湖南省怀化市2014-2015学年下学期高一期末考数学试题(word版)

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2014-2015学年高一数学下学期期末卷及答案

2014—2015学年高一数学下学期学生学业水平监测时间120分钟；满分150分； 2015.7一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上） 1、不等式2230x x --<的解集是．2、过两点()21A -,，(),3B m 的直线倾斜角是45︒，则m 的值是．3、在等差数列}{n a 中，121=+a a ，943=+a a ，则56a a += ．4、已知0,0a b >>，且4,a b ab +=则ab 的最小值为．5、在ABC ∆中，135B =︒，15C =︒，5a =，则此三角形的最大边长为．6、圆122=+y x 上的点到直线02543=-+y x 的距离的最小值是．7、设b a ,是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，给出以下四个命题：①若//a b ，a α⊥，则b α⊥；②若,,a b a α⊥⊥则//b α；③若a α⊥，a β⊥，则α∥β；④若a β⊥，α⊥β，则a ∥α. 其中所有正确命题的序号是．8、已知等比数列的前n 项和为n S ，若32:3:2S S =，则公比q = ．9、若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则的取值范围是．10、将一张坐标纸折叠一次，使点()0,2与点()4,6重合，且点()7,3与点(),m n 重合，则m n +的值是．11、如右图所示，ABCD 是空间四边形，E F G H 、、、分别是四边上的点，并且AC 面EFGH ，BD 面EFGH ，2AC =，4BD =, 当EFGH 是菱形时，AEEB的值是． 12、若关于x 的不等式220ax x a -+<的解集为空集，则实数a 的取值范围是．13、在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C ：222(62)4560x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点()1,1-，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 的方程为．14、记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式22212n n S a ma n+≥对任意等差数列{}n a 及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为．二、解答题（本大题共6道题，计80分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）AB CDEFG H15、（满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是c b a ,,，且0c o s )2(c o s =--A b c B a ；⑴ 求角A 的大小；⑵ 若2a =，求ABC ∆面积的最大值.16、（满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，若点E 、F 分别是PC ，BD的中点；⑴ 求证：EF ∥平面PAD ；⑵ 求证：平面PAD ⊥平面PCD .17、（满分14分）已知ABC ∆的顶点(5,1)A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=；求⑴顶点C 的坐标；⑵ 直线BC 的方程.BCDEFP18、（满分14分）某工厂年初用49万元购买一台新设备，第一年设备维修及原料消耗的总费用6万元，以后每年都增加2万元，新设备每年可给工厂创造收益25万元．⑴ 工厂第几年开始获利?⑵ 若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：①年平均收益．．．．．最大时，以14万元出售该设备；②总．收益．．最大时，以9万元出售该设备．问出售该设备．．．．．后．，哪种方案年平均收益．．．．．较大?19、（满分14分）已知圆O ：224x y +=，直线:4l y kx =-； ⑴ 若直线l 与圆O 交于不同的两点A 、B 时，求k 的值； ⑵ 若1k =，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点为C 、D ，问：直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由；⑶ 若EF 、GH 为圆O ：224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为(M ，求四边形EGFH 的面积的最大值；20、（满分14分）已知数列{}n a 满足：121113,,2,(2,)44n n n a a a a a n n N *+-===+≥∈，数列{}n b 满足：10b <， 13,(2,)n n b b n n n N *--=≥∈，数列{}n b 的前项和为n S ；⑴ 求证：数列{}n n b a -为等比数列； ⑵ 求证：数列{}n b 为递增数列；⑶ 若当且仅当3n =时，n S 取得最小值，求1b 的取值范围.n常州市教育学会学生学业水平监测高一数学参考答案及评分意见一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、()1,3-2、03、174、16 5、 6、4 ； 7、①③ 8、112-或 9、2 11、12 12、+⎫∞⎪⎪⎣⎭13、210x y ++= 14、15 二、解答题：（本大题共6道题，计80分）15、……2分 ……4分 ……7分……10分…… 14分 16、（满分12分）证明：⑴设PD 中点为H ，AD 中点为G ，连结FG ，GH ，HE ，Q G 为AD 中点，F 为BD 中点，∴GF //12AB ，同理EH //12CD ，……………2分Q ABCD 为矩形，∴AB //CD ，∴GF //EH ，∴EFGH 为平行四边形，……………4分 ∴EF ∥GH ，……………6分又Q ,,GH PAD EF PAD EF ⊂⊄∴面面∥面PAD . ……………7分（用EF ∥AD 证明当然可以）⑵Q 面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ⋂面ABCD ＝AD ，又Q ABCD 为矩形， ∴CD ⊥AD ，∴ CD ⊥面PAD ，……………11分又Q CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD . ……………14分 17、（满分14分）……………3分……………6分……………8分即210a b --= ……………10分……………12分……………14分18、（满分14分）解：⑴由题设，每年费用是以6为首项，2为公差的等差数列，设第n n 年时累计的纯收入为()f n ．()()2256824492049f n n n n n ∴=-⎡++++⎤-=-+-⎣⎦， ……………3分获利即为：()0f n >∴220490n n -+->，即220490n n -+<又N n ∈ ∴3,4,5,,17n =． ……………6 分∴当3n =时，即第3年开始获利； ……………7分⑵方案①：年平均收入()492020146f n n n n ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭（万元），此时7n =，出售该设备后，年平均收益．．．．．为14687+=（万元）； ……………11 分方案②：()()21051f n n =--+ ∴当10n =时，()max 51f n =，出售该设备后，年平均收益．．．．．为519610+=（万元）， ……………15 分故第一种方案年平均收益．．．．．较大。

