13.2垂线

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《垂线》相交线与平行线垂线

通过垂线可以解决关于直线或点的最值问题，例如最长距离、最大面积等。
03
垂线的作法
利用全等三角形作垂线
确定已知三角形
确定要作垂线的已知三角形。
找到对应边
找到全等三角形中与已知三角形对应边相等的边。
选择全等三角形
选择一个与已知三角形全等的三角形。
作垂线
利用全等三角形的性质，过对应边的中点作对应边的垂线，即为所求的垂线。
《垂线》相交线与平行线垂线
汇报人：日期:
目录
• 垂线的定义与性质 • 垂线的应用 • 垂线的作法 • 垂线的证明方法 • 垂线的实际应用
01
垂线的定义与性质
垂线的定义
垂线的定义
如果一条直线与另一条直线相交，并且它们的交点处所形成的两个角中有一个角是直角，那么这两条直线就互相垂直。
垂线的记法
确定过已知点的已知直线。
计算三角函数值
作垂线
根据已知直线的倾斜角和距离，计算出相应的三角函数值。
利用三角函数的性质，过已知点作与已知直线垂直的直线，即为所求的垂线。
04
垂线的证明方法
利用三角形的性质证明
总结词
在三角形ABC中，过点A作BC的垂线，垂足为D，则$\angle ADB = 90^{\circ}$，根据三角形内角和定理，可知$\angle BAC + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$，又 $\angle B = \angle C$，所以$\angle BAC + 2\angle C = 180^{\circ}$，即 $\angle C + \angle CAD = 90^{\circ}$，又$\angle ADB = 90^{\circ}$，所以 $\angle C + \angle CAD = \angle ADB$ ，因此ADBC。

2024秋八年级数学上册第十三章轴对称13.2画轴对称图形1画轴对称图形教学设计(新版)新人教版

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习轴对称图形的过程中，学生可能会遇到一些困难和挑战。首先，理解轴对称图形的概念和性质可能需要一定的时间和空间想象力。其次，画出轴对称图形时，学生可能会遇到对对称轴的确定和对称点的找寻等方面的困难。此外，将轴对称图形的知识应用于实际问题解决时，学生可能会遇到问题建模和运算的挑战。因此，教师需要通过合理的教学设计和引导，帮助学生克服这些困难和挑战，提供必要的支持和指导。
教学过程设计
1.导入新课（5分钟）
目标：引起学生对轴对称图形的兴趣，激发其探索欲望。
过程：
开场提问：“你们知道什么是轴对称图形吗？它与我们的生活有什么关系？”
展示一些关于轴对称图形的图片或视频片段，让学生初步感受轴对称图形的魅力或特点。
简短介绍轴对称图形的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。
2.轴对称图形基础知识讲解（10分钟）
2.轴对称图形的性质：引导学生探究轴对称图形的性质，如对应点的连线与对称轴垂直，对应点的距离相等。
3.轴对称图形的画法：教授学生如何画出轴对称图形，包括找出对称轴，画出对应点，连接对应点等步骤。
4.实际应用：通过一些实际问题，让学生运用轴对称图形的知识解决问题，提高学生的实际应用能力。
核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几个方面：
⑤轴对称图形的性质和画法的应用：利用轴对称图形的性质和画法可以解决一些几何问题，如求解对称图形的面积、角度等。
板书设计：
1.轴对称图形的概念
-可以沿着某条直线折叠，两边完全重合
2.轴对称图形的性质
-对称轴和对应点
-对应点连线与对称轴垂直
-对应点距离相等
3.轴对称图形的画法
-找出对称轴
-画出对应点

人教版八年级上册数学课件13.2画轴对称图形(共29张PPT)

