ln(n +1)>12+13+…+1n +1(n ∈N *).解:(1)法一:因为f ′(x )=-a 2x 2+ax (x >0),所以f ′(2a )=14.又f (2a )=a2+a ln 2a =a ⎝⎛⎭⎫12+ln 2a , 故切线方程为y -a ⎝⎛⎭⎫12+ln 2a =14(x -2a ). 又切线过原点,所以将点(0,0)代入切线方程得-a ⎝⎛⎭⎫12+ln 2a =14×(-2a ),即ln 2a =0,解得a =12.法二:因为f ′(x )=-a 2x 2+a x (x >0),所以f ′(2a )=14.又切线过原点,所以切线方程为y =14x .当x =2a 时,y =a2.把点⎝⎛⎭⎫2a ,a 2代入函数f (x )=a 2x +a ln x 得a 2=a 2+a ln 2a ,解得a =12. (2)因为f ′(x )=-a 2x 2+a x =a (x -a )x 2(x >0),当a =0时,f ′(x )=0,此时f (x )=0, 显然f (x )在(0,+∞)上不是单调函数;当a <0时,因为x >0,所以x -a >0,故f ′(x )<0,所以f (x )在(0,+∞)上是单调递减函数. 当a >0时,由f ′(x )>0得x -a >0,即x >a . 故f (x )在(0,a )上是单调递减函数, 在(a ,+∞)上是单调递增函数, 即f (x )在(0,+∞)上不是单调函数. 综上可知a 的取值范围是[0,+∞). (3)证明:当a =1时,f (x )=1x +ln x ,由(2)知f (x )在(1,+∞)上是增函数,所以当x >1时,f (x )=1x +ln x >f (1)=1⇒ln x >1-1x .设x =n +1n ,n ∈N *,则ln n +1n >1-n n +1=1n +1.所以ln 2+ln 32+ln 43+…+ln n +1n >12+13+…+1n +1,又ln 2+ln 32+ln 43+…+ln n +1n=ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32×43×54×…×n +1n =ln(n +1), 所以ln(n +1)>12+13+…+1n +1.6.[二选一](选修4-4)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =22t ,y =3+22t (t 为参数),在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ-2cos θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 与y 轴的交点为P ,直线l 与曲线C 的交点为A ,B ,求|P A |·|PB |的值. 解:(1)直线l 的普通方程为x -y +3=0, ∵ρ2=4ρsin θ-2ρcos θ,∴曲线C 的直角坐标方程为(x +1)2+(y -2)2=5.(2)将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x =22t ,y =3+22t(t 为参数)代入曲线C :(x +1)2+(y -2)2=5,得到t2+22t -3=0,∴t 1t 2=-3, ∴|P A |·|PB |=|t 1t 2|=3. (选修4-5)设f (x )=|ax -1|.(1)若f (x )≤2的解集为[-6,2],求实数a 的值;(2)当a =2时,若存在x ∈R ,使得不等式f (2x +1)-f (x -1)≤7-3m 成立,求实数m 的取值范围.解:(1)显然a ≠0,当a >0时,解集为⎣⎡⎦⎤-1a ,3a ,则-1a =-6,3a =2,无解; 当a <0时,解集为⎣⎡⎦⎤3a ,-1a ,令-1a =2,3a =-6,得a =-12.综上所述,a =-12. (2)当a =2时,令h (x )=f (2x +1)-f (x -1)=|4x +1|-|2x -3|=⎩⎪⎨⎪⎧-2x -4,x ≤-14,6x -2,-14<x <32,2x +4,x ≥32,由此可知,h (x )在⎝⎛⎭⎫-∞,-14上单调递减,在⎝⎛⎭⎫-14,32上单调递增,在⎝⎛⎭⎫32,+∞上单调递增,则当x =-14时,h (x )取到最小值-72,由题意知,-72≤7-3m ,解得m ≤72,则实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,72.。

