2018-2019学年河南省豫南九校高二上学期第三次联考数学(理)试题 解析版
河南省商丘市九校2018-2019学年高二上学期期末联考数学(理)试题 Word版含解析
2018-2019学年上期期末联考高二数学（理科）一.选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地）1.命题：地否定是 ( )A. B.C. D.【结果】A【思路】【思路】由全称命题地否定直接改写即可.【详解】因为全称命题地否定为特称命题,所以命题：地否定是：.【点睛】本题主要考查含有一个量词地命题地否定,一般只需要改量词和结论即可,属于基础题型.2.已知,则下面不等式成立地是 ( )A. B. C. D.【结果】B【思路】【思路】利用不等式地基本性质即可得出结果.【详解】因为,所以,所以,故选B【点睛】本题主要考查不等式地基本性质,属于基础题型.3.在单调递增地等差数列中,若,则 ( )A. －1B.C. 0D.【结果】C【思路】【思路】先设等差数列地公差为,由题中款件列出方程组,求解即可.【详解】设等差数列地公差为,因为,所以有：,解方程组得：。
故选C【点睛】本题主要考查等差数列地性质,由题意列方程组求公差和首项即可,属于基础题型.4.△ABC地内角A,B,C地对边分别为a,b,c.已知,,,则 ( )A. B. 3 C. 2 D.【结果】B【思路】【思路】由余弦定理,列出方程,直接求解即可.【详解】因为,,,由余弦定理可得：,解得或,故,选B【点睛】本题主要考查余弦定理,熟记公式即可,属于基础题型.5.设,则“”是“”地 ( )A. 充分而不必要款件B. 既不充分也不必要款件C. 充要款件D. 必要而不充分款件【结果】D【思路】【思路】先解不等式和不等式,然后结合充要款件地定义判断即可.【详解】由得。
由得,所以由能推出。
由不能推出,故“”是“”地必要不充分款件.故选D【点睛】本题主要考查充分款件和必要款件,结合概念直接判断即可,属于基础题型.6.曲线在点（1,1）处切线地斜率等于（）.A. B. C. 2 D. 1【结果】C【思路】试题思路：由,得,故,故切线地斜率为,故选C.考点：导数地集合意义.7.已知向量且互相垂直,则地值是 ( )A. B. 2 C. D. 1【结果】A【思路】【思路】由向量垂直,可得对应向量数量积为0,从而可求出结果.【详解】因为,所以,,又互相垂直,所以,即,即,所以;故选A【点睛】本题主要考查向量地数量积地坐标运算,属于基础题型.8.若实数x,y满足约束款件则地最大值是( )A. 2B. 0C. 1D. －4【结果】C【思路】【思路】先由约束款件作出可行域,化目标函数为直线方程地斜截式,由截距地取值范围确定目标函数地最值即可.【详解】由约束款件作出可行域如图所示,目标函数可化为,所以直线在y轴截距越小,则目标函数地值越大,由图像易知,当直线过点A时,截距最小,所以目标函数最大为.故选C【点睛】本题主要考查简单地线性规划,只需依据约束款件作出可行域,化目标函数为直线地斜截式,求在y轴截距,即可求解,属于基础题型.9.已知AB是抛物线地一款焦点弦,,则AB中点C地横坐标是 ( )A. 2B.C.D.【结果】B【思路】【思路】先设两点地坐标,由抛物线地定义表示出弦长,再由题意,即可求出中点地横坐标.【详解】设,C地横坐标为,则,因为是抛物线地一款焦点弦,所以,所以,故.故选B【点睛】本题主要考查抛物线地定义和抛物线地简单性质,只需熟记抛物线地焦点弦公式即可求解,属于基础题型.10.若不等式地解集为,那么不等式地解集为 ( )A. B.C. D.【结果】D【思路】【思路】依据题中所给地二次不等式地解集,结合三个二次地关系得到,由根与系数地关系求出地关系,再代入不等式,求解即可.【详解】因为不等式地解集为,所以和是方程地两根,且,所以,即,代入不等式整理得,因为,所以,所以,故选D【点睛】本题主要考查含参数地一圆二次不等式地解法,已知一圆二次不等式地解求参数,通常用到韦达定理来处理,难度不大.11.已知双曲线地左.右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足,则地面积为 ( )A. 1B.C.D.【结果】A【思路】【思路】由双曲线地定义可得,联立可求出地长,进而可求三角形地面积.【详解】由双曲线地定义可得,又,两式联立得：,,又,所以,即为直角三角形,所以.故选A【点睛】本题主要考查双曲线地简单性质,双曲线地焦点三角形问题,一般需要借助抛物线地性质,结合题中款件来处理,难度不大.12.若函数有两个零点,则实数a地取值范围为 ( )A. B. C. D.【结果】C【思路】【思路】先求出函数地导函数,利用导函数求出函数地最小值,再依据函数地零点和最值之间地关系即可求出参数地范围.【详解】因为函数地导函数为,令,得,所以当时,,函数单调递减。
河南省豫南九校2019-2020学年高二上学期第三次联考数学(理)试题Word版含答案
河南省豫南九校2019-2020学年高二上学期第三次联考数学（理）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“若2018a >，则2017a >”的逆命题是（ ） A ．若2017a >，则2018a > B ．若2017a ≤，则2018a > C ．若2017a >，则2018a ≤ D ．若2017a ≤，则2018a ≤2.椭圆2228x y +=的长轴长是（ ） A ．2B．C ．4D．3.若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．4D ．54.数列{}n a 的通项公式为323n a n =-，当n S 取到最小时，n =（ ） A ．5B ．6 C. 7D ．85.过抛物线24y x =的焦点F 作与对称轴垂直的直线交抛物线24y x =于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的标准方程为（ ） A ．22(1)4x y ++= B ．22(1)4x y -+= C. 22(1)4x y ++= D ．22(1)4x y +-=6.当1x >时不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3]-∞ B ．[3,)+∞C.(,2]-∞ D ．[2,)+∞7.成等差数列的三个正数的和等于12，并且这三个数分别加上1，4，11后成为等比数列{}n b 中的2b ，3b ，4b ，则数列{}n b 的通项公式为（ ）A ．2n n b =B ．3nn b =C. 12n n b -= D ．13n n b -=8.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2B A =，1a =，b =c =（ ）A ．1或2B ．2D ．19.等差数列{}n a 中，*,,,m n s t N ∈，则m n s t +=+是m n s t a a a a +=+的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件 C. 必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10.在ABC ∆中，若sin sin sin 0a A b B c C +-=，则圆22:1C x y +=与直线:0l ax by c ++=的位置关系是（ ） A ．相切B ．相交C.相离 D ．不确定11.设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若sin cos 0b A B =，且2b ac =，则a cb+的值为（ ）A ．2BC. 2D ．412.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点(2,0)F ，P 为抛物线上的任一点，过点P 作圆22:12340E x y x +-+=的切线，切点分别为M ，N ，则四边形PMEN 的面积最小值为（ ）A B ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.抛物线24y ax =（a R ∈且0a ≠）的焦点坐标为 ．14.ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 2c B a b =+，则C ∠= ． 15.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，*12(3,)n n n a a a n n N --=+≥∈，记其前n 项和为n S ，设2018a t =（t 为常数），则2016201520142013S S S S +--= ．（用t 表示）16.已知等比数列{}n a 的前n 项和1133n n S t -=⋅-，则函数(2)(10)(0)x x y x x t++=>+的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）求抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值. 18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，且关于x 的不等式2130a x dx --<的解集为(1,3)-.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1(3)n n b n a =+，求数列{}n b 前n 项和n S .19.（本题满分12分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin A B C C -+sin sin sin sin BA B C=+-. （1）求角A ；（2）若ABC ∆的外接圆半径为1，求ABC ∆的面积S 的最大值. 20.（本小题满分12分） （1）解不等式22032x x x ->++；（2）已知,,a b c R +∈，求证：11()()4a b c a b c+++≥+. 21.（本小题满分12分）已知命题:p x R ∀∈，240mx x m ++≤. （1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若有命题:[2,8]q x ∃∈，2log 10m x +≥，当p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，求实数m 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知(2,0)A -，(2,0)B ，点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为34-. （1）求动点C 的轨迹方程；（2）设直线l 与（1）中轨迹相切于点P ，与直线4x =相交于点Q ，且(1,0)F ，求证：90PFQ ∠=︒.河南省豫南九校2019-2020学年高二上学期第三次联考数学（理）试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1-5: ADCCB 6-10: AABBA 11、12：CD1. 【解析】命题的逆命题需将条件和结论交换，因此逆命题为：若2017a >，则2018a >.2. 【解析】椭圆方程变形为22148x y +=，28a =，∴a =2a =. 3. 【解析】作出如图可行域，则当2z x y =+经过点P 时，取最大值，而(1,2)P ，∴所求最大值为4，故选C .4. 【解析】∵数列{}n a 的通项公式323n a n =-，∴数列{}n a 为公差为3的递增的等差数列，令3230n a n =-≥可得233n ≥，∴数列{}n a 的前7项为负数，从第8项开始为正数∴S 取最小值时，n 为7，故选C .5. 【解析】由抛物线的性质知AB 为通径，焦点坐标为(1,0)，直径2||24R AB p ===，即2R =，所以圆的标准方程为22(1)4x y -+=，故选B .6. 【解析】∵1x >∴111111x x x x +=-++≥--13=，当且仅当111x x -=-即2x =时等号成立，所以最小值为3∴3a ≤，实数a 的取值范围是(,3]-∞7. 【解析】设成等差数列的三个正数为a d -，a ，a d +，即有312a =，计算得出4a =，根据题意可得41d -+，44+，411d ++成等比数列，即为5d -，8，15d +成等比数列，即有(5)(15)64d d -+=，计算得出1d =（11-舍去），即有4，8，16成等比数列，可得公比为2，则数列{}n b 的通项公式为2222422n n n n b b --==⨯=.8. 【解析】∵2B A =，1a =，b =sin sin a b A B=得：1sin A ===cos A =由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即2133c c =+-， 解得：2c =或1c =（经检验不合题意，舍去），则2c =，故选B .9. 【解析】由等差数列的性质知：*,,,m n s t N ∈，m n s t +=+时m n s t a a a a +=+成立.反之：等差数列{}n a 为常数列，m n s t a a a a +=+对任意*,,,m n s t N ∈成立，故选B .10. 【解析】因为sin sin sin 0a A b B c C +-=，所以2220a b c +-=，圆心(0,0)C 到直线:0l ax by c ++=的距离1d r ===，故圆22:1C x y +=与直线:0l ax by c ++=相切，故选A .11. 【解析】由sin cos 0b A B =可得sin sin cos 0B A A B =，从而tan B =3B π=，从2b ac =可联想到余弦定理：2222cos b a c ac B =+-22a c ac =+-，所以有222()0a c ac ac a c +-=⇒-=，从而a c =.再由2b ac =可得a b c ==，所以a cb+的值为2.12. 【解析】由题意可知抛物线的方程为28y x =，圆E 的圆心为(6,0)E ，半径为r =设(,)P x y ，则||PM ====.所以当2x =时，切线长||PM PMEN 的面积取得最小值，最小值为min ||PM r ⨯==D .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 1(0,)16a14. 120︒ 15. t 16.16 13. 【解析】由题意可得214x y a =，所以焦点在y 轴上，且124p a =∴18p a =则焦点坐标为1(0,)16a.14. 【解析】方法一：∵2cos 2c B a b =+，∴222222a c b c a b ac +-⨯=+，即222a b c ab +-=-， ∴2221cos 22a b c C ab +-==-，∴120C =︒. 方法二：∵2cos 2c B a b =+，∴2sin cos C B 2(sin cos cos sin )sin C B C B B =++ ∴1cos 2C =-，∴120C =︒.15. 【解析】2016201520142013S S S S +--2015201620152014a a a a =+++201720162018a a a t =+==.16. 【解析】因为111(1)111n n n a q a a S q q q q -==----，而题中11133333n n n t S t -=⋅-=⋅-，易知133t -=-，故1t =；所以(2)(10)x x y x t ++=+(2)(10)1x x x ++=+91101x x =++++，即1016y ≥=，等号成立条件为9121x x x +=⇒=+，所以最小值为16. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 【解析】法一：如图，设与直线4380x y +-=平行且与抛物线2y x =-相切的直线为430x y b ++=，切线方程与抛物线方程联立得2430y x x y b ⎧=-⎨++=⎩去y 整理得2340x x b --=，则16120b ∆=+=，解得43b =-，所以切线方程为44303x y +-=，抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是这两条平行线间的距离4|8|4353d -==.法二：设2(,)P x x -，则点P 到直线4380x y +-=的距离2d =21220|3()|533x =-+2324()533x =-+，在抛物线2y x =-中，x R ∈，所以当23x =时，d 取得最小值43，即抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是4318. 【解析】（1）由题意，得112,33,da a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得12,1.d a =⎧⎨=⎩故数列{}n a 的通项公式为12(1)n a n =+-，即21n a n =-.（2）由（1）知21n a n =-，所以2122n b n n ==+1(1)111()2(1)21n n n n n n +-⋅=⋅-++ 所以n S =111111[(1)()()]22231n n -+-+⋅⋅⋅+-+， 11(1)212(1)n n n =-=++ 19. 【解析】（1）设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .根据sin sin sin sin A B C C -+sin sin sin sin BA B C =+-， 可得a b c bc a b c-+=+-222a b c bc ⇒=+-， 所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又因为0A π<<，所以3A π=.（2）2sin a R A =2sin a R A ⇒=2sin 3π== 所以223b c bc =+-2bc bc bc ≥-=，所以1sin 2S bc A =132≤⨯=（b c =时取等号）.20. 【解析】 （1）由不等式22032x x x ->++，得2(2)(32)0x x x -++>，即(2)(1)(2)0x x x -++>， 解得21x -<<-，或2x >（2）因为,,0a b c >，所以11()()a b c ab c ++++11[()]()a b c a b c=++++ 11a b cb c a +=++++ 2a b c b c a+=+++224≥+=当且仅当a b c =+时等号成立.21. 【解析】（1）∵x R ∀∈，240mx x m ++≤， ∴0m <且21160m ∆=-≤，解得01144m m m <⎧⎪⎨≤-≥⎪⎩或，∴p 为真命题时，14m ≤-. （2）[2,8]x ∃∈，2log 10[2,8]m x x +≥⇒∃∈，21log m x≥-. 又[2,8]x ∈时，211[1,]log 3x -∈--， ∴1m ≥-.∵p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时， ∴p 真q 假或p 假q 真，当p 假q 真，有114m m ≥-⎧⎪⎨>-⎪⎩，解得14m >-； 当p 真q 假，有114m m <-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解得1m <-；∴当p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，1m <-或14m >-. 22. 【解析】（1）设(,)C x y ，则依题意得34AC BC k k ⋅=-，又(2,0)A -，(2,0)B ，所以有 3(0)224y y y x x ⋅=-≠+-， 整理得221(0)43x y y +=≠，即为所求轨迹方程. （2）设直线:l y kx m =+，与223412x y +=联立得2234()12x kx m ++=，即222(34)84120k x kmx m +++-=，依题意222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+-=，即2234k m +=，∴122834km x x k -+=+，得122434kmx x k -==+，∴2243(,)3434km m P k k -++，而2234k m +=，得43(,)k P m m-，又(4,4)Q k m +，又(1,0)F ，则FP FQ ⋅=43(1,)(3,4)k k m m m--⋅+0=，知FP FQ ⊥，即90PFQ ∠=︒.。