作法：（1）过点A画直线l的垂线
，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA，A′就是点A关于直线l的对称点。
┐┐ O
A
B
┐
C
（2）同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B′，C′ 。
（3）连接A′B′，B′C′，C′A′，得
到△A′B′C′ 即为所求。
议一议
通过以上探究,你能总结出作轴对称图形的方法吗?
1、找特征点
整个图案是个什么形状？请准确地画出它的另一半。
作打开纸，看看这两个图形有什么关系?
2、作垂线练习 1、如图，把下列图形补成关于直线L的对称图形。
图作出与线段AB关于直线l成轴对称的图形
习题如图给出了一个图案的一半，其中的虚线 l 是这个图案的对称轴。步 13.2 求作：点A关于直线l的对称点A′
画轴对称图形
猜一猜
下列图片被遮住了一半请说出图片的名称
猜一猜
下列图片被遮住了一半. 请说出图片的名称.
猜一猜
下列图片被遮住了一半. 请说出图片的名称
猜一猜
下列图片被遮住了一半. 请说出图片的名称
三、连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．求作：点A关于直线l的对称点A′ 对于某些图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形已知：线段AB和直线l 整个图案是个什么形状？请准确地画出它的另一半。
整个图案是个什么形状？请准确地画出它的另一半。
l
BA
C D
FE
G
H
实际图形和印章中的像可以看成上图那样的成轴对称关系。
轴对称变换前后的图形是一对“好朋友”
，在一次活动中他们走散了，请同学们帮助他

人教版八年级上册13.1.2线段的垂直平分线的性质教案

人教版八年级上册13.1.2线段的垂直平分线的性质教案(总7页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--§线段的垂直平分线的性质——授课人：授课年级：八年级一、教学内容分析《线段的垂直平分线的性质》选自人教版《义务教育教科书•八年级上册》（2013版）第十三章《轴对称》第一单元第二课。

在此之前，学生学习了全等三角形，对轴对称图形的性质有所认识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节内容是今后证明线段相等和直线互相垂直的依据，因此本节课具有承上启下的重要作用。

二、学生学情分析学生在此之前已经学习了轴对称图形，对线段的垂直平分线已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但处于该阶段的学生语言表达能力较差,特别是几何语言的描述不规范，本节课几何语言理解表达问题较难，因此，教学中要加强推理证明步骤的规范化。

三、教学重难点重点：线段的垂直平分线定理和逆定理的证明和运用。

难点：线段的垂直平分线定理和逆定理的证明和运用，线段的垂直平分线的画法。

四、教学目标1.知识与技能（1）识记并理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。

（2）掌握垂线的尺规作图方法并理解作法的依据及合理性。

2.过程与方法使学生经历证明理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的过程，熟悉证明的步骤。

3.情感态度与价值观通过对定理的探究，培养学生自主学习勇于思考和探究的品质，让学生充分体会到探究的乐趣。

五、教学过程设计1.温故知新，导入新课回顾线段的垂直平分线定义概念，探究线段的垂直平分线的性质。

提问：什么是垂直平分线？垂直平分线具有哪些性质？[设计意图]：帮助学生回顾上节课所学的线段的垂直平分线的定义，同时为本节课学习线段的垂直平分线的性质作铺垫。

得出定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

导入新课：如图，直线l 垂直平分线段AB ，P1，P2，P3，…是l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系。

13.2《画轴对称图形》第1课时PPT课件人教版

作：作出对应点所连线段的垂直平分线.
如图，把下列图形补成关于直线 l 对称的轴对称图形.
的线段PQ，使PQ与AC关于某条直思考2：已知线段AB和直线l，画出线段AB关于直线l的对称线段A′B′.
连接对应点的线段被对称轴垂直平分
线段AD被直线l垂直平分.
线对称，且P，Q为格点． △ABC与△DEF全等.
A
（2）过点B作直线l的垂线，垂足为P，
在垂线上截取PB′=PB，点B′就是点B关于
直线l的对称点.
（3）连接A′B′，则线段A′B′即为所求.
P B′ O A′ l
例1：如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直
线l对称的图形.
分析：△ABC可以由三个顶点的位
B
C
置确定，只要能分别画出这三个顶 A
作法：（1）过点A作直线l的垂
A
线，垂足为O；（2）在垂线上截取OA′=OA，点 A′就是点A关于直线l的对称点.
O
l
A′
思考2：已知线段AB和直线l，画出线段AB关于直线l的
对称线段A′B′.
B
作法：（1）过点A作直线l的垂线，垂足
为O，在垂线上截取OA′=OA，点A′就是
点A关于直线l的对称点.
点M关于直线l的对称点一定在△DEF内.
C
点M关于直线l的对称点一定在△DEF内.
（1）△ABC与△DEF全等吗？全等的两个图形一定可以通过轴对称变换得到吗？
知识点画轴对称图形
分析：根据物体与其在水中的倒影关于水面成轴对称，作出倒影关于这条直线成轴对称的图形即可.
Q
（2020·吉林中考）如图是3×3的正方形网格，每个小
随堂练习
1.用纸片剪一个三角形，分别沿着它一边的中线、高、角平分线对折，看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合？