(高中段)高考31(选考内容)保分大题组合限时训练(一)2

(高中段)高考31(选考内容)保分大题组合限时训练(一)2

高考3+1〔选考内容〕保分大题组合限时训练〔一〕1.数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n+1-n.(1)求证:数列{a n+1}是等比数列;(2)设b n=n(a n+1),求数列{b n}的前n项和T n.解:(1)证明:当n≥2时,因为S n=2a n+1-n,①所以S n-1=2a n-1+1-(n-1).②由①-②,得a n=2a n-1+1,即a n+1=2(a n-1+1),所以a n+1a n-1+1=2.当n=1时,a1=S1=2a1,得a1=0,那么a1+1=1. 所以数列{a n+1}是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)知a n+1=2n-1,所以b n=n(a n+1)=n·2n-1.所以T n=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1,③那么2T n=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,④由③-④,得-T n=1×20+1×21+1×22+…+1×2n-1-n×2n=1-2n1-2-n×2n=(1-n)2n-1,所以T n=(n-1)·2n+1.2.如图,在三棱锥A-BCD中,△ABD是等边三角形,平面ABD⊥平面BCD,BC⊥CD,BC=CD=2,E为三棱锥A-BCD外一点,且△CDE为等边三角形.(1)证明:AC⊥BD;(2)假设AE⊥平面CDE,求点E到平面BCD的距离.解:(1)证明:取BD 的中点O ,连接OC ,OA ,∵△ABD 是等边三角形, ∴AO ⊥BD .又∵BC =CD ,∴CO ⊥BD . ∵CO ∩AO =O , ∴BD ⊥平面AOC .∵AC ⊂平面AOC ,∴AC ⊥BD .(2)∵平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD ∩平面CBD =BD ,AO ⊥BD , ∴AO ⊥平面BCD , 且BD =2,AO =3,取CD 的中点F ,连接OF ,EF ,AF , 同理可证CD ⊥平面EOF ,CD ⊥平面AOF , ∴A ,O ,F ,E 四点共面,∴平面BCD ⊥平面OFE ,作EH 垂直OF 于点H , 那么EH ⊥平面BCD ,故点E 到平面BCD 的距离即为EH . 又∵AE ⊥平面CDE ,∴AE ⊥EF ,AE ⊥EC , ∴OF =22,EF =62,AF =142,AE = 2. ∴sin ∠AFO =427,cos ∠AFO =77, sin ∠AFE =277,cos ∠AFE =217,∵sin ∠EFO =sin(∠AFO +∠AFE ) =sin ∠AFO cos ∠AFE +cos ∠AFO sin ∠AFE=427×217+77×277=32+27,∴EH =62×2+327=6+337.3.新冠肺炎疫情期间,各地均响应“停课不停学,停课不停教〞的号召,开展了网课学习.为了检查网课学习的效果,某机构对2 000名学生进行了网上调查,发现有些学生上网课时有家长在旁催促,而有些没有.将这2 000名学生网课学习后通过考试分成“成绩上升〞和“成绩没有上升〞两类,对应的人数如下表所示:(1)是否有90%的把握认为家长催促学生上网课与学生的成绩上升有关联?(2)从“成绩上升〞的学生中随机抽取了六人进行更详细的调查,发现他们的进步幅度如下:有两人进步幅度在(50,70)内,有三人的进步幅度在(20,30)内,另外一人进步幅度在(10,20)内.如果从这六人中任选两人进行比拟,求这两人的进步幅度之差在20分以内的概率.附:K 2=n (ad -bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d ),其中n =a +b +c +d .解:(1)K 2=2 000×(500×500-300×700)2800×1 200×1 200×800=12536≈3.472, 因为3.472>2.706,所以有90%的把握认为家长催促学生上网课与学生的成绩上升有关联. (2)设a ,b 两人的进步幅度在(50,70)内, c ,d ,e 三人的进步幅度在(20,30)内, 另外一人f 的进步幅度在(10,20)内,那么从这六人中任选两人,有(a ,b ),(a ,c ),(a ,d ),(a ,e ),(a ,f ),(b ,c ),(b ,d ),(b ,e ),(b ,f ),(c ,d ),(c ,e ),(c ,f ),(d ,e ),(d ,f ),(e ,f ),共15种不同选法,其中符合两人的进步幅度之差在20分以内的有(a ,b ),(c ,d ),(c ,e ),(d ,e ),(c ,f ),(d ,f ),(e ,f ),共7种.所以两人的进步幅度之差在20分以内的概率P =715.选修系列(请在下面的两题中任选一题作答) 4.[选修4-4:坐标系与参数方程](·全国卷Ⅱ)曲线C 1,C 2的参数方程分别为C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =4cos 2θ,y =4sin 2θ(θ为参数),C 2:⎩⎨⎧x =t +1t,y =t -1t(t 为参数).(1)将C 1,C 2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1,C 2的交点为P ,求圆心在极轴上,且经过极点和P 的圆的极坐标方程.解:(1)C 1的普通方程为x +y =4(0≤x ≤4). 由C 2的参数方程得x 2=t 2+1t 2+2,y 2=t 2+1t 2-2,所以x 2-y 2=4.故C 2的普通方程为x 2-y 2=4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x +y =4,x 2-y 2=4得⎩⎨⎧x =52,y =32,所以P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫52,32. 设所求圆的圆心的直角坐标为(x 0,0), 由题意得x 20=⎝⎛⎭⎫x 0-522+94,解得x 0=1710. 因此,所求圆的极坐标方程为ρ=175cos θ.5.[选修4-5:不等式选讲]函数f (x )=|x +2|+|x -4|,函数g (x )=f (x )-m 的定义域为R . (1)求实数m 的取值范围; (2)求解不等式f (x )≤8.解:(1)因为函数g (x )=f (x )-m 的定义域为R ,所以f (x )-m ≥0,当x ∈R 时恒成立,即当x ∈R 时,不等式m ≤f (x )恒成立, 因此只需m ≤f (x )min ,因为f (x )=|x +2|+|x -4|=|x +2|+|4-x |≥|x +2+4-x |=6, 当且仅当(x +2)(x -4)≤0,即-2≤x ≤4时,取等号, 所以f (x )min =6,因此m ≤6, 所以实数m 的取值范围为(-∞,6]. (2)f (x )=|x +2|+|x -4|=⎩⎪⎨⎪⎧2x -2,x ≥4,6,-2<x <4,-2x +2,x ≤-2.当x ≥4时,f (x )≤8⇒2x -2≤8⇒x ≤5,因为x ≥4, 所以4≤x ≤5;当-2<x <4时,f (x )=6,显然f (x )≤8成立,所以-2<x <4; 当x ≤-2时,f (x )≤8⇒-2x +2≤8⇒x ≥-3, 因为x ≤-2,所以-3≤x ≤-2,综上所述,不等式f (x )≤8的解集为[-3,5].。