2014-2015学年湖南省怀化市高一(下)期末数学试卷与解析word

2014-2015学年湖南省怀化市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）计算机执行如图的程序段后，输出的结果是（）A．1，3 B．4，1 C．4，﹣2 D．1，﹣22．（3分）计算sin（﹣240°）的值为（）A．B．C．D．3．（3分）以下给出的函数中，以π为周期的奇函数是（）A．y=cos2x﹣sin2x B．y=sin|x|C．y=sinx•cosx D．y=tan4．（3分）要从已编号（01～06）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（）A．5，15，25，36，45，55 B．2，4，8，16，32，48C．2，12，23，34，45，56 D．3，13，23，33，43，535．（3分）若向量=（2，x），=（3，6）为共线向量，则x的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．56．（3分）设一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上10，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A．13.6，12.8 B．2.8，13.6 C．12.8，13.6 D．12.8，3.67．（3分）一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形面上自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离不超过1的概率为（）A．B．C．D．8．（3分）用秦九韶算法计算函数f（x）=2x5﹣3x3+2x2+x﹣3的值，若x=2，则V3的值是（）A．12 B．29 C．55 D．479．（3分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的s的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．310．（3分）已知向量=（cos75°，sin75°），=（cos15°，sin15°），那么的值是（）A．B．C．D．1二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共计20分.请把答案填在答题卡上的相应横线上.11．（4分）四进制数123（4）化为十进制数为．12．（4分）若=，=t，则t的值是．13．（4分）函数f（x）=sin2x的图象可以由g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位得到．14．（4分）下列式子描述正确的有．①sin1°＜cos1＜sin1＜cos1°；②•=0⇔|+|=|﹣|；③cos2α=（1+sinα）（1﹣sinα）；④（•）2=2•2；⑤2sin2x=1+cos2x；⑥sin（﹣α）≠cos（+α）．15．（4分）在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，平面上任意一点P关于斜坐标系xOy的斜坐标定义为：若=x+y，其中向量，分别为斜坐标轴x，y轴同方向的单位向量，则P点的坐标为（x，y）．（1）若P点的坐标为（3，﹣2），则|| ；（2）以O为圆心，2为半径的圆在斜坐标系下的方程为．三、解答题：本大题共6个小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（7分）已知tanα=，求下列式子的值．（1）（2）sin2α﹣sin2α17．（7分）将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．（Ⅰ）求事件|x﹣y|=2的概率；（Ⅱ）求事件“点（x，y）在圆x2+y2=17面上”（包括边界）的概率．18．（8分）从某校高一年级800名学生中随机抽取100名测量身高，测量后发现被抽取的学生身高全部介于155厘米和195厘米之间，将测量结果分为八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195），得到频率分布直方图如．（Ⅰ）计算第七组[185，190）的样本数；并估计这个高一年级800名学生中身高在170厘米以下的人数；（Ⅱ）求出这100名学生身高的中位数、平均数．19．（8分）已知向量，不共线，t为实数．（Ⅰ）若=，=t，=（+），当t为何值时，A，B，C三点共线；（Ⅱ）若||=||=1，且与的夹角为120°，实数x∈[﹣1，]，求|﹣x|的取值范围．20．（10分）如图所示，在△ABC中，AB=4，AC=2，若O为△ABC的外心．（Ⅰ）求•的值；（Ⅱ）求•的值；（Ⅲ）若平面内一点P满足（+）•=（+）•=（+）•=0，试判定点P的位置．21．（10分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、对称轴和单调递增区间；（Ⅱ）若函数g（x）与f（x）关于直线x=对称，求g（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．2014-2015学年湖南省怀化市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）计算机执行如图的程序段后，输出的结果是（）A．1，3 B．4，1 C．4，﹣2 D．1，﹣2【解答】解：模拟执行程序代码，可得a=1，b=3a=4，b=1输出a，b的值为：4，1．故选：B．2．（3分）计算sin（﹣240°）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：sin（﹣240°）=﹣sin（180°+60°）=sin60°=．故选：A．3．（3分）以下给出的函数中，以π为周期的奇函数是（）A．y=cos2x﹣sin2x B．y=sin|x|C．y=sinx•cosx D．y=tan【解答】解：由于y=cos2x﹣sin2x=cos2x，为偶函数，故排除A；由于y=sin|x|为偶函数，故排除B；由于y=sinx•cosx=sin2x，为奇函数，且周期为=π，故满足条件；由于y=tan的周期为=2π，故排除D，故选：C．4．（3分）要从已编号（01～06）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（）A．5，15，25，36，45，55 B．2，4，8，16，32，48C．2，12，23，34，45，56 D．3，13，23，33，43，53【解答】解：根据系统抽样方法的特点是抽取的该组数据的间隔相同，都等于=10，由此排除选项A、B、C，得出正确的选项是D．故选：D．5．（3分）若向量=（2，x），=（3，6）为共线向量，则x的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：因为向量=（2，x），=（3，6）为共线向量，所以2×6=3x，解得x=4；故选：C．6．（3分）设一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上10，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A．13.6，12.8 B．2.8，13.6 C．12.8，13.6 D．12.8，3.6【解答】解：一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，将这组数据中的每一个数据都加上1，得到一组新数据，由数据的平均数和方差的计算公式得：所得新数据的平均数为12.8，方差为3.6．故选：D．7．（3分）一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形面上自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离不超过1的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知得到三角形为直角三角形，三角形ABC的面积为×3×4=6，离三个顶点距离都不大于1的地方如图三角形的阴影部分，它的面积为半径为1的半圆面积S=π×12=，所以其恰在离三个顶点距离不超过1的概率为：；故选：B．8．（3分）用秦九韶算法计算函数f（x）=2x5﹣3x3+2x2+x﹣3的值，若x=2，则V3的值是（）A．12 B．29 C．55 D．47【解答】解：∵f（x）=2x5﹣3x3+2x2+x﹣3=（（（（2x+0）x﹣3）x+2）x+1）x﹣3当x=2时，v0=2v1=4v2=5v3=12故选：A．9．（3分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的s的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．3【解答】解：第一次：S=2+1=3，i=2，不满足条件i＞4，第二次：S=3+1=4，i=3，不满足条件i＞4，第三次：S=0+1=1，i=4，不满足条件．i＞4，第四次：S=﹣1+1=0，i=5，满足条件．i＞4，故输出S=0，故选：C．10．（3分）已知向量=（cos75°，sin75°），=（cos15°，sin15°），那么的值是（）A．B．C．D．1【解答】解：由题意得，=（cos75°﹣cos15°，sin75°﹣sin15°），∴（）•（）=（cos75°﹣cos15°）2+（sin75°﹣sin15°）2=2﹣2cos602=1，∴=1，故选：D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共计20分.请把答案填在答题卡上的相应横线上.11．（4分）四进制数123（4）化为十进制数为27．【解答】解：由题意，123=1×42+2×41+3×40=27，（4）故答案为：27．12．（4分）若=，=t，则t的值是．【解答】解：由题意，=，得到如图P，A，B的位置关系，所以，所以t=；故答案为：﹣．13．（4分）函数f（x）=sin2x的图象可以由g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位得到．【解答】解：由g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得函数y=sin2（x+）﹣]=f（x）=sin2x的图象，故答案为：．14．（4分）下列式子描述正确的有①②③．①sin1°＜cos1＜sin1＜cos1°；②•=0⇔|+|=|﹣|；③cos2α=（1+sinα）（1﹣sinα）；④（•）2=2•2；⑤2sin2x=1+cos2x；⑥sin（﹣α）≠cos（+α）．【解答】解：对于①，因为角度1弧度大于1°，sin1°＜cos1＜sin1＜cos1°；正确；对于②，由•=0⇒两个向量垂直，根据向量的平行四边形法则⇔|+|=|﹣|；正确；对于③，cos2α=1﹣sin2α=（1+sinα）（1﹣sinα）；正确；对于④，（•）2=，当θ=，④（•）2=2•2；才正确；故④错误；对于⑤2sin2x=1﹣2cos2x≠1+cos2x；故错误；对于⑥，sin（﹣α）=sin[]=cos（+α）；故⑥错误．故答案为：①②③；15．（4分）在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，平面上任意一点P关于斜坐标系xOy的斜坐标定义为：若=x+y，其中向量，分别为斜坐标轴x，y轴同方向的单位向量，则P点的坐标为（x，y）．（1）若P点的坐标为（3，﹣2），则|| ；（2）以O为圆心，2为半径的圆在斜坐标系下的方程为x2+y2+xy=4．【解答】解：（1）∵，∴==7，故．（2）∵，∴，即，化简得x2+y2+xy=4．故答案为：（1）；（2）x2+y2+xy=4．三、解答题：本大题共6个小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（7分）已知tanα=，求下列式子的值．（1）（2）sin2α﹣sin2α【解答】解：（1）∵tanα=，∴原式===；（2）∵tanα=，∴原式====﹣．17．（7分）将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．（Ⅰ）求事件|x﹣y|=2的概率；（Ⅱ）求事件“点（x，y）在圆x2+y2=17面上”（包括边界）的概率．【解答】解：将一枚骰子抛掷两次共出现6×6=36种结果．（Ⅰ）设事件“|x﹣y|=2”为事件A，则事件A出现的情况有（1，3），（2，4），（3，1），（3，5），（4，2），（4，6），（5，3），（6，4）共8种，由概率公式可得；（Ⅱ）设事件“点（x，y）在圆x2+y2=17面上”为事件B，则事件B出现的情况有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（1，4），（4，1），共10种，同理可得18．（8分）从某校高一年级800名学生中随机抽取100名测量身高，测量后发现被抽取的学生身高全部介于155厘米和195厘米之间，将测量结果分为八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195），得到频率分布直方图如．（Ⅰ）计算第七组[185，190）的样本数；并估计这个高一年级800名学生中身高在170厘米以下的人数；（Ⅱ）求出这100名学生身高的中位数、平均数．【解答】解：（Ⅰ）∵第七组的频率为1﹣5×（0.008+0.008+0.016+0.016+0.04+0.04+0.06）=0.06，∴其样本数为0.06×100=6；…（2分）又∵5×（0.008+0.016+0.04）=0.32，∴高一年级800名学生身高低于170厘米的人数为0.32×100×8=256（人）；…（4分）（Ⅱ）从图中知由前四组的频率为5×（0.008+0.016+0.04+0.04）=0.52，0.52﹣0.5=0.02，∴在第四组中，0.02=0.04×0.5，∴175﹣0.5=174.5，∴中位数为174.5cm；…（6分）平均数为：157.5×0.04+162.5×0.08+167.5×0.2+172.5×0.2+177.5×0.3182.5×0.08+187.5×0.06+192.5×0.04=174.1（cm）．…（8分）19．（8分）已知向量，不共线，t为实数．（Ⅰ）若=，=t，=（+），当t为何值时，A，B，C三点共线；（Ⅱ）若||=||=1，且与的夹角为120°，实数x∈[﹣1，]，求|﹣x|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）A，B，C三点共线，则存在实数λ，使得，即，则…（4分）（Ⅱ）由，则，因为，当时，的最小值为…（5分）当时，的最大值为…（6分）所以的取值范围是…（8分）20．（10分）如图所示，在△ABC中，AB=4，AC=2，若O为△ABC的外心．（Ⅰ）求•的值；（Ⅱ）求•的值；（Ⅲ）若平面内一点P满足（+）•=（+）•=（+）•=0，试判定点P的位置．【解答】解：（Ⅰ）由垂径分弦定理得，∴=．（Ⅱ）同样==．（Ⅲ）由同理有：，，∴，即点P与O点重合，∴点P为△ABC的外心．21．（10分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、对称轴和单调递增区间；（Ⅱ）若函数g（x）与f（x）关于直线x=对称，求g（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：由====…（3分）（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为…（4分）令得，故对称轴为…（5分）由得，即单调增区间为…（7分）（Ⅱ）设g（x）图象上任意一点为（x，y），点（x，y）关于对称的点在函数f（x）上，即…（8分）又，所以，则故…（9分）所以；…（10分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2014-2015下学期期末考试高一数学(A卷)试题与答案

答案一、CDABA BACDCDA 13、57-14、3/10 15、017、)4sin(π+x 18、3- 19、解：(1)由条件1OA =，AON θ∠=cos OC θ∴=，sin AC θ= ……2分1sin cos sin 22S θθθ∴== ……4分其中02πθ<< ……6分(2) 02πθ<<,02θπ∴<< ……8分故当22πθ=，即4πθ=时，……10分max 12S =. ……12分20、解：(1) 这二十五个数据的中位数是397.……4分 (2)品种A 亩产量的频率分布表如下：………………………8分(3)品种A 亩产量的频率分布直方图如下：0.0.0.0.0.0.0.0.………12分21、解：(1)由图象知：4()24T πππ=-=，则：22Tπω==，…………2分由(0)1f =-得：sin 1ϕ=-，即：()2k k z πϕπ=-∈，……………4分∵||ϕπ< ∴ 2πϕ=-。