2017-2018学年河南省豫南九校高二上学期期末联考数学(理)试题扫描版含答案
豫南九校2017—2018学年上期期末联考高二数学（理）答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1—5CBBCC6—10DBDAA11—12CD1．C【解析】根据求导法则易知0y '=．2．B【解析】由等比数列的性质有，．3．B【解析】由题意得,(3,3,3),(1,1,1)AB CD =--=-,所以3AB CD =-，所以AB CD ∥．4．C【解析】，，当且仅当时取等号．故“”是“”的充分不必要条件．5．C【解析】双曲线2213yx-=的焦点(20)，到渐近线距离为2134x y⇒=的焦点(10)，到渐近线距离为32．（可由抛物线的焦点F （1,0）直接求距离）6．D【解析】函数()f x 的定义域为R 才成立，故选项A 错误；因为是在三角形中，所以“A B <”是“sin sin A B <”成立的充要条件，故选项B 错误；若命题p q ∧为假命题，则p ,q 至少有一个为假命题，故选项C 错误；故选D ． 7．B【解析】令1n =，得111233S a =+，11a =，当2n ≥时，111233n n S a --=+，所以111133n n n n n S S a a a ---=-=，所以112n n a a -=-，所以数列{}n a 是以1为首项，12-为公比的等比数列，所以11()2n n a -=-．。
2018-2019学年河南省商开九校联考高二(上)期中数学试卷(理科)(PDF含解析)
2018-2019学年河南省商开九校联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题：∃x0∈R，x02﹣2x0﹣1＞0的否定是（）A．B．∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0C．∀x∈R，x2﹣2x﹣1≤0D．2．（5分）不等式（1+x）（1﹣x）＞0的解集是（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|x＜0，x≠1}D．{x|x＜1，x≠﹣1} 3．（5分）＝（）A．B．4C．D．24．（5分）在等差数列{a n}中，a1＝1，d＝3，当a n＝295时，n＝（）A．99B．100C．96D．1015．（5分）若＜＜0，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．ab＜b2C．a+b＜0D．|a|+|b|＞|a+b| 6．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若a sin A+b sin B＜c sin C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．正三角形7．（5分）在等比数列{a n}中，若a1＜0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于（）A．B．C．﹣D．或﹣8．（5分）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积横向等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x+5y的最大值为（）A．6B．19C．21D．4510．（5分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6＝0，则的最小值为（）A．B．4C．D．311．（5分）已知函数y＝log a（x﹣1）+3（a＞0，a≠1）所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n}的第二项与第三项，若b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，则T10＝（）A．B．C．1D．12．（5分）已知△ABC的三边a、b、c成等比数列，a、b、c所对的角依次为A、B、C．则sin B+cos B的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在R上定义运算：＝ad﹣bc．若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为．14．（5分）已知等差数列a n的前n项和为S n，满足S8＝S12，且a1＞0，则S n中最大的是．15．（5分）下列判断正确的是．①若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题；②“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为真命题；③“对于向量，，，若∥且∥，则∥”是真命题；④“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题是假命题．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a sin B＝b cos A．若a＝5，则△ABC周长的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知第一象限的点（a，b）在直线2x+3y﹣1＝0上，（1）求ab的最大值；（2）求+的最小值．18．（12分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝﹣10，S3＝﹣18（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．19．（12分）给定命题p：对任意实数x，都有ax2+ax+1＞0成立；命题q：关于x的方程x2﹣x+a＝0有实数根，若p∨q为真，求a的取值范围．20．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝4，BD＝10．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝4，求BC．21．（12分）已知不等式mx2﹣2x﹣m+1＜0，是否存在实数m对所有的实数x不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4＝12，a2＝2，数列{b n}的前n项和S n ＝2n2+n（1）求q的值；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）若数列{c n}满足c1＝1，b n＝（c n+1﹣c n）a n，求数列{c n}的通项公式．2018-2019学年河南省商开九校联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题：∃x0∈R，x02﹣2x0﹣1＞0的否定是（）A．B．∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0C．∀x∈R，x2﹣2x﹣1≤0D．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：∃x0∈R，x02﹣2x0﹣1＞0的否定是：∀x∈R，x2﹣2x﹣1≤0．故选：C．2．（5分）不等式（1+x）（1﹣x）＞0的解集是（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|x＜0，x≠1}D．{x|x＜1，x≠﹣1}【解答】解：不等式（1+x）（1﹣x）＞0化为（x+1）（x﹣1）＜0，解得﹣1＜x＜1．∴不等式（1+x）（1﹣x）＞0的解集是{x|﹣1＜x＜1}．故选：A．3．（5分）＝（）A．B．4C．D．2【解答】解：在△ABC中，，BC＝1，AC＝5，则AB2＝BC2+AC2﹣2AC•BC cos C＝＝1+25﹣2×1×5×（﹣）＝32．∴AB＝4．故选：B．4．（5分）在等差数列{a n}中，a1＝1，d＝3，当a n＝295时，n＝（）A．99B．100C．96D．101【解答】解：因为数列{a n}为等差数列，a1＝1，d＝3，所以a n＝295＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×3，解得：n＝99．故选：A．5．（5分）若＜＜0，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．ab＜b2C．a+b＜0D．|a|+|b|＞|a+b|【解答】解：∵＜＜0，∴a和b为负数且a＞b，∴a2＜b2，故A正确；再由不等式的性质可得ab＜b2，B正确；由a和b为负数可得a+b＜0，故C正确；再由a和b为负数可得|a|+|b|＝|a+b|，D错误．故选：D．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若a sin A+b sin B＜c sin C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．正三角形【解答】解：由正弦定理＝＝，化简已知的等式得：a2+b2＜c2，再由余弦定理可得cos C＝＜0，∴C为钝角，则△ABC为钝角三角形．故选：C．7．（5分）在等比数列{a n}中，若a1＜0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于（）A．B．C．﹣D．或﹣【解答】解：由a2＝18，a4＝8，得a4＝8＝a2q2＝18q2＝8，∴q2＝，又因为a1＜0，a2＞0，∴q＜0，∴，故选：C．8．（5分）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积横向等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等．由“A、B在等高处的截面积恒相等”，由祖暅原理，可得：A、B的体积相等．因此可得：A、B的体积不相等，必然：A、B在等高处的截面积不恒相等．即p⇒q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．9．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x+5y的最大值为（）A．6B．19C．21D．45【解答】解：由变量x，y满足约束条件，得如图所示的可行域，由解得A（2，3）．当目标函数z＝3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．将其代入得z的值为21，故选：C．10．（5分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6＝0，则的最小值为（）A．B．4C．D．3【解答】解：已知a，b∈R，且a﹣3b+6＝0，所以：a﹣3b＝﹣6，则＝2＝2．故选：A．11．（5分）已知函数y＝log a（x﹣1）+3（a＞0，a≠1）所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n}的第二项与第三项，若b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，则T10＝（）A．B．C．1D．【解答】解：函数y＝log a（x﹣1）+3（a＞0，a≠1）所过定点的坐标为（2，3），由题意可得a3＝3，a2＝2，故等差数列{a n}的公差d＝1，通项公式为a n＝n．故b n＝＝＝．故T10＝．故选：B．12．（5分）已知△ABC的三边a、b、c成等比数列，a、b、c所对的角依次为A、B、C．则sin B+cos B的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的三边长a、b、c成等比数列，∴b2＝ac．∴cos B＝≥＝，当且仅当a＝c时取等号．∴B∈（0，]．∴可得：B+∈（，]，∴sin B+cos B＝sin（B+）∈（1，]，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在R上定义运算：＝ad﹣bc．若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为．【解答】解：由定义知不等式≥1变为x2﹣x﹣（a2﹣a﹣2）≥1，∴x2﹣x+1≥a2﹣a，对任意实数x成立，∵x2﹣x+1＝，∴a2﹣a≤．解得．则实数a的最大值为．故答案为：．14．（5分）已知等差数列a n的前n项和为S n，满足S8＝S12，且a1＞0，则S n中最大的是S10．【解答】解：依题意，因为等差数列a n满足满足S8＝S12，即S12﹣S8＝a9+a10+a11+a12＝2（a10+a11）＝4a1+38d＝0，因为a1＞0，所以d＝﹣＜0，a10+a11＝0，所以数列{a n}为递减数列，所以a10＞0，a11＜0，所以S10最大，故答案为：S10．15．（5分）下列判断正确的是①④．①若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题；②“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为真命题；③“对于向量，，，若∥且∥，则∥”是真命题；④“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题是假命题．【解答】解：①若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，正确；②“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为：若tan x＝1，则x＝，为假命题，因此不正确；③“对于向量，，，若∥且∥，则∥”是假命题，例如＝时，∥”不一定成立；④“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题是：若am2≥bm2，则a≥b”，不一定成立，因此是假命题．综上可得：判断正确的是①④．故答案为：①④．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a sin B＝b cos A．若a＝5，则△ABC周长的最大值为15．【解答】解：∵a＝5，a sin B＝b cos A，∴由正弦定理可得：sin A sin B＝sin B cos A，∵sin B＞0，∴sin A＝cos A，可得：tan A＝，∵A∈（0，π），∴A＝，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：25＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，当且仅当b＝c 时等号成立，∴由25＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，可得：（b+c）2＝25+3bc≤25+3×25＝100，即b+c≤10，当且仅当b＝c时等号成立，∴△ABC周长a+b+c≤5+10＝15，即其最大值为15．故答案为：15．三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知第一象限的点（a，b）在直线2x+3y﹣1＝0上，（1）求ab的最大值；（2）求+的最小值．【解答】解：（1）因为第一象限的点（a，b）在直线2x+3y﹣1＝0上，所以a＞0，b＞0，且2a+3b＝1，所以ab＝×（2a）×（3b）≤＝×＝，当且仅当a＝，b＝时等号成立，所以ab的最大值为；（2）+＝（+）（2a+3b）＝4+9++≥13+2＝25．当且仅当a＝b＝时等号成立，所以+的最小值为25．18．（12分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝﹣10，S3＝﹣18（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝﹣10，S3＝﹣18，∴3×（﹣10）+3d＝﹣18，解得d＝4．∴a n＝﹣10+4（n﹣1）＝4n﹣14．（2）S n＝＝2n2﹣12n＝2（n﹣3）2﹣18．当n＝3时，S n取得最小值﹣18．19．（12分）给定命题p：对任意实数x，都有ax2+ax+1＞0成立；命题q：关于x的方程x2﹣x+a＝0有实数根，若p∨q为真，求a的取值范围．【解答】解：∵p∨q为真∴p，q至少有一个为真命题．P命题：若a＝0时，命题显然为真命题；若a≠0时，则有，即0＜a＜4，综上所述，p命题为真命题时0≤a＜4．q命题：△＝1﹣4a≥0，即a≤，∴q命题为真命题时a≤．p命题为假命题时，a≤0或a≥4，q命题为假命题时，a＞，因此p∨q为假时，a≥4，p∨q为真时，a＜4．20．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝4，BD＝10．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝4，求BC．【解答】（本小题满分12分）解：（1）在△ABD中，由正弦定理得．由题设知，，所以．由题设知，∠ADB＜90°，所以．（2）由题设及（1）知，．在△BCD中，由余弦定理得：BC2＝BD2+DC2﹣2＝．所以BC＝10．21．（12分）已知不等式mx2﹣2x﹣m+1＜0，是否存在实数m对所有的实数x不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：当m＝0时，1﹣2x＜0，则不满足题意；当m≠0时，mx2﹣2x﹣m+1＜0对所有实数x恒成立，则，不等式组无解，综上可知不存在这样的实数m使不等式恒成立．22．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4＝12，a2＝2，数列{b n}的前n项和S n ＝2n2+n（1）求q的值；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）若数列{c n}满足c1＝1，b n＝（c n+1﹣c n）a n，求数列{c n}的通项公式．【解答】解：（1）等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4＝12，所以，整理得q2+q＝6，由于q＞1，解得q＝2．（2）由于数列{b n}的前n项和S n＝2n2+n①，当≥2时，②，①﹣②得b n＝S n﹣S n﹣1＝4n﹣1．由（1）得．（3）数列{c n}满足c1＝1，b n＝（c n+1﹣c n）a n，由于b n＝4n﹣1，，所以，，…，所以c n﹣c1＝（c n﹣c n﹣1）+（c n﹣1﹣c n﹣2）+…+（c2﹣c1），＝++…+，设①，②①﹣②得，解得，由于c1＝1，所以．。