高三数学五三模拟试卷答案

高三数学五三模拟试卷答案

一、选择题(每题5分,共50分)1. 下列函数中,在其定义域内是增函数的是()A. f(x) = x^2B. f(x) = 2x - 1C. f(x) = |x|D. f(x) = -x^2答案:B2. 已知等差数列{an}中,a1 = 3,d = 2,则a10的值为()A. 19B. 21C. 23D. 25答案:B3. 下列命题中,正确的是()A. 若a > b,则a^2 > b^2B. 若a > b,则ac > bcC. 若a > b,则loga > logbD. 若a > b,则1/a < 1/b答案:D4. 下列不等式中,正确的是()A. 2x - 1 < x + 3B. x^2 - 4 < 0C. |x| > 2D. x^2 + 1 > 0答案:D5. 函数f(x) = x^3 - 3x在区间[-1, 1]上的最大值为()A. -2B. 0C. 2D. 4答案:C二、填空题(每题5分,共25分)6. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的对称轴为_________。

答案:x = 27. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1,则第10项an的值为_________。

答案:198. 已知函数f(x) = log2(x - 1),其定义域为_________。

答案:(1, +∞)9. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值,则a、b、c的关系为_________。

答案:b^2 - 4ac = 010. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|,其图像在x轴上与x轴的交点为_________。

答案:-1、2三、解答题(共75分)11. (15分)已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1,求f(x)的极值。

解答:f'(x) = 3x^2 - 6x + 4令f'(x) = 0,得x = 1或x = 2/3。

2024_2025学年高三数学新高考一轮复习专题蝗制及任意角的三角函数含解析

2024_2025学年高三数学新高考一轮复习专题蝗制及任意角的三角函数含解析

弧度制及随意角的三角函数学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题(本大题共11小题,共55.0分。

在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1.把转化为的形式是()A. B. C. D.2.化为弧度是( )A. B. C. D.3.已知钝角的终边经过点(,),则=()A. B. C. D.4.与角终边相同的角的集合是A. B.C. D.5.若sinα>0,且cosα<0,则角α是()A. 第一象限角B. 其次象限角C. 第三象限角D. 第四象限角6.已知是锐角,那么是()A. 第一象限角B. 第一象限角或其次象限角C. 其次象限角D. 小于的正角7.2016°是()A. 第一象限角B. 其次象限角C. 第三象限角D. 第四象限角8.若α=k•180°+45°(k∈Z),则α的终边在()A. 第一或第三象限B. 第一或其次象限C. 其次或第四象限D. 第三或第四象限9.已知角的终边在x 轴上方,那么角的范围是()A. 第一象限角的集合B. 第一或其次象限角的集合C. 第一或第三象限角的集合D. 第一或第四象限角的集合10.θ为第三或第四象限角的充要条件是()A. sinθ<0B. cosθ<0C. sinθtanθ<0D. cosθtanθ<011.若角的终边在直线y=-x上,则角的取值集合为( )A. {|=k 2-,k Z}B. {|=k 2+,k Z}C. {|=k -,k Z}D. {|=k -,k Z}1二、多选题(本大题共3小题,共15.0分。

在每小题有多项符合题目要求)12.下列结论正确的是A. 是第三象限角B. 若圆心角为的扇形的弧长为,则该扇形面积为C. 若角的终边过点,则D. 若角为锐角,则角为钝角13.给出下列说法正确的有A. 终边相同的角同一三角函数值相等;B. 不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关;C. 若,则与的终边相同;D. 若,则是其次或第三象限的角14.下列说法正确的有()A. 与的终边相同B. 小于90°的角是锐角C. 若θ为其次象限角,则为第一象限角D. 钝角的终边在其次象限三、填空题(本大题共2小题,共10.0分)15.某扇形的圆心角为2弧度,周长为4cm,则该扇形面积为 cm2.16.已知某机械装置有两个相互啮合齿轮,大轮有40齿,小轮有18齿.当小轮转动两周时,大轮转动的角度为rad(写正数值);假如小轮的转速为180转/分,大轮的半径为20cm,则大轮圆周上一点每秒转过的弧长为cm.四、解答题(本大题共2小题,共24.0分。