………………………………6分(2)由(1)知：()sin(2)cos 22f x x x π=-=-，……………………7分∴g()()()1cos )[cos()]12284xx x f x x ππ=--=----2[sin )]12cos 2sin cos 12x x x x x x =+-=+-cos 2sin 2)4x x x π=+=+，………………………10分当[0,]2x π∈时，52[,]444x πππ+∈，则sin(2)[,1]42x π+∈-，∴()g x 的值域为[-。

………………………………………12分22、解：(1)设(14,)P y ，则(14,),(8,3)OP y PB y ==---， ……………1分由OP PB λ=，得(14,)(8,3)y y λ=---， …………２分解得7,74y λ=-=-，所以点(14,7)P -。

湖南省2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

湖南省2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）已知空间两条直线a、b没有公共点，则a和b（）A．一定是异面直线B．一定是平行直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线2．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与棱AB异面的棱有（）A．2条B．4条C．6条D．8条3．（3分）用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．③④4．（3分）过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=05．（3分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0B．﹣8 C．2D．106．（3分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C．x﹣y+4=0 D．x﹣y+2=07．（3分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β8．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=a，E、F分别是BC、DC的中点，则AD1与EF所成的角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．（3分）两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切10．（3分）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是（）A．6B．4C．5D．1二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．12．（4分）过点（﹣6，4），且与直线x+2y+3=0平行的直线方程是．13．（4分）过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为．14．（4分）直线x﹣y+1=0上一点P的横坐标是3，若该直线绕点P逆时针旋转90°得直线l，则直线l的方程是．15．（4分）如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是．三、解答题（共5小题，8+8+10+12+12）16．（8分）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，求该几何体的体积．17．（8分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）平面PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．18．（10分）如图（1），△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，E、F分别为AC、AB的中点，将△AEF 沿EF折起，使A′在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点，得到图（2）．（1）求证：EF⊥A′C；（2）求三棱锥F﹣A′BC的体积．19．（12分）求半径为4，与圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0相切，且和直线y=0相切的圆的方程．20．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．湖南省2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）已知空间两条直线a、b没有公共点，则a和b（）A．一定是异面直线B．一定是平行直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：应该知道平行直线、异面直线没有公共点，从而a，b可能异面，可能平行，而相交时有一个公共点，显然不会相交．解答：解：a和b没有公共点，可能是平行，也可能是异面，但一定不相交．故选：D．点评：考查平行直线、异面直线，以及相交直线的概念，以及对这几种直线的认识，以及对空间两直线位置关系的掌握．2．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与棱AB异面的棱有（）A．2条B．4条C．6条D．8条考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：画出正方体ABCD﹣A1B1C1D1，从图形上找出与棱AB异面的棱即可得到与AB异面的棱的条数．解答：解：如图，与棱AB异面的棱有：A1D1，B1C1，DD1，CC1；∴共4条．故选B．点评：考查异面直线的概念，能够判断空间两直线是否异面，能画出正方体的直观图．3．（3分）用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．③④考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线线关系以及线面平行、线面垂直的性质对四个命题分析解答．解答：解：由平行线的传递性可以判断①正确；在空间，垂直于同一条直线的两条直线，可能平行、相交或者异面．故②错误；平行于同一个平面的两条直线的位置关系有：平行、相交、异面．故③错误；垂直于同一个平面的两条直线是平行的；故④正确；故选：C．点评：本题考查了线线关系，线面关系的判断；关键是熟练运用相关的公里或者定理．4．（3分）过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0考点：直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：计算题．分析：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．解答：解：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过点（﹣1，3），由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1=0．点评：本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况．5．（3分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0B．﹣8 C．2D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．6．（3分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C．x﹣y+4=0 D．x﹣y+2=0考点：圆的切线方程．专题：计算题．分析：本题考查的知识点为圆的切线方程．（1）我们可设出直线的点斜式方程，联立直线和圆的方程，根据一元二次方程根与图象交点间的关系，得到对应的方程有且只有一个实根，即△=0，求出k值后，进而求出直线方程．（2）由于点在圆上，我们也可以切线的性质定理，即此时切线与过切点的半径垂直，进行求出切线的方程．解答：解：法一：x2+y2﹣4x=0y=kx﹣k+⇒x2﹣4x+（kx﹣k+）2=0．该二次方程应有两相等实根，即△=0，解得k=．∴y﹣=（x﹣1），即x﹣y+2=0．法二：∵点（1，）在圆x2+y2﹣4x=0上，∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．又∵圆心为（2，0），∴•k=﹣1．解得k=，∴切线方程为x﹣y+2=0．故选D点评：求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上．若在圆上，则该点为切点，若点P （x0，y0）在圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）上，则过点P的切线方程为（x﹣a）（x0﹣a）+（y﹣b）（y0﹣b）=r2（r＞0）；若在圆外，切线应有两条．一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单．若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线．7．（3分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间位置关系的判定，我们要根据空间中线面关系的判定及性质定理对四个结论逐一进行判断．若m⊥α，n⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直；若α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，α⊥β，α∩β=m时，与线面垂直的判定定理比较缺少条件n⊂α，则n⊥β不一定成立．解答：解：设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：m⊥α，n⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确α∥β，m⊥α，n∥β时，m与n一定垂直，故B正确α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C错误α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故D也不一定成立，故选B．点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒ a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．8．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=a，E、F分别是BC、DC的中点，则AD1与EF所成的角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD1与EF所成的角的大小．解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（a，0，0），D1（0，0，a），E（），F（0，，0），=（﹣a，0，a），=（，﹣，0），设AD1与EF所成的角为θ，cosθ=|cos＜＞|===，∴θ=60°．∴AD1与EF所成的角的大小为60°．故选：C．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意向量法的合理运用．9．（3分）两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：综合题．分析：分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R和r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，比较d与R﹣r及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系．解答：解：把x2+y2﹣8x+6y+9=0化为（x﹣4）2+（y+3）2=16，又x2+y2=9，所以两圆心的坐标分别为：（4，﹣3）和（0，0），两半径分别为R=4和r=3，则两圆心之间的距离d==5，因为4﹣3＜5＜4+3即R﹣r＜d＜R+r，所以两圆的位置关系是相交．故选B．点评：此题考查学生掌握两圆的位置关系的判别方法，利用运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．10．（3分）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是（）A．6B．4C．5D．1考点：直线与圆的位置关系．分析：先求圆心到直线的距离，再减去半径即可．解答：解：圆的圆心坐标（0，0），到直线3x+4y﹣25=0的距离是，所以圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是5﹣1=4故选B．点评：本题考查直线和圆的位置关系，数形结合的思想，是基础题．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．解答：解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆锥的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．12．（4分）过点（﹣6，4），且与直线x+2y+3=0平行的直线方程是x+2y﹣2=0．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：设与直线x+2y+3=0平行的直线方程为x+2y+c=0，把（﹣6，4）代入，能求出结果．解答：解：设与直线x+2y+3=0平行的直线方程为x+2y+c=0，把（﹣6，4）代入，得：﹣6+8+c=0，解得c=﹣2，∴过点（﹣6，4），且与直线x+2y+3=0平行的直线方程是x+2y﹣2=0．故答案为：x+2y﹣2=0．点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要注意直线与直线平行的性质的合理运用．13．（4分）过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0．考点：直线的截距式方程．专题：计算题．分析：分直线的截距不为0和为0两种情况，用待定系数法求直线方程即可．解答：解：若直线的截距不为0，可设为，把P（2，3）代入，得，，a=5，直线方程为x+y﹣5=0若直线的截距为0，可设为y=kx，把P（2，3）代入，得3=2k，k=，直线方程为3x﹣2y=0∴所求直线方程为x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0故答案为x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0点评：本题考查了直线方程的求法，属于直线方程中的基础题，应当掌握．14．（4分）直线x﹣y+1=0上一点P的横坐标是3，若该直线绕点P逆时针旋转90°得直线l，则直线l的方程是x+y﹣7=0．考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：计算题．分析：由题意得直线l过点（3，4），且与直线x﹣y+1=0垂直，利用点斜式求得直线l的方程．解答：解：由题意得直线l过点（3，4），且与直线x﹣y+1=0垂直，故直线l的斜率为﹣1，利用点斜式求得直线l的方程是y﹣4=﹣1（x﹣3），即x+y﹣7=0，故答案为x+y﹣7=0．点评：本题考查两直线垂直的性质，用点斜式直线方程．15．（4分）如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：设，的最大值就等于连接原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，由数形结合法的方式，易得答案．解答：解：设，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值．从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得，可由勾股定理求得|OE|=1，于是可得到，即为的最大值．故答案为：点评：本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是解决问题的关键，属中档题．三、解答题（共5小题，8+8+10+12+12）16．（8分）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，求该几何体的体积．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：该几何体是正六棱锥，依据数据求解即可．解答：解：由三视图可知几何体是正六棱锥，底面边长为1，侧棱长为2，该几何体的体积：=．点评：本小题考查三视图求体积，考查简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．基础题．17．（8分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）平面PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）根据线面平行的判定定理证出即可；（II）根据面面垂直的判定定理证明即可．解答：证明：（I）∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．∴PA∥平面BDE．（II）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O∴BD⊥平面PAC，而BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE点评：本题考查了线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，是一道基础题．18．（10分）如图（1），△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，E、F分别为A C、AB的中点，将△AEF 沿EF折起，使A′在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点，得到图（2）．（1）求证：EF⊥A′C；（2）求三棱锥F﹣A′BC的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证EF⊥A'C，可先证EF⊥平面A'EC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证EF⊥平面A'EC内两相交直线垂直，而EF⊥A'E，EF⊥EC，EC∩A‘E=E，满足定理条件；（2）先根据题意求出S△FBC，将求三棱锥F﹣A′BC的体积转化成求三棱锥A′﹣BCF的体积，再根据三棱锥的体积公式求解即可．解答：解：（1）证明：在△ABC中，EF是等腰直角△ABC的中位线，∴EF⊥AC（2分）在四棱锥A'﹣BCEF中，EF⊥A'E，EF⊥EC，（4分）又EC∩A‘E=E∴EF⊥平面A'EC，（5分）又A'C⊂平面A'EC，∴EF⊥A'C（6分）（2）在直角梯形EFBC中，EC=2，BC=4，∴又∵A'O垂直平分EC，∴∴V=S△FBC•A′O==点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．19．（12分）求半径为4，与圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0相切，且和直线y=0相切的圆的方程．考点：圆的标准方程．专题：综合题；直线与圆．分析：利用待定系数法，求出圆心与半径，即可求出圆的方程．解答：解：由题意，设所求圆的方程为圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2．圆C与直线y=0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1（a，4）或C2（a，﹣4）．又已知圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0的圆心A的坐标为（2，1），半径为3．若两圆相切，则|CA|=4+3=7或|CA|=4﹣3=1．①当C1（a，4）时，有（a﹣2）2+（4﹣1）2=72或（a﹣2）2+（4﹣1）2=12（无解），故可得a=2±2．∴所求圆方程为（x﹣2﹣2）2+（y﹣4）2=42或（x﹣2+2）2+（y﹣4）2=42．②当C2（a，﹣4）时，（a﹣2）2+（﹣4﹣1）2=72或（a﹣2）2+（﹣4﹣1）2=12（无解），故a=2±2．∴所求圆的方程为（x﹣2﹣2）2+（y+4）2=42或（x﹣2+2）2+（y+4）2=42．点评：本题考查圆的方程，考查待定系数法，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．考点：直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．专题：计算题；综合题．分析：（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长．解答：解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y﹣2=（x﹣2），即x+2y﹣6=0．（3）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0．圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．点评：本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，计算直线的斜率，点到直线的距离；直线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键．。