2018-2019学年河南省商丘市九校联考高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年河南省商丘市九校联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+2≤0B．∃x∈R，x2+2x+2≤0C．∀x∈R，x2+2x+2＜0D．∃x∈R，x2+2x+2＞02．（5分）已知x＞y＞z，且x+y+z＝1．下列不等式中成立的是（）A．xy＞yz B．xy＞xz C．xz＞yx D．x|y|＞z|y|3．（5分）在单调递增的等差数列{a n}中，若a3＝1，a2a4＝，则a1＝（）A．﹣1B．0C．D．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝（）A．B．C．2D．35．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．既不充分也不必要条件C．充要条件D．必要而不充分条件6．（5分）曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．17．（5分）已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k 的值是（）A．1B．C．D．8．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值是（）A．2B．1C．0D．﹣49．（5分）AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（）A．2B．C．D．10．（5分）不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式a（x2+1）+b（x﹣1）+c ＞2ax的解集为（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|x＜0或x＞3}C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|x＜﹣2或x＞1}11．（5分）已知双曲线﹣y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．1D．12．（5分）函数f（x）＝xe x﹣a有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．﹣＜a＜0B．a＞﹣C．﹣e＜a＜0D．0＜a＜e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）计算＝．14．（5分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4．则数列{a n+b n}的前n项和为．15．（5分）若椭圆的方程为+＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝．16．（5分）函数f（x）＝lnx﹣ax在[1，+∞）上递减，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知正实数a，b满足a+b＝4，求+的最小值．18．（12分）已知单调的等比数列{a n}的前n项的和为S n，若S3＝39，且3a4是a6，﹣a5的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n＝log3a2n+1，且{b n}前n项的和为T n，求．19．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且（2b﹣c）cos A＝a cos C．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若点D满足，且BD＝3，求2b+c的取值范围．20．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，P A⊥底面ABCD，且P A＝AD＝DC＝，AB＝1，M是PB的中点．（1）证明：面P AD⊥面PCD；（2）求AC与PB所成的角的余弦值；（3）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．21．（12分）如图所示，椭圆C：+＝1（a＞b＞0），其中e＝，焦距为2，过点M （4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为，且＝λ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．22．（12分）函数f（x）＝lnx，g（x）＝x2﹣x﹣m，（Ⅰ）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x），求函数F（x）的极值．（Ⅱ）若f（x）+g（x）＜x2﹣（x﹣2）e x在x∈（0，3）恒成立，求实数m的取值范围．2018-2019学年河南省商丘市九校联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：原命题为：∀x∈R，x2+2x+2＞0，∵原命题为全称命题，∴其否定为存在性命题，且不等号须改变，∴原命题的否定为：∃x∈R，x2+2x+2≤0．故选：B．2．【解答】解：∵x＞y＞z，且x+y+z＝1．∴x＞0，∴xy＞xz．故选：B．3．【解答】解：在等差数列{a n}中，a3＝1，a2a4＝，则由等差数列的通项公式a3＝a1+2d ＝1，（a1+d）（a1+3d）＝，∴d＝，a1＝0故选：B．4．【解答】解：∵a＝，c＝2，cos A＝，∴由余弦定理可得：cos A＝＝＝，整理可得：3b2﹣8b﹣3＝0，∴解得：b＝3或﹣（舍去）．故选：D．5．【解答】解：解一元一次不等式2﹣x≥0得x≤2，解绝对值不等式|x﹣1|≤1得：0≤x≤2，又“x≤2”是“0≤x≤2”的必要不充分条件，即“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，故选：D．6．【解答】解：函数的导数为f′（x）＝e x﹣1+xe x﹣1＝（1+x）e x﹣1，当x＝1时，f′（1）＝2，即曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率k＝f′（1）＝2，故选：C．7．【解答】解：根据题意，易得k+＝k（1，1，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），2﹣＝2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2，﹣2）．∵两向量垂直，∴3（k﹣1）+2k﹣2×2＝0．∴k＝，故选：D．8．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，化目标函数z＝x﹣2y为直线方程的斜截式y＝x﹣．由图可知，当直线y＝x﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z最大，为z＝1﹣2×0＝1．故选：B．9．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）根据抛物线的定义可知|AB|＝x1+x2+p＝x1+x2+1＝4，∴＝，故选：C．10．【解答】解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，所以﹣1和2是方程ax2+bx+c ＝0的两根且a＜0，所以，由a（x2+1）+b（x﹣1）+c＞2ax，得：ax2﹣（2a﹣b）x+a﹣b+c＞0，设ax2﹣（2a﹣b）x+a﹣b+c＝0的两根为x3，x4，则①，②，联立①②得：x3＝0，x4＝3，因为a＜0，所以ax2﹣（2a﹣b）x+a﹣b+c＞0的解集为{x|0＜x＜3}，所以不等式a（x2+1）+b（x﹣1）+c＞2ax的解集为{x|0＜x＜3}．故选：A．11．【解答】解：双曲线﹣y2＝1的a＝，b＝1，c＝＝2，可设P在右支上，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2，又|PF1|+|PF2|＝2，两式平方相加可得，|PF1|2+|PF2|2＝16，而|F1F2|2＝4c2＝16，则有|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，即有△PF1F2为直角三角形，即有△PF1F2的面积为|PF1|•|PF2|＝（）×（）＝1．故选：C．12．【解答】解：∵函数f（x）＝xe x﹣a的导函数f′（x）＝（x+1）e x，令f′（x）＝0，则x＝﹣1∵当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；故当x＝﹣1时，函数取最小值f（﹣1）＝﹣e﹣1﹣a若函数f（x）＝xe x﹣a有两个零点，则f（﹣1）＝﹣e﹣1﹣a＜0即a＞，又∵a≥0时，x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）＝xe x﹣a＜0恒成立，不存在零点故a＜0综上，＜a＜0，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【解答】解：由牛顿莱布尼兹公式可得＝．故答案为：e2+1．14．【解答】解：{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4，可得q＝＝3，b1＝a1＝1，a1+13d＝27，可得d＝2，数列{a n+b n}的前n项和为（1+3+5+…+2n﹣1）+（1+3+9+…+3n﹣1）＝n（1+2n﹣1）+＝n2+（3n﹣1）．故答案为：n2+（3n﹣1）．15．【解答】解：∵椭圆的焦距为4．∴2c＝4，即c＝2∵在椭圆中，a2＝b2+c2①焦点在x轴上时：10﹣a﹣（a﹣2）＝4解得：a＝4．②焦点在y轴上时a﹣2﹣（10﹣a）＝4解得：a＝8故答案为：4或8．16．【解答】解：f′（x）＝﹣a，∵函数f（x）＝lnx﹣ax在[1，+∞）上递减，∴f′（x）＝﹣a≤0，解得a≥，x∈[1，+∞）．∵函数y＝在x∈[1，+∞）单调递减．因此x＝1时，函数y取得最大值1．∴a≥1．则a的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【解答】解：∵a+b＝4，∴（a+1）+（b+3）＝8，所以，＝，所以，，当且仅当a+1＝b+3时，等号成立，所以，的最小值为．18．【解答】解：（Ⅰ）或q＝﹣2（舍）；，∴．（Ⅱ）；T n＝3+5+…+2n+1＝n（n+2），，．19．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由（2b﹣c）cos A＝a cos C，得：2sin B cos A＝sin A cos C+sin C cos A，得：2sin B cos A＝sin（A+C），所以2sin B cos A＝sin B，…（4分）因为0＜B＜π，所以sin B≠0，所以cos A＝，因为0＜A＜π，所以解得：A＝．…（6分）（Ⅱ）由于点D满足，且BD＝3，所以：C为线段AD的中点，则：在△ABD中，BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos A，整理得：9＝（AB+AD）2﹣3AB•AD，由于：AB•AD≤（）2，则：9≥﹣（c+2b）2+（c+2b）2，所以：c+2b≤6，由于：c+2b＞3，所以：3＜c+2b≤6，即：2b+c的取值范围为（3，6]．20．【解答】（1）证明：因为P A⊥PD，P A⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，．由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面P AD内的两条相交直线，由此得DC⊥面P AD．又DC在面PCD上，故面P AD⊥面PCD．…（4分）（2）解：∵，∴，∴AC与PB所成角的余弦值为…（8分）（3）解：设平面AMC，∵＝（1，1，0），＝（0，1，，∴，可得，同理可得平面BMC的一个法向量，∴∴所求二面角的余弦值为…（12分）21．【解答】解：（I）由条件可知，c＝1，a＝2，故b2＝a2﹣c2＝3，椭圆的标准方程是．（II）由，可知A，B，M三点共线，设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝4，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣4）．由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0．①由①的判别式△＝322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＝144（1﹣4k2）＞0，解得，，由，可得，即有．将代入方程①，得7x2﹣8x﹣8＝0，则x1＝，x2＝．又因为，，，所以，所以λ＝．22．【解答】解：（Ⅰ）F（x）＝lnx﹣x2+x+m，定义域（0，+∞），F′（x）＝﹣2x+1＝﹣，F′（x）＝0，可得x＝1，则F（x）的极大值为F（1）＝m，没有极小值；（Ⅱ）f（x）+g（x）＜x2﹣（x﹣2）e x在（0，3）恒成立；整理为：m＞（x﹣2）e x+lnx﹣x在x∈（0，3）恒成立；设h（x）＝（x﹣2）e x+lnx﹣x，则h′（x）＝（x﹣1）（e x﹣），x＞1时，x﹣1＞0，且e x＞e，＜1，即h′（x）＞0；0＜x＜1时，x﹣1＜0，设u＝e x﹣，u′＝e x+＞0，u在（0，1）递增，x→0时，→+∞，即u＜0，x＝1时，u＝e﹣1＞0，即∃x0∈（0，1），使得u0＝﹣＝0，∴x∈（0，x0）时，u＜0；x∈（x0，1）时，u ＞0，x∈（0，x0）时，h′（x）＞0；x∈（x0，1）时，h′（x）＜0．函数h（x）在（0，x0）递增，（x0，1）递减，（1，3）递增，h（x0）＝（x0﹣2）+lnx0﹣x0＝（x0﹣2）•﹣2x0＝1﹣﹣2x0，由x0∈（0，1），﹣＜﹣2，h（x0）＝1﹣﹣2x0＜﹣1﹣2x0＜﹣1，h（3）＝e3+ln3﹣3＞0，即x∈（0，3）时，h（x）＜h（3），即m≥h（3），则实数m的取值范围是（e3+ln3﹣3，+∞）．。
河南省商丘市九校2018-2019学年高二上学期期末联考数学(理)试题+Word版含答案
2018- 2019学年上期期末联考高二数学（理科）本试卷分第Ⅰ 卷（选择题）和第Ⅱ 卷（非选择题）两部分。
考试时间120 分钟，满分150 分。
考生应第一阅读答题卡上的文字信息，而后在答题卡上作答, 在试题卷上作答无效。