2025年高考文科数学三轮全程考评特训-仿真模拟冲刺卷(一)【含答案】

2025年高考文科数学三轮全程考评特训-仿真模拟冲刺卷(一)【含答案】

仿真模拟冲刺卷(一)时间:120分钟满分:150分一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足z -i z +1=i ,则复数z =()A .1-i B .1+i C .-1-i2.已知集合A ={x |y =x 12},集合B |y ,则A ∩B =()A .[1,+∞)B .(1,+∞)CD .[0,+∞)3.已知命题p :∀x ∈R ,2sin x +cos x ≤3;命题q :a >b >0且c <0,c a >c b .现有下列四个命题:①p ∨q ;②¬p ∧q ;③¬p ∧¬q ;④p ∧¬q .其中真命题是()A .①②B .①④C .②③D .③④4.函数y =x (e x -e -x )的图象大致为()5.已知实数x ,y -2y +1≥0,+y -1≥0,<2,则z =2x -y 的最小值是()A .5B .52C .0D .-16.已知函数f (x )2+x ln x ,x >0(x ),x <0为奇函数,则g (x )在x =-1处的切线方程为()A .x -y =0B x -y +1=0C .x -2y +1=0D .3x -y +2=07.已知Ω={(x ,y )|x 2+y 2<1},在Ω中任取一点P (x ,y ),则事件“xy <0”发生的概率为()A .14B .13C .12D .238.如图,直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是正方形,已知AA 1=4,AB =2,点E ,F分别在棱BB 1,CC 1上,且BE =14BB 1,CF =12CC 1,则()A.D 1E ≠AF ,且直线D 1E ,AF 是相交直线B .D 1E ≠AF ,且直线D 1E ,AF 是异面直线C .D 1E =AF ,且直线D 1E ,AF 是异面直线D.D 1E =AF ,且直线D 1E ,AF 是相交直线9.函数f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,要得到y =f (x )的图象,只需将y =2cos ωx 的图象()A .向右平移π6个单位长度B .向右平移π12个单位长度C .向左平移π6个单位长度D .向左平移π12个单位长度10.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在C 处(点C 在水平地面下方,O 为CH 与水平地面ABO 的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点A ,B 两地相距100米,∠BAC =60°,其中A 到C 的距离比B 到C 的距离远40米.A 地测得该仪器在C 处的俯角为∠OAC =15°,A 地测得最高点H 的仰角为∠HAO =30°,则该仪器的垂直弹射高度CH 为()米A .210(6+2)B .1406C .2102D .20(6-2)11.已知a =log 23,函数f (x )=e x +ln x -4的零点为b ,g (x )=x 3-12x 2-x 的极小值点为c ,则()A .b >a >c B .a >b >c C .c >b >a D .b >c >a 12.已知P (2,-2)是离心率为12的椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)外一点,经过点P 的光线被y 轴反射后,所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切,则此条切线的斜率是()A .-18B .-12C .1D .18二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知焦点在y 轴上的双曲线C 的渐近线方程为y =±2x ,则该双曲线的离心率为________________.14.设a ,b 为非零向量,且|2a +3b |=|2a -3b |,则a ,b 的夹角为________.15.设O 1为一个圆柱上底面的中心,A 为该圆柱下底面圆周上一点,这两个底面圆周上的每个点都在球O 的表面上.若两个底面的面积之和为8π,O 1A 与底面所成角为60°,则球O 的表面积为________.16.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,A 为钝角,且a cos B -b cos A =53c ,则tan C 的最大值是________.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)党的十九大明确把精准扶贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一,为了坚决打赢脱贫攻坚战,某帮扶单位要开展精准扶贫,此帮扶单位为了了解某地区贫困户对其所提供帮扶的满意度,随机调查了40个贫困户,得到贫困户的满意度评分如下:贫困户编号评分贫困户编号评分贫困户编号评分贫困户编号评分1781188217931932731286228332783811395237233754921476247434815951597259135846851678266636777791788278037818841882288338769631976297439851086208930824089现用系统抽样法从40个贫困户满意度评分中抽取容量为10的样本,且在第一段内随机抽到的样本数据为92.(1)请你列出抽到的10个样本数据;(2)计算所抽到的10个样本数据的均值x -和方差s 2;(3)在(2)条件下,若贫困户的满意度评分在(x --s ,x -+s )之间,则满意度等级为“A级”.试应用样本估计总体的思想,现从(1)中抽到的10个样本为“A 级”的贫困户中随机地抽取2户,求所抽到2户的满意度评分均“超过80”的概率(参考数据:30≈5.48,33≈5.74,35≈5.92).18.(12分)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,a 2=1.从下面的两个条件中任选其中一个:①2a 5-a 3=11;②S 4=8,求解下列问题:(1)求数列{a n }的通项;(2)设b n =1S n +2,试比较数列{b n }的前n 项和T n 与34的大小.注:条件①、②只能任选其一,若两个都选,则以条件①计分.19.(12分)如图,在直三棱柱A ′B ′C ′­ABC 中,AD =A ′D ,E 为BC ′上的一点,AB =AC =BC =a ,CC ′=h .(1)若BE =EC ′,求证:DE ⊥平面BCC ′B ′.(2)平面BC ′D 将棱柱A ′B ′C ′­ABC 分割为两个几何体,记上面一个几何体的体积为V 1,下面一个几何体的体积为V 2,求V 1V 2的值.20.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且点F与圆M:(x+4)2+y2=1上点的距离的最小值为4.(1)求C的方程;(2)设点T(1,1),过点T且斜率存在的两条直线分别交曲线C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.21.