唐山市2018-2019学年度高三年级摸底考试理数学文数学试卷及答案
唐山市2018-2019学年第一学期高三年级一模考试理科数学含答案
x y （10）已知双曲线 C： － 2＝1（b＞0），F1，F2 分别为 C 的左、右焦点，过 F2 的直线 l 交 C 的 16 b 左、右支分别于 A，B，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|＝ A．4 B．8 C．16 D．32 （11）设函数 f (x)＝aex－2sin x，x∈[0，π]有且仅有一个零点，则实数 a 的值为 A． 2e4 C． 2e2
A
（20） （12 分） 为了保障全国第四次经济普查顺利进行， 国家统计局从东部选择江苏， 从中部选择河北、 湖北， 从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基 层的普查小区． 在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致 入户登记不够顺利， 这为正式普查提供了宝贵的试点经验． 在某普查小区， 共有 50 家企事业单位， 150 家个体经营户，普查情况如下表所示： 普查对象类别 顺利 不顺利 合计 企事业单位 40 10 50 100 50 150 个体经营户 140 60 200 合计 （1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法； （2）根据列联表判断是否有 90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的 类别有关” ； （3）以频率作为概率，某普查小组从该小区随机选择 1 家企事业单位，3 家个体经营户作为普 查对象，入户登记顺利的对象数记为 X，写出 X 的分布列，并求 X 的期望值． 附：K2＝ n(ad－bc)2 (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
π π π － 4 － π 2
B． 2e
D． 2e
（12） 一个封闭的棱长为 2 的正方体容器， 当水平放置时， 如图， 水面的高度正好为棱长的一半． 若 将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为 A．1 B． 2 2 3 C． 3 D． 3
唐山市 2018—2019 学年度高三年级第一次模拟考试文科数学B4版(含参考答案)
唐山市 2018—2019 学年度高三年级第一次模拟考试
文科数学参考答案
一．选择题： A 卷：BBACD B 卷：BCABD 二．填空题： （13）－2 DACDB DACDC AB AB
（14）1
（15）2 3π
（16） 17
三．解答题： （17）解： （1）因为 a1＝1，所以 a2＝2a1＋0＝2，a3＝2a2＋2－1＝5， 从而 b1＝2，b2＝a2＋2＝4，b3＝a3＋3＝8， （2）{bn}是等比数列． 因为 an+1＝2an＋n－1， 所以 an＋1＋n＋1＝2(an＋n)， an+1＋(n＋1) bn+1 ＝2，即 ＝2， 所以 bn an＋n 所以{bn}是等比数列，且首项 b1＝2，公比为 2． （3）由（2）知 bn＝2n， 故 an＝bn－n＝2n－n． 所以 Sn＝(21＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n) n2＋n ＋ ＝2n 1－2－ ． 2 （18）解： （1）因为 E，F 分别为 AB，AC 边的中点， 所以 EF∥BC， 因为∠ABC＝90° ， 所以 EF⊥BE，EF⊥PE， 又因为 BE∩PE＝E， 所以 EF⊥平面 PBE， 所以 BC⊥平面 PBE． …5 分 （2）取 BE 的中点 O，连接 PO， 由（1）知 BC⊥平面 PBE，BC平面 BCFE， 所以平面 PBE⊥平面 BCFE， 因为 PB＝BE＝PE， 所以 PO⊥BE， 又因为 PO平面 PBE，平面 PBE∩平面 BCFE＝BE， 所以 PO⊥平面 BCFE， 在 Rt△POC 中：PC＝ PO2＋OC2＝2 5， 在 Rt△EBC 中：EC＝ EB2＋BC2＝2 5，
0＜α＜π） ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ＝ 4cos θ． （1）求 l 和 C 的直角坐标方程； （2）若 l 与 C 相交于 A，B 两点，且|AB|＝8，求 α． （23）[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知 a，b 是正实数，且 a＋b＝2，证明： （1） a＋ b≤2； （2）(a＋b3)(a3＋b)≥4．
2018~2019唐山市高三摸底理科数学试题及答案
－
唐山市 2018—2019 学年度高三年级摸底考试
理科数学
注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知集合 A＝{x|x －5x－6＜0}，B＝{x|0≤x≤8}，则 A∩B＝ A．[0，6) B．[0，1) D．(－1，8] C．(0，6) i(1－2i) 2．设 z＝ ，则|z|＝ 2－i A． 5 41 C． 5
π 在极坐标系中，曲线 C 方程为 ρ2－2 2ρsin θ＋ －4＝0．以极点 O 为原点，极轴为 x 轴正半 4 x＝tБайду номын сангаасos α， （t 为参数，0≤α＜） ． 轴建立直角坐标系 xOy，直线 l： y＝tsin α （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求 |OA|－|OB| 的取值范围．
a＝a×(－1) n＝n＋2 n＞19 是 输出 S 结束 否
B．2 D．1
3．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a3＋a11＝4，则 S13＝ A．13 B．26 C．39 D．52 4．随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ，σ2)，若 P(ξ＜2)＝0.2，P(2＜ξ＜6)＝0.6，则 μ＝ A．6 B．5 C．4 D．3 5．cos 105° －cos 15° ＝ 2 A． 2 6 C． 2 2 2 6 D．－ 2 B．－
唐山市2018-2019学年度高三年级摸底考试理数学理科数学(解析版)
k
或 sin x 0 ；由 cos 2x 0 ，得 2x k , k Z, x , k Z ，又 x [0, 2 ]，
2
24
3 5 7 x 或 或 或 ；
44 4 4
3 5 7 由 sin x 0 ，得 x 0或 或2 ， 0 2 7 ．
44 4 4
12．已知三棱锥 P ABC 的四个顶点都在半径为 3 的球面上， AB AC ，则该三棱锥体积的最大值是
8 6 6 5 2 22 1 3 4 5 7 8
4 3 1 23 0 2
（1）从甲、乙两位工人当天生产的零件中各随机抽取 1 个零件，求抽取的 2 个零件等级互不相同的概率；
（2）从工人甲当天生产的零件中随机抽取 3 个零件，记这 3 个零件中一等品数量为 X，求 X 的分布列和
（）
16
A．
3
32
B．
3
64
C．
3
D．32
12．答案：B
1
a2 b2
解析：设
AB
a,
AC
b ，则 S△ABC
bc ， △ABC 2
所在外接圆的半径 r
2
，球心 O 到平面
ABC 的距离 d
R2 r2
a2 b2
9
，三棱锥体积最大时， h R d 3
a2 b2
9
，
4
4
1
1
a2 b2 a2 b2
15．已知直线 l : kx y k 2 0 与圆 C : x2 y2 2 y 7 0 相交于 A, B 两点，则 AB 的最小值为
．
15．答案： 2 6
解析：直线 l 的方程为 y 2 k(x 1) ，经过定点 P(1, 2) ，由已知的圆 C 的标准方程为 x2 ( y 1)2 8 ，
河北唐山2019高三9月摸底考试-数学(理)扫描版
河北唐山2019高三9月摸底考试-数学（理）扫描版唐山市2018—2018学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一、选择题：A 卷：ADCBD AABCC DB B 卷：CDABDADBCBAC 【二】填空题：〔13〕(－1，0)∪(0，2] 〔14〕17 〔15〕6〔16〕－272【三】解答题： 〔17〕解：〔Ⅰ〕a 1＝S 1＝27(81－1)＝2、…1分当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝27(8n－1)－ 2 7(8n －1－1)＝23n －2、当n ＝1时上式也成立，因此a n ＝23n －2〔n ∈N *〕、 …6分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，b n ＝log 223n －2＝3n －2， …7分因此 1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝11×4＋14×7＋…＋1(3n －2)(3n ＋1)＝1 3[(1－ 1 4)＋( 1 4－ 1 7)＋…＋(13n －2－13n ＋1)]＝1 3(1－13n ＋1)＝n3n ＋1、…12分〔18〕解：〔Ⅰ〕如图，以A 为原点，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系、 设AA 1＝a 〔a ＞0〕，依题意得B 1(32，－ 1 2，a )，A (0，0，0)，C (0，1，0)、B 1C →＝(－32， 32，－a )，A 1C 1→＝AC →＝(0，1，0)，由异面直线B 1C 与A 1C 1所成的角为60︒，知|cos 〈B 1C →，A 1C 1→〉|＝|B 1C →·A 1C 1→|___________|B 1C →||A 1C 1→|＝323＋a 2＝12，解得a ＝6、…4分因此三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V ＝1 2AB ·AC sin 120︒·AA 1＝ 1 2×1×1×32×6＝324、 …6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，B 1C →＝(－32，32，－6)、设n ＝(x ，y ，z )为面ACB 1的法向量，那么n ·AC →＝0，n ·B 1C →＝0，那么⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－32x ＋ 32y －6z ＝0．取z ＝1，得x ＝－22，因此n ＝(－22，0，1)、…9分又m ＝(0，0，1)为面ACB 的一个法向量，因此cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝ 13、因此二面角B 1-AC -B 的余弦值为13、…12分〔19〕解：〔Ⅰ〕依题意，⎩⎨⎧0.5＋a ＋b ＝1，0.5＋2a ＋3b ＝1.7．解得a ＝0.3，b ＝0.2、 …4分〔Ⅱ〕Y 的所有可能取值为0，100，200，300，400，600、 P (Y ＝0)＝0.22＝0.04，P (Y ＝100)＝C 120.2×0.3＝0.12，P (Y ＝200)＝0.32＝0.09，P (Y ＝300)＝C 120.2×0.5＝0.2，P (Y ＝400)＝C 120.3×0.5＝0.3，P (Y ＝600)＝0.52＝0.25、 …8分 Y 的分布列为…10分E (Y )＝0×0.04＋100×0.12＋200×0.09＋300×0.2＋400×0.3＋600×0.25＝360〔元〕、…12分〔20〕解：〔Ⅰ〕依照题意，|y －3|＝3·x 2＋(y －1)2、化简，得曲线E 的方程为3x 2＋2y 2＝6、 …4分 〔Ⅱ〕直线l 方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 方程，得 (2k 2＋3)x 2＋4kx －4＝0、…6分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么 x 1＋x 2＝－4k2k 2＋3， ① x 1x 2＝－42k 2＋3、②AF →＝λFB →即(－x 1，1－y 1)＝λ(x 2，y 2－1)，由此得x 1＝－λx 2、③由①②③，得1 2＋34k 2＝λ(λ－1)2＝1(λ－1λ)2、 (9)分因为2≤λ≤3，因此22≤λ－1λ≤233，从而 3 4≤1(λ－1λ)2≤2，解不等式3 4≤ 1 2＋34k 2≤2，得 1 2≤k 2≤3、故k 的取值范围是[－3，－22]∪[22，3]、…12分〔21〕解：〔Ⅰ〕当b ＝0时，f (x )＝x 3＋cx ＋d ，f '(x )＝3x 2＋C 、 f (0)＝d ，f '(0)＝C 、 …2分曲线y ＝f (x )与其在点(0，f (0))处的切线为y ＝cx ＋D 、由⎩⎨⎧y ＝x 3＋cx ＋d ，y ＝cx ＋d ，消去y ，得x 3＝0，x ＝0、 因此曲线y ＝f (x )与其在点(0，f (0))处的切线只有一个公共点即切点、 …5分〔Ⅱ〕由，切点为(1，1)、又f '(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，因此⎩⎨⎧f (1)＝1，f '(1)＝－12，即⎩⎨⎧1＋b ＋c ＋d ＝1，3＋2b ＋c ＝－12，得c ＝－2b －15，d ＝b ＋15、从而f (x )＝x 3＋bx 2－(2b ＋15)x ＋b ＋15、…8分由⎩⎨⎧y ＝x 3＋bx 2－(2b ＋15)x ＋b ＋15，12x ＋y －13＝0，消去y ，得x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋b ＋2＝0、 因直线12x ＋y －13＝0与曲线y ＝f (x )只有一个公共点(1，1)， 那么方程x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋b ＋2＝(x －1)[x 2＋(b ＋1)x －b －2] ＝(x －1)(x －1)(x ＋b ＋2) 故b ＝－3、 …10分因此f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋12，f '(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)、 当x…12分〔22〕解：〔Ⅰ〕由及由切割线定理，有AB 2＝AD ·AE ＝13AC · 2 3AC ，因此AC 2＝92AB 2、…3分 由勾股定理得，BC ＝AC 2－AB 2＝7、…5分〔Ⅱ〕设圆O 与BC 的交点为F ，圆O 的半径为r 、由割线定理，得CF ·CB ＝CE ·CD ＝13AC · 2 3AC ＝AB 2，…8分 即(7－2r )×7＝14，解得r ＝52、…10分〔23〕解：〔Ⅰ〕曲线C 1的极坐标方程化为ρ＝sin θ＋3cos θ， 两边同乘以ρ，得ρ2＝ρsin θ＋3ρcos θ，那么曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝y ＋3x ，即x 2＋y 2－3x －y ＝0、 …3分曲线C 2的极坐标方程化为1 2ρsin θ＋32ρcos θ＝4，那么曲线C 2的的直角坐标方程为1 2y ＋32x ＝4，即3x ＋y －8＝0、…6分〔Ⅱ〕将曲线C 1的直角坐标方程化为(x －32)2＋(y － 1 2)2＝1，它表示以(32， 12)为圆心，以1为半径的圆、该圆圆心到曲线C 2即直线3x ＋y －8＝0的距离d ＝|3×32＋ 12－8|2＝3，…8分 因此|AB |的最小值为2、…10分〔24〕解：〔Ⅰ〕f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ≥2．其图象如下：…3分当x＝12时，f(x)＝0、当x＜12时，f(x)＜0；当x＞12时，f(x)＞0、因此a＝0、…6分〔Ⅱ〕不等式f(x)＋4m＜m2，即f(x)＜m2－4m、因为f(x)的最小值为－3，因此问题等价于－3＜m2－4m、解得m＜1，或m＞3、故m的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)、…10分。