第 I 卷（选择题）共60分一、选择题：（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1、命题：x R, x2 +2 x+20 的否认是()A．x0R, x02 +2 x0 +20B．x R, x2 +2 x+20C．x R, x2 +2 x+2 0D． x0R, x02 +2 x0 +2 02、已知x y z， x+y+z=0 ，则以下不等式成立的是()A.xy yz B． xy xz C.xz yz D． x y y z3、在单一递加的等差数列a n中，若 a31, a2a43)，则 a1(4A．－ 1B1C. 0D.1．2 44、△ ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 a＝5， c＝ 2，2，则 b＝()cos A＝3A.2B.3C． 2D． 35、设 x∈ R，则“ 2－ x≥ 0”是“ |x－ 1|≤1”的()A ．充足而不用要条件B ．既不充足也不用要条件C．充要条件 D ．必需而不充足条件x－1在点 (1,1)处切线的斜率等于()6、曲线 y＝xeA． 2e B ． e C． 2D． 17 、已知向量a1,1,0，b1,0,2且 ka b与 2a b 互相垂直，则k的值是()75A．5 B. 2 C.3 D. 1x≥ 0，8、若实数 x， y 知足拘束条件y≥0，则 z＝ x－ 2y 的最大值是 ()2x＋ y≤ 2，A． 2 B ． 0C．1D．－ 49 、已知 AB 是抛物线y2＝ 2x的一条焦点弦，|AB|＝ 4 ，则 AB中点 C 的横坐标是()A． 2 B.3C.1D.5 22210、若不等式 ax2＋ bx＋ c＞ 0的解集为 { x|－1＜ x＜ 2} ，那么不等式a(x2＋ 1)＋ b(x－ 1)＋c＞ 2ax 的解集为() A . { x|－ 2＜ x＜ 1} B . { x|x＜－ 2 或 x＞ 1} C . { x|x＜ 0 或 x＞ 3} D . { x|0＜ x＜ 3}11、已知双曲线x22F1，F2，点 P 在双曲线上，且知足 |PF 1|＋ |PF2|－ y ＝ 1 的左、右焦点分别为3＝25，则△ PF1F2的面积为()A． 1 B.3 C.5 D.1 212、若函数 f(x)＝ xe x－ a 有两个零点，则实数 a 的取值范围为()11A ．－ e<a<0B ． a>－e C．－e<a<0 D ．0< a<e第Ⅱ卷（非选择题）共80分二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共20 分）2x dx13、计算e x__________.14、已知a n是等差数列，b n是等比数列，且b23,b39， a1b1， a14b4.则数列 a n b n的前 n 项和为.15、若椭圆的方程为x2＋ y 2＝ 1，且此椭圆的焦距为4，则实数 a＝ ________.10－ a a－ 216、函数f x ln x ax 在1，+上递减，则实数 a 的取值范围是．三、解答题 ( 本大题共6小题,满分 70分 . 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)17、 ( 本小题满分10 分)已知正实数 a， b 知足 a＋ b＝4，求1＋1的最小值 .a＋1 b＋ 3 18、 ( 本小题满分12 分 )已知单一的等比数列a n 的前 n 项和为 S n ，若 S 3 39 ，且 3a 4 是 a 6 ， a 5 的等差中项 .（Ⅰ）求数列a n 的通项公式；b n 知足 b n log 3a 2n 1 ，且 b n1 1 1（Ⅱ）若数列前 n 项的和为 T n ，求T 2T nT 119、 ( 本小题满分 12 分 ) 在ABC 中，内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a, b,c ，且 2b c cos Aa cosC．（Ⅰ）求角 A 的大小；（Ⅱ）若点D 知足 AD 2AC ，且 BD 3，求 2b c的取值范围．20、 ( 本小题满分 12 分 )已知四棱锥 PABCD 的底面为直角梯形，AB / /CD , DAB 90 ，PA 底面 ABCD 且1 PA ADDC AB 1 M 是PB 的中点．2(I) 证明： 平面 PAD平面 PCD(II) 求 AC 与 PB 夹角的余弦值；(III)求二面角 A MC B 的平面角的余弦值．21、 ( 本小题满分 12 分 )2 21，焦距为椭圆 C ：x2y 22，过点 M(4,0) 的直线 l 与椭圆 C 交于点 A ，a ＋b ＝ 1(a>b>0)，此中 e ＝2B ，点 B 在 A ，M 之间．又线段AB 的中点的横坐标为→→4，且 AM ＝ λMB.7(I) 求椭圆 C 的标准方程．(II) 务实数 λ的值．22、 ( 本小题满分12 分)函数 f x ln x, g x x2x m(I)若函数 F x f x -g x ，求函数 F x 的极值；(II)若 f x +g x x2x 2 e x在 x 0,3 恒成立，务实数m 的取值范围.高二数学试题（理科）答案一、选择题： （本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．1--5 ABCBD 6--10 CACBD 11 ---- 12 AC二、填空题（本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分）13、e 23n － 115 、4或 8 16、 a 11 14 、 n 2＋2.三、解答题 ( 本大题共 6 小题 , 满分 70 分 . 解答应写出文字说明 , 证明过程或演算步骤 )17.( 本小题满分 10 分)∵a ＋b ＝4，∴a ＋ 1＋ b ＋ 3＝ 8， --------2 分111111 ＋＋ ＝ 2＋ b ＋ 3 a 1∴＋＝ [(a ＋1)＋ (b ＋3)]a ＋1 8＋b ＋ 3 a ＋1 b ＋3 8 b ＋3 a ＋ 1 11≥ 8(2＋ 2)＝ 2，---------------------------------------------------------8分当且仅当 a ＋1＝ b ＋ 3，即 a ＝3，b ＝1 时取等号，111 -------------------------------------10 分∴＋的最小值为 .a ＋1b ＋3218.(本小题满分 12 分)解：（Ⅰ）依题设，得或 （舍）；因此-----------------5 分（Ⅱ）由已知得；因此，------------8 分--------------------------12 分19. ( 本小题满分 12 分 )解: （Ⅰ）正弦定理得又-------------------------6分（Ⅱ）在，依据余弦定理得即又又,-------------12分20. (本小题满分12 分)以 A 为坐标原点，成立空间直角坐标系(图略 )，1则 A(0,0,0) ， B(0,2,0) ， C(1,1,0) ，D (1,0,0) ， P(0,0,1) ， M(0,1，2)．→→，(1) 证明：由于 AP＝ (0,0,1)，DC ＝ (0,1,0)→→因此 AP·DC＝ 0，因此 AP ⊥DC .由题设知 AD ⊥DC ，且 AP ∩ AD ＝A，因此 DC⊥平面 PAD .又 DC?平面 PCD ，因此平面 PAD⊥平面 PCD .----------------4分→→(2) 由于 AC＝ (1,1,0) ， PB＝ (0,2，－ 1)，→ →→ →10 AC·PB因此 cos〈 AC， PB〉＝→ →＝ 5.|AC ||PB|故 AC 与 PB 夹角的余弦值为105 .----------------------------8 分→→(3) 在 MC 上取一点 N(x， y，z)，则存在λ，使 NC＝λMC ，又→→1NC＝(1 －x,1－ y，－ z)，MC ＝ (1,0，－2)，1因此 x＝ 1－λ， y＝1， z＝2λ，→ →1441要使 AN⊥MC ，只要 AN·MC ＝0，即 x－2z＝ 0，解得λ＝5，可知当λ＝5时， N 点的坐标为 (5，2→ →→1 2 →1 2 → →1，5)，能使 AN·MC ＝0，此时 AN＝ (5， 1，5)， BN＝ (5，－1，5)， BN·MC ＝ 0.→ → → →由AN ·MC ＝ 0， BN ·MC ＝ 0 得 AN ⊥MC ， BN ⊥MC ，因此∠ANB 为所求二面角的平面角．→→→ →2AN ·BN因此 cos 〈 AN ， BN 〉＝ → → ＝－ 3，|AN ||BN|因此二面角A MC B2.------------------12的平面角的余弦值为－分321. (本小题满分 12 分)分析：（ I ）由条件可知， c ＝ 1， a ＝2，222 2 2xy故 b ＝ a － c ＝ 3，椭圆的标准方程为 4 ＋3 ＝ 1.------------------4 分 （I I ）由题意可知 A ， B ， M 三点共线，设点 A(x 1， y 1 2， y 2)，点 B(x )． 若直线 AB ⊥x 轴，则 x 1＝ x 2＝ 4，不合题意． ------------------5 分则 AB 所在直线 l 的斜率存在，设为 k ，则直线 l 的方程为 y ＝ k(x － 4)．y ＝ k x － 4 ， 由 x 2 y 24 ＋3 ＝1，消去 y 得 (3＋ 4k 2)x 2－ 32k 2x ＋ 64k 2－12＝ 0.①-------------------7 分由①的鉴别式＝ 322k 4－ 4(4k 2＋ 3) ·(64k 2－12) ＝144(1 － 4k 2)>0 ，x 1 ＋x 2 ＝ 32k2，14k 2＋ 32解得 k <4，且x 1 x 2＝ 64k 2－ 124k 2＋ 3 .x 1＋x 22＝ 4，可得 k 2＝ 1， -------------------------------9分由＝ 16k23＋ 4k 278212将 k ＝8代入方程①，得7x － 8x － 8＝ 0.4－6 24＋6 2则 x 1 ＝ ， x 2＝7.7→→又由于 AM ＝ (4－ x 1，－ y 1)， MB ＝ (x 2－ 4，y 2)，→→4－ x 1 －9－4 212 分 AM ＝ λMB ，因此 λ＝ ，因此 λ＝ 7 .------------------------------ 2－ 4x22. ( 本小题满分 12 分 )解：（ I ） F (x)ln x x 2x m ，定义域 (0,), F ( x)(2 x 1)( x 1) ,x由 F ( x) 0 得 0 x 1, 由 F (x)0 得 x 1, F ( x) 在 (0,1) 递加 ,在 (1,) 递减 , F ( x) 极大 F (1) m, 没有极小值 ..........4 分（ II ）由 f ( x) g(x) x 2( x 2)e x 在 x (0,3) 恒成立，整理得m(x 2)e xln xx 在 (0,3) 恒成立 ,设 h( x) (x 2)e xln x x ,则 h ( x) (x 1)(ex1) ,............6 分x e, 11x 1时, x1 0 ,且 e x 1, e x0, h (x)0 ,.........7 分x x0 x 1时, x 1 0 ,设 u(x) ex1, u ( x) e x10,xx 2u( x) 在 (0,1) 递加 ,又 u( 1)e 2 0, u(1) e 10,x 0 (1,1)使得22u( x 0 ) 0.x (0, x 0 ) 时, u( x) 0 , x (x 0 ,1) 时, u( x) 0 ,x (0, x 0 ) 时, h ( x) 0 , x (x 0 ,1)时, h (x)0 .函数 h(x) 在 (0, x 0 ) 递加 , ( x 0 ,1) 递减 , (1,3) 递加 ,.............9 分又 h(x 0 ) (x 02)ex 0ln x 0 x 0 ( x 0 2)12x 0 ,x 0x 0 (0,1),22, h( x 0 ) 122 x 01 2x 01,x 0 x 0h(3)e 3 ln 3 3 0 ， x (0,3) 时， h(x)h(3) ， ..............11分m h(3) ,即 m 的取值范围是 e 3ln3 3,.............12 分。
2018-2019学年河南省豫南九校高二上学期第三次联考数学（理）试题解析版
2018-2019学年河南省豫南九校⾼⼆上学期第三次联考数学（理）试题解析版豫南九校2018—2019学年上期第三次联考⾼⼆数学（理）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）⼀、选择题：（本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的）1.命题“若2018a >，则2017a >”的逆命题是（） A ．若2017a >，则2018a > B ．若2017a ≤，则2018a > C ．若2017a >，则2018a ≤ D ．若2017a ≤，则2018a ≤2.椭圆2228x y +=的长轴长是（） A ．2B．C ．4D．3.若x ，y 满⾜2030x y x y x -≤??+≤??≥?，则2x y +的最⼤值为（）A ．0B ．3C ．4D ．54.数列{}n a 的通项公式为323n a n =-，当n S 取到最⼩时，n =（） A ．5B ．6 C. 7D ．85.过抛物线24y x =的焦点F 作与对称轴垂直的直线交抛物线24y x =于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的标准⽅程为（）A ．22(1)4x y ++= B ．22(1)4x y -+= C. 22(1)4x y ++= D ．22(1)4x y +-=6.当1x >时不等式11x a x +≥-恒成⽴，则实数a 的取值范围是（） A ．(,3]-∞ B ．[3,)+∞C.(,2]-∞ D ．[2,)+∞7.成等差数列的三个正数的和等于12，并且这三个数分别加上1，4，11后成为等⽐数列{}n b 中的2b ，3b ，4b ，则数列{}n b 的通项公式为（） A ．2n n b = B ．3n n b =C. 12n n b -= D ．13n n b -=8.ABC ?的内⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2B A =，1a =，b =c =（）A ．1或2B ．2D ．19.等差数列{}n a 中，*,,,m n s t N ∈，则m n s t +=+是m n s t a a a a +=+的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件 C. 必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10.在ABC ?中，若sin sin sin 0a A b B c C +-=，则圆22:1C x y +=与直线:0l ax by c ++=的位置关系是（）A ．相切B ．相交C.相离 D ．不确定11.设ABC ?的内⾓A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若sin cos 0b A B =，且2b ac =，则a cb+的值为（）A ．2B C. 2D ．412.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点(2,0)F ，P 为抛物线上的任⼀点，过点P 作圆22:12340E x y x +-+=的切线，切点分别为M ，N ，则四边形PMEN 的⾯积最⼩值为（）A B ．D ．⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分）13.抛物线24y ax =（a R ∈且0a ≠）的焦点坐标为．14.ABC ?内⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 2c B a b =+，则C ∠= ． 15.“斐波那契数列”由⼗三世纪意⼤利数学家列昂纳多?斐波那契发现，因为斐波那契以兔⼦繁殖为例⼦⽽引⼊，故⼜称该数列为“兔⼦数列”，斐波那契数列{}n a 满⾜：11a =，21a =，*12(3,)n n n a a a n n N --=+≥∈，记其前n 项和为n S ，设2018a t =（t 为常数），则2016201520142013S S S S +--= ．（⽤t 表⽰） 16.已知等⽐数列{}n a 的前n 项和1133n n S t -=?-，则函数(2)(10)(0)x x y x x t++=>+的最⼩值为．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本⼩题满分10分）求抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最⼩值. 18.（本⼩题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，且关于x 的不等式2130a x dx --<的解集为(1,3)-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1(3)n n b n a =+，求数列{}n b 前n 项和n S .19.（本题满分12分）已知ABC ?的内⾓A ，B ，C 满⾜sin sin sin sin A B C C -+sin sin sin sin BA B C=+-.（1）求⾓A ；（2）若ABC ?的外接圆半径为1，求ABC ?的⾯积S 的最⼤值. 20.（本⼩题满分12分）（1）解不等式22032x x x ->++；（2）已知,,a b c R +∈，求证：11()()4a b c ab c+++≥+. 21.（本⼩题满分12分）已知命题:p x R ?∈，240mx x m ++≤.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若有命题:[2,8]q x ?∈，2log 10m x +≥，当p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，求实数m 的取值范围. 22.（本⼩题满分12分）已知(2,0)A -，(2,0)B ，点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为34-. （1）求动点C 的轨迹⽅程；（2）设直线l 与（1）中轨迹相切于点P ，与直线4x =相交于点Q ，且(1,0)F ，求证：90PFQ ∠=?.豫南九校2018—2019学年上期第三次联考⾼⼆数学（理）参考答案⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的）1-5: ADCCB 6-10: AABBA 11、12：CD1. 【解析】命题的逆命题需将条件和结论交换，因此逆命题为：若2017a >，则2018a >.2. 【解析】椭圆⽅程变形为22148x y +=，28a =，∴a =2a =. 3. 【解析】作出如图可⾏域，则当2z x y =+经过点P 时，取最⼤值，⽽(1,2)P ，∴所求最⼤值为4，故选C .4. 【解析】∵数列{}n a 的通项公式323n a n =-，∴数列{}n a 为公差为3的递增的等差数列，令3230n a n =-≥可得233n ≥，∴数列{}n a 的前7项为负数，从第8项开始为正数∴S 取最⼩值时，n 为7，故选C .5. 【解析】由抛物线的性质知AB 为通径，焦点坐标为(1,0)，直径2||24R AB p ===，即2R =，所以圆的标准⽅程为22(1)4x y -+=，故选B .6. 【解析】∵1x >∴111111x x x x +=-++≥--13=，当且仅当111x x -=-即2x =时等号成⽴，所以最⼩值为3∴3a ≤，实数a 的取值范围是(,3]-∞ 7. 【解析】设成等差数列的三个正数为a d -，a ，a d +，即有312a =，计算得出4a =，根据题意可得41d -+，44+，411d ++成等⽐数列，即为5d -，8，15d +成等⽐数列，即有(5) (15)64d d -+=，计算得出1d =（11-舍去），即有4，8，16成等⽐数列，可得公⽐为2，则数列{}n b 的通项公式为2222422n n n n b b --==?=.8. 【解析】∵2B A =，1a =，b =sin sin a bA B=得：1sin A ===，∴cos A =，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即2133c c =+-，解得：2c =或1c =（经检验不合题意，舍去），则2c =，故选B .9. 【解析】由等差数列的性质知：*,,,m n s t N ∈，m n s t +=+时m n s t a a a a +=+成⽴.反之：等差数列{}n a 为常数列，m n s t a a a a +=+对任意*,,,m n s t N ∈成⽴，故选B .10. 【解析】因为sin sin sin 0a A b B c C +-=，所以2220a b c +-=，圆⼼(0,0)C 到直线:0l ax by c ++=的距离1d r ===，故圆22:1C x y +=与直线:0l ax by c ++=相切，故选A .11. 【解析】由sin cos 0b A B =可得sin sin cos 0B A A B =，从⽽tan B =3B π=，从2b ac =可联想到余弦定理：2222cos b a c ac B =+-22a c ac =+-，所以有222()0a c ac ac a c +-=?-=，从⽽a c =.再由2b ac =可得a b c ==，所以a cb+的值为2.12. 【解析】由题意可知抛物线的⽅程为28y x =，圆E 的圆⼼为(6,0)E ，半径为r =设(,)P x y ，则||PM ====.