2014—2015学年度高一数学竞赛试题(含答案)

2014—2015学年度高一数学竞赛试题(含答案)2014-2015学年度高一数学竞赛试题一．选择题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一个正确的答案。

1.已知集合$M=\{x|x+3<0\}$，$N=\{x|x\leq -3\}$，则集合$M\cap N$=（）A。

$\{x|x0\}$ D。

$\{x|x\leq -3\}$2.已知$\alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$，则$(1-\tan\alpha)(1-\tan\beta)$等于（）A。

2 B。

$-\frac{2}{3}$ C。

1 D。

$-\frac{1}{3}$3.设奇函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上为增函数，且$f(1)=0$，则不等式$f(x)-f(-x)<0$的解集为（）A。

$(-\infty,-1)\cup (0,1)$ B。

$(-1,0)\cup (1,+\infty)$ C。

$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$ D。

$(0,1)$4.函数$f(x)=\ln|x-1|-x+3$的零点个数为（）A。

3 B。

2 C。

1 D。

05.已知函数$f(x)=\begin{cases}1/x。

& x\geq 4 \\ 2.&x<4\end{cases}$，则$f(\log_2 5)$=（）A。

$-\frac{11}{23}$ B。

$\frac{1}{23}$ C。

$\frac{11}{23}$ D。

$\frac{19}{23}$二．填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。

将正确的答案写在题中横线上。

6.已知$0\leq x\leq \frac{\pi}{2}$，则函数$f(x)=4\sqrt{2}\sin x\cos x+\cos^2 x$的值域是\line(5,0){80}。

7.已知：$a,b,c$都不等于0，且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$，则$\max\{m,n\}=$\line(5,0){80}，$\min\{m,n\}=$\line(5,0){80}。

2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

2014—2015学年度第二学期期末学业水平监测高一数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的A 、B 、C 、D 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上.（不用答题卡的，填在第3页相应的答题栏内）1．以下四个数是数列{})2(+n n 的项的是（）A ．98B ．99C ．100D ．101 2．在ABC ∆中，若B a b sin 2=，则A 为（） A ．3π B ．6π C ．3π或π32 D ．π65或6π3．在等差数列}{a n 中，6,242==a a ，则=10a （）A ．12B ．14C ．16D ．18 4．在ABC ∆中，已知bc c b a 2222=--，则角C B +等于（）A ．4π B ．43π C ．45π D ．4π或 43π5．不等式01)3(≤+-x x 的解集为（）A ．)[3,+∞B ．),3[]1--+∞∞ ，（ C ．)[3,{-1}+∞ D ．]3,1[- 6．某高校有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…， 840 随机编号，则抽取的42人中，编号落在区间的频数为（）A ．11B ．12C ．13D ．147．集合{3,4,5}B {4,5}==，A ，从B A ,中各任意取一个数，则这两个数之和等于8的概率是（） A ．32 B ．21C ．31D ．61 8．某单位有职工750人，其中青年职工350，中年职工250人，老年职工150人，为了了解单位职工健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中青年职工为7人，则样本容量为（） A ．7 B ．15 C ．25 D ．359．若不等式04)3(2)3(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，则实数a 取值的集合为（） A ．)3,(-∞ B ．)3,1(- C ．]3,1[- D ．]3,1(-10．已知第一象限的点),(b a P 在一次函数232+-=x y 图像上运动，则b a 32+的最小值为（）A ．38B ．311C ．4D ．62511．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（） A ．2010B ．－1C ．12D ．2（图1）12．已知nn a )21(=，把数列}{n a 的各项排列成如下的三角形状， 1a2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a （图2）记),(n m A 表示第m 行的第n 个数，则A (10,13)=…（）A ．93)21(B ．92)21(C ．94)21(D ．112)21(二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案直接填在题中横线上.13．北京地铁2号线到达时间相隔5分钟，某人在2号线等待时间超过4分钟的概率为P 1，北京地铁2号公路到站时间相隔8分钟，某人在2路车等待时间超过6分钟的概率为P2，则1P 与2P 的大小关系为____________. 14．若关于x 的方程03)2(22=-+-+a x a x 的一根比2小且另一根比2大，则a 的取值范围是____________. 15．在ABC ∆中，若7,532===AC BC B ，π，则ABC ∆的面积=S ______________。

2014-2015学年度高一第二学期期末测试卷

2014-2015学年度第二学期期末测试卷高一数学(甲卷)注意事项:1.本试卷分为第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡的相应位置上。

2.问答第1卷时.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题8的答案标号涂黑如需改动。

用橡皮擦干净后，再选涂上其它答案标号.写在本试卷上无效。

3.回答第II 卷时,将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、两三人，每人一张，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A.对立事件B.必然事件C.不可能事件D.互斥但不对立事件2.设某高中的女生体重y (单位:kg )与身高x (单位:cm )具有线性相关关系，根据一组样本数据()(),1,2,,i i x y i n =，得回归直线方程为ˆ0.8585.71yx =-，则下列结论不正确的是（）A. y 与x 具有正线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(),x yC.若该高中某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该高中某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg3.在区间[]0,2之间随机抽取一个数x ，则x 满足210x -≥的概率为（）A.34 B. 12 C. 13 D. 144.按如图的程序框图运行后，输出的S 应为（）A. 7B. 15C. 26D. 405.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示:根据上表可得回归直线方程为ˆ0.56y x a =+，身高为172cm 的高三男生的体重约为（）A. 70.09kgB. 70.12kgC. 70.55kgD. 71.05kg6.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222a b c +>，则ABC 的形状是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定7.设0a >，0b >，则下列不等式中不恒成立的是（）A.12a a+≥ B.()2221a b a b +≥+- ≥ D.3322a b ab +≥ 8.甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩(环数)如下面的频数条形统计图所示则甲、乙、丙三人训练成绩方差2s甲，2s乙，2s 丙的大小关系是（）A. 222s s s <<甲乙丙B. 222s s s <<甲乙丙C.222s s s <<乙甲丙D. 222s s s <<乙甲丙9.在10个学生中，男生有x 个，现从10个学生中任选5人去参加某项活动：①至少有一个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生。

XXX2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

XXX2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案XXX2014-2015-2高一年级数学期末试卷一。

选择题 (每小题 3 分，共 30 分)1.若 $a<b<0$，则下列不等式不能成立的是 _______。

A。

$1<\frac{a}{b}$B。

$2>\frac{2}{a+b}$C。

$|a|>|b|$D。

$(a+b)^2>(a-b)^2$2.不等式$2x+ax+b>0$ 的解集是$\{x|x>3\text{或}x<-2\}$，则 $a$、$b$ 的值分别是 _______。