河北唐山2019高三一考试试-数学文
河北唐山2019高三一考试试-数学文唐山市2018—2018学年度高三年级第一次模拟考试文科数学(6)函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 的图象如(10)己知直线l 的斜率为k ,它勾抛物线y 2=4x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，假设FB AF 2=，那么|k|=(11)x 0函数f(x)=2sinx —πlnx(x ∈(O,π))的零点，x 1<x 2,那么 ①x 0∈(1,e) ②x 0∈(1,π)：③f(x1)-f(x2)<0 ④f(x1)-f(x2)>0. 其中正确的命题为(A)①③ (B)①④(C)②③)(D )②④(12)如图I,边长为2的d 正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB,BC 的中点，将ΔADE ，ΔCDF ，ΔBEF 折起，使A ，C,B 二点重合于G,所得二棱锥G-D E F 的俯视图如图2,那么其正视图的面积为第II 卷【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分,把答案填写在题中横线上.离为L 那么C 的方程为_______(15)某单位为了了解每天用电量y(度〕与当天最高气温x(0C)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天的最高气温，并制作了对比表.由表中数据得线性回归方程为a x y+-=2.3，那么a＝_______某公司共冇职工8000名，从中随机抽取了100名，调杏上、下班乘车所用时间，得下表：公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额Y(元〕与乘市时间如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，侧面PAD 丄底面ABCD,.090=∠APD (I)求证：平面PAB 丄平面PCD的体积.(20)(本小题总分值12分〕轴.己知曲线C 1的极坐标方程为p=4cos θ曲线C 2的参数方程是⎩⎨⎧=+=a t y at m x sin cos 〔t 为参数，(I)当a=3时，解不等式4)(≤x f ;(II)当)1,2(-∈x )时，f(x)>|2x-a-1|.求a 的取值范围唐山市2018—2018学年度高三年级第一次模拟考试文科数学参考答案一、选择题：A 卷：CAADB CBCDA BB B 卷：BBADC DCCABBA【二】填空题：〔13〕(1，＋∞)〔14〕x 22－y 2＝1〔15〕53.2〔16〕78【三】解答题： 〔17〕解：〔Ⅰ〕设a n ＝a 1q n －1，依题意，有⎩⎨⎧a 1a 2＝a 21q ＝－13，a 3＝a 1q 2＝ 19，解得a 1＝1，q ＝－ 13、 …4分因此a n ＝(－13)n －1、 …5分〔Ⅱ〕b n ＝n ＋11×2＋n ＋12×3＋…＋n ＋1n (n ＋1)＝(n ＋1)[11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)]＝(n ＋1)[(1－1 2)＋( 1 2－ 1 3)＋…＋( 1 n －1n ＋1)]＝n 、…7分记数列{b na n }的前n 项的和为S n ，那么S n ＝1＋2×(－3)＋3×(－3)2＋…＋n ×(－3)n －1， －3S n ＝－3＋2×(－3)2＋3×(－3)3＋…＋n ×(－3)n ，两式相减，得4S n ＝1＋(－3)＋(－3)2＋…＋(－3)n －1－n ×(－3)n ＝1－(－3)n4－n ×(－3)n ， 故S n ＝1－(4n ＋1)(－3)n 16、…12分〔18〕解：〔Ⅰ〕当0≤t ＜60时，y ≤300、记事件“公司1人每月用于路途补贴不超过300元”为A 、…2分 那么P (A )＝25100＋50100＋15100＝0.9、…6分〔Ⅱ〕依题意，公司一名职工每月的平均路途补贴为x -＝200×25＋240×50＋280×15＋320×5＋360×5100＝246〔元〕…10分该公司每月用于路途补贴的费用总额约为246×8000＝1968000〔元〕、 …12分 〔19〕解：〔Ⅰ〕因为四棱锥P -ABCD 的底面是矩形，因此CD ⊥AD ， 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，因此CD ⊥PA 、又∠APD ＝π2，即PA ⊥PD ，而CD ∩PD ＝D ，因此PA ⊥平面PCD 、因为PA ⊂平面PAB ，因此平面PAB ⊥平面PCD 、 …4分〔Ⅱ〕如图，作PO ⊥AD ，垂足为O ，那么PO ⊥平面ABCD 、 连结OB ，OC ，那么PO ⊥OB ，PO ⊥OC 、因为PB ＝PC ，因此Rt △POB ≌Rt △POC ，因此OB ＝OC 、依题意，ABCD 是边长为2的正方形，由此知O 是AD 的中点、 …7分 在Rt △OAB 中，AB ＝2，OA ＝1，OB ＝5、 在Rt △OAB 中，PB ＝6，OB ＝5，PO ＝1、…10分 故四棱锥P -ABCD 的体积V ＝ 1 3AB 2·PO ＝ 43、…12分〔20〕解：〔Ⅰ〕由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0、由于l 与C 1有唯一的公共点A ，故Δ1＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝0， 从而m 2＝1＋4k 2、 ① …2分由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝r 2，y ＝kx ＋m ，得(1＋k 2)x 2＋2kmx ＋m 2－r 2＝0、由于l 与C 2有唯一的公共点B ，故Δ2＝4k 2m 2－4(1＋k 2)(m 2－r 2)＝0，从而m 2＝r 2(1＋k 2)、 ② …4分由①、②〕得k 2＝r 2－14－r 2、由k 2≥0，得1≤r 2＜4，因此r 的取值范围是[1，2)、 …6分〔注：由图形直截了当看出r 取值范围而未做代数推理的只给1分〕 〔Ⅱ〕设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由〔Ⅰ〕的解答可知 x 1＝－4km 1＋4k 2＝－4k m ，x 2＝－km 1＋k 2＝－kr2m 、|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·k 2(4－r 2)2m 2＝1＋k 2m 2·k 2·(4－r 2)2＝1r 2·r 2－14－r 2·(4－r 2)2＝(r 2－1)(4－r 2)r 2， 因此|AB |2＝5－(r 2＋4r 2)〔1≤r ＜2〕、…10分因为r 2＋4r 2≥2×2＝4，当且仅当r ＝2时取等号，因此当r ＝2时，|AB |取最大值1，如今C 2的方程为x 2＋y 2＝2、 …12分〔21〕解：ABCDPO〔Ⅰ〕f '(x )＝－mx ＋n －me x、依题意，f (1)＝e －1，f '(1)＝0，即⎩⎨⎧(m ＋n )e －1＝e －1，－n e －1＝0，解得m ＝1，n ＝0、 …4分因此f (x )＝xe x 、f '(x )＝－x －1e x 、当x ∈(－∞，1)时，f '(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f '(x )＜0、…6分函数f (x )在(－∞，1)单调递增；在(1，＋∞)单调递减、〔Ⅱ〕设g (x )＝f (1＋x )－f (1－x )＝1＋x e 1＋x －1－x e 1－x ＝(1＋x )e －x －(1－x )e xe 、 …8分 设h (x )＝(1＋x )e －x－(1－x )e x＝1＋xe x －(1－x )e x ，那么h '(x )＝x (e 2x －1)ex＞0，h (x )在(0，＋∞)单调递增，h (x )＞h (0)＝0， …10分因此g (x )＞0，从而f (1＋x )＞f (1－x )、 …12分 〔22〕解：〔Ⅰ〕连结OD ，那么OA ＝OD ，因此∠OAD ＝∠ODA 、因为∠EAD ＝∠OAD ，因此∠ODA ＝∠EAD 、 …2分 因为∠EAD ＋∠EDA ＝90︒，因此∠EDA ＋∠ODA ＝90︒，即DE ⊥OD 、因此DE 是圆O 的切线、 …4分〔Ⅱ〕因为DE 是圆O 的切线，因此DE 2＝EA ·EB ， 即62＝3(3＋AB )，因此AB ＝9、…6分因为OD ∥MN ， 因此O 到MN 的距离等于D 到MN 的距离，即为6 又因为O 为AC 的中点，C 到MN 的距离等于12 …8分故△ABC 的面积S ＝12AB ·BC ＝54、…10分〔23〕解：〔Ⅰ〕依题意，|OA |＝4cos φ，|OB |＝4cos (φ＋π4)，|OC |＝4cos (φ－ π 4)，…2分那么|OB |＋|OC |＝4cos (φ＋π4)＋4cos (φ－ π 4)＝22(cos φ－sin φ)＋22(cos φ＋sin φ)＝42cos φ， ＝2|OA |、…5分ABCDE OM N〔Ⅱ〕当φ＝π12时，B ，C 两点的极坐标分别为(2， π 3)，(23，－ π 6)、化为直角坐标为B (1，3)，C (3，－3)、 …7分 C 2是通过点(m ，0)，倾斜角为α的直线，又通过点B ，C 的直线方程为y ＝－3(x －2)，…9分 因此m ＝2，α＝2π3、…10分〔24〕解：〔Ⅰ〕当a ＝3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－2x ，x ≤1，2，1≤x ≤3，2x －4，x ≥3．当x ＜2时，由f (x )≤4得4－2x ≤4，解得x ≥0；当1≤x ≤3时，f (x )≤4恒成立；当x ＞3时，由f (x )≤4得2x －4≤4，解得x ≤4、 …4分 因此不等式f (x )≤4的解集为{x |0≤x ≤4}、 …5分〔Ⅱ〕因为f (x )＝|x －a |＋|x －1|≥|x －a ＋x －1|＝|2x －a －1|， 当(x －1)(x －a )≥0时，f (x )＝|2x －a －1|；当(x －1)(x －a )＜0时，f (x )＞|2x －a －1|、 …7分 记不等式(x －1)(x －a )＜0的解集为A ，那么(－2，1)⊆A ，故a ≤－2， 因此a 的取值范围是(－∞，－2]、…10分。
河北省唐山市高三上学期第一次摸底考试数学(理)试题+扫描版含答案 - 副本精编版
唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：ADBCD DACCB CB B 卷：ADBBD DACABCB二．填空题： （13）2（14）12（15）2 6 （16）(1，3)三．解答题： 17．解：（1）由已知可得，2S n ＝3a n －1， ① 所以2S n －1＝3a n －1－1 （n ≥2）， ② ①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，化简为a n ＝3a n －1（n ≥2），即a na n －1＝3（n ≥2）， …3分在①中，令n ＝1可得，a 1＝1， …4分 所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有a n ＝3n －1． …6分（2）b n ＝(n －1)·3n －1，T n ＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n －1)·3n －1， ③则3T n ＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n． ④③－④得，－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －1－(n －1)·3n ， …8分＝3－3n 1－3－(n －1)·3n＝(3－2n )·3n －32． …10分 所以，T n ＝(2n －3)·3n ＋34． …12分 18．解：（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品， 所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率 P ＝4×5＋6×510×10＝12． …5分（2）X 可取0，1，2，3． …6分P (X ＝0)＝C 04C 36C 310＝16； P (X ＝1)＝C 14C 26C 310＝12；P (X ＝2)＝C 24C 16C 310＝310； P (X ＝3)＝C 34C 06C 310＝130； …10分X 的分布列为∴随机变量X 的期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65． …12分 19．解：（1）∵直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，D 为AC 的中点， ∴BD ⊥CD ，又∵PB ⊥CD ，BD ∩PB ＝B ， ∴CD ⊥平面PBD ， ∴CD ⊥PD ， 又∵AD ⊥BD ， ∴PD ⊥BD ．又因为BD ∩CD ＝D ， ∴PD ⊥平面BCD ． …5分（2）以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (2，0，0)，B (0，2，0)，C (－2，0，0)，P (0，0，2)，PA →＝(2，0，－2)，PB →＝(0，2，－2)，CB →＝(2，2，0)设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由PB →·n ＝0，CB →·n ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，2x ＋2y ＝0，取n ＝(1，－1，－1)．