所以当2x =时，切线长||PM PMEN 的⾯积取得最⼩值，最⼩值为min ||PM r ?==D . ⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分）13. 114. 120? 15. t 16.16 13. 【解析】由题意可得214x y a =，所以焦点在y 轴上，且124p a =∴18p a=则焦点坐标为1(0,)16a.14. 【解析】⽅法⼀：∵2cos 2c B a b =+，∴222222a c b c a b ac +-?=+，即222a b c ab +-=-，∴2221cos 22a b c C ab +-==-，∴120C =?. ⽅法⼆：∵2cos 2c B a b =+，∴2sin cos C B 2(sin cos cos sin )sin C B C B B =++ ∴1cos 2C =-，∴120C =?. 15. 【解析】2016201520142013S S S S +--2015201620152014a a a a =+++201720162018a a a t =+==.16. 【解析】因为111(1)111n n n a q a a S q q q q-==----，⽽题中11133333n n n t S t -=?-=?-，易知133t -=-，故1t =；所以(2)(10)x x y x t ++=+(2)(10)1x x x ++=+91101x x =++++，即1016y ≥=，等号成⽴条件为9121x x x +==+，所以最⼩值为16. 三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤） 17. 【解析】法⼀：如图，设与直线4380x y +-=平⾏且与抛物线2y x =-相切的直线为430x y b ++=，切线⽅程与抛物线⽅程联⽴得2430y x x y b ?=-?++=?去y 整理得2340x x b --=，则16120b ?=+=，解得43b =-，所以切线⽅程为44303x y +-=，抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最⼩值是这两条平⾏线间的距离4|8|.法⼆：设2(,)P x x -，则点P 到直线4380x y +-=的距离2d =21220|3()|533x =-+2324()533x =-+，在抛物线2y x =-中，x R ∈，所以当23x =时，d 取得最⼩值43，即抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最⼩值是4318. 【解析】（1）由题意，得112,33,d a a ?=-=-??解得12,1.d a =??=?故数列{}n a 的通项公式为12(1)n a n =+-，即21n a n =-. （2）由（1）知21n a n =-，所以2 122n b n n ==+1(1)111()2(1)21n n n n n n +-?=?-++ 所以n S =111111[(1)()()]22231n n -+-++-+， 11(1)212(1)nn n =-=++ 19. 【解析】（1）设内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .根据sin sin sin sin A B C C -+sin sin sin sin BA B C =+-，c a b c-+=+-222a b c bc ?=+-，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，⼜因为0A π<<，所以3A π=. （2）2sin a R A =2sin a R A ?=2sin 3π== 所以223b c bc =+-2bc bc bc ≥-=，所以1sin 2S bc A=132≤?=（b c =时取等号）.20. 【解析】（1）由不等式22032x x x ->++，得2(2)(32)0x x x -++>，即(2)(1)(2)0x x x -++>，解得21x -<<-，或2x >（2）因为,,0a b c >，所以11()()a b c a b c ++++11[()]()a b c a b c=++++ 11a b cb c a +=++++ 2a b cb c a+=+++224≥+=当且仅当a b c =+时等号成⽴. 21. 【解析】（1）∵x R ?∈，240mx x m ++≤，∴0m <且21160m ?=-≤，解得01144∴p 为真命题时，14m ≤-. （2）[2,8]x ?∈，2log 10[2,8]m x x +≥??∈，21log m x≥-. ⼜[2,8]x ∈时，211[1,]log 3x -∈--，∴1m ≥-.∵p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，∴p 真q 假或p 假q 真，当p 假q 真，有114m m ≥-??>-，解得14m >-；当p 真q 假，有114m m <-??≤-，解得1m <-；∴当p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，1m <-或14m >-. 22. 【解析】（1）设(,)C x y ，则依题意得34AC BC k k ?=-，⼜(2,0)A -，(2,0)B ，所以有3(0)224y y y x x ?=-≠+-，整理得221(0)43x y y +=≠，即为所求轨迹⽅程. （2）设直线:l y kx m =+，与223412x y +=联⽴得2234()12x kx m ++=，即222(34)84120k x kmx m +++-=，依题意222(8)4(34)(412)0km k m ?=-+-=，即2234k m +=，∴122834km x x k -+=+，得122434kmx x k -==+，∴2243(,)3434km m P k k -++，⽽2234k m +=，得43(,)k P m m-，⼜(4,4)Q k m +，⼜(1,0)F ，则FP FQ ?=43 (1,)(3,4)k k m m m--?+0=，知FP FQ ⊥，即90PFQ ∠=?.。
2019-2020学年河南省豫南九校高二上学期第三次联考数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年河南省豫南九校高二上学期第三次联考数学（理）试题一、单选题1．已知a b >，则下列各式一定正确的是（ ）A ．lg lg a x b x >B ．22ax bx >C ．22a b >D ．22x x a b ⋅>⋅ 【答案】D【解析】因为2x 恒为正数，故选D ．2．已知命题p ：0x ∀>，lg 0x >，则p ⌝是（） A ．0x ∀>，lg 0x ≤ B ．00x ∃>，0lg 0x <C ．0x ∀>，lg 0x <D ．00x ∃>，0lg 0x ≤【答案】D【解析】根据全称命题的否定方法，结合已知中的原命题，可得答案． 【详解】∵命题p ：∀x ＞0，总有lgx ＞0， ∴命题¬p 为：∃x 0＞0，使得lg x 0≤0， 故选：D ． 【点睛】本题考查了命题的否定，考查了推理能力，属于基础题．3．方程221mx y +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．()0,∞+C ．()0,1D ．()0,2【答案】A【解析】将椭圆方程化为标准方程，根据题中条件列出关于m 的不等式，解出该不等式可得出实数m 的取值范围. 【详解】椭圆的标准方程为2211x y m+=，由于该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则101m<<，解得1m >，因此，实数m 的取值范围是()1,+∞，故选A.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查根据方程判断出焦点的位置，解题时要将椭圆方程化为标准形式，结合条件列出不等式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.4．在ABC V 中，若(sin sin )(sin sin )sin (sin sin )A B A B C C B +-≤-，则A 的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】利用正弦定理得到222a b c bc -≤-，再利用余弦定理得到1cos 2A ≥，计算得到答案. 【详解】 根据正弦定理：222(sin sin )(sin sin )sin (sin sin )A B A B C C B a b c bc +-≤-⇒-≤-根据余弦定理：2222212cos cos 023a b c bc A b c bc A A π=+-≤+-⇒≥⇒<≤ 故答案选C 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生对于正余弦定理的灵活运用和计算能力.5．已知数列{}n a 满足递推关系：11n n n a a a +=+,112a =,则2020a =（ ） A ．12019B ．12020 C ．12021D ．12022【答案】C【解析】利用数列递推关系,结合等差数列的定义得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2,公差为1的等差数列,再利用等差数列的通项公式计算即可． 【详解】 解：11nn n a a a +=+Q ,1111n naa +∴-=, 又112a =,∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2,公差为1的等差数列,即11n n a =+ 20201220192021a ∴=+=,即202012021a =. 故选C ． 【点睛】本题考查了数列递推关系,等差数列的概念和等差数列的通项公式,属于基础题．6．已知实数,x y 满足312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．11B ．10C ．6D ．4【答案】B【解析】画出约束条件所表示的可行域，根据目标函数2z x y =+的几何意义，当直线2y x z =-+在y 轴上的截距达到最大时，z 取得最大值，观察可行域，确定最优解的点坐标，代入目标函数求得最值. 【详解】画出约束条件312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩所表示的可行域，如图所示，根据目标函数2z x y =+的几何意义，当直线2y x z =-+在y 轴上的截距达到最大时，z 取得最大值，当直线过点(3,4)A 时，其截距最大，所以max 23410z =⨯+=，故选B. 【点睛】本题考查线性规划，利用目标函数的几何意义，当直线2y x z =-+在y 轴上的截距达到最大时，z 取得最大值，考查数形结合思想的应用.7．命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（） A ．1a ≤ B ．2a ≤C ．3a ≤D ．4a ≤【答案】A【解析】“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题可转化为[]22,1,2x a x ≥∈恒成立，可得2a ≤，根据充分必要条件可选出答案.【详解】若“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题，可得[]22,1,2x a x ≥∈恒成立只需2min (2)2a x ≤=，所以1a ≤时，[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题， “[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题时推出2a ≤，故1a ≤是命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件， 选A. 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，充分条件，必要条件，命题，属于中档题.8．曲线221169x y +=与曲线22(0)169x y k k +=>的（）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【答案】D【解析】首先将后面的曲线化简为标准形式，分别求两个曲线的几何性质，比较后得出选项. 【详解】首先化简22(0)169x y k k +=>为标准方程221169x y k k+=，()0k >，由方程形式可知，曲线221169x y +=的长轴长是8，短轴长是6，焦距是27，离心率74c e a ==，221169x y k k +=，()0k >的长轴长是8k ，短轴长是6k ，焦距是27k ，离心率7c e a ==，所以离心率相等. 故选D. 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，属于基础题型.9．如图所示的数阵称为杨辉三角.斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：12336410⋯，，，，，，，记这个数列的前n 项和为n S ，则16S 等于（ ）.A ．128B ．144C ．155D ．164【答案】D【解析】由图中锯齿形数列，发现规律：奇数项的第n 项可表示成正整数的前n 项和的形式，偶数项构成以2为首项，公差是1的等差数列，由此结合等差数列的通项与求和公式，即可求出. 【详解】由图中锯齿形数列，发现：135151,312,6123,,1238a a a a ===+==++=++++K K ，而246162,3,4,9a a a a ====K ，所以16[112123++1+28)](2349)S =++++++++++++K K K （）（）（ (29)8(1827367281)1642+⨯=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+=K ， 故选D. 【点睛】本题主要考查了数列的前n 项和，等差数列的通项与求和公式，归纳推理，属于中档题.10．在ABC ∆中，若3A π=，5sin 3sin B C =，且ABC ∆的面积S =，则ABC ∆的边BC 的长为（ ）A ．BC ．D ．4【答案】B【解析】设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，由5sin 3sin B C =得出53b c =，再由三角形的面积求出b 、c 的值，再利用余弦定理可得出BC a =的长. 【详解】设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，由于5sin 3sin B C =得出53b c =，35b c ∴=，由三角形的面积公式可得113sin 225S bc A c c ==⨯⨯==解得5c =，3b ∴=，由余弦定理得2222212cos 35235192a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，因此，ABC ∆的边BC B. 【点睛】本题考查三角形的面积公式的应用以及利用余弦定理解三角形，要熟悉正弦定理和余弦定理解三角形的对三角形已知元素类型的要求，考查运算求解能力，属于中等题. 11．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，存在两项,m n a a 使得14a =，则112n m n+++的最小值为( ) A ．98 B ．32C ．256D ．43【答案】B【解析】根据7652a a a =+14a =找到mn 、的关系式，最后根据基本不等式求解112n m n+++的最小值. 【详解】因为7652a a a =+，所以2q =或1q =-，又0n a >，所以2q =14a =14a =，所以6m n +=，则()28m n ++=；()2111111122+1=112282822m n n m m n n m n m n m n m n m n +++++⎛⎫⎡⎤+=+⋅++=++++ ⎪⎢⎥+++++⎝⎭⎣⎦121321218282n m m n ⎛+⎛⎫=+++≥++= ⎪ +⎝⎭⎝，取等号时+2n m =，即24m n =⎧⎨=⎩，故选：B. 【点睛】基本不等式中“1”的妙用： 已知(0)x y m m +=>，求解(0,0)a ba b x y+>>的最小值的方法：111a b a b x y a b ay bx a b a b a b x y x y m x y m x y m m ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⋅+=⋅+=+++≥++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝，取等号时22ay bx =.12．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是()()12,0,,0F c F c -，若离心率)0.618e e =≈，则称椭圆C 为“黄金椭圆”.下列有三个命题： ①在黄金椭圆C 中，a b c ，，成等比数列；②在黄金椭圆C 中，若上顶点、右顶点分别为,E B ，则190F EB ∠=︒；③在黄金椭圆C 中，以()()()(),0,00,0,A a B a D b E b --，，，为顶点的菱形ADBE 的内切圆经过焦点12,F F . 正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】本道题结合椭圆的基本性质，结合三角形三边关系，建立等式，证明，即可． 【详解】对于1选项，c e a ==，得到c =，结合222b a c =-=，故2b ac =，所以a,b,c 成等比数列，故正确；对于2选项，则2222221,+b ,EF b c EB a =+= 而()22222222211+22F B a c a c ac a c b EF EB =+=+=++=+,故190F EB ∠=︒，正确；对于3选项，结合题意可知,该圆的圆心为坐标原点,设圆心的半径为r ，结合该圆与四边形ABDE 相切，结合2b ac =可知h ====，代入离心率得到h c ==，所以该圆经过焦点12,F F ，故正确的有3个，故选D ． 【点睛】本道题考查了椭圆的基本性质，关键结合离心率计算公式和三角形三边关系，建立等式，难度偏难．二、填空题13．等差数列{}n a 的首项为23，公差为2-，则数列{}n a 前n 项和的最大值为_______. 【答案】144【解析】求出等差数列的前n 项和，结合一元二次函数的性质进行求解即可． 【详解】Q 等差数列{}n a 的首项123a =，公差2d =-，∴前n 项和22(1)23(2)24(12)1442n n n S n n n n -=+⨯-=-+=--+， 则对称轴为12n =，∴当12n =时，n S 取得最大值为144，故答案为：144． 