《垂线定理及逆定理》课件

根据三角形面积的公式，我们知道三角形的面积等于底边乘以高的一半。这是证明过程中需要用到的一个重要公式。
为了证明垂线定理，我们需要利用已知的三角形性质和几何定理来推导。
证明的过程
01 02
第一步
根据三角形面积公式，我们知道三角形ABC的面积等于底边BC乘以高 AD的一半，即S△ABC=12BC⋅AD。S_{triangle ABC} = frac{1}{2} BC cdot AD
通过应用逆定理，可以快速找到证明两条线垂直的方法，从而简化解题过程。
04
逆定理的证明
证明的思路
引入已知条件
首先明确题目中给出的已知条件，包括线段、点、角度等。
逻辑推理
根据已知条件，通过逻辑推理和数学公式的应用，逐步推导出结论。
结论总结
在推导过程中，不断总结和归纳，最终得出逆定理的结论。
逆定理的应用实例
逆定理在几何证明中的应用
利用逆定理，可以证明一些与平行线和同位角、内错角有关的几何命题，例如平行线的性质和判定。
逆定理在日常生活中的应用
逆定理在日常生活中也有广泛的应用，例如道路的平行线检测、建筑物的平行度测量等。
综合应用实例
垂线定理与逆定理的综合应用
在解决一些复杂的几何问题时，需要综合运用垂线定理和逆定理，例如证明两个三角形相似的判定定理。
逆定理的几何解释
在几何图形中，逆定理可以通过实际的图形来解释和证明。
如果一条直线与另外两条相交直线形成的同旁内角互补，那么这条直线必定与那两条相交直线垂直。
逆定理的应用场景
逆定理在几何证明题中应用广泛，特别是在解决与垂直线相关的问题时。
在实际生活中，逆定理也有很多应用，比如在建筑、机械等领域中，常常需要用到逆定理来验证结构的稳定性和安全性。