…9分cos 〈PA →，n 〉＝PA →·n |PA →||n |＝63，∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为63． …12分20．解：（1）由已知可得，y 1＝x 21，y 2＝x 22，所以y 1－y 2＝x 21－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(x 1－x 2)，此时，直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2．…4分（2）因为OB ⊥l ，所以k OB ＝－1k ，又因为k OB ＝y 2x 2＝x 22x 2＝x 2，所以，x 2＝－1k ，…6分又由（1）可知，x 1＋x 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝k ，从而有，x 1＝k －x 2＝k ＋1k ，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|k ＋ 2k |，|OB |＝x 22＋y 22＝x 22＋x 42＝1k 2＋1k 4＝1＋k 2k 2，…9分因为|AB |＝3|OB |，所以1＋k 2|k ＋2k |＝31＋k 2k 2，化简得，|k 3＋2k |＝3， 解得，k ＝±1，所以，|AB |＝1＋k 2|k ＋ 2k |＝32．…12分21．解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝ln x ＋1x ，所以f '(x )＝1x －1x 2．…1分设切点为(x 0，f (x 0))，曲线y ＝f (x )与y ＝m 相切，得f '(x 0)＝0， 解得x 0＝1，所以切点为（1，1）． …3分 所以m ＝1． …4分 （2）依题意得f (1)≥ea ，所以1≥ ea ，从而a ≥e ．…5分因为f '(x )＝x －ln ax 2ln a ，a ≥e ，所以当0＜x ＜ln a 时，f '(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ＞ln a 时，f '(x )＞0，f (x )单调递增，所以当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值log a (ln a )＋1ln a ．…7分设g (x )＝eln x －x ，x ≥e ， 则g '(x )＝ex －1＝e －x x ≤0，所以g (x )在[e ，＋∞)单调递减， 从而g (x )≤g (e)＝0，所以eln x ≤x ．…10分又a ≥e ，所以eln a ≤a ，从而1ln a ≥ea ，当且仅当a ＝e 时等号成立．因为ln a ≥1，所以log a (ln a )≥0， 即log a (ln a )＋1ln a ≥ea ．综上，满足题设的a 的取值范围为[e ，＋∞)． …12分22．解：（1）由ρ2－22ρsin (θ＋ π4)－4＝0得， ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0． 所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0．曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6． …5分（2）将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得， t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4＜0．||OA |－|OB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin (α＋ π4)|因为0≤α＜π，所以π4≤α＋π4＜5π4，从而有－2＜22sin (α＋ π4)≤22．所以||OA |－|OB ||的取值范围是[0，22]． …10分23．解：（1）由题意得|x ＋1|＞|2x －1|, 所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,整理可得x 2－2x ＜0，解得0＜x ＜2， 故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}． …5分（2）由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＜－1，2x ，－1≤x ≤ 12，－2x ＋2， x ＞ 12，由g (x )的单调性可知，x ＝12时，g (x )取得最大值1， 所以a 的取值范围是[1，＋∞）．…10分。
河北省唐山市2019届高三上学期第一次摸底考试数学(理)试题+扫描版含答案
唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：ADBCD DACCB CB B 卷：ADBBD DACABCB二．填空题： （13）2（14）12（15）2 6 （16）(1，3)三．解答题： 17．解：（1）由已知可得，2S n ＝3a n －1， ① 所以2S n －1＝3a n －1－1 （n ≥2）， ② ①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，化简为a n ＝3a n －1（n ≥2），即a na n －1＝3（n ≥2）， …3分在①中，令n ＝1可得，a 1＝1， …4分 所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有a n ＝3n －1． …6分（2）b n ＝(n －1)·3n －1，T n ＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n －1)·3n －1， ③则3T n ＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n． ④③－④得，－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －1－(n －1)·3n ， …8分＝3－3n 1－3－(n －1)·3n＝(3－2n )·3n －32． …10分 所以，T n ＝(2n －3)·3n ＋34． …12分 18．解：（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品， 所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率 P ＝4×5＋6×510×10＝12． …5分（2）X 可取0，1，2，3． …6分P (X ＝0)＝C 04C 36C 310＝16； P (X ＝1)＝C 14C 26C 310＝12；P (X ＝2)＝C 24C 16C 310＝310； P (X ＝3)＝C 34C 06C 310＝130； …10分X 的分布列为∴随机变量X 的期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65． …12分 19．解：（1）∵直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，D 为AC ∴BD ⊥CD ，又∵PB ⊥CD ，BD ∩PB ＝B ， ∴CD ⊥平面PBD ， ∴CD ⊥PD ， 又∵AD ⊥BD ， ∴PD ⊥BD ．又因为BD ∩CD ＝D ， ∴PD ⊥平面BCD ． …5分（2）以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (2，0，0)，B (0，2，0)，C (－2，0，0)，P (0，0，2)，PA →＝(2，0，－2)，PB →＝(0，2，－2)，CB →＝(2，2，0)设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由PB →·n ＝0，CB →·n ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，2x ＋2y ＝0，取n ＝(1，－1，－1)．…9分cos 〈PA →，n 〉＝PA →·n |PA →||n |＝63，∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为63． …12分20．解：（1）由已知可得，y 1＝x 21，y 2＝x 22，所以y 1－y 2＝x 21－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(x 1－x 2)，此时，直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2．…4分（2）因为OB ⊥l ，所以k OB ＝－1k ，又因为k OB ＝y 2x 2＝x 22x 2＝x 2，所以，x 2＝－1k ，…6分又由（1）可知，x 1＋x 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝k ，从而有，x 1＝k －x 2＝k ＋1k ，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|k ＋ 2k |，|OB |＝x 22＋y 22＝x 22＋x 42＝1k 2＋1k 4＝1＋k 2k 2，…9分因为|AB |＝3|OB |，所以1＋k 2|k ＋2k |＝31＋k 2k 2，化简得，|k 3＋2k |＝3， 解得，k ＝±1，所以，|AB |＝1＋k 2|k ＋ 2k |＝32．…12分21．解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝ln x ＋1x ，所以f '(x )＝1x －1x 2．…1分设切点为(x 0，f (x 0))，曲线y ＝f (x )与y ＝m 相切，得f '(x 0)＝0， 解得x 0＝1，所以切点为（1，1）． …3分 所以m ＝1． …4分 （2）依题意得f (1)≥ea ，所以1≥ ea ，从而a ≥e ．…5分因为f '(x )＝x －ln ax 2ln a ，a ≥e ，所以当0＜x ＜ln a 时，f '(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ＞ln a 时，f '(x )＞0，f (x )单调递增，所以当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值log a (ln a )＋1ln a ．…7分设g (x )＝eln x －x ，x ≥e ， 则g '(x )＝ex －1＝e －x x ≤0，所以g (x )在[e ，＋∞)单调递减， 从而g (x )≤g (e)＝0，所以eln x ≤x ．…10分又a ≥e ，所以eln a ≤a ，从而1ln a ≥ea ，当且仅当a ＝e 时等号成立．因为ln a ≥1，所以log a (ln a )≥0， 即log a (ln a )＋1ln a ≥ea ．综上，满足题设的a 的取值范围为[e ，＋∞)． …12分22．解：（1）由ρ2－22ρsin (θ＋ π4)－4＝0得， ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0． 所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0．曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6． …5分（2）将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得， t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4＜0．||OA |－|OB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin (α＋ π4)|因为0≤α＜π，所以π4≤α＋π4＜5π4，从而有－2＜22sin (α＋ π4)≤22．所以||OA |－|OB ||的取值范围是[0，22]． …10分23．解：（1）由题意得|x ＋1|＞|2x －1|, 所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,整理可得x 2－2x ＜0，解得0＜x ＜2， 故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}． …5分（2）由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＜－1，2x ，－1≤x ≤ 12，－2x ＋2， x ＞ 12，由g (x )的单调性可知，x ＝12时，g (x )取得最大值1， 所以a 的取值范围是[1，＋∞）．…10分----------------------------------------------- 学好语文的方法和技巧一、培养良好的阅读习惯良好的阅读习惯对形成阅读能力、保证阅读质量、提高阅读效率、顺利达到阅读目的有着重要作用。
2018-2019学年度唐山市高三年级第三次模拟考试文科数学(含答案)