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式的应用，结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知6b =，6A π=，若该三角形有两解，则a 的取值范围是______. 【答案】()3,6【解析】由正弦定理求出sin B ，三角形有两解确定B 角范围，即可求解.【详解】∵在ABC ∆中，6b =，6A π=，∴由正弦定理得16sin 32sin b A B a a a ⨯⋅===， ∵6A π=，∴506B π<<，要使三角形有两解，得到：566B ππ<<，且2B π≠，即1sin 12B <<，∴1312a<<，解得：36a <<. 故答案为:()3,6. 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查三角形解的个数求参数，属于中档题.15．若“01(,2]2x ∃∈，使得200210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围是__________．【答案】(-∞【解析】根据题意知原命题等价于1,22x ⎛⎤∀∈ ⎥⎝⎦，12x x λ≤+恒成立，利用基本不等式即可得到实数λ的取值范围. 【详解】若01(,2]2x ∃∈，使得200210x x λ-+<成立是假命题， 则若1(,2]2x ∀∈，使得2210x x λ-+≥，等价于1(,2]2x ∀∈，22112x x x xλ+≤=+恒成立，又Q 12x x +≥=1,222x ⎛⎤=⎥⎝⎦时等号成立， 所以实数λ的取值范围是(-∞.故答案为：(-∞. 【点睛】本题主要考查的是二次函数，函数综合以及命题及其关系和基本不等式的应用，考查学生的分析问题解决问题的能力，是基础题.16．已知中心在原点的椭圆C 的左焦点恰好为圆22:230F x y x ++-=的圆心，有两顶点恰好是圆F 与y 轴的交点，若椭圆C 上恰好存在两点关于直线y x t =+对称，则实数t 的取值范围是___________．【答案】⎛ ⎝⎭【解析】求得圆F 的圆心，可得椭圆的c ，求得圆F 与y 轴的交点，可得b ，进而得到a ，可得椭圆方程，设出椭圆上关于直线y x t =+对称的两点连线AB 的方程为y x p =-+，设两点的坐标为()()1122,,,A x y B x y 联立椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，可得中点坐标代入已知直线，可得,p t 的关系，进而得到所求范围. 【详解】Q 圆22:230F x y x ++-=的圆心为(1,0)-，得椭圆的1c =，圆F 与y 轴的交点为(0,，可得椭圆的b =2a =，∴椭圆的方程为22143x y +=，设椭圆C 上关于直线y x t =+对称两点连线AB 的方程为y x p =-+， 设()()1122,,,A x y B x y ，由223412x y y x p⎧+=⎨=-+⎩，得22784120x px p -+-=， ()2264284120p p ∆=-->Q ，p <<1287p x x +=Q ， 设,A B 的中点()00,x y ，则047px =，037y p =， 中点在y x t =+，7p t ∴=-，∴7t <-<即t <.故答案为：⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题主要考查的是椭圆方程的求法和性质的应用，考查直线方程和椭圆的位置关系，椭圆与直线联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，是中档题.三、解答题17．已知m R ∈，命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式()22123log x m m +-≥-恒成立；命题q ： “方程22212x ym m+=表示焦点在y 轴上的椭圆”.（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）若p q ∧为假，p q ∨为真，求m 的取值范围. 【答案】（1）[]1,2（2）(){}0,12⋃【解析】（1）根据题意和对数的性质可得232m m -≤-，即可得到m 的取值范围； （2）根据题意先求出使命题q 成立的m 的取值范围，再根据p q ∧为假，p q ∨为真知，,p q 一真一假，分情况可得m 的取值范围.【详解】()1Q 对任意[]0,1x ∈，不等式()22123log x m m +-≥-恒成立，当[]0,1x ∈，由对数函数的性质可知()2log 1y x =+在[]0,1x ∈单调递增，∴当0x =时，()212y log x =+-取得最小值为2-，232m m ∴-≤-，解得12m ≤≤.因此，若P 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2.()2命题q 为真，则220m m >>，解得：02m <<.p q ∧Q 为假，p q ∨为真，,p q ∴中一个是真命题，一个是假命题.当p 真q 假时，则1202m m m ≤≤⎧⎨≤≥⎩或，解得2m =当p 假q 真时，1202m m m ⎧⎨<<⎩或，即01m <<.综上，m 的取值范围为(){}0,12⋃.【点睛】本题主要考查的是对数函数的性质和不等式恒成立问题的解法，考查复合命题真假问题，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意不等式的性质的合理运用，是基础题.18．设函数2()2f x mx mx =--（1）若对于一切实数()0f x <恒成立，求m 的取值范围；（2）若对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）(8,0]-（2）2m >【解析】（1）由不等式220mx mx --<恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解；（2）要使对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，整理得只需221xm x x >-+恒成立，结合基本不等式求得最值，即可求解. 【详解】（1）由题意，要使不等式220mx mx --<恒成立，①当0m =时，显然20-<成立，所以0m =时，不等式220mx mx --<恒成立；②当0m ≠时，只需2080m m m <⎧⎨∆=+<⎩，解得80m -<<， 综上所述，实数m 的取值范围为(8,0]-.（2）要使对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立， 只需22mx mx m x -+>恒成立， 只需()212m x x x -+>，又因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭， 只需221xm x x >-+， 令222211111x y x x x x x x===-+-++-，则只需max m y >即可因为12x x +>=，当且仅当1x x =，即1x =时等式成立；因为[1,3]x ∈，所以max 2y =，所以2m >. 【点睛】本题主要考查了含参数的不等式的恒成立问题的求解，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及转化思想的应用，属于基础题.19．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos 2cos 22sin sin 33C A C C ππ⎛⎫⎛⎫-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求角A 的值；（2）若a =b a ≥，求12b c -的取值范围.【答案】（1）3A π=或23π（2）⎣【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可解得：sin 2A =±，结合A 为ABC ∆的内角，可得A 的值．（2）由b a ≥，由（1）可得3A π=，又a =由正弦定理可得：2sin sin b cB C==，从而利用三角函数恒等变换的应用可得： 12b c -6B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合662B πππ≤-<，可得12b c -的取值范围．【详解】解：（1）由已知得2222312sin 2sin 2cos sin 44A C C C ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，化简得sin 2A =±，因为A 为ABC ∆的内角，所以sin 2A =，故3A π=或23π. （2）因为b a ≥，所以3A π=.由正弦定理得2sin sin sin b c aB C A===，得2sin b B =，2sin c C =，故12sin sin 2b c B C -=-＝22sin sin 3B B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭3sin cos 226B B B π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 因为b a ≥，所以233B ππ≤<，则662B πππ≤-<，所以1262b c Bπ⎛⎫-=-∈⎪⎝⎭⎣．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，属于中档题．20．设12,F F分别是椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左右焦点，M是C上一点且2MF与x轴垂直，直线1MF与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为34，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且15MN F N=，求,a b．【答案】（1）12；（2）7,a b==【解析】【详解】（1）记c=()()12,0,,0F c F c-，由题设可知2,bM ca⎛⎫⎪⎝⎭，则12232324MN F Mbak k b acc===⇒=，2213,2()2c ca c ac e ea a∴-=⇒====-或舍去；（2）记直线MN与y轴的交点为()D0,2，则2244bMFa=⇒=①，11135,2,12cMN F N DF F N N⎛⎫=∴=⇒--⎪⎝⎭u u u u r u u u u rQ，将N的坐标代入椭圆方程得2229114ca b+=②由①②及222c a b=-得2249,28a b==，故7,a b==．【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.21．设数列{}n a的前n项和为n S，且112n nS a=-.（1）求数列{}n a 的通项公式，若,2n n n nb a T =为数列{}n b 的前n 项和，求n T ； （2）在（1）的条件下，是否存在自然数m ，使得244n m mT -<<对一切*n N ∈恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）23n n a =，3231443nn n T +=-⋅（2）存在，3m = 【解析】（1）根据题意可推导得到1n n S S --，进而得到数列{}n a 是等比数列，由等比数列的通项公式得到n a ，即可得到n b 再由错位相减的方法得到结果；（2）根据第一问得到0n b >，数列{}n T 单调递增，由数列的单调性得到n T 范围，从而得到自然数m . 【详解】()1由112n n S a =-，令1n =，则11112S a =-，又11S a =，所以123a =，当2n ≥时，112n n S a =-可得111122n n n n S S a a ---=-+，即113n n a a -=，所以数列{}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列， 于是23n n a =， 23n n n n n b a ∴=⋅= 231111233333n n T n ∴=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()2311111112133333n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅， 2311211111111333333233n n n nn nT n ++⎛⎫∴=+++⋅⋅⋅+-⋅=-- ⎪⎝⎭， 从而3231443n n n T +=-⋅. ()2由()1知，03n n n b =>，又()11123125111043433n n n n n n n T T n +++++-=⋅-⋅=⋅+>， ∴数列{}n T 单调递增，1113n T T b ∴≥==，又323134434n n n T +=-⋅<，1334n T ∴≤<，要244n m mT -<<，则3442143mm ⎧≤⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，解得1033m ≤<，又*n N ∈， 故3m =. 【点睛】本题主要考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -作差得通项，但是这种方法需要检验1n =时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等，是中档题.22．已知椭圆C: 22221(0)x y a b a b+=>>的左,右焦点分别为12,F F 且椭圆C 上的点P 到12,F F 两点的距离之和为4 (1)求椭圆C 的方程;(2)若直线y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点,O 为坐标原点直线,OM ON 的斜率之积等于14-，试探求△OMN 的面积是否为定值，并说明理由 【答案】（1）2214x y +=；（2）定值1 【解析】（1）由已知求得2a =，又点P 在椭圆上，代入求得21b =，即可得到椭圆的方程；（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，联立方程组，求得212122284(1),1414mk m x x x x k k-+=-=++，又由直线,OM ON 的斜率之积等于14-，化简求得22241m k =+，再由弦长公式和面积公式，即可求解. 【详解】（1）由已知24a =，即2a =，又点(1,2P 在椭圆上，所以221214b+=，所以21b =，故椭圆方程为2214x y +=. （2）设1122(,),(,)M x y N x y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2214)84(1)0k mkx m +++-=（， 则22226416(14)(1)0m k k m ∆=-+->，即22140k m +->，且212122284(1),1414mk m x x x x k k -+=-=++， 因为直线,OM ON 的斜率之积等于14-， 2212121212121212()()()14y y kx m kx m km x x k x x m x x x x x x +++++===-， 所以22222222(8)4(1)(14)414(1)4(1)4km km k m m k m k m m -+-++-==---， 即22241m k =+， 又O 到直线MN的距离为d =MN ==所以112OMN S MN d ∆=⋅==. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.。
河南省豫南九校2018-2019学年高二上学期第三次联考数学(理)试题(含解析)
河南省豫南九校2018-2019学年高二上学期第三次联考数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“若，则”的逆命题是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】解：命题的逆命题需将条件和结论交换，因此逆命题为：若，则．故选：A．根据命题的逆命题需将条件和结论交换即可求出．本题考查了四种命题的之间的关系，属于基础题．2.椭圆的长轴长是A. 2B.C. 4D.【答案】D【解析】解：椭圆的标准方程为，即有，则椭圆的长轴长为，故选：D．将椭圆方程化为标准方程，可得椭圆的a，进而得到椭圆的长轴长2a的值．本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的长轴长，注意化椭圆为标准方程，属于基础题．3.若x，y满足，则的最大值为A. 0B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分．设得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，即，代入目标函数得．即目标函数的最大值为4．故选：C．作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合即可求z的取值范围．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．4.数列的通项公式为，当取到最小时，A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】解：令，解得．当取到最小时，．故选：C．令，解出即可得出．本题考查了数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.过抛物线的焦点F作与对称轴垂直的直线交抛物线于A，B两点，则以AB为直径的圆的标准方程为A. B. C.D.【答案】B【解析】解：由抛物线的性质知AB为通径，焦点坐标为，直径，即，所以圆的标准方程为，故选：B．由抛物线的性质知AB为通径，焦点坐标为，直径，求得即可．本题考查了抛物线的性质，属于基础题．6.当时不等式恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A第2页，共11页【解析】解：当时，表达式，当且仅当时取等号．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．故选：A．化简不等式的左侧，利用基本不等式求出表达式的最小值，然后求出a的范围．本题考查函数恒成立，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．7.