A。

$2,12$B。

$2,-2$C。

$2,-12$D。

$-2,-12$3.如图，方程 $y=ax+b$ 表示的直线可能是 _______。

图略]A。

直线 $l_1$B。

直线 $l_2$C。

直线 $l_3$D。

直线 $l_4$4.设 $x,y$ 满足begin{cases}2x+y\geq 4,\\x-y\geq -1,\\x-2y\leq 2。

end{cases}$$则 $z=x+y$ 的取值范围是 _______。

A。

有最小值 $2$，最大值 $3$B。

有最大值 $3$，无最小值C。

有最小值 $2$，无最大值D。

既无最小值，也无最大值5.等差数列的首项为 $25$，且从第 $10$ 项开始为比$1$ 大的项，则公差 $d$ 的取值范围是 _______。

A。

$>25$B。

$<25$XXX<d<24$D。

$|d|>24$6.从装有 $4$ 个红球和 $3$ 个黑球的口袋内任取 $3$ 个球，那么互斥而不对立的事件是 _______。

A。

至少有一个红球与都是黑球B。

至少有一个红球与恰有一个黑球C。

至少有一个红球与至少有一个黑球D。

恰有一个红球与恰有两个红球7.已知函数 $f(x)=\begin{cases}x+2,&x\leq 0\\-x+2,&x>0\end{cases}$，则不等式 $f(x)\geq x$ 的解集为_______。

。2014-2015学年高一数学下学期期末测试卷

3
21 a ， AE
3
在 Rt △ ADP 中， AM PD ， AM PD
2 a．
2 PA AD ，则：
2 3a
AM PA AD a 3
27 a ；在 Rt △ AEM 中， sin AME
AE
PD
21
7
AM
a
3
14
．
4
快乐的学习，快乐的考试！
5
相信自己！趁着冷静，快速答题！加油！！！
19、解: ( Ⅰ）设第 n 年获取利润为 y 万元 n 年共收入租金 30n 万元，付出装修费构成一个以 1 为首项，2 为公差的等差数列，共 n n(n 1) 2 n 2 2
）
A． 6
B． 3
C． 2 3
D． 5 6
2、已知直线 l1 : (m 1)x y 2 m 和 l2 : 4x 2my 16 ，若 l1 ∥ l 2 ，则 m 的值为 (
)
2
A.1 或 2
B. 2
C.
D. 1
3
3、正方体的全面积是 a2 ，它的外接球的表面积为（
）
a2
A.
3
a2
B.
2
C. 2 a 2
利润 y 30n (81 n2 ) (n 15) 2 144
所以 15 年后共获利润： 144+10=154（万元）
两种方案获利一样多，而方案①时间比较短，所以选择方案①．…………………
1
1
1
20、（ 1）解：由题意知 2an
Sn
, an 2
0 ；当 n 1 时 2a1
a1
2
a1
2
当n
2 时， Sn

2014—2015学年度第二学期期末考试高一数学参考答案与评分标准

2014— 2015 学年度第二学期期末考试高一数学参考答案及评分标准一、选择题：（1） - （ 12）BACDB ACABA DB二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 .（13）3（ 14）f ( x) 2 s i n x（15）50（ 16）①③④6三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12 分）解： ( Ⅰ ) tan()1, tan1----------（2 分）33sin(2)cos222 sin cos cos2 2 tan 1 1--------（6分）2 cos2sin 2 4 cos2 2 sin cos4 2 tan10( Ⅱ )∵为钝角，tan 1为锐角， sin()3 ,5 3∴cos310, sin10, cos()4----------（9 分）10105∴ sin sin() sin cos()cos sin()1310 ---（12分）50(18)(本小题满分12 分)解：算法步骤如下：S1i ＝ 1；S2输入一个数据a；3如果 a<6.8 ，则输出 a，否则，执行4；S SS4i ＝ i ＋ 1；S5如果 i>9 ，则结束算法，否则执行S2. ------------（ 6分）程序框图如图：-----------（ 12）(19)( 本小题满分12 分 )解： ( Ⅰ ) 由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为42＋ 4＋ 17＋15＋ 9＋ 3＝ 0.08.第二小组频数第二小组频数12又因为第二小组频率＝样本容量，所以样本容量＝第二小组频率＝ 0.08 ＝150.--------（4 分）( Ⅱ ) 由图可估计该学校高一学生的达标率约为 17＋ 15＋ 9＋ 32＋ 4＋17＋ 15＋9＋ 3× 100%＝ 88%.-------------- （8 分）( Ⅲ ) 由已知可得各小组的频数依次为6， 12，51， 45， 27， 9，所以前三组的频数之和为 69，前四组的频数之和为 114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内．----------------- （12 分）（ 20）（本小题满分 12分）．解：（Ⅰ）∵ a b ，∴ 1( 2) 2x 0 ，即x 1 ．--------------(4 分 )（Ⅱ）∵ x 1 ，∴ a b 1 ( 2)+2 ( 1)= 4 ，且 a 5 ， b5 ．∴向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为 cos =a b4 ． ------------------ （8 分 )a b5（Ⅲ）依题意4a b2,8 x ．∵ a(4a b) ，∴ a (4a b) 0 ．即 2 16 2x 0，∴ x9．∴ b ( 2, 9) ．∴ |b |4 81 85 ．-----------------------------(12 分 )（ 21）（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）某员工被抽到的概率为P5 1301545 设有 x 名男员工被抽到，则有45 75 , x 3 ，x 5所以抽到的男员工为 3 人，女员工为 2 人---------------(6 分 )（Ⅱ）把 3 名男员工和 2 名女员工分别记为a, b, c, m, n ，则选取 2 名员工的基本事件有(a,b),( a, c),( a, m),( a, n),( b,c),( b, m),( b, n),( c, m),( c, n),( m, n), (b,a),( c,a),( m, a),(n,a),( c, b),( m,b),( n,b), (m, c),( n, c),( n, m) ，共 20 个基中恰好有一名女员工有(a, m),( a, n),( b, m),( b, n),( c, m),( c, n) ,( m, a),( n, a),( m, b),( n, b),( m, c),( n, c) ，有 12 种选出的两名员工中恰有一名女员工的概率为 123----------------(12分 )P.（ 22）（本小题满分 10 分）205解：（ 1） ab ， 4sin 2 x 1 ，又 x [0,] ，2sin x0 ，即 sin x1x---------------（5 分），26（Ⅱ） f ( x)3 sin x cos x sin 2 x3 sin 2x 1 cos 2x sin(2 x) 1 ，22 6 2x [0,], 2x6,5，所以当 2x6 2 ，即 x 时， f ( x) 最大值为 326 632当2x ,，即 x 0,时， f ( x) 单调递增．66 23所以 f ( x) 的单调递增区间为 0, ．------------（10分）3。