2018-2019学年度唐山市高三年级第三次模拟考试文科数学（考试时间：120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答．．．．．．．题卷上．．．） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}02A x x =<<，{}21B x x =<，则A B =（ ）A.()0,1B.()1,2-C.()1,1-D.(][),12,-∞-+∞2.已知i 为虚数单位，()11z i i -=+，则复数z 的共轭复数为（ ） A.i -B.iC.2iD.2i -3.某校有高级教师90人，一级教师120人，二级教师75人，现按职称用分层抽样的方法抽取38人参加一项调查，则抽取的一级教师人数为（ ） A.10B.12C.16D.184.若变量,x y 满足约束条件1021010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）A.4B.1-C.2-D.3-5.执行下图程序框图，若输出2y =，则输入的x 为（ ）A.1-或2±B.1±C.1或2D.1-或26.已知平面α⊥平面β，则“直线m ⊥平面α”是“直线m ∥平面β”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.等差数列{}n a 的前11项和1188S =，则369a a a ++=（ ） A.18B.24C.30D.328.函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 满足（ ）A.在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B.图象关于直线6x π=对称C.332f π⎛⎫= ⎪⎝⎭D.当512x π=时有最小值1- 9.函数()2ln f x x x =的图象大致为（ ）ABCD10.某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A.4B.8C.43D.8311.在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为224x y +=，直线l 的方程为()2y k x =+，若在圆O 上至少存在三点到直线l 的距离为1，则实数k 的取值范围是（ ） A.3⎡⎢⎣⎦B.33⎡⎢⎣⎦C.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.已知函数()32f x x ax bx =++有两个极值点12,x x ，且12x x <，若1022x x x +=，函数()()()0g x f x f x =-，则()g x （ ） A.仅有一个零点 B.恰有两个零点 C.恰有三个零点D.至少两个零点第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()4,x =-a ，()1,2=b ，若⊥a b ，则x = ．14.已知双曲线Γ过点(3，且与双曲线2214x y -=有相同的渐近线，则双曲线Γ的标准方程为 ．15.直线ABC △的三个顶点都在球O 的球面上，2AB AC ==，若球O 的表面积为12π，则球心O 到平面ABC 的距离等于 ．16.{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是公比为正数的等比数列，111a b ==，43a b =，84a b =，则数列{}n n a b 的前n 项和等于 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，cos a b b C -=. （1）求证：sin tan C B =；（2）若1a =，2b =，求c .18.某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”. （1）将频率视为概率，估计该校900名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人，参加读书日宣传活动. （i ）共有多少种不同的抽取方法？（ii ）求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.19.如图，平行四边形ABCD 中，24BC AB ==，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E ，F 分别为BC ，PE 的中点.（1）求证：AF ⊥平面PED ； （2）求点C 到平面PED 的距离.20.已知椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>经过点13,2M ⎫⎪⎭3.（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点M 在x 轴上的射影为点N ，过点N 的直线l 与椭圆Γ相交于A ，B 两点，且30NB NA +=，求直线l 的方程.21.已知函数()x f x e =，()ln g x x a =+. （1）设()()h x xf x =，求()h x 的最小值；（2）若曲线()y f x =与()y g x =仅有一个交点P ，证明：曲线()y f x =与()y g x =在点P 处有相同的切线，且52,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.22.点P 是曲线()221:24C x y -+=上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90︒得到点Q ，设点Q 的轨迹方程为曲线2C . （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线()03πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，定点()2,0M ，求MAB △的面积.23.已知函数()21f x x a x =++-. （1）若1a =，解不等式()5f x ≤；（2）当0a ≠时，()1g a f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求满足()4g a ≤的a 的取值范围.2018-2019学年度唐山市高三年级第三次模拟考试文科数学参考答案一．选择题：BACCD DBDAC BA 二．填空题： （13）2 （14）22128y x -=（15）1（16）()121n n -+三．解答题：（17）解：（Ⅰ）由cos a b b C -=根据正弦定理得sin sin sin cos A B B C -=，即()sin sin sin cos B C B B C +=+，sin cos cos sin sin sin cos B C B C B B C +=+，sin cos sin C B B =， 得sin tan C B =．（Ⅱ）由cos a b b C -=，且1a =，2b =，得1cos 2C =-，由余弦定理，22212cos 1421272c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以c = （18）解：（Ⅰ）设该校900名学生中“读书迷”有x 人，则730900x=，解得210x =. 所以该校900名学生中“读书迷”约有210人.（Ⅱ）（ⅰ）设抽取的男“读书迷”为35a ，38a ，41a ，抽取的女“读书迷”为 34b ，36b ，38b ，40b (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，则从7名“读书迷”中随机抽取男、女读书迷各1人的所有基本事件为：()3534,a b ，()3536,a b ，()3538,a b ，()3540,a b ， ()3834,a b ，()3836,a b ，()3838,a b ，()3840,a b ， ()4134,a b ，()4136,a b ，()4138,a b ，()4140,a b ，所以共有12种不同的抽取方法．（ⅱ）设A 表示事件“抽取的男、女两位读书迷月均读书时间相差不超过2小时”， 则事件A 包含()3534,a b ，()3536,a b ，()3836,a b ，()3838,a b ，()3840,a b ，()4140,a b 6个基本事件，所以所求概率()61122P A ==． （19）解：（Ⅰ）连接AE ，在平行四边形ABCD 中，PF DCBA24BC AB ==，60ABC ∠=︒，∴2AE =，ED =222AE ED AD +=， ∴AE ED ⊥．∵PA ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，∴PA ED ⊥， 又∵PA AE A =，∴ED ⊥平面PAE ，AF ⊂平面PAE 从而有ED AF ⊥．又∵2PA AE ==，F 为PE 的中点， ∴AF PE ⊥，又∵PE ED E =， ∴AF ⊥平面PED ．（Ⅱ）设点C 到平面PED 的距离为d ，在Rt PED △中，PE =ED =，∴PED S =△． 在ECD △中，2EC CD ==，120ECD ∠∠=︒，∴ECD S =△由C PED P ECD V V --=得，1133PED ECD S d S PA ⋅=⋅△△，∴ECD PED S PA d S ⋅==△△．所以点C 到平面PED的距离为2．（20）解：（Ⅰ）由已知可得223114a b+==，解得2a =，1b =， 所以椭圆Γ的方程为2214x y +=．（Ⅱ）由已知N的坐标为)，当直线l 斜率为0时，直线l 为x 轴，易知30NB NA +=不成立． 当直线l 斜率不为0时，设直线l的方程为x my =代入2214x y +=，整理得，()22410m y ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y 则12y y +，①12214y y m -=+，② 由30NB NA +=，得213y y =-，③由①②③解得m = 所以直线l的方程为2x y =，即y x =． （21）解：（Ⅰ）()()'1x h x x e =+，当1x <-时，()'0h x <，()h x 单调递减； 当1x >-时，()'0h x >，()h x 单调递增，故1x =-时，()h x 取得最小值1e-．（Ⅱ）设()()()ln xt x f x g x e x a =-=--，则()()11'0x xxe t x e x x x -=-=>，由（Ⅰ）得()1x T x xe =-在()0,+∞单调递增，又102T ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()10T >，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00T x =，所以当()00,x x ∈时，()'0t x <，()t x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()'0t x >，()t x 单调递增， 所以()t x )的最小值为()000ln 0x t x e x a =--=，由()00T x =得001x e x =，所以曲线()y f x =与()y g x =在P 点处有相同的切线， 又00ln x a e x =-，所以001a x x =+， 因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以52,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（22）解：（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．设(),Q ρθ，则,2P πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有4cos 4sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．所以，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（Ⅱ）M 到射线3πθ=的距离为2sin3d π==)4sin cos 2133B A AB ππρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，则132S AB d =⨯=（23）解：（Ⅰ）()21f x x x =++-,所以表示数轴上的点x 到2-和1的距离之和， 因为3x =-或2时()5f x =，依据绝对值的几何意义可得()5f x ≤的解集为{}32x x -≤≤． （Ⅱ）()1121g a a a a=++-， 当0a <时，()2215g a a a =--+≥，等号当且仅当1a =-时成立，所以()4g a ≤无解；当01a <≤时，()221g a a a=+-，由()4g a ≤得22520a a -+≤，解得122a ≤≤，又因为01a <≤，所以112a ≤≤；当1a >时，()214g a a =+≤，解得312a <≤，综上，a 的取值范围是13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。
唐山市2018-2019学年度高三年级第二次模拟考试文科数学答案
唐山市2018—2019学年度高三年级第二次模拟考试文科数学参考答案一．选择题：A 卷：BDCAA CBDCC ADB 卷：BDCCA CBDCA AD 二．填空题： 13．714．－51315．2n －1 16．55三．解答题： 17．解：（1）因为2c ＝3a ＋2b cos A ，所以由正弦定理可得：2sin C ＝3sin A ＋2sin B cos A ，所以2sin C ＝2(sin A cos B ＋cos A sin B )＝3sin A ＋2sin B cos A ， 即2sin A cos B ＝3sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝32． 又0＜B ＜π，故B ＝π6．…6分（2）因为S △ABC ＝12ac sin B ＝14a ＝32，所以a ＝23，由余弦定理可得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7， 所以b ＝7． …12分18．解：（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接OA 1， 因为四边形ABCD 为菱形， 所以AC ⊥BD ，从而OA 1⊥BD ，OC ⊥BD ， 又因为OA 1∩OC ＝O ， 所以BD ⊥平面A 1OC ， 因为A 1C ⊂平面A 1OC ， 所以A 1C ⊥BD ． …5分（2）在菱形ABCD 中，OA ＝OC ＝3，又A 1C ＝3，所以△A 1OC 为等边三角形且S △A 1OC ＝334．由（1）可知，BD ⊥平面A 1OC ， 所以V A 1-BCD ＝13S △A 1OC ·BD ＝32．ABCA 1DO在△A 1DC 中，A 1D ＝CD ＝2，A 1C ＝3，S △A 1DC ＝394， 设点B 到平面A 1DC 的距离为d ，由V B -A 1DC ＝V A 1-BCD 得，13S △A 1DC ·d ＝32，所以d ＝61313，即点B 到平面A 1DC 的距离为61313. …12分19．解： （1）-x ＝62.5×5×0.03＋67.5×5×0.05＋72.5×5×0.06＋77.5×5×0.04＋82.5×5×0.02＝71.75．因为抽取的样本中，果径在[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85]的频率分别为0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，所以样本的中位数为70＋13×5≈71.67． …5分（2）由图2可知，果径在80以上的苹果中，特级果、一级果、二级果所占比例约15，12，310， 所以按方案一进行收购，则1kg 的收购价X ≈12×15＋10×12＋9×310＝10.1＞10．故果园种植户应选择第一种收购方案． …12分 （比较两种方案收购总额的大小，同样给分．） 20．