成等差数列的三个正数的和等于12，并且这三个数分别加上1，4，11后成为等比数列中的，，，则数列的通项公式为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设成等差数列的三个正数分别为，a，，可得，解得，即成等差数列的三个正数分别为，4，，这三个数分别加上1，4，11后成为等比数列中的，，，可得，解方程可得舍去，则，，，即有，则，故选：A．设成等差数列的三个正数分别为，a，，由条件可得，再由等比数列中项的性质，可得d的方程，解得，求得等比数列的公比为2，首项为2，即可得到数列的通项公式．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质和通项公式，考查运算能力，属于基础题．8.的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，，，则A. B. 2 C. D. 1【答案】B【解析】解：，，，由正弦定理得：，，由余弦定理得：，即，解得：或经检验不合题意，舍去，则．故选：B．利用正弦定理列出关系式，将，a，b的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出的值，再由a，b及的值，利用余弦定理即可求出c的值．此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．9.等差数列中，m，n，s，，则是的A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：在等差数列中，若，则，，，成立，即充分性成立，当为常数列时，则，但不成立，即必要性不成立，则是的充分不必要条件，故选：B．根据等差数列的通项公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的通项公式和性质是解决本题的关键．10.在中，若，则圆C：与直线l：的位置关系是A. 相切B. 相交C. 相离D. 不确定【答案】A【解析】解：，，即．圆心到直线l的距离，又圆的半径，直线l与圆相切．故选：A．根据正弦定理化简得出a，b，c的关系，根据距离公式求出圆心到直线l的距离，与半径比较得出结论．本题考查了直线与圆的位置关系判断，属于基础题．11.在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，且，则的值为A. B. C. 2 D. 4【答案】C第4页，共11页【解析】解：中，由，利用正弦定理得，，故B．由余弦定理得，即，又，所以，求得，故选：C．先由条件利用正弦定理求得角B，再由余弦定理列出关于a，c的关系式，然后进行合理的变形，求得的值．本题考查正弦定理、余弦定理得应用解题先由正弦定理求得角B，再由余弦定理列出关于a，c的关系式，然后进行合理的变形，求得的值，属于中档题．12.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点，P为抛物线上的任一点，过点P作圆E：的切线，切点分别为M，N，则四边形PMEN的面积最小值为A. B. C. D.【答案】D，抛物线的准线方程为抛物线方程为：，设，过点P作圆E：的切线，切点分别为M，N，PE取得最小值时，四边形PMEN的面积取得最小值，，的最小值为：．，．四边形故选：D．求出圆的圆心与半径，设，F为抛物线的焦点，求出抛物线方程，然后转化求解PE的最小值，即可求解四边形面积的最小值．本题考查了抛物线的性质，圆的切线的性质，数形结合思想的应用，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.抛物线的焦点坐标是______．【答案】【解析】解：抛物线的标准方程为：，所以抛物线的焦点坐标为：．故答案为：．利用抛物线方程直接求解抛物线的焦点坐标即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．14.内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______．【答案】【解析】解：中，，由正弦定理得，即，，，．故答案为：．由题意，利用正弦定理、两角和的正弦公式即可求得角C的值．本题考查了正弦定理与三角形的内角和定理的应用问题，是基础题．15.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”斐波那契数列满足：，，，记其前n项和为，设为常数，则______用t表示．【答案】t【解析】解：斐波那契数列满足：，，，设则：，，，，．故答案为：t直接利用题中的信息，进一步求出关系式，再求出结果．本题考查的知识要点：信息题在数列中的应用．16.已知等比数列的前n项和，则函数的最小值为______．【答案】16第6页，共11页【解析】解：因为，而题中，易知，故 ； 所以，即，等号成立条件为， 所以最小值为16． 故答案为：16先根据 是等比数列的前n 项和求出a 的值，再利用基本不等式求函数的最值． 本题考查等比数列前n 项和的性质以及基本不等式在求函数最值中的应用，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 求抛物线 上的点到直线 的距离的最小值．【答案】解：如图，设与直线 平行且与抛物线 相切的直线为 ， 切线方程与抛物线方程联立得， 去y 整理得 ， 则 ，解得， 所以切线方程为，抛物线 上的点到直线 距离的最小值是这两条平行线间的距离：．【解析】画出图形，设出切线方程，联立方程组利用韦达定理求出b ，然后通过平行线之间的距离求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，平行线之间的距离的求法，考查计算能力．18. 已知等差数列 的公差为d ，且关于x 的不等式 的解集为 ．求数列 的通项公式； 若，求数列 前n 项和 ．【答案】解： 由x 的不等式 的解集为 ， 可得 ，3为 的两根，得解得， 故数列 的通项公式为 ，即．由知，所以，所以．【解析】由题意可得，3为的两根，运用韦达定理解方程可得数列的首项和公差，即可得到所求通项公式；求得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题．19.已知的内角A，B，C满足．求角A；若的外接圆半径为1，求的面积S的最大值．【答案】解：设内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，根据，可得，，分，分又，；分由正弦定理得，，分由余弦定理得，分的面积为，当且仅当时取等号，面积S的最大值为分【解析】根据题意，利用正弦、余弦定理，即可求出角A的值；由正弦、余弦定理，利用三角形面积公式与基本不等式，即可求得面积的最大值．本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形面积公式与基本不等式的应用问题，是中档题．第8页，共11页20.解不等式；已知a，b，，求证：．【答案】解：（1）由不等式＞，得（x-2）（x2+3x+2）＞0，即（x-2）（x+1）（x+2）＞0，解得-2＜x＜-1，或x＞2，故不等式的解集为：；（2）因为a，b，c＞0，所以===≥2+2=2+2=4，当且仅当a=b+c时等号成立．故．【解析】（1）由分式不等式的解法、高次不等式的解法得：（x-2）（x2+3x+2）＞0，即（x-2）（x+1）（x+2）＞0，解得-2＜x＜-1，或x ＞2，故不等式的解集为：；（2）由重要不等式的应用得：== =≥2+2=2+2=4，当且仅当a=b+c时等号成立．命题得证．本题考查了分式不等式的解法、高次不等式的解法及重要不等式的应用，属中档题．21.已知命题p：，．若p为真命题，求实数m的取值范围；若有命题q：，，当为真命题且为假命题时，求实数m的取值范围．【答案】解：，，时不成立．且，解得．为真命题时，．对于命题q：，，，又时，，．为真命题且为假命题时，真q假或p假q真，当p假q真，有，解得；当p真q假，有，解得；为真命题且为假命题时，或．【解析】根据二次函数的性质求出p为真时m的范围即可；，，时不成立可得且，解得m范围对于命题q：，，根据时，利用函数的单调性即可得出由为真命题且为假命题时，可得p真q假或p假q 真．本题考查了函数与不等式的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.已知，，点C是动点，且直线AC和直线BC的斜率之积为．求动点C的轨迹方程；设直线l与中轨迹相切于点P，与直线相交于点Q，且，求证：．【答案】解：设，则依题意得，又，，所以有，整理得，动点C的轨迹方程为．证明：证法1：设直线l：，与，联立得，即，依题意，即，设直线l与动点C的轨迹交于点，，，得，，而，得，又，又，则知，即．证法2：设，则曲线C在点P处切线PQ：，令，得，又，知，即．第10页，共11页【解析】设，依题意得，由，，得，由此能求出动点C的轨迹方程．法1：设直线l：，与联立，得，利用根的判别式、韦达定理、圆的性质，结合已知条件能证明．法2：设，则曲线C在点P处切线PQ：，令，得，由，则由，能证明．本题考查点的轨迹方程的求法，考查角为直角的证明，考查椭圆、直线方程的斜率、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．。
河南省商丘市九校2018-2019学年高二上学期期末联考数学(理)试题 Word版含解析
2018-2019学年上期期末联考高二数学（理科）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题：的否定是 ( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由全称命题的否定直接改写即可.【详解】因为全称命题的否定为特称命题，所以命题：的否定是：.【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，一般只需要改量词和结论即可，属于基础题型.2.已知，则下列不等式成立的是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用不等式的基本性质即可得出结果.【详解】因为，所以，所以，故选B【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题型.3.在单调递增的等差数列中，若，则 ( )A. －1B.C. 0D.【答案】C【解析】【分析】先设等差数列的公差为，由题中条件列出方程组，求解即可.【详解】设等差数列的公差为,因为，所以有：，解方程组得：；故选C【点睛】本题主要考查等差数列的性质，由题意列方程组求公差和首项即可，属于基础题型.4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则 ( )A. B. 3 C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理，列出方程，直接求解即可.【详解】因为，，，由余弦定理可得：，解得或，故，选B【点睛】本题主要考查余弦定理，熟记公式即可，属于基础题型.5.设，则“”是“”的 ( )A. 充分而不必要条件B. 既不充分也不必要条件C. 充要条件D. 必要而不充分条件【答案】D【解析】【分析】先解不等式和不等式，然后结合充要条件的定义判断即可.【详解】由得；由得，所以由能推出；由不能推出，故“”是“”的必要不充分条件.故选D【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，结合概念直接判断即可，属于基础题型.6.曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（）.A. B. C. 2 D. 1【答案】C【解析】试题分析：由，得，故，故切线的斜率为，故选C.考点：导数的集合意义.7.已知向量且互相垂直，则的值是 ( )A. B. 2 C. D. 1【答案】A【解析】【分析】由向量垂直，可得对应向量数量积为0，从而可求出结果.【详解】因为，所以，，又互相垂直，所以，即，即，所以;故选A【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，属于基础题型.8.若实数x，y满足约束条件则的最大值是( )A. 2B. 0C. 1D. －4【答案】C【解析】【分析】先由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由截距的取值范围确定目标函数的最值即可.【详解】由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为，所以直线在y 轴截距越小，则目标函数的值越大，由图像易知，当直线过点A时，截距最小，所以目标函数最大为.故选C【点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线的斜截式，求在y轴截距，即可求解，属于基础题型.9.已知AB是抛物线的一条焦点弦，，则AB中点C的横坐标是 ( )A. 2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先设两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标. 【详解】设，C的横坐标为，则，因为是抛物线的一条焦点弦，所以，所以，故.故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.10.若不等式的解集为，那么不等式的解集为 ( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题中所给的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到，由根与系数的关系求出的关系，再代入不等式，求解即可.【详解】因为不等式的解集为，所以和是方程的两根，且，所以,即，代入不等式整理得，因为，所以,所以，故选D【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法，已知一元二次不等式的解求参数，通常用到韦达定理来处理，难度不大.11.已知双曲线的左.右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足，则的面积为 ( )A. 1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义可得，联立可求出的长，进而可求三角形的面积.【详解】由双曲线的定义可得，又，两式联立得：，，又，所以，即为直角三角形，所以.故选A【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，双曲线的焦点三角形问题，一般需要借助抛物线的性质，结合题中条件来处理，难度不大.12.若函数有两个零点，则实数a的取值范围为 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出函数的导函数，利用导函数求出函数的最小值，再根据函数的零点和最值之间的关系即可求出参数的范围.【详解】因为函数的导函数为，令，得，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故当时，函数取最小值，若函数有两个零点，则，即，又因为时，时，恒成立，不存在零点，故，综上：的取值范围是，故选C【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，研究函数零点的问题，通常需要对函数求导，研究函数的单调性和最值，进而可求出参数范围，属于常考题型.二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.计算_______________.【答案】【解析】【分析】由微积分基本定理直接计算即可.【详解】,【点睛】本题主要考查微积分基本定理，根据基本初等函数的导函数，即可求解，属于基础题型.14.已知是等差数列，是等比数列，且，. 则数列的前n项和为_______________.【答案】【解析】【分析】先由题中条件求出数列和数列的通项公式，再由分组求和法，结合等差数列以及等比数列的求和公式即可求出结果.【详解】设的公差为，的公比为因为是等比数列，,所以，所以,又因为是等差数列，，，所以，故，令，记的前n项和为,则. 故答案为【点睛】本题主要考查数列的求和，需要先求数列的通项公式，再用分组求和法求解即可，常用的数列求和的方法有：分组求和，倒序相加，裂项相消，错位相减等，难度较小.15.若椭圆的方程为，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.【答案】4或8【解析】【分析】先由椭圆方程表示出焦距，再由题意列出方程，求解即可.【详解】因为是椭圆的方程，所以且，所以,由椭圆的方程可得，又，所以，解得或.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，由椭圆的长半轴、短半轴以及半焦距之间的关系即可求解，属于基础题型.16.函数在上递减，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】由函数在给定区间内单调递减，可得其导函数在给定区间内小于等于0恒成立，进而可求出结果.【详解】因为在上递减，所以在上恒成立，即在上恒成立,所以.即答案为【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，根据函数在某区间上的单调性求参数范围时，通常需要对函数求导，由导函数的正负分离出参数求解即可，属于常考题型.三.解答题(本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.已知正实数a，b满足，求的最小值.【答案】【解析】【分析】只需将化为，与相乘，展开后，利用基本不等式即可求解. 【详解】，当且仅当，即时取等号，的最小值为.【点睛】本题主要考查基本不等式在求最值问题中的应用，通常需要将条件变形整理，与所求式子相乘，利用基本不等式来求最值即可，做题时要注意不等式取等号的条件，属于基础题型.18.已知单调的等比数列的前项和为，若，且是，的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且前项的和为，求【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .【解析】试题分析：(Ⅰ)由已知得，从而求得，由，得，进而得通项公式；(Ⅱ)，，利用裂项相消求和即可. 试题解析：(Ⅰ)因为是的等差中项，所以或（舍）；(Ⅱ)；点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.19.在中，内角..的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若点满足，且，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：利用正弦定理及余弦定理整理求出，即可求得角的大小；利用余弦定理及常用不等式求解即可解析：（Ⅰ）根据正弦定理得又（Ⅱ）在中，根据余弦定理得即又又 ,20.