湖南省怀化市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题含答案

怀化市中小学课程改革教育质量检测试卷2024年上期期考试题高一数学（答案在最后）考试时长：150分钟满分：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}2230A x x x =--≤，{}320B x x =->，则A B = （）A.312x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B.312x x ⎧⎫-≤<⎨⎩⎭C.332xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ D.332xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】解不等式求得13{|}A x x =-≤≤，3{|}2B x x =<，可求A B ⋂.【详解】解2230x x --≤得13x -≤≤，解320x ->得32x <，所以13{|}A x x =-≤≤，3{|}2B x x =<所以3{|1}2A B x x =-≤< .故选：B.2.一个圆台的上、下底面的半径为1和4，母线为5，则该圆台的体积为（）A.14π B.21πC.28πD.35π【答案】C 【解析】【分析】先求出圆台的高，然后利用圆台体积公式即可得解.【详解】令圆台的高为h ，由图可知4h ==，所以()()222211ππ4141428π33V h r R rR =++=⨯++⨯=，故选：C.3.已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列判断错误．．的是（）A.若//αβ，m α⊥，//m n ，则n β⊥B.若//m α，//m β，n αβ= ，则//m nC.若m α⊥，m β⊥，n β⊂，则//n αD.若//m α，//m n ，则//n α【答案】D 【解析】【分析】借助面面平行与线面垂直的性质可得A ；借助线面平行的性质可得B ；借助线面垂直的性质与线面平行的判断及面面平行的性质定理可得C ；由线面平行的性质定理可得D.【详解】对A ：由m α⊥，//m n 得n α⊥，又//αβ，所以n β⊥，故A 正确；对B ：若//m α，//m β，n αβ= ，则//m n ，故B 正确；对C ：由m α⊥，m β⊥得//αβ，又n β⊂，所以//n α，故C 正确；对D ：若//m α，//m n ，则//n α或n ⊂α，故D 错误.故选：D.4.已知9log 3a =，e12b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12=c e，则（）A.a b c >>B.b a c>> C.c b a>> D.c a b>>【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数与指数函数性质结合中间值111,,24比较可得．【详解】因为e210291111log 3,,e e 12224a b c ⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎭>⎝<⎝⎭，所以c a b >>．故选：D ．5.下列判断正确的是（）A.“实部等于零”是“复数z 为纯虚数”的充要条件B.“0a b ⋅<”是“向量a，b的夹角是钝角”的充要条件C.“存在唯一的实数k ，使a kb = ”是“a b ∥ ”的充要条件D.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，“a b >”是“sin sin A B >”的充要条件【答案】D 【解析】【分析】对于A ：根据复数的相关概念结合充分、必要条件分析判断；对于B ：根据数量积的符号与夹角之间的关系结合充分、必要条件分析判断；对于C ：根据向量共线的判定定理结合充分、必要条件分析判断；对于D ：根据正弦定理合充分、必要条件分析判断.【详解】对于A ：实部等于零时，复数z 不一定是纯虚数（还要虚部不等于零），所以充分性不成立，故A 错误；对于B ：若0a b ⋅<时，可知向量a，b的夹角可能是钝角或平角，所以充分性不成立，故B 错误；对于C ：例如0b =时，由a b ∥不能得出存在唯一的实数k ，使a kb =，故C 错误；对于D ：由正弦定理可得2sin 2sin sin sin a b R A R B A B >⇔>⇔>，所以“a b >”是“sin sin A B >”的充要条件，故D 正确.故选：D.6.在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，π3BAD ∠=，点P 在CD 边上，4AP AB ⋅= ，则AP BP ⋅= （）A.0B.12-C.1-D.1【答案】A 【解析】【分析】根据题意结合数量积的几何意义可得点P 与点D 重合，再利用余弦定理求出BD ，结合勾股定理逆定理可得AD BD ⊥，从而可求得答案.【详解】由4AP AB ⋅= ，得AP 在AB上的投影向量0AA 的模01AA = ，因为2AD =，π3BAD ∠=，所以AD 在AB上的投影为π1cos 2132AD =⨯= ，所以如图1，得0PA AB ⊥，点P 与点D 重合，因为4AB =，2AD =，π3BAD ∠=，所以22212cos 164242122BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以222124BD AD AB +=+=，所以AD BD ⊥，所以0AP BP AD BD ⋅=⋅=，故选：A.7.连续投掷一枚质地均匀骰子两次，这枚骰子两次出现的点数之积为奇数的概率是（）A.13B.14C.15D.16【答案】B 【解析】【分析】列举出两次出现的点数之积为奇数的情况，结合样本空间Ω样本点总数，得到概率.【详解】易知样本空间Ω样本点总数()6636n Ω=⨯=，记“两次出现的点数之积为奇数”为事件A ，则{(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)}A =，所以()9n A =，所以()91()()364n A P A n ===Ω.故选：B.8.已知函数()f x 对任意的x ∈R 都有()(6)(3)f x f x f =++，若(2)y f x =+的图象关于直线2x =-对称，且对于12,[0,3]x x ∀∈，当12x x ≠时，()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦，则（）A.(2)0f = B.()f x 是奇函数C.()f x 是周期为4的周期奇函数 D.(2023)(2024)f f >【答案】D 【解析】【分析】由已知条件可判断函数的奇偶性，周期性以及单调性，由此一一判断各选项，即可得答案.【详解】由(2)y f x =+的图象关于直线2x =-对称，知()f x 的图象关于y 轴对称，所以()f x 是偶函数，所以B 错误.在()(6)(3)f x f x f =++中，令3x =-得(3)(3)(3)2(3)f f f f -=+=，又(3)(3)f f -=，所以(3)0f =，所以()(6)f x f x =+，知()f x 是周期为6的周期函数，所以C 错误.对于12,[0,3]x x ∀∈，当12x x ≠时，()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦，故()f x 在[0,3]上单调递减，所以(2)(3)0f f >=，所以A 错误.对于D ，(2023)(63371)(1)f f f =⨯+=，(2024)(63372)(2)f f f =⨯+=，由()f x 在[0,3]上单调递减，得()1)(2f f >即(2023)(2024)f f >，D 正确，故选：D【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：（1）若()()f x a f x b c ++-+=，则函数()f x 关于,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；（2）若()()f x a f x b +=-+，则函数()f x 关于2a bx +=对称；（3）若()()f x a f x a +=-，则函数()f x 的周期为2a ；（4）若()()f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a .二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数())(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><在一个周期内的图象如图所示，则（）A.2ω= B.π6ϕ=C.5π3x =是()f x 图象的一条对称轴 D.点5π(,0)3是()f x 图象一个对称中心【答案】BD 【解析】【分析】由图象可知4T，求出T ，进而求出ω即可判断A.再将最高点代入可求出ϕ判断B ．根据对称轴经过最高或者最低点，对称中心在中间判断C 和D ．【详解】对于A ，由图象知2()433T ππ=--=π，得2π4π=T ω=，所以12ω=，所以A 错误.对于B ，由12ω=得1())2f x x ϕ=+，由图知2()3sin()33f ϕππ=+=，即πsin()13ϕ+=，由||2ϕπ<得π6ϕ=，所以B 正确.对于C 和D ，由前述推导知1()3sin(26f x x π=+，所以550366f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 错误，D 正确.故选：BD.10.设A ，B 是两个随机事件，已知1()(4P AB P BA ==，3()4P A B +=，则（）A.1()2P A =B.1()2P B =C.1()2P AB = D.1()4P AB =【答案】ABD 【解析】【分析】根据事件的运算关系以及对立事件的概率，一一判断各选项，即得答案.【详解】由1((4P AB P BA ==，3()4P A B +=，即3()()()4P AB P BA P AB ++=，知1()4P AB =，所以C 错误.又111()()()442P A P AB P AB =+=+=，所以A 正确.同理可得111()()()442P B P BA P B A =+=+=，B 正确.又1(1()4P AB P A B =-+=，所以D 正确.故选：ABD.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是侧面11ADD A 内（含边界）的动点，点P 是棱1CC 的中点，则（）A.存在点M ，使1PM BD ⊥B.当M 位于顶点D 时，直线MP 与1BD 所成角的余弦值为1515C.三棱锥1P BMD -2D.若5PM =，线段PM 运动所形成的曲面的面积为5π【答案】AB 【解析】【分析】当M 为1AA 的中点时可判断A ，由余弦定理求角余弦可判断B ，当M 位于顶点D 时可求出棱锥的体积判断C ，由轨迹为半圆锥侧面，求出面积判断D 即可.【详解】对于A ，显然，M 为1AA 的中点时，1PM BD ⊥，A 正确.对于B ，如图，延长1CC 到2C 使121C C =，连21C D 和2C B ，则21C D B ∠或其补角等于直线MP 与1BD 所成角，易得215C D =，123BD =，213C B =，所以2115cos 152523C D B ∠==⋅⋅，所以B 正确.对于C ，如图，显然1BPD △面积为定值，要三棱锥1P BMD -的体积最大，只要高最大，即当M 位于顶点D 时，此时11114222323P BMD B PMD V V --==⋅⋅⋅⋅=，所以C 错误.对于D ，如图所示，易知M 的轨迹是以1DD 为直径，位于侧面11ADD A 内的一段半圆弧.线段PM 运动所形成的曲面是一个半圆锥侧面，其面积为15ππ22S rl ==，所以D 错误.故选：AB三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应横线上.12.已知复数满足20242i 1iz ⋅=-，其中i 为虚数单位，则||z =________.【答案】2【解析】【分析】先由20242i1iz ⋅=-求出复数z ，然后可求出复数z 的模【详解】因为2024i 1=，所以21i 1i z ==+-，112z =+=.213.已知6sin cos 5θθ+=，sin cos sin 2θθα=-，则sin 2α=________.【答案】1150-【解析】【分析】6sin cos 5θθ+=两边平方即可得到sin cos θθ，代入得到sin 2α即可.【详解】由已知22636(sin cos )12sin cos 525θθθθ⎛⎫+=⇒+= ⎪⎝⎭，所以11sin cos 50θθ=，所以sin 2α=11sin cos 50θθ-=-.故答案为：1150-.14.统计学中，协方差(,)Cov x y 用来描述两个变量之间的总体的误差.设一组数据12,,,n x x x 的平均值为x ，另一组数据12,,,n y y y 的平均值为y ，则协方差()()11(,)ni i i Cov x y x x y y n ==--∑.某次考试结束后，抽取了高一年级10名学生的数学成绩x 、物理成绩y 如下表：序号12345678910数学成绩i x 135124118107958774635344物理成绩iy 97788283776567524445已知10166840iii x y==∑，则(,)Cov x y =________.【答案】474【解析】【分析】根据表格数据，算出,x y ，再对协方差公式进行展开化简，再代入求值即得.