解：（1）由已知可得，|PN |＝|PM |，即点P 到定点N 的距离等于到直线l 1的距离， 故P 点的轨迹是以N 为焦点，l 1为准线的抛物线， 所以曲线C 的方程为y 2＝4x ． …4分 （2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，直线l 2斜率为k ，显然k ≠0，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x得，k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0， x 1＋x 2＝4－2kmk 2．所以x 0＝x 1＋x 22＝2－km k 2，y 0＝kx 0＋m ＝2k ，即D (2－km k 2， 2k)．因为直线l 2与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ， 所以|DE |2＝6；DE ⊥l 2，从而(2－km k 2－3)2＋(2k )2＝6；2－km k2－3＝－2， 整理可得(2k)2＝2，即k ＝±2．所以m ＝0，故l 2的方程为y ＝2x 或y ＝－2x ． …12分（1）f'(x)＝e x＋a e－x－(a＋1)＝e－x(e x－1)(e x－a)．…1分当a≤0时，e x－a＞0，x∈(－∞，0)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；x∈(0，＋∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增．…2分当0＜a＜1时，x∈(－∞，ln a)和(0，＋∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；x∈(ln a，0)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减．…4分当a＝1时，f'(x)≥0，f(x)单调递增．…5分当a＞1时，x∈(－∞，0)和(ln a，＋∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；x∈(0，ln a)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减．…7分（2）由（1）得，当a＝1时，f(x)＝e x－e－x－2x，因为f(0)＝0，所以f(x)仅有一个零点0．且x＞0时，f(x)＞f(0)＝0，即e x＞e－x＋2x＞2x．…8分当0＜a＜1时，因为f(0)＝1－a＞0，所以f(x)在(ln a，＋∞)内没有零点，且f(ln a)＞0．由x＞0时e x＞2x，得e2x＞4x2，x＞ln x．所以x＝－4a时，ex＜1，e－x＞16a2，从而－a e－x＜－16a，所以f(－4a)＜1－16a－(a＋1)(－4a)＝5－12a＜0，又ln a＝－ln 1a＞－1a＞－4a，所以f(x)在(－4a，ln a)内有一个零点，所以当0＜a＜1时，f(x)仅在(－4a，ln a)内有一个零点．…10分当a＞1时，当x＝4a时，－a e－x＞－a，e x＝e4a＞16a2，从而f(4a)＞16a2－a－(a＋1)(4a)＝a(12a－5)＞0，又ln a＜a＜4a，所以f(x)在(ln a，4a)内有一个零点，所以当a＞1时，f(x)仅在(ln a，4a)内有一个零点．综上，a＞0时，f(x)有且仅有一个零点．…12分（1）依题意可得，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1；圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4． 所以C 1：x 2＋y 2＝2x ；C 2：x 2＋y 2＝－4x ， 因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，所以C 1：ρ＝2cos θ；C 2：ρ＝－4cos θ． …4分（2）因为C 1，C 2都关于x 轴对称，△OAB 为等边三角形，所以不妨设A (ρA ，θ)，B (ρB ，θ＋ π 3)，0＜θ＜ π2．依题意可得，ρA ＝2cos θ，ρB ＝－4cos (θ＋π3)． 从而2cos θ＝－4cos (θ＋π3)， 整理得，2cos θ＝3sin θ，所以tan θ＝233，又因为0＜θ＜ π 2，所以cos θ＝217，|AB |＝|OA |＝ρA ＝2217．…10分23．解：（1）因为|ax ＋1|＋|ax －1|≥|(ax ＋1)－(ax －1)|＝2， 等号当且仅当(ax ＋1)(ax －1)≤0时成立， 所以f (x )的最小值为2－2a －4＝－2a －2． 依题意可得，－2a －2≥0， 所以a ≤－1． …4分（2）因为a ＞0，f (x )＝|ax ＋1|＋|ax －1|－2a －4，所以f (x )＝⎩⎨⎧－2ax －2a －4，x ≤－ 1a ，－2a －2，－ 1 a ＜x ＜ 1a，2ax －2a －4，x ≥ 1a．所以y ＝f (x )的图像与x 轴围成的封闭图形为等腰梯形ABCD ，且顶点为A (－1－2a ，0)，B (1＋ 2a ，0)，C (1a ，－2a －2)，D (－ 1a，－2a －2)从而S ＝2(1＋3a )(a ＋1)＝2(a ＋ 3a)＋8． 因为a ＋3a ≥23，等号当且仅当a ＝3时成立，所以当a ＝3时，S 取得最小值43＋8．…10分。
唐山市2018-2019学年度高三年级第一次模拟考试理科数学答案
唐山市2018—2019学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：CDBAA CDBAC BCB 卷：CDCAA CDBABBC二．填空题： （13）－4（14）7（15）2π（16）332三．解答题： （17）解：（1）令n ＝1，得a 1＋a 1＝2，(a 1＋2)(a 1－1)＝0，得a 1＝1， 所以S n ＝n ，即S n ＝n 2．当n ≥2时，a n ＝S n －S n -1＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝1适合上式， 所以a n ＝2n －1． …6分（2）b n ＝(－1)n －1•a n ＋1S n ＋n ＝(－1)n －1•2n ＋1n 2＋n＝(－1)n －1•(1n ＋1n ＋1)…8分当n 为偶数时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(1 1＋ 1 2)－( 1 2＋ 1 3)＋( 1 3＋ 1 4)－( 1 4＋ 1 5)＋…－(1n ＋1n ＋1)＝1－1n ＋1＝nn ＋1当n 为奇数时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(1 1＋ 1 2)－( 1 2＋ 1 3)＋( 1 3＋ 1 4)－( 1 4＋ 1 5)＋…＋(1n ＋1n ＋1)＝1＋1n ＋1＝n ＋2n ＋1综上所述，T n ＝错误! …12分 另解：T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(1 1＋ 1 2)－(1 2＋ 1 3)＋( 1 3＋ 1 4)－( 1 4＋ 1 5)＋…＋(－1)n －1•(1n ＋1n ＋1)＝1＋(－1)n －1•1n ＋1＝n ＋1＋(－1)n －1n ＋1…12分（18）解：（1）因为E ，F 分别为AB ，AC 边的中点， 所以EF ∥BC ， 因为∠ABC ＝90°，所以EF ⊥BE ，EF ⊥PE ， 又因为BE ∩PE ＝E ， 所以EF ⊥平面PBE ， 所以BC ⊥平面PBE ． …5分 （2）取BE 的中点O ，连接PO ，由（1）知BC ⊥平面PBE ，BC ⊂平面BCFE ， 所以平面PBE ⊥平面BCFE ，因为PB ＝BE ＝PE ，所以PO ⊥BE ，又因为PO ⊂平面PBE ，平面PBE ∩平面BCFE ＝BE ， 所以PO ⊥平面BCFE ． …7分 分别以OB ，OP 所在直线为x ，z 轴，过O 且平行BC 的直线为y 轴建立空间直角坐标系，则P (0，0，3) ，C (1，4，0)， F (－1，2，0)．PC →＝(1，4，－3)，PF →＝(－1，2，－3)设平面PCF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧PC →·m ＝0，PF →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3z ＝0，－x ＋2y －3z ＝0，则m ＝(－1，1，3)，易知n ＝(0，1，0)为平面PBE 的一个法向量， cos 〈m ，n 〉＝－1⨯0＋1⨯1＋3⨯0(－1)2＋12＋(3) 2＝1 5＝55， 所以平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值55．…12分（19）解：（1）当k ＝1 2时，直线l ：y ＝ 12(x ＋4)即x －2y ＋4＝0．此时，直线l 与抛物线C 相切，由⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0y 2＝2px得y 2－4py ＋8p ＝0，由∆＝0即16p 2－32p ＝0，得p ＝2， 所以C 的方程为y 2＝4x ． …5分（2）直线l ：y ＝k (x ＋4)，其中k ≠0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝k (x ＋4)y 2＝4x得：ky 2－4y ＋16k ＝0，由∆＝16－64k 2＞0知：k 2＜14．根据韦达定理得：⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4 k ，y 1y 2＝16， …① 又A 为PB 的中点，得：y 1＝12y 2，…②由①②得：k 2＝29，符合∆＞0，所以|AB |＝(1＋1k 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝4(1＋k 2)(1－4k 2)k 2＝211. …12分 （20）解：（1）分层抽样.…2分 （2）将列联表中的数据代入公式计算得K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝200(40×50－100×10)2140×60×50×150≈3.175＞2.706，所以有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”． …6分 （3）以频率作为概率，从该小区随机选择1家企事业单位作为普查对象，入户登记顺利的概率为 4 5，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为 23．X 可取0，1，2，3，4．P (X ＝0)＝1 5×(1 3)3＝ 1135，P (X ＝1)＝4 5×(1 3)3＋1 5×C 13×2 3×(1 3)2＝ 10135， P (X ＝2)＝4 5×C 13× 2 3×(1 3)2＋1 5×C 23×(2 3)2×1 3＝ 36 135， P (X ＝3)＝4 5×C 23×( 2 3)2×1 3＋1 5×(2 3)3＝ 56 135， P (X ＝4)＝4 5×( 2 3)3＝ 32 135．X E (X )＝0× 1 135＋1× 10 135＋2× 36 135＋3× 56 135＋4× 32 135＝145．…12分（21）解：（1）由f (x )≥0得ax －ln xx≥0，从而ax ≥ln x x ，即a ≥ln xx2．…2分设g (x )＝ln xx 2，则g '(x )＝1－2ln x x 3，（x ＞0）所以0＜x ＜e 时，g '(x )＞0，g (x )单调递增； x ＞e 时，g '(x )＜0，g (x )单调递减，所以当x ＝e 时，g (x )取得最大值g (e)＝12e，故a 的取值范围是a ≥12e．…6分（2）设y ＝f (x )的图像与y ＝a 相切于点(t ，a )，依题意可得⎩⎨⎧f (t )＝a ，f '(t )＝0．因为f '(x )＝a －1－ln xx 2，所以⎩⎨⎧at －ln tt＝a ，a －1－ln tt2＝0，消去a 可得t －1－(2t －1)ln t ＝0． …9分令h (t )＝t －1－(2t －1)ln t ，则h '(t )＝1－(2t －1)·1t －2ln t ＝1t－2ln t －1，显然h '(t )在(0，＋∞)上单调递减，且h '(1)＝0， 所以0＜t ＜1时，h '(t )＞0，h (t )单调递增； t ＞1时，h '(t )＜0，h (t )单调递减， 所以当且仅当t ＝1时h (t )＝0． 故a ＝1． …12分（22）解：（1）当α＝ π2时，l ：x ＝1；当α≠ π2时，l ：y ＝tan α(x －1)．由ρsin 2θ＝4cos θ得，ρ2sin 2θ＝4ρcos θ， 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程y 2＝4x ． …5分（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得： (sin 2α)t 2－(4cos α)t －4＝0,则t 1＋t 2＝4cos αsin 2α，t 1t 2＝－4sin 2α，因为|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4sin 2α＝8，所以sin α＝22或－22，因为0＜α＜π，所以sin α＝22，故α＝ π4或3π4．…10分（23）解：（1）∵a ，b 是正实数，∴a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤1，∴(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ≤4， ∴a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时，取“＝”. …5分（2）∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b ) 2＝4， ∴a 2＋b 2≥2，∴(a ＋b 3)(a 3＋b )＝a 4＋b 4＋a 3b 3＋ab ≥a 4＋b 4＋2a 2b 2＝(a 2＋b 2) 2≥4，当且仅当⎩⎨⎧ a ＝b ，a 2b 2＝1，即a ＝b ＝1时，取“＝”.…10分。
【2019年3月唐山一模】河北省唐山市2018-2019学年度高三第一次模拟考试 数学(文)(含答案)
…3 分
…8 分
…12 分P Eຫໍສະໝຸດ O BAFC
…7 分
即点 F 到平面 PEC 的距离为