已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面且是的中点．（1）证明：平面平面；（2）求与夹角的余弦值；（3）求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出的坐标，(1)通过证明，利用，即可证明结论成立；(2)求出与的方向向量，由，即可求出结果；(3)在上取一点，则存在，使,求出，再说明为所求二面角的平面角，利用向量夹角公式即可求出结果.【详解】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则(1)证明：因为所以，所以.由题设知，且，所以平面.又平面，所以平面平面.(2)因为，，所以故与夹角的余弦值为.(3)在上取一点，则存在，使，又所以，要使，只需，即，解得，可知当时，N点的坐标为，能使，此时，有，由得，所以为所求二面角的平面角．所以，所以二面角的平面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查空间向量的方法在几何中的应用，需要考生掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理以及性质定理，并且熟记空间角的向量计算公式，属于常考题型.21.椭圆，其中，焦距为2，过点的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在A，M之间．又线段AB的中点的横坐标为，且.(1)求椭圆C的标准方程．(2)求实数的值．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）运用离心率公式和椭圆的，，的关系，解得，，即可得到椭圆方程；（2）运用向量共线的知识，设出直线的方程，联立椭圆方程，消去，运用判别式大于，以及韦达定理和中点坐标公式，计算得到，的横坐标，即可得到所求值．试题解析：（1）由条件可知，，，故，椭圆的标准方程是；（2）由，可知三点共线，设点，点，若直线轴，则，不合题意， 5分当A所在直线的斜率存在时，设直线的方程为．由消去得，①由①的判别式，解得，， 7分由，可得，如图， 9分将代入方程①，得，，又∵，，，∴，∴， 12分考点：1．椭圆的方程和性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．中点坐标公式．22.函数（1）若函数，求函数的极值；（2）若在恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）极大值为，无极小值；（2）．【解析】试题分析：（１）当时分析函数的单调性，确定函数的最大值；（２）在恒成立，通过变量分离转化为在恒成立，进而构造新函数求最值即可．试题解析：解：（1）当时，由得；由得，在递增，在递减所以，当时，的最大值为当时，的最大值为（2）在恒成立在恒成立设则当时，，且当时，设，则在递增又使得时，时，时，时，函数在递增，在递减，在递增由知，所以又又当时，，即的取值范围是.。
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豫南九校2018—2019学年上期第三次联考高二数学（理）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“若2018a >，则2017a >”的逆命题是（ ） A ．若2017a >，则2018a > B ．若2017a ≤，则2018a > C ．若2017a >，则2018a ≤ D ．若2017a ≤，则2018a ≤2.椭圆2228x y +=的长轴长是（ ） A ．2B．C ．4D．3.若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．4D ．54.数列{}n a 的通项公式为323n a n =-，当n S 取到最小时，n =（ ） A ．5B ．6 C. 7D ．85.过抛物线24y x =的焦点F 作与对称轴垂直的直线交抛物线24y x =于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的标准方程为（ ）A ．22(1)4x y ++= B ．22(1)4x y -+= C. 22(1)4x y ++= D ．22(1)4x y +-=6.当1x >时不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3]-∞ B ．[3,)+∞C.(,2]-∞ D ．[2,)+∞7.成等差数列的三个正数的和等于12，并且这三个数分别加上1，4，11后成为等比数列{}n b 中的2b ，3b ，4b ，则数列{}n b 的通项公式为（ ） A ．2n n b = B ．3n n b =C. 12n n b -= D ．13n n b -=8.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2B A =，1a =，b =c =（ ）A ．1或2B ．2D ．19.等差数列{}n a 中，*,,,m n s t N ∈，则m n s t +=+是m n s t a a a a +=+的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件 C. 必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10.在ABC ∆中，若sin sin sin 0a A b B c C +-=，则圆22:1C x y +=与直线:0l ax by c ++=的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C.相离 D ．不确定11.设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若sin cos 0b A B =，且2b ac =，则a cb+的值为（ ）A ．2B C. 2D ．412.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点(2,0)F ，P 为抛物线上的任一点，过点P 作圆22:12340E x y x +-+=的切线，切点分别为M ，N ，则四边形PMEN 的面积最小值为（ ）A B ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.抛物线24y ax =（a R ∈且0a ≠）的焦点坐标为 ．14.ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 2c B a b =+，则C ∠= ． 15.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，*12(3,)n n n a a a n n N --=+≥∈，记其前n 项和为n S ，设2018a t =（t 为常数），则2016201520142013S S S S +--= ．（用t 表示） 16.已知等比数列{}n a 的前n 项和1133n n S t -=⋅-，则函数(2)(10)(0)x x y x x t++=>+的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）求抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值. 18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，且关于x 的不等式2130a x dx --<的解集为(1,3)-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1(3)n n b n a =+，求数列{}n b 前n 项和n S .19.（本题满分12分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin A B C C -+sin sin sin sin BA B C=+-.（1）求角A ；（2）若ABC ∆的外接圆半径为1，求ABC ∆的面积S 的最大值. 20.（本小题满分12分） （1）解不等式22032x x x ->++； （2）已知,,a b c R +∈，求证：11()()4a b c ab c+++≥+. 21.（本小题满分12分）已知命题:p x R ∀∈，240mx x m ++≤.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若有命题:[2,8]q x ∃∈，2log 10m x +≥，当p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，求实数m 的取值范围. 22.（本小题满分12分）已知(2,0)A -，(2,0)B ，点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为34-. （1）求动点C 的轨迹方程；（2）设直线l 与（1）中轨迹相切于点P ，与直线4x =相交于点Q ，且(1,0)F ，求证：90PFQ ∠=︒.豫南九校2018—2019学年上期第三次联考高二数学（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1-5: ADCCB 6-10: AABBA 11、12：CD1. 【解析】命题的逆命题需将条件和结论交换，因此逆命题为：若2017a >，则2018a >.2. 【解析】椭圆方程变形为22148x y +=，28a =，∴a =2a =. 3. 【解析】作出如图可行域，则当2z x y =+经过点P 时，取最大值，而(1,2)P ，∴所求最大值为4，故选C .4. 【解析】∵数列{}n a 的通项公式323n a n =-，∴数列{}n a 为公差为3的递增的等差数列，令3230n a n =-≥可得233n ≥，∴数列{}n a 的前7项为负数，从第8项开始为正数∴S 取最小值时，n 为7，故选C .5. 【解析】由抛物线的性质知AB 为通径，焦点坐标为(1,0)，直径2||24R AB p ===，即2R =，所以圆的标准方程为22(1)4x y -+=，故选B .6. 【解析】∵1x >∴111111x x x x +=-++≥--13=，当且仅当111x x -=-即2x =时等号成立，所以最小值为3∴3a ≤，实数a 的取值范围是(,3]-∞ 7. 【解析】设成等差数列的三个正数为a d -，a ，a d +，即有312a =，计算得出4a =，根据题意可得41d -+，44+，411d ++成等比数列，即为5d -，8，15d +成等比数列，即有(5)(15)64d d -+=，计算得出1d =（11-舍去），即有4，8，16成等比数列，可得公比为2，则数列{}n b 的通项公式为2222422n n n n b b --==⨯=.8. 【解析】∵2B A =，1a =，b =sin sin a bA B=得：1sin A ===，∴cos A =， 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即2133c c =+-， 解得：2c =或1c =（经检验不合题意，舍去），则2c =，故选B .9. 【解析】由等差数列的性质知：*,,,m n s t N ∈，m n s t +=+时m n s t a a a a +=+成立.反之：等差数列{}n a 为常数列，m n s t a a a a +=+对任意*,,,m n s t N ∈成立，故选B .10. 【解析】因为sin sin sin 0a A b B c C +-=，所以2220a b c +-=，圆心(0,0)C 到直线:0l ax by c ++=的距离1d r ===，故圆22:1C x y +=与直线:0l ax by c ++=相切，故选A .11. 【解析】由sin cos 0b A B =可得sin sin cos 0B A A B =，从而tan B =3B π=，从2b ac =可联想到余弦定理：2222cos b a c ac B =+-22a c ac =+-，所以有222()0a c ac ac a c +-=⇒-=，从而a c =.再由2b ac =可得a b c ==，所以a cb+的值为2.12. 【解析】由题意可知抛物线的方程为28y x =，圆E 的圆心为(6,0)E ，半径为r =设(,)P x y ，则||PM ====.所以当2x =时，切线长||PM PMEN 的面积取得最小值，最小值为min ||PM r ⨯==D . 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 1(0,)16a14. 120︒ 15. t 16.16 13. 【解析】由题意可得214x y a =，所以焦点在y 轴上，且124p a =∴18p a=则焦点坐标为1(0,)16a.14. 【解析】方法一：∵2cos 2c B a b =+，∴222222a c b c a b ac +-⨯=+，即222a b c ab +-=-， ∴2221cos 22a b c C ab +-==-，∴120C =︒. 方法二：∵2cos 2c B a b =+，∴2sin cos C B 2(sin cos cos sin )sin C B C B B =++ ∴1cos 2C =-，∴120C =︒. 15. 【解析】2016201520142013S S S S +--2015201620152014a a a a =+++201720162018a a a t =+==.16. 【解析】因为111(1)111n n n a q a a S q q q q-==----，而题中11133333n n n t S t -=⋅-=⋅-，易知133t -=-，故1t =；所以(2)(10)x x y x t ++=+(2)(10)1x x x ++=+91101x x =++++，即1016y ≥=，等号成立条件为9121x x x +=⇒=+，所以最小值为16. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 【解析】法一：如图，设与直线4380x y +-=平行且与抛物线2y x =-相切的直线为430x y b ++=，切线方程与抛物线方程联立得2430y x x y b ⎧=-⎨++=⎩去y 整理得2340x x b --=，则16120b ∆=+=，解得43b =-，所以切线方程为44303x y +-=，抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是这两条平行线间的距离4|8|4353d -==.法二：设2(,)P x x -，则点P 到直线4380x y +-=的距离2d =21220|3()|533x =-+2324()533x =-+，在抛物线2y x =-中，x R ∈，所以当23x =时，d 取得最小值43，即抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是4318. 【解析】（1）由题意，得112,33,d a a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得12,1.d a =⎧⎨=⎩故数列{}n a 的通项公式为12(1)n a n =+-，即21n a n =-. （2）由（1）知21n a n =-，所以2122n b n n ==+1(1)111()2(1)21n n n n n n +-⋅=⋅-++ 所以n S =111111[(1)()()]22231n n -+-+⋅⋅⋅+-+， 11(1)212(1)nn n =-=++ 19. 【解析】（1）设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .根据sin sin sin sin A B C C -+sin sin sin sin BA B C =+-，可得a b c bc a b c-+=+-222a b c bc ⇒=+-， 所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又因为0A π<<，所以3A π=. （2）2sin a R A =2sin a R A ⇒=2sin 3π== 所以223b c bc =+-2bc bc bc ≥-=，所以1sin 2S bc A=132≤⨯=（b c =时取等号）.20. 【解析】 （1）由不等式22032x x x ->++，得2(2)(32)0x x x -++>，即(2)(1)(2)0x x x -++>，解得21x -<<-，或2x >（2）因为,,0a b c >，所以11()()a b c a b c ++++11[()]()a b c a b c=++++ 11a b cb c a +=++++ 2a b cb c a+=+++224≥+=当且仅当a b c =+时等号成立. 21. 【解析】（1）∵x R ∀∈，240mx x m ++≤， ∴0m <且21160m ∆=-≤，解得01144m m m <⎧⎪⎨≤-≥⎪⎩或，∴p 为真命题时，14m ≤-. （2）[2,8]x ∃∈，2log 10[2,8]m x x +≥⇒∃∈，21log m x≥-. 又[2,8]x ∈时，211[1,]log 3x -∈--， ∴1m ≥-.∵p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时， ∴p 真q 假或p 假q 真，当p 假q 真，有114m m ≥-⎧⎪⎨>-⎪⎩，解得14m >-； 当p 真q 假，有114m m <-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解得1m <-；∴当p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，1m <-或14m >-. 22. 【解析】（1）设(,)C x y ，则依题意得34AC BC k k ⋅=-，又(2,0)A -，(2,0)B ，所以有3(0)224y y y x x ⋅=-≠+-， 整理得221(0)43x y y +=≠，即为所求轨迹方程. （2）设直线:l y kx m =+，与223412x y +=联立得2234()12x kx m ++=，即222(34)84120k x kmx m +++-=，依题意222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+-=，即2234k m +=，∴122834km x x k -+=+，得122434kmx x k -==+， ∴2243(,)3434km m P k k -++，而2234k m +=，得43(,)k P m m-，又(4,4)Q k m +， 又(1,0)F ，则FP FQ ⋅=43(1,)(3,4)k k m m m--⋅+0=，知FP FQ ⊥， 即90PFQ ∠=︒.。