【详解】由已知得1(135124118107958774635344)9010x =+++++++++=，1(97788283776567524445)6910y =+++++++++=，则()()1011(,)10i i i Cov x y x x y y ==--∑()()()()()()112210101[]10x x y y x x y y x x y y =--+--+⋅⋅⋅+--()()112210101210121011010x y x y x y x x x y y y y x x y =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++⋅⎡⎤⎣⎦10101111(101010)668490694741010i i i i i i x y x y x y x y x y x y -==-⋅-+=-⋅=-⨯=∑.故答案为：474.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(2,2)a =-，(,2)b x =- .（1）若a b ∥ ，求x ；（2）若2x =-，且()()a b a b λμ+⊥+），求λμ.【答案】（1）2（2）1-【解析】【分析】（1）用向量平行的坐标结论可解；（2）用向量和的坐标运算和垂直的坐标结论可解．【小问1详解】由a b ∥得(2)(2)2x -⨯-=，所以2x =.【小问2详解】由2x =-得(2,2)a =-，(2,2)b =-- ，所以(2,2)(2,2)(22,22)a b λλλλ+=-+--=--- ，(22,22)a b μμμ+=---，由()()a b a b λμ+⊥+得(22)(22)(22)(22)0λμλμ----+--=，即(1)(1)(1)(1)0λμλμ+++--=，即110λμλμλμλμ++++--+=所以1λμ=-.16.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知::4:5:6a b c =.（1）求cos B ；（2）求sin()B A -.【答案】（1）916（2）32【解析】【分析】（1）设4a k =，5b k =，6c k =，0k ≠，利用余弦定理可求得cos B ；（2）由（1）可求得sin B ，进而利用正弦定理可求得sin A ，进而求得cos A ，利用两角差的正弦公式可求sin()B A -值.【小问1详解】由已知，设4a k =，5b k =，6c k =，0k ≠，由余弦定理2222221636259cos 224616a cb k k k B ac k k +-+-===⋅⋅.【小问2详解】由9cos 16B =，0πB <<，得sin 16B ==，由正弦定理sin sin a b A B =，得4sin sin 5164a k A Bb k ==⋅=.又由已知a 是最小边，所以A 是锐角，得3cos 4A ==，所以39sin()sin cos cos sin 16416432B A B A B A -=-=⋅-⋅=.17.近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱.某直播平台有1000个直播商家，对其进行统计调查，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具和饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示.为更好地服务买卖双方，该直播平台用分层抽样方式抽取了80个直播商家进行问询调查.（1）应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？（2）工作人员对直播商家的每日平均利润状况进行了统计，制作了如图2所示的频率分布直方图.估计该直播平台商家平均日利润的中位数和平均数（结果保留整数，求平均值时，同一组中的数据用该组区间中点的数值代替）；（3）甲、乙、丙三人进入该直播平台后，下单购物的概率分别为13，14，13，且各自是否下单购物相互独立.求在某次直播中，甲、乙、丙三人中有且只有1人下单购物的概率.【答案】（1）28，8（2）中位数为433元，平均数为440元（3）49【解析】【分析】（1）根据分层抽样的定义计算即可；（2）根据中位数和平均数的定义计算即可；（3）记“甲、乙、丙三人下单购物”分别为事件A ，B ，C ，1()3P A =，1()4P B =，1()3P C =，“三人中有且只有1人下单购物”为事件D ，D ABC ABC ABC =++，利用互互斥事件概率加法公式与独立事件概率乘法公式求解即可.【小问1详解】由已知，小吃类商家占35%，8035%28⨯=，玩具类商家占10%，8010%8⨯=，所以小吃类、玩具类商家应分别抽取28家、8家.【小问2详解】由已知(0.002320.006)501a ⨯++⨯=，所以0.004a =，设中位数为x ，因为前两组的频率之和为0.3，前三组的频率之和为0.6，所以[400,450)x ∈，且(400)0.0060.2x -⨯=，解得433x ≈，[0.002(325525575)0.004(375475)0.006425]50440x =⨯+++⨯++⨯⨯=.所以，估计该直播平台商家平均日利润的中位数为433元，平均数为440元.【小问3详解】记“甲、乙、丙三人下单购物”分别为事件A ，B ，C ，“三人中有且只有1人下单购物”为事件D ，由已知1()3P A =，1()4P B =，1()3P C =，则1322122314()()3433433439P D P ABC ABC ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.18.如图1，在矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，M 是边BC 上的一点，将ABM 沿着AM 折起，使点B 到达点P 的位置.（1）如图2，若M 是BC 的中点，点N 是线段PD 的中点，求证：CN ∥平面PAM ；（2）如图3，若点P 在平面AMCD 内的射影H 落在线段AD 上.①求证：CD ⊥平面PAD ；②求点M 的位置，使三棱锥P HCD -的外接球的体积最大，并求出最大值.【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析；②M 位于点C ，4π3【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定即可得证；（2）①根据线面垂直判定可证；②先分析得O 是三棱锥P HCD -外接球的球心，再求得直径PC =，然后根据函数的单调性求出最值，进而利用球的体积公式求出球的体积的最大值即可【小问1详解】如图，取PA 的中点E ，连接ME 和EN ，则EN 是PAD 的中位线，所以EN AD ∥且12EN AD =，又MC AD ∥且12MC AD =，所以EN MC ∥且EN MC =，所以四边形ENCM 是平行四边形，所以CN MF ∥，又CN ⊂平面PAM ，EM ⊂平面PAM ，所以CN ∥平面PAM .【小问2详解】①由PH ⊥平面AMCD ，CD ⊂平面PFH ，得CD PH ⊥，又已知CD AD ⊥，且AD ，PH 是平面PAD 内两条相交直线，所以CD ⊥平面PA D.②，由①知CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，所以CD PD ⊥，所以PDC △是Rt ，由PH ⊥平面AMCD ，HC ⊂平面AMCD ，所以PH HC ⊥，PHC V 是Rt .如图，取PC 的中点O ，则点O 到三棱锥P HCD -各顶点的距离都相等，所以O 是三棱锥P HCD -外接球的球心.如图，过点P 作PF AM ⊥于F ，连HF 和BF ，因为PH ⊥平面AMCD ，AM ⊂平面AMCD ，所以PH AM ⊥，又PF ，PH 是平面PHF 内两条相交直线，所以AM ⊥平面PFH ，又HF ⊂平面PFH ，所以AM HF ⊥，由PF AM ⊥和翻折关系知AM BF ⊥，所以B ，F ，H 三点共线，且AM BH ⊥，设(02)PM BM x x ==<≤，则AM =，BF PF ==又2BA BF BH =⋅，所以2BA BH BF x==，1AHx ==，HF BH BF x =-=-由PF HF >，得12x <≤，所以222222111x PH PA AH x x-=-=-=，PH =，所以222222221154542x x x x PD PH HD x x x x ---⎛⎫=+=+-== ⎪⎝⎭，222254416x PC PD CD x x-=+=+=-，因为4()6f x x=-在12x <≤时单调递增，所以2x =时，2()PC f x =有最大值(2)4f =，此时，点M 位于点的C 位置，所以22R PC ==，1R =，34π4π33V R ==.所以点M 位于点的C 时，三棱锥P HCD -外接球的体积的最大值为4π3V =.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.19.射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O 为透视中心，平面内四个点,,,E F G H 经过中心投影之后的投影点分别为,,,A B C D .对于四个有序点,,,A B C D ，定义比值CACBDA DBρ=叫做这四个有序点的交比，记作()ABCD.（1）若点,B C 分别是线段,AD BD 的中点，求()ABCD ；（2）证明：()()EFGH ABCD =；（3）已知3()2EFGH =，点B 为线段AD的中点，3AC ==，sin 3sin 2ACO AOB ∠=∠，求cos A .【答案】（1）32（2）证明见解析（3）56【解析】【分析】（1）根据条件，可求得31CA CB =，2DADB=，即可求出结果；（2）根据条件，将边长之比转化成面积之比，再结合题设定义，即可证明结果；（3）方法一：根据条件得到32CA DB CB DA ⋅=，再利用几何关系得到OB =OA x =，OC y =，利用有cos cos 0ABO CBO ∠+∠=，再利用余弦定理和正弦定理，建立方程，即可求解；方法二：设AB DB x ==，根据条件，得到2x =，再利用2AOB BOC S ABS BC==△△及余弦定理，建立方程，即可求解.【小问1详解】由已知31CA CB =，2DA DB=，所以3()2ABCD =.【小问2详解】在AOC ，AOD △，BOC ，BOD 中，1sin sin 21sin sin 2AOCBOCOA OC AOCS CA OA AOC CB S OB BOC OB OC BOC ⋅∠∠===∠⋅∠ ，同理sin sin DA OA AOD DB OB BOD ∠=∠，所以sin sin sin sin ()sin sin sin sin CA OA AOCAOC BODCB OB BOC ABCD DA OA AOD BOC AOD DB OB BOD∠∠⋅∠∠===∠∠⋅∠∠，又在EOG △，EOH △，FOG ，FOH △中，1sin sin 21sin sin 2EOGFOGOE OG EOGS GE OE EOG GF S OF FOG OF OG FOG ⋅∠∠===∠⋅∠ ，同理sin sin HE OE EOHHF OF FOH ∠=∠，所以sin sin sin sin ()sin sin sin sin GE OE EOGEOG FOHGF OF FOG EFGH HE OE EOH FOG EOH HF OF FOH∠∠⋅∠∠===∠∠⋅∠∠，又EOG AOC ∠=∠，FOH BOD ∠=∠，FOG BOC ∠=∠，EOH AOD ∠=∠，所以sin sin sin sin sin sin sin sin AOC BOD EOG FOHBOC AOD FOG EOH∠⋅∠∠⋅∠=∠⋅∠∠⋅∠，所以()()EFGH ABCD =.【小问3详解】方法一：由3()2EFGH =，可得3()2ABCD =，即32CADA DA DB=，所以32CA DB CB DA ⋅=，又点B 为线段AD 的中点，即12DB DA =，所以3CACB=，又3AC =，所以1CB =，2AB =，1CD =，又已知3AC ==，所以OB =.设OA x =，OC y =，由πABO CBO ∠=-∠，得cos cos 0ABO CBO ∠+∠=，2222220=，解得22215x y +=，…①在AOB 中，由正弦定理可得sin sin AB xAOB ABO=∠∠，得sin sin AB x ABO AOB =⋅∠∠，…②在COB △中，由正弦定理可得sin sin OB yBCO CBO=∠∠，得sin sin OB y CBO BCO =⋅∠∠，…③又sin sin ABO CBO ∠=∠，÷②③得sin 3sin 2x AB BCO y AOB OB ∠=⋅=⨯∠x =，…④由①④解得3x =，y =（负值舍去），即3AO =，OC =，所以222222325cos 22326AO AB OB A AO AB +-+-===⋅⨯⨯.方法二：因为3()2EFGH =，所以3()2ABCD =，设AB DB x ==，则3BC x =-，又B 为线段AD 的中点，所以(3)23CD x x x =--=-，又已知3AC =，3AC ==，所以OB =，所以33()322CA DB x ABCD CB DA x x =⋅=⋅=-，得2x =，所以2AB =，1BC CD ==，由2AOB BOCS AB S BC ==△△，得1sin sin 221sin 3sin 2OA OB AOB AOB OAOC ACO OC OC CB CO BCO ⋅∠∠=⋅=⋅=∠⋅∠，2OAOC⋅=，设OC y =，则OA =，由ABO ∠，CBO ∠互补得cos cos 0ABO CBO ∠+∠=2222220+，解得y =OC =，3OA =，所以222222325cos 22326AO AB OB A AO AB +-+-===⋅⨯⨯.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．。