（19）解： （1）△AF1B 的周长等于|AF1|＋|AB|＋|BF1| ＝|AF1|＋|AF2|＋|BF2|＋|BF1|＝4a， 所以 4a＝4 2，从而 a＝ 2． c 2 因为 e＝ ＝ ，所以 c＝1，即 b2＝a2－c2＝1， a 2 x2 椭圆 C 的方程为 ＋y2＝1． 2 （2）由（1）得 P(0，1)，F2(1，0)． 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 依题意，l 的方程为 x＝3y＋1， 将 l 的方程代入 C 并整理，可得 11y2＋6y－1＝0， 6 1 所以 y1＋y2＝－ ，y1y2＝－ ． 11 11 ＝(3y1＋1)(3y2＋1)＋(y1－1)(y2－1) ＝10y1y2＋2(y1＋y2)＋2 ＝0 所以 PA⊥PB， 综上，点 P 在以 AB 为直径的圆上. （20）解： （1）分层抽样 （2）完成列联表 普查对象类别 顺利 不顺利 合计 企事业单位 个体经营户 合计 40 100 140 10 50 60 50 150 200
π （1）当α＝ 时，l：x＝1； 2 π 当α≠ 时，l：y＝tan α(x－1)． 2 2 由ρsin θ＝4cos θ得，ρ2sin2θ＝4ρcos θ， 因为 x＝ρcos θ ，y＝ρsin θ， 所以曲线 C 的直角坐标方程 y2＝4x． （2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得： (sin 2α)t2－(4cos α)t－4＝0, 4cos α 4 则 t1＋t2＝ 2 ，t1t2＝－ 2 ， sin α sin α 4 因为|AB|＝|t1－t2|＝ (t1＋t2)2－4t1t2＝ 2 ＝8， sin α 2 2 所以 sinα＝ 或－ ， 2 2 2 因为 0＜α＜π，所以 sinα＝ ， 2 π 3π 故α＝ 或 ． 4 4 （23）解： （1）∵a，b 是正实数，∴a＋b≥2 ab， ∴ ab≤1， ∴( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab≤4， ∴ a＋ b≤2， 当且仅当 a＝b＝1 时，取“＝” ． （2）∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b) 2＝4， ∴a2＋b2≥2， ∴(a＋b3)(a3＋b)＝a4＋b4＋a3b3＋ab≥a4＋b4＋2a2b2＝(a2＋b2) 2≥4， a＝b， 当且仅当 2 2 即 a＝b＝1 时，取“＝” ． a b ＝1，
河北省唐山市2019届高三下学期第三次模拟考试数学(文)
唐山市2018—2019学年度高三年级第三次模拟考试文科数学参考答案一．选择题：A 卷：CCAAC ABABB DD B 卷：BCAAD ABACB CD二．填空题：13．4 14．3 2 15． 4 516．(2，＋∞)三．解答题： 17．解：（1）由1，a n ，S n 成等差数列得1＋S n ＝2a n ，① 特殊地，当n ＝1时，1＋S 1＝2a 1，得a 1＝1． 当n ≥2时，1＋S n －1＝2a n －1，②①－②得a n ＝2a n －1，a na n －1＝2(n ≥2)，可知{a n }是首项为1，公比为2的等比数列． 则a n ＝2n －1，S n ＝2a n －1＝2n－1． …6分（2）T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(2＋22＋ (2))－n ＝2(1－2n)1－2－n＝2n ＋1－2－n ． …12分18．解：（1）取AB 1的中点O ，连接OM ，ON ， 在△ABB 1中，O ，M 分别是AB 1，AB 的中点， 则OM ∥BB 1，且OM ＝ 12BB 1，又N 为CC 1的中点，CC 1∥BB 1， 所以NC ∥BB 1，NC ＝ 12BB 1，从而有OM ∥NC 且OM ＝NC ， 所以四边形OMCN 为平行四边形， 所以CM ∥NO ．又因为CM 平面AB 1N ，NO 平面AB 1N ， 所以CM ∥平面AB 1N ．…5分（2）由CC 1⊥平面ABC ，得CC 1⊥AC ，又因为AC ⊥BC ，CC 1∩BC ＝C ，所以AC ⊥平面B 1C 1CB ，连接CB 1，所以∠AB 1C 即为AB 1与平面B 1C 1CB 所成的角，从而有∠AB 1C ＝30，所以B 1C ＝4 3 ，B 1B ＝4 2 ． 由（1）可知CM ∥平面AB 1N ，所以点C 到平面AB 1N 的距离等于点M 到平面AB 1N 的距离．在△AB 1N 中，AN ＝NB 1＝26，AB 1＝8，S △AB 1N ＝8 2 ，在△ACN 中，AC ＝4，CN ＝2 2 ，S △ACN ＝4 2 ， 设点C 到平面AB 1N 的距离为d ，由V B 1-ACN ＝V C -AB 1N 得，13S △AB 1N ·d ＝13S △ACN ·BC ，所以d ＝2，即点M 到平面AB 1N 的距离为2. …12分19．解：（1）设饿了么外卖配送员乙送餐量为16单的5天分别为a ，b ，c ，d ，e ， 送餐量为18单的1天为m ，则6天中抽取2天的所有基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，m )， (b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，m )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，m )，(d ，e )，(d ，m )，(e ，m )，共15个基本事件，…2分这2天的送餐量恰好都为16单的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )， (b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10个基本事件， 故这2天的送餐量恰好都为16单的概率为P ＝1015＝ 23．…5分（2）（ⅰ）则x ¯＝13×230＋14×630＋16×1230＋17×630＋18×230＋20×230＝16，…7分y ¯＝11×430＋13×530＋14×1230＋15×330＋16×530＋18×130＝14． …9分（ⅱ）X －＝30x ¯＝480∈(300，600]，Y －＝30y ¯＝420∈(400，＋∞)， 美团外卖配送员，估计月薪平均为1800＋4X －＝3720元，饿了么外卖配送员，估计月薪平均为2100＋4Y －＝3780元＞3720元， 故小王应选择做饿了么外卖配送员． …12分20．解：（1）因为抛物线Г：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F (1，0)， 所以抛物线Г的方程为y 2＝4x ．由直线l 1的斜率为k 1，且过F (1，0)，得l 1的方程为y ＝k 1(x －1)， 代入y 2＝4x 化简得k 21x 2－(2k 21＋4)x ＋k 21＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2＋4k 21，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4k 21＋4．因为k 1＝33，所以|AB |＝16． …5分（2）由（1）可知，P (1＋2k 21，2k 1)，同理可得Q (1＋2k 22，2k 2)，因为k 1k 2＝－2，则Q (1＋k 212，－k 1)， 当k 1≠±2时，直线PQ 的斜率为k PQ ＝2k 1＋k 12k 21－k 212＝2k 12－k 21， 故直线PQ 的方程为y －2k 1＝2k 12－k 21(x －1－2k 21)，令y ＝0，解得x ＝2，此时直线PQ 过定点(2，0)．…10分当k 1＝±2时，直线PQ 的方程为x ＝2，此时直线PQ 亦过定点(2，0)． 综上所述，直线PQ 过定点(2，0)． …12分21．解：（1）f (x )＝x ln x －x 2＋x ＋1，g (x )＝f (x )＝ln x －2x ＋2，g(x )＝ 1 x －2＝1－2xx，当x ∈(0， 12)时，g(x )＞0，g (x )单调递增；当x ∈( 12，＋∞)时，g(x )＜0，g (x )单调递减；注意到g (1)＝f(1)＝0，则当x ∈( 12，1)时，f(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，f(x )＜0，f (x )单调递减；故当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝1．…5分（2）g (x )＝f (x )＝ln x ＋1－2ax ＋a ，g(x )＝ 1 x －2a ＝1－2ax x，（ⅰ）若a ≤0，则g (x )＞0，g (x )单调递增，至多有一个零点，不合题意．…7分（ⅱ）若a ＞0，则当x ∈(0，12a )时，g(x )＞0，g (x )单调递增；当x ∈(12a，＋∞)时，g(x )＜0，g (x )单调递减；则g (12a )≥g ( 1 2)＝ln 1 2＋1＝ln e 2＞0．不妨设g (x 1)＝g (x 2)，x 1＜x 2，则0＜x 1＜12a ＜x 2＜1．一方面，需要g (1)＜0，得a ＞1．另一方面，由（1）得，当x ＞1时，ln x ＜x －1＜x ，则x ＜e x， 进而，有2a ＜e 2a，则e －2a＜12a， 且g (e－2a)＝－2a e－2a＋1－a ＜0，故存在x 1，使得0＜e－2a＜x 1＜12a．综上，a 的取值范围是(1，＋∞)．…12分22．解：（1）曲线C 的普通方程为：x 24＋y 23＝1，直线l 的直角坐标方程为：x －y －1＝0． …4分（2）由题意知：A (1，0)，B (4，3)，所以|AB |＝32．设点P (2cos φ，3sin φ)，则点P 到AB 的距离为d ＝|2cos φ－3sin φ－1|2＝|7cos(φ＋)－1|2，所以△PAB 的面积S ＝ 1 2·|AB |·d ＝ 3 2|7cos(φ＋)－1|≤3(7＋1)2， 即△PAB 的面积S 的最大值为3(7＋1)2． …10分23．解： （1）∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ，∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤3(a 2＋b 2＋c 2)＝9.∴|a ＋b ＋c |≤3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1或a ＝b ＝c ＝－1时，取等号.故|a ＋b ＋c |的最大值为3.…5分（2）不能成立.理由如下：由柯西不等式，得(ax ＋by ＋cy )2≤(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋y 2)＝3， 当且仅当a x ＝b y ＝cy时取等号，故ax ＋(b ＋c )y ≤3， 故ax ＋(b ＋c )y ＝2不能成立. …10分。
唐山市2018—2019学年度高三年级第一次模拟考试(一模)数学(理)试题.
B． 2e
D． 2e
－
（12） 一个封闭的棱长为 2 的正方体容器， 当水平放置时， 如图， 水面的高度正好为棱长的一半． 若 将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为 A．1 B． 2 2 3 C． 3 D． 3
唐山市高中数学教师群：244569647 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． （13）已知向量 a＝(1，－3)，b＝(m，2)，若 a⊥(a＋b)，则 m＝_____． 3x－y－3≤0， （14）若 x，y 满足约束条件x＋y－1≥0， 则 z＝2x＋y 的最大值为_____． x－y＋1≥0， （15）在四面体 ABCD 中，AB＝BC＝1，AC＝ 2，且 AD⊥CD，该四面体外接球的表面积为_____． （16）已知 O 为坐标原点，圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－2)2＋y2＝4．A，B 分别为圆 M 和圆 N 上的动点，则 S△OAB 的最大值为_____． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答．第(22)，(23)题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． （17） （12 分） 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＋ Sn＝n＋1． （1）求 Sn，an； 2 an＋1 － 0.010 0.001 （2）若 bn＝(－1)n 1• ，{bn}的前 P(K ≥k0) 0.10 n 项和为 Tn， Sn＋n k0 2.706 6.635 10.828 求 Tn． （18） （12 分） 如图，△ABC 中，AB＝BC＝4，∠ABC＝90° ，E，F 分别为 AB，AC 边的中点，以 EF 为折痕 把△AEF 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PB＝BE．
唐山市2018-2019学年度高三年级摸底考试理数学文数学试卷及答案
唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一．选择题：A卷：ADBCD DACCB CBB卷:ADBBD DACAB CB二．填空题：(13)2 （14）错误!（15)2错误!（16)（1，错误!）三．解答题:17．解:（1)由已知可得，2S n＝3a n－1，①所以2S n－1＝3a n－1－1(n≥2），②①－②得，2(S n－S n－1）＝3a n－3a n－1，化简为a n＝3a n－1(n≥2），即错误!＝3（n≥2）, …3分在①中,令n＝1可得,a1＝1, …4分所以数列｛a n｝是以1为首项,3为公比的等比数列，从而有a n＝3n－1．…6分（2）b n＝（n－1）·3n－1，T n＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n－1）·3n－1，③则3T n＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋（n－1）·3n．④③－④得，－2T n＝31＋32＋33＋…＋3n－1－（n－1）·3n, …8分＝错误!－（n－1）·3n＝错误!．…10分所以，T n＝错误!．…12分18．解:（1）由茎叶图可知,甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品，所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率P＝错误!＝错误!．…5分(2）X可取0，1，2,3．…6分P（X＝0）＝错误!＝错误!；P(X＝1）＝错误!＝错误!；P（X＝2)＝错误!＝错误!; P(X＝3)＝错误!＝错误!; …10分X的分布列为∴随机变量X的期望E（X）＝0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＋3×错误!19．解：（1)∵直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，D为AC的中点,∴BD⊥CD，又∵PB⊥CD，BD∩PB＝B,∴CD⊥平面PBD,∴CD⊥PD，又∵AD⊥BD，∴PD⊥BD．又因为BD∩CD＝D，∴PD⊥平面BCD．…5分（2）以D为坐标原点，DA，DB，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D－xyz, 则A(错误!，0，0),B(0，错误!,0），C(－错误!，0,0）,P（0，0，错误!），错误!＝(错误!,0，－错误!），错误!＝(0,错误!，－错误!），错误!＝(错误!，错误!，0）设平面PBC的法向量n＝(x,y,z)，由错误!·n＝0,错误!·n＝0得错误!取n＝（1，－1,－1)．…9分cos〈错误!,n〉＝错误!＝错误!，∴直线P A与平面PBC所成角的正弦值为错误!．…12分20．解：（1）由已知可得，y1＝x21，y2＝x错误!,所以y1－y2＝x错误!－x错误!＝(x1＋x2）（x1－x2)＝2（x1－x2),此时，直线l的斜率k＝错误!＝2．…4分(2）因为OB⊥l,所以k OB＝－错误!，又因为k OB＝错误!＝错误!＝x2，所以，x2＝－错误!，…6分又由（1）可知，x1＋x2＝错误!＝k，从而有，x1＝k－x2＝k＋错误!，所以|AB｜＝1＋k2|x1－x2｜＝错误!｜k＋错误!｜,|OB｜＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，…9分因为|AB｜＝3｜OB｜，所以错误!｜k＋错误!｜＝错误!,化简得,|k3＋2k｜＝3，解得，k＝±1，所以，|AB|＝错误!|k＋错误!｜＝3错误!．…12分21．解：（1）当a＝e时,f(x）＝ln x＋错误!,所以f'(x）＝错误!－错误!．…1分设切点为（x0，f(x0）)，曲线y＝f（x）与y＝m相切，得f'(x0)＝0，解得x0＝1,所以切点为（1，1)．…3分所以m＝1．…4分(2）依题意得f（1）≥错误!，所以1≥错误!，从而a≥e．…5分因为f'（x）＝错误!,a≥e,所以当0＜x＜ln a时,f'(x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln a时，f'（x）＞0,f（x）单调递增，所以当x＝ln a时,f（x）取得最小值log a（ln a）＋错误!．…7分设g(x)＝eln x－x，x≥e，则g'（x）＝错误!－1＝错误!≤0，所以g（x)在［e，＋∞）单调递减，从而g(x）≤g（e）＝0，所以eln x≤x．…10分又a≥e，所以eln a≤a，从而1ln a≥错误!，当且仅当a＝e时等号成立．因为ln a≥1,所以log a(ln a）≥0，即log a（ln a）＋错误!≥错误!．综上,满足题设的a的取值范围为［e,＋∞）．…12分22．解：（1）由ρ2－2错误!ρsin（θ＋错误!)－4＝0得，ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ－4＝0．所以x2＋y2－2x－2y－4＝0．曲线C的直角坐标方程为(x－1）2＋（y－1)2＝6．…5分（2)将直线l的参数方程代入x2＋y2－2x－2y－4＝0并整理得，t2－2（sinα＋cosα）t－4＝0，t1＋t2＝2(sinα＋cosα），t1t2＝－4＜0．||OA｜－｜OB｜｜＝｜｜t1|－|t2｜｜＝|t1＋t2|＝｜2（sinα＋cosα)｜＝｜2错误!sin（α＋错误!）| 因为0≤α＜ ，所以错误!≤α＋错误!＜错误!，从而有－2＜2错误!sin（α＋错误!）≤2错误!．所以|｜OA｜－|OB｜|的取值范围是[0，2错误!]．…10分23．解：（1）由题意得｜x＋1｜＞|2x－1｜，所以｜x＋1｜2＞|2x－1｜2，整理可得x2－2x＜0,解得0＜x＜2，故原不等式的解集为｛x｜0＜x＜2｝．…5分（2)由已知可得，a≥f（x）－x恒成立,设g(x）＝f（x)－x，则g（x）＝错误!由g（x）的单调性可知，x＝错误!时,g（x)取得最大值1,所以a的取值范围是［1，＋∞)．…10分唐山市2018-2019学年度高三年级摸底考试文科数学参考答案一．选择题：A卷：ACDBD CBCDA ACB卷:ACDCD CBCDA AB二．填空题：(13）错误!(14)2 (15）1 （16)(错误!,2］三．解答题：17．解：(1)设数列｛a n｝的首项为a1，公差为d（d≠0），则a n＝a1＋(n－1)d．因为a2，a3，a5成等比数列，所以(a1＋2d)2＝（a1＋d)（a1＋4d)，化简得，a1d＝0，又因为d≠0，所以a1＝0, …3分又因为a4＝a1＋3d＝3,所以d＝1．所以a n＝n－1．…6分（2）b n＝n·2n－1，…7分T n＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①则2T n＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n．②①－②得,－T n＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，…8分＝错误!－n·2n …10分＝（1－n）·2n－1．所以，T n＝(n－1)·2n＋1．…12分18．解:（1）-x甲＝错误!(217＋218＋222＋225＋226＋227＋228＋231＋233＋234）＝226。
唐山市2018-2019学年度高三年级摸底考试理数学文数学试卷及答案
唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一．选择题：✌卷：✌ ✌ 卷：✌ ✌✌ 二．填空题：（ ） （ ）（ ） （ ）☎， ✆三．解答题： ．解：（ ）由已知可得， ⏹＝ ♋⏹－ ， ① 所以 ⏹－ ＝ ♋⏹－ － （⏹≥ ）， ② ①－②得， ☎ ⏹－ ⏹－ ✆＝ ♋⏹－ ♋⏹－ ， 化简为♋⏹＝ ♋⏹－ （⏹≥ ），即♋⏹♋⏹－＝ （⏹≥ ）， … 分在①中，令⏹＝ 可得，♋ ＝ ， … 分 所以数列 ♋⏹❝是以 为首项， 为公比的等比数列，从而有♋⏹＝ ⏹－． … 分 （ ）♌⏹＝☎⏹－ ✆· ⏹－，❆⏹＝ · ＋ · ＋ · ＋…＋☎⏹－ ✆· ⏹－ ， ③则 ❆⏹＝ · ＋ · ＋ · ＋…＋☎⏹－ ✆· ⏹． ④③－④得，－ ❆⏹＝ ＋ ＋ ＋…＋ ⏹－－☎⏹－ ✆· ⏹， … 分 ＝ － ⏹ －－☎⏹－ ✆· ⏹＝☎－ ⏹✆· ⏹－． … 分所以，❆⏹＝☎⏹－ ✆· ⏹＋． … 分 ．解：（ ）由茎叶图可知，甲当天生产了 个零件，其中 个一等品， 个二等品；乙当天生产了 个零件，其中 个一等品， 个二等品， 所以，抽取的 个零件等级互不相同的概率＝× ＋ × × ＝． … 分（ ）✠可取 ， ， ， ． … 分☎✠＝ ✆＝ ＝； ☎✠＝ ✆＝＝；☎✠＝ ✆＝ ＝； ☎✠＝ ✆＝＝； … 分✠的分布列为∴随机变量✠的期望☜☎✠✆＝ ×＋ ×＋ ×＋ ×＝． … 分．解：（ ）∵直角三角形✌中，✌＝ ＝ ， 为✌的中点，∴ ⊥ ，又∵ ⊥ ， ∩ ＝ ， ∴ ⊥平面 ， ∴ ⊥ ， 又∵✌⊥ ， ∴ ⊥ ． 又因为 ∩ ＝ ，∴ ⊥平面 ． … 分（ ）以 为坐标原点， ✌， ， 所在直线分别为⌧轴，⍓轴， 轴，建立空间直角坐标系 －⌧⍓， 则✌☎ ， ， ✆， ☎， ， ✆， ☎－ ， ， ✆， ☎， ， ✆，✌❼＝☎ ， ，－ ✆， ❼＝☎， ，－ ✆， ❼＝☎ ， ， ✆ 设平面 的法向量⏹＝☎⌧，⍓， ✆，由 ❼·⏹＝ ， ❼·⏹＝ 得⎩⎪⎨⎪⎧ ⍓－ ＝ ， ⌧＋ ⍓＝ ，取⏹＝☎，－ ，－ ✆． … 分♍☐♦↑ ✌❼，⏹⇧＝ ✌❼ ⏹ ✌❼ ⏹ ＝ ， ∴直线 ✌与平面 所成角的正弦值为． … 分 ．解：（ ）由已知可得，⍓ ＝⌧ ，⍓ ＝⌧，所以⍓ －⍓ ＝⌧ －⌧ ＝☎⌧ ＋⌧ ✆☎⌧ －⌧ ✆＝ ☎⌧ －⌧ ✆，此时，直线●的斜率 ＝⍓ －⍓⌧ －⌧＝ ． … 分（ ）因为 ⊥●，所以 ＝－，又因为 ＝⍓ ⌧ ＝⌧⌧＝⌧ ，所以，⌧ ＝－， … 分又由（ ）可知，⌧ ＋⌧ ＝⍓ －⍓⌧ －⌧＝ ，从而有，⌧ ＝ －⌧ ＝ ＋，所以 ✌ ＝ ＋ ⌧ －⌧ ＝ ＋＋， ＝⌧＋⍓＝⌧＋⌧＝＋＝＋， … 分因为 ✌ ＝ ，所以 ＋＋＝ ＋，化简得， ＋ ＝ ， 解得， ＝± ，所以， ✌ ＝ ＋＋＝ ． … 分．解：（ ）当♋＝♏时，♐☎⌧✆＝●⏹⌧＋⌧，所以♐ ☎⌧✆＝⌧－⌧ ． … 分设切点为☎⌧ ，♐☎⌧ ✆✆，曲线⍓＝♐☎⌧✆与⍓＝❍相切，得♐ ☎⌧ ✆＝ ，解得⌧ ＝ ，所以切点为（ ， ）． … 分 所以❍＝ ． … 分 （ ）依题意得♐☎✆≥♏♋，所以 ≥ ♏♋，从而♋≥♏． … 分因为♐ ☎⌧✆＝⌧－●⏹♋⌧ ●⏹♋，♋≥♏，所以当 ＜⌧＜●⏹♋时，♐ ☎⌧✆＜ ，♐☎⌧✆单调递减； 当⌧＞●⏹♋时，♐ ☎⌧✆＞ ，♐☎⌧✆单调递增，所以当⌧＝●⏹♋时，♐☎⌧✆取得最小值●☐♑♋☎●⏹♋✆＋●⏹♋． … 分设♑☎⌧✆＝♏●⏹⌧－⌧，⌧≥♏， 则♑ ☎⌧✆＝♏⌧－ ＝♏－⌧⌧≤ ，所以♑☎⌧✆在☯♏，＋ ✆单调递减，从而♑☎⌧✆≤♑☎♏✆＝ ，所以♏●⏹⌧≤⌧． … 分 又♋≥♏，所以♏●⏹♋≤♋，从而●⏹♋≥ ♏♋，当且仅当♋＝♏时等号成立．因为●⏹♋≥ ，所以●☐♑♋☎●⏹♋✆≥ ， 即●☐♑♋☎●⏹♋✆＋●⏹♋≥♏♋．综上，满足题设的♋的取值范围为☯♏，＋∞✆． … 分 ．解：（ ）由⇧ － ⇧♦♓⏹☎→＋ ⇨✆－ ＝ 得，⇧ － ⇧♍☐♦→－ ⇧♦♓⏹→－ ＝ ．所以⌧ ＋⍓ － ⌧－ ⍓－ ＝ ．曲线 的直角坐标方程为☎⌧－ ✆ ＋☎⍓－ ✆ ＝ ． … 分 （ ）将直线●的参数方程代入⌧ ＋⍓ － ⌧－ ⍓－ ＝ 并整理得，♦ － ☎♦♓⏹↑＋♍☐♦↑✆♦－ ＝ ，♦ ＋♦ ＝ ☎♦♓⏹↑＋♍☐♦↑✆，♦ ♦ ＝－ ＜ ．✌ － ＝ ♦－ ♦＝ ♦＋♦＝ ☎♦♓⏹↑＋♍☐♦↑✆＝♦♓⏹☎↑＋ ⇨✆因为 ≤↑＜☐，所以⇨≤↑＋⇨＜ ⇨，从而有－ ＜ ♦♓⏹☎↑＋ ⇨✆≤．所以 ✌ － 的取值范围是☯， ． … 分 ．解：（ ）由题意得 ⌧＋ ＞ ⌧－ 所以 ⌧＋ ＞ ⌧－ 整理可得⌧ － ⌧＜ ，解得 ＜⌧＜ ，故原不等式的解集为 ⌧ ＜⌧＜ ❝． … 分 （ ）由已知可得，♋≥♐☎⌧✆－⌧恒成立，设♑☎⌧✆＝♐☎⌧✆－⌧，则♑☎⌧✆＝⎩⎪⎨⎪⎧－ ， ⌧＜－ ，⌧，－ ≤⌧≤，－ ⌧＋ ， ⌧＞，由♑☎⌧✆的单调性可知，⌧＝时，♑☎⌧✆取得最大值 ，所以♋的取值范围是☯，＋ ）． … 分唐山市 — 学年度高三年级摸底考试文科数学参考答案一．选择题：✌卷：✌ ✌ ✌卷：✌ ✌ ✌二．填空题：（ ）（ ） （ ） （ ）☎ ， 三．解答题：．解：（ ）设数列 ♋⏹❝的首项为♋ ，公差为♎（♎≠ ），则♋⏹＝♋ ＋☎⏹－ ✆♎．因为♋ ，♋ ，♋ 成等比数列，所以☎♋ ＋ ♎✆ ＝☎♋ ＋♎✆☎♋ ＋ ♎✆，化简得，♋ ♎＝ ，又因为♎≠ ，所以♋ ＝ ， … 分又因为♋ ＝♋ ＋ ♎＝ ，所以♎＝ ．所以♋⏹＝⏹－ ． … 分（ ）♌⏹＝⏹· ⏹－ ， … 分❆⏹＝ · ＋ · ＋ · ＋…＋⏹· ⏹－ ， ①则 ❆⏹＝ · ＋ · ＋ · ＋…＋⏹· ⏹ ． ②①－②得，－❆⏹＝ ＋ ＋ ＋…＋ ⏹－ －⏹· ⏹， … 分＝ － ⏹－ －⏹·⏹ … 分＝☎－⏹✆· ⏹－ ．所以，❆⏹＝☎⏹－ ✆· ⏹＋ ． … 分 ．解：（ ） ⌧甲＝☎＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ✆＝ ；⌧乙＝☎＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ✆＝ ； … 分（ ）由抽取的样本可知，应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为，二等品的概率为，故采用甲工艺生产该零件每天取得的利润：♦甲＝ ×× ＋ ×× ＝ 元； … 分应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为，故采用乙工艺生产该零件每天取得的利润：♦乙＝ ×× ＋ ×× ＝ 元． … 分因为♦甲＞♦乙，所以采用甲工艺生产该零件每天取得的利润更高． … 分 ．解：（ ）∵直角三角形✌中，✌＝ ＝ ，为✌的中点，∴ ⊥ ，又∵ ⊥ ， ∩ ＝ ，∴ ⊥平面 ，又因为 平面 ，∴ ⊥ ． … 分（ ）∵✌⊥ ，∴ ⊥ ．又∵ ⊥ ， ∩ ＝ ，∴ ⊥平面 ． … 分在直角三角形✌中，✌＝ ＝ ，所以 ＝✌＝ ， ＝ ＝ ＝ ．△✌＝ ， △ ＝ ，设✌点到平面 的距离为♎，由✞ ✌＝✞✌ 得，△✌× ＝ △ ×♎，∴♎＝ △✌× △ ＝．即✌点到平面 的距离为． … 分．解：（ ）设直线●的方程为⍓＝ ⌧＋❍，✌☎⌧ ，⍓ ✆， ☎⌧ ，⍓ ✆，由⎩⎨⎧⍓＝ ⌧＋❍，⌧ ＝ ⍓得，⌧ － ⌧－ ❍＝ ，＝ ＋ ❍，⌧ ＋⌧ ＝ ，⌧ ⌧ ＝－ ❍，… 分 因为✌的中点在⌧＝ 上，所以⌧ ＋⌧ ＝ ．即 ＝ ，所以 ＝ ． … 分（） 到直线●的距离♎＝ ❍， ＝ －❍，… 分 所以 ✌ ＝ ＋ ⌧ －⌧ ＝ ·☎⌧ ＋⌧ ✆ － ⌧ ⌧ ＝ · ＋ ❍， … 分因为 ✌ ＝ 所以 · ＋ ❍＝－❍， 化简得❍ ＋ ❍－ ＝ ， 所以❍＝－ 或❍＝ ． … 分 由⎩⎨⎧ ＞ ，♎＜ 得－ ＜❍＜ ．所以❍＝ ，直线●的方程为⍓＝⌧＋ ． … 分．解：（ ）♐ ☎⌧✆＝ ☎●⏹⌧＋ ✆． … 分所以当⌧∈☎ ，♏✆时，♐ ☎⌧✆＜ ，♐☎⌧✆单调递减；当⌧∈☎♏，＋∞✆时，♐ ☎⌧✆＞ ，♐☎⌧✆单调递增．所以⌧＝ ♏时，♐☎⌧✆取得最小值♐☎ ♏✆＝ －♏． … 分（ ）⌧ －⌧＋⌧＋ ●⏹⌧－♐☎⌧✆＝⌧☎⌧－ ✆－⌧－⌧－ ☎⌧－ ✆●⏹⌧＝☎⌧－ ✆☎⌧－⌧－ ●⏹⌧✆， … 分令♑☎⌧✆＝⌧－ ⌧－ ●⏹⌧，则♑ ☎⌧✆＝ ＋ ⌧ － ⌧＝ ☎⌧－ ✆⌧ ≥ ，所以♑☎⌧✆在☎，＋∞✆上单调递增，又因为♑☎✆＝ ，所以当 ＜⌧＜ 时，♑☎⌧✆＜ ；当⌧＞ 时，♑☎⌧✆＞ ， … 分所以☎⌧－ ✆☎⌧－⌧－ ●⏹⌧✆≥ ，即♐☎⌧✆≤⌧ －⌧＋⌧＋ ●⏹⌧． … 分．解：（ ）由⇧ － ⇧♦♓⏹☎→＋ ⇨✆－ ＝ 得，⇧ － ⇧♍☐♦→－ ⇧♦♓⏹→－ ＝ ．所以⌧ ＋⍓ － ⌧－ ⍓－ ＝ ．曲线 的直角坐标方程为☎⌧－ ✆ ＋☎⍓－ ✆ ＝ ． … 分 （ ）将直线●的参数方程代入⌧ ＋⍓ － ⌧－ ⍓－ ＝ 并整理得，♦ － ☎♦♓⏹↑＋♍☐♦↑✆♦－ ＝ ，♦ ＋♦ ＝ ☎♦♓⏹↑＋♍☐♦↑✆，♦ ♦ ＝－ ＜ ．✌ － ＝ ♦ － ♦ ＝ ♦ ＋♦ ＝ ☎♦♓⏹↑＋♍☐♦↑✆＝ ♦♓⏹☎↑＋ ⇨ ✆因为 ≤↑＜☐，所以 ⇨ ≤↑＋ ⇨ ＜ ⇨ ， 从而有－ ＜ ♦♓⏹☎↑＋ ⇨ ✆≤ ．所以 ✌ － 的取值范围是☯， ． … 分 ．解：（ ）由题意得 ⌧＋ ＞ ⌧－ 所以 ⌧＋ ＞ ⌧－ 整理可得⌧ － ⌧＜ ，解得 ＜⌧＜ ，故原不等式的解集为 ⌧ ＜⌧＜ ❝． … 分 （ ）由已知可得，♋≥♐☎⌧✆－⌧恒成立，设♑☎⌧✆＝♐☎⌧✆－⌧，则♑☎⌧✆＝⎩⎪⎨⎪⎧－ ， ⌧＜－ ， ⌧，－ ≤⌧≤ ，－ ⌧＋ ， ⌧＞ ， 由♑☎⌧✆的单调性可知，⌧＝ 时，♑☎⌧✆取得最大值 ， 所以♋的取值范围是☯，＋ ）． … 分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：ADBCDDACCB CB B 卷：ADBBD DACAB CB二．