(12分)已知函数f(x)=(x+1)ln x,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=g(x).(1)求证:当x>1时,f(x)>g(x);(2)求证:ln21+ln76+…+ln(n2-2)n2-3>32-2n(n≥2,n∈N*).(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1=cosθ=1+sinθ(θ为参数),曲线C2的参=2cosφ,=sinφ(φ为参数).(1)1,C2的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线?(2)以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为ρ(cosθ-2sinθ)=4.若C1上的点P对应的参数为θ=π2,点Q在C2上,点M为PQ的中点,求点M到直线l距离的最小值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知f(x)=2|x-2|+|x+a|.(1)当a=2时,求不等式f(x)>5的解集;(2)设不等式f(x)≤|2x+1|的解集为B,若[3,6]⊆B,求a的取值范围.参考答案与解析1.答案:D 解析:由z -i z +1=i 得z -i =(z +1)i ,整理得z ·(1-i )=2i ,所以z =2i 1-i =2i (1+i )(1-i )(1+i )=-2+2i 2=-1+i.故选D.2.答案:C解析:∵A ={x |y =x 12}={x |x ≥0},B |y ={y |y >0},A ∩B =(0,+∞).故选C.3.答案:A 解析:命题p :当x =π2时,2sin π2+cos π2=2>3,故命题p 为假命题;命题q :若a >b >0,则0<1a <1b ,又c <0,所以c a >c b,故命题q 为真命题.故p ∨q ,¬p ∧q 为真命题.¬p ∧¬q ,p ∧¬q ,为假命题.故选A.4.答案:A解析:∵f (-x )=-x (e -x -e x )=x (e x -e -x )∴函数y =x (e x -e -x )是偶函数,其图象关于y 轴对称,∴排除CD 选项;又x >0时,e x -e -x >0,∴y >0,排除B ,故选A.5.答案:C解析:画出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由z =2x -y ,得y =2x -z ,平移直线y =2x -z ,由图可知当直线y =2x -z 过点C 时z 取得最小值.-2y +1=0,+y -1=0,得,所以z =2x -y 的最小值是0.故选C.6.答案:D解析:当x <0时,-x >0,则f (-x )=(-x )2+(-x )ln (-x )=x 2-x ln (-x ),此时g (x )=-f (-x )=-x 2+x ln (-x ),则g ′(x )=-2x +ln (-x )+1,则g (-1)=-1,g ′(-1)=3,所求切线方程为y +1=3(x +1),即3x -y +2=0.故选D.7.答案:C解析:如图,绘出圆x 2+y 2=1的图象:当点P (x ,y )位于第二象限与第四象限时,满足xy <0,故事件“xy <0”发生的概率P =12,故选C.8.答案:B解析:∵D 1E =D 1B 21+B 1E 2=17,AF =AC 2+CF 2=23≠D 1E ,如图,取点M 为BC 的中点,则AD 1∥MF ,故AMFD 1共面,点E 在面AMFD 1外,故直线D 1E 经过面AMFD 1内一点和平面外一点,故直线D 1E 和平面内直线AF 异面.故选B.9.答案:D 解析:由图可知,T 2=5π12--π12=π,所以T =π,即2πω=π,所以ω=2.所以f (x )=2sin (2x +φ),又2-π12+φ=π2+2k π,k ∈Z ,0<φ<π,所以φ=2π3,所以f (x )=2sin 2x +2π3,y =2cos 2x =2sin 2x +π2,将其图象向左平移π12个单位长度即可得到y =f (x )的图象.故选D.10.答案:B解析:设AC =x ,则BC =x -40,在△ABC 中,由余弦定理得:BC 2=AC 2+AB 2-2·AC ·AB ·cos ∠BAC ,即(x -40)2=x 2+1002-100x ,解得x =420.在△ACH 中,AC =420,∠CAH =15°+30°=45°,∠CHA =90°-30°=60°,由正弦定理得:CH sin ∠CAH =AC sin ∠CHA ,即CH sin 45°=420sin 60°,解得CH =1406.故选B.11.答案:B 解析:因为f (1)=e -4<0,f 32=e 32+ln 32-4=e 3+ln 32-4>16+ln 32-4>0,所以b ,因为32=log 223<log 23,所以a >b .g ′(x )=3x 2-x -1,令g ′(x )=0,得x =1±13.因为g (x ∞上单调递减,所以c =1+136,又因为1+136<1,所以c <b ,故a >b >c .故选B.12.答案:D 解析:由题意可知e =c a =12,又a 2=b 2+c 2,故b 2=34a 2,设过点P 的直线斜率为k ,则直线方程为:y +2=k (x -2),即y =kx -2k -2,则反射后的切线方程为:y =-kx -2k -2,kx -2k -2+y 2b 2=1得(3+4k 2)x 2+16k (k +1)x +16k 2+32k +16-3a 2=0,因为所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切,∴Δ=[16k (k +1)]2-4(3+4k 2)(16k 2+32k +16-3a 2)=0,化简得:4a 2k 2+3a 2=16k 2+32k +16a 2=16a 2=32k +162=4=-18,所以切线的斜率为18,故选D.13.答案:52解析:因为以原点为中心,焦点在y 轴上的双曲线C 的渐近线方程为y =±a b x ,所以a b=2,所以e =c a =a 2+b 2a =5b 2b =52.14.答案:π2解析:由|2a +3b |=|2a -3b |,平方得到a ·b =0,所以a ,b 夹角为π2.15.答案:28π解析:设球的半径为R ,圆柱上下底面半径为r ,O 2为一个圆柱下底面的中心,由题意知2πr 2=8π得r =2,O A 与底面所成角为60°,在Rt △O 1O 2A 中O 1O 2=23,根据圆柱的几何特征,R 22+r 2,即R 2=(3)2+22=7.故该球的表面积S =4πR 2=4π×7=28π.16.