湖南省怀化市2014-2015年学年高一数学上学期期末教学质量统一检测试题

数学试题本试卷分第1卷〔选择题〕和第2卷〔非选择题〕两局部，共100分. 时量：120分钟.第1卷〔选择题共30分〕一、选择题：本大题共10小题，每一小题3分，总分为30分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 1．角α的终边经过点(4,3)P --，如此αsin 的值为A ．53-B ．54-C ．53D ．43 2．设平面向量)0,1(-=a ，)2,0(=b ，如此b a 32+等于A ．)3,6(B ．)6,2(-C ．)1,2(D ．)2,7(3．如图，在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，如此该阴影局部的面积约为 A.35 B. 125 C. 25 D. 1854．一个学校高三年级共有学生200人，其中男生有120人，女生有80人．为了调查高三复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为25的样本，应抽取女生的人数为 A ．15 B ．20 C ．10D ．85．执行右面的程序框图，输出的S 是A ．25B ．9C ．17D ．206．向量)0,(cos θ=，)2,1(-=，如此||-的最大、最小值分别是 A ．22与2 B ．22与5C ．5与2D ． 8与47．为了了解某地区10000名高三男生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17～18岁的高三男生体重(kg)，得到频率分布直方图如图．根据图示，请你估计该地区高三男生中体重在[56.5，64.5]的学生人数是 A ．40 B ．400 C ．4 000D ．4 4008．代数式)90sin()360cos()cos()180cos()180sin(ααααα+-⋅-⋅+-化简后的值为 A ．αcos B ．αcos - C ．αsin D ．αsin - 9．α，β都是锐角，54sin =α，135)cos(=+βα，如此βsin 的值为 A.6556 B. 6516 C. 6533- D. 656310. 如下列图，点P 是函数)sin(2ϕω+=x y 〔0,>∈ωR x 〕的图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，假设0=⋅，如此ω的值为 A ．8 B. 4 C.8πD ．4π 第2卷〔非选择题共70分〕二、填空题：本大题共5小题，每一小题4分，总分为20分．请把答案直接填在答题卡相应的位置上． 11. )4sin()4cos(ππ---的值是________． 12．在圆中，等于半径长的弦长所对的圆心角的弧度数是______.13．平面上三点A 、B 、C 满足6||=AB ，8||=BC ，10||=，如此⋅+⋅+⋅的值等于 .14．将二进制数101 101(2)化为十进制数，结果为________．15．,x y 的取值如右表所示：从散点图分析，y 与x 线性相关，且ˆ05x a +y=.9，如此=a .三、解答题：本大题共6个小题，共50分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．〔本小题总分为7分〕向量)2,1(=a ，)2,2(-=b ． (Ⅰ)求 b a ⋅ 的值；(Ⅱ)假设 λ+ 与 a 垂直，求λ的值.17．〔本小题总分为7分〕定义在]2,6[ππ-∈x 上的函数x x x f cos )sin(2)(-=π.(Ⅰ)求)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ)假设方程a x f =)(只有一解，求实数a 的取值范围．18．〔本小题总分为8分〕随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图(中间的数字表示身高的百位、十位数，旁边的数字分别表示身高的个位数)如下列图．(Ⅰ)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (Ⅱ)计算甲班的样本方差．19．〔本小题总分为8分〕平面内三点)0,3(A 、)3,0(B 、)sin ,(cos ααC ，假设1-=⋅，求αααtan 12sin sin 22++的值．20．〔本小题总分为10分〕某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，…，[140,150)后得到如下局部频率分布直方图．观察图形的信息，回答如下问题： (Ⅰ)求分数在[120,130)内的频率； (Ⅱ)假设在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区间[100,110)的中点值为100＋1102＝105.)作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；(Ⅲ)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．21．〔本小题总分为10分〕如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛赛道，赛道的前一局部为曲线段FBC ，该曲线段是函数)sin(ϕω+=x A y ),0(πω<<>o A 在]0,4[-∈x 时的图象，且图象的最高点为)2,1(-B ；赛道的中间局部是长为3千米的直线跑道CD ，且EF CD //；赛道的后一局部是以O 为圆心的一段圆弧DE .(Ⅰ)求)sin(ϕω+=x A y 的解析式和DOE ∠的弧度数； (Ⅱ)假设要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个“矩形草坪PQMN 〞，矩形的一边MN 在道路EF 上，一个顶点Q 在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，且设θ=∠POE ，求“矩形草坪PQMN 〞面积S 的最大值，以与S取最大值时θ的值．怀化市2014年上学期期末教学质量统一检测高一数学参考答案与评分标准一、选择题：11.2；二、填空题：12.3π； 13. 100； 14. 45； 15. 6.2. 三、解答题：16解： (Ⅰ)2)2(221-=-⨯+⨯=⋅…………………2分(Ⅱ) 由得）（λλλ22,21-+=+……………4分由于λ+与垂直，022(221=-++∴）λλ……………6分25=∴λ……………7分 17解：(Ⅰ) 化简得x x f 2sin )(=……………1分其递增区间满足ππππk x k 22222+≤≤+-，Z k ∈………①又定义域为ππππ≤≤-⇒-∈x x 23]2,6[…………② 由①②知递增区间应满足：46223ππππ≤≤-⇒≤≤-x x ……………3分故所求递增区间为]4,6[ππ-…………4分(Ⅱ)在同一坐标系中作出x X y 2sin sin ==与a y =的图象，方程只有一解⇔两函数图象只能有一个交点，所以a 的取值范围是：}1{)0,23[ -∈a ………7分 18解：(Ⅰ) 由茎叶图可知乙班平均身高cm H 9.170=乙，………2分甲班的平均身高cm H 170=甲题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABBCCACDBD所以乙班的平均身高较高．………4分(Ⅱ)甲班的方差为：110[(182－170)2＋(179－170)2＋(178－170)2＋(171－170)2＋(170－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(164－170)2＋(162－170)2＋(158－170)2]＝54.2……………8分19解：)sin ,3(cos αα-=AC ，)3sin ,(cos -=ααBC ……………… 2分由1-=⋅BC AC 得1)3(sin sin cos )3(cos -=-+-αααα………… 3分化间得 32cos sin =+αα……………… 4分 95cos sin 2-=∴αα……………… 5分所以αααtan 12sin sin 22++ααααααcos cos sin )cos (sin sin 2++=95cos sin 2-==αα…………8分 20解：(Ⅰ)分数在[120,130)内的频率为：1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3………………2分 (Ⅱ)估计平均分为x ＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121 (4)分(Ⅲ)由题意，[110,120)分数段的人数为60×0.15＝9(人)………………5分[120,130)分数段的人数为60×0.3＝18(人)………………6分∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m ，n ………………7分在[120,130)分数段内抽取4人，并分别记为a ，b ，c ，d ………………8分设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内〞为事件A ，如此根本事件共有(m ，n )，(m ，a )，…，(m ，d )，(n ，a )，…，(n ，d )，(a ，b )，…，(c ，d )共15种．如此事件A 包含的根本事件有(m ，n )，(m ，a )，(m ，b )，(m ，c )，(m ，d )，(n ，a )， (n ，b )，(n ，c )，(n ，d )共9种． ∴P (A )＝915＝35………………10分21解：(Ⅰ)由条件得2=A ，…………… 1分3)4(14=---=T 12=⇒T ， 62ππω==∴T ………2分由320)4(6πϕϕπ=⇒=+-⨯…………3分 ∴曲线段FBC 的解析式为)326sin(2ππ+=x y ………4分当0=x 时，3)3206sin(2=+⨯==ππy OC 又3=CD ，4π=∠∴COD 从而得4π=∠DOE ……………… 5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知62==OC OD又易知当“矩形草坪〞的面积最大时，点P 在DE 弧上，故6=OP ………… 6分设θ=∠POE ，θ<0≤4π，“矩形草坪〞的面积为 )sin 6cos 6(sin 6θθθ-⋅=S ……………… 7分)sin cos (sin 62θθθ-=)212cos 212sin 21(6-+=θθ3)42sin(23-+=πθ……………… 8分∵θ<0≤4π，故当242ππθ=+，即8πθ=时……………… 9分S 取得最大值323-………………10分。