物理九级人教新课标13.2重力课课解析与练习

13．2 重力熟了的苹果为什么会向地面下落？抛出去的石块为什么总会落向地面？河水为什么总是从高处流向低处？智能提要问。

重力的方向总是“竖直向下”。

为什么不能说成“垂直向下”？答。

“竖直向下”指垂直于水平面向下。

而“垂直向下”是指垂直于某个面向下。

这个面不一定是水平面。

如果这个面是斜面（如图12-1所示）。

这时竖直向下和垂直向下就是两个不同的方向。

所以。

我们不能把问。

利用公式G ＝mg 应注意什么？答。

① G ＝mg 是一个物理公式。

而不是单位换算.② 明确公式中各物理量都必须用国际单位.m 的单位用kg 。

G 的单位用N.③ 公式中g ＝9.8N/kg 。

读作9.8牛每千克。

它的物理意义是:质量为1kg 的物体受到的重力是9.8N.④ 要会将公式正确变形。

灵活应用。

如已知物体的重力求质量时。

可变形为m ＝g G . ⑤ 在理解重力与质量的联系时。

我们不能说物体的质量和它受到的重力成正比. 问。

重力和质量的区别和联系有哪些？图12-1问。

怎样确定物体的重心？答。

（1）质地均匀、形状规则的物体。

重心在其几何中心。

大多数物体的重心在物体上。

少数物体的重心不在物体上（如环形物体）．（2）薄板形物体的重心可用悬挂法来确定．方法是。

在物体上任取一点。

用细绳从这点将物体悬挂起来。

静止时沿悬绳方向在物体上画一条直线。

然后用细绳这条直线外的任一点将物体悬挂起来。

静止时沿悬绳方向在物体上画一条直线。

这两条直线的交点即为该物体的重心．中考撷要重力是最常见也是最重要的一种力。

对地面上的物体进行受力分析时。

离不开重力．在中考试题中。

本节内容不仅单独考查（考查范围为重力的概念、方向、计算及应用）。

还大量出现在综合题中．智能拓展1．“失重”与“超重”地球周围物体都受到重力的作用。

这是由于地球对物体的吸引而造成的．如果物体在空中只受重力的作用。

则物体在重力作用下会做自由落体运动——竖直地。

愈来愈快地落向地面．在用弹簧测力计称物重时。

13.2(1)垂线

13.2（1）垂线上大附中实验学校徐树茂教师活动一．复习旧知练习1：（1）两条直线相交会产生哪些角与角之间的位置和数量关系？答：位置关系：邻补角，数量关系：互补位置关系：对顶角，数量关系：相等能否举几个例子：练习2：已知两直线相交求下图中的x（1）（2）（3）二．新课探究在上述的练习中（1）中x 为40，（2）中x 为30（3）中的x 为90.你能分别说说3副图像中其余角的大小吗？我们发现两直线相交形成四个小于平角的角，其中不大于直角的叫做两条直线的夹角. 两条直线的夹角α满足︒≤<︒900α那你能说一下上述三个图像中两直线的夹角是几度吗？（1）两直线夹角40° （2）两直线夹角30° （3）两直线夹角90° 我们也可以从动态的角度理解将直线l 绕点O 逆时针旋转则夹角在不断变大，直到每一位置时夹角刚好为90°. 三．归纳定义垂直定义：如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.“垂直”用符号“⊥”表示，读作“垂直于”如图直线AB与CD垂直，写作“AB⊥CD”.直线AB与CD垂直，在图中用“┐”表示.几何语言：因为∠AOD=90°，所以AB⊥CD（也可以写作CD⊥AB）.反之：因为AB⊥CD，O为垂足，所以∠AOC=∠BOC=∠BOD=∠AOD=90°四．新知应用在日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见。

请列举几个两条直线互相垂直的生活实例.思考：操作 1.画已知直线l 的垂线这样的直线能画几条？2.经过直线l 上一点P 画l 的垂线.这样的直线能画几条？3. 经过直线l 外一点P 画l 的垂线.归纳由此你得出什么结论？在平面内，经过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条.即：在平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

例1. 如图，已知线段AB ，用直尺、圆规作出它的垂直平分线.解：（1）以点A 为圆心、大于AB 21的长为半径作弧，以点B 为圆心、同样长为半径作弧，两弧分别相交于点E 、F ；（2）做直线EF.直线EF 就是所求作的线段AB 的垂直平分线五．课堂小结1.按照所成夹角大小我们进行如下分类图像。

专题13.2线段的垂直平分线专题(限时满分培优训练)-【拔尖特训】2024-2025学年八年级数学上

【拔尖特训】2024-2025学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题13.2线段的垂直平分线专题（限时满分培优训练）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•防城港期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（）A．8B．6C．4D．22．（2022秋•东宝区期末）和三角形三个顶点的距离相等的点是（）A．三条角平分线的交点B．三边中线的交点C．三边上高所在直线的交点D．三边的垂直平分线的交点3．（2022秋•黄石港区期末）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AB，AC于点M，N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A．4cm B．3 cm C．2cm D．1cm4．（2022秋•长安区校级期末）某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在△ABC（）A．三条高线的交点处B．三条中线的交点处C．三个角的平分线的交点处D．三条边的垂直平分线的交点处5．（易错题）（2023秋•青秀区校级月考）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC 的数量关系是（）A．2∠BOC+∠BPC＝360°B．∠BOC+2∠BPC＝360°C．3∠BOC﹣∠BPC＝360°D．4∠BPC﹣∠BOC＝360°6．（易错题）（2022秋•汉南区校级期末）如图，锐角三角形ABC中，O为三条边的垂直平分线的交点，I 为三个角的平分线的交点，若∠BOC的度数为x，∠BIC的度数为y，则x、y之间的数量关系是（）A．x+y＝90°B．x﹣2y＝90°C．x+180°＝2y D．4y﹣x＝360°7．（易错题）（2022秋•东阿县校级期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠OEB ＝46°，则∠AOC＝（）A．92°B．88°C．46°D．86°8．（易错题）（2022春•雅安期末）如图所示，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若∠DAE＝40°，则∠BAC＝（）A．105°B．100°C．110°D．140°9．（培优题）（2022春•舞钢市期末）如图，四边形ABCD中，DE和DF恰好分别垂直平分AB和BC，则以下结论不正确的是（）A．AD＝CD B．∠B＝∠A+∠CC．∠EDF＝∠ADE+∠CDF D．BE＝BF10．（培优题）（2022春•周村区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，边AC的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（）A．35°B．30°C．25°D．20°二．填空题（共6小题）11．（2022秋•句容市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长．12．（2022秋•德城区校级期末）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于点E，交AC于点D，∠B＝70°，∠F AE＝19°，则∠C＝°．13．（易错题）（2023春•甘州区校级期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线与AC，BC分别交于点E，D，CE＝4，△ABC的周长是25，则△ABD的周长为．14．（易错题）（2023春•荔湾区期末）在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，4），作AB的垂直平分线交x轴于点C，则点C坐标为．15．（2023春•振兴区校级期中）如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝26°，∠EBD＝25°，则∠AED＝．16．（2023春•振兴区校级期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为23cm，则OA的长为．三．解答题（共7小题）17．（2023•渭南一模）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD 垂直平分EF．18．（2022春•合浦县期中）如图，已知点D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接AD，若AD垂直平分EF，求证：AD是△ABC的角平分线．19．（易错题）（2023春•新民市期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与P A相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，P A＝2，求线段DE的长．20．（易错题）（2023春•丰城市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．（1）若BC＝9，求△AEG的周长．（2）若∠BAC＝130°，求∠EAG的度数．21．（培优题）（2023春•榆林期末）如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，连接AE，作AD⊥BC于点D，且D为BE的中点．（1）试说明：AB＝CE；（2）若∠C＝32°，求∠BAC的度数．22．（培优题）（2023春•定边县校级期末）已知，如图，AD是△ABC的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．（1）若∠B＝40°，求∠AEF的度数；（2）求证：∠B=12∠AED．23．（培优题）（2023春•兴庆区校级期末）如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点．（1）若△CDE的周长为4，求AB的长；（2）若∠ACB＝100°，求∠DCE的度数；（3）若∠ACB＝a（90°＜a＜180°），则∠DCE＝．。