答案:34解析:因为a cos B -b cos A =53c ,所以由正弦定理得sin A cos B -sin B cos A =53sin C =53(sin A cos B +sin B cos A ),则sin A cos B =-4sin B cos A ,因为A 为钝角,sin B ≠0所以cos A <0,cos B ≠0,则sin A cos A ·cos B sin B =-4,所以tan A tan B=-4,因为tan B =tan [π-(A +C )]=-tan (A +C ),所以tan A =4tan (A +C ),即tan A +tan C 1-tan A tan C =tan A 4,所以tan C =-3tan A 4+tan 2A =-3tan A +4tan A =3-tan A +4-tan A,因为tan A <0,所以-tan A +4-tan A ≥4,即tan C =3-tan A +4-tan A≤34,当且仅当tan A =-2时取等号.17.解析:(1)把40户按编号顺序分成10组,每组4户,第一段抽取的是4号,由此可得所抽取的10户的各编号,从而得样本数据为:92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.(2)x -=92+84+86+78+89+74+83+78+77+8910=83,s 2=110[(92-83)2+(84-83)2+…+(89-83)2]=33;(3)由(2)s =33≈5.74,满意度等级为“A 级”在(77.26,88.74)上,共有5个:84,86,78,83,78,任取两个,共有事件(84,86),(84,78),(84,83),(84,78),(86,78),(86,83),(86,78),(78,83),(78,78),(83,78)共10个,其中都超过80的有(84,86),(84,83),(86,83)三个,所求概率为P =310.18.解析:(1)设等差数列的公差为d ,若选①,2a 5-a 3=11,1+d =1(a 1+4d )-(a 1+2d )=111=-1=2,所以数列{a n }的通项为:a n =-1+2(n -1)=2n -3.若选②,S 4=8,1+d =1a 1+6d =81=-1=2,所以数列{a n }a n =-1+2×(n -1)=2n -3.(2)由(1),S n =n (-1+2n -3)2=n (n -2),所以b n =1S n +2=1n (n +2)=12,所以数列{b n }的前n 项和T n =1-13+12-14+13-15+14-16+…+1n -1-1n +1+1n -=12+12-1n +1-=34-12<34.19.解析:(1)证明:如图,取BC 中点F ,连接AF ,EF 在直三棱柱A ′B ′C ′­ABC 中,∵BE =EC ′,∴EF ∥CC ′,EF =12CC ′,∵AD =A ′D ,∴AD =12CC ′且AD ∥CC ′,∴四边形ADEF 是平行四边形,∴DE ∥AF ,由题意△ABC 为正三角形,侧棱AA ′,BB ′,CC ′两两平行且都垂直于平面ABC ,∴AF ⊥BC ,AF ⊥BB ′,∵BC ,B ′B ⊂平面BCC ′B ′,BC ∩BB ′=B ,∴AF ⊥平面BCC ′B ′,又DE ∥AF ,∴DE ⊥平面BCC ′B ′.(2)正三棱柱A ′B ′C ′­ABC 的底面积S =12×a ×32a =34a 2,则体积V =34a 2h .下面一个几何体为四棱锥B ­ACC ′D ,底面积S 梯形ACC ′D =12×h 2+h ×a =34ah ,因为平面ABC ⊥平面ACC ′A ′,过点B 作△ABC 边AC 上的高线BG ,如图,由平面与平面垂直的性质可得BG 垂直于平面ACC ′A ′,故四棱锥B ­ACC ′D 的高等于32a .则V 2=13×34ah ×32a =38a 2h ,从而V 1=V -V 2=34a 2h -38a 2h =38a 2h ,∴V 1V 2=1.20.解析:(1)圆心为M (-4,0),半径为1,F (p 2,0),所以p 2+4-1=4,p =2,所以抛物线方程为y 2=4x ;(2)设直线AB 方程为y =k 1(x -1)+1,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),y 2=4x y =k 1(x -1)+1得k 21x 2-(2k 21-2k 1+4)x +(k 1-1)2=0,x 1+x 2=2k 21-2k 1+4k 21,x 1x 2=(k 1-1)2k 21,|TA ||TB |=1+k 21|x 1-1|·1+k 21|x 2-1|=(1+k 21)|x 1x 2-(x 1+x 2)+1|=(1+k 21)|(k 1-1)2k 21-2k 21-2k 1+4k 21+1|=3(1+k 21)k 21,设直线PQ 方程为y =k 2(x -1)+1(k 2≠k 1),同理可得|TP ||TQ |=3(1+k 22)k 22,由|TA |·|TB |=|TP |·|TQ |,得3(1+k 21)k 21=3(1+k 22)k 22,又k 2≠k 1,所以k 2=-k 1,所以k 1+k 2=0.21.证明:(1)函数f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=ln x +x +1x .又∵f ′(1)=2,f (1)=0,∴该切线方程为y =2(x -1),即g (x )=2(x -1).设F (x )=(x +1)ln x -2x +2,则F ′(x )=ln x +1x -1.令h (x )=F ′(x ),则h ′(x )=1x -1x 2=x -1x2.当x >1时,h ′(x )>0,∴F (x )在(1,+∞)上单调递增.又∵h (1)=0,∴h (x )=F ′(x )>0,即F ′(x )在(1,+∞)上单调递增,∴当x >1时,F (x )>F (1)=0,∴当x >1时,f (x )>g (x ).(2)由(1)知,当x >1时,(x +1)ln x >2(x -1).令x =n 2-2>1(n ≥2,n ∈N ),则(n 2-1)ln (n 2-2)>2(n 2-3),∴ln (n 2-2)n 2-3>2(n 2-1)=2(n -1)(n +1)=1n -1-1n +1,∴错误!ln (k 2-2)k 2-3++…++,化简得ln 21+ln 76+…+ln (n 2-2)n 2-3>1+12-1n -1n +1>32-2n .22.解析:(1)C 1的普通方程为x 2+(y -1)2=1,它表示以(0,1)为圆心,1为半径的圆,C 2的普通方程为x 24+y 2=1,它表示中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆.(2)由已知得P (0,2),设Q (2cosφ,sin φ),则φ,1+12sin ,直线l :x -2y -4=0,点M 到直线l 的距离d =|cos φ-sin φ-6|5所以d ≥6-25=65-105,即M 到l 的距离的最小值为.解析:(1)当a =2时,f(x )>5即2|x -2|+|x +2|>5-2(2-x )-(x +2)>5,解得x<-2,2≤x ≤2(2-x )+x +2>5,解得-2≤x<1,(x -2)+(x +2)>5,解得x>73,故不等式f (x )>5解集为{x|x<1或x>73},即不等式的解集为(-∞,1)(2)若[3,6]⊆B 则原不等式f (x )≤|2x +1|在[3,6]上恒成立,即|x +a|+2|x -2|≤|2x +1|,即|x +a|≤2x +1-2(x -2),即|x +a|≤5,∴-5≤x +a ≤5,即-5-a≤x≤5-a5-a≤3-a≥6,解得-8≤a≤-1,故满足条件的a的取值范围是a∈[-8,-1].。