填空题：（13）2 （14） 1 2 （15）2 6 （16）(1，3)三．解答题：17．解：（1）由已知可得，2S n ＝3a n －1，① 所以2S n －1＝3a n －1－1 （n ≥2）， ②①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，化简为a n ＝3a n －1（n ≥2），即a n a n －1＝3（n ≥2）， …3分 在①中，令n ＝1可得，a 1＝1， …4分所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有a n ＝3n －1．…6分 （2）b n ＝(n －1)·3n －1，T n ＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n －1)·3n －1， ③则3T n ＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ． ④③－④得，－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －1－(n －1)·3n ，…8分 ＝3－3n1－3－(n －1)·3n ＝(3－2n )·3n －32．…10分 所以，T n ＝(2n －3)·3n ＋34． …12分 18．解：（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品， 所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率P ＝4×5＋6×510×10＝ 1 2．…5分 （2）X 可取0，1，2，3．…6分 P (X ＝0)＝C 04C 36C 310＝ 1 6；P (X ＝1)＝C 14C 26C 310＝ 1 2； P (X ＝2)＝C 24C 16C 310＝ 3 10； P (X ＝3)＝C 34C 06C 310＝ 1 30； …10分X 的分布列为∴随机变量X 的期望E (X )＝0× 1 6＋1× 1 2＋2× 3 10＋3× 1 30＝ 6 5． …12分19．解：（1）∵直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，D 为AC 的中点，∴BD ⊥CD ， 又∵PB ⊥CD ，BD ∩PB ＝B ，∴CD ⊥平面PBD ，∴CD ⊥PD ，又∵AD ⊥BD ，∴PD ⊥BD ．又因为BD ∩CD ＝D ，∴PD ⊥平面BCD ． …5分（2）以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ， 则A (2，0，0)，B (0，2，0)，C (－2，0，0)，P (0，0，2)，PA →＝(2，0，－2)，PB →＝(0，2，－2)，CB →＝(2，2，0)设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由PB →·n ＝0，CB →·n ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，2x ＋2y ＝0，取n ＝(1，－1，－1)． …9分cos PA →，n ＝PA →·n |PA →||n |＝63，∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为63．…12分 20．解：（1）由已知可得，y 1＝x 21，y 2＝x 22，所以y 1－y 2＝x 21－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(x 1－x 2)，此时，直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2．…4分 （2）因为OB ⊥l ，所以k OB ＝－ 1k ，又因为k OB ＝y 2x 2＝x 22x 2＝x 2，所以，x 2＝－ 1k ，…6分 又由（1）可知，x 1＋x 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝k ，从而有，x 1＝k －x 2＝k ＋ 1k ，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|k ＋ 2k |，|OB |＝x 22＋y 22＝x 22＋x 42＝1k 2＋1k 4＝1＋k 2k 2，…9分 因为|AB |＝3|OB |，所以1＋k 2|k ＋ 2 k |＝31＋k 2k 2，化简得，|k 3＋2k |＝3，解得，k ＝±1，所以，|AB |＝1＋k 2|k ＋ 2k |＝32．…12分 21．解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ 1x ，所以f (x )＝ 1 x － 1 x 2． …1分 设切点为(x 0，f (x 0))，曲线y ＝f (x )与y ＝m 相切，得f(x 0)＝0， 解得x 0＝1，所以切点为（1，1）．…3分 所以m ＝1． …4分（2）依题意得f (1)≥ e a ，所以1≥ ea ，从而a ≥e ．…5分 因为f (x )＝x －ln ax 2ln a ，a ≥e ，所以当0＜x ＜ln a 时，f (x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞ln a 时，f (x )＞0，f (x )单调递增，所以当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值log a (ln a )＋ 1ln a ．…7分 设g (x )＝eln x －x ，x ≥e ，则g (x )＝ e x －1＝e －xx ≤0，所以g (x )在[e ，＋∞)单调递减，从而g (x )≤g (e)＝0，所以eln x ≤x ．…10分 又a ≥e ，所以eln a ≤a ，从而 1 ln a ≥ ea ，当且仅当a ＝e 时等号成立．因为ln a ≥1，所以log a (ln a )≥0，即log a (ln a )＋ 1 ln a ≥ea ．综上，满足题设的a 的取值范围为[e ，＋∞)．…12分 22．解：（1）由ρ2－22ρsin (θ＋ π4)－4＝0得，ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0．所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0．曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6．…5分（2）将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得，t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4＜0．||OA |－|OB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin (α＋ π 4)| 因为0≤α＜，所以 π 4≤α＋ π 4＜5π4，从而有－2＜22sin (α＋ π4)≤22．所以||OA |－|OB ||的取值范围是[0，22]．…10分 23．解：（1）由题意得|x ＋1|＞|2x －1|,所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,整理可得x 2－2x ＜0，解得0＜x ＜2，故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}．…5分 （2）由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＜－1，2x ，－1≤x ≤ 12，－2x ＋2， x ＞ 12，由g (x )的单调性可知，x ＝ 12时，g (x )取得最大值1，所以a 的取值范围是[1，＋∞）． …10分唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试文科数学参考答案一．选择题：A卷：ACDBD CBCDA ACB卷：ACDCD CBCDA AB二．填空题：（13）12（14）2 （15）1 （16）(3，2]三．解答题：17．解：（1）设数列{a n}的首项为a1，公差为d（d≠0），则a n＝a1＋(n－1)d．因为a2，a3，a5成等比数列，所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋4d)，化简得，a1d＝0，又因为d≠0，所以a1＝0，…3分又因为a4＝a1＋3d＝3，所以d＝1．所以a n＝n－1．…6分（2）b n＝n·2n－1，…7分T n＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①则2T n＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n．②①－②得，－T n＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，…8分＝1－2n1－2－n·2n …10分＝(1－n)·2n－1．所以，T n＝(n－1)·2n＋1．…12分18．解：（1）-x甲＝110(217＋218＋222＋225＋226＋227＋228＋231＋233＋234)＝226.1；-x乙＝110(218＋219＋221＋224＋224＋225＋226＋228＋230＋232)＝224.7；…4分（2）由抽取的样本可知，应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为25，二等品的概率为35，故采用甲工艺生产该零件每天取得的利润：w甲＝300×25×30＋300×35×20＝7200元；…7分应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为12，故采用乙工艺生产该零件每天取得的利润：w乙＝280×12×30＋280×12×20＝7000元．…10分因为w甲＞w乙，所以采用甲工艺生产该零件每天取得的利润更高．…12分19．解：（1）∵直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，D为AC的中点，∴BD⊥CD，又∵PB ⊥CD ，BD ∩PB ＝B ，∴CD ⊥平面PBD ，又因为PD 平面PBD ，∴PD ⊥CD ． …5分（2）∵AD ⊥BD ，∴PD ⊥BD ．又∵PD ⊥CD ，BD ∩CD ＝D ，∴PD ⊥平面BCD ．…8分 在直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，所以PD ＝AD ＝2，PB ＝PC ＝BC ＝2．S △ABC ＝2，S △PBC ＝3，设A 点到平面PBC 的距离为d ，由V P -ABC ＝V A -PBC 得，1 3S △ABC ×PD ＝ 13S △PBC ×d ，∴d ＝S △ABC ×PD S △PBC ＝ 263．即A 点到平面PBC 的距离为 263．…12分 20．解：（1）设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2y 得，x 2－2kx －2m ＝0，＝4k 2＋8m ，x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ，…2分 因为AB 的中点在x ＝1上，所以x 1＋x 2＝2．即2k ＝2，所以k ＝1．…4分 （2）O 到直线l 的距离d ＝|m |2，|CD |＝212－m 22， …5分所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22·1＋2m ，…6分因为|AB |＝|CD |,所以22·1＋2m ＝212－m 22， 化简得m 2＋8m －20＝0， 所以m ＝－10或m ＝2． …10分 由⎩⎨⎧＞0，d ＜23得－ 12＜m ＜26．所以m ＝2，直线l 的方程为y ＝x ＋2．…12分 21．解：（1）f (x )＝2(ln x ＋1)．…1分 所以当x ∈(0， 1e )时，f (x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈( 1e ，＋∞)时，f (x )＞0，f (x )单调递增．所以x ＝ 1 e 时，f (x )取得最小值f ( 1 e )＝1－ 2e ．…5分 （2）x 2－x ＋ 1x ＋2ln x －f (x )＝x (x －1)－x －1x －2(x －1)ln x＝(x －1)(x － 1x －2ln x )，…7分 令g (x )＝x － 1 x －2ln x ，则g (x )＝1＋ 1 x 2－ 2 x ＝ (x －1)2x 2≥0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又因为g (1)＝0，所以当0＜x ＜1时，g (x )＜0；当x ＞1时，g (x )＞0，…10分 所以(x －1)(x － 1x －2ln x )≥0，即f (x )≤x 2－x ＋ 1x ＋2ln x ．…12分 22．解：（1）由ρ2－22ρsin (θ＋ π 4)－4＝0得， ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0． 所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0．曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6． …5分（2）将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得，t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4＜0．||OA |－|OB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin (α＋ π 4)|因为0≤α＜，所以 π 4≤α＋ π4＜5π4， 从而有－2＜22sin (α＋ π 4)≤22． 所以||OA |－|OB ||的取值范围是[0，22]．…10分 23．解：（1）由题意得|x ＋1|＞|2x －1|,所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,整理可得x 2－2x ＜0，解得0＜x ＜2，故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}． …5分（2）由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＜－1，2x ，－1≤x ≤ 1 2，－2x ＋2， x ＞ 12， 由g (x )的单调性可知，x ＝ 12时，g (x )取得最大值1， 所以a 的取值范围是[1，＋∞）．…10分。