《垂线》相交线与平行线

平行线的定义
在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。
垂线的性质
垂线是唯一的，并且它与给定直线垂直。
相交线的性质
相交线在交点处相交，并且它们有公共的起点和终点。
平行线的性质
平行线永不相交，并且它们有相同的方向。
数学中的证明与推理
证明平行线的性质
证明相交线的交点
通过逻辑推理和几何定理证明两条直线的交点。
02
在几何学中，垂线通常表示为直线或射线，并且它们与另一条直线或射线相交于一点，该点称为垂足。
垂线的性质
垂线是垂直的，即它们与另一条直线或射线形成的角度为90 度。
垂线具有对称性，即如果一条直线是另一条直线的垂线，那么另一条直线也是这条直线的垂线。
垂线具有传递性，即如果一条直线是两条直线的垂线，那么这两条直线也是这条直线的垂线。
《垂线》相交线与平行线
汇报人： 2024-01-05
目录
• 垂线的定义与性质 • 相交线的性质 • 平行线的性质 • 垂线、相交线与平行线在实际
生活中的应用 • 垂线、相交线与平行线在数学
中的意义
01
垂线的定义与性质
垂线的定义
01
垂线是指两条直线相交，并且其中一条直线与另一条直线的交角为90度的线。
机器装配
在机器装配中，垂线、相交线和平行线的应用可以帮助确定机器各部件的位置和角度，以确保机器的正常运转和精度。
05
垂线、相交线与平行线在数学中的意义
数学中的定义与性质
垂线的定义
在平面内，过一点作给定直线的垂线，这样的直线只有一条，称为垂线。
相交线的定义
两条直线在同一平面内，如果它们有一个公共点，则称这两条直线为相交线。

垂线初中ppt

符号表示
垂线用符号“perp”表示。
垂线的性质
1 2
唯一性
在一个平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
传递性
如果两条直线互相垂直，那么它们在交点处的斜率乘积为-1。
3
平行性
如果两条直线在同一个平面内，一条直线垂直于这个平面，那么这条直线与另一条直线的夹角为90度。
垂线的定理
1
直角三角形中，任意一条直角边的“邻边”的平方等于“对边”的平方和。
在点与直线之间，连接一条垂直线段，其长度即为点到直线的距离。
三角形的高线和中线
概念解读
三角形的高线是指过一个顶点和对边中点的直线，而中线是指连接三角形两个顶点的线段。
性质应用
高线和中线都是线段，且互相垂直。高线的长度等于三角形一边的一半，而中线的长度等于三角形一边的三分之一。
判定方法
在三角形中，找到一个顶点和对边中点，连接这两个点并延长至相交于一点，这个点即为高线的交点；而中线则是连接两个顶点的线段。
学习垂线的体会和收获
深入理解垂线
通过学习垂线的定义和性质，可以更好地理解垂直和平行的关系，以及各种几何图形的特征。
掌握解题方法
学习垂线可以掌握更多的解题方法，例如利用垂线性质证明三角形全等、相似等。
培养数学思维
学习垂线可以培养数学思维和逻辑推理能力，以及分析问题和解决问题的能力。
需要注意的易错点和难点
判定方法
03
在两个点之间，画一条垂线段，比较其长度与其他线段长度，
若这条垂线段最短，则这条垂线段即为最短垂线段。
点到直线的距离
概念解读
点到直线的距离是指这个点到直线的垂线段的长度。
性质应用