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“5+2选1”解答题限时练(一)
1.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,满足2a sin A =(2sin B -3sin C )b +(2sin C -3sin B )c .
(1)求角A 的大小;
(2)若a =2,b =23,求△ABC 的面积.
2.从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试,测试成绩(单位:分)数据的茎叶图如图1所示:
(1)分别求出甲、乙两组数据的中位数,并比较两组数据的分散程度(只需给出结论);
(2)甲组数据频率分布直方图如图2所示,求a 、b 、c 的值;
(3)从甲、乙两组数据中各任取一个,求所取两数之差的绝对值大于20的概率.
3.已知长方形ABCD 中,AB =3,AD =4.现将长方形沿对角线BD 折起,使AC =a ,得到一个四面体A -BCD ,如图所示.
(1)试问:在折叠的过程中,直线AB 与CD 能否垂直?若能,求出相应a 的值;若不能,请说明理由.
(2)求四面体A -BCD 体积的最大值.
4.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,且离心率为12
,点P 为椭圆上一动点,△F 1PF 2面积的最大值为 3.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左顶点为A 1,过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ,B 两点,连接A 1A ,A 1B 并延长分别交直线x =4于R ,Q 两点,问
是否为定值?若是,求出此定
值;若不是,请说明理由.
5.已知直线y =x +1与函数f (x )=a e x +b 的图象相切,且f ′(1)=e.
(1)求实数a ,b 的值;
(2)若存在x ∈⎝⎛⎭⎫0,32,使得2mf (x -1)+nf (x )=mx (m ≠0)成立,求n m
的取值范围.
6.[二选一](选修4-4)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =sin α+cos α,y =1+sin 2α(α为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=2,曲线C 2的极坐标方程为ρ=22a cos ⎝
⎛⎭⎫θ-3π4(a >0). (1)求直线l 与曲线C 1的交点的极坐标(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π);
(2)若直线l 与C 2相切,求a 值.
(选修4-5)设函数f (x )=|x -a |,a ∈R .
(1)若a =1,解不等式f (x )≥12
(x +1); (2)记函数g (x )=f (x )-|x -2|的值域为A ,若A ⊆[-1,3],求a 的取值范围.
参考答案
1.解:(1)由已知及正弦定理可得 2a 2=(2b -3c )b +(2c -3b )c ,整理得b 2+c 2-a 2=3bc ,
所以cos A =32
. 又A ∈(0,π),故A =π6
. (2)由正弦定理a sin A =b sin B ,a =2,b =23,A =π6,得sin B =32
. 又B ∈⎝⎛⎭⎫0,5π6,故B =π3或2π3
. 若B =π3,则C =π2,于是S △ABC =12
ab =23; 若B =2π3,则C =π6
, 于是S △ABC =12
ab sin C = 3. 2.解:(1)甲组数据的中位数为78+792=78.5,乙组数据的中位数为75+822
=78.5. 从茎叶图可以看出,甲组数据比较集中,乙组数据比较分散.
(2)由图易知a =0.05,b =0.02,c =0.01.
(3)从甲、乙两组数据中各任取一个,得到的所有基本事件共有100个,其中满足“两数
之差的绝对值大于20”的基本事件有16个,故所求概率P =16100=425
. 3.解:(1)直线AB 与CD 能够垂直.
因为AB ⊥AD ,
若AB ⊥CD ,AD ∩CD =D ,
则有AB ⊥平面ACD ,
从而AB ⊥AC .
此时,a =BC 2-AB 2=16-9=7,
即当a =7时, 有AB ⊥CD .
(2)由于△BCD 面积为定值,所以当点A 到平面BCD 的距离最大,即当平面ABD ⊥平面BCD 时,该四面体的体积最大,
此时,过点A 在平面ABD 内作AH ⊥BD ,垂足为H ,
则有AH ⊥平面BCD ,AH 就是该四面体的高.
在△ABD 中,AH =AB ·AD BD =125
, S △BCD =12
×3×4=6, 此时V A -BCD =13S △BCD ·AH =245