13.2(1)垂线(1)PPT课件

2021
M
E
F
O
E
A
O
B
N
记作： MN⊥EF , 垂足为O. 记作： AB⊥OE垂足为O.
或者EF ⊥ MN 于O
或者AB⊥OE于O
2021
垂直的定义的应用格式
如果直线AB、CD 相交于点O，∠AOC=90°（或
三个角中的一个角等于90°），那么 AB⊥CD. 这个推理过程可以写成：
∵∠AOC=90°（已知）， ∴AB⊥CD（垂直的定义）
13.2 垂线（1）
2021
问题1：如图，已知，两条直线AB、CD相交于点O,∠AOC=400, 求∠BOD、 ∠BOC ∠AOD的度数。
夹角：两条直线相交形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角。
2021
问题2：如图，已知，两条直线AB、CD相交于点O,∠AOD=1400, 它们的夹角是几度。
孝感市文昌中学学生专用尺
C m
2021
1.垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
B 则所画直线AB是过
点A的直线l的垂线.
l A
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
02靠1:靠2三3 角4 板,把5三6 角7 板的8一9 直1 角0边1 1 靠在直尺上;
孝感市文昌中学学生专用尺
C m
3移:移动三角板到已知点;
4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
2021
垂线的性质（1）
问题:过已知直线 l 和l上(或外)的一点A ,作l 的垂线,可以作几条?
能作一条,而且只能作一条. 结论: 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意:

垂线方法总结

垂线方法总结概述垂线方法，也称为垂直平分线法，是一种常用的几何学方法。

它用于求解两条直线之间的距离，通过构造垂直平分线将问题简化为直角三角形的计算，从而得到准确的结果。

垂线方法在几何学和三角学中都有广泛的应用。

基本原理垂线方法的基本原理是根据两直线的斜率来构造垂线。

对于给定的两条直线，我们可以通过计算它们的斜率来判断是否垂直。

如果两条直线的斜率相乘为-1，那么它们垂直。

以直线L1和L2为例，构造它们的斜率分别为k1和k2。

如果k1 * k2 = -1，那么L1和L2是垂直的。

我们可以通过找到L1和L2的中点M，并构造垂直于两者的垂线L3来验证这一点。

通过计算垂线L3与L1、L2的距离，就可以得到L1和L2之间的距离。

算法步骤1.计算直线L1和L2的斜率k1和k2；2.判断斜率的乘积k1 * k2是否为-1，如果是则直线L1和L2垂直，否则不垂直；3.如果L1和L2垂直，计算L1和L2的中点坐标M；4.构造垂直于L1和L2的垂线L3，使之经过中点坐标M；5.计算垂线L3与L1、L2的距离，得到L1和L2之间的距离。

举例说明例1已知直线L1的方程为：y = 2x + 3，直线L2的方程为：y = -1/2x + 4。

我们可以通过垂线方法计算L1和L2之间的距离。

首先计算斜率k1和k2：k1 = 2 k2 = -1/2由于k1 * k2 = 2 * (-1/2) = -1，L1和L2垂直。

其次，计算L1和L2的中点坐标M：L1的斜率为2，所以L1的斜率倒数为-1/2。

我们可以得到L1的中点坐标M 为(-3/4, 1/4)。

然后，构造垂直于L1和L2的垂线L3，经过中点坐标M。

最后，计算垂线L3与L1、L2的距离。

例2已知直线L1的方程为：y = 5x - 2，直线L2的方程为：y = -1/5x + 3。

我们同样通过垂线方法计算L1和L2之间的距离。

首先计算斜率k1和k2：k1 = 5 k2 = -1/5由于k1 * k2 = 5 * (-1/5) = -1，L1和L2垂直。