,即为该四面体体积的最大值. 4.解:(1)已知椭圆的离心率为12
,不妨设c =t ,a =2t ,则b =3t ,其中t >0,当△F 1PF 2面积取最大值3时,点P 为短轴端点,因此12·2t ·3t =3,解得t =1,则椭圆的方程为x 24+y 23
=1. (2)设直线AB 的方程为x =my +1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).
联立⎩⎪⎨⎪⎧x =my +1,x 24+y 23=1,
可得(3m 2+4)y 2+6my -9=0, 则y 1+y 2=-6m 4+3m 2,y 1y 2=-94+3m 2
, 直线AA 1的方程为y =y 1x 1+2
(x +2), 直线BA 1的方程为y =y 2x 2+2
(x +2), 则R ⎝⎛⎭⎫4,6y 1x 1+2,Q ⎝⎛⎭⎫4,6y 2x 2
+2,
=⎝⎛⎭⎫3,6y 1x 1
+2,=⎝⎛⎭⎫3,6y 2x 2+2, 则
=9+6y 1x 1+2·6y 2x 2+2 =36y 1y 2m 2y 1y 2+3m (y 1+y 2)+9
+9=0, 即
为定值0. 5.解:(1)设直线y =x +1与函数f (x )=a e x +b 图象的切点为(x 0,f (x 0)).
由f (x )=a e x +b 可得f ′(x )=a e x .
由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a e x 0=1,x 0+1=a e x 0+b ,a e =e ,
解得a =1,b =0.
(2)由(1)可知f (x )=e x ,则存在x ∈⎝⎛⎭
⎫0,32,使2mf (x -1)+nf (x )=mx (m ≠0)成立, 等价于存在x ∈⎝⎛⎭
⎫0,32,使2m e x -1+n e x =mx 成立.
∴n m =x -2e x -
1e x ,x ∈⎝⎛⎭⎫0,32. 设g (x )=x -2e x -
1e x ,x ∈⎝⎛⎭⎫0,32,则g ′(x )=1-x e x , 当x ∈(0,1)时,g ′(x )>0,g (x )在(0,1)上单调递增,当x ∈⎝⎛⎭⎫1,32时,g ′(x )<0,g (x )在⎝⎛⎭
⎫1,32上单调递减.
∴g (x )max =-1e ,g (0)=-2e ,g ⎝⎛⎭⎫32=32e 32-2e ,g (0)-g ⎝⎛⎭⎫32=-32e 32
<0. ∴n m
的取值范围是⎝⎛⎦⎤-2e ,-1e . 6.[二选一](选修4-4)
解:(1)曲线C 1的普通方程为y =x 2,x ∈[-2, 2 ],直线l 的直角坐标方程为x +y
=2,联立⎩
⎪⎨⎪⎧y =x 2,x +y =2, 解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =1或⎩
⎪⎨⎪⎧x =-2,y =4(舍去), 故直线l 与曲线C 1的交点的直角坐标为(1,1),其极坐标为⎝
⎛⎭⎫2,π4. (2)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2+2ax -2ay =0,即(x +a )2+(y -a )2=2a 2(a >0).
由直线l 与C 2相切,得|-a +a -2|2
=2a ,故a =1. (选修4-5)
解:(1)由于a =1,故f (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧1-x ,x <1,x -1,x ≥1. 当x <1时,由f (x )≥12(x +1),得1-x ≥12(x +1), 解得x ≤13
; 当x ≥1时,f (x )≥12(x +1),得x -1≥12
(x +1), 解得x ≥3.
综上,不等式f (x )≥12
(x +1)的解集为⎝⎛⎦⎤-∞,13∪[3,+∞). (2)当a <2时,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a -2,x ≤a ,2x -2-a ,a <x <2,2-a ,x ≥2,
g (x )的值域A =[a -2,2-a ], 由A ⊆[-1,3],得⎩
⎪⎨⎪⎧a -2≥-1,2-a ≤3,
解得a ≥1,又a <2,故1≤a <2;
当a ≥2时,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a -2,x ≤2,-2x +2+a ,2<x <a ,2-a ,x ≥a ,
g (x )的值域A =[2-a ,a -2], 由A ⊆[-1,3],得⎩⎪⎨⎪⎧2-a ≥-1,a -2≤3,
解得a ≤3,又a ≥2,故2≤a ≤3.
综上,a 的